algemene relativiteitstheorie-van den bergh

Algemene Relativiteitstheorie

N. Van den Bergh

februari, 2007

Inhoudsopgave

1 Differentiaalmeetkundige Begrippen 1

1-1 Differentiaalvarieteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-2 Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41-3 Eenvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81-4 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101-5 Differentiaalvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121-6 Uitwendige Afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141-7 Integratie van vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151-8 Lie-afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181-9 Covariante afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1-9.1 Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211-9.2 Parallel transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231-9.3 Normale coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231-9.4 Symmetrische connecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1-10 Kromming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261-11 Metrieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1-11.1 Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291-11.2 Eigenschappen van de riemann-tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341-11.3 Hyperoppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371-11.4 Dualiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1-12 Isometrieen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421-13 Uitgewerkte voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Beperkte Relativiteitstheorie 51

2-1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512-2 Lorentz-transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532-3 Minkowski-diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562-4 Minkowski-metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612-5 Relativistische Mechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2-5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652-5.2 Energie-impulstensor van een deeltjeswolk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662-5.3 Energie-impulstensor van een perfecte vloeistof . . . . . . . . . . . . . . . . 682-5.4 Behoudswetten en energievoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2-6 Electrodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742-6.1 Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

iii

iv INHOUDSOPGAVE

2-6.2 Electromagnetische golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762-6.3 Energie-impulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 Beginselen van de Algemene Relativiteitstheorie 81

3-1 Beginsel van Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813-2 Zwak Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843-3 Covariantiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863-4 Einstein’s Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893-5 Sterk Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923-6 Minimale koppeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3-6.1 Testdeeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933-6.2 Perfecte vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943-6.3 Electromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943-6.4 Behoudswetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3-7 Correspondentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Veldvergelijkingen 97

4-1 Vacuumvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994-2 Veldvergelijkingen in de aanwezigheid van materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004-3 Structuur van de veldvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Zwakke velden en gravitationele straling 105

5-1 De lineaire benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055-2 Vlakke gravitatiegolven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Ist das wirklich so? 111

6-1 Zwak Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116-2 Einstein’s Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136-3 Metrische Theorieen en het Zonnestelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6-3.1 Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176-3.2 Gebonden beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196-3.3 Ongebonden beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216-3.4 Gravity Probe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7 Bijzondere Oplossingen 125

7-1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257-2 Sferische symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277-3 Schwarzschild-oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297-4 Eddington-finkelstein-metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337-5 Statische en sferisch symmetrische perfecte vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . 1357-6 Kruskal’s vorm van de schwarzschild-oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407-7 Conforme compactificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8 Inleiding tot de kosmologie 149

8-1 Standaard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498-2 Symmetrie en geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528-3 Energie-impuls tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608-4 Veldvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

INHOUDSOPGAVE v

8-5 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648-5.1 Einstein’s statisch model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648-5.2 Niet-statische modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648-5.3 Modellen met Λ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658-5.4 Modellen met Λ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

vi INHOUDSOPGAVE

Inleiding

Opbouw van deze cursus

Alhoewel de algemene relativiteitstheorie (A.R.) bijna een eeuw oud is, blijven er in dit onder-zoeksdomein nog vele fundamentele vragen onopgelost en worden er nog regelmatig opwindendeontdekkingen gemaakt. De doelstelling van deze cursus is dan ook tweezijdig: het is in de eersteplaats de bedoeling een gedetailleerd overzicht te geven van de fundamentele concepten en hy-pothesen die aan de basis liggen van de theorie (in het bijzonder de mathematische grondslagenervan) en ook wens ik even halt te houden bij de belangrijkste ontdekkingen en experimenten vande voorbije vijftig jaar. Het is inderdaad zo dat A.R. vanaf ongeveer 1960 een ‘renaissance’ gekendheeft, die enerzijds te danken is aan een reeks van fascinerende theoretische ontwikkelingen (zwartegaten, wormgaten, gravitatiegolven, kosmische snaren, inflationair heelal, ...), en anderzijds aaneen ganse reeks vernieuwende experimenten. Misschien wel voor alles zijn het deze experimentendie nieuw leven geblazen hebben in een theorie die, na haar eerste grote successen, tussen 1920 en1960 langzaam in een toestand van menopauze gesukkeld was. Vandaag echter is experimentelegravitatie opnieuw een essentieel en levendig onderdeel van A.R. en is de theorie zelf een actieveingredient van de astrofysica, de kosmologie en de theoretische fysica.

In een inleidende cursus is het onmogelijk om op alle details in te gaan en regelmatig zullenresultaten dus zonder enige vorm van bewijs gegeven worden. Er wordt geen poging ondernomenom volledigheid te bereiken, wel om voldoende details te verschaffen die toelaten een algemeeninzicht in de materie te verkrijgen. Door de geweldige vlucht die de algemene relativiteitstheoriede laatste jaren genomen heeft, is het ook niet mogelijk de meest recente ontwikkelingen in hetgebied zelfs maar aan te raken. Ik hoop echter om hiermee de geınteresseerde student een voldoendsterke basis te kunnen verschaffen, zodat hij/zij aan de hand van de vakliteratuur zijn weg in ditdomein verder kan vinden.

Hoofdstuk I bevat een overzicht van enkele essentiele elementen uit de differentiaalmeetkunde.Het is belangrijk dat men zich deze materie zo spoedig mogelijk eigen maakt, aangezien dit detaal levert waarin het resterende deel wordt aangeboden. De nadruk wordt gelegd op het gebruikvan coordinaatvrije methoden in de differentiaalmeetkunde en als dusdanig vergt deze cursus enigevoorkennis op het vlak van de differentiaalmeetkunde (van oppervlakken in R

3) en van de klassieketensorrekening. Een goede inleiding tot de differentiaalmeetkunde is het boek Introduction to Dif-ferential Geometry van B. O’ Neill (verschillende exemplaren zijn voorradig in de UA bibliotheek).

vii

viii INHOUDSOPGAVE

Naslagwerken

Het boek dat zonder enige twijfel nog steeds de bijbel van de relativiteitstheorie mag genoemdworden is The large scale structure of space-time van Stephen Hawking en George Ellis (Cambridge1973). Hieruit zijn grote stukken zonder meer -en zonder al te veel schaamte- overgenomen. Hetgrootste deel van dit werk is echter totaal ongeschikt voor gebruik bij een inleidende cursus.

Bijzonder goed zijn ook General Relativity van Robert Wald (U. of Chicago Press 1984) enAdvanced general relativity van John Stewart (Cambridge 1991). De cursus loopt min of meerparallel met het eerste gedeelte van beide werken. Het tweede gedeelte bevat gevorderd materiaal,dat eveneens niet erg geschikt is bij een eerste kennismaking.

Een goed boek is ook Introducing Einstein’s Relativity van Ray d’Inverno (Clarendon 1992).d’Inverno neemt bewust afstand van de moderne geometrische aanpak en verkiest opnieuw deweg van de klassieke tensorrekening. Het boek bevat m.i. enkele onnauwkeurigheden, maar isvlot leesbaar en is voorzien van talrijke illustraties. Als ’klassieke’ aanvulling op de modernere,geometrische aanpak, is het zeker aan te bevelen! Hetzelfde geldt voor A First Course in GeneralRelativity (Cambridge 1985) van Bernard F. Schutz en Relativity van Hans Stephani (Cambridge2004). Een bondige (eveneens heel klassieke en met soms nogal eigenzinnige conventies) inleidingtot de relativiteitstheorie wordt gegeven door James Foster en David Nightingale (A short coursein general relativity, Springer 1994).

Sterk fysisch georienteerde werken zijn Gravity van James Hartle (Addison Wesley 2003) enGravitation and cosmology van Steven Weinberg (Wiley 1972). Dit laatste bevat een schitterendehistorische inleiding en is een absolute klassieker voor wat betreft het onderdeel kosmologie (envolgt de traditionele tensorcalculus).

Wie een snelle en bondige introductie verlangt tot de meer mathematische aspecten van huidigonderzoek in A.R, kan zich wenden tot de eerste hoofdstukken uit Exact solutions of Einstein’s fieldequations van Dietrich Kramer, Hans Stephani, Malcolm MacCallum en Eduard Herlt (Cambridge2003). Het grootste deel van dit boek is echter een encyclopedie van zg. ‘algebraısch speciale’oplossingen.

Tenslotte bestaat er een schat aan informatie over vrijwel elk onderwerp dat met A.R. verbandhoudt, namelijk Gravitation van Misner, Thorne en Wheeler (Freeman 1973).

Enkele aanraders uit de oudere literatuur (helaas niet zo makkelijk meer te vinden):

A. Einstein The Meaning of Relativity (Methuen 1922)V. Fock The Theory of Space-time and Gravitation (Pergamon 1964)L. Landau en E. Lifschitz The Classical Theory of Fields (Addison-Wesley 1962)C. Moller The Theory of Relativity (Oxford U.P. 1952)H. Robertson en T. Noonan Relativity and Cosmology (Saunders 1968)E. Schrodinger Space-Time Structure (Cambridge U.P.)J.A. Schouten Ricci Calculus (Springer 1954)J. Synge Relativity: the General Theory (North-Holland 1960)

Hoofdstuk 1

Differentiaalmeetkundige

Begrippen

Volgende nota’s vormen geen substituut voor een cursus differentiaalmeetkunde: ze dienen slechts(1) als herhaling van reeds geziene begrippen (2) als bondige introductie tot eventueel nieuwebegrippen (3) als houvast voor de in deze cursus gebruikte notaties en andere conventies.

1-1 Differentiaalvarieteiten

Figuur 1.1: Bernhard Riemann

1

2 HOOFDSTUK 1. DIFFERENTIAALMEETKUNDIGE BEGRIPPEN

Een n-dimensionale differentiaalvarieteit (of manifold) is grofweg een topologische ruimte Mdie lokaal op de standaard euclidische ruimte R

n lijkt. Om dit wat preciezer te maken voert meneerst het begrip in van een kaart.Een kaart (U, Φ) op een een topologische ruimte M bestaat uit een deelverzameling van M eneen homeomorfisme Φ van een open deel U naar een open deel van R

n.Φ associeert met elk punt p ∈ U een n-tupel van reele getallen (x1, ..., xn), de lokale coordinatenvan p genoemd t.o.v. (U, Φ). Alhoewel de coordinaten van p in werkelijkheid dus de getallenxi Φ(p) zijn, zullen we deze meestel kort noteren als xi(p).

(P)

xit t

Fa

xi’t t

Fb(P)

Fb Fa-1

Fa

Fb

pU Uba

m

Figuur 1.2:

Twee kaarten (U, Φ) en (V, Ψ) met U ∩ V 6= heten Ck-compatibel als de bijectie Ψ Φ−1 :Φ(U ∩ V ) → Ψ(U ∩ V ) een Ck-afbeelding is tussen open delen van R

n (is dit het geval voor allek ≥ 0 dan zegt men dat ze C∞-compatibel zijn). Om deze nota’s min of meer leesbaar te houdenzullen we voortaan veronderstellen dat alle gebruikte functies glad zijn, in de zin dat ze voldoendedifferentieerbaar zijn (desnoods C∞ of zelfs analytisch) om de nodige constructies toe te laten. Wezullen de differentieerbaarheidsklasse dan ook niet langer expliciet vermelden.

Een atlas op M is een verzameling van compatibele kaarten (Uα, Φα) zodat M = ∪αUα. Wenoemen M dan een n-dimensionale varieteit. Dit betekent dat in het gebied Uα ∩ Uβ van tweelokale coordinaatomgevingen Uα en Uβ de lokale coordinaten in de ene omgeving gladde functies

zijn van de lokale coordinaten in de andere omgeving: xi′ = xi′(xj), met dus det(∂x′

∂x ) 6= 0. Merk opdat we de indices van de ‘nieuwe’ coordinaten voorzien van een accent, eerder dan de coordinatenzelf: dit mag op het eerste zicht wat vreemd lijken, maar brengt achteraf enig soelaas.

Gewoonlijk worden nog extra topologische beperkingen opgelegd, die weliswaar een rol spelenbij het afleiden van sommige der hierop volgende resultaten, maar die bij een eerste kennismakingweinig relevant zijn.

Een afbeelding f : M → N van een varieteit M naar een varieteit N is glad in een punt pals er een lokaal coordinatenstelsel bestaat waarvoor de lokale coordinaten van f(p) in N gladdefuncties zijn van de lokale coordinaten van p in M. (en in dat geval geldt dit voor alle lokalecoordinatenstelsels). Een afbeelding die glad is in elk punt noemen we een gladde afbeelding.Bestaat de inverse afbeelding f−1 en is deze eveneens glad, dan zeggen we dat f een diffeomor-fisme is. Bestaat er tussen M en N een diffeomorfisme, dan zijn M en N diffeomorf, wat wil

1-1. DIFFERENTIAALVARIETEITEN 3

zeggen dat ze glad in elkaar te vervormen zijn. De verzameling der gladde afbeeldingen M → R

noteren we als F(M). Dit is een commutatieve algebra over R, wat betekent (a) dat F(M)een reele vectorruimte is onder de puntsgewijs gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging metscalairen (namelijk (f + g)(p) = f(p) + g(p) en (αf)(p) = αf(p)) en (b) dat de puntsgewijsgedefinieerde vermenigvuldiging van gladde functies ((fg)(p) = f(p)g(p)) voldoet aan de eigen-schappen f(gh) = (fg)h, (f + g)h = fh+ gh, fg = gf en 1f = f (waarbij 1 beschouwd wordt alsde constante functie die elk element p afbeeldt op 1 ∈ R).

NB: men kan zich de vraag stellen in welke mate, voor een gegeven topologie, de resulterendedifferentiaalstructuur afhangt van de gekozen atlas. Voor R

3 is het antwoord eenvoudig: alledifferentaalstructuren zijn dan onderling diffeomorf. Voor R

4 bestaan er echter oneindig veelonderling niet-diffeomorfe differentiaalstructuren!

Een kromme γ in M is een gladde afbeelding van een open interval ]a, b[⊂ R naar M .


1-2 Vectoren

Vectoren kunnen in een differentiaalvarieteit M niet meer bekeken worden als ‘pijlen met eenaangrijpingspunt en een eindpunt’. Daarom definieren we eerst het begrip rakende krommen :

als γ1 en γ2 krommen zijn in M met γ1(t0) = γ2(t0) = p ∈ U ⊂ M en (U, Φ) een kaart,dan noemen we γ1 en γ2 rakend in p als D(Φ γ1)(t0) = D(Φ γ2)(t0)

oefening 1: toon aan dat deze definitie onafhankelijk is van de gebruikte kaart

‘Rakend zijn in een punt’ is duidelijk een equivalentierelatie; een equivalentieklasse [γ]p noemenwe een (rakende) vector in p. We definieren ook Tp(M) = [γ]p; γ is een kromme door p als derakende ruimte van M in p.

F

p

U

(P)F

F (U)

Rn

g2

g1

to

R

m

Figuur 1.3:

Een vector in een punt p definieert dan ook een lineaire operator van F(M) naar R: als γ(t0) = pdan stellen we [γ]p(f) = d

dt (f γ)(t)|t0 .

oefening 2: toon aan dat deze definitie onafhankelijk is van de gekozen representant γ.Zijn nu xi lokale coordinaten in een omgeving van p en noteren we met γi de i-de coordinaat-kromme, i.e. de kromme t→ φ−1(φ(p) + t.e) (met e de i-de basisvector van R

n), waarvoor dus delokale vergelijkingen gegeven zijn door xj(t) = xj(p) + t.δij , dan geldt

[γi]p(f) =d

dt(f φ−1(φ(p) + t.e))

=D(f φ−1)(φ(p)).[0 . . . 1 . . . 0]T

=∂

∂xi(f φ−1)(φ(p))

wat we gewoonlijk noteren als ∂f∂xi |p. Dit rechtvaardigt volgende notatie

[γi]p =∂

∂xi|p (1-2.1)

1-2. VECTOREN 5

en men toont aan dat deze vectoren in p een basis vormen voor de rakende ruimte Tp(M). Wenoemen deze basis een coordinaatbasis of een holonome basis.Elke vector vp ∈ Tp(M) kan dus geschreven worden als

vp = vi ∂

∂xi|p met vi ∈ R (1-2.2)

en de werking van vp op f ∈ F(M) wordt bepaald door vp(f) = vi ∂f∂xi |p (we gebruiken vanaf nu

de einstein-sommatieconventie: over elke dubbel optredende index wordt gesommeerd van 1 tot n).T.o.v. een willekeurige ‘anholonome basis’ eavan n onafhankelijke vectoren in p, ea = ei

a∂

∂xi |pschrijven we vp = vaea. We zullen proberen om op zo consistent mogelijke wijze de eerste achtletters van het alfabet te gebruiken voor anholonome indices en i, j, k, . . . voor holonome indices.Uiteraard lukt dit niet altijd: als bv. v = vi ∂

∂xi = vaea, dan is het niet duidelijk wat we met v1

bedoelen: als de context dit vereist zullen we de anholonome indices daarom voorzien van eenˆ :dus vaea = v1e1 + . . .+ vnen. Verder zullen we ook dikwijls de notaties ∂f

∂xi = f,i, ea(f) = f|a en

∂i = ∂∂xi gebruiken.

In de oudere literatuur werd vooral gewerkt met coordinaatbases; het gebruik van anholonomebases blijkt echter veel efficienter te zijn en is nu algemeen verspreid.Bij een verandering van lokale coordinaten xi → xi′ (i.e. bij een verandering van kaart in eenomgeving van p), geldt vp = vi ∂

∂xi |p = vi′ ∂∂xi′

|p zodat uit de kettingregel onmiddellijk volgt

vi′ =∂xi′

∂xj|pvj (1-2.3)

Voor een willekeurige basistransformatie geldt analoog dat als

ea′ = La′beb, (1-2.4)

of, in matrixnotatie,

e1′

...en′

= L

e1

...en

, (1-2.5)

danva′

= La′

bvb, (1-2.6)

of, in matrixnotatie1,[v1′

. . . vn′

] = [v1 . . . vn]L−1 (1-2.7)

waarbij La′

b gedefinieerd is door La′

bLa′c = δc

b , t.t.z. (L−1)ba′

= La′

b.We kunnen tenslotte een vectorveld definieren door met elk punt p ∈ M een vector vp ∈ Tp(M)

te associeren. Dan geldt in lokale coordinaten dat v = vi ∂∂xi met vi functies van xi. De verzameling

der vectorvelden op M noteren we voortaan X (M). De werking van een vectorveld v op f ∈ F(M)wordt puntsgewijs gedefinieerd en geeft dus als resultaat v(f) ∈ F(M). Een vectorveld v is dus

een afbeelding F(M) → F(M) die voldoet aan de volgende eigenschappen:

v(f + g) =v(f) + v(g)

v(fg) =gv(f) + fv(g)

v(λf) =λv(f) (λ constant) (1-2.8)

1Let op: de onderste index in zowel La′b als La′

b is dus altijd de rij-index!


Onder de puntsgewijs gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met gladde functies2, wordtχ(M) dan een F(M)-moduul:

f(u + v) = fu + fv

(f + g)u = fu + gu

(fg)u = f(gu)

1u = u (1-2.9)

Onthou echter bovenal dat er geen zinvolle definitie bestaat van “de som van een rakende vectorin p en een rakende vector in q”, wat zich later zal vertalen in het feit dat het zinloos is om tespreken over “de snelheid van een deeltje in een punt p t.o.v. een waarnemer in het punt q”.

N.a.v. de analogie tussen vectoren en richtingsafgeleiden, ligt het voor de hand dat de achtereen-volgende werking van twee vectoren op een functie afhankelijk is van de volgorde waarin ze wordentoegepast. De commutator of lie-haak van twee vectorvelden u en v wordt gedefinieerd door

[u, v](f) = u(v(f)) − v(u(f)) (1-2.10)

Dat dit opnieuw een vectorveld is, kan men gemakkelijk nagaan ((oefening!): de lineariteit steltgeen problemen, enkel de leibniz-eigenschap dient geverifieerd te worden.Voor een coordinaatbasis geldt uiteraard

[∂

∂xi,

∂

∂xj] = 0, (1-2.11)

maar voor een willekeurige basis moeten we rekening houden met de commutatiecoefficientenDc

ab = −Dcba ∈ F(M) bepaald door

[ea, eb] = Dcabec. (1-2.12)

Uit de jacobi-identiteit[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0 (1-2.13)

volgte[aD

dbc] −Dd

e[aDebc] = 0. (1-2.14)

Hierbij maken we gebruik van de conventie dat m indices, ingesloten door vertikale haken, duidenop 1

m!× de alternerende som van alle permutaties; analoog duiden ronde haken op 1m!× de som

van alle permutaties. B.v.

x[ab] =1

2(xab − xba)

x(ab) =1

2(xab + xba) (1-2.15)

x[abc] =1

6(xabc + xbca + xcab − xacb − xcba − xbac)

oefening:

3. Zij u = ui ∂∂xi en v = vi ∂

∂xi . Bepaal de componenten van [u, v] t.o.v. de lokale coordinaten xi.

2(u + v)(f) = u(f) + v(f) en (gu)(f) = g(u(f))

1-2. VECTOREN 7

4. Bepaal, zo eenvoudig mogelijk,

[x∂x + y∂y√

x2 + y2,x∂y − y∂x√

x2 + y2].

5. Beschouw in R2 de vectorvelden X = ∂x, Y = ∂y en Z = −(x2y+y3)∂x +(x3 +xy2)∂y. Ga over

op poolcoordinaten en schrijf X, Y en Z als combinaties van ∂∂r en ∂

∂θ . Bepaal alle commutatorenvan X, Y en Z.6. Beschouw in R

3 de basis e1 = ex ∂∂y , e2 = ex ∂

∂z + xex ∂∂y , e3 = ∂

∂x . Bepaal de commutatiecoeffi-cienten.7. Ga expliciet na dat, met X,Y ∈ X (M), de componenten [X,Y ]i transformeren zoals de com-ponenten van een vector in X (M).


1-3 Eenvormen

1-vormen in een punt p ∈ M zijn lineaire operatoren die vectoren in p omzetten in reele getallen:een 1-vorm σ in p is dus een element van de duale ruimte T ∗

p (M).Het beeld σ(v) ∈ R noteren we ook als < σ, v > en noemen we de ook contractie van σ en v.Voor een gegeven basis ea zijn de n lineair onafhankelijke 1-vormen ωa bepaald door < ωa, eb >= δa

b een basis voor T ∗p (M). We noemen deze basis de duale basis van ea. Elke 1-vorm σ ∈

T ∗p (M) kan dan geschreven worden als

σ = σaωa (1-3.1)

en met v = vaea geldt dus< σ, v >= σav

a (1-3.2)

Voor f ∈ F(M) definieren we de uitwendige afgeleide van f als de 1-vorm df , bepaald door

< df, vp >= vp(f) = vaf|a (1-3.3)

voor alle v ∈ Tp(M). Voor het bijzonder geval van de coordinaatfuncties xi geldt dan

< dxi,∂

∂xj>= δi

j (1-3.4)

i.e dxi is de duale basis van ∂∂xj . T.o.v. een lokale coordinaatbasis kan elke 1-vorm dus geschreven

worden alsσ = σidx

i (1-3.5)

en geldt i.h.bdf = f,idx

i = f|aωa (1-3.6)

Merk op dat voor alle f, g, h ∈ F(M) en α ∈ R

d(f + g) = df + dg

d(αf) = αdf

(g + h)df = g df + h df

d(fg) = f dg + g df (1-3.7)

waarbij vooral de laatste leibniz -eigenschap van cruciaal belang is.Net zoals voor vectorvelden definieren we tenslotte een 1-vorm-veld σ door met elk punt p ∈ M

een 1-vorm σp ∈ T ∗p (M) te associeren en de werking van σ op een vectorveld puntsgewijs te

definieren: (σ(v))p = σp(vp). Alzo worden de 1-vorm velden F(M)-lineaire afbeeldingen vanχ(M) naar F(M):

σ(v1 + v2) = σ(v1) + σ(v1) en σ(fv) = fσ(v). (1-3.8)

De verzameling van 1-vorm-velden op M noteren we als Ω1(M). Met puntsgewijs gedefinieerdeoptelling en vermenigvuldiging met gladde functies, geldt dat ook Ω1(M) een F(M)-moduul is:

(σ1 + σ2)v = σ1v + σ2v en (fσ)v = f(σv). (1-3.9)

In de oudere (fysica) literatuur komen we 1-vormen tegen onder de benaming covariante vec-toren. Deze benaming werd ingevoerd om, bij overgang naar nieuwe lokale coordinaten, de transfor-matieformules voor de componenten te onderscheiden van deze voor vectoren (ook contravariantevectoren genoemd). Inderdaad, met 1-3.5 geldt σ = σidx

i = σi′dxi′ , zodat onmiddellijk volgt

σi′ =∂xj

∂xi′σj (1-3.10)

1-3. EENVORMEN 9

(vergelijk met 1-2.3).Bij een willekeurige basistransformatie met

ea′ = La′beb

geldt voor de duale basisωa′

= La′

bωb

zodat met σ = σaωa volgt

σa′ = La′bσb (1-3.11)

oefening1: bepaal de duale basis van e1, e2, e3 optredend in oefening 6 van de vorige paragraaf.


1-4 Tensoren

Een tensor S van type (r, s) in een punt a ∈ M is een element van de ruimte T rs (a) = Ta ⊗ · · · ⊗

Ta ⊗T ∗a ⊗· · ·⊗T ∗

a (r factoren Ta, die we identificeren met T ∗∗a , en s factoren T ∗

a ). In het bijzonderdefinieren we T 1

0 (a) = Ta en T 01 (a) = T ∗

a . Een tensor S van type (r, s) in een punt is dus eenmultilineaire operator die (r + s)-tupels (σ1, . . . σr, v1, . . .vs) van r 1-vormen σa en s vectorenva omzet in een reeel getal. Zo is b.v.

u1 ⊗ · · · ⊗ ur ⊗ τ1 ⊗ · · · ⊗ τ s ((σ1, . . . σr, v1, . . .vs)) =

< u1, σ1 > . · · · < ur, σ

r > . < v1, τ1 > . · · · < vs, τ

s > (1-4.1)

Elke tensor S ∈ T rs (a) kan geschreven worden als een lineaire combinatie van elementaire tensor-

producten:S = Sa1 ... ar

b1 ... bsea1

⊗ · · · ⊗ ear⊗ ωb1 ⊗ . . . ⊗ ωbs (1-4.2)

De coefficienten Sa1 ... ar

b1 ... bs(met, in de standaard terminologie, r contravariante en s covariante

indices) noemen we de componenten van S t.o.v. de bases ea, ωa. Er geldt dus

Sa1 ... ar

b1 ... bs= S(ωa1 , . . . , ωar , eb1 , . . . ebs

) (1-4.3)

De som, het scalaire product en het product van tensoren worden gedefinieerd alsvolgt, met S,T ∈ T r

s (a), T′ ∈ T r′

s′ (a), α ∈ R en met (σ, v) een korte schrijfwijze voor (σ1, . . . σr, v1, . . .vs),

(T + S)(σ, v) =T(σ, v) + S(σ, v)

(α . T)(σ, v) =α . T(σ, v) (1-4.4)

(T ⊗ T′)(σ, σ′, v, v′) =T(σ, v) . T′(σ′, v′),

zodat T ⊗ T′ ∈ T r+r′

s+s′ (a). Dit leidt tot de betrekkingen

(S + T )a1 ... ar

b1 ... bs=Sa1 ... ar

b1 ... bs+ T a1 ... ar

b1 ... bs

(αS)a1 ... ar

b1 ... bs=αSa1 ... ar

b1 ... bs(1-4.5)

(T ⊗ T ′)a1 ... ar+r′

b1 ... bs+s′=T a1 ... ar

b1 ... bs. T ′a1′ ... ar′

b1′ ... bs′

Voeren we een basistransformatie uit ea′ = La′beb, ω

a′

= La′

bωb, dan veranderen de componenten

van S alsvolgt:

Sa′1 ... a′

r

b′1 ... b′s= La′

1a1

. . . La′rar. Lb′1

b1 . . . Lb′sbs . Sa1 ... ar

b1 ... bs(1-4.6)

(in het bijzonder geval van een verandering van lokale coordinaten, substitueren we hierin La′

a

door ∂xa′

∂xa en La′a door ∂xa

∂xa′ ).

De contractie C11 (T) van T, t.ov. een basis ea met duale basis ωa, over de eerste con-

travariante en covariante indices, definieren we door

C11 (T) = T aa2...ar

ab2...bsea2

⊗ · · · ⊗ ear⊗ ωb2 ⊗ · · · ⊗ ωbs (1-4.7)

opmerking: ook deze definitie is onafhankelijk van de gekozen basis, wat toelaat om 1-4.7 voortaande contractie van T over de eerste contravariante en covariante indices te noemen. Vanzelfsprekendkan op dezelfde manier Cp

q (T) gedefinieerd worden.

1-4. TENSOREN 11

Een tensor wordt symmetrisch (respectievelijk antisymmetrisch) genoemd in de contravarianteindices p . . . p+ q naargelang

T a1...ap...ap+q...ar... = T a1...a(p...ap+q)...ar

...

ofT a1...ap...ap+q...ar

... = T a1...a[p...ap+q]...ar... (1-4.8)

Voor een stel covariante indices verloopt de definitie analoog.Tensorvelden van type (r, s) definieren we door met elk punt a ∈ M een element van T r

s (a)te associeren. De verzameling van deze tensorvelden noteren we als T r

s (M). Met puntsgewijsgedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met scalaire velden wordt ook T r

s (M) een F(M)-moduul.

M.b.v. een gladde een - een afbeelding F van een varieteit M naar een varieteit N is hetvervolgens mogelijk tensoren van de ene varieteit naar de andere ‘over te hevelen’. Definieren weeerst de pull-back F ∗(f) van een f ∈ F(N ):

F ∗f = f F ∈ F(M) (1-4.9)

Voor een gegeven v ∈ T 10 (M) laat dit vervolgens toe de push-forward F∗v ∈ T 1

0 (N ) te bepalen:

∀f ∈ F(N ) en ∀a ∈ M (F∗v)F (a) (f) = va(F ∗f) (1-4.10)

wat we kort ook schrijven als (F∗v) f = v(F ∗f). Tenslotte definieren we hiermee de pull-backF ∗σ van σ ∈ T 0

1 (N ):

∀v ∈ T 10 (M) en ∀a ∈ M (F ∗σ)a(va) = σF (a)(F∗v)F (a) (1-4.11)

wat kort geschreven wordt als (F ∗σ)v = σ(F∗v). De veralgemening tot T p0 (M) en T 0

p (M) ligt voorde hand. Noteer dat zowel F∗ als F ∗ lineaire afbeeldingen zijn. Als bovendien F een diffeomorfismeis (d.w.z. de inverse bestaat en is voldoende differentieerbaar) dan zijn met F en F−1 tensorveldenvan elk type (r, s) over te hevelen van M naar N en omgekeerd. Zo wordt b.v. de push-forwardvan een 1-vorm ω gegeven door F∗(ω) = (F−1)∗ω.Opmerking: bij sommige auteurs (voornamelijk wiskundigen) bestaat de gewoonte om de begrippencontravariant en covariant te hechten aan resp. de eenvormen en de vectoren, en dit omwille vanhun gedrag onder push-forward en pull-back.De volgende eigenschappen zijn niet moeilijk om aan te tonen:

• Als f ∈ F(N ) dan isF ∗(df) = d(F ∗f) (1-4.12)

• Als F in lokale coordinaten xj op M en yi op N gegeven is door yi = yi(x) en σ = σidyi ∈

T 01 (N ), dan wordt F ∗σ bekomen door ‘substitutie’:

F ∗σ = σi(y(x))∂yi(x)

∂xjdxj (1-4.13)

Opmerking: bekijken we een diffeomorfisme Φ : M → M : p 7→ p′ = Φ(p) dan kunnen wehiermee een coordinaattransformatie, of zgn. passief diffeomorfisme, associeren door x′(p′) = x(p)te stellen. Omgekeerd bepalen twee coordinaatkaarten x en x′ in hun overlappingsgebied een actiefdiffeomorfisme dat het punt p met x-coordinaat xp afbeeldt op het punt p′ met x′-coordinaatx′p′ = xp.


1-5 Differentiaalvormen

Willen we het vectorieel product van vectoren in R3 veralgemenen naar n dimensies, dan blijkt

dat dit eigenlijk eenvoudiger gaat voor de 1-vormen dan voor de (contravariante) vectoren. Hetresultaat zijn tensoren van type (0, p) die, voor p ≥ 2, antisymmetrisch zijn in al hun covarianteindices. In een gegeven punt a vormen deze tensoren de vectorruimte Ωp

a(M) van p-vormen. Mennoemt dit differentiaalvormen of p-vormen. De verzameling van de p-vormvelden noteren we alsΩp(M). Uiteraard is dit ook weer een F(M)-moduul. We identificeren hierbij F(M) met Ω0(M)en X ∗(M) met Ω1(M). Voor wat volgt zijn vooral de 2-vormen van belang. Een voorbeeld vaneen 2-vorm is

ω1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1, (1-5.1)

wat we noteren als ω1∧ω2. We noemen dit het uitwendig product, wedge product of grassmann-product van ω1 en ω2. D.m.v. bilineariteit kan deze definitie uitgebreid worden: zo is met θ1 =2ω1 − ω3 en θ2 = ω1 + ω2 + 5ω3,

θ1 ∧ θ2 = 2ω1 ∧ ω2 + 10ω1 ∧ ω3 − ω3 ∧ ω1 − ω3 ∧ ω2

= 2ω1 ∧ ω2 + 11ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3

Meer algemeen vinden we voor twee 1-vormen θ1 = θ1aωa en θ2 = θ2bω

b,

θ1 ∧ θ2 = (θ1aθ2b − θ1bθ

2a)ωa ⊗ ωb = 2!θ1[aθ

2b]ω

a ⊗ ωb

en dus(θ1 ∧ θ2)ab = 2!θ1[aθ

2b]. (1-5.2)

Deze eigenschap kunnen we gebruiken om het uitwendig product van vormen van hogere ordete definieren:

voor θ1 ∈ Ωp(M) en θ2 ∈ Ωq(M) noemen we θ1 ∧ θ2 de (p+ q)-vorm met componenten

(θ1 ∧ θ2)a...bc...d =(p+ q)!

p!q!θ1[a...bθ

2c...d] (1-5.3)

Voor f ∈ Ω0(M) en θ ∈ Ωp(M) spreken we af dat f ∧ θ = θ∧ f = fθ. Hieruit volgt dat ∧ bilineairis en tevens voldoet aan

θ1 ∧ θ2 = (−1)pqθ2 ∧ θ1 (1-5.4)

enθ1 ∧ (θ2 ∧ θ3) = (θ1 ∧ θ2) ∧ θ3 (1-5.5)

Het uitwendig product van b.v. meerdere 1-vormen is dus duidelijk lineair in elke variabele enverdwijnt wanneer twee of meer variabelen gelijk zijn.

Let op: de definitie 1-5.3 verschilt van deze in Hawking & Ellis en Kramer et al. met de

factor (p+q)!p!q! . Ze heeft echter het voordeel dat in latere formules een geringer aantal numerieke

coefficienten optreedt.Een basis van Ωp

a(M) wordt gegeven door de (np ) onafhankelijke p-vormen

ωa1 ∧ · · · ∧ ωap =∑

σ

(−1)σωσ(a1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(ap) (1-5.6)

1-5. DIFFERENTIAALVORMEN 13

waarbij de som genomen wordt over alle permutaties van a1, . . . , ap (1 ≤ a1 < · · · < ap ≤ n).

De componenten θa1...apvan een p-vorm (die bij definitie voldoen aan θ = θa1...ap

ωa1⊗· · ·⊗ωap)kunnen afgelezen worden door θ uit te schrijven in de basis 1-5.6:

θ =1

p!θa1...ap

ωa1 ∧ · · · ∧ ωap (1-5.7)

=∑

a1<a2<···<ap

θa1...apωa1 ∧ · · · ∧ ωap (1-5.8)

of worden bekomen uitθa1...ap

= θ(ea1. . . eap

) (1-5.9)

I.h.b. geldt dat ∀k (1 ≤ k ≤ n)

ω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωk(e1, e2, . . . ek) = 1 (1-5.10)

Voor elke v ∈ X (M) kunnen we een afbeelding construeren iv : Ωp+1(M) → Ωp(M) bepaalddoor

ivθ(u1, . . .up) = θ(v, u1, . . .up) (1-5.11)

Er geldt dan(ivθ)a1...ap

= vaθaa1...ap(1-5.12)

(dit is dus de ‘contractie’ van een (p+ 1)-vorm met een vector). Een bijzonder geval hiervan is debetrekking

ieaωb = δb

a (1-5.13)

Voorbeeld: met v = 2e1 − e2 en θ = 3ω1 + ω2 + ω3 is

ivθ = 2ie1θ − ie2

θ = 6 − 1 = 5.

Passen we de definitie 1-5.11 toe op θ = θ1 ∧ θ2 met θ1 = θ1aωa, θ2 = θ2bω

b, dan vinden we

ivθ(u) = θ(vaea, ubeb) = vaubθ(ea, eb)

= vaubθab = vaub(θ1aθ2b − θ1bθ

2a)

= (θ1ava)(θ2bu

b) − (θ2ava)(θ1bu

b)

=(

(ivθ1)θ2 − (ivθ

2)θ1)

u

en dusiv(θ1 ∧ θ2) = (ivθ

1)θ2 − θ1(ivθ2). (1-5.14)

Ook deze ‘Leibniz-achtige’ eigenschap kan veralgemeend worden tot vormen van hogere orde:voor alle α ∈ Ωp(M) en β ∈ Ωq(M) geldt:

iv(α ∧ β) = (ivα) ∧ β + (−1)pα ∧ (ivβ) (1-5.15)

Omwille van de lineariteit van de afbeelding iv en voorgaande eigenschap, noemen we iv ook welde inwendige afgeleide. We spreken af dat voor f ∈ F(M) geldt ivf = 0.


1-6 Uitwendige Afleiding

In 1-3 definieerden we reeds de uitwendige afgeleide van een afbeelding f ∈ F(M), namelijk de1-vorm df = f,idx

i. Aan een 1-vorm θ = θidxi kunnen we vervolgens een 2-vorm associeren door

te stellendθ = d(θi) ∧ dxi = θi,jdx

j ∧ dxi.

Hiermee is voldaan aan de eigenschappen (ga na)

d(θ1 + θ2) = dθ1 + dθ2

d(fθ) = df ∧ θ + fdθ

d(df) = 0,

waarbij in de derde eigenschap gebruik gemaakt werd van de symmetrie van de tweede afgeleide:d(df) = d(f,idx

i) = f,i,jdxj ∧ dxi = 0. We kunnen nu van deze eigenschappen gebruik maken om

de uitwendige afgeleide te definieren voor vormen van hogere orde, door te postuleren dat voorα ∈ Ωp(M), β ∈ Ωq(M) en f ∈ F(M):

(i) d(α+ β) = d(α) + d(β) (1-6.1)

(ii) d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)pα ∧ d(β) (1-6.2)

(iii) df = f,idxi (1-6.3)

(iv) d(df) = 0 (1-6.4)

(men kan aantonen dat de operator d hierdoor uniek bepaald is).Voor een willekeurige p-vorm α = 1

p!αi1...ipdxi1 ∧ · · · ∧ dxip impliceert dit

dα =1

p!αi1...ip,jdx

j ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip (1-6.5)

zodat voor alle p-vormen α volgt datd(dα) = 0 (1-6.6)

De volgende stellingen (waarvan de omgekeerden triviaal zijn) worden vrij vaak gebruikt; zegelden enkel lokaal en we vermelden ze zonder enige vorm van bewijs:(i) poincare-stelling:

als α ∈ Ωp(M) (p ≥ 1) en dα = 0 dan bestaat een β ∈ Ωp−1(M) zo dat α = dβ(ii) frobenius-stelling: als σ een 1-vorm is, dan geldt

σ ∧ dσ = 0 ⇒ ∃f, g ∈ M : σ = fdh. (1-6.7)

Toon als oefening aan dat de in R2 \ 0 gedefineerde 1-vorm ω = (xdy− ydx)/(x2 + y2)

weliswaar gesloten is (dω = 0), maar niet globaal exact (d.w.z. er bestaat geen globaalgedefinieerde f(x, y) zo dat ω = df .

opmerking: het resultaat 1-4.12 is te veralgemenen tot willekeurige p-vormen: als F een afbeeldingis van M naar N dan geldt

∀α ∈ Ωp(N ) : d(F ∗α) = F ∗(dα) (1-6.8)

1-7. INTEGRATIE VAN VORMEN 15

1-7 Integratie van vormen

Bekijken we eerst het geval van Rn met n = 1: is θ = f(x)dx een 1-vorm op R, dan definieren we

∫

θ als de gewone riemann-integraal

∫

θ =

∫

R

f(x)dx. (1-7.1)

Noteer dat, bij overgang op een nieuwe integratieveranderlijke x′ de jacobiaan ∂x/∂x′ ‘automatisch’zijn intrede doet, zodat deze definitie coordinaat-onafhankelijk is: als θ = f(x)dx = g(x′)dx′, danis g(x′) = f(x(x′)) ∂x

∂x′ zodat∫

R

f(x)dx =

∫

R

g(x′)dx′.

Bekijken we nu het geval n = 2 met θ = f(x, y)dx∧ dy en definieren we opnieuw∫

θ als de gewoneriemann-integraal,

∫

θ =

∫

R2

f(x, y)dxdy. (1-7.2)

Opnieuw stellen we vast dat deze definitie coordinaat-onafhankelijk is, omdat in de transfor-matieformules voor 2-vormen ‘automatisch’ met de jacobiaan wordt rekening gehouden:

θ = f(x, y)dx ∧ dy = f(x(x′, y′), y(x′, y′))(∂x

∂x′dx′ +

∂x

∂y′dy′) ∧ (

∂y

∂x′dx′ +

∂y

∂y′dy′)

= f(x(x′, y′), y(x′, y′))(∂x

∂x′∂y

∂y′− ∂y

∂x′∂x

∂y′)dx′ ∧ dy′

= f(x(x′, y′), y(x′, y′))

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂x′

∂x∂y′

∂y∂x′

∂y∂y′

∣

∣

∣

∣

∣

dx′ ∧ dy′

= g(x′, y′)dx′ ∧ dy′

en dus∫

f(x, y)dx ∧ dy =∫

g(x′, y′)dx′ ∧ dy′.

Deze eigenschap blijft algemeen geldig en toont aan dat de natuurlijke objecten die in aanmerk-ing komen voor integratie op een n-dimensionale varieteit precies de n-vormen zijn:

Zij U open ⊂ Rn en ω ∈ Ωn(U) met compacte drager in U (t.t.z. ω1...n ≡ ω( ∂

∂x1 , . . .∂

∂xn ) heefteen compacte drager in U). We definieren dan

∫

ω als de riemann-integraal,

∫

ω =

∫

ω1...ndx1 . . . dxn, (1-7.3)

wat, t.g.v. de transformatieformules voor ω1...n, onafhankelijk is van de gekozen coordinaten:

ω1′...n′ =∂xi1

∂x1′ . . .∂xin

∂xn′ ωi1...in

=ei1...in

∂xi1

∂x1′ . . .∂xin

∂xn′ ω1...n

=det(∂x

∂x′) ω1...n (1-7.4)


Stel nu dat ω ∈ Ωn(M) een compacte drager heeft, gelegen in U , met (U,Φ) een kaart in M. Wekunnen dan Φ∗ω ∈ Ωn(Rn) vormen en m.b.v. de transformatieformules aantonen dat, voor elkeandere kaart (V, Ψ) met drager van ω ⊂ V ,

∫

Φ∗ω =∫

Ψ∗ω. Vandaar de definitie

∫

ω =

∫

Φ∗ω (1-7.5)

In lokale coordinaten xi, met ω = u(x)dx1∧· · ·∧dxn, komt deze definitie gewoon neer op de bepalingvan de riemann-integraal

∫

u(x)dx1 . . . dxn. In de differentiaalmeetkunde wordt aangetoond datdeze procedure te veralgemenen is voor n-vormen waarvan de drager niet noodzakelijk gelegenis binnen het domein van een enkele kaart (hiervoor worden dan z.g. partities van de eenheidgebruikt).

Belangrijk is dat de zo gedefinieerde integraal invariant is onder diffeomorfismen: als F : M →N een (orientatie bewarend) diffeomorfisme is, dan geldt

∫

ω =

∫

F ∗ω (1-7.6)

Om de hierboven aangehaalde redenen noemt men een n-vorm Ω ∈ Ωn(M) op een n-dimensionalevarieteit M (zo dat Ω 6= 0) ook wel een volume-vorm op M.In veel handboeken wordt integratie op een varieteit ingevoerd via scalar dichtheden of densi-ties, t.t.z. objecten S die bij een verandering van lokale coordinaten transformeren als S ′(x′) =det( ∂x

∂x′ ) S(x), zodat∫

S ′dx1′

. . . dxn′

=∫

Sdx1 . . . dxn. De hypothese dat zulke objecten bestaan,komt dus duidelijk neer op het bestaan van een volume-vorm Ω, die toelaat om voor een gegevenscalaire functie met compacte drager f ∈ F(M) de integraal van f m.b.t. Ω te definieren als

∫

Ω

f =

∫

fΩ (1-7.7)

Later zullen we zien dat het bestaan van een metrische structuur op M toelaat om een cano-nieke volume-vorm Ω te definieren, zodat we op intrinsieke wijze zullen kunnen spreken van ‘de’integraal van f als f ∈ F(M) een compacte drager heeft.

We eindigen deze paragraaf met de stelling van Stokes en definieren hiertoe eerst het begripvan een varieteit met een rand :stel 1

2Rn = x ∈ R

n; x1 ≤ 0 en vervang in de definitie van kaarten, atlassen enz. Rn door 1

2Rn:

we bekomen dan een varieteit M met rand ∂M, die in lokale coordinaten gegeven is door x1 = 0.Stel nu α ∈ Ωn−1(M) met compacte drager en stel M orienteerbaar. De stelling van Stokes zegtdan

∫

∂Mα =

∫

Mdα (1-7.8)

waarbij het linkerlid eigenlijk staat voor∫

∂M i∗α met i de inclusie ∂M → M. Let op het verschilmet b.v. Hawking & Ellis, waar het rechterlid van 1-7.8 een extra factor n bevat: dit vindt zijnverklaring in de verschillende definities van het uitwendig product.

We schetsen het bewijs. T.g.v. de definities van integratie van vormen en van 1-7.6 volstaathet in lokale coordinaten te werken met α = u(x1, x2, . . . xn)dx2 ∧ . . . dxn ∈ Ωn−1(U), U ⊂ R

n, ∂Ugegeven door x1 = 0 en met de drager van u compact. We hebben dan dα = ∂u

∂x1 dx1 ∧dx2 · · ·∧dxn,

zodat α2...n = u en (dα)1...n = ∂u∂x1 .

