22 진수계진수계 (Binary System)(Binary System)

Unjoo Lee

Hallym University

논리시스템 설계

교재 내용 소개• 디지털 회로

– 디지털 컴퓨터 , 통신 , 기록 , 하드웨어에 필요

• 2 진 시스템 : 2 진식 정보의 표현 및 연산 소개• Boolean 대수

– 2 진식 연산자와 2 진 집합에 대한 대수적 구조 정의 및 표현

• 논리 게이트 : 입력을 받아 출력을 만드는 회로• 조합회로 : 출력이 현재 입력의 조합으로 결정• 순차회로 : 출력이 입력과 저장장치의 상태에 의해

결정– 동기식 : 클럭 발생기에 동기화 되어 동작– 비동기식 : 입력신호의 변화에 의해 동작 동기화

교재 내용 소개• 카운터 : 상태가 정해진 순서를 따르는 레지스터• 메모리 : 2 진 정보를 받아 저장하고 , 필요할 때

접근할 수 있는 장치• 레지스터 전이레벨

– 디지털 시스템 설계 = 레지스터 + 연산 + 연산 순서 제어

• 집적회로 (IC): 논리 게이트 및 전기 부품들로 이루어진 특정 목적의 회로

Ch1. Contents• 디지탈시스템• 2 진수• 기수의 변환• 8 진수와 16 진수• 보수• 부호화된 2 진수• 2 진식 코드• 2 진식 저장장치와 레지스터• 2 진식 논리• 연습문제

디지털 시스템디지털 시스템 (Digital (Digital System)System)

• 디지털 시스템 : digit 를 이용한 정보의 표현• 이진 시스템 (binary system)

– 2 개의 이산적 값을 사용 (0 과 1)– 0 과 1 을 bit(binary digit)

• 모든 데이터는 이산적 형태로 변환 가능– 비디오 , 오디오 DVD(Digital Versatile Disc)

• 디지털 시스템은 디지털 모듈의 집합– 디지털 모듈 (module) : 논리게이트 , 조합 및 순차회로 ,

프로그래머블 논리 소자 등으로 구성

22 진수진수 (Binary Number)(Binary Number) a5a4a3a2a1a0.a-1a-2a-3

= anrn+an-1rn-1+...+a2r2+a1r+a0+a-1r-1+a-2r-2+...+a-mr-m

7392 = 7 × 103 + 3 × 102 + 9 × 101 +2 × 100 (11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2

= (26.75)10

210 = 1Kilo

220 = 1Mega 230 = 1Giga 240 = 1Tera

r= 기수 , a= 계수

22 진수진수 (Binary Number)(Binary Number)• 2 진수 연산

Augend 101101 Minuend: 101101 Multiplicand:

1011

Addend +100111 Subtrahend:

-100111 Multiplier: *101

sum 1010100 Difference: 000110 1011

0000

1011

Product: 1101110 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10

기수의 변환• 예제 1-2) 10 진수 153 을 8 진수로

• 예제 1-3) 10 진수 0.6875 을 2 진수로

153

19 1

2 3

0 2 = (231)8

Integer Fraction Coefficient

0.6875*2 =

1 + 0.3750 a-1 = 1

0.3750*2 =

0 + 0.7500 a-2 = 0

0.7500*2 =

1 + 0.5000 a-3 = 1

0.5000*2 =

1 + 0.0000 a-4 = 1 Answer:(0.6875)10 = (0.a-1a-2a-3a-4)2 = (0.1011)2

8 진수와 16 진수• 8 진수로 변환

– 2 진수 3 자리씩• 16 진수로 변환

– 2 진수 4 자리씩

( 10  110  001  101  011  .  111  100  000  110 )2 = (26153.7460)8

                  2    6    1     5    3       7    4   0    6

( 10  1100  0110  1011  .  1111  0010 )2 = (2C6B.F2)16

                  2    C      6     B        F      2

보수 (complement)• N 의 (r-1) 의 보수 : (rn-1)-N • r=10, r-1=9, N 에 대한 9 의 보수는 (10n-1)-N

– n 개의 9 에서 N 을 뺀다– Ex) 546700 의 9 의 보수 = 999999-546700 = 453299– Ex) 012398 의 9 의 보수 = 999999-012398 = 987601

