add m6-2-chapter1

บทที่ 1 ลําดับอนันตและอนุกรมอนันต

(20 ชั่วโมง)

ลําดับอนันตและอนุกรมอนนัตที่จะกลาวถึงในบทนี้ เปนเรื่องเกี่ยวกับลิมิตของลําดับ ทฤษฎีบทตาง ๆ เกี่ยวกับลิมติของลําดับ การหาผลบวกของอนุกรมอนันต และการใชสัญลักษณแทนการบวก ตลอดจนโจทยที่แสดงใหเหน็การนําความรูที่กลาวมาไปใชในการแกปญหาตาง ๆ

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. หาลิมิตของลําดับอนันตโดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได 2. หาผลบวกของอนุกรมอนันตได 3. นําความรูเร่ืองลําดับและอนุกรมไปใชแกปญหาได ผลการเรียนรูที่คาดหวังดังกลาวเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรู ชวงชั้นที่ 4 ทางดานความรู ในการจดัการเรียนรูผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรยีนรูดานทักษะ/ กระบวนการทางคณติศาสตรดวยการสอดแทรกกจิกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกดิทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปนอันไดแกความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคดิริเร่ิมสรางสรรค นอกจากนั้น กจิกรรมการเรียนรูควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนกัในคุณคาและมีเจตคตทิี่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหผูเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวนิัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมัน่ในตนเอง สาระการเรียนรูคณิตศาสตรเพิ่มเติมเปนสาระการเรียนรูสําหรับการศึกษาตอและอาชีพ ดังนั้นในการจดัการเรียนรูในสาระนี้ ผูสอนควรสงเสริมใหผูเรียนไดฝกทักษะการคิดวิเคราะห โดยคํานึงถึงความสมเหตุสมผลของขอมูล ดังนั้น ในการสอนแตละสาระผูสอนจําเปนตองศึกษาสาระนั้น ๆ ใหเขาใจถองแทเสียกอนแลวเลือกวิธีสอนใหเหมาะสม เพื่อทําใหการจดัการเรียนรูไดผลดี

2

ขอเสนอแนะ 1. รูปแบบการกาํหนดลําดับทําไดหลายแบบ ผูสอนควรย้าํและยกตวัอยางใหผูเรียนเหน็วา การกําหนดลําดับโดยการแจงพจนแลวหาพจนทัว่ไปของลําดับนั้น อาจหาพจนทั่วไปไดตางกนั (ดูหนังสือเรียนหนา 3 – 4 และคูมือครูสาระการเรียนรูพื้นฐาน ช้ันมธัยมศึกษาปที่ 5 เร่ืองลําดับและอนุกรม หนา 2) 2. ผูสอนควรทบทวนเรื่องลําดบัจํากัด ลําดับเลขคณิตและลาํดบัเรขาคณิต และอนุกรมจํากัดกอนที่จะขยายความตอและกลาวถึงลําดับอนันตและอนุกรมอนนัต ผูสอนควรบอกผูเรียนดวยวา ยังมีลําดับอื่น ๆ อีกมากมายที่ไมใชลําดับเลขคณิตหรือลําดับเรขาคณิต ผูสอนอาจใชประโยชนจากเว็บไซต The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ซ่ึงเก็บรวบรวมลําดับตาง ๆ ไวใหคนหาไดมากมาย ที่ http://www.research.att.com/~njas/sequences/ หรือผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันสรางลําดับใหมเอง 3. ในเรื่องความสัมพันธเวียนเกิด ผูสอนอาจเพิ่มเติมแบบฝกหัดสําหรับผูเรียนที่สนใจคณิตศาสตรเปนพิเศษ ผูสอนอาจใหผูเรียนกําหนดลําดบัที่กําหนดใหตอไปนี้โดยใชความสัมพันธเวียนเกดิ (1) 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2n–1 , ... เพราะวา a1 = 1 a2 = 2 = 2(1) = 2a1 a3 = 4 = 2(2) = 2a2 a4 = 8 = 2(4) = 2a3 an = 2n–1 = 2an–1

ดังนั้น กําหนดลําดับนี้โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = 2an–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1

(2) 1, –1, 1, –1, ..., (–1)n+1, ... เพราะวา a1 = 1 a2 = –1 = (–1)(1) = (–1)a1 a3 = 1 = (–1)(–1) = (–1)a2 a4 = –1 = (–1)(1) = (–1)a3 an = (–1)an–1

ดังนั้น กําหนดลําดับนี้โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = (–1)an–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1

3

(3) กําหนดลําดับ 5, 9, 13, 17, ..., 4n + 1, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = an–1 + 4 เมื่อ n 2≥ , a1 = 5

(4) กําหนดลําดับ 1, 3, 9, 27, ..., 3n–1, ... โดยใชความสัมพนัธเวียนเกดิไดเปนลําดับ an = 3an–1 เมื่อ n 2≥ , a1 = 1

(5) กําหนดลําดับ 1, 1, 1, 1, ..., 1, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปนลําดับ an = an–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1 (6) กําหนดลําดับ 1, 3, 6, 10, 15, ..., n(n 1)

2+ , ... โดยใชความสัมพนัธเวียนเกดิ

ไดเปนลําดับ an = an–1+ n เมื่อ n ≥ 2, a1 = 1 (7) กําหนดลําดับ 5, 10, 30, 120, ..., 5n!, ... โดยใชความสัมพันธเวียนเกิดไดเปน

ลําดับ an = nan–1 เมื่อ n ≥ 2, a1 = 5 4. การทบทวนสตูรพจนที ่n ของลําดับเลขคณิต (หนา 7) และสูตรพจนที่ n ของลําดับเรขาคณิต (หนา 9) โดยการเขียนยอนกลับ ผูสอนอาจจะแสดงตัวอยางที่เปนตัวเลขใหผูเรียนพิจารณาประกอบไปดวยสัก 2 – 3 ตัวอยางกอนที่จะสรุปเปนกรณีทั่วไป และถาผูสอนพิจารณาแลววา แนวทางของเรื่องเดียวกันทีน่ําเสนอไวในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูพื้นฐาน ช้ันมธัยมศึกษา ปที่ 5 เขาใจงายกวา ก็อาจขามสวนนี้ไปกไ็ด อยางไรกต็าม ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นแนวทาง ที่แตกตางของทั้งสองวิธี

5. จากการพิจารณาลิมิตของลําดับ ทําใหแบงลําดับออกเปน 2 ประเภท คือ ลําดับ ที่มีลิมิต เรียกวา ลําดับลูเขา และลําดับที่ไมมีลิมิต เรียกวา ลําดับลูออก สําหรับลําดับลูออก ถาพจิารณาลําดับจากกราฟจะแบงออกเปน 3 ประเภทคอื

(1) ลําดับลูออกซึ่งพจนที่ n มีคามากขึ้นเรื่อย ๆ เมือ่ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่ส้ินสุด เชน 1, 2, 4, ..., 2 n–1 , ...

(2) ลําดับลูออกซึ่งพจนที่ n มีคาลดลงเรื่อย ๆ เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่ส้ินสุด เชน –1, –3, –5, ..., –(2n – 1), ... (3) ลําดับลูออกซึ่งมีลักษณะแตกตางจากลาํดับในขอ (1) และขอ (2) ซ่ึงเรียกวา ลําดับแกวงกวัด เชน an = (–1)n , bn = (–1)n n 6. การเชื่อมโยงมโนทัศนเร่ืองลิมิตของลําดับกับรูปภาพ ผูสอนอาจเริ่มจากการคํานวณแลวเขียนกราฟ และพจิารณาแนวโนมวา เมื่อ n มีคามากขึ้นเรื่อย ๆ กราฟของลําดับ an จะเปนอยางไร ผูสอนอาจแนะนําการเขยีนกราฟโดยใชเครื่องมือตาง ๆ เชน กระดาษกราฟ เครื่องคํานวณ โปรแกรม Geometer’s Sketchpad หรือโปรแกรมประเภทตารางทํางาน เชน Microsoft Excel 7. หนังสือเรียนไมไดแสดงวิธีการพิสูจนทฤษฎีบทตาง ๆ เกี่ยวกับลิมิตไว ผูสอนควรใหผูเรียนพจิารณาคา an โดยตรง หรือทดลองเขียนกราฟของลําดับ an แลวพิจารณาแนวโนมของกราฟ

4

เชน ใหผูเรียนพิจารณาลําดบั an = 3

1n

และ an = 13

1

n เพื่อนาํไปสูการยอมรับทฤษฎีบทที่วา

rn1limn→∞

= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มีคามากขึ้นอยาง

ไมมีที่ส้ินสุด n3 และ 13n จะมคีามากขึ้นอยางไมมีที่ส้ินสุดดวย ซ่ึงจะทําให 3

1n

และ 13

1

n มีคา

นอยลงและเขาใกล 0 ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = n4 และ an =

14n เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบท

ที่วา rnlim n→∞

หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ ผูเรียนควรอธิบายไดวา เมื่อ n มี

คามากขึ้นอยางไมมีที่ส้ินสุด n4 และ 14n จะมีคามากขึ้นอยางไมมีที่ส้ินสุดดวย

ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = n1

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

และ an = n1

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

เพื่อนําไปสูการยอมรับ

ทฤษฎีบทที่วา n

nlim r→∞

= 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r 1< ใหผูเรียนพิจารณาลําดับ an = 3n และ an = (–4)n เพื่อนําไปสูการยอมรับทฤษฎีบทที่วา n

nlim r→∞

หาคาไมได เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r 1> 8. ขอความวา “ nnlim a

→∞ หาคาไมได” มีความหมายเชนเดียวกับขอความ “ลําดับ an

ไมมีลิมิต” หรือ “พจนที ่ n ของลําดับ an ไมเขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง L ใด ๆ เลย” ในบทนี้ไมมีการใชขอความวา “ nnlim a

→∞ = ∞ ” หรือ “ nnlim a

→∞ = –∞ ”

9. ในหนังสือเรียนหนา 22 ผูสอนควรย้ํากับผูเรียนวา จะใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได

เมื่อเงื่อนไขเบือ้งตนเปนจริงกอนเทานัน้ เชน จะสรุปวา nn

n n

lim anlimn lim bn

ab

→∞=→∞

→∞ ไดเมื่อ nnlim a

→∞

และ nnlim b→∞

หาคาได และ nnlim b 0→∞

≠ ในกรณีที่ไมสามารถใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลําดับ an โดยตรงได อาจตองจัดรูปของ an กอนการใชทฤษฎีบทเกีย่วกบัลิมิต ดังปรากฏในหลาย ๆ ตัวอยางในหนงัสือเรียน อยางไรก็ตาม ลําดับบางลําดับก็ยังคงใชทฤษฎีบทเกีย่วกบัลิมิตไมไดถึงแมจะพยายามจัดรูปใหแตกตางจากเดิมแลว เชน

พิจารณาลําดับ 22n 3n

an 4n 5

−=

−

เนื่องจาก 2lim (2n 3n)n

−→∞

และ lim (4n 5)n

−→∞

หาคาไมไดทั้งคู ฉะนั้น หากตองการ

หา22n 3n

lim a limnn n 4n 5

−=

→∞ →∞ − จึงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตที่วา

2lim (2n 3n)nlim ann lim (4n 5)

n

−→∞=

→∞ −→∞

ไมได

การจัดรูป an กอนการพิจารณาลิมิตอาจทําไดหลาย ๆ แบบ บางคนอาจทําดังนี ้

5

22n 3n

4n 5

−

− =

32n 2n

4 52n 2n n

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3

2n

4 52n n

−

−

กรณีนีก้็ยังคงใชทฤษฎีบทเกีย่วกับลิมิตไมได เพราะเปนกรณียกเวน เนื่องจาก 4 5

lim 2n n n−

→∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

บางคนอาจทําดังนี้ 22n 3n

4n 5

−

− = ( )n 2n 3

5n 4

n

−

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2n 35

4n

−

−

การจัดรูป an เชนนี้กย็ังคงใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตไมไดเชนเดยีวกัน เพราะ lim (2n 3)

n−

→∞ หาคาไมได

จะเห็นไดวาการจัดรูป an ทั้งสองแบบไมสามารถชวยสรุปไดวา na เปนลําดับลูเขาหรือลูออกโดยใชทฤษฎีบทเกีย่วกบัลิมิตได จึงตองใชวิธีอ่ืนพจิารณา เชน การพิจารณาคาของ an โดยตรง หรือจากกราฟของลําดับ an เปนตน

10. จากบทนยิามของอนุกรมจะเห็นวา อนุกรมไดจากการบวกพจนทุกพจนของลําดับ และในการศึกษาเรื่องลิมิตของอนุกรมไดแบงอนุกรมออกเปน 2 ประเภท เชนเดียวกับลําดับ คือ อนุกรมลูเขาและอนุกรมลูออก จากตวัอยางของอนุกรมลูเขาจะเหน็วา อนุกรมลูเขามักจะไดจากลําดับลูเขา บางคนอาจจะเขาใจอยางไมถูกตองวา ลําดับลูเขาทุกลําดับเมื่อนํามาเขียนเปนอนุกรมจะไดอนุกรมลูเขาเสมอ ซ่ึงเปนขอที่ควรระวังอยางยิ่งดังตัวอยางตอไปนี้

(1) 1, 1, 1, ..., 1, ... เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 1 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... เปนอนุกรมลูออก (2) 1, 1

2, 1

4, ..., n 1

12 − , ... เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 0

n 11 1 11 ... ...2 4 2 −+ + + + + เปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของ

อนุกรมนี้มีคาเปน 2 (3) 1 1 11, , ,..., ,...