1-7. INTEGRATIE VAN VORMEN 17

Als ∂U = ∅ dan is∫

∂U

α = 0 =

∫

Rn−1

(

∫

R

∂u

∂x1dx1)dx2 . . . dxn =

∫

U

dα

(vermits de drager van u compact is)Anderzijds geldt als ∂U 6= ∅

∫

∂U

α =

∫

Rn−1

u(0, x2, . . . xn)dx2 . . . dxn

=

∫

Rn−1

(

∫ 0

−∞

∂u

∂x1dx1)dx2 . . . dxn

=

∫

U

∂u

∂x1dx1 . . . dxn

=

∫

U

dα

Opmerking: vervangen we in bovenstaande eigenschap α door dα, dan stellen we vast (gebruikmakend van ddα = 0) dat voor alle α voldaan is aan

∫

∂∂Mα = 0,

wat verklaart waarom de eigenschap d2 = 0 soms bestempeld wordt als

the boundary of a boundary is zero ...


1-8 Lie-afleiding

Wat volgt is van belang bij de behandeling van symmetrieen op een varieteit. We beginnen met eenlokale congruentie van krommen te beschouwen, t.t.z. een familie van krommen, zo dat door elkpunt p ∈ U ⊂ M precies een kromme γp gaat. Dergelijke congruentie bepaalt dan een vectorveldv ∈ X (U), door vp = [γ]p.

Figuur 1.4:

Omgekeerd bepaalt elk vectorveld v ook een lokale congruentie van krommen γp, die we deintegraalkrommen van het vectorveld noemen:

Figuur 1.5:

Deze krommen γp worden in lokale coordinaten gegeven door xi = yi(t), met de functies yi

oplossingen van het stelsel differentiaalvergelijkingen

dyi

dt= vi(y1(t), . . . yn(t)) (1-8.1)

onder de beginvoorwaarden yi(0) = xi(p).Voor |t| voldoende klein en vast gekozen, kunnen we elk punt p ∈ U meeslepen langs γp overeen parameter-afstand t, door p af te beelden op γp(t). Men toont aan dat deze afbeelding Φt :p → γp(t) een lokaal diffeomorfisme is voor voldoend kleine waarden van |t| en bovendien datΦt Φs = Φt+s. Met p vast geldt dan d

dt (xi Φt(p)) = vi.

De lie-afgeleide van een tensorveld T ∈ T rs (M) wordt nu bekomen door de pull-back van TΦt(p)

te vergelijken met Tp zelf:

LvT = limt→0

1

t(Φ∗

t T − T) =d

dt(Φ∗

t T)|t=0 (1-8.2)

(noteer dat Φ∗t T en T behoren tot dezelfde vectorruimte T r

s (p))Uit de eigenschappen van de pull-back volgt onmiddellijk dat Lv:

1-8. LIE-AFLEIDING 19

1. tensoren van een bepaald type omzet in tensoren van het zelfde type,

2. een lineaire operator is die commuteert met contracties

3. aan de leibniz-eigenschap voldoet:

Lv(T1 ⊗ T2) = (LvT1) ⊗ T2 + T1 ⊗ (LvT

2) (1-8.3)

We geven enkele belangrijke eigenschappen van de lie-afgeleide:

(i) Voor f ∈ F(M) geldtLvf = v[f ] (1-8.4)

Bewijs:

Lvf |p = limt→0

1

t[(Φ∗

t f)(p) − f(p)]

= limt→0

1

t[f Φt(p) − f(p)]

= limt→0

1

t[f(yi(t)) − f(yi(0))]

=∂f

∂yi|pdyi

dt(0)

=v(f)|p

(ii) Voor een vectorveld u ∈ X(M) is

Lvu =∂ui

∂xjvj ∂

∂xi− uj ∂v

i

∂xj

∂

∂xi= [v, u] (1-8.5)

Bewijs: de i-de component van Φ∗t (uq) is

(Φ−1t )∗(uq)(x

i)

=uq(xi Φ−1

t )

=uq(xi Φ−t)

zodat (Φ∗t (uq))

i = uj(q) ∂∂xj (xi Φ−t).

We bekomen dan

(Lvu)i =∂uj

∂xk

dxk

dt|t=0.δ

ij − uj ∂v

i

∂xj

=∂ui

∂xjvj − ∂vi

∂xjuj

=[v, u]i

(iii) Gebruik makend van 1-8.5 en van het feit dat lie-afleiding commuteert met contracteren, geldtvoor 1-vormen ω:

Lvω =∂ωi

∂xjvjdxi + ωj

∂vj

∂xidxi. (1-8.6)


Immers,

Lu(ω ⊗ ∂

∂xi) = (Luω) ⊗ ∂

∂xi+ ω ⊗ Lu

∂

∂xi,

zodat na contractie,

Lu(ωi) = (Luω)i + ωj [u,∂

∂xi]j ,

of

(Luω)i = u(ωi) + ωj [∂

∂xi, u]j

= ωi,juj + ωju

j,mδ

mi = ωi,ju

j + ωjuj,i.

(iv) Door inductie op k toont men aan dat voor ω ∈ Ωk(M) geldt

Lvω = iv(dω) + d(ivω) (1-8.7)

wat we ook kort noteren alsLv = iv d+ d iv

(v) Een gevolg van (iv) is dat lie-afleiding commuteert met uitwendige afleiding: voor ω ∈ Ωk(M)geldt

d(Lvω) = Lvdω (1-8.8)

(vi) Voor een willekeurige tensor T veralgemenen 1-8.5 en 1-8.6 zich tot

(LvT)ij...kl... =vmT ij...

kl... , m − Tmj...kl...v

i,m − [alle boven-indices]

+ T ij...ml...v

m,k + [alle onder-indices] (1-8.9)

Let op: bovenstaande formules gelden enkel in holonome basissen. In een anholonome basiskomt er b.v.

(Lvu)a = vcua

|c − ucva|c + vcudDa

cd.

1-9. COVARIANTE AFLEIDING 21

1-9 Covariante afleiding

1-9.1 Algemeenheden

Alhoewel de lie-afgeleide van een afbeelding f ∈ F(M) m.b.t. een vector v in een punt p precies derichtingsafgeleide is van f (zie 1-8.4), is de lie-afgeleide van een tensor duidelijk geen geschikte ver-algemening van het begrip richtingsafgeleide in een punt : in 1-8.9 treden immers nog de afgeleidenop van de componenten van v zelf!

Om over de ‘richtingsafgeleide van een tensor’ te kunnen spreken zijn we verplicht een extrastructuur op de varieteit M op te leggen:Een connectie ∇ (in een punt van M) is een operator, die met elk vectorveld v een operator∇v : X (M) → X (M) associeert, zo dat(i) voor u, v, w ∈ X (M) en f , g ∈ F(M)

∇fu+gv(w) = f∇uw + g∇vw (1-9.1)

(ii) voor u, v, w ∈ X (M) en α, β ∈ R

∇u(αv + βw) = α∇uv + β∇uw (1-9.2)

(iii) voor u, v ∈ X (M) en f ∈ F(M)

∇u(fv) = u(f)v + f∇uv (1-9.3)

Met behulp van de differentiaalstructuur op M alleen is het niet mogelijk zulke operator ∇ teconstrueren. Het bestaan van ∇ is dus een extra veronderstelling die men over M maakt. Degegeven definitie is erg abstract, maar in de volgende paragrafen zal blijken dat aan het opleggenvan de ∇-structuur wel degelijk een fysische interpretatie gekoppeld is.

Noteer dat voorwaarde (i) garandeert dat ∇vw|p enkel afhangt van de componenten van v inp en niet van hun afgeleiden. Immers als vp = vp dan bestaan lokale coordinaten zodat ∇vw|p =vi(p)∇ ∂

∂xiw|p = vi(p)∇ ∂

∂xiw|p = ∇vw|p.

We noemen (∇vu)p de covariante afgeleide (m.b.t. de connectie ∇) van u in de richting vanvp. Dan is ook ∇u het tensorveld van type (1, 1) dat, wanneer gecontracteerd met v, de vector∇vu oplevert:

∇u = ωb ⊗∇bu (1-9.4)

waarbij we ∇eb= ∇b noteren.

Deze definitie kan uitgebreid worden tot willekeurige tensorvelden door de volgende afspraken:i) ∇ beeldt tensoren van type (r, s) af op tensoren van type (r, s+ 1)ii) ∇ is R-lineair en commuteert met contractiesiii) de leibnizregel geldt:

∇(T ⊗ S) = ∇T ⊗ S + T ⊗∇S (1-9.5)

iv)∀f ∈ F(M) geldt ∇f = df (1-9.6)

I.h.b. geldt dus∇uf =< df,u >= u(f) (1-9.7)

en dus ook∇bf = f|b (1-9.8)


De componenten van ∇u zullen we voortaan noteren als ua;b:

∇u = ωb ⊗ ua;bea (1-9.9)

De covariante afgeleide van u in de richting van v zal dan gegeven worden door

∇vu = (ua;bv

b)ea (1-9.10)

T.g.v. de eigenschappen 1-9.1-1-9.6 zal het volstaan de covariante afgeleiden van de basisvectorente bepalen om de covariante afgeleide van een willekeurige vector te kennen. Daartoe voeren wede componenten Γc

ab in van de vectoren ∇ebea, die we kort ook noteren als ∇bea:

∇bea = Γcabec (1-9.11)

(let op de volgorde van de indices!). We noemen dan

Γcab =< ωc, ∇bea > (1-9.12)

de connectiecoefficienten (noteer het verschil met Hawking & Ellis).oefening 1: gebruik de eigenschappen van ∇ om aan te tonen dat voor de duale basis volgt

∇bωa = −Γa

cbωc (1-9.13)

De componenten ua;c van de covariante afgeleide van u ∈ T 1

0 (M) kunnen dan afgelezen wordenuit ∇cu = ∇c(u

aea) = (ua|c + Γa

dcud)ea = ua

;cea:

ua;c = ua

|c + Γadcu

d (1-9.14)

oefening 2: toon aan dat voor σ ∈ T 01 (M) geldt

σa;c = σa|c − Γdacσd (1-9.15)

en voor T ∈ T rs (M)

T a1...arb1...bs;c =(T a1...ar

b1...bs)|c + Γa1

dcTd...ar

b1...bs+ [alle boven-indices ]

− Γdb1cT

a1...ard...bs

− [alle beneden-indices ] (1-9.16)

N.B.: let op de tekenverschillen met de lie-afgeleide!Uit 1-2.3, 1-3.11 en 1-9.12 volgt dat de connectiecoefficienten niet transformeren zoals de com-

ponenten van een tensor:

Γa′

b′c′ = La′

a(eb′(Lc′a) + Lb′

bLc′cΓa

bc) (1-9.17)

of, i.h.b. voor lokale coordinaten x en x′,

Γi′j′k′ =

∂xi′

∂xi(

∂2xi

∂xj′∂xk′ +∂xj

∂xj′

∂xk

∂xk′ Γijk) (1-9.18)

Noteer echter dat voor twee connecties ∇ en ∇ geldt ∇u −∇u = (Γabc − Γ

abc)u

bea ⊗ ωc, zodat,gezien het linkerlid een tensor is voor alle u, (Γa

bc − Γa

bc)ωb ⊗ ea ⊗ ωc wel een tensor is. Kort

zeggen we dat ‘het verschil van twee connecties een tensor is’.


1-9.2 Parallel transport

Het bestaan van een connectie laat toe de covariante afgeleide van een tensor langs een kromme tebepalen:Zij γ : I → M een kromme in M, waarvan de vergelijking in lokale coordinaten gegeven is door

xi = xi(t). Zij u de rakende vector aan γ, i.e. ui = dxi

dt en zij T een tensorveld gedefinieerd op(een omgeving van) γ(I). We noemen dan de covariante afgeleide van T langs γ het tensorveld∇uT, en noteren dit als D

dtT. Er geldt dus b.v. voor een eenvorm σ

(

D

dtσ

)

a

= σa;bub (1-9.19)

of, voor een vector v en gebruik makend van lokale coordinaten x,

Dvi

dt≡(

D

dtv

)i

= vi;jdxj

dt=dvi

dt+ Γi

kjvk dx

j

dt(1-9.20)

We zeggen dat de tensor T parallel getransporteerd wordt langs γ als

D

dtT = 0 (1-9.21)

Parallel transport langs een kromme van een punt p naar een punt q is duidelijk een lineaireafbeelding van T r

s (p) naar T rs (q) en is, vermits basisvectoren worden omgezet in basisvectoren,

bovendien een isomorfisme tussen Tp(M) en Tq(M).Een (affiene) geodeet is nu een kromme in M waarvan de rakende vector parallel langs zichzelf

getransporteerd wordt:D

dtu = ∇uu = f(t)u (1-9.22)

(met ui = dxi

dt en met xi = xi(t) de vergelijkingen van γ in lokale coordinaten).

Oefening: toon aan dat steeds een gepaste herparametrizering bestaat van de parameter van γ,zodat de geodetische vergelijking 1-9.22 te herschrijven valt als ∇uu = 0, t.t.z.

Dui

ds≡ d2xi

ds2+ Γi

jkdxj

ds

dxk

ds= 0 (1-9.23)

Zulke parameter s (uniek op affiene transformaties s 7→ as+b na) noemen we een affiene parameterlangs γ. Noteer dat we m.b.v. een affiene parameter affiene afstanden kunnen vergelijken tussenpunten gelegen op een zelfde geodeet (niet echter tussen punten gelegen op verschillende geodeten,t.g.v. de onbepaaldheid in de affiene parameters).

1-9.3 Normale coordinaten

Uit de existentiestelling voor stelsels van gewone differentiaalvergelijkingen volgt dat, voor elkekeuze van p = γ(0) en v|p = γ(0) = dγ

ds |0, een unieke geodeet γv(s) bestaat voor s in een openinterval I ⊂ R (als I =] −∞, +∞[ dan noemen we γ een volledige geodeet). Als γ(s) een geodeetis, dan is γ(λs) (λ ∈ R) eveneens een geodeet, met beginsnelheid λγ(0). Voor een voldoend kleineomgeving V van 0 ∈ Tp(M) zijn alle geodeten dus zeker gedefinieerd op [0, 1]. Dit laat toe elk


element vp ∈ V af te beelden op het punt γ(1), dat een parameter-afstand 1 verwijderd is van plangs de geodeet γv, die voldoet aan [γv]p = vp. Dit definieert dan de exponentiele afbeelding exp:

expp : V ⊂ Tp(M) → M : vp = [γv]p 7→ γv(1) (1-9.24)

Uit de homogeniteit van de geodetische vergelijkingen 1-9.23 volgt dan tevens

expp(tv) = γv(t)

(vermits γtv(λ) = γv(λt)) en men toont aan dat expp een diffeomorfisme is van een omgeving Vvan 0 ∈ Tp(M) op een omgeving N van p ∈ M. Bovendien kan men V klein genoeg kiezen zodatN convex is (d.w.z. door elk paar punten van N gaat precies een, volledig in N gelegen, geodeet).Dit diffeomorfisme bepaalt een lokale kaart xi, door aan punten q ∈ N de standaard coordinatenxi van expp

−1(q) te geven. In het coordinatenstelsel xi corresponderen de geodeten door p dan

precies met de rechten door 0. In het bijzonder geldt d2xi

ds2 |0 = 0 of

Γi(jk)(p) = 0 (1-9.25)

Men noemt deze xi (geodetische) normale coordinaten en de omgevingen N convexe normaleomgevingen.

1-9.4 Symmetrische connecties

Uit 1-9.23 volgt duidelijk dat informatie over de geodeten van M enkel informatie zal kunnenverschaffen over het symmetrische deel Γi

(jk) van de connectie in lokale coordinaten. Vandaar datwe voortaan zullen onderstellen dat

T(u, v) ≡ ∇uv −∇vu − [u,v] = 0 (1-9.26)

De tensor T van type (1, 2) in het linkerlid noemen we de torsietensor en een connectie die aan1-9.26 voldoet een torsievrije connectie.Uitgedrukt in basisvectoren geldt dan

2Γc[ab] = −Dc

ab (1-9.27)

en dus i.h.b. voor een lokale coordinaatbasis Γi[jk] = 0, t.t.z. ∀f ∈ F(M)

f;i;j = f;j;i (1-9.28)

We noemen zulke connectie daarom ook wel een symmetrische connectie.Een torsievrije connectie kan dus volledig bepaald worden uit de studie van haar geodeten.3 Ze

biedt bovendien het voordeel dat in uitdrukkingen voor de uitwendige afgeleide of de lie-afgeleide‘komma’s vervangen mogen worden door punt-komma’s’.Inderdaad, zo betekent b.v. 1-9.26 dat

Luv = ∇uv −∇vu (1-9.29)

3Tenminste, als ook de affiene parameters langs elke geodeet gekend zijn: de geodeten zelf bepalen de connectieenkel op projectieve transformaties na (Γc

ab 7→ Γcab + δc

aψb + δcbψa, met ψ een willekeurige scalaire functie)!


Ook geldt nu voor de basis 1-vormen dat

dωa =ωai,jdx

j ∧ dxi = ωai;jdx

j ∧ dxi

=Γabcω

b ∧ ωc (1-9.30)

Bij de afleiding van deze betrekking maken we gebruik van 1-9.13, i.e.

Γcab = −ωc

j;iebiea

j (1-9.31)

Er geldt immers dat ∇bωa = ej

b∇jωa = ej

bωa

i;jdxi.

Oefening: toon aan dat ookΓc

ab = eja;ieb

iωcj (1-9.32)

Introduceren we tenslotte de connectievormen Γab ∈ Ω1(M) door

Γab = Γa

bcωc (1-9.33)

dan bekomen we uit 1-9.30 de z.g. eerste structuurvergelijkingen van Cartan

dωa = −Γab ∧ ωb (1-9.34)

Merk op dat, voor een gegeven basis, enkel de combinaties Γc[ab] uit 1-9.34 kunnen opgelost

worden, wat volledig consistent is met 1-9.27. Duidelijk vormen dus de combinaties Γc(ab) extra

informatie op de varieteit M, die niet uit de differentiaalstructuur alleen te verkrijgen is, maar welb.v. uit de kennis van de geodetische structuur.

We noemen een connectie integreerbaar als voor alle punten p het parallel transport van vectorenvan p naar q (met q in een voldoend kleine omgeving van p) onafhankelijk is van de gevolgdeweg. Een connectie heet affien vlak als een basis bestaat waarin Γa

bc = 0. Beide begrippenzijn equivalent: als ∇ integreerbaar is, kan een basis ea in een punt p door parallel transportuitgebreid worden tot een basis op een ganse omgeving V van p. Voor de basisvectoren geldt dan∀uj : ea

i;ju

j = 0 zodat uit 1-9.32 volgt dat Γcab = 0 op V . Het omgekeerde is triviaal.

Merk op dat, als in een bepaalde basis Γcab = 0, deze basis dan bovendien een coordinaatbasis is:

de eerste structuurvergelijkingen impliceren dan immers dωa = 0, zodat, volgens de stelling vanPoincare, lokaal functies xa bestaan met ωa = dxa.

Een gemakkelijke manier om na te gaan of een connectie al dan niet vlak is, wordt gegeven inde volgende paragraaf.


1-10 Kromming

Net zoals het nemen van twee lie-afgeleiden (naar een vector u en een vector v) afhangt van devolgorde waarin dit gebeurt, zo geldt dit ook voor covariante afleiding - zelfs als de vectoren u env commuteren. We beschouwen daarom volgende uitdrukking voor u, v, w ∈ T 1

0 (M):

R(u, v)w = (∇u∇v −∇v∇u −∇[u, v])w (1-10.1)

Deze uitdrukking is F(M)-lineair in u, v en w (oefening!) en de tensor R die elk geordend viertal(σ, w, u, v) (met σ ∈ T 0

1 (M) en u, v, w ∈ T 10 (M)) afbeeldt op

σawbucvdRa

bcd = 〈σ, R(u, v)w〉 (1-10.2)

noemen we de krommingstensor of riemann-tensor. Zijn componenten worden gegeven door

〈ωd, R(ea, eb)ec〉 = Rdcab. (1-10.3)

Bijgevolg geldt ∀σ, u, v en w:

σawbucvdRa

bcd =σa[(wa;cv

c);dud − (wa

;cuc);dv

d − wa;c(u

dvc;d − vduc

;d)]

=σa(wa;c;d − wa

;d;c)vcud (1-10.4)

zodat ∀w ∈ X (M)wa

;c;d − wa;d;c = Ra

bdcwb, (1-10.5)

wat we de ricci-identiteit noemen. Met 1-9.14 vinden we hieruit

Rabcd = Γa

bd|c − Γabc|d + Γe

bdΓa

ec − ΓebcΓ

aed −De

cdΓa

be (1-10.6)

Deze betrekking volgt ook rechtstreeks uit de definitie 1-10.1 en uit

R(ea, eb)ec = Rmcabem. (1-10.7)

Men verifieert onmiddellijk dat de componenten van de riemann-tensor voldoen aan de betrekking-en

Rab(cd) = 0 en Ra

[bcd] = 0 (1-10.8)

oefening 1: bewijs zelf, bij voorkeur door over te gaan op normale coordinaten, de bianchi-identiteiten

Rab[cd;e] = 0 (1-10.9)

Contractie van de riemann-tensor levert de ricci-tensor, met componenten

Rbd = Rabad (1-10.10)

oefening 2: toon aan datRa

abc = 2R[bc] (1-10.11)

We bewijzen nu de volgende belangrijke stelling:Een nodige en voldoende voorwaarde opdat een connectie lokaal integreerbaar zou zijn, is datde riemann-tensor nul is.

1-10. KROMMING 27

Het nodig zijn van die voorwaarde volgt onmiddellijk uit de opmerking aan het einde van vorigeparagraaf. Het klassieke bewijs dat de voorwaarde ook voldoende is, toont aan dat de verandering∆X = X ′ − X van een vector onder parallel transport over een gesloten kromme te schrijven isals de som van ‘N2 bijdragen’ over willekeurig kleine gesloten krommen γ gelegen in een convexenormale omgeving (cf. het klassieke bewijs van de stelling van Stokes). Het volstaat dan om aante tonen dat Ra

bcd = 0 impliceert dat de verandering onder parallel transport over een willekeurigkleine gesloten kromme klein is van orde O(δx3), opdat ∆X(= limN→∞ δx) = 0 zou zijn.

Voor dit laatste deel van het bewijs beschouwen we het parallel transport van een vector X overeen kleine gesloten kromme γ gelegen in een convexe normale omgeving U van p (met xi(p) = 0

en Γkij |p = 0): langs γ (bepaald door xi = xi(τ) en γ(0) = p) geldt dXi

dτ = −ΓikjX

k dxj

dτ , zodat

we met Γikj = xm ∂

∂xm Γikj |0 +O(x2) en Xk(x) = Xk(0) +O(x2) (dit laatste omdat dXk

dτ |τ=0 = 0)bekomen

Xi(τ) = Xi(0) −∫ τ

0

xm

(

∂

∂xmΓi

kj

)

0

Xk(0)dxj

dτdτ +O(x3)

Bijgevolg is δXi = Xi(τ1) − Xi(τ0) = − ∂∂xm Γi

kj |0Xk(0)∮

xmdxj + O(x3). De kringintegraal isechter antisymmetrisch, vermits

∮

d(xmxj) = 0, zodat

δXi = −1

2(

(

∂

∂xmΓi

kj

)

0

−(

∂

∂xjΓi

km

)

0

)Xk(0)

∮

xmdxj +O(x3)

=1

2Ri

kmj(0)Xk(0)

∮

xmdxj +O(x3) (1-10.12)

wat inderdaad klein is van 3de orde als Rikmj = 0.

P

x1

X

Ndx

Figuur 1.6:

Een zeer efficiente methode om de componenten van de riemann-tensor te bepalen in eenwillekeurige basis, maakt gebruik van de krommings-2-vormen Θa

b gedefinieerd door

Θab =

1

2Ra

bcdωc ∧ ωd (1-10.13)


Men kan aantonen4 dat 1-10.6 dan equivalent is met de tweede structuurvergelijkingen van Cartan:

dΓab + Γa

c ∧ Γcb = Θa

b (1-10.14)

Uitgewerkte voorbeelden van deze methode zullen gegeven worden na de invoering van de metrischestructuur in de volgende paragraaf.

4doe dit als oefening

1-11. METRIEKEN 29

1-11 Metrieken

1-11.1 Algemeenheden

Een metriek of metrische tensor op M is een symmetrische tensor g van type (0, 2). Een metrieklaat toe om aan elke vector v ∈ Tp(M) een scalair |g(v,v)|1/2 toe te kennen (soms ook wel delengte van v genoemd, zelfs al is de met g geassocieerde kwadratische vorm niet positief definiet)en laat toe om voor twee vectoren u, v ∈ Tp(M) met g(u,u) en g(v,v) 6= 0 een scalair

g(u,v)

|g(u,u)g(v,v)|1/2(1-11.1)

te bepalen, het inwendig product van u en v genoemd.Twee vectoren u en v zijn orthogonaal als g(u,v) = 0.De componenten van g t.o.v. een basis ea noteren we

gab = g(ea, eb) (1-11.2)

In lokale coordinaten geldt dusg = gijdx

i ⊗ dxj (1-11.3)

Als er geen verwarring mogelijk is, zullen we ook vaak noteren 〈u,v〉 (of u.v) = g(u,v), u2 = 〈u,u〉en |u| = |〈u,u〉|1/2.

Als voor een kromme γ (xi = xi(t)) de raakvector u = ∂∂t de eigenschap heeft dat u2 niet

van teken verandert, dan kan de metrische afstand tussen twee willekeurige punten a = γ(t1) enb = γ(t2) van de kromme bepaald worden als

s =

∫ t2

t1

|u|dt (1-11.4)

Bijgevolg is dsdt = |gij

dxi

dtdxj

dt |1/2, wat vaak symbolisch genoteerd wordt als

ds2 = gijdxidxj (1-11.5)

We onderstellen altijd dat de metriek niet-ontaard is, t.t.z.

als ∀v g(u,v) = 0 dan u = 0 (1-11.6)

In dat geval is de matrix gab inverteerbaar, wat toelaat een symmetrische tensor van type (2, 0) tebepalen met componenten gab zo dat

gabgbc = δac (1-11.7)

M.b.v. de tensoren gab en gab (tot dit soort foutief taalgebruik worden we verplicht, vermits we hetzelfde symbool g voor beide tensoren gebruiken . . . ) kan nu een isomorfisme geconstrueerd wordentussen T r+p

s (M) en T rs+p(M): als b.v. T ∈ T 0

2 (M) componenten Tab heeft, dan bepaalt g unieke

tensoren in T 11 (M) en T 2

0 (M) door T ab = gacTcb en T ab = gbdT a

d = gacgbdTcd. Al deze tensorenzullen we voortaan opvatten als representaties van hetzelfde geometrische object T.

De signatuur s van een metriek is het aantal positieve eigenwaarden min het aantal negatieveeigenwaarden van de matrix gab. We zijn vooral geınteresserd in lorentz-metrieken, t.t.z. me-trieken met constante signatuur n−2. Een vier-dimensionale (samenhangende hausdorff-) varieteit


voorzien van een lorentz-metriek noemen we voortaan een ruimte-tijd. Voor een lorentz-metriekkan dus een orthonormale basis ea geconstrueerd worden zo dat

gab = diag (−1, +1, . . . , +1) (1-11.8)

We maken hierbij de onderstelling dat de componenten eai van de eigenvectoren voldoend diffe-

rentieerbare functies zijn op M.Orthonormale basissen zijn niet uniek: de automorfismen van Tp(M) die 1-11.8 invariant laten,

zijn precies de lorentz-transformaties (zie 2-4).Een lorentz-metriek laat toe de vectoren u 6= 0 in Tp(M) te verdelen in tijdachtige vectoren,nul-vectoren en ruimte-achtige vectoren, naargelang u2 < 0, u2 = 0 of u2 > 0. De nul-vectorengenereren een dubbele kegel in Tp(M), met top in p (zie 2-3).

Beschikken we over een metriek, dan kunnen we ook het inwendig product van twee p-vormendefinieren door

〈σ1 ∧ . . . ∧ σp, τ1 ∧ . . . ∧ τp〉 = det(〈σi, τ j〉) (1-11.9)

te stellen en door deze definitie via bilineariteit uit te breiden tot gans Ωp(M).Ga zelf na dat, als (ω1, . . . , ωn) een orthonormale basis is van 1-vormen, met

〈ωi, ωi〉 = ǫi (ǫi = ±1), (1-11.10)

een orthonormale basis van Ωp(M) dan gegeven wordt door de uitwendige producten

ωi1 ∧ . . . ∧ ωip , (1-11.11)

waarbij〈ωi1 ∧ . . . ∧ ωip , ωi1 ∧ . . . ∧ ωip〉 = ǫi1 . . . ǫip

. (1-11.12)

Voorbeeld: op R3 met de standaard euclidische metriek en met

H = H1dy ∧ dz +H2dz ∧ dx+H3dx ∧ dy

geldt〈H,H〉 = H2

1 +H22 +H2

3 . (1-11.13)

oefening: toon aan dat in een z.g. Minkowski-ruimte-tijd met metriek ds2 = −dt2+dx2+dy2+dz2,met H zoals hierboven, E = E1dx+ E2dy + E3dz en

F = H + E ∧ dt (1-11.14)

voldaan is aan

−1

2〈F,F〉 =

1

2(〈E,E〉 − 〈H,H〉), (1-11.15)

waarbij we in het rechterlid de lagrangiaan van het electromagnetisch veld herkennen.Tot nu onderstelden we geen enkel verband tussen de metrische en de affiene structuur op M:

zij kunnen inderdaad volkomen onafhankelijk van elkaar gekozen worden. Belangrijk is echter datbij een gegeven metriek g een unieke symmetrische connectie ∇ bestaat zo dat ∇g = 0, i.e.

gab;c = 0 (1-11.16)

1-11. METRIEKEN 31

(wat impliceert dat hoeken en lengtes behouden blijven onder parallel transport).Inderdaad, voor de basisvectoren geldt ea.eb = gab zodat5

gab|c = ∇c(gab) = (∇cea).eb + ea.(∇ceb) (1-11.17)

Verwisseling van b en c, respectievelijk a en c geeft

gac|b =(∇bea).ec + ea.(∇bec)

gcb|a =(∇aec).eb + ec.(∇aeb)

zodat we, na optellen van de laatste twee betrekkingen en aftrekken van 1-11.17, bekomen

gac|b + gcb|a − gab|c =eb.(∇aec −∇cea) + ea.(∇bec −∇ceb)

+ ec.(∇aeb −∇bea) + 2ec.(∇bea) (1-11.18)

M.b.v. 1-9.11 en 1-9.27 herschrijven we het rechterlid als

ea.[eb, ec] + eb.[ea, ec] + ec.[ea, eb] + 2ec.(Γd

abed)

Definieren weΓabc = gadΓ

dbc en Dabc = gadD

dbc (1-11.19)

(let op de volgorde van de indices!) dan volgt hiermee dat

Γcab =1

2(gac|b + gcb|a − gba|c +Dacb +Dcba −Dbac) (1-11.20)

Hiermee is i.h.b. aan 1-9.27 identiek voldaan.De unieke symmetrische connectie die hierdoor bepaald wordt, noemt men de metrische con-

nectie en we zullen ons hiertoe voortaan beperken.Twee bijzondere gevallen van de betrekkingen 1-11.20 zijn van belang

(i) het geval van een coordinaatbasis (ei = ∂∂xi ):

we hebben dan Dijk = 0 en 1-11.20 reduceert zich tot de christoffel-betrekkingen

Γijk =1

2(gij,k + gik,j − gjk,i) (1-11.21)

Er geldt danΓijk = Γikj (1-11.22)

en, vermits Γijk = gimΓmjk, dus ook

Γijk = Γi

kj (1-11.23)

(ii) het geval van een stijve basis (gab constanten):dan is gab|c = 0, zodat uit 1-11.20 en Dabc = −Dacb volgt

Γ(ab)c = 0 (1-11.24)

MetΓab = gacΓ

cb (1-11.25)

5bekijk de dubbele contractie van ∇(g ⊗ ea ⊗ eb)


geldt danΓ(ab) = 0 (1-11.26)

oefening 1: toon aan dat in een willekeurige basis ea de voorwaarde 1-11.16 (of dus 1-11.20)te schrijven is als

dgab = Γab + Γba (1-11.27)

oefening 2: bekijk terug oefening van van paragraaf 1.2 en onderstel dat de gegeven basisorthonormaal is; bereken de Γab uit de Dabc en verifieer de eerste structuurvergelijkingen vanCartan.

Het voordeel van het werken met een stijve basis i.p.v. met een coordinaatbasis is nu duidelijk:

terwijl er in het algemeen in een coordinaatbasis n2(n+1)2 onafhankelijke christoffel-symbolen zijn

(i.e. 40 als n = 4), zijn er in een stijve basis slechts n2−n2 onafhankelijke connectievormen (elk met

n componenten), wat voor n = 4 nog slechts 4 × 6 = 24 onafhankelijke componenten oplevert.Noteer ook dat we de connectiecoefficienten niet expliciet dienen te berekenen, indien we

b.v. enkel geınteresseerd zijn in de vergelijkingen van de metrische geodeten. Deze vergelijkingenkunnen doorgaans snel bekomen worden m.b.v. een variationele methode: in een convexe normaleomgeving is de metrische geodeet tussen twee punten immers precies de kromme waarvoor demetrische ‘afstand’ een extremum is onder variaties van de verbindende krommen.

Deze eigenschap is eenvoudig in te zien: bekijk een 1-parameter familie van b.v. tijdachtigekrommen gegeven door xi = xi(t, u) met u ∈] − ǫ, ǫ[, zo dat ∀t en u

xi(t1, u) =xi(t1)

xi(t2, u) =xi(t2)

xi(t, 0) =xi(t) (1-11.28)

en herschrijf 1-11.4 als s =∫ t2

t1Ldt met L = (−gij x

ixj)1/2 en xi = ∂xi

∂t . Stellen we dan de

variationele afgeleide δs = ∂s∂u |u=0 = 0, dan bekomen we de euler-lagrange-vergelijkingen

∂L

∂xi− d

dt(∂L

∂xi) = 0 (1-11.29)

Dat deze niets anders zijn dan de geodetische vergelijkingen 1-9.23, verifieren we door 1-11.29 met2L te vermenigvuldigen:

0 =∂L2

∂xi− d

dt(∂L2

∂xi) + 2

dL

dt

∂L

∂xi

= − ∂

∂xi(gklx

kxl) +d

dt

∂

∂xi(gklx

kxl) + 2d2s

dt2∂

∂xi(−gklx

kxl)1/2

=d

dt(2gij x

j) − gkl,ixkxl − 2

d2s

dt2(−gklx

kxl)−1/2gij xj

=2gij xj + 2gij,kx

j xk − gkl,ixkxl − 2

d2s

dt2.(ds

dt)−1gij x

j

=2gij xj + 2xj xk(

1

2gij,k +

1

2gik,j −

1

2gkj,i) − 2

s

sgij x

j

We bekomen dus

xi + Γijkx

j xk =s

sxi (1-11.30)

1-11. METRIEKEN 33

en herparametrizering van t naar s levert dan inderdaad 1-9.23.Deze methode werkt uiterst efficient voor een in lokale coordinaten gegeven metriek. Ze heeftals bijkomend voordeel dat eerste integralen onmiddellijk te identificeren zijn aan de hand vancyclische coordinaten!Nog eenvoudiger wordt alles door op te merken dat het extremaliseren van de actie

−1

2

∫ t2

t1

L2dt =1

2

∫ t2

t1

gij xixjdt

precies dezelfde vergelijkingen oplevert, met als bonus dat t nu ineens ook de eigentijd τ blijktte zijn! Het grootste voordeel van het gebruik van de ’slechte’ lagrangiaan L2 is echter dat eenhamiltoniaanse vorm van de vergelijkingen kan worden opgesteld: het moment toegevoegd aan xi

is immers

pi =∂ − 1

2L2

∂xi= gij x

j ,

zodat

H = pixi − 1

2gij x

ixj =1

2gij x

ixj =1

2gijpipj .

De hamiltonvergelijkingen

pi = −∂H∂xi

(1-11.31)

xi =∂H

∂pi(1-11.32)

leveren dan, gebruik makend van gij,k = −gimgjℓgmℓ,k, onmiddellijk terug de gewenste bewegings-

vergelijking6.

Voorbeeld: de geodeten van de statisch en sferisch symmetrische metriek (zie ook hoofdstuk 6)

ds2 = −B(r)dt2 +A(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2.

Met (gij) = diag(−B−1, A−1, r−2, r−2 sin−2 θ) is

H =1

2(−B−1p2

0 +A−1p21 + r−2p2

2 + r−2 sin−2 θp23), (1-11.33)

waaruit

p0 = p3 = 0

p1 = −r−3(p22 + sin−2 θp2

3) −1

2(B−1)′p2

0 +1

2(A−1)′p2

1

p2 = −r−2 sin−3 θ cos θp23

en

t = −B−1p0

r = A−1p1

θ = r−2p2

φ = r−2 sin−2 θp3.

6dit mislukt bij de lagrangiaan L, omdat de hamiltoniaan dan identiek 0 is!


Kiezen we de coordinaten zo dat de beweging begint in het θ = π2 -vlak (θ0 = 0 en θ0 = π

2 ), dan isp2 = 0 zodat de beweging beperkt blijft tot dit vlak. Verder zijn p0 en p3 = J constanten, waarbijwe p0 = −1 kunnen stellen, zodat H = 1

2 (−B−1 +A−1p21 + r−2J2) een constante van de beweging

oplevert. De baanvergelijking wordt bijgevolg gegeven door

−B−1 +AJ2r−4(dr

dφ)2 + r−2J2 = 2H. (1-11.34)

1-11.2 Eigenschappen van de riemann-tensor

Het ligt voor de hand dat bij het gebruik van een metrische connectie ook de riemann-tensor aanbijkomende eigenschappen zal voldoen. Bekijken we hiertoe normale coordinaten in een omgevingvan een punt p ∈ M: er geldt dan Γi

jk|p = 0 en dus∂gij

∂xk |p = 0. Onder een lineaire transfor-matie met constante coefficienten blijven deze relaties behouden, zodat we bovendien gij |p tot ±δijkunnen herleiden.Met normale coordinaten in een (convexe normale) omgeving van p bedoelen we voortaan duscoordinaten waarvoor, naast de voorwaarden besproken in 1.9.c, tevens voldaan is aan

gij |p = ±δij en∂gij

∂xk|p = 0 (1-11.35)

Deze coordinaten kunnen in een punt p praktisch geconstrueerd worden door (i) een tijd-achtige geodeet γ door p te beschouwen en e0 te definieren als de eenheidsraakvector aan γ in p,m.a.w. door een vrij-vallende waarnemer te beschouwen (2) e0 aan te vullen tot een orthonormaalreferentiestelsel ea in p (3) door alle geodeten te beschouwen vertrekkend vanuit p in willekeurigeruimte-achtige richtingen n = nαeα en de punten langs deze geodeten de coordinaten xα = snα

toe te kennen (dit laatste kan slechts in een voldoend kleine omgeving waar deze geodeten elkaarniet snijden).Geldt nu bovendien dat gij |p = ±δij , in elk punt van elke lokale coordinaten-omgeving, dan noemenwe de metriek g (lokaal) vlak. Aangezien 0 = gij;k = gij,k − gimΓm

jk − gjmΓmik levert de stelling

op het einde van paragraaf 1.9 onmiddellijk het volgende resultaat:Een nodige en voldoende voorwaarde opdat een metriek lokaal vlak zou zijn, is dat deriemann-tensor 0 is.

In het algemeen geldt voor de riemann-tensor in normale coordinaten in het punt p

Rijkl|p =(Γijl,k − Γijk,l)|p=(gil,jk − gjl,ik + gjk,il − gik,jl)|p

waaruit blijkt dat de symmetrieen 1-10.8 kunnen uitgebreid worden tot

Rabcd = Rcdab (1-11.36)

en

R(ab)cd = Rab(cd) = Ra[bcd] = 0 (1-11.37)

Uit 1-10.11 volgt nu ook dat de ricci-tensor symmetrisch is:

R[ab] = 0 (1-11.38)

1-11. METRIEKEN 35

Contractie van de bianchi-identiteiten 1-10.9 levert

Rbd;e −Rbe;d +Rabde;a = 0 (1-11.39)

Definieren we nu de ricci-scalarR = Ra

a (1-11.40)

dan bekomen we, door 1-11.39 nogmaals te contracteren, de belangrijke betrekking

(Rab −

1

2Rδa

b);a = 0 (1-11.41)

De tensor

Gab = Rab −1

2Rgab (1-11.42)

die hierin optreedt, noemen we de einstein-tensor.

oefening 2: toon aan datRab = iea

iemΘm

b (1-11.43)

oefening 3: gebruik de resultaten van oefening 1.11.2 om de ricci-tensor te bepalen voor demetriek ds2 = dx2 + e−2xdz2 + e−2x(dy − xdz)2 in de in 1.11.2 gegeven orthonormale basis.

De volgende geometrische interpretatie van de riemann-tensor zal fundamenteel zijn bij deafleiding van de einstein-veldvergelijkingen:Bekijk een familie van geodeten γs(t) (met t een affiene parameter) en onderstel dat de afbeelding(t, s) 7→ γs(t) een diffeomorfisme is tussen een open deel van R

2 en een 2-dimensionale deelvarieteitΣ ⊂ M (t.t.z. Σ wordt ‘opgespannen door de familie van geodeten’).

T

X

gs1

g

gs4

gs2

Ss3

Figuur 1.7:

Kiezen we t en s als twee van de lokale coordinaten in M en stellen we T = ∂∂t en X = ∂

∂s .Deze vectoren zijn niet uniek bepaald t.g.v. de resterende vrijheid in de keuze van de affieneparameter: t→ u(s)t+ v(s). We maken nu gebruik van deze vrijheid om T en X zo te definierendat T2 = T aTa constant is over Σ (door middel van een herschaling t 7→ t′ = u(s)t van de t-coordinaat)7. Hiermee is dan ook TaX

a langs elke geodeet constant, want ∇T(T.X) = T.∇TX =(vermits X en T commuteren) T.∇XT = 1

2∇X(T2) = 0.

7T2 is reeds constant langs elke geodeet afzonderlijk, want ∇T(T.T) = 2T.∇TT = 0


M.b.v. een translatie t 7→ t′ = t + v(s) kan vervolgens T.X = 0 gemaakt worden langs eenwillekeurige kromme C die de gegeven familie geodeten transversaal snijdt, zodat uiteindelijkT.X = 0 over gans Σ. Het zo geconstrueerde vectorveld X noemen we het deviatievectorveld env = ∇TX de relatieve snelheid van een infinitesimaal nabije geodeet (va = T b∇bX

a is een maatvoor de snelheid waarmee het deviatievectorveld verandert langs een gegeven geodeet). Analoogdefinieren we de relatieve versnelling a = ∇Tv. Er geldt dan

a =∇T∇TX

=∇T∇XT

=∇T∇XT −∇X∇TT −∇[T,X]T

=R(T,X)T (1-11.44)

of, in componenten,aa = Ra

bcdTbT cXd (1-11.45)

ook wel de geodetische deviatie vergelijking genoemd. In een vlakke ruimte blijven initieel parallellegeodeten dus parallel; in een gekromde ruimte bewegen initieel parallelle geodeten zich daarentegennaar elkaar toe of van elkaar weg.

Het aantal algebraisch onafhankelijke componenten van de riemann-tensor kan gevonden wordendoor Rabcd te bekijken als een symmetrische tensor in de N = 1

2n(n−1) index-koppels (ab) en (cd).Deze tensor heeft 1

2N(N + 1) componenten, waartussen nog de betrekkingen Ra[bcd] = 0 bestaan.Het linkerlid van deze laatste gelijkheid is echter antisymmetrisch in elk paar indices en bevat dus(n4 ) onafhankelijke termen. Het aantal onafhankelijke componenten van de riemann-tensor wordt

bijgevolg1

2.1

2n(n− 1)[

1

2n(n− 1) + 1] − n(n− 1)(n− 2)(n− 3)

4!=

1

12n2(n2 − 1)

als n = 1, dan is Rabcd = 0als n = 2, dan is er slechts 1 onafhankelijke component, namelijk de ricci-scalar R. Er geldt dan

Rabcd = Rga[cgd]b (1-11.46)

als n = 3, dan is de riemann-tensor volkomen bepaald door de 6 componenten van de ricci-tensorals n > 3, dan worden de overblijvende componenten (20 als n = 4) van de riemann-tensor bepaalddoor de weyl-tensor Cabcd, gedefinieerd door

Rabcd = Cabcd +2

n− 2(ga[cRd]b + gb[dRc]a) − 2

(n− 1)(n− 2)Rga[cgd]b (1-11.47)

De weyl-tensor heeft dezelfde symmetrieen als de riemann-tensor, maar bovendien zijn al zijncontracties 0 (Ca

bca = 0).oefening 4: gebruik de symmetrieen van de weyl-tensor om aan te tonen dat Ca

bcd = 0 voor elke3-dimensionale ruimte.Veruit de belangrijkste eigenschap van de weyl-tensor is zijn invariantie onder conforme transfor-maties: dit zijn overgangen van een metriek g naar een metriek g = Ω2g, met Ω (6= 0) ∈ F(M),zodat de nulkegel-structuur van beide lorentz-metrieken identiek is. Met enig rekenwerk bepaaltmen de connectievormen en de riemann-tensor van de metriek g in functie van deze van de metriekg, wat met 1-11.47 leidt tot

Cabcd = Ca

bcd (1-11.48)

1-11. METRIEKEN 37

Een metriek wordt conform vlak genoemd, als een functie Ω bestaat zodat g een vlakke metriekis. Men bewijst de volgende stelling:

een nodige en voldoende voorwaarde opdat een metriek op een n (n > 3) dimensionalevarieteit conform vlak zou zijn is dat de weyl-tensor 0 is.

oefening 5: toon aan dat een 2-dimensionale varieteit altijd conform vlak is.Het geval n = 3 is nogal moeilijk en vereist de studie van 3de orde afgeleiden van de metriek (netzoals de riemann- tensor bevat de weyl-tensor enkel 2de orde afgeleiden).

