variáveis regionalizadas semivariograma empírico krigeagem análise estrutural isotropia e...
TRANSCRIPT
• variáveis regionalizadas• variáveis regionalizadas
• semivariograma empírico• semivariograma empírico
• krigeagem• krigeagem
• análise estrutural• análise estrutural
• isotropia e anisotropia• isotropia e anisotropia
• efeito pepita, alcance e patamar• efeito pepita, alcance e patamar
• validação cruzada• validação cruzada
P a l a v r a s - c h a v eP a l a v r a s - c h a v erealidaderealidade
análise estruturalanálise estrutural
cenáriocenário
Geoestatística para geoprocessamentoGeoestatística para geoprocessamento
Organizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPEOrganizado por Eduardo G. Camargo, DPI-INPE
OBJETIVO
Apresentar as principais noções básicas de geoestatística
para o tratamento de dados geográficos, com exemplos
práticos no sistema Sistema de Processamento de
Informações Georeferenciadas - SPRING.
11/04/23 2
TÓPICOS
1) Introdução / Motivação
2) Principais conceitos teóricos
3) A função variograma
4) Modelos teóricos de variograma
5) Isotropia e anisotropia
6) Validação cruzada
7) Krigeagem linear
8) Integração: SPRING e geoestatística
11/04/23 3
Introdução / Motivação
• Os métodos geoestatísticos, ou simplesmente geoestatística, foram desenvolvidos graças aos estudos do engenheiro de minas Georges Matheron na França no início dos anos 60.
• A geoestatística está fundamentada na Teoria das Variáveis Regionalizadas, a qual foi formalizada por Matheron a partir de estudos práticos desenvolvidos por Daniel G. Krige, no cálculo de reservas nas minas de ouro na África do Sul.
• Atualmente a geoestatística é aplicada em vários campos, desde as ciências da Terra e atmosfera, na agricultura, nas ciências dos solos e hidrologia, estudos ambientais e mais recentemente na epidemiologia.
Origem da geoestatística
Parte 1
11/04/23 4
É uma abordagem PROBABILÍSTICA de modelagem, que engloba umconjunto de métodos estatísticos, para a análise e mapeamento de dados distribuídos no espaço e/ou no tempo.
O que é geoestatística?
Introdução / MotivaçãoParte 1
Requer o conhecimento de alguns conceitos básicos:
• Variável aleatória (V.A.)
• Momentos da V.A. Exs: E[X]), C[X,Y];
• Função densidade de probabilidade (FDP);
• Função de Distribuição Acumulada (FDA): univariada e bivariada;
• Função aleatória (FA), etc.
11/04/23 5
A modelagem geoestatística envolve três etapas:
1) Análise: objetiva descrever a variabilidade espacial do fenômeno em estudo, denominada de análise estrutural ou modelagem do semivariograma.
2) Inferência: objetiva estimar valores de uma variável distribuída no espaço em locais não amostrados, denominada de krigeagem.
3) Simulação: objetiva construir um conjunto de realizações equiprováveis ou igualmente representativa do fenômeno em estudo.
Introdução / MotivaçãoParte 1
11/04/23 6
Região de estudo
interpolação
krigeagem
análise
estrutural
• Construção de cenários• Construção de cenários
• Mapas de incerteza• Mapas de incerteza
simulação
condicionada
Realizações equiprováveisRealizações equiprováveis
Superfície estimada
do fenômeno
investigado
Superfície estimada
do fenômeno
investigado
Superfície da variância
da estimativa
Superfície da variância
da estimativa
análise
exploratória
Etapas da modelagem geoestatística
Introdução / MotivaçãoParte 1
11/04/23 7
Porque usar geoestatística?
Área de Estudo
P r o c e d i m e n t o s d e t e r m i n í s t i c o sP r o c e d i m e n t o s d e t e r m i n í s t i c o s
geoestatísticageoestatística
Amostras de campo
00 1001002525 5050 7575
% teor de argila% teor de argila
inverso da distânciainverso da distância
média Simplesmédia Simples
vizinho + próximovizinho + próximoFazenda CanchimFazenda Canchim
São Carlos - SPSão Carlos - SP
Introdução / MotivaçãoParte 1
11/04/23 8
Principais conceitos teóricosParte 2
•Variável aleatória (V.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística.
