Учет неопределенности и риска
DESCRIPTION
Теория принятия решений в МГТУ.TRANSCRIPT
Теория принятия решений
Владимир Мельников
Учет рисков
Показатель стоимости
1 (1 + i)n
Коэффициент дисконтирования:
NPV = ∑ CFn
(1 + i)n
T
n = 1
Чистый приведенная стоимость:
Ставка дисконтирования
Учет риска
‣ «В знаменателе»
‣ «В числителе»
‣ «В знаменателе и числителе»
?A
??
A
?
а) Учет риска в ставке дисконтирования
Учет риска в ставке дисконтирования
‣ Кумулятивная модельi = iбезриск. + iриск. + iинфл.
‣ CAPM (Capital Asset Pricing Model)i = iбезриск. + ß•(iрын. – iбезриск.) + L1 + L2
‣ WACC
Прогнозные показатели проекта
Год прогноза 1 2 3 4 5
Положительные CF 10 20 30 40 50
Отрицательные CF 5 10 20 40 90
Пример 1. Учет риска в «знаменателе»
Определить целесообразность вложения средств в проект. Определить стоимость проекта при двух различных ставках дисконтирования.
1) Ставка дисконтироания i = 10% (без учета риска)
2) Ставка дисконтироания i = 20% (с учетом риска)
Пример 1. Учет риска в «знаменателе»
‣ Экономический риск:‣ для доходов — риск недополучения дохода;
‣ для расходов — риск перерасхода.
‣ Чем выше риск, тем меньше чистая приведенная стоимость.
‣ Чем больше чистая приведенная стоимость, тем проект выгоднее.
б) Учет риска в денежном потоке
Дерево решений
Традиционно, основным элементом принятия решений в условиях риска является построение дерева решений.
Вершина решений Вершина
случаев
А
Б
z1
z2
Пример 2. Дерево решений
‣ Предприятие может реализовывать на рынке 2 вида продукции – А или Б.
‣ Прибыль от продажи продукта А составляет 100 у.е.
‣ Прибыль от продажи продукта Б составляет 80 у.е.
‣ Известно, что с вероятностью 30% в следующем году на рынке появится сильный конкурент и тогда предприятие сможет получить прибыль от продукта А только 40 у.е., на прибылях от продажи продукта Б появление конкурента не отразится.
Пример 2. Дерево решений
‣ Для уточнения ситуации на рынке можно провести маркетинговые исследования, затраты на которые составят 5 у.е.
‣ Вероятность правильного определения ситуации на рынке составляет 80%.
‣ Необходимо принять решение проводить или не проводить маркетинговые исследования и какую продукцию производить.
Пример 2. Дерево решений
Прибыль компании, у.е.
Выпускаемые продуктыВероятность, %
70% 30%
Продукт А 100 у.е. 40 у.е.Продукт Б 80 у.е. 80 у.е.
В виде таблицы:
Проведение маркетинга 5 у.е.
Вероятность правильного определения ситуации 80%
Пример 2. Дерево решений
Не проводить маркетинг
Проводить маркетинг
Пример 2. Дерево решений
Не проводить маркетинг
Проводить маркетинг
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Пример 2. Дерево решений
Не проводить маркетинг
Проводить маркетинг
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт Б
Продукт А
Пример 2. Дерево решений
Не проводить маркетинг
Проводить маркетинг
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт Б
Продукт А
Пример 2. Дерево решений
Не проводить маркетинг
40
100
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт Б
— Конкурент есть
— Конкурента нет
Продукт А
Пример 2. Дерево решений
Не проводить маркетинг
40
100
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
0,7
0,7
0,3
0,3
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт Б
— Конкурент есть
— Конкурента нет
Продукт А
Пример 2. Шансы того, что маркетинг укажет на неблагоприятную ситуацию
P(неблагопр.) — вероятность того, что маркетинг укажет на неблагоприятную ситуацию на рынке:
P(неблагопр.) = 0,8•P(конкурент) + 0,2•P(без конкурента)
P(благ.) — вероятность того, что маркетинг укажет на благоприятную ситуацию на рынке:
P(благ.) = 0,8•P(без конкурента) + 0,2•P(конкурент)
Пример 2. Шансы неблагоприятной и благоприятной ситуаций
Эти шансы определяются по формуле Байеса:
P(условная) = P(Б)•P(А)
∑P(Б)•P(А)m
i =1
P(условная) — вероятность того, что при условии А будет иметь место событие Б;
P(А) , P(Б) — вероятности событий А и Б;
m — число условий;
Пример 2. Шансы исходов
Не проводить маркетинг
40
100
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
0,7
0,7
0,37
0,37
0,9
0,9
0,1
0,1
0,63
0,63
0,3
0,3
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт А
Продукт Б
0,38
0,62
— Конкурент есть
— Конкурента нет
Пример 2. Процедура усреденения и свертывания
Не проводить маркетинг
8240
100
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
0,7
0,7
0,37
0,37
0,9
0,9
0,1
0,1
0,63
0,63
0,3
0,3
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт А
Продукт Б
0,38
0,62
— Конкурент есть
— Конкурента нет
0,3• 40 + 0,7• 100
(P1• U1 + P2• U2)
Пример 2. Процедура усреденения и свертывания
Не проводить маркетинг
8240
100
80
57
75
89
75
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
0,7
0,7
0,37
0,37
0,9
0,9
0,1
0,1
0,63
0,63
0,3
0,3
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт А
Продукт Б
0,38
0,62
— Конкурент есть
— Конкурента нет
Пример 2. Процедура усреденения и свертывания
Не проводить маркетинг
82 8240
100
80
57
75
89
75
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
0,7
0,7
0,37
0,37
0,9
0,9
0,1
0,1
0,63
0,63
0,3
0,3
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт А
Продукт Б
0,38
0,62
— Конкурент есть
— Конкурента нет
82 > 80Производя продукт А без маркетинга,
получаем в среднем 82 у.е., что выгоднее, чем производство
продукта Б
Пример 2. Процедура усреденения и свертывания
84
84
Не проводить маркетинг
82
75
89
8240
100
80
57
75
89
75
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
0,7
0,7
0,37
0,37
0,9
0,9
0,1
0,1
0,63
0,63
0,3
0,3
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт А
Продукт Б
0,38
0,62
— Конкурент есть
— Конкурента нет
Пример 2. Процедура усреденения и свертывания
84
84
Не проводить маркетинг
82
75
89
8240
100
80
57
75
89
75
35
95
35
95
80
80
75
75
75
75
Проводить маркетинг
0,7
0,7
0,37
0,37
0,9
0,9
0,1
0,1
0,63
0,63
0,3
0,3
Указывает на благоприятную ситуацию
Указывает на неблагоприятную
ситуацию
Продукт А
Продукт Б
0,38
0,62
— Конкурент есть
— Конкурента нет
Б
А
Дерево решений
Таким образом можно спрогнозировать и спланировать будущие денежные потоки для каждого из перидов.
CF1 CF2 CF3
q1 q2 q3
Эти данные можно использовать при дальнейшем расчете NPV.
Пример 3. Учет возможностей менеджмента
Предприятие собирается вывести на рынок новый товар.
Начальные инвестиции в 110 у.е. необходимы для завершения подготовительного этапа проекта, который длится год.
Еще 100 у.е. необходимо затратить на подготовку рекламной кампании через год — в момент начала производства.
Ожидается, что доходы поступят в распоряжение предприятия только на третий год с начала проекта.
Однако в настоящее время трудно определить, будет ли новый продукт пользоваться спросом. Вероятность позитивного развития событий составляет 75% (ожидаемый доход 340 у.е.), а негативного — 25% (ожидаемый доход 10 у.е.).
Прогнозные показатели проекта
Год прогноза 0 1 2 3
Расход (у.е.) 110 100
Приход (у.е.)
Пример 3. Учет возможностей менеджмента
В виде таблицы:
257,5
3400,75
0,25
CF(+) = 0,75•340 + 0,25•10 = 257,5
NPV = (–110) + (–100) ÷ 1,1 + CF(+) ÷ 1,33 = –7,29
10
Пример 3. Учет возможностей менеджмента
Предположим, что через год станет понятно, будет ли новый товар пользоваться спросом.