1-11.3 Hyperoppervlakken

Een deelverzameling Σ ⊂ M wordt een hypervlak van de n-dimensionale varieteit M genoemd, alsΣ in de spoortopologie van M homeomorf is met een (n− 1)-dimensionale varieteit S (Σ = θ(S))en wel zo dat θ : S → M een diffeomorfisme is tussen open delen U ⊂ S en θ(U) ⊂ Σ (we noemende afbeelding θ dan een inbedding).

npq T

*

X

(p)q

q*

q

pTp

S

x

Figuur 1.8:

Voor elke p ∈ S is θ∗Tp dan een (n−1)-dimensionale deelvectorruimte in Tθ(p), waarvan de normaaln loodrecht staat op elke θ∗X (X ∈ Tp).Kaarten invoerend op omgevingen van p en θ(p), toont men aan dat Σ lokaal gegeven wordt dooreen vergelijking f = 0 (f ∈ F(M)) met n ∝ df 6= 0.Is g een lorentz-metriek op M dan noemen we

Σ een tijdachtig hyperoppervlak, als n een ruimte-achtige vector isΣ een nul-hyperoppervlak, als n een nul-vector isΣ een ruimte-achtig hyperoppervlak, als n een tijdachtige vector is

De verklaring voor deze terminologie is te zoeken in de aard van de door g geınduceerde metriekθ∗(g) op S. Bedenk dat θ∗(g) bepaald wordt door θ∗(g)(u, v)p = g(θ∗u, θ∗v)|θ(p) voor u, v ∈ Tp.Merk ook op dat in lokale coordinaten (y1, . . . yn−1) op S en (x1, . . . xn) op M, met Σ gegevendoor de vergelijkingen xi = xi(y), we de geınduceerde metriek gewoon vinden door ‘substitutie’:

ds2S = gij(x(y))∂xi

∂yk

∂xj

∂ymdykdym (1-11.49)

de z.g. eerste fundamentele vorm van S.Onderstel nu dat n tijdachtig is, t.t.z. n2 < 0. We construeren dan in M de basis (n, θ∗(e2),. . . , θ∗(en)) met (e2, . . . , en) een basis in S. Vermits n en θ∗(ea) orthogonaal zijn, wordt g hierin


voorgesteld door de matrix

[

n2 00 θ∗g(ea, eb)

]

. Deze matrix heeft signatuur n − 2, zodat θ∗g

positief definiet is, wat de benaming ruimte-achtig hyperoppervlak rechtvaardigt.Voor een tijdachtige n nemen we de gewoonte aan n te normaliseren zodat gabn

anb = −1. Ditlaat ons toe de projectie tensor h te construeren, met componenten

hab = gab + nanb (1-11.50)

Duidelijk geldt dathabn

b = 0 (1-11.51)

zodat elke vector v ∈ Tθ(p)(M) kan ontbonden worden in een component habv

b rakend aan Σ en

een component loodrecht op Σ: va = habv

b + λna, waarbij we de coefficient λ bepalen door tecontracteren met na, wat resulteert in

va = habv

b − nanbvb (1-11.52)

(noteer dat h inderdaad als een projectie operator kan bekeken worden, vermits de geassocieerdematrix idempotent is, ha

bhbc = ha

c).

Voor later gebruik is de volgende terminologie nog van belang: een vectorveld u ∈ X (M) heethyperoppervlak-orthogonaal (afgekort: HSO) als door elk punt p van M een hyperoppervlak Σp

kan gevonden worden, zodat, in een voldoend kleine omgeving van p, voor alle punten x ∈ Σp ux

loodrecht staat op Tx(Σp).Merk op dat bij een gegeven willekeurig vectorveld u weliswaar in elk punt p een (n−1)-dimensionaledeelruimte Wp ⊂ Tp(M) kan geconstrueerd worden, zodat Wp loodrecht staat op elke up, maardat deze deelruimten niet noodzakelijk ‘glad aan elkaar te sluiten zijn’, in de zin dat ze de rakenderuimten vormen van een hyperoppervlak!Stel nu met u de aan u geassocieerde 1-vorm voor (t.t.z. ua = gabu

b) en stel dat voor een gekozenpunt p Σp bepaald is door f = 0, met normaal n ∼ df . Als u hyperoppervlak-orthogonaal is, dan isvoor alle v ∈ TΣp

〈u, v〉 = 0 = 〈df, v〉, waaruit onmiddellijk volgt dat een functie h bestaat zodatu = hdf en dus u∧du = 0. Omgekeerd toont de stelling van Frobenius dat deze laatste betrekkingop haar beurt impliceert dat u loodrecht staat op de hyperoppervlakken met vergelijking f = 0.We bekomen dus volgend resultaat:

Een vectorveld is hyperoppervlak-orthogonaal als en slechts als voor de geassocieerde 1-vormu geldt dat

u ∧ du = 0 (1-11.53)

(merk op dat in 2 dimensies dus elk vectorveld hyperoppervlak-orthogonaal is: in klassieketerminologie betekent dit dat er voor elke differentiaalvergelijking u(x, y)dx + v(x, y)dy = 0 eenintegrerende factor λ bestaat die het linkerlid exact maakt).

Uitgedrukt in componenten betekent dit

u[aub;c] = 0 (1-11.54)

1-11.4 Dualiteit

We besluiten met een addendum bij paragraaf 7, waar we reeds opmerkten dat we, om scalairefuncties f ∈ F(M) over een varieteit te integreren, dienen te beschikken over een volumevorm op

1-11. METRIEKEN 39

M. Op zichzelf is het construeren van volumevormen geen probleem: neem een willekeurige basisea, construeer de duale basis ωa en bekijk b.v.

σ = ω1 ∧ · · · ∧ ωn (1-11.55)

Deze vorm is echter niet invariant onder basistransformaties. Inderdaad, als ωa′

= La′

aωa een

gelijk-georienteerde basis is (d.w.z. detL > 0), dan is

σ′ = det(La′

a)σ (1-11.56)

Beschikken we nu over een metriek g, dan geldt

det(ga′b′) = det (La′a)2det(gab)

of korterg′ = det(La′

a)2g

Bijgevolg is (met |g| de absolute waarde van det gab)

|g′|1/2 = det(La′

a)−1|g|1/2 (1-11.57)

wat ons m.b.v. 1-11.56 volgende z.g. canonieke volumevorm Ω oplevert

Ω = |g|1/2σ (1-11.58)

ook de levi-civita-tensor genoemd (bij een basistransformatie geldt dan Ω′ = Ω). In de meestenaslagwerken vindt men i.p.v. Ω de notatie η: omdat dit, vooral in Hoofdstuk 2 verwarring kanopleveren met de minkowski-tensor, verkiezen we hier van af te wijken! Het is nu helemaal niet evi-dent dat globaal, t.t.z. over gans de varieteit M, een dergelijke volume-vorm Ω kan geconstrueerdworden: dit komt immers neer op de globale constructie van een ‘positieve’ orthonormale basis en,zoals het voorbeeld van de mobius-strip aantoont, is dit niet altijd mogelijk! Kan dit wel gebeuren,dan zeggen we dat M orienteerbaar is. Orthonormale basissen (i.e. basissen met gab = ǫaδab enǫa = ±1) waarvoor

ω1 ∧ · · · ∧ ωn = +Ω (1-11.59)

worden dan positieve orthonormale basissen genoemd.

Het bestaan van de volumevorm Ω laat verder nog toe om in een n-dimensionale varieteit aaneen p-vorm ω een unieke n − p-vorm te associeren, de hodge-duale (of kortweg de duale) van ωgenoemd. We noteren deze n− p-vorm als ∗ω: hij wordt gedefinieerd door

µ ∧ ∗ω = 〈µ, ω〉Ω ∀µ ∈ Ωp(M) (1-11.60)

Is (ω1, . . . , ωn) een positieve orthonormale basis, dan bestaat er voor de duale van de basis-p-vormen ωi1 ∧ . . . ωip een eenvoudige uitdrukking: met 1 6 i1 < . . . < ip 6 n is

∗(ωi1 ∧ . . . ∧ ωip) = (−1)σǫi1 . . . ǫipωip+1 ∧ . . . ∧ ωin . (1-11.61)

Hierbij is (ip+1, . . . , in) de rij die ontstaat uit (1, . . . , n) door er (i1, . . . , ip) uit weg te laten:

(ip+1, . . . , in) = (1, . . . , n) − (i1, . . . , ip) (1-11.62)


en is σ de permutatie die (1 . . . n) afbeeldt op (i1 . . . in).In R

3 met de standaard euclidische metriek is dualiteit niets anders dan de afbeelding dietoelaat om aan de 1-vormen dx, dy en dz de 2-vormen

∗dx = dy ∧ dz, ∗dy = dz ∧ dx, ∗dz = dx ∧ dy (1-11.63)

te associeren en omgekeerd:

∗(dx ∧ dy) = dz, ∗(dy ∧ dz) = dx, ∗(dz ∧ dx) = dy. (1-11.64)

Tevens geldt dan∗1 = dx ∧ dy ∧ dz en ∗ (dx ∧ dy ∧ dz) = 1. (1-11.65)

In het 3-d euclidische geval is dus∗2 = 1 (1-11.66)

Let op: in het 4-d lorentz-geval daarentegen geldt voor p-vormen (ga na)

∗2 = (−1)p(4−p)+1 (1-11.67)

Bovenstaande eigenschappen tonen expliciet aan dat het uitwendig product een directe veral-gemening is van het vectorieel product: in de standaard euclidische ruimte R

3 kunnen we immers(vermits gij = gij = δij) vectoren ui∂i identificeren met 1-vormen uidx

i en, indien we beideobjecten aanduiden met hetzelfde symbool u, dan kunnen we de eigenschap

(u1dx+u2dy+u3dz)∧ (v1dx+v2dy+v3dz) = (u2v3−u3v1)dx+(u3v1−u1v3)dy+(u1v2−u2v1)dz

herschrijven als∗(u ∧ v) = u × v (1-11.68)

De analogie met de vectoranalyse gaat nog veel verder, als we bedenken dat

∗u = ∗(u1dx+ u2dy + u3dz) = u1dy ∧ dz + u2dz ∧ dx+ u3dx ∧ dy

en dus

d ∗ u = (∂u1

∂x+∂u2

∂y+∂u3

∂z)dx ∧ dy ∧ dz

waaruit,∗d ∗ u = ∇ · u. (1-11.69)

Anderzijds is (ga na)

d(u1dx+ u2dy + u3dz) = (∂u3

∂y− ∂u2

∂z)dy ∧ dz + (

∂u1

∂z− ∂u3

∂x)dz ∧ dx+ (

∂u2

∂x− ∂u1

∂y)dx ∧ dy,

waaruit volgt∗du = ∇× u. (1-11.70)

Tenslotte is voor een scalaire functie Φ

dΦ =∂Φ

∂xdx+

∂Φ

∂ydy +

∂Φ

∂zdz,

1-11. METRIEKEN 41

waaruit∗dΦ = ∇Φ. (1-11.71)

De twee befaamde identiteiten uit de vectoranalyse, rot grad = 0 en div rot = 0 blijken alzo bij-zondere gevallen te zijn van de eigenschap d2 = 0! Hiermee wordt ook duidelijk dat de klassiekestellingen van Stokes en Gauss bijzondere gevallen zijn van de eigenschap 1-7.8.

We besluiten deze paragraaf met enkele beschouwingen over de maxwell-vergelijkingen. Bekij-ken we eerst het paar vergelijkingen

∇ · H = 0 (1-11.72)

∇× E = − ∂H

∂t

Bedenken we dat, om het magnetisch veld te definieren, we het verschil moeten kennen tussen“links” en “rechts”, dan suggereert dit dat we met H een 2-vorm laten overeenkomen en met E

een 1-vorm:

E = E1dx+ E2dy + E3dz en H = H1dy ∧ dz +H2dz ∧ dx+H3dx ∧ dy. (1-11.73)

In het licht van voorgaande beschouwingen zijn dan, in het statische geval, de vergelijkingen∇ · H = 0 en ∇ × E = 0 eenvoudig te schrijven als dH = dE = 0. Wat wordt dit in hetniet-statische geval? Beschouwen we daartoe de volgende 2-vorm op R

4,

F = H + E ∧ dt, (1-11.74)

Splitsen we de uitwendige afgeleide van een p-vorm ω op in een ruimtelijk deel en tijdelijk deel,door

dω = d(3)ω + dt ∧ ∂ω

∂t, (1-11.75)

dan blijkt dat

dF = dH + dE ∧ dt= d(3)H + dt ∧ ∂tH + (d(3)E + dt ∧ ∂tE) ∧ dt= d(3)H + (∂tH + d(3)E) ∧ dt.

Het koppel vergelijkingen 1-11.72 kan dus geschreven worden als

dF = 0. (1-11.76)


1-12 Isometrieen

Symmetrieen spelen een fundamentele rol bij de constructie en de classificatie van oplossingen vande einstein-vergelijkingen. Een precieze discussie van symmetriegroepen, vereist het gebruik vanlie-groepen en valt buiten het kader van deze cursus. Enige vaagheid is dus onvermijdelijk.

Voeren we eerst het begrip van een isometrie in: dit is een diffeomorfisme φ : M → Mwaaronder de metriek invariant is, t.t.z. φ∗g = g; m.a.w. φ is een isometrie als voor alle u env ∈ Tp(M) en voor alle p

g(u, v)|p = g(φ∗u, φ∗v)|φ(p) (1-12.1)

In 1-8 hebben we gezien hoe met elk vectorveld X een lokale 1-parameter groep van diffeomorfismenΦt geassocieerd is, en omgekeerd. Onderstel nu dat deze Φt isometrieen zijn, zodat we beschikkenover een lokale 1-parameter groep van isometrieen of een 1-dimensionale symmetriegroep. Er geldtdan dat

LXg = limt→0

1

t(Φt

∗g − g) = 0 (1-12.2)

en we noemen X dan een killing-vectorveld. Ook zeggen we dat X de generator is van de symme-triegroep Φt. Intuıtief betekent dit dus dat in elk punt p alle metrische betrekkingen onveranderdblijven onder een infinitesimaal kleine translatie in de richting Xp.M.b.v. 1-8.9 bekomen we dan 0 = LXgab = gab;cX

c + gmbXm

;a + gamXm

;b, i.e.

X(a;b) = 0 (1-12.3)

wat we de killing-vergelijkingen noemen.Omgekeerd kan men aantonen dat elk vectorveld dat voldoet aan de killing-vergelijkingen ook degenerator is van een lokale 1-parameter groep van isometrieen. Een aanschouwelijker voorstelling

V

b’

q’

p’

b

p

q

n

Figuur 1.9:

van killing-vectoren wordt verkregen door een hyperoppervlak Σ te kiezen, met p ∈ Σ zo datΣ niet rakend is aan Xp (wat mogelijk is in elk punt p waar Xp 6= 0). Definieren we in Σcoordinaten (x2, . . . xn), dan zijn in een voldoend kleine omgeving V van p alle punten a′ ∈ Vuniek te karakteriseren m.b.v. de parameter x1 = t en de coordinaten x2(a), . . . xn(a) van a, waarbijΦ−ta

′ = a ∈ Σ:

1-12. ISOMETRIEEN 43

M.a.w. we kiezen de coordinaten zo dat de 1ste coordinaatkrommen precies de integraal-

krommen zijn van X. M.b.v. 1-8.1 vinden we dan voor de componenten van X dat X1 = dx1

dt = 1,

X2 = dx2

dt = 0 etc. :

Xi = δi1 of X =

∂

∂t(1-12.4)

Gesubstitueerd in 1-12.2 levert dit∂gij

∂t = 0 en dus

gij = gij(x2 . . . xn) (1-12.5)

wat expliciet toont dat de metrische componenten niet veranderen langs de integraalkrommen vanX.

Oefening:1. Toon aan dat

Lug = Lvg = 0 => L[u, v]g = 0 (1-12.6)

waaruit volgt dat de killing-vectorvelden een lie-algebra vormen t.o.v. de bewerking [ , ].2. Toon aan dat symmetriegroepen aanleiding geven tot behoudswetten, in de zin dat, als u = ∂

∂sde raakvector is aan een geodeet (s is een affiene parameter) en X een killing-vectorveld is, danu.X een constante van de beweging is: d

ds (uaXa) = 08.3. Maak gebruik van de symmetrie-eigenschappen van de riemann-tensor om aan te tonen dat elkkilling-vectorveld voldoet aan

Xa;b;c = RmcbaXm (1-12.7)

Vermits t.g.v. 1-12.7 ook alle hogere orde afgeleiden ∇(∇(. . . (∇X) . . . )) kunnen gevonden wor-den in functie van X en ∇X, is een killing-vectorveld lokaal volledig bepaald door het vastleggenvan de getallen Xa en Xa;b in een willekeurig punt. Voor een gegeven lie-algebra bepalen dezen+ 1

2n(n−1) getallen dus het maximum aantal lineair onafhankelijke vectoren in de algebra. Is dedimensie van de lie-algebra r, dan zeggen we dat de varieteit een groep Gr van isometrieen bezit.Er geldt dus

r = dim Gr ≤ 1

2n(n+ 1) (1-12.8)

Voor de deelgroep H ⊂ Gr van isotropieen (i.e. de isometrieen die een gegeven punt p vast laten:Φt(p) = p) toont men analoog aan dat

dim H ≤ 1

2n(n− 1) (1-12.9)

Als r = 12n(n+ 1) dan noemen we de varieteit maximaal symmetrisch.

We vermelden drie belangrijke eigenschappen van maximaal symmetrische varieteiten (voor debewijzen zie b.v. Weinberg):

(i) Elke maximaal symmetrische varieteit is homogeen, t.t.z. voor elk tweetal punten p enq ∈ M bestaat een isometrie Φt zodat Φt(p) = q

8Niet alle behoudswetten zijn af te leiden uit een isometrie. Als bv. een tensor Kab bestaat met Kab = Kba

en K(ab;c) = 0 (een z.g. killing-tensor), dan bekomen we behoudswetten van de gedaante dds

(Kabuaub) = 0. We

noemen een killing-tensor triviaal als hij is opgebouwd uit killing-vectoren: bv Kab = K(1)a K

(2)b

; er bestaan echterruimte-tijden die niet-triviale killing-tensoren bevatten. Dit leidt bv. in het geval van de kerr-metriek tot een extrabehoudswet die de volledige integratie van de bewegingsvergelijkingen toelaat.


(ii) Een varieteit is maximaal symmetrisch als en slechts als ze een constante krommingheeft:

Rabcd = K(gacgbd − gadgbc) = 2Kga[cgb]d (1-12.10)

met K constant. Ga na dat de ricci-scalar dan gegeven wordt door R = n(n− 1)K.Gevolg: elke maximaal symmetrische varieteit is conform vlak (wat niet triviaal is in 3D!).(iii) Elke maximaal symmetrische varieteit is (lokaal en op diffeomorfismen na) uniek bepaalddoor haar dimensie n, de signatuur s van haar metriek g en door de constante K.

Tengevolge van deze laatste eigenschap volstaat het om voor elke n, s en K een voorbeeldvan een maximaal symmetrische varieteit te construeren. Vermits 1-12.10 impliceert dat de weyl-tensor 0 is, ligt het voor de hand om lokale coordinaten te gebruiken waarvoor gij = e2U gij metgij = diag (±1, ±1, · · · ± 1)9. Substitutie in de voorwaarden 1-12.10 levert dan de vergelijkingen

2(e−U ),ij = Kgij

gij(e−U ),i(e−U ),j = K(e−U − 1) (1-12.11)

waaruit we oplossen e−U = 1 + K4 gijx

ixj , zodat

ds2 =gijdx

idxj

(1 + K4 gijxixj)2

(1-12.12)

De corresponderende maximaal symmetrische ruimtes kunnen alle bekomen worden door inbeddingvan een (pseudo-) sfeer in een (n+1)-dimensionale vlakke ruimte (voor een gedetailleerde discussie,zie Weinberg).

Enkele bijzondere gevallen, die in de algemene relativiteitstheorie een belangrijke rol spelen,zijn(i) (n = 2)

ds2 = a2[(dx1)2 ± Σ2(dx2)2] (1-12.13)

met K en Σ(x1, ǫ) als in 1-12.17. Vaak voorkomende vormen voor signatuur 2 en K < 0 zijn ook

ds2 = a2(dx2 + cosh2 xdy2) (1-12.14)

ofds2 = a2(dx2 + e2xdy2) (1-12.15)

(ii) n = 3, s = 3 (b.v. een ruimtelijk hyperoppervlak in een 4-dimensionale lorentz-varieteit)

ds2 =dx2 + dy2 + dz2

[1 + K4 (x2 + y2 + z2)]2

(1-12.16)

of, na overgaan op sferische coordinaten ρ, θ, φ door x = ρ sin θ cosφ, y = ρ sin θ sinφ, z = ρ cos θ:

ds2 = a2[dr2 + Σ2(dθ2 + sin2 θdφ2)] (1-12.17)

met K = ǫa−2 en

Σ(r, ǫ) =

sin r (ǫ = +1)r (ǫ = 0)

sinh r (ǫ = −1)

9Dat dit ook mogelijk is voor n = 3 wordt gegarandeerd door 1-12.10

1-12. ISOMETRIEEN 45

Hierbij is r gekoppeld aan de sferische coordinaat ρ door ρ = 2a tan r2 (ǫ = 1), ρ = 2atanh r

2(ǫ = −1) of ρ = ar (ǫ = 0). Bovenstaande metrieken 1-12.17 spelen een fundamentele rol in dekosmologie.(iii) n = 4, s = 2

ds2 =−dx42

+ dx12+ dx22

+ dx32

[1 + K4 (x12 + x22 + x32 − x42)]2

(1-12.18)

M.b.v. de coordinaattransformatie xa = 2Xa/1+[1−K(X12+X22

+X32−X42)]1/2 blijkt dat dit

precies de geınduceerde metriek is in het hyperoppervlak X12+X22

+X32 −X42+ kX52

= kα2

(met K = kα−2 en k = ±1) van een 5-dimensionale vlakke ruimte met metriek ds2 = dX12+

dX22+ dX32 − dX42

+ kdX52.

Voor k = +1 bekomen we de de Sitter-ruimte. Vermeld hyperoppervlak wordt dan een hyper-boloıde, waarop we coordinaten kunnen invoeren door

X5 =α cosh(α−1t) cosχ

X4 =α sinh(α−1t)

X3 =α cosh(α−1t) sinχ cos θ

X2 =α cosh(α−1t) sinχ sin θ cosφ

X1 =α cosh(α−1t) sinχ sin θ sinφ (1-12.19)

We bekomen dan

ds2 = −dt2 + α2 cosh2(α−1t)[dχ2 + sin2 χ(dθ2 + sin2 θdφ2)] (1-12.20)

Met −∞ < t < ∞, 0 ≤ χ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π overdekken deze coordinaten de gansehyperboloıde. Een coordinatenstelsel dat slechts de helft (X4 +X5 ≥ 0) overdekt, is gegeven door

t = α log X4+X5

α , xi = αXi

X4+X5 (i = 1, 2, 3), zodat

ds2 = −dt2 + exp(2α−1t)(dx12

+ dx22

+ dx32) (1-12.21)

Dit is de metriek van het z.g. steady state heelal10.

10zie ook Hoofdstuk 8-5


1-13 Uitgewerkte voorbeelden

In deze paragraaf laten we zien hoe, voor een gegeven metriek, de riemann-tensor, ricci-tensor enz.,snel kunnen bepaald worden.

(i)ds2 = dx2 + f(x)2dy2 (1-13.1)

Kies een orthonormale basis met

ω1 =dx

ω2 =fdy (1-13.2)

zodat g = ω1 ⊗ ω1 + ω2 ⊗ ω2. Dan is dω1 = 0 en dω2 = fxdx ∧ dy = fx

f ω1 ∧ ω2. Van de

connectievormen dient enkel Γ12 beschouwd te worden, vermits Γ11 = Γ22 = 0. Uit de eerstestructuurvergelijkingen dωa = −Γa

b ∧ ωb leiden we af (voor a = 1) dat Γ12 = λ(x)ω2. Decoefficient λ volgt uit dezelfde vergelijkingen met a = 2 en levert Γ12 = −fx/fω

2. De krommingbepalen we met de tweede structuurvergelijkingen:

Θ12 = dΓ12 + Γ1c ∧ Γc2 = dΓ12

= −[

(fx/f)x + (fx/f)2]

ω1 ∧ ω2 = −fxx

fω1 ∧ ω2

De enige niet-triviale component van de riemann-tensor is de ricci-scalar

R = R11 +R22 = −2fxx

f(1-13.3)

(= 2× de gauss-kromming).

(ii)ds2 = e2t(−dt2 + dx2) + dy2 + dz2 (1-13.4)

Kies een orthonormale basis zodat g =∑3

α=1 ωα ⊗ ωα − ω4 ⊗ ω4 en stel

ω1 =etdx

ω2 =dy

ω3 =dz

ω4 =etdt (1-13.5)

Er volgt dω2 = dω3 = dω4 = 0 en dω1 = e−tω4 ∧ ω1. Na een blik op de eerste structuurvergelij-kingen gokken we dat Γ2a = Γ3a = 0 en Γ14 = λ(t)ω1. Hiermee is inderdaad dω4 = 0, terwijl dω1 =−Γ1

b ∧ ωb = −Γ14 ∧ ω4 resulteert in λ = e−t. De enig mogelijke niet-triviale component van de

kromming is Θ14, waarvoor de tweede structuurvergelijkingen geven Θ14 = dΓ14 = d(e−t etdx) =0, wat betekent dat de metriek 1-13.4 vlak is. Inderdaad, de coordinaattransformatie

t→ t′ = et coshxx→ x′ = et sinhx

(1-13.6)

1-13. UITGEWERKTE VOORBEELDEN 47

zet 1-13.4 om in de minkowski-metriek ds2 = −dt′2 + dx′2 + dy2 + dz2.

N.B. Als men weet dat een metriek vlak is (b.v. door berekening van de kromming) , is hetvinden van een gepaste coordinaattransformatie, zoals 1-13.6, niet altijd even gemakkelijk. Zo isde metriek

ds2 = dx2 + dy2 − 2dudv +4v

xdudx+

v2

x2du2 (1-13.7)

vlak (zie verder), maar is het vinden van een coordinaattransformatie naar de minkowski-vormniet triviaal...

(iii)

ds2 = −f(r)dt2 + h(r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (1-13.8)

(f en h > 0 ondersteld). Dit is een z.g. statische en sferisch symmetrische metriek ; zie ookHoofdstuk 5. Kies opnieuw een orthonormale basis met nu ω1 = h1/2dr, ω2 = rdθ, ω3 = r sin θdφen ω4 = f1/2dt. Met ′ = d

dr geldt dan

dω1 =0 (1-13.9)

dω2 =r−1h−1/2ω1 ∧ ω2 (1-13.10)

dω3 =r−1(h−1/2ω1 + cot θω2) ∧ ω3 (1-13.11)

dω4 =1

2h−1/2 f

′

fω1 ∧ ω4 (1-13.12)

Uit 1-13.9 en dω1 = −Γ1b ∧ωb zouden we ons kunnen laten verleiden tot het besluit Γ1b = 0. Dan

is echter ook Γ21 = Γ31 = Γ41 = 0, wat niet consistent is met 1-13.10 - 1-13.12! Een betere gok lijktdaarom Γ1b ∼ ωb (hiermee blijft nog steeds dω1 = 0). Analoog stellen we op basis van 1-13.10 en1-13.11 dat Γ23 ∼ ω3 (dan is er immers geen ω2∧ω3 term in dω2 = −Γ2

b∧ωb, maar wel een ω2∧ω3

term in dω3 = −Γ3b ∧ ωb). We stellen dus Γ12 = Uω2, Γ13 = V ω3, Γ14 = Wω4 en Γ23 = Xω3.

De coefficienten U , V , W en X halen we onmiddellijk uit de eerste structuurvergelijkingen (let op:Γ4

1 = +Γ14)

Γ12 = − r−1h−1/2ω2

Γ13 = − r−1h−1/2ω3

Γ14 =1

2h−1/2 f

′

fω4

Γ23 = − r−1 cot θω3 (1-13.13)


De tweede structuurvergelijkingen geven nu

Θ12 =1

2r−1h−2h′ω1 ∧ ω2

Θ13 =1

2r−1h−2h′ω1 ∧ ω3

Θ14 =1

2(fh)−1/2

(

(fh)−1/2f ′)′ω1 ∧ ω4

Θ23 =r−2(1 − h−1)ω2 ∧ ω3

Θ24 =1

2r−1h−1 f

′

fω2 ∧ ω4

Θ34 =1

2r−1h−1 f

′

fω3 ∧ ω4 (1-13.14)

waaruit, m.b.v. 1-11.43, onmiddellijk volgt

R11 =r−1h−2h′ − 1

2(fh)−1/2

(

(fh)−1/2f ′)′

R22 = R33 =1

2r−1h−1(

h′

h− f ′

f) + r−2(1 − h−1)

R44 =(rfh)−1f ′ +1

2(fh)−1/2

(

(fh)−1/2f ′)′

(1-13.15)

en alle andere Rab = 0.Oefening: bepaal voor bovenstaande metriek opnieuw de componenten van de ricci-tensor t.o.v.de duale basis dt, dr, dθ, dφ, maar nu gebruik makend van de christoffel-symbolen en de relaties1-10.6. Vergelijk de hoeveelheid rekenwerk met de hier gebruikte methode.

(iv) In de vorige voorbeelden werd uitsluitend gebruik gemaakt van orthonormale bases. In veletoepassingen in de relativiteitstheorie maakt men ook gebruik van stijve bases, waarin de basisvec-toren nul-vectoren zijn. Stel n = 4 en s = 2 en bekijk de orthonormale basis E1, E2, E3, E4.De geınduceerde metriek op de vectorruimte voortgebracht door E3 en E4 is lorentz, zodat we alsbasis in deze deelruimte ook twee nul-vectoren e3 en e4 kunnen gebruiken, gewoonlijk genoteerdals l en k:

k = e4 =1√2(E4 + E3)

l = e3 =1√2(E4 − E3) (1-13.16)

Anderzijds is de geınduceerde metriek op de vectorruimte voortgebracht door E1 en E2 positiefdefiniet, zodat we voor een basis van nul-vectoren noodzakelijk beroep moeten doen op complexevectoren e1 en e2, die we gewoonlijk noteren als m en m:

m =e1 =1√2(E1 − iE2)

m =e2 =1√2(E1 + iE2) (1-13.17)

1-13. UITGEWERKTE VOORBEELDEN 49

We noemen ea dan een (complex) nul-tetrad. Is θa de duale basis van Ea en ωa de dualebasis van ea, dan geldt dus

ω4 =1√2(θ4 + θ3)

ω3 =1√2(θ4 − θ3)

ω2 =1√2(θ1 − iθ2)

ω1 =1√2(θ1 + iθ2) (1-13.18)

Met αβ een korte schrijfwijze voor 12 (α⊗ β + β ⊗ α)) kan de metriek dan geschreven worden als

g = θ12

+ θ22

+ θ32 − θ4

2

= 2ω1ω2 − 2ω3ω4 (1-13.19)

en heeft t.o.v. ωa de componenten

gab = gab =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0

(1-13.20)

Dit impliceert dat alle contracties van de basisvectoren 0 zijn, behalve

kala = −1 en mama = 1 (1-13.21)

Het gebruik van dergelijke nul-tetrads reduceert de hoeveelheid rekenwerk nog verder, aangezienΓ24 = Γ14, Γ13 = Γ23 en bovendien Γ34 ∈ R, Γ12 ∈ iR.

We illusteren deze methode met de metriek 1-13.7, die we herschrijven als

ds2 = dx2 + dy2 − 2du(− v2

2x2du− 2v

xdx+ dv) (1-13.22)

zodat

ω1 = ω2 =1√2(dx+ idy)

ω3 = du

ω4 = dv − 2v

xdx− v2

2x2du (1-13.23)

Er volgt dan

dω1 = 0

dω3 = 0

dω4 = − 2

xdv ∧ dx− v

x2dv ∧ du+

v2

x3dx ∧ du

=

(

v

x2ω3 +

√2

x(ω1 + ω2)

)

∧ ω4 (1-13.24)


Schrijven we de eerste structuurvergelijkingen uit (let op: nu is Γ44 = −Γ34 en Γ2

2 = Γ12), danbekomen we

dω1 =Γ12 ∧ ω1 − Γ23 ∧ ω3 − Γ24 ∧ ω4

dω3 = − Γ14 ∧ ω1 − Γ24 ∧ ω2 − Γ34 ∧ ω3

dω4 = − Γ13 ∧ ω1 − Γ23 ∧ ω2 + Γ34 ∧ ω4 (1-13.25)

wat, na enig wikken en wegen, suggereert dat de niet-triviale connectievormen gegeven zijn door

Γ14 =αω3

Γ13 =βω4

Γ34 =γω1 + γω2 + aω3 (1-13.26)

met α, β, γ ∈ C en a ∈ R. Subsitutie toont dat hiermee aan 1-13.24 voldaan is, op voorwaardedat α = β = γ = 1√

2x−1 en a = vx−2. Berekening van Θ12, Θ13, Θ14 en Θ34 (alle andere Θab

zijn triviale combinaties van deze vier!) toont dat Θab = 0, zodat de metriek vlak is.

(v) Oefening:ds2 = 2dζdζ − 2dudv − 2Hdu2 (1-13.27)

met H een reele functie waarvoor geldt

H = H(u, ζ, ζ) en ζ =x+ iy√

2(1-13.28)

is de metriek van z.g. vlakke gravitatiegolven.Herschrijf ds2 in de vorm 1-13.19 met

ω1 =dζ

ω3 =du

ω4 =dv +Hdu (1-13.29)

Als (m, m, l, k) de duale basis is van ωa, bewijs dan dat de ricci-tensor voldoet aan

Rab = 2H,ζζkakb (1-13.30)

Toon ook aan dat ka;b = 0 (we noemen k dan een constant vectorveld).

Hoofdstuk 2

Beperkte Relativiteitstheorie

In dit hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van de beperkte relativiteitstheorie, met de nadrukop een aantal theoretische aspecten, die in de rest van de cursus nog aan bod komen. Er wordtniet ingegaan op experimenten (Michelson-Morley, ...) of fysische effecten (Doppler, aberratie,Compton,...), die enerzijds wellicht gekend zijn en anderzijds ook van weinig belang zijn voor dehierop volgende hoofdstukken. Bovendien is hierover voldoende literatuur beschikbaar.

2-1 Inleiding

Op het einde van de 19de eeuw werd de newtoniaanse mechanica met zware problemen geconfron-teerd. In 1864 werden door Maxwell de vergelijkingen opgesteld voor het electromagnetisme:

∇.~D =4πρ

∇.~B =0

∇× ~E = − 1

c

∂~B

∂t

∇× ~H =1

c

∂ ~D

∂t+~j (2-1.1)

Deze vergelijkingen waren niet langer invariant onder de galilei-transformaties: Maxwell’s theorievan het electromagnetisme leek dus onverenigbaar met het relativiteitsbeginsel dat zegt dat dewetten van de fysica voor alle inertiele waarnemers identiek zouden zijn. Einstein’s grandiozebijdrage tot de fysica bestond erin van in te zien dat deze schijnbare onverenigbaarheid verbandhield met een derde —verborgen— hypothese, namelijk dat het mogelijk is om van elk tweetalgebeurtenissen te beslissen of ze al dan niet gelijktijdig zijn. Terzijde merken we op dat reeds in

51

52 HOOFDSTUK 2. BEPERKTE RELATIVITEITSTHEORIE

1881 door Voigt een stelsel van transformaties ontdekt werd,

t′ =(t− vx

c2)/

√

1 − v2

c2

x′ =(x− vt)/

√

1 − v2

c2

y′ =y

z′ =z (2-1.2)

waaronder Maxwell’s vergelijkingen wel invariant waren! Dit stelsel van transformaties werd inhet begin bekeken als een mathematische curiositeit, maar kreeg snel een respectabele status enevolueerde uiteindelijk tot het mathematisch fundament van de relativiteitstheorie.

In plaats van dus aan de maxwellvergelijkingen te sleutelen en ze aan te passen aan het newton-iaanse wereldbeeld, zette Einstein dit wereldbeeld opzij en gaf Maxwell’s electrodynamica eensleutelpositie in de nieuwe theorie. Aan de basis van de theorie lag het Relativiteitsbeginsel :

1. de wetten van de dynamica, zowel als van het electromagnetisme, nemen dezelfde vorm aanvoor een gepriviligieerd stelsel van waarnemers, de zgn. inertiele waarnemers

2. de snelheid van het licht in vacuum is dezelfde voor alle inertiele waarnemers1

1te motiveren a.d.h.v. het experiment van Albert Michelson en Edward Morley 1887; een moderne versie (Brilleten Hall 1978) maakt gebruik van een He-Ne laser en een staande golf in een caviteit: de newtoniaanse additiewetvan de snelheden zou een frequentieverschil ∆ν/ν ≈ 10−8 moeten geven, wat schril afsteekt tegen het experimenteleresultaat ∆ν/ν ≈ (1.5 ± 2.5)10−15 !

2-2. LORENTZ-TRANSFORMATIES 53

2-2 Lorentz-transformaties

Bekijk twee inertiele waarnemers A en A′, uitgerust met identieke klokken, zo dat A′ zich metconstante snelheid v verplaatst langs de x-as van A. Beide waarnemers synchroniseren hun klokken,zodat t = t′ = 0 op het ogenblik dat ze samenvallen.2

A

A’

p

t3

t’2

x=x’=t=t’=0

t1

Figuur 2.1:

Stel nu dat A op tijdstip t1 een lichtsignaal zendt naar A′: A′ ontvangt dit op t2′ en zendt het

terug naar A, die het gereflecteerde signaal ontvangt op t3. Omwille van de symmetrie van hetexperiment (elke waarnemer ziet de andere met dezelfde snelheid wegvliegen en de lichtsnelheidis voor beide waarnemers gelijk) moet een functie f bestaan zodat t2

′ = f(t1) en t3 = f(t2′),

t.t.z. f f(t1) = t3. Kent nu A aan de gebeurtenis, of event, P de coordinaten (t, x) toe, dan ist1 = t− x

c = t(1 − vc ) en t3 = t+ x

c = t(1 + vc ), zodat met

k =

√

1 + v/c

1 − v/c(2-2.1)

voor alle t1 geldt datf f(t1) = k2t1 (2-2.2)

Men kan aantonen dat de enige oplossing van deze functionele vergelijking (voor continu differen-tieerbare f) gegeven wordt door

f(t) = kt (2-2.3)

Oefening: bewijs dit!

2De hier gevolgde manier om de lorentz-transformaties te introduceren is te danken aan G.J. Whitrow en werdvooral gepopulariseerd door H. Bondi.


Beschouwen we vervolgens een gebeurtenis E die niet gelegen is op de wereldlijn van A of A′:A en A′ kennen door middel van lichtsignalen, uitgezonden en ontvangen op de respectievelijke

A A’

E

t+x/c

t’+x’/c

t’-x’/c

t-x/c

Figuur 2.2:

tijdstippen t− x/c, t+ x/c, t′ − x′/c, t′ + x′/c, aan E de coordinaten (t, x) resp. (t′, x′) toe. Zoalshiervoor aangetoond, geldt dan

t2′ ≡ t′ − x′/c =k(t− x/c) ≡ kt1

t3 ≡ t+ x/c =k(t′ + x′/c) ≡ kt3′ (2-2.4)

waaruit we, m.b.v. 2-2.1 de 1+1 dimensionale lorentz-transformaties bekomen:

t′ =t− vx/c2√

1 − v2/c2

x′ =x− vt

√

1 − v2/c2(2-2.5)

Noteer dat de inverse transformatie van 2-2.5 gewoon gegeven wordt door v te vervangen door −ven dat voor |v| << c de galilei-transformaties (t′ = t en x′ = x− vt) bekomen worden.

Vanaf nu werken we in eenheden waarvoor c = 1 en stellen we γ = (1 − v2)−1/2. Er geldt dan

t′ =γ(t− vx)

x′ =γ(x− vt) (2-2.6)

Het is duidelijk dat deze transformaties een 1-parameter groep vormen. Immers, als

t′ − x′ =k12(t− x)

t′ + x′ =k−112 (t+ x)

2-2. LORENTZ-TRANSFORMATIES 55

en

t′′ − x′′ =k23(t′ − x′)

t′′ + x′′ =k−123 (t′ + x′)

dan is

t′′ − x′′ =k13(t− x)

t′′ + x′′ =k−113 (t+ x)

metk13 = k12k23 (2-2.7)

Hiermee vinden we nu onmiddellijk de additie-wet der snelheden: stellen we k12 =√

1+v12

1−v12etc.,

dan volgt dat

v13 =v12 + v231 + v12v23

(2-2.8)

Tevens volgt uit t′ − x′ = k(t− x), t′ + x′ = k−1(t+ x), y′ = y en z′ = z dat de uitdrukking

−t2 + x2 + y2 + z2 (2-2.9)

dezelfde is voor alle inertiele waarnemers F en F ′, die op t = t′ = 0 samenvallen op x = x′ = 0en die t.o.v. elkaar eenparig bewegen langs de x-as. Vermits echter x2 + y2 + z2 invariant is onderrotaties, is dit te veralgemenen tot willekeurige inertiele waarnemers die op t = t′ = 0 samenvallen.We noemen daarom 2-2.9 een lorentz-invariant : als twee inertiele waarnemers, die op t = t′ = 0samenvallen, aan een gebeurtenis E de coordinaten (t, x, y, z), resp. (t′, x′, y′, z′) toekennen, dangeldt dat

−t2 + x2 + y2 + z2 = −t′2 + x′2

+ y′2

+ z′2

(2-2.10)

We beschouwen vervolgens waarnemers A en A′, waarvan de wereldlijnen niet noodzakelijk snijdenop t = t′ = 0, en die aan twee gebeurtenissen E1 en E2 coordinaten (t1, x1, y1, z1), (t2, x2, y2, z2)resp. (t′1, x′1, y′1, z

′1) en t′2, x′2, y′2, z

′2 toekennen. Door middel van translaties van de oorsprong

zijn deze waarnemers te associeren met waarnemers A1 en A2, die aan E1 en E2 de coordinaten(0, 0, 0, 0), t2 − t1, x2 −x1, y2 − y1, z2 − z1 resp. (0, 0, 0, 0) en (t′2 − t′1, x′2 −x′1, y′2 − y′1, z

′2 − z′1)

toekennen, zodat t.g.v. voorgaande opmerking

− (t2 − t1)2 + (x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2

= −(t′2 − t′1)2 + (x′2 − x′1)

2 + (y′2 − y′1)2 + (z′2 − z′1)

2(2-2.11)

een invariant is voor alle inertiele waarnemers.De invariant 2-2.11 heeft dus een duidelijke fysische betekenis:

de eigentijd ∆τ verlopen tussen de gebeurtenissen E1 en E2 is precies de tijd aangeduid doorde klok van een inertiele waarnemer F (die zijn klok zo heeft afgesteld dat t = 0 in E1) op hetogenblik dat hij samenvalt met E2:

∆τ2 = ∆t′2

= ∆t2 − ∆x2 − ∆y2 − ∆z2 (2-2.12)


2-3 Minkowski-diagrammen

Uit vorige paragraaf volgt dat het oppervlak

−t2 + x2 + y2 + z2 = 0 (2-3.1)

een belangrijke rol speelt in de beperkte relativiteitstheorie. Dit is de zgn. lichtkegel in de oorsprongO en is de verzameling van de punten die uit O bereikbaar zijn m.b.v. lichtsignalen (immers lichtheeft snelheid 1, zodat t = (x2 + y2 + z2)1/2). We stellen de lichtkegel gewoonlijk voor door 1dimensie weg te laten: Noteer dat de raaklijnen aan de wereldlijnen van testdeeltjes steeds eenhoek < 45o maken met de t-as (want |v| < 1)! Een nog eenvoudiger voorstelling bekomen we

Oy

t

x

wereldlijn van eendeeltje (m o) door OK

Figuur 2.3: lichtkegel

door twee dimensies weg te laten. De resulterende ‘1+1 dimensionale minkowski-diagrammen’ zijndikwijls nuttig om causale verbanden te illustreren: Voor de waarnemer F (t, x) volgen de drie

t

t’

E1

E2x’

x

E3

Figuur 2.4: 1+1 minkowski- diagram

2-3. MINKOWSKI-DIAGRAMMEN 57

t

t’

l’l’ > l

x’

xl

t

t’

l’

l’ < l ?

x’

x

l

Figuur 2.5: staaf (lengte l) is in rust t.o.v. waarnemer A′

gebeurtenissen E1, E2 en E3 op de gebeurtenis O. Voor de waarnemer F ′ (t′, x′) gaat E3

echter aan O vooraf. Er bestaat dus geen causaal verband tussen O en E3 (of O en E2), maarwel tussen O en E1: hoe snel F ′ zich ook beweegt, steeds zal E1 zich binnen de zgn. toekomstigelichtkegel van O bevinden. We zeggen daarom dat O causaal aan E1 voorafgaat, dat E1 in decausale toekomst van O ligt, of dat O in het causaal verleden van E1 ligt (dat OE2

1 < 0 is duidelijkeen invariante uitspraak).Enige voorzichtigheid bij het ‘lezen’ van minkowski-diagrammen is wel nodig. Bekijk b.v. deinconsistentie die ontstaat bij de volgende ‘aanschouwelijke’ voorstelling van de fitzgerald-lorentz-contractie: (waarnemer A′ beweegt met snelheid v t.o.v. waarnemer A). Figuur 2.5 (a) suggereert(terecht trouwens) dat l < l′. Figuur 2.5 (b) (getekend vanuit het gezichtspunt van A′) daarentegensuggereert dat l′ < l! De oorzaak is te zoeken in het feit dat de standaard metrische relaties van onsblad papier geen correcte weergave leveren van de pseudo-metrische relaties in de minkowski-ruimte.

Om uit beide diagrammen de correcte conclusie te trekken, moeten zowel l als l′ in elke figuurvergeleken worden met de lengtes van de eenheidsvectoren ex en ex

′: deze zijn te bekomen door de


doorsnede te bepalen van de hyperbolen x2 − t2 = x′2 − t′2 = 1 met de rechten t = 0 resp. t′ = 0.

Figuur 2.6: correcte interpretatie

In beide diagrammen vinden we dan dat l/OA = 1 < l′/OA′.

Er wordt soms beweerd dat de beperkte relativiteitstheorie zich enkel zou lenen tot de beschrij-ving van waarnemingen voor onderling eenparig bewegende waarnemers. Dit is echter niet hetgeval! Bekijk b.v. een deeltje dat zich met veranderlijke snelheid v = dx

dt verplaatst langs de x-asvan een inertiele waarnemer F . We definieren3 dan de eigentijd, gemeten door een klok die methet deeltje meebeweegt, door de voorwaarde dat deze klok op elk tijdstip P ‘even snel tikt’ als deklok van een inertiele waarnemer F ′ die in P met het deeltje ogenblikkelijk meebeweegt:

3dat een ideale fysische klok gehoorzaamt aan deze eigenschap en dus ongevoelig is voor de lokale versnelling iseen ver-reikende hypothese, waarvan de draagwijdte pas in volgend hoofdstuk zal duidelijk worden; we beklemtonen’ideale’, aangezien echte klokken wel degelijk gevoelig zijn voor lokale versnellingen (dit laatste is echter eerder eentechnisch dan een fysisch probleem!)

