1MODELAMIENTO E IMPLEMENTACIONANALOGA DE SISTEMAS DINAMICOS DE

PRIMER Y SEGUNDO ORDEN CONTROLADORPID

Practica 04Universidad Pedagogica y Tecnologica de Colombia. Facultad seccional Sogamoso. Escuela Ingeniera Electronica

Laboratorio Electronica IIIDocente: Ing. Oscar Rodriguez Monitor: Tenc. Dario Chaparro

I. OBJETIVO GENERAL

Modelar matematicamente, simular e implementar plantasanalogas prototipo de Primer y Segundo Orden, utilizandolas herramientas y aproximaciones matematicas para hallarfunciones de transferencia con AMOPS, la simulacion yevaluacion de la respuesta de los modelos con el uso deMATLAB, SIMULINK, ORCAD y su definitiva realizaciony verificacion en forma experimental.

II. OBJETIVOS ESPECIFICOS

1 Establecer la respuesta de un sistema analogico anteestmulos de entrada como Impulso Unitario, EscalonUnitario y rampa unitaria.

2 Analizar la importancia de la funcion de transferencia deun sistema dinamico.

3 Identificar las caractersticas de la respuesta transitoria yestacionaria de sistemas de primer y segundo orden.

4 Determinar la funcion de transferencia de una planta apartir de la funcion de transferencia.

5 Modelar y realizar el montaje de plantas prototipo deprimer y segundo orden utilizando AMOPS.

6 Analizar y obtener las respuestas de acciones proporcio-nal, integral y diferencial en los sistemas dinamicos detiempo continuo.

7 Adquirir destreza en el manejo del software de simula-cion MATLAB y ORCAD para el analisis de sistemasdinamicos.

III. FUNDAMENTACION TEORICA

III-A. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Los sistemas dinamicos analogos de Primer Orden tienenla forma:

G(s) =K

S + 1=

K

S + 1(1)

Donde K es la ganancia estatica del sistema y la constantede tiempo de respuesta del sistema en segundos, equivalente

al tiempo transcurrido a la salida del sistema desde cuandose le ha aplicado un estimulo escalon unitario al sistemahasta cuando este alcanza el 63 porciento de su valor final.Experimentalmente el tiempo de establecimiento del sistemade primer orden (ts= 4).

A. Respuesta al Escalon Unitario de un Sistema de PrimerOrden con MATLAB.Un sistema de control con funcion de transferencia:

G(s) =8

S + 2(2)

De la Ec. (1) se puede derivar que su ganancia es de K =4 y su ( = 0,5seg), para verificar esto mediante MATLABse tiene: num = [8] den = [1 2] sys = tf(num,den) salida = step(sys)B. Respuesta al Impulso Unitario del Sistema de Primer

Orden impulse(num,den)C. Respuesta a la Rampa Unitaria del Sistema de Primer

Orden t = 0:0.1:4; u=t; lsim(sys,u,t)D. Sntesis de Circuitos Sistemas de Primer Orden Analogos

El circuito de la fig 4 corresponde a una red capacitivaresistiva pasiva en paralelo correspondiente a un sistema deprimer orden:Donde la impedancia equivalente del circuito(ZT )es el in-

verso de la admitancia (YT ):

YT =1ZC

+1ZR

=11

sC1

+1R1

(3)

2Fig. 1RESPUESTA AL ESCALON DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN.

Fig. 2RESPUESTA AL IMPULSO DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN.

YT =R1sC1 + 1

R1

(4)

ZT =1YT

= R1R1sC1 + 1

(5)

Para montar sistemas de primer orden analogo no basta confiltrar sino que es necesario imprimir ganancia por esta razonel circuito activo de primer orden se implementa con AMOPS,como es el caso del circuito de primer orden tpico mostradoen la Fig. 6 con entrada inversora.Donde la funcion de transferencia del sistema esta definida

por (6) y (7).

Gs =Vo

Vi

=ZFZI

(6)

Fig. 3RESPUESTA A LA RAMPA DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN.

Fig. 4RED CIRCUITAL RC EN PARALELO.

