algoritmusok tk ekf

Eszterhzy Kroly Fiskola

Matematikai s Informatikai Intzet

Algoritmusok

Geda Gbor

Eger, 2012

Tartalomjegyzk

1. Elsz 4

2. Bevezets 6

2.1. Adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Tpusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Az adatszerkezetek osztlyozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. A vezrls lehetsgei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Fogalmak, jellsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1. Hatkonysg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.2. Folyamatbra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.3. Lernyelv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.4. Vezrlsi szerkezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.5. Szekvencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.6. Szelekci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.7. Iterci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Alapalgoritmusok 32

3.1. Sorozatszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1. sszegzs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2. Megszmlls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3. Kivlogats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.4. Minimum- s maximumkivlaszts . . . . . . . . . . . 34

3.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Keress, rendezs 46

4.1. Sorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2. Keress sorozatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1. Eldnts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.2. Lineris keress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.3. Kivlaszts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2.4. Strzss keress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

4.2.5. Lineris keress rendezett sorozatban . . . . . . . . . . 53

4.2.6. Binris keress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3. Rendezs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.1. Beszr rendezs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2. Shell rendezs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.3. sszefuttats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Halmaz 81

5.1. Feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6. A verem s a sor 84

6.1. A verem alkalmazsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.1. Posztxes kifejezs kirtkelse . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.2. Inxes kifejezs ellenrzse . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2. A verem megvalstsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3. Sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3.1. Lptel sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3.2. Ciklikus sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Irodalomjegyzk 99

2

1. Elsz

Az informatika tudomnynak ezt, a tbbihez kpest viszonylag llandnak

mondhat terlett sokan, sokfle mdon kzeltettk mr meg. Szmtalan

igen rtkes munka szletett. Az jabbak klnsen a hasonl, bevezet

jellegek rst elssorban nem is az ismeretanyag tartalmi vltozsa teszi

szksgess, sokkal inkbb a clkznsg ignyel ms, jabb megkzeltst.

Maga az algoritmus kifejezs a bagdadi arab tuds, al-Hvrizmi (Abu

Dzsafar Muhammad bin Msza al-Hvrizmi, lt kb. 780-tl kb. 845-ig, Al-

Khvorizmi, Al-Khorizmi stb.) nevnek eltorztott, rosszul latinra fordtott

vltozatbl ered. A idszmts utn 700-1200 kztt eltelt idszak az arab

birodalmakban a kultra, a tudomny virgzsnak ideje volt. Ennek rsz-

ben a mongol, rszben a keresztny hdtsok vetettek vget. Az arabok

legnagyobbrszt a hinduktl, Eurpa pedig al-Hvrizmitl s utdaitl vette

t nemcsak a helyirtkes, tzes rendszer szmrst

1

, hanem az alapfok

algebrai s trigonometriai ismereteket is (szveges egyenletek felrsa, meg-

oldsa).

Az akkori idk egyik legnagyobb hats mve a trsgben, taln rgtn a

Korn utn, minden bizonnyal az al-Hvrizmi ltal rt Algebra (Al-kitab al-

muktaszr -hiszb al-dzsabr val-mukabala = Rvid knyv a helyreraksrl

(al-dzsabr) s az sszevonsrl) volt. Az al-dzsabr szbl ered mai algebra

szavunk. De al-Hvrizmi rt egy aritmetikai jelleg, a hindu tzes szmrend-

szert ismertet knyvet is, ez csak latin fordtsban maradt meg, cme gy

kezddik: Dixit Algorithmi (Ezt mondja al-Hvrizmi:). Innen eredt a latin

sz, ami aztn sztterjedt a tbbi eurpai nyelvben is. A 820 krl rt knyv

eredetije eltnt, a cm teljes latin fordtsa a kvetkez: Liber Algorithmi

de numero Indorum (azaz Algorithmus knyve az indiai szmokrl). A

hindu szmrst ismertet knyvt az Al-Mamn kalifa (Harun ar-Rasid a,

lsd: Ezeregyjszaka...) ltal ptett bagdadi Blcsessg Hz-ban rta. A

knyvet Adelard bathi angol szerzetes fordtotta a XII. szzadban, ebbl a

fordtsbl s egyb arab eredet forrsbl ismerte meg Eurpa az j szm-

rst. Az arab forrsok miatt terjedt el az arab szmok kifejezs, amely

1

addig rmai szmokkal illetve abakusszal, az kor szmolgpvel szmoltak.

3

elfedi a hindu eredetet.

Az algoritmus a matematika s az informatika fontos fogalma. Az elmleti

informatika egyes rszterletei foglalkoznak velk, gy az algoritmuselmlet,

a bonyolultsgelmlet s a kiszmthatsgelmlet. Szmtgpes programok

is gy vezrlik a szmtgpeket.

Egy problma megoldsra irnyul, adott szinten elemi lpsek sorozata

akkor tekinthet algoritmusnak, ha van egy vele ekvivalens Turing-gp, ami

minden megoldhat bemenetre megll.

4

2. Bevezets

Az let klnbz terletein felmerl feladatok megoldsra mr a szm-

tgpek megjelense eltt is meg tudtk adni olyan lpsek sorozatt, amely

elvezet az adott problma megoldshoz. Gondoljunk csak bele, hogy az

Euklideszi algoritmus utastsait kvetve meg tudjuk hatrozni kt egsz

szm legnagyobb kzs osztjt, vagy mr a kisiskolsok is ismerik, hogyan

tudjk papron sszeadni, kivonni, szorozni vagy osztani egymssal azokat

a szmokat, amelyekkel ezeket a mveleteket fejben nem kpesek elvgez-

ni. Geometria rn szintn megtanuljk, hogy milyen lpsek sorozata vezet

el egy szakasz felez-merlegeshez vagy egy szg szgfelezjhez. Ilyen s

ehhez hasonl tevkenysgsorozatok elsajtttatsa hossz id ta clja az

oktatsnak. Teht az oktats egyik f clja a problmamegoldsra val fl-

kszts. sszetettebb problmk megoldsra is ezek rvn a mintk rvn

vagyunk kpesek.

Teht akkor, amikor a szmtgpet a problmamegoldsban hvjuk se-

gtsgl, akkor csupn kt dogot kell tenni.

1. Az adott feladat jellemzit, a problma lerst meg kell jelentennk

a szmtgpben.

2. A feladat megoldshoz vezet lpseket szintn a szmtgppel kell

vgrehajtatnunk.

Lnyegben ezt nevezzk programksztsnek. Ezt a folyamatot s annak bi-

zonyos sszefggseit szemllteti a 2.1 bra. Az brn jl elklntve lthat

a folyamat trgyalsunk szempontjbl fontos t szakasza s azok kztti

kapcsolatrendszer.

1. Specikci:

A feladat clkitzseit fogalmazza meg. Itt hatrozzuk meg pontosan,

hogy milyen adatok llnak rendelkezsre s azokkal kapcsolatban mi-

lyen elvrsaink lehetnek (elfelttel). Itt kell rgzteni azt is, hogy az

adatok feldolgozstl mit vrunk, azaz milyen tulajdonsgokkal ren-

5

delkez (utfelttel) kimenetet szeretnnk

2

, azaz lerjuk a bemenet s

a kimenet kztti sszefggst.

2. Tervezs:

Ennek a fzisnak a sikerhez elengedhetetlen a pontos specikci. Itt

hatrozzuk meg az algoritmusok tervezsvel a bemenettl a kimenetig

vezet utat s az adatszerkezetek kialaktsval azokat az eszkz-

ket, amelyekkel ezen az ton vgig kvnunk menni. Adatszerkezetek

s az algoritmusok tervezsnek klcsns kapcsolatt jelzi a 2.1 brn

a kzttk lv nyl, ugyanis az adatszerkezet megvlasztsa meghat-

rozza a vele vgezhet mveleteket s viszont, ha eldntjk, hogy mi-

lyen algoritmust szeretnnk flhasznlni, gyakorlatilag leszktettk az

adatszerkezetek krt is, ahonnan vlaszthatunk az adataink brzo-

lsra. Termszetesen a feladat jellege mr jelentsen befolysolja azt

is, hogy milyen programozsi nyelvet vlaszthatunk. Ha azonban dn-

tttnk az algoritmusok s az adatszerkezetek vonatkozsban, akkor

ezzel tovbb szklhet a vlaszhat programozsi nyelvek kre.

Az elzekben szerettk volna rzkeltetni, hogy a tervezsi szakasz-

ban hozott dntseink mennyire meghatrozak lesznek a program s

nem utols sorban munkavgzs minsge szempontjbl is. A prob-

lmhoz rosszul illeszked adatstruktra nagyon megbonyolthatja az

algoritmusainkat, de a valban jl flptett adatmodell lnyegesen le-

egyszerstheti azt, ezzel hatkonyabb tve a fejlesztk munkjt, de

a ksbbi program mkdst is. Teht a tervezs fzisban az adat-

szerkezetek, a velk vgezhet mveletek ltal meghatrozott algorit-

musok s az elz kett implementlsra szolgl programozsi nyelv

sszehangolt megvlasztsa dnt fontossg a tovbbi munka sikere

szempontjbl.

3. Kdols:

Ebben a szakaszban valstjuk meg a korbbiakban megtervezett al-

2

Termszetesen fontos krds az is, hogy az rendelkezsre ll adatok birtokban,

azok feldolgozsval egyltaln a kvnt eredmny elrhet-e?

6

goritmust s adatszerkezetet a vlasztott programozsi nyelven. (Ha

az elzekben elg krltekinten jrtunk el, akkor ez a nagyon fontos

munka szinte mechanikusan is trtnhet.)

4. Tesztels, hibajavts:

A munknak ebben a szakaszban ellenrizzk, hogy a program megfe-

lel-e e a specikciban foglaltaknak. A program sszetettsgtl fg-

gen tbb-kevesebb hibra mindig kell szmtanunk, de kellen alapos

tervezssel elkerlhetk azok a slyos hibk, amelyek a tervezsi sza-

kaszban gykereznek s javtsukhoz pldul az adatmodell mdost-

sa, vagy az algoritmusok jra gondolsa szksges.

5. Dokumentls:

Idelis esetben ez a tevkenysg vgig ksri a fejleszts teljes folya-

matt. Br sok esetben, a munka sorn nem ltjuk t a fontossgt,

klnsen a program utlete vonatkozsban fontos lelkiismeretesen

vgeznnk.

A korbbiakban kt nagyon fontos, jellegkben is eltr kategrirl volt

sz. Mindkettvel kapcsolatban lehetnek elkpzelseink akr a htkznapi

tapasztalataink alapjn is, hiszen az adatok mr a szhasznlat rvn is

szinte htkznapi fogalomnak szmtanak, az algoritmusoknak pedig az a

leegyszerstett megfogalmazsa, miszerint valamely problma megoldsra

irnyul elemi lpsek sorozataknt adhat meg, szintn kzrthet, ennl

fogva szintn megfelel alapokat biztost a tovbbi trgyalshoz.

Mindezek megvalstsra az vek sorn szmtalan ltalnosan hasznl-

hat, vagy ppen specilis eszkzt hoztak ltre.

A mindennapi let, vagy akr a tudomny klnbz terletein gyakran

ptoljuk az eredetit valami hasonmssal. Leegyszerstve s ltalnost-

va a kett kztt csupn az a klnbsg, hogy nem minden paramterk

azonos. Pontosabban, a hasonms csak a szmunkra fontos paramtere-

iben egyezik meg az eredeti paramtereivel (vagy csak kzelti meg azt),

gy csak bizonyos szempontbl alkalmas az eredeti helyettestsre. Pldul

ltalban a kirakatban sem l emberekre aggatjk a ruhkat, holott nekik

7

2.1. bra. A programkszts lpsei.

szeretnk eladni. Mindenesetre a kirakati bbok mretket s alakjukat te-

kintve hasonlak az emberhez, gy a clnak megfelelnek. Bevett gyakorlat

volt, hogy az embereknek sznt gygyszereket llatksrletekkel teszteltk

mieltt a gygyszat gyakorlatba bevezettk volna az alkalmazsukat. Eb-

ben az esetben termszetesen a formai klnbzsg az elhanyagolhat, s

sokkal fontosabb a kt szervezet (emberi s llati) mkdsbeli hasonls-

ga. Korbban, a klnbz jrmvek tervezse sorn, pldul autk, hajk,

replgpek ramlstani vizsglataihoz elksztettk azok ltalban kicsiny-

tett vltozatt. Ezek csak formjukat tekintve egyeztek meg az eredetivel,

de mretbeli klnbsgen tl ltalban funkcionlisan is klnbznek attl

(pldul nincsen bennk motor). Ilyen esetekben azt mondjuk, hogy model-

leket ksztnk s alkalmazunk. ltalban vve modellnek nevezzk teht

azokat a dolgokat, amelyek csak a szmunkra fontos paramtereikben egyez-

nek meg a modellezni kvnt objektummal, jelensggel.