2-3. MINKOWSKI-DIAGRAMMEN 59

P

t

Wereldlijn van een niet-éénparigbewegend deeltje

Wereldlijn van een waarnemer voorwie het deeltje ogenblikkelijk in rust is in P

x

Figuur 2.7:

We stellen dus dτdt′ = 1, zodat m.b.v. 2-2.12

dτ

dt=dτ

dt′dt′

dt= (1 − v2)1/2 (2-3.2)

en we definieren tenslotte de versnelling jP van het deeltje in P door

jP =d2x′

dt′2|P =

dv′

dt′|P (2-3.3)

Om jP uit te drukken in functie van v en zijn afgeleiden naar t is enige voorzichtigheid nodig:we voeren eerst een inertiele waarnemer F ′′ in, die met snelheid w beweegt t.o.v. F en voorwie het deeltje beweegt met veranderlijke snelheid v′′ = dx′′

dt′′ . Dan is v = dxdt = v′′+w

1+v′′w en dusdvdt = (1−w2)

(1+v′′w)2dv′′

dt′′dt′′

dt . Laten we F ′′en F ′ samenvallen in P , dan is v′′ = v′ = 0 en dv′′

dt′′ = dv′

dt′ = jP ,

zodat (in P )dv

dt= (1 − v2)j(1 − v2)1/2

en dus

j =d

dt

(

v

(1 − v2)1/2

)

(2-3.4)

Mits invoering van de vier-snelheid (zie ook paragraaf 2.5) u door ui = dxi

dτ = vi dtdτ (zodat uiui =

−1), laat deze uitdrukking zich in het algemeen herschrijven als

jα =duα

dt= aα dτ

dt, (2-3.5)

waarbij ai = ui,ju

j = dui

dτ de componenten zijn van de relativistische versnellingsvector. M.a.w. ergeldt (vergelijk ook met uα = γvα)

aα = γjα. (2-3.6)


Oefening: toon aan dat een deeltje, dat vanuit rust vertrekt in (t = 0, x = 0) en dat onderhevigis aan een constante versnelling j, voldoet aan

t =1

jsinh(jτ)

x =1

j(cosh(jτ) − 1) (2-3.7)

en dus nooit sneller zal bewegen dan het licht! Noteer echter wel dat dit niet impliceert dat

X

t

Figuur 2.8:

lichtsignalen dit deeltje steeds kunnen ‘inhalen’: i.h.b. kan vanuit het gearceerde deel van defiguur geen communicatie naar het deeltje plaats hebben! We noemen de rechte t = x + 1/jdaarom een event horizon4.

4zie ook Hoofdstuk 7-4

2-4. MINKOWSKI-METRIEK 61

2-4 Minkowski-metriek

We keren opnieuw terug naar 2-2, waar we aantoonden dat in de omgeving van elk punt O opinvariante wijze een afbeelding Φ : M → R kan gedefinieerd worden, door voor een willekeuriginertieel referentiestelsel Φ(t, x, y, z) te bepalen als5

Φ(t, x, y, z) = −t2 + x2 + y2 + z2 (2-4.1)

Deze afbeelding voldoet (voor een willekeurig referentiestelsel xi) aan

∂Φ

∂xi|0 = 0 (2-4.2)

en laat toe een bilineaire afbeelding g te construeren

g : T 20 (M) × T 2

0 (M) → R : (u,v) 7→ g(u,v) =1

2

∂2Φ

∂xi∂xjuivj (2-4.3)

Oefening: toon aan, m.b.v. 2-4.2, dat deze definitie onafhankelijk is van het gebruikte referentie-stelsel.

Kiezen we i.h.b. inertiele coordinaten t, x, y en z, dan reduceert 2-4.3 zich tot

g(u,v) = ηijuivj (2-4.4)

met

η =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(2-4.5)

zodat g duidelijk een lorentz-metriek is (zie 1-11). We noemen g de minkowski-metrische tensorof de minkowski-metriek. In inertiele coordinaten xi geldt dus

g = ηijdxi ⊗ dxj (2-4.6)

wat ook genoteerd wordt (zie 1-11.5) als

ds2 = ηijdxidxj (2-4.7)

(Het linkerlid wordt in overeenstemming met 2-2.12 vaak ook genoteerd als −dτ2).M.b.v. de minkowski-metriek kunnen vectoren x ingedeeld worden in de klassen van tijd-achtige,

ruimte-achtige en nul vectoren, al naargelang x.x < 0, > 0 of = 0.Een belangrijke vector is de (vier-)snelheid u van een deeltje met wereldlijn gegeven door xi =

xi(τ). Deze vector heeft componenten ui = dxi

dτ , met dτ = dt√

1 − v2, v2 = |~v|2 en ~v = (dxdt ,

dydt ,

dzdt )

(τ is dan de eigentijd langs de wereldlijn van het deeltje).

In wat voorafging hebben we de metrische structuur van de minkowski-ruimte-tijd gededuceerduit de (fysische) postulaten van de beperkte relativiteitstheorie. Cruciaal hierbij was de rol diewerd gespeeld door de bijzondere klasse van inertiele waarnemers, die toelieten om de functie Φ tebepalen.

Een alternatieve, meer mathematische, benadering bestaat erin de lorentz-transformaties enhet bestaan van de klasse van inertiele waarnemers te deduceren uit de volgende postulaten:

5sommige auteurs noemen Φ de wereldfunctie


1. De minkowski-ruimte-tijd (M, g) is een 4-dimensionale differentiaalvarieteit, voorzien vaneen vlakke lorentz-metriek g (i.e. ∇cgab = 0 en Ra

bcd = 0).

2. Langs elke (!) tijd-achtige kromme is een parameter τ gedefinieerd door dτ2 = −gijdxidxj .

Deze parameter is de eigentijd, gemeten door ideale klokken die langs deze krommen bewegen.

3. In (M, g) bestaan twee gepriviligieerde klassen van krommen: dit zijn de tijd-achtige geode-ten (de ‘wereldlijnen van vrije, massieve, deeltjes’) en anderzijds de nul-geodeten (de ‘wereld-lijnen van fotonen’).

Er bestaan dan steeds lokale coordinaten waarin gij = ηij en waarin deze bijzondere wereldlijnengegeven zijn door x0 = t, xα = vαt + aα, met aα en vα (α = 1, 2, 3) constanten en metv2 =

∑

α(vα)2 < 1 of = 1.We kunnen vervolgens aantonen dat de isomorfismen van de minkowski-ruimte-tijd precies

gegeven zijn door de inhomogene lorentz-transformaties. Het klassieke bewijs verloopt alsvolgt:invariantie van ηijdx

idxj onder de gezochte coordinaattransformaties xi′ = xi′(xj) betekent dat

ηi′j′

∂xi′

∂xl

∂xj ′

∂xm= ηlm

Partieel afleiden van deze betrekking naar xn, levert na cyclisch permuteren van l, m en n en hetnemen van enkele lineaire combinaties, dat

ηi′j′

∂2xi′

∂xn∂xl

∂xj ′

∂xm= 0

Onderstellen we dat de jacobiaan van de transformatie verschillend van 0 is, dan reduceert dit zich

tot ∂2xi′

∂xn∂xl = 0, zodat constanten Li′j en ai′ bestaan waarvoor xi′ = Li′

jxj +ai′ of xi = Li

j′xj′

+bi.

De fysische betekenis van de coefficienten volgt door een referentiestelsel (xα′

, t′) te beschouwen,waarin een deeltje, dat met snelheid ~v beweegt t.o.v. (xα, t),in rust is: dan is dt = L0

0′dt′ endxα = Lα

0′dt′, zodat L00′ = γ en Lα

0′ = γvα.Een ‘moderner’ bewijs bestaat erin eerst de generatoren van deze isomorfismen te zoeken,

namelijk de oplossingen van de killing-vergelijkingen X(i,j) = 0 in de minkowski-ruimte-tijd.Oefening: Toon aan dat de oplossingen van deze vergelijkingen gegeven worden door

X0 = −X0 =a1x1 + a2x

2 + a3x3 + c0

X1 = X1 =a1x0 + b1x

2 − b3x3 + c1

X2 = X2 =a2x0 + b2x

3 − b1x1 + c2

X3 = X3 =a3x0 + b3x

1 − b2x2 + c3

met ai, bi en ci constanten.De killing-vectoren van de minkowski-ruimte-tijd liggen bijgevolg in de opspanning van de

volgende 10 vectoren:

T =∂

∂x0

Sα =∂

∂xα

Rα =ǫαβγ(xβ ∂

∂xγ− xγ ∂

∂xβ)

Bα = − x0 ∂

∂xα− xα ∂

∂x0(2-4.8)

2-4. MINKOWSKI-METRIEK 63

Elk van deze vectoren genereert een isomorfisme φt (in de notatie van 1-8), dat we nu noteren alsT , Sα, Rα en Bα. We bepalen deze isomorfismen m.b.v. de methode besproken in 1-8.

(1) Voor T lossen we eerst dy0/dλ = 1, dyα/dλ = 0 op onder de beginvoorwaarden yi(0) = Xi (Xi

zijn de coordinaten van een gegeven punt P ) en vinden y0(λ) = λ +X0 en yα(λ) = Xα. Hieruitvolgt dat

T (P (X0, Xα)) = P ′(X0 + λ, Xα)

Bijgevolg is T een tijdstranslatie.

(2) Analoog zijn Sα de drie ruimtelijke translaties.

(3) We bekijken b.v. R3: oplossen van dy1/dλ = −y2, dy2/dλ = y1, dy0/dλ = dy3/dλ = 0 geeft,onder dezelfde beginvoorwaarden als hierboven, y1 = X1 cosλ−X2 sinλ, y2 = X1 sinλ+X2 cosλ,y3 = X3, y0 = X0. Bijgevolg geldt dat

R3(P (X0, Xα)) = P ′(X0,X1 cosλ−X2 sinλ,X1 sinλ+X2 cosλ,X3)

zodat R3 een rotatie voorstelt in het (1, 2)-vlak, en analoog voor R1 en R2.

(4) Bekijken we tenslotte B1: oplossen van dy0/dλ = −y1, dy1/dλ = −y0, dy2/dλ = dy3/dλ = 0geeft y0 = X0 coshλ−X1 sinhλ, y1 = −X0 sinhλ+X1 coshλ, y2 = X2, y3 = X3, zodat

B1(P (X0, Xα)) = P ′(X0 coshλ−X1 sinhλ,−X0 sinhλ+X1 coshλ,X2,X3)

Dit zijn precies de lorentz-transformaties 2-2.6 (of boosts langs de x-as), want met v = tanhλ isγ = 1/

√1 − v2 = coshλ, zodat inderdaad X0′

= γ(X0 −X1v) en X1′

= γ(X1 −X0v).

De verzameling van alle lorentz-transformaties heeft duidelijk een groepsstructuur, voor ai 6= 0de poincare-groep of de inhomogene lorentz-groep genoemd. Voor ai = 0 bekomen we de homogenelorentz-groep. Een deelgroep hiervan, de eigenlijke lorentz-groep genoemd, wordt gevormd doordie matrices Li′

j waarvoor detLi′j = +1 en L0′

0 ≥ 1 (noteer dat −1 = η00 = ηi′j′Li′0L

j′

0 im-

pliceert dat (L0′

0)2 = 1+

∑3α′=1(L

α′

0)2 ≥ 1). Deze eigenlijke lorentz-transformaties zijn volkomen

gekarakteriseerd door het feit dat ze (1) orientatie behoudend zijn en (2) toekomst gerichte vec-toren afbeelden op toekomst gerichte vectoren: u.Lu < 0 voor alle tijd-achtige u. Eigenlijkelorentz-transformaties die de tijdsas behouden (Le0 = e0) vormen precies de speciale rotatiegroepSO(3, R). Alle andere eigenlijke lorentz-transformaties zijn producten van een boost en eendergelijke rotatie. Voor twee gegeven lorentz-tetrads (e0, eα) en (e0′′ , eα′′) kunnen we immerseerst e0 op e0′′ afbeelden d.m.v. een boost, om vervolgens het tetrad (e0′′ , eα′) d.m.v. een rotatieaf te beelden op (e0′′ , eα′′).

N.B. In al wat voorafging werd stilzwijgend aangenomen dat de globale topologie van deminkowski-ruimte-tijd gegeven is door de standaardtopologie van R

4. Identificeren we hierin echterb.v. de t = ±1 hypervlakken, dan ontstaat een lokaal equivalente ruimte-tijd, die we de minkowski-cilinder noemen, maar waarin gesloten tijd-achtige krommen (met alle erbij horende paradoxaletoestanden) voorkomen: in de minkowski-cilinder omvat zowel de toekomstige als de verledenlichtkegel van elk punt de ganse ruimte-tijd!

Oefeningen: bewijs de volgende eigenschappen


• Twee nul-vectoren zijn parallel als en slechts als ze orthogonaal zijn.

Vraagje: hoe verklaren we dan het 1+1-diagram van figuur 2.9, waarin de vectoren k = e0+e1

en l = e0 − e1 duidelijk niet parallel zijn?

Figuur 2.9: twee niet-parallelle nulvectoren

• Twee ruimte-achtige vectoren zijn nooit tegelijk parallel en orthogonaal.

• Twee tijd-achtige vectoren zijn nooit orthogonaal.

• Een ruimte-achtige vector en een nul-vector kunnen wel orthogonaal zijn, maar nooit parallel.

• Een tijd-achtige vector en een nul-vector kunnen noch parallel, noch orthogonaal zijn.

2-5. RELATIVISTISCHE MECHANICA 65

2-5 Relativistische Mechanica

2-5.1 Inleiding

Bekijken we eerst de beweging van een deeltje met rustmassa m0 en snelheid

u =(1, ~v)√1 − v2

(2-5.1)

Vermits m0 een invariant is, isp = m0u (2-5.2)

een vector, die we het impuls noemen. De projectie van deze vector in de 3-dimensionale rustruimtevan de waarnemer,

~p =m0√1 − v2

~v (2-5.3)

noemen we het 3-impuls en

m (of E) = p0 =m0√1 − v2

(2-5.4)

de relativistische massa of energie. Deze terminologie komt niet uit de lucht vallen, want ~p treedtop in een behoudswet, die precies overeenkomt met de wet van behoud van impuls in de klassiekemechanica. De bewegingsvergelijkingen voor een deeltje zijn immers af te leiden (zie 1-11) uit eenactiebeginsel met actie S gedefinieerd door

S = −∫ τ2

τ1

m0 dτ (2-5.5)

of (vermits dτ2 = (1 − v2)dt2)

S =

∫ t2

t1

Ldt

met L = −m0(1 − v2)1/2. Voor een bepaalde waarnemer is de relativistische mechanica van eensysteem van niet-interagerende deeltjes dus niets anders dan de klassieke mechanica van een stelseldeeltjes met lagrangiaan

L = −∑

n

m0(n)(1 − v2(n))

1/2 (2-5.6)

Het canoniek 3-impuls van een dergelijk systeem wordt gegeven door

~p(n) =∂L

∂~v(n)

=m0(n)(1 − v2(n))

−1/2~v(n) = m(n)~v(n)

(2-5.7)

in overeenstemming met 2-5.3, terwijl de hamiltoniaan bekomen wordt als

H =∑

n

~p(n).~v(n) − L =∑

n

m(n) (2-5.8)

in overeenstemming met 2-5.4. Voor een systeem van niet-interagerende deeltjes (of voor eensysteem van deeltjes die interageren via ideale, gelocaliseerde, punt-interacties) reduceert de wetvan behoud van energie zich dus tot het behoud van relativistische massa, terwijl de invariantie


van de actie onder translaties resulteert in het behoud van het totale 3-impuls. Treden er welinteracties tussen de deeltjes op, dan zijn totale relativistische massa en totaal 3-impuls (zoalshierboven gedefinieerd) niet langer behouden grootheden. Beide behoudswetten zijn dan echterwel te veralgemenen door de invoering van de energie-impulstensor van het systeem (zie verder).

Definieren we vervolgens, in analogie met de klassieke mechanica, de relativistische kracht alsde vector

F = (F 0, ~F ) =dp

dτ(2-5.9)

dan bekomen we door projectie in de rustruimte van de waarnemer, wegens dtdτ = 1/

√1 − v2,

1√1 − v2

d

dt(m~v) = ~F (2-5.10)

Het analogon van de newtoniaanse 3-kracht ~f is dus niet ~F , maar wel

√

1 − v2 ~F = ~f (2-5.11)

Hieruit volgt dan ook het klassieke resultaat dat de arbeid, die nodig is om een deeltje in rust teversnellen tot een snelheid v, gegeven wordt door

∆E =

∫ x

0

f dx =

∫ t

0

fv dt =

∫ t

0

d

dt(mv)v dt

=

∫ v

0

v d[m0v(1 − v2)−1/2]

=m0[(1 − v2)−1/2 − 1] = m−m0

(2-5.12)

Noteren we tenslotte nog dat uit de invariantie van p2 en uit p = (m, ~p) volgt dat

m2 (of E2) = m20 +~p

2

(2-5.13)

(wat zich voor een foton, met m0 = 0, reduceert tot E = |~p|). Noteer ook dat de relativistischemassa (of energie) van een deeltje met impuls p, gemeten door een waarnemer met snelheid uobs,gegeven wordt door

E = −p.uobs (2-5.14)

(deze uitdrukking is immers een invariant, die zich in het ruststelsel van de waarnemer reduceerttot −p0u

0obs = −p0 = p0 = E).

2-5.2 Energie-impulstensor van een deeltjeswolk

We introduceren nu de zgn. energie-impulstensor door een wolk van niet-interagerende (of viapunt-interacties interagerende) deeltjes te bekijken, elk met rustmassa m0(n) en met impuls p(n).

Definieren we eerst de totale energie-impuls-dichtheid

T i0 =∑

n

pi(n)δ

3(~x− ~x(n)

(t)) (2-5.15)


evenals de flux van deze grootheid

T iα =∑

n

pi(n)

dxα(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-5.16)

en de deeltjesstroom

N i =∑

n

dxi(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-5.17)

waarbij ~x(n)

(t) de positievector is van het n-de deeltje en δ3 de 3-dimensionale dirac-distributie

(∫

R3 f(~x)δ3(~x− ~y) d3x = f(~y)). Beide uitdrukkingen 2-5.15 en 2-5.16 kunnen dan verenigd wordenin de definitie

T ij =∑

n

pi(n)

dxj(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-5.18)

Dan is, vermits pi(n)(t) = E(n)

dxi(n)

dt met E(n) = γ(n)m0(n), Tij = T ji:

T ij =∑

n

pi(n)p

j(n)

E(n)δ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-5.19)

Bovendien zijn T ij de componenten van een tensor, want

T ij =∑

n

∫ +∞

−∞pi

(n)(t)dxj

(n)

dτδ4(xk − xk

(n)(τ)) dτ (2-5.20)

en δ4(xk−xk(n)(τ)) = δ(t−τ)δ3(~x−~x

(n)(τ)) is een lorentz-invariant6. We noemen de symmetrische

tensor T = T ijei ⊗ ej de energie-impulstensor van de deeltjeswolk. Voor de deeltjesstroom geldtanaloog dat

N i =∑

n

∫ +∞

−∞

dxi(n)

dτδ4(xk − xk

(n)(τ)) dτ (2-5.21)

6onder een lineaire transformatie x′ = Λx is immers δ4(x′) = 1|detΛ|

δ4(x), met |detΛ| = 1 voor een lorentz-

transformatie


Vermits

∂T iα

∂xα=∑

n

pi(n)

dxα(n)

dt

∂

∂xαδ3(~x− ~x

(n)(t))

= −∑

n

pi(n)

dxα(n)

dt

∂

∂xα(n)δ3(~x− ~x

(n)(t))

= −∑

n

pi(n)

∂

∂tδ3(~x− ~x

(n)(t))

= − ∂

∂t

(

∑

n

pi(n)δ

3(~x− ~x(n)

(t))

)

+∑

n

∂pi(n)

∂tδ3(~x− ~x

(n)(t))

= − ∂

∂tT i0 +

∑

n

dpi(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t))

(2-5.22)

geldt∂T ij

∂xj= F i (2-5.23)

met

F i =∑

n

dpi(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t))

=∑

n

dτ

dtF i

(n)δ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-5.24)

de uitwendige krachtdichtheid (~F =∑

n~f

(n)δ3(~x − ~x

(n)(t))). Voor een geısoleerd stelsel is de

uitwendige kracht = 0, zodat we de behoudswetten

T ij,j = 0 (2-5.25)

bekomen.

2-5.3 Energie-impulstensor van een perfecte vloeistof

In de niet-relativistische hydrodynamica wordt de beweging van een perfecte vloeistof bepaald doorde continuıteitsvergelijking

∂ρ

∂t+ div(ρ~v) = 0 (2-5.26)

en uit de navier-stokes vergelijkingen

∂~v

∂t+ (~v.∇)~v = −1

ρ∇p+ ~f (2-5.27)

met ~f de uitwendige kracht, die we hier = 0 stellen. We onderstellen bovendien dat een toestands-vergelijking geldt, die van de vorm is

p = p(ρ) (2-5.28)


We gaan nu op zoek naar een stelsel van tensoriele vergelijkingen, dat zich in de limiet van kleinesnelheden en kleine drukken (v << 1 en p << ρ, zgn. normale omstandigheden) reduceert totbovenstaande vergelijkingen. Als eerste stap schrijven we 2-5.26 en 2-5.27 simultaan als

∂

∂t(ρvα) +

∂

∂xβ(ρvαv

β + pδαβ) = 0 (2-5.29)

of nog, met

tij =

[

ρ ρ~v

ρ~v ρ~v ⊗ ~v + pI3

]

(2-5.30)

(met I3 de eenheidsmatrix), als∂

∂xjtij = 0 (2-5.31)

Men kan nu aantonen, wat de transformatieregels voor de objecten p of ρ ook mogen zijn, dattij ∂

∂xi ⊗ ∂∂xj geen tensor is. De vorm van 2-5.30 suggereert echter de definitie van twee scalaire

invarianten p en ρ, namelijk de druk en dichtheid van de vloeistof zoals gemeten door een ogen-blikkelijk meebewegende inertiele waarnemer, evenals de definitie van een tensor T door

T = (p+ ρ)u ⊗ u + pη (2-5.32)

waarbij u = γ(1, ~v). Dan is

T ij =(p+ ρ)uiuj + pηij (2-5.33)

=

[

(ρ+ pv2)γ2 (ρ+ p)~vγ2

(ρ+ p)~vγ2 (ρ+ p)~v ⊗ ~vγ2 + pI3

]

(2-5.34)

Deze tensor T, die zich onder ‘normale omstandigheden’ inderdaad reduceert tot t, noemen wede energie-impulstensor van de perfecte vloeistof met druk p, dichtheid ρ en snelheid u. Noteerdat ook hier T een symmetrische tensor is en dat de tensorvergelijking die zich onder normaleomstandigheden reduceert tot 2-5.31 terug de vorm 2-5.25 aanneemt!

Het begrip energie-impulstensor is van zeer groot belang, o.a. omdat het in de algemenerelativiteit optreedt als bronterm voor de gravitatie in de Einstein veldvergelijkingen.Dat er een factor γ2 optreedt in b.v. T 00 is logisch: voor een waarnemer, die de vloeistof met

snelheid ~v ziet bewegen, neemt de energie in een volume-elementje toe met een factor γ, maaranderzijds zal voor deze waarnemer het volume-elementje, t.g.v. de fitzgerald-lorentz-contractie,in de bewegingsrichting ook krimpen met een factor γ. De grootheid ρ staat dus voor de energie-dichtheid (met inbegrip van de kinetische energie) van de vloeistof. De continuıteitsvergelijking zaldus behoud van energie uitdrukken, eerder dan behoud van deeltjesaantal.Men kan zich afvragen waarom in 2-5.33-2-5.34 geen andere coefficienten werden gekozen, waarmeehet resultaat zich onder normale omstandigheden eveneens zou kunnen reduceren tot de tensor t

(b.v. ρ+ 5p i.p.v. ρ+ p ...). Om hierop een antwoord te geven maken we even een ommetje ...Eerst voeren we op invariante wijze de deeltjesdichtheid n in, als de deeltjesdichtheid gemeten

door een ogenblikkelijk met de vloeistof meebewegende inertiele waarnemer. Voor een perfectevloeistof definieren we dan de deeltjesstroom als de vector

N = nu (2-5.35)


In elk referentiestelsel waarvoor Nα = 0 geldt dan Tα0 = 0; in het algemeen — t.t.z. voorniet-perfecte vloeistoffen — kan echter een netto energie-impulsstroom optreden zelfs zonder nettodeeltjestransport.Voor een perfecte vloeistof wordt verder gepostuleerd dat

∂N i

∂xi= 0 (2-5.36)

wat zich, in normale omstandigheden, reduceert tot ∂n∂t + div(n~v) = 0.

We herschrijven nu 2-5.25 als

((p+ ρ)uj),jui + (p+ ρ)ujui

,j + p,jηij = 0 (2-5.37)

Partieel afleiden van uiui = −1 geeft ui,jui = 0, zodat contractie van 2-5.37 met ui resulteert in

−((p+ ρ)uj),j + p,juj = 0 (2-5.38)

i.e.

−(p+ ρ

nN j),j + p,ju

j = 0 (2-5.39)

of, m.b.v. 2-5.36

−N j(p+ ρ

n),j + p,ju

j = N j((ρ

n),j + p(

1

n),j) = 0 (2-5.40)

Met V = 1/n het specifiek volume en e = ρ/n de specifieke inwendige energie, herschrijven wedeze laatste betrekking als

uj(e,j + pV,j) = 0 (2-5.41)

Volgens de tweede hoofdwet van de thermodynamica, kTds = de+pdV , volgt dan dat de specifiekeentropie constant is langs de stroomlijnen van een perfecte vloeistof:

uj ∂s

∂xj= 0 (2-5.42)

Als we in de definitie van de energie-impulstensor andere coefficienten hadden gekozen voor dep-bijdragen, dan was in deze laatste paragraaf een conflict ontstaan met deeltjesbehoud of met detweede hoofdwet!Merk tenslotte nog op dat 1-10.11 kan herschreven worden als

ρ+ (ρ+ p)Θ = 0 (2-5.43)

met ρ = ρjuj en met Θ = ui

,i de zgn. volume-expansie. Substitutie hiervan in 2-5.37 geeft deruimtelijke componenten van de drukgradient als

p,α + (ρ+ p)aα = 0. (2-5.44)

De betekenis van de scalair Θ is in te zien door een basis X1,X2,X3 te beschouwen die met eeninfinitesimaal klein vloeistof-elementje wordt meegesleept: voor elk van deze basisvectoren geldtdan LuX = 0 en dus Xi = Xi,ju

j = ui,jXj of X = BX met Bαβ = uα,β . Introduceren we de

matrix A = [X1,X2,X3] dan isA = BA (2-5.45)


zodat

Θ = tr(B) = tr(AA−1) =1

detA(detA) =

V

V, (2-5.46)

met V het volume van het beschouwde vloeistof-elementje. Andere —o.a. voor de kosmologiebelangrijke— zgn. kinematische grootheden die we aan de vloeistofstroom associeren, zijn deshear -tensor

σαβ = B(αβ) −1

3Θηαβ (2-5.47)

en de vorticity-tensor

ωαβ = B[αβ]. (2-5.48)

2-5.4 Behoudswetten en energievoorwaarden

We leggen nu een verband tussen de grootheden∑

n ~p(n) en∑

nm(n) uit paragraaf 2-5.1 en degrootheden p en ρ uit paragraaf 2-5.3 en bekijken daartoe een perfecte vloeistof als de limiet vaneen deeltjeswolk.

Identificeren we de hierboven bekomen energie-impulstensor van een deeltjeswolk met deze vaneen perfecte vloeistof, dan vinden we

T ii = −ρ+ 3p =

∑

n

pi(n)pi(n)

E(n)δ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-5.49)

en

T ijuiuj = ρ =∑

n

(pi(n)ui)

2

E(n)δ3(~x− ~x

(n)(t))

=∑

n

E(n)δ3(~x− ~x

(n)(t))

(2-5.50)

Uit beide betrekkingen volgt nog, gebruik makend van p2(n) = −E2

(n) +~p2

(n),

p =1

3

∑

n

~p2

(n)

E(n)δ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-5.51)

en dus, vermits ~p2

(n)< E(n)

2,

0 ≤ p ≤ 1

3ρ (2-5.52)

Twee bijzondere gevallen van 2-5.51 zijn het vermelden waard.Voor een koud, weinig-relativistisch gas is

E(n) =(m20(n) +~p

2

(n))1/2

≈m0(n) +1

2

~p2

(n)

m0(n).

(2-5.53)


M.a.w. voor een koud, weinig-relativistisch gas geldt

ρ ≈ ρ0 +3

2p (2-5.54)

terwijl voor een heet, extreem relativistisch gas E(n) ≈ (~p2

(n))1/2 en dus

ρ ≈ 3p (2-5.55)

Bij normale omstandigheden is in 2-5.54 de term 32p te verwaarlozen t.o.v. de rustmassadichtheid

ρ0, zodat we (voor identieke deeltjes) het klassieke resultaat ρ ≈ nm0 vinden. Grote drukkenzijn echter in staat om een significante bijdrage te leveren tot de energie-dichtheid (en dus tot hetgewicht!). Vandaar dat b.v. zware sterren niet zonder meer in evenwicht te houden zijn door deinwendige druk onbeperkt op te drijven; we komen hier later nog op terug.

De voorwaarden 2-5.52 zijn erg sterk: ze werden hier afgeleid voor een zeer eenvoudig gasmodel.Voor meer realistische materieverdelingen zijn ze niet noodzakelijk geldig (de concepten ‘druk’ en‘dichtheid’ verliezen dan trouwens ook hun betekenis).

Essentieel voor meer complexe materiemodellen is echter dat de totale energie-impuls verdelingaltijd beschreven wordt door een symmetrische tensor T ij die voldoet aan de behoudswetten T ij

,j =07. In paragraaf 2-6.3 tonen we dit nogmaals aan voor een wolk van geladen testdeeltjes, dieonderling interageren via de lorentz-krachten. Aan elke dergelijke tensor is dan in een vlakke ruimteeen behouden vectoriele grootheid gekoppeld, het (veralgemeend) totaal impuls met componenten

P i =

∫

t=const

T i0 d3x (2-5.56)

en gehoorzamend aandP

dt= 0 (2-5.57)

Immers

dP i

dt=∂

∂t

∫

t=const

T i0 d3x

= −∫

t=const

∑

α

∂T iα

∂xαd3x

=0

(2-5.58)

door toepassing van de wet van Gauss en onder de aanname dat het systeem begrensd is. E = P 0

en de vector ~P met componenten Pα zijn dan de veralgemeningen van de in 2-5.1 geıntroduceerde

behouden grootheden ‘totale energie’ en ‘totaal drie-impuls’. Expliciete berekening van E en ~Pvoor de in paragraaf 2-5.2 beschouwde wolk van niet-interagerende deeltjes, levert trouwens preciesde uitdrukkingen 2-5.7 en 2-5.8 op.

7In de veldentheorie wordt hieraan automatisch voldaan door T ij te definieren a.d.h.v. een gepast variationeelbeginsel


Vermelden we tenslotte een aantal voorwaarden, waarvan algemeen wordt aangenomen dat ookmeer complexe energie-impulstensoren er aan voldoen.8

De eerste twee voorwaarden beperken de grootte van mogelijke negatieve drukken:

• De zwakke energievoorwaarde stelt dat de lokaal gemeten T 00 component nooit negatief magzijn: Voor alle tijdachtige ξ is Tabξ

aξb ≥ 0.

Voor het bijzonder geval van een perfecte vloeistof (2-5.33) en met ξ2 = −1 is Tabξaξb =

(p+ ρ)(uaξa)2 − p. Aangezien uaξa ≤ −1 ( want ξ02

= 1 +∑

α ξα2) impliceert dit dat ρ ≥ 0

en ρ+ p ≥ 0.

• De sterke energievoorwaarde stelt dat voor alle tijdachtige ξ met ξ2 = −1 geldt

(Tab −1

2ηabT )ξaξb ≥ 0.

Voor een perfecte vloeistof wordt deze voorwaarde (p + ρ)(uaξa)2 ≥ 1

2 (ρ − p), waar aanvoldaan is voor alle ξ met ξ2 = −1 als ρ+ 3p ≥ 0 en ρ+ p ≥ 0.

• Tenslotte drukt de dominante energievoorwaarde uit dat de lokaal gemeten energie-impuls-stromen niet sneller dan het licht bewegen:

voor elke tijdachtige en toekomstgerichte ξ (i.e. ξ0 > 0) is de waargenomen energie-impulsflux−T a

bξb tijdachtig of nul en toekomstig gericht.

Voor perfecte vloeistoffen reduceert deze voorwaarde zich tot ρ ≥ |p|. Is p = ρ dan sprekenwe van een ”stijve vloeistof”. Perturbatieanalyse toont aan dat kleine perturbaties zich in

een vloeistof voortbewegen met de “geluidssnelheid” cs =(

∂p∂ρ

)1/2

. Voor een stijve vloeistof

is de geluidssnelheid dus maximaal: cs = 1.

8afwijkingen van deze voorwaarden kunnen optreden onder zeer extreme situaties, b.v. wanneer quantum effectenniet langer te verwaarlozen zijn


2-6 Electrodynamica

2-6.1 Algemeenheden

Beschouwen we een electromagnetisch veld in vacuum: de maxwellvergelijkingen 2-1.1 reducerenzich (met c = 1) voor een willekeurige inertiele waarnemer tot

∇.~E =4πρ (2-6.1)

∇× ~H =∂~E

∂t+ 4π~j (2-6.2)

∇. ~H =0 (2-6.3)

∇× ~E = − ∂ ~H

∂t(2-6.4)

en een testlading e ondergaat in dit electromagnetisch veld een kracht

~f = e(~E + ~v × ~H) (2-6.5)

In hoofdstuk 1 (zie p. 41) hebben we al gezien dat het paar vergelijkingen (2-6.3, 2-6.4) teschrijven is als

dF = 0 (2-6.6)

met

F = H + E ∧ dt. (2-6.7)

De componenten van de 2-vorm

F =1

2Fijdx

i ∧ dxj (2-6.8)

(de maxwell-2-vorm van het electromagnetisch veld genoemd of de electromagnetische veldtensor)worden dan met x0 = t voluit gegeven door de matrix

Fij =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 H3 −H2

E2 −H3 0 H1

E3 H2 −H1 0

. (2-6.9)

Hiermee corresponderen de matrices F ij = ηikηjmFkm en F ij = ηikFkj :

F ij =

0 E1 E2 E3

E1 0 H3 −H2

E2 −H3 0 H1

E3 H2 −H1 0

(2-6.10)

F ij =

0 E1 E2 E3

−E1 0 H3 −H2

−E2 −H3 0 H1

−E3 H2 −H1 0

. (2-6.11)

2-6. ELECTRODYNAMICA 75

Dit is een meevaller, want op die manier is9 2-6.5 te herschrijven als

dpα

dτ= e(u0Eα + (~u× ~H)α)

en dusdpα

dτ= eFα

juj (2-6.12)

Anderzijds isdp0

dτ= γ

dp0

dt= γ

dE

dt= γ~f.~v = γe(~E + ~v × ~H).~v

ofdp0

dτ= eF 0

juj , (2-6.13)

zodat beide vergelijkingen 2-6.12 en 2-6.13 simultaan te schrijven zijn als

dpi

dτ= eF i

juj (2-6.14)

Merken we tenslotte nog op dat ook het eerste paar maxwellvergelijkingen in een zeer eenvoudigevorm te schrijven is, door gebruik te maken van de hodge-duale 2-vorm ∗F. Definieren we immersde stroomdichtheid J als de 1-vorm

J = j − ρdt (2-6.15)

dan reduceren 2-6.1 en 2-6.2 zich tot∗d ∗ F = 4πJ (2-6.16)

Noteer dat de corresponderende vector J voldoet aan de behoudswet J i,i = 0, terwijl het feit dat

dF = 0, ofF[ij,k] = 0 (2-6.17)

betekent dat, volgens de poincarestelling, lokaal een 1-vorm A bestaat, de electromagnetischepotentiaal genoemd, waarvoor

F = dA (2-6.18)

ofFij = 2A[j,i] = Aj,i −Ai,j (2-6.19)

Uitschrijven van deze betrekkingen toont enerzijds dat Eα = −F0α = −Aα,0 +A0,α en dus, met

~A = Aα ∂

∂xαen φ = A0 (2-6.20)

dat

~E +∂~A

∂t= −∇φ (2-6.21)

terwijl anderzijds b.v. H1 = F23 = ∂2A3 − ∂3A2 = (∇× ~A)1, zodat

~H = ∇× ~A (2-6.22)

9aangezien nu dpα/dτ = Fα = γfα (α = 1, 2, 3) en u = γ(1,~v)


Beide betrekkingen hadden we natuurlijk ook, zoals bekend, rechtstreeks uit de maxwellvergelij-kingen zelf kunnen afleiden.

Merken we tenslotte nog op dat A slechts op een totale differentiaal dϕ na bepaald is, aangezienF = d(A+ dϕ) en dat een willekeurige waarnemer met snelheid u in een electromagnetisch veld F

een electrisch veld ~E en een magnetisch veld ~H zal waarnemen, met

Ei = F ijuj en Hi = ∗F ijuj (2-6.23)

zoals gemakkelijk te verifieren valt door ui = −δ0i te kiezen.

2-6.2 Electromagnetische golven

We herschrijven de maxwellvergelijkingen in functie van de electromagnetische potentiaal: substi-tutie van 2-6.19 in 2-6.16 levert

∂j∂jAi − ∂j∂iAj = −4πJi (2-6.24)

De tweede term in het linkerlid kunnen we = 0 maken door de gradient van een gepaste scalairefunctie ϕ bij A op te tellen zo dat

∂jAj = 0 (2-6.25)

We noemen een dergelijk vastleggen van de functie ϕ een keuze van de ijk. In het bijzonder noemenwe de ijkkeuze waarvoor 2-6.25 geldt de zgn. lorentz-ijk.

In de lorentz-ijk reduceren de maxwellvergelijkingen zich tot de eenvoudiger gedaante

Ai ≡ ∂j∂jAi = −4πJi (2-6.26)

Voor een vrij maxwell-veld, i.e. J = 0, ligt het dan voor de hand om golf oplossingen te zoekenvan de vorm

A = C expiS (2-6.27)

met C een constant vectorveld en met S de zgn. fase van de golf. De fase moet dan voldoen aan

S =0 (2-6.28)

(∇S)2 ≡∂jS∂jS = 0 (2-6.29)

Cj∂jS =0 (2-6.30)

Stellen we k = ∇S = de normaal op de oppervlakken van constante fase, dan betekent 2-6.29dat k een nul-vector is, de zgn. propagatievector. De constante-fase oppervlakken zijn dus nul-hyperoppervlakken.

Een waarnemer met snelheid u (u2 = −1) zal de fase zien veranderen met een snelheid dS/dτ .Deze snelheid is wat we de frequentie noemen van de golf:

ω = − dS

dτ= −∂jSu

j

= − ujkj

(2-6.31)

Belangrijke bijzondere oplossingen van 2-6.28-2-6.30 zijn de zgn. vlakke golven, met S =∑3

i=0 kixi

en ki constanten waarvoor −k02 + k1

2 + k22 + k3

2 = 0.


2-6.3 Energie-impulstensor

Net zoals in 2-5 beschouwen we nu opnieuw een wolk puntdeeltjes, maar voorzien elk deeltje vaneen lading e(n). We definieren dan de ladingsdichtheid en de stroomdichtheid als

ρ =∑

n

e(n)δ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-6.32)

~j =∑

n

e(n)

d~x(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-6.33)

Beide begrippen zijn te verenigen in de (vier-)stroomdichtheid J met

J i =∑

n

e(n)

dxi(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t))

=∑

n

∫ +∞

−∞e(n)u

i(n)δ

4(xk − xk(n)(τ)) dτ

(2-6.34)

De vector J voldoet aan de behoudswet∂Jk

∂xk= o (2-6.35)

Immers

∂αjα =

∑

n

e(n)∂α

(

δ3(~x− ~x(n)

(t)) dxα

(n)

dt

= −∑

n

e(n)∂

∂xα(n)

(

δ3(~x− ~x(n)

(t)) dxα

(n)

dt

= −∑

n

e(n)∂

∂t

(

δ3(~x− ~x(n)

(t))

= − ∂ρ

∂t= − ∂j0

∂x0

(2-6.36)

(wat dus precies de continuıteitsvergelijking is).Een gevolg is dat

Q =

∫

R3

J0 d3x (2-6.37)

(met de integratie uitgevoerd over het hyperoppervlak t = constant) een constante is, de totalelading genoemd:

dQ

dt=d

dt

∫

R3

J0 d3x

=

∫

R3

∂J0

∂td3x = −

∫

R3

∇.~j d3x

=0

(2-6.38)

na toepassing van de stelling van Gauss en onder de voorwaarde dat het systeem begrensd is, ofdat j ‘voldoende snel klein wordt op oneindig’.


Uit het feit dat Q constant is in de tijd volgt nu ook dat Q een invariante grootheid is:

Q(t) =Q(0) =

∫ +∞

−∞Q(t′)δ(t′) dt′

=Q =

∫

R

∫

R3

J0(t′, x) d3xδ(t′) dt′

=

∫

R4

−ukJkδ(−uix

i) d4x

(2-6.39)

We bekijken nu terug de energie-impulstensor van de wolk punt-deeltjes, zoals opgesteld in 2-5en noteren deze als T(M) (de ‘zuivere materie bijdrage’):

T(M)ij =

∑

n

pi(n)p

j(n)

E(n)δ3(~x− ~x

(n)(t)) (2-6.40)

Vermits de deeltjes geladen zijn, is elk deeltje nu onderworpen aan een lorentz-kracht

F i(n) = e(n)F

ik

dxk(n)

dτ(2-6.41)

De uitwendige krachtdichtheid F (2-5.24) wordt hiermee

F i =∑

n

dτ

dte(n)F

ik

dxk(n)

dτδ3(~x− ~x

(n)(t))

=F ik

∑

n

e(n)

dxk(n)

dtδ3(~x− ~x

(n)(t))

=F ikJ

k

(2-6.42)

zodat uit 2-5.23 volgt dat∂T(M)

ij

∂xj= F i

kJk (2-6.43)

T(M) voldoet dus niet aan de behoudswetten 2-5.25: de oorzaak is te zoeken in het feit dat dedeeltjes niet langer lokaal interageren (cf. de lorentz-krachten!). Het veld dat verantwoordelijk isvoor de interactie, het electromagnetisch veld, draagt namelijk zelf bij tot de energie-impulstensoren deze bijdrage, T(EM) is zodanig dat ze het rechterlid van 2-6.43 opheft:

∂(T(M)ij + T(EM)

ij)

∂xj= 0 (2-6.44)

We verifieren nu dat hieraan voldaan wordt door de volgende symmetrische tensor, die we deenergie-impulstensor van het maxwell-veld noemen:

T(EM)ij =

1

4π(F i

kFjk − 1

4ηijFklF

kl) (2-6.45)

Inderdaad, substitueren we in

∂jT(EM)ij =

1

4π(∂jF

ikF

jk + F ik∂jF

jk − 1

2ηijFkl∂jF

kl)


de eerste term door

ηilF jk∂jFlk = − ηilF jk(∂kFjl + ∂lFkj)

= − ηijF lk∂kFlj − ηijF lk∂jFkl

dan bekomen we voor ∂jT(EM)ij

1

4π

(

1

2ηijFkl∂jF

kl − ηijF lk∂kFlj + F ik∂jF

jk

)

=1

4π

(

1

2ηij(F kl∂jFkl + F kl∂kFlj + F kl∂kFlj) + F i

k∂jFjk

)

=1

4π

(

1

2ηijF kl(∂jFkl + ∂kFlj + ∂lFjk) + F i

k∂jFjk

)

(door omwisseling van k en l in de derde term)

=1

4πF i

k∂jFjk

(door toepassing van 2-6.17)

= − F ikJ

k

Dat 2-6.45 inderdaad de energie-impulstensor is van het maxwell-veld, blijkt tenslotte ook nog uithet feit dat, bij berekening, T 00 en T 0α zich reduceren tot, respectievelijk, de klassieke energie-

dichtheid 18π (E2 +H2) en de poynting-vector 1

4π (~E × ~H)α van dit veld.

Merk tenslotte nog op dat de energie-impulstensor van het maxwell-veld spoorvrij is:

T(EM)ii=

1

4(F i

kFik − FkℓF

kℓ) = 0 (2-6.46)

Hoofdstuk 3

Beginselen van de Algemene

Relativiteitstheorie

Na de mathematische fundamenten bekijken we nu de fysische en filosofische grondslagen.Hierbij wordt geen historische volgorde gerespecteerd: de besproken beginselen zijn dus geenszinsvergelijkbaar met de beginselen die Einstein zelf hanteerde bij de opbouw van de theorie. Wat volgtis ook geen axiomatische of formele benadering: er wordt enkel getracht om binnen een zo breedmogelijk referentiekader een plausibele weg te schetsen, die naar de algemene relativiteitstheorieleidt. De meeste der gehanteerde beginselen zijn voor verschillende interpretaties vatbaar: m.i. isdit geen nadeel, maar eerder de kracht van een filosofisch/fysische aanpak, in tegenstelling tot debeperkingen van een meer formele benadering.

