add m4-2-chapter1

คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔

ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม

พ.ศ. ๒๕๔๗

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ

บทที่ 1ระบบสมการเชิงเสนและเมทริกซ

( 20 ชั่วโมง )

เมทริกซเปนสาระการเรียนรูที่มีประโยชนอยางมากเพราะใชเปนเครื่องมือในการแกปญหาทางคณิตศาสตร ซ่ึงเกี่ยวของกับการทํางานหรือการวางแผนเพื่อตัดสินใจในการลงทุน ตลอดจนสามารถนําไปประยุกตใชทางวิทยาศาสตรและคณิตศาสตรในระดับสูง ซ่ึงในบทเรียนนี้จะเริ่มตนจากการทบทวนความรูของผูเรียนในการแกระบบสมการเชิงเสน แลวจึงใหความรูเกี่ยวกับเมทริกซตามหัวขอดังนี้ สัญลักษณของเมทริกซ สมบัติของเมทริกซ ดีเทอรมิแนนต การใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสนโดยวิธีดีเทอรมิแนนต และโดยวิธีการดําเนินการตามแถวเบื้องตน นอกจากนี้ผูเรียนจะไดเห็นความสําคัญของสมบัติของจํานวนจริงซึ่งจะนํามาใชในการพิสูจนสมบัติตาง ๆ ของเมทริกซ

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับเมทริกซ และการดําเนินการของเมทริกซ2. หาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ n × n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกไมเกินสี่3. วิเคราะหและหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนได

ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเร่ิมสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริม ใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยาง เปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง






พ.ศ. ๒๕๔๗



2

ขอเสนอแนะ1. การแนะนําใหรูจักเมทริกซ ผูสอนอาจใชตัวอยางเหตุการณในชีวิตประจําวัน เชน รายการ

แสดงราคาอาหารกวยเตี๋ยว ธรรมดา 20 บาท พิเศษ 25 บาทขาวราดแกง ธรรมดา 15 บาท พิเศษ 20 บาท

เมื่อตัดขอความออกจะเหลือตัวเลข ถาลอมตัวเลขดวยวงเล็บ [ ] หรือ ( ) จะไดส่ิงที่วิชาคณิตศาสตรเรียกวา เมทริกซ เชน

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡20152520 หรือ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛20152520

มีขอสังเกตวา เราจะไมนิยามวา เมทริกซคืออะไร แตจะใชวิธียกตัวอยางเมทริกซ เมทริกซที่อยูในบทเรียนนี้เปนเมทริกซที่สมาชิกของเมทริกซเปนจํานวนจริง แตโดยทั่วไปสมาชิกของเมทริกซ ไมจําเปนตองเปนจํานวนจริงเสมอไป สมาชิกของเมทริกซอาจเปนจํานวนเชิงซอนก็ได

2. ผูสอนควรเนนใหผูเรียนเขาใจเรื่องมิติของเมทริกซ โดยผูเรียนตองบอกมิติไดถูกตอง เพราะจะนําไปใชในการตัดสินใจวาเราจะนําเมทริกซมาบวกกันหรือคูณกันไดหรือไม

3. ตัวอักษรแทนเมทริกซกับสมาชิกของเมทริกซนิยมใชตัวอักษรสัมพันธกัน คือ นิยมใชอักษรภาษาอังกฤษตัวใหญแทนเมทริกซและอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กแทนสมาชิกของเมทริกซโดยตองเปนอักษรเดียวกัน เชน ถาใช D แทนเมทริกซ จะใช dij เปนสมาชิก เพื่อใหผูเรียนคุนเคยกับสัญลักษณ ดังกลาว ผูสอนอาจกําหนดเมทริกซดังนี้

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−3412 , B = [–1 7 5] , C = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−2315210

แลวใหผูเรียนหา a21, b13, c23

4. ผูสอนตองเนนความสําคัญของการบอกตําแหนงของสมาชิกของเมทริกซ เชน a23 กับ a32 เปนสมาชิกของ A ที่อยูคนละตําแหนง

5. ในการเขียนเมทริกซ A ที่มีมิติ m × n ถา m หรือ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 10 การเขียนสมาชิกในรูป aij เมื่อ i > 10 หรือ j > 10 จะทําใหสับสน เชน a123 อาจแทนสมาชิก ในแถวที่ 12 หลักที่ 3 หรืออาจแทนสมาชิกแถวที่ 1 หลักที่ 23 ก็ได ดังนั้น จึงนิยมเขียนแสดงสมาชิกของ A เชนนี้ในรูป aij แลวบอกคาของ i และ j กํากับไว เชน aij, i = 12, j = 3 เปนตน

20 2515 20






พ.ศ. ๒๕๔๗



3

6. ในหนังสือบางเลมใชสัญลักษณ In แทนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ n × n เชนI2 แทนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 2 × 2I3 แทนเมทริกซเอกลักษณการคูณมิติ 3 × 3 เปนตน

สําหรับในหนังสือเรียนสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 นี้จะใช I แทนเมทริกซจัตุรัสที่เปนเอกลักษณการคูณ ซ่ึงจะมีมิติเทาใดนั้นขึ้นอยูกับมิติของเมทริกซที่เกี่ยวของในขณะนั้น

7. ในการหาตัวผกผันภายใตการคูณของเมทริกซ A ที่เปนเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐานในหนังสือเรียนไมไดแสดงวิธีหา A–1 = Aadj

)Adet(1 ไว เนื่องจากตองการใหผูเรียนไดลองทําดวยตนเอง

ในกรณีที่ผูสอนตองการอธิบาย อาจแสดงไดดังนี้

เนื่องจาก A(adj A) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C)A(C

332313

322212

312111

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++++++++++++++

)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(CaACa)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(CaACa)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(Ca)A(CaACa)A(Ca)A(Ca

333332323131233322322131133312321131

332332223121232322222121132312221121

331332123111231322122111131312121111

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)Adet(000)A(det000)Adet(

= det (A)⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

= det (A) I

ในทํานองเดียวกัน จะได (adj A)A = det (A)I นั่นคือ A(adj A) = (adj A)A = det(A)I

จาก det(A)I = (adj A)Aถา A เปนเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐาน






พ.ศ. ๒๕๔๗



4

จะได ((adj A)A)A–1 = ((det(A)I)A–1

(adj A)(AA–1) = det (A)(IA–1)(adj A)(I) = det(A)A–1

adj A = det(A)A–1

นั่นคือ A–1 = adjA)Adet(

1

หมายเหตุ ถาผูเรียนมีขอสงสัยวาเหตุใดa11C21(A) + a12C22(A) + a13C23(A) = 0ผูสอนอาจจะใหผูเรียนชวยกันหา Cij(A) แลวลองแทนคาดู

