Docentencursus

relativiteitstheorie

Tweede collegeMarcel Vonk

8 oktober 2014

2/112

Inhoud 2e hoorcollege

1. Hoofdpunten eerste hoorcollege

2. Eenheden in de ruimtetijd

3. Tijdsdilatatie

4. Lorentzconractie

5. Lorentztransformaties

6. De ladderparadox

7. De tweelingparadox

1. Hoofdpunten eerste

hoorcollege

4/112

Eerste hoorcollege

We hebben de eigenschappen van

ruimte en tijd bekeken.

Klassiek zijn dit twee onafhankelijke

begrippen; in de relativiteitstheorie

zijn ze nauw met elkaar verbonden.

5/112

Eerste hoorcollege

Klassiek: als de waarnemers hun

onderlinge snelheid (v) kennen,

kunnen ze hun coördinaten in die van

de ander omrekenen.

tt

vtxx

'

' Galileï-

transformaties

6/112

Eerste hoorcollege

Klassiek: als de waarnemers hun

onderlinge snelheid (v) kennen,

kunnen ze hun coördinaten in die van

de ander omrekenen.

tt

vtxx

'

' Veranderlijk

Absoluut

7/112

Eerste hoorcollege

In het relativistische beeld van ruimte

en tijd staan staan twee postulaten

centraal. Het relativiteitsbeginsel…

(Inertiaalstelsel = eenparig bewegend

referentiekader)

Elke natuurwet is in elk

inertiaalstelsel geldig.

8/112

Eerste hoorcollege

…en de onveranderlijke lichtsnelheid:

Als ik vanuit een slee met snelheid v

licht met snelheid c naar iemand

straal, komt dat niet met snelheid

u=c+v aan… maar met snelheid u=c!

9/112

Eerste hoorcollege

Einstein gebruikte deze twee

postulaten om te laten zien hoe de

ruimte- en tijdlijnen lopen.

10/112

Eerste hoorcollege

Het eindresultaat: in Einsteins

wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:

Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!

11/112

Eerste hoorcollege

De ruimtetijd, bestaande uit alle

gebeurtenissen, vormt één geheel.

Elke inertiële waarnemer verdeelt

dit geheel op zijn eigen manier in

ruimte en tijd.

2. Eenheden in de ruimtetijd

13/112

Eenheden in de ruimtetijd

In het onderstaande plaatje zijn de

lijnen x’=1, t’=1, enzovoort, al op de

juiste afstand van x’=0 en t’=0 gezet.

Maar hoe weten we waar deze lijnen

moeten staan?

14/112

Eenheden in de ruimtetijd

Een voor de hand liggende keuze lijkt

misschien om de lijn x’=1 door het

punt (x,t)=(1,0) te laten lopen, en idem

voor t’=1.

15/112

Eenheden in de ruimtetijd

Als we de situatie vanuit de groene

waarnemer bekijken zien we echter

dat dit in strijd is met het relativiteits-

beginsel.

16/112

Eenheden in de ruimtetijd

Als we de situatie vanuit de groene

waarnemer bekijken zien we echter

dat dit in strijd is met het relativiteits-

beginsel.

17/112

Eenheden in de ruimtetijd

De zwarte lijnen in het

groene frame staan op

afstand 1-β2 van de

oorsprong. (β=v/c)

BORD

18/112

Eenheden in de ruimtetijd

Als we de groene lijnen links een

afstand x uit elkaar zetten, staan de

zwarte lijnen rechts een factor 1/x

verder uit elkaar.

19/112

Eenheden in de ruimtetijd

Als we de groene lijnen links een

afstand x uit elkaar zetten, staan de

zwarte lijnen rechts een factor 1/x

verder uit elkaar.

20/112

Eenheden in de ruimtetijd

• De zwarte lijnen in het groene

referentiekader staan op een

afstand1-β2 van de oorsprong.

• Als we de groene lijnen een afstand

x uit elkaar zetten, staan de zwarte

lijnen een factor 1/x verder uit

elkaar.

We moeten dus de groene

lijnen een afstand √(1-β2)

uit elkaar zetten.

21/112

Eenheden in de ruimtetijd

In een animatie zien we dat dit

inderdaad werkt:

22/112

Eenheden in de ruimtetijd

In een animatie zien we dat dit

inderdaad werkt:

23/112

Eenheden in de ruimtetijd

De ruimte- en tijdlijnen van een

referentiekader dat met snelheid

v beweegt, staan een afstand

√(1-β2) uit elkaar. (β=v/c)

3. Tijdsdilatatie

25/112

Tijdsdilatatie

Bekijk de volgende twee

gebeurtenissen in de ruimtetijd:

26/112

Tijdsdilatatie

• Voor de groene waarnemer gaat

het om twee gebeurtenissen die op

plaats x’=0 op tijden t’=0 en t’=1

gebeuren.