3-1 Beginsel van Mach

Een der belangrijkste pijlers van de klassieke mechanica (in de gangbare, moderne formulering) isde eerste wet van Newton, die het bestaan postuleert van een bijzondere klasse van waarnemers (deinertiele waarnemers), die t.o.v. elkaar in eenparig rechtlijnige beweging verkeren. Enkel en alleen

voor deze waarnemers geldt de tweede wet van Newton (~F = m~a): deeltjes waarop geen kracht

81

82 HOOFDSTUK 3. BEGINSELEN VAN DE ALGEMENE RELATIVITEITSTHEORIE

werkt bewegen bijgevolg eenparig en rechtlijnig t.o.v. de inertiele waarnemers. Voor willekeurige

waarnemers echter treden correctie-versnellingen op, zoals de sleepversnelling ~aS, de centripetale

versnelling ~ac

en de Coriolis-versnelling ~aC

, die toelaten de tweede wet te herschrijven als

~F −m~aS−m~a

c−m~a

C= m~a (3-1.1)

De extra termen in het linkerlid worden in de klassieke mechanica de fictieve of schijnbare krachtengenoemd en de eerste wet is essentieel om ze te onderscheiden van de ’werkelijke’ krachten. Erbestaat m.a.w. geen dynamisch onderscheid tussen beide grootheden. Newton probeerde dit op tevangen door de inertiele waarnemers zelf een dynamische status te geven en ze te definieren doorde ‘afwezigheid van krachten’. Hierdoor werd hij echter verplicht (om niet in een cirkel-redeneringgevangen te raken en zeer tegen zijn zin) het concept van een absolute ruimte in de theorie in tevoeren en stelde hij zich bloot aan de kritieken van de relationisten, zoals Leibniz en Berkeley. Zijbetoogden dat enkel relatieve bewegingen zinvol waren en weigerden het bestaan te aanvaarden vaneen niet-observeerbare absolute ruimte, die enerzijds op geen enkele manier beinvloed werd door dematerie, maar anderzijds wel alle materie kon beinvloeden. Een bekend tegen-argument, waarmeeNewton het belang probeerde te benadrukken van absolute, eerder dan van relatieve bewegingen,ligt vervat in het gedachten-experiment, waarbij een met water gevulde emmer aan het draaienwordt gebracht rond een vertikale as.Newton merkt op

• dat op het ogenblik waarop de relatieve rotatie van emmer en water het grootst is, hetwateroppervlak nog horizontaal is

• dat, wanneer na enkele ogenblikken de relatieve rotatie van emmer en water klein is, hetwateroppervlak daarentegen gekromd is

en besluit dat niet relatieve beweging van water en emmer het oppervlak doen krommen, maar welde absolute beweging van het water! Het zal bijna 300 jaar duren voor iemand op deze meesterlijkezet weet te reageren ...

We moeten wachten op de Oostenrijkse wetenschapsfilosoof Ernst Mach (1893), die net alsLeibniz de opvatting verdedigt dat enkel relatieve bewegingen zinvol zijn: voor Mach was hetb.v. zinloos om te spreken over de beweging van een testdeeltje in een leeg universum. In een niet-leeg universum daarentegen, is het volgens Mach mogelijk om inertiele waarnemers te definierenals waarnemers, die in rust zijn of eenparig rechtlijnig bewegen t.o.v. de ‘gemiddelde materie-verdeling’ in dit universum (de ‘vaste sterren’ zijn hiervoor een goede benadering). M.b.t. Newton’sgedachten-experiment stelt Mach dat het wateroppervlak enkel gekromd is, omdat het water roteertt.o.v. de vaste sterren.

We kunnen ook het volgende experiment uitvoeren: stellen we een Foucault-slinger op aande Noordpool, dan blijkt dat de slinger precies 24 uur nodig heeft om over 360o te draaien. InNewton’s wereldbeeld betekent dit dat de aarde 24 uur nodig heeft om over 360o te draaien t.o.v.de absolute ruimte. Nu blijkt dit ook precies de tijd te zijn om over 360o te draaien t.o.v. de vastesterren. Deze coıncidentie (ook het samenvallen genoemd van het lokaal inertiaal kompas methet lokaal licht-kompas) is binnen het newtoniaanse beeld zuiver toeval (en wordt alleszins nietverklaard), maar vindt daarentegen binnen de standpunten van Mach een natuurlijke verklaring!Mach’s opvattingen—alhoewel vrij vaag en zonder expliciete uitwerking van b.v. de manier waaropinertiele massa zou moeten afhangen van de materieverdeling in het universum— hadden een zeerdiepe invloed op Einstein. Einstein probeerde deze ideeen in zijn theorie te verwerken, maar lukte

3-1. BEGINSEL VAN MACH 83

hierin slechts gedeeltelijk (het z.g. lenz-thirring effect). Zo zal b.v., bij de uitvoering in A.R. vanNewton’s gedachten-experiment met een voldoend zware emmer, het wateroppervlak ook reeds inhet begin (wanneer relatieve rotatie van water en emmer maximaal is) lichtjes gekromd zijn: derotatie van de draaiende emmer zal het lokaal inertiaal kompas rechtstreeks beınvloeden (gebruikmakend van Newtoniaanse terminologie zouden we zeggen dat de rotatie van materie een extrabijdrage levert tot het gravitatieveld). Van de volgende versies van ‘het beginsel van Mach’, is dusde eerste (gedeeltelijk) verwezenlijkt in A.R.; de twee andere, sterkere, vormen daarentegen geldengeen van beide:

• De materieverdeling van het universum bepaalt de geometrie van het universum.

• Zonder materie is er geen geometrie (de veldvergelijkingen voor een leeg universum zoudendan b.v. geen oplossingen mogen toelaten).

• Zonder materie is er geen inertie (de inertiele massa van een testdeeltje in een leeg universumzou = 0 moeten zijn).

Ernst Mach was een van de leidinggevende figuren van de positivistische school van de 19de eeuw enEinstein werd hierdoor sterk beinvloed. I.h.b. zal Mach’s vraag naar de observationele status van deinertiaalwaarnemer in de klassieke mechanica hem rechtstreeks leiden naar het equivalentiebeginsel.


3-2 Zwak Equivalentiebeginsel

Figuur 3.1: WEP

Aan het equivalentiebeginsel werd de openingsparagraaf van Newton’s Principia gewijd, terwijlEinstein het in 1907 gebruikte als hoeksteen voor de algemene relativiteitstheorie. Vandaagbeschouwen we dit beginsel als fundament van de ganse klasse van gravitatietheorieen, die gebaseerdzijn op de brede, onderliggende gedachte dat de ruimte-tijd gekromd is.

Het zwak equivalentiebeginsel (Weak Equivalence Principle, WEP), is het beginsel waar Newtonop doelde, toen hij stelde dat de eigenschap ‘massa’ (van een lichaam) evenredig was met deeigenschap ‘gewicht’. Vandaag zeggen we dat inertiemassa mI evenredig is (en dus, door eengeschikte keuze van eenheden, gelijk is) aan passieve gravitationele massamP . In een gravitatieveldV vallen beide massa’s dan t.o.v. elkaar weg in de vergelijking

−mP .∇V = mI .a (3-2.1)

zodat alle testdeeljes bij gelijke beginvoorwaarden dezelfde baan volgen. We bekomen alzo devolgende formulering:

• Als een ongeladen testdeeltje in een punt P van de ruimte-tijd geplaatst wordt en er eenwelbepaalde beginsnelheid krijgt, dan is de daarop volgende beweging onafhankelijk van deinterne structuur en samenstelling van dit deeltje.

3-2. ZWAK EQUIVALENTIEBEGINSEL 85

Voor een gedetailleerde bespreking van WEP en de ermee samenhangende experimenten verwijzenwe naar Hoofdstuk 5.

Het principe oogt —op eerste zicht— vrij vanzelfsprekend en onschuldig, maar is een van debelangrijkste peilers van de theorie. Het is aan het equivalentiebeginsel te danken dat de algemenerelativiteitstheorie, vertrekkend van Einstein’s eerste pogingen om gravitatie ‘a la Maxwell’ in debeperkte relativiteitstheorie in te bouwen, is uitgegroeid tot een conceptuele revolutie in ons denkenover ruimte en tijd.


3-3 Covariantiebeginsel

In de klassieke mechanica zijn alle inertiele waarnemers equivalent en zijn de wetten invariantonder galileitransformaties. Ook in de beperkte relativiteitstheorie zijn alle inertiele waarnemersequivalent, maar zijn de wetten invariant onder lorentz-transformaties. Wensen we nu gravitatiein de theorie in te bouwen, dan heeft het geen enkele zin meer om aan de inertiele waarnemers nogeen bijzondere status te geven (zie figuur 3.2). Newtoniaans geredeneerd zou de linker waarnemer

g

g

Figuur 3.2: Einstein’s gedachten-experiment

(in rust op een statische aarde) immers een inertiele waarnemer zijn en de rechter waarnemer (eeneenparig versnelde) zeker niet. Einstein besefte nu dat er geen enkel experiment bestond 1, dat

een onderscheid kon maken tussen het labo in rust in het uniform gravitatieveld ~g, en het labo dat

wordt voortgestuwd met uniforme versnelling −~g, zodat het klassieke begrip ‘inertiele waarnemer’zijn betekenis wel moest verliezen in een relativistische gravitatietheorie. Hij stelde daarom hetvolgende algemene relativiteitsbeginsel voor:

• Alle waarnemers zijn equivalent.

Deze versie staat enigszins open voor kritiek, aangezien in nogal wat oplossingen van A.R.waarnemers duidelijk niet equivalent zijn. Dit is b.v. het geval in elke stationaire ruimte-tijd.waar de integraalkrommen van de tijd-achtige killing-vectoren vormen dan gepriviligieerde familiesvan waarnemers vormen! Ook laten uiterst nauwkeurige metingen van de di-pool anisotropie inde kosmische microgolf achtergrond-straling toe om een vorm van ‘absolute rust’ te definieren,namelijk die bewegingstoestand waarvoor de straling isotroop is.

Het is dus van belang om niet zozeer de nadruk te leggen op equivalentie van waarnemers (ofcoordinaatsystemen), maar eerder op de mogelijkheid de theorie zo te formuleren dat de wetten in-

1zie de paragrafen i.v.m. de equivalentiebeginsels!

3-3. COVARIANTIEBEGINSEL 87

variant zijn onder willekeurige coordinaattransformaties. Vandaar dat men het relativiteitsbeginselsoms herformuleert als het covariantiebeginsel :

• De wetten van de fysica moeten een tensoriele vorm aannemen.

Hierbij zijn echter ook weer enkele bemerkingen te maken:

1. ‘Moeten’ is met een korrel zout te nemen, aangezien fermionen beschreven worden metspinoren en niet met tensoren. Beide begrippen zijn wel nauw aan elkaar verwant.

2. Het covariantiebeginsel heeft een vreemde geschiedenis achter de rug: reeds kort na de publi-catie in 1905 van de beperkte relativiteitstheorie had Einstein al de belangrijkste ingredientenklaar voor de algemene theorie (equivalentiebeginsel, covariantiebeginsel) en wijdde hij zichaan een studie van de differentiaalmeetkunde om een stel covariante veldvergelijkingen voorhet gravitatieveld op te stellen. In 1912, op het ogenblik dat alle stukjes van de puzzel op tafellagen, gebeurde er iets merkwaardigs: Einstein nam afstand van de algemene covariantie2!De verklaring was in de eerste plaats te zoeken bij de hierna volgende (maar in moderneterminologie geformuleerde) redenering (Einstein’s ‘Loch argument’):

Stel dat men beschikt over een ruimte-tijd varieteit M bestaande uit een materieverdelingmet bijhorende metriek en dat zich daarin een ‘gat’ L bevindt (een Loch), waarbij men zich totdoel stelt de metriek in het gat te bepalen op basis van een stel covariante veldvergelijkingen,uitgaande van de randvoorwaarden die vastliggen op de rand van het gat. Stel dat dezeprocedure als resultaat de metriek g oplevert. Beschouw nu een punt p ∈ L en een actiefdiffeomorfisme Φ (zie paragraaf 1-4) van het gebied L, dat zich buiten en op de rand vanL tot de identiteit reduceert. Als g een oplossing is van het randwaardenprobleem, dan ist.g.v. algemene covariantie, ook g′ = Φ∗(g) een oplossing. Men vindt dan voor de metriekin p twee, in het algemeen verschillende uitdrukkingen, gp en g′

p, leidend tot verschillendeobservationele consequenties (de ricci-scalar in p kan b.v. voor de ene metriek 0 zijn en voorde andere niet). Voor een deterministische theorie is dit een desastreus gevolg en Einsteinformuleerde pas in 1915 een bevredigend antwoord. Zijn oplossing kwam er —in een moderneformulering— op neer dat het zinloos is om een fysische betekenis toe te kennen aan het(mathematische) punt p van de ruimte-tijd varieteit M: lokalisatie van punten heeft enkelen alleen zin m.b.t. de aanwezige deeltjes (en velden) ... Bekijken we b.v. terug hetzelfdeprobleem, waarbij we nu in L twee wereldlijnen van deeltjes γ1 en γ2 beschouwen, die elkaarsnijden in het punt p: onder het diffeomorfisme Φ worden deze wereldlijnen afgebeeld opnieuwe wereldlijnen Φ γ1 en Φ γ2 die elkaar snijden in het punt p′ = Φ(p). Als b.v. dericci-scalar voor de metriek g 0 was in het punt p, dan is hij ook 0 voor de metriek g′ inhet punt p′: Rp = R′

p′ . De twee oplossingen (L,g) en (L,g′) zijn dus equivalent in de zindat ze dezelfde fysische situatie beschrijven. Een vergelijkbaar fenomeen doet zich voor inde theorie van het electromagnetisme, in de zin dat we te maken hebben met ijk-invariantie(gauge invariance), alleen is de ijkgroep nu de groep van de actieve diffeomorfismen! Einsteinbrengt hiermee de genadestoot toe aan de newtoniaanse fysica en verwezenlijkt in zekere zinde oude droom van Leibniz en Descartes: niet alleen tijd en ruimte worden opzij geschoven,maar de ruimte-tijd varieteit zelf. Deze varieteit op zichzelf is een wiskundige artefact zonderenige fysische betekenis: fysische velden en deeltjes leven niet ‘in’ een ruimte-tijd varieteit,maar vormen samen met hun onderlinge betrekkingen de ruimte-tijd zelf.

2Des te merkwaardiger omdat op dat ogenblik een nek aan nek race begint met David Hilbert, die eveneens opzoek was naar een formulering van de veldvergelijkingen


Helaas vindt dit grandiose inzicht zijn weerslag in het overgrote deel van de moderne literatuur(meestal en in het beste geval) enkel onder de vorm van een of andere voetnoot, waarin eenruimte-tijd gedefinieerd wordt als een equivalentieklasse van lorentz-varieiten (M,g), waarbij(M,g) equivalent is met (M′,g′) als en slechts als er een diffeomorfisme Φ : M → M′ bestaatzo dat g′ = Φ∗(g). Dat de draagwijdte van dit inzicht na bijna 100 jaar nog steeds niet tenvolle is doorgedrongen, zou wel eens mee aan de basis kunnen liggen van het falen van allepogingen om tot een geunifieerde quantumveldentheorie te komen.

3. Door een aantal critici van Einstein (b.v. E. Kretschmann) werd aangevoerd dat het covari-antiebeginsel eigenlijk ‘leeg’ is, aangezien elke theorie (ook de newtoniaanse mechanica) intensoriele vorm kan gegoten worden. Dit is ten dele correct: de newtoniaanse fysica kaninderdaad in algemeen covariante vorm gegoten worden, net zoals het mogelijk is om dealgemene relativiteitstheorie op een niet-covariante manier te formuleren (door op een of an-dere manier een coordinaatstelsel te fixeren). Beide theorieen (covariante newtoniaanse enniet-covariante A.R.) zijn echter conceptuele monstruositeiten . . . . Dat covariantie dus weldegelijk een leidraad is (het was Einstein’s belangrijkste leidraad!) blijkt dan ook uit ditzelfde voorbeeld: als men zich tot taak zou stellen om de newtoniaanse fysica op algemeencovariante wijze te omschrijven, dan zou men extra dynamische velden moeten introduceren(corresponderend met tijd en ruimte) en vervolgens de dynamica van deze velden op eenvreemde manier moeten beperken om tot een absolute tijd te komen en een slicing van ab-solute rustruimtes. Het zou op dat ogenblik een natuurlijke stap zijn om deze beperkingen opde dynamica te laten varen en een volledig dynamische theorie te ontwikkelen: Kretschmann’sargument toont dus de grote cognitieve sterkte aan van het covariantiebeginsel, eerder dande zwakte ervan!

3-4. EINSTEIN’S EQUIVALENTIEBEGINSEL 89

3-4 Einstein’s Equivalentiebeginsel

Einstein ging nog een stap verder dan WEP, door te stellen dat, in een vrij vallend labo, niet alleende wetten van de mechanica zich gedragen alsof er geen gravitatie aanwezig is, maar dat alle wettenvan de fysica zich dan zo gedragen. Hij noemde dit later ‘der glucklichste Gedanke meines Lebens’en het vormt, samen met het covariantiebeginsel, inderdaad de hoeksteen van de ganse theorie... Tegenwoordig formuleren we Einstein’s Equivalentiebeginsel (Einstein Equivalence Principle,EEP) alsvolgt:

(i) WEP geldt,

(ii) het resultaat van elk lokaal en niet-gravitationeel experiment is onafhankelijk van de snelheidvan het vrij-vallend referentiestelsel waarin dit experiment wordt uitgevoerd,

(iii) het resultaat van elk lokaal en niet-gravitationeel experiment is onafhankelijk van de plaatsen het tijdstip waarop het experiment wordt uitgevoerd.

Delen (ii) en (iii) noemen we, respectievelijk, het LLI-beginsel (Local Lorentz-invariance) en hetLPI-beginsel (Local Position Invariance). In de formulering hierboven slaat de term ‘lokaal’ ophet feit dat het experiment wordt uitgevoerd in een voldoend kleine omgeving, zodat b.v. effectent.g.v. getijdenwerking verwaarloosbaar zijn. De term ‘niet-gravitationeel’ spreekt voor zichzelf:de meting van b.v. de electrostatische aantrekkingskracht tussen twee geladen deeltjes is een niet-gravitationeel experiment, terwijl de meting van de cavendish-constante G een voorbeeld is vaneen gravitationeel experiment.

LLI wordt in principe getest door elk experiment dat B.R. test, zoals b.v. het michelson-morleyexperiment. Experimenten die LLI testen door anisotropieen te zoeken, die aanleiding zouden geventot opsplitsing van de grondtoestand van een Li7 kern in een magneetveld3, bereikten reeds in 1960een precisie van 10−16. Recente verbeteringen hebben de ‘anisotropie-parameter’ δ verder gere-duceerd tot δ . 10−20, waarmee LLI een der best geverifieerde hypothesen uit de fysica gewordenis. Voor een bespreking van de LPI-experimenten (slechts resulterend in δ . 10−4) zij verwezennaar Hoofdstuk 6.

De LLI- en LPI-voorwaarden staan niet geheel los van elkaar. Het is zelfs vrij waarschijnlijk datelke volledige en zelf-consistente gravitatietheorie, die aan WEP voldoet, noodzakelijk ook EEPimpliceert. Dit is de zg. Schiff-Conjecture4. Een theorie wordt hierbij volledig genoemd, als zevoorzien is van de nodige basisprincipes om het resultaat van een willekeurig experiment effectiefte voorspellen. Het volstaat b.v. niet dat een theorie postuleert dat twee deeltjes met verschillendesamenstelling even snel vallen in een gravitatieveld: dergelijk gedrag moet afleidbaar zijn uitde wetten die de verschillende inwendige structuren vastleggen! Strikt beschouwd verdient geenenkele huidige gravitatietheorie het etiket ‘volledig’. In de praktijk blijkt echter dikwijls, dat hetal voldoende is om over een gravitationeel gemodifieerd stel maxwell-vergelijkingen te beschikkenom experimenteel verifieerbare uitspraken te kunnen maken over het gedrag van deeltjes met eenverschillende chemische samenstelling.

De eigenschap van zelf-consistentie slaat op de uniciteit van de voorspellingen voor een gegevenexperimentele situatie. Zo wordt gewoonlijk geeist dat de berekening van de afbuiging van hetlicht nabij de zon (zie Hoofdstuk 5) hetzelfde resultaat moet opleveren, zowel in de geometrische-optica-limiet van de maxwell-vergelijkingen, als in de m0 = 0-limiet van massieve testdeeltjes.

3Hughes-Sherwin-Drever4L. Schiff, 1960


Schiff’s Conjecture is moeilijk—zoniet onmogelijk—te bewijzen. We beschikken immers nietover een algemeen model van volledige en zelf-consistente gravitatie-theorieen, waarin niet aanLLI of LPI voldaan is. Gedeeltelijke bewijzen zijn geformuleerd, waarin afwijkingen van EEPb.v. gemodelleerd werden, door op zeer algemene wijze lorentz-invariantie verbrekende termen inde actie-integraal van het electromagnetisch veld te introduceren. Het blijkt dan dat lichamen meteen verschillende chemische samenstelling (waarvoor dus de electromagnetische bindingsenergieop verschillende wijze bijdraagt tot de totale relativistische energie) inderdaad een verschillendvalgedrag vertonen in een gegeven gravitationeel veld!

Het belang van EEP ligt in het feit dat het het bestaan impliceert van een unieke symmetrischetensor g van type (2, 0), die zich in elk vrij vallend referentiestelsel reduceert tot de minkowski-metriek en die instaat voor de koppeling tussen gravitatie en de niet-gravitationele velden. On-derstel immers het bestaan van twee zulke metrieken: een die het gedrag bepaalt van neutraletestdeeltjes, en een die optreedt in de gravitationeel gemodifieerde maxwell-vergelijkingen: ten-minste voor theorieen gebaseerd op een actiebeginsel, zou dit resulteren in een plaats-afhankelijkeverhouding van electromagnetische bindingsenergie tot totale energie en dus, zoals hiervoor, in eenverbreking van EEP.

De uniciteit van de tensor g laat nu toe om de niet-gravitationele wetten van de fysica in deaanwezigheid van gravitatie te bepalen, door op covariante wijze over te gaan van hun beperktrelativistische vorm naar de algemene vorm. We vatten dit samen in de volgende twee regels5:

• Vervang η door g.

• Vervang partiele afgeleiden door covariante afgeleiden.

We stellen dus vast dat er een vrij nauw afgebakend pad bestaat dat, van WEP via EEP, leidtnaar de z.g. metrische gravitatietheorieen. Deze theorieen gaan ervan uit dat

(i) de ruimte-tijd voorzien is van een lorentz-metriek,

(ii) de banen van ongeladen testdeeltjes gegeven worden door de geodeten van deze metriek,

(iii) de niet-gravitationele wetten van de fysica uitsluitend via deze metriek (en evt. de ervanafgeleide geometrische objecten) gekoppeld zijn aan de structuur van de ruimte-tijd, en welzo dat deze wetten in geodetische normale coordinaten hun standaard B.R. vorm aannemen(de supersnaar theorie b.v. is geen metrische gravitatietheorie).

Het principe dat slechts een metriek verantwoordelijk is voor de koppeling tussen de ruimte-tijden de lokale fysica, wordt soms ook het universal coupling principle genoemd. Gebruik makendvan newtoniaanse terminologie zeggen we dat gravitatie een ‘universele kracht’ is. Dit is precieswat toelaat om gravitatie te promoveren tot een eigenschap van de ruimte-tijd, eerder dan eenextra fysisch veld op de ruimte-tijd! Hieromtrent bestaan nog steeds de grootste misvattingen, zieb.v. de populaire interpretatie m.b.t. het gedrag van klokken in een gravitatieveld, of de kritiekenvan de conventionalistische school op de relativiteitstheorie.

Voorbeelden van enkele klassieke metrische theorieen zijn, naast A.R., de Brans-Dicke en deermee verwante scalar-tensor theorieen, de vector-tensor theorieen (Nordtvedt) en Rosen’s bi-metrische theorieen. Op de laatste na, zijn dit bovendien gevallen van z.g. zuiver dynamischetheorieen: de optredende tensor-velden (φ, g, v, . . . ) beınvloeden (samen met de ‘conventionele’

5zoals zal blijken in de volgende paragraaf, verloopt dit proces echter niet altijd op triviale wijze . . .


materie

g

g

F

ruimte - tijd

Figuur 3.3: zuiver dynamische theorie

materie-vormen) via de veldvergelijkingen de structuur van de ruimte-tijd, terwijl deze laatste opzijn beurt—maar uitsluitend via g—het gedrag van de materie bepaalt.

Hiertegenover staan de absolute theorieen, waarin zgn. absolute elementen in optreden. Ditzijn b.v. velden waarvan de structuur of de evolutie onafhankelijk is van de evolutie van de overigevelden uit de theorie: dit kan een vlakke achtergrond- metriek zijn (Rosen), een kosmische tijd t,of zelfs algebraische betrekkingen van de vorm gab = hab + kakb met h en k dynamische velden.


3-5 Sterk Equivalentiebeginsel

Bekijken we nu, binnen de klasse van zuiver dynamische theorieen, een z.g. lokaal gravitationeelexperiment. Zulk experiment speelt zich per definitie af in een omgeving, die klein genoeg is ominhomogeniteiten—veroorzaakt door de ‘uitwendige’ gravitatievelden— te verwaarlozen, maar diegroot genoeg is om een lokaal gravitationeel systeem te bevatten. Dergelijk systeem kan b.v. eencavendish-opstelling zijn in het labo of, desgewenst, het zonnestelsel . . . . Om het resultaat van ditexperiment te berekenen zijn twee stappen nodig:

1) bepaal het gedrag van het ‘uitwendig’ systeem en leg alzo de randvoorwaarden vast voor hetlokale systeem,

2) los m.b.v. de bekomen randvoorwaarden de veldvergelijkingen op voor het lokale systeem.

We stellen dus vast dat, via de randvoorwaarden, de lokale resultaten (b.v. de cavendish-constanteof de evolutie-eigenschappen van een ster) beınvloed kunnen worden door het uitwendig sys-teem. Dit geldt niet voor A.R., omdat in het grensgebied van de twee deelsystemen steeds eencoordinatenstelsel kan gekozen worden6 waarin g ≈ η, zodat de randvoorwaarden onafhankelijkzijn van de positie of de snelheid van het lokale systeem t.o.v. zijn omgeving. Binnen anderetheorieen kan dit fenomeen echter leiden tot zgn. preferred frame of preferred location effects. Zozal in b.v. Brans-Dicke-theorie de lokaal gemeten cavendish-constante evolueren in functie van detijd, onder invloed van de kosmische evolutie van een scalair veld φ(t).

Vandaar dat nog een sterker beginsel dan EEP geıntroduceerd wordt, namelijk het Sterk Equi-valentiebeginsel (Strong Equivalence Principle, SEP), waarin gesteld wordt dat:

(i) WEP geldt voor neutrale testdeeltjes en voor zelf-graviterende lichamen,

(ii) het resultaat van elk lokaal experiment onafhankelijk is van de snelheid van de vrij vallendewaarnemer,

(iii) het resultaat van elk lokaal experiment onafhankelijk is van de plaats en het tijdstip waarophet werd uitgevoerd.

Op het ogenblik is, op A.R. na, geen enkele zuiver dynamische theorie gekend die aan SEP voldoet.Bovendien leveren zonnestelsel-experimenten en waarnemingen van binaire pulsars uiterst sterkebeperkingen op ‘preferred frame’ of ‘preferred location’ parameters van mogelijke andere theorieen7.

6kan dit wel globaal over de rand, b.v. voor niet enkelvoudig samenhangende gebieden?7wat geen van deze andere theorieen uitsluit: dikwijls komen hierin parameters voor, die zodanig aan te passen

zijn, dat de theorie elke SEP test—samen met A.R.—glansrijk doorstaat

3-6. MINIMALE KOPPELING 93

3-6 Minimale koppeling

Als we ons binnen de klasse van zuiver dynamische theorieen beperken tot de meest eenvoudige—en wellicht ook tot de enige theorie waarin strikt aan SEP voldaan is, dan belanden we bij dealgemene relativiteitstheorie. Reeds eerder merkten we echter al op dat de overgang van B.R. naarA.R. niet uniek vastligt. Bekijken we b.v. de behoudswetten van B.R., namelijk

∂bTab = 0 (3-6.1)

dan is de eenvoudigste covariante veralgemening weliswaar

∇bTab = 0 (3-6.2)

maar anderzijds reduceren ook de vergelijkingen

∇bTab +Rabcd∇cTbd = 0 (3-6.3)

zich, in afwezigheid van gravitatie, tot 3-6.1.Een bijkomend principe is dus nodig om de stap van B.R. naar A.R. op eenduidige wijze te

kunnen zetten. We aanvaarden daarom volgend z.g. minimale koppelingsbeginsel :

• Bij de overgang van B.R. naar A.R. mogen geen termen gebruikt worden waarin de krom-mingstensor expliciet optreedt.

Dit beginsel is erg vaag: een preciezere formulering kan gegeven worden voor theorieen gebaseerdop een actiebeginsel (door in de lagrangiaan voor de niet-gravitationele velden enkel bijdragen ing en zijn eerste afgeleiden toe te laten), maar dient zelfs dan met de nodige omzichtigheid gehan-teerd te worden8. Dat neemt niet weg dat het minimale koppelingsbeginsel ons een leidraad geeftom de wetten van de fysica op te stellen in de aanwezigheid van gravitatie. We bekijken in devolgende paragrafen achtereenvolgens het gedrag van testdeeltjes, van perfecte vloeistoffen en vanelectromagnetische velden.

3-6.1 Testdeeltjes

Net zoals in B.R. stellen we de beweging van massieve en van massaloze testdeeltjes voor d.m.v.tijd-achtige, respectievelijk nul-krommen. Voor tijd-achtige krommen normeren we de snelheid u

steeds zo datu2 = gabu

aub = −1 (3-6.4)

i.e. ui = dxi/dτ met τ de eigentijd langs de kromme. Vrije deeltjes bewegen op geodeten:

a = ∇uu = 0 (3-6.5)

wat, in componenten uitgedrukt, betekent dat

ubua;b = 0 (3-6.6)

ofd2xi

dτ2+ Γi

jkdxj

dτ

dxk

dτ= 0 (3-6.7)

8in vele modellen wordt hier trouwens vandaag bewust van afgeweken!


Is a 6= 0, dan zeggen we dat er op het deeltje een kracht f werkt met, per definitie, f = ma

(voortaan gebruiken we m voor de rustmassa). Voor een geladen deeltje in een electromagnetischveld bekomen we dan b.v. de lorentz-wet

ua∇aub =

q

mF b

aua (3-6.8)

Het impuls van het deeltje blijft gedefinieerd door

p = mu (3-6.9)

en een waarnemer (waarvan de baan deze van het deeltje snijdt in een punt A) met snelheid v

(v2 = −1) schrijft aan het deeltje in A een energie

E = −pava (3-6.10)

toe.Tot besluit van deze paragraaf weze opgemerkt dat een beperkt aantal fysisch plausibele hypothesenm.b.t. het gedrag van massieve en massaloze testdeeltjes volstaat om het bestaan aan te tonenvan een — op een constante schaalfactor na — unieke lorentz-metriek g met de eigenschap dat detestdeeltjes bewegen op resp. de geodeten en de nulgeodeten van g9. Hypothesen over het gedragvan fysische klokken en meetstaven zijn dus totaal overbodig bij het opstellen van de fundamentenvan de theorie!

3-6.2 Perfecte vloeistoffen

De ganse bespreking van 2-5.2 kan nu herhaald worden, mits ηab te vervangen door gab. Weherhalen even de hoofdpunten:

Een perfecte vloeistof wordt gekenmerkt door een energie-impulstensor

Tab = ρuaub + p(gab + uaub) (3-6.11)

die voldoet aan de behoudswetten∇bTa

b = 0 (3-6.12)

Hieruit volgen dan de algemeen relativistische versies vani) de continuıteitsvergelijking

ρ+ (ρ+ p)Θ = 0 (3-6.13)

waarbij we de notaties ρ = ρ|aua en Θ = ∇au

a gebruiken, enii) de Navier-Stokes-vergelijkingen:

(p+ ρ)ab + (gab + uaub)∇ap = 0 (3-6.14)

3-6.3 Electromagnetisme

In een gekromde ruimte-tijd worden de maxwell-vergelijkingen gegeven door

F ab;b =4πJa (3-6.15)

9Ehlers-Pirani-Schild 1971

3-6. MINIMALE KOPPELING 95

en

F[ab;c] =0 (3-6.16)

of resp. ∗d ∗F = 4πJ en dF = 0 in een 2-vorm formalisme. T.g.v. de anti-symmetrie van F is danautomatisch voldaan aan de behoudswet

Jb;b = 0 (3-6.17)

De energie-impulstensor van het electromagnetisch veld is gegeven door

T ab =1

4π(F a

cFbc − 1

4gabFcdF

cd) (3-6.18)

en voldoet, t.g.v. 3-6.15 en 3-6.16 aan

∇bTab = −F a

bJb (3-6.19)

zodat voor een vrij maxwell-veld (J = 0) opnieuw de behoudswetten 3-6.12 geldig zijn. Voerenwe net zoals in 2-6 de vectorpotentiaal A in, zodat Fab = 2A[b;a], dan volgt nu echter dat in de

z.g. lorentz-ijk (Ab;b = 0)

−4πJb =∇a(Ab;a −Aa;b)

=∇a∇aAb −∇a∇bAa

=∇a∇aAb −∇b∇aAa + gac(∇b∇c −∇c∇b)Aa

=∇a∇aAb + gacRmabcAm

=∇a∇aAb −RmccbAm

=∇a∇aAb −RmbAm

(3-6.20)

wat wijst op dubbelzinnigheden bij de toepassing van de minimale koppelingsregel. Een andergevolg is dat de discussie m.b.t. electromagnetische golven in 2-6 alleen maar geldig is voorA.R., indien de kromming slechts weinig verandert over afstanden die vergelijkbaar zijn met degolflengtes!

3-6.4 Behoudswetten

We blijven de vergelijkingen 3-6.12 de behoudswetten voor de energie-impulstensor noemen. Eenbelangrijk onderscheid met B.R. is echter, dat met deze wetten niet zonder meer behouden groothe-den te construeren zijn! Begrippen als ‘totale energie’ of ‘totaal impuls’ van b.v. een wolk niet-interagerende deeltjes zijn dus, in het algemeen, niet meer gedefinieerd. Alleen als de ruimte-tijdsymmetrieen toelaat, kunnen corresponderende behouden grootheden gevonden worden:Als b.v. K een killing-vector is, voldoet P a = T abKb aan

P a;a =T ab

;aKb + T abKb;a

=0(3-6.21)

t.g.v. 3-6.12 en de anti-symmetrie van Ka;b.M.b.v. de stelling van Gauss resulteert dan voor elke killing-vector K een behoudswet, in de zindat de ‘K-flux van energie-impuls doorheen een gesloten oppervlak verdwijnt’:

∫

∂U

Pa dσa = 0 (3-6.22)

voor elk compact en orienteerbaar gebied U met rand ∂U .


3-7 Correspondentiebeginsel

Een laatste beginsel heeft te maken met het feit dat (succesvolle) fysische theorieen over eenwelbepaald geldigheidsgebied beschikken en dat nieuwe theorieen consistent dienen te zijn met devoorspellingen van oude, binnen het geldigheidsgebied van deze laatste. I.h.b. verwachten we vanA.R. dat ze overeenstemt met B.R. in de afwezigheid van gravitatie en overeenstemt met Newton’sgravitatietheorie in de limiet van traag bewegende lichamen en zwakke gravitationele velden. Ditis de inhoud van het correspondentiebeginsel, dat in volgend hoofdstuk een belangrijke rol gaatspelen bij het opstellen van de veldvergelijkingen.

Hoofdstuk 4

Veldvergelijkingen

In het vorige hoofdstuk hebben we gezien op welke manier we het gedrag van materie in eengekromde ruimte-tijd kunnen beschrijven. Daarmee beschikken we echter nog niet over een dy-namische gravitatietheorie. Om tot het volgende machiaanse schema te komen, moeten we de

Tabgab

“geometry tells matter how to move”

“matter tells geometry how to be”

Figuur 4.1:

geometrie zelf promoveren tot een dynamische variabele, die op zijn beurt afhankelijk is van dematerie-verdeling in de ruimte-tijd. De te gebruiken variabele ligt voor de hand, namelijk de me-triek g. Voor de componenten van g gaan we vervolgens op zoek naar een gepast stel partieledifferentiaalvergelijkingen, waarin de materieverdeling fungeert als bron-term (cf. de poisson-vergelijking). De studie van geodeten, i.h.b. van de geodetische deviatie, zal hierbij de belangrijksteleidraad worden. Het is immers het optreden van deviatie dat karakteristiek is voor gravitatie!

97

98 HOOFDSTUK 4. VELDVERGELIJKINGEN

Figuur 4.2:

Bekijken we opnieuw het gedachten-experiment met de labo’s A en B, waarbij A wordt voort-gestuwd met uniforme versnelling −~g en waarbij B in rust is op het aardoppervlak: B is onderhevigaan de valversnelling ~g en, zoals in vorig hoofdstuk werd uiteengezet, locale experimenten gevenvoor beide waarnemers A en B precies dezelfde resultaten. Indien echter het labo B voldoendegroot is (of indien de waarnemingen in B voldoende precies gebeuren), dan zal men vaststellendat testdeeltjes (die in A parallelle banen beschrijven) tijdens hun val beginnen te convergeren. InB kan daarom besloten worden dat men zich in een ‘echt’ gravitatieveld bevindt, terwijl A zichslechts in een ‘fictief’ gravitatieveld bevindt. Door middel van een gepaste coordinaattransformatiekan de metriek van A gereduceerd worden tot de minkowski-metriek, terwijl dit in B niet mogelijkis!

4-1. VACUUMVERGELIJKINGEN 99

4-1 Vacuumvergelijkingen

Stellen we eerst de newtoniaanse deviatievergelijking op voor twee testdeeltjes, die in vacuumbewegen langs naburige krommen C1 en C2. Stel dat de vergelijkingen van deze krommen respec-tievelijk gegeven zijn door ~r1 = ~ρ(t) en ~r2 = ~ρ(t) + ~X(t), met ~X de deviatievector: Noemen we Φ

X

C1

C2

Figuur 4.3: geodetische afwijking

de gravitationele potentiaal, dan is

~ρ = −∇Φ|C1(4-1.1)

en

~ρ+ ~X = −∇Φ|C2(4-1.2)

Nu is, voor | ~X| voldoende klein, ∇Φ|C2≈ ∇Φ|C1

+ ~X.∇(∇Φ)|C1, zodat

~X + ~X.∇(∇Φ) = 0 (4-1.3)

In componenten uitgedrukt betekent dit (met α, β = 1, 2, 3)

Xα +KαβX

β = 0 (4-1.4)

waarbij K (de getijdentensor genoemd) de symmetrische tensor is met

Kαβ = ∇α∇βΦ (4-1.5)

Bekijken we nu terug de relativistische deviatievergelijkingen uit 1-11 en noteren we ˙ = ∇T, metT de eenheidsvector rakend aan de deeltjesbaan:

Xa −RabcdT

bT cXd = 0 (4-1.6)


Kiezen we een orthonormale basis met e0 = T, dan worden de ruimtelijke componenten van dezevergelijkingen gegeven door

Xα −Rα00βX

β = 0 (4-1.7)

wat precies van dezelfde vorm is als 4-1.4, mits we de tensor Kαβ identificeren met −Rα

00β . Nureduceren in newtoniaanse gravitatie de vacuumvergelijkingen zich tot de laplacevergelijking, i.e.tot het spoor-vrij zijn van K:

tr(K) = ∇α∇αΦ = 0 (4-1.8)

zodat het correspondentiebeginsel suggereert om aan de krommingstensor de eis op te leggen datRα

00α = 0. Met 1-10.8 betekent dit dat R00 = 0 voor elke keuze van de tijd-achtige eenheidsvectore0, waaruit we afleiden dat de volledige riccitensor 0 moet zijn: stel t ∼ e0 + λeα met λ kleingenoeg opdat t2 < 0. Uit Rabt

atb = 0 volgt dan

∀λ : λRαα + 2Raαea0 = 0

en dus R0α = 0. Bijgevolg bestaat er een basis waarin Rab diagonaal is1 en een herhaling vandezelfde redenering toont dat dan ook de diagonaal-elementen Rαα = 0 zijn.

We besluiten dus, op basis van het correspondentiebeginsel, dat de vacuumvergelijkingen vanA.R. gegeven zijn door Rab = 0, of, volkomen equivalent hiermee, door

Gab ≡ Rab −1

2Rgab = 0 (4-1.9)

Opmerking: een eerste lezing van de paragrafen over het equivalentiebeginsel (zie hoofdstuk 3)suggereert wellicht dat ’echte’ gravitationele effecten (m.a.w. effecten die niet weg te transformerenzijn door over te gaan op een lokaal vrij vallend referentiestelsel) eenduidig herkend kunnen wordenaan het niet 0 zijn van de getijdentensor Kα

β = −Rα00β . Dit is een heikel punt —zelfs in vacuum—

omdat de weyltensor nog een ander, zogenaamd ’magnetisch’, deel bevat dat zich onafhankelijk vanhet ’coulombgedeelte’ Kα

β gedraagt. Het al dan niet bestaan van dergelijke ’zuiver magnetische’vacuum oplossingen of ’gravito-magnetische monopolen’ is een open probleem, waarin pas recentenige doorbraak is gekomen.

4-2 Veldvergelijkingen in de aanwezigheid van materie

In de inleiding beklemtoonden we reeds dat de energie-impulsverdeling in de ruimte-tijd moetleiden tot het ontstaan van kromming. Op basis van de in vorige paragraaf bekomen vacuumver-gelijkingen en van het feit dat de energie-impulstensor een symmetrische tensor is, die net zoalsde einstein-tensor voldoet aan de behoudswetten ∇bTa

b = 0, ligt het voor de hand om voor devolledige veldvergelijkingen te postuleren dat

Gab = κTab (4-2.1)

met κ een constante. De waarde van κ volgt dan opnieuw uit het correspondentie-beginsel en denewtoniaanse limiet:

1Dit is niet triviaal: de signatuur van de metriek maakt dat een symmetrische tensor, zoals Rab, niet zondermeer te diagonaliseren is: er bestaat dus niet noodzakelijk een lorentz-transformatie zodat RabΛ

aa′Λb

b′ diagonaalis

4-3. STRUCTUUR VAN DE VELDVERGELIJKINGEN 101

Herschrijven we 4-2.1 eerst als

Rab = κ(Tab −1

2Tgab) (4-2.2)

en bekijken we, t.o.v. een bepaalde waarnemer met snelheid = e0, een energie-impulsverdelingwaarvoor druk en energie-impulsstroom verwaarloosbaar zijn t.o.v. T00 = ρ. Er geldt dan T ≈ −ρ,zodat 4-2.2 impliceert dat R00 ≈ 1

2κρ. Stellen we dan, zoals hiervoor, Kαβ = −Rα

00β , dan is dustr(K) = −Rα

00α = Rα0α0 = 1

2κρ.Nu voldoet in newtoniaanse gravitatietheorie K aan de poisson-vergelijking:

tr(K) = ∇α∇αΦ = 4πρ (4-2.3)

zodat het correspondentiebeginsel impliceert dat κ = 8π. We bekomen dus voor de volledigeveldvergelijkingen de gedaante

Gab = 8πTab (4-2.4)

N.B. Dit is de vorm van de vergelijkingen in z.g. gravitationele eenheden (zie bijgevoegde tabel),namelijk G = 1 en c = 1. In willekeurige eenheden geldt dat

Gab =8πG

c2Tab (4-2.5)

met G en c de waarden van de cavendish-constante en van de lichtsnelheid in de gekozen eenheden(G ≈ 6, 67 10−11m3kg−1s−1 en c ≈ 3 108ms−1).In onderstaande tabel geven we enkele standaardgrootheden in gravitationele eenheden:

massa straal

elektron 2.10−66 s . 10−26 sproton 4.10−61 s 10−23 saarde 1, 5.10−11 s 2.10−3 szon 5.10−6 s 2, 3 ssterrenstelsel ≈ 105 s ≈ 1013 sHubble-volume van het heelal & 6.1015 s & 5.1017 s

Men kan zich de vraag stellen of de einstein-tensor de enige divergentie-vrije tensor is, die isopgebouwd m.b.v. de metriek en zijn eerste en tweede orde partiele afgeleiden (op de trivialeveralgemening Gab + Λgab na, met Λ een constante). Het antwoord op deze vraag is bevestigend,op voorwaarde dat de dimensie van de ruimte-tijd = 4 is (in tegenstelling tot wat beweerd wordt in[Weinberg], is het niet nodig de bijkomende eis op te leggen dat de tweede orde partiele afgeleidenhoogstens lineair optreden). Pas als de dimensie groter is dan 4, ontstaan er problemen met deuniciteit van de einstein- tensor .

4-3 Structuur van de veldvergelijkingen

Voor een gegeven energie-impulstensor vormen de veldvergelijkingen een stelsel van 10 niet-lineairepartiele differentiaalvergelijkingen voor de 10 metrische componenten gab. Deze vergelijkingen zijnechter niet onderling functioneel onafhankelijk, t.g.v. de gecontracteerde bianchi-identiteiten:

∇bGab = 0 (4-3.1)


De resulterende onder-bepaaldheid van 4-2.4 was te verwachten, aangezien dit een tensor-verge-lijking is en dus invariant is onder diffeomorfismen F : M → M. Als g een oplossing is van develdvergelijkingen, dan is ook F∗g een oplossing: stellen we F voor door het stel vergelijkingenx′a = x′a(x), dan komt deze uitspraak gewoon neer op het feit dat de componenten gij slechtsbepaald zijn op coordinaattransformaties xa → x′a na.

M.b.v. deze coordinaattransformaties kunnen we 4 van de 10 metrische componenten vrij kiezen.Een mogelijke keuze (de z.g. gauss-normale coordinaten) kan b.v. leiden tot g00 = 1 en g0α = 0(α = 1, 2, 3). De zes componenten gαβ kunnen dan in principe uit de zes resterende onafhankelijkevergelijkingen bepaald worden. We leggen de nadruk op ‘in principe’, omdat—zelfs voor vacuum—een algemene oplossing van de veldvergelijkingen niet gekend is. De grote moeilijkheid ligt in deniet-lineariteit van de vergelijkingen, wat resulteert in het ontbreken van een superpositieprincipe.

Een aanzienlijk aantal bijzondere oplossingen (voor vacuum, zowel als voor verschillende materie-vormen) is nochtans gekend: de meeste van deze oplossingen werden bekomen door het opleggenvan sterke symmetrie-voorwaarden. Op een aantal van deze oplossingen komen we in de volgendehoofdstukken terug.

Ook via benaderingsmethoden werden belangrijke resultaten geboekt, vooral dan in het domeinvan de hemelmechanica (PPN- en PPPN-formalismen), de astrofysica van neutronensterren en vanzwarte gaten. Recent numeriek onderzoek concentreert zich vooral op de interacties tussen zwartegaten en de hierbij gegenereerde gravitationele straling. Een belangrijke rol hierbij wordt gespeelddoor een herformulering van de veldvergelijkingen als een beginwaardenprobleem. Hiertoe wordtarbitrair een ruimtelijk hyperoppervlak Σ gekozen evenals een tijdscoordinaat t = x0 en wordende veldvergelijkingen geschreven als een stel evolutievergelijkingen voor g met beginwaarden g|Σen ∂tg|Σ. Een moeilijkheid die hierbij ontstaat blijkt duidelijk wanneer we de identiteiten 4-3.1herschrijven als

∂tG0i = −∂αG

αi − ΓjmjG

mi − ΓimjG

jm

(α = 1, 2, 3). Het rechterlid bevat geen 3de orde afgeleiden van gij naar t, zodat de termenG0i in het linkerlid hoogstens 1ste orde afgeleiden naar t kunnen bevatten. De corresponderende(0i) vergelijkingen zijn bijgevolg geen evolutievergelijkingen, maar wel z.g. constraints op debeginwaarden. Dit toont opnieuw aan dat er slechts 6 ‘echte’ evolutievergelijkingen zijn, namelijk2

Gαβ = 8πTαβ voor 10 onbekenden, waarvan er 4 vrij te kiezen zijn.