8. กอนสอนสมบัติของเมทริกซควรทบทวนสมบัติของจํานวนจริงกอน การทบทวนนี้มีประโยชนคือเปนการทบทวนสมบัติและนําสมบัติของจํานวนจริงไปใชดวย

9. หลังจากการสอนสมบตัติาง ๆทีเ่กีย่วกบัเมทรกิซแลว อาจใหผูเรียนชวยกนัสรปุสมบตัขิองเมทรกิซเกี่ยวกับการบวก การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง และการคูณเมทริกซดวยเมทริกซเปรียบเทียบกันดังนี้

เมื่อ S เปนเซตของ n × n เมทริกซ A, B, C ∈ S และ c, d เปนจํานวนจริง

สมบัติ การบวกเมทริกซดวยเมทริกซ

การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง

การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ

1. การปด

2. การเปลี่ยนกลุมได

3. การมีเอกลักษณ

4. การมีตัวผกผัน

5. การสลับที่

6. การแจกแจง

A + B ∈ S

A+(B+C) = (A+B)+C

เอกลักษณคือ 0

–A เปนตัวผกผันการบวกของ A

A + B = B + A

cA ∈ S

(cd)A = c(dA)

เอกลักษณคือ 1

c(A+B) = cA + cB(c + d)A = cA + dA

AB ∈ S

A(BC) = (AB)C

เอกลักษณคือ I

มีตัวผกผันเฉพาะเมทริกซซ่ึงมิใชเมทริกซเอกฐาน

โดยทั่วไป AB ≠ BA

A(B+C) = AB + AC(B + C)A = BA + CA






พ.ศ. ๒๕๔๗



5

10. ควรเนนใหผูเรียนสังเกตสมบัติบางประการของเมทริกซที่ไมเหมือนกับจํานวนจริง เชน

จํานวนจริง เมทริกซ1. ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0

2. ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c

3. ab = ba และจากสมบัตินี้ทําให (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

และ (a + b)(a – b) = a2 – b2

1. ถา AB = 0 แลว ไมจําเปนที่ A หรือ B จะตองเปนเมทริกซศูนย เชน ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1122

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

2. ถา AB = AC แลว ไมจําเปนที่ B ตองเทากับ C เชน ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

3322

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1241 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

3322

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−23

12 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

9362

แต ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1241 ≠ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−23

12

3. AB ไมจําเปนตองเทากับ BA และจากสมบัตินี้ ทําให (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2

แต (A + B)2 = A2 +AB + BA + B2

และ (A + B)(A – B) ≠ A2 – B2

แต (A + B)(A – B) = A2 – AB + BA – B2

ตัวอยางของเมทริกซที่ใชแสดงสมบัติขอ 1 และ 2 ตองเปนเมทริกซเอกฐานเพราะสมบัติดังกลาวจะเปนจริงสําหรับเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐานเทานั้น

11. หลังจากที่สอนเรื่องดีเทอรมิแนนต และทําแบบฝกหัดแลว ผูสอนและผูเรียนควรชวยกันสรุปสมบัติของดีเทอรมิแนนตของ 2 × 2 เมทริกซดังนี้

1) det (AB) = (det A)(det B)2) ถา A เปนเมทริกซซ่ึงมิใชเอกฐานมิติ 2 × 2 แลว

det (A–1) det (A) = 1 det (At) = det A det (cA) = c2 det(A) เมื่อ c เปนจํานวนจริง






พ.ศ. ๒๕๔๗



6

12. การแกระบบสมการเชิงเสนอาจทําไดหลายวิธี ผูเรียนอาจจะรูสึกวาการแกระบบสมการโดยใชเมทริกซหรือดีเทอรมิแนนตเปนวิธีที่ชากวาวิธีที่เคยใชกันมา (วิธีกําจัดตัวแปร) ผูสอนควรจะอธิบายวาการแกสมการโดยใชเมทริกซนั้นเหมาะสมกับระบบสมการที่มีหลายตัวแปร และเปนวิธีที่จะนําไปใชกับเครื่องคอมพิวเตอรได

การแกระบบสมการโดยวิธีกําจัดตัวแปรทีละตัว เปนวิธีลัดของการหาระบบสมการที่สมมูลกับระบบสมการเดิม เชน

ระบบสมการ x + 2y = 42x + 3y = 7

สมมูลกับระบบสมการ x + 2y = 4

y = 1และสมมูลกับระบบสมการ x = 2

y = 1เพราะคําตอบของระบบสมการทั้งสามคือ (2, 1)จะเห็นวาการเขียนระบบสมการที่สมมูลกันเปนชุด ๆ ทําใหเสียเวลา จึงทําวิธีลัดคือ

x + 2y = 4 ---------- (1)2x + 3y = 7 ---------- (2) y = 1 ---------- (3)

แทนคา y ใน (1) ดวย 1 จะได x = 2คําตอบของระบบสมการคือ (2, 1)

การหาระบบสมการที่สมมูลกันเรามีวิธีดังนี้1) สลับลําดับที่ของสมการสองสมการใด ๆ ได2) ใชจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมใชศูนย ไปคูณจํานวนทุกจํานวนในสมการใด ๆ ได3) นําจํานวนจริงไปคูณจํานวนทุกจํานวนในสมการหนึ่ง แลวนําสมการใหมที่ไดไปบวก

หรือลบกับอีกสมการหนึ่งได

ในการสอนเรื่องการแกระบบสมการโดยวิธีการดําเนินการตามแถว ผูสอนอาจจะโยงใหเห็นความสัมพันธกับการแกระบบสมการโดยการหาระบบสมการที่สมมูลกัน โดยเขียนเมทริกซแตงเติมจากระบบสมการดังกลาว และแสดงวิธีหารากของระบบสมการโดยวิธีหาระบบสมการที่สมมูลกันไดดังนี้






พ.ศ. ๒๕๔๗



7

x + 2y = 4 ---------- (1) เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 2 4 2x + 3y = 7 ---------- (2) 2 3 7

สรางระบบสมการใหมเพื่อใหสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการที่ (2) เปน 0 โดยนํา 2 ไปคูณจํานวนทั้งสองขางของสมการ (1) และนําแตละขางของสมการไปลบจาก (2) จะได

x + 2y = 4 ---------- (3) เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 2 4 –y = –1 ---------- (4) 0 –1 –1