2 3 n เปนลําดับลูเขาที่มีลิมิตเปน 0

1 1 11 ... ...2 3 n

+ + + + + เปนอนุกรมลูออก

การแสดงวาอนุกรม 1 1 11 ... ...2 3 n

+ + + + + เปนอนุกรมลูออกนัน้ จะตองพิสูจนไดวาลําดับผลบวกยอยไมมีลิมิต แตวิธีการพิสูจนคอนขางยุงยากในทีน่ี้จะแสดงคาของพจนแรก ๆ บางพจนของลําดับผลบวกยอยเพื่อใหเห็นวา เมื่อมีจํานวนพจนมากเขาผลบวกยอยจะมากขึ้นไดเร่ือย ๆ ดังนี ้

6

S1 = 1 S2 = 11

2+

S3 = 1 112 3

+ +

S4 = 1 1 112 3 4

+ + +

แต 1 1 112 3 4

+ + + > 1 1 112 4 4

+ + + > 2 ดังนั้น S4 > 2 S8 = 1 1 1 1 1 1 11

2 3 4 5 6 7 8+ + + + + + +

แต 1 1 1 1 1 1 112 3 4 5 6 7 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

> 1 1 1 1 1 1 112 4 4 8 8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

> 122

ดังนั้น S8 > 122

S16 = 1 1 1 1 1 1 112 3 4 5 6 7 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1 1 1 1 19 10 11 12 13 14 15 16

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

S16 > 1 1 1 1 1 1 112 4 4 8 8 8 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1 1 1 1 1

16 16 16 16 16 16 16 16⎛ ⎞+ + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

S16 > 3

จะพบวา S4 (ผลบวก 4 พจนแรก) มากกวา 2 S8 (ผลบวก 8 พจนแรก) มากกวา 12

2

S16 (ผลบวก 16 พจนแรก) มากกวา 3 S32 (ผลบวก 32 พจนแรก) มากกวา 13

2

S64 (ผลบวก 64 พจนแรก) มากกวา 4 และผลบวกยอยจะมีคามากขึ้นเรื่อย ๆ ไปไมมีที่ส้ินสุด 11. จากการศกึษาเรื่องอนุกรมเลขคณิต จะเหน็วาอนกุรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตสวนมากเปนอนุกรมลูออก จะทําใหบางคนคิดวาอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตทุกอนกุรม

7

เปนอนุกรมลูออก แตความจริงแลวมีอนกุรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตและเปนอนุกรมลูเขา คือ อนุกรม 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... ซ่ึงเปนอนุกรมเลขคณติที่มี a1 = 0 และ d = 0 และมีผลบวกเปน 0

12. ผูสอนควรย้ํากบัผูเรียนวาการพิจารณาอนกุรมวาเปนอนกุรมลูเขาหรือลูออกตองพิจารณาจากลําดับของผลบวกยอยของอนกุรมเปนหลัก เชน

พิจารณาอนกุรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... จะเหน็วาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมนีค้ือ 1, 0, 1, 0, 1, ... ซ่ึงเปนลําดับลูออก

ดังนั้น อนกุรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... จึงเปนอนุกรมลูออก ผูสอนควรเสนอแนะเพิ่มเตมิวา อาจมีบางคนเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนใหมดังนี ้1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...

ซ่ึงจะไดอนุกรม 0 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... เปนอนุกรมลูเขา ที่มีผลบวกเปน 0 หรือบางคนอาจเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนใหมดังนี้

1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... = 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + ... ซ่ึงจะไดอนุกรม 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... เปนอนุกรมลูเขา ที่มีผลบวกเปน 1

ผูสอนควรชี้แนะใหผูเรียนเขาใจใหไดวาการเขียนจัดรูปอนุกรมขางตนทั้งสองแบบแลวสรุปวา อนุกรม 1 – 1 + 1 – 1 + ... + (–1)n–1 + ... เปนอนุกรมลูเขานั้นไมถูกตอง

13. ในบทเรียนนี้มุงใหพิจารณาอนุกรมอนันตเฉพาะอนุกรมเรขาคณติหรืออนุกรมที่อาจจะหาพจนที่ n ของลําดับผลบวกยอยไดไมยากนกั กลาวคือ ถาเปนอนุกรมเรขาคณิตก็พิจารณาอัตราสวนรวม r และถา r 1< ก็สามารถหาผลบวกจากสูตร S = 1a

1 r− สวนอนุกรม

ที่ไมใชอนุกรมเรขาคณิตนัน้ ใหหาผลบวกโดยการหาลําดับของผลบวกยอยกอน นั่นคือ จะตองหาพจนที่ n ของลําดับผลบวกยอยนั้น แลวจึงหาลิมิตของลําดับผลบวกยอย

14. ในบทเรียนนี้ไดนําเสนออนุกรมประเภทหนึ่งซึ่งมีความสําคัญและนาสนใจเรยีกวาอนุกรมเทเลสโคป (telescoping series) อนุกรมเทเลสโคป คือ อนุกรม a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ที่สามารถเขียนอยูในรูป a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = (b1 – b2) + (b2 – b3) + (b3 – b4) + ... + (bn – bn+1) + ... เมื่อ a1 = b1 – b2 a2 = b2 – b3 a3 = b3 – b4

an = bn – bn+1

ดังนั้น a1 + a2 + a3 ... + an = b1 – bn+1

8

ผูสอนควรเนนลักษณะพิเศษของอนุกรมประเภทนี้ใหผูเรียนทราบ ตัวอยางของอนกุรม

เทเลสโคปในหนังสือเรียน ดังเชน 1 1 1 1...

1 2 2 3 3 4 n(n 1)+ + + +

⋅ ⋅ ⋅ + = 1 1 1 1 1 1 11 ...

2 2 3 3 4 n n 1⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 11n 1

−+

( )22

3 5 7 2n 1...1 4 4 9 9 16 n n 1

++ + + +

⋅ ⋅ ⋅ + =

( )22

1 1 1 1 1 1...1 4 4 9 n n 1

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎝ ⎠

= ( )2

11n 1

−+

15. ผูสอนอาจจะแนะนําสญัลักษณ ∑ ในหวัขอเร่ืองสัญลักษณแทนการบวก ไปพรอมกับหัวขอเร่ืองผลบวกของอนุกรมอนันตเลยก็ได หากพจิารณาแลวเหน็วาสอดคลองกับแนวทางการจัดการเรียนการสอนที่ปฏิบัติอยู

16. ในหนังสือเรียนหวัขอ 1.2.2 ไดกลาวถึงสมบัติของ ∑ ที่ควรทราบไว สมบัติเหลานั้นแสดงใหเห็นจริงไดโดยงาย ผูสอนควรเชิญชวนใหผูเรียนทดลองพิสูจนสมบัติตาง ๆ ดวยตนเอง ดังนี ้ (1)

n

i 1c

=∑ = nc เมื่อ c เปนคาคงตัว

n

i 1c

=∑ = c + c + c + ... + c

= nc

(2) n

ii 1

ca=∑ =

ni

i 1c a=∑ เมื่อ c เปนคาคงตัว

n

ii 1

ca=∑ = ca1 + ca2 + ca3 + ... + can

= c(a1 + a2 + a3 + ... + an) =

ni

i 1c a=∑

(3) n

i ii 1

(a b )=

+∑ = i 1

n ni i

i 1a b

==+∑ ∑

n

i ii 1

(a b )=

+∑ = (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ... + (an + bn)

= (a1 + a2 + a3 + ... + an) + (b1 + b2 + b3 + ... + bn) =

n ni i

i 1 i 1a b

= =+∑ ∑

n พจน

9

ในทํานองเดียวกันจะแสดงไดวา n

i ii 1

(a b )=

−∑ = n n

i ii 1 i 1

a b= =

−∑ ∑

17. ในการหาผลบวก n

i 1i

=∑ นอกจากวิธีที่แสดงไวในหนังสอืเรียนแลว ยังแสดงไดโดยวธีิ

เดียวกันกับที่ใชหาสูตรของ n 2

i 1i

=∑ หรือ

n 3

i 1i

=∑ ดังนี้

เนื่องจาก n2 – (n – 1)2 = 2n – 1 -----(1) (n – 1)2 – (n – 2)2 = 2(n – 1) – 1 -----(2) (n – 2)2 – (n – 3)2 = 2(n – 2) – 1 -----(3)

32 – 22 = 2(3) – 1 -----(n–2)

22 – 12 = 2(2) – 1 -----(n–1) 12 – 02 = 2(1) – 1 -----(n)

(1) + (2) + (3) + ... + (n) จะได n2 = n n

i 1 i 12 i 1= =

−∑ ∑

= n

i 12 i n=

−∑

ดังนั้น n

i 1i

=∑ =

2n n2+ = n(n 1)

2+

หลังจากศึกษาที่มาของสูตร n

i 1i

=∑ , 2

n

i 1i

=∑ , 3

n

i 1i

=∑ แลว ผูสอนอาจถามผูเรียนตอวา

การหาสูตร 4n

i 1i

=∑ หรือ 5

n

i 1i

=∑ จะดําเนินการตามวิธีการเดิมไดหรือไม ผูสอนอาจแนะนําให

ผูเรียนเริ่มตนจาก n5 – (n – 1)5 และ n6 – (n – 1)6 ตามลําดับ 18. แบบฝกหัด 1.2 ข ขอ 7 และขอ 9 อาจจะยากเกินไปหากผูเรียนไมสามารถจัดรูปใหมได ดังนัน้ ผูสอนควรใหคาํแนะนําเบื้องตนในแตละขอดังนี ้ 7(1)

( )1

n n 1+ = 1 1

n n 1−

+

7(2) ( )( )

12n 1 2n 1− +

= 1 1 12 2n 1 2n 1⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠

7(3) ( )( )

1n n 1 n 2+ +

= ( ) ( )( )

1 1 12 n n 1 n 1 n 2⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

7(4) ( )

1n n 2+

= 1 1 12 n n 2⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

9(1) ( )22

2n 1n n 1

+

+ =

( )22

1 1n n 1

−+

10

กิจกรรมแสนอแนะ

ลิมิตของลําดับ กิจกรรมที ่1

ผูสอนและผูเรียนชวยกนัเขียนกราฟของลําดับ an ตอไปนี้บนกระดานดํา หรือใชโปรแกรมประเภทตารางทํางาน เชน Microsoft Excel