Een gevolg van de invariantie van de veldvergelijkingen onder diffeomorfismen, is dat zoalseerder reeds beklemtoond een ruimte-tijd gezien moet worden als een equivalentieklasse van koppels(M, g), waarbij (M, g) ∼ (M, g′) als g′ = F∗g. Dit leidt onmiddellijk tot de vraag of, voor tweegegeven metrieken een methode bestaat om te bepalen of ze al dan niet representanten zijn vandezelfde klasse. Dit is het z.g. equivalentie-probleem. Door E. Cartan werd een methode ontwikkeld,die o.a. de berekening inhoudt van alle covariante afgeleiden van de beide riemanntensoren, toten met de 10de orde! Recent werd, m.b.v. tetrad-methodes, een verbetering bekomen door A.Karlhede, waarbij in het slechtst denkbare geval maximaal 7de orde afgeleiden berekend dienente worden. Met computer-algebra pakketten en speciaal ontworpen programma’s, zoals SHEEP,CLASSI en STENSOR, is momenteel een database samengesteld van exacte oplossingen, die toelaatom de originaliteit van elke ‘nieuwe’ oplossing op invariante wijze te controleren3. Hierbij bleek dat

2elk van de gedaante g00gαβ,00 = φαβ(g, g)3De gevolgde procedure is niet volledig algorithmisch: de enige niet-algorithmische stap kon—tot op heden—

echter steeds ‘op zicht’ genomen worden.

4-3. STRUCTUUR VAN DE VELDVERGELIJKINGEN 103

voor de classificatie van alle tot dusver gekende oplossingen van de veldvergelijkingen, nog nooitmeer dan 4 covariante afgeleiden van de riemanntensor bepaald moesten worden. Of er metriekenzijn, waarvoor we tot de theoretische bovenlimiet 7 dienen te gaan, is alsnog een open vraag.

Hoofdstuk 5

Zwakke velden en gravitationele

straling

De geometrie van de ruimte-tijd wordt bepaald door de energie-impulsverdeling. We verwachtendaarom dat een kleine ’verandering’ in de energie-impulsverdeling, bij niet stationaire fenomenen,aanleiding kan geven tot kleine ’rimpeltjes’ in de geometrie. In tegenstelling tot de newtoniaanseaction at a distance verwachten we —bij gebrek aan een andere karakteristieke snelheid die in detheorie optreedt— dat de rimpeltjes zich golfsgewijs verplaatsen met de lichtsnelheid. Als gevolgvan de zwakte van gravitatie verwachten we ook dat gravitationele straling een zeer zwak ver-schijnsel is. Dit heeft als nadeel dat de straling zeer moeilijk detecteerbaar is (een internationaalnetwerk van laser-interferometer detectoren staat nog steeds in zijn kinderschoenen en resultatenzijn tot dusver niet geboekt), maar dit maakt het fenomeen precies ook weer interessant: moeilijkedetecteerbaarheid gaat hand in hand met zwakke absorptie, zodat gravitatiestraling ons in principeeen heel nieuwe en ‘doordringende’ kijk op het heelal kan leveren. Er zijn immers heel wat bronnenin het heelal die dergelijke gravitatiegolven kunnen veroorzaken, zoals binaire sterren, niet-sferischecollaps of botsingen van zwarte gaten.

We beperken ons in wat volgt tot zwakke gravitatiegolven in een zgn. asymptotisch vlakkeruimte-tijd, waarvoor de lineaire benadering van de veldvergelijkingen volstaat.

5-1 De lineaire benadering

Onderstel dat de metriek g kan geschreven worden als een vlakke metriek η + een kleine pertur-batie:

g = η + ǫh (5-1.1)

met |ǫ| ≪ 1 en |h| ≈ 1 (waarmee bedoeld wordt dat er coordinaten x bestaan zodat

gij = ηij + ǫhij (5-1.2)

met |ǫ| ≪ 1 en |hij | ≈ 1∀xi, xj).

Een eerste moeilijkheid die we ontmoeten is (zie paragraaf 3-3) dat een ruimte-tijd een equi-valentieklasse is van lorentz-varieteiten (M,g) die slechts op een diffeomorfisme na bepaald zijn.

105

106 HOOFDSTUK 5. ZWAKKE VELDEN EN GRAVITATIONELE STRALING

Herinneren we ons dat, met Φ een diffeomorfisme van M, de metrieken g′ = Φ∗g en g dezelfdefysische eigenschappen hebben: dat geldt i.h.b. voor de 1-parametergroepen van diffeomorfismengeassocieerd aan een vectorveld ξ (zie paragraaf 1-8) waarvoor

Lξg = limǫ→0

1

ǫ(Φ∗

ǫg − g) (5-1.3)

en dus

Φ∗ǫg ≈ g + ǫLξg ≈ η + ǫh + ǫLξη (5-1.4)

Nu is (Lξη)ij = ηimξm,j + ηjmξ

m,i = ξi,j + ξj,i, wat impliceert dat de metrieken gij = ηij + ǫhij

en g′ij = ηij + ǫ(hij + ξi,j + ξj,i) dezelfde ruimte-tijd representeren. M.a.w. hij en

h′ij = hij + ξi,j + ξj,i (5-1.5)

stellen dezelfde fysische perturbatie voor.

We spreken nu verder af indices te ‘verhogen’ en te ‘verlagen’ met de tensor η, m.a.w.

hij = ηimηjnhmn (5-1.6)

zodat (alle gelijkheden dienen nu gelezen te worden als geldend tot op orde 1 in ǫ)

gij = ηij − ǫhij . (5-1.7)

Voor de christoffelsymbolen resulteert dit in

Γijk =

1

2ǫ(hi

j,k + hik,j − h,i

jk) (5-1.8)

en dus voor de riemann-tensor in

Rijkl =1

2ǫ(hil,jk + hjk,il − hik,jl − hjl,ik). (5-1.9)

Opmerking:

1) Dit toont nogmaals dat h′ij = hij + ξi,j + ξj,i en hij dezelfde fysische perturbatie voorstellen,aangezien tot op 1ste orde in ǫ

R′ijkl = Rijkl + ǫ(LξR)ijkl (5-1.10)

= Rijkl + ǫ(

ξmRijkl,m +Rmjklξm,i + . . .

)

(5-1.11)

= Rijkl +O(ǫ2) (5-1.12)

2) 5-1.9 voldoet automatisch aan de bianchi-identiteiten.

Hiermee bekomen we voor de ricci-tensor

Rij =1

2ǫ(hm

i ,jm + hmj ,im

− hij − h,ij) (5-1.13)

met h = hmm en = ηij∂i∂j en dus

5-1. DE LINEAIRE BENADERING 107

R = ǫ(hmn,mn − h). (5-1.14)

Enige vereenvoudiging treedt op door over te gaan op de nieuwe veranderlijke

ψij = hij −1

2ηijh (5-1.15)

(de zgn. trace-reversed amplitudes, vanwege ψ = −h). We bekomen dan

Rij =1

2ǫ(ψm

i ,jm + ψmj ,im

− hij) (5-1.16)

R =1

2ǫ(2ψmn

,mn − h) (5-1.17)

en dus

Gij(= 8πTij) =1

2ǫ(

ψmi ,jm + ψm

j ,im− ψij − ηijψ

mn,mn

)

(5-1.18)

De volgende stap is cruciaal: merk op dat voorgaande vergelijking zich reduceert tot een gewonegolfvergelijking

ǫψij = −16πTij (5-1.19)

mits we aan ψ de bijkomende voorwaarde opleggen dat

ψmi ,m = 0. (5-1.20)

Aan deze voorwaarde kan nu altijd voldaan worden door middel van een transformatie 5-1.5,of, in termen van ψ,

0 = ψ′mi ,m = ψm

i ,m − ξi (5-1.21)

Naar analogie met het electromagnetisme noemen we zulke keuze van het diffeomorfisme Φ delorentz-ijk1. Het diffeomorfisme is daarmee vastgelegd op transformaties 5-1.5 na, die nog voldoenaan de voorwaarden ξi = 0.

Merk nog op dat 5-1.19 te herschrijven is als

ǫhij = −16π(Tij −1

2ηijT )

en dus

ǫh00 ≈ −16π(ρ+1

2(−ρ)) = −8πρ.

In de newtoniaanse benadering reduceert dit zich tot

ǫ∆h00 = 8πρ,

wat aantoont dat ǫh00 ≈ 2φ (φ de newtoniaanse gravitationele potentiaal) en dus

ds2 ≈ −(1 + 2φ)dt2 + dx2 + dy2 + dz2.

1ook wel de Einstein, de Donder, Hilbert of Fock ijk genoemd


5-2 Vlakke gravitatiegolven

In vacuum reduceren de vergelijkingen 5-1.19 zich tot

hij = 0, (5-2.1)

waarbij h tevens moet voldoen aan de ijk-voorwaarden

Yi ≡ hmi ,m − 1

2h,i = 0. (5-2.2)

De oplossingen van 5-2.1 zijn superposities van vlakke golven

hij = aijeik.x (5-2.3)

met aij de constante amplitude-matrix en met k2 = 0: de golfvector k is een nulvector en gra-vitatiegolven planten zich dus voort met de lichtsnelheid. Men kan nu aantonen dat de resterendediffeomorfisme-vrijheid (met ξi = 0) kan gebruikt worden om aan de amplitude-matrix de vol-gende voorwaarden op te leggen (waarbij de coordinaten x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z zo gekozenzijn dat ηijdx

idxj = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2):

h = h0α = 0 (α = 1, 2, 3) (5-2.4)

(vanwege de keuze h = 0 noemt men dit ook de traceless gauge). De voorwaarden Yi = 0reduceren zich hiermee tot

Y0 ≡ ∂

∂th0

0 = a00iωeik.x = 0 (5-2.5)

waarbij we k = (ω,−→k ) gesteld hebben en ω = |−→k |, zodat a00 = 0. De voorwaarden

Yα ≡ ∂

∂xmhm

α =∂

∂xβhβ

α = aαβkβeik.x = 0 (5-2.6)

tonen dan aan dat, na orientatie van het assenstelsel zo dat de golf zich in de z-richting voort-plant, aα3 = 0.

Er blijven dus slechts twee fysische vrijheidsgraden over en de amplitude-matrix neemt devolgende gedaante aan,

aij =

0 0 0 00 a b 00 b −a 00 0 0 0

. (5-2.7)

De corresponderende golf bestaat uit een superpositie van twee lineair gepolariseerde golven, e1 ene2,

hij = aeij1 + beij

2 (5-2.8)

met

5-2. VLAKKE GRAVITATIEGOLVEN 109

e1 =

0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0

eiω(z−t) en e2 =

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 0

eiω(z−t) (5-2.9)

Dat we hier werkelijk met een fysisch golfverschijnsel (en niet met een artefact van het coordi-natenstelsel) te maken hebben, blijkt uit de studie van het onderling gedrag van testdeeltjes. Menkan gemakkelijk nagaan dat Γα

00 = 0 zodat de wereldlijnen xα = constant geodten beschrijven.Bekijken we echter twee testdeeltjes met constante xα coordinaten (en b.v. gescheiden door eencoordinaatsafstand dα − ∆xα), dan wordt hun onderlinge eigen-afstand d gegeven door

d2 = gαβdαdβ = dαdβ + ǫhαβd

αdβ (5-2.10)

Dit betekent dat voor deeltjes gelegen langs de z-as d een constante is, terwijl deeltjes gelegenin het xy-vlak een tijdsafhankelijke d vertonen: we spreken daarom van de transverse-tracelessgauge of de TT gauge. De beweging van de deeltjes in het xy-vlak is het gemakkelijkst voor testellen door invoering van een euclidisch vlak, waarin de posities van de deeltjes gegeven wordtdoor de coordinaten Xα = dα + ǫ/2hβ

αdβ (immers d2 = XαXα tot op 1ste orde in ǫ). De golven

h = e1 geven dan aanleiding tot het volgende gedrag in het XY -vlak,

[

X(t)Y (t)

]

=

[

X(0)(1 + ǫ2 cosωt)

Y (0)(1 − ǫ2 cosωt)

]

(5-2.11)

Een op t = 0 cirkelvormige ring van testdeeltjes zal dus in de X en Y richtingen samengetrokkenresp. uitgerokken worden tot een ellips, terwijl onder invloed van de e2 golf hetzelfde gebeurt, maarnu met ellipsen waarvan de assen gelegen zijn langs de bissectrices van de X, Y assen:

[

X(t)Y (t)

]

=

[

X(0) + ǫ2Y (0) cosωt)

Y (0) + ǫ2X(0) cosωt)

]

(5-2.12)

Met behulp van laser-interferometrie wordt verwacht dat dergelijk gedrag in de loop van ditdecennium nog zal bevestigd worden.

Hoofdstuk 6

Ist das wirklich so?

6-1 Zwak Equivalentiebeginsel

Alhoewel de eerste qualitatieve testen van WEP worden toegeschreven aan Simon Stevin en GalileoGalilei op het einde van de 16de eeuw, moeten we voor de eerste quantitatieve resultaten wachtenop Newton. Newton besefte dat de inertiele massa mI , die optreedt als maat voor de ‘traagheid’van een deeltje (mI~a = ~F ), en de passieve1 gravitationele massamP , die de kracht bepaalt waarmee

een deeltje wordt aangetrokken in een gravitationeel veld (~F = −mP∇V ), een verschillende rolspeelden in zijn theorie. Om over de massa van een deeltje te kunnen spreken, was het essen-tieel dat de verhouding mI/mP voor deeltjes van verschillende samenstelling constant was. Pasdan kon de wet mIa = mP g er voor zorgen dat de baan van dergelijke deeltjes onafhankelijkwas van hun samenstelling. Newton controleerde dit m.b.v. een slinger: de bewegingsvergelijk-ing mI lθ + sin θmP g = 0 geeft een periode T ≈ 2π

√

mI l/mP g, wat toeliet om met een relatievenauwkeurigheid van ongeveer 10−3 te verifieren dat mI/mP onafhankelijk was van de samenstellingder gebruikte testmassa’s:

2

∣

∣m(1)P /m

(1)I −m

(2)P /m

(2)I

∣

∣

m(1)P /m

(1)I +m

(2)P /m

(2)I

. 10−3 (6-1.1)

Aan het linkerlid van bovenstaande uitdrukking kunnen we een interpretatie geven, door bv. teveronderstellen dat de verschillende inwendige energie-vormen (rust-energie en bindings-energieent.g.v. de wisselwerkingen) op verschillende wijzen bijdragen tot mP en mI . We kunnen dan in hetalgemeen schrijven dat

mP = mI +∑

A

ηAEA

c2(6-1.2)

met EA de bindingsenergie t.g.v. wisselwerking A en met ηA een dimensieloze parameter, die eenmaat is voor de WEP-verbreking. Twee deeltjes, geplaatst in een zelfde gravitationeel veld ~g,

1de actieve gravitationele massa is de grootheid mA, die optreedt in V = −GmA/r

111

112 HOOFDSTUK 6. IST DAS WIRKLICH SO?

ondervinden dan een relatieve versnelling

η ≡2

∣

∣a(1) − a(2)∣

∣

∣

∣a(1) + a(2)∣

∣

= 2

∣

∣m(1)P /m

(1)I −m

(2)P /m

(2)I

∣

∣

m(1)P /m

(1)I +m

(2)P /m

(2)I

≈∣

∣

∑

A

ηA(E

(1)A

m(1)c2− E

(2)A

m(2)c2)∣

∣

≤∑

A

ηA

∣

∣

E(1)A

m(1)c2− E

(2)A

m(2)c2

∣

∣

(6-1.3)

De parameter η wordt de eotvos-parameter genoemd, naar Lorand von Eotvos (1848-1919), die erop het einde van de 19de eeuw in slaagde Newton’s resultaat te verbeteren met 5 grootte-ordes2.In het experiment van Newton was de rotatie van de slinger verantwoordelijk voor de termen inhet linkerlid van de bewegingsvergelijking, zodat variaties in de slingerlengte een natuurlijke limietplaatsten op de nauwkeurigheid van het experiment. Eotvos daarentegen gebruikte de rotatie vande aarde om haar as en een torsiebalans, waarvan de arm loodrecht stond op een meridiaanvlak: op

m1 m2d2d1

f2f1

as

q

GMrr

3

= )( as2w qr sin

S ( f + f )1 2~

Figuur 6.1: Eotvos - experiment

de deeltjes (1) en (2), opgehangen aan de balans, worden dan netto-krachten ~f = −mPGMr3 ~r+mI~aS

uitgeoefend, zodat een netto-moment ontstaat

n = (~d1 × ~f1 + ~d2 × ~f2).~s

Met ~s ∼ ~f1 + ~f2 en ~d1 ≈ −~d2 ≈ ~d, is dan

n =2~f1 × ~f2

|~f1 + ~f2|.~d

≈− ηm1m2

m1 +m2

GMω2d

rgsin θ cos θ

Natuurlijk is de resulterende afwijking van de torsiebalans niet direct waarneembaar, maar door deganse opstelling over 180o te draaien, kan wel een waarneembaar effect ontstaan (want ~n → −~n):

2gebruik makend van de torsiedraden van Charles Vernon Boyce (1855-1944), die erin geslaagd was om tot 9mlange kwartsdraden te produceren met een doormeter van 10−2 tot 2 · 10−3 mm!


de eerste resultaten op deze manier bekomen (η . 10−8) werden door Eotvos in 1890 gepubliceerd.Een belangrijk nadeel van het experiment was de noodzaak om het ganse instrumentarium over180o te moeten omkeren: daarom werd door Eotvos voorgesteld om de balans vast op te stellenin een meridiaanvlak. Weliswaar verdwijnt dan het netto-moment t.g.v. de dagelijkse rotatievan de aarde, maar de aantrekkingskracht van de zon zorgt nu voor een moment, dat bovendient.g.v. de dagelijkse rotatie een duidelijk herkenbaar signaal vertoont. Eotvos en zijn medewerkersbereikten hiermee η . 6 10−9 en recentere versies van het experiment resulteerden in η . 10−11 (3),η . 10−12 (4) en η . 10−13 (5). Een verbetering met nogmaals 2 tot 6 grootte-ordes mag verwachtworden van het MICROSCOPE (2009) en het STEP-experiment (Satellite Test of the EquivalencePrinciple), waarbij in een zgn. ‘drag-free satellite’ de beweging rond de aarde zal gevolgd wordenvan deeltjes met verschillende samenstelling.

6-2 Einstein’s Equivalentiebeginsel

Gravitationele frequentieverschuivingsexperimenten werden door Einstein beschouwd als een derdrie belangrijkste testen van A.R.. Vandaag echter zien we ze eerder als testen van EEP (i.h.b. dannog van LPI), omdat ze in alle metrische gravitatietheorieen identieke resultaten opleveren. Hetmag dan ook geen verwondering wekken dat Einstein al in een vroeg stadium —nog voor de meestewiskundige details van de theorie geformuleerd waren— in staat was om op basis van het equi-valentiebeginsel de frequentieverschuiving te voorspellen. We herhalen eerst Einstein’s redeneringen reproduceren vervolgens het resultaat vertrekkende van een statische en gekromde ruimte-tijd,waarbij we ook rekening houden met mogelijke afwijkingen van EEP.

In een gravitationeel frequentieverschuivingsexperiment wordt de frequentie- of golflengte-ver-schuiving z = ∆ν/ν = −∆λ/λ gemeten tussen twee frequentie-standaarden (ideale klokken,atomen, . . . ), die geplaatst zijn op verschillende hoogtes in een gravitatieveld. Is het hoogte-verschil tussen de twee waarnemers (bv. A op het oppervlak van de aarde en B op een hoogte h)niet te groot, dan vertelt het equivalentiebeginsel ons dat het effect van het gravitationeel poten-tiaalverschil ∆V = VA − VB = −gh op het gedrag van electromagnetische signalen uitgewisseldtussen A en B identiek moet zijn aan het effect dat ontstaat wanneer we A (achteraan) en B(vooraan) in een space shuttle plaatsen die onderhevig is aan een versnelling van 1g. Kiezen we dez-as van A naar B en zorgen we ervoor dat A zich in de oorsprong bevindt op t = 0, dan wordt depositie van A en B resp. gegeven door

zA =1

2gt2 en zB = h+

1

2gt2.

Zendt nu B twee signalen met een tussenpauze van ∆τB naar A (vertrekkend op resp. t = 0 en∆τB en aankomend op resp. t1 en t1 + ∆τA), dan legt het eerste signaal een afstand

zB(0) − zA(t1) = t1

af en het tweede signaal een afstand

zB(∆τB) − zA(t1 + ∆τA) = t1 + ∆τA − ∆τB .

3Roll, Krotkov en Dicke, 19644Braginsky en Panov, 19685Anderson en Williams, 2001


Invullen van de uitdrukkingen voor zA en zB geeft

h− 1

2gt21 = t1 en h− 1

2gt21 − gt1∆τA = t1 + ∆τA − ∆τB ,

waarna lid aan lid aftrekken resulteert in

∆τA = ∆τB(1 − gh) = ∆τB(1 + ∆V ).

Is bv. ∆τB de periode van een electromagnetisch signaal vertrekkend uit B naar A, dan blijktdus dat dit signaal in A ontvangen wordt met een kleinere periode (m.a.w. een grotere frequentieen een grotere energie: we spreken dan van een gravitationele blauwverschuiving). Definieren wede frequentieverschuiving z door

1 + z =∆τA∆τB

=ωB

ωA

dan is dusz = ∆V.

(wordt het signaal van A naar B gestuurd, dan treedt er analoog een gravitationele roodverschuivingop).

We leiden nu dit resultaat opnieuw af op een meer wiskundige manier, gebruik makend vaneen statisch gravitatieveld, met killing-vector ξ = ∂

∂t en met twee statische waarnemers A en Bdie de eigentijd meten verlopen langs hun wereldlijn tussen de tijdstippen t1 en t2 (t.t.z. tussende twee hypervlakken t = t1 en t = t2). De wereldlijnen van deze waarnemers zijn dus precies deintegraalkrommen van ξ: als (t, xα) aangepaste coordinaten zijn, dan worden deze wereldlijnengegeven door xα = constant. Alle gebeurtenissen in de hypervlakken t = constant zijn voorzulke waarnemers gelijktijdig. Als nu A en B beschikken over ideale klokken, waarmee de eigentijd

(A) (B)

a ax = x Aa ax = x B

t = t1

t = t2

Figuur 6.2: gelijktijdigheid

verlopen tussen t1 en t2 gemeten wordt, dan is voor A

∆τA =

∫ t2

t1

√

−gijdxi

dt

dxj

dtdt

=√

−gtt(xαA)(t2 − t1)

(6-2.1)


terwijl voor B een analoge betrekking geldt. Bijgevolg vinden we

∆τA∆τB

=

(

gtt(xαA)

gtt(xαB)

)1/2

(6-2.2)

Is EEP geldig, dan gaat bovenstaande redenering op voor een eigentijd ∆τ gemeten door om heteven welke frequentiestandaard (veer-, atoom- of biologische klok . . . ). Voor het bijzonder gevalvan de aarde zullen we in het volgend hoofdstuk afleiden dat gtt = −(1 − 2m/r), zodat

∆τA∆τB

=

(

1 − 2m/rA1 − 2m/rB

)1/2

≈ 1 +m(1

rB− 1

rA) (6-2.3)

wat < 1 is als rA < rB . Voor de z.g. gravitationele frequentieverschuiving z = ωB/ωA − 1 vindenwe dan opnieuw

z = VA − VB (6-2.4)

met V = −m/r de gravitationele potentiaal.NB: een gemakkelijke manier om in te zien dat in de Newtoniaanse benadering gtt ≈ 1 + 2V , is

van gebruik te maken van de geodetische vergelijking: uit d2xα

dt2 ≈ − ∂V∂xα en

d2xα

dt2= −Γα

ij

dxi

dτ

dxj

dτ≈ −Γα

44 =1

2

∂g44∂xα

volgt immers onmiddellijk dat g44 ≈ −2V + const.

De populaire vertaling van het resultaat (6-2.3) is dat ‘identieke klokken trager lopen in Adan in B’. Dit zorgt voor redelijk wat verwarring: de correcte interpretatie is dat de klokken evensnel lopen, maar verschillende wereldlijnen volgen en tussen de in de figuur aangeduide tijdstippentA en tB simpelweg verschillende eigentijden meten. Een moeilijkheid bij het hier beschrevenexperiment is dat de waarnemer in A, noch de waarnemer in B, weet wanneer de tijdstippent1 en t2 zijn aangebroken en dus ook niet weet wanneer hij zijn klok moet starten of stoppen. . . . Een mogelijke oplossing bestaat erin beide klokken eerst te synchroniseren in A, vervolgenseen der klokken te transporteren naar B en ze na voldoend lange tijd terug naar A te brengen:gebruiken we, bij wijze van illustratie, radioactief verval als frequentiestandaard, dan zou men—naterugkomst in A—kunnen vaststellen dat, van twee identieke hoeveelheden radioactief materiaal,bv. 49 % vervallen is van het materiaal dat was achtergebleven in A en 50 % van het materiaal datde trip naar B gemaakt heeft. Nogmaals: dit is niet omdat de wetten van het radio-actief vervalzich anders zouden gedragen langs A dan langs B, maar omdat ∆τA < ∆τB ...

Experimenten die dit effect verifieren zijn reeds uitgevoerd, maar blijven erg onnauwkeurig om-dat, tijdens de verplaatsing van een frequentiestandaard een niet te verwaarlozen doppler-effectoptreedt. In principe kan dit opgevangen worden door het ‘verblijf’ in B lang genoeg te maken,zodat het (cumulatief) gravitationeel effect het doppler-effect gaat domineren. Helaas zijn demeest precieze frequentiestandaarden waarover we vandaag beschikken, slechts stabiel over kortetijdspannes6. Daarom wordt gewoonlijk gebruik gemaakt van een meer indirect experiment, waar-bij de frequentiestandaard in B bv. lichtsignalen uitzendt naar A, waar deze vergeleken wordenmet de signalen van een in A geplaatste referentie-standaard. Voor de frequentie van de in B

6Cs-fountain klokken zoals NIST-F1 bereiken een nauwkeurigheid van 10−15 over een periode van enkele 103 smaar zijn niet erg transporteerbaar


A receiver referentie-standaard

B emitter

Figuur 6.3: gravitationele verschuiving

geemitteerde golf, ω(e)B , vinden we dan uit 2-6.36:

ω(e)B = −(kiu

i)B = −(kiξ

i

‖ξ‖ )B (6-2.5)

Omdat langs de nul-geodeten kiξi behouden blijft (zie 1-12), zal in A een signaal ontvangen worden

met frequentie ω(r)A gegeven door

ω(r)A .‖ξ‖A = ω

(e)B .‖ξ‖B (6-2.6)

zodatω

(e)B

ω(r)A

=

(

gtt,A

gtt,B

)1/2

= 1 + VA − VB (6-2.7)

Nu kunnen we in de praktijk ω(r)A niet vergelijken met ω

(e)B , maar wel met ω

(e)A , zodat voor de

waargenomen frequentieverschuiving z geldt dat

1 + z =ω

(e)A

ω(r)A

=ω

(e)A

ω(e)B

ω(e)B

ω(r)A

(6-2.8)

In de eerste factor van deze uitdrukking kunnen nu bijdragen optreden, die te wijten zijn aanafwijkingen van EEP, zodat we bekomen dat

z = (1 + δ)(VA − VB) (6-2.9)

met δ een parameter die nul is in elke metrische gravitatietheorie.Bestaan er afwijkingen van EEP, door bv. een plaatsafhankelijke fijn-structuurconstante α, dan zalbv. een experiment met SCSO-klokken (Superconducting Cavity Stabilised Oscillators, waarvoorde periode een veelvoud is van de bohr-straal en dus van α) leiden tot

z =αB

αA(1 + VA − VB) − 1

=(1 + δ)∆V(6-2.10)

6-3. METRISCHE THEORIEEN EN HET ZONNESTELSEL 117

met δ = ∆α/α∆V . De eerste succesvolle experimenten werden door Pound, Rebka en Snideruitgevoerd in Harvard (1960-65), door de frequentieverschuiving te meten van γ-fotonen afkomstiguit een Fe57 kern: men bewam hierbij dat |δ| . 10−1. Tot vandaag blijft het meest preciezeexperiment het Vessot-Levine (Gravity Probe A, 1976) experiment, waarbij de frequentie van een ineen raket verplaatste H-maser vergeleken werd (gedurende een vlucht tot op 10.000 km hoogte) metde frequentie van een identieke H-maser op de grond: dit resulteerde in de beperking |δ| . 2 10−4.Tegenwoordig worden gravitationele correcties (zowel als de meer vertrouwde doppler-correcties)courant gebruikt bij Global Positioning Systems. De gravitationele correctie is hierbij zelfs groterdan de correctie t.g.v. de tijdsdilatatie: voor een satelliet in een cirkelvormige baan op een hoogtevan 18000 km is immers de gravitationele correctie gegeven door GM/r(= v2) ≈ 16 10−11 terwijlv ≈ 1.3 10−5 en dus

√1 − v2−1 ≈ 8 10−11. Dit mag allemaal futiel lijken, maar bedenk dat, zonder

deze kleine correctietermen in acht te nemen, na 5 minuten de door je GPS ontvangen klokdata jeal minstens 15 m naast je werkelijke positie zouden plaatsen!

Wijzen we er tenslotte nog op dat de uitdrukking 6-2.4 voor de roodverschuiving, die optreedtwanneer een electromagnetische golf zich beweegt van A naar B, ook te bekomen is door toepassingvan de wet van behoud van energie op een foton dat uit de gravitationele potentiaal-put klimt. Heteffect werd trouwens waargenomen bij het onderzoek van de spectraallijnen van witte dwergen.

6-3 Metrische Theorieen en het Zonnestelsel

6-3.1 Algemeenheden

Metrische gravitatietheorieen verschillen in hun voorspellingen voor het gedrag van testdeeltjes enfotonen in het zonnestelsel enkel in de vorm van de metriek die dit gedrag bepaalt. Voor elkemetrische theorie kan de metriek van het zonnestelsel (bekomen via oplossingen van de correspon-derende veldvergelijkingen), ontwikkeld worden als Taylor-reeks in grootheden, die zijn opgebouwduit de newtoniaanse potentiaal en de materieverdeling van het zonnestelsel. Dit leidt tot het zgn.PPN-formalisme (Parametrised Post Newtonian formalism), waarin een nauwkeurige boekhoudingvan de gebruikte grootte-ordes van belang is. Aangezien een bespreking van dit formalisme veelte ver zou voeren, beperken we ons in deze paragraaf tot een model van een sferisch symmetrischen statisch zonnestelsel7, met als enige variabele de newtoniaanse potentiaal V = −m/l, met m demassa van de zon. Ontwikkelen we de metriek naar deze variabele, dan kan aangetoond wordendat

ds2 = −(1 − 2m

l+ 2β

m2

l2+ · · · )dt2 + (1 + 2γ

m

l+ · · · )(dx12

+ dx22+ dx32

) (6-3.1)

met l2 = x12+ x22

+ x32. Voor de meeste testdeeltjes in het zonnestelsel geldt dat v2 ≈ m/l:

termen als gαβ treden dus in de bewegingsvergelijking enkel op in de combinatie gαβml , zodat we

de coefficient van dt2 moeten ontwikkelen tot op tweede orde in V , als we eerste-orde correcties ophet ruimtelijk deel van de metriek in acht willen nemen.

Vervolgens voeren we z.g. standaard-coordinaten in, door de substitutie r = l(1 + γm/l). Dit leidttot de metriek

ds2 = −B(r)dt2 +A(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2 (6-3.2)

7zie volgend hoofdstuk voor een verklaring van de terminologie


met

B(r) ≈(1 − 2m

r+ 2(β − γ)

m2

r2) (6-3.3)

en

A(r) ≈1 + 2γm

r

In elke metrische theorie hebben β en γ (de z.g. eddington-robertson-parameters) welbepaaldenumerieke waarden8. Voor het bijzonder geval van A.R., geldt een zeer eenvoudige gedaante: inHoofdstuk 7 tonen we aan dat voor de schwarzschild-oplossing β = γ = 1.

Om de beweging van testdeeltjes in een ruimte-tijd met metriek 6-3.2 na te gaan, construerenwe eerst een volledig stel integralen van de geodetische vergelijkingen, zonder deze vergelijkingenechter expliciet op te stellen! We maken daartoe gebruik van de behoudswetten uiξ(A)

i = constant,met ui = dxi/dλ (λ een affiene parameter) en met ξ(A) de 4 killing-vectoren van een statische en

sferische symmetrische metriek9: ξ(1) = ∂∂t , ξ(2) = ∂

∂φ , ξ(3) = cosφ ∂∂θ − sinφ cot θ ∂

∂φ en ξ(4) =

sinφ ∂∂θ + cosφ cot θ ∂

∂φ .De eerste drie killing-vectoren leveren de volgende behoudswetten:

Bdt

dλ=constant (6-3.4)

r2 sin2 θdφ


r2 cosφdθ

dλ− sinφ cot θ

dφ


(de vierde killing-vector geeft geen extra informatie).Uit 6-3.6 volgt dat een beweging, die begint in het θ = π

2 -vlak (wat zonder verlies van alge-meenheid kan worden aangenomen), steeds beperkt blijft tot dit vlak (dit was intuıtief ook welte verwachten voor sferische symmetrie!). Normaliseren we dan de affiene parameter zo dat oponeindig λ = t, dan reduceren de vergelijkingen 6-3.4 en 6-3.5 zich in het θ = π

2 -vlak tot

Bdt

dλ=1 (6-3.7)

en

r2dφ

dλ=J (6-3.8)

Een laatste integraal van de bewegingsvergelijkingen volgt tenslotte uit het feit dat uiui constant

is:

gijuiuj = −B(

dt

dλ)2 +A(

dr

dλ)2 + r2(

dφ

dλ)2 = −E (6-3.9)

met E = 0 voor massaloze en E > 0 voor massieve deeltjes. Noteer dat λ voor deze laatste nietde eigen-tijd is, want (dτ/dλ)2 = E.

8dat de eerste orde coefficient in gtt dezelfde is voor alle metrische theorieen, is een gevolg van EEP!9zie Hoofdstuk 6


M.b.v. 6-3.7 en 6-3.8 bekomen we dan

r2dφ

dt=JB (6-3.10)

en

− 1

B+J2A

r4(dr

dφ)2 +

J2

r2= −E (6-3.11)

Voor trage beweging in een zwak gravitatieveld reduceren deze vergelijkingen zich tot de Newton-iaanse vergelijkingen

r2dφ

dt=J (6-3.12)

en

1

2[(dr

dt)2 + r2(

dφ

dt)2] − m

r=

1 − E

2(6-3.13)

voor een deeltje met draaimoment per eenheidsmassa = J en met kinetische + gravitationeleenergie per eenheidsmassa = 1−E

2 . Noteer dat we met het concept ‘energie’ voorzichtig moetenomspringen: de ‘echte’ (i.e. behouden) totale energie per eenheidsmassa is voor een statische

waarnemer (met killing-vector ξ = ∂∂t ) gegeven door −g(ξ,u) = −gijξ

i dxj

dτ = B dtdτ = dλ

dτ = E−1/2.

Als nu E−1/2 ≈ 1 + ǫ met ǫ klein, dan is ǫ ≈ 1−E2 , zodat de gravitationele + kinetische energie per

eenheidsmassa = E−1/2 − 1 ≈ 1−E2 .

Definieren we nu, net zoals in het newtoniaanse geval, u = 1/r, dan bekomen we

(du

dφ)2 +

1

AQ = 0 (6-3.14)

metQ = u2 − J−2

(

1 − E + 2mu+ 2m2(2 + γ − β)u2))

. (6-3.15)

Met A = 1 en Q = u2 − J−2(1−E+ 2mu) bekomen we de Newtoniaanse baanvergelijking metals oplossing

u = mJ−2(1 + e cosφ)

en

2a = r+ + r− = u−1± + u−1

− =2mJ−2

1 − e2.

6-3.2 Gebonden beweging

Voor een gebonden beweging wordt de kwadratische vorm Q nul voor precies twee waarden vanu, namelijk u = u± = 1/r±, met r± de afstanden tot respectievelijk aphelium en perihelium. Ergeldt dan

Q = k(u− u−)(u− u+) (6-3.16)

met

k =1 − 2m2

J2(2 + γ − β) (6-3.17)


en

k =2mJ−2

u+ + u−(6-3.18)

Uit 6-3.14 bekomen we dan, na een halve ‘omwenteling’10,

φ+ − φ− =

∫ u−

u+

∣

∣

A

Q

∣

∣

1/2du =

1√k

∫ u−

u+

(1 + γmu) du√

(u− u+)(u− − u)(6-3.19)

of, met u = 12 (u+ + u−) − 1

2 (u− − u+) sinψ

φ+ − φ− =1√k

∫ π/2

−π/2

[1 +γm

2(u+ + u−) − γm

2(u− − u+) sinψ] dψ

≈ π√k

(1 + γm2J−2) ≈ π[1 +m2

J2(2 + 2γ − β)].

(6-3.20)

Hierbij werd de benaderingk ≈ 1 −m(u+ + u−)(2 + γ − β) (6-3.21)

gebruikt, die volgt uit het feit dat de parameter ǫ = m2/J2 in het zonnestelsel erg klein is (voorMercurius is ǫ ≈ 10−7) en dus mJ−2 ≈ 1

2 (u+ + u−). Per omwenteling vinden we hiermee eenprecessie van het perihelium

∆φ =6πm2

J2.2 + 2γ − β

3(6-3.22)

waarbij in A.R. de tweede factor van het rechterlid precies = 1 is.Vermits

mJ−2 ≈ u+ + u−2

=1

2a(

1

1 + e+

1

1 − e) =

1

a(1 − e2)

met a de halve lange as en e de excentriciteit van de (in benadering) ellipsvormige baan, kunnenwe dit ook nog schrijven als

∆φ =6πm

a(1 − e2).2 + 2γ − β

3(6-3.23)

Voor Mercurius, met 415 omwentelingen per eeuw, geeft A.R. dan een precessie van 43.03′′ pereeuw, wat exact in overeenstemming is met de experimentele gegevens. Voor de andere planetenwordt het effect snel kleiner en worden, t.g.v. de kleine excentriteiten, de onnauwkeurigheden bijde bepaling van het perihelium groter. Alleen met Icarus (e = 0.827) wordt een vergelijkbarenauwkeurigheid bereikt.

10we gebruiken deze term alhoewel de banen nu geen gesloten krommen zijn


Icarus

Aarde

Venus

Mercurius

Planeet a(10 km)6 e

p6 ma(1-e )

2 aantal omwentelingeneeuw (A.R.)

161.0

149.60

108.21

57.91

0.827

0.0167

0.0068

0.2056

0.115”

0.038”

0.058”

0.1038”

0.115”

0.058”

0.1038”

100

89

149

415

3.8

10.3

8.6

43.03

(”/eeuw)Df

5.0 1.2

9.8 0.8

8.4 4.8

43.11 0.45

(waargenomen)

Figuur 6.4: precessie

6-3.3 Ongebonden beweging

Bekijken we tenslotte de ongebonden beweging van een deeltje met impactparameter b ≈ r sin(φ∞−φ) ≈ r(φ∞−φ) en met snelheid v ≈ dr/dt: De integratieconstante E in 6-3.11 is dan gegeven door

m

r

r bo

F Fh

Figuur 6.5: afbuiging van het licht

E = 1 − v2 en, als we de afstand van dichtste benadering r0 noemen (zodat drdφ |r0

= 0), volgt erdat

J = r0

(

1

B(r0)− 1 + v2

)1/2

(6-3.24)

Voor een foton (v = 1) is i.h.b. J−2 = r0−2B(r0), zodat 6-3.15 gereduceerd wordt tot

Q = u2 − u02B(r0)(1 + 2mu+ 2m2(2 + γ − β)u2) (6-3.25)

Vermits nu B(r0) ≈ 1 − 2mu0 + 2(β − γ)m2u02, is

Q ≈ (u2 − u02).(1 − 2mu0

2

u+ u0) (6-3.26)


(let op de tweede factor!) en dus

dφ

du≈

1 + γmu+ mu02

u+u0√u0

2 − u2. (6-3.27)

Na integratie wordt de afbuiging van het licht, ∆φ, dan uiteindelijk gegeven door

∆φ =2|φ(u0) − φ∞| − π

≈4m

r0.1 + γ

2

(6-3.28)

Voor de zon betekent dit een maximale afwijking (namelijk als r0 = R⊙) van

∆φ ≈ 1.75′′.1 + γ

2(6-3.29)

Deze hoek wordt gemeten door de onderlinge hoekafstand te vergelijken van twee ‘vaste’ hemel-lichamen, tussen een tijdstip waarop een van beide zich ‘dicht’ bij de zon bevindt en een tijdstipwaarop beide zich ‘ver’ van de zon bevinden (bv. 6 maanden later). Voor waarnemingen in hetoptisch venster impliceert dit dat het eerste stel waarnemingen moet gebeuren tijdens een volledigeeclips. Omdat in de praktijk r0 niet kleiner mag zijn dan ongeveer 2R⊙ en omdat het oplossendvermogen van telescopen van de orde 0.1′′ is, mogen we van dergelijke waarnemingen geen hogenauwkeurigheid verwachten. Desondanks waren de resultaten van Eddington’s 1919 eclips expedi-tie zo prachtig in overeenstemming met de voorspellingen van A.R., dat de theorie er in een klapmee in het centrum van de toenmalige belangstelling raakte.

Na de tweede wereldoorlog werd meer en meer overgestapt op het gebruik van radio-interferometrie,zodat we met een veel hogere nauwkeurigheid (het oplossend vermogen bedraagt dan 3 10−4′′), dehoekafstanden kunnen volgen tussen QSO’s (Quasi Stellaire Objecten). Op deze wijze was men ookniet langer beperkt tot eclips-waarnemingen. Tegenwoordig is het zelfs mogelijk om met z.g. VeryLong Baseline Interferometry het effect van de lichtafbuiging te meten voor bronnen, die zich opeen hoek van 90o van de zon bevinden (∆φ is dan ≈ 4 10−3′′). De verzamelde metingen van delaatste decennia hebben alzo geleid tot het resultaat

γ = 1.000 ± 0.004 (6-3.30)

Een vergelijkbare nauwkeurigheid wordt bereikt met de tijd-oponthoud experimenten. Hierbijwordt een radarsignaal vanop aarde doorheen het zonnestelsel gezonden en, na reflectie op hetoppervlak van een planeet, weer ontvangen. Met 6-3.2 kan de precieze tijd berekend worden, dieverloopt tussen emissie en ontvangst van het signaal. Het verschil met de newtoniaanse ‘heen-en-terug-tijd’ is wat het relativistische tijd-oponthoud genoemd wordt. Voor Mercurius in bovencon-junctie bedraagt dit ongeveer 240µs op een totaal van 20 minuten. Dergelijke experimenten werdenlang bemoeilijkt door onzekerheden in de ephemeris van de reflecterende planeet en onzekerhedenm.b.t het reflecterende oppervlak. Beide moeilijkheden werden opgevangen met de plaatsing vande Viking-landers op het oppervlak van Mars. Hiermee kon een uiterst betrouwbare ephemerisvoor Mars worden opgesteld (door radar-tracking ver van bovenconjunctie), waarna een klein-ste kwadraten-analyse van voorspelde en waargenomen heen-en-terug-tijd uiteindelijk leidde totγ − 1 = ±0.002 (Reasenberg, 1979). De meest precieze data worden momenteel bekomen uitDoppler tracking van de CASSINI-missie (2002): γ − 1 = (6 ± 4) 10−5.


6-3.4 Gravity Probe B

Na tientallen jaren oponthoud werd in 2004 de Gravity Probe B satelliet gelanceerd. Het betrefteen ‘drag-free satellite’, waarin 4 kwarts-gyroscopen met een spin-frequentie van 150 Hz in eenpolaire baan op 640 km hoogte worden gebracht. De ‘vrij vallende’ gyroscopen (die ondertusseneen laboratorium testperiode van ongeveer 105 uur achter de rug hadden) zullen de geodetischeprecessie (door A.R. voorspelde waarde 6.6′′ per jaar) en het meesleep-effect t.g.v. de rotatie van deaarde (het z.g. Lense-Thirring effect — voorspelde waarde 0.042′′ per jaar) testen met een precisievan resp. 10−4 en 10−2. Men is nog steeds (2007) bezig met de verwerking van de binnengekomendata.

Hoofdstuk 7

Bijzondere Oplossingen

7-1 Inleiding

In dit hoofdstuk vatten we de studie aan van een aantal belangrijke oplossingen van de einstein-veldvergelijkingen, te beginnen uiteraard met de meest eenvoudige. Vermits de einstein-vergelij-kingen partiele differentiaalvergelijkingen zijn, ligt het voor de hand eerst te kijken naar situatieswaarin het aantal veranderlijken zo klein mogelijk is (in sommige gevallen zullen we de verge-lijkingen dan zelfs kunnen reduceren tot gewone differentiaalvergelijkingen). Daartoe maken wegebruik van opgelegde symmetrie-eisen.

Een van de eigenschappen die we kunnen opleggen is dat de oplossingen stationair zijn. Intuıtiefhoudt dit in dat coordinaten (t, xα) kunnen gekozen worden, zo dat de componenten van demetriek enkel functies zijn van de xα. Gebruik makend van wat we in hoofdstuk 1.12 gezienhebben, herformuleren we dit op coordinaat-onafhankelijke wijze als volgt:

Een ruimte-tijd (M, g) is stationair als en slechts als een tijd-achtig killing-vectorveld ξbestaat, met de eigenschap dat LξΨ = 0 voor alle materievelden Ψ gedefinieerd op M.

Met ξ = ∂∂t geldt dan inderdaad dat

∂gij

∂t = 0 ∀ i, j. Noteer de extra eis dat de materievelden

de symmetrie overerven: als∂gij

∂t = 0 dan volgt uit de veldvergelijkingen weliswaar dat∂Tij

∂t = 0,

maar dit impliceert geenszins dat de materievelden, waaruit T is opgebouwd, voldoen aan ∂Ψ∂t = 0

(tegenvoorbeelden zijn gekend o.a. voor een maxwell-veld).