สรางระบบสมการใหมเพื่อใหสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการที่ (3) เปน 0 โดยนํา 2 ไปคูณจํานวนทั้งสองขางของสมการ (4) แลวนําแตละขางของสมการไปบวกกับ (3) จะได

x = 2 ---------- (5) เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 0 2 –y = –1 ---------- (6) 0 –1 –1

สรางระบบสมการใหมเพื่อใหสัมประสิทธิ์ของ y ในสมการที่ (6) เปน 1 โดยนํา –1 คูณจํานวนทั้งสองขางของสมการ (6) จะได

x = 2 เขียนเปนเมทริกซแตงเติม คือ 1 0 2 y = 1 0 1 1

คําตอบของสมการนี้คือ (2, 1)

13. ในการสอนเรื่องการใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสน ผูสอนควรเนนใหผูเรียนทําความเขาใจความรูพื้นฐานวา ในการหาคําตอบของระบบสมการนั้น คําตอบของระบบสมการจะไมเปล่ียนแปลงเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงสมการในระบบดวยวิธีตาง ๆ ตอไปนี้

1) การสลับที่ระหวางสมการสองสมการใด ๆ ในระบบ2) การใชคาคงตัวที่ไมใชศูนยคูณทุก ๆ พจนของจํานวนทั้งสองขางของเครื่องหมายเทากับ3) การเปลี่ยนสมการใดสมการหนึ่งในระบบโดยใชคาคงตัวที่ไมใชศูนยคูณทุก ๆ พจนของ

จํานวนทั้งสองขางของเครื่องหมายเทากับในสมการที่ตองการเปลี่ยนแปลง และสมการอื่นอีกสมการหนึ่งในระบบ (ใชคาคงตัวคนละจํานวน) แลวนํามาบวกหรือลบกันเปนสมการใหมที่นํามาใชแทนสมการเดิม






พ.ศ. ๒๕๔๗



8

ความรูพื้นฐานขางตนนี้สามารถนํามาใชในการหาคําตอบของระบบสมการคือ ใชในการเปลี่ยนรูปเมทริกซแตงเติมใหอยูในรูป [I C] โดยการทําสมาชิก aij เมื่อ i ≠ j ในแตละหลักใหเปนศูนยใหหมดโดยเริ่มจากหลักที่ 1 กอน ซ่ึงในการทําให aij = 0 นั้น ทําไดโดยการใชคาคงตัวที่เหมาะสม ดําเนินการตามวิธีการในขอ 3 (ขางตน) หลาย ๆ คร้ัง นั่นคือ เปล่ียนแปลงแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ โดยใชคาคงตัวที่ไมใชศูนยสองจํานวน จํานวนแรกคูณสมาชิกทุกตัวในแถวที่จะเปลี่ยนจํานวนที่สอง คูณสมาชิกทุกตัวในแถวอื่น แลวนําผลคูณมาบวกกันโดยบวกสมาชิกในลําดับเดียวกันเขาดวยกัน และใชผลบวกแทนที่สมาชิกในแถวที่จะเปลี่ยนนั้น วิธีการดังกลาวนี้เปนการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนที่รวดเร็ววิธีหนึ่ง แตจะไมเรียกวาเปน “การแกระบบสมการเชิงเสนโดยวิธีการดําเนินการตามแถว”

14. ถาแบงระบบสมการเชิงเสนตามจํานวนคําตอบของระบบสมการ จะสามารถแบงได 3 แบบคือ1) ระบบสมการที่มีคําตอบเดียว2) ระบบสมการที่มีคําตอบนับไมถวน3) ระบบสมการที่ไมมีคําตอบ

ซ่ึงในหนังสือเรียนผูเรียนจะไดพบระบบสมการเชิงเสนทั้งที่มีคําตอบเดียว คําตอบนับไมถวน และไมมีคําตอบ

ตัวอยาง ระบบสมการที่มีหลายคําตอบx + 2y + z = 5

x + 3y + 2z = 8 x + 4y + 3z = 11

เขียนเมทริกซแตงเติมไดดังนี้

∼ R2 – R1

R3 – R1

R1 – 2R2

∼R3 – 2R2

1 2 1 51 3 2 81 4 3 11

1 2 1 50 1 1 30 2 2 6

1 0 –1 –10 1 1 30 0 0 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



9

จากเมทริกซแตงเติมสุดทายจะพบวา ไมสามารถทําใหสมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 3 เปน 1 ได ดังนั้น ระบบสมการนี้คือ

x – z = –1y + z = 3

ถาให z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริง จะไดวา x = k – 1, y = 3 – kดังนั้น คําตอบจึงมีมากมายนับไมถวน เขียนไดในรูป (k – 1, 3 – k, k)

เมื่อ k เปนจํานวนจริง

ตัวอยาง ระบบสมการที่ไมมีคําตอบx + y + 2z = 3x + 3y + 2z = 9x – y + 2z = –1

เขียนเปนเมทริกซแตงเติมไดดังนี้

∼ R2 – R1

R3 – R1

∼ 2R

21

R1 – R2

∼

จากแถวสุดทายจะไดวา 0x + 0y + 0z = 2 ซ่ึงเปนไปไมได เพราะไมมี x, y, z ใดที่ทําให สมการนี้เปนจริง ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ

1 1 2 31 3 2 91 –1 2 –1

1 1 2 30 2 0 60 –2 0 – 4

1 1 2 30 1 0 30 –2 0 – 4

1 0 2 00 1 0 30 0 0 2 R3 + 2R2






พ.ศ. ๒๕๔๗



10

15. ในการสอนเรื่องระบบสมการเชิงเสน ผูสอนควรฝกใหผูเรียนมีทักษะในการเปลี่ยน ระบบสมการใหอยูในรูปเมทริกซแตงเติมและในทางกลับกัน เมื่อกําหนดเมทริกซแตงเติมที่แทน ระบบสมการมาให ผูเรียนควรเปลี่ยนใหอยูในรูประบบสมการไดเชนเดียวกัน เชน

จากระบบสมการ 3x + 2y – z = 5x – 2y + 3z = 23x – y + 3z = 0

สามารถเขียนในรูปเมทริกซแตงเติมไดคือ

และถามีเมทริกซแตงเติมคอื

เขียนเปนระบบสมการไดดังนี้x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 1 หรือ x + 2y + z + 4t = 13x1 – 2x2 + x3 = 2 3x – 2y + z = 2x1 + 5x2 – 4x3 + 3x4 = 0 x + 5y – 4z + 3t = 02x1 + x2 – 8x4 = 4 2x + y – 8t = 4

