bab 1. pendahuluan kalkulus · bab 1. pendahuluan kalkulus (himpunan,selang, pertaksamaan , dan...

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

(Himpunan,selang, pertaksamaan , dan nilai mutlak)

Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita

ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan seperti dalam bagan berikut:

Dari bagan di atas dapat dijelaskan dalam bagian di berikut dibawah ini.

A. Himpunan

Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Dalam sistem bilangan nyata,

pertama kita mengenal bilangan bulat:

..., – 2, – 1, 0, 1, 2, ...

Kemudian kita kenal bilangan rasional, yang merupakan hasil bagi dua bilangan

bulat. Jadi bilangan rasional r dapat dinyatakan sebagai

qpr = dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0.

Contoh 1.

21 ,

73 ,

12323 = ,

20941

− , 1003737,0 =

Rasional (Q) Irrasional (I)

Bulat (J) Pecahan Desimal berulang Desimal terbatas

Negatif Cacah (W)

Nol Asli (N)

Bilangan Real (W)

Bab 1. Himpunan, selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak 2

Sejumlah bilangan nyata, seperti 2 , tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua

bilangan bulat dan dinyatakan sebagai bilangan irrasional. Contoh bilangan

irrasional lain adalah

3 , 5 , π , sin 1, 3 2 .

Himpunan semua bilangan nyata biasanya dinyatakan dengan lambang R.

Pengucapan kata ‘bilangan’ , yang dimaksud adalah bilangan nyata.

Setiap bilangan mempunyai bentuk desimal. Bilangan rasional memiliki bentuk

desimal yang berulang, sedangkan bilangan irrasional bentuk desimalnya tidak

berulang.

Contoh 2.

3,0...33333,031

== 09,1...090909,11112

==

(tanda bar menunjukkan bahwa angka tersebut berulang terusm menerus).

...6887727320508075,13 = π = 3,141592653589...

Untuk bilangan rasional ini kita dapat memperoleh hampiran bilangan tersebut

dengan menghentikan uraian desimal pada tempat tertentu, misal π ≈3,14159265.

Bilangan nyata dapat dinyatakan dengan titik pada sebuah garis bilangan.

Arah positif ke kanan ditandai dengan panah. Titik acuan O, yang disebut titik asal

berkaitan dengan bilangan nyata 0. Setiap bilangan positif x dinyatakan dengan titik

pada garis yang jaraknya x unit ke kanan dari titik asal, sedangkan setiap bilangan

negatif – x dinyatakan dengan titik x unit ke kiri dari titik asal.

- 3 - 2 0 1.5 6

Gambar 1. garis bilangan nyata

Selanjutnya kita akan menggunakan notasi himpunan. Sebuah himpunan

adalah suatu kumpulan objek dengan sifat tertentu, dan objek ini dinamakan anggota

himpunan tersebut. Jika S adalah suatu himpunan, notasi Sa∈ berarti bahwa a

anggota S, dan Sa∉ berarti a bukan anggota S.


Sejumlah himpunan dapat dijelaskan dengan mendaftarkan anggotanya dalam

tanda kurung.

Contoh 3. Himpunan semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari pada 5,

dapat ditulis sebagai

A = {1,2,3,4}.

Himpunan di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk

A = { xx adalah bilangan bulat dan 0 < x < 5}

yang dibaca “ A adalah himpunan x sedemikian sehingga x adalah bilangan bulat dan

0 < x < 5”.

B. Selang

Dalam kalkulus seringmuncul himpunan bilangan nyata tertentu, yang disebut

selang, yang secara geometris berkaitan dengan ruas garis. Misalnya, selang terbuka

dari a ke b berisi semua bilangan dantara a dan b dinyatakan dengan lambang (a,b).

Dalam notasi pembentuk himpunan dituliskan dengan

}{),( bxaxba <<= .

Perhatikan bahwa kedua titik ujung selang, yaitu a dan b tidak termasuk anggota

himpunan tersebut. Ini ditandai dengan tanda kurung biasa ( ) dan dengan bulatan

kosong pada gambar 2.

a b

Gambar 2. Selang terbuka (a,b).

