algebra modulo1 c4 unidad1

ALGEBRAALGEBRA

CICLO 4

BACHILLERATO A DISTANCIABACHILLERATO A DISTANCIA

IMPORTANTE!IMPORTANTE!

Esta asignatura est conformada

por 5 unidades. Usted tiene 30

das para su estudio y evaluacin.

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das para su estudio y evaluacin.

Mdulo 1Mdulo 1

UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD

1

Material tomado de

y ejercicios elaborados

por el licenciado

Matemticas

Interactivas

Rene Andrade

Material tomado de

y ejercicios elaborados

por el licenciado

Matemticas

Interactivas

Rene Andrade

Bajo Contrato Exclusivo para:

CAPACITACION 2000

Bajo Contrato Exclusivo para:Bajo Contrato Exclusivo para:

CAPACITACION 2000CAPACITACION 2000

Algebra Ciclo 4 Modulo 1 Capacitacin 2000

1

AALLGGEEBBRRAA

OORRGGEENN El primero en utilizar esta expresin fue el matemtico AL-JUARISSKI por el ao 825 A.C. AALLGGEEBBRRAA Proviene del rabe ALGABR que significa ecuacin. EECCUUAACCIINN:: Significa igualdad. Modernamente una ecuacin es una expresin matemtica con dos miembros iguales. EEJJEEMMPPLLOOSS DDEE EECCUUAACCIINN

4 = 3 + 1 A = B + C x = 5 + 3

El lgebra se trabaja con smbolos llamados Smbolos Algebraicos as: NNuummrriiccooss Cuando se utilizan nmeros SSMMBBOOLLOOSS AALLGGEEBBRRAAIICCOOSS LLiitteerraalleess Cuando se utilizan letras A parte de los smbolos, en lgebra utilizamos los signos.


2

SSiiggnnoo:: Seal que se usa en los clculos algebraicos para indicar relaciones, agrupaciones y operaciones.

DDIIVVIISSIINN DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS

Los signos se dividen as: 1) De operacin SSiiggnnooss 2) De relacin o que relacionan 3) Signos de agrupacin

SSIIGGNNOOSS BBSSIICCOOSS DDEE OOPPEERRAACCIINN

+ Ms o Positivo - Menos o Negativo , x Multiplicacin / Divisin Radicacin

SSIIGGNNOOSS BBSSIICCOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN

( ) Parntesis [ ] Corchete { } Llave

Barra


3

SSIIGGNNOOSS BBSSIICCOOSS QQUUEE RREELLAACCIIOONNAANN

1. = Igual 6. >/ No es mayor que 2. No es igual o diferente 7. Menor o igual a 3. > Mayor que 8. No es menor o igual a 4. < Menor que 9. Mayor o igual a 5.


4

DDIIVVIISSIINN PPRRCCTTIICCAA DDEE LLAASS EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS

Cuando la expresin consta MMoonnoommiiooss de un solo trmino. Ej: a, abc, b, axd. EExxpprreessiioonneess AAllggeebbrraaiiccaass Cuando la expresin consta PPoolliinnoommiiooss de varios trminos. Ej: a+b, 5a-3b, a+b+c

DDIIVVIISSIINN PPRRCCTTIICCAA DDEELL PPOOLLIINNOOMMIIOO

11)) BBiinnoommiioo Cuando consta de dos trminos Ej: ab+, b+c, ab+c PPoolliinnoommiioo 22)) TTrriinnoommiioo Cuando consta de tres trminos Ej: a+b+c, ab+cx+y 33)) PPoolliinnoommiioo Propiamente dicho cuando la expresin pasa de tres trminos.

DDIIVVIISSIINN PPRRCCTTIICCAA DDEELL GGRRAADDOO DDEE UUNNAA

EEXXPPRREESSIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA


5

GGRRAADDOO DDEE LLAASS - GRADO ABSOLUTO EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS - GRADO RELATIVO

GGRR AADDOO AABBSSOOLLUUTTOO DDEE UUNNAA EEXXPPRREESSIINN

AALLGGEEBBRRAAIICCAA

DDEEFFIINNIICCIINN:: Toma este nombre la suma de los exponentes de la parte literal de una expresin algebraica. EJEMPLO: ab Grado absoluto = 4 abc Grado absoluto = 3 abc Grado absoluto = 4 GGRRAADDOO RREELLAATTIIVVOO DDEE UUNNAA EEXXPPRREESSIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA

DDEEFFIINNIICCIINN:: Toma este nombre cuando el grado lo relacionamos con una letra en particular de dicha expresin. EJEMPLO: a6bc5 Grado relativo con relacin a a = 6 cx4 Grado relativo con relacin a c = 3


6

CCLLAASSEESS DDEE TTRRMMIINNOOSS

Los trminos algebraicos pueden ser enteros o fraccionarios. Cuando no presenta denominador literal EEnntteerroo Ejemplo: 5/2 b, b, 2abc TTrrmmiinnooss

Cuando presenta denominador literal

FFrraacccciioonnaarriioo Ejemplo: Abc/x, 3ab/c, 4ac/b TTRRMMIINNOOSS RRAACCIIOONNAALLEESS Toman este nombre los trminos algebraicos que no se encuentran bajo signo racional.

EEjjeemmpplloo:: aa,, aabbcc,, 55aacc

TTRRMMIINNOOSS IIRRRRAACCIIOONNAALLEESS Toman este nombre los trminos que se encuentran bajo signo radical, sin tener una raz exacta.

Ejemplo: 3 3,3, acaab


7

CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE DDEE UUNN TTRRMMIINNOO

Es la parte numrica escrita al lado izquierdo de la parte literal. Ejemplo: 3 a, 5 abc, bx Los nmeros identificados con la flecha son coeficientes

TTRRMMIINNOO IINNDDEEPPEENNDDIIEENNTTEE El trmino independiente se toma con relacin a un trmino o especialmente con relacin a una letra, cuando no la contiene. Ejemplo: ax+bx+c C se toma como trmino independiente porque no contiene x ab+xb+5 5 se toma como trmino independiente porque no contiene a b

TTRRMMIINNOOSS SSEEMMEEJJAANNTTEESS Toman este nombre los trminos algebraicos que tienen idnticos la parte literal y su exponente, aunque los coeficientes sean diferentes en valor y signo. Ejemplo:

1. 3a y 5a


8

2. -8x4 y 3x4

3. 1/5a y 4a

RREEDDUUCCCCIINN DDEE TTRRMMIINNOOSS SSEEMMEEJJAANNTTEESS Reduccin cuando los coeficientes tienen signos iguales.

Regla: Se suman los coeficientes y a la suma se le deja el mismo signo. La parte literal se mantiene.