8

A minket krlvev vilg legklnbzbb dolgairl jegyznk meg illetve

rgztnk klnfle szmunkra fontos informcikat, ugyanakkor msokat,

amelyek nem szksgesek a szmunkra holott az adott dolog pontos jel-

lemzshez azok is szksgesek egyszeren elhanyagolunk. Az ilyen mdon

sszetartoz adatok sszessgt, amely adatok kztti logikai kapcsolatot

pontosan az jelenti, hogy ugyanazt a dolgot jellemzik, adatmodellnek ne-

vezzk. Az adott dolog adatmodellje teht nem fogja tartalmazni az adott

feladat szempontjbl lnyegtelen jellemzkre vonatkoz adatokat.

A modell teht a vals vilg illetve annak egy rsznek absztrakcija r-

vn jn ltre. Az ilyen adatmodell megalkotsa nagyon hasonlt a szveges

matematikai feladatok

3

esetben a megolds els lpseihez, amikor az ada-

tok rgztse, jellsek bevezetse, s az egyes adatok kztti sszefggsek

keresse trtnik. Lnyegben teht itt is adatmodellt ptnk s az adatmo-

dellnkkel klnbz mveleteket vgznk, hogy eljussunk a megoldshoz.

Az elvonatkoztatsok sorn begyakorolt sablonok alkalmazsa a ksbbiek-

ben segt minket olyan feladatok megoldsban, amilyenekkel korbban nem

is tallkoztunk. Valjban az algoritmizls sorn is hasonl szveges fel-

adatokat kell megoldanunk, de a helyzet annyival bonyolultabb, hogy pro-

duklnunk kell mg az adatmodell s a megolds menetnek egy viszonylag

kttt eszkzrendszer segtsgvel trtn lerst is a szmtgphez kzeli

formban.

2.1. Adatok

A legklnflbb dolgok s jelensgek rendszerknt val megkzeltse egy

a tudomnyterletektl fggetlen szemlletmd, amelynek kialaktsra az

informatika oktatsa ezen bell az algoritmizls s a programozs tantsa

sorn klnsen j lehetsgek knlkoznak. Ez a ltsmd a legklnflbb

terleteken kamatoztathat a problmamegolds sorn.

Egy rendszernek tekintjk a vals dolgok azon rszt, amely fontos a

vizsglt problma szempontjbl, az egyes rszek kztti kapcsolatok miatt.

3

Termszetesen ez igaz ms tudomnyterletek szmtsi feladataira is, hiszen egy

szmtsi feladat mondjuk a kmia terletrl flfoghat gy, mint egy szveges

matematikafeladat (pl.: keversi feladatok).

9

Br a rendszer behatrolsval a valsg jelents rszt eleve kizrjuk, a

rendelkezsnkre ll erforrsok vgessge miatt ltalban mg az ezeket

jellemz adatokat s sszefggseket sem tudjuk maradktalanul lerni. A

modellalkots az az eszkz, amely a vals rendszer absztrakcija rvn a l-

nyegtelen jellemzket elhagyva a rendelkezsre ll ismereteket kezelhetv

teszi. A vals rendszer flptst a rszei kztti kapcsolatok alapjn ad-

hatjuk meg. Ezeknek a kapcsolatoknak kell visszatkrzdnik a rendszer

adatmodelljben is.

2.2. Tpusok

Az adatmodell hatkonyabb implementlsa rdekben az egyes programo-

zsi nyelvek a tapasztalatok alapjn tbb-kevsb hasonl adattpusok hasz-

nlatt teszik lehetv.

Bizonyos adatok esetben nincs rtelme valamely rszket elklnteni

s azzal mveletet vgezni. Mivel az ilyen adatoknak nincsenek nll jelen-

tssel br rszei, gy nincs rtelme beszlni a rszek kapcsolatrl sem, teht

a szerkezetktl sem. Az ilyen adatokra azt mondjuk, hogy elemi tpusak.

Az algoritmusok tervezse vonatkozsban ezek elssorban elvi kategrit

kpviselnek, s a jobb tlthatsg rdekben clszernek tnik viszonylag

kevs szm elemi tpus bevezetse, termszetesen annak szem eltt tart-

sval, hogy a fejleszts ksbbi fzist jelent kdols sorn ez ne jelentsen

problmt.

A fentieknek megfelelen a ksbbiekben az adatok jellege miatt a k-

vetkezket tekintjk elemi tpusoknak:

egsz,

vals,

logikai,

szveg.

Az elemi tpusok kz szoktk sorolni a karaktereket is. Br a szveg valban

karakterekbl ll s valban lehet rtelme vizsglni az egyes karaktereket is

10

csak gy, ahogyan egy egsz szm egyes helyirtkein ll szmjegyeket

(pldul oszthatsg szempontjbl, vagy az egy bjton brzolt egsz leg-

alacsonyabb helyirtk bitjt hasonl cllal). Az esetek tbbsgben azon-

ban az egyes karakterek a feladat szempontjbl nem rtelmezhetek, vagy

az algoritmizls sorn nincs szksg arra. A tlsgosan szigor besorols a

ksbbiek sorn mr csak azrt is elveszti a jelentsgt, mert az adatmodell

tervezsekor mg nem a memriban val trols mikntje, sokkal inkbb az

dominl, hogy milyen rtkeket vehet fl az adat, s vele milyen mveleteket

vgezhetnk.

2.3. Az adatszerkezetek osztlyozsa

Az sszetettebb problmk adatmodelljben a rendelkezsre ll jellemzk

adatok formjban trtn trolsn tl a kzttk lv logikai kapcsola-

tokat is meg kell tudnunk jelenteni. Ennek megvalstsra olyan sszetett

adatszerkezeteket kell kialaktanunk, amelyekkel a ksbbiek folyamn ha-

tkonyan tudunk majd mveleteket vgezni, amibe az is beletartozik, hogy

a vlasztott programozsi nyelv kellen tmogatja azt.

A sszetett adatszerkezeteket az albbi szempontok szerint csoportost-

hatjuk:

1. Az elemek tpusa szerint az adatszerkezet lehet

homogn. ha minden eleme azonos tpus, vagy

heterogn. ha az elemek nem azonos tpusak.

2. Az adatszerkezeten rtelmezett mvelet szerint

struktra nlkli. adatszerkezet esetben az adatelemek kztt sem-

mifle kapcsolat nincs (pl.: halmaz)

asszociatv. adatszerkezetek elemei kztt nincs lnyegi kapcsolat, az

elemei egyedileg cmezhetek (pl.: tmb).

szekvencilis. adatszerkezetben minden elem kt kitntetett elem

kivtelvel (els s utols) pontosan egy msik elemtl rhet

el, s minden elemtl pontosan egy elem rhet el. Ez all csak a

11

kt kitntetett elem kivtel, mert az adatszerkezetnek nincs olyan

eleme, amelybl az els elem elrhet volna, s nincs olyan eleme

sem, amely az utolsbl volna elrhet (pl.: egyszer lista).

hierarchikus. adatszerkezet esetben egy olyan kitntetett elem van

(a gykrelem), amelynek megadsa egyenrtk az adatszerkezet

megadsval. A gykrelem kivtelvel minden elem pontosan egy

msik elembl rhet el, de egy elembl tetszleges (vges) szm

tovbbi elemet lehet elrni. Ez utbbi all a csak az adatszerkezet

vgpontjai kivtelek (pl.: binris fa).

hls. adatszerkezet elemei tbb elembl is elrhetek s egy adott

elembl is tbb tovbbi elemet tudunk elrni (pl.: grf).

3. Az elemek szma szerint

statikus. adatszerkezet elemszma lland. Az ltala elfoglalt trte-

rlet nagysga nem vltozik a mveletek sorn.

dinamikus. adatszerkezetek elemszma is vges, hiszen a rendelke-

zsre ll tr nagysga behatrolja a bvts lehetsgt. Ugyan-

akkor az elemszma a mveletek sorn vltozhat. rtelmezve van

az adatszerkezet res llapota, illetve amikor elfogyott az erre

a clra fenntartott trterlet, akkor azt mondjuk, hogy megtelt

az adatszerkezet. Az ilyen adatszerkezetek sajtossga, hogy j

adatelemmel trtn bvtse sorn az elem szmra le kell fog-

lalni a memria egy megfelel terlett, illetve akkor, amikor egy

elem feleslegess vlik, akkor gondoskodni kell arrl, hogy az gy

felszabadul trterlet ksbb ismt lefoglalhat legyen.

4. Az adatelemek trolsi helye szerint

folytonos. reprezentci esetn az az egybefgg, legszkebb trter-

let, amely tartalmazza az adatszerkezet valamennyi elemt, csak

ennek az adatszerkezetnek az elemeit tartalmazza.

sztszrt. reprezentcij adatszerkezet elemei elvileg a tr tetszle-

ges rszn lehetnek, az egyes elemek elrshez szksges infor-

12

mcit a tbbi elem trolja.

2.4. A vezrls lehetsgei

A Neumann-elvek szerint mkd gpek az utastsokat idben egyms utn

hajtjk vgre. Ez megfelel a legtbb, korbban a matematika terletrl,

a szmtgpek megjelense eltt ismert algoritmus feldolgozsnak. Ilyen

algoritmusra vezet pldul a msodfok egyenletek megoldsra alkalmas

x1,2 =bb2 4ac

2a

megoldkplet is, hiszen elszr az egyenletet

ax2 + bx+ c = 0

alakra hozzuk, azutn az egytthatk ismeretben kiszmtjuk a diszkrimi-

nns rtkt. Ezt kveten pedig, annak rtktl fggen meghatrozhatjuk

az egyenlet gykeit.

Egy msik, szintn a matematika terletrl ismert plda az a s a b

egsz szmok

(a, b Z\{0}) legnagyobb kzs osztjnak meghatrozsraalkalmas euklideszi algoritmus. Az algoritmus els lpsben kiszmtjuk az

r1 osztsi maradkot gy, hogy az oszt nem lehet a nagyobb szm4

:

a = b q1 + r1.

(Ahol q1 az a s a b egszosztsnak hnyadosa.)

Ha a maradk nem nulla (r1 6= 0), akkor jabb osztsra van szksg, demost az elz oszts osztjt kell osztanunk a maradkkal:

b = r1 q2 + r2.

Termszetesen most is elfordulhat, hogy a maradk nulltl klnbz. Eb-

ben az esetben ismt a maradkot kell szmolnunk a fentebb vzolt szablyok

4

Knnyen belthat, hogy ha nem gy tesznk, az algoritmus akkor is helyes ered-

mnyt szolgltat, csak eggyel tbbszr kell maradkot szmtanunk.

13

szerint:

r1 = r2 q3 + r3r2 = r3 q4 + r4.

.

.

.

.

.

.

.

.

rn1=rn qn+1+rn+1.Abbl, hogy az ri maradkok rtke i nvekedsvel cskken azaz a k-

vetkez oszts maradka egy pozitv egsz rtkkel mindig cskken az elz

maradkhoz kpest , az kvetkezik, hogy a fenti osztsok sorozatt ism-

telve vges szm mvelet utn be fog kvetkezni, hogy a maradk nullv

vlik, azaz van olyan n, hogy az

rn+1 = 0

teljesl. (Teht n+ 1 osztst kell vgeznnk.)

Mindkt jl ismert plda lehetsget add annak szemlltetsre, hogy a

sorrendi vezrls nem azonos azzal, hogy az algoritmusaink linerisak voln-

nak. Lthattuk, hogy a msodfok egyenlet megoldsa sorn a gyk alatti

kifejezs rtke alapjn tudjuk eldnteni azt, hogyan is szmoljunk tovbb.

(Ezrt is szksges azt elbb kiszmtani.) Teht a diszkriminns rtke meg-

hatrozza a tovbbi lehetsgeket, lpseket. Annak rtkrl csupn csak az

egyenlet ismeretben nem tudunk semmit sem mondani a legtbb esetben,

teht kiszmtsa rsze az algoritmusnak.

Az euklideszi algoritmus esetben br szintn a korbbi szmtsok

eredmnye hatrozza meg a tovbbi lpseket mgis ms a helyzet. Ha

az els oszts maradka nem nulla, akkor trivilis esetektl eltekintve

nem tudhatjuk, hogy hny tovbbi maradkra lesz mg szksg

5

. Csak az

adott oszts maradknak ismeretben tudjuk megmondani, hogy van-e mg

szksg tovbbiakra, de azt nem, hogy vajon mg hnyra? Ez termszetesen

azt jelenti, hogy ez az algoritmus sem lesz lineris, azaz a konkrt eset (a s

b rtke) hatrozza meg a megoldshoz vezet lpsek sorozatt.