Sedangkan selang tertutup dari a ke b adalah himpunan

}{],[ bxaxba ≤≤= .

Di sini kedua titik ujung selang termasuk anggota himpunan dan ditandai dengan

kurung siku [ ] dan dengan bulatan penuh pada gambar 3.

a b

Gambar 3. Selang tertutup [a,b].

Tabel 1 berikut ini memuat sembilang selang yang mungkin. Perlu diperhatikan

bahwa pada pembahasan selang ini selalu diasumsikan a < b.


Notasi Deskripsi

(a,b) }{ bxax <<

[a,b] }{ bxax ≤≤

(a,b] }{ bxax ≤<

[a,b) }{ bxax <≤

(a,∞ ) }{ axx >

[a,∞ ) }{ axx ≥

(-∞ ,b) }{ bxx <

(-∞ ,b] }{ bxx ≤

(-∞ ,∞ ) Himpunan semua

bilangan nyata, R

Tabel 1. Selang yang mungkin

C. Pertaksamaan

Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang

mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda < , > ,

. atau ≥≤ Ditinjau dari jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi

menjadi pertaksamaan linier dengan satu peubah, pertaksamaan linier dengan peubah

banyak dan pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan nyata yang

unsur-unsurnya dapat menggantikan peubah dari pertaksamaan maka himpunan

bilangan tersebut disebut hinpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan

pengganti menyebabkan pertaksamaan menjadi suatu pernyataan yang benar maka

himpunan tersebut disebut himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan

himpunan pengganti dimisalkan B maka A ⊂ B. Jika A = B maka pertaksamaan

dinamakan ketaksamaan.

Contoh 4 :

Dari pertaksamaan 1/x2 >1


Himpunan pengganti atau B adalah { }0≠∈ xRx

Himpunan jawab atau A adalah { }0,11 ≠<<−∈ xxRx . Jadi A ⊂ B

Contoh 5 :

Dari pertaksamaan 1/x2 >0

Himpunan pengganti atau B adalah {x ⎜x ∈ R, x ≠ 0 }

Himpunan jawab atau A adalah {x ⎜x ∈ R, x ≠ 0 }. Karena A = B, maka 1/x2

>0 disebut ketaksamaan.

Sifat-sifat pertaksamaan

( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c

( ii ) Jika a > b, maka a + c > b + c

( iii ) Jika a > b, maka a - c > b – c

( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc

( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka

akan didapat sifat-sifat yang analog sebagai berikut :

( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c

( vii ) Jika a < b, maka a + c < b + c

( viii ) Jika a < b, maka a - c < b – c

( ix) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc

( x ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc

Sifat-sifat pertaksamaan lainnya :

( xi ) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0

( xii ) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0

( xiii ) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0

( xiv ) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0

( xv ) Jika a > b, maka –a < -b

( xvi ) Jika 1/a < 1/b, maka a > b


( xvii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)

Pertaksamaan linier satu peubah

Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernyataan matematika yang memuat

satu peubah yang mempunyai pangkat satu dan dihubungkan dengan tanda-tanda <,

>, ≤ atau ≥ . Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah adalah :ax + b (?) 0,

dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <,

>, ≤ atau ≥ .

Contoh 6

Selesaikan pertaksamaan 7x + 9 < -5

Penyelesaian :

7x + 9 < -5 → semua ruas dikurang 9 →7x + 9 – 9 < -5 – 9

7x < -14

1/7 ( 7x ) < 1/7 ( -14 ) → semua ruas dikalikan 1/7 → x < -2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : { } - x x 2<

Contoh 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 1 + 4x < 2x + 9

Penyelesaian :

1 + 4x < 2x + 9

1 + 4x – (1 + 2x)< 2x + 9 – (1 + 2x) → semua ruas dikurang (1+2x)

2x < 8

1/2 (2x) < 1/2 ( 8 ) → semua ruas dikalikan 1/2

x < 8

Himpunan penyelesaiannya adalah : { } x x 8<

Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertaksamaan linier satu peubah dapat

diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan


mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada

ruas yang berbeda tandanya akan berubah !

