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EDISIS 9

Adeguamento sismico di un

edificio esistente in cemento

armato soggetto a

sopraelevazione

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Premessa

Nel presente articolo viene ripreso il tema dell'adeguamento sismico di strutture

esistenti in cemento armato con il software Edisis della Newsoft, illustrando

l’applicazione della metodologia di analisi statica non-lineare al caso studio illustrato

nella precedente uscita, già analizzato tramite analisi dinamica lineare.

L’articolo esamina i punti di forza e le problematiche legate all’impiego dell’analisi

statica non-lineare, focalizzando l’attenzione ai risultati ottenuti per l’edificio

oggetto di intervento e al confronto con i risultati ottenuti dall’analisi lineare in

termini di fattore di struttura. Dopo una sintesi dei principali passaggi dell’analisi

statica non lineare, si illustrano i risultati ottenuti per la struttura sopraelevata ante

operam in base ai quali è possibile una valutazione dei meccanismi della struttura e

del livello di sicurezza associato ai diversi stati limite di verifica, aspetti essenziali per

una buona concezione degli interventi di rinforzo.

ABSTRACT

progettare bene, costruire meglio

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Parte II. Analisi statica non lineare.

L’analisi statica non lineare

I recenti sviluppi della normativa tecnica hanno evidenziato l'importanza dell’analisi statica non-

lineare nell’ambito della progettazione in zona sismica. Con tale analisi è infatti possibile

conseguire due importanti obiettivi:

• determinare con maggiore affidabilità il fattore di struttura da utilizzare nelle tradizionali

analisi elastico-lineari;

• valutare la capacità sismica di edifici nuovi o esistenti mediante la verifica di alcuni stati

limite di interesse.

La determinazione del fattore di struttura attraverso l’analisi pushover permette di migliorare

l’affidabilità dell’analisi elastico-lineare. Uno degli aspetti più delicati della modellazione elastico-

lineare è rappresentato infatti dalla necessità di valutare gli effetti non lineari della risposta

strutturale (la cosiddetta riserva plastica di duttilità) e di condensarli nel fattore di struttura, da cui

dipendono le accelerazioni spettrali da associare ai modi di vibrazione. Considerata la funzione

chiave che il fattore di struttura riveste nella definizione delle azioni sismiche, non è consigliabile

limitarsi a valutarlo in base alla sola descrizione qualitativa della struttura (tipologia strutturale,

numero di piani, ecc.), come pure suggerito dalla stessa normativa in mancanza di valutazioni più

precise. La correlazione euristica su cui si basa questa valutazione, anche se fornisce indicazioni

utili in media, non offre reali garanzie che l’azione sismica così calcolata non possa risultare

fortemente sovrastimata o anche pericolosamente sottostimata.

Il secondo obiettivo mira ad estendere anche a strutture intelaiate quello che da tempo si applica

nell’analisi di edifici in muratura in zona sismica, cioè utilizzare l’analisi pushover per quantificare

la sicurezza della struttura nei confronti di alcuni stati limite predefiniti corrispondenti al

raggiungimento dello stato limite di operatività (SLO), di danno (SLD), di salvaguardia della vita

(SLV) e del collasso strutturale (SLC).

Le NTC’08 presentano nel §7.3.4.1 l’analisi statica non lineare (o pushover) come un ulteriore

strumento di valutazione del comportamento di strutture soggette al sisma e dispongono che essa

possa essere utilizzata per:

• valutare i rapporti di sovraresistenza au/a1 che intervengono nel calcolo del fattore di

struttura q;

• verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica in edifici progettati col fattore

di struttura q,

• effettuare analisi di edifici di nuova costruzione in sostituzione dei metodi di analisi lineari;

• valutare la vulnerabilità di edifici esistenti.

L’analisi pushover assume che la struttura sia soggetta ai carichi statici quasi-permanenti e ad una

distribuzione di accelerazioni sismiche agenti lungo una prefissata direzione. Le accelerazioni

vengono quindi mano a mano incrementate fino al raggiungimento del collasso e l’analisi è

PARTE II

progettare bene, costruire meglio

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ripetuta facendo variare di volta in volta la direzione del sisma e la forma di distribuzione delle

accelerazioni (costante e lineare) sull’altezza, in modo da campionare in maniera significativa le

possibili forzanti. Come risultato si ottiene una curva forza-spostamento, o "curva di capacità", su

cui è possibile individuare i punti corrispondenti agli stati limite di interesse e dal cui successivo

trattamento si ricava una valutazione del grado di sicurezza sismica della struttura.