3 2 –1 51 –2 3 23 –1 3 0

1 2 1 4 13 –2 1 0 21 5 – 4 3 02 1 0 –8 4






พ.ศ. ๒๕๔๗



11

กิจกรรมเสนอแนะ

สัญลักษณแทนเมทริกซ1. ผูสอนยกตัวอยางเมทริกซที่มีมิติตาง ๆ กัน แลวถามผูเรียนวา แตละเมทริกซมีกี่แถวกี่หลัก

หลังจากนั้นแนะนําว า ถา เมทริกซใดมี m แถว และ n หลัก จะเรียกเมทริกซนั้นวา เมทริกซมิติ m × n หรือ m × n เมทริกซ

2. ผูสอนแนะนําสัญลักษณแทนเมทริกซที่ใชในรูปทั่ว ๆ ไป และตกลงเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนเมทริกซกับสัญลักษณแทนสมาชิกของเมทริกซ ซ่ึงสัญลักษณที่ใชควรจะสัมพันธกัน เชน ถาใช D เปนชื่อของเมทริกซ แลวเราจะใชอักษร dij แทนสมาชิกของเมทริกซ D เปนตน

3. ผูสอนแนะนําทรานสโพสของเมทริกซและใหผูเรียนฝกหาทรานสโพสของเมทริกซโดยกําหนดเมทริกซให

การบวกเมทริกซ1. ผูสอนยกตัวอยางการเขียนเมทริกซโดยใชเร่ืองที่เกี่ยวกับชีวิตจริง เชน

ตัวอยางที่ 1 ในชวงปดเทอมปานรุง และปานวาด ออกมาชวยแมขายผลไม ผลของการขายสองวันแรกเปนดังนี้

ปานรุง ปานวาดวันแรก วันที่สอง วันแรก วันที่สอง

มังคุด (กิโลกรัม)เงาะ (กิโลกรัม)ทุเรียน (กิโลกรัม)

503020

404518

322530

203020

ใหผูเรียนหาวารวมกันแลวทั้งปานรุงและปานวาดขายผลไมแตละชนิดในแตละวันไดเทาไร






พ.ศ. ๒๕๔๗



12

ตัวอยางที่ 2 ผลผลิตขาวของนายบุญและนายเติมในปนี้สรุปไดดังนี้

นายบุญ นายเติมคร้ังที่ 1 คร้ังที่ 2 คร้ังที่ 1 คร้ังที่ 2

ขาวเจา (เกวียน)ขาวเหนียว (เกวียน)

10250

8030

200100

150 50

ใหผูเรียนหาผลรวมของผลผลิตขาวของนายบุญและนายเติม แตละชนิดในแตละครั้ง

2. เมื่อผูเรียนคุนเคยกับการบวกจํานวนจากตารางแลว ผูสอนจึงใหบทนิยาม การบวก เมทริกซโดยเนนวา เมทริกซที่จะบวกกันไดตองมีมิติเหมือนกัน

3. ผูสอนแนะนําเมทริกซศูนยและใหผูเรียนสังเกตวา เมทริกซศูนยบวกกับเมทริกซใด จะไดเมทริกซนั้น

4. เมื่อผูเรียนสามารถบวกเมทริกซไดถูกตองแลว ผูสอนอาจถามคําถามเพื่อเปนพื้นฐาน ในการสอนสมบัติในหัวขอตอ ๆ ไปดังนี้

1) เมื่อ A, B เปน m × n เมทริกซ ซ่ึงมีสมาชิกเปนจํานวนจริง A + B จะมีสมาชิกเปน จํานวนจริงหรือไม และมิติของ A + B เปน m × n หรือไม2) เมื่อ A, B, C เปน m × n เมทริกซ

(A + B) + C = A + (B + C) เปนจริงเสมอไปหรือไม3) ถา A เปน m × n เมทริกซใด ๆ เมทริกซที่บวกกับ A แลวได A ไดแกเมทริกซใด

4) ถา A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

เมทริกซที่บวกกับ A แลวได 0 ไดแกเมทริกซใด

การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง1. กําหนดเมทริกซ A ใหผูเรียนหา A + A แลวใหสังเกตผลลัพธจะพบวา สมาชิกแตละ

ตําแหนงของ A + A จะมีคาเปน 2 เทาของสมาชิกในแตละตําแหนงของ A2. ผูสอนใหบทนิยามการคูณดวยจํานวนจริง แลวใหผูเรียนฝกทักษะจากการทําแบบฝกหัด






พ.ศ. ๒๕๔๗



13

3. ผูสอนอาจใหโจทยเกี่ยวกับสมบัติของการคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง ดังนี้

ถา A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321 , B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡8765

จงหา 1) (2 + 3)A และ 2A + 3A แลวเปรียบเทียบผลลัพธที่ได2) 5(A + B) และ 5A + 5B แลวเปรียบเทียบผลลัพธที่ได3) (2 × 3)A และ 2(3A) แลวเปรียบเทียบผลลัพธที่ได

การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ1. เพื่อใหผูเรียนเห็นคุณคาของการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ ผูสอนอาจเริ่มตนดวยปญหา เชน

นายชางตองการหาวาถาซื้อประตู 5 บาน หนาตาง 8 บาน จะตองจายเงินทั้งหมดกี่บาท เมื่อประตูบานละ 2000 บาท หนาตางบานละ 800 บาท จากปญหาดังกลาว

ถานํามาเขียนเมทริกซจะได

จํานวน [ ]85 และ หนาตางประตู

800 2000

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

จะตองจายเงินทั้งหมด [ ]85 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡800

2000

= [ ]16400 2. เร่ิมตนโดยการคูณเมทริกซที่มีแถวเดียวกับเมทริกซที่มีหลักเดียว3. หาผลคูณของเมทริกซที่มีหลายแถวกับเมทริกซที่มีหลักเดียว4. ใหบทนิยามการคูณเมทริกซโดยเนนวาเมทริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อจํานวนหลักของ

เมทริกซแรกเทากับจํานวนแถวของเมทริกซหลัง5. ใหสังเกตผลคูณ AB กับ BA และ (AB)C กับ A(BC) และยกตัวอยางเมทริกซที่ AB ≠ BA

สมบัติเกี่ยวกับการบวกเมทริกซผูสอนควรทบทวนสมบัติของจํานวนจริงกอน และในการสอนเกี่ยวกับสมบัติของการบวก