5

Szemben a msodfok egyenlet megoldsval, ahol a diszkriminns kiszmtsa

utn, annak ismeretben mr meg tudjuk mondani a tovbbi lpseket.

14

Az algoritmusok lersra hasznlt eszkzk s a klnbz programoz-

si nyelvek termszetesen tartalmaznak olyan elemeket, amelyekkel a hasonl

esetek megfelel mdon lerhatk a szmtgp szmra. Gyakran elfor-

dul, hogy az algoritmizlssal, programozssal ismerkedk szmra gondot

okoz a kt eset megklnbztetse, br a gyakorlatban kpesek alkalmazni

a megoldkpletet, illetve meg tudjk hatrozni a kt szm legnagyobb k-

zs osztjt az ismertetett mdon. Ennek ltalban az lehet az oka, hogy

a lpsek alkalmazsa mechanikusan trtnik s nem flttlen tudatosult

azok lpsenknti jelentsge. Az algoritmizls oktatsakor azt kell elr-

nnk, hogy kialakulhasson a problma megoldshoz vezet tevkenysg

adott eszkzre jellemz elemi lpsekre val bontsnak kpessge.

Az algoritmus szekvencialitsnak megvltoztatsra az elgazsok szol-

glnak, amelyek lehetv teszik, hogy a korbbi mveletek eredmnytl

fggen ms-ms lpsek hajtdjanak vgre. Pldul, ha az euklideszi al-

goritmus lersban az szerepel, hogy az a s a b szm osztsi marad-

kt kell szmtani, ugyanakkor a nagyobb szmmal nem oszthatunk, akkor

gondoskodnunk kell arrl, hogy a maradk szmtsakor a > b teljesljn.Ez azt jelenti, hogy az a s a b szimblumok rtkt fl kell cserlnnk.

.

.

.

HA b > a

x aa bb xHVge

.

.

.

A tovbbi problmkat az ismtelt osztsok lersa okozhatja. Fontos an-

nak flismerse, hogy nem clszer adott esetben nem is lehetsges az

egyes lpseket annyiszor lerni, ahnyszor vgre kell majd hajtani. Ha azon-

ban kvetkezetesen ragaszkodunk ahhoz, hogy az a az osztand a b pedig

az oszt, s elfogadjuk, hogy egy korbbi oszts osztandjra a ksbbiek

folyamn mr nincs szksgnk a tovbbi szmtsokhoz, akkor belthat,

hogy az a s a b rtket minden oszts utn aktualizlnunk kell a fentebb

15

emltett funkcijuknak megfelelen.

.

.

.

Ciklus

r a Div ba bb rCVge Amikor (r = 0)

Ki: (a).

.

.

2.5. Fogalmak, jellsek

2.5.1. Hatkonysg

Induljunk ki abbl a kt nyilvnval dologbl, hogy a szmtgp szm-

ra minden mvelet elvgzshez idre van szksg, valamint minden trolt

adat helyet foglal. Kzenfekv, hogy ha egy feladat megoldshoz klnbz

mveletsorozatok vgrehajtsval is eljuthatunk, akkor azt az utat clszer

vlasztani, amely a problma megoldsa szempontjbl kedvezbb. Pldul

hamarabb szolgltatja ugyanazt az eredmnyt, vagy kevesebb trhelyet ig-

nyel a megolds sorn. Termszetes az is, hogy ha lehetsg van egy adat

trolsa sorn annak trignyt cskkentennk az informcitartalom csk-

kense nlkl, akkor azt meg is kell tennnk.

Vgezznk most egy nagyon pontatlan, de taln mgis tanulsgos sz-

mtst az albbi kifejezsek kirtkelshez szksges idvel kapcsolatban

6

.

ni=1

ai

an

i=1 i

6

A kifejezsek kztti egyenlsg teljesl a matematikbl jl ismert azonos alap

hatvnyok szorzsra s az els n termszetes szm sszegre vonatkoz sszefg-gsek miatt.

16

an(n+1)

2

Ttelezzk fl, hogy szmtgpnk esetben az sszeads, a szorzs s a

hatvnyozs mveletnek elvgzse rendre t1, t2 s t3 idt ignyel s ezek

kztt az albbi sszefggs ll fenn:

2t1 = t2, 2t2 = t3.

Ez azt jelenti, hogy egy szorzat kiszmtshoz szksges id alatt gpnk

kt sszeadst, egy hatvny ellltshoz szksges id alatt pedig kt szor-

zst kpes elvgezni.

nt2 + nt3 = n(t2 + t3) = 6nt1

nt1 + t3 = (n+ 4)t1

t1 + 2t2 + t3 = 9t1

2.5.2. Folyamatbra

A folyamatbra lnyegben az algoritmust szemlltet irnytott grf. Cso-

mpontjainak utastsokat, leinek adatokat feleltethetnk meg. Van egy

kitntetett csompontja, amelybl elindulva brmely msik csompontba

el lehet jutni ez a kiindul-csompont, tovbb egy msik specilis cso-

mpont, a vg-csompont, amelybl nem vezet t ms csompontokhoz, de

ebbe a csompontba brmely ms csompontbl el lehet jutni.

2.5.3. Lernyelv

Ennek az eszkznek a segtsgvel programozsi nyelvektl fggetlenl, mg-

is azokhoz igen hasonl formban adhatjuk meg algoritmusainkat a konkrt

programozsi nyelvek ktttsgei nlkl.

17

2.5.4. Vezrlsi szerkezetek

A vezrlsi szerkezetek segtsgvel oldhat meg, hogy az algoritmus utas-

tsainak vgrehajtsi sorrendjt a kvnt mdon tudjuk szervezni.

2.5.5. Szekvencia

Ez a vezrlsi szerkezet a benne megadott utastsok egyszeri, minden felt-

teltl fggetlen, a megads sorrendjben trtn vgrehajtst biztostja.

Utasts-

sorozat_1

.

.

.

Utasts-

sorozat_n

.

.

.

Utastssorozat_1;

.

.

.

Utastssorozat_n;

.

.

.

.

2.5.6. Szelekci

Egyg elgazs

Ha az elgazsban megadott b logikai kifejezs rtke igaz, akkor az Utas-tssorozat utastsait vgre kell hajtani, majd az elgazst kvet els uta-

stsra kerl a vezrls. Ellenkez esetben a b hamis rtke esetn az algoritmus vgrehajtst az elgazst kvet utastssal kell folytatni az

Utastssorozat vgrehajtsa nlkl.

18

b Utasts-sorozat

H

I

.

.

.

Ha akkor

Utastssorozat;

HVge;

.

.

.

Ktg elgazs

Az itt megadott Utastssorozat_1 utastsai pontosan akkor hajtdnak vg-

re, ha a b logikai kifejezs rtke igaz, mg annak hamis rtke esetn azUtastssorozat_2 hajtdik vgre. Ezt kveten a vezrls az elgazst k-

vet els utastsra kerl.

b

Utasts-

sorozat_2

Utasts-

sorozat_1

H

I

.

.

.

Ha akkor

Utastssorozat_1;

Klnben

Utastssorozat_2;

HVge;

.

.

.

19

2.5.7. Iterci

Az algoritmizls sorn, mr nem tl bonyolult feladatok esetben is gyak-

ran van arra szksg, hogy valamely vezrlsi szerkezet utastsainak kir-

tkelst egy vgrehajts utn esetleg jbl vgrehajtson a rendszer. Erre

a problmra az iterci knl lehetsget. Az itercis vezrlsi szerkezete-

ket alapveten kt kt nagy csoportba sorolhatjuk. A vezrlsi szerkezet els

utastsnak vgrehajtsa eltt

mg nem ismerjk

mr tudjuk

a szksges ismtlsek szmt. Ennek megfelelen a vezrlsi szerkezet meg-

valstsra ltalban az albbi utastsok llnak rendelkezsre.

Ell tesztel ciklus

A ciklusmag utastsai mindaddig vgrehajtdnak, mg a b logikai kifejezsrtke igaz. Azaz az algoritmus vgrehajtsa a H gon csak akkor folytat-

dik, ha a b logikai kifejezs rtke hamiss vlik. Ebbl az is kvetkezik,hogy

ha b hamis kzvetlenl a ciklusba val belps eltt, akkor a ciklus-mag utastsai egyszer sem hajtdnak vgre.

ha pedig vgrehajtdnak a ciklusmag utastsai, de sohasem vlik a

b logikai kifejezs rtke hamiss, akkor nem fog kilpni a ciklusbl,azaz nem kerlhet a vezrls a ciklust kvet utastsra, teht b-nekfggenie kell a ciklusmag utastsaitl.

20

b Utasts-sorozat

H

I

.

.

.

Ciklus _Mg

Utastssorozat;

CVge;

.

.

.

Htul tesztel ciklus

A ciklusmag utastsai mindaddig vgrehajtdnak, mg a b logikai kifejezsrtke hamis. Azaz az algoritmus vgrehajtsa az I gon csak akkor folyta-

tdik, ha a b logikai kifejezs rtke igazz vlik. Ebbl az is kvetkezik,hogy

a b belpskori rtktl fggetlenl a ciklusmag utastsai egyszerbiztosan vgre fognak hajtdni.

mivel a ciklusbl val kilps csak akkor kvetkezik be, ha a ciklus

vgn lv felttelvizsglatkor a b logikai rtke igaz, a ciklusmagutastsaitl b fggenie kell8.8

Abban az esetben, ha ciklusba val belpskor b igaz s nem fgg a ciklusmagutastsaitl, a ciklusbl val kilps termszetesen bekvetkezik az utastsok egy-

szeri vgrehajtsa utn, de ha ezt kvnja meg a problma, akkor nem indokolt a

htul tesztel ciklus alkalmazsa.

21

Utasts-

sorozat

bH

I

.

.

.

Ciklus

Utastssorozat;

CVge _Amikor ;

.

.

.

Elrt lpsszm ciklus

9

Az elrt lpsszm ciklus alkalmazsra akkor van lehetsgnk, ha a cik-

lusmag utastsainak vgrehajtsa eltt mr ismerjk a szksges ismtlsek

szmt. Br ez az utasts feltteles ciklus alkalmazsval kivlthat volna,

az algoritmus jobb olvashatsga, knnyebb megrtse miatt hasznlata fel-

ttlen indokolt.

9

Az itt bemutatott csompontnak nmagban nincsen rtelme, csak az itt megadott-

hoz hasonl specilis szerkezet rszgrfokban. Maga a csompont lnyegben egy

elgazs s egy gyjtcsompont sszevonsval jtt ltre, de tartalmaz olyan in-

formcikat is, amelyek a cv inicializlsra s vltozsra utalnak.

22

cv k..v

Utasts-

sorozat

.

.

.

Ciklus ..Utastssorozat;

CVge;

.

.

.

2.6. Feladatok

1. Adott koordintival a sk egy P (x, y) pontja s az orig kzppont

r sugar kr. Adjuk meg azt a logikai kifejezst, amely akkor igaz, ha

a P pont

a) bels pontja a krnek.

b) a krn kvl helyezkedik el.

c) illeszkedik a krvonalra.

2. Adjuk meg azokat a logikai kifejezseket, melyeknek rtke pontosan

akkor igaz, amikor a fenti felttelek nem teljeslnek.

3. rjunk algoritmust, amely beolvassa egy P (x, y) pont koordintit s

eldnti, hogy az hogyan helyezkedik el az orig kzppont r sugar

krhz kpest.

4. Adott koordintival a sk egy P (x, y) pontja s az ABCD-ngyzet

(A(1; 1), B(1;1), C(1;1), D(1; 1)). Adjuk meg azt a logikai kife-jezst, amely akkor igaz, ha a P pont

a) bels pontja a ngyzetnek.

23

b) a ngyzeten kvl helyezkedik el.

c) illeszkedik a ngyzet valamely oldalra.




eldnti, hogy az hogyan helyezkedik el az ABCD-ngyzethez kpest.

7. Adott koordintival a sk egy P (x, y) pontja s az ABCD-ngyzet

(A(0; 1), B(1; 0), C(0;1), D(1; 0)). Adjuk meg azt a logikai kifeje-zst, amely akkor igaz, ha a P pont

a) bels pontja a ngyzetnek.

b) a ngyzeten kvl helyezkedik el.

c) illeszkedik a ngyzet valamely oldalra.




eldnti, hogy az hogyan helyezkedik el az ABCD-ngyzethez kpest.

10. Legyenek a, b s c pozitv vals rtkek. Adjuk meg azt a logikai kife-

jezst, melynek rtke pontosan akkor igaz, ha

a) a, b s c lehetnek egy hromszg oldalhosszai.

b) a, b s c hosszsg szakaszokkal

) derkszg hromszg szerkeszthet.

) egyenl szr hromszg szerkeszthet.

) szablyos hromszg szerkeszthet.



