control pid 4

D.Saez. EL42D Control de Sistemas. U. Chile

EL 42D Control de Sistemas

Profesora: Dra. Doris Sáez H.Departamento de Ingeniería Eléctrica

Universidad de Chile

Unidad 1: Diseño de Controladores

Proporcional, Derivativo, Integral :

Elaborado por: D. SáezColaboradores: N. Castro, J. Contreras& G. Sáez

Controlador Proporcional, Integral, Derivativo:PID Continuo

))t(e(f)t(u)t(y)t(r)t(e

Controlador

PIDe(t)r(t) y(t)u(t)

Gp(S)-

11(K)S(E)S(U

dt)t(deTKdt)t(e

TK)t(eK)t(u

++= ∫

Controlador PID Continuo

baSS1)S(G 2P ++

)t(eK)t(u p=

KbaSSK

)S(G)S(G1)S(G)S(G

)S(R)s(Y

a) Control Proporcional

Caso planta de 2º orden

Pc K)S(E)s(U)S(G ==

Ecuación característica

0KbaSS2

=ω+ξω+

KP ξωn

πξ−

ξω= ξ<0.69

Elimina el error permanente ess.

P dt)t(eTK)t(u

b) Acción integral

)S(E)S(U)S(G i

PC ===

STK)S(G

baSS1)S(G 2P ++

conSK)S(G i

Controlador PID Continuob) Acción integral

KS)baSS(K

)S(R)S(Y

KS)baSS(S)baSS(

)S(RKS)baSS(

S)baSS()S(Y)S(R)S(E

SiS1)S(R = 0

KS)baSS()baSS(S)S(SEe

==∞→

b) Acción integral

• Elimina error permanente.• Agrega un polo en el origen de la función de

transferencia en lazo abierto (lazo directo)• Además, la acción integral es

desestabilizadora, razón por la cual va siempre acompañada por la acción proporcional

Controlador PID Continuob) Acción integral

c) Acción derivativa

dt)t(deTK)t(u dP=

SK)S(G

STK)S(G

baSS1)S(G 2P ++

SK)S(G)S(G 2d

PC ++=⋅

STKbaSSSTK

)S(R)S(Y

Ecuación característica02S

0bS)TKa(S2

=ω+ξω+

SP, TsModifica ξ

• Agrega un cero en el origen de la función de transferencia en lazo abierto.

• La acción derivativa representa la tendencia del cambio, es decir, es una proyección hacia donde se desplazará el proceso en el futuro.

11(K)S(E)S(U

dt)t(deTKdt)t(e

TK)t(eK)t(u

++= ∫

Controlador PID discreto

T: tiempo de muestreo

)Z(E)Z1(KZ1

KK)Z(U

11K)S(U

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−−

Efectos de las acciones de control integral y derivativo sobre el desempeño de un sistema

Ejemplo: Control integral de los sistemas de control de nivel de líquido

E(S)R(S)H(S)U(S)

)S(RKRSRCS

SRCS)S(H)S(R)S(E

KRSRCKR

)S(R)S(H

Si U(s)=1/s escalón

elimina el error de régimen permanente

)KRSRCS()SRCS(Slim)S(Elime 2

0S0SSS =+++

==→→

Control Proporcional: Respuesta a perturbaciones (D)

KPE(S)R(S) Y(S)

Si R(s)=0 )))S(Y(K)S(D()bJS(S

1)S(Y P −++

)bJs(s1+

KbSJS1

)S(D)S(Y

)S(DK)bJS(S)S(Y

=++⋅

El error en régimen permanente producido por una perturbación escalón de magnitud δ0 es:

La salida en régimen permanente es yss=δ0/KP

KbSJS1

)S(D)S(E

KbSJS)S(D)S(Y)S(E

P20S0SSS KSKbSJS

Slim)S(SElime δ−=

→→

* El ess se reduce si KP se aumenta

Control Proporcional: Respuesta a perturbaciones (D)

Control proporcional-integral: Respuesta a perturbaciones (D)

SKbSJS

SDTY)1ST(KST)bJS(S

)Y)(ST

11(KD)bJS(S

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

E(S)R(S) Y(S)

)bJs(s1+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

sT11Ki

TKSKbSJS

S)S(Y)S(E

SKbSJS

S)S(D)S(Y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

TKSKbSJS

SSlim)S(SElime

230S0SSS =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

→→

tiene raíces con partes reales negativas, entonces el error en régimen permanente ante la perturbación escalón unitario es:

Si el sistema de control es estable, es decir, la ecuación característica 0

SKbSJSi

23 =+++

Si hay sólo acción integral para este caso, la ecuación característica sería

SK)S(G C =0KbSJS 23 =++

Esto entrega raíces con parte real positiva por lo tanto, el sistema sería inestable.

)S(R)S(Y

Control proporcional: Sistema de carga de inercia

Ecuación característica:

0KJS2 =+

KPR(S) Y(S)1/JS2

Sistema oscila indefinidamente

( )PdP

KSTKJSST1K

)S(R)S(Y

Control proporcional-derivativo: Sistema de carga de inercia

La ecuación característica: 0KSTKJS PdP2 =++

KP(1+TdS)R(S)

Y(S)1/JS2

tiene 2 raíces con parte real negativa para J, KP, Td > 0

Control proporcional-derivativo: Sistema de carga de inercia

El control derivativo predice el sobre paso adelantándose en el tiempo y produce una respuesta adecuada antes de que ocurra un sobrepaso demasiado grande.

Sintonización de Controladores PID

• La mayoría de los controladores industriales que se usan hoy en día utilizan esquemas de control PID.

• Estos controladores aportan un control satisfactorio en la mayoría de los sistemas de control.