Ejemplo 1: + 3a + 5a = 8a 3 positivo, ms 5 positivo, arroja 8 positivo Ejemplo 2: -6a + (-2a) = 8a Se suman coeficientes y se les deja el mismo signo. -6 y 2 es igual a 8, la parte literal se mantiene. 2) Reunin de trminos semejantes cuando los coeficientes tienen signos contrarios.

Regla: Se restan los coeficientes y al residuo se le escribe el signo del que posee mayor valor absoluto.

Son semejantes porque la parte literal y su exponente son idnticos.




9

Ejemplo: 8a - 5a = 3a (8)+(-5)=3 De ocho positivo restar cinco. Como el positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo, la diferencia tres debe llegar el signo del mayor, es decir, el signo del ocho. 3) Cuando se presentan varios trminos semejantes: unos positivos y otros negativos. Regla: Se suman aparte los positivos y aparte los negativos y al resultado de estas dos sumas se le aplica la Regla vista para sumar trminos semejantes con signos diferentes.

Ejemplo: 3a + 8a - 15a - 20a - 2a y tenemos 3a + 8a +20a = 31a -15a-2a = -17a

31a - 17a = 18a


10

EEJJEERRCCIICCIIOOSS RREESSUUEELLTTOOSS

1) -5m+8m = Reunimos trminos semejantes as: -5m +8m ; signos diferentes, se restan los coeficientes y el resultado lleva el signo del nmero mayor, luego:

-5m+8m =3m La parte literal se mantiene igual.

2) -4m-11m Reunimos los trminos semejantes. Como los signos son iguales sumamos las cantidades y la Respuesta conserva el signo que tienen en comn, as:

-4m-11m = -15m Sumamos los coeficientes y la parte literal se mantiene igual

3) 2x 4yx +5x +2xy

a) Unimos los trminos semejantes con x, as:

2x +5x = 7x

b) Unimos los trminos semejantes con xy, as: - 4xy + 2xy = - 2xy

CONCLUSIN: 2x-4xy +5x +2xy = 7x-2xy

4) 7mn-4mn + 8mn-3mn + mn Reunimos los trminos semejantes con mn, tenemos:

1. 4mn +mn +8mn = 5mn Reunimos los trminos semejantes con mn y tenemos: 2. 7mn - 3mn = 4mn


11

CONCLUSIN: 7mn-4mn + 8mn-3mn + mn = 5mn + 4mn

5) 2ab - 12ab + 7ab - ab + 5ab - 2ab TTeenneemmooss:: 2ab + 7ab-ab = 9ab-ab = 8ab -12ab + 5ab-2ab = -14ab+5ab = - 9ab LLuueeggoo:: 2ab - 12ab+ 7ab - ab + 5ab - 2ab = 8ab - 9ab 6) -d +3d 5d + 4d c 2c + c RReeuunniimmooss:: --dd++33dd 55dd ++ 44dd == --66dd ++ 77dd --cc--22cc++cc == --33cc++cc = d = -2c as: -d+3d 5d + 4d c 2c + c = d 2c 7) 8-5m + 3 7m - m 9 8m TTeenneemmooss:: 8+3-9 = 2 -5m-7m-8m = -20m -m = -m LLuueeggoo:: 8-5m + 3 7m - m 9 8m = 2 m 20m

EEXXPPRREESSIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS HHOOMMOOGGNNEEAASS

Toman este nombre las expresiones algebraicas que tienen el mismo grado absoluto. Ejemplo: 1. 33aabb55 yy 55bbxx55 2. 55aa yy 33xx

En ambas expresiones el grado absoluto es 7, luego son homogneas.

En ambas expresiones el grado absoluto es 2, por lo tanto, son homogneas.


12

EEXXPPRREESSIIOONNEESS HHEETTEERROOGGNNEEAASS

Cuando el grado absoluto de sus trminos es diferente.

Ejemplo:

1.. 33aa yy 88aa 2.. 88xx55 yy 44xx

PPOOLLIINNOOMMIIOO OORRDDEENNAADDOO

Toma este nombre cuando un polinomio se ordena con relacin a una letra y ms especficamente, con relacin a los exponentes de cierta letra. La letra usada en el polinomio se llama letra ordenatriz y generalmente se ordena en forma descendente de izquierda a derecha, aunque algunas veces podra ser al contrario.

Ejemplo:

1.. aaxx44 ++ bbxx ++ ccxx ++ 33xx De lo anterior se extrae otro concepto IMPORTANTE que es: Polinomio Completo. Toma este nombre cuando la letra usada en forma descendente, como es el caso de la x, su ltimo exponente es la unidad. Ejemplo:

El grado absoluto de cada expresin es diferente, por lo tanto, son heterogneas.

El grado absoluto de cada expresin es diferente, por lo tanto, son heterogneos.

Es un polinomio ordenado en forma descendente con relacin a x

Es un polinomio completo.


13

2. Ax4 + Bx + Cx + 3x

UTILIZACIN DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIN

IMPORTANTE

Los signos de agrupacin se utilizan para indicar que los trminos que se encuentran en su interior DEBEN TOMARSE COMO UNA CANTIDAD. Ejemplo: 1. ((33++44++55)) 2. ((aa++bb++cc))

IMPORTANTE Dos o ms signos de agrupacin unidos indican multiplicacin. Ejemplo: 1. ((aa++bb))((aa++bb) 2. ((aa++55))((bb--33))

SSIISSTTEEMMAA PPAARRAA EELLIIMMIINNAARR SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN

1) CUANDO EL SIGNO DE AGRUPACIN EST PRECEDIDO DEL SIGNO MENOS (-).

Deben tomarse como si dijsemos 12

Debe tomarse como si una sola cantidad

Indican que a+b debe multiplicarse por a+b

Indican que a+5 debe multiplicarse por b-3


14

Regla: Para eliminar un signo de agrupacin precedido del signo menos, a las cantidades internas se les cambia el signo.