Più in dettaglio, le NTC’08 specificano che il grado di sicurezza nei confronti delle azioni sismiche

può essere ricavato associando al sistema strutturale reale un sistema bilineare equivalente ad un

grado di libertà ottenuto a partire dalla curva di capacità. La metodologia suggerita per ricondurre

il comportamento del sistema reale a molti gradi di libertà (MDOF) ad un oscillatore semplice ad

un unico grado di libretà (SDOF) è quella riportata nell’Eurocodice 8, al quale la normativa italiana

fa rifermento, e che a sua volta deriva dal metodo N2 (Fajfar, 2000). L'ipotesi base di questo è che

il comportamento del sistema reale MDOF è governato principalmente da un unica forma

deformativa e che questa si mantinene all'incirca invariata nel corso dell'analisi.

L'analisi richiede una modellazione realistica del comportamento meccanico degli elementi della

struttura che tenga conto sia dei limiti di resistenza derivante dal comportamento elasto-plastico

dei materiali che del degrado conseguente al danneggiamento dovuto ad eccessi di deformazione.

In particolare per strutture in c.a., è fondamentale tenere conto sia delle caratteristiche

meccaniche del calcestruzzo e dei ferri di armatura, sia della quantità delle armature stesse (staffe

e barre longitudinali) presente negli elementi (travi, pilastri, pareti), poiché in grado di

influenzarne anche la capacità di rotazione limite allo snervamento e al collasso. Nei casi di

adeguamento sismico di strutture esistenti si rende preventivamente necessaria un fedele

ricostruzione delle armature attraverso l'esame del progetto esecutivo dell'opera e verifiche a

campione mediante un accurato screening pacometrico.

In Edisis, l’analisi pushover è eseguita assumendo la struttura soggetta ad una azione costante

dovuta carichi verticali (combinazione Quasi-Permante) ed ad una distribuzione di forze laterali

proporzionalmente crescenti, che rappresentano le forze inerziali sismiche. A seguito

dell’incremento delle forze laterali, i singoli elementi si danneggiano in sequenza causando un

degrado di rigidezza a livello locale e globale.

Il risultato finale dell’analisi è una “curva di capacità” relativa al sistema MDOF, che rappresenta il

legame non lineare tra la forza Vb e lo spostamento D, dove Vb è il taglio alla base e D è lo

spostamento in sommità (o di un punto di controllo preventivamente definito). La scelta di un

appropriata distribuzione delle forze laterali è un passo importante nell’analisi pushover. Infatti

una soluzione unica non esiste e tra le ragionevoli distribuzioni, anche i risultati ottenuti dalle

diverse diverse scelte sono contenuti in intervalli limitati. Una soluzione pratica consiste nell’usare

due differenti distribuzioni di carico e fare l’inviluppo dei risultati.

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Figura 8: Schema della distribuzione delle forze laterali (in alto) e curva di capacità scalata

per il sistema SDOF “regolarizzata” secondo un bilineare equivalente.

L’analisi richiede poi che al sistema strutturale reale sia associato un sistema strutturale bilineare

equivalente, avente un primo tratto elastico ed un secondo tratto perfettamente plastico, ad un

grado di libertà, che viene illustrato in fig. 9.

Figura 9: Sistema ad un grado di libertà, diagramma bilineare e rappresentazione nel formato

accelerazioni-spostamenti (ADRS).

Si approssima quindi la curva caratteristica forza-spostamento F-d del sistema equivalente con una

bilineare definita in base al criterio di uguaglianza delle aree; tale approssimazione permette di

individuare un ramo elastico con pendenza k*.

Definita Fbu la resistenza massima del sistema strutturale reale ed Fbu* =Fbu/G la resistenza

massima del sistema equivalente, il tratto elastico si individua imponendone il passaggio per il

punto 0.6 Fbu* della curva di capacità del sistema equivalente, la forza di plasticizzazione Fy* si

individua imponendo l’uguaglianza delle aree sottese dalla curva bilineare e dalla curva di capacità

per lo spostamento massimo du* corrispondente ad una riduzione di resistenza ≤0.15Fbu*.

T*, M* e k* rappresentano rispettivamente il periodo proprio elastico, la massa e la rigidezza

elastica del sistema bilineare equivalente.

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Il periodo elastico del sistema bilineare T* può essere determinato come:

dove Fy* e dy* sono rispettivamente la forza e lo spostamento corrispondenti allo snervamento.

Infine, la curva di capacità nel formato accelerazione-spostamento si ottiene dividendo le forze

della curva F*-d* per la massa equivalente m*

Figura 10: Valutazione della domanda di spostamento: a) T* < TC criterio dell’equivalenza

energetica; b) T* > TC criterio di uguale spostamento.

