2 진수계 (binary system)
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22 진수계진수계 (Binary System)(Binary System)
Unjoo Lee
Hallym University
논리시스템 설계
교재 내용 소개• 디지털 회로
– 디지털 컴퓨터 , 통신 , 기록 , 하드웨어에 필요
• 2 진 시스템 : 2 진식 정보의 표현 및 연산 소개• Boolean 대수
– 2 진식 연산자와 2 진 집합에 대한 대수적 구조 정의 및 표현
• 논리 게이트 : 입력을 받아 출력을 만드는 회로• 조합회로 : 출력이 현재 입력의 조합으로 결정• 순차회로 : 출력이 입력과 저장장치의 상태에 의해
결정– 동기식 : 클럭 발생기에 동기화 되어 동작– 비동기식 : 입력신호의 변화에 의해 동작 동기화
교재 내용 소개• 카운터 : 상태가 정해진 순서를 따르는 레지스터• 메모리 : 2 진 정보를 받아 저장하고 , 필요할 때
접근할 수 있는 장치• 레지스터 전이레벨
– 디지털 시스템 설계 = 레지스터 + 연산 + 연산 순서 제어
• 집적회로 (IC): 논리 게이트 및 전기 부품들로 이루어진 특정 목적의 회로
Ch1. Contents• 디지탈시스템• 2 진수• 기수의 변환• 8 진수와 16 진수• 보수• 부호화된 2 진수• 2 진식 코드• 2 진식 저장장치와 레지스터• 2 진식 논리• 연습문제
디지털 시스템디지털 시스템 (Digital (Digital System)System)
• 디지털 시스템 : digit 를 이용한 정보의 표현• 이진 시스템 (binary system)
– 2 개의 이산적 값을 사용 (0 과 1)– 0 과 1 을 bit(binary digit)
• 모든 데이터는 이산적 형태로 변환 가능– 비디오 , 오디오 DVD(Digital Versatile Disc)
• 디지털 시스템은 디지털 모듈의 집합– 디지털 모듈 (module) : 논리게이트 , 조합 및 순차회로 ,
프로그래머블 논리 소자 등으로 구성
22 진수진수 (Binary Number)(Binary Number) a5a4a3a2a1a0.a-1a-2a-3
= anrn+an-1rn-1+...+a2r2+a1r+a0+a-1r-1+a-2r-2+...+a-mr-m
7392 = 7 × 103 + 3 × 102 + 9 × 101 +2 × 100 (11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2
= (26.75)10
210 = 1Kilo
220 = 1Mega 230 = 1Giga 240 = 1Tera
r= 기수 , a= 계수
22 진수진수 (Binary Number)(Binary Number)• 2 진수 연산
Augend 101101 Minuend: 101101 Multiplicand:
1011
Addend +100111 Subtrahend:
-100111 Multiplier: *101
sum 1010100 Difference: 000110 1011
0000
1011
Product: 1101110 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10
기수의 변환• 예제 1-2) 10 진수 153 을 8 진수로
• 예제 1-3) 10 진수 0.6875 을 2 진수로
153
19 1
2 3
0 2 = (231)8
Integer Fraction Coefficient
0.6875*2 =
1 + 0.3750 a-1 = 1
0.3750*2 =
0 + 0.7500 a-2 = 0
0.7500*2 =
1 + 0.5000 a-3 = 1
0.5000*2 =
1 + 0.0000 a-4 = 1 Answer:(0.6875)10 = (0.a-1a-2a-3a-4)2 = (0.1011)2
8 진수와 16 진수• 8 진수로 변환
– 2 진수 3 자리씩• 16 진수로 변환
– 2 진수 4 자리씩
( 10 110 001 101 011 . 111 100 000 110 )2 = (26153.7460)8
2 6 1 5 3 7 4 0 6
( 10 1100 0110 1011 . 1111 0010 )2 = (2C6B.F2)16
2 C 6 B F 2
보수 (complement)• N 의 (r-1) 의 보수 : (rn-1)-N • r=10, r-1=9, N 에 대한 9 의 보수는 (10n-1)-N
– n 개의 9 에서 N 을 뺀다– Ex) 546700 의 9 의 보수 = 999999-546700 = 453299– Ex) 012398 의 9 의 보수 = 999999-012398 = 987601
• 2 진수인 경우 , r=2, r-1=1• N 에 대한 1 의 보수는 (2n-1)-N 1 을 0 으로 , 0 을
1 로– Ex) 1011000 의 1 의 보수 = 0100111 – Ex) 0101101 의 1 의 보수 = 1010010
보수 (complement)• n 개의 수를 갖는 숫자 N 의 r 의 보수
– rn-N (N≠0 일때 )– 0 (N=0 일때 )– rn-N=[(rn-1)-N]+1 => (r-1) 의 보수에 1 을 더한 수
• Ex) 012398 의 10 의 보수 = 987602 • Ex) 246700 의 10 의 보수 = 753300• Ex) (1101100)2 의 2 의 보수 = 0010100
• Ex) (0110111)2 의 2 의 보수 = 1001001
보수 (complement)• 10 의 보수를 이용해 72532-3250 구하라
• 예 1-6) 10 의 보수를 이용한 3250-72532 의 뺄셈
M = 72532
10’s complement of N = + 96750
Sum = 169282
Discard end carry 105 = -100000
Answer = 69282
M – N 에서M >= N 인경우
M = 03250
10’s complement of N = +27468
Sum = 30718
M – N 에서M < N 인경우
carry 가 없고 , - 부호를 붙이고 10 의 보수화 -69282
보수 (complement)• 예 1-7) X=1010100, Y=1000011, (a) X-Y, (b) Y-
X X = 1010100
2’s complement of Y = +0111101
Sum = 10010001
Discard end carry 27 = -10000000
Answer: X-Y = 0010001
Y = 1000011
2’s complement of X = +0101100
Sum = 1101111
(a) X-Y
(b) Y-X
There is no carry.