Ejemplo: Eliminar el parntesis de: - (-5)

Aplicando la Regla tenemos: PPrriimmeerroo:: El signo de agrupacin est precedido del signo menos, por lo tanto a la cantidad interna se le cambia el signo. SSeegguunnddoo:: La cantidad interna es negativa, luego al destruir el parntesis debe salir con signo cambiado, es decir, positiva. Y tenemos: Ejemplo: -(-5) = 5 Podramos escribirlo +5, pero cuando el valor es positivo no se le escribe signo, o sea que, +5 = 5 -(3+5-2) SSoolluucciinn 3 es positivo, sale negativo (-3) 5 es positiva, sale negativo (-5) -2 es negativo, sale positivo (2) yy tteenneemmooss:: --((33++55--22)) == --33--55++22 == --88++22==-- 66 Ejemplo: -(a+b-c)

SSoolluucciinn:: a es positivo, sale negativo (-a) b es positivo, sale negativo (-b) -c es negativo, sale positivo (c)


15

yy tteenneemmooss:: --((aa ++ bb -- cc)) == --aa bb ++cc Ejemplo 4: -(5-4+ab-c) 5 es positivo, sale negativo 5 -4 es negativo, sale positivo, 4 +ab es positivo, sale negativo, -ab -c es negativo, sale positivo, +c yy tteenneemmooss:: --((55--44++aabb--cc)) == --55++44 aabb ++ cc ddee ddoonnddee:: -- 55 ++ 44 aabb ++ cc == --11 aabb++cc


16

EEJJEERRCCIICCIIOOSS

EElliimmiinnaarr llooss ppaarrnntteessiiss ddee:: 1) -(-2+3-9-1) = -2 es negativo, sale positivo, 2 3 es positivo, sale negativo, -3 -9 es negativo, sale positivo 9 -1 es negativo, sale positivo 1 eennttoonncceess --((--22++33--99--11)) == 1122--33 == 99

2) -(b+c-b+2c)

Tenemos: b es positivo, sale negativo b c es positivo, sale negativo c -b es negativo, sale positivo, b 2c es positivo, sale negativo 2c

Luego: -(b+c-b+2c) = -b-c+b-2c = -b+c-b-2c = 0 3c EEnnttoonncceess:: --((bb ++ cc bb ++ 22cc)) == --33cc 3) -(-2+5-8) (-1-2)

Eliminemos el primer parntesis as: -2 es negativo, sale positivo 2 5 es positivo, sale negativo 5 -8 es negativo, sale positivo 8 Eliminemos el segundo parntesis

-1 es negativo, sale positivo 1


17

-2 es negativo, sale positivo 2 TTeenneemmooss:: -(-2+5-8) (-1-2) = 2-5+8+1+2 = 13-5 = 8 4) -(-4x+2y) (- 5x-y)

Eliminemos el primer parntesis as: -(-4x+2y) = 4x-2y (cambian de signo) Eliminemos el segundo parntesis as:

-(- 5x-y) = 5x+y LLuueeggoo:: -(-4x+2y) (- 5x-y) = 4x 2y + 5x + y = 4x+5x 2y + y = 9x-y 5) -(3mn 4b+1) (-mn+b+2)

Destruimos los dos parntesis as:

-(3mn-4b+1) = -3mn+4b-1 Cambian --((--mmnn++bb++22)) == mmnn--bb--22 ddee SSiiggnnoo EEnnttoonncceess:

-3mn + 4b 1 + mn b 2 = -3mn + mn + 4b b 1 2

== --22mmnn ++ 33bb -- 33

6) -(-x + y - 4x) (-2x+y) (-5x-y) Eliminemos los tres signos de agrupacin de la siguiente manera:

-(-x+y-4x) = x-y+4x -(-2x +y) = 2x -y -(-5x -y) = 5x +y

TTeenneemmooss:: -(-x +y - 4x) (-2x + y) (-5x -y) = x-y +4x +2x - y + 5x + y = x +x +2x +5x -y -y +y = 12x -y


18

2) CCUUAANNDDOO EELL SSIIGGNNOO DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN EESS PPRREECCEEDDIIDDOO PPOORR EELL SSIIGGNNOO MMSS ((++))

Regla: Para eliminar un signo de agrupacin precedido del signo ms, se sacan todos los valores internos conservando su signo.

Ejemplo: +(3+2-5) SSoolluucciinn 33 eess ppoossiittiivvoo,, ssaallee ppoossiittiivvoo 2 es positivo, sale positivo -5 es negativo, sale negativo

y tenemos: ++((33++22--55)) == 33++22--55 == 00

EEJJEERRCCIICCIIOOSS CCOONN SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN

Ejercicios resueltos pasando de simples a complicados:

Ejemplo: 1) -(2-5+3) + (-1-8+2) El primer parntesis precedido del signo (-), indica cambio de signos as: 2 es positivo, sale negativo, -2 -5 es negativo, sale positivo, 5 3 es positivo, sale negativo, -3


19

El segundo parntesis precedido del signo (+), indica que todos los valores internos conservan su signo,

luego:

--22++55--33--11--88++22 == --1144++77 == --77

Ejemplo: 2) -[+(b-a+3c)]

Tenemos un signo de agrupacin interno que eliminamos antes que el corchete; como est precedido del signo (+), nada cambia, as:

-[b-a+3c]

ahora eliminamos el corchete; precedido del signo (-), todo cambia. Y tenemos:

-b+a-3c

Ejemplo: 3) - {3a+[-5-(-2+3b-c)]-4}

Eliminamos los signos de agrupacin de adentro hacia fuera, as:

Primero el parntesis, precedido del signo (-), indica cambio de signo a las

cantidades incluidas en l.

Tenemos: -(-2+3b-c) ; quedar +2-3b+c Tenemos: - {3a+[-5+2-3b+c]-4}

+[-5+2-3b+c]=-5+2-3b+c

ahora eliminamos el corchete, precedido de +, nada cambia.


20

LGEBRA 2

OOPPEERRAACCIIOONNEESS AALLGGEEBBRRAAIICCAASS

Las operaciones algebraicas corresponden a las mismas operaciones aritmticas. Es decir:

Adicin (Suma) Sustraccin (Resta) Multiplicacin Divisin Potenciacin Radicacin Logaritmacin

AADDIICCIINN

DDeeffiinniicciinn::

Es la unin de varias expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresin llamada TOTAL.


21

IMPORTANTE ! Iremos paso a paso hasta comprenderlo todo

SSUUMMAA DDEE DDOOSS NNMMEERROOSS CCOONN SSIIGGNNOOSS IIGGUUAALLEESS

Regla Se suman los valores absolutos y el total conserva el signo de los sumandos. Ejemplo 3 + 2 = 5 - 3 + (-2) = -5 - 8 + (-10) = -18

SSUUMMAA DDEE NNMMEERROOSS CCOONN SSIIGGNNOOSS DDIIFFEERREENNTTEESS

Regla Al nmero de mayor valor absoluto se le resta el menor y al resultado se le escribe el signo del nmero con mayor valor absoluto.

Los sumandos son positivos (+3 y +2) por tanto el resultado es positivo.

Los sumandos (-3) y (-2) son negativos por tanto el resultado es negativo siguiendo la Regla.

Los sumandos son negativos, el resultado es negativo.


22

Ejemplo 6+(-4) = 6-4 = 2 3+(-4) = 3-4 = -1 -7+2 = 2-7 = -5

SSUUMMAA DDEE TTRRMMIINNOOSS SSEEMMEEJJAANNTTEESS

Recordemos que trminos semejantes son los que tienen la parte literal y los exponentes idnticos de cada letra. Ejemplo 3a y 8a. Regla Se suman los coeficientes de acuerdo a las Reglas vistas y al resultado se le agrega la parte literal. Ejemplo 3a + 2a = 5a 5b + 3b = 8b 5a-3a = 2a

El resultado (2) es positivo porque 6 es positivo y tiene mayor valor absoluto que 4.