เมทริกซ อาจจะใหผูเรียนสังเกตตัวอยางแลวใหหาขอสรุป จากนั้นจึงพิสูจนสมบัติดังกลาวอีกครั้งหนึ่งเชน ผูสอนอาจเริ่มตนดังนี้

ประตู หนาตาง ราคา






พ.ศ. ๒๕๔๗



14

ขั้นท่ี 1 กําหนดให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321 , B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡8765 แลวใหหา A + B และ B + A

แลวดูผลวา A + B = B + A หรือไม

ขั้นท่ี 2 กําหนดให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa , B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

bbbb

จงหา A + B และ B + A แลวดูผลวา A + B = B + A หรือไม

ขั้นท่ี 3 ผูสอนตั้งคําถามวา ถา A, B เปนเมทริกซใด ๆ ที่มีมิติเทากันA + B = B + A เสมอไปหรือไม แลวชวยกันพิสูจนในรูปทั่วไปดังนี้ให A และ B เปนเมทริกซมิติ m × n

A + B = +

=

B + A =

เมื่อเปรียบเทียบผลลัพธของ A + B และ B + A แลวพบวา สมาชิกในตําแหนงเดียวกันเทากัน เพราะสมาชิกแตละตัวเปนจํานวนจริงและการบวกจํานวนจริงมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ การบวกเมทริกซมีสมบัติการสลับที่

การสอนสมบัติอ่ืนๆ อาจใชขั้นตอน 3 ขั้นตอนตามที่กลาวมา

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

M M M

am1 am2 ... amn

b11 b12 ... b1n

b21 b22 ... b2n

M M M

bm1 bm2 ... bmn

(a11 + b11) (a12 + b12) ... (a1n + b1n)(a21 + b21) (a22 + b22) ... (a2n + b2n) M M M(am1 + bm1) (am2 + bm2) ... (amn + bmn)

(b11 + a11) (b12 + a12) ... (b1n + a1n)(b21 + a21) (b22 + a22) ... (b2n + a2n) M M M(bm1 + am1) (bm2 + am2) ... (bmn + amn)






พ.ศ. ๒๕๔๗



15

สมบัติการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ1. ผูสอนกําหนดให S เปนเซตของ 2 × 2 เมทริกซ

และ A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

aaaa , B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

bbbb เปนสมาชิกใด ๆ ใน S

ใหผูเรียนหา AB แลวตอบคําถามก. สมาชิกของ AB เปนจํานวนจริงหรือไมข. มิติของ AB เปน 2 × 2 หรือไมผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปวา ถา A, B ∈ S แลว AB ∈ Sนั่นคือ S มีสมบัติปดของการคูณ2. ผูสอนใหผูเรียนยกตวัอยางเมทรกิซ A, B ทีเ่ปน 2 × 2 เมทรกิซ ซ่ึง AB = BA และ AB ≠ BA3. ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางเมทริกซ A, B, C ซ่ึงเปน 2 × 2 เมทริกซ แลวใหหา (AB)C

กับ A(BC) แลวเปรียบเทียบผลคูณของเมทริกซที่ไดวาเทากันหรือไม4. ใหผูเรียนพิสูจนวา (AB)C = A(BC) เมื่อ A, B, C เปน 2 × 2 เมทริกซ5. ใหผูเรียนหาเมทริกซที่คูณกับ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba แลวได ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

ผูสอนบอกผูเรียนวา เรียกเมทริกซที่คูณกับเมทริกซใดแลวไดเมทริกซนั้นวา เอกลักษณการคูณหรือเมทริกซเอกลักษณและเขียนแทนดวย I

6. ผูสอนยกตัวอยาง 2 × 2 เมทริกซ ที่มีตัวผกผัน เชน ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2112

ใหผูเรียนหาเมทริกซที่คูณกับเมทริกซที่กําหนดใหแลวได I โดยสมมุติ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

เปนเมทริกซที่ตองการหา แลวหาคาของ x1, x2, x3, x4 จากสมการ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2112

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

เรียก ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx วา ตัวผกผันการคูณของ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2112 และ เรียก ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2112 วาตัวผกผันการคูณ

ของ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

7. ผูสอนกําหนดเมทริกซ A มิติ 2 × 2 ใด ๆ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba แลวใหผูเรียนหาตัวผกผันของ A

ตามวิธีการในหนังสือเรียน พรอมทั้งแนะนําสัญลักษณ A–1 ซ่ึงผูเรียนควรจะสรุปไดวาเมทริกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

จะมีตัวผกผันก็ตอเมื่อ ad – bc ≠ 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



16

ตัวอยางกิจกรรม “รหัสลับกับเมทริกซ”สําหรับกิจกรรมนี้ถาโรงเรียนใดมีเครื่องคิดเลขกราฟกหรือคอมพิวเตอรก็สามารถนํามาใชเปน

เครื่องมือชวยในการคํานวณได และกอนที่จะเริ่มลงมือทํากิจกรรม ผูสอนควรใหความรูกับผูเรียน เพื่อความเขาใจที่ถูกตองตรงกัน ดังนี้

ความรูพ้ืนฐานมนุษยเราใชความรูในเรื่องของจํานวนและตัวเลขสรางประโยค หรือขอความสื่อสารกันในรูป

ของรหัสเพื่อใหผูรับและผูสงเทานั้นที่สามารถทราบความหมายของรหัสนั้นได เชน ใชระบบเลขฐานสองใชมอดูโล เปนตน

เราอาจใชตัวเลข 1 ตัวแทนตัวอักขระภาษาอังกฤษ 1 ตัวและเขียนขอความนั้นใหอยูในรูปของเมทริกซ ซ่ึงเรียกวา เมทริกซขอความ การกําหนดตัวเลขที่ใชแทนตัวอักขระนั้นจะกําหนดไดมากมายหลายรูปแบบตามแตผูสรางรหัสจะกําหนดตัวอยาง

ตัวอยางตารางกําหนดตัวเลขแทนตัวอักขระ

ชองวาง ? หรือ • A B C D E0 1 2 3 4 5 6

F G H I J K L7 8 9 10 11 12 13

M N O P Q R S14 15 16 17 18 19 20

T U V W X Y Z21 22 23 24 25 26 27






พ.ศ. ๒๕๔๗



17

จากประโยคภาษาอังกฤษใด ๆ เมื่อแบงกลุมคําออกเปนกลุม ๆ กลุมละ 2 ตัวอักขระ จะเขียนแทนตัวอักขระนั้นดวยตัวเลข โดยเขียนอยูในรูปเมทริกซมิติ 1 × 2 ตัวอยางเชนประโยค I LOVE MY PARENT. เขียนแทนดวยเมทริกซตาง ๆ ดังนี้