Таким образом, к началу первого года проекта у менеджеров будет возможность решить, стоит ли продолжать инвестировать в новый продукт или выгоднее остановить весь проект.
CF(+) = 0,75•340 + 0,25•0 = 255
NPV = (–110) + 0,75•(–100) ÷ 1,1 + CF(+) ÷ 1,33 = 13,7
Реальные опционы
Реальные опционы
‣ Колл — право купить по фиксированной цене.
‣ Пут — право продать по фиксированной цене.
‣ Американский — владелец может воспользоваться своим правом в любой момент до истечения установленного срока.
‣ Европейский — владелец может воспользоваться своим правом только в один установленный день.
Модель Блэка–Шоулза
Модель Блэка–Шоулза
Стоимость колл-опциона в модели Блэка–Шоулза можно записать как функцию пяти переменных:
S — текущая стоимость актива;
K — цена исполнения (фиксированная цена по которой можно реализовать актив);
t — срок жизни опциона (время до следующей точки принятия решения);
r — безрисковая процентная ставка, соответствующая сроку жизни;
∂ — дисперсия натурального логарифма, коэффициента показывающего изменение стоимости актива, который можно определить как «коэффициент доходности актива».
Модель Блэка–Шоулза
ln ( – 1) Rt
Rt–1
Стоимость в настоящий момент времени
Стоимость в предыдущий момент времени
∂
( )
Модель Блэка–Шоулза
V = S•N(d1) – K•e–rt•N(d2)
Стоимость колл–опциона:
d1 = ln( )S
K + (r + )•t ∂2
2
∂•√t
d2 = d1 – ∂•√t
Вероятности, оцененные посредством использования кумулятивной функции стандартизированного нормального распределения, а также величин d1 и d2.
Модель Блэка–Шоулза
Распределение Гаусса. Нормальное распределение.
d
∞–
N(d) = ∂•√2π1 e 2
t2
dt
N(d1)
Пример 4. Модель Блэка–Шоулза
Для начала разработок нового продукта предприятию требуется осуществить инвестиции в НИОКР в размере 13,62 у.е.
Предприятие может отсрочить начало разработок на 103 дня (0,28 года). Но для осуществления данной отсрочки потребуется дополнительно затратить 2 у.е. на оплату простоя коллектива разработчиков. Кроме того затраты на разработку в таком случае составят 15 у.е.
Отклонение логарифма доходности вложения в разработки в этой сфере в прошлые периоды составляло 81%.
Стоимость привлечения капитала составляет 4,63% (в непрерывном исчислении).
Вопрос: целесообразно ли платить 2 у.е. за отсрочку?
Биноминальная модель
Биноминальное распределение
Для формирования биноминального распределения случайная перемнная должна отвечать следующим условиям:
‣ Переменная может принимать только 2 значения в данный момент времени или в результате какого-либо события. Каждое из этих моментов называется «попыткой». Два возможных результата называются «успех» и «неудача».
‣ Для каждой последовательности попыток вероятность успеха и неудачи постоянна.
‣ Все попытки идентичны.
‣ Все попытки независимы.
Sdu
Биноминальное распределение
X–бином (n, p)
S
Su
Sd
j = 0
Su
Sd
S
Su2
Sud
Sd2
j = 1
j = 2
Биноминальное распределение
Количество способов достижения j успехов из n попыток:
С = n!j!•(n – j)!
nj
Вероятность получения j успехов с n попыток:
p(x = j) = C •pj•(1 – p)(n – j)nj
Пример 5. Биноминальное распределение
Задано распределение с двумя биноминальными попытками. Вероятность успеха составляет 50%.
S
Su
Sd
Su2
Sud (Sdu)
Sd2
Найти вероятности исходов.
Пример 5. Биноминальное распределение
Определим число способов получения одного успеха:
С = n!j!•(n – j)!
nj = 2!
1!•(2 – 1)! = 2
Пример 5. Биноминальное распределение
Определим вероятность получения одного успеха:
p(Sud) = C •pj•(1 – p)(n – j) =nj
= 2 •0,51•(1 – 0,5)(2 – 1) = 0,5
Биноминальное дерево цен активов
Расчет ожидаемого значения цены актива с применением биноминальной модели состоит из трех шагов:
‣ Создание биноминальго дерева возможных цен.