Nota la domanda di spostamento d*

max si può operare il confronto con lo spostamento disponibile

e verificare la prestazione strutturale. La verifica consiste nel controllare che lo spostamento

massimo disponibile sia superiore a quello richiesto ovvero:

d*

u > d*

max

Equivalentemente, in termini di accelerazione si possono ricavare le corrispondenti capacita in

termini di PGA normalizzate per suolo di categoria A (suolo roccioso) e confrontarle con la

domanda per la zona considerata e per lo stato limite di interesse.

Nel caso T* < TC mediante l’equivalenza delle aree per il punto d*

u e nel caso T* > TC mediante

una semplice proporzione, si ricavano le accelerazioni spettrali per il periodo T* e, con un

procedimento a ritroso, si ricavano le corrispondenti PGA seguendo le relazioni degli spettri delle

NTC ’08.

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Sessione di analisi pushover

Una generica sessione di analisi pushover si imposta selezionando:

• la distribuzione orizzontale del carico, le direzioni di scansione e l’eventuale eccentricità;

• i coefficienti di riduzione della duttilità per le condizioni ultime di salvaguardia della vita

(Slv) e Collasso (Slc) che operano limitando le rotazioni limite delle sezioni;

• i meccanismi di crisi per lo stato limite di operatività e danno e per lo stato limite Slv.

Le condizioni di crisi per lo stato limite di danno sono controllate dalla rotazione dell’elemento

soggetto a pressoflessione e dallo scorrimento dei piano, le cui limitazioni servono a prevenire

p.es. distacchi delle tamponature e/o rotture dei tramezzi interni degli edifici nel rispetto della

definizione di stato limite di danno.

Mentre per lo stato limite di salvaguardia della vita le condizioni di crisi per prevenire il collasso

sono la rotazione presso-flessionale per gli elementi duttili, la resistenza a taglio e la resistenza del

nodo per gli elementi fragili.

Dopo aver selezionato i meccanismi di crisi negli elementi di tipo duttile (collasso per

pressoflessione di default) e di tipo fragile (collasso a taglio e collasso nodo opzionali) si può

avviare l’analisi che fornisce per gli stati limite di interesse i valori di capacità in termini di

accelerazione di picco al suolo (Pga) e i rapporti di duttilità pushover.

Vengono inoltre riportati:

• il rapporto minimo di sovraresistenza tra l’accelerazione ultima e quella al limite elastico;

• il fattore di struttura q calcolato in funzione del fattore di sovraresistenza minimo previsto

dalle NTC, che, essendo ricavato da considerazioni euristiche, può portare a sovrastime

inopportune;

• il fattore di struttura calcolato dalla verifica di duttilità pushover, che rappresenta

un’alternativa al precedente e si basa direttamente sul controllo di duttilità.

Edisis in particolare consente la stima del fattore di struttura estrapolando i risultati dell’analisi

pushover in corrispondenza dello stato limite di salvaguardia della vita (danno severo). Il valore

individuato rappresenta una stima del fattore q corrispondente all’uguaglianza fra la domanda di

spostamento e la capacita di spostamento. Questa stima ha il vantaggio di utilizzare in modo

completo i risultati dell’analisi indipendentemente dai fattori qualitativo-empirici che figurano

nell’espressione del paragrafo precedente. Anche in questo caso, tuttavia, la stima ottenuta,

proprio in quanto basata su una estrapolazione, deve essere utilizzata con prudenza, evitando, a

vantaggio di sicurezza, valori di q troppo elevati o comunque fortemente discosti dalla stima

precedente.

L’analisi pushover effettuata per il caso studio in esame, ne ha evidenziato i limiti di capacità e le

direzioni a potenziale rottura fragile (Figura 12). Nella Tabella 10 sono indicati i risultati, da cui si

notano evidenti limiti di capacità per gli stati limite SLV e SLC, in termini sia di accelerazione al

suolo, sia di duttilità.

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Figura 11: Risultati dell’analisi pushover: deformata della struttura per effetto di una distribuzione

costante di forze lungo l’altezza e direzione del sisma pari a 90° (a sinistra); elementi con evidenti

escursioni in campo plastico (in scala di rosso, a destra). Si possono notare sia il meccanismo di

piano (a sinistra), sia la particolare concentrazione al terzo piano di pilastri impegnati nella

dissipazione di energia (a destra).

Tabella 10: Risultati dell’analisi pushover e masse eccitate per le singole direzioni.

Dati i risultati evidenziati, si procede al progetto di interventi di miglioramento atti a conferire alle

sezioni critiche maggiore capacità resistente con lamine di FRP dimensionate a flessione e

taglio/confinamento.

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In questi casi è auspicabile procedere con il progetto di interventi mirati sugli elementi critici atti a

conferire alle sezioni critiche maggiore capacità a flessione e taglio, migliorandone la resistenza e

la duttilità.