I L O V E M Y P A R E N T . [10 0] [13 16] [23 6] [0 14] [26 0] [17 2] [19 6] [15 21] [1 0]

จากเมทริกซขอความขางตนเมื่อเทียบกับตารางกําหนดตัวเลขแทนตัวอักขระ ทุกคนก็สามารถแปลงตัวเลขในเมทริกซใหเปนตัวอักขระได ดังนั้นเพื่อใหรูกันเฉพาะผูสงรหัสและผูรับรหัส จึงตองมีการเปล่ียนเมทริกซขอความดังกลาวไปเปนเมทริกซอ่ืน ซ่ึงจะเรียกวาเมทริกซรหัสลับ การเปลี่ยนเมทริกซขอความไปเปนเมทริกซรหัสลับ ทําไดโดยนําเมทริกซสรางรหัส ไปคูณเมทริกซขอความ

เมทริกซสรางรหัส จะเปนเมทริกซมิติ 2 × 2 ที่มีตัวผกผันการคูณ เราจะใชเมทริกซสรางรหัสไปคูณเมทริกซขอความ ทําใหไดเมทริกซรหัสลับ เชน

กําหนดเมทริกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3725 เปนเมทริกซสรางรหัส

เมทริกซขอความเดิม × เมทริกซสรางรหัส ⇒ เมทริกซรหัสลับ

[10 0] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3725 จะไดเมทริกซรหัสลับเปน [50 20]

[13 16] ⎥⎦

⎤⎢⎣


[23 6] ⎥⎦

⎤⎢⎣


[0 14] ⎥⎦

⎤⎢⎣


[26 0] ⎥⎦

⎤⎢⎣


[17 2] ⎥⎦

⎤⎢⎣







พ.ศ. ๒๕๔๗



18

เมทริกซขอความเดิม × เมทริกซสรางรหัส ⇒ เมทริกซรหัสลับ

[19 6] ⎥⎦

⎤⎢⎣


[15 21] ⎥⎦

⎤⎢⎣


[1 0] ⎥⎦

⎤⎢⎣


รหัสลับที่เปนขอความที่จะสงคือ เมทริกซ ตอไปนี้[50 20] [177 74] [157 64] [98 42] [130 52] [99 40] [137 56] [222 93] [5 2]

ในการแปลงรหัสลับนี้กลับไปเปนขอความที่จะอานไดตองแปลงเมทริกซรหัสลับนี้ไปเปน เมทริกซขอความเดิมกอน โดยใชเมทริกซถอดรหัสซึ่งเปนตัวผกผันการคูณของเมทริกซสรางรหัสไปคูณกับเมทริกซรหัสลับที่ไดมา เมทริกซถอดรหัสซึ่งเปนตัวผกผันการคูณของเมทริกซสรางรหัส

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3725 คือ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−5723 ซ่ึงจะใชเมทริกซนี้ไปแปลงเมทริกซรหัสลับกลับไปเปนเมทริกซขอความเดิม

เชน [50 20] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−5723 จะไดเมทริกซเดิมคือ [10 0] ซ่ึงแปลกลับไปเปนตัวอักษรได ทําให

สามารถอานขอความที่สงรหัสลับมาใหไดถูกตอง

กิจกรรม 1. ผูสอนอธิบายเรื่องการเขียนรหัสและการถอดรหัสของเมทริกซตามที่ไดกลาวไวในความรูพื้นฐาน ดังนี้

– การกําหนดตัวเลขแทนตัวอักขระ– การเขียนขอความใหอยูในรูปของเมทริกซขอความ– การแปลงเมทริกซขอความใหเปนเมทริกซรหัสลับ– การแปลงเมทริกซรหัสลับกลับมาเปนเมทริกซขอความเดิมโดยใชเมทริกซ ถอดรหัส

2. ใหผูเรียนแตละกลุมสรางเมทริกซรหัสลับโดยผูสอนกําหนดเมทริกซสรางรหัสให3. ใหแตละกลุมแขงกันแปลรหัสลับที่กลุมอื่น ๆ สรางไว โดยใชเครื่องคิดเลขกราฟก

หรือคอมพิวเตอร (ถามี) ชวยในการหาผลคูณของเมทริกซหรือหาเมทริกซถอดรหัส






พ.ศ. ๒๕๔๗



19

4. ใหผูเรียนลองสรางเมทรกิซแทนขอความโดยตวัอักขระ 2 ตวั จะเขยีนแทนดวยตวัเลขซ่ึงอยูในเมทริกซมิติ 2 × 1 ดูบาง โดยใชหลักเกณฑเชนเดียวกับการสรางเมทริกซมิติ 1 × 2

คาํถาม 1) ถาสรางเมทรกิซแทนขอความโดยจะใชเมทรกิซมติ ิ 1 × 3 แทนตวัอักขระ 3 ตวั เชน [4 2 21] แทนคําวา CATเมทริกซที่จะใชเปนเมทริกซสรางรหัส จะตองมีมิติเทาไร

2) จงถอดรหัสตอไปนี้ ถาเมทริกซสรางรหัส (X) คือ คําตอบของสมการAX = C เมื่อ

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3211 , C = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡829311

เมทริกซรหัสลับไดแก [159 44] [227 62]






พ.ศ. ๒๕๔๗



20

ใบกิจกรรม รหัสลับกับเมทริกซ (1)

1. เปล่ียนขอความตอไปนี้ใหอยูในรูปเมทริกซรหัสลับLIFE IS LIFE.

ขอความ L I F E - I S - L I F E ⋅ -รหัสตัวเลขเมทริกซขอความ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

ถากําหนดให A เปนเมทริกซสรางรหัสมีมิติ 2 × 2โดยที่ a11 = –3, a12 = –1 , a21 = 7 และ a22 = 2

เมทริกซรหัสลับ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. จงสรางเมทริกซรหัสลับของขอความตอไปนี้ เมื่อใชเมทริกซ A ในขอ 1 เปนเมทริกซสรางรหัสTODAY IS BETTER THAN TWO TOMORROWS.

3. จงถอดรหัสตอไปนี้ ถาเมทริกซรหัสลับตอไปนี้สรางขึ้นมาดวยเมทริกซสรางรหัส A ในขอ 1 [–30 –10] [73 19] [–27 –11] [105 30] [99 26] [43 11] [11 1][42 12] [– 47 –17] [101 28] [–63 –21] [34 6] [–59 –20]






พ.ศ. ๒๕๔๗



21

ใบกิจกรรม รหัสลับกับเมทริกซ (2)

เมทริกซรหัสลับตอไปนี้ สรางจากเมทริกซขอความที่แตละเมทริกซแทนตัวอักขระ 3 ตัว และ

เมทริกซสรางรหัสคือเมทริกซ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

861523312

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

206170105

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

22012070

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1988748

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

383824

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

13310162

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

20515192

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

214731

เมทริกซถอดรหัสคือ...............................................................................................................