A
z(u)
u: é um vetor de coordenadas geográficas [u(x,y)];
localizações geográficas onde a variável Z é
medida ou observada, denotado por z(u), u A.
z(u)
z(u)
x
y
Z representa a variável em estudo.
11/04/23 9
Principais conceitos teóricosParte 2
•Variável aleatória (V.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística.
Localmente, um valor z(u), u A, é interpretado como uma das possíveis realizações da variável aleatória Z(u).
A
z(u) =45
V.A. Z(u)
F(u, z) = Prob[Z(u) ≤ z]F(u, z) = Prob[Z(u) ≤ z]
Função de Distribuição Acumulada (FDA) univariada
Z(u)
FDA
0
1
p=0,4
z=45
F(u, z) | (n) = Prob[Z(u) ≤ z | (n)]F(u, z) | (n) = Prob[Z(u) ≤ z | (n)]
z*(u) =51z*=51
p=0,8
11/04/23 10
Principais conceitos teóricosParte 2
z(u)
A
h é um vetor distância entre dois pontos.
z(u+h)
h
Na geoestatística um caso de particular interesse de F.A. é a FDA bivariada.
F(u, u+h; z1, z2) = Prob[Z(u) ≤ z1, Z(u+h) ≤ z2]F(u, u+h; z1, z2) = Prob[Z(u) ≤ z1, Z(u+h) ≤ z2]
Momento da FDA bivariada: Covariância
C[Z(u),Z(u+h)] = E[Z(u).Z(u+h)] – E[Z(u)].E[Z(u+h)]
•Função aleatória (F.A.): Uma visão prática no contexto da geoestatística.
O conjunto de V.A., {Z(u), u A}, é uma F.A. Z(u).
11/04/23 11
Principais conceitos teóricosParte 2
PROBLEMA: como deduzir a lei de probabilidade da F.A. Z(u) a partir de uma única realização da mesma?
O que conhecemos de fato até agora?
Em outras palavras, tudo o que se sabe da F.A. Z(u) é uma única realização.
{z(u), u A}
A
z(u)
Resposta: uma única amostragem do fenômeno de interesse.
11/04/23 12
Principais conceitos teóricosParte 2
O paradigma que se estabelece, para inferir as FDA e interpolar valores em localizações não amostradas, é o de assumir a hipótese de
estacionariedade.
• a estacionariedade é uma propriedade do modelo probabilístico, uma hipótese necessária para realização de inferências;
• não é uma característica do fenômeno espacial em estudo;
• é uma decisão feita pelo analista, afim de verificar a adequação do modelo à realidade a ser investigada.
11/04/23 13
Principais conceitos teóricosParte 2
Hipótese de estacionariedade de 2a ordem
Considera somente o primeiro e o segundo momentos invariantes da F.A.
1) E[Z(u)] = m, u A
E[Z(u)] = E[Z(u+h)] = m ou E[Z(u)] - E[Z(u+h)] = E[Z(u) - Z(u+h)] = 0
A
z(u+h)
z(u)
h
11/04/23 14
Principais conceitos teóricosParte 2
Hipótese de estacionariedade de 2a ordem
2) a covariância entre os pares Z(u) e Z(u h), separados por um vetor distância h, é estacionária.