L’intervento mira ad aumentare la capacità plastica delle sezioni, intesa come duttilità degli

elementi, permettendo alla struttura di dissipare maggiore energia mediante cicli di isteresi senza

pervenire al collasso.

Allo stesso tempo si aumenta la resistenza per gli elementi fragili, quali ad esempio:

• elementi sollecitati a taglio come pilastri tozzi e pareti;

• pilastri sollecitati da valori elevati di sforzo normale;

• elementi trave con sezioni a ridotta percentuale di armatura in zona compressa come

quelle progettate senza i minimi delle recenti prescrizioni.

Figura 12. Deformata pushover per distribuzione costante delle forze per la direzione 90° dopo il

rinforzo mirato degli elementi critici. A destra si mostrano in scala di rosso gli elementi con

escursioni in campo plastico e si può notare come quelli maggiormente impegnati nella

dissipazione di energia sono le travi al piano 3 evitando concentrazioni nei pilatri di piano.

I risultati vengono visualizzati con mappe di colore, indicando gli elementi in fase plastica per lo

stato limite Slv, e con le relative curve pushover, ottenute per la distribuzione di carico costante e

lineare come richiesto dalle prescrizioni della normativa tecnica.

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Dir. 90° Ante Operam Post Operam Carico

costante

Carico lineare

Figura 13. Confronto delle mappe di impegno e delle curve pushover per le distribuzioni di carico

costante e lineare per la direzione critica (90°) prima e dopo l’intervento di rinforzo. Si osservi

come incrementi localizzati di duttilità migliorano il comportamento globale della struttura

aumentandone la capacità di deformazione in campo plastico come si nota dall’aumento del tratto

orizzontale della curva pushover. Dalle mappe di impegno si nota anche il cambio del meccanismo

critico, che passa dallo schema con formazione di cerniere agli estremi dei pilastri a quello

raccomandato con formazione di cerniere flessionali nelle travi.

L'analisi pushover viene ripetuta con scansione angolare variabile per investigare i possibili

meccanismi fragili nelle diverse direzioni, in quanto, e specie per edifici irregolari in pianta, le

direzioni critiche non coincidono con quelle usuali a 0° e 90°.

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Pertanto, i grafici commentati in precedenza per la direzione 90°, mostranti i rapporti tra capacità

e domanda in termini di spostamento e/o accelerazione, vengono rappresentati in forma polare.

Nella mappa polare, per ogni direzione e per lo stato limite considerato (Slv, Slc) i punti della curva

rappresentano il rapporto tra capacità e domanda in termini di spostamento (ed

equivalentemente anche in termini di Pga).

Ante Operam Post Operam

Distribuzione carico costante

Distribuzione carico lineare

Figura 14. Mappe polari, per ogni direzione e per lo stato limite considerato (Slv in giallo, Slc in

rosso). I punti della curva rappresentano il rapporto tra capacità e domanda in termini di

spostamento (ed equivalentemente anche in termini di Pga). Dalle mappe, per la distribuzione di

carico lineare e per lo stato ante operam si nota come le direzioni a 45° abbiano un fattore di

sicurezza inferiore rispetto alle direzioni principali (0° e 90°). Pertanto e specie per edifici irregolari

risulta consigliabile estendere le direzioni di analisi pushover.

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Conclusioni

L’analisi pushover, con le sue applicazioni tecniche, in campo professionale è uno strumento

relativamente recente. La sua introduzione, favorita dagli sviluppi normativi sulla valutazione della

sicurezza degli edifici esistenti, nonostante una certa astrazione nella valutazione della domanda,

dal punto di vista qualitativo sulla base del sistema Sdof equivalente e dello spettro elastico,

presenta due punti di forza:

• Valutazione rapida dei meccanismi fragili;

• Valutazione diretta del fattore di struttura.

Come conseguenza dell’analisi a scansione angolare, si ha un quadro completo delle direzioni

critiche con la semplice visualizzazione delle deformate pushover che permette di individuare

meccanismi concentrati in pochi elementi. Inoltre, in funzione della reale duttilità della struttura a

valle dell’analisi viene calcolato il fattore di struttura.

Con la valutazione dei meccanismi fragili si localizzano gli interventi in modo razionale sugli

elementi fragili, incrementando l’efficienza strutturale. Questo modo di procedere rappresenta

un’alternativa valida per evitare:

• per gli edifici esistenti, rinforzi consistenti su tutti gli elementi come da analisi dinamica

lineare in base a fattore q euristico, scelto e giustificato a monte dell’analisi;

• per edifici nuovi, il criterio di gerarchia delle resistenze che spesso conduce a sezioni

spropositate senza giustificazioni plausibili dettate dallo stato di sollecitazione.

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