Fig. 5SISTEMA DE PRIMER ORDEN ACTIVO CON ENTRADA INVERSORA.

Gs =R

sCR

R1

=RR1

1sCR+ 1

(7)

Que si se iguala con la Ec. (1) se tiene la ec (8) y (9):

K =RR1

(8)

= RC (9)

3Para excluir el signo negativo de la ganancia del sistema sepuede acoplar en cascada una etapa amplificadora inversoracon ganancia unitaria.1. Ejemplo: Como ejemplo se disenara la planta analoga

para un sistema de primer orden con las siguientes caractersti-cas: K = 3 y = 0,01seg. Lo esencial es primero seleccionarun valor de capacitor C en el orden de los F (preferiblementeno electroltico) ya que sus rangos en el mercado son maslimitados, y del tiempo de respuesta despejar el valor de laresistencia R as:

0,01 = R 0,01uf (10)

R =0,01

0,01 106F = 1M (11)

Donde el valor de R es comercial, ahora se despeja el valorde R1 de la ecuacion de ganancia as:

3 =1MR1

(12)

R1 =1M

3= 333,33K (13)

Cuyo valor comercial mas cercano es una resistencia de330K o si se prefiere un potenciometro de 500K ajustable aese valor. Finalmente se acopla una red inversora de gananciaunitaria para eliminar el efecto del signo negativo. La simula-cion del sistema se relaciona en la figura 6 utilizando ORCAD.

Fig. 6SISTEMA DE PRIMER ORDEN ACTIVO CON K=3 Y=0.01S.

Los resultados de la simulacion ante la entrada de pulsos pe-riodicos concuerda con el comportamiento teorico establecido,es decir el valor final de la respuesta es de amplitud 3 y en el63% del valor final es decir en una amplitud de 30,63 = 1,89, se alcanza el tiempo de respuesta de 0.01seg:como se observaen la figura 7La funcion de transferencia del sistema definitivo esta

definida en la ecuacion (14)y (15)

G(s) =K

s+ 1=

30,01 s+ 1 (14)

G(s) =K

s+ 1=

300s+ 100

(15)

Y simulado en MATLAB se observa la grafica 8

Fig. 7SIMULACION DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE LA FIG. 6

Fig. 8SIMULACION DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE LA FIG. 6 USANDO LA

FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LA EC. (15) EN MATLAB.

E. Analisis Frecuencial de Sistemas de Primer Orden Analo-gos.Utilizando la librera de Modelos de Bloques Analogos de

ORCAD ABM, se puede analizar la respuesta en frecuenciadel sistema dinamico de primer orden realizando un barridoAC, realizando el montaje del circuito de la figura 9 para elmodelo de la Ec. (15).Como el sistema tiene un tiempo de respuesta de 0.01seg,

la frecuencia del sistema es 1002pi = 15,92Hz que correspondea la frecuencia de corte,como se observa en la figura 10.De la figura 10 se observa que en la frecuencia de corte se

alcanza el 70,7% del valor final de la respuesta en -3DB ytiene una fase de -45 , ademas por ser un sistema de primerorden la pendiente de ganancia decae a -20DB/Dec y su fasetiene una asntota que termina en -90 . Utilizando MATLABse opera el comando bode del sistema de primer orden y setiene la respuesta frecuencial que se observa en la figura 11.En la figura 11 se muestra ademas que el MF = 1090 y

su MG = Inf , asegurando ser un sistema estable.

4Fig. 9ANALISIS FRECUENCIAL DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE LA EC. 15

USANDO ORCAD

Fig. 10RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE

LA EC. 15 USANDO ORCAD

III-B. II. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Los sistemas dinamicos analogos de Segundo Orden tienenla forma (16):

G(s) =Kn

2

s2 + 2ns+ n2(16)

Donde K es la ganancia del sistema y el coeficienteo factor de amortiguamiento y n la frecuencia natural noamortiguada del sistema en rad/seg, equivalente al inverso desu tiempo de respuesta. Las races o polos de un sistema desegundo orden se pueden establecer de la siguiente manera(19):

s1,2 =2n

42n2 4n22

(17)