El resultado es negativo porque (-4) tiene mayor valor absoluto que (-3) por lo tanto el resultado es negativo.

Por la causa explicada.

El procedimiento es sumar 3+2=5 y al resultado en este caso 5 se le agrega la parte literal a.

El procedimiento es 5+3=8 y se le agrega, b.

El procedimiento es 5-3=2 y el resultado se le agrega a.


23

3a-8a = -5a

SSUUMMAA DDEE TTRRMMIINNOOSS NNOO SSEEMMEEJJAANNTTEESS

Regla Se escriben como aparecen teniendo en cuenta que lleven cierto orden alfabtico si es posible. Ejemplo 3b + 3a = 3a + 3b -2c + 3b + 5a = 5a + 3b 2c

SSUUMMAA DDEE MMOONNOOMMIIOOSS

Regla 1) Se escriben todos los trminos, uno a continuacin del

otro, separados con los propios signos. 2) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3) Los trminos no semejantes quedan como estn. 4) Lo que quede, despus de reducir los trminos

semejantes, se escriben uno a continuacin del otro incluyendo los no semejantes.

El procedimiento es 3-8= -5 y al resultado se le agrega a.

Por lo menos se ordenan alfabticamente si es posible.


24

Ejemplo

Sumar los monomios siguientes:

3a + 5a - 2a + 3b b + c

Segundo punto de la Regla

3a + 5a - 2a = 6a 3b b = 2b

Tercer punto de la Regla

c = c Cuarto punto de la Regla

6a + 2b + c De donde:

3a + 5a 2a + 3b + b + c = 6a + 2b + c

IMPORTANTE ! Trmino y Monomio son sinnimos ya que un monomio es la expresin algebraica que consta de un trmino. Por tanto, todo lo que hemos hechos hasta el momento lo podemos bautizar como suma de monomios. Ejercicios Elaborar la suma correspondiente de los siguientes monomios: -6a; 15b4; - 13m; - 20a; 5b4; 8m; -10y4


25

Primer punto de la Regla

-6a + 15b4 13m - 20a + 5b4 + 8m - 10y4

Segundo punto de la Regla Semejante

-6a + 15b4 13m - 20a + 5b4 + 8m - 10y4

Semejante No semejante

Semejante

De donde:

-6a - 20a = - 26a 15b4 + 5b4 = + 20b4 -13m + 8m = - 5m

Tercer punto de la Regla:

-10y4 queda como est

Cuarto punto de la Regla Uniendo lo que queda tenemos:

-26a + 20b4 5m - 10y4

CONCLUSIN:

-6a + 15b4 13m - 20a + 5b4 + 8m - 10y4 = -26a + 20b4 5m - 10y4


26

NOTA Cuando no se presentan trminos semejantes simplemente se relacionan los trminos dados con los signos correspondiente. Ejemplo: Sumar los monomios siguientes:

8my; - 23n6x; - 4xy; + 12z4; - 15

Respuesta:

8my - 23n6x - 4xy + 12z4 15

SSUUMMAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS

Polinomio es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos algebraicos.

Regla 1) Se escriben los polinomios uno debajo del otro de tal

manera que los trminos semejantes se correspondan. 2) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3) Si no existen trminos semejantes se escriben los

trminos uno a continuacin del otro separados por sus propios signos.

Ejemplo: Sumar los polinomios siguientes:


27

3a5 8mx - 12yz 15; - 3yz + 5myx + 20; -11a5 + 10mx - 2yz

Desarrollo Primer punto de la Regla

3a5 - 8mx - 12yz 15 + 5mx - 3yz + 20 -11a5 + 10mx - 2yz

Segundo punto de la Regla

3a5 - 8mx - 12yz 15 + 5mx - 3yz + 20 -11a5 + 10mx - 2yz -85 + 7mx - 17yz + 5

Resultado de la suma

-8a5 + 7mx - 17yz + 5 Ejemplo Elaboremos la suma de los polinomios siguientes: -10bx + 12b4y5 18y4 6z + 12; 6bx + 3 - 8b4y5 + 3y4 6z; -4b4y5 7bx - 25 + 12z; bx + 8y4 2b4y5


28

Solucin:

-10bx + 12b4x5 - 18y4 - 6z + 12 6bx - 8b4y5 + 3y4 - 6z + 3 - 7bx - 4b4y5 + 12z - 25 bx - 2b4y5 + 8y4 -10bx - 2b4y5 - 7y4 - 10

IMPORTANTE La forma vista facilita el proceso de la suma de polinomio pero no es indispensable hacerlo. Se pueden escribir los polinomios uno a continuacin del otro y reducir los trminos semejantes. Lo que quede es el resultado de la suma. Ejemplo Sumar los siguientes polinomios

3m + 8n - 4x + 6; - 10n + 10m - 15; - 6x + 8m - 5n + 2

Solucin Colocamos todos los sumandos uno a continuacin del otro tachamos los trminos semejantes.

3m + 8n - 4x + 6 - 10n + 10m - 15 - 6x + 8m - 5n + 2

Resultado de la suma:

21m - 7n - 10x - 7


29

IMPORTANTE ! Si los polinomios dados no tienen trminos semejantes, simplemente se escriben uno a continuacin del otro teniendo en cuenta que cada trmino vaya separado del anterior por su propio signo. Ejemplo Sumar los polinomios siguientes:

3a - 8b + 6y; - 5m + 6y4 8z; -2mx + 6bz 12

Solucin: Por no tener trminos semejantes, simplemente los relacionamos uno a continuacin del otro y tenemos como Respuesta:

3a - 8b + 6y - 5m + 6y4 8z -2mx + 6bz 12

Ejercicios 1) SSuummaarr:

3bx 18mx + 15yz; - 24yz + 5bx + 2mx - 9; -bx + 12 3yz

Solucin

3bx 18mx + 15yz 5bx + 2mx - 24yz 9 -bx - 3yz + 12 7bx - 16mx - 12yz + 3


30

22)) SSuummaarr

-8ab - 5my + 6by + 4mz; 6ab + 5my 15mz + 15; 2ab - 3mz 3my

Solucin

-8ab - 5my + 6by + 4mz 6ab + 5my - 15mz + 15 2ab - 3my - 3mz - 3my + 6by - 14mz + 15