C[Z(u), Z(u h)] = E[(Z(u).(Z(u h)] E[Z(u)].E[Z(u h)] u AC[Z(u), Z(u h)] = E[(Z(u).(Z(u h)] E[Z(u)].E[Z(u h)] u A
A
z(u)h
h
h
z(u+h)
h
h
h
h
hh
11/04/23 15
Principais conceitos teóricosParte 2
Hipótese de estacionariedade de 2a ordem
3) A estacionariedade da covariância implica na estacionariedade da variância:
Var[Z(u)] = E[Z(u) m]2 = E[Z2(u)] 2.E[Z(u)].m m2 =
= E[Z(u).Z(u 0)] 2m2 m2 =
= E[Z(u).Z(u 0)] m2 = C(0), u A
A
z(u)
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
2222
CovariânciaCovariância
11/04/23 16
Principais conceitos teóricosParte 2
Hipótese de estacionariedade intrínseca
1) E[Z(u) Z(u h)]=0 , u A.
2) Var[Z(u) Z(u h)] = E{[Z(u) Z(u h)]2} = 2(h)
em que:
2(h) é denominado de função variograma e (h) de semivariograma
(h) = C(0) C(h)
a covariância C(h) e o semivariograma (h) são ferramentas equivalentes para caracterizar a dependência espacial.a covariância C(h) e o semivariograma (h) são ferramentas equivalentes para caracterizar a dependência espacial.
estabelece que os incrementos [Z(u) Z(u h)] tem esperança zero e variância somente em função de h, assim:
11/04/23 17
Principais conceitos teóricosParte 2
(h) = C(0) C(h)
relação entre as funções semivariograma e covariância
Variância =
11/04/23 18
Variograma 2(h)Parte 3
O variograma é uma ferramenta básica de suporte às técnicas de geoestatística, quepermite representar quantitativamente a variação de um fenômeno regionalizado noespaço (Huijbregts, 1975).
A
z(u h)
z(u)
h
• 2(h) mede o grau de dissimilaridade entre pares de observação separados pelo vetor distância h;
• é função do vetor distância h;
• depende da geometria de amostragem.
11/04/23 19
Variograma 2(h)Parte 3
Definição: esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h.
2(h) = E{[z(u) z(u h)]2}
Através de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o variograma pode serestimado por:
[ z(ui) z(ui h)]2
N(h)
1 i = 1
N(h)
2(h) = ^
N(h): é o número de pares, z(ui) e z(ui h), separados por h;
2(h): é o estimador de variograma; ^
z(ui) e z(ui h): são valores observados nas localizações ui e ui h.
h: é o vetor distância (modulo e direção) entre pares de observação;
em que:
11/04/23 20
Semivariograma (h)Parte 3
Definição: metade da esperança matemática (E) do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço separados pelo vetor distância h.
Através de um conjunto amostral, {z(u1), z(u2), ..., z(uN)}, o semivariograma podeser estimado por:
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
(h): é o estimador de semivariograma; ^
h, N(h), z(ui) e z(ui h): conforme definidos anteriormente.
em que:
(h) = E{[z(u) z(u h)]2}12
11/04/23 21
Semivariograma (h)Parte 3
A figura ilustra um semivariograma empírico (ou experimental) com característicasmuito próximas do ideal.
alcance (a)alcance (a)
patamar (C)patamar (C)
efeito pepita (C0)efeito pepita (C0)
hhhh
(h)(h)
11/04/23 22
Semivariograma (h)Parte 3
Cálculo do semivariograma a partir de amostras regularmente espaçadas.
hh
vetor distância hvetor distância h
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
0o0o
90o90o
180o180o
45o45oNN
SS
LL
direções de análisedireções de análise
(h) = (h)(h) = (h)
função simétricafunção simétrica
C0C0
aa
CC
h (km)h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9
1km
1km
11/04/23 23
Semivariograma (h)Parte 3
Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas.
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
parâmetros adicionaisparâmetros adicionais
tolerância do incremento (lag) tolerância angular largura de banda
tolerância do incremento (lag) tolerância angular largura de banda
11/04/23 24
Semivariograma (h)Parte 3
Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas.
Semivariograma omnidirecional => tolerância angular = 90o
direção de análise (do vetor h) não importa.