Motivación

Métodos de Sintonización

1) Límite de Estabilidad – Ziegler & Nichols2) Curva de Reacción – Ziegler & Nichols3) Criterio de López4) Control por Modelo Interno (IMC)

Ziegler-Nichols

• Los métodos de Ziegler-Nichols proponen encontrar los parámetros de un controlador PID en base a un modelo especifico de una planta.

• En ambos métodos se pretende obtener un 25% de sobrepaso máximo en la respuesta al escalón.

Límite de EstabilidadZiegler &Nichols

1. Utilizando sólo control proporcional, comenzando con un valor pequeño, incrementar la ganancia hasta que el sistema comience a oscilar.

pK Planta( )r t ( )y t+

2. Registrar la ganancia crítica del controlador(crítico) y el período de oscilación de la salida delcontrolador .

p cK K=

( )y t

Tipo de controlador pK iT dT

0.50 cK

0.45 cK

0.60 cK

0/1.2cP

0.5 cP /8cP

3. Ajustar los parámetros del controlador según la siguiente tabla.

• Para resolver el problema analíticamente, y se pueden encontrar mediante Routh-Hurwitz

Curva de ReacciónZiegler &Nichols

• La respuesta del proceso (lazo abierto) puede ser caracterizada por la siguiente aproximación de primer orden con retardo:

( )( ) 1

LsY s KeU s Ts

• A partir de la respuesta al escalón de la planta se obtienen los parámetros K, L y T que caracterizan la aproximación.

Línea tangente en el punto de inflexión

• Los valores L y T además se pueden calcular fácilmente de las siguientes ecuaciones:

2 11.5( )T t t= −

11 231.5( )L t t= −

• Los valores y se obtienen del siguiente gráfico.

L T2t t1t

6 3 .2 %

2 8 .3 %

• Conocidos L y T, los parámetros del controlador se obtienen de la siguiente tabla.

Tipo de controlador pK iT dT

0.9 TL

1.2 TL

2L 0.5L

Criterio de López

• Según el criterio de López los parámetros del PID se encuentran en base a la minimización de los índices de funcionamiento.

• Para esto se asume que la respuesta se aproxima por una función de transferencia de primer orden con retardo.

Índices de FuncionamientoCriterio de López

Medida cuantitativa del funcionamiento de un sistema y se elige de forma que resalte las especificaciones del sistema

y(t)r(t)e(t)

)t(eIMinT

= ∫ ( ISE )

∫ )t(e2

Min I e(t)dt

Min I t e(t)dt

Min I te (t)dt

Forma general : I f(e(t),r(t), y(t),t)dt u(t)

u(t) f(y(t),....)

( IAE )

( ITAE )

( ITSE )

r(t) y(t)+- )2s(s

)1( 1s2s

1)s(R)s(Y

n2 =ω+ξ+

Ejemplo

I1I2I3

ξ = 0.7 óptimo para I3, que para un sistema de segundo orden produce una respuesta rápida ante un escalón con un sobre nivel del 5%

1.131.000.991.0

0.4820.5600.3810.5

0.7490.7710.7381.0

1.1390.9171.1762.0

0.9210.9450.9471.0

1.4351.4951.3571.20

IAEISE

ITAEZ&N

0.7070.7390.6801.0

1.6442.0331.4843.333

0.9860.9520.9171.0

0.9841.3050.8590.909

IAEISE

ITAEZ&N

0.9850.9171.0841.0

0.9021.4110.4901.0

IAEISE

ITAEZ&N

fedcbaCriterioControl

• A partir de la tabla y las siguientes relaciones, se obtienen los parámetros del PID:

p d ia L L LK T Te T TcK T T T

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Ejemplo PI con ITAE: 10( )2 1

seG ss

0.917 0.6800.859 1 12 1.48410 2 2

1.62 1.85

p iK T−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)s(G p

)s(Gm+)s(G f

Control por Modelo Interno(IMC)

•Donde:

Inverso aproximado de

Modelo de la Planta

Filtro Pasabajos:)s(G:)s(G:)s(G

m+ )s(Gm

• Si• Además, si existe un

perfecto seguimiento.

• En general se escoge como Filtro Pasabajos a un sistema de primer orden:

sT11)s(G

0e)s(G)s(G pm ≡⇒=1

mmf G)s(G1)s(G −+ =∧=

• La Función de Transferencia del Controlador:

• Si se considera que la planta se comporta como un sistema de Primer Orden con Retardo, es factible encontrar controladores PI o PID equivalentes.

)s(G)s(G)s(G1)s(G)s(G

)s(Gmmf

mfc ⋅⋅−

⋅= +

• En efecto, sea

• Aproximando el retardo por Serie de Taylor:

• El controlador queda:

1Ts)s(G +=+

( ) )PI(,TLsK

1Ts)s(Gfp

sLpm e

)s(G −

sL1e sL −≈−

• Aproximando el retardo por Padé (1er orden):

• El controlador queda:

( ) )PID(,TLsK

sL1)s(G

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

sL1e sL

−≈−

MODIFICACIONES DE LOS ESQUEMAS DE CONTROL PID

• En ausencia de perturbaciones y ruido:

+ pK )s(Gp

)s(Y)s(U+

)s(GKsT1

11)s(R)s(Y

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+

)s(GKsTsT

)s(GKsT

11)s(R)s(Y

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

pK )s(Gp

)s(GKsTsT

)s(GKsT

1)s(R)s(Y

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

_ pK )s(Gp

Antiwindup en Controladores PID

Saturador

Actuador

PlantaG (s)

Actuadoru

Antiwindup en Controladores PID: Solución

p dK T s⋅

Modeloactuador

uActuadore

p dK T s⋅

Antiwindup en Controladores PID: Solución

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tipo de controlador

iae ise itae

1 td

td

ts 1

kpkp ti

pid

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