33)) SSuummaarr::

a + 5bm 3y + 8z; -5 + 3b 12z4; 6b4y5 - 8mx 3bz

Solucin:

a-5a+3b+5bm+6b4y53bz-8mx-3y- 12z4+8z

44)) SSuummaarr

8b + 6b - 5b4 12; - 4b4 + 6b - 15b - 18; 10b4 15b - 16 4b

Solucin:

8b + 6b - 5b4 - 12 6b - 15b - 4b4 - 18 -15b - 4b + 10b4 - 16 -b - 13b + b4 - 46


31

5) Sumar:

-2mx + 6mx4 + 2x5 + 8; - 2mx4 + 6x5 3y + 3; 4y + 6x5 4mx4 2; 8mx 3x5 4 2y

Solucin:

- 2mx + 6mx4 + 2x5 + 8 - 2mx4 + 6x5 3y + 3 - 4mx4 + 6x5 + 4y - 2 8mx - 3x5 2y - 4 6mx +11x5 y + 5

SSUUSSTTRRAACCCCIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA

RReeggllaa GGeenneerraall 1) El o los trminos del minuendo conservan su signo 2) Al o a los trminos del sustraendo se les cambia el signo 3) Hecho lo anterior se reducen trminos semejantes si los

hay. NOTA Es IMPORTANTE NOTAr que el minuendo generalmente va precedido de la palabra a o de y el sustraendo va despus de la palabra restar.


32

SSUUSSTTRRAACCCCIINN DDEE MMOONNOOMMIIOOSS

Regla 1) El trmino minuendo conserva su signo. 2) Al trmino sustraendo se le cambia el signo. 3) Se reducen los trminos semejantes si los hay. Ejemplo:

De 8a restar 5a

IMPORTANTE ! 8a es positivo y es el minuendo; 5a es positivo y es el sustraendo, a 5a le cambiamos el signo por ser sustraendo y tenemos:

8a - 5a = 3a

Minuendo Sustraendo Diferencia

Elaboremos otro Ejemplo: Restar 12my4 de 5my4 5my4 es el minuendo y queda como est; -12ny4 es el sustraendo. Se le cambia el signo y tenemos:

5my4 + 12my4 = 17my4

Minuendo Sustraendo Diferencia Elaboremos otro Ejemplo Restar 2xz de 18xz


33

-18xz minuendo, queda como est; -2xz sustraendo, se le cambia el signo, de donde

-18xz + -2xz = -16xz

Veamos un Ejemplo ms: de -4xz4 restar 9mx IMPORTANTE ! Como no hay trminos semejantes la operacin simplemente queda indicada.

-4xz4 minuendo 9mx sustraendo De donde queda: -4xz4 - 9mx

EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss 1) De 18ax restar 4ax Solucin

-18ax + 4ax = -14ax 2) Restar 21mxy de 6mxy Solucin

6mxy - 21mxy = -27mxy


34

3) Restar 4abz de 6az

Solucin:

6az + 4abz = 6az + 4abz

RREESSTTAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS Regla 1) Se escribe el polinomio minuendo. Cada trmino con su

signo correspondiente. 2) Debajo del minuendo escribimos el sustraendo colocando

cada trmino semejante debajo de su trmino semejante teniendo presenta de cambiarle el signo a cada trmino del sustraendo.

NOTA No debe olvidarse que generalmente al minuendo lo determinara la palabra de o a. Elaboremos un Ejemplo:

De 4a - 5m + 8y 3z restar 9m + 6y + 7z 10a

Solucin: 4a - 5m + 8y 3z +10a + 9m - 6y - 7z +14a + 4m + 2y 10z

El minuendo conserva los signos

A cada trmino del sustraendo le cambiamos el signo.

Diferencia


35

Elaboremos otro Ejemplo Restar 8ab - 9b5m 8x + 15 de 3ab - 6b5m - 9z + 13 Solucin

-3ab - 6b5m 9z + 13 { Minuendo

-8ab + 9b5m - 15 + 8x

-11ab + 3b5m 9z - 2 + 8x { Diferencia Elaboramos otro Ejemplo

De 7mx + 12x - 12y - 5z restar 5mx5 + 9z5 + 8 NOTA Observe que en los dos polinomios dados no existen trminos semejantes. Cuando esto sucede se deja planteada la operacin teniendo en cuenta que al sustraendo se le cambia el signo. Solucin

7mx + 12x - 12y - 5z + 5mx5 + 9z5 + 8

MMiinnuueennddoo SSuussttrraaeennddoo

Sustraendo con signo contrario


36

EEJJEERRCCIICCIIOOSS RREESSUUEELLTTOOSS

1) De3ab + 5mx + 6yz4 8 restar 5ab - 12mx + 10yz4 + 6 Solucin

3ab + 5mx + 6yz4 8 -5ab + 12mx - 10yz4 6 -2ab + 17mx - 4yz4 14

2) Restar 4y + 5y4 6y5 8y6 de 4y6 3y5 + 2y- 14y + 6y4 9 Solucin

-4y6 3y5 + 6y4 + 2y3 14y 9 +8y6 + 6y5 5y4 4y +4y6 + 3y5 + y4 2y - 14y 9

3) Restar 2mx 3ay - 6z + 8 de 8 6z - 3ay + 2mx Solucin 2mx 3ay - 6z + 8

-2mx + 3ay + 6z - 8 0


37

4) De 2ab - 7bn + 6cy restar 2ab + 7bm-6cy Solucin

2ab - 7bm + 6cy 2ab - 7bm + 6cy 4ab - 14bm + 12cy

5) Restar 2a - 5a + 3a - 1 de 7a4 3b + 8cy Solucin

7a4 3b + 8cy 2a + 5a - 3a + 1

6) De 5xy + 4xy - 2xy4 7y5 + 6 restar 4y5 y 2xy - 4z + 3xy4 Solucin

5xy + 4xy - 2xy4 7y5 + 6 -2xy + 3xy4 4y5 + 4z 3xy + 4xy + xy4 11y5 + 4z + 6


38

MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA

DDeeffiinniicciinn Es una operacin directa que tiene por objeto conseguir una cantidad (producto que sea con respecto al multiplicando, lo que el multiplicador es con respecto a la unidad). IMPORTANTE ! Para la multiplicacin algebraica se debe comprender en forma clara cuatro puntos bsicos que son:

Ley de los Signos Ley de los Exponentes Ley de los Coeficientes Multiplicacin de Fraccionarios

LLEEYY DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS

Utilizando expresiones consiste en los siguiente:

El producto de 2 signos iguales arroja un signo positivo

El producto de 2 signos diferentes arroja signo negativo

La misma ley usando los signos

ms por ms arroja ms menos por menos arroja ms

ms por menos arroja menos menos por ms arroja menos


39

NOTA El punto indica multiplicacin

+ . + = + - . - = + + . - = - - . + = -

Ejemplo a . b = ab + . + = + - a . b = ab - . - = + a . b =-ab + . - = - - a . b =-ab - . + = -

NOTA: Cuando el primer nmero o letra es positivo (+) no se escribe el signo.