••••
••••
••
••
h (1
,30
o )
h (1
,30
o )
h (1,135 o)
h (1,135 o)
h (1,2
25o )
h (1,2
25o )h (
1,5
o )h
(1,
5o )
0o0o
90o90o270o270o
180o180o
h (1,4
5o )
h (1,4
5o )
44
33
22
1166
55
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
h (|h|; )
C0C0
aa
CC
h (km)h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9
Exemplo:incremento (lag) = 1 km tolerância lag = 0,5 km
direção de análisedireção de análise
tolerância angular = 90otolerância angular = 90o
tolerância angular = 90otolerância angular = 90o
90o90o
45o
45o
0o
135o
315o
180o
11/04/23 25
Semivariograma (h)Parte 3
Cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas.
Semivariograma direcional => tolerância angular < 90o
•• ••
••••
••
••
h (1
; 30
o )
h (1
; 30
o )
h (1; 304 o)
h (1; 304 o)
h (1; 2
37o )
h (1; 2
37o )
h (
1; 5
o )h
(1;
5o )
0o0o
90o90o270o270o
180o180o
h (1; 6
0o )
h (1; 6
0o )
44
33
22
11
88
55
[ z(ui) z(ui h)]2
2N(h)
1 i = 1
N(h)
(h) = ^
(h)(h)
direção do vetor hdireção do vetor h
Tolerância angular < 90o
Tolerância angular < 90o
9090oo9090oo
Exemplo:
incremento (lag) = 1 km
tolerância lag = 0,5 km
direção de análise = 90o
tolerância angular = 35o
55o 90o 125o
|______|_______|
Exemplo:
incremento (lag) = 1 km
tolerância lag = 0,5 km
direção de análise = 90o
tolerância angular = 35o
55o 90o 125o
|______|_______|
h (|h|; )
••
••
66
77
h (1,6; 5
7o )
h (1,6; 5
7o )
C0C0
aa
CC
h (km)h (km)1 2 3 4 5 6 7 8 9
11/04/23 26
Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
O gráfico do semivariograma empírico estimado por é formado por uma sériede valores, sobre os quais se objetiva ajustar uma função.
(h)^
hhhh
(h)(h)
O modelo de ajuste deve representar o melhor possível o comportamento de (h).
alcance (a)alcance (a)
patamar (C)patamar (C)
efeito pepita (C0)efeito pepita (C0)
contribuição (C1)
C C0 C1
11/04/23 27
Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste esférico
a||,1
a||0,a
|| 30,5
a||1,5
0||,0
)(Sph
h
hhh
h
h
Sph(h)Sph(h)
hhaa
11
00
C = 1C = 1
a||CC
a||0,])( Sph[CCa
|| 3
21
a||
23CC
C 0
)(
10
1010
0
h
hhhhh
,
,
C0C0
hh
(h)(h)
C1C1
C C0 C1C C0 C1
aa
• Normalizado
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
11/04/23 28
Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste gaussiano
0||,a
||exp1
0=||,0Gau 2
hh
hh)(
• Normalizado
a||C+C
a||0)]( [GauC+Ca|| exp1C+C
C,0
)(
10
1010
0
2
h
hhhh
,
,
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
Gau(h)
ha
1
0
C 1
C0
ha
(h)
C1
C C0 C1
11/04/23 29
Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste exponencial
0|h|,a
||exp1
0=|h|,0Exp hh
a||C+C
a||0 ,)]( Exp[C+Ca||exp1C+C
C,0
)(
10
1010
0
h
hhhh
,
• Normalizado
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
Exp(h)
ha
1
0
C = 1
C0
ha
(h)
C1
C C0 C1
11/04/23 30
Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste potência
• Normalizado
• Na prática: C0 > 0 e C1 > 1
0||,||c.