(1) an = n1

2

(2) an = 2 (3) an =

n( 1)1n−

+ (4) an = 2n – 1 (5) an = (–1)n+1 จากนั้นชวยกนัพิจารณากราฟของลําดับ an เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่ส้ินสุด คาของ

พจนที่ n ของลําดับ จะมีคาเขาใกลจํานวนจริงใดหรือไม ซ่ึงผูเรียนควรบอกไดวา สําหรับ ลําดับในขอ (1) คาของพจนที่ n จะเขาใกล 0 ลําดับในขอ (2) คาของพจนที่ n จะเปน 2 เสมอ ลําดับในขอ (3) คาของพจนที่ n จะเขาใกล 1 ลําดับในขอ (4) คาของพจนที่ n จะมากขึน้เรื่อย ๆ ลําดับในขอ (5) คาของพจนที่ n จะเปน 1 เมื่อ n เปนจํานวนคี่ และ

เปน –1 เมื่อ n เปนจํานวนคู ผูสอนเสนอแนะผูเรียนวาลําดับในขอ (1), (2) และ (3) คาของพจนที่ n จะเขาใกลหรือ

เทากับจํานวนจริงเพียงจาํนวนเดียวเทานั้น ในกรณีที่พจนที่ n ของลําดับมีคาเขาใกลหรือเทากับจํานวนจริง L เพียงจํานวนเดยีวเทานั้น เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่ส้ินสุด จะเรยีก L วาเปนลิมิตของลําดับนั้น หรือกลาววาลําดับนั้นมีลิมิตเปน L สวนลําดับที่ไมมีสมบัติเชนนี้จะเปนลําดับที่ไมมีลิมิต ผูสอนใหผูเรียนบอกวาลําดับขางตนลําดับใดบางมลิีมิตและลิมิตเปนเทาใด ลําดับใดไมมีลิมติ ซ่ึงผูเรียนควรบอกไดวา ลําดับในขอ (1) มีลิมิตเปน 0 ลําดับในขอ (2) มีลิมิตเปน 2 และลําดับในขอ (3) มีลิมิตเปน 1

ผูสอนทบทวนผูเรียนเกี่ยวกบัลําดับที่มีลิมิตเรียกวา ลําดบัลูเขา สวนลําดับที่ไมมีลิมิตเรียกวาลําดับลูออก แลวผูสอนใหผูเรียนบอกวาลําดับทั้งหาลําดับขางตน ลําดับใดเปนลําดับลูเขาและลําดับใดเปนลําดับลูออก ซ่ึงผูเรียนควรบอกไดวา ลําดับในขอ (1), (2) และ (3) เปนลําดับลูเขา ลําดับในขอ (4) และ (5) เปนลําดับลูออก

11

กิจกรรมที ่2 ผูสอนอาจใชการพับกระดาษแสดงความหมายของลิมิตของลําดับบางลําดับไดดังตอไปนี้

เชน พิจารณาลําดับ 1, 12

, 14

, 18

, 116

, 132

, …

1 1

2

1

4

1

8

1

16

1

32

ผูสอนอธิบายวาถาพับกระดาษตอไปอีก จะไดความยาวของกระดาษนอยลงเรื่อย ๆ จนเกือบเปน 0 แสดงวา ถา n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่ส้ินสุด พจนที่ n ของลําดับจะเขาใกล 0 และกลาวไดวา ลิมิตของลําดับขางตนเทากับ 0 อนุกรมอนันต กิจกรรมที ่3

ผูสอนอาจประยุกตใชกจิกรรมตอไปนี้นําเขาเรื่องอนุกรมอนันตได ใหผูเรียนปฏิบตัิตามลําดับขั้นและตอบคําถามตอไปนี ้

ขั้นท่ี 1 ตัดกระดาษขนาด A4 เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผาสามรูปที่เทากัน ดังรูป

12

ขั้นท่ี 2 แยกสวนที่หนึ่งไวกองหนึ่ง สวนที่สองไวอีกกองหนึ่ง เก็บสวนที่สามไวในมือ ขั้นท่ี 3 ทําซ้ําขั้นที่ 1 และ 2 กับกระดาษสวนที่สามที่อยูในมือไปเรื่อย ๆ

1. สมมติวากระดาษ A4 มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย และสมมติวาสามารถตัดกระดาษซ้ําตอไปไดอีกอยางตอเนื่องไมส้ินสุด จะมกีระดาษในกองที่หนึ่งเทาไร กองที่สองเทาไร และมีเหลืออยูในมือเทาไร ใหเขยีนผลบวกของเศษสวนทีใ่ชแทนพื้นที่ของกระดาษที่มีอยูในแตละกอง ผูเรียนควรตอบไดวา จะมกีระดาษในกองที่หนึ่งและกองที่สองเทากันคือเทากับ

2 3 4

1 1 1 1 ...3 3 3 3+ + + + ตารางหนวย และกระดาษที่อยูในมือจะชิ้นเล็กลงเรื่อย ๆ จนไมสามารถตัด

ไดจริง ๆ 2. สมมตวิาสามารถตดักระดาษซ้ําตอไปไดอีกอยางตอเนือ่งอยางไมส้ินสุด เศษสวนในขอ 1

จะมีอยูอยางจาํกัดหรือนับไมถวน และผลบวกของเศษสวนเหลานัน้หาคาไดหรือไม ผูเรียนควรตอบไดวา เศษสวนในขอ 1 มอียูอยางไมจํากัด แตผลบวกของเศษสวนเหลานั้นยังไมแนใจวาจะหาไดหรือไม

3. อนุกรมอนนัต คือ ผลบวกของจํานวนหลาย ๆ จํานวน นับไมถวน เชน 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + ... เปนอนุกรมอนันต อนกุรมนี้สามารถหาผลบวกเปนจํานวน ๆ หนึง่ไดหรือไม ผูเรียนควรตอบไดวา ไมสามารถหาผลบวกดังกลาวได

4. ถาอนุกรมอนันตไมสามารถหาผลบวกเปนจํานวน ๆ หนึ่งได เรียกอนุกรมนั้นวาอนุกรมลูออก เชน อนุกรมในขอ 3 เปนอนุกรมลูออก อนุกรม 2 3 4

1 1 1 1 ...2 2 2 2+ + + + ลูออก

หรือไม ใหสรางแบบจําลองการตัดกระดาษคลาย ๆ กับที่ทํามาแลว อนุกรม 2 3 4

1 1 1 1 ...2 2 2 2+ + + + ยังไมแนใจวาจะหาผลบวกไดหรือไม แบบจําลองการ

ตัดกระดาษไปเรื่อย ๆ ซ่ึงแทนอนุกรม 2 3 4

1 1 1 1 ...2 2 2 2+ + + + ในขอ 4 เปนดงันี้

12

2

12

3

12

4

12

13

กิจกรรมที ่4 การหาสูตร

n

i 1i

=∑ นอกจากจะใชวิธีทางพีชคณติดังที่ปรากฏในหนังสือเรียนแลว ผูสอน

อาจเพิ่มความนาสนใจใหผูเรียนโดยใชพืน้ที่สรุปการหาผลบวกของ i ไดอีกวิธีหนึง่ดังนี ้กําหนดใหรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเล็ก ๆ 1 รูป มีพื้นที่ 1 ตารางหนวย

รูปที่ 1

จะเห็นวารูปที่ 1 มีพื้นที่เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 ตารางหนวย ถานํารูปที่ 1 จํานวนสองรูปมาประกอบกัน จะไดรูปสี่เหล่ียมผืนผาหนึ่งรูป ดังนี ้

รูปสี่เหล่ียมผืนผาที่ไดมีพื้นที่เปนสองเทาของรูปที่ 1 และมีพื้นที่เทากับ 4 5× ตารางหนวย ดังนัน้ จึงได 4 5× = 2(1 + 2 + 3 + 4)

4 52× = 1 + 2 + 3 + 4

ในทํานองเดียวกัน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก และตองการหาคาของ 1 + 2 + 3 + ... + n ก็พิจารณาจากพื้นที่ได

4

4

4

5

n

n

n

n + 1

14

จะเห็นวารูปซาย มีพื้นที่เทากับ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n ตารางหนวย ถานํารูปซายจํานวนสองรูปมาประกอบกัน จะไดรูปสี่เหล่ียมผืนผาหนึ่งรูปทีม่ีความยาว n + 1 หนวย และความกวาง n หนวย

รูปสี่เหล่ียมผืนผามีพื้นที่เปนสองเทาของรูปซาย และมพีื้นที่เทากับ n(n 1)+ ตารางหนวย ดังนัน้ จึงได n(n 1)+ = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)

= n

i 12 i=∑

n

i 1i

=∑ = n(n 1)

2+

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. ลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก (1) an = 2n

5n 3− (2) an =

2

2

1 n2 3n−+

(3) an = 2

3 2

n n 72n n− ++

(4) an = n91

10⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(5) an = n12

2⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6) an = 1 + (–1)n

2. จงตัดสินวาลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือลูออก โดยพิจารณาคาของพจนตาง ๆ ในลําดับโดยตรง หรือใชเครื่องคํานวณชวยเขียนกราฟของลําดับ หรือใชทฤษฎบีทเกี่ยวกับลิมติ

(1) an = n 2n 13−+

(2) an = n 1 1( 1)n

+−

3. เขียน 0.249 ใหอยูในรูปเศษสวน 4. จงหาคา (1) n

n 1

23

∞

=∑ (2) 2

k 1

14k 1

∞

= −∑

(3) n n

nn 0

2 79

∞

=

+∑ (4) k 1

6 64k 1 4k 3

∞

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑

5. อนุกรม 1 1 1 1... ...1 5 2 6 3 7 n(n 4)

+ + + + +⋅ ⋅ ⋅ +

เปนอนุกรมลูเขาหรือลูออก

6. การเลนบันจีจัมป (bungee jump) เปนกจิกรรมทาทายที่ผูเลนกระโดดลงมาจากที่สูงโดยมีปลาย เชือกดานหนึ่งผูกติดลําตัวหรือหัวเขาของผูเลน ปลายเชือกอีกดานหนึ่งผูกติดไวกบัฐานกระโดด ชายคนหนึง่ใชเชือกยาว 250 ฟุต กระโดดบันจจีัมปจากฐานกระโดด และพบวาหลังจากใน แตละครั้งที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสดุ เชือกที่มีความยืดหยุนสูงจะดึงตัวเขาใหลอยขึ้นเปน ระยะทาง 55% ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด จงหาระยะทางที่ชายคนนี้เคลื่อนที่ ลอยข้ึนและดิ่งลงทั้งหมด

15

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. (1) n2nlim

5n 3→∞ − = n

2nlim3n 5n

→∞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= n2lim 35

n→∞

−

เนื่องจาก nlim 2→∞

= 2 และ n3lim 5n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 5

จะได n2lim 35

n→∞

− = n

n

lim 2

3lim 5n

→∞

→∞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 25

ดังนั้น ลําดับ n2na

5n 3=

− เปนลําดับลูเขา และ n

2nlim5n 3→∞ −

= 25

(2) 2

2n1 nlim2 3n→∞−+

= 2

2

22

n

1n 1nlim2n 3n

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2

2

n

1 1nlim 2 3n

→∞

−

+

เนื่องจาก 2n1lim 1n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= –1 และ 2n2lim 3n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3

