Учет неопределенности и риска

Теория принятия решений

Владимир Мельников

Учет рисков

Показатель стоимости

1 (1 + i)n

Коэффициент дисконтирования:

NPV = ∑ CFn

(1 + i)n

Чистый приведенная стоимость:

Ставка дисконтирования

Учет риска

‣ «В знаменателе»

‣ «В числителе»

‣ «В знаменателе и числителе»

а) Учет риска в ставке дисконтирования

Учет риска в ставке дисконтирования

‣ Кумулятивная модельi = iбезриск. + iриск. + iинфл.

‣ CAPM (Capital Asset Pricing Model)i = iбезриск. + ß•(iрын. – iбезриск.) + L1 + L2

‣ WACC

Прогнозные показатели проекта

Год прогноза 1 2 3 4 5

Положительные CF 10 20 30 40 50

Отрицательные CF 5 10 20 40 90

Пример 1. Учет риска в «знаменателе»

Определить целесообразность вложения средств в проект. Определить стоимость проекта при двух различных ставках дисконтирования.

1) Ставка дисконтироания i = 10% (без учета риска)

2) Ставка дисконтироания i = 20% (с учетом риска)

Пример 1. Учет риска в «знаменателе»

‣ Экономический риск:‣ для доходов — риск недополучения дохода;

‣ для расходов — риск перерасхода.

‣ Чем выше риск, тем меньше чистая приведенная стоимость.

‣ Чем больше чистая приведенная стоимость, тем проект выгоднее.

б) Учет риска в денежном потоке

Дерево решений

Традиционно, основным элементом принятия решений в условиях риска является построение дерева решений.

Вершина решений Вершина

случаев

Пример 2. Дерево решений

‣ Предприятие может реализовывать на рынке 2 вида продукции – А или Б.

‣ Прибыль от продажи продукта А составляет 100 у.е.

‣ Прибыль от продажи продукта Б составляет 80 у.е.

‣ Известно, что с вероятностью 30% в следующем году на рынке появится сильный конкурент и тогда предприятие сможет получить прибыль от продукта А только 40 у.е., на прибылях от продажи продукта Б появление конкурента не отразится.

‣ Для уточнения ситуации на рынке можно провести маркетинговые исследования, затраты на которые составят 5 у.е.

‣ Вероятность правильного определения ситуации на рынке составляет 80%.

‣ Необходимо принять решение проводить или не проводить маркетинговые исследования и какую продукцию производить.

Прибыль компании, у.е.

Выпускаемые продуктыВероятность, %

70% 30%

Продукт А 100 у.е. 40 у.е.Продукт Б 80 у.е. 80 у.е.

В виде таблицы:

Проведение маркетинга 5 у.е.

Вероятность правильного определения ситуации 80%

Не проводить маркетинг

Проводить маркетинг

Указывает на благоприятную ситуацию

Указывает на неблагоприятную

ситуацию

Продукт Б

Продукт А

ситуацию

Продукт Б

Продукт А

ситуацию

Продукт Б

— Конкурент есть

— Конкурента нет

Продукт А

ситуацию

Продукт Б

Продукт А

Пример 2. Шансы того, что маркетинг укажет на неблагоприятную ситуацию

P(неблагопр.) — вероятность того, что маркетинг укажет на неблагоприятную ситуацию на рынке:

P(неблагопр.) = 0,8•P(конкурент) + 0,2•P(без конкурента)

P(благ.) — вероятность того, что маркетинг укажет на благоприятную ситуацию на рынке:

P(благ.) = 0,8•P(без конкурента) + 0,2•P(конкурент)

Пример 2. Шансы неблагоприятной и благоприятной ситуаций

Эти шансы определяются по формуле Байеса:

P(условная) = P(Б)•P(А)

∑P(Б)•P(А)m

P(условная) — вероятность того, что при условии А будет иметь место событие Б;

P(А) , P(Б) — вероятности событий А и Б;

m — число условий;

Пример 2. Шансы исходов

ситуацию

Продукт А

Продукт Б

Пример 2. Процедура усреденения и свертывания

ситуацию

Продукт А

Продукт Б

0,3• 40 + 0,7• 100

(P1• U1 + P2• U2)

ситуацию

Продукт А

Продукт Б

82 8240

ситуацию

Продукт А

Продукт Б

82 > 80Производя продукт А без маркетинга,

получаем в среднем 82 у.е., что выгоднее, чем производство

продукта Б

ситуацию

Продукт А

Продукт Б

ситуацию

Продукт А

Продукт Б

Дерево решений

Таким образом можно спрогнозировать и спланировать будущие денежные потоки для каждого из перидов.