Contoh 8

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 3x -2 ≥ 8 + 5x

Penyelesaian :

3x -2 ≥ 8 + 5x → Pidahkan 5x keruas kiri dan -2 keruas kanan

3x – 5x ≥ 8 + 2 → Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan

kelompokkan konstan pada ruas kanan.

-2x ≥ 6

(-1/2)(-2x)≤ (10)(-1/2) → Jika mengalikan setiap ruas dengan

bilangan negatif maka tanda

pertaksamaan harus dibalik. Lihat sifat

pertaksamaan (xv).

x ≤ -5

Himpunan penyelesaiannya adalah : { } x x 5−≤

Contoh 9

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan 4 < 524 x− < 2x – 1

Penyelesaian :

4 < 524 x− < 2x – 1

4 < 524 x− < 2x – 1 → Kalikan semua ruas dengan 5

(4)(5)< (5)524 x− < (5)(2x – 1)

20 < 4 – 2x <10x – 5 → Dapat dipecah menjadi dua bagian,

yaitu

4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x -5.

(perhatikan sifat pertaksamaan xvii).


Setelah dipecah menjadi dua pertaksamaan, selesaikan satu persatu.

4 – 2x > 20 4 – 2x < 10x -5

2x < 4 – 20 12x >9

x < -8 x > 3/4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ }48 >< x - xx atau

Soal-soal

Selesaikan pertaksamaan :

1. 2x + 6 ≤ 5x -9 3. 51 (8x – 3) > x + 1 5. 5

9x2

6 ≥−

≥

2. 21 + 5x <

53 - 6x 4.

5x2

3x25 +

>− 6.

61

7x23

51

>−

>

D. Nilai Mutlak

Nilai mutlak sebuah bilangan a adalah jarak dari a ke O pada garis bilangan,

dinyatakan dengan a dan bernilai positif atau nol. Jadi

0≥a untuk setiap bilangan a.

Secara umum kita punyai

aa = jika 0≥a

aa −= jika a < 0.

Contoh 9. 55,55 =−= , 1313 −=− , 22 −=− ππ .

Perlu diingat bahwa lambang berarti “akar kuadrat positif dari”. Jadi s

= r berarti sr =2 dan 0≥r . Dengan demikian persamaan aa =2 bernilai benar

hanya jika 0≥a . Jika a < 0, maka – a > 0, sehingga kita peroleh aa −=2 . Jadi

kita punyai kesamaan

aa =2

yang benar untuk semua nilai a.

Sifat- sifat nilai mutlak


Misalkan a dan b bilangan nyata sebarang dan n bilangan bulat, maka berlaku :

i. baab =

ii. ba

ba= asalkan 0≠b

iii. nn aa = .

Jika a > 0, maka

iv. ax = jika dan hanya jika ax ±=

v. ax < jika dan hanya jika axa <<−

vi. ax > jika dan hanya jika ax > atau ax −< .

Contoh 10. Selesaikan 573 =−x

Penyelesaian. Menurut sifat (iv), 573 =−x setara dengan

573 =−x atau 573 −=−x .

Jadi 3x = 12 atau 3x = 2. Dengan demikian x = 4 atau x = 32 .

Contoh 11. Selesaikan 32 <−x .

Penyelesaian. Menurut (v) 32 <−x setara dengan 323 <−<− x . Jadi kita

peroleh 51 <<− x .

Dengan demikian himpunan penyelesaiaannya berupa

selang terbuka (-1,5).

Contoh 12. Selesaikan 532 ≥+x .

Penyelesaian. Menurut (iv) dan (vi),

532 ≥+x ⇔ 532 ≥+x atau 532 −≤+x

⇔ 2x 2≥ atau 82 −≤x

⇔ 1≥x atau 4−≤x .

Jadi himpunana penyelesaiannya adalah

4{ −≤xx atau }1≥x = ),1[]4,( ∞∪−−∞ .


Sifat penting lain dari nilai mutlak yang sering digunakan adalah pertaksamaan

segitiga, yaitu

baba +≤+ .

Contoh 13. Misalkan 3.05 <−x dan 2.02 <−y . Gunakan ketaksamaaan

segitiga untuk menunjukkan bahwa 5.07)( <−+ yx .

