Ajuste teórico del semivariograma

1. Mínimos cuadrados2. Métodos basados en la función de

verosimilitud3. Ajuste a Sentimiento

1. Mínimos CuadradosSe toman los valores del semivariograma empírico como variablerespuesta, en función de la distancia h.

h1 h2 . . . hk

h1 h2 . . . hk

∑i1

khi − hi ;2

Requiere :No correlación y homocedasticidad →No se satisfacen

Aunque h presenta menor correlación que h

2. Mínimos cuadrados generalizadosSean h h1 , . . . , hk

′ y

h; h1;, . . . ,hk ,

y sea V la matriz de covarianza de h

La cantidad a minimizar

h − h; ′V−1h − h;

Desventaja: Determinación de V

Propuesta para V asumiendo normalidad

omo 2h ∑i1

nhzsh−zs 2

nh

para cada h y s zs h − Zs2 2 h 12

Diagonal de la matriz U 12

Var zs hj − Zs2 Var2hjU

42hVarU 82hj

CorrZs1 h1 − Zs12;Zs2 h2 − Zs22

CorrZs1 h1 − Zs1;Zs2 h2 − Zs 22

s1−s2h1 s1−s2−h2 −s1−s2h1−h2 −s1−s22h1 .2h2

Nota: Si X1,X2 N20; , donde

82h1 8h1h2

8h1 h2 82h2

entonces CorrX12,X2

2 2

Mínimos Cuadrados ponderadosV DiagVar2hi Diag 82hi;

nhi

De donde la expresión a minimizar queda

2 − 2 ′V−12 − 2

∑i1

knhi

hi hi;

− 12

Máxima Verosimilitud

Supone el conocimiento de la densidadEstimadores sesgados de la varianza y el objetivo en este caso particular son justamente parámetros de ésta.Muestra grandeRequiere inversas de matrices muy grandes (nxn)

De forma general, supongamos que ( )( ),nN X β θΖ ∑∼ , donde

X es una matriz n x (k+1) de rango k+1 < n

( )θ∑ es una matriz n x n tal que ( ) ( ) ( )( )cov ,i jz s z sθ ⎡ ⎤=∑ ⎣ ⎦

que depende de θ a través del modelo que describe la dependencia espacial, ( )2 ;hγ θ , C(h), ρ(h).

Ejemplo: Supongamos que la variable Z es georeferenciada en2 , si x i,yi ;y que su media se puede explicar usando las coordenadas geográficasX, Y y una covariable T. Entonces las matrices necesarias para ajustar elrespectivo modelo de regresión Z X son :

Z

zs1

.

.

.

zsi

.

.

.

zsn

; X

1 x 1 y1 t1

. . . .

. . . .

. . . .

1 x i yi t i

. . . .

. . . .

. . . .

1 x n yn tn

0

1

2

3

La función de Verosimilitud → L, queda

12

n/2 1||

1/2exp − 1

2 Z − XT−1Z − X

La función logverosimilitud → L, queda

− n2 log2 − 1

2 log| | − 12 Z − XT−1Z − X

El negativo de la función logverosimilitud → L, queda

n2 log2 1

2 log| | 12 Z − XT−1Z − X

REMLAplicar Método de Máxima Verosimilitud a A′Z en lugar de Z,donde A es una matriz de contraste de errores.