24

12. rjunk olyan algoritmust, amely beolvassa a, b s c pozitv rtkeket s

kijelzi, hogy azokkal, mint oldalhosszakkal szerkeszthet-e hromszg,

s ha igen akkor milyen.

13. rjunk olyan algoritmust, amely beolvassa a, b s c pozitv rtkeket s

az albbi tartalm szvegek egyikt olyan mdon rja ki, hogy a benne

tallhat szavakat csak egyszer hasznlgatjuk fl.

A megadott adatokkal nem szerkeszthet hromszg.

A megadott adatokkal derkszg hromszg szerkeszthet.

A megadott adatokkal szablyos hromszg szerkeszthet.

A megadott adatokkal egyenl szr hromszg szerkeszthet.

A megadott adatokkal egyenl szr derkszg hromszg szer-

keszthet.

(Termszetesen a szavak sorrendjnek nem flttlen kell megegyeznie

a fentiekkel, de a tbbszr elfordul szvegrszek hromszg, derk-

szg, egyenl szr, stb. csak egyszer szerepelhetnek kiratsban.)

14. rjunk algoritmust, amely hrom vals rtk (a, b, c) bekrse utn ki-

jelzi, hogy az ax2+bx+c = 0 msodfok egyenletnek hny vals gyke

van.

15. rjunk algoritmust, amely hrom vals rtk (a, b, c) bekrse utn sz-

mtja az ax2 + bx+ c = 0 msodfok egyenlet a vals gykeit.

16. rjunk algoritmust, amely mindaddig beolvas egy (a, b, c) vals szm-

hrmast, amg az ax2 + bx+ c = 0 msodfok egyenletnek

legalbb 1 vals gyke van.

pontosan 2 vals gyke van.

nincs vals gyke.

17. rjunk algoritmust, amely az a s b pozitv egszek legnagyobb kzs

osztjt szmtja ki az euklideszi algoritmus alapjn. Az algoritmus

25

a legnagyobb kzs oszt mellett jelezze ki azt is, hogyha a szmok

relatv prmek.

18. Az A ngyzetes mtrix esetben tudjuk, hogy ftljn kvl csak 0

szerepel

10

. Teht ha a mtrixnak n sora van, akkor csupn n elem

trolsa hasznos, hiszen a tbbirl biztosan tudjuk, hogy rtkk

0. Troljuk a teljes mtrix helyett annak csupn a ftlbeli elemeit

egy n elem V vektorban. rjunk fggvnyt, amelynek paramterbe

berva a V vektort s a kvnt elem A mtrixbeli indexeit, visszaadja

a megfelel mtrixbeli elem rtkt.

19. Az A ngyzetes mtrix esetben tudjuk, hogy ftlja alatti elemek

rtke rendre 0

11

. Teht ha a mtrixnak n sora van, akkor hny hasz-

nos, 0-tl klnbz eleme van a mtrixnak? Troljuk a teljes mt-

rix helyett annak csupn azon elemeit, amelyekrl nem tudjuk bizto-

san, hogy rtkk 0 egy V vektorban sorfolytonosan. rjunk fggvnyt,

amelynek paramterbe berva a V vektort s a kvnt elem A mtrix-

beli indexeit, visszaadja a megfelel mtrixbeli elem rtkt.

20. Az A ngyzetes mtrix esetben tudjuk, hogy ftlja feletti elemek

rtke rendre 0

12

. Teht ha a mtrixnak n sora van, akkor hny hasz-

nos, 0-tl klnbz eleme van a mtrixnak? Troljuk a teljes mt-

rix helyett annak csupn azon elemeit, amelyekrl nem tudjuk bizto-

san, hogy rtkk 0 egy V vektorban sorfolytonosan. rjunk fggvnyt,

amelynek paramterbe berva a V vektort s a kvnt elem A mtrix-

beli indexeit, visszaadja a megfelel mtrixbeli elem rtkt.

10

Diagonlis mtrix

11

Fels-hromszg mtrix

12

Als-hromszg mtrix

26

START

a, b, c

Be:

D (b2 4ac)

D > 0x1 b+

D

2a

x2 bD

2a

x1, x2

Ki:

'Nincs vals gyk!'

Ki:

STOP

Egytthatk

bekrse

Diszkriminns

szmtsa

Van vals

gyk, ha

D > 0

Gykk

szmtsa

A szmtott

gykk

kijelzse

'Nincs vals

gyk' kijelzse

H

I

2.2. bra. A msodfok egyenlet vals megoldsait szol-

gltat algoritmus folyamatbrja

27

START

Vrakoz llapot:

az els 2 karakter

beolvassa

Vrakoz llapot:

kvetkez karakter

beolvassa

Kd

kirtkelse

Hibs

a kd?

Visszaszmlls

lelltsa

STOP

I

H

2.3. bra. Kd beolvas s kirtkel algoritmus

(a kdhossza 3)

28

Be- Ki-

Csompont Utasts fut lek szma

START

START: az algoritmus

kezdett jelli. A valdi

program grfjban csak

egyszer szerepelhet.

-

1

Tevkenysg

lersa

Tevkenysg: a program-

grf tetszleges olyan rsz-

grfja jellhet vele, amely-

hez pontosan egy bemen

s egy kimen l tartozik s

praktikusan nll funkci-

val br.

1 1

bH

I

Dnts: az algoritmus

vgrehajtsa az utas-

tsban megadott blogikai kifejezs rtktl

fggen (Igaz/Hamis),

az I-vel vagy a H-val

jelzett l mentn elrhet

csomponton folytatdik.

1 2

Gyjt csompont: ak-

kor alkalmazzuk, amikor

kett vagy tbb klnb-

z programrszlet azonos

rszprogram vgrehajts-

val folytatdik

7

.

2 1

STOP

STOP: az algoritmus v-

gt jelli. A valdi program

grfjban csak egyszer sze-

repelhet.

1

-

2.1. tblzat

Folyamatbra jellsei.

29

Be- Ki-

Csompont Utasts fut lek szma

va k

rtkads: hatsra a

baloldalon lv vltozhoz

tartoz memriaterlet

megvltozik a jobbolda-

lon tallhat kifejezs

rtknek megfelelen.

1 1

vlBe:

Bemenet: az utastsban

megadott vl vges sz-m vltoz rtknek meg-

vltoztatsra van lehet-

sg, valamely arra alkalmas

perifrirl beolvasott rt-

kek alapjn.

1 1

klKi:

Kimenet: az utastsban

megadott kl vges szmkifejezs rtke jelenthet

meg, valamely arra alkal-

mas perifrin.

1 1

n n

Kapcsoldsi pont: nem

jelenti valdi csompontjt

a programgrfnak, csupn

technikai szerepe van. Ak-

kor alkalmazzuk, ha a fo-

lyamatbra rsnak zikai

akadlyai vannak.

1 | - - | 1

2.2. tblzat

Folyamatbra tovbbi jellsei.

30

3. Alapalgoritmusok

3.1. Sorozatszmts

3.1.1. sszegzs

Adott az n elem a sorozat s a sorozat elemein rtelmezett ktoperandusos

mvelet. Ennek opertort jellje . Az algoritmus a sorozathoz az

a1 a2 . . . an

rtket rendeli.

1 Fggvny sszegzs(A:sorozat):Elemtip;

2 Vltoz

3 S: Elemtip; // S-ben keletkezik majd az sszeg

4 I: egsz; // ciklusvltoz

5 Algoritmus

6 S 0; // S kezdrtke 07 Ciklus I (1..N)8 S S + A[I]; // s = a1 + a2 + + ai9 CVge;

10 sszegzs S; // A ni=1 ai11 // visszatrsi rtk belltsa.

12 FVge;

sszegzs

3.1. algoritmus

A 3.1. algoritmus az sszegzs egy lehetsges megvalstst mutatja be,

amikor is a mvelet az aritmetikai sszeads, s az algoritmusban flhasz-

nljuk, a mveletnek zrus-eleme a 0.

31

3.1.2. Megszmlls

Adott az n elem a sorozat s a sorozat elemein rtelmezett T-tulajdonsg13.

A 3.2. algoritmus a sorozathoz hozzrendeli a T-tulajdonsg elemeinek a

szmt, amely 0-tl n-ig terjed egsz rtket jelenhet. Knny ltni, hogy a

fggvny visszatrsi rtke pontosan akkor 0 ha a sorozatnak nincsen egyet-

len T-tulajdonsg eleme sem, illetve n, ha minden elem T-tulajdonsg.

1 Fggvny Megszmlls(A:sorozat):egsz;

2 Vltoz

3 I: egsz;

4 DB: egsz; // DB a rszsorozat elemszma

5 Algoritmus

6 DB 0;7 Ciklus I (1..N)8 Ha T(A[I]) Akkor

9 DB DB + 1;10 HVge;

11 CVge;

12 Megszmlls DB;13 CVge;

Megszmlls

3.2. algoritmus

3.1.3. Kivlogats

Ezt az algoritmust akkor alkalmazhatjuk, ha az n elem a sorozathoz T-

tulajdonsg elemeinek rszsorozatt szeretnnk hozzrendelni. s a sorozat

elemein rtelmezett T-tulajdonsg.

13

Az, hogy a sorozat elemein rtelmezve van a T-tulajdonsg, azt jelenti, hogy annak

a halmaznak amelybl a sorozat elemit vlogatjuk vannak ilyen elemei, de az

korntsem teljesl, hogy magnak a sorozatnak is lesznek ilyen elemei

32

1 Fggvny Kivlogat(A,B:sorozat):egsz;

2 Vltoz:

3 I: egsz;

4 DB: egsz; // DB a rszsorozat elemszma

5 Algoritmus

6 DB 0;7 Ciklus I (1..N)8 Ha T(A[I]) akkor

9 DB DB + 1;10 B[DB] A[I];11 HVge;

12 CVge;

13 Kivlogat DB;14 FVge;

Kivlogats

3.3. algoritmus

sszevetve a kivlogats 3.3. algoritmust a megszmlls 3.2. algorit-

musval, knnyen lthat a kzttk lv szerkezeti s funkcionlis hasonl-

sg.

3.1.4. Minimum- s maximumkivlaszts

Legyen adott az n elem a sorozat, melynek rtkkszlete rendezett halmaz.

Ilyen esetekben lehet feladat a sorozat minimlis/maximlis rtk elemnek

meghatrozsa. Elfordul, hogy csupn az adott elem rtknek meghatro-

zsa a cl, de szksgnk lehet esetenknt maximlis illetve minimlis rtk

elem els vagy utols elfordulsi helynek meghatrozsra is.

33

1 Fggvny Minimum(A:sorozat):Elemtip;

2 Vltoz

3 Min: Elemtip; // a legkissebb elem rtke


5 Algoritmus

6 MinA[1]; // Min kezdrtke7 Ciklus I (2...N) // Az 1. elemet a Min kezdrtkvel8 // vettk figyelembe.

9 Ha A[I]

mdosul, ha az eddigi legkisebbnl kisebb rtket talltunk, biztostva van,

hogy ciklusbl kilpve MinI a minimlis rtk elem els elfordulsnak

sorszmt tartalmazza.

1 Fggvny MinimumH(A:sorozat):Egsz;

2 Vltoz

3 MinI: egsz; // a legkissebb elem indexe


5 Algoritmus

6 MinI 1; // MinI kezdrtke legyen 17 Ciklus I (2...N) // Az 1. elemet a MinI kezdrtkvel8 // vettk figyelembe.

9 Ha A[I]

a) ftljnak elemeit.

b) mellktljnak elemeit.

c) ftl feletti elemeit

) oszlop-folytonosan.

) sor-folytonosan.

d) ftl alatti elemeit

) sor-folytonosan.


e) mellktl feletti elemeit


) sor-folytonosan.

f) mellktl alatti elemeit

) sor-folytonosan.


3. Az sszegzs ttelnek alkalmazsval szmtsuk az albbi kifejezsek

rtkt, felttelezve, hogy elegend csak vges sok tagot gyelembe

vennnk:

a)

pi

4= 1 1

3+

1

5 1

7+ . . .

b)

4

k=0

(1)k 12k + 1

c)

pi2

6= 1 +

1

22+

1

32+

1

42+ . . .

d) 6 k=0

1

k2

36

e)

pi4

90= 1 +

1

24+

1

34+

1

44+ . . .

f)

pi

2=

2

1 23 43 45 65 67 . . .

g)

2

pi=

2

22 +2

22 +

2 +2

2 . . .

h)

pi =12k=0

(3)k2k + 1

i)

pi = 4k=0

(1)k2k + 1

j)

pi = 3 +4

2 3 4 4

4 5 6 +4

6 7 8 4

8 9 10 + . . .

k)

pi =

k=0

( 48k + 1

28k + 4

18k + 5

18k + 6

)( 116

)kl)

pi =

k=0

(1 + 1

4k21)

k=01

4k21

m) GaussLegendre itercis algoritmus

a0 := 1;

b0 :=12;

t0 :=14 ;

p0 := 1;

an+1 :=an+bn

2

bn+1 :=anbn

37

tn+1 := tn pn(an an+1)2pn+1 := 2pn

pi (an+bn)24tnn)

e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+ . . .

o)

e = 1 +1

1

(1 +

1

2

(1 +

1

3

(1 +

1

4

(1 +

1

5(1 + ...)