LLEEYY DDEE LLOOSS SSIIGGNNOOSS CCUUAANNDDOO EEXXIISSTTEENN MMSS DDEE DDOOSS FFAACCTTOORREESS

1) Si en un producto el nmero de factores Negativos que interviene es Par, el producto es Positivo. Ejemplo

a.b.-c.-d = abcd + . + = + . - = - . - = +

-5.3.2.-4 = 120 - . + = - . + = - . - = +

2) Si en un producto el nmero de factores es Negativo es impar, el producto es Negativo.


40

Ejemplo: a.b.c.-d = -abcd + . + = + . + = + . - = -

-a.-b.c.-d = -abdc - . - = + . + = + . - = -

SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS

1) Sin un producto de varios factores se le cambia el signo a un nmero par de ellos, el signo del producto no vara. Ejemplo:

a . b . c . -d = -abcd Cambiemos el signo de b y c

a . b. c. d = -abcd + . - = - . - = + . - = - 2) Si en un producto de varios factores se le cambia el signo a un nmero impar de ellos, el signo del producto vara. Ejemplo:

-a. b. c. d. = abcd - . - = + . - = - . - = + Cambiemos el signo de a a. b. c. d = -abcd + . - = - . - = + . - = -

Observe que por cambiar el signo a un trmino cambio

el signo del producto

-a. b. c. d = abcd - . - = + . - = - . - = +

Cambiemos el signo de a,b,c,

a . b . c . d = -abcd + . + = + . - = -


41

LLEEYY DDEE LLOOSS EEXXPPOONNEENNTTEESS CCOONN RREESSPPEECCTTOO AA LLAA MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN

Para elaborar multiplicaciones algebraicas es necesario que el alumno tenga claro cmo aplicar la ley de los exponentes cuando se multiplican potencias de igual base. La ley es la siguiente: Para multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman sus exponentes. En trminos matemticos es igual a decir: am . an = am+n

{ El punto indica multiplicacin

Se lee: a a la m por a a la n es igual a a a la m ms n Ejemplo

am . an = am+n Sea a = a

m = 2 n = 3

y tenemos: Exponentes

a2 . a3 = a2+3 = a5

Igual base

Dicho de otra manera

a2 . a3 = a5

Miremos otros Ejemplos: 1 Multiplicar: X6 . X2 = X6+2

X6 . X2 = X8


42

2) Multiplicar: Z4 . Z5 . Z3 Solucin:

Z4 . Z5 . Z3 = Z4+5+3 Z4 . Z5 . Z3 = Z12

IMPORTANTE ! En muchas multiplicaciones algebraicas las bases (letras) no son iguales; entonces para aplicar la ley de los exponentes, decimos que el resultado es igual a cada base (letra) elevada a su propio exponente. En forma general es lo siguiente:

am . bn = ambn

Bases diferentes

Ejemplos: 1) Multiplicar X6 . Y3 Solucin:

X6 . Y3 = X6Y3

2) Multiplicar: c . d4 . y5 Solucin:

c . d4 . y5 = c2d4y5

IMPORTANTE ! Cuando hay multiplicaciones con letras (bases) diferentes pero algunas de estas letras son iguales entre si, se suman los exponentes de stas. Ejemplo: Multiplicar X . X . Y4 . Y5


43

Solucin: X . X . Y4 . Y5 = X5 . Y9

Igual Base Igual Base Otro Ejemplo:

X . X4 . Y . Y4 . Z5 . Z = X7 . Y6 . Z7 Igual Base Igual Base Igual Base

Otro Ejemplo:

X . Y4 . Y5 . X3 = X5 . Y9

Igual Base

Igual Base


44

LGEBRA 3

LA SUMA DE MONOMIOS CON COEFICIENTE FRACCIONARIO

En la suma de Monomios con coeficiente fraccionario se aplica el mismo proceso de los Monomios con coeficientes enteros, teniendo en cuenta que la suma de los coeficientes se elabora de acuerdo con la suma de fraccionario. Como va de repaso recordemos la Regla de la suma de fraccionarios con igual denominador y la suma de fraccionarios con diferente denominador.

SUMA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

REGLA: Se suman los numeradores y al resultado se le deja el mismo denominador EJEMPLO:

45

423

42

43 =+=+

a45a

423a

42a

43 =+=+


45

SSUUMMAA DDEE FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS CCOONN

DDIIFFEERREENNTTEE DDEENNOOMMIINNAADDOORR

Regla: 1) Se simplifican las fracciones si es posible. 2) Se establece un comn denominador, el ms indicado, como

comn denominador, es el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

3) Cada fraccin se pasa al denominador comn. 4) Se suman los numeradores y se deja el denominador

comn. 5) Se simplifica la fraccin si es posible. Veamos un Ejemplo con trminos numricos: SSuummaarr::

+

AApplliiccaannddoo llaa RReeggllaa:: Se simplifican las fracciones si es posible. HHaaggmmoosslloo:: Simplificando

3 = = y

8

6 4 16 10

6 6 3 16 16 8


46

2 = =

5 CCOONNCCLLUUSSIINN

83

166 =

y Por tanto queda 52

+83

52

104 =

2. Se establece un comn denominador. El ms indicado es el mnimo comn mltiplo de los denominadores. RECUERDE El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de varios nmeros es el menor nmero que los contiene a todos en una forma exacta. Ejemplo: Porque 6 es el menor a) El m.c.m. de 2 y 3 = 6 nmero que contiene a 2 y 3, en forma exacta Porque 8 es el menor b) El m.c.m. de 8 y 4 = 8 nmero que contiene a 8 y 4, en forma exacta

4 4 2 10 10 5


47

Porque 30 es el menor c) El m.c.m. de 2, 3 y 5 = 30 nmero que contiene a 2, 3 y 5 en forma exacta De lo dicho podemos establecer que el comn denominador de 8 y 5 es 40 porque es el menor nmero que los contiene en forma exacta. Por lo tanto:

+ =

3. Cada fraccin se pasa a denominador comn. Regla: Para pasar una fraccin a otra fraccin de denominador dado, el denominador se divide por el denominador de la fraccin y el cociente se multiplica por el numerador. PPaasseemmooss::

1) 83 a denominador 40 y tenemos:

2) x 3 = 15 PPoorr lloo ttaannttoo::

3) 83 =

4015

3 2 8 5 40 Denominador comn

40 8

Numerador de la nueva fraccin


48

Pasemos 2/5 a denominador 40 y tenemos:

4) 540 x 2 = 16

Por lo tanto:

4016 =

52

Abreviadamente tenemos:

6) 40

161552

83 +=+

4. Se suman los numeradores y se deja el denominador comn y tenemos:

7) 4031

401615

52

83 =+=+

Elaboramos la misma operacin abreviada SSuummaarr 3 2

4031

401615

104

166 =+=+

8 5

Elaboremos sumas de monomios con coeficientes fraccionarios. Regla: 1) Se escriben todos los trminos, uno a continuacin del otro,

separados por sus propios signos.

numerador de la nueva fraccin

Suma de los numeradores Denominador comn


49

2) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3) Los trminos no semejantes quedan como estn. 4) Lo que quede, despus de reducir los trminos semejantes, se

escriben uno a continuacin del otro incluyendo los no semejantes.

