anreg kubik
Post on 26-Jul-2015
714 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
REGRESI POLINOMIAL KUBIK
Untuk memenuhi tugas matakuliah Analisis regresi
Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi
Oleh:
Kelompok 2
1. Rizky Dinar Palupi (408312408016)
2. Dewi Ratna Ayu W (408312409132)
3. Baharudin Kristian P (408312413111)
4. Furintasari Setya A (408312413113)
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
OKTOBER 2010
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan
hubungan suatu variabel terhadap variabel yang lain. Variabel yang pertama
disebut dengan variabel bebas atau variabel X karena seringkali digambarkan
dalam grafik sebagai absis. Variabel yang kedua adalah variabel terikat atau
variabel Y, dalam grafik digambarkan sebagai ordinat. Kedua variabel ini
biasanya merupakan variabel acak (random).
Analisa regresi merupakan salah satu uji statistika yang memiliki dua jenis
pilihan model yaitu linear dan non linear dalam parameternya. Model linear
memiliki dua sifat yaitu regresi sederhana dan regresi berganda dengan kurva
yang dihasilkan membentuk garis lurus. Untuk model non linear polynomial
berderajat dua yang disebut kuadratik, berderajat tiga yang disebut kubik,
berderajat empat disebul kuartil, dan seterusnya. Kurva yang dihasilkan
polynomial tersebut membentuk garis lengkung. Disini kami akan menganalisis
tentang model regresi non linear dalam parameternya bersifat kubik. Regresi non
linier yang bersifat kubik biasa dinyatakan dalam bentuuk Yi = β0X0i + β1Xi +
β2Xi2 + β3Xi
3 + ε. Dalam makalah ini kami mengambil contoh tentang banyaknya
cucian yang masuk ke |” BUSA” laundry selama bulan Juni - September 2010.
1.2. Rumusan Masalah
1. Bagaimana bentuk umum persamaan regresi non linear yang berbentuk
kubik?
2. Bagaimana mengubah suatu persamaan regresi non linier yang berbentuk
kubik menjadi regresi linier?
3. Bagaiman menganalisa model regresi yang telah diperoleh
1.3. Tujuan
1. Untuk mengetahui bentuk umum persamaan regresi non linear yang
berbentuk kubik.
2. Mengubah suatu persamaan regresi non linier yang berbentuk kubik
menjadi regresi linier.
3. Menganalisa model regresi yang telah diperoleh.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Kajian teori
Model regresi non linier polinomial berderajat tiga atau model regresi
kubik mempunyai persamaan umum yang berbentuk :
Y = 0X0i + 1Xi + 2Xi2 + 3Xi
3 + ε
Dimana:
Yi = nilai pengamatan ke-i
Xi = nilai peubah X yang ke-i
β 0 = titik potong / parameter intersep
β 1 - β 3 = Parameter pengaruh peubah X1, X2, X3 terhadap peubah Y pada
derajat atau ordo ke 1, 2, 3.
ε = galat ke-i yang diasumsikan berdistribusi bebas normal dengan
nilai rata- rata 0 dan ragam (σ2)
X0i = 1
i = 1, 2, 3, ..., n
Mengubah persamaan non linier bentuk kubik menjadi linier dengan
menggunakan rumus di bawah ini:
Y = X b
[ ]
[
]
[
]
Didapatkan Yi*= b0 + b1Xi + b2Xi2 + b3Xi
3. Bentuknya tetap berupa
polinomial kubik.
Asumsi yang diperlukan dalam model regresi polinomial berderajat tiga
adalah:
1. Bahwa ε merupakan peubah acak dengan nilai tengah dan variansi σ2 .
2. Bahwa ε i dan ε j , i tidak sama dengan j ( i ≠ j ), tidak berkorelasi satu
sama lain atau dapat ditulis Cov (ε i, ε j) = 0.
1) Pendugaan koefisien regresi polinomial berderajat tiga
Jika suatu data yang diberikan hanya dapat disajikan melalui kurva
regresi non linear, maka kita harus menentukan bentuk kurvanya dan
menduga parameternya. Dalam pendugaan koefisien regresi terlebih
dahulu diperlukan model sampel untuk mendekati data yang diperoleh dari
sampel. Model sampel yang digunakan untuk regresi polinomial berderajat
tiga adalah sebagai berikut:
Y1 = b0X0i + b1Xi + b2Xi2 + b3Xi
3 + Є
dimana:
i = 1, 2, 3, ..., n
X0i = 1 , untuk i = 1, 2, 3, ...,n
Model sampel di atas terlihat bahwa koefisien b0 mengandung nilai
X0i. dimana nilainya sama dengan 1. Pemberian peubah tiruan X0i
bertujuan agar b0 dapat dihitung bersamaan dengan koefisien yang lainnya.
