bab 1. pendahuluan kalkulus · bab 1. pendahuluan kalkulus (himpunan,selang, pertaksamaan , dan...
Post on 18-Apr-2018
226 Views
Preview:
TRANSCRIPT
BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
(Himpunan,selang, pertaksamaan , dan nilai mutlak)
Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita
ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan seperti dalam bagan berikut:
Dari bagan di atas dapat dijelaskan dalam bagian di berikut dibawah ini.
A. Himpunan
Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Dalam sistem bilangan nyata,
pertama kita mengenal bilangan bulat:
..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...
Kemudian kita kenal bilangan rasional, yang merupakan hasil bagi dua bilangan
bulat. Jadi bilangan rasional r dapat dinyatakan sebagai
qpr = dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0.
Contoh 1.
21 ,
73 ,
12323 = ,
20941
− , 1003737,0 =
Rasional (Q) Irrasional (I)
Bulat (J) Pecahan Desimal berulang Desimal terbatas
Negatif Cacah (W)
Nol Asli (N)
Bilangan Real (W)
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 2
Sejumlah bilangan nyata, seperti 2 , tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua
bilangan bulat dan dinyatakan sebagai bilangan irrasional. Contoh bilangan
irrasional lain adalah
3 , 5 , π , sin 1, 3 2 .
Himpunan semua bilangan nyata biasanya dinyatakan dengan lambang R.
Pengucapan kata ‘bilangan’ , yang dimaksud adalah bilangan nyata.
Setiap bilangan mempunyai bentuk desimal. Bilangan rasional memiliki bentuk
desimal yang berulang, sedangkan bilangan irrasional bentuk desimalnya tidak
berulang.
Contoh 2.
3,0...33333,031
== 09,1...090909,11112
==
(tanda bar menunjukkan bahwa angka tersebut berulang terusm menerus).
...6887727320508075,13 = π = 3,141592653589...
Untuk bilangan rasional ini kita dapat memperoleh hampiran bilangan tersebut
dengan menghentikan uraian desimal pada tempat tertentu, misal π ≈3,14159265.
Bilangan nyata dapat dinyatakan dengan titik pada sebuah garis bilangan.
Arah positif ke kanan ditandai dengan panah. Titik acuan O, yang disebut titik asal
berkaitan dengan bilangan nyata 0. Setiap bilangan positif x dinyatakan dengan titik
pada garis yang jaraknya x unit ke kanan dari titik asal, sedangkan setiap bilangan
negatif – x dinyatakan dengan titik x unit ke kiri dari titik asal.
- 3 - 2 0 1.5 6
Gambar 1. garis bilangan nyata
Selanjutnya kita akan menggunakan notasi himpunan. Sebuah himpunan
adalah suatu kumpulan objek dengan sifat tertentu, dan objek ini dinamakan anggota
himpunan tersebut. Jika S adalah suatu himpunan, notasi Sa∈ berarti bahwa a
anggota S, dan Sa∉ berarti a bukan anggota S.
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 3
Sejumlah himpunan dapat dijelaskan dengan mendaftarkan anggotanya dalam
tanda kurung.
Contoh 3. Himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari pada 5,
dapat ditulis sebagai
A = {1,2,3,4}.
Himpunan di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk
A = { xx adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5}
yang dibaca “ A adalah himpunan x sedemikian sehingga x adalah bilangan bulat dan
0 < x < 5”.
B. Selang
Dalam kalkulus seringmuncul himpunan bilangan nyata tertentu, yang disebut
selang, yang secara geometris berkaitan dengan ruas garis. Misalnya, selang terbuka
dari a ke b berisi semua bilangan dantara a dan b dinyatakan dengan lambang (a,b).
Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan
}{),( bxaxba <<= .
Perhatikan bahwa kedua titik ujung selang, yaitu a dan b tidak termasuk anggota
himpunan tersebut. Ini ditandai dengan tanda kurung biasa ( ) dan dengan bulatan
kosong pada gambar 2.
a b
Gambar 2. Selang terbuka (a,b).