Ejemplo: SSuummaarr::

b41- y ,b

32 ,a

21,a

51 ,a

43

AApplliiccaannddoo llaa RReeggllaa:: 1) Se escriben todos los monomios uno a continuacin del otro,

separados en sus propios signos.

2) HHaaggmmoosslloo:: b41- b

32 a

21a

51 a

43 ++

3) Se reducen los trminos semejantes si los hay. 4) Observe que hay dos clases de trminos semejantes. Por una

parte los que contienen a y por otra parte los que contienen b. RReedduuzzccaammooss llooss qquuee ccoonnttiieenneenn aa yy tteenneemmooss::

a21a

51 a

43 +

Recuerde que para reducir trminos semejantes se suman los coeficientes y se agregan a la parte literal. HHaaggmmoosslloo::

+ - = =

m.c.m. de los denominadores y denominador comn. Reduzcamos los que tienen b.

3 1 1 15 + 4 10 9 4 5 2 20 20


50

- = =

m.c.m. de los denominadores y denominador comn

RReessuummiieennddoo::

b125a

209b

41b

32a

21a

51a

43 +=++

Elaboremos otro Ejemplo: Sumar:

4y21m

54;a

52;a

43;a

61;a

21

Se escriben uno a continuacin del otro respetando su signo, y tenemos:

4y21m

54a

52a

43a

61a

21 +++

Trminos semejantes Trminos no semejantes

Reduzcamos los trminos semejantes:

6029

6024151030

52

43

61

21 =++=++

Resumiendo nos queda:

4y21m

54a

52a

43a

61a

21 +++

4y21m

54a

6029 +=

SSUUMMAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS

Regla

2 1 8 - 3 5 3 4 12 12


51

1. Se escriben los polinomios uno debajo del otro, de tal manera que los trminos semejantes se corresponda. 2. Se reducen los trminos semejantes si los hay. 3. Si no existen trminos semejantes se escriben los trminos uno a continuacin del otro, separados por sus propios signos. Elaboremos un Ejemplo: SSuummaarr::

xm51xy

32;15zy

31xm

42a

31 5 ++

zy21

xm43

+a21

;20+ 5

AApplliiqquueemmooss llaa RReeggllaa:: 1. Se escriben los polinomios uno debajo del otro, de manera que los trminos semejantes se corresponda. Hagmoslo:

15zy31xm

42a

31 5 +

20zy32xm

51 ++

zy21xm

43a

21 5 +

Reduzcamos los trminos semejantes:

RReedduuzzccaammooss:: 55 a21a

31

Elaboramos la suma algebraica de los coeficientes y a continuacin dejamos la parte literal.

HHaaggmmoosslloo:: 5a61

632

21

31 ==


52

Luego:

555 a61a

21a

31 =

Tomemos la segunda columna y reduzcamos:

xm43xm

51xm

42 ++

Sumando los coeficientes tenemos:

209

2015410

43

51

42 =++=++

Luego:

xm209xm

43xm

51xm

42 =++

Tomemos la tercera columna y reduzcamos:

zy21zy

32zy

31 +

Sumando los coeficientes, tenemos:

21

63

6342

21

32

31 ==+=+

Luego: zy21zy

21zy

32zy

31 =+

Tomemos la cuarta columna y sumemos:

- 15 + 20 = 20

Uniendo, nos queda:

15zy 31

+ xm 42

a 31 5 -


53

20 + zy 32

+ xm 51

zy 21

- xm 43

+ a 21

5 - a5 + mx + yz + 5

SSUUSSTTRRAACCCCIINN CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS

Regla El minuendo se deja como est y el sustraendo se le cambia el signo y se hace una suma algebraica comn y corriente. Ejemplo:

ab51 restar ab

43De

HHaaggmmoosslloo::

El minuendo se deja con su signo

ab51 restar ab

43 De

Al sustraendo se le cambia el signo

Elaboramos la suma de los coeficientes y agregamos la parte literal:

2011

20415

51

43 ==

En otras palabras:

1 9 1 6 20 2


54

ab2011ab

51ab

43 =

Elaboremos otro Ejemplo:

44 ax43 - restar ax

65 De

Recuerde que para restar algebraicamente, el minuendo se deja como est y al sustraendo se le cambia el signo. HHaaggmmoosslloo:

44 ax43 ax

65 +

Sumamos los coeficientes y agregamos la parte literal.

1219

12910

43

65 =+=+

Por lo tanto:

444 ax

1219ax

43 ax

65 =+

NOTA: Si los monomios no son trminos semejantes la operacin se deja planteada. Ejemplo:

xy65 restar ax

43 De 4

PPllaanntteeaannddoo llaa rreessttaa,, qquueeddaa:

xy65 - ax

43 4


55

SSUUSSTTRRAACCCCIINN DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS CCOONN

CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOO

Regla El polinomio minuendo se deja con sus signos correspondientes y al polinomio sustraendo se le cambia el signo, es decir, a cada uno de sus trminos se les cambia el signo y se elabora una suma algebraica comn y corriente. Ejemplo:

cab31ab

23 - restar c-ab

43ab

21 De +

Nos queda:

+ cab31ab

23 - - c-ab

43ab

21

Nos queda:

c-ab43ab

21 +

cab31ab

23 ++

Pasemos a sumar los trminos semejantes y tenemos:

ab224

23

21 ==+

ab1213

1249

31

43 =+=+

En CONCLUSIN, tenemos:

Observe que los trminos del minuendo conservan

sus signos. Observe que los trminos

del sustraendo, cambiaron de signo.