Fig. 11RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE PRIMER ORDEN DE

LA EC. 15 USANDO MATLAB

s1,2 =2n 2n

2 1

2(18)

s1,2 = n n2 1 (19)

Pudiendo distinguirse los siguientes casos de acuerdo a lavariacion de :

caso 1 Si > 1 2 races reales distintas en el SPI (sobre-amortiguado).

caso 2 Si = 1 2 races reales iguales en el SPI (limitesobre-sub), sistema crticamente amortiguado.

caso 3 Si 0 < < 1 races complejas conjugadas en el SPI(subamortiguado).

caso 4 Si = 0 Respuesta oscilatoria. Sistema crticamenteestable. Con races en eje imaginario.

caso 5 Si < 0 Sistema inestable, races en el SPD.Para el caso de sistemas de segundo orden subamortiguados,

en donde el factor de amortiguamiento 0 < < 1 ; se tieneque las races tiene una parte real y una imaginaria, y estosdos elementos se definen como (20) :

s1,2 = n n2 1 (20)

s1,2 = n2 1 (21)

s1,2 = d (22)Es decir = n es el grado de estabilidad relativa que

corresponde a la parte real de los polos del sistema y lafrecuencia natural amortiguada d = n

2 1 es la parte

imaginaria de los polos del sistema. La salida del sistema vienedada por la ecuacion (23):

5y(t) = K[1 nt1 2 sin(dt+ )] (23)

con (24):

= arctan

1 2

(24)

Los envolventes de la respuesta del sistema de segundoorden estan dados por (25) y (26):

K[1 +nt1 2 ] (25)

K[1 nt1 2 ] (26)

Dados estos parametros es posible obtener una equivalenciaentre los parametros frecuenciales y temporales de la respuestatransitoria del sistema tales como el Tiempo de Retardo td(Delay Time) que es el tiempo requerido por la respuestaalcance la mitad del valor final por primera vez y permitesaber que tan lento es el sistema. El Tiempo de Subida o deCrecimiento tr (Rise Time), que es el tiempo requerido por elsistema para subir del 10 al 90, del 5 al95 y del 0al 100 segun el valor de .El Tiempo Pico tp (Peak Time) es el tiempo en el que

se alcanza el primer pico de la respuesta. El Porcentaje deSobrepaso o Sobrepico Maximo del sistema medido a partirdel valor final. El Tiempo de Establecimiento ts (Setting Time)es el tiempo requerido por la respuesta del sistema paraestablecerse cerca de un rango porcentual absoluto del valorfinal (Error en Estado Estacionario). Las ecuaciones dinamicasmas comunes se relacionan en (27):

tr =1d

arctand

(27)

tp =pi

d(28)

%Mp = 100 pid % (29)

ts(1%) =4,6

(30)

ts(2%) =4

(31)

ts(5%) =3

(32)

A. Respuesta al Escalon Unitario de un Sistema de SegundoOrden con MATLAB.Un sistema con funcion de transferencia (33):

G(s) =200

s2 + 14s+ 100(33)

De la Ec. (6) y (7) se puede derivar que su ganancia es deK = 2 y su = 0,7 siendo este un sistema subamortiguadoy frecuencia natural del sistema de n = 10rad/seg , paraverificar esto mediante MATLAB se tiene:

t = 0 : 0,01 : 1,5; Wn = 10;K = 2; e = 0,7; num = [K (Wn2)]; den = [12 e WnWn2]; sys = tf(num, den) y = step(num, den, t); %Envolvente ev1 = K (1 + ((exp(e Wn t)/(sqrt(1 e2))))); ev2 = K 1(((exp(e Wn t)/(sqrt(1 e2))))); holdon; plot(t, y, t, ev1, t, ev2);se obtiene la figura 12.

Fig. 12RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

B. Respuesta al Impulso Unitario de un Sistema de SegundoOrden con MATLAB.

impulse(sys)se obtiene la figura 13.

Fig. 13RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN.

6C. Respuesta a la Rampa Unitaria de un Sistema de SegundoOrden con MATLAB.