The answer is Y-X = -(2’s complement of 1101111)=-0010001
보수 (complement)• 예 1-7) X=1010100, Y=1000011, (a) X-Y, (b) Y-
X• 1 의 보수
(a) X-Y
(b) Y-X
X = 1010100
1’s complement of Y = +0111100
Sum = 10010000
( 순환자리올림 )End-around carry =
+ 1
Answer: X-Y = 0010001
Y = 1000011
1’s complement of X = +0101011
Sum = 1101110There is no carry.
The answer is Y-X = -(1’s complement of 1101110)=-0010001
부호화된 2 진수• 예 ) 숫자 9 를 8 개의 비트로 표현하면 ( 제일 왼쪽은
부호비트 0 은 양수 , 1 은 음수 )+9 : 00001001
-9 : 10001001 ( 부호 크기 표현 : signed-magnitude representation)
11110110 ( 부호화된 1 의 보수 : signed-1’s-complement representation)
11110111 ( 부호화된 2 의 보수 : signed-2’s-complement representation)
양수에대해모든비트를 보수화
각 16 개의 수를 표현
부호화된 2 진수• 산술덧셈
– 부호 - 크기 방식은 일반적 산술연산을 따름– 부호 - 보수 방식은 음수에 대해 보수를 취하고 덧셈을 수행
• 산술뺄셈– (±A)-(+B) = (±A)+(-B) – (±A)-(-B) = (±A)+(+B)
+6 00000110
-6 11111010
+13 00001101
+13
00001101
+19 00010011
+7 00000111
+6 00000110
-6 11111010
-13 11110011
-13 11110011
-7 11111001
-19 11101101
올림수 버림
음수들은 2 의 보수임
2 진식 코드 BCD code
• 각 10 진수에 대해 4 비트 2 진수화– (185)10 = (0001 1000 0101)BCD = (10111001)2
• BCD 덧셈– 만일 합이 1010( 십진수 10) 이상이면 0110( 십진수 6) 을
더한다4 0100 4 0100 8 1000
+5
+0101
+8 +1000
+9
+1001
9 1001 12 1100 17 10001
+0110
+0110
10010
10111
101010111100110111101111 의 회피
2 진식 코드 Other Decimal Codes
• 2421 코드• Excess-3: 0011 을 더• 2421 과 excess-3: 자기 보수 코드
2 진식 코드 Gray Code
• 숫자의 변화 : 코드의 1 비트의 변화• 아날로그의 디지털신호 변환시 적합함
2 진식 코드 ASCII Character Code
• ASCII
A=1000001
a=1100001
0=0110001
2 진식 코드 - 에러검출• 에러검출 코드
짝수 패리티(parity)
홀수 패리티(parity)
ASCII A = 1000001 01000001 11000001
ASCII T = 1010100 11010100 01010100
2 진식 기억장치와 레지스터• 레지스터 – 2 진 셀의 집합체이며 , n 개의 셀을 갖는
레지스터는 n 개의 개의 비트를 갖는 이산정보를 저장한다 레지스터 전이 (Register Transfer) – 2 진 정보의
레지스터간 이동
2 진식 논리• 이진 논리의 정의
논리 연산 (AND,OR,NOT) 에 대한 진리표
x,y 는 이진 변수
2 진식 논리• 이진 논리
타이밍 다이어그램
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