Untuk menduga koefisien b0, b1, b2, b3 dapat menggunakan metode
kuadrat terkecil yang dibantu dengan matriks.
Y = X b
XT = X
T X b
(XT.X)
-1 X
T Y = (X
T.X)
-1 (X
T.X) b = I b
b = (XT.X)
-1 X
T Y
[
] =
[
]
[
]
Persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan secara serentak
dengan menggunakan metode eliminasi, juga dengan metode Cramer.
Sebaiknya pada permulaan sebelum mengidentifikasikan model regresi
apa yag diperkirakan sesuai, maka perlu dilihat arah kecenderungan data
untuk memperoleh gambaran awal kira-kira model regresi apa yang cocok,
apakah model regresi linier atau regresi non linier.
Apabila data merupakan model regresi non linier, maka sebelum
melakukan analisis perlu terlebih dahulu ditransformasikan agar
persamaan non linier menjadi regresi linier. Analisis regresi polinomial
apabila data mempunyai jarak atau interval yang sama, maka untuk
memudahkan analisis regresi dapat dilakukan transformasi dari peubah asli
menjadi peubah kode yaitu sebagai berikut :
Xi = { Ti – ( Tmin + Tmaks / 2} / { Tmaks – Tmin ) / 2 }....
Dimana:
Xi = peubah bebas kode
Ti = peubah bebas asli
Untuk mengetahui model regresi yang terbaik menggunakan
analisis ragam regresi polinomial berderajat tiga. Pengujian untuk
menentukan model regresi yang sesuai dilakukan mulai derajat yang
paling rendah sampai dengan tiga, tetapi pengujian dapat dihentikan
apabila diketahui bahwa tidak ada gunanya derajat yang lebih tinggi diuji.
Berikut ini analisis ragam polinomial derajat tiga :
SK Db JK KT
Regresi Kubik (pada X,
X2, X
3)
3 JKR3 KTR3 / 3
- Regresi kuadratik (pada
X, X2)
2 JKR2 KTR2
- Sokongan oleh X3/(X,
X2)
1
( n-4 )
JKK2 = JKR3 – JKR2
JKS2 = JKT – JKR3
KTK2 = JKK2
KTS2 = JKS2 / (n-4)
Dimana:
JKRS = ∑ bs { ∑ XiS Yi – ( ∑ Xi
S ∑ Yi ) / n }
JKt = ∑ Yi2 – ( ∑ Yi )
2 / n
Fhitung = KTR / KTsisa dan Fhitung= KTS KTsisa
Untuk dapat menguji ketepatan model regresi, maka jumlah
kuadrat galat perlu dipecah menjadi jumlah kuadrat galat murni dan
jumlah kuadrat simpangan dari model (Gasperz 1900). Sehingga
kuadratnya dapat ditulis sebagai berikut:
JKG = JKGM + JKSDM
JKGM = ∑{ ∑ Yi2 – ( ∑ Yi )
2 / ni}
JKSDG = JKG JKGM
Dimana :
Xi = ulangan pada peubah bebas ke-i
Yi = pengamatan peubah tidak bebas ke-i
ni = banyaknya ulangan pada peubah bebas ke-i
Untuk menjelaskan keragaman pada regresi yang sesuai adalah
dengan koefisien determinasi yaitu sebagai berikut:
R2 = JKregresi / JKtotal
Apabila persamaan regresi yang sesuai telah didapat maka dapat
digunakan untuk peramalan pada peubah tidak bebas dan penentuan
kondisi optimal pada peubah bebas. Namun dalam peramalan hanya
berlaku pada daerah percobaan yang bersangkutan agar terhindar
ekstrapolasi yang berlebihan. Tetapi sebelum melakukan penentuan
kondisi optimal dan peramalan, maka perlu terlebih dahulu untuk
melakukan pengujian keandalan model persamaan regresi yang telah
dibangun. Dalam menentukan kondisi optimal pada peubah bebas agar
diketahui kondisi yang maksimal dari peubah tidak bebas maka harus
dipenuhi persyaratan sebagai berikut:
1. Syarat perlu:
δ ε / δx1 = 0 ; δ ε / δx2 = 0
2. Syarat cukup:
Determinai minor utama dari matriks Hessian (H) bersifat negatif,
dimana matriks H yaitu:
H :
2) Pengujian Koefisien Regresi secara Individual
Jika telah diperoleh model regresi yang linier maka kita dapat
melakukan analisa sebagai berikut:
1. Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai
berikut
0H : model regresi tidak berarti
1H : model regresi berarti
Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai hitungF dari Anova, dan dari
tabel dapat diperoleh tabelF . Terima 0H jika hitungF < tabelF dan tolak 0H jika
hitungF > tabelF .
