Ime i prezime:

1 2 3 4 5

ALGEBARSKE STRUKTURE2. kolokvij, 31.5.2010.

1. (a) Da li je ideal (4 + i) prost u Z[i]?Rjesenje: Z[i] je DGI, pa treba samo odrediti je li 4 + i ireducibilan.Neka je 4 + i = uv, pa je N(4 + i) = 17 = N(u)N(v), iz ega slijedi da jeili N(u) = 1 ili N(v) = 1, tj ili u ili v je ireducibilan.

(b) Prikaite (6 + 2i, 7 + i) kao glavni ideal u Z[i].Rjesenje:NZD(6 + 2i, 7 + i) = NZD(6 + 2i (7 + i), 7 + i) = NZD(1 + i, 7 + i).Kako 1 + i dijeli 7 + i slijedi NZD(1 + i, 7 + i) = 1 + i, tj.(6 + 2i, 7 + i) = (1 + i).

2. Jesu li polinomi 3x3 + 7x2 3x+ 2 i x3 + 6x2 + 27x+ 42 ireducibilni uQ[x]? Dokaite!Rjesenje: Oba polinoma su ireducibilna. Za x3 + 6x2 + 27x+ 42, to semoe dokazati Eisensteinovim kriterijom, dok kod 3x3 + 7x2 3x+ 2treba provjeriti da {1,2,1/3,2/3} nisu nultoke.

3. Definirajmo S := {x+ y2 | x, y Z} i T := {u+ v10 | u, v Q}.(a) Jesu li S i T , uz standardno mnoenje i zbrajanje (realnih brojeva),prsteni? Ako da, postoji li homomorfizam iz S u T? (Koristite:2,5,10 6 Q.)

Rjesenje: dokazujemo da je S potprsten od (R,+, ). Uzmemoproizvoljne elemente a, b S, te pokemo da je a b S i a b S.Analogno za T .Pretpostavimo da postoji homomorfizam iz S u T . Poto je f(1) = 1, te1+1 = f(1)+ f(1) = f(1+1) = f(2) = f(

22) = f(

2)2, pa slijedi da

je f(2) = 2. Poto 2 nije element od T doli smo do kontradikcije.

(b) Ima li S neki netrivijalan ideal? Ima li T neki netrivijalan ideal?Rjesenje: S ima netrivijalan ideal npr. {2a+ 2b2|a, b Z}. T jepolje, to se moe vidjeti iz toga to je (ab

10)

a2+10b2 inverz od proizvoljnognenul elementa a+ b

10od T . Dakle T nema pravih ideala.

4. Precizno iskaite i detaljno dokaite drugi teorem o izomorfizmu zaprstene.Rjesenje: Vidi skriptu.

5. (a) Neka je A komutativan prsten s jedinicom i I prost ideal u A.Dokaite da je onda kvocijentni prsten A/I integralna domena.Rjesenje: Vidi skriptu.

(b) Neka je u prstenu A := Z[X] definiran podskupI := {17a0 + a1X + + anXn | ai Z}. Da li je I ideal u A? Ako jest,da li je to tovie i prost ideal? Odgovore obrazloite!

Rjesenje: I je ideal, dokazuje se standardim provjeravanjem svojstvaideala. Neka je p q I, dakle konstantni lan produkta je djeljiv sa 17.Sada se lako vidi da konstantni lan od p ili q ili oboje moraju bitidjeljivi s 17. Dakle p I ili q I. Dakle I je prost.

Ime i prezime:

1 2 3 4 5

ALGEBARSKE STRUKTURE2. kolokvij, 31.5.2010.

1. (a) Da li je ideal (2 + 2i) maksimalan u Z[i]?Rjesenje: Nije, poto 2 + 2i nije ireducibilan, jer ga moemo rastavitikao produkt 2 ne-invertibilna elementa 2 + 2i = 2 (1 + i).(b) Prikaite (4 + 3i, 2 + i) kao glavni ideal u Z[i].Rjesenje: Euklidovim algoritmom dobivamo da jeNZD(4 + 3i, 2 + i) = i, pa je (4 + 3i, 2 + i) = (i) = Z[i].

2. Rijeite, u prstenu R[x], sustav kongruencija f 1 + x(mod x2 2), f 4 (mod x+ 1).Rjesenje:

f(x) = b1n1n11 + b2n2n12 (mod (x

2 2)(x+ 1)) =

(x+ 1)(x 1)(x+ 1) + 4 (1) (x2 2) (mod (x2 2)(x+ 1)) =7 x 3x2 + x3 (mod (x2 2)(x+ 1)) =

9 + x 4x2 (mod (x2 2)(x+ 1)).

3. Definirajmo S := {x+ y3 | x, y Z} i T := {u+ v6 | u, v Q}.(a) Jesu li S i T , uz standardno mnoenje i zbrajanje (realnih brojeva),prsteni? Ako da, postoji li neki homomorfizam iz S u T? (Koristite:2,3,6 6 Q.)

Rjesenje: Vidi prvu grupu.

(b) Ima li S neki netrivijalan ideal? Ima li T neki netrivijalan ideal?Rjesenje: Vidi prvu grupu.

4. Precizno iskaite i detaljno dokaite trei teorem o izomorfizmu zaprstene.Rjesenje: Vidi skriptu.

5. (a) Neka je A komutativan prsten s jedinicom i I maksimalan ideal u A.Dokaite da je onda I prost ideal.Rjesenje: Vidi skriptu.

(b) Neka je u prstenu A := Z[X] definiran podskupI := {7a0 + a1X + + anXn | ai Z}. Da li je I ideal u A? Ako jest,da li je to tovie i prost ideal? Odgovore obrazloite!

Rjesenje: Vidi prvu grupu.