))))

p)

1

e= 1 1

1!+

1

2! 1

3!+ . . .

q)

ln2 = 1 12+

1

3 1

4+ . . .

r)

2 = 1 +1

2+

1

4+

1

8+ . . .

s)

1

4=

1

1 2 3 +1

2 3 4 +1

3 4 5 + . . .

t)

k=0

1

(k 1)k(k + 1)

u)

1

(l 1)(l 1)! =1

1 2 . . . l+1

2 3 . . . (l + 1)+1

3 4 . . . (l + 2)+. . .

v)

L(x) :=

kj=0

(yj

m6=j06m6k

xi xmxj xm

)

38

L(x) = y0(x x1) . . . (x xk)(x0 x1) . . . (x0 xk)+y1

(x x0)(x x2) . . . (x xk)(x1 x0)(x1 x2) . . . (x1 xk)+. . .

+ yj (x x0) . . . (x xj1)(x xj+1) . . . (x xk)(xj x0) . . . (xj xj1)(xj xj+1) . . . (xj xk) + . . .

+ yk (x x0) . . . (x xk1)(xk x0) . . . (xk xk1)4. Adott az a pratlan elemszm (n = 2k + 1, ahol k N) sorozat sbiztosan tudjuk, hogy a sorozatnak legalbb 3 eleme van. Kpezzk az

albbi sszeget:

S := a1 + 2a2 + 2a3 + 2a4 + + 2an1 + an

5. Adott az a pratlan elemszm (n = 2k + 1, ahol k N) sorozat sbiztosan tudjuk, hogy a sorozatnak legalbb 5 eleme van. Kpezzk az

albbi sszeget:

S := a1 + 4a2 + 2a3 + 4a4 + 2a5 + + 4an1 + an

6.

ex =

k=0

xk

k!

7.

sinx =

k=0

(1)k x2k+1

(2k + 1)!

8.

cosx =

k=0

(1)k x2k

(2k)!

9. Koordintival adott egy n elem pontsorozat a skban. Hatrozzuk

meg, hny olyan eleme van, amely kvl esik egy adott r sugarO(x0, y0)

kzppont krn.

10. Koordintival megadott n elem, skbeli pontsorozat elemei jelentsk

39

egy n-oldal sokszg cscspontjait. (A megads sorrendje megfelel k-

rljrsi irnynak.) Hatrozzuk meg, hogy a sokszgnek hny adott

d-nl hosszabb oldala van.


meg annak az O(x0, y0) kzppont krnek a sugart, amelyen kvl

nem esik egyetlen pont sem.


meg azt az elemt, amely egy adott O(x0, y0) ponttl a legtvolabb

van.


egy n-oldal sokszg cscspontjait. (A megads sorrendje megfelel a

krljrsi irnynak.) Hatrozzuk meg, hogy a sokszgnek hny adott



egy n-oldal sokszg cscspontjait. (A megads sorrendje megfelel a

krljrsi irnynak.) Hatrozzuk meg, hogy a sokszgnek hny adott


15. Hatrozzuk meg egy sorozat msodik legnagyobb elemnek els elfor-

dulsi helyt.

16. A 3.6, a 3.7, a 3.8 s a 3.9 algoritmusok bankkrtyaszm

14

ellenr-

zst vgzik. Elemezzk a fent emltett algoritmusok hatkonysgt

vgrehajtsi id, trigny s bonyolultsg szempontjbl is.

14

A bankkrtyaszm felptsrl s ellenrzsnek mechanizmusrol tovbbi infor-

mcik a ?? alfejezetben tallhatk.

40

1 Fggvny Luhn1(A: kd):Logikai;

2 Vltoz

3 i: egsz;

4 SUM: elemtip;

5 Algoritmus

6 SUM 0;7 Ciklus (i 1 .. A.elemszm)8 HA (i MOD 2)=0 akkor

9 HA 2*A[i] > 9 akkor

10 SUM SUM + 2*A[i] - 9;11 Klnben

12 SUM SUM + 2*A[i];13 HVge;

14 Klnben

15 SUM SUM + A[i];16 HVge;

17 CVge;

18 Luhn1 (SUM MOD 10)=0;19 FVge;

Luhn-algoritmus egy lehetsges megvalstsa

3.6. algoritmus

41

1 Fggvny Luhn2( A: kd ): Logikai;

2 Vltoz

3 i: egsz;

4 SUM: elemtip;

5 Algoritmus

6 SUM 0;7 Ciklus (i 1 .. A.elemszm)8 HA (i MOD 2)=0 akkor

9 HA A[i] > 4 akkor



14 Klnben

15 SUM SUM + A[i];16 HVge;

17 CVge;



3.7. algoritmus

42


2 Vltoz

3 i: egsz;

4 SUM: elemtip;

5 Algoritmus

6 SUM 0;7 i 1;8 Ciklus _Mg (i 6 A.elemszm)9 HA A[i] > 4 akkor



14 i i + 2;15 CVge;

16 i 2;17 Ciklus _Mg (i 6 A.elemszm)18 SUM SUM + A[i];19 i i + 2;20 CVge;



3.8. algoritmus

43


2 Vltoz

3 i: egsz;

4 SUM: elemtip;

5 Algoritmus

6 SUM 0;7 i 1;8 Ciklus _Mg (i 6 A.elemszm)9 HA A[i] > 4 akkor

10 SUM SUM + 2*A[i] - 9 + A[i + 1];11 Klnben

12 SUM SUM + 2*A[i] + A[i + 1];13 HVge;

14 i i + 2;15 CVge;



3.9. algoritmus

44

4. Keress, rendezs

Az albbiakon kvl termszetesen szmtalan kapcsolat van a matematika s

az informatika tudomnya kztt, hiszen az informatika minden rszterle-

tnek matematikailag megalapozottnak kell lennie. A tovbbiakban nhny,

elssorban az algoritmizls szempontjbl fontos matematikai fogalmat, is-

meretet trgyalunk az informatika szempontjbl praktikus megkzelts-

ben.

4.1. Sorozat

A logikailag sszetartoz, hasonl jelleg, ltalban azonos jelentssel b-

r adatok sszessgt, mikor az egyes elemek rtkn kvl azok sokasgon

belli helye is fontos, a matematika eszkzrendszerben sorozatknt tudjuk

megadni. Az elemek egymshoz kpest elfoglalt helynek megadsa cljbl

az elemeket megsorszmozzuk. Matematikailag ez azt jelenti, hogy a term-

szetes szmokhoz (1,2, . . . , n) hozzrendeljk egy msik H halmaz elemeit.Ezt a matematikban az albbi mdon szoktk jellni:

a : N H

Ez lnyegben egy olyan fggvnykapcsolatot jelent, melyben ltrejtt ren-

dezett prok els eleme termszetes szm (a sorozat elemeinek indexe), a

msodik elem pedig a sorozat adott elem

15

. A mi szempontunkbl a vges

sorozatok a legfontosabbak, klnsen, ha azok elemeit trolnunk is kell,

illetve az elemekkel mveleteket is kell vgeznnk.

Sorozatokat alkotnak pldul valamely idszakban a naponknti deviza-

15

A kvetkez szmsorozat az Eur rfolyamnak naponknti alakulst adja meg

egy idszakban: 293,44; 291,29; 292,96; 291,21; 290,96; 291,05.

A fentieknek megfelelen ez a sorozat a kvetkez szmprokkal is megadhat,

hiszen fggvnyrl van sz: (1;293,44) (2;291,29) (3;292,96) (4;291,21) (5;290,96)

(6;291,05).

Ezzel a megadssal egyenrtk az albbi is: a1 = 293,44; a2 = 291,29; a3 == 292,96; a4 = 291,21; a5 = 290,96; a6 = 291,05.ltalban azonban az sem okoz flrertst, ha a sorozat elemeit egyszeren fel-

soroljuk.

45

rfolyamok. Logikailag sszetartoz rtkekrl beszlhetnk, mivel egy so-

rozat elemei egy adott deviza rfolyamnak vltozst rja le, gy az egyes

elemek jellege is azonos. Az egyes elemeket nem cserlhetjk fl, hiszen az

adott napra jellemz az rtkk. Hasonl kpen beszlhetnk egy adott v

napi kzphmrskleteinek sorozatrl is.

Legyenek a1, a2, . . . , an vals szmok, amelyek rendre bizonyos dolgok

valamely mrhet tulajdonsgt jelentik. Rendezzk el ezeket az rtkeket

gy, hogy az egyes rtkekre teljesljn, hogy ne legyenek nagyobbak az

ket kvetnl. (Termszetesen ezt nem rtelmezhetjk a sorozat utols an

elemre, hiszen annak nincsen rkvetkezje.)

Kzenfekvnek tnik, hogy nevezzk ilyenkor az ai-k sorozatt nvekv-

nek. Matematikai jellssel:

Monoton nvekvnek (nem cskkennek) nevezzk az (an) sorozatot, ha

i, j N, amikor (1 6 i < n) s (i < j) esetn ai 6 aj teljesl.

a16 a26 a36 . . .. . . .

6 ak16 ak 6 ak+16 . . .. . . .

6an26an16an

i = 1 esetn ez azt jelenti, hogy az a1 kisebb vagy egyenl az t kvet sszes

n i, azaz n 1 elemtl.Ha pedig i = 2, akkor a kivlasztott elem az sszes t kvet n i, azaz

n 2 elemtl nem lehet nagyobb.

46

a16 a26 a36 . . .. . . .

6 ak16 ak 6 ak+16 . . .. . . .

6an26an16an

a16 a26 a36 . . . 6 ak16 ak 6 ak+16 . . .. . . .

6an26an16an

i = k esetn az ak-nak mr csak az t kvet n k elemmel szemben vanilyen ktelezettsge. Az utols eltti an1-nek termszetesen csak az tkvet an-tl kell kisebbnek vagy egyenlnek lennie.

Ez teht azt jelenti, hogy a nvekven rendezett sorozatban egyetlen

elem sem lehet nagyobb az t kvettl. gy is megfogalmazhatnnk, hogy

nagyobb sorszm elem rtke nem lehet kisebb egy kisebb sorszm elem

rtknl.

Ezzel ekvivalens az a megfogalmazs is, hogy az ilyen sorozatokban br-

mely elem rtke kisebb vagy egyenl az t kvet elem rtknl, azaz

i N, amikor (1 6 i < n), ai 6 ai+1 teljesl.

a16 a26 a36 . . .. . . .

6 ak16 ak 6 ak+16 . . .. . . .

6an26an16an

Br az egyik megfogalmazsbl kvetkezik a msik, s fordtva, azaz

matematikai rtelemben ekvivalensek. Ennek megfelelen, ha egy sorozat

eleget tesz az egyiknek, akkor a msiknak is megfelel. Ennek ellenre mgis

rdemes elgondolkodni azon, hogy az algoritmizls sorn melyiket clszer

alkalmaznunk.

Legyen most feladatunk annak eldntse, hogy egy sorozat vajon nvek-

ven rendezett-e?

47

1. Az els esetben ennek eldntshez a sorozat minden elemt (az utols

kivtelvel) ssze kell hasonltanunk a nla nagyobb sorszmakkal. Ez

sszesen

n1i=1

i =n(n 1)

2

sszehasonltst jelent, hiszen sszehasonltsok szmnak megads-

hoz a termszetes szmokat kell sszegeznnk 1-tl (n 1)-ig.

2. A msodik esetben csupn azt kell megvizsglnunk, hogy az egyes

elemek az utnuk kvetkezvel milyen viszonyban vannak. Mivel az

utolsnak nincs rkvetkezje, ez csak

n 1

sszehasonltst jelent.

Felttelezhetjk, hogy a szmtgp szmra az egyes sszehasonltsokat

jelent logikai kifejezsek kirtkelshez t idre van szksge. A fentiekbl

knnyen lthat, hogy az els esetben a teljes kirtkelshez szksges id,

n(n 1)2

t,

ami n2-tel arnyos, mg a msik esetben ez az id csupn

(n 1)t,

ami lineris fggvnye a sorozat elemszmnak.

16

Szigoran monoton nvekvnek akkor neveznk egy sorozatot, amikor

az elemek kztt les egyenltlensg teljesl (ai < ai+1 illetve ai < aj).

16

Termszetesen ez az id lehet lnyegesen kevesebb is abban az esetben, ha a sorozat

nem rendezett, hiszen ha pldul mr az els kt elem sorrendje nem megfelel,

akkor nincs is szksg tovbbi sszehasonltsokra.