‣ Определение вероятностей каждого из возможных результатов.
‣ Умножение каждого из возможных результатов на его вероятность.
Сумма произведений и составит ожидаемое значение.
Пример 6. Дерево цен активов
Найти значение цены актива по истечении двух временных интервалов.
Допустим, что в результате каждой попытки существует вероятность роста цены, равная 0,5.
Допустим также, что изменение цены в один период не зависит от изменения цены в другой период.
Цена может изменяться в 1,10 (рост) или 0,90 (падение) раз.
Пример 6. Дерево цен активов
S = 50
Su
Sd
Su2
Sud = Sdu
Sd2
Пример 6. Дерево цен активов
S = 50
Su = 55
Sd = 45
Su2 = 60,5
Sud = Sdu = 50
Sd2 = 40,5
Пример 6. Дерево цен активов
S = 50
Su = 55
Sd = 45
Su2 = 60,5
Sud = Sdu = 50
Sd2 = 40,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
60,5•0,25 + 50•0,5 + 40,5•0,25 = 50,25
Цена опциона на покупку
Никто не станет платить за опцион на покупку актива больше, чем разница между тем, что нужно заплатить для покупки актива на рынке, и тем, что нужно запатить по опциону, т.е. ценой исполнения.
С = max[0, S – K]
Стоимость колл-опциона
Цена актива на рынке
Цена исполнения опциона
Цена опциона на продажу
В случае опциона на продажу актива никто не будет платить за этот опцион больше, чем разница между ценой, по которой актив может быть продан на открытом рынке, и ценой, по которой этот актив будет продан по опциону.
P = max[0, K – S]
Стоимость пут-опциона
Цена актива на рынке
Цена исполнения опциона
Имитирующий портфель
Цель создания имитирующего портфеля — это использование комбинации безрискового заимствования и базового актива для создания денежного потока, аналогичного денежному потоку, создаваемому оцениваемым опционом.
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
Предположим, что цена основного актива (S) составляет 35 у.е., цена исполнения опциона (K) составляет 35 у.е.
Безрисковая процентная ставка (r) 10%. Срок действия опциона 1 год.
Дополнительно допустим, что в конце года цена актива либо поднимется на 25%, либо упадет на 25%.
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
S = 35
Su = 43,75
Sd = 26,25
C
Cu = max[0, 43,75 – 35] = 8,75
Cd = max[0, 26,25 – 35] = 0
Стоимость актива
Стоимость опциона
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
На данном этапе у нас возникает две задачи:
‣ Найти, сколько опционов (H) необходимо продать, чтобы портфель был безрисковым.
‣ Определить справедливую цену, по которой эти опционы должны быть проданы.
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
1. Количество опционов (H), которое следует продать для создания безрискового портфеля.
H = Su – SdCu – Cd = 43,75 – 26,25
8,75 – 0
Размах цен актива
Размах стоимости опциона
= 2
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
S – H•C
Su – H•Cu = 26,25
Sd – H•Cd = 26,25
Sd – H•Cd = 26,25 – 2•0 = 26,25
Su – H•Cu = 43,75 – 2•8,75 = 26,25
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
2. Справедливая цена, по которой нужно продать опцион в настощий момент. Текущая стоимсость портфеля, состоящего из покупки актива по рыночной цене S и продпжи 2х опционов и имеющего безрисковую ставку в течение одного года должна быть равна текущей стоимости доходов в конце года. Этот доход в конце года составляет:
Su – H•Cu = (S – H•C)•(1 + r) = 26,25
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
Если R = (1 + r), где r — безрисковая процентная ставка,
тогда:
R•(S – H•C) = Su – H•Cu
C = Cu• + Cd• / R[ ]R – du – d
u – Ru – d
Пример 7. Создание портфеля-имитатора
C = 8,75• + 0• / 1,1[ ]1,25 – 1,1
1,25 – 0,75
1,1 – 0,75
1,25 – 0,75= 5,57
Пример 8. Многопериодная модель
Пример 8. Интерпретация
Приведенная стоимость будущих денежных потоков поступлений при условии немедленного начала инвестиций S = 35 у.е.
Объем инвестиций K = 35 у.е.