ขอความที่เขียนไวคือ..............................................................................................................






พ.ศ. ๒๕๔๗



22

ตัวอยางแบบทดสอบ

1. ถา (x0, y0, z0) และ (x1, y1, z1) เปนคําตอบของระบบสมการa1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

จงแสดงวา ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++2

zz,

2yy

,2

xx 101010 เปนคําตอบของระบบสมการดวย

2. จงแกสมการ 2X + A = B เพื่อหา X เมื่อA = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −5041 และ B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−1243

3. กําหนดให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

5413 และ B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−213127

จงหา AB และ BA

4. ให A, B, C, D, E และ F เปนเมทริกซตอไปนี้

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −7052 , B =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− 311

5213 , C =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

023

2250

D = [7 3] , E = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

210

, F = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

2251035

016

จงหา 1) FE2) A2

3) 5B + 2C4) DA

5. จงแกสมการเพื่อหาคา x และ y เมื่อ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01x6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

1y = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1184






พ.ศ. ๒๕๔๗



23

6. ให A เปนเมทริกซมิติ n × n ใด ๆ เรานิยาม An เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกดังนี้A1 = AAn = A(An–1) เมื่อ n ≥ 2

ถา A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011 จงหา A2, A3, A4 และสรุปรูปแบบทั่วไปของ An

7. ถา A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111 จงหา A2, A3, A4 และสรุปรูปแบบทั่วไปของ An

เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก

8. 1) กําหนดให A =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

326011101

จงหา A–1 (ถามี)

2) กําหนดให B =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

232021213

จงหา B–1 (ถามี)

9. จงแกระบบสมการตอไปนี้1) x – 3y + z = 4

5x – 4y + 16z = 9

2) 2x – 3y + 4z = 34x – 5y + 9z = 134x + 14z = 0

3) x + y + z + w = 04x + 2w = 0 y – z = 0x + 2z = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



24

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ

1. เนื่องจาก (x0, y0, z0) และ (x1, y1, z1) เปนคําตอบของระบบสมการดังนั้น a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1 ---------- (1)

a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2 ---------- (2)a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3 ---------- (3)

และ a1x1 + b1y1 + c1z1 = d1 ---------- (4)a2x1 + b2y1 + c2z1 = d2 ---------- (5)a3x1 + b3y1 + c3z1 = d3 ---------- (6)

(1) + (4) a1(x0 + x1) + b1(y0 + y1) + c1(z0 + z1) = 2d1

ดังนั้น )2

xx(a 10

1+ + )

2yy

(b 101

+ + )2

zz(c 10

1+ = d1

ในทํานองเดียวกัน (2) + (5) และ (3) + (6) จะได)

2xx

(a 102

+ + )2

yy(b 10

2+ + )

2zz

(c 102

+ = d2

และ )2

xx(a 10

3+ + )

2yy

(b 103

+ + )2

zz(c 10

3+ = d3

ดังนั้น )2

zz,

2yy

,2

xx( 101010 +++ เปนคําตอบของระบบสมการดวย

2. จาก 2X + A = B 2X = B – A X = )AB(

21 −

X = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−5041

1243

21

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−4284

21

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−2142

3. AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

5413

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−213127

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

143435524

เราไมสามารถหาผลคูณของ BA ได เพราะวา จํานวนหลักของ B ไมเทากับจํานวนแถวของ A






พ.ศ. ๒๕๔๗



25

4. 1) FE =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

210

2251035016

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

6171

2) A2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −7052

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −7052 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −490454

3) 5B + 2C =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− 311

5213

5 + ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

023

2250

2

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

1511

292515

4) DA = [7 3] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −7052 = [14 –14]

5. เนื่องจาก ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡01x6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 11

1y = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−1y

x6xy6

ดังนั้น ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−1y

x6xy6 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1184

จากสมบัติการเทากันของเมทริกซ จะไดวาy = 16 + x = 8x = 2

∴ x = 2 และ y = 1

6. A2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1021

A3 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1021 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1031

A4 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1011

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1031 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1041

จาก A2, A3, A4 จะไดวา An = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡10n1






พ.ศ. ๒๕๔๗



26

7. A2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2222

A3 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2222 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4444

A4 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4444 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡8888

จาก A2, A3, A4 จะไดวา An = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−

−−

1n1n

1n1n

22

22

8. 1) 1 0 –1 1 01 –1 0 1 –16 –2 –3 6 –2

เนื่องจาก det(A) = (3 + 0 + 2) – (6 + 0 + 0) = –1 ≠ 0ฉะนั้น A มีตัวผกผัน

A–1 = )A(adj)Adet(

1 ⋅

–1 0 – 1 0 1 –1 –2 –3 6 –3 6 –2

– 0 –1 1 –1 – 1 0= – –2 –3 6 –3 6 –2

0 –1 – 1 –1 1 0–1 0 1 0 1 –1

3 3 4= – 2 3 2

–1 –1 –1

t

t






พ.ศ. ๒๕๔๗



27

3 2 –1= – 3 3 –1

4 2 –1

– 3 –2 1= – 3 –3 1

– 4 –2 1

2) 3 –1 2 3 –1 1 2 0 1 2–2 3 –2 –2 3

เนื่องจาก det(B) = (–12 + 0 + 6) – (–8 + 0 + 2) = 0ฉะนั้น B ไมมีตัวผกผัน

9. 1) จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้

1 – 3 1 4 ∼ 1 –3 1 45 – 4 16 9 0 11 11 –11 R2 – 5R1

∼ 1 –3 1 40 1 1 –1 2R

111

∼ 1 0 4 1 R1 + 3R2

0 1 1 –1

จากเมทริกซแตงเติม จะไดวาx + 4z = 1y + z = –1

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ {(x, y, z)⏐x + 4z = 1, y + z = –1} = {(1 – 4t, –1 – t, t)⏐t ∈R}