Ejemplo: Sean

Z

Zs1

Zs2

Zs3

y A

1 0−1 10 −1

A′Z 1 −1 00 1 −1

Zs1

Zs2

Zs3

Zs1 − Zs2

Zs2 − Zs3

A es una matriz de la siguiente forma:

A aij es una matriz n − 1 n con los siguienteselementos

aij

1 para i j, j 1, . . . ,n − 1

−1 para i j 1, j 1, . . . ,n0 en cualquier otra parte

EA′Z 0 y

VarA′Z A′VarZA A′A

La función de Verosimilitud → L, queda

12

n−1/2 1|A ′A |

1/2exp − 1

2 A′Z ′A′A−1A′Z

La función logverosimilitud → L, queda

− n−12 log2 − 1

2 log|A′A| − 12 A

′Z′A′ A−1A′Z

El negativo de la función logverosimilitud → L, queda

n−12 log2 1

2 log|A′A| 12 Z ′AA′A−1A′Z

Verosimilitud Compuesta (pseudoverosimilitud)

Sean Zs1,Zs2, . . . ,Zsn variables aleatorias cuyasdistribuciones marginales son conocidas fZsi ;excepto por .

∑i1

nlnfZsi ; → Verosimilitud Compuesta

CSk ;y∑i1

n∂ lnfZsi;

∂k→Función score compuesta

CS para estimar el semivariogramaVerosimilitud compuesta (pseudoverosimilitud)

Uij Zsi − Zsj → nn−12

Si Zsi N;2 Uij N0;2si − sj;

CS;U ∑i1

n−1∑ji

n∂si−sj;

∂1

42si−sj ;uij

2 − 2si − sj;

Desempeño del método de verosimilitud compuesta

Por no ser una verosimilitud en general, no es eficiente, sin embargo,No hay que invertir matrices de tamaño nxnLas matrices que hay que invertir serán cuadradas y el orden dependerá del número de parámetros del modelo propuesto de semivariogramaProvee muchos datos. Ejemplo si n=100, existirán n(n-1)/2=4950 pares posibles

Método Geoestadístico

Técnicas exploratoriasEstimación de la función media o uso del ajuste de medianasModelar la estructura de dependencia espacial con los residuosPredecir el atributo de interés en ubicaciones no observadas y calcular la media cuadrada de los residuos de la predicción

Predicción Espacial y Kriging

El valor del fenómeno en estudio en cada ubicación s es una variable aleatoriaZ(s) o E[Z(s)]Los métodos de kriging generan predicciones óptimas teniendo en cuenta la estructura de dependencia espacialEl fenómeno varía continuamente en la región, pero se tienen solo n observaciones.

Modelos para datos geoestadísticos

Zs Xs s

EZs Xs

VarZs

Parámetros de la media

Parámetros de dependencia espacial

Ejemplos

Zij i j sisj eij; eij iid0,2

sisj remueve cualquier autocorrelación espacial

Zij i j ij;

ij correlacionados

Dependencia entre i y j es modeladacon el covariograma, correlograma o semivariograma.

Zs Xs s

Xs

x′s1

x′s2

x′sn

y s

s1

s2

sn

Es 0 y Vars VarZs

C0; Cs1 − s2; . . . Cs1 − sn;Cs2 − s1; C0; . . . Cs2 − sn;

Csn − s1; . . . Csn − sn−1; C0;

Caracteristicas Método

Tamaño del objetivo Puntos Kriging puntual

Area Kriging en Bloques

Se conoce

µ es conocida Kriging Simple

µ es desconocida pero

constante Kriging Ordinario

( )[ ] conocido ,ββµ XsZE == Kriging Universal

Número de Atributos

Un único atributo Kriging

Múltiples atributos Cokriging

Linealidad

Predictor lineal en Z(s) Kriging

Predictor lineal en

funciones de Z(s) Kriging Disyuntivo

Otro modelo de efecto hueco

h Co Cs 1 − exp− ha Jo 2 h

El valor de controla la magnitud del efecto hueco.

Jo∙ es la función de Bessel de primera clase de

orden cero.

J0x ∑n0

−1n

22nn!Γn1x2n

Funciones de Bessel

Jvx ∑n0

−1n

22nvn!Γnv1x2nv

Familia de Correlación de Matérn

h;, 12−1Γ

h

K

h

Donde , son los parámetros y K∙

es la función de Bessel modificadade tercera clase de orden .

Función de Bessel modificada de tercer clase de orden