จะได 2

2

n

1 1nlim 2 3n

→∞

−

+ =

2

2

n

n

1lim 1n2lim 3n

→∞

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13−

ดังนั้น ลําดับ 2

n 2

1 na2 3n−

=+

เปนลําดับลูเขา และ 2

2n1 nlim2 3n→∞−+

= 13

−

(3) 2

2 2nn n 7lim2n n→∞− ++

= 3

2 3

3n

1 1 7nn n nlim

1n 2n

→∞

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 3

n

1 1 7n n nlim 12

n→∞

− +

+

เนื่องจาก 3 3n1 1 7limn n n→∞

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠


⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2

จะได 2 3

n

1 1 7n n nlim 12

n→∞

− +

+ = 0

2 = 0

ดังนั้น ลําดับ 2

n 2 2

n n 7a2n n− +

=+

เปนลําดับลูเขา และ 2

3 2nn n 7lim2n n→∞− ++

= 0

(4) เนื่องจาก nlim 1→∞

= 1 และ n

n9lim

10→∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

จะได n

n9lim 1

10→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =

n

n n9lim 1 lim

10→∞ →∞⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 + 0

ดังนั้น ลําดับ an = n91

10⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

เปนลําดับลูเขา และ n

n9lim 1

10→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ = 1

16


= 2 และ n

n1lim2→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

จะได n

n1lim 22→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =

n

n n1lim 2 lim2→∞ →∞

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 – 0 = 2

ดังนั้น an = n12

2⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

เปนลําดับลูเขา และ n

n1lim 22→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ = 2

(6) ลําดับนี้คือ 0, 2, 0, 2, ... ซ่ึงไมมีลิมิต ดังนั้น ลําดับนี้เปนลําดับลูออก

2. (1) พิจารณาคาของ an โดยตรง เมื่อ n มีคามากขึ้น n – 2 และ n +13 มีคาใกลเคียงกนั มาก ลิมิตของลําดับ an = n 2

n 13−+

จึงเทากับ 1 ใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตเพือ่สนับสนุนการพิจารณาขางตนดังนี ้

nn 2limn 13→∞−+

= n

2n 1nlim

13n 1n

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= n

21nlim 131n

→∞

−

+

เนื่องจาก n2lim 1n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠


⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

จะได n

21nlim 131n

→∞

−

+ = n

n

2lim 1n

13lim 1n

→∞

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 11

= 1

ดังนั้น ลําดับ nn 2an 13−

=+

เปนลําดับลูเขา และ nn 2limn 13→∞−+

= 3

(2) คํานวณหาแตละพจนของลําดับ an = n 1 1( 1)n

+− ไดลําดับ 1 1 1 11, , , , , ...2 3 4 5

− −

จากนั้นพิจารณาคาของ an โดยตรง หรือเขียนกราฟของลําดับ an โดยใชโปรแกรม ประเภทตาราง เชน Microsoft Excel มาชวย จะไดกราฟดังรูป

-0.4

-0.2

0

0.4

0.8

1

2 4 6 10

0.6

0.2

an

n 8

17

จากกราฟ จะเห็นวา an จะเขาใกล 0 เมื่อ n มีคามากขึ้นโดยไมมีที่ส้ินสุด ดังนั้น ลําดับ an = n 1 1( 1)

n+− เปนลําดับลูเขา และ n 1

n

1lim ( 1)n

+

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

3. 0.249 = 0.24999... = 0.24 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ... = 3 4 5

9 9 90.24 ...10 10 10

+ + + +

3 4 5

9 9 9 ...10 10 10

+ + + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 3

910

และ r = 110

เนื่องจาก r = 110

< 1 อนุกรม 3 4 5

9 9 9 ...10 10 10

+ + + เปนอนุกรมลูเขา

และมีผลบวกเทากับ 1a1 r−

= 39

1011

10−

= 39

109

10

= 1100

= 0.01

ดังนั้น 0.249 = 0.24 + 0.01 = 0.25 = 14

4. (1) nn 1

23

∞

=∑ = 2 3 n

2 2 2 2... ...3 3 3 3+ + + + +

เปนอนุกรมเรขาคณิตที่ม ี a1 = 23

และ r = 13

เนื่องจาก r = 13

= 13

< 1 อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเขา


= 23

113

− = 1

ดังนั้น nn 1

23

∞

=∑ = 1

(2) ให Sn = n

2k 1

14k 1= −∑

เนื่องจาก 2

14k 1−

= 2

1(2k) 1−

= 1(2k 1)(2k 1)− +

จะได Sn = n

k 1

1 1 12 2k 1 2k 1=

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎝ ⎠∑

= n

k 1

1 1 12 2k 1 2k 1=

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑

= 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

18

= 1 112 2n 1⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

nnlim S→∞

= n1 1lim 12 2n 1→∞⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

= 12

ดังนั้น 2k 1

14k 1

∞

= −∑ = 12

(3) n n

nn 0

2 79

∞

=

+∑ = n

nn 0

29

∞

=∑ +

n

nn 0

79

∞

=∑

= n

n 0

29

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ + n

n 0

79

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

= 12

19

− + 1

71

9−

= 9 9 18 63 817 2 14 14

++ = =

n n

nn 0

2 79

∞

=

+∑ = 8114

(4) ให Sn = n

k 1

6 64k 1 4k 3=

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑

จะได Sn = n

k 1

6 64k 1 4k 3=

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑

= 6 6 6 6 6 6 62 ...

7 7 11 11 15 4n 1 4n 3− + − + − + + −

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 62

4n 3−

+

nnlim S→∞

= n6lim 2

4n 3→∞⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

= 2

ดังนั้น k 1

6 64k 1 4k 3=

∞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑ = 2

5. พิจารณา 1k(k 4)+

= 1 1 14 k k 4

−+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ดังนั้น Sn = 1 1 1 1...

1 5 2 6 3 7 n(n 4)+ + + +

⋅ ⋅ ⋅ +

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

4 5 2 6 3 7 4 8 5 9 6 10− + − + − + − + − + − +

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

1 1 1 1...

7 11 n n 4− + + −

+

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

= 1 1 1 1 1 1 1 1 11

4 2 3 4 4 n 1 n 2 n 3 n 4+ + + + − − − −

+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

19

เนื่องจาก nnlim S→∞

= n

1 1 1 1 1 1 1 1 11

4 2 3 4 4 n 1 n 2 n 3 n 4lim→∞

+ + + + − − − −+ + + +

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 1 1 1 11

4 2 3 4+ + +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2548

ดังนั้น อนกุรม 1 1 1 1... ...

1 5 2 6 3 7 n(n 4)+ + + + +

⋅ ⋅ ⋅ + เปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 25

48

6. ระยะทางทีช่ายคนนี้เร่ิมกระโดดจนถึงตําแหนงต่ําสดุมีระยะทาง 250 ฟุต ชายคนนี้จะลอยขึ้นสูงเปนระยะทาง 55% ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด มีคาเทากบั ของระยะทางที่เขาดิ่งลงถึงตําแหนงต่ําสุด

ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยข้ึนครั้งที่ 1 แลวดิ่งลงถึงตาํแหนงต่ําสดุมีระยะทาง

คือ

ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยข้ึนครั้งที่ 2 แลวดิ่งลงถึงตาํแหนงต่ําสดุมีระยะทางคือ

ระยะทางที่ชายคนนี้ลอยข้ึนแลวดิ่งลงเปนเชนนีไ้ปเรื่อย ๆ จะไดระยะทางที่ชายคนนี้เคลื่อนที่ลอยข้ึนและดิ่งลงทั้งหมดเทากับ

2 311 11 11

250 500 500 500 ...20 20 20

+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 2 3

11 11 11250 500

20 20 20...+

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 1120250 500

111

20

+−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 11250 500

9+ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 861.11 ดังนั้น ในการกระโดดบนัจจีัมปคร้ังนี้ ชายคนนี้เคลื่อนที่ลอยข้ึนและดิ่งลงเปนระยะทางทั้งหมด 861.11 ฟุต

1120

11 11 11250 250 500 ฟุต20 20 20⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ =

211 11 11 11 11250 250 500 ฟุต20 20 20 20 20⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ =

20

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ก

1. (1) a2 = a1 + 2 – 1 = 0 + 2 – 1 = 1 a3 = a2 + 3 – 1 = 1 + 3 – 1 = 3 a4 = a3 + 4 – 1 = 3 + 4 – 1 = 6 a5 = a4 + 5 – 1 = 6 + 5 – 1 = 10 ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดับนี้คือ 0, 1, 3, 6, 10

(2) a2 = 1 + 0.05a1 = 1 + 0.05(1000) = 51 a3 = 1 + 0.05a2 = 1 + 0.05(51) = 3.55 a4 = 1 + 0.05a3 = 1 + 0.05(3.55) = 1.1775 a5 = 1 + 0.05a4 = 1 + 0.05(1.1775) = 1.058875 ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดบันี้คือ 1000, 51, 3.55, 1.1775, 1.058875

(3) a2 = 6a1 = 6(2) = 12 a3 = 6a2 = 6(12) = 72 a4 = 6a3 = 6(72) = 432 a5 = 6a4 = 6(432) = 2592 ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดบันี้คือ 2, 12, 72, 432, 2592

(4) a3 = a2 + 2a1 = 2 + 2(1) = 4 a4 = a3 + 2a2 = 4 + 2(2) = 8 a5 = a4 + 2a3 = 8 + 2(4) = 16 ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดบันี้คือ 1, 2, 4, 8, 16

(5) a3 = a2 + a1 = 0 + 2 = 2 a4 = a3 + a2 = 2 + 0 = 2 a5 = a4 + a3 = 2 + 2 = 4 ดังนั้น 5 พจนแรกของลําดบันี้คือ 2, 0, 2, 2, 4

2. (1) เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน 2 (2) เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน –1 (3) เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเปน –2 (4) เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเปน 1

3

(5) ไมเปนทั้งลําดบัเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต

21

3. (1) d = 4 – (–2) = 6 เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d ∴ an = –2 + (n – 1)6 = 6n – 8 พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 6n – 8

(2) d = 1 16 6

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13

เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d ∴ an = 1 1(n 1)

6 3− + −

= 3 n6 3

− +

= 2n 36−

พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 2n 36−

(3) d = 113 112− = 5

2

เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d ∴ an = 511 (n 1)

2+ −

= 17 5n2 2+

= 5n 172+

พจนที่ n ของลําดับนี้คือ an = 5n 172+

(4) d = 22.54 – 19.74 = 2.8 เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d ∴ an = 19.74 + (n – 1)(2.8) = 2.8n + 16.94 พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = 2.8n + 16.94

(5) d = (x + 2) – x = 2 เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d ∴ an = x + (n – 1)2 = x + 2n – 2 พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = x – 2 + 2n

22

(6) d = (2a + 4b) – (3a + 2b) = –a + 2b เนื่องจาก an = a1 + (n – 1)d ∴ an = (3a + 2b) + (n – 1)(–a + 2b) = 3a + 2b – na + 2nb + a – 2b = 4a – na + 2nb พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = 4a – na + 2nb

4. จะได 5p – p = 6p + 9 – 5p 4p = p + 9 3p = 9 p = 3 จะได สามพจนแรกของลําดบันี้คือ 3, 15, 27 ลําดับนี้มีผลตางรวมเปน 12 ดังนั้น ส่ีพจนตอไปของลําดับนี้คือ 39, 51, 63, 75

5. ใหลําดับนี้มีสามพจนแรกคอื a – d, a, a + d จะได a – d + a + a + d = 12 ---------- (1) และ (a – d)3 + a3 + (a + d)3 = 408 ---------- (2) จาก (1) 3a = 12 a = 4 จาก (2), a3 – 3a2d + 3ad2 – d3 + a3 + a3 + 3a2d + 3ad2 + d3 = 408 3a3 + 6ad2 = 408 3(4)3 + 24d2 = 408 24d2 = 408 – 192 d2 = 216

24

= 9 d = 3 หรือ –3 ถา d = 3 แลว จะไดลําดับนี้คือ 1, 4, 7, 10, 13, ... ถา d = –3 แลว จะไดลําดบันี้คือ 7, 4, 1, –2, –5, ...