>> t = 0 : 0,1 : 4; >> u = t; >> lsim(sys, u, t)

se obtiene la figura 14.

Fig. 14RESPUESTA A LA RAMPA UNITARIA DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN.

D. Sntesis de Circuitos Sistemas de Segundo Orden Analo-gos.Las figuras 15 y 16 muestran el arreglo corresponde a

celulas de filtrado analogico de segundo orden estandar, quepermiten disenar los filtros de forma rapida y mecanica. Lasmas usadas son las Celulas de Sallen-Key y las Celulas deRauch. Disenando de forma adecuada las impedancias de estascelulas se obtienen LPF, HPF y BPF:

Fig. 15CELULA DE SALLEN-KEY DE SEGUNDO ORDEN.

En el sistema de la Fig. 15 correspondiente a la celulade Sallen Key, el bloque de ganancia K esta definida por laconfiguracion no inversora de las resistencias RA y RB de lasiguiente manera ecuacion (34):

Fig. 16CELULA DE RAUCH DE SEGUNDO ORDEN.

K =VoV+

= 1 +RARB

(34)

Y la funcion de transferencia del sistema se deriva en fun-cion de las admitancias (impedancias) haciendo inicialmenteun balance de corrientes en el nodo VA ecuacion (35):

(Vi VA) 1Z1

= (VA Vo) 1Z2

+ (VA V+) 1Z3

(35)

Agrupando coeficientes resulta que ecuacion(36):

Vi1Z1

= VA(1Z1

+1Z2

+1Z3

) V+ 1Z3

Vo 1Z2

(36)

Por otra parte la corriente que circula por Z3 es igual a lacorriente que circula por Z4 (impedancia de entrada infinitadel AMOP). De aqu se obtiene la relacion entre las tensionesde los dos nodos auxiliares ecuacion(37):

VA1Z3

= V+(1Z3

+1Z4

) (37)

Por ultimo, a partir de la expresion de la ganancia K, seobtiene ecuacion (38):

KV+ = Vo (38)

Y al multiplicar la Ec. (36) por K/Z3, se tiene ecuacion(39):

Vi1Z1

K1Z3

= K[1Z3

VA](1Z1

+1Z2

+1Z3

)[KV+] 1Z23K 1

Z3Vo

1Z2

(39)Los terminos en prentesis angular de la ecuacion (39 se

sustituyen por la Ec. (37) y (38) respectivamente para obtenerla relacion entrada salida del circuito, agrupando coeficientesde VO y Vi ecuacion (40):

Vi1Z1

K1Z3

= [KV+](1Z3

+1Z4

)(1Z1

+1Z2

+1Z3

)[KV+] 1Z23K 1

Z3Vo

1Z2

(40)

7ViK1

Z1Z3= Vo[(

1Z1Z3

+1

Z2Z3+

1Z23

+1

Z1Z4+

1Z2Z4

+1

Z3Z4) 1

Z23K 1

Z2Z3]

(41)

ViK1

Z1Z3= Vo[

1Z1Z3

+1

Z1Z4+

1Z2Z4

+1

Z3Z4+(1K) 1

Z2Z3]

(42)

G(s) =VoVi

=K 1Z1Z3

1Z4

( 1Z1 +1Z2

+ 1Z3 ) +1Z3

( 1Z1 + (1K) 1Z2 )(43)

Para obtener el modelo del sistema de segundo orden tpicose consideran Z1 y Z3 como resistores R y Z2 y Z4 comocapacitores C como se observa en la figura 17:

Fig. 17PLANTA ANALOGICA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN.