Penyelesaian. Misalkan 5−= xa dan 2−= yb .

Perhatikan

bahwa

Jadi 5.07)( <−+ yx .

Soal Latihan

(Soal nomor 1 – 6) Selesaikan persamaan berikut:

1. 3.05 <−x

2. 152 =+x

3. 123 +=+ xx

4. 3112=

+−

xx

5. 573 <−x

6. 73 +≤ x

7. 230 ≤−< x

8. Misalkan 03.05 <+x dan 22.02 <−y . Gunakan ketaksamaaan segitiga

untuk menunjukkan bahwa 25.03)( <++ yx .

9. Tunjukkan bahwa jika 213 <+x maka 3134 <+x .

10. Buktikan bahwa yxyx −≥−

.5.02.03.025

)2()5(7)(

=+<

−+−≤

−−−=−+

yx

yxyx


Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang berbentuk pecahan, dan

mengandung peubah pada penyebutnya.

Perlu diingat bahwa bentuk ba akan bernilai 0 hanya untuk a = 0. Nilai yang

menyebabkan ba sama dengan nol disebut pembuat nol dari pertidaksamaan itu, dan

untuk b = 0, yang menyebabkan pecahan bernilai tak terdefinisi, disebut pembuat

kutub. Baik pembuat nol maupun pembuat kutub akan menandai perubahan tanda

dari positif ke negatif dan sebaliknya.

Contoh 14. Tentukan penyelesaian dari 11512≤

−+

xx

Jawab:

Langkah pertama buat ruas kanan sama dengan nol,

1512

−+

xx

− 1 ≤ 0

⇔ 015

)15(12≤

−−−+

xxx

⇔ 01523≤

−+−

xx

Pembuat nol −3x + 2 = 0 ⇒x = 32

Pembuat kutub 5x − 1 = 0 51=⇒ x

Garis bilangan penyelesaiannya:

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah

HP = { x | x < 51 atau x ≥ 3

2 }

51 3

2

−− +


Soal –soal Latihan

Tentukan batas-batas x yang memenuhi:

1. 1212≥

−+

xx

2. 25

212

++

≤−−

xx

xx

3. x

xx

x−−

≥+−

31

22

4. x

xx

x34

1213

23−−

≤+

−

5. 9)32(369−>

−−

−xx

xx

6. 412

313 ≤+

−<

xx

7. 1

11

1122 +

≤++

+<

−xxx

xx

x

8. 1

11

12 −

<++

+xxx

x

9. 2738724 2

2

<−+−+

≤−xxxx

10.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−<

−−−

≥++

−

732

7435

51

3412

2

2

xx

xxx

xxx

Pertidaksamaan Irasional

Pada pertidaksamaan irasional di samping ketentuan yang diminta, yang juga harus

diperhatikan adalah sebagai berikut.

a. Yang ada di bawah tanda akar ≥ 0

b. Hasil penarikan akar ≥ 0

Contoh 7. Tentukan batas-batas x yang memenuhi xx −<+ 24

Jawab:

xx −<+ 24 jika kedua ruas dikuadratkan.


(x + 4) < (2 − x)

2x < − 2

x < − 1

Syarat tambahan:

(i) x + 4 ≥ 0 → x ≥ − 4

(ii) 2 − x ≥0 → x ≤ 2

Jika ketiga interval ini kita iriskan, akan ketemu penyelesaian pertidaksamaan

tersebut

Himpunan penyelesaianya, yang merupakan irisan ketiga interval itu adalah:

HP = { x | −4 ≤ x < −1 }

Latihan

Tentukan batas-batas yang memenuhi pertidaksamaan di bawah ini

1. 226 <+ x

2. 524 >− x

3. x − 3 < 12 −x

4. x − 3 < 4822 −+ xx

5. xxx <−+ 122

6. xxx 2344 2 >−−

7. 23)8( 22 ++<+− xxxx

8. 124 22 ++<− xxxx

9. 1782174 +−>+ xxx

10. xx ++<− 1262 .

○

● 2

● −4

−1

bab 1. pendahuluan kalkulus · bab 1. pendahuluan kalkulus (himpunan,selang, pertaksamaan , dan...

Documents