6. (1) r = 63

−−

= 2 เนื่องจาก an = a1rn–1 ∴ an = (–3)2n–1 พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = (–3)2n–1

23

(2) r = 510− = 1

2−

เนื่องจาก an = a1rn–1

∴ an = n 1110

2

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = n 1110

2

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(3) r = 5414

= 5

เนื่องจาก an = a1rn–1 ∴ an = n 11 5

4−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = n 11 54

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(4) r = 5356

= 2

เนื่องจาก an = a1rn–1 ∴ an = n 15 (2)

6−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = n 15 (2)6

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(5) r = 1

1229

− = 3

8−


∴ an = n 12 3

9 8

−⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = n 12 3

9 8

−⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(6) r = 2 2

3

a bab

= ab


∴ an = n 1

3 a(ab )b

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

24

= n

4 n

ab −

พจนที ่ n ของลําดับนี้คือ an = n

4 n

ab −

7. (1) ให a1 = –15 และ a5 = –1215 จะได a5 = a 1r4 = –1215 –15r4 = –1215 r4 = 81 r = –3 หรือ r = 3 ดังนั้น สามพจนที่อยูระหวาง –15 กับ –1215 คือ 45, –135, 405 หรือ –45, –135, –405

(2) ให a1 = 43

และ a5 = 2764

จะได a5 = a 1r4 = 2764

43

r4 = 2764

r4 = 81256

r = 34

หรือ r = 34

−

ดังนั้น 3 พจนที่อยูระหวาง 43

กับ 2764

คือ 1, 34

, 916

หรือ –1, 34

, 916

− 8. ให a เปนจํานวนทีน่ําไปบวก จะได 3 + a, 20 + a, 105 + a เปนลําดับเรขาคณิต ดังนั้น 20 a

3 a++

= 105 a20 a

++

400 + 40a + a2 = 315 + 108a + a2 68a = 85 a = 85

68 = 5

4

จํานวนที่นําไปบวกคือ 54

25

เฉลยแบบฝกหัด 1.1 ข

1. (1) ลูออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –1 0 1 0 –1 0 1 0

(2) ลูเขา

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 1 0 –0.333 0 0.2 0 –0.142 0 –0.111 0

-0.4 -0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

1 1.2

0 5 10 15 20 25 30

an

n

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

an

n

26

(3) ลูเขา

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2.5 1.666 1.25 1 0.833 0.714 0.625 0.555 0.5 0.454

(4) ลูออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 2 2 2.666 4 6.4 10.666 18.285 32 56.888 102.4

n 0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

an

10 20 30

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8

an

n

27

(5) ลูออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0 4 0 8 0 12 0 16 0 20

(6) ลูเขา

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 3.5 3.75 3.875 3.937 3.968 3.984 3.992 3.996 3.998 3.999

0 5

10 15 20 25 30 35 40

0 5 10 15 20

an

n

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4 4.1

0 2 4 6 8

an

n

28

(7) ลูเขา

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 4 2 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

(8) ลูเขา

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.666 0.816 0.873 0.903 0.922 0.934 0.943 0.950 0.955 0.960

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 2 4 6 8

an

n

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20

an

n

29

(9) ลูออก

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an –1.333 1.777 –2.370 3.160 –4.213 5.618 –7.491 9.988 –13.318 17.757

(10) ลูเขา

.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an 0.25 0.333 0.3 0.222 0.147 0.090 0.053 0.031 0.017 0.009

0 0.05

0.1 0.15

0.2 0.25

0.3 0.35

0 2 4 6 8 10 12

an

n

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10 12

an

n

30

2. ไมเห็นดวย เพราะเปนการสรุปที่ไมถูกตอง ถา xn และ yn เปนลําดับ การที่จะกลาววา n

nn

xlimy→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= nn

nn

lim x

lim y→∞

→∞

ไดนัน้ ขอตกลงเบือ้งตนเกีย่วกับ nnlim x→∞

และ nnlim y→∞

ตองเปน

จริงกอน ขอกาํหนดเบื้องตนนั้นคือ nnlim x→∞

และ nnlim y→∞

ตองหาคาได ในกรณีนี้ ตองจัดรูป an และ bn กอนการใชทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต ดังนี ้

จาก 4 22n n43n 13

−

+ =

14n (2 )2n134n (3 )4n

−

+ =

12 2n133 4n

−

+

และเนื่องจาก 2n

1lim(2 )n→∞

− = 2 และ 4n

13lim(3 )n→∞

+ = 3

ดังนั้น 4 2

4n

2n nlim3n 13→∞

−+

= 12 2nlimn 133 4n

−

→∞+

= 2n

4n

1lim(2 )n13lim(3 )n

→∞

→∞

−

+

= 23

3. (1)

n

8lim3n→∞

= n

8 1lim3 n→∞

= 8 (0)3

= 0 ดังนั้น ลําดับ an = 8

3n เปนลําดับลูเขา

(2) จาก n

n

87

= n8

7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

จะได n

nn

8lim7→∞

= n

n

8lim7→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

n

n

8lim7→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

หาคาไมได เพราะ 87

> 1

ดังนั้น ลําดับ an = n

n

87

เปนลําดับลูออก

(3) n( 1)− = 1 เมื่อ n เปนจํานวนคู และ n( 1)− = –1 เมื่อ n เปนจํานวนคี ่ ดังนั้น ลําดับ an = (–1)n ไมมีลิมิต และเปนลําดับลูออก

31

(4) n

n

1lim 32→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= n

n

13lim2→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3(0) = 0

ดังนั้น ลําดับ an = n13

2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

เปนลําดับลูเขา


= 4 และ n

1limn→∞

= 0

จะได n

1lim 4n→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= n n

1lim 4 limn→∞ →∞

+

= 4 + 0 = 4 ดังนั้น ลําดับ an = 14

n+ เปนลําดับลูเขา

(6) จาก 6n 46n− = 6n 4

6n 6n− = 1 – 2

3n

และเนื่องจาก nlim1→∞

= 1 และ n

2lim3n→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0

จะได n

6n 4lim6n→∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= n

2lim 13n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= n n

2lim1 lim3n→∞ →∞

− = 1 – 0 = 1 ดังนั้น ลําดับ an = 6n 4

6n− เปนลําดับลูเขา

(7) เมื่อ n มีคาเพิ่มขึ้น คาของพจนที่ n ของลําดับนี้จะเพิ่มขึ้น และไมเขาใกลจํานวนใด จํานวนหนึ่ง

ดังนั้น ลําดับ an = 3n 56+ เปนลําดับลูออก

(8) จาก nn 1+

= n1

n 1n

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 111n

+

และเนื่องจาก nlim1→∞

= 1 และ n

1limn→∞

= 0

จะได n

nlimn 1→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

= n

1lim 11n

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

32

= n

n n

lim11lim1 limn

→∞

→∞ →∞+

= 11 0+

= 1 ดังนั้น ลําดับ an = n

n 1+ เปนลําดับลูเขา

(9) เนื่องจาก 2n

4limn→∞

= 0 และ 2n

5nlimn→∞

= 0

จะได 2n

4 5nlimn→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 2n n

4 5nlim limn n→∞ →∞

+

= 0 + 0 = 0 ดังนั้น ลําดับ an = 2

4 5nn+ เปนลําดับลูเขา

(10) จาก 2n 13n 1

−+

= 1

n 2n

n 3n

1

−

+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

2n

3n

1

−

+

และเนื่องจาก 1lim 2

n n−

→∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 และ lim 3n n

1+

→∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3

จะได n

2n 1lim3n 1→∞

−+

= n

n

1lim 2n1lim 3n

→∞

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 23

ดังนั้น ลําดับ an = 2n 13n 1

−+


(11) an = 23n 5n

7n 1−−


(12) จาก 2

2

7n5n 3−

= 2

22

7n3n 5n

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2

735n

−

และเนื่องจาก nlim 7→∞

= 7 และ 2n

3lim 5n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 5

จะได 2

2n

7nlim5n 3→∞ −

= n

2n

lim 7

3lim 5n

→∞

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

33

= 7

5

ดังนั้น ลําดับ an = 2

2

7n5n 3−


(13) จาก 2

2

4n 2n 3n− + = 2

2 34n n

− +

และเนื่องจาก nlim 4→∞

= 4 , n

2limn→∞

= 0 และ 2n

3limn→∞

= 0

จะได 2

2n

4n 2n 3limn→∞

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2n

2 3lim 4n n→∞

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2n n n

2 3lim 4 lim limn n→∞ →∞ →∞

− + = 4 – 0 + 0 = 4 ดังนั้น ลําดับ an =

2

2

4n 2n 3n− + เปนลําดับลูเขา

(14) จาก 2

2

3n 110n 5n

−−

= 2

2

2

1n 3n

10n 5n

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 213n

10 5n

−

−


1lim 3n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3 และ 10lim 5n n

−→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= –5

จะได 2

2n

3n 1lim10n 5n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 2n

n

1lim 3n

10lim 5n

→∞

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 35

−


2

3n 110n 5n

−−


(15) เนื่องจาก n

1limn→∞

= 0 และ n

1limn 1→∞ +

= 0

จะได n

1 1limn n 1→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠ =

n n

1 1lim limn n 1→∞ →∞−

+

= 0 – 0 = 0 ดังนั้น ลําดับ an = 1 1

n n 1−

+ เปนลําดับลูเขา

34

(16) จาก n 1

n 2

35

+

+ = n 1

n 1

35 5

+

+⋅ =

n 11 35 5

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

จะได n 1

n 2n

3lim5

+

+→∞ =

n 1

n

1 3lim5 5

+

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= n 1

n

1 3lim5 5

+

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 (0)5

= 0 ดังนั้น ลําดับ an =

n 1

n 2

35

+


(17) จาก n 1

n 2

2 33

−

+

+ = n 1

n 1 n 2

2 327 3 3

−

− ++⋅

= n 1

1 2 1n 127 3 3

−+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

และเนื่องจาก n 11 2lim27 3n

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−

→∞ = 1

27 และ 1lim n 1n 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+→∞

= 0

จะได n 1

n 2n

2 3lim3

−

+→∞

+ = n 11 2 1lim n 127 3n 3

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−+ +→∞

= n 1

n 1n n

1 2 1lim lim27 3 3

−

+→∞ →∞

⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 (0) 027

+ = 0 ดังนั้น ลําดับ an =

n 1

n 2

2 33

−

+


(18) จาก n 1n 1−+

= 1n 1n

1n 1n

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 11n

11n

−

+

และเนื่องจาก n

1lim(1 )n→∞

− = 1 และ n

1lim(1 )n→∞

+ = 1

จะได n

n 1limn 1→∞

−+

= n

n

1lim 1n

1lim 1n

→∞

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 ดังนั้น ลําดับ an = n 1

n 1−+


35

(19) จาก 2n 1

4n− = 2

1n 1n

4n

− = 2

11n

4

−


1lim 1n→∞

− = 1 และ nlim 4→∞

= 4

จะได 2

n

n 1lim4n→∞

− = 2

n

11nlim

4→∞

−

= 2n

1 1lim 14 n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 14

= 14

ดังนั้น ลําดับ an = 2n 1

4n− เปนลําดับลูเขา

(20) จาก 2

3 3

4n 12n n 2

−

+ + = 2

33

1n 4n

2n 2 1n

−

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 2

33

14n

22 1n

−

+ +


1lim 4n→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 2 และ 3

3n

2lim 2 1n→∞

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ = 3

จะได 2

3 3n

4n 1lim2n n 2→∞

−

+ + = 2

n3

3

14nlim

22 1n

→∞

−

+ +

= 2n

33n

1lim 4n

2lim 2 1n

→∞

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2

3


3 3

4n 12n n 2

−

+ + เปนลําดับลูเขา

(21) an = n( 1)

n− เปนลําดับลูเขา

(22) an = 28n 5n 23 2n+ ++


36

4. (1) ไมจริง เชน ลําดับ an = n และ ลําดับ bn = –n เปนลําดับลูออก แตลําดับ (an + bn) = n – n = 0 เปนลําดับลูเขา (2) จริง การพิสูจนโดยขอขัดแยง (proof by contradiction) ทําไดดังนี ้ ส่ิงที่กําหนดใหคือ ลําดับ an เปนลําดบัลูเขา และ ลําดับ bn เปนลําดับลูออก สมมติวา “(an + bn) เปนลําดับลูเขา” เนื่องจากลําดับ an และลําดับ (an + bn) เปนลําดับลูเขา จึงไดวา nn

lim a→∞

และ n nn

lim(a b )→∞

+ หาคาได ให nnlim a→∞

= A และ n nnlim(a b )→∞

+ = B พิจารณา n n nn

lim(a b a )→∞

+ − = nnlim b→∞

และ n n nn

lim(a b a )→∞

+ − = n nnlim(a b )→∞

+ – nnlim a→∞

= B – A ดังนั้น nn

lim b→∞

หาคาได ซ่ึงทาํให ลําดับ bn เปนลําดับลูเขา เกิดขอขดัแยงกับสิ่งทีก่ําหนดให จึงสรุปวา ขอความที่สมมติวา “(an + bn) เปนลําดับลูเขา” เปนเท็จ นั่นคือ (an + bn) ตองเปนลําดับลูออก