Y por lo tanto a funcion de transferencia de la planta esecuacion (44):

G(s) =K 1R2

11sC

( 1R +11sC

+ 1R ) +1R (

1R + (1K) 11

sC

)(44)

G(s) =K 1R2

sC(sC + 2R ) +1R (

1R + (1K)sC)

(45)

G(s) =K 1R2

sC( sRC+2R ) +1R2 +

(1K)sCR

(46)

G(s) =K

s2R2C2 + (3K)sRC + 1 (47)

G(s) =K

(RC)2

s2 + (3K)RC s+1

(RC)2

(48)

Con K=1+(RA/RB) de donde se pueden despejar losparametros caractersticos del sistema de segundo orden igua-lando la Ec. (16) con la Ec. (49) as, ecuacion (50):

K = 1 +RARB

(49)

n =1RC

=1

(50)

=3K

2(51)

2. Ejemplo: Como ejemplo se disenara la planta analogapara un sistema de segundo orden con las siguientes carac-tersticas: = 0,7 y n = 10000, es decir = 2pin = 0,0628seg.Lo esencial es primero seleccionar un valor de capacitor C enel orden de los F (preferiblemente no electroltico) ya quesus rangos en el mercado son mas limitados, y de la frecuencianatural del sistema despejar el valor de la resistencia Ras ecuacion (53) :

10000 =1

R0,01F(52)

R =1

10000 0,01 106F = 10K (53)

Donde el valor de R es comercial, ahora se despeja el valorde K a partir del factor de amortiguamiento y se calculan losvalores de las resistencias del bloque de ganancia ecuacion(54):

K = 3 1,4 = 1,6 (54)Haciendo RB = 10K y despejando RA se tiene ecuacion

(55):

1,6 1 = RA10K

(55)

El valor de RA no es comercial pero se puede ajustar unpotenciometro de 10K para su implementacion. La simulaciondel sistema se relaciona en la figura 18 utilizando ORCAD.

Fig. 18SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN ACTIVO CON = 0,7 Y n = 100

Los resultados de la simulacion ante la entrada de pulsosperiodicos concuerda con el comportamiento teorico estable-cido, es decir el valor final de la respuesta es de amplitud 1.6y segun las ecuaciones (27) son ecuacion (56):

8tr =1

10000

1 0,72 arctan10000

1 0,72

10000 0,7 = 0,111ms(56)

tp =pi

10000

1 0,72 = 0,493ms (57)

%Mp = 100 0,710000pi10000

10,72 % = 4,59% (58)

ts(1%) =4,6

0,7 10000 = 0,657ms (59)

Donde el valor de sobrepaso es de 1,6 0,046 = 0,0736 esdecir el valor del pico mas alto es de 1.6736 en un tiempode 0.439 milisegundos despues de la aplicacion del escalonde entrada. El tiempo de subida es de 0.111 milisegundosdespues de la aplicacion del escalon de entrada y el tiempode establecimiento es de 0.657 milisegundos despues de laaplicacion del escalon de entrada figura 19:

Fig. 19SIMULACION DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE LA FIG. 18

La funcion de transferencia del sistema definitivo es ecua-cion (60):

G(s) =K2n

s2 + 2ns+ 2n(60)

G(s) =1,6 100002

s2 + 2 0,7 10000s+ 100002 (61)

G(s) =1,6 108

s2 + 1,4 104s+ 1 108 (62)

Y simulado en MATLAB figura 20:E. Analisis Frecuencial de Sistemas de Segundo Orden

Analogos.Utilizando la librera de Modelos de Bloques Analogos de

ORCAD ABM, se puede analizar la respuesta en frecuenciadel sistema dinamico de segundo orden realizando un barridoAC, realizando el montaje del circuito de la figura 21 para elmodelo de la Ec. 62. Como el sistema tiene una frecuencia

Fig. 20SIMULACION DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE LA FIG. 18 USANDO

LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LA EC. (62) EN MATLAB.

Fig. 21ANALISIS FRECUENCIAL DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE LA EC.

62 USANDO ORCAD) EN MATLAB.

natural no amortiguada de 10000/2pi = 1,592 KHz quecorresponde a la frecuencia de corte.En la figura 22 se observa que en la frecuencia de corte se

alcanza el 70,7% del valor final de la respuesta en -3DB ytiene una fase de -90, ademas por ser un sistema de segundoorden la pendiente de ganancia decae a 40DB/Dec y su fasetiene una asntota que termina en -180 .Utilizando MATLAB se opera el comando bode del sistema

de segundo orden y se tiene la respuesta frecuencial de lafigura 23:En la figura 23 se muestra ademas que el MF=80 y su

MG=Inf, asegurando ser un sistema estable.