Sedangkan selang tertutup dari a ke b adalah himpunan
}{],[ bxaxba ≤≤= .
Di sini kedua titik ujung selang termasuk anggota himpunan dan ditandai dengan
kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh pada gambar 3.
a b
Gambar 3. Selang tertutup [a,b].
Tabel 1 berikut ini memuat sembilang selang yang mungkin. Perlu diperhatikan
bahwa pada pembahasan selang ini selalu diasumsikan a < b.
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 4
Notasi Deskripsi
(a,b) }{ bxax <<
[a,b] }{ bxax ≤≤
(a,b] }{ bxax ≤<
[a,b) }{ bxax <≤
(a,∞ ) }{ axx >
[a,∞ ) }{ axx ≥
(-∞ ,b) }{ bxx <
(-∞ ,b] }{ bxx ≤
(-∞ ,∞ ) Himpunan semua
bilangan nyata, R
Tabel 1. Selang yang mungkin
C. Pertaksamaan
Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang
mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > ,
. atau ≥≤ Ditinjau dari jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi
menjadi pertaksamaan linier dengan satu peubah, pertaksamaan linier dengan peubah
banyak dan pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan nyata yang
unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari pertaksamaan maka himpunan
bilangan tersebut disebut hinpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan
pengganti menyebabkan pertaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka
himpunan tersebut disebut himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan
himpunan pengganti dimisalkan B maka A ⊂ B. Jika A = B maka pertaksamaan
dinamakan ketaksamaan.
Contoh 4 :
Dari pertaksamaan 1/x2 >1
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 5
Himpunan pengganti atau B adalah { }0≠∈ xRx
Himpunan jawab atau A adalah { }0,11 ≠<<−∈ xxRx . Jadi A ⊂ B
Contoh 5 :
Dari pertaksamaan 1/x2 >0
Himpunan pengganti atau B adalah {x ⎜x ∈ R, x ≠ 0 }
Himpunan jawab atau A adalah {x ⎜x ∈ R, x ≠ 0 }. Karena A = B, maka 1/x2
>0 disebut ketaksamaan.
Sifat-sifat pertaksamaan
( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c
( ii ) Jika a > b, maka a + c > b + c
( iii ) Jika a > b, maka a - c > b – c
( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka
akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :
( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c
( vii ) Jika a < b, maka a + c < b + c
( viii ) Jika a < b, maka a - c < b – c
( ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc
( x ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc
Sifat-sifat pertaksamaan lainnya :
( xi ) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
( xii ) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
( xiii ) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0
( xiv ) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0
( xv ) Jika a > b, maka –a < -b
( xvi ) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 6
( xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
Pertaksamaan linier satu peubah
Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat
satu peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <,
>, ≤ atau ≥ . Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah adalah :ax + b (?) 0,
dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <,
>, ≤ atau ≥ .
Contoh 6
Selesaikan pertaksamaan 7x + 9 < -5
Penyelesaian :
7x + 9 < -5 → semua ruas dikurang 9 →7x + 9 – 9 < -5 – 9
7x < -14
1/7 ( 7x ) < 1/7 ( -14 ) → semua ruas dikalikan 1/7 → x < -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { } - x x 2<
Contoh 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 1 + 4x < 2x + 9
Penyelesaian :
1 + 4x < 2x + 9
1 + 4x – (1 + 2x)< 2x + 9 – (1 + 2x) → semua ruas dikurang (1+2x)
2x < 8
1/2 (2x) < 1/2 ( 8 ) → semua ruas dikalikan 1/2
x < 8
Himpunan penyelesaiannya adalah : { } x x 8<
Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertaksamaan linier satu peubah dapat
diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 7
mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada
ruas yang berbeda tandanya akan berubah !
Contoh 8
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 3x -2 ≥ 8 + 5x
Penyelesaian :
3x -2 ≥ 8 + 5x → Pidahkan 5x keruas kiri dan -2 keruas kanan
3x – 5x ≥ 8 + 2 → Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan
kelompokkan konstan pada ruas kanan.