56

c-ab43ab

21 +

cab31ab

23 ++

2 ab + ab 13 12


57

SSUUMMAA YY RREESSTTAA CCOOMMBBIINNAADDAA DDEE PPOOLLIINNOOMMIIOOSS

CCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEE FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOO

Ejemplo:

ab37ab

54 restar ab

52ab

35De +

+ ab21ab

56

1) El minuendo queda como est

ab52ab

35

2) La suma de los dos polinomios del sustraendo quedan:

ab37ab

54 +

ab21ab

56

Luego:

2 3) ab2

510

56

54 ==+

1


58

4) ab611

6314

21

37 ==

Por lo tanto:

5) ab37ab

54 +

ab21ab

56

ab611- ab 2

A continuacin tenemos como minuendo:

6) ab53ab

35

y sustraendo el total hallado, es decir:

7)

+ ab611ab2ab

52ab

35

ab52ab

35

ab611ab 2


59

Operando trminos semejantes, tenemos:

3

65 = 2

35 -

= -

305512

611

52 = = -

Por tanto

ab52ab

35

ab611ab2

- ab - ab

SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN

SSee pprreesseennttaann ddooss ccaassooss 1. Que el signo de agrupacin est precedido del signo menos ( - ). 2. Que el signo de agrupacin est precedido del signo ms ( + ).

SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN PPRREECCEEDDIIDDOOSS DDEELL SSIIGGNNOO MMEENNOOSS ((-- ))

Regla Para suprimir un signo de agrupacin precedido por el signo menos (-), todos los trminos algebraicos que se encuentren dentro del signo de agrupacin, salen con signo contrario.

1 3

67 30

1 67 3 30


60

Elaboremos un Ejemplo: Suprimir el signo en la expresin:

- (ab4 - a b + ab - 5) OJO! Por estar precedido del signo menos ( - ), los trminos internos, salen con signo contrario.

- (ab4 + a b + ab - 5) = -ab4 a b - ab + 5 Elaboremos otro Ejemplo: Suprimir el signo de agrupacin de la expresin siguiente:

- ( - a + ab ac + ax )

Resolviendo tenemos que

- ( - a + ab ac + ax ) = a ab + ac - ax

CCOONNCCLLUUSSIINN:: Cuando un signo de agrupacin est precedido del signo menos ( - ), los trminos internos salen con signo contrario.

SSUUPPRREESSIINN DDEE SSIIGGNNOOSS DDEE AAGGRRUUPPAACCIINN PPRREECCEEDDIIDDOOSS DDEELL SSIIGGNNOO MMSS (( ++ ))

Regla Para suprimir un signo de agrupacin precedido del signo ms ( + ), todos los trminos, se sacan del signo de agrupacin conservando su signo. Ejemplo: Suprimir el signo de agrupacin en la expresin:

+ (a b + c) RReessoollvviieennddoo tteenneemmooss:

+ (a b + c) = a b + c


61

Observe que todos los trminos conservan su signo. Veamos otro Ejemplo: Suprimir el signo de agrupacin en la expresin:

+ (ax - bx + 4ab 5)

RReessoollvviieennddoo tteenneemmooss:

+ (ax - bx + 4ab 5) = ax - bx + 4ab 5

Observe que todos los trminos conservan su signo

MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN AALLGGEEBBRRAAIICCAA

En el Fascculo anterior vimos la ley de los signos (repsela por favor). Vimos la ley de los signos, cuando existen ms de dos factores. Vimos la ley de los exponentes con respecto a la multiplicacin.

MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN DDEE MMOONNOOMMIIOOSS

Regla 1. Se multiplican los coeficientes por separado siguiendo la ley de

los signos. 2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes. 3. Los dos resultados se unen.


62

Ejemplo:

Multiplicar: 3b por 4b

PPrroocceeddiimmiieennttoo:: 1. Se multiplican los coeficientes por separado, siguiendo la ley de los signos. Hagmoslo:

3 x 4 = 12 { + por + arroja ms }

2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes.

b por b = b2+3 = b5 3. Los resultados se unen

12b5 CCOONNCCLLUUSSIINN

3b por 4b = 12b5 Elaboremos otro Ejemplo:

- 3b por 4b

1. Se multiplican los coeficientes por separado, siguiendo la ley de los signos. Hagmoslo:

- 3 x 4 = - 12 { - por + arroja menos }


63

2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes.

b por b = b2+3 = b5

3. Los resultados se unen

-12b5

CCOONNCCLLUUSSIINN - 3b por 4b = -12b5

MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIINN DDEE MMOONNOOMMIIOOSS CCOONN

CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESS FFRRAACCCCIIOONNAARRIIOOSS

NOTA La diferencia entre multiplicacin de Monomios con coeficientes enteros y la multiplicacin de Monomios con coeficientes fraccionarios, es el proceso en la multiplicacin. Cuando son enteros se realiza una simple multiplicacin teniendo en cuenta la ley de los signos. Cuando el coeficiente es fraccionario debe tenerse en cuenta que es una multiplicacin de fraccionarios, es decir, se debe multiplicar los numeradores y los denominadores entre s, teniendo en cuenta la ley de los signos. Ejemplo: Multiplicar: 2

52

156

32x

53 ==

5 Multiplicar:

1 3 3 2 7 14


64

x =

RREEGGLLAA PPAARRAA MMUULLTTIIPPLLIICCAARR MMOONNOOMMIIOOSS

LLaa RReeggllaa eess llaa yyaa vviissttaa:: 1. Se multiplican los coeficientes por separado, siguiendo la ley de

los signos. 2. Se multiplica la parte literal siguiendo la ley de los exponentes. Ejemplo:

1) 24 a32a

53

2) 52

156

32x

53 ==

3) a4 por a = a4+2 = a6

De donde:

4) 624 a52a

32a

53 =


65


b21 por b

32

Hagmoslo:

31

62

21x

32 ==

b por b = b3+2 = b5

De donde:

5b31b

21 por b

32 =


5x41 por x

61

Hagmoslo:

241

41

61 =

x por x5 = x7

75 x241x

41 por x

61 =


66

PPRROODDUUCCTTOOSS CCOONNTTIINNUUAADDOOSS

Llamamos productos continuados cuando la multiplicacin contiene ms de dos factores. NOTA La forma ms usada de presentar la multiplicacin, es utilizando signos de agrupacin. Recuerde que dos signos de agrupacin unidos indican multiplicacin. HHaaggaammooss uunn EEjjeemmpplloo: 1) (2a) (2a4) (5b) Solucin

2 x 2 x 5 = 20

2) a x a4 x b = (a3+4) (b) = a7 b De donde:

3) (2a) (2a4) (5b) = 20 a7 b Elaboremos otro Ejemplo: 1) (-2a) (5a) (-3b4) (2b) De donde:

2) -2 x 5 x 3 x 2 = 60

a a b4 b5 = a3+2 b4+5 = 45b9 El punto indica multiplicacin

De donde:


67

(-2a) (5a) (-3b4) (2b5) = 60a5b9


c35 b

81- b

31 4

De donde:

725

35

81

31 =

b por b4 = b2+4 = b6

De donde:

cb725

=c35

b81

- b31

- 64

DURACION.pdfPgina 1

LUISA.pdfPgina 1

algebra modulo1 c4 unidad1

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