2. Uji Koefisien regresi
Untuk menguji koefisien regresi menggunakan uji T, dengan hipotesis
sebagai berikut
0H : 1 =0, artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel
terikat.
1H : 1 =0, artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.
Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai hitungT dari Anova, dan dari tabel
dapat diperoleh tabelT . Terima 0H jika hitungT < tabelT dan
menolak 0H jika hitungT > tabelT .
3. Uji asumsi analisis regresi
a) Uji Kenormalan
Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu
minitab dan uji Anderson Darling dan mencari nilai P_value,
dan dengan hipotesis sebagai berikut:
0H : Residual berdistribusi normal.
1H : Residual tidak berdistribusi normal.
Untuk menetukan apakah menolak atau menerima 0H , P_value
dibandingkan dengan suatu nilai yaitu taraf kepercayaan
dengan ketentuan sebagai berikut:
=0.05, jika data diperoleh dari penelitian di lapangan.
=0.01, jika data diperoleh dari penelitian di laboratorium.
=0.1, jika data diperoleh dari penelitian terhadap manusia atau
binatang.
=0.00, dalam bidang kedokteran.
Terima 0H jika P-value > α , dan menolak 0H jika P-value < α
b) Uji Homogenitas
Untuk menguji Homogenitasnya dengan melihat standart
sisanya. Jika standart sisa 95% berada di antara (-2, 2) secara
merata maka sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga
mempunyai keragaman yang tetap.
c) Uji Kebebasan
Untuk menguji kebabasan residual dilihat dari autokorelasi
fungsi untuk residual dengan uji autocorelation dari Ljung-Box
Q Statistik . Jika tidak ada garis atau data yang keluar dari garis
merah, maka tidak ada korelasi antar sisaan.
2.2 Aplikasi
Laundry “BUSA” menerima cucian setiap harinya. Tetapi dalam
makalah ini, banyaknya cucian akan kami akumulasikan dalam setiap minggu
dari bulan Juni – September 2010. Anggap 1 bulan = 4 minggu. Berikut data
yang berhasil diperoleh :
X : Minggu ke-n
Y : Banyaknya Cucian/kg
Minggu ke-
(X)
Banyaknya Cucian/kg
(Y)
1 53
2 59
3 62
4 68
5 72
6 68
7 69
8 72
9 72
10 71
11 66
12 65
13 72
14 73
15 76
16 82
Dari data diatas, akan kita uji dengan model kuadratik. Dengan bantuan
minitab, diperoleh fitted lineplot sebagai berikut.
Dapat kita lihat bahwa banyak data yang terlalu jauh dengan garis regresi.
Atau bisa juga dikatakan bahwa garis regresi tidak mengikuti pola data.
Selanjutnya kita akan menguji model kuadratik ini dengan menggunakan SPSS.
Dari SPP didapat data sebagai berikut
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa R Square model kuadratik hanya 0.624.
Oleh karena itu kita akan mencoba menaikkan pangkat polynomial menjadi
berderajat tiga atau bisa juga disebut model regresi kubik.
Dengan bantuan minitab, diperoleh fitted lineplot sebagai berikut :
Kita juga akan menguji R-Square model regresi kubik dengan
menggunakan SPSS dan didapat data sebagai berikut :
Dari hasil SPSS diatas dapat kita lihat bahwa R Square mencapai 0.915.
Jadi penambahan derajat polynomial dari kuadratik menjadi kubik sangat
berarti. Oleh karena itu kita akan menguji data yang telah kita peroleh dengan
menggunakan model regresi kubik
Persamaan regresi kubik yang diperoleh dari hasil minitab adalah
Y = 42.8150 + 10.4864X – 1.2640X2 + 4.76E-02X
3. Pada Fitted Line Plot di
atas didapatkan S = 4,05800 , R-Sq = 93,0% , R-Sq(adj) = 90,4%. Garis
hijau merupakan selang kepercayaan Y rata-rata (95% CI), sedangkan garis
merah merupakan selang kepercayaan Y individu (95% PI).