48

4.2. Keress sorozatokban

Ltni fogjuk majd, hogy ha bizonyos dolgokat valamely mrhet tulajdons-

guk szerint sorba rakunk, akkor a velk val bizonyos mvelet egyszerbben

vgezhetek el. Mskor azonban ezt nem tehetjk meg, mert az elemek sor-

rendjnek megvltoztatsval rtkes informcikat vesztennk. A fentiek

miatt fontos foglalkoznunk a rendezett s a rendezetlen sorozatok mvelete-

ivel is.

4.2.1. Eldnts

Adott az n elem a sorozat s a sorozat elemein rtelmezett T tulajdonsg.

Az algoritmus aszerint rendel a sorozathoz Igaz vagy Hamis logikai rtket,

hogy a sorozatnak van vagy nincs T tulajdonsg eleme.

1 Fggvny Eldnts(A:sorozat):logikai;

2 Vltoz

3 I: egsz;

4 Algoritmus

5 I 1;6 Ciklus _Mg (I 6 N) (Nem T(A[I]))7 I I + 1;8 CVge;

9 Eldnts(I 6 N);10 FVge;

Eldnts

4.1. algoritmus

A 4.1. algoritmus mindaddig vizsglja a sorozat elemeit az elsvel kezdve,

mg a sorozat elemei el nem fogynak, vagy nem tall egy T-tulajdonsgt.

Mivel a 6. sorban egy ell tesztel feltteles ciklus tallhat, a ciklusmag

mindaddig vgrehajtdik, amg a ciklusfelttel rtke Igaz. A kifejezs ele-

mei kztti mvelet miatt ez akkor kvetkezhet be, ha mr tlhaladtunk

49

a sorozat vgn (I>N), vagy ha az aktulis pozcin T-tulajdonsg elemet

talltunk. Ha teht a ciklusbl kilpve I>N teljesl, akkor az csak azt je-

lentheti, hogy a sorozatnak nincs T-tulajdonsg eleme, mert klnben mr

hamarabb kilpett volna a ciklusbl.

4.2.2. Lineris keress

A 4.1. algoritmus rtelmezsvel knnyen belthat, hogy nem hasznltunk

ki minden informcit, amely az algoritmus vgrehajtsa sorn keletkezett.

Gondoljuk csak el, hogy ha a ciklusbl azrt lptnk ki mert T-tulajdonsg

elemet talltunk, az I rtke rzi annak elfordulsi helyt. Ennek rtkt

adja vissza a lineris keress algoritmusa (a 4.2).

1 Fggvny LinKer(A:sorozat , Hely:egsz):logikai;

2 Vltoz

3 I: egsz;

4 Algoritmus

5 I 1;6 Ciklus _Mg (I 6 N) (Nem T(A[I]))7 I I + 1;8 CVge;

9 HelyI;10 LinKer(I 6 N);11 FVge;

Lineris keress

4.2. algoritmus

4.2.3. Kivlaszts

Adott az n elem a sorozat s a sorozat elemein rtelmezett T tulajdonsg.

Biztosan tudjuk, hogy a sorozatnak van T tulajdonsg eleme. Az algoritmus

50

kimenete a T tulajdonsg elem helye

17

.

1 Eljrs KiVlaszts(A:sorozat , Hely:egsz);

2 Vltoz

3 I: egsz;

4 Algoritmus

5 I 1;6 Ciklus _Mg (Nem T(A[I]))

7 I I + 1;8 CVge;

9 HelyI;10 EVge;

Kivlaszts

4.3. algoritmus

Lthat hasonlsgokon tl a 4.3 algoritmus jelents eltrssel is ren-

delkezik a 4.1 s a 4.2 algoritmusokhoz kpest. Mivel a sorozatnak van T-

tulajdonsg eleme, gy biztosan tallunk egyet, mieltt az I>N teljeslne,

ezrt annak vizsglata, hogy I rtkvel sorozatbeli elemre hivatkozunk-e,

szksgtelen.

4.2.4. Strzss keress

A kivlaszts ttelnek (4.3. algoritmus) tapasztalatait flhasznlva a line-

ris keresst (4.2. algoritmus) hatkonyabb tehetjk. Ha felttelezzk, hogy

lineris keress ciklusfelttelnek kirtkelshez 2, a ciklusmag utastsnak

vgrehajtshoz 1 idegysgre van szksg, akkor belthat, hogy a kivlasz-

ts ttelnek vgrehajtsi ideje kevesebb a lineris keressnl. Ez azt jelen-

ti, hogy ha a sorozatrl biztosan tudnnk, hogy tartalmaz T-tulajdonsg

elemet, akkor azt gyorsabban lennnk kpesek megtallni azt. Ilyen infor-

mcival ltalban nem rendelkeznk, de az adatszerkezet megfelel kiala-

17

Amennyiben a sorozatban tbb T tulajdonsg elem is tallhat, akkor ezek kzl

az els elfordulsi helyet adja vissza.

51

ktsval ltalban lehetsgnk van a sorozat elemein kvl mg egy elem

szmra helyet biztostani. Troljunk az adatszerkezet (n + 1). pozcijn

egy T-tulajdonsg elemet (4.4. algoritmus 6. sor). gy ha az eredeti soro-

zat nem is, de az gynevezett strzsaelemmel kibvtett sorozat biztosan

tartalmazza a keresett elemet. Ami a strzss keress hatkonysgt illeti,

a tapasztalat valban azt mutatja, hogy a futsi ideje megkzeltleg

23 -a a

lineris keressnek.

1 Fggvny StrzssKer(A:sorozat , Hely:egsz): logikai;

2 Vltoz

3 I: Egsz;

4 Algoritmus

5 I 1;6 A[N + 1] KeresettTulajdonsgElem;7 Ciklus _Mg (Nem T(A[I]))

8 I I + 1;9 CVge;

10 StrzssKer (I 6 N);11 HelyI;12 FVge;

Strzss keress

4.4. algoritmus

4.2.5. Lineris keress rendezett sorozatban

A keres algoritmusok lellsi felttelt gy is megfogalmazhatnnk, hogy

nincs rtelme tovbb keresni, ha megtalltuk a sorozat keresett elemt, illet-

ve biztosan tudjuk azt mondani az eddig megvizsglt elemek alapjn, hogy

a sorozat nem tartalmazza azt. Ezt az utbbi kijelentst az elz algoritmu-

sainkban csak akkor tehetjk, a sorozat minden elemt megvizsgltunk.

Ms a helyzet rendezett sorozat esetben (ha a keress kulcsa megegyezik

a rendezs kulcsval). Ttelezzk fl, hogy egy nvekven rendezett sorozat

52

nem tartalmazza a keresett elemet, de van a keresettnl kisebb s nagyobb

eleme is. Ha sorozat elemeit az elstl kezdve vizsgljuk, elbb-utbb megta-

lljuk a keresett elemnl nagyobb elemek kzl a legkisebbet. Itt a keresst

be is fejezhetjk, hiszen az ezt kvet elemek az aktulisnl mg nagyobbak.

A rendezett sorozaton val lineris keress 4.5. algoritmusa teht akkor fog

megllni, ha az albbiak kzl egyik teljesl:

1. megtallta a keresett elemet,

2. a keresett elemnl mr nagyobb az aktulis elem,

3. elfogytak a sorozat elemei, azaz I>N teljesl.

(Jegyezzk meg, hogy I>N csak akkor kvetkezhet be, ha keresett elemet a

sorozat nem tartalmazza s az nagyobb a sorozat utols elemnl is.)

1 Fggvny LinKerRend(A:sorozat , Adat:elemtip , Hely:

egsz):logikai;

2 Vltoz

3 I: egsz;

4 Algoritmus

5 I 1;6 Ciklus _Mg ((I 6 N) (Adat >A[I]))7 I I + 1;8 CVge;

9 HelyI;10 LinKerRend ((I 6 N) (Adat=A[I]));11 FVge;

Lineris keress rendezett sorozatban

4.5. algoritmus

4.2.6. Binris keress

A kvetkez keres algoritmusnak szintn a sorozat rendezettsge az elfelt-

tele. Mkdst taln azzal a gyakorlati pldval lehetne szemlltetni, aho-

53

e 6 uA C D E F G H N P R

e = 1u = 10

k = 5 adat < ak


e = 1u = 4

k = 2 adat > ak


e = 3u = 4

k = 3 adat = ak

4.1. bra. A keresett adat =D

gyan egy lexikonban megkeresnk egy szcikket. A lexikonban val keress

nem lenne tlsgosan hatkony, ha lineris keress algoritmust kvetnnk.

Helyette ltalban inkbb gy jrunk el, hogy ha az aktulis szcikk nem

egyezik meg a keresettel, akkor megprbljuk megbecslni, hogy a keresett

mennyivel lehet az aktulis eltt vagy utn.

Ttelezzk fl teht, hogy a sorozat nvekven rendezett. Vlasszuk ki

a sorozat kzps elemt. Amennyiben az nem a keresett elem, akkor ssze-

hasonltva a keresett elemmel, el tudjuk dnteni, hogy a keresst a kzps

elemet kvet, vagy az azt megelz elemek rszsorozatn van rtelme to-

vbb folytatni, ahogyan ezt a 4.1. bra is szemllteti.

Az els vizsglatot kveten vagy megtalltuk az elemet, vagy teljes biz-

tonsggal kizrhatjuk a tovbbi keressbl megkzeltleg az elemek felt.

Hasonl mdon eljrva a maradk, mg ki nem zrt elemek rszsorozat-

val, ha nem talltuk meg a keresett elemet az adott rsz kzepn, most az

eredeti sorozat megkzeltleg negyedt zrhatjuk ki a tovbbi keressbl.

A 4.1. s a 4.2. brkon jl lthat, hogy a tovbbi keresst mindig egyre

cskken megkzeltleg felezd elemszm sorozaton folytatjuk tovbb

54


e = 1u = 10

k = 5 adat > ak


e = 6u = 10

k = 8 adat < ak


e = 6u = 7

k = 6 adat > ak


e = 7u = 7

k = 7 adat > ak

e > uA C D E F G H N P R

e = 8u = 7

4.2. bra. A keresett adat =J

mindaddig, amg vagy meg nem talljuk a keresett elemet, vagy a vizsglat-

ra kijellt rszsorozat elemszma nullv nem vlik. Ezt az E s U vltozk

E>U relcija jelzi.

55

1 Fggvny BinKer(A:sorozat , Adat:elemtip , Hely: egsz):

logikai;

2 Vltoz

3 E, U, K: egsz;

4 Algoritmus

5 E 1;6 U N;7 K (E + U) div 2;8 Ciklus _Mg (E 6 U A[K] 6= Adat)9 Ha Adat

1 Vltoz


3 J: egsz; // j. helyre kerl majd a legkisebb elem

4 C: elemtip; // segdvltoz kt elem cserjhez

5 Algoritmus

6 J 1; // j kezd rtke legyen 1.7 // Innen szmtva

8 // dolgozzuk fl a sorozatot.

9 Ciklus I(J + 1..N) // Vesszk a rkvetkez elemeket...10 Ha A[I]

1 Vltoz


3 J: egsz; // j. helyre kerl majd a msodik legkisebb


5 Algoritmus

6 J 2; // j kezd rtke legyen 2.7 // Innen szmtott rszt dolgozzuk fl

8 // a sorozatnak, teht az els elemet mr nem.

9 Ciklus I(J + 1..N) // Vesszk a rkvetkez elemeket...10 Ha A[I]

1 Eljrs RendKzv(A: sorozat);

2 Vltoz




6 Algoritmus

7 Ciklus J (1..N-1) // a j. a rszsorozat 1. eleme8 // Innen szmtva dolgozzuk fl a sorozatot.

9 Ciklus I(J + 1..N) // Vegyk a rkvetkez10 Ha A[I]

Amikor a legkisebb elemet juttatjuk az els helyre (J=1), akkor az a1-et

ssze kell hasonltanunk az ssze rkvetkez n1 darab elemmel. A J utol-s rtke n1 lesz, ami azt jelenti, hogy ahhoz, hogy a msodik legnagyobbelem a helyre kerljn, csak 1 sszehasonltst kell vgeznnk. Az sszes

sszehasonltsok szmt teht

nic=1

c

alakban adhatjuk meg.

Arra val tekintettel, hogy a nem minden sszehasonlts eredmnyezi

az sszehasonltott elemek cserjt s a kt elem cserje hrom rtkadssal

oldhat meg, az rtkadsok szma legfeljebb

3nic=1

c.

Eleve rendezett sorozat esetn termszetesen nem trtnik egyetlen rtk-

ads sem.

A rendezs sorn a sorozat elemein trolsn kvl szksg van mg egy

elem tpus trhelyre, teht az algoritmus trignye

n+ 1.