CF1 CF2 CF3

q1 q2 q3

Эти данные можно использовать при дальнейшем расчете NPV.

Пример 3. Учет возможностей менеджмента

Предприятие собирается вывести на рынок новый товар.

Начальные инвестиции в 110 у.е. необходимы для завершения подготовительного этапа проекта, который длится год.

Еще 100 у.е. необходимо затратить на подготовку рекламной кампании через год — в момент начала производства.

Ожидается, что доходы поступят в распоряжение предприятия только на третий год с начала проекта.

Однако в настоящее время трудно определить, будет ли новый продукт пользоваться спросом. Вероятность позитивного развития событий составляет 75% (ожидаемый доход 340 у.е.), а негативного — 25% (ожидаемый доход 10 у.е.).

Прогнозные показатели проекта

Год прогноза 0 1 2 3

Расход (у.е.) 110 100

Приход (у.е.)

В виде таблицы:

3400,75

CF(+) = 0,75•340 + 0,25•10 = 257,5

NPV = (–110) + (–100) ÷ 1,1 + CF(+) ÷ 1,33 = –7,29

Предположим, что через год станет понятно, будет ли новый товар пользоваться спросом.

Таким образом, к началу первого года проекта у менеджеров будет возможность решить, стоит ли продолжать инвестировать в новый продукт или выгоднее остановить весь проект.

CF(+) = 0,75•340 + 0,25•0 = 255

NPV = (–110) + 0,75•(–100) ÷ 1,1 + CF(+) ÷ 1,33 = 13,7

Реальные опционы

‣ Колл — право купить по фиксированной цене.

‣ Пут — право продать по фиксированной цене.

‣ Американский — владелец может воспользоваться своим правом в любой момент до истечения установленного срока.

‣ Европейский — владелец может воспользоваться своим правом только в один установленный день.

Модель Блэка–Шоулза

Стоимость колл-опциона в модели Блэка–Шоулза можно записать как функцию пяти переменных:

S — текущая стоимость актива;

K — цена исполнения (фиксированная цена по которой можно реализовать актив);

t — срок жизни опциона (время до следующей точки принятия решения);

r — безрисковая процентная ставка, соответствующая сроку жизни;

∂ — дисперсия натурального логарифма, коэффициента показывающего изменение стоимости актива, который можно определить как «коэффициент доходности актива».

ln ( – 1) Rt

Rt–1

Стоимость в настоящий момент времени

Стоимость в предыдущий момент времени

V = S•N(d1) – K•e–rt•N(d2)

Стоимость колл–опциона:

d1 = ln( )S

K + (r + )•t ∂2

∂•√t

d2 = d1 – ∂•√t

Вероятности, оцененные посредством использования кумулятивной функции стандартизированного нормального распределения, а также величин d1 и d2.

Распределение Гаусса. Нормальное распределение.

∞–

N(d) = ∂•√2π1 e 2

Пример 4. Модель Блэка–Шоулза

Для начала разработок нового продукта предприятию требуется осуществить инвестиции в НИОКР в размере 13,62 у.е.

Предприятие может отсрочить начало разработок на 103 дня (0,28 года). Но для осуществления данной отсрочки потребуется дополнительно затратить 2 у.е. на оплату простоя коллектива разработчиков. Кроме того затраты на разработку в таком случае составят 15 у.е.

Отклонение логарифма доходности вложения в разработки в этой сфере в прошлые периоды составляло 81%.

Стоимость привлечения капитала составляет 4,63% (в непрерывном исчислении).

Вопрос: целесообразно ли платить 2 у.е. за отсрочку?

Биноминальная модель

Биноминальное распределение

Для формирования биноминального распределения случайная перемнная должна отвечать следующим условиям:

‣ Переменная может принимать только 2 значения в данный момент времени или в результате какого-либо события. Каждое из этих моментов называется «попыткой». Два возможных результата называются «успех» и «неудача».