27/112

Tijdsdilatatie

• We kunnen de gebeurtenissen dus

zien als twee “tikken op zijn klok”

die (voor hem) een seconde na

elkaar plaatsvinden.

28/112

Tijdsdilatatie

• Voor de zwarte waarnemer

gebeuren de twee tikken, omdat de

groene waarnemer beweegt, zo’n

0,6 ls uit elkaar.

29/112

Tijdsdilatatie

• Verrassender: voor de zwarte

waarnemer gebeuren de twee

tikken met een tijdsinterval van

ongeveer 1,2 s.

30/112

Tijdsdilatatie

• De klok van de groene waarnemer

lijkt voor de zwarte waarnemer dus

langzamer te lopen!

31/112

Tijdsdilatatie

Dit langzamer lopen van bewegende

klokken wordt tijdsdilatatie genoemd.

Voor de taalpuristen:

Nederlands: tijd(s)dilatatie

Engels: time dilation

NiNa: tijdrek

32/112

Tijdsdilatatie

We kunnen aan de hand van het

diagram een formule voor de

tijdsdilatatie uitrekenen, maar er is

een meer inzichtelijke manier.

33/112

Tijdsdilatatie

We bekijken de onderstaande

“lichtklok”, die voor een stilstaande

waarnemer eenmaal per seconde tikt.

34/112

Tijdsdilatatie

Zodra we de klok in beweging

brengen, zien we het licht tussen twee

tikken een langere, diagonale afstand

afleggen.

35/112

Tijdsdilatatie

We zien de klok dus (zoals verwacht)

langzamer lopen dan een waarnemer

die ten opzichte van de klok stilstaat!

36/112

Tijdsdilatatie

Met de stelling van Pythagoras

rekenen we nu eenvoudig de tijd

tussen twee tikken uit.

37/112

Tijdsdilatatie

Δt : Tijdsduur voor de meebe-

wegende waarnemer

(“tijd op de stilstaande klok”)

Δt’ : Tijdsduur voor de niet mee-

bewegende waarnemer

(“tijd op de bewegende klok”)

BORDtt

21

1'

38/112

Tijdsdilatatie

De Lorentzfactor

(met β=v/c) komt in de relativiteits-

theorie veel voor. De formule wordt

dus vaak geschreven als

21

1

tt '

39/112

Tijdsdilatatie

Opmerking: dit is geen gevolg van de

speciale keuze van de gebruikte klok!

1) We zagen de tijdsdilatatie al in het

ruimtetijddiagram, voor we een type

klok kozen.

40/112

Tijdsdilatatie

Opmerking: dit is geen gevolg van de

speciale keuze van de gebruikte klok!

2) We kunnen een ander type klok

naast de lichtklok houden; de klokken

lopen voor beide waarnemers gelijk.

41/112

Tijdsdilatatie

Opmerking: dit is geen gevolg van de

speciale keuze van de gebruikte klok!

3) Experimentele bevestiging: Hafele

en Keating (1971).

42/112

Tijdsdilatatie

Een klok die in rust met

tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij

met een snelheid v beweegt, met

grotere tijdsintervallen Δt’ = γ Δt.

4. Lorentzcontractie

44/112

Lorentzcontractie

Bekijk de volgende twee wereldlijnen

in de ruimtetijd:

45/112

Lorentzcontractie

• Voor de groene waarnemer gaat

het om de wereldlijnen van twee

objecten die zich in rust op plaatsen

x’=0 en x’=1 bevinden.

46/112

Lorentzcontractie

• We kunnen de objecten dus zien

als twee “uiteinden van een meet-

lat” die (voor hem) een lichtseconde

(300.000 km) lang is.

47/112

Lorentzcontractie

• Voor de zwarte waarnemer bevin-

den zich de uiteinden zo’n 0,8 ls uit

elkaar.

48/112

Lorentzcontractie

• De meetlat van de groene

waarnemer lijkt voor de zwarte

waarnemer dus korter te zijn!

49/112

Tijdsdilatatie

Dit korter zijn van bewegende

meetlatten wordt Lorentzcontractie

genoemd.

(Ook wel Lorentz-Fitzgeraldcontractie

of lengtecontractie.)