Knny ltni, hogy ha a 4.9. algoritmus a sorozat j. pozcijra eljuttat

egy elemet, ha a ksbbiekben ennl kisebbet tall, akkor azt ezzel ismt

megcserli. Ez azt jelenti, mire a megfelel elemet sikerl a helyre juttat-

ni, addig esetlegesen tbb flsleges csert is vgre fogunk hajtani. Mindez

kikszblhet volna gy, ha megrizve a rendez algoritmus alapkoncep-

cijt elszr kivlasztannk az aktulis rszsorozat legkisebb elemt s

ezt kveten mr legfeljebb csak egy csert kellene vgezni. gy teht a 4.10.

minimumkivlasztssal trtn rendezsre tekinthetnk a 4.9. algoritmus ha-

tkonyabb vltozataknt is.

60

1 Eljrs RendMin(A: sorozat);

2 Vltoz

3 MinI: egsz; // a mindenkori legkisebb elem sorszma

4 I: egsz; // ciklusvltoz a minimum kivlasztshoz



7 Algoritmus

8 Ciklus J (1..N-1) // A j. a rszsorozat 1. eleme9 // A j. elemtl a sorozat vgig terjed

10 // rszre valsul meg a minimum kivlasztsa.

11 MinIJ;12 Ciklus I(J + 1..N) // Vegyk a rkvetkezket...13 Ha A[I]

A minimumkivlasztssal trtn rendezs sorn az alapkoncepci miatt

ez jl lthat a 4.9. s efalg:rendmin. algoritmus szerkezetnek sszeha-

sonltsakor is ugyanannyi sszehasonltst kell vgezni, mint a kzvetlen

kivlasztssal trtn rendezs sorn.

Az adatmozgatsok tekintetben mr lnyegesen kedvezbb lehet a hely-

zet, hiszen a 4.10. algoritmus bels ciklusa a mdszer nevhez hven l-

nyegben egy minimumkivlaszts. Valjban teht az algoritmus meghat-

rozza minden egyes rszsorozat legkisebb elemnek helyt, s azt megcserli

az adott rszsorozat els, azaz a j. rszsorozat esetben a teljes sorozat j.

elemvel. Ez azonban azt jelenti, hogy az rtkadsok maximlis szma

3(n 1)

lehet.

A trigny tekintetben szintn nincs klnbsg az elzhz kpest, az

elemek trolsn tl, a csere elvgzshez szintn szksges egy tovbbi elem

tpus segdvltoz. Teht az algoritmus trignye

n+ 1.

Korbban lttuk, hogy a sorozatok rendezettsge ellenrizhet a szom-

szdos elemek sszehasonltsval. Nevezetesen, ha brmely kt szomszdos

elem sorrendje megfelel, akkor a sorozat is rendezett. Erre pt a bubork-

rendezs 4.11. algoritmusa.

Az algoritmus elszr a sorozat elejtl kezdve minden elemet sszeha-

sonlt a rkvetkezjvel, s ha a sorrendjk nem megfelel, akkor meg is

cserli azokat. Ez a mveletsor n1 sszehasonlts s legfeljebb ugyanennyicsere rn biztostja, hogy a sorozat legnagyobb eleme a sorozat vgre ke-

rljn. Ezt kveten mr csak az utols elem gyelmen kvl hagysval

az els n 1 elemmel kell megismtelnnk a mveletsort, mikzben n 2 sszehasonltst s legfeljebb ugyanennyi csert vgznk el. Ekkorra asorozat msodik legnagyobb eleme kerlt a vgleges helyre.

Hasonl mdon a sorozat tbbi eleme is vgleges helyre buborkoltat-

62

hat. Utolsknt a sorozat els kt elembl ll rszsorozatban vgezve a

mveletsort a msodik s az els elem is helyre kerl.

1 Eljrs RendBubork(A: sorozat);

2 Vltoz


4 J: egsz; // a feldolgozand rszsorozat sorszma


6 Algoritmus

7 Ciklus J (1..N-1) // a j. rszsorozat feldolgozsa8 // Az elejtl az n j. jrjuk be a sorozatot.9 Ciklus I (1..N-J)10 Ha A[I]>A[I + 1] akkor

11 C A[I]; // Ha a szomszdok sorrendje...12 A[I]A[I + 1]; // ...nem megfelel, az elemek13 A[I + 1] C; // (i. s i+ 1.) cserje szksges14 HVge;

15 CVge;

16 // A j. rszsorozat legnagyobb eleme

17 // biztosan az n j + 1. helyre,18 // a rszsorozat vgre kerlt.

19 CVge;

20 EVge;

Buborkrendezs

4.11. algoritmus

A fentiek alapjn s a 4.11. algoritmus rtelmezse alapjn az olvas-

ra bzzuk annak beltst, hogy a buborkrendezs hatkonysgt tekintve

megegyezik a kzvetlen kivlasztssal trtn rendezs (4.9.) algoritmus ha-

tkonysgval.

63

1 Eljrs RendBubork_J1(A: sorozat);

2 Vltoz




6 VoltCsere: logikai;

7 //

8 Algoritmus

9 J 1;10 VoltCsere Igaz;11 Ciklus _Mg (J 6 N-1) VoltCsere12 VoltCsere Hamis;13 // a j. rszsorozat feldolgozsa

14 // Az elejtl az n j. jrjuk be a sorozatot.15 Ciklus I (1..N-J)16 Ha A[I]>A[I + 1] akkor

17 C A[I]; // Ha a szomszdok sorrendje...18 A[I]A[I + 1]; // ...nem megfelel, az elemek19 A[I + 1] C; // (i. s i+ 1.) cserje szksges20 VoltCsere Igaz; // Folytatni kell a rendezst21 HVge;

22 CVge;



26 J J + 1;27 CVge;

28 EVge;

A buborkrendezs hatkonyabb tehet, ha az

algoritmus flismeri, hogy a sorozat rendezetlen rsze

is rendezett vlt mr

4.12. algoritmus

64

Ugyanakkor vegyk szre, hogy a buborkrendezs sorn azon tl, hogy

a nagyobb rtk elemek sorozat vge fel gyorsan vndorolnak, a kisebbek

a sorozat eleje fel mozdulnak el egy hellyel. Ez azt jelenti, hogy mikzben a

sorozat vgn a rendezett rsz elemszma eggyel ntt, addig az ettl jobbra

lv elemek rendezettsge is megvltozik, esetleg rendezett is vlhat. A 4.11.

mdostsval elrhet, hogy az algoritmus felismerje azt, ha a rendezettsg

a kisebb index elemek krben is bekvetkezett. Ekkor ugyanis a teljes

sorozat rendezett vlt. Ezt a mdostst tartalmazza a 4.12. algoritmus.

A 4.12. javtott bubork-rendezs csak azt kpes flismerni, hogy a so-

rozat baloldali, rendezsre vr rsze teljesen rendezett vlt. Ezt az jelzi,

hogy bels ciklus lefutsa sorn nem volt szksg cserre. Ugyanakkor elfor-

dulhat, hogy bels ciklusban jval a ciklusvltoz vgrtknek elrse eltt

trtnt az utols csere, azaz a sorozat az utols csere helytl mr rendezett.

Ezt kpes flismerni a buborkrendezs 2. javtott 4.13. algoritmusa.

65

1 Eljrs RendBubork_J2(A: sorozat);

2 Vltoz




6 UtolsCsereH: egsz;

7 // az utols csere hlyt jelzi majd

8 Algoritmus

9 J 1;10 Ciklus _Mg (J 6 N-1)11 UtolsCsereH 0;12 // a j. rszsorozat feldolgozsa

13 // Az elejtl az n j. jrjuk be a sorozatot.14 Ciklus I (1..N-J)15 Ha A[I]>A[I + 1] akkor

16 C A[I]; // Ha a szomszdok sorrendje...17 A[I]A[I + 1]; // ...nem megfelel, az elemek18 A[I + 1] C; // (i. s i+ 1.) cserje szksges19 UtolsCsereHI; // Folytatni kell a rendezst20 HVge;

21 CVge;



25 JN-UtolsCsereH;26 CVge;

27 EVge;

A buborkrendezs algoritmusban lehetsg van az

utols csere helynek trolsra, gy egynl tbb elem

is csatolhat a rendezett rszsorozathoz

4.13. algoritmus

66

4.3.1. Beszr rendezs

A beszr rendezs elve szerint mindig a kvetkez elem helyt kell megke-

resnnk egy mr rendezett rszsorozatban. Ezt egy n elem sorozat esetben

n 1-szer kell megtennnk, hiszen az a1-et, mint egy egy elem rszsoroza-tot rendezettnek tekinthetjk, s az a2-tl a sorozat vgig sszesen ennyi

elem van, amelyeket be kell illesztennk a rendezs sorn az egyre bvl

rendezett rszbe.

P C E R A D N H F G

j = 1C P E R A D N H F G

j = 2C E P R A D N H F G

j = 3C E P R A D N H F G

j = 4A C E P R D N H F G

j = 5A C D E P R N H F G

j = 6A C D E N P R H F G

j = 7A C D E H N P R F G

j = 8A C D E F H N P R G

j = 9A C D E F G H N P R

4.3. bra. Egy 10 elem sorozat rendezse beszr ren-

dezssel

67

Ezt szemllteti a 4.3. bra egy 10 elem sorozat pldjn. Piros sznnel

a rendezsre vr elemeket, zlddel a teljesen rendezett sorozatot jelltk.

Srga a sorozat egyre bvl rendezett rszt jelli, amelybe ha bele is kerl

egy elem, kornt sem biztos, hogy az lesz a vgleges helye. Nyllal jelltk,

hogy a rendezetlen rsz els elemt a rendezettek kz hov is illesztettk

be. Az brn meggyelhet, hogy a beillesztetett elemtl balra tallhat

srgval jelzett elemek mindegyike az elz sorban elfoglalt helykhz kpest

egy pozcival balra helyezkednek el. gy trtnhet meg pldul az, hogy az

eredetileg a 4. helyen tallhat R br viszonylag gyorsan a rendezett

rszbe kerl a rendezs bejezsekor mr a sorozat vgre vndorolt.

A j-edik lpsben teht a sorozat j+1-edik elemt szeretnnk a rendezett

rszsorozatban elhelyezni. Hogy ezt megtehessk, valjban kt problmt

kell megoldanunk.

1. Meg kell keresnnk azt a helyet, ahov beillik az aj+1. Itt jegyezzk

meg, hogy valsznleg clszer lesz majd gyelembe vennnk, hogy

ezt a keresst egy rendezett sorozatban kell vgeznnk, s tudjuk, hogy

erre vannak hatkonyabb algoritmusaink.

2. Ugyanakkor problmt jelent, hogy nem elg megtallnunk azt a he-

lyet, ahol a beillesztend elemnek lennie kellene, hiszen az a hely mr

egszen biztosan foglalt, hanem helyet is kell biztostanunk a szmra

anlkl, hogy a sorozat elemei kzl brmelyiket elvesztennk.

Ttelezzk fel, hogy ismerjk annak az elemnek a sorszmt, amely el

be kell illesztennk az aj+1-et. Ha most kivennnk (pontosabban msolatot

ksztnk) a sorozatnak az aj+1, azaz a beillesztend elemrl (4.14 algorit-

mus 9. sora),

a1 . . . ai1 ai ai+1 ai+2 . . . aj2 aj1 aj aj+1 aj+2 . . . anx

akkor ezt kveten az t megelz (aj) elemmel kezdve, a sorozat eleje fel

haladva, az ai-vel bezrlag az elemeket egy hellyel jobbra kell mozgatni

68

(4.14 algoritmus 12. sor). Ha az aj az els ilyen elem az ai pedig az utols,

akkor ez sszesen (j i+ 1) adatmozgatssal valsthat meg.


1.2.3.(ji).(ji+1).

A kt szls esetet gyelembe vve:

1. ha aj 6 aj+1, akkor nem kell az aj-t fntebb cssztatni mert a meg-felel helyen van.

2. ha aj+1 < a1, akkor pedig j szm elem mindegyikt egy-egy hellyel

jobbra kell lptetni.

Ilyen mdon flszabadul a hely a beillesztend elem szmra a megfelel

helyen, s ekkor helyre kerlhet az x-ben tmenetileg trolt elem (4.14

algoritmus 15. sor).


69

1 Eljrs RendBeszr(A: sorozat);

2 Vltoz



5 X: elemtip; // segdvltoz elem tmeneti trolsra

6 Algoritmus

7 Ciklus J (1..N-1)// n 1 elemet kell beilleszteni8 I J;9 X A[J + 1]; // a j + 1-edik elem helyt keressk10 // a j-ediktl visszafel a rendezett rszben

11 Ciklus _Mg (I > 1) (A[I]>X)12 A[I + 1] A[I];// az i-edik mozgatsa eggyel fntebb13 II-1; // a sorozat eleje fel haladva keresnk14 CVge;

15 A[I + 1] X; // X beillesztse a rendezett rszbe16 CVge;

17 EVge;

Beszr rendezs

4.14. algoritmus

4.3.2. Shell rendezs

Tekintsk az albbi rendezetlen sorozatot.