III-C. ACCION DE CONTROL PROPORCIONAL, INTE-GRAL y DIFERENCIAL

Analizando un sistema de control, a la relacion entre la senalde salida del controlador u(t) (Senal de Control) y la senal deentrada al controlador e(t) (Senal de error) se le conoce comola accion de control como se observa en la figura 24:A. Accion Proporcional

9Fig. 22RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE

LA EC. 62 USANDO ORCAD

Fig. 23RESPUESTA EN AMPLITUD Y FASE DEL SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN DE

LA EC. 62 USANDO MATLAB

Fig. 24ACCION DE CONTROL

Cuando la relacion entre la salida del controlador u(t) y lasenal de error e(t) es un factor de escala ecuacion (63):

U(t) = Kpe(t) (63)

Cuya transformada de Laplace y funcion de transferenciaes ecuacion(64) y (65):

U(s) = KpE(s) (64)

Gc(s) =U(s)E(s)

= Kp (65)

Al termino Kp se le denomina Constante de GananciaProporcional. Los controladores proporcionales ofrecen laventaja de tener un solo parametro ajustable. Sin embargo,sufren una desventaja: la variable controlada opera con undesplazamiento. El desplazamiento puede ser descrito comouna desviacion en estado estacionario de la variable controladacon respecto a su valor de referencia deseado (error enestado estacionario). La accion de control proporcional puedeser implementada analogicamente utilizando un AMOP enconfiguracion inversora como se muestra a en la figura 25:

Fig. 25IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL PROPORCIONAL.

Donde la relacion entrada salida es ecuacion (66):

VoVi

= ZfZ

= RfR

= Kp (66)

Se puede apreciar que la relacion entrada salida tienepolaridad inversa. Para corregir la polaridad se debe emplearotro amplificador inversor con ganancia unitaria, en cascada.Lo mas conveniente es asumir a R en e l orden de los Kporejemplo 1K de tal manera que con un potenciometro ubicadoen RF = 100K es posible obtener ganancias en un rango de0 < Kp < 100.B. Accion IntegralCuando la salida del controlador u(t) es la integral del error

e(t) ecuacion (67):

10

U(t) = Ki

e(t)dt (67)

Donde Ki es la Constante de Ganancia Integral que esajustable. La funcion de transferencia del controlador integrales (68),(69):

U(s) =KisE(s) (68)

G(s) =UsE(s)

=Kis

(69)

En ocasiones la accion de control integral recibe el nombrede control de reposicion, restablecimiento o de acumulacion.La accion de control integral puede ser implementada analogi-camente utilizando un AMOP en configuracion integradorinversor como se muestra en la figura 26:

Fig. 26IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL INTEGRAL.

Donde la relacion entrada salida es ecuacion (70):

VoVi

= ZfZ

= Rf

sRfCf+1

R= Rf

R

1sRfCf + 1

(70)

VoVi

= RfR

1RfCf

s+ 1RfCf= 1

RCf

1s+ 1RfCf

(71)

VoVi

= Ki 1s+ 1RfCf

(72)

Se puede apreciar que la relacion entrada salida tienepolaridad inversa. Para corregir la polaridad se debe emplearotro amplificador inversor con ganancia unitaria, en cascada.Lo mas conveniente es asumir a RF > 10R en el orden delos M por ejemplo RF = 10M , asegurando que el polosea muy pequeno y que con un potenciometro ubicado enR = 1M se ajuste la ganancia Ki.C. Accion Diferencial

Cuando la salida del controlador u(t) es la derivada del errore(t)ecuacion (73):

U(t) = Kdde(t)dt

(73)

Donde Kd es la Constante de Ganancia Diferencial que esajustable. La funcion de transferencia del controlador diferen-cial es ecuacion (74):

U(s) = KdsE(s) (74)

Gc(s) =U(s)E(s)

= Kds (75)