5. (1) n

n

rlim P(1 )12→∞

+ = n

n

rP lim(1 )12→∞

+

เนื่องจาก r1 112

+ > ดังนั้น n

n

rlim 112→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

หาคาไมได

ดังนั้น an = nrP 1

12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

ไมเปนลําดบัลูเขา

(2) จาก an = nrP 1

12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

กําหนด r = 1.5100

= 0.015

ส้ินเดือนที่ 1 จะได a1 = 0.0159000 112

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9011.25


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9022.51


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9033.79


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9045.08


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9056.39


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9067.71

37


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9079.05


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9090.39


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9101.76


12⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 9113.13

ดังนั้น สิบพจนแรกของลําดบั คือ 9011.25, 9022.51, 9033.79, 9045.08, 9056.39, 9067.71, 9079.05, 9090.39, 9101.76, 9113.13

6. (1) ให an เปนงบรายจายปกติทีถู่กตัดลงเมื่อเวลาผานไป n ป A แทนงบรายจายปกตเิปน 2.5 พันลานบาท ส้ินปที่ 1 จะได a1 = 20

A (A)100

− = 4A

5

ส้ินปที่ 2 จะได a2 = 4 20 4A A

5 100 5−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2

4A

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ส้ินปที่ 3 จะได a3 = 2 2

4 20 4A A

5 100 5−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 3

4A

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ส้ินปที่ n จะได an = n

4A

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ดังนั้น เมื่อเวลาผานไป n ป งบรายจายเปน n

42.5

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

พันลานบาท

(2) งบรายจายเมื่อส้ินปที่ 1 เปน 4(2.5)

5 = 2 พันลานบาท

งบรายจายเมื่อส้ินปที่ 2 เปน 2

4(2.5)

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1.6 พันลานบาท


4(2.5)

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



4(2.5)

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


ดังนั้น งบรายจายในสี่ปแรก หลังถูกตัดงบเปน 2, 1.6, 1.28 และ 1.024 พันลานบาท ตามลําดับ

(3) เนื่องจาก 41

5< จะได

n4

lim 2.5n 5→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 0 ดังนั้น ลําดับของงบรายจายนี้เปนลําดับลูเขา

38

เฉลยแบบฝกหัด 1.2 ก 1. (1) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดีังนี ้ S1 = 1

2

S2 = 1 12 6+ = 2

3

S3 = 1 1 12 6 18+ + = 13

18

Sn =

n 11 1 1 1 1...2 6 18 2 3

−⎛ ⎞+ + + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= n

n 1

3 14 3 −

−⋅

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 12

, 23

, 1318

, ..., n

n 1

3 14 3 −

−⋅

, ...

(2) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดีังนี ้ S1 = 3 S2 = 3 + 2 = 5 S3 = 3 + 2 + 4

3 = 19

3

Sn = 3 + 2 + 4

3+ ... +

n 1233

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= n29 1

3⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 3, 5, 193

, ..., n29 1

3⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, ...

(3) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดีังนี ้ S1 = 1

2

S2 = 1 52 2+ = 3

S3 = 1 5 252 2 2+ + = 31

2

Sn = n 11 5 25 1... (5)

2 2 2 2−+ + + + = n1 (1 5 )

8− −


, 3, 312

, ..., n1 (1 5 )8

− − , ....

39


2

S2 = 1 1( )2 4+ − = 1

4

S3 = 1 1 12 4 8

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 38

Sn =

n 1

n

1 1 1 ( 1)...2 4 8 2

−−⎛ ⎞+ − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= n1 11

3 2⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


, 14

, 38

, ..., n1 11

3 2⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, ...

(5) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดีังนี ้ S1 = 2 S2 = 2 + (–1) = 1 S3 = 2 + (–1) + (–4) = –3 Sn = 2 + (–1) + (–4) + ... + (5 – 3n) = n (7 3n)

2−

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 2, 1, –3, ..., n (7 3n)2

− , ...


4

S2 = 3 94 16+ = 21

16

S3 = 3 9 274 16 64+ + = 111

64

Sn =

n3 9 27 3...4 16 64 4

⎛ ⎞+ + + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= n33 1

4⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


, 2116

, 11164

, ..., n33 1

4⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, ...

(7) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดีังนี ้ S1 = 0 S2 = 0 + 3 = 3

40

S3 = 0 + 3 + 8 = 11 Sn = 0 + 3 + + 8 + ... + (n2 – 1) =

n2

i 1(i 1)

=

−∑ = 3 22n 3n 5n

6+ −

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 0, 3, 11, ...,3 22n 3n 5n

6+ − , ...

(8) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดีังนี ้ S1 = –1 S2 = –1 + 0 = –1 S3 = –1 + 0 + 9 = 8 Sn = –1 + 0 + 9 + ... + 23n

(i 2i )i 1

−∑=

= 4 3 23n 2n 9n 4n

12− − −

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ –1, –1, 8, ..., 4 3 23n 2n 9n 4n

12− − − , ...


10−

S2 = 1 110 100

− + = 9100

−

S3 = 1 1 110 100 1000

− + − = 911000

−

Sn =

n1 1 1 1...10 100 1000 10

−⎛ ⎞− + − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= n1 11

11 10⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


− , 9100

− , 911000

− , ..., n1 11

11 10⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

, ...

(10) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มดีังนี ้ S1 = 100 S2 = 100 + 10 = 110 S3 = 100 + 10 + 1 = 111 Sn = 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... + 103 – n = n

1000 119 10

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 100, 110, 111, ..., n

1000 119 10

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, ...

41

(11) ผลบวกยอยของอนุกรมนี้มีดังนี ้ S1 = 1 S2 = 1 – 2 = –1 S3 = 1 – 2 + 3 = 2 S4 = 1 – 2 + 3 – 4 = –2 S5 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3 S6 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 = –3 ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 2, –2, 3, –3, ...

2. (1) n 11 1 1 1 1...

2 6 18 2 3

−⎛ ⎞+ + + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ... เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 13

ซ่ึง | r | < 1

ดังนั้น อนกุรมนี้จึงเปนอนกุรมลูเขาที่มีผลบวกเปน 12

113

− = 3

4

(2) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 9 (3) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1

2, 3, 31

2, ..., n1 (1 5 )

8− − , ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต

ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก (4) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 1

3

(5) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 2, 1, –3, ..., n (7 3n)2

− , ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก

(6) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 3 (7) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 0, 3, 11, ...,

3 22n 3n 5n6

+ − , ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต ดังนั้น อนุกรมทีก่ําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก (8) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ –1, –1, 8, ...,

4 3 23n 2n 9n 4n12

− − − , ... ลําดับนี ้ ไมมีลิมิต ดังนั้น อนุกรมที่กําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก (9) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 1

11−

(10) อนุกรมลูเขา มีผลบวกเปน 10009

(11) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 2, –2, 3, –3, ... ลําดับนี้ไมมีลิมิต ดังนั้น อนุกรมทีก่ําหนดให ไมสามารถหาผลบวกได จึงเปนอนุกรมลูออก

42

3. (1) จะได 4 1 8 1 16 1 ...9 27 81+ + +

+ + + = 4 8 16 1 1 1... ...9 27 81 9 27 81

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 4 19 9

2 11 13 3

+− −

= 4 1 3(3)9 9 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 4 13 6+

= 32

(2) อนุกรม n 1

3 3 3 33 ... ...2 4 8 2 −+ + + + + + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 1

2

จะได n 1

3 3 3 33 ... ...2 4 8 2 −+ + + + + + = 3

112

−

= 312

= 6 (3) เมื่อ x เปนจํานวนจริง จะได 1 1 1 1

... ...2 2 2 2 3 2 n2 x (2 x ) (2 x ) (2 x )+ + + + +

+ + + +

เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 122 x+

เนื่องจาก x2 ≥ 0 ดังนัน้ 2 + x2 ≥ 2 ซ่ึงทําให 122 x+

≤ 12

< 1

ดังนัน้ 1 1 1 1... ...2 2 2 2 3 2 n2 x (2 x ) (2 x ) (2 x )

+ + + + ++ + + +

= 1

22 x1

1 22 x

+

−+

= 12x 1+

4. 0.9i = 0.9999...

= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... = 2 3 4

9 9 9 9 ...10 10 10 10

+ + + +

เนื่องจาก 2 3

9 9 9 ...10 10 10

+ + + เปนอนุกรมเรขาคณิต ที่มีอัตราสวนรวมเทากับ 110

ดังนั้น 2 3

9 9 9 ...10 10 10

+ + + = 9

1011

10−

= 9 1010 9⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

43

= 1 จะได 0.9

i = 1

5. (1) 0.21i i = 0.212121...

= 0.21 + 0.0021 + 0.000021 + ... = 2 4 6

21 21 21 ...10 10 10

+ + +

= 2

2

2110

1110

−

= 2

2

21 1010 99

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

= 2199

= 733

(2) 0.6104i i = 0.6104104...

= 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + 0.0000000104 + ... = 4 7 10

6 104 104 104 ...10 10 10 10

+ + + +

= 4

3

1046 10

110 110

+−

= 6 10410 9990

+

= 5994 1049990+

= 60989990

(3) 7.256i i = 7.25656...

= 7 + 0.2 + 0.056 + 0.00056 + 0.0000056 + ... = 3 5 7

2 56 56 567 ...10 10 10 10

+ + + + +

= 3

2

562 107 110 1

10

+ +−

= 2 56710 990

+ +

= 198 567990+

+

44

= 2547990

= 1277495

(4) 4.387i i = 4.38787...

= 4 + 0.3 + 0.087 + 0.00087 + 0.0000087 + ... = 3 5 7

3 87 87 874 ...10 10 10 10

+ + + + +

= 3

2

873 104 110 1

10

+ +−

= 3 87410 990

+ +

= 297 874990+

+

= 3844990

= 1924495

(5) 0.073i i = 0.07373...

= 0.073 + 0.00073 + 0.0000073 + ... = 3 5 7

73 73 73 ...10 10 10

+ + +

= 3

2

7310

1110

−

= 73990

(6) 2.9i = 2.999 ...