0=||,0)(Pot
e hh
hh
0||,|)(|Pot+C||c.+C
C,0)(
00
0
e hhhh
Pot(h)
hhhh0
e<1
e=1
e>1
hh
(h)(h)
e<1e<1
e=1e=1
e>1e>1
C0C0
11/04/23 31
2210
21222
20
1111
10
0
a||,CCC
a||a,)(γa||3
21
a||
23CC
a||0,)(γa||3
21
a||
23CC
C,0
)γ(
h
hhhh
hhhh
h
2210
21222
20
1111
10
0
a||,CCC
a||a,)(γa||3
21
a||
23CC
a||0,)(γa||3
21
a||
23CC
C,0
)γ(
h
hhhh
hhhh
h
C0
Modelos teóricos de semivariogramaParte 4
Modelo de ajuste aninhados
Existem determinados fenômenos em que são necessários modelos mais complexos desemivariograma para explicar suas variações espaciais. Estes modelos são combinaçõesde modelos simples, denominados aninhados.
Ex: Modelo aninhado duplo esférico
(h)
C1
C = C0+ C1+ C2
C2
a1 a2h
11/04/23 32
IsotropiaParte 5
Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é isotrópico.
OOOO
NNNN
SSSS
LLLL OOOO
NNNN
SSSS
LLLL
Imagem nível de cinzaImagem nível de cinza Composição ColoridaComposição Colorida
11/04/23 33
IsotropiaParte 5
Considere os semivariogramas ilustrados na figura abaixo
0O0O
45O45O
90O90O
135O135O
• • • •
• • • •
• • • •
• •
• • • •
• • • • • •
• • • •
• • • •
• • • •
• •
• •
• • • •
• •
• •
Modelo de ajusteModelo de ajuste
aa
CC
CoCo
(h)
Esta é a representação de um caso simples e menos freqüente, em que a distribuição espacial
do fenômeno é denominada isotrópica.
Neste caso, um único modelo é suficiente para descrever a variabilidade espacial do fenômenoem estudo.
11/04/23 34
AnisotropiaParte 5
Quando a variabilidade espacial de um fenômeno em estudo não é a mesma em todas as direções, diz-se que o fenômeno é anisotrópico.
OO
NN
SS
LL OO
NN
SS
LL
Imagem nível de cinzaImagem nível de cinza Composição ColoridaComposição Colorida
maior menor
direções de continuidade espacial
11/04/23 35
AnisotropiaParte 5
Uma forma de detectar a anisotropia é através da observação dos semivariogramas obtidos para diferentes direções.
N
LO
S
0o
90o
45o
135o
Convenções direcionais usadas na geoestatística
A análise da anisotropia objetiva detectar as direções de maior e menor continuidade
espacial do fenômeno investigado.
11/04/23 36
AnisotropiaParte 5
Um modo direto de visualizar e calcular os parâmetros (fator e ângulo) da anisotropiaé através do esboço gráfico de uma elipse (ou diagrama de rosa ).
NN
LLOO
S 180oS 180o
0o
0o
90o
90o
30o
30o
120o
120o
a1a1
a2
Parâmetros da anisotropia
Fator de anisotropia (Fa)
Fa = a2 / a1
Ângulo de anisotropia (Aa)
Aa = tomado da direção Norte para o eixo de
maior continuidade. No exemplo = 30o.
Parâmetros da anisotropia
Fator de anisotropia (Fa)
Fa = a2 / a1
Ângulo de anisotropia (Aa)
Aa = tomado da direção Norte para o eixo de
maior continuidade. No exemplo = 30o.
Tipos de anisotropia: geométrica, zonal e combinada.
11/04/23 37
AnisotropiaParte 5
Neste caso, os semivariogramas apresentam o mesmo patamar (C) com diferentesalcances (a) para o mesmo modelo.
(h)(h) Mesmo modelo para as duas direçõesMesmo modelo para as duas direções
aa
CC
aa hh
CoCo
120O120O
30O30O
Anisotropia geométrica
11/04/23 38
AnisotropiaParte 5
Anisotropia zonal
Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) com mesmoalcance (a) para o mesmo modelo.
Como a isotropia, a anisotropia zonal é um caso menos freqüente presente nosfenômenos naturais.
(h)(h) Mesmo modelo para as duas direçõesMesmo modelo para as duas direções
aa
CC
hh
CoCo150
O150O
60O60O
CC
11/04/23 39
AnisotropiaParte 5
Anisotropia combinada (geométrica + zonal)
Neste caso, os semivariogramas apresentam diferentes patamares (C) e diferentes
alcances (a) para o mesmo modelo. Pode apresentar também diferentes efeitos pepita.