-2x ≥ 6
(-1/2)(-2x)≤ (10)(-1/2) → Jika mengalikan setiap ruas dengan
bilangan negatif maka tanda
pertaksamaan harus dibalik. Lihat sifat
pertaksamaan (xv).
x ≤ -5
Himpunan penyelesaiannya adalah : { } x x 5−≤
Contoh 9
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 4 < 524 x− < 2x – 1
Penyelesaian :
4 < 524 x− < 2x – 1
4 < 524 x− < 2x – 1 → Kalikan semua ruas dengan 5
(4)(5)< (5)524 x− < (5)(2x – 1)
20 < 4 – 2x <10x – 5 → Dapat dipecah menjadi dua bagian,
yaitu
4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x -5.
(perhatikan sifat pertaksamaan xvii).
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 8
Setelah dipecah menjadi dua pertaksamaan, selesaikan satu persatu.
4 – 2x > 20 4 – 2x < 10x -5
2x < 4 – 20 12x >9
x < -8 x > 3/4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ }48 >< x - xx atau
Soal-soal
Selesaikan pertaksamaan :
1. 2x + 6 ≤ 5x -9 3. 51 (8x – 3) > x + 1 5. 5
9x2
6 ≥−
≥
2. 21 + 5x <
53 - 6x 4.
5x2
3x25 +
>− 6.
61
7x23
51
>−
>
D. Nilai Mutlak
Nilai mutlak sebuah bilangan a adalah jarak dari a ke O pada garis bilangan,
dinyatakan dengan a dan bernilai positif atau nol. Jadi
0≥a untuk setiap bilangan a.
Secara umum kita punyai
aa = jika 0≥a
aa −= jika a < 0.
Contoh 9. 55,55 =−= , 1313 −=− , 22 −=− ππ .
Perlu diingat bahwa lambang berarti “akar kuadrat positif dari”. Jadi s
= r berarti sr =2 dan 0≥r . Dengan demikian persamaan aa =2 bernilai benar
hanya jika 0≥a . Jika a < 0, maka – a > 0, sehingga kita peroleh aa −=2 . Jadi
kita punyai kesamaan
aa =2
yang benar untuk semua nilai a.
Sifat- sifat nilai mutlak
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 9
Misalkan a dan b bilangan nyata sebarang dan n bilangan bulat, maka berlaku :
i. baab =
ii. ba
ba= asalkan 0≠b
iii. nn aa = .
Jika a > 0, maka
iv. ax = jika dan hanya jika ax ±=
v. ax < jika dan hanya jika axa <<−
vi. ax > jika dan hanya jika ax > atau ax −< .
Contoh 10. Selesaikan 573 =−x
Penyelesaian. Menurut sifat (iv), 573 =−x setara dengan
573 =−x atau 573 −=−x .
Jadi 3x = 12 atau 3x = 2. Dengan demikian x = 4 atau x = 32 .
Contoh 11. Selesaikan 32 <−x .
Penyelesaian. Menurut (v) 32 <−x setara dengan 323 <−<− x . Jadi kita
peroleh 51 <<− x .
Dengan demikian himpunan penyelesaiaannya berupa
selang terbuka (-1,5).
Contoh 12. Selesaikan 532 ≥+x .
Penyelesaian. Menurut (iv) dan (vi),
532 ≥+x ⇔ 532 ≥+x atau 532 −≤+x
⇔ 2x 2≥ atau 82 −≤x
⇔ 1≥x atau 4−≤x .
Jadi himpunana penyelesaiannya adalah
4{ −≤xx atau }1≥x = ),1[]4,( ∞∪−−∞ .
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 10
Sifat penting lain dari nilai mutlak yang sering digunakan adalah pertaksamaan
segitiga, yaitu
baba +≤+ .
Contoh 13. Misalkan 3.05 <−x dan 2.02 <−y . Gunakan ketaksamaaan
segitiga untuk menunjukkan bahwa 5.07)( <−+ yx .
Penyelesaian. Misalkan 5−= xa dan 2−= yb .
