1.1. realni i kompleksni brojevi. algebarske operacije s kompleksnim brojevima
DESCRIPTION
Realni i Kompleksni brojeviTRANSCRIPT
0. UVODNE NAPOMENE
OSNOVNO O KOLEGIJU
1Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel
0.1. IZVOĐAČI NASTAVE• Predavanja i usmeni ispit: mr.sc. Bojan Kovačić,
predavač;
• Auditorne vježbe i kolokviji: Luka Marohnić,asistent (grupa D), dr.sc. Danilo Rastović, asistent(grupa E), mr.sc. Bojan Kovačić, predavač (grupa F),Renata Opačić, asistent (grupa G)
• Pismeni ispiti: Luka Marohnić, dr.sc. DaniloRastović, Renata Opačić
• Demonstrature: Andrijana Petrović i MartinaVučićević, studentice
2Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel
0.2. SADRŽAJ KOLEGIJA
• Kompleksni brojevi• Matrice i determinante• Sustavi linearnih jednadžbi• Vektori• Funkcije (opći dio)• Elementarne funkcije• Nizovi• Granične vrijednosti nizova i funkcija• Diferencijalni račun i primjene
3Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel
0.3. LITERATURA
• Popis službene literature: na internetskojstranici predmeta
• Za ponavljanje srednjoškolskoga gradiva:udžbenici i zbirke zadataka iz matematike zaopće gimnazije i tehničke škole
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
4
1. KOMPLEKSNI BROJEVI
1.1.REALNI I KOMPLEKSNI BROJEVI. ALGEBARSKE
OPERACIJE S KOMPLEKSNIM BROJEVIMA.
5Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel
1.1.1.SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA
• Jednadžba x2 = –1 nema rješenja u skupu realnih brojeva R
• Zamišljeno (imaginarno) rješenje te jednadžbe označava se s i inaziva imaginarna jedinica
• Za svaki cijeli broj k ∈ Z vrijede sljedeće jednakosti:
• i4 · k = 1, i4 · k + 1 = i, i4 · k + 2 = –1, i4 · k + 3 = –i
• “Broj” oblika a + b · i, gdje su a, b ∈ R, naziva se kompleksan broj
• Skup svih kompleksnih brojeva označava se s C
• Dakle, C = {a + b · i: a, b ∈ R}
• Svaki realan broj a ∈ R možemo shvatiti kao kompleksan broj a ++ 0 · i. Zbog toga vrijedi skupovna inkluzija: R ⊂ C.
• Općenito, vrijede sljedeće skupovne inkluzije: N ⊂⊂⊂⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
6Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel
1.1.2. OSNOVNE VELIČINE • Za zadani kompleksan broj z = a + b · i, pri čemu su
a, b ∈ R, definiramo:
• realni dio kompleksnoga broja (oznaka: Re(z)) := a;
• imaginarni dio kompleksnoga broja (oznaka: Im(z)):= b;
• konjugirano-kompleksni broj: ;
• apsolutnu vrijednost (modul): ;• Napomena: Za svaki z ∈ C vrijede jednakosti:
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
7
:z a b i= − ⋅
[ ] [ ]2 2 2 2: Re( ) Im( )z z z a b= + = +
2
1.) ;
2.) .
z z
z z z
=
⋅ =
1.1.3. JEDNAKOST KOMPLEKSNIH BROJEVA
• Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo akosu istodobno međusobno jednaki njihovi realnidijelovi i međusobno jednaki njihovi imaginarnidijelovi
• Formalno, ako su z1 = a1 + b1 · i i z2 = a2 + b2 · i,pri čemu su a1, b1, a2 i b2 ∈ R, onda vrijedi:
• (z1 = z2)⇔ ((Re(z1) = Re(z2)) ∧ (Im(z1) = Im(z2)))
• Jednostavnije zapisano:• (z1 = z2)⇔ ((a1 = a2) ∧ (b1 = b2))
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
8
1.1.4. KOMPLEKSNA ILI GAUSSOVA RAVNINA
• Svakom kompleksnom broju z = a + b · i, pri čemu sua, b ∈ R, jednoznačno možemo pridružiti uređeni par(Re(z), Im(z)), tj. (a, b)
• Grafički prikaz skupa svih tako dobivenih uređenihparova naziva se kompleksna ili Gaussova ravnina
• Kompleksna ravnina je, zapravo, “običan” pravokutnikoordinatni sustav u ravnini, pri čemu os apscisa (os x)predstavlja os realnih dijelova (kraće: realnu os), a osordinata (os y) predstavlja os imaginarnih dijelova(kraće: imaginarnu os)
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
9
1.1.5. GEOMETRIJSKO ZNAČENJE OSNOVNIH
VELIČINA• Poistovjetimo li kompleksan broj z = a + b · i s
točkom Z = (a, b) u kompleksnoj ravnini, onda je:
• Re(z) – ortogonalna projekcija točke Z na realnu os;
• Im(z) – ortogonalna projekcija točke Z na imaginarnuos;
• – osnosimetrična slika točke Z s obzirom na realnuos;
• – udaljenost točke Z od ishodišta kompleksneravnine (tj. od točke O := (0,0))
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
10
z
z
1.1.6. ALGEBARSKE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM
BROJEVIMA• Kompleksne brojeve možemo zbrajati, oduzimati,
množiti i dijeliti
• Za kompleksne brojeve z1 = a1 + b1 · i i z2 = a2 ++ b2 · i, pri čemu su a1, b1, a2, b2 ∈ R, definiramo:
• zbroj: z1 + z2 := (a1 + a2) + (b1 + b2) · i
• razliku: z1 – z2 := (a1 – a2) + (b1 – b2) · i
• umnožak: z1 · z2 := (a1 · a2 – b1 · b2 ) + (a1 · b2 ++ a2 · b1 ) · i
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
11
1.1.7. ALGEBARSKE OPERACIJE S KOMPLEKSNIM
BROJEVIMA• količnik (u slučaju kad je z2 ≠ 0):
• Zbroj, razlika, umnožak i količnik dvaju kompleksnihbrojeva su ponovno kompleksni brojevi
• Operacije zbrajanja i množenja imaju sva svojstva(komutativnost, asocijativnost, distributivnost) kojaimaju analogne operacije u skupu realnih brojeva R
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
12
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2 2
2 2 2 2 22
:z z z a a b b a b a b
iz a b a bz
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= = + ⋅
+ +
1.1.8. SVOJSTVA APSOLUTNE VRIJEDNOSTI (MODULA)
• Realna funkcija f : C → R definirana formulom f(z) = |z|ima sljedeća svojstva:
• f (z) ≥ 0, za svaki z ∈ C;
• f (z) = 0⇔ z = 0;
• f (z1 · z2) = f (z1) · f (z2) i , za sve z1, z2 ∈
C;• , za svaki z ∈ C;
• f (zn) = [f (z)]n, za svaki z ∈ C i svaki n ∈ N;
• f (z1 + z2) ≤ f (z1) + f (z2), za sve z1, z2 ∈ C.