La accion de control diferencial tiene la ventaja de antici-parse al error, sus desventajas son que amplifica las senalesde ruido y produce un efecto de saturacion en el actuador.Debido a que el control derivativo actua sobre el ritmo devariacion del error y no sobre el error en s, este modo nunca seutiliza solo, siempre en combinacion con la accion de controlproporcional o proporcional - integral. La accion de controldiferencial puede ser implementada analogicamente utilizandoun AMOP en configuracion diferenciador inversor como semuestra en la figura 27:

Fig. 27IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL DIFERENCIAL

Donde la relacion entrada salida es acuacion (76) :

VoVi

= ZfZ

= RfRCs+1Cs

= RfCsRCs+ 1

(76)

VoVi

= RfR

s

s+ 1RC= Kd s

s+ 1RC(77)

Se puede apreciar que la relacion entrada salida tienepolaridad inversa. Para corregir la polaridad se debe emplearotro amplificador inversor con ganancia unitaria, en cascada.Lo mas conveniente es asumir a RfyR con valores pequenosasegurando que el polo sea muy grande y que con un poten-ciometro ubicado en R = 1M se ajuste la ganancia Ki.D. Accion de control PID

11

Esta accion de control tiene las ventajas de cada una delas tres acciones de control individuales. La ecuacion de estaaccion de control es ecuacion (78):

U(t) = Kpe(t) +Ki

e(t)dt+Kdde(t)dt

(78)

U(t) = Kpe(t) +KpTi

e(t)dt+KpTd

de(t)dt

(79)

Y su funcion de transferencia es ecuacion (80):

U(s) = KpE(s) +KisE(s) +KdsE(s) (80)

Gc(s) =UsEs

=Kds

2 +Kps+Kis

(81)

La accion de control PID puede ser implementada analogi-camente como la suma de las tres acciones de control pre-viamente explicadas, utilizando un arreglo de 4 AMOPs, tresde los cuales corresponden a los tres montajes obtenidos enlas Figs. 25, 26 y 27 y haciendolos pasar por un sumadorinversor que corrige la polaridad negativa de las etapas previas.Adicionalmente en la figura 28. Implemente el circuito delcontrolador PID incluyendo el bloque comparador y sumadorde la Fig. 28 y realice el sistema de lazo cerrado como lomuestra el diagrama siguiente para la planta de primer ordendel numeral del procedimiento 1: se muestra la configuracionde un amplificador comparador en configuracion restador queproporciona la senal del error hacia el controlador:

Fig. 28IIMPLEMENTACION ANALOGICA DE UN CONTROL PID

El bloque comparador en configuracion restador, resta dela senal de referencia, consigna o deseada r(t), la senal

proveniente de la medicion de la variable de salida que entregael sensor b(t) para entregar la senal de error e(t) que ingresaal controlador. La funcion de transferencia del comparador esecuacion (83):

e(t) = (r(t) b(t))R2R1

(82)

El bloque sumador en configuracion sumador inversor, tienela tarea de sumar las senales provenientes de las acciones decontrol proporcional vop(t), integral voi(t) y diferencial vod,imprimiendoles polaridad negativa para corregir el signo delas ganancias negativas previas y as proporcionar la senal decontrol u(t) al proceso o planta a controlar, para acondicionaren forma apropiada las senales los resistores Rs(t) se asumende igual valor. La funcion de transferencia del sumador esecuacion (??):

u(t) = (vop(t) + voi(t) + vod)RuRs

(83)

IV. MATERIALES Y EQUIPO UTILIZADO

Computador. Software de Simulacion MATLAB, ORCAD. Fuentes de alimentacion (Dual +/- 15 voltios). Multmetro. Condensadores y Resistores. Potenciometros: 10K, 100K, 1M, 10M, 100M. Amplificadores Operacionales preferiblemente LF353. Osciloscopio. Generador de Senales.

V. PROCEDIMIENTO

V-A. PLANTA DE PRIMER ORDEN

- Disene un sistema analogo a un proceso que presente unacurva de reaccion similar a un sistema de primer orden, conun tiempo caracterstico de 0.00XX segundos como la figura29.

XX es los dos numeros finales del codigo del primeroen la lista.