P C E R A D N H F G

Vlasszunk a sorozat elemszmtl fgg d egsz rtket, s bontsuk fl a

sorozatot d szm rszsorozatokra az albbi szempontok szerint:

egy sorozatba az eredeti sorozat egymstl d tvolsgra lv elemei

tartozzanak.

az eredeti sorozat k-adik elemei (ahol 1 6 k 6 d) rendre legyenek ak-adik sorozat els elemei.

70

A fenti kt felttel biztostja, hogy az eredeti sorozat minden eleme pontosan

egy rszsorozatba tartozhat. Pldnkban kezdetben legyen d = 3.

k = 1 P R N G

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

k = 2 C A H

k = 3 E D F

Vgezzk el az gy kapott rszsorozatok rendezst valamely rendez algo-

ritmussal kln-kln.

k = 1 G N P R

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

k = 2 A C H

k = 3 D E F

Ezt kveten ha egy sorozatknt tekintjk az elemeket, nem flttlen kapunk

rendezett sorozatot.

G A D N C E P H F R

Cskkentsk most a d rtkt s legyen d = 2.

k = 1 G D C P F

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

k = 2 A N E H R

71

Vgezzk el az gy nyert rszsorozatok rendezst is az elzekhez hasonl

mdon.

k = 1 C D F G P

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

k = 2 A E H N R

Ezt kveten ha ismt egy sorozatknt tekintnk az elemekre, azt gyel-

hetjk meg, hogy, az egyes elemek meglehetsen kzel kerltek a vgleges

helykhz. Esetnkben ez azt jelenti, hogy csupn nhny szomszdos elem

cserje is elegend volna a rendezettsg elrshez.

C A D E F H G N P R

Vgezzk teht el a rendezst d = 1 esetre is.

Az alapgondolat szerint teht kezdetben egymstl tvolabbi elemeket

hasonltunk s mozgatunk, ami ltalban azt eredmnyezi, hogy az elemek

gyorsabban kzeltenek a vgleges helykhz.

72

1 Eljrs RendShellMin(A: sorozat);

2 Vltoz

3 I, J, MinH: egsz; // vltozk az alap rendezshez

4 D: egsz; // elemek kztti tvolsg

5 K: egsz; // az aktulis, rendezend sorozat sorszma

6 C: elemtip; // segdvltoz elem tmeneti trolsra

7 Algoritmus

8 D N;9 Ciklus

10 D D div 3 + 1;11 Ciklus K 1..D12 J K; az "alap"-algoritmus KEZDETE 13 Ciklus _Mg J 6 N-D14 MinHJ; I J + D;15 Ciklus _Mg I 6 N16 Ha A[I]

4.3.3. sszefuttats

A rendezett sorozatok feldolgozsa sorn szksgess vlhat kt (azonos m-

don) rendezett sorozat elemeinek egy rendezett sorozatban val egyestse.

Kzenfekv megoldsnak tnne a sorozat elemeit egy adatszerkezetben egy-

szeren egyms utn msolni, majd az gy kapott, most mr rendezetlen

sorozatot az egyik korbban megismert rendez algoritmussal rendezni.

Az sszefuttats ttele egy ennl jval hatkonyabb megoldst knl. T-

telezzk fel, hogy mindkt sorozat nvekven rendezett, s nem flttlen

azonos elemszmak. Az ilyen elrendezsbl az kvetkezik, hogy a sorozatok

els elemei (a1 s b1) egyben a sorozaton bell a legkisebbek is. Az is nyilvn-

val, ha az egyestett sorozatnak szintn nvekven rendezettnek kell lennie,

akkor annak els eleme csak a Min(a1, b1) lehet. A kvetkez lpsben mr

az egyik sorozat els s msik sorozat msodik elemnek sszehasonltsval

dnthetjk el, hogy melyik elem kerljn az j sorozatban.

ltalnosan megfogalmazva: vezessk be mindkt sorozat esetben az

aktulis elem fogalmt. Kezdetben a sorozatok els elemei legyenek az ak-

tulisak.

Vgezzk el a kt aktulis elem sszehasonltst, s a kisebbiket rjuk

bele az egyestett sorozat elemeit tartalmaz adatszerkezet kvetkez

pozcijba.

Ezutn abban a sorozatban, amelynek elemt az j sorozatba rtuk, a

kvetkez elemet tekintsk aktulisnak.

A fenti lpsek sorozatt vgezzk mindaddig, amg az egyik sorozat vgre

nem rnk. Ezt kveten a msik sorozat maradk elemeit az egyests vgre

rhatjuk, hiszen azok az eddig feldolgozott sszes elemnl nagyobbak. A fenti

elvek alapjn vgzi kt rendezett sorozat egyestst a 4.16. algoritmus.

74

1 Eljrs sszefuttats(A, B, C: sorozat);

2 Vltoz AI, BI, CI: egsz;

3 Algoritmus

4 AI 1; BI 1; CI 0;5 Ciklus _Mg (AI 6 A.elemszm) (BI 6 B.elemszm)6 CI CI + 1;7 Ha A[AI]B[BI] Akkor

11 C[CI] B[BI]; BI BI + 1;12 Klnben

13 C[CI] A[AI]; AI AI + 1;14 CI CI + 1;15 C[CI] B[BI]; BI BI + 1;16 HVge;

17 HVge;

18 CVge;

19 // A vagy B maradk elemeit C vgre rjuk

20 Ciklus _Mg (AI 6 A.elemszm)21 CI CI + 1; C[CI]A[AI];22 AI AI + 1;23 CVge;

24 Ciklus _Mg (BI 6 B.elemszm)25 CI CI + 1; C[CI]B[BI];26 BI BI + 1;27 CVge;

28 EVge;

sszefuttats

4.16. algoritmus

75

4.4. Feladatok

1. Adjuk meg a fejezet lernyelv algoritmusait blokkdiagram formj-

ban.

2. Dntsk el a sorozatrl, hogy

a) nvekven,

b) cskkenen

rendezett-e?

3. rjunk algoritmust, amely Igaz illetve Hamis rtket rendel az an

sorozathoz attl fggen, hogy az nvekven rendezett vagy sem.


meg, van-e olyan eleme, amely kvl esik egy adott r sugar O(x0, y0)

kzppont krn.

5. Koordintival megadott n elem, skbeli pontsorozat elemei jelent-

sk egy n-oldal sokszg cscspontjait. (A megads sorrendje megfelel

krljrsi irnynak.) Hatrozzuk meg, hogy van-e a sokszgnek egy

adott d-nl hosszabb oldala.

6. Mdostsa a lineris keress algoritmust gy, hogy a keresst a sorozat

utols elemnl kezdjk.

7. Mdostsa a strzss keress algoritmust gy, hogy a keresst a soro-

zat utols elemnl kezdjk.

8. Mdostsa a rendezett sorozatra rtelmezett lineris keress algoritmu-

st gy, hogy a keresst a sorozat utols elemnl kezdjk.

9. Mdostsa a rendezett sorozaton val lineris keress algoritmust gy,

hogy ha tudjuk, hogy a sorozat monoton cskken.

10. Mdostsa a binris keress algoritmust gy, hogy ha tudjuk, hogy a

sorozat monoton cskken.

76

11. Egsztse ki a tanult rendez algoritmusok programkdjt a megfelel

utastsokkal, hogy az alkalmas legyen az aktulis rendezend sorozat

esetben a felttelvizsglatok s az adatmozgatsok szmnak megha-

trozsra.

12. A megismert rendez algoritmusokat mdostsa gy, hogy a sorozatok

rendezettsge nem nvekv legyen.

13. A minimumkivlasztssal val rendezs algoritmusa alapjn ksztse el

azt az algoritmust amely a maximumkivlasztsra pl s a rendezs

vgrehajtsa utn sorozat elemei

monoton nvekv

monoton cskken

sorozatot alkotnak.

14. A fentebb bemutatott buborkrendezs algoritmusnak (4.11) nagy

htrnya, hogy a sorozat vghez kzel tallhat kis rtk elemek

(teknsk) nagyon lassan talljk meg helyket a sorozat elejn, mg

a sorozat elejn lv nagy rtk nyulak jval gyorsabban a vgle-

ges helykre kerlnek. A 4.11 algoritmus alapjn rjuk meg a Koktl

rendezs algoritmust, amely flvltva buborkoltatja a nagy rtk

elemeket a sorozat vgre, majd a kicsiket az elejre.

15. A Koktl rendezs elvi alapja teht fentebb bemutatott buborkren-

dezs (4.11). Ebbl az is kvetkezik, hogy ennek az algoritmusnak is

elvgezhet a javtsa, ahogyan a buborkrendezs.

A 4.12 algoritmus elve alapjn mdostsa a Koktl rendezs al-

goritmust gy, hogy lljon le az algoritmus, ha a sorozat kzps,

rendezetlen rsze is rendezett vlt.

A 4.13 algoritmus elve alapjn mdostsa a Koktl rendezs

algoritmust gy, hogy ha lehetsges, akkor esetleg tbb elemet

is a rendezett rszhez csatol azltal, hogy gyeljk benne az utols

csere helyt.

77

16. rjunk algoritmust s programot, amely egy hossz szvegben megta-

llja a papa sz elfordulsait.

17. rjunk algoritmust s programot, amely a 4.4 brn lthat grf-modell

alapjn mkdik s egy hossz szvegben megtallja a papa sz el-

fordulsait.

START

p

pap

pa

illesszkeds

kijelzse

ms

p

ms

p

ms

p

ms

p

a

a

4.4. bra. Egy szvegben a papa sz elfordulsait ke-res llapot-gp grfmodellje

18. Knny ltni, hogy egy nvekven rendezett sorozatban az i-edik ele-

met (i1) nla kisebb elem elz meg. Ha teht egy rendezetlen sorozatvalamely elemrl tudjuk, hogy a sorozatnak van (i 1) eleme, ame-lyek nla kisebbek, akkor azt is tudjuk, hogy a rendezett sorozatban

ennek az elemnek az i-edik helyre kell kerlnie.

rjunk eljrst a fenti elvek alapjn, amely az n elem a rende-

zetlen sorozat elemeit egy vektor paramterben kapja meg s egy

msik vektorban rendezetten adja vissza.

Vgezzk el az algoritmus hatkonysgnak vizsglatt.

78

19. A 4.3 bra egy 10 elem sorozat llapotait szemllteti annak beszr

rendezssel trtn rendezse sorn. Hatrozza meg, hogy a rendezs

sorn hny sszehasonltst s rtkadst kellett elvgezni, ha az brn

megadott sorozatbl indultunk ki.

20. Adott az na s az nb elem a s b nvekven rendezett sorozat. N-

vekven rendezett sorozatokrl lvn sz teljesl, hogy az egyes so-

rozatok utols elemei a legnagyobbak. Az elemek trolsra szolgl

adatszerkezetek lehetv teszik azok egy-egy elemmel val bvtst az

na + 1-edik s az nb + 1-edik pozcin. Troljunk ezeken a pozcikon

max(ana , bnb)-nl nagyobb tetszleges elemet.

79

5. Halmaz

A halmaz a matematika egyik alapfogalma, melyet leginkbb gy tudunk

krlrni, mint bizonyos egymstl klnbz dolgok sszessgt. Ez a fo-

galom szmtalan problma matematikai modellezst teszi egyszerbb, s

a megoldst jelent hatkony algoritmus ellltshoz flttlen szksges

egy alkalmas modell. Ilyen esetekben segthetik munknkat egy jl felptett

adatszerkezet s a hozz kthet mveletek algoritmusai. Termszetesen az

albbiakban bemutatni kvnt adatszerkezet csak vges, n elem halmazok

reprezentlsra alkalmas, lvn a szmtgp memrija is vges. Ugyanak-

kor ms szempontbl trekedni fogunk a szoksos halmazelmletben ismert

mveletek, fogalmak megvalstsra.

halmaz

komplementere: A := {x|x / A}kt halmaz

unija: A B := {x|x A x B}kt halmaz

metszete: A B := {x|x A x B}kt halmaz

klnbsge: A \B := {x|x A x / B}

rszhalmaz: A B, ha x A esetn x Bhalmaz

elemszma: |A|

res halmaz: , || = 0 (res halmaz elemszma nulla)diszjunkt

halmazok: A B = (metszetk az res halmaz).Jellje U a problma szempontjbl fontos elemek sszessgt. Azt a hal-

mazt, amely tartalmaz minden elemet, amely a feladat kapcsn egyltaln

szba jhet, univerzumnak is szoks nevezni. Br a halmaz jellegbl ad-

80

dan annak elemei kztt semmifle k

algoritmusok tk ekf

Documents