(h)(h) Mesmo modelo para as duas direçõesMesmo modelo para as duas direções
aa
CC
hh
CoCo150
O150O
60O60O
CC
aa
11/04/23 40
Semivariograma de superfícieParte 3
É um gráfico 2D que fornece uma visão geral da variabilidade espacial dofenômeno em estudo. Também conhecido como Mapa de Semivariograma.
Utilizado para detectar os eixos de Anisotropia (direções de maior e menorcontinuidade espacial).
N 0o
L
90o
ângulo de anisotropia
11/04/23 41
Semivariograma de nuvemParte 3
““outliers”outliers”““outliers”outliers”
É um gráfico das semivariâncias de todos os pares de pontos tomados para umdeterminado lag (distância).
O variograma de nuvem é útil para detectar a presença de “outliers”.
11/04/23 42
Validação cruzadaParte 6
É um procedimento para verificar a adequação do modelo de ajuste ao semivariograma
Aprova ?
Modelo semariograma
SimSim
NãoNão
??
???
1111 2222 3333 4444 5555
Análises
– estatísticas do erro– histograma do erro– diagrama espacial do erro – diagrama de valores
observados versus estimados
Análises
– estatísticas do erro– histograma do erro– diagrama espacial do erro – diagrama de valores
observados versus estimados
11/04/23 43
Validação cruzadaParte 6
Análise de resultados
11/04/23 44
KrigeagemParte 7
O termo krigeagem é derivado do nome Daniel G. Krige
A krigeagem é um estimador estocástico que depende da análise de correlação espacial baseada em semivariograma.
Áreas de Aplicações:
mapeamento geológico (Verly et al., 1984)
mapeamento solo (Burgess e Webster, 1980)
mapeamento hidrológico (Kitanidis et. al., 1983)
mapeamento atmosférico (Lajaunie, 1984)
A krigeagem engloba um conjunto de estimadores:
• krigeagem Simples (*) • krigeagem Ordinária (*)
• krigeagem Universal • co-krigeagem
• krigeagem por indicação • Outros
11/04/23 45
KrigeagemParte 7
Envolve uma combinação linear de n valores em pontos vizinhos.
u1 u2
u3u4
u0
?z
z z
zz
média local
Z =^u0
i=1
n
i . Z ui
i = 1/n
inverso do quadradoda distância
i = 1/d2
Z =^u0
i=1
n
i . Z ui
krigeagem
Z =^u0
i=1
n
i . Z ui
i = ?
11/04/23 46
KrigeagemParte 7
Os pesos são calculados considerando a estrutura de correlação espacial impostapelo semivariograma
u1 u2
u3u4
u0
?z
z z
zz análise de correlação espacial baseada em semivariograma
1
ajuste do semivariograma experimental (modelo teórico)
2
4
estimador de krigeagem
validação do modelo de ajuste
3
11/04/23 47
KrigeagemParte 7
Segundo Journel (1988): K. = k => Kk
:
n
1C C .........C 1
C C .........C 1
: : : :
C C .........C 1
1 1 ......... 1 0
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
C
C
:
C
1
10
20
n0
=
Substituindo os valores de Cij nas matrizes encontram-se os pesos 1, 2, ..., e n.
Estimador de Krigeagem (Journel, 1988):
Variância de Krigeagem (Journel, 1988):
Os elementos das matrizes de covariâncias são calcu- lados da seguinte forma (Journel, 1988):
11/04/23 48
KrigeagemParte 7
Considere o espaço amostral na figura abaixo. Deseja-se estimar o valor da variável Z no ponto u0, a partir de z(u1), z(u2), z(u3) e z(u4). Considere ainda, que o semivariograma empírico foi ajustado através de um modelo esférico, com a = 200, C1 = 20, e C0 = 2.