Is (M, g) stationair, dan geldt in locale coordinaten dat gij = gij(xα). In het algemeen zullen in ds2

dus nog kruistermen dt dxα optreden. De aanwezigheid van deze termen impliceert (1) dat g nietnoodzakelijk invariant is onder de reflectie t → −t (wat gewoonlijk duidt op de aanwezigheid vanrotaties) en (2) dat waarnemers verbonden aan de integraalkrommen van ξ = ∂

∂t niet noodzakelijkeensgezinde uitspraken kunnen maken over de gelijktijdigheid van gebeurtenissen. Voor dit laatstemoeten eerst de locale rust-ruimtes (de orthogonale complementen in Tp(M) van ∂

∂t ) van dezewaarnemers glad aan elkaar gesloten worden. Volgens de discussie in 1-11.3 vereist dit dat ξhyperoppervlak-orthogonaal is. Dit brengt ons tot de volgende definitie:

Een ruimte-tijd (M, g) is statisch als en slechts als een tijd-achtig hyperoppervlak-orthogonaalkilling-vectorveld bestaat, met de eigenschap dat LξΨ = 0 voor alle op M gedefinieerde ma-terievelden Ψ.

125

126 HOOFDSTUK 7. BIJZONDERE OPLOSSINGEN

Is (M, g) statisch, dan bestaan locale coordinaten zodat

ds2 = −e2U(xν)dt2 + hαβ(xν)dxαdxβ (7-1.1)

met −e2U = ξ2. De metriek is dan duidelijk invariant onder de reflectie t → −t. Bovendienkan men aantonen (c.f. Weinberg) dat de metriek ds(3)

2 = hαβ(xν)dxαdxβ kan gediagonaliseerdworden, zodat voor een statische ruimte-tijd steeds geldt dat

ds2 = −e2U(xν)dt2 +

3∑

α=1

fα(xν)dxα2 (7-1.2)

Zelfs met deze vereenvoudigingen blijven de einstein-vergelijkingen nog altijd een uiterst gecom-pliceerd stelsel: van de vacuum vergelijkingen (Rij = 0) zijn alle zogenaamd algebraisch ontaarde1

oplossingen gekend, maar slechts een handvol van de niet-ontaarde oplossingen is tot dusver gevon-den!

1Levi-Civita, 1920

7-2. SFERISCHE SYMMETRIE 127

7-2 Sferische symmetrie

De veldvergelijkingen kunnen nog sterker vereenvoudigd worden door, i.p.v. het bestaan op teleggen van een killing-vectorveld (dus het bestaan van een een-dimensionale symmetrie-groep), hetbestaan te eisen van een r-dimensionale symmetrie-groep met r > 1. Een van de fysisch meestrelevante gevallen is dat van sferische symmetrie, waarbij we eisen dat een ruimte-tijd een metSO(3) isomorfe 3-dimensionale groep van isometrieen bezit, zo dat (a) de generatoren van dezegroep ruimte-achtige vectoren zijn en (b) de banen Op van de groep diffeomorf zijn met de 2-sfeer(de baan van een symmetrie-groep G in een punt p van M is de verzameling van alle punten p′

die bekomen worden door willekeurige elementen van G op p te laten werken). Net zoals in vorigeparagraaf eisen we bovendien dat alle materievelden de symmetrie van de groep overerven.

Als we de voorwaarde (b) verzwakken en enkel opleggen dat de banen 2- dimensionaal zijn, danvolgt uit 1-12 dat de banen maximaal symmetrisch zijn en dus een geınduceerde metriek hebbenvan de vorm 1.12.19,

ds2(2) = Y 2(dx2 + Σ2dy2) met Σ = sinx, x, of sinhx (7-2.1)

Naargelang de vorm van Σ spreken we dan respectievelijk van een sferisch symmetrische, planairsymmetrische of pseudo-sferisch symmetrische varieteit.

Vervolgens kan men aantonen (cf. Weinberg of Kramer et al.) dat bovenstaande voorwaardenleiden tot het bestaan van een coordinaatstelsel waarin de metriek te schrijven is als

ds2 = f(u, v)du2 + g(u, v)dv2 + h(u, v)dudv + Y 2(u, v)(dx2 + Σ2dy2) (7-2.2)

Beperken we ons verder tot het sferisch symmetrische geval en diagonaliseren we de metriek vande (u, v)-ruimte, dan bekomen we uiteindelijk

ds2 = −e2νdt2 + e2λdr2 + Y 2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-2.3)

met ν, λ en Y functies van r en t. De killing-vectoren worden dan gegeven door

ξ1 =cosφ∂

∂θ− sinφ cot θ

∂

∂φ

ξ2 =∂

∂φ

ξ3 =sinφ∂

∂θ+ cosφ cot θ

∂

∂φ

(7-2.4)

Voeren we een orthogonale basis in met ω1 = Y dθ, ω2 = Y sin θdφ, ω3 = eλdr en ω4 = eνdt ennoteren we met ˙ en ′ respectievelijk de partiele afgeleiden naar t en r, dan kan geverifieerd wordendat de connectievormen gegeven worden door

ΓN3 =e−λY

′

YωN (N = 1, 2)

ΓN4 =e−ν Y

YωN (N = 1, 2)

Γ43 =e−λν′ω4 + e−ν λω3

Γ21 =

1

Ycot θω2

(7-2.5)


Hiermee vinden we voor de componenten van de einstein-tensor

G11 =G22 = e−2λ(ν′′ + ν′2 − ν′λ′ +

Y ′′

Y+Y ′

Yν′ − Y ′

Yλ′)

− e−2ν(λ+ λ2 − λν +Y

Y+Y

Yλ− Y

Yν) (7-2.6)

G33 = − 1

Y 2− 2

Ye−2ν(Y − Y ν +

Y 2

2Y) +

2

Ye−2λ(Y ′ν′ +

Y ′2

2Y) (7-2.7)

G44 =1

Y 2− 2

Ye−2λ(Y ′′ − Y ′λ′ +

Y ′2

2Y) +

2

Ye−2ν(Y λ+

Y 2

2Y) (7-2.8)

G34 = − 2

Ye−ν−λ(Y ′ − Y ν′ − Y ′λ) (7-2.9)

Vermits Y −2 de kromming is van de maximaal symmetrische 2-ruimte, is Y een invariant en bestaater een fysisch onderscheid tussen gebieden waar (∇Y )2 ≡ gijY,iY,j = e−2λY ′2 − e−2ν Y 2 > 0 (R-gebied), < 0 (T-gebied), of = 0.

Merk ook op dat de vorm 7-2.3 niet uniek is: coordinaattransformaties die het diagonale karak-ter van de metriek van de (r, t) ruimte behouden zijn nog steeds toegelaten: zo kunnen in de Rgebieden coordinaten gekozen worden zodat Y = r (ga na!). Bekijken we hiermee het bijzondergeval van vacuum oplossingen, dan blijkt onmiddellijk uit 7-2.9 dat λ = 0, zodat 7-2.7 impliceertdat ν′ = 0. Bijgevolg is eν separabel in r en t en kan dus , mits een herdefinieren van de tcoordinaat, eν onafhankelijk van t gekozen worden. In de T-gebieden komen we, mits omwisselenvan r en t, tot precies dezelfde conclusie. Anderzijds kan men aantonen dat er geen open delenvan (M, g) bestaan waarin (∇Y )2 = 0 en Gab = 0. Dit is het makkelijkst te verifieren door 7-2.3te herschrijven als ds2 = 2H(u, v)dudv + Y 2(u, v)(dθ2 + sin2 θdφ2): de voorwaarde (∇Y )2 = 0vereenvoudigt zich dan tot Y = f(u) of g(v).

Samenvattend bekomen we de volgende belangrijke stelling (G.D. Birkhoff 1923):

Elke sferisch symmetrische vacuum oplossing van de einstein-vergelijkingen bevat een 4-dimensionale isometrie-groep. De extra killing-vector is tijdachtig in het R-gebied en ruimte-achtig in het T-gebied.

De oorspronkelijke formulering dat sferisch symmetrische vacuum oplossingen statisch zouden zijngeldt dus enkel voor het R-gebied! De stelling kan veralgemeend worden (a) tot planaire en pseudo-sferisch symmetrische oplossingen en (b) tot oplossingen voor energie-impuls tensoren van het ‘Λtype’ (Tab = Λgab) of van maxwell-velden. Voor deze laatste moet dan wel de extra voorwaarde(∇Y )2 6= 0 toegevoegd worden.

7-3. SCHWARZSCHILD-OPLOSSING 129

7-3 Schwarzschild-oplossing

We maken nu gebruik van de birkhoff-stelling om een unieke familie vacuum-oplossingen van 6.2.6-7-2.9 te bekomen. Om de gedachten te vestigen kijken we eerst naar het R-gebied (Y = r): optellenvan G33 en G44 toont dat λ′ + ν′ = 0 zodat, mits herdefinieren van de tijd-coordinaat, λ = −ν.Hiermee geeft 7-2.7 (re2ν)′ = 1, wat we (met m een constante) integreren tot e2ν = 1 − 2m

r . Voorde metriek bekomen we dan (K. Schwarzschild, 1916)

ds2 = −(1 − 2m

r)dt2 + (1 − 2m

r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-3.1)

met killing-vectoren gegeven door 7-2.4 en ξ4 = ∂∂t en r > 2m. Een analoge redenering in het

T-gebied levert dezelfde vorm 7-3.1 op, maar met omwisseling van r en t (en t < 2m). Vermitsde naamgeving van coordinaten volstrekt irrelevant is, stelt 7-3.1 de unieke oplossing voor vande vacuum einstein-vergelijkingen met sferische symmetrie (op diffeomorfismen na). Verliezen wehierbij echter niet uit het oog dat een ruimte-tijd gedefinieerd werd als een varieteit voorzien vaneen niet-ontaarde en gladde metriek: vermits de coefficient grr singulier is voor r = 2m, geldt dat7-3.1 de metriek bepaalt van twee verschillende varieteiten: (M(1),g) met r > 2m en (M(2),g)

met r < 2m. De extra killing-vector is in beide gevallen ξ = ∂∂t , met ξ tijdachtig in (M(1),g) en

ruimte-achtig in (M(2),g). Deze twee ruimte-tijden corresponderen dus precies met de hiervoor

reeds vermelde R- en T-gebieden, vermits (∇Y )2 = gijr,ir,j = grr = 1− 2mr . De naam gebieden is

enigszins misleidend, omdat dit suggereert dat (M(1),g) en (M(2),g) deelvarieteiten zouden zijnvan een zelfde varieteit (M,g). Deze indruk wordt nog versterkt door het feit dat we dezelfdesymbolen (r, t,...) gebruiken voor de coordinaatfuncties in beide varieteiten, met r > 2m in de eneen r < 2m in de andere. Tot nu hebben we echter geen enkele garantie dat we ons het T-gebiedmogen voorstellen alsof het ‘in’ het R-gebied gelegen was!

Een opmerkelijke eigenschap is dat het R-gebied asymptotisch vlak is, d.w.z. voor r → ∞ be-naderen de componenten van g deze van de minkowski-metriek, uitgedrukt in sferische coordinaten.Dit laat ons toe het R-gebied te beschouwen als het uitwendig gravitatieveld van een geısoleerdlichaam: de integratieconstante m kan dan geınterpreteerd worden door het gedrag van testdeelt-jes te vergelijken met hun gedrag in newtoniaanse gravitatie. Een studie van de geodeten van deschwarzschild-metriek (cf. hoofdstuk 5) toont aan dat, voor r voldoende groot, het gedrag van eentestdeeltje correspondeert met dat van een testdeeltje in een newtoniaanse potentiaal Φ = −m

r(gebruik makend van eenheden waarin G = 1 en c = 1; met de gebruikelijke eenheden zoudenwe in 7-3.1 1 − 2m/r moeten substitueren door 1 − 2Gm/c2r). We identificeren daarom voor-taan m met de massa van het centrale, graviterende lichaam. Drukken we m uit in eenheden vanzonsmassa’s, dan definieren we de schwarzschild-straal als rS = 2Gm

c2 ≈ 3( mm⊙

)km. Voor ‘gewone’

objecten, zoals de aarde, de zon, ... is dus rS veel kleiner dan de straal R van deze objecten, zodatvoor de studie van het uitwendig gravitationeel veld enkel het R-gebied in aanmerking komt en,meer in het bijzonder, dan nog enkel het r > R deel van dit gebied.


Op het eerste zicht lijkt het dus vanuit fysisch standpunt weinig zinvol om de eigenschappenvan het R gebied te onderzoeken nabij r = rS . Aan de andere kant is een blik op 7-3.1 voldoendeom ons te overtuigen dat dit precies de plek is waar wat boeiends te beleven valt . . . . Een handighulpmiddel, dat we hierbij vaak zullen gebruiken, zijn ruimte-tijd diagrammen, waarbij een ofmeer dimensies zijn weggelaten. We zijn i.h.b. geınteresseerd in het gedrag van nulgeodeten(lichtsignalen), omdat deze ons immers ook een qualitatief inzicht geven in het gedrag van tijd-achtige geodeten, die op hun beurt corresponderen met de banen van testdeeltjes.

We beginnen met het eenvoudigste geval te bekijken, nl. de radiale nulgeodeten, waarvoor weθ = π

2 en φ = 0 kunnen stellen. Uit ds2 = 0 volgt onmiddellijk

dt

dr= ± r

r − 2m(7-3.2)

en dust = ±(r + 2m log |r − 2m|) + constante (7-3.3)

De familie met, in het R-gebied, dtdr > 0 noemen we de uitgaande familie van radiale nulgeodeten

en die met dtdr < 0 de inkomende familie. In een ruimte-tijd diagram waarin twee dimensies (θ en

φ) zijn weggelaten (en waarin elk punt dus een twee-sfeer met oppervlakte 4πr2 voorstelt), wordende twee families als volgt voorgesteld:

Figuur 7.1: R-gebied in standaardcoordinaten

7-3. SCHWARZSCHILD-OPLOSSING 131

In het T-gebied bekomen we met dezelfde conventies volgend diagram:

t

0

r = 2m

r

Figuur 7.2: T-gebied in standaardcoordinaten

Een vraag die bij deze figuren onmiddellijk rijst, is of het singuliere gedrag van grr (in 7-3.1)wijst op een of andere fysische ‘barriere’, die ons belet van de ene varieteit (R-gebied) naar deandere (T-gebied) te raken, dan wel op de aanwezigheid van een z.g. coordinaatsingulariteit.

Met het begrip coordinaatsingulariteit zijn we reeds vertrouwd n.a.v. de introductie van poolcoordinatenin het euclidische vlak: we definieren dan op M = R

2\(0, 0) een niet-ontaarde metriek g =dr⊗ dr+ r2dθ⊗ dθ en bekijken een radiale geodeet γ(λ) ≡ (r = r0 + λ, θ = constant), met λ eenaffiene parameter. Het domein I van γ is dus I =] − r0, ∞[: bewegen we ons naar de oorsprongtoe, dan bevinden we ons, na een eindige afstand r0 te hebben afgelegd, niet meer in de varieteitM! We zeggen dat de geodeet γ -ondanks zijn eindige lengte- geen beginpunt heeft en dus nietvolledig is (een punt p ∈ M wordt een beginpunt (eindpunt) van een kromme γ : I → M genoemd,als voor alle omgevingen V van p een t0 ∈ I bestaat zodat voor alle t < t0 (t > t0) γ(t) ∈ V ).

We kennen echter de oorzaak van deze pathologische toestand: de oorsprong was artificieeluit het vlak verwijderd om de metriek in poolcoordinaten te kunnen definieren! Gaan we overop standaard cartesische coordinaten, dan stellen we vast dat (M, g) een deelvarieteit is van deeuclidische ruimte (R2, η) die geodetisch volledig is2. We zeggen daarom dat, bij het gebruik vanpoolcoordinaten, de oorsprong een coordinaatsingulariteit is, of ook wel een verwijderbare singula-riteit.

2Men kan aantonen -zie b.v. Kobayashi en Nomizu- dat voor positief definiete metrieken geodetische volledigheidequivalent is met cauchy-volledigheid. Het wegvallen van deze eigenschap voor lorentz-metrieken is de oorzaak vangrote moeilijkheden bij de definitie van singulariteten in de relativiteitstheorie.


Bekijken we als tweede voorbeeld een lorentz-varieteit (M, g1), met 0 < t <∞, −∞ < x <∞en

g1 = − 1

t4dt⊗ dt+ dx⊗ dx (7-3.4)

Beschouw in (M, g1) de beweging van een testdeeltje, voorgesteld door een tijd-achtige geodeetγ(λ) ≡ ((t0 − λ)−1, x0) met λ een affiene parameter. Het domein van γ is ] − ∞, t0[, watopnieuw betekent dat na een eindige tijd λ = t0 het testdeeltje niet meer tot M behoort! Wenoemen (M, g1) dan (toekomstig) geodetisch onvolledig. We zien echter onmiddellijk dat, onderde coordinaattransformatie t→ t′ = 1/t, (M, g1) isometrisch equivalent is met (M, g2), waarbijg2 = −dt′ ⊗ dt′ + dx ⊗ dx (met 0 < t′ < ∞ en −∞ < x < ∞). In de nieuwe coordinaten (t′, x)wordt γ gegeven door γ(λ) = (t0 − λ, x0) en is nog steeds onvolledig vermits (0, x0) 6∈ M. Nuis echter de onvolledigheid van (M, g2) duidelijk te verklaren omdat we (M, g2) herkennen alsslechts de helft (t′ > 0) van de twee-dimensionale minkowski-ruimte (R2, η): in (R2, η) houdtniets ons tegen om de affiene parameter voort te zetten in het interval ] −∞, 0]. Daarom zeggenwe opnieuw dat we de oorspronkelijke coordinaatsingulariteit van (M, g1) verwijderd hebben door(M, g1) uit te breiden naar (R2, η):

( g )1 1

X0

t0

X

t

( g )1 2

X0X

t’

t’0

C ( R ,n)2

m m

Figuur 7.3: extensies

In het algemeen is het erg moeilijk coordinaatsingulariteiten in een varieteit te herkennen, be-halve door de hierboven beschreven constructie van de uitbreiding van de oorspronkelijke varieteit.Hiervoor bestaan echter geen kant en klare recepten. Een vaak gebruikte methode bestaat erinlangs een goed gekozen familie geodeten naar de kandidaat-singulariteit toe te bewegen en deaffiene parameter langs de geodeten te gebruiken als een der coordinaten aan de ‘andere’ zijde vande singulariteit.

Een aanwijzing dat deze werkwijze enige kans op slagen zal hebben, is de afwezigheid vansingulariteiten (in de gewone betekenis van divergerende uitdrukkingen) in de invarianten van(M, g). Stel b.v. dat een scalaire uitdrukking S (zoals R of RabcdR

abcd) singulier wordt ineen punt p met xi(p) = xi

0, in de zin dat limxi→xi0S = ∞ (p kan dan strikt gezien niet tot

M behoren, zodat de terminologie ‘S is singulier in p’ eigenlijk foutief is). De aanwezigheidvan zulke krommingssingulariteiten verhindert duidelijk de constructie van een uitbreiding van(M, g), waarin de singulariteit niet langer voorkomt. De afwezigheid van krommingssingulari-teiten daarentegen biedt geenszins een garantie voor de afwezigheid van pathologisch gedrag3.

3Hiermee hebben we nog steeds niet gezegd wat een singulariteit is, of wat een singulariteit-vrije varieteit is. Eenprecieze definitie van deze concepten is uiterst moeilijk — tenminste toch voor lorentz-varieteiten — en valt buitenhet kader van deze cursus.

7-4. EDDINGTON-FINKELSTEIN-METRIEK 133

7-4 Eddington-finkelstein-metriek

Passen we nu de ideeen uit de vorige paragraaf toe op de schwarzschild-oplossing 7-3.1: berekeningvan de invariant

RabcdRabcd = 48m2r−6 (7-4.1)

(1) toont aan dat in het T-gebied r = 0 een niet te verwijderen krommingssingulariteit is en dusessentieel verschilt van de standaard coordinaatsingulariteit die optreedt bij het gebruik vansferische coordinaten)

(2) suggereert dat r = 2m een coordinaatsingulariteit kan zijn.

Ook een studie van de radiale tijd-achtige geodeten wijst in deze richting4: we vinden dan met˙= d

dτ de afgeleide naar de affiene parameter en met l een integratieconstante

t = (1 − 2m

r)−1l (7-4.2)

en

(1 − 2m

r)t2 − (1 − 2m

r)−1r2 = 1 (7-4.3)

Hierbij volgt 7-4.2 uit de behoudswet ξ.u = constant met ξ = ∂∂t en u = ∂

∂τ = ∂t∂τ .

∂∂t + ∂r

∂τ .∂∂r ,

terwijl 7-4.3 uitdrukt dat u2 = −1.Het eenvoudigste geval (l = 1) levert r2 = 2m

r en laat zich onmiddellijk integreren tot

2

3√

2m(r

3/20 − r3/2) = τ (7-4.4)

waaruit blijkt dat r = 2m in een eindige eigentijd door vallende testdeeltjes bereikt wordt.Om duidelijkheid te verkrijgen over de mogelijke uitbreidbaarheid van het R-gebied, bekijken

we de inkomende nul-geodeten: uit 7-4.2 en 7-4.3 (met in het rechterlid 0 i.p.v. 1) volgt dat deaffiene parameter λ dan voldoet aan dr

dλ = constante en dus, op een translatie na, evenredig is metr. Uit 7-3.3 weten we echter dat t + 2m log(r − 2m) + constante = −r, zodat λ evenredig is mett+2m log(r−2m)+constante. In navolging van de hiervoor uiteengezette methode om varieteitenuit te breiden, construeren we dan een nieuwe tijdachtige coordinaat

t = t+ 2m log(r − 2m) (7-4.5)

Het R-gebied van de schwarzschild-oplossing wordt hierdoor isometrisch afgebeeld op het gebiedr > 2m van een varieteit met metriek

ds2 = −(1 − 2m

r)dt

2+

4m

rdtdr + (1 +

2m

r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-4.6)

Deze uitbreiding van het oorspronkelijke R-gebied is de zgn. eddington-finkelstein5 vorm van deschwarzschild-oplossing, waarin de familie van inkomende geodeten eenvoudig wordt voorgestelddoor

r + t = constant (7-4.7)

4zie hoofdstuk 5 voor een meer gedetailleerde bespreking van de geodeten in de schwarzschild-geometrie5Reeds in 1921 werd door P. Painleve een tijdcoordinaat ingevoerd waaruit kon blijken dat r = 2m geen ‘echte’

singulariteit was, maar hij ging -net zoals A.S. Eddington drie jaar later- aan dit opmerkelijke feit voorbij. G.Lemaıtre (1923) was wellicht de eerste die het fictieve karakter van de r = 2m singulariteit opmerkte: hij noteerdedit echter in een vrij onbekende publikatie en zijn opmerking verdween in het stof van de geschiedenis. Als gevolgbleef de ‘schwarzschild-singulariteit’ — met alle implicaties aan de naam verbonden — de vakliteratuur teisteren,tot er opheldering kwam met het werk van D. Finkelstein (1958) en M. Kruskal (1960).


Dit is echter niet alles: door de coordinaattransformatie

t = t+ 2m log(2m− r) (7-4.8)

wordt bovendien het T-gebied van de schwarzschild-oplossing isometrisch afgebeeld op het 0 < r <2m gebied van 7-4.6, zodat 7-4.6 een uitbreiding blijkt te zijn van zowel het R- als het T-gebied!Hiermee kunnen figuren 7.1 en 7.2 als volgt verenigd worden:

r = 0 2mr

Inkomende familie

Uitgaande familie

t

Figuur 7.4: advanced eddington-finkelstein-extension

Hieruit blijkt duidelijk dat het hyperoppervlak r = 2m werkt als een half-doorlaatbaar mem-braan: toekomstgerichte (dt

dt > 0) tijd-achtige geodeten en nul-geodeten worden enkel van ‘buiten’(r > 2m) naar ‘binnen’ (r < 2m) doorgelaten. Dit oppervlak wordt een event horizon genoemd,aangezien het de grens vormt van alle events die door een waarnemer uit het R-gebied kunnenworden waargenomen. We benadrukken dat het fenomeen van een event horizon gekoppeld is aanhet feit dat r = 2m een nul-hyperoppervlak is (grr = 0): het feit dat in de schwarzschild-oplossingtoevallig ook gtt = 0 heeft hier dus niets mee te maken!

Het feit dat zelfs lichtsignalen niet uit het gebied r < 2m kunnen ontsnappen, heeft aanleidinggegeven tot de naam van zwarte gaten of black holes. Figuur 7.4 suggereert dat testdeeltjes, vanafhet ogenblik waarop ze het T-gebied binnendringen, nog slechts een eindige levensduur hebben.Er is echter meer: zelfs een waarnemer die niet op een geodeet beweegt (en b.v. probeert om meteen krachtige raketmotor ‘rond’ de singulariteit r = 0 te vliegen, zal zijn radiale coordinaat r zienkleiner worden met een snelheid

|drdτ

| ≥ (2m

r− 1)1/2 (7-4.9)

Hieruit kan afgeleid worden dat de maximale levensduur van om het even welke waarnemer in hetT-gebied gegeven wordt door

∆τ = πm (≈ 10−5(m

m⊙)s) (7-4.10)

oefening: bewijs beide voorgaande betrekkingen.

7-5. STATISCHE EN SFERISCH SYMMETRISCHE PERFECTE VLOEISTOFFEN 135

7-5 Statische en sferisch symmetrische perfecte vloeistoffen

Alhoewel de mogelijkheid van zwarte gaten reeds voorspeld werd (a) op basis van zuiver newto-niaanse argumenten door J. Michell in 1784 en door P.S. de Laplace in 1796 en (b) op basis vande einstein-vergelijkingen door R. Oppenheimer en H. Snyder in 1939, duurde het tot ongeveer1960-1970 vooraleer het bestaan ervan min of meer algemeen aanvaard was!

Een eerste mogelijke verklaring hiervoor is de grootte (ρ ≈ 1021kg m−3) die de materiedichtheidvan een ster van een tiental zonsmassa’s moet bereiken, opdat ze zou kunnen inkrimpen tot haarstraal de schwarzschild-straal rS ≈ 3( m

m⊙) km benadert: dergelijke enorme dichtheden werden door

de meeste astronomen gedurende lange tijd als volslagen onzin van de hand gewezen6. Een bijzonderlangzaam proces was nodig om (hand in hand met de ontwikkeling van de quantum mechanica)via de vertrouwdheid met witte dwergen (1926: ρ ≈ 109 kg m−3) en met neutronensterren (1968:ρ ≈ 1018 kg m−3), uiteindelijk te leiden tot het vandaag alom aanvaarde scenario van z.g. totalegravitationele collaps (zie verder).

Een tweede reden was -en bij een aantal onderzoekers is nog steeds- de 19de eeuwse visievan een geordend universum, waarin de materie uiteindelijk evolueert naar stationaire of statischeevenwichtstoestanden. Einstein zelf was een der felle verdedigers van dit geloof, alhoewel dit hemreeds eerder parten had gespeeld bij de introductie van de kosmologische constante (nl. om eenstatisch heelal model als oplossing van de veldvergelijkingen te kunnen bekomen). Twintig jaarna de invoering van de kosmologische constante bracht dezelfde overtuiging hem er opnieuw toeeen (foutief) bewijs te leveren dat (in de toenmalige terminologie) ‘schwarzschild singulariteiten’in werkelijkheid niet kunnen voorkomen. Hiertoe beschouwde hij een stationair roterende wolk vandeeltjes en toonde dat een evenwichtsoplossing enkel mogelijk was voor een straal > 3

2rS , zonietzouden de buitenste deeltjes van de wolk zich moeten bewegen met een snelheid groter dan delichtsnelheid. De redenering was volledig consistent, maar de conclusie was fout omdat opnieuwwerd voorbij gegaan aan de mogelijkheid van een niet-stationaire eindtoestand van de materie!

Een derde reden tenslotte is dat pas na de tweede wereldoorlog voldoend krachtige computersop het toneel verschenen om het uiterst complexe probleem van gravitationele collaps in detailte volgen. In wat volgt zullen we het eigenlijke probleem van de collaps niet aansnijden, maarons beperken tot het ermee verwante probleem van gravitationeel evenwicht. In het bijzonderzullen we de voorwaarden onderzoeken waaraan een sferisch symmetrisch systeem moet voldoenom een statische oplossing te kunnen zijn van de einstein-vergelijkingen. We zullen hierbij eenzgn. inwendige oplossing (met Tab 6= 0) in een hyperoppervlak r = R ‘lijmen’ aan een uitwendigeoplossing (Tab = 0), die een deel is van het R-gebied van de schwarzschild-oplossing (R > RS)7.

Het hyperoppervlak r = R noemen we het matching oppervlak en we onderstellen dat demetriek samen met zijn eerste normale afgeleiden continu is doorheen dit oppervlak.

We vertrekken met de hypothese dat het inwendige deel beschreven wordt door een perfectevloeistof,

Tab = ρuaub + p(gab + uaub) (7-5.1)

en dat de inwendige en uitwendige oplossingen samen worden voorgesteld door de metriek 7-2.3met Y = r en λ = ν = 0. De perfecte vloeistof beschreven door 7-5.1 is statisch als u parallel is

6De dag van vandaag hanteren astronomen zonder schroom massa-concentraties van 108 m⊙, zodat een samen-drukking tot rS reeds wordt bereikt bij een dichtheid van 103 kg m−3, wat vanuit microfysisch standpunt zekergeen fundamentele problemen stelt!

7verwar zulke inwendige oplossing dus niet met het T-gebied van de schwarzschild-oplossing!


met de killing-vector ∂∂t , t.t.z.

u = e−ν ∂

∂t(7-5.2)

Hierdoor worden de van 0 verschillende componenten van Tab gegeven door

T(0)(0) = ρ en T(1)(1) = T(2)(2) = T(3)(3) = p (7-5.3)

en de einstein-vergelijkingen worden

8πp =e−2λ(ν′′ + ν′2 − ν′λ′ + (ν′ − λ′)r−1) (7-5.4)

8πpr2 = − 1 + e−2λ(1 + 2rν′) (7-5.5)

8πρr2 =(r(1 − e−2λ))′ (7-5.6)

Uit 7-5.6 bekomen we onmiddellijk

e2λ = (1 − 2µ(r)

r)−1 (7-5.7)

met

µ(r) = 4π

∫ r

0

ρ(x)x2dx+ constante (7-5.8)

Leggen we de eis op dat de metriek voor voldoend kleine waarden van r in benadering vlak moetzijn (wat we uitdrukken door de eis dat de oppervlakte van een sfeer met straal r gegeven is door4π × ( eigenstraal)2 ), dan moet limr→0 λ(r) = 0 en is de integratieconstante optredend in 7-5.8noodzakelijk 0.

Lijmen van inwendige en uitwendige oplossing in r = R betekent dan dat de constante m dieoptreedt in de uitwendige oplossing gegeven is door

m = 4π

∫ R

0

ρ(x)x2dx (7-5.9)

Alhoewel dit identiek is met de uitdrukking voor de totale massa in Newtoniaanse gravitatie, dienenwe te bedenken dat het ruimtelijk volumeelement gegeven is door

√

(3)gd3x = eλr2 sin θdrdθdφ,zodat de totale massa mp (de eigenmassa) in werkelijkheid gegeven wordt door

mp = 4π

∫ R

0

ρ(x)x2eλ(x) dx .

Noteer datmp > m, waarbij het verschil kan geınterpreteeerd worden als de gravitationele bindings-energie.

Uit 7-5.5 bekomen we nu

ν′ =8πpr3 + 2µ(r)

2r(r − 2µ(r))(7-5.10)

In de newtoniaanse limiet, met pr3 << µ en µ << r, reduceert dit zich tot de poisson-verge-lijking, zodat we ν kunnen interpreteren als de veralgemening van de newtoniaanse gravitationelepotentiaal.

Substitutie van 7-5.7 en 7-5.10 in 7-5.4 levert nu een vergelijking voor p′. We kunnen echter ditrekenwerk vermijden door gebruik te maken van de behoudswetten T ab

;b = 0: met 7-5.1 en 7-5.2reduceren deze zich tot precies een vergelijking, nl.

p′ = −(p+ ρ)ν′ (7-5.11)


oefening: verifieer voorgaande betrekkingOp deze manier bekomen we onmiddellijk de vergelijking van Tolman-Oppenheimer-Volkov

voor hydrostatisch evenwicht:

p′ = −(p+ ρ)8πpr3 + 2µ(r)

2r(r − 2µ(r))(7-5.12)

waaruit we, samen met 7-5.8 en een gekozen toestandsvergelijking p = p(ρ), p(r) en ρ(r) kunnenbepalen:

(a) kies een centrale dichtheid ρc: via de toestandsvergelijking ligt dan ook pc vast,

(b) integreer 7-5.8 en 7-5.12 buitenwaarts, tot het oppervlak (p = 0) van de ster bereikt wordt:dit bepaalt de constante m (7-5.9) die optreedt in de uitwendige oplossing,

(c) integreer 7-5.10 binnenwaarts vanaf r = R.

Het essentiele verschil met newtoniaanse gravitatie is dat het rechterlid van 7-5.12 in absolutewaarde steeds groter is dan de newtoniaanse term ρµ(r)/r2, zodat hydrostatisch evenwicht in A.R.‘moeilijker’ te behouden is dan in de newtoniaanse theorie. Dit blijkt duidelijk uit b.v. de exacteoplossing die bekomen wordt voor een ster met uniforme dichtheid ρ(r) = ρ0. Uit 7-5.8 volgt dan

µ(r) =4

3πr3ρ0 (7-5.13)

Integreren we hiermee de newtoniaanse vergelijking voor hydrostatisch evenwicht, dan bekomenwe

p(r) =2

3πρ2

0(R2 − r2) (7-5.14)

zodat de centrale druk pc = 23πρ

20R

2 = (π6 )1/3m2/3ρ

4/30 willekeurig groot kan zijn (m.a.w. voor elke

waarde van m en ρ0 bestaat een newtoniaanse evenwichtsconfiguratie). Integratie daarentegen vande relativistische vergelijking 7-5.12 levert (K. Schwarzschild 1916)

p = ρ1 − c(1 − 2mr2/R3)1/2

c(1 − 2mr2/R3)1/2 − 3

met m = 4/3πρR3 en c uit p(R) = 0:

p(r) = ρ0

[

(1 − 2m/R)1/2 − (1 − 2mr2/R3)1/2

(1 − 2mr2/R3)1/2 − 3(1 − 2m/R)1/2

]

(7-5.15)

zodat

pc = ρ0

[

1 − (1 − 2m/R)1/2

3(1 − 2m/R)1/2 − 1

]

(7-5.16)

Wil de centrale druk eindig blijven, dan moet een ster met uniforme dichtheid dus een massa mhebben met

m <4

9R (7-5.17)

of

mmax =4

9(3π)1/2ρ1/20 (7-5.18)


Men kan nu aantonen dat, onder de hypothese dρdr ≤ 0, de voorwaarde 7-5.17 onafhankelijk van de

gekozen toestandsvergelijking geldt en dat de maximum waarde 4R9 precies bereikt wordt voor het

geval van uniforme dichtheid. Dit resultaat is van fundamenteel belang omdat het aantoont dat,van zodra een sferisch symmetrische materieverdeling is ingekrompen tot een straal ≤ 9

8rS , geenenkele toestandsvergelijking nog bij machte is om verdere collaps tegen te houden!

Dergelijk scenario kan zich afspelen als een ster al haar nucleaire brandstof heeft opgebruikten een Fe-Ni kern heeft opgebouwd: is de massa van de ster op dat ogenblik kleiner dan de Chan-drasekhar limiet mc ≈ 1.4M⊙, dan trekt de ster verder samen tot een stabiele evenwichtstoestandvan witte dwerg bereikt wordt, waarbij de gravitationele aantrekking gecompenseerd wordt doorontaarde electronen druk. Is de massa groter dan mc dan gaat de gravitationele samentrekkingverder tot in de kern nucleaire materiedichtheden bereikt worden. Is de totale massa van de sa-mentrekkende kern op dat ogenblik kleiner dan een kritische massa mn ≈ 4M⊙, dan kan verderecollaps worden tegengehouden door de ontaarde neutronen druk en door de kernkrachten. Hetresultaat is dan een neutronenster : bij de afremming van de kern ontstaat een schokgolf die ver-antwoordelijk is voor het wegslingeren van de buitenste lagen van de ster, wat dan aanleiding geefttot de vorming van een supernova. Is echter de massa van de samentrekkende kern groter dan mn,dan tonen numerieke simulaties aan dat de collaps onbeperkt verder gaat. Het volgende scenarioontvouwt zich dan:

Vacuüm

singulariteit

Inwendige van de ster

r = 2m

Figuur 7.5: collaps van een ster

Fig. 6.6

Een statische waarnemer buiten r = 2m, waarvoor de eigentijd dus op een constante factor nagegeven wordt door de schwarzschild-tijd ‘t’, zal de samentrekkende ster echter nooit doorheenhet oppervlak r = 2m zien verdwijnen: ten eerste geschiedt dit op een welbepaalde eddington-finkelstein-tijd t0 en bijgevolg op een oneindige tijd t en, ten tweede, zal het oppervlak van de sterreeds kort voor r = 2m bereikt is uit het zicht verdwenen zijn. Het oppervlak r = 2m is immers niet


alleen een event horizon (grr = 0), maar ook een oneindig roodverschuivingsoppervlak : in hoofdstuk5 hebben we gezien dat een electromagnetische golf, vertrekkend vanuit positie r, op oneindig wordt

waargenomen met een roodverschuivingsfactor 1 + z ∼ g−1/2tt . Vermits gtt = 1 − 2m/r, divergeert

deze uitdrukking voor r → 2m.Bij het hier geschetste scenario bestaan nog een aantal onzekerheden:

Ten eerste is er de onzekerheid i.v.m. mn: in de oorspronkelijke berekeningen van Oppenheimeren Volkov werd mn ≈ 0.7M⊙ bekomen, uitgaande van een ideaal gas van neutronen als model vooreen neutronenster. Meer realistische modellen kunnen deze massa opdrijven tot 5M⊙ (afhankelijkvan de keuze van toestandsvergelijking, de rol van kernkrachten, de aanwezigheid van electromag-netische velden, . . . ). Nemen we bovendien rotatie in acht, dan kan de limiet zelfs opgedrevenworden tot 6M⊙.

Ten tweede is er de onzekerheid i.v.m. de te gebruiken gravitatietheorie: andere gravitatietheo-rieen dan A.R. voorspellen andere maximale massa’s voor neutronensterren. Deze zelfde opmerkinggeldt in nog sterkere mate voor de uiteindelijke fase van de collaps, t.t.z. nadat de ster zich binnenrS heeft samengetrokken: deze fase treedt binnen een aantal alternatieve theorieen zelfs helemaalniet op.

Blijven we echter binnen het kader van A.R., dan kunnen we nog opmerken dat het alles behalveverwonderlijk is dat, bij zuiver sferisch symmetrische collaps, uiteindelijk een singulariteit optreedtin r = 0. Men kan zich i.h.b. afvragen of een niet-singuliere eindtoestand van de materie mis-schien mogelijk wordt als we afwijkingen van de sferische symmetrie beschouwen. Een gedeeltelijkantwoord op deze vraag wordt gegeven door de zgn. singulariteitstheorema’s (R. Penrose en S.W.Hawking, 1965-1970), die aantonen dat, onafhankelijk van de precieze vorm van de veldvergelij-kingen of van de energie-impuls tensor, de belangrijkste eigenschappen van sferisch symmetrischecollaps worden overgedragen naar het geval van algemene collaps. Deze theorema’s vertrekken vaneen beperkt aantal ‘voor de hand liggende’ hypothesen betreffende het gedrag van de materie (dez.g. energie voorwaarden) en betreffende de causale structuur van de ruimte-tijd en tonen aan datonder deze algemene voorwaarden singulariteiten altijd optreden. De singulariteitstheorema’s zijnechter zuivere existentietheorema’s en ze geven geen enkele informatie over de plaats of de aardvan de resulterende singulariteiten: dit moeten dus niet noodzakelijk (zoals o.a. in het sferischsymmetrische geval) krommingssingulariteiten zijn!


7-6 Kruskal’s vorm van de schwarzschild-oplossing

In paragraaf 6.4 slaagden we er reeds in om m.b.v. de eddington-finkelstein-metriek (7-4.6) zowelhet R-gebied als het T-gebied van de schwarzschild-oplossing te bekijken als deelvarieteiten vaneen zelfde varieteit. We gebruikten hiervoor de familie van inkomende geodeten en zorgden ervoordat hun affiene parameter kon voortgezet worden aan beide zijden van r = 2m.

Een blik op figuur 7.4 doet echter vermoeden dat hiermee nog niet alle problemen uit de weggeruimd zijn. De uitgaande nul-geodeten in het R-gebied kunnen onmogelijk uit het T-gebiedafkomstig zijn: elk punt heeft slechts een eindige parameter-afstand tot r = 2m, wat wijst oponvolledigheid nabij r = 2m, t = −∞! Inderdaad, met τ een affiene parameter zijn de radialenulgeodeten gegeven door dr

dτ = ±l en dtdτ = (1 − 2m

r )−1l, i.e.

dt

dr= l

r + 2m

r − 2m

De oplossingen hiervan zijn

r =r0 − lτ

t+ r =t0 + r0(7-6.1)

voor de inkomende familie en

r =r0 + lτ

t− r =t0 − r0 + 4m logr − 2m

r0 + 2m

(7-6.2)

voor de uitgaande familie.Als alternatief kunnen we ook de uitgaande familie ‘recht trekken’: i.p.v. 7-4.8 voeren we nu

een nieuwe tijd-coordinaat int∗ = t− 2m log(r − 2m) (7-6.3)

en bekomen hiermee de gedaante

ds2 = −(1 − 2m

r)dt∗2 − 4m

rdt∗dr + (1 +

2m

r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-6.4)

wat precies de tijds-omkering is van 7-4.68. Figuur 7.4 wordt nu

8men noemt dit de retarded eddington-finkelstein-extension van gebied I, in tegenstelling tot 7-4.6, die ook deadvanced eddington-finkelstein-extension van gebied I genoemd wordt

7-6. KRUSKAL’S VORM VAN DE SCHWARZSCHILD-OPLOSSING 141

t*

r = 0 r = 2m r

Figuur 7.6: retarded eddington-finkelstein-extension

zodat we hoger vermeld probleem uiteindelijk slechts verschoven hebben van de uitgaande naarde inkomende geodeten!

Om de onvolledigheid bij r = 2m te vermijden dienen we blijkbaar op een of andere maniersimultaan de uitgaande en inkomende families recht trekken. M. Kruskal’s oplossing (1960) vandit probleem bestond erin twee nul-coordinaten v en w te definieren door

w = t∗ − r =t− r − 2m log(r − 2m)

v = t+ r =t+ r + 2m log(r − 2m)(7-6.5)

Hierdoor worden beide families nul-geodeten dan eenvoudig bepaald door

w = constant (uitgaande familie)

env = constant (inkomende familie) (7-6.6)

en vinden we de metriek door 7-6.5 op te lossen naar r:

r + 2m log(r

2m− 1) =

v − w

2(7-6.7)

Hiermee wordt de schwarzschild-metriek 7-3.1 herschreven als

ds2 = − 2me−r/2m

re(v−w)/4mdwdv + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-6.8)

= − (1 − 2m

r)dvdw + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-6.9)

De metriek bevat nog steeds een coordinaatsingulariteit bij r = 2m, maar men kan nu deze singu-lariteit opheffen door een nieuwe keuze van nul-coordinaten v′ = v′(v) en w′ = w′(w).


Met Kruskal’s keuze

v′ = ev/4m =√r − 2m exp(

r + t

4m)

w′ = −e−w/4m = −√r − 2m exp(

r − t

4m) (7-6.10)

bekomen we

ds2 = −32m3 e−r/2m

rdv′dw′ + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-6.11)

of nog, na invoering van T = 12 (v′ + w′) en X = 1

2 (v′ − w′)

ds2 = 32m3 e−r/2m

r(−dT 2 + dX2) + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-6.12)

Hierin is r(X, T ) impliciet bepaald door 7-6.7, i.e.

(r

2m− 1)er/2m = X2 − T 2 (7-6.13)

terwijl de oorspronkelijke t coordinaat gegeven wordt door t = 4m tanh−1 TX .

De coordinaten T en X worden enkel beperkt door de voorwaarde r > 0, vermits r = 0 eenniet te verwijderen krommingssingulariteit is. Uitgedrukt in X en T betekent dit

X2 − T 2 > −1 (7-6.14)

wat het domein van de kruskal-coordinaten beperkt tot het in figuur 6.8 voorgestelde gebied vande hyperbool X2 − T 2 = −1.In dit diagram worden de krommen r = constant voorgesteld door gelijkzijdige hyperbolen en dekrommen t = constant door rechten door de oorsprong. Nul-geodeten worden voorgesteld doorrechten die een hoek van ±45o maken met de X-as, wat de conforme structuur uiterst eenvoudigmaakt.

De unie van de gebieden I en II van het kruskal-diagram is isometrisch equivalent met de unie vande gebieden I en II besproken in hoofdstuk 7 (de advanced eddington-finkelstein-extension), terwijlde unie van de gebieden I en III isometrisch equivalent is met de retarded eddington-finkelstein-extension 7-6.4. Men kan aantonen dat de kruskal-oplossing de unieke analytische uitbreiding isvan de schwarzschild-oplossing, die maximaal is in de zin dat ze geen deelvarieteit is van een anderelocaal niet-uitbreidbare uitbreiding van Schwarzschild.

Het gebied I kan geınterpreteerd worden als het uitwendige van een statisch en sferisch sym-metrisch lichaam. In gebied II eindigt elke nul-geodeet—en dus ook elke tijd-achtige kromme—noodzakelijk op het singuliere oppervlak r = 0: dit gebied correspondeert dus met de in vorighoofdstuk besproken zwarte gaten. De tijdsomkering van gebied II is gebied III. Elke nul-geodeetbegint er noodzakelijk op het singuliere oppervlak r = 0 en de eigenschappen ervan zijn volkomenanaloog aan deze van gebied II: men noemt dit daarom ook wel een wit gat.