Безрисковая процентная ставка r = 2,4% в квартал. Пересмотреть решение о начале инвестирования можно раз в квартал.
Стандартное отклонение приведенной стоимости денежного потока ∂ = 20%.
Пример 8. Многопериодная модель
Кокс (1979 г.) показал, что величины потенциального движения вверх и вниз (u и d) соотносятся с показателем волатильности (∂) следующим образом:
‣ u = e∂•√(t / n)
‣ d = e–∂•√(t / n)
Пример 8. Многопериодная модель
S = 35
35•1,10517(Su)
Пример 8. Многопериодная модель
S = 35
38,68
42,75
47,25
52,21
35•1,10517(Su)
Пример 8. Многопериодная модель
S = 35
38,68
31,67
42,75
35
28,65
47,25
38,68
31,67
25,93
28,65
23,46
42,75
35
52,21
35•1,10517(Su)
35•0,9484(Sd)
Пример 8. Многопериодная модель
47,25
38,68
31,67
25,93
28,65
23,46
42,75
35
52,21
C = max[0, S – K]
…
…
…
Пример 8. Многопериодная модель
47,25
38,68
31,67
25,93
28,65
23,46
42,75
35
52,2117,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21
C = max[0, S – K]
…
…
…
Пример 8. Многопериодная модель
47,25
38,68
31,67
25,93
28,650
23,460
42,757,75
350
52,2117,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21
C = max[0, 42,75 – 35] = 7,75
C = max[0, 35 – 35] = 0
C = max[0, 28,65 – 35] = 0
C = max[0, 23,46 – 35] = 0
C = max[0, S – K]
…
…
…
Пример 8. Многопериодная модель
S = 35
38,68
31,67
42,75
35
28,65
47,2513,07
38,68
31,67
25,93
28,650
23,460
42,757,75
350
52,2117,21
C = Cu• + Cd• / R[ ]R – du – d
u – Ru – d
C = Cu• + Cd• / 1,024[ ]0,5948 0,4052
Пример 8. Многопериодная модель
S = 35C = 4,37
38,686,48
31,671,52
42,759,38
352,62
28,650
47,2513,07
38,684,51
31,670
25,930
28,650
23,460
42,757,75
350
52,2117,21
C = Cu• + Cd• / R[ ]R – du – d
u – Ru – d
C = Cu• + Cd• / 1,024[ ]0,5948 0,4052
Пример 8. Интерпретация
S = 35C = 4,37
38,686,48
31,671,52
42,759,38
352,62
28,650
47,2513,07
38,684,51
31,670
25,930
28,650
23,460
42,757,75
350
52,2117,21
Нечеткие множества
Теория нечетких множеств
Подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых преход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен.
Пример нечетких данных
Нечеткое множество может отражать:
‣ Лингвистические понятия
‣ Нечеткие числа
Пример:
‣ Около 30 минут
‣ Большая процентная ставка‣ Прибыль порядка 20 у.е.
Функция принадлежности
Функция принадлежности отражает распределение уверенности в отношении некоторого моделируемого понятия для свои ̆ства А на множестве значении ̆ переменнои ̆ Х, выбраннои ̆ для представления данного свои ̆ства А.
!"#$%!&'!(')*+,#'-./,0!,!&#,/12,0!#*3*/,4!-!"$+'-,15!/*'&#*)*+*//'$2,!
!
!!"##$!!"#$%&'(!)*+!,%!-".%/&'0"1!2&3&!
!
"!
!
'(!"
"
43
!!
5'67&"0!)#!*!47&08'(!$/'&%9:;<&"6='!&;.;=0">"!#&"<;6=1%!
!
!
!"!"!"#!"#$%&'#()*+,+#+-'.!'#("#$%&'#/-$0+-'.#12-34''#
)*'-$,#+5-(%&'#-+0+&3(6(#7-(5+%&8$! '(!" !
!
#! !"#$%&'# ()*+,+#+-'.# $-(%'&+#9# -+0+&3(6(# 7-(5+%&8$%"!?;="9":">'.;60';!='$@!'!"=:'.'(&!
)&!A'&>1'6='.;60';+!
,! 7$"/(9".;&&@;!(3/'#;/+!-#&">"!,!#%:".'+!