Perhatikan
bahwa
Jadi 5.07)( <−+ yx .
Soal Latihan
(Soal nomor 1 – 6) Selesaikan persamaan berikut:
1. 3.05 <−x
2. 152 =+x
3. 123 +=+ xx
4. 3112=
+−
xx
5. 573 <−x
6. 73 +≤ x
7. 230 ≤−< x
8. Misalkan 03.05 <+x dan 22.02 <−y . Gunakan ketaksamaaan segitiga
untuk menunjukkan bahwa 25.03)( <++ yx .
9. Tunjukkan bahwa jika 213 <+x maka 3134 <+x .
10. Buktikan bahwa yxyx −≥−
.5.02.03.025
)2()5(7)(
=+<
−+−≤
−−−=−+
yx
yxyx
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 11
Pertidaksamaan Pecahan
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang berbentuk pecahan, dan
mengandung peubah pada penyebutnya.
Perlu diingat bahwa bentuk ba akan bernilai 0 hanya untuk a = 0. Nilai yang
menyebabkan ba sama dengan nol disebut pembuat nol dari pertidaksamaan itu, dan
untuk b = 0, yang menyebabkan pecahan bernilai tak terdefinisi, disebut pembuat
kutub. Baik pembuat nol maupun pembuat kutub akan menandai perubahan tanda
dari positif ke negatif dan sebaliknya.
Contoh 14. Tentukan penyelesaian dari 11512≤
−+
xx
Jawab:
Langkah pertama buat ruas kanan sama dengan nol,
1512
−+
xx
− 1 ≤ 0
⇔ 015
)15(12≤
−−−+
xxx
⇔ 01523≤
−+−
xx
Pembuat nol −3x + 2 = 0 ⇒x = 32
Pembuat kutub 5x − 1 = 0 51=⇒ x
Garis bilangan penyelesaiannya:
Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah
HP = { x | x < 51 atau x ≥ 3
2 }
51 3
2
−− +
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 12
Soal –soal Latihan
Tentukan batas-batas x yang memenuhi:
1. 1212≥
−+
xx
2. 25
212
++
≤−−
xx
xx
3. x
xx
x−−
≥+−
31
22
4. x
xx
x34
1213
23−−
≤+
−
5. 9)32(369−>
−−
−xx
xx
6. 412
313 ≤+
−<
xx
7. 1
11
1122 +
≤++
+<
−xxx
xx
x
8. 1
11
12 −
<++
+xxx
x
9. 2738724 2
2
<−+−+
≤−xxxx
10.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−<
−−−
≥++
−
732
7435
51
3412
2
2
xx
xxx
xxx
Pertidaksamaan Irasional
Pada pertidaksamaan irasional di samping ketentuan yang diminta, yang juga harus
diperhatikan adalah sebagai berikut.
a. Yang ada di bawah tanda akar ≥ 0
b. Hasil penarikan akar ≥ 0
Contoh 7. Tentukan batas-batas x yang memenuhi xx −<+ 24
Jawab:
xx −<+ 24 jika kedua ruas dikuadratkan.
Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 13
(x + 4) < (2 − x)
2x < − 2
x < − 1
Syarat tambahan:
(i) x + 4 ≥ 0 → x ≥ − 4
(ii) 2 − x ≥0 → x ≤ 2
Jika ketiga interval ini kita iriskan, akan ketemu penyelesaian pertidaksamaan
tersebut
Himpunan penyelesaianya, yang merupakan irisan ketiga interval itu adalah:
HP = { x | −4 ≤ x < −1 }
Latihan
Tentukan batas-batas yang memenuhi pertidaksamaan di bawah ini
1. 226 <+ x
2. 524 >− x
3. x − 3 < 12 −x
4. x − 3 < 4822 −+ xx
5. xxx <−+ 122
6. xxx 2344 2 >−−
7. 23)8( 22 ++<+− xxxx
8. 124 22 ++<− xxxx
9. 1782174 +−>+ xxx
10. xx ++<− 1262 .
○
● 2
● −4
−1
top related