‣ Для каждой последовательности попыток вероятность успеха и неудачи постоянна.

‣ Все попытки идентичны.

‣ Все попытки независимы.

X–бином (n, p)

Количество способов достижения j успехов из n попыток:

С = n!j!•(n – j)!

Вероятность получения j успехов с n попыток:

p(x = j) = C •pj•(1 – p)(n – j)nj

Пример 5. Биноминальное распределение

Задано распределение с двумя биноминальными попытками. Вероятность успеха составляет 50%.

Sud (Sdu)

Найти вероятности исходов.

Определим число способов получения одного успеха:

С = n!j!•(n – j)!

nj = 2!

1!•(2 – 1)! = 2

Определим вероятность получения одного успеха:

p(Sud) = C •pj•(1 – p)(n – j) =nj

= 2 •0,51•(1 – 0,5)(2 – 1) = 0,5

Биноминальное дерево цен активов

Расчет ожидаемого значения цены актива с применением биноминальной модели состоит из трех шагов:

‣ Создание биноминальго дерева возможных цен.

‣ Определение вероятностей каждого из возможных результатов.

‣ Умножение каждого из возможных результатов на его вероятность.

Сумма произведений и составит ожидаемое значение.

Пример 6. Дерево цен активов

Найти значение цены актива по истечении двух временных интервалов.

Допустим, что в результате каждой попытки существует вероятность роста цены, равная 0,5.

Допустим также, что изменение цены в один период не зависит от изменения цены в другой период.

Цена может изменяться в 1,10 (рост) или 0,90 (падение) раз.

S = 50

Sud = Sdu

S = 50

Su = 55

Sd = 45

Su2 = 60,5

Sud = Sdu = 50

Sd2 = 40,5

S = 50

Su = 55

Sd = 45

Su2 = 60,5

Sud = Sdu = 50

Sd2 = 40,5

60,5•0,25 + 50•0,5 + 40,5•0,25 = 50,25

Цена опциона на покупку

Никто не станет платить за опцион на покупку актива больше, чем разница между тем, что нужно заплатить для покупки актива на рынке, и тем, что нужно запатить по опциону, т.е. ценой исполнения.

С = max[0, S – K]

Стоимость колл-опциона

Цена актива на рынке

Цена исполнения опциона

Цена опциона на продажу

В случае опциона на продажу актива никто не будет платить за этот опцион больше, чем разница между ценой, по которой актив может быть продан на открытом рынке, и ценой, по которой этот актив будет продан по опциону.

P = max[0, K – S]

Стоимость пут-опциона

Цена актива на рынке

Цена исполнения опциона

Имитирующий портфель

Цель создания имитирующего портфеля — это использование комбинации безрискового заимствования и базового актива для создания денежного потока, аналогичного денежному потоку, создаваемому оцениваемым опционом.

Пример 7. Создание портфеля-имитатора

Предположим, что цена основного актива (S) составляет 35 у.е., цена исполнения опциона (K) составляет 35 у.е.

Безрисковая процентная ставка (r) 10%. Срок действия опциона 1 год.

Дополнительно допустим, что в конце года цена актива либо поднимется на 25%, либо упадет на 25%.

S = 35

Su = 43,75

Sd = 26,25

Cu = max[0, 43,75 – 35] = 8,75

Cd = max[0, 26,25 – 35] = 0

Стоимость актива

Стоимость опциона

На данном этапе у нас возникает две задачи:

‣ Найти, сколько опционов (H) необходимо продать, чтобы портфель был безрисковым.

‣ Определить справедливую цену, по которой эти опционы должны быть проданы.

1. Количество опционов (H), которое следует продать для создания безрискового портфеля.

