新人教版 九年级数学 ( 下册 ) 第二十八章
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新人教版九年级数学 ( 下册 ) 第二十八章
§28.1 锐角三角函数( 1 )
A
BC “斜而未倒”
BC=5.2m
AB=54.5m
意大利的伟大科学家伽俐 略,曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验 .
.
α
问题 : 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30° ,为使出水口的高度为 35m ,那么需要准备多长的水管?
这个问题可以归结为,在 Rt△ABC 中,∠ C =90° ,∠ A = 30° , BC = 35m ,求 AB
根据“在直角三角形中, 30° 角所对的边等于斜边的一半”,即
1
2
A BC
AB
的对边斜边
可得 AB = 2BC = 70m ,也就是说,需要准备 70m 长的水管.
A
B
C
分析:
情
境
探
究
在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m ,那么需要准备多长的水管?
结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于 30° ,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 2
1
A
B
C
50m30m
,2
1
'
''
AB
CBA
斜边的对边
B '
C '
AB' = 2B ' C ' = 2×50 = 100
在 Rt△ABC 中,∠ C = 90° ,由于∠ A = 45° ,所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形,由勾股定理得
2222 2BCBCACAB
BCAB 2
2
2
2
1
2
BC
BC
AB
BC因此
即在直角三角形中,当一个锐角等于 45° 时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于
2
2
如图,任意画一个 Rt△ABC ,使∠ C = 90° ,∠ A = 45° ,计算∠ A的对边与斜边的比 ,你能得出什么结论?
AB
BC
A
BC
2
1
综上可知,在一个 Rt△ABC 中,∠ C = 90° ,当∠ A = 30° 时,∠ A
的对边与斜边的比都等于 ,是一个固定值;当∠ A = 45°
时,∠ A 的对边与斜边的比都等于 ,也是一个固定值 .2
2
一般地,当∠ A 取其他一定度数的锐角时,它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值?
在图中,由于∠ C =∠ C' = 90° ,∠ A =∠ A' = α ,所以Rt△ABC Rt∽ △A'B'C'
'''' BA
AB
CB
BC
''
''
BA
CB
AB
BC
这就是说,在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠ A 的对边与斜边的比也是一个固定值.并且直角三角形中一个锐角的度数越大,它的对边与斜边的比值越大
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' ,使得∠ C =∠ C' = 90° ,∠ A =∠A' = α ,那么 与 有什么关系.你能解释一下吗?
AB
BC''
''
BA
CB
探究
A
B
C A'
B'
C'
如图,在 Rt△ABC 中,∠ C = 90° ,我们把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做∠ A 的正弦( sine ),记住 sinA 即
c
aAA
斜边的对边
sin
例如,当∠ A = 30° 时,我们有
2
130sinsin A
当∠ A = 45° 时,我们有
2
245sinsin A
A
B
C
c a
b
对边斜边
在图中∠A 的对边记作a∠B 的对边记作b∠C 的对边记作c
正 弦 函 数
1 、再 Rt△ ACB, Rt△ DEF中,∠B= 300 , ∠D= 450 , ∠C= 900 ,∠F= 900 ,
若AB=DE=2,
(1)求∠B的对边与斜边的比值;
(2)求∠A的对边与斜边的比值;
(3)求∠D的对边与斜边的比值.
A
CB
D
EF
例 1 如图,在 Rt△ABC 中,∠ C = 90° ,求 sinA和 sinB 的值.解: ( 1 )在 Rt△ABC 中,
534 2222 BCACAB
因此5
3sin
AB
BCA
5
4sin
AB
ACB
( 2 )在 Rt△ABC 中,
13
5sin
AB
BCA
12513 2222 BCABAC
因此
13
12sin
AB
ACB
A
B
C
A
B
C
3
4
13
求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比;求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比
例 题 示 范
5
( 1 )
( 2 )
根据下图,求 sinA 和 sinB 的值.
A
B
C
3
5
练习
求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比;求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比
解: ( 1 )在 Rt△ABC 中,
2 2 2 25 3 34AB AC BC
因此 3 3 34sin
3434
BCA
AB
5 5 34sin
1734
ACB
AB
根据下图,求 sinA 和 sinB 的值.
A
B
C
12
5
练习
求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比;求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比
解: ( 1 )在 Rt△ABC 中,
2 2 2 212 5 119BC AB AC
因此 119sin
12
BCA
AB
5sin
12
ACB
AB
根据下图,求 sinB 的值.
A
B
Cn
练习
求 sinA就是要确定∠ A的对边与斜边的比;求 sinB 就是要确定∠ B 的对边与斜边的比
解: ( 1 )在 Rt△ABC 中,
2 2 2 2AB BC AC m n
因此 2 2
2 22 2sin
AC n n m nB
AB m nm n
m
练习 如图, Rt ABC△ 中,∠ C=90 度, CD AB⊥ ,图中 sinB 可由哪两条线段比求得。
D
C
BA
解:在 Rt ABC△ 中,sinAC
BAB
在 Rt BCD△ 中,sinCD
BBC
因为∠ B= ACD∠ ,所以
sin sinAD
B ACDAC
求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为求和它相等角的正弦值。
练一练1. 判断对错 :
A
10m6m
B
C
1) 如图 (1) sinA= ( ) (2)sinB= ( ) (3)sinA=0.6m ( )
(4)SinB=0.8 ( )
AB
BC
BC
AB
√
√
×
×sinA是一个比值(注意比的顺序),无单位;
2) 如图, sinA= ( ) BC
AB×
2. 在 Rt△ABC 中,锐角 A 的对边和斜边同时扩大
100 倍, sinA 的值( )
A. 扩大 100 倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C1
100
练一练
3. 如图
A C
B
3300
则 sinA=______ .12
小结 如图, Rt ABC△ 中,直角边AC 、 BC 小于斜边 AB ,
所以 0 < sinA < 1, 0 < sinB < 1,
sinBC
AAB
sinAC
BAB
如果∠ A < ∠ B, 则 BC < AC ,
那么 0 < sinA < sinB < 1
A
B
C
< 1
< 1
本节课你有什么收获呢?
回味无穷
1
2
小结 拓展1. 锐角三角函数定义 :
2.sinA 是∠ A 的函数 .
A
B
C
∠A 的对边┌
斜边
斜边∠A的对边sinA
=
3. 只有不断的思考 , 才会有新的发现 ; 只有量的变化 , 才会有质的进步 .
Sin300 = sin45°=2
2
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