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
13
1 1
2 2
( )
( )
z f zf
z f z
=
( ) ( )f z f z=
1.1.9. SVOJSTVA KONJUGIRANJA
• Kompleksna funkcija g : C → C definiranaformulom g(z) = ima sljedeća svojstva:
• g(z) = 0 ⇔ z = 0;
• g(z1 ± z2) = g (z1) ± g (z2), za sve z1, z2 ∈ C;
• g[g(z)] = z, za svaki z ∈ C;
• g (z1 · z2) = g (z1) · g (z2) i , za sve z1, z2 ∈ C;
• g(z) = z ako i samo ako je z ∈ R;
• g(z) = –z ako i samo ako je z ∈ {b ⋅ i : b ∈ R}.Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel14
z
1 1
2 2
( )
( )
z g zg
z g z
=
1.1.10. PRIMJER 1.• Za kompleksne brojeve z1 = 1 – 2 · i i z2 = –2 + i izraču-
najte i prikažite u kompleksnoj ravnini sljedeće brojeve:
• a) z1 + z2;
• b) z1 – z2;
• c) z1 · z2;
• d) ;
• e) ;
• f) .
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
15
1
2
z
z
1 23 2z z⋅ + ⋅
215
5
zz⋅ −
1.1.11. PRIMJER 2.• Za kompleksan broj definiramo .
• Pokažite da za svaki vrijede jednakos-ti:
• Potom izračunajte za .Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel16
1 1:z
z
−=
( )
12
1
11
) ;
1) ;
) .
zz
z
zz
z z
−
−
−−
=
=
=
a
b
c
3z i= − +
{ }\ 0z ∈C
0z ≠
14 z−
⋅
1.1.12. PRIMJER 3.
• Pokažite da na skup C ne možemo proširitistandardni uređaj ≤ koji vrijedi na skupu R.
• Zbog toga za bilo koja dva kompleksna brojamožemo jedino ustvrditi jesu li međusobnojednaki ili međusobno različiti.
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
17
1.1.13. PRIMJER 4.
• Zadani su kompleksni brojevi i z2 = = (1 + i)3 + (1 – i)3.
• a) Prikažite u kompleksnoj ravnini zadanekompleksne brojeve, pa sa pripadne slike odreditenjihove apsolutne vrijednosti.
• b) Izračunajte i zapišite dobiveni
rezultat kao potenciju s bazom 4.Tehničko veleučilište - Elektrotehnički
odjel18
2010 2011
1 2012 2013
i iz
i i
+=
−
2012
1 2
1
4z z
− ⋅
1.1.14. PRIMJER 5.• Zadan je kompleksan broj
• a) Prikažite zadani broj u kompleksnoj ravnini.
• b) Izračunajte apsolutnu vrijednost zadanoga broja.
• c) Odredite realne brojeve x i y tako da kompleksanbroj z1 = (2 · x – y – 2) + (x – 2 · y + 12) · i budejednak zadanom broju.
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
19
50 (2 ) (3 ) (2 ) (3 )3
7 7 7
i i i iz
i i
− ⋅ + + ⋅ − = ⋅ − − + −
1.1.15. PRIMJER 6.
• a) Neka su z0 ∈ C i r ≥ 0 proizvoljni, ali fiksirani.Pokažite da je grafički prikaz skupa S = {z ∈ C : |z – z0| == r} u kompleksnoj ravnini kružnica sa središtem u točkipridruženoj broju z0 i polumjerom r.
• b) U kompleksnoj ravnini skicirajte skupove točaka:• S1 = {z ∈ C : |z| = 1};
• S2 = {z ∈ C : |z – i| ≤ 2};
• S3 = {z ∈ C : |z + i| ≥ 3};
• S4 = {z ∈ C : |z – 1 + 2 · i| < 4};
• S5 = {z ∈ C : |z – 2 – 3 · i| > 5}.
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
20
1.1.16. PRIMJER 7.
• U kompleksnoj ravnini skicirajte sljedećeskupove točaka:
Tehničko veleučilište - Elektrotehnički odjel
21
{ }
( ) ( ){ }{ }
1
2
3
4
) : Re( ) Im( ) 0 ;
) : Im 2 Re 2 2 ;
) : Re( ) Im( ) ;
) : 1 .
S z z z
S z z z
S z z z z
z zS z
zz
= ∈ + =
= ∈ ⋅ − − ⋅ =
= ∈ − =
= ∈ + =
a C
b C
c C
d C