H = Su – SdCu – Cd = 43,75 – 26,25

8,75 – 0

Размах цен актива

Размах стоимости опциона

S – H•C

Su – H•Cu = 26,25

Sd – H•Cd = 26,25

Sd – H•Cd = 26,25 – 2•0 = 26,25

Su – H•Cu = 43,75 – 2•8,75 = 26,25

2. Справедливая цена, по которой нужно продать опцион в настощий момент. Текущая стоимсость портфеля, состоящего из покупки актива по рыночной цене S и продпжи 2х опционов и имеющего безрисковую ставку в течение одного года должна быть равна текущей стоимости доходов в конце года. Этот доход в конце года составляет:

Su – H•Cu = (S – H•C)•(1 + r) = 26,25

Если R = (1 + r), где r — безрисковая процентная ставка,

тогда:

R•(S – H•C) = Su – H•Cu

C = Cu• + Cd• / R[ ]R – du – d

u – Ru – d

C = 8,75• + 0• / 1,1[ ]1,25 – 1,1

1,25 – 0,75

1,1 – 0,75

1,25 – 0,75= 5,57

Пример 8. Многопериодная модель

Пример 8. Интерпретация

Приведенная стоимость будущих денежных потоков поступлений при условии немедленного начала инвестиций S = 35 у.е.

Объем инвестиций K = 35 у.е.

Безрисковая процентная ставка r = 2,4% в квартал. Пересмотреть решение о начале инвестирования можно раз в квартал.

Стандартное отклонение приведенной стоимости денежного потока ∂ = 20%.

Кокс (1979 г.) показал, что величины потенциального движения вверх и вниз (u и d) соотносятся с показателем волатильности (∂) следующим образом:

‣ u = e∂•√(t / n)

‣ d = e–∂•√(t / n)

S = 35

35•1,10517(Su)

S = 35

35•1,10517(Su)

S = 35

35•1,10517(Su)

35•0,9484(Sd)

C = max[0, S – K]

52,2117,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21

C = max[0, S – K]

28,650

23,460

42,757,75

52,2117,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21

C = max[0, 42,75 – 35] = 7,75

C = max[0, 35 – 35] = 0

C = max[0, 28,65 – 35] = 0

C = max[0, 23,46 – 35] = 0

C = max[0, S – K]

S = 35

47,2513,07

28,650

23,460

42,757,75

52,2117,21

C = Cu• + Cd• / R[ ]R – du – d

u – Ru – d

C = Cu• + Cd• / 1,024[ ]0,5948 0,4052

S = 35C = 4,37

38,686,48

31,671,52

42,759,38

352,62

28,650

47,2513,07

38,684,51

31,670

25,930

28,650

23,460

42,757,75

52,2117,21

C = Cu• + Cd• / R[ ]R – du – d

u – Ru – d

C = Cu• + Cd• / 1,024[ ]0,5948 0,4052

Пример 8. Интерпретация

S = 35C = 4,37

38,686,48

31,671,52

42,759,38

352,62

28,650

47,2513,07

38,684,51

31,670

25,930

28,650

23,460

42,757,75

52,2117,21

Нечеткие множества

Теория нечетких множеств

Подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых преход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен.

Пример нечетких данных

Нечеткое множество может отражать:

‣ Лингвистические понятия

‣ Нечеткие числа

Пример:

‣ Около 30 минут

‣ Большая процентная ставка‣ Прибыль порядка 20 у.е.

Функция принадлежности

Функция принадлежности отражает распределение уверенности в отношении некоторого моделируемого понятия для свои ̆ства А на множестве значении ̆ переменнои ̆ Х, выбраннои ̆ для представления данного свои ̆ства А.

!"#$%!&'!(')*+,#'-./,0!,!&#,/12,0!#*3*/,4!-!"$+'-,15!/*'&#*)*+*//'$2,!

!!"##$!!"#$%&'(!)*+!,%!-".%/&'0"1!2&3&!

5'67&"0!)#!*!47&08'(!$/'&%9:;<&"6='!&;.;=0">"!#&"<;6=1%!

!"!"!"#!"#$%&'#()*+,+#+-'.!'#("#$%&'#/-$0+-'.#12-34''#

)*'-$,#+5-(%&'#-+0+&3(6(#7-(5+%&8$! '(!" !

#! !"#$%&'# ()*+,+#+-'.# $-(%'&+#9# -+0+&3(6(# 7-(5+%&8$%"!?;="9":">'.;60';!='$@!'!"=:'.'(&!

)&!A'&>1'6='.;60';+!

,! 7$"/(9".;&&@;!(3/'#;/+!-#&">"!,!#%:".'+!