7-6. KRUSKAL’S VORM VAN DE SCHWARZSCHILD-OPLOSSING 143

T

X

II

III

IV

I

t = 2m

t = m

t = 0

t = -m

t =- 2m

r = 4

m

r = 3

mr =

0

r = 0r = 2m, t=-

r = 2m, t=

h

h

Figuur 7.7: kruskal-extensie

Zeer vreemd in de kruskal-oplossing is het optreden van een tweede asymptotisch vlak gebied IV,waarvan de eigenschappen analoog zijn aan deze van gebied I. Gebieden I en IV zijn echter causaalvolledig van elkaar losgekoppeld: elk signaal dat tussen beide zou verzonden worden, wordt doorde r = 0 singulariteit opgeslokt. Het is ver van duidelijk of de ganse kruskal-oplossing, i.h.b. ge-bied IV, enige fysische betekenis heeft: geen enkel fysisch proces is gekend, dat aanleiding kangeven tot de vorming van de vier gebieden. Desondanks kunnen we proberen ons een voorstellingvan de oplossing te vormen door twee asymptotisch vlakke oplossingen van de einstein-vacuum-vergelijkingen aan elkaar te ‘lijmen’ in r = r(t). Bekijken we b.v. het bijzonder geval van hett = T = 0 hyperoppervlak, waarvan de ruimtelijke geometrie bepaald wordt door de metriek

ds2 = (1 − 2m

r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-6.15)

De doorsnedes hiervan met de vlakken θ = π2 kunnen voorgesteld worden als 2-dimensionale

omwentelingsoppervlakken z = z(r) ingebed in een 3-dimensionale euclidische ruimte met me-triek dz2 + dr2 + r2dφ2. De precieze geometrie van de oppervlakken hangt af van de keuze vanhet oorspronkelijke hyperoppervlak: kwalitatief worden ze voor voldoend kleine |T | echter allenvoorgesteld door volgende figuur, waarin we de verbindende ‘tunnel’ tussen beide asymptotischvlakke ruimten de einstein-rosen-brug noemen.


r= 2m op T = 0

Figuur 7.8: einstein-rosen brug

Aangezien de einstein-vergelijkingen enkel de locale structuur van de oplossingen bepalen, be-hoort echter ook onderstaande alternatieve topologie tot de mogelijkheden:

Figuur 7.9: wormgat

De einstein-rosen-brug verbindt nu twee gedeelten van een zelfde asymptotisch vlakke ruimte:we spreken in dit geval van een wormgat. Onderzoek naar z.g. tijdmachines houdt zich o.a. metde vorming van dergelijke wormgaten bezig. . . 9

9Wie een echt (nou ja ...) wormgat wil zien moet op het eiland Aran (Ierland) de Poll na bPeist eens gaanbekijken.

7-7. CONFORME COMPACTIFICATIE 145

7-7 Conforme compactificatie

Alhoewel figuur 6.10 reeds een inzicht geeft in de causale structuur van de kruskal-oplossing, ishet gedrag ‘op oneindig’ er niet onmiddellijk uit af te lezen. In het bijzonder is de structuurvan de oplossing op z.g. nul-oneindig moeilijk te herkennen: het is deze structuur -eerder dan destructuur op ruimtelijk oneindig- die van belang is, als we bij meer gecompliceerde oplossingen b.v.het asymptotisch gedrag van straling wensen te onderzoeken. Om dergelijke vragen te bestuderenwerden door R. Penrose een aantal belangrijke technieken ontwikkeld. Het is de bedoeling om indeze paragraaf enkele van deze technieken, samen met de ermee gepaard gaande terminologie, teillustreren aan de hand van de minkowski- en kruskal-metrieken.

Zoals hierboven gesuggereerd, is het opzet een compactificatie van het ruimte-tijd model tebekomen, waarbij we ‘bewerkingen op oneindig’ kunnen vervangen door bewerkingen bij eindigewaarden van de coordinaten (door gebruik te maken van functies zoals tan−1). Tijdens zulkeprocedure worden echter meestal nieuwe coordinaatsingulariteiten ingevoerd, die we proberen opte vangen door een andere metriek op de gegeven varieteit te definieren: omdat we op zijn minstverlangen dat de causale structuur van de nieuwe metriek (de onfysische metriek gab) identiek zouzijn aan deze van de oude metriek ( de fysische metriek gab), stellen we

gab = Ω2gab (7-7.1)

waarbij Ω ∈ F(M) zo gekozen is dat de door de compactificatie geıntroduceerde coordinaat-singulariteiten verdwijnen.

Bekijken we eerst het geval van de minkowski-metriek, die we m.b.v. nul-coordinaten v = t+ ren w = t− r herschrijven als

ds2 = −dvdw +1

4(v − w)2(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-7.2)

Aangezien −∞ < t <∞ en 0 < r <∞ geldt

−∞ < v <∞−∞ < w <∞v > w

(7-7.3)

Definieren we nu coordinaten v′ en w′ door v′ = tan−1 v en w′ = tan−1 w dan geldt

−π2< v′ <

π

2

−π2< w′ <

π

2v′ > w′

en wordt de metriek

ds2 =1

4sec2 v′ sec2 w′ [−4dv′dw′ + sin2(v′ − w′)(dθ2 + sin2 θdφ2)

]

(7-7.4)

De coordinaatsingulariteiten bij ±π2 kunnen we nu opheffen door een onfysische metriek 7-7.1 in

te voeren met Ω = 12 sec v′ secw′. Stellen we bovendien t′ = v′ + w′ en r′ = v′ − w′, dan bekomen

weds2 = −dt′2 + dr′

2+ sin2 r′(dθ2 + sin2 θdφ2) (7-7.5)


met

−π < t′ + r′ < π

−π < t′ − r′ < π

r′ > 0

(7-7.6)

De metriek 7-7.5 met −∞ < t′ < ∞, 0 < r′ < π, 0 < θ < π, 0 < φ < 2π is de metriek van hetEinstein statisch heelal : dit kan beschouwd worden als de inbedding van een cilinder x2 +y2 +z2 +w2 = 1 in een 5-dimensionale euclidische ruimte met metriek ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 + dw2

(stel x = cos r′, y = sin r′ sin θ cosφ, z = sin r′ sin θ sinφ en w = sin r′ cos θ).Elk hyperoppervlak t′ = constant van het einstein-heelal heeft de topologie van een 3-sfeer.

Laten we de w en z coordinaten weg, dan kan de minkowski-ruimte dus conform voorgesteld wordenals de ‘ruit’ −π < t′ ± r′ < π van de einstein-cilinder x2 + y2 = 1, gelegen in een 3-dimensionaleruimte met metriek ds2 = −dt2 + dx2 + dy2:

r’=p

t’=-p

t’=0

t’=p

r’=0

i-

J+

J-

i+

io

Figuur 7.10: einstein cilinder en gecompactifieerde minkowski ruimte

7-7. CONFORME COMPACTIFICATIE 147

We noemen de resulterende varieteit de gecompactifieerde minkowski-ruimte. De conformestructuur ‘op oneindig’ van de minkowski-ruimte wordt nu voorgesteld door de rand van de ruit.Deze rand bestaat uit de volgende delen:

• een nul-hyperoppervlak v′ = π2 (ℑ+)

• een nul-hyperoppervlak w′ = −π2 (ℑ−)

• een punt v′ = w′ = π2 (i+)

• een punt v′ = π2 , w′ = −π

2 (i0)

• een punt v′ = w′ = −π2 (i−)

Men kan aantonen dat

(1) alle tijdachtige geodeten van de originele metriek beginnen, in i− en eindigen in i+,

(2) dat alle nul-geodeten beginnen op ℑ−, en eindigen op ℑ+ en

(3) dat alle ruimte-achtige geodeten beginnen en eindigen in i0. Vandaar dat men i+ en i−

respectievelijk toekomstig en verleden tijdachtig oneindig noemt, ℑ+ en ℑ− respectievelijktoekomstig en verleden nul oneindig en i0 ruimte-achtig oneindig.

In een penrose-diagram wordt, met weglating van de θ en φ coordinaten, slechts de halve ruit r′ > 0voorgesteld (r′ = 0 is de standaard coordinaatsingulariteit die steeds optreedt bij poolcoordinaten).In onderstaande figuur zijn bovendien de r en t coordinaatkrommen getekend. De nul geodeten(i.e. de v′ = constant en w′ = constant krommen) zijn precies de rechten die een hoek van ±45o

maken met de horizontale.

i+

i-

io

J+

J-

t

O

J+

J-

i-

i+

r=o

p

-p

io r’

t = konstant

r = konstant

p

Figuur 7.11: penrose diagram van minkowski ruimte

Met een penrose-diagram kan ook de asymptotische structuur van niet-conform vlakke me-trieken worden voorgesteld, op voorwaarde dat ze aan bijkomende eigenschappen -zoals sferischesymmetrie- voldoen. Zo wordt b.v. de asymptotische structuur van de radiale nul-geodeten in 6.2.3volkomen bepaald door de 2-vlakken met (conform vlakke) metriek ds(2)

2 = −e2νdt2 +e2λdr2. Dit


suggereert ons om de kruskal-metriek als volgt te vervormen: eerst definieren we nul-coordinatenv′′ en w′′ door v′′ = tan−1 v′ en w′′ = tan−1 w′. Er geldt dan

−π2< v′′ <

π

2

−π2< w′′ <

π

2

−π2< v′′ + w′′ <

π

2

(7-7.7)

en de metriek van de θ = constant, φ = constant deelvarieteit van 6.6.11 wordt

ds(2)2 = −32m3 sec2 v′′ sec2 w′′ e

−r/2m

rdv′′dw′′ (7-7.8)

Met Ω = sec v′′ secw′′ en T ′′ = v′′+w′′, X ′′ = v′′−w′′ bekomen we dan voor de onfysische metriek

ds(2)2 = 8m3 e

−r/2m

r(−dT ′′2 + dX ′′2) (7-7.9)

Hieruit wordt volgend diagram afgeleid voor de kruskal-oplossing: de figuur toont nogmaals over-duidelijk dat r = 0 een ruimte-achtig singulier oppervlak is, waarop alle nul-geodeten eindigen dievertrekken vanuit gebied II.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

.........................................................

...............................................................................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

.........................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................

....................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................

................................

..............................................................................

....................................... . . . .....

.

......................................

.

.

.

.

.

.

.

................

......................................

.................... .. . . . . .

i0

i−

i+

ℑ+

ℑ−

I

II

III

IV

toekomstige en verleden singulariteit r = 0

r = 2m

r constant > 2m

r constant < 2m

Figuur 7.12: de ‘penrose-diamant’

Hoofdstuk 8

Inleiding tot de kosmologie

Giordano BrunoFilosofo, arso vivo a Roma,

PER VOLONTA DEL PAPAIL 17 FEBBRAIO 1600

8-1 Standaard model

Twee soorten van waarnemingen liggen aan de basis van de moderne kosmologie: (1) waarnemingenvan individuele bronnen (sterrenstelsels, radiobronnen, QSO’s e.d.) en (2) waarnemingen van destralingsachtergrond (radio-, microgolf-, infrarood, etc.). Het oerknal (of big bang) model is hetresultaat van deze waarnemingen en wordt algemeen aanvaard als het standaard-model waarbinnenkosmologisch onderzoek zich dient te situeren.

De meest in het oog springende kenmerken van het standaard-model zijn:

• dat het een sterke symmetrie vertoont (het heelal ziet er ‘overal’ ongeveer hetzelfde uit),

• dat het zeer groot is,1

1op het eerste zicht een vrij triviale opmerking; cf. echter de ‘small universe’ theorie van Ellis, recent terug in debelangstelling (J.P. Luminet)

149

150 HOOFDSTUK 8. INLEIDING TOT DE KOSMOLOGIE

• dat het evolueert in de tijd,

• dat het een eindige ouderdom heeft.

Het standaard-model dient in de eerste plaats bekeken te worden als een 0-de orde-model dat onstoelaat om welbepaalde fysische vragen over het heelal te formuleren. Waarnemingen kunnen danachteraf aanwijzingen verstrekken over die aspecten van het model die verder moeten verfijnd wor-den. Als eerste stap bij de constructie van zulk 0-de orde-model, vertrekken we van de hypothesedat het heelal kan beschreven worden als een n-dimensionale differentiaalvarieteit, voorzien vaneen lorentz-metriek g en een energie-impuls tensor T. We stellen T =

∑

TM , met TM de bijdra-gen van alle materievelden in het heelal aanwezig. Voor elke component dienen de noodzakelijketoestandsvergelijkingen afzonderlijk gegeven te worden. De metriek wordt bekomen door oplossenvan de Einstein-vergelijkingen

Gab + Λgab = 8πTab (8-1.1)

Voor de algemeenheid houden we ook rekening met een eventuele kosmologische constante Λ. Dekosmologische constante werd door Einstein in de veldvergelijkingen ingevoerd om een statischeen homogene oplossing mogelijk te maken. Deze modificatie van de veldvergelijkingen werd doorEinstein enkele jaren later — nadat de waarnemingen van Hubble 2 hadden aangetoond dat hetheelal niet in een toestand van statisch evenwicht verkeerde, maar onderhevig was aan een expan-sie — bestempeld als ”de grootste blunder van zijn leven”. De kosmologische constante heeft eenbewogen geschiedenis achter de rug en werd regelmatig weer ingevoerd (en naderhand afgevoerd),al naargelang de stand van zaken in de observationele kosmologie. Ondertussen hebben echter dedeeltjesfysici ons geleerd dat de Λ-term geınterpreteerd dient te worden als de energiedichtheid vanhet vacuum: deze energiedichtheid is de som van een groot aantal op eerste zicht niet gecorreleerdebijdragen, die elk op zich vele grootte-ordes groter zijn dan de (astronomisch bepaalde) observa-tionele bovenlimiet van Λ. Het vinden van een verklaring van dit gigantische verschil tussen devoorspelde en de waargenomen waarde van de energiedichtheid van het vacuum is uitgegroeid toteen van de grootste problemen van de hedendaagse fysica (misschien wel het grootste ...). Vandaaglijkt het er sterk op dat de waarnemingen opnieuw suggereren dat er wel degelijk rekening moetworden gehouden met een “effectieve” kosmologische constante in de veldvergelijkingen. Of deze aldan niet te verklaren is op basis van (gekende) quantum-effecten of ook een bijdrage bevat van eenzgn. “bare Λ” is een open vraag. Om met deze laatste mogelijkheid rekening te houden zullen wein de volgende paragrafen echter stelselmatig de veldvergelijkingen hanteren in de gedaante 8-1.1.

We aanvaarden verder dat in elk punt van het model een unieke vector u gedefinieerd is, zodat

u2 = uaua = −1 (8-1.2)

die de ‘gemiddelde beweging’ van de materie voorstelt.De integraalkrommen van het vectorveld u worden de wereldlijnen van de fundamentele waarne-

mers genoemd. Noemen we τ de eigentijd van deze waarnemers, dan geldt dus ui = dxi/dτ . Debeweging van individuele sterrenstelsels valt in goede benadering samen met de beweging van defundamentele waarnemers.

Fundamentele waarnemers beschikken in elk punt over een ogenblikkelijke rustruimte (de zgn.surfaces of instantaneity), die het orthogonaal complement zijn in Tp(M) van u. De projectie opdeze ogenblikkelijke rustruimte wordt beschreven door de projectietensor

hab = gab + uaub (8-1.3)

2E.P. Hubble, Proc. Natl. Acad. Sci., 168 (1929)

8-1. STANDAARD MODEL 151

M.b.v. 8-1.3 kan de metriek dan geschreven worden als

ds2 = gijdxidxj = −(uidx

i)2 + hijdxidxj (8-1.4)


8-2 Symmetrie en geometrie

Ondanks de respectabele ouderdom van de astronomie, hebben we het heelal —naar kosmischemaatstaven— tot nu toe slechts in een punt P (‘nu’) waargenomen:

Big Bang

2.10 sec4D yX

100 à 3000 jaarD yt

P

15 à 20.10 jaar9D yt

Figuur 8.1: ons beeld van het heelal

Deze waarnemingen doen ons, na uitmiddeling op een gepaste schaal, besluiten dat het heelalisotroop is t.o.v. dit punt P . In het bijzonder blijkt uit waarnemingen van de kosmische microgolf-achtergrondstraling (COBE 1990) dat de relatieve anisotropie in de temperatuursverdeling vandeze straling kleiner is dan 10−5.

Gaan we er van uit dat het punt P geen bevoorrechte plaats inneemt op zijn wereldlijn, dankunnen we bovenstaand resultaat extrapoleren en bekomen we dat het heelal isotroop is t.o.v. deganse wereldlijn van P . Deze redenering is een voorbeeld van toepassing van het KosmologischBeginsel. We extrapoleren nu nogmaals door te veronderstellen dat P ’s wereldlijn al evenmin eenbevoorrechte wereldlijn is en besluiten dat het heelal dus isotroop is t.o.v. de wereldlijn van elkefundamentele waarnemer.Beschouwen we nu de covariante afgeleide van u, dan kunnen we hiermee de versnellingsvector u

= ∇uu definieren. Aangezien u2 = −1 is u.u = 0, zodat u een ruimte-achtige vector is, die deisotropie zal verbreken, tenzij

u = 0 (8-2.1)

Schrijven we vervolgens ua;b als

ua;b =u(a;b) + u[a;b]

=σab + ωab +1

3Θhab

(8-2.2)

met

σab =u(a;b) −1

3Θhab (8-2.3)

ωab =u[a;b] (8-2.4)

Θ =ua;a (8-2.5)

dan volgt uit u2 = −1 dat de tensoren σ en ω orthogonaal zijn met u: σabub = ωabu

b = 0 en dus ineen gepaste basis (met e0 = u) kunnen voorgesteld worden door 3× 3 matrices σαβ (symmetrisch

8-2. SYMMETRIE EN GEOMETRIE 153

en spoorvrij) en ωαβ (anti-symmetrisch). Beide matrices zullen de isotropie verbreken, tenzij huneigenwaarden 0 zijn, t.t.z. σαβ = ωαβ = 0. Isotropie t.o.v. elke fundamentele waarnemer leidt dustot

ua;b =Θ

3hab (8-2.6)

waarbij we Θ, bepaald door 8-2.5, de expansiescalar noemen. Bovendien volgt uit ωab = 0 dat u

hyperoppervlak-orthogonaal is, t.t.z. er bestaat een scalaire functie t zodat

ua = −t,a (8-2.7)

met dus i.h.b. t0 = t,aua = 1.

De op een constante na bepaalde functie t noemen we de kosmische tijd : t.g.v. 8-2.7 meet tde eigentijd langs de wereldlijnen van de fundamentele waarnemers. De hyperoppervlakken t =constant zijn precies de hyperoppervlakken Σt die de ogenblikkelijke rustruimtes glad aan elkaarsluiten: u.v = 0 als en slechts als v rakend is aan Σt. We noemen deze voortaan zonder meer derustruimtes.

Er zijn nog andere manieren om in deze kosmologische modellen ruimtelijke hyperoppervlakkente construeren. We vermelden er twee:

1) Vertrekkend vanuit een punt P construeren we alle ruimte-achtige geodeten, die in P lood-recht staan op uP . Deze hyperoppervlakken worden soms wel de ‘private rest spaces’ van defundamentele waarnemers genoemd:

p

Figuur 8.2: private rest space


2) Vertrekkend vanuit een punt P construreren we de verzameling van alle gebeurtenissen E die‘gelijktijdig’ zijn met P . Gelijktijdigheid bepalen we door een lichtsignaal uit te zenden optA, het in E gereflecteerde signaal op te vangen op tB en aan E de ‘radar’-tijd 1

2 (tA + tB) toete kennen: gelijktijdige gebeurtenissen zijn dan gebeurtenissen met dezelfde radar-tijd en deresulterende hyperoppervlakken noemt men soms de ‘radar spaces’.

pE

tA

tB

Figuur 8.3: radar rest space

Fig. 7.3

In een evoluerend heelal (Θ 6= 0) zullen noch de private spaces, noch de radar spaces samenvallenmet de rustruimtes t = constant!

Voeren we nu coordinaten in door x0 = t te stellen en x1, x2, x3 als labels te gebruiken voorde fundamentele wereldlijnen, dan is xα (α = 1, 2, 3) constant langs elke wereldlijn, i.e. xα = 0.We bekomen hiermee dat

ui = δi0 (8-2.8)

en dus (zie 8-1.4)

ds2 = hαβdxαdxβ − dt2 (8-2.9)

Voor elke fysisch waarneembare grootheid Φ moet nu gelden dat Φ = Φ(t), zoniet zou de ruimtelijkegradient van Φ opnieuw de isotropie van de rustruimtes verbreken. In het bijzonder geldt dan

Θ = Θ(t) (8-2.10)

Nu is echter 13Θhαβ = uα;β = −uiΓ

iαβ = Γ0

αβ = 12

∂∂thαβ , zodat

hαβ = S2(t)fαβ(xρ) (8-2.11)


met

Θ = 3S

S(8-2.12)

De op een constante factor na bepaalde functie S noemen we de schaalfactor van het heelal:

d2

d1

t1

t2

S

S

Figuur 8.4: schaalfactor

Fig. 7.4

Zij d1 de afstand in Σt1 tussen twee fundamentele waarnemers, gemeten langs een kromme γ1

(t = t1, xα = φα(λ)) en d2 de afstand in Σt2 tussen dezelfde twee waarnemers, gemeten langs

‘dezelfde’ kromme γ2 (t = t2, xα = φα(λ)), dan is

d2

d1=S(t2)

S(t1)(8-2.13)

Men noemt 8-2.13 de wet van Hubble en de verhouding

H ≡ S

S(8-2.14)

(zie 8-2.12) de hubble-parameter.Uit de isotropie van de hyperoppervlakken Σt kunnen we afleiden (zie hoofdstuk 1.12) dat de

rustruimtes een constante kromming hebben en dus ook homogeen zijn. Een andere manier om ditin te zien is de volgende:Voor een 3-dimensionale ruimte is de weyl-tensor 0, zodat uit 1.11.35 volgt dat

R(3)αβγδ = 2hα[γR

(3)δ]β + 2hβ[δR

(3)γ]α −R(3)hα[γhδ]β (8-2.15)

Vermits de ricci-tensor van de 3-ruimtes isotroop moet zijn,

R(3)αβ =

1

3R(3)hαβ (8-2.16)


vinden we dat

R(3)αβγδ =

R(3)

3hα[γhβ]δ (8-2.17)

wat inderdaad toont dat de hyperoppervlakken Σt een constante kromming hebben.Stellen we nu k de kromming van de hyperoppervlakken met metriek fαβdx

αdxβ , dan is R(3)/6 =K = k/S2 de kromming van de hyperoppervlakken met metriek hαβdx

αdxβ = S2fαβdxαdxβ . We

zullen hierbij, als k 6= 0, S steeds zo herschalen dat k = ±1.Gebruik makend van de resultaten van hoofdstuk 1.12 bekomen we tenslotte de metriek

ds2 = −dt2 + S2(t)[dr2 + Σ2(r, k)(dθ2 + sin2 θdφ2)) (8-2.18)

wat ons, na transformatie van de r coordinaat de zgn. friedmann-robertson-walker-metriek oplevert

ds2 = −dt2 + S2(t)

(

dr2

1 − kr2+ r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

)

(8-2.19)

Meestal herschrijft men de “FRW-metriek” in een genormalizeerde gedaante, gebruik makend vana(t) = S(t)/S0, waarbij een grootheid voorzien van een beneden-index 0 altijd betrekking heeft ophaar momenteel gemeten waarde. Zo bekomen we dus

ds2 = −dt2 + a2(t)S20

(

dr2

1 − kr2+ r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

)

(8-2.20)

Als k = 0, zijn de rustruimtes vlak en kan men euclidische coordinaten invoeren zodat

ds2 = −dt2 + a2(t)S20(dx2 + dy2 + dz2) (8-2.21)

Doorgaans kent men aan deze coordinaten het domein ] − ∞, ∞[ toe, zodat de rustruimtes eenoneindig volume hebben en dus ook de totale hoeveelheid materie in het heelal oneindig is (hetzelfdegeldt ook voor k = −1, wat aan de k = 0 en k = −1 modellen de naam open modellen verleent).We kunnen de rustruimtes echter ook de topologie van een torus geven door de punten (x+ma, y+nb, z + pc) met elkaar te identificeren (m, n, p ∈ Z). De rustruimtes worden dan compact en detotale hoeveelheid materie in het heelal is eindig.Als k = −1 hebben de rustruimtes een lobachevski-geometrie en, net zoals bij k = 0, wordtde topologie doorgaans zo gekozen dat ze een oneindig volume hebben. Verschillende anderetopologieen kunnen echter gekozen worden, zodat ook hier een eindig volume tot de mogelijkhedenbehoort3 .Als k=+1 verschilt de situatie grondig van beide voorgaande gevallen: twee, uit een willekeurigpunt P , in tegengestelde zin vertrekkende geodeten zullen elkaar steeds ontmoeten in P ’s antipodeQ. De topologie is bijgevolg steeds compact, tenzij we het domein der coordinaten artificieelinperken. Deze modellen worden dan ook gesloten modellen genoemd. Het totale volume van hetheelal is in dat geval4

2 × 4πS30a

3

∫ 1

0

r2√1 − r2

dr = 2π2a3S30

Ondanks deze problemen met de topologie van de rustruimtes, houden we ons verder aan deingeburgerde benamingen van open en gesloten modellen. De termen ‘oneindige’ respectievelijk

3Lachieze-Rey en Luminet, gr/qc/9605010, Phys. Rept. 254,19954bedenk dat r = sinχ met χ van 0 tot π


‘eindige’ modellen (voor k = 0, −1 of voor k = +1) dienen echter beter vermeden te worden.Merk tenslotte nog op dat 8-2.21 duidelijk conform vlak is:

ds2 = S20a(τ)

2(−dτ2 + dx2 + dy2 + dz2) (8-2.22)

met dt = S0adτ . Deze eigenschap geldt echter ook als k = ±1 (alhoewel de gepaste coordinaat-transformatie in deze gevallen niet op eerste zicht te herkennen is).

Metingen van de hubble-constante H0 gebeuren op basis van de roodverschuiving : een fun-damentele waarnemer zal de frequentie van een lichtsignaal met propagatievector k meten alsω = − < u,k > (zie 2-6.31). Omdat k een nulvector is, is de projectie van k op u echter gelijk ingrootte aan de projectie van k in de ogenblikkelijke rustruimte van de waarnemer. Noemen we ξeen van de killingvectoren in deze ruimte, dan is dus

ω =| < ξ,k > |

||ξ|| (8-2.23)

Vermits de propagatievector verder nog voldoet aan de nulgeodetische vergelijking Dkdλ = 0, is (zie

1-11) < k, ξ > echter een behouden grootheid langs elke nulgeodeet zodat

ω ∝ ||ξ||−1 ∝ S(t)−1 (8-2.24)

t.t.z.λ ∝ S(t) (8-2.25)

Definieren we de roodverschuiving z als in 6-2.8 opnieuw door

1 + z =λ

(r)0

λ(e)0

=λ

(r)0

λ(e)1

λ(e)1

λ(e)0

(8-2.26)

dan geldt dus

1 + z =S0

S1

λ(e)1

λ(e)0

(8-2.27)

Gaan we er van uit dat de fundamentele constanten van de fysica onveranderd blijven in de loopvan de kosmische tijd t (een hypothese waarover de discussie recent opnieuw is opgeflakkerd n.a.v.

van waarnemingen van QSO-absorptielijnen) dan is λ(e)1 = λ

(e)0 en dus

1 + z =S0

S1=

1

a(t1)(8-2.28)

Voor kleine roodverschuivingen geldt in goede benadering

a(t) ≈ 1 +H0(t− t0) −1

2q0H

20 (t− t0)

2 + . . . (8-2.29)

met H0 de hubble-constante en q0 de zgn vertragingsparameter

q0 = −a0H−20 (8-2.30)

zodat

z ≈ H0(t0 − t1) +H20 (1 +

1

2q0)(t0 − t1)

2 + . . . (8-2.31)


De lineaire betrekkingz ≈ H0∆t (8-2.32)

wordt de hubble-expansiewet genoemd en wordt meestal geınterpreteerd als een dopplerverschui-ving z ≈ v/c met v de recessiesnelheid van de lichtbron. Vermits c∆t in goede benadering de“afstand” is van de bron, verklaart dit waarom H0 dikwijls gegeven wordt in eenheden van km s−1

Mpc−1.Iets preciezer wordt ∆t (de zgn. look back time) gegeven door de reeks 8-2.31 te inverteren:

t0 − t1 ≈ H−10 (z − (1 +

1

2q0)z

2 + . . . ) (8-2.33)

De coordinaatafstand r1 waar het lichtsignaal werd uitgezonden volgt dan uit

0 = −dt2 + S2(t)dr2

1 − kr2

t.t.z.

r1 ≈ 1

H0S0(z − 1

2(1 + q0)z

2) (8-2.34)

De coordinaatafstand r1 is echter geen fysisch observeerbare grootheid. Evenmin geldt dit voor deeigenafstand dp gedefinieerd door

dp = S0

∫ r1

0

dr√1 − kr2

=

Arcsinr1 k = +1r1 k = 0

Arcsinhr1 k = −1(8-2.35)

Daarom wordt in de astronomie gebruik gemaakt van vier andere “afstanden” dpar, dpm, da endl, resp. de parallax distance, proper motion distance, angular diameter distance en luminositydistance genoemd. Met b de afstand tussen twee (naburige) waarnemers in het zonnestelsel enθ de gemeten parallactische hoek, met v⊥ de snelheid van de bron (loodrecht op de zichtlijn engemeten door een waarnemer in rust in r1) en µ de in r0 gemeten eigenbeweging, met D de (eigen)doormeter van de lichtbron en δ de waargenomen schijnbare doormeter, en met L en ℓ de absoluteresp. schijnbare lichtkracht van de bron, gelden de volgende definities:

dpar =b

θ

dpm =v⊥µ

da =D

δ

dL =(L

4πℓ)1/2 (8-2.36)

Men kan aantonen dat deze afstanden in een FRW-model gegeven worden door (zie bv. Weinberg)

dpar =S0r1

√

1 − kr21

dpm =S0r1

da =S1r1

dL =S0

S1S0r1 (8-2.37)


Er geldt dus da = (1 + z)−2dL en dpm = (1 + z)−1dL. De factor S0/S1 ∝ 1 + z resulteert in eenverkleining van de schijnbare lichtkracht met een factor (1+ z)−2: dit is een gevolg van een (1+ z)factor optredend in (1) het energieverlies van elk foton en (2) in de verhouding van de tijdseenhedenwaarbinnen elk foton wordt uitgezonden resp. ontvangen. In principe kan enkel dpar rechtstreeksinformatie verschaffen over q0 en H0: helaas is dit momenteel technisch onhaalbaar en wordtdpar samen met dpm enkel gebruikt om de “eerste treden” van de kosmische “afstandsladder” tecalibreren. De hieruit bekomen informatie wordt vervolgens gebruikt om afschattingen te bekomenvan de absolute lichtkracht L van verschillende klassen van objecten. Uit 8-2.34 en 8-2.36 bekomenwe de relatie

dL ≈ H−10 (z +

1

2(1 − q0)z

2) (8-2.38)

waaruit tenslotte afschattingen van H0 en q0 bekomen worden. Verschillende soorten van waarne-mingen (sterrenstelsels, radiobronnen en QSO’s) lijken momenteel te convergeren naar een waardevoor H0 van ongeveer 70 ± 7 km s−1 Mpc−1, i.e. H−1

0 ≈ 14 109 jaar. Over q0 blijven de gegevenseerder beperkt: nochtans lijkt er een consensus te ontstaan (vooral gebaseerd op de type Ia super-nova waarnemingen) dat alleszins q0 < 0.


8-3 Energie-impuls tensor

In een orthonormale basis (e0, eα) met e0 = u, zijn de vectoren eα bepaald op rotaties in derustruimte na. Bijgevolg zijn T(0)(0) = 1

8πG(0)(0) en T(1)(1) = 18πG(1)(1) (G(1)(1) = G(2)(2) = G(3)(3))

twee scalaire grootheden, die we respectievelijk de (fenomenologische) materiedichtheid ρ en drukp noemen. In een willekeurige basis geldt dan

Tab = ρuaub + phab (8-3.1)

waarbij ρ en p constant zijn in elke rustruimte, zodat

ρ = ρ(t) en p = p(t) (8-3.2)

De FRW-metriek leidt dus tot de conclusie dat de materie-inhoud van het universum te beschrij-ven is — althans op fenomenologische wijze — als een perfecte vloeistof. Deze vloeistof kan echterbestaan uit verschillende fysische componenten, die zich elk afzonderlijk niet noodzakelijk als per-fecte vloeistof moeten gedragen.

Om de veldvergelijkingen op te lossen moet nog een relatie tussen p en ρ gegeven worden(de toestandsvergelijking). Een vaak voorkomende toestandsvergelijking voor een model met eenenkele vloeistofcomponent is de zgn. ‘γ-wet’

p = (γ − 1)ρ (8-3.3)

met γ een constante. Dit bevat o.a. het geval van ‘stof’ of druk-vrije materie:

p = 0 (γ = 1) (8-3.4)

en het geval van ‘zuivere straling’:

p =ρ

3(γ =

4

3) (8-3.5)

waarbij ρ gegeven wordt de stralingswet van Stefan-Boltzmann, ρ = σT 4 met T de stralingstem-peratuur is.

Substitutie van 8-3.1 in T ab;b = 0 leidt nu tot de enige behoudswet

ρ+ (ρ+ p)3a

a= 0 (8-3.6)

i.e. ρ+ (ρ+ p)Θ = 0, wat met een toestandsvergelijking van de gedaante 8-3.4 resulteert in

ρ = ρ0a−3γ (8-3.7)

Voor een stofmodel geeft dit i.h.b.

ρ(m) = ρ(m)0 a−3 (8-3.8)

en voor een zuiver stralingsmodel

ρ(r) = ρ(r)0 a−4 (8-3.9)

zodatT = T0a

−1 (8-3.10)

Voor een gemengd model met ρ = ρ(m) + ρ(r) en p = 13ρ

(r) leiden huidige schattingen tot

10−27kg m−3 < ρ(m) < 10−26 kg m−3 (8-3.11)

8-3. ENERGIE-IMPULS TENSOR 161

terwijl de temperatuur van de microgolf-achtergrondstraling T0 ≈ 2.73oK en dus

ρ(r) ≈ 10−30kg m−3 (8-3.12)

Als laatste voorbeeld bekijken we het geval van een scalair veld Φ met massa m en potentiaalV (Φ), waarvoor

Tab = ΦaΦb −1

2gab(ΦeΦ

e + 2V (Φ) +m2Φ2) (8-3.13)

De behoudswetten resulteren dan in

Φ −m2Φ ≡ Φ;a;a −m2Φ = −∂V

∂Φ(8-3.14)

wat precies de veldvergelijking voor Φ is.

oefening: Bewijs dat in een FRW-model noodzakelijk geldt dat Φ = Φ(t).Identificatie van 8-3.13 met 8-3.1 levert dan onmiddellijk

2ρΦ = Φ2 +m2Φ2 + 2V (Φ) (8-3.15)

2pΦ = Φ2 −m2Φ2 − 2V (Φ) (8-3.16)

terwijl de behoudswet 8-3.14 zich laat herschrijven als

a−3(a3Φ) = m2Φ − ∂V

∂Φ(8-3.17)

Voor m = V = 0 bekomen we hiermee de toestandsvergelijking van zgn. stiff matter : p = ρ.


8-4 Veldvergelijkingen

We bekijken nuGab + Λgab = 8πTab (8-4.1)

metTab = ρuaub + phab (8-4.2)

Noteer dat we desgewenst Λ in Tab kunnen absorberen door p en ρ te herdefinieren:

p′ =p− 1

8πΛ

ρ′ =ρ+1

8πΛ

(8-4.3)

Voor de componenten van de ricci-tensor t.o.v. een orthonormale basis (e0, eα) met e0 = u vindenwe

R00 = − 3a

a(8-4.4)

Rαα =a

a+ 2

a2

a2+ 2

k

a2(8-4.5)

en dus voor de ricci-scalar

R = 6(a

a+a2

a2+

k

S20a

2) (8-4.6)

De veldvergelijkingen reduceren zich hiermee tot twee differentiaalvergelijkingen voor a:

3a2

a2+ 3

k

S20a

2= 8πρ+ Λ (8-4.7)

−2a

a− a2

a2− k

S20a

2= 8πp− Λ (8-4.8)

De eerste vergelijking wordt de friedmann-vergelijking genoemd. Eliminatie van de ruimtelijkekromming uit 8-4.7 en 8-4.8 levert anderzijds de raychaudhuri-vergelijking :

3a

a+ 4π(ρ+ 3p) − Λ = 0 (8-4.9)

Deze vergelijkingen zijn niet onafhankelijk: de som van 8-4.7 en 8-4.8 geeft

(3a2

a2+ 3

k

S20a

2) ˙= −24π(ρ+ p)

a

a(8-4.10)

waaruit blijkt dat, als p en ρ aan elkaar gekoppeld zijn door de behoudswet 8-3.6, dan 8-4.7 eeneerste integraal is van 8-4.8.

Merk op dat uit de raychaudhuri-vergelijking en uit de zgn. sterke energie voorwaarde (ρ+ 3pen ρ+ p ≥ 0) volgt dat het heelal voor Λ ≤ 0 een singuliere oorsprong (a = 0) heeft, de oerknal ofbig bang genoemd, terwijl de friedmann-vergelijking impliceert dat voor open modellen met ρ enΛ ≥ 0 de expansie onbeperkt verder gaat.

8-4. VELDVERGELIJKINGEN 163

Om oplossingen van de veldvergelijkingen te bepalen, zoekt men gewoonlijk bij een gegeventoestandsvergelijking eerst een oplossing ρ = ρ(a), p = p(a) van de behoudswet, en lost hiermee defriedmann-vergelijking op (dit is niet altijd mogelijk: b.v. voor een scalair veld leveren 8-3.17 ende friedmann-vergelijking een gekoppeld stelsel eerste-orde differentiaalvergelijkingen in Φ en a).We illustreren deze methode in de volgende paragraaf.


8-5 Oplossingen

8-5.1 Einstein’s statisch model

Uit 8-4.7 en 8-4.8 volgt met a = 0 dat ρ en p constanten zijn waarvoor geldt dat

8π(ρ+ p) = 2k

S20a

2.

Uit de zgn. zwakke energievoorwaarde (ρ ≥ 0 en ρ + p ≥ 0) volgt dan noodzakelijk dat k = +1.Uit 8-4.8 blijkt dan bovendien dat de druk p enkel ≥ 0 kan zijn, als we het bestaan onderstellenvan een positieve kosmologische constante (het was precies om zulk model mogelijk te maken datEinstein de kosmologische constante aan de oorspronkelijke veldvergelijkingen had toegevoegd).

8-5.2 Niet-statische modellen

Het is nuttig van de vergelijkingen verder te vereenvoudigen door de introductie van de zgn.kritische dichtheid

ρcrit =3H2

8π(8-5.1)

Dit is (zie 8-4.7) de totale energiedichtheid (gewone materie + Λ term) van een k = 0 heelal. Voorelke mogelijke bijdrage tot de energiedichtheid, ρ(i) = ρ(m), ρ(r), ... , Λ/8π, kunnen we vervolgenseen dimensieloze parameter Ω(i) definieren door

Ω(i) =ρ(i)

ρcrit(8-5.2)

Noteren we de totale energiedichtheid parameter als Ω =∑

Ω(i) dan volgt uit de friedmann-vergelijking 8-4.7 onmiddellijk een verband tussen de geometrie en de totale energiedichtheid:

k

H20S

20

= Ω0 − 1 (8-5.3)

Uit het gedrag van de individuele energiedichtheden (8-3.7) volgt voor de dichtheidsparameters

Ω(i) =Ω

(i)0 H2

0

H2a−3γi (8-5.4)

en dusΩ(i)

Ω(j)∼ a−3(γi−γj) (8-5.5)

Men definieert soms ook een effectieve krommings-energiedichtheid ρ(k) = −3k/(8πS20a

2), waarmeede friedmann-vergelijking zich laat herschrijven als

H2 =8π

3

∑

i,k

ρ(i) = H20

∑

i,k

Ω(i)0 a−3γi (8-5.6)

waarbij de som nu loopt over alle bijdragen, inclusief de Λ-term en de kromming, met

Ω(k)0 = − k

S20H

20

(8-5.7)

8-5. OPLOSSINGEN 165

en waarbij H0 de huidige waarde van de hubble-parameter voorstelt: H0 = (a/a)0. Deze schrijf-wijze heeft als voordeel dat ze duidelijk maakt op welke manier de verschillende componenten vanhet model bijdragen tot de expansie:

3 γi

stof 3straling 4Λ 0kromming 2

Dit toont b.v. dat de bijdrage van de fotonen, voornamelijk via de kosmische achtergrondstral-ing, in de uitdrukking 8-5.6 momenteel weliswaar verwaarloosbaar is, aangezien 8-3.12 impliceertdat Ω(r) ≈ 5 10−5, maar dat de fotonen in de vroegste fasen van het heelal de dynamica duidelijkzullen domineren.

Een andere parameter die in principe observeerbaar is, is de vertragingsparameter

q0 = −H−20 (

a

a)0

(8-5.8)

Uit de raychaudhuri-vergelijking volgt dan voor een mengsel van stof, straling en Λ-term dat

q0 =1

2(Ω

(m)0 + 2Ω

(r)0 ) − Ω

(Λ)0 (8-5.9)

Een positieve kosmologische constante zorgt dus duidelijk voor een versnelling van de expansie.De combinatie van verschillende soorten waarnemingen leidt momenteel tot een schatting van

Ω(Λ)0 ≈ 0.7 en van Ω

(m)0 ≈ 0.3. Bovendien blijkt slechts een fractie (1/3 ?) van Ω

(m)0 te bestaan uit

standaard gekende materievormen.Samen met de friedmannvergelijking 8-5.6, evenals 8-3.11 en 8-3.12, t.t.z. 0.04 < Ω(m) < 1

en Ω(r) ≈ 5 10−5, toont dit hoe we —in principe althans— uit waarnemingen van q0 en H0 dewaarden kunnen bepalen van Λ en van de ruimtelijke kromming k/S2

0 .

8-5.3 Modellen met Λ = 0

8-5.6 toont onmiddellijk dat de gesloten modellen expanderen tot een maximale straal bereiktwordt en vervolgens terug samentrekken, terwijl de open modellen onbeperkt expanderen.

Voor een mengsel van stof en straling wordt 8-5.6 gegeven door

a2 = H20

(

Ω(m)0

a+

Ω(r)0

a2− k

S20H

20

)

(8-5.10)

en zijn de oplossingen het eenvoudigst te bekomen door de introductie van een zgn. conforme tijd

τ =∫

dtS . We vinden dan met α = 1

2S20H

20Ω

(m0 en β = (S2

0H20Ω

(r)0 )1/2

voor k = +1:

a =α(1 − cos τ) + β sin τ

t =S0[α(τ − sin τ) + β(1 − cos τ)](8-5.11)


voor k = 0:

a =α

2τ2 + βτ

t =S0[α

6τ3 +

β

2τ2]

(8-5.12)

en voor k = −1:

a =α(coshτ − 1) + βsinhτ

t =S0[α(sinhτ − τ) + β(coshτ − 1)](8-5.13)

k = –1

k = 0

k = +1

0

1

2

3

4

5

a

1 2 3 4 5 6t

Figuur 8.5: evolutie van de Λ = 0 modellen met stof en straling

Belangrijke bijzondere gevallen zijn (waarbij we telkens een integratieconstante eliminerend.m.v. een tijdstranslatie)

a) ρ(r) = 0, k = 0, q0 = 12 :

a ∝ t2/3 (8-5.14)

Dit is het zgn. einstein-de sitter-model, dat een goede benadering is voor de ‘late’ evolutie vanhet heelal,wanneer de effekten van de straling verwaarloosbaar klein zijn. De ouderdom bedraagtt0 = 2

3H−10 .

8-5. OPLOSSINGEN 167

b) ρ(m) = 0, k = 0, q0 = 1:

a ∝ t1/2 (8-5.15)

Dit model geeft een goede benadering voor de ‘vroege’ evolutie van het heelal, wanneer de materie-inhoud gedomineerd wordt door relativistische deeltjes en straling. De ouderdom bedraagt t0 =12H

−10 .

c) ρ(m) = ρ(r) = 0, k = −1, q0 = 0:

a ∝ t (8-5.16)

Dit is het zgn. milne-model, met ouderdom t0 = H−10 : dit is niets anders dan de minkowski-ruimte

in bijzondere coordinaten! Dit heelal beschrijft het asymptotisch gedrag van alle open modellenwaarin de materie-dichtheid sneller afneemt dan S−2 (zoals het geval is in de hoger vermeldestof-straling mengsels).

8-5.4 Modellen met Λ 6= 0

Exacte oplossingen kunnen nu enkel gegeven worden voor een aantal bijzondere toestandsvergelij-kingen. Zo kunnen b.v. alle modellen met ρ(r) = 0 opgelost worden met elliptische functies. Overhet algemeen leren we echter met deze analytische uitdrukkingen weinig of niets bij. Een quali-tatieve discussie aan de hand van het a = a(a) gedrag is doorgaans instructiever. We onderscheidenvolgende gevallen:

i) Λ < 0

Een negatieve kosmologische constante kan via de friedmann-vergelijking geınterpreteerd wor-den als een extra aantrekkende kracht (zie ook 8-4.3) die de expansie van het heelal tegenwerkt. DeΛ-term zal uiteindelijk in de friedmann-vergelijking domineren en zorgen voor een samentrekkingvan het heelal.

ii) Λ > 0

Een positieve kosmologische constante impliceert een extra repulsieve kracht die de expansievan het model versterkt. Het uiteindelijke resultaat hangt echter af van de ruimtelijke kromming:

a) Voor k ≤ 0 wordt a nooit 0 en gaat de expansie onbeperkt verder. Al deze modellenhebben bovendien, voor ‘normale’ materie, een singulariteit in het verleden. Een belangrijke

uitzondering is het de sitter-heelal met a ∝ exp(√

Λ3 t) en ρ(m) = ρ(r) = 0, dat model staat

voor het zgn. steady state universe.

b) Voor k = +1 bestaat een rijk gevarieerde verzameling van oplossingen:


1) Einstein’s statisch heelal (a = ac) is een van deze mogelijkheden, met ac een constante,afhankelijk van de gekozen toestandsvergelijking en van Λ.2) Voor a < ac (> ac) is a < 0 (> 0). Er bestaan bijgevolg modellen die in hetverleden ‘asymptotisch’ vertrekken zoals het einstein-heelal, om vervolgens onbeperkt teexpanderen ofwel samen te trekken tot een singulariteit.Een andere mogelijkheid wordt geboden door modellen die, vertrekkend van a = ∞ inhet verleden:

• samentrekken tot een singulariteit in de toekomst• asymptotisch samentrekken tot a = ac

• samentrekken tot am > ac om vervolgens onbeperkt te expanderenTenslotte zijn er de modellen die, vertrekkend van een singulariteit in het verleden:

• opnieuw samentrekken tot een singulariteit in de toekomst• asymptotisch tot a = ac expanderen• onbeperkt expanderenIn dit laatste geval wordt de expansiesnelheid vertraagd nabij a = ac en ontstaatde mogelijkheid om het heelal gedurende lange tijd te laten ‘sudderen’ nabij ac. Ditzijn de zgn. eddington-lemaıtre-modellen, waarvoor recent opnieuw belangstellingbestaat, i.v.m. de extra mogelijkheden die dan geboden worden voor de vorming vansterrenstelsels.

algemene relativiteitstheorie-van den bergh

Documents