= 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... = 2 3

9 9 92 ...10 10 10

+ + + +

= 9

102 1110

+−

= 929

+ = 3

45

6. เพราะวา 1 + x + x2 + x3 + ... + xn–1 + ... = 23

และเนื่องจาก a1 = 1 , r = x จะไดวา 2

3 = 1

1 x−

2 – 2x = 3 ∴ x = 1

2−

7. จาก a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + ... = 32

จะได 1a1 r−

= 32

---------- (1)

และ a1 – a1r + a1r2 – a1r3 + ... = 34

จะได 1a1 r+

= 34

---------- (2) จาก (1), 2a1 + 3r = 3 ---------- (3) จาก (2), 4a1 – 3r = 3 ---------- (4) (3) + (4), 6a1 = 6 ∴ a1 = 1 จาก (3) จะได r = 3 2

3− = 1

3

8. (1) รูปสี่เหล่ียมจัตรัุสรูปแรกมีดานยาว 5 หนวย

ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปที่สองยาว 2 25 5

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 252

= 5 22

หนวย ดังนั้น รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปที่สองมีเสนรอบรูปยาว 10 2 หนวย

(2) ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปที่สามยาว 2 2

5 2 5 24 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 5

2 หนวย

รูปสี่เหล่ียมจัตรัุสรูปที่สามมีเสนรอบรูปยาว 10 หนวย

ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูปที่ส่ียาว 2 25 5

4 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 5 24

หนวย รูปสี่เหล่ียมจัตรัุสรูปที่ส่ีมีเสนรอบรูปยาว 5 2 หนวย จะได ผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสเปน 20 + 10 2 + 10 + 5 2 + ... = 20

212

−

= 20(2 2)+ 9. ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปแรก เทากับ 30 นิ้ว ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สอง เทากับ 15 นิ้ว ความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมรูปที่สาม เทากับ 15

2 นิ้ว

46

ผลบวกของความยาวเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ 1530 15 ...2

+ + +

= 30112

−

= 60 ∴ ผลบวกความยาวเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดมคีา 60 นิ้ว

10. การแกวงครั้งแรกจากจุดไกลสุดดานหนึ่งไปอีกดานหนึง่ไดระยะทาง 75 เมตร การแกวงครั้งที่สองไดระยะทาง 75 3

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

เมตร

การแกวงครั้งที่สามไดระยะทาง 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

75 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 7523

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

เมตร

การแกวงครั้งที่ส่ีไดระยะทาง 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

7523

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 7533

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

เมตร

ระยะทางที่ไดจากการแกวงครั้งใหมเปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ดังนั้น เรือไวกิ้งจะแกวงไปมาตั้งแตเร่ิมตนจากจดุสูงสุดเปนระยะทางเทากับ

75 + 75 35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 7523

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 7533

5⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ... = 752 33 3 31 ...

5 5 5

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 75 1315

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 75 52

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 187.5 เมตร

11. (1) ให an เปนระยะทางที่สารพษิแพรกระจายตอจากตําแหนงเดิมเมื่อเวลาผานไป n ป กําหนด a1 = 1500 , a2 = 900 , a3 = 540 สังเกตวา 900 540 3

1500 900 5= =

สมมติให an เปนลําดับเรขาคณิตที่มีพจนแรกเปน 1500 และมีอัตราสวนรวมเปน 3

5

ให S10 เปนผลบวกของระยะทางที่สารพิษแพรกระจายไปไดเมื่อส้ินปที่สิบ จะได S10 = 1500 + 900 + 540 + ... + 1500

935

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

1031500 15

315

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

−

47

= ( )105 31500 1

2 5⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 37501031

5⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= 3727.325 เมื่อส้ินปที่สิบ สารพิษจะแพรกระจายไปได 3727.325 เมตร

(2) เพราะวา ผลบวกอนนัตของอนุกรมนี้เทากบั 1500315

− = 3750

ดังนั้น สารพษิจะแพรกระจายไปไดไกลทีสุ่ด 3,750 เมตร ซ่ึงไปไมถึงโรงเรียน

12. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรม 2 n 12 2 21 ... ...

3 3 3

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sn = ( )na 1 r11 r

−

− =

n2

1 132

13

−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ =

n2

3 13

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

S1 = 1 S2 = 53

= 1.6666

S3 = 199

= 2.1111 S4 = 6527

= 2.4074

S5 = 21181

= 2.6049 S6 = 665243

= 2.7366

S7 = 2059729

= 2.8244 S8 = 63052187

= 2.8829

S9 = 191716561

= 2.9219 S10 = 5802519683

= 2.9479

S11 = 17509959049

= 2.9653

เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกนิ 1 จะได 2 ≤ Sn < 3 เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกนิ 0.2 จะได 2.8 ≤ Sn < 3 เมื่อ Sn มีคานอยกวา 3 อยูไมเกนิ 0.05 จะได 2.95 ≤ Sn < 3 จะได n ที่นอยที่สุด ตามเงือ่นไขขางตนเปน n = 3, n = 7 และ n = 11 ตามลําดับ

13. ให Sn แทนผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรม 1 1 11 ... ...2 3 n

+ + + + +

โดยใชเครื่องคาํนวณ จะได S1 = 1 S2 = 3

2 = 1.500

48

S3 = 116

= 1.833

S4 = 2512

= 2.083

S5 = 13760

= 2.283

S6 = 4920

= 2.450

S7 = 363140

= 2.592

S8 = 761280

= 2.717

S9 = 71292520

= 2.828

S10 = 73812520

= 2.928

S11 = 8371127720

= 3.019

S12 = 8602127720

= 3.103

S13 = 1145993360360

= 3.180

S14 = 1171733360360

= 3.251

S15 = 1195757360360

= 3.318

S16 = 2436559720720

= 3.380

S17 = 4214222312252240

= 3.439

S18 = 142743014084080

= 3.495

S19 = 27529579977597520

= 3.547

49

S20 = 5583513515519504

= 3.597

S21 = 188580535173168

= 3.645

S22 = 190931975173168

= 3.690

S23 = 444316699118982864

= 3.734

S24 = 1347822955356948592

= 3.775

S25 = 340525224678923714800

= 3.815

S26 = 343957422678923714800

= 3.854

S27 = 31253625200380313433200

= 3.891

S28 = 31540458890380313433200

= 3.927

S29 = 92270465113872329089562800

= 3.961

S30 = 93046828301472329089562800

= 3.994

S31 = 29077425729735772201776446800

= 4.027

ดังนั้น n ที่นอยทีสุ่ด เมื่อ Sn มากกวา 2 คือ 4 n ที่นอยทีสุ่ด เมื่อ Sn มากกวา 3 คือ 11 n ที่นอยทีสุ่ด เมื่อ Sn มากกวา 4 คือ 31

14. (1) ไมถูกตอง เพราะ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... เปนอนกุรมอนันตที่เปนอนุกรม เรขาคณิต อนกุรมนี้มีอัตราสวนรวมเปน 2 ซ่ึง | 2 | > 1 จึงไมสามารถหาผลบวกได

(2) ไมถูกตอง เพราะ 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + ... เปนอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรม เรขาคณิต อนกุรมนี้มีอัตราสวนรวมเปน –2 ซ่ึง | –2 | > 1 จึงไมสามารถหาผลบวกได

50

15. Sn = n

1a (1 r )1 r−−

2110 =

n3

160 12

31

2

−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

n = 5 16. ใหพจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตเปน a และมีอัตราสวนรวมเปน r จะได a + ar = –3 และ ar4 + ar5 = 3

16−

แกระบบสมการขางตน จะได r = 12

หรือ – 12

ถา r = 12

แลวจะได a = –2

ถา r = – 12

แลวจะได a = –6

ผลบวก 8 พจนแรกของอนกุรมนี้เทากับ 25564

− ทั้งสองกรณี

18. เดิมมีแบคทีเรีย 1000 ตัว เมื่อเวลาผานไป 1 ช่ัวโมง จะมีแบคทเีรีย 120

100(1000) = 1200 ตัว

เมื่อเวลาผานไป 2 ช่ัวโมง จะมีแบคทเีรีย 2

120100⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1000) = 1440 ตัว

เมื่อเวลาผานไป 3 ช่ัวโมง จะมีแบคทเีรีย 3

120100⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1000) = 1728 ตัว

ดังนั้น เมื่อเวลาผานไป t ช่ัวโมง จะมแีบคทีเรีย t120

100⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1000)

เมื่อ t = 10 จะได a10 = 10

120100⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1000) ≈ 6191 ตัว

51

เฉลยแบบฝกหัด 1.2 ข

1. (1) 4

i 12i

=∑ = 2 + 4 + 6 + 8

(2) ( )52

i 1i 2

=

+∑ = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + ... + (50 + 2) + (51 + 2) + (52 + 2)

(3) ( )4

k 110 2k

=

−∑ = (10 – 2) + (10 – 4 ) + (10 – 6) +(10 – 8)

(4) ( )20

2

i 1i 4

=

+∑ = (12 + 4) + (22 + 4) + (32 + 4) + ... + (182 + 4) + (192 + 4) + (202 + 4)

2. (1) 5

j 13j

=∑ = 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5)

= 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 (2)

50

k 18

=∑ = 8 + 8 + 8 + ... + 8

50 จํานวน = 8 x 50 = 400 (3) ( )

42

i 1i i 3

=

−∑ = 12(1 – 3) + 22(2 – 3) + 32(3 – 3) + 42(4 – 3) = –2 – 4 + 0 + 16 = 10 (4)

6

k 2

k 4k 1=

+−∑ = 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4

2 1 3 1 4 1 5 1 6 1+ + + + +

+ + + +− − − − −

= 7 8 96 22 3 4

+ + + +

= 19712

(5) ( )5

2

k 1k 3

=

+∑ = (12 + 3) + (22 + 3) + (32 + 3) + (42 + 3) + (52 + 3) = 4 + 7 + 12 + 19 + 28 = 70 (6) ( )

103

i 1i 2

=

−∑ = ( )10

3 2

i 1i 6i 12i 8

=

− + −∑

= 10 10 10 10

3 2

i 1 i 1 i 1 i 1i 6 i 12 i 8

= = = =

− + −∑ ∑ ∑ ∑

= ( ) ( )( ) ( )( )210 10 1 10 10 110

6 10 1 20 1 12 802 6 2

+ +− + + + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 3025 – 2310 + 660 – 80 = 1295

52

(7) ( )15

i 1i 5

=

+∑ = 15

i 1i

=∑ +

15

i 15

=∑

= 15(16)2

+ 5(15)

= 195 (8) ( )

20

i 102i 1

=

+∑ = ( )20

i 12i 1

=

+∑ – ( )9

i 12i 1

=

+∑

= 20

i 12 i

=∑ +

20

i 11

=∑ –

9

i 12 i

=∑ –

9

i 11

=∑

= 2(20)(21)2

+ 20 – 2(9)(10)2

– 9

= 420 + 20 – 90 – 9 = 341 (9) ( )

15

k 1k 5 (k 5)

=

+ −∑ = ( )15

2

k 1k 25

=

−∑

= 15

2

k 1k

=∑ –

15

k 125

=∑

= 15(16)(31)6

– 15(25)

= 1240 – 375 = 865

3. (1) 1⋅3 + 2⋅4 + 3⋅5 + ... + n(n + 2) + ... = ( )n 1

n n 2=

∞+∑

(2) 1 1 1 1...4 5 6 n+ + + + =

n

i 4

1i=

∑

(3) arp + arp + 1 + arp + 2 + ... + arp + q + ... = p i

i 0ar

∞+

=∑

(4) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n

i 12i

=∑

(5) ( )n 1

1 1 1 1... ...3 6 12 3 2 −+ + + + + =

( )n 1n 1

13 2

∞

−=∑

(6) 1 1 1 1... ...2 1 3 2 4 3 n n 1

+ + + + ++ + + + −

= n 2

1n n 1

∞

= + −∑

4. (1) n

i 16i

=∑ =

n

i 16 i

=∑

= ( )n n 16

2⎛ + ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3n(n + 1)

53

(2) ( )k

i 12i 1

=

+∑ = k k

i 1 i 12 i 1

= =

+∑ ∑

= ( )k k 12 k

2⎛ + ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

= k2 + k + k = k2 + 2k (3)

mi

i 13 4

=

⋅∑ = m

i

i 13 4

=∑

= 3(4 + 42 + 43 + ... + 4m)

= ( )( )m4 1 43

1 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 4m + 1 – 4

(4) ( )n

2

i 1

i i=

−∑ = n

2

i 1

i=∑

n

i 1

i=

−∑

= n(n 1)(2n 1)6

+ + – n(n 1)2+

= n(n 1)2+ 2n 1 1

3+⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

= n(n 1)2+ 2n 1 3

3+ −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= n(n 1)(2n 2)6

+ −

= n(n 1)(n 1)3

+ −

= 3n n3−

5. (1) 1 2 2 3 3 4 4 5 ... n(n 1) ...⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + = ( )10

n 1n n 1

=

+∑

= 10 10

2

n 1 n 1n n

= =

+∑ ∑

= ( )10 1110(11)(12)6 2

+ = 385 + 55 = 440 (2) 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ... n(n 3)(n 6) ...⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + + +

= ( )( )10

n 1n n 3 n 6

=

+ +∑

= 10 10 10

3 2

n 1 n 1 n 1n 9 n 18 n

= = =

+ +∑ ∑ ∑

54

= ( ) ( )( )( ) ( )( )210 11 9 10 11 21 18 10 11

2 6 2⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3025 + 3465 + 990 = 7480

(3) 21(2 3) 4(4 3) 9(6 3) 16(8 3) ... n (2n 3) ...+ + + + + + + + + + +

= ( )10

2

n 1n 2n 3

=

+∑

= 10 10

3 2

i 1 n 12 n 3 n

= =

+∑ ∑

= ( ) ( )( )( )210 11 3 10 11 21

22 6

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 6050 + 1155 = 7205

(4) 2 2 2 2 21 3 5 7 ... (2n 1) ...+ + + + + − + = ( )

102

n 12n 1

=

−∑

= 10

2

n 1(4n 4n 1)

=

− +∑

= 10 10 10

2

n 1 n 1 n 14 n 4 n 1

= = =

− +∑ ∑ ∑

= ( )( )10 1110(11)(21)4 4 106 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 1540 – 220 + 10 = 1330

(5) 1 1 1 11 1 2 1 3 1 ... n 1 ...