Considere o espaço amostral na figura abaixo. Deseja-se estimar o valor da variável Z no ponto u0, a partir de z(u1), z(u2), z(u3) e z(u4). Considere ainda, que o semivariograma empírico foi ajustado através de um modelo esférico, com a = 200, C1 = 20, e C0 = 2.
5050
5050 uu11
uu22
uu33
uu44
uu00
krigeagem ordinária
λ
λ
λ
λ
=
101111
1
1
1
1
04
03
02
01
44434241
34333231
24232221
14131211
CCCC
CCCCCCCCCCCCCCCC
1
Os elementos das matrizes são calculados: Cij = C0 + C1 - (h) Os elementos das matrizes são calculados: Cij = C0 + C1 - (h)
Modelo TeóricoModelo Teórico
3
3
)200(
)250(5,0
200
2505,1202
C12 = C21 = C04 = C0 + C1 - (50 2)C12 = C21 = C04 = C0 + C1 - (50 2)
= 9,84= 9,84= (2+20) -= (2+20) -
EXEMPLO
11/04/23 49
KrigeagemParte 7
C14 = C41 = C02 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (50)2 ] = 4,98C14 = C41 = C02 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (50)2 ] = 4,98
C13 = C31 = (C0 + C1) - [ V (150)2 + (50)2 ] = 1,23C13 = C31 = (C0 + C1) - [ V (150)2 + (50)2 ] = 1,23
C23 = C32 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (100)2 ] = 2,33C23 = C32 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (100)2 ] = 2,33
C24 = C42 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (150)2 ] = 0,29C24 = C42 = (C0 + C1) - [ V (100)2 + (150)2 ] = 0,29
C34 = C43 = (C0 + C1 ) - [ V (200)2 + (50)2 ] = 0C34 = C43 = (C0 + C1 ) - [ V (200)2 + (50)2 ] = 0
C01 = (C0 + C1 ) - (50) = 12,66 C01 = (C0 + C1 ) - (50) = 12,66
C03 = (C0 + C1 ) - (150) = 1,72 C03 = (C0 + C1 ) - (150) = 1,72
C11 = C22 = C33 = C44 = (C0 + C1 ) - (0) = 22 C11 = C22 = C33 = C44 = (C0 + C1 ) - (0) = 22
5050
5050 uu11
uu22
uu33
uu44
uu00
EXEMPLO
11/04/23 50
KrigeagemParte 7
5050
5050 uu11
uu22
uu33
uu44
uu00
EXEMPLO
Substituindo os valores de Cij nas matrizes, encontra-se os seguintes pesos:
1 = 0,518 2 = 0,022 3 = 0,089 4 = 0,371
Finalmente o valor estimado é dado por:
0,518 z(u1) + 0,022 z(u2) + 0,089 z(u3) + 0,371 z(u4)0,518 z(u1) + 0,022 z(u2) + 0,089 z(u3) + 0,371 z(u4)Z(u0) = ^
COMENTÁRIO: embora as amostras Z2 e Z3 tenham pouca influência na
estimativa final de Z0, suas influências não são lineares em relação às suas
distâncias a partir de Z0. A amostra Z3 está mais distante que Z2; no en-
tanto, tem mais influência, 8,9%, que Z2, 2,2%. Isto ocorre porque Z0
está diretamente sobre a influência de Z3, enquanto Z2 está muito pró-
ximo de Z1. Ao se introduzir as covariâncias no cálculo dos pesos, evita-se
associar pesos indevidos a “clusters” (agrupamentos) de amostras, o que
não ocorre com outros métodos baseados somente na distância.
11/04/23 51
Integração: SPRING e geoestatisticaParte 8
SPRING: geoestatística
11/04/23 52
Integração: geoestatistica e SPRINGParte 8
11/04/23 53
Integração: geoestatistica e SPRINGParte 8
11/04/23 54
Integração: geoestatistica e SPRINGParte 8
11/04/23 55
Integração: geoestatistica e SPRINGParte 8
11/04/23 56
Integração: geoestatistica e SPRINGParte 8
11/04/23 57