!! "$/;9;:;&"!/%66="(&';!(#;=/'.;60';'/!

!! &;=!/%66="(&'(!(&;!#;=/'.;60';'/!

,! &;!7$"/(9".;&&@;!(-#%B'&%%!$%/"C"9%!$";D9.'&!

"&!E'6:"1@;+!

,! 9'60/;=&@;/!

,! &;$/;/@1&@;&!

0&!E'6:"1@;!&;.;=0';!#&"<;6=1%+!

,! &;.;=0';!.'6:%%!79"1:;=1"/(FG';!%06'"#%#!%/'H#;='0'/!

,! &;.;=0';! .'6:%! (&;.;=0';! .'6:"1@;! $;/;#;&&@;'%!

D%9%FG';6(!$/"'D1":I&@#'!H7&08'(#'!$/'&%9:;<&"6='!

&%!#&"<;6=1;!9;J6=1'=;:I&@C!.'6;:&!

#! *;.;=0';! .'6:%! '! &;.;=0';! .'6:"1@;! $;/;#;&&@;! '#;F=! 6C"96=1"! '!

/%D:'.';!#;<97!6"K"J&!!

Математический аппарат

Определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами.Пусть C и D — два нечетких подмножетва А с функциями принадлежности µC(x) и µD(x).Пересечением , произведением, объединением, отрицанием, суммой называются такие нечеткие подмножества А с функциями принадлежности:

‣ µC D(x) = min (µC(x), µD(x))

‣ µCUD(x) = max (µC(x), µD(x))

‣ µC(x) = 1– µC(x)

‣ µC•D(x) = µC(x)•µD(x)

‣ µC+D(x) = µC(x) + µD(x) – µC(x)•µD(x)

Свойства нечетких множеств

Законы де Моргана для нечетких множеств:

A B = A BU

A B = A B+

Свойства нечетких множеств

Дистрибутивный закон для нечетких множеств

1. Для любых нечетких множеств A, B и C:

A (B C) = (A B) (A C)UU

2. В то же время равенство:

A•(B + C) = (A•B) + (A•C)

справедливо тогда и только тогда, когда:

(µ2A(x) – µA(x))•µB(x)•µC(x) = 0

Треугольные нечеткие числа

Треугольное нечеткое число (ТНЧ) описывается функцией принадлежности следующего вида:

amin amaxa0

A = (amin, a, amax)Значимые точки числа А

Значения функции принадлежности для ТНЧ :

amin amaxa0

0, x < amin

0, x > amax

1, x = a

x – amin

a – amin, amin < x < a

amax – xamax – a , a < x < amin

Допустим есть два нечетких числа A и B их интервалы принадлежности [amin, amax] и [bmin, bmax] соответственно, тогда операции с этими интервалами выражаются через операции с действительными числами по следующим правилам:

[amin, amax] + [bmin, bmax] = [amin + bmin, amax + bmax]

[amin, amax] – [bmin, bmax] = [amin – bmax, amax – bmin]

[amin, amax] • [bmin, bmax] = [amin•bmin, amax•bmax]

[amin, amax] / [bmin, bmax] = [amin / bmax, amax / bmin]

[amin, amax]n = [aminn, amaxn]

Вычисления с нечеткими числами

В результате расчетов с ТНЧ также получаются нечеткие числа:

NPV = ∑ CF (1 + i)n

[NPVmin, NPV, NPVmax]

Пример 1. Нечеткие множества

Предприятие планирует открыть цех по производству бумажных самолетиков. Приемлемая норма доходности колеблется от 10% до 30%. Основные показатели этого проекта приведены в таблице:

ПоказательГод прогноза

1 2 3 4 5

Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Зарплата 2 2 2 2 2

Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25

Дополнительные затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40

1 2 3 4 5

Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25

(1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9

1 2 3 4 5

Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25

(1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9

ЧеткиеЗависимые

Нечеткие

Алгоритм расчета:

Выручка

– Четкие и зависимые расходы

= Промежуточное ТНЧ

– Нечеткие расходы

= Денежный поток (CF)