!! "$/;9;:;&"!/%66="(&';!(#;=/'.;60';'/!
!! &;=!/%66="(&'(!(&;!#;=/'.;60';'/!
,! &;!7$"/(9".;&&@;!(-#%B'&%%!$%/"C"9%!$";D9.'&!
"&!E'6:"1@;+!
,! 9'60/;=&@;/!
,! &;$/;/@1&@;&!
0&!E'6:"1@;!&;.;=0';!#&"<;6=1%+!
,! &;.;=0';!.'6:%%!79"1:;=1"/(FG';!%06'"#%#!%/'H#;='0'/!
,! &;.;=0';! .'6:%! (&;.;=0';! .'6:"1@;! $;/;#;&&@;'%!
D%9%FG';6(!$/"'D1":I&@#'!H7&08'(#'!$/'&%9:;<&"6='!
&%!#&"<;6=1;!9;J6=1'=;:I&@C!.'6;:&!
!
#! *;.;=0';! .'6:%! '! &;.;=0';! .'6:"1@;! $;/;#;&&@;! '#;F=! 6C"96=1"! '!
/%D:'.';!#;<97!6"K"J&!!
!
Математический аппарат
Определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами.Пусть C и D — два нечетких подмножетва А с функциями принадлежности µC(x) и µD(x).Пересечением , произведением, объединением, отрицанием, суммой называются такие нечеткие подмножества А с функциями принадлежности:
‣ µC D(x) = min (µC(x), µD(x))
‣ µCUD(x) = max (µC(x), µD(x))
‣ µC(x) = 1– µC(x)
‣ µC•D(x) = µC(x)•µD(x)
‣ µC+D(x) = µC(x) + µD(x) – µC(x)•µD(x)
U
Свойства нечетких множеств
Законы де Моргана для нечетких множеств:
A B = A BU
U
A B = A BU
U
A B = A B+
•
A B = A B+
•
Свойства нечетких множеств
Дистрибутивный закон для нечетких множеств
1. Для любых нечетких множеств A, B и C:
A (B C) = (A B) (A C)UU
UU U
2. В то же время равенство:
A•(B + C) = (A•B) + (A•C)
справедливо тогда и только тогда, когда:
(µ2A(x) – µA(x))•µB(x)•µC(x) = 0
Треугольные нечеткие числа
Треугольные нечеткие числа
Треугольное нечеткое число (ТНЧ) описывается функцией принадлежности следующего вида:
amin amaxa0
1
A
µA
A = (amin, a, amax)Значимые точки числа А
Треугольные нечеткие числа
Значения функции принадлежности для ТНЧ :
amin amaxa0
1
A
µA
µA =
0, x < amin
0, x > amax
1, x = a
x – amin
a – amin, amin < x < a
amax – xamax – a , a < x < amin
Треугольные нечеткие числа
Допустим есть два нечетких числа A и B их интервалы принадлежности [amin, amax] и [bmin, bmax] соответственно, тогда операции с этими интервалами выражаются через операции с действительными числами по следующим правилам:
[amin, amax] + [bmin, bmax] = [amin + bmin, amax + bmax]
[amin, amax] – [bmin, bmax] = [amin – bmax, amax – bmin]
[amin, amax] • [bmin, bmax] = [amin•bmin, amax•bmax]
[amin, amax] / [bmin, bmax] = [amin / bmax, amax / bmin]
[amin, amax]n = [aminn, amaxn]
Вычисления с нечеткими числами
В результате расчетов с ТНЧ также получаются нечеткие числа:
NPV = ∑ CF (1 + i)n
T
n = 1
[NPVmin, NPV, NPVmax]
Пример 1. Нечеткие множества
Предприятие планирует открыть цех по производству бумажных самолетиков. Приемлемая норма доходности колеблется от 10% до 30%. Основные показатели этого проекта приведены в таблице:
ПоказательГод прогноза
1 2 3 4 5
Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Зарплата 2 2 2 2 2
Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25
Дополнительные затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40
Пример 1. Нечеткие множества
ПоказательГод прогноза
1 2 3 4 5
Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Зарплата 2 2 2 2 2
Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25
Дополнительные затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40
(1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9
Пример 1. Нечеткие множества
ПоказательГод прогноза
1 2 3 4 5
Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Зарплата 2 2 2 2 2
Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25
Дополнительные затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40
(1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9
ЧеткиеЗависимые
Нечеткие
Пример 1. Нечеткие множества
Алгоритм расчета:
Выручка
– Четкие и зависимые расходы
= Промежуточное ТНЧ
– Нечеткие расходы
= Денежный поток (CF)
/ Дисконт
= NPV
Пример 1. Нечеткие множества
ПоказательГод прогноза
1 2 3 4 5
Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Зарплата 2 2 2 2 2
Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25
Доп. затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40
(1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9
1) Выручка –– Зарплата – Материалы –2, 1, 3 –2, 3, 8 … … …
2) [1] – Доп. затраты –4, –1, 1 –6, 1, 8 … … …
DCF –4/1.3, … … … … …
Уровень принадлежности
a1 a2a0
1
A
µA
a1 = amin•(1 – ß) + a•ß
ß
amin amax
a2 = amax•(1 – ß) + a•ß
Анализ рискаОбщая постановка вопроса
Пример 2. Анализ риска
Параметры I1 I I2 V1 V V2 r1 r r2 C1 C C2
Значения 0.90 1.00 1.10 0.10 0.60 1.10 0.08 0.14 0.20 0.00 0.50 1.00
NPV1 = –I2 + ∑ V1
(1 + r2)n
T
n = 1
C1
(1 + r2)Т+
NPV2 = –I1 + ∑ V2
(1 + r1)n
T
n = 1
C2
(1 + r1)Т+
Пример 2. Анализ риска
Параметры I1 I I2 V1 V V2 r1 r r2 C1 C C2
Значения 0.90 1.00 1.10 0.10 0.60 1.10 0.08 0.14 0.20 0.00 0.50 1.00
NPV1 = –0,947
Предположим, что проект длится 2 года (T = 2) и денежные потоки в эти годы одинаковы.
NPV = 0,325
NPV2 = 1,855
Пример 2. Анализ риска
ß I1 I2 V1 V2 r1 r2 C1 C2 NPV1 NPV2
0.00 0.80 1.20 –0.40 1.60 0.020 0.260 –0.50 1.50 –2.020 3.720
0.20 0.84 1.16 –0.20 1.40 0.044 0.236 –0.30 1.30 –1.612 2.928
0.40 0.88 1.12 0.00 1.20 0.068 0.212 –0.10 1.10 –1.176 2.199
0.50 0.90 1.10 0.10 1.10 0.08 0.20 0.00 1.00 –0.947 1.855
0.60 0.92 1.08 0.20 1.00 0.092 0.188 0.10 0.90 –0.710 1.526
0.80 0.96 1.04 0.40 0.80 0.116 0.164 0.30 0.70 –0.211 0.903
1.00 1.00 1.00 0.60 0.60 0.140 0.140 0.50 0.50 0.325 0.325
I1 = Imin•(1 – ß) + I•ß
I2 = Imax•(1 – ß) + I•ß
Пример 2. Анализ риска
ß I1 I2 V1 V2 r1 r2 C1 C2 NPV1 NPV2
0.00 0.80 1.20 –0.40 1.60 0.020 0.260 –0.50 1.50 –2.020 3.720
0.20 0.84 1.16 –0.20 1.40 0.044 0.236 –0.30 1.30 –1.612 2.928
0.40 0.88 1.12 0.00 1.20 0.068 0.212 –0.10 1.10 –1.176 2.199
0.50 0.90 1.10 0.10 1.10 0.08 0.20 0.00 1.00 –0.947 1.855
0.60 0.92 1.08 0.20 1.00 0.092 0.188 0.10 0.90 –0.710 1.526
0.80 0.96 1.04 0.40 0.80 0.116 0.164 0.30 0.70 –0.211 0.903
1.00 1.00 1.00 0.60 0.60 0.140 0.140 0.50 0.50 0.325 0.325
Пример 2. Анализ риска
µлевая = 0,4263•NPV + 0,8868
µправая = –0,2944•NPV + 1,066
S = •(NPVmax – NPVmin)12
p = SубыткаS
Владимир Мельников
icq 248-200-650
www.mevish.ru