NiNa: ruimtekrimp

50/112

Lorentzcontractie

We weten al hoe ver de groene

ruimtelijnen in het zwarte referentie-

kader uit elkaar staan, dus we kunnen

onmiddellijk de formule opschrijven.

51/112

Lorentzcontractie

L : Lengte van de meetlat in rust.

L’ : Lengte van de bewegende

meetlat.

LL 21'

52/112

Lorentzcontractie

Met behulp van de lorentzfactor

wordt dit ook vaak geschreven als

LL '

21

1

53/112

Lorentzcontractie

Een intuïtieve manier om de

Lorentzcontractie af te leiden is aan

de hand van muonen die ontstaan als

kosmische straling de dampkring

binnenkomt.

54/112

Lorentzcontractie

Een muon heeft een halfwaardetijd

van 2,2 μs.

Zelfs als het met de lichtsnelheid reist,

zou een gemiddeld muon dus na zo’n

660m vervallen.

55/112

Lorentzcontractie

Toch bereiken veel muonen het

aardoppervlak, ondanks het feit dat ze

op tientallen kilometers hoogte

ontstaan!

56/112

Lorentzcontractie

We kunnen dit resultaat op twee

manieren begrijpen.

1) Tijdsdilatatie: doordat we het muon

zo snel zien bewegen, lijkt zijn “klok”

veel langzamer te lopen. De vervaltijd

lijkt voor ons dus γ maal zo lang.

57/112

Lorentzcontractie

We kunnen dit resultaat op twee

manieren begrijpen.

2) Lorentzcontractie: voor het muon

zelf is zijn vervaltijd gewoon 2,2 μs.

De op hem af komende atmosfeer lijkt

echter veel dunner.

58/112

Lorentzcontractie

Kortom: om hetzelfde effect te

bereiken, moet de atmosfeer een

zelfde factor γ dunner lijken:

LL 'tt '

59/112

Lorentzcontractie

Een meetlat die in rust een lengte

L heeft, heeft als hij met een

snelheid v beweegt een kortere

lengte L’ = L/γ.

5. Lorentztransformaties

61/112

Lorentztransformaties

We hebben nu ook kwantitatief gezien

wat de effecten van de relativiteits-

theorie zijn op ruimte en tijd.

Lorentzcontractie tijdsdilatatie

62/112

Lorentztransformaties

Aangezien we weten hoe de ruimte-

en tijdlijnen van de bewegende

waarnemer lopen, kunnen we natuur-

lijk ook willekeurige coördinaten van

gebeurtenissen in elkaar omrekenen.

63/112

Lorentztransformaties

Deze Lorentztransformaties behoren

niet tot de exameneisen, maar het kan

voor de docent nuttig zijn ze toch te

kennen:

)('

)('

txx

xtt

64/112

Lorentztransformaties

• De transformaties zijn in deze

eenvoudige vorm geldig als we als

eenheden seconden en licht-

seconden gebruiken.

)('

)('

txx

xtt

65/112

Lorentztransformaties

• Als we meters en seconden

gebruiken verschijnt een aantal

extra factoren c.

)('

)('

txx

xtt

66/112

Lorentztransformaties

• Als we meters en seconden

gebruiken verschijnt een aantal

extra factoren c.

)('

)/(' 2

tvxx

cxvtt

67/112

Lorentztransformaties

• Een voordeel van deze vorm is dat

we voor lage snelheden de Galileï-

transformaties terug zien.

)('

)/(' 2

tvxx

cxvtt

BORD

68/112

Lorentztransformaties

• Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie

zijn twee speciale gevallen van

deze vergelijking.

)('

)('

txx

xtt

BORD

69/112

Lorentztransformaties

Een veel voorkomende verwarring: als

ruimte en tijd zo symmetrisch

voorkomen…

Hoe kan het dan dat tijd oprekt en

ruimte krimpt?

)('

)('

txx

xtt

70/112

Lorentztransformaties

Het antwoord zien we het duidelijkst in

een plaatje:

AB geeft de lengtecontractie weer, AC

de tijdsdilatatie.

71/112

Lorentztransformaties

Om AD te meten zouden we een

nogal vreemd experiment moeten

verzinnen, waarin de bewegende

waarnemer als zijn klok tikt ook iets op

een andere plaats laat gebeuren.

72/112

Lorentztransformaties

Dit experiment zou het “tijds-

equivalent” van het meten van

Lorentzcontractie zijn.

73/112

Lorentztransformaties

Willekeurige ruimtetijdcoördina-

ten kunnen we omrekenen met

)('

)('

txx

xtt