/ Дисконт

1 2 3 4 5

Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50

Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25

Доп. затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40

(1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9

1) Выручка –– Зарплата – Материалы –2, 1, 3 –2, 3, 8 … … …

2) [1] – Доп. затраты –4, –1, 1 –6, 1, 8 … … …

DCF –4/1.3, … … … … …

Уровень принадлежности

a1 a2a0

a1 = amin•(1 – ß) + a•ß

amin amax

a2 = amax•(1 – ß) + a•ß

Анализ рискаОбщая постановка вопроса

Пример 2. Анализ риска

Параметры I1 I I2 V1 V V2 r1 r r2 C1 C C2

Значения 0.90 1.00 1.10 0.10 0.60 1.10 0.08 0.14 0.20 0.00 0.50 1.00

NPV1 = –I2 + ∑ V1

(1 + r2)n

(1 + r2)Т+

NPV2 = –I1 + ∑ V2

(1 + r1)n

(1 + r1)Т+

Параметры I1 I I2 V1 V V2 r1 r r2 C1 C C2

Значения 0.90 1.00 1.10 0.10 0.60 1.10 0.08 0.14 0.20 0.00 0.50 1.00

NPV1 = –0,947

Предположим, что проект длится 2 года (T = 2) и денежные потоки в эти годы одинаковы.

NPV = 0,325

NPV2 = 1,855

ß I1 I2 V1 V2 r1 r2 C1 C2 NPV1 NPV2

0.00 0.80 1.20 –0.40 1.60 0.020 0.260 –0.50 1.50 –2.020 3.720

0.20 0.84 1.16 –0.20 1.40 0.044 0.236 –0.30 1.30 –1.612 2.928

0.40 0.88 1.12 0.00 1.20 0.068 0.212 –0.10 1.10 –1.176 2.199

0.50 0.90 1.10 0.10 1.10 0.08 0.20 0.00 1.00 –0.947 1.855

0.60 0.92 1.08 0.20 1.00 0.092 0.188 0.10 0.90 –0.710 1.526

0.80 0.96 1.04 0.40 0.80 0.116 0.164 0.30 0.70 –0.211 0.903

1.00 1.00 1.00 0.60 0.60 0.140 0.140 0.50 0.50 0.325 0.325

I1 = Imin•(1 – ß) + I•ß

I2 = Imax•(1 – ß) + I•ß

ß I1 I2 V1 V2 r1 r2 C1 C2 NPV1 NPV2

0.00 0.80 1.20 –0.40 1.60 0.020 0.260 –0.50 1.50 –2.020 3.720

0.20 0.84 1.16 –0.20 1.40 0.044 0.236 –0.30 1.30 –1.612 2.928

0.40 0.88 1.12 0.00 1.20 0.068 0.212 –0.10 1.10 –1.176 2.199

0.50 0.90 1.10 0.10 1.10 0.08 0.20 0.00 1.00 –0.947 1.855

0.60 0.92 1.08 0.20 1.00 0.092 0.188 0.10 0.90 –0.710 1.526

0.80 0.96 1.04 0.40 0.80 0.116 0.164 0.30 0.70 –0.211 0.903

1.00 1.00 1.00 0.60 0.60 0.140 0.140 0.50 0.50 0.325 0.325

µлевая = 0,4263•NPV + 0,8868

µправая = –0,2944•NPV + 1,066

S = •(NPVmax – NPVmin)12

p = SубыткаS

Владимир Мельников

bobmevish@gmail.com

icq 248-200-650

www.mevish.ru

Учет неопределенности и риска

1 cf

21c max

bmin

bmax

amin

amax

npv

max

Economy & Finance

Теория выбора в условиях...

Факторы риска пациентам

Принятие инженерных решений в...

ВЦИОМ: перед выборами в Армении...

НАЛОГОВЫЙ УЧЕТ - kpfu.ru · Тема 2....

cбор требований в условиях...

Открытый курс, занятие 1 часть 4 -...

Давыдова_Стратификация риска ПР

ОЦЕНКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ...

управленческий учет

ПРОГРАММА ПО ФИНАНСИРОВАНИЮ...

Факторы конфликта: события,...

ОЦЕНКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ...

дети группы риска

Факторы риска Курение

Анализ на риска

УЧЕТ В КОММЕРЧЕСКОМ БАНКЕ ·...

Сценарное прогнозирование...

Ценность и издержки...

Политика ilac по неопределенности...