- Realizar la toma de datos para el sistema y obtener lafuncion de transferencia para el modelo a trabajar.- Comparar los resultados teoricos y los obtenidos segun

la curva de reaccion. - realice una variacion del tiempocaracterstico del 10% verifique el funcionamiento. Concluya.INPLEMENTACION DEL CONTROLADOR PID

ANALOGICOEl diagrama de bloques para el sistema de control de un

proceso de primer orden se observa en la figura 30. Dondecada uno de los componentes del diagrama de bloques para unsistema de primer orden esta conformado por amplificadoresoperacionales.- P: Primero realizar pruebas con el control proporcional

unicamente generando ganancias desde 1,2,5 y 10. Concluya.

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Fig. 29IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UNA PLANTA DE PRIMER ORDEN

Fig. 30EL DIAGRAMA DE BLOQUES PARA EL SISTEMA DE CONTROL DE UN

PROCESO DE PRIMER ORDEN

- P-I :con el control P en 1 y variaciones en el controlintegral hasta donde crea necesario. Concluya.

- P-I-D :Con el control proporcional e integral en 1 realicevariaciones s en el control derivativo, concluya.

- Verificar el funcionamiento en el osciloscopio.

- Comparar el funcionamiento real con simulaciones enORCAD y MATLAB.

PLANTA DE SEGUNDO ORDEN- Disene un sistema analogo a un proceso que presente

una curva de reaccion similar a un sistema de segundo ordensubamortiguado (0 < < 0,2), como el de la figura 31 contiempo pico Tp = 0,0XX .- Verificar la respuesta del sistema en simulacion.

- Realizar el montaje en protoboard, visualizar la respuestadel sistema en el osciloscopio, teniendo en cuenta que tipo deosciloscopio esta trabajando, digital o analogico.- Realizar la toma de datos para el sistema y obtener la funcionde transferencia para el modelo a trabajar.- Comparar los resultados teoricos y los obtenidos segun lacurva de reaccion.2.1 Simule en MATLAB la respuesta al escalon, impulso

y rampa unitaria. Concluya.2.2 Obtenga la planta analoga equivalente como la mostrada

Fig. 31IMPLEMENTACION ANALOGICA DE UNA PLANTA DE SEGUNDO ORDEN

en la Fig. 18. Simule su comportamiento temporal yfrecuencial identificando los parametros que lo caracterizany comparelos con los valores teoricos obtenidos utilizandoORCAD y MATLAB.2.3 Implemente el sistema electronico disenado y aplique a laentrada del sistema un tren de pulsos a frecuencia apropiaday amplitud unitaria. Visualizar la respuesta del sistema en elosciloscopio.2.4 Realizar la toma de datos para el sistema, obtener lafuncion de transferencia del sistema real y comparela con ladisenada y simulada previamente, concluya.

VI. PREGUNTAS

4.1 Que tipo de dificultades se presentaron en la obtencionde la funcion de transferencia.4.2 Cree que las senales de control segun su sintonizacion sonmuy exigentes, explique.4.3 Si el controlador para el sistema de primer orden fuerasolo proporcional mejorara el tiempo de respuesta?4.4 Si cambia de amplificadores operacionales Que cree quesucedera? 4.5 Como garantizara que el controlador no afecteel funcionamiento de la planta prototipo.4.6 Que diferencias presento el montaje real, con respecto aldisenado y simulado?

VII. PARA INVESTIGAR

5.1 Modelo de la funcion de transferencia de la Celula deRauch.5.2 Disposicion de Impedancias en la celula de Sallen-Key yRauch para Filtros LPF, HPF y BPF2.5.3 Topologas circuitales con AMOPs de PIDs industriales.

REFERENCIAS[1] S. Haykin, Senales y Sistemas. Mexico: Limusa Wiley, 2003.

OBJETIVO GENERALOBJETIVOS ESPECIFICOS FUNDAMENTACIN TEORICA SISTEMAS DE PRIMER ORDENII. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDENACCION DE CONTROL PROPORCIONAL, INTEGRAL y DIFERENCIAL

MATERIALES Y EQUIPO UTILIZADOPROCEDIMIENTOPLANTA DE PRIMER ORDEN

PREGUNTASPARA INVESTIGARReferencias