• 2 진수인 경우 , r=2, r-1=1• N 에 대한 1 의 보수는 (2n-1)-N 1 을 0 으로 , 0 을

1 로– Ex) 1011000 의 1 의 보수 = 0100111 – Ex) 0101101 의 1 의 보수 = 1010010

보수 (complement)• n 개의 수를 갖는 숫자 N 의 r 의 보수

– rn-N (N≠0 일때 )– 0 (N=0 일때 )– rn-N=[(rn-1)-N]+1 => (r-1) 의 보수에 1 을 더한 수

• Ex) 012398 의 10 의 보수 = 987602 • Ex) 246700 의 10 의 보수 = 753300• Ex) (1101100)2 의 2 의 보수 = 0010100

• Ex) (0110111)2 의 2 의 보수 = 1001001

보수 (complement)• 10 의 보수를 이용해 72532-3250 구하라

• 예 1-6) 10 의 보수를 이용한 3250-72532 의 뺄셈

M = 72532

10’s complement of N = + 96750

Sum = 169282

Discard end carry 105 = -100000

Answer = 69282

M – N 에서M >= N 인경우

M = 03250

10’s complement of N = +27468

Sum = 30718

M – N 에서M < N 인경우

carry 가 없고 , - 부호를 붙이고 10 의 보수화 -69282

보수 (complement)• 예 1-7) X=1010100, Y=1000011, (a) X-Y, (b) Y-

X X = 1010100

2’s complement of Y = +0111101

Sum = 10010001

Discard end carry 27 = -10000000

Answer: X-Y = 0010001

Y = 1000011

2’s complement of X = +0101100

Sum = 1101111

(a) X-Y

(b) Y-X

There is no carry.

The answer is Y-X = -(2’s complement of 1101111)=-0010001

보수 (complement)• 예 1-7) X=1010100, Y=1000011, (a) X-Y, (b) Y-

X• 1 의 보수

(a) X-Y

(b) Y-X

X = 1010100

1’s complement of Y = +0111100

Sum = 10010000

( 순환자리올림 )End-around carry =

+ 1

Answer: X-Y = 0010001

Y = 1000011

1’s complement of X = +0101011

Sum = 1101110There is no carry.

The answer is Y-X = -(1’s complement of 1101110)=-0010001

부호화된 2 진수• 예 ) 숫자 9 를 8 개의 비트로 표현하면 ( 제일 왼쪽은

부호비트 0 은 양수 , 1 은 음수 )+9 : 00001001

-9 : 10001001 ( 부호 크기 표현 : signed-magnitude representation)

11110110 ( 부호화된 1 의 보수 : signed-1’s-complement representation)

11110111 ( 부호화된 2 의 보수 : signed-2’s-complement representation)

양수에대해모든비트를 보수화

각 16 개의 수를 표현

부호화된 2 진수• 산술덧셈

– 부호 - 크기 방식은 일반적 산술연산을 따름– 부호 - 보수 방식은 음수에 대해 보수를 취하고 덧셈을 수행

• 산술뺄셈– (±A)-(+B) = (±A)+(-B) – (±A)-(-B) = (±A)+(+B)

+6 00000110

-6 11111010

+13 00001101

+13

00001101

+19 00010011

+7 00000111

+6 00000110

-6 11111010

-13 11110011

-13 11110011

-7 11111001

-19 11101101

올림수 버림

음수들은 2 의 보수임

2 진식 코드 BCD code

• 각 10 진수에 대해 4 비트 2 진수화– (185)10 = (0001 1000 0101)BCD = (10111001)2

• BCD 덧셈– 만일 합이 1010( 십진수 10) 이상이면 0110( 십진수 6) 을

더한다4 0100 4 0100 8 1000

+5

+0101

+8 +1000

+9

+1001

9 1001 12 1100 17 10001

+0110

+0110

10010

10111

101010111100110111101111 의 회피

2 진식 코드 Other Decimal Codes

• 2421 코드• Excess-3: 0011 을 더• 2421 과 excess-3: 자기 보수 코드

2 진식 코드 Gray Code

• 숫자의 변화 : 코드의 1 비트의 변화• 아날로그의 디지털신호 변환시 적합함

2 진식 코드 ASCII Character Code

• ASCII

A=1000001

a=1100001

0=0110001

2 진식 코드 - 에러검출• 에러검출 코드

짝수 패리티(parity)

홀수 패리티(parity)

ASCII A = 1000001 01000001 11000001

ASCII T = 1010100 11010100 01010100

2 진식 기억장치와 레지스터• 레지스터 – 2 진 셀의 집합체이며 , n 개의 셀을 갖는

레지스터는 n 개의 개의 비트를 갖는 이산정보를 저장한다 레지스터 전이 (Register Transfer) – 2 진 정보의

레지스터간 이동

2 진식 논리• 이진 논리의 정의

논리 연산 (AND,OR,NOT) 에 대한 진리표

x,y 는 이진 변수

2 진식 논리• 이진 논리

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