Model regresi yang telah diperoleh dapat kita analisis sebagai berikut:
1) Menguji model regresi
Data di atas dari data lapangan maka α = 0,05
Dari minitab diperoleh ANOVA sebagai berikut:
Dari ANOVA di atas diperoleh Fhitung = 42,8634
Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai
berikut:
H0 : Model regresi tidak berarti
H1 : Model regresi berarti
Dari tabel didapat Ftabel=1,0000
Karena Fhitung > Ftabel maka menolak H0, jadi model regresi berarti
sehingga dapat disimpulkan bahwa model regresi
Y = 42.8150 + 10.4864X – 1.2640X2 + 4.76E-02X
3 signifikan.
2) Menguji koefisien regresi
Untuk menguji koefisien regresi digunakan uji T, dengan hipotesis sebagai
berikut:
H0 : β1 = 0 artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel
terikat.
H1 : β1 ≠ 0 artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.
Dengan alat bantu spss, diperoleh:
3) Uji asumsi analisis regresi
a) Uji Normalitas
Untuk menguji kenormalan kita gunakan alat bantu minitab dengan uji
Anderson Darling dan mencari P-value, dan dengan hipotesis sebagai
berikut:
H0 : Residual berdistribusi normal.
H1 : Residual tidak berdistribusi normal.
Untuk menentukan apakah menolak atau menerima H0, P-value
dibandingkan dengan suatu nilai α.
Dari minitab diperoleh nilai P-value beserta grafiknya sebagai berikut:
Karena p-value = 0.284> α=0,05 sehingga terima H0, jadi residual
berdistribusi normal.
b) Uji Homogenitas
Untuk menguji homogenitas kita gunakan alat bantu minitab sebagai
berikut:
Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa standart sisa 95% berada di
antara (-2, 2). Data mengumpul pada selang 50-80 dan merupakan data
acak. Jadi data tersebut bersifat Homogen.
c) Uji Kebebasan
Untuk menguji kebebasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi
untuk residual dengan menggunakan alat bantu minitab uji
autocorelation dari Ljung-Box Q Statistik. Selain itu juga bisa
menggunakan individual chart. Hasilnya dapat dilihat dari chart di
bawah ini :
Dari I Chart dapat dilihat bahwa tidak ada data yang melebihi garis merah
maka tidak ada data pencilan yang harus dihapus. Individual Chart bukanlah
metode formal dalam uji kebebasan data. Untuk menguji secara formal kita
gunakan uji autocorelation dari Ljung-Box Q Statistik dan diperoleh hasil seperti
di bawah ini.
Dari Autocorelation dapat dilihat bahwa ada data yang melebihi garis
merah maka dapat disimpulkan bahwa data tidak saling bebas.
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Regresi dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu regresi linier dan non
linier. Regresi linier merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan
linier dan grafiknya mendekati garis lurus, sedangkan regresi non linier
merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan non linier dan
kurvanya lengkung.
Jika data yang diperoleh membentuk regresi yang non linier maka
harus dilinierkan dulu dengan menggunakan transformasi yang sesuai. Untuk
regresi non linier model kubik Y = 0X0i + 1Xi + 2Xi2 + 3Xi
3 + ε.
Pendugaan model tentunya harus memperhatikan teori dari ilmu yang
melandasinya atau melatarbelakanginya, apakah pola hubungan tersebut linier
maupun non linier. Model regresi polinomial merupakan peningkatan orde
yang lebih tinggi dari bentuk linier dan pada umumnya orde tertinggi yang
biasa digunakan sampai orde tiga atau bentuk regresi kubik. Konsep
pendugaan parameter persamaan garisnya sama dengan regresi linier
sederhana yakni menggunakan metode kuadrat terkecil.
Dari aplikasi banyaknya cucian yang masuk ke ”BUSA” laundry di atas
disimpulkan bahwa hasil datanya merupakan model dari regresi kubik dengan
persamaan Y = 42.8150 + 10.4864X – 1.2640X2 + 4.76E-02X
3. Dari analisis
didapat bahwa model bersebaran normal, dan menolak H0 karena P value >
0,05. mempunyai keragaman yang tetap karena data menyebar pada selang 50
– 80 dan merupakan data acak namun tidak saling bebas atau ada korelasi
antar sisaan. Sebab saat di uji dengan Uji autocorelation dari Ljung-Box Q
Statistik diperoleh bahwa ada data yang melebihi garis merah maka dapat
disimpulkan bahwa data tidak saling bebas.
top related