1 2 3 n+ + + + + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 10

n 1

1n 1n=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

= ( )10

n 1n 1

=

+∑

= 10 10

n 1 n 1n 1

= =

+∑ ∑

= ( )10 1110

2+

= 65

6. (1) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... n(n 1)(n 2) ... 10 11 12⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + + + + ⋅ ⋅ = ( )( )

10

n 1n n 1 n 2

=

+ +∑

55

= 10 10 10

3 2

n 1 n 1 n 1n 3 n 2 n

= = =

+ +∑ ∑ ∑

= ( ) ( )( )( ) ( )( )210 11 3 10 11 21 2 10 11

2 6 2⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3025 + 1155 + 110 = 4290

(2) 1 2 2 3 3 4 ... n(n 1) ... 99 100⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + + ⋅

= ( )99

n 1n n 1

=

+∑

= 99 99

2

n 1 n 1n n

= =

+∑ ∑

= ( )( ) ( )99 100 199 99 1006 2

+ = 328350 + 4950 = 333300

(3) จํานวนเต็มระหวาง 1 ถึง 100 ทีห่ารดวย 4 แลวเหลือเศษ 3 คอื 7, 11, 15, ... , 99 อนุกรม 7 + 11 + 15 + ... + (4n + 3) + ... + 99 เขยีนแทนดวย ( )

24

n 14n 3

=

+∑

จะได ( )24

n 14n 3

=

+∑ = 24 24

n 1 n 14 n 3

= =

+∑ ∑

= ( )( ) ( )( )4 24 2524 3

2+

= 1200 + 72 = 1272

ผลบวกของจาํนวนเต็มทัง้หมดระหวาง 1 ถึง 100 ทีห่ารดวย 4 แลวเหลือเศษ 3 เปน 1272

7. (1) ( )

n

i 1

1i i 1= +∑ =

n

i 1

1 1i i 1=

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

Sn = 1 1 1 1 1 1 11 ...2 2 3 3 4 n n 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 11n 1

−+

= nn 1+

S20 = 2021

(2) ( )( )

n

i 1

12i 1 2i 1= − +∑ =

n

i 1

1 1 12 2i 1 2i 1=

⎛ ⎞−⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑

Sn = 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

56

= 1 112 2n 1⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

= n2n 1+

S20 = 2041

(3) ให Sn = ( )( )

n

i 1

1i i 1 i 2= + +∑

จะได a1 = 11 2 3⋅ ⋅

= 1 1 12 1 2 2 3⎛ ⎞−⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

a2 = 12 3 4⋅ ⋅

= 1 1 12 2 3 3 4⎛ ⎞−⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

a3 = 13 4 5⋅ ⋅

= 1 1 12 3 4 4 5⎛ ⎞−⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

an =

( )( )1

n n 1 n 2+ + =

( ) ( )( )1 1 12 n n 1 n 1 n 2⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

= ( ) ( )( )

1 1 1 1 1 1 1...2 2 6 6 12 n n 1 n 1 n 2

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= ( )( )

1 1 12 2 n 1 n 2⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

S20 = 1 1 12 2 21 22⎛ ⎞−⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

= 115462

(4) ( )

n

i 1

1i i 2= +∑ =

n

i 1

1 1 12 i i 2=

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

Sn = 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 2 4 3 5 n n 2⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= 1 1 1 112 2 n 1 n 2⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

= ( )( )

1 3 2n 32 2 n 1 n 2⎛ ⎞+

−⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

S20 = 1 3 432 2 21 22⎛ ⎞−⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

= 325462

8. (1) ให Sn แทนผลบวกของอนกุรมนี ้ Sn = 1 + 2⋅2 + 3⋅22 + 4⋅23 + ... + n⋅2n–1 ---------- (1) (1) 1

5× , 2Sn = 1⋅2 + 2⋅22 + 3⋅23 + ... + (n – 1)⋅2n–1 + n⋅2n ---------- (2)

(1) – (2), –Sn = 1 + (2 – 1)2 + (3 – 2)22 + (4 – 3)23 + … + (n – n + 1)2n-1 – n⋅2n

57

= 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n–1 – n⋅2n –Sn =

nn1(1 2 ) n 2

1 2−

− ⋅−

–Sn = –1(1 – 2n) – n⋅2n Sn = (1 – 2n) + n⋅2n จะได S10 = (1 – 210) + 10⋅210 = –1023 + 10240 = 9217

(2) ให Sn แทนผลบวกของอนุกรมนี ้ Sn = 2 3 n

1 1 1 11 2 3 ... n5 5 5 5⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ---------- (1)

(1) × (2), n1 S5

= 2 3 n n 1

1 1 1 11 2 ... (n 1) n5 5 5 5 +⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ ---------- (2)

(1) – (2), n4 S5

= 2 3 n n 1

1 1 1 1 1(2 1) (3 2) ... (n (n 1)) n5 5 5 5 5 ++ − ⋅ + − ⋅ + + − − ⋅ − ⋅

= 2 3 n n 1

1 1 1 1 1... n5 5 5 5 5 ++ + + + − ⋅

n4 S5

=

n

n 1

1 115 5 1n1 51

5

+

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ − ⋅−

n4 S5

= n n 1

1 1 1(1 ) n4 5 5 +− − ⋅

Sn = n n

5 1 1(1 ) n16 5 4 5

− − ⋅⋅

จะได S10 = 10 9

5 1 1(1 )16 5 2 5

− −⋅

9. (1) ( )22

2n 1n n 1

+

+ =

( )22

1 1n n 1

−+

ให Sn = ( )22

3 5 7 2n 1...1 4 4 9 9 16 n n 1

++ + + +

⋅ ⋅ ⋅ +

= ( )22

1 1 1 1 1 1...1 4 4 9 n n 1

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎝ ⎠

= ( )2

11n 1

−+

= ( )

2

2

n 2nn 1+

+

ผลบวก n พจนแรก เปน ( )

2

2

n 2nn 1+

+

58

(2) ให Sn = 2 1 3 2 2 3 n 1 n...1 2 2 3 3 2 n n 1

− − − + −+ + + +

⋅ ⋅ ⋅ +

= 1 1 1 1 1 1 11 ...22 2 3 3 n n 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 11n 1

−+

ผลบวก n พจนแรก เปน 11n 1

−+

10. (1) เนื่องจาก (n 1)

n 1e

∞− −

=∑ =

n 1

n 1

1e

−∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Sn = 1 1 11 ...2 n 1e e e+ + + + −

= 1

1 1 ne1

1e

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

nnlimS→∞

= n

11 ne

11

e

lim→∞

−

− = e

e 1−

ดังนั้น อนกุรมนี้เปนอนกุรมลูเขา และมผีลบวกเทากับ ee 1−

(2) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 1, –1, 3, –5, 11, ... อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออก

(3) Sn = 9 9 9 9... n2 3100 100100 100

+ + + +

= 9 1

1 n100 1001

1100

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = 1 1

1 n11 100−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

nnlimS→∞

= n

1 11 n11 100

lim→∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 111

ดังนั้น อนกุรมนี้เปนอนกุรมลูเขา และมผีลบวกเทากับ 111

(4) ลําดับผลบวกยอยของอนุกรมนี้คือ 52

, 103

, 154

, 205

, 256

, ..., 5nn 1+

, ...

เนื่องจาก n

5nn 1

lim→∞ +

= 5 ดังนั้น อนกุรมนี้เปนอนกุรมลูเขา และมผีลบวกเทากับ 5

59

(5) 2n 12 2n 1 n (n 1)

∞ +∑= +

= 1 12 2n 1 n (n 1)

∞−∑

= +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Sn = 1 1 1 1 1 1 11 ...2 2 2 2 2 2 22 2 3 3 4 n (n 1)− + − + − + + −

+

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 11 2(n 1)−

+

nnlimS→∞

= n

11 2(n 1)

lim→∞

−+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

ดังนั้น อนกุรมนี้เปนอนกุรมลูเขา และมผีลบวกเทากับ 1 (6) Sn = 1 1 1 1 1 1 1

1 ...2 2 3 3 4 n n 1

− + − + − + + −+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 11

n 1−

+

nnlimS→∞

= n

11

n 1lim→∞

−+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 ดังนั้น อนกุรมนี้เปนอนกุรมลูเขา และมผีลบวกเทากับ 1 (7) อนุกรมที่กําหนดใหเปนอนกุรมเรขาคณิตที่มี a1 = 16

5 และ r = 4

5

เนื่องจาก | r | < 1 อนุกรมนี้จึงเปนอนุกรมลูเขา


= 165

41

5−

= 16

(8) 1

2n 1 4n 1

∞∑= −

= 1 22 (2n 1)(2n 1)n 1

∞∑

+ −=

= 1 1 12 2n 1 2n 1n 1

∞−∑

− +=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Sn = 12

1 1 1 1 1 1 11 ...

3 3 5 5 7 2n 1 2n 1− + − + − + + −

− +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 1 11

2 2n 1−

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

nnlimS→∞

= n

1 11

2 2n 1lim→∞

−+

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 12

ดังนั้น อนกุรมนี้เปนอนกุรมลูเขา และมผีลบวกเทากับ 12

60

11. ใหอนกุรมนี้คอื a1 + a2 + a3 + ... + an + ... โดยที่ an = 2n – 5

จะได ผลบวกของ 15 พจนแรกของอนุกรมนี้ คือ 15

nn 1

a=∑ = 15

(2n 5)n 1

−∑=

= 152 n

n 1∑=

– 155

n 1∑=

= 15(16)22

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

–15(5)

= 240 – 75 = 165

12. (1) ลําดับของจํานวนเตม็ระหวาง 9 กับ 199 ที ่ 8 หารลงตวัคอื 16, 24, 32, ..., 192 เพราะวา an = a1 + (n – 1)8 จะได 192 = 16 + (n – 1)8 n = 192 16 1

8−⎛ ⎞ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

n = 23 จาก Sn = 1 n

n (a a )2

+

จะได S23 = 23(16 192)

2+

= 2392 ดังนัน้ ผลบวกของจํานวนเต็มที่อยูระหวาง 9 กบั 199 ที่ 8 หารลงตวัเทากบั 2392

(2) ลําดับของจํานวนเตม็ระหวาง 9 กับ 199 คือ 10, 11, 12, ..., 198 ซ่ึงมี 189 จํานวน จะได S189 = 189 (10 198)

2+

= 19656 ผลบวกของจาํนวนเต็มทีอ่ยูระหวาง 9 กับ 199 เปน 19656 จะไดผลบวกของจํานวนเตม็ที่อยูระหวาง 9 กบั 199 ที่ 8 หารไมลงตวัเปน 19656 – 2392 = 17264

13. (1) e (2) π (3) ln 2

add m6-2-chapter1

Documents