พ.ศ. ๒๕๔๗



28

2) จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้

2 –3 4 3 2 –3 4 34 –5 9 13 ∼ 0 1 1 7 R2 – 2R1

4 0 14 0 0 6 6 – 6 R3 – 2R1

2 –3 4 3 ∼ 0 1 1 7

0 1 1 –1 3R61

2 –3 4 3 ∼ 0 1 1 7

0 0 0 –8 R3 – R2

จากเมทริกซแตงเติมแถวที่ 3 จะพบวา0x + 0y + 0z = –8

0 = –8 ซ่ึงเปนเท็จดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ

3) จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้

1 1 1 1 0 1 1 1 1 04 0 0 2 0 ∼ 0 – 4 – 4 –2 0 R2 – 4R1

0 1 –1 0 0 0 1 –1 0 01 0 2 0 1 0 –1 1 –1 1 R4 – R1

1 1 1 1 0 ∼ 0 1 –1 0 0 R23

0 – 4 – 4 –2 0 0 –1 1 –1 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



29

1 0 2 1 0 R1 – R2

∼ 0 1 –1 0 0 0 0 –8 –2 0 R3 + 4R2

0 0 0 –1 1 R4 + R2

1 0 2 1 0 ∼ 0 1 –1 0 0

0 0 1 41 0 –

81 R3

0 0 0 1 –1 –R4

1 0 0 21 0 R1 – 2R3

∼ 0 1 0 41 0 R2 + R3

0 0 1 41 0

0 0 0 1 –1

1 0 0 0 21 R1 –

21 R4

∼ 0 1 0 0 41 R2 –

41 R4

0 0 1 0 41 R3 –

41 R4

0 0 0 1 –1

คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = 21 , y =

41 , z =

41 , w = –1






พ.ศ. ๒๕๔๗



30

เฉลยแบบฝกหัด 1.1

1. x + 3y = 8x – 2y = 3วิธีทํา x + 3y = 8 ---------- (1)

x – 2y = 3 ---------- (2)นําสมการ (1) ลบดวยสมการ (2) จะได

5y = 5 y = 1

แทนคา y ในสมการ (2) จะไดx = 5

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (5, 1)

2. x – y = – 42x + 3y = 22วิธีทํา x – y = – 4 ---------- (1)

2x + 3y = 22 ---------- (2)นํา 2 คูณสมการ (1) จะได

2x – 2y = – 8 ---------- (3)นําสมการ (2) ลบดวยสมการ (3) จะได

5y = 30y = 6

แทนคา y ในสมการ (1) จะไดx = 2

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y) = (2, 6)

3. x + y + z = 6x – y + z = 2x + y – z = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



31

วิธีทํา x + y + z = 6 ---------- (1)x – y + z = 2 ---------- (2)x + y – z = 0 ---------- (3)

นําสมการ (3) บวกสมการ (2) จะได2x = 2x = 1

นําสมการ (1) บวกสมการ (2) จะได2x + 2z = 8 ---------- (4)

แทนคา x ในสมการ (4) จะไดz = 3

แทนคา x และ z ในสมการ (3) จะไดy = 2

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (x, y, z) = (1, 2, 3)

4. x + 2y – z = 33x + y = 62x + y = 1 วิธีทํา x + 2y – z = 3 ---------- (1)

3x + y = 6 ---------- (2)2x + y = 1 ---------- (3)

นําสมการ (2) ลบดวยสมการ (3) จะไดx = 5

แทนคา x ในสมการ (3) จะไดy = –9

แทนคา x และ y ในสมการ (1) จะได–z = 16z = –16

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (5, –9, –16)






พ.ศ. ๒๕๔๗



32

5. 2x – 3y + z = 8–x + 4y + 2z = – 43x – y + 2z = 9วิธีทํา 2x – 3y + z = 8 ---------- (1)

–x + 4y + 2z = – 4 ---------- (2)3x – y + 2z = 9 ---------- (3)

นําสมการ (3) ลบสมการ (2) จะได4x – 5y = 13 ---------- (4)

นํา 2 คูณสมการ (1) จะได4x – 6y + 2z = 16 ---------- (5)

นําสมการ (5) ลบดวยสมการ (2) จะได5x – 10y = 20 ---------- (6)

นํา 2 คูณสมการ (4) จะได8x – 10y = 26 ---------- (7)

นําสมการ (7) ลบดวยสมการ (6) จะได3x = 6x = 2

แทนคา x ในสมการ (4) จะไดy = –1

แทนคา x และ y ในสมการ (1) จะไดz = 1

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (2, –1, 1)

6. x – y + 2z = –3 y – 3z = 5

x + 4y – 8z = 17วิธีทํา x – y + 2z = –3 ---------- (1)

y – 3z = 5 ---------- (2)x + 4y – 8z = 17 ---------- (3)

จากสมการ (2) จะได y = 5 + 3zแทนคา y ลงในสมการ (1) และ (3) จะได






พ.ศ. ๒๕๔๗



33

x – z = 2 ---------- (4)x + 4z = –3 ---------- (5)

นําสมการ (4) ลบดวยสมการ (5) จะได–5z = 5

z = –1แทนคา z ในสมการ (2) จะได

y = 2แทนคา y และ z ในสมการ (1) จะได

x – 2 – 2 = –3x = 1

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการคือ (x, y, z) = (1, 2, –1)

7. x + y = 2x + 3y + z = 53x + y – z = 3วิธีทํา x + y = 2 ---------- (1)

x + 3y + z = 5 ---------- (2)3x + y – z = 3 ---------- (3)

จากสมการ (1) จะได x = 2 – y แทนคาลงในสมการ (2) และ (3) จะได2 + 2y + z = 5 หรือ 2y + z = 3

และ 6 – 2y – z = 3 หรือ 2y + z = 3ดังนั้น ระบบสมการนี้มีไดหลายคําตอบ คือ (x, y, z) = (2 – y, y, 3 – 2y) เมื่อ y ∈ R

8. 2x + 2y + 3z + 2t = 11x + y + 2z + 2t = 6 2y + 5z + 2t = 5x + y + 3z + 4t = 1วิธีทํา 2x + 2y + 3z + 2t = 11 ---------- (1)

x + y + 2z + 2t = 6 ---------- (2)2y + 5z + 2t = 5 ---------- (3)

x + y + 3z + 4t = 1 ---------- (4)






พ.ศ. ๒๕๔๗



34

นํา 2 คูณสมการ (2) จะได2x + 2y + 4z + 4t = 12 ---------- (5)

นําสมการ (5) ลบดวยสมการ (1) จะไดz + 2t = 1 ---------- (6)

นํา 2 คูณสมการ (4) จะได2x + 2y + 6z + 8t = 2 ---------- (7)

นําสมการ (7) ลบดวยสมการ (1) จะได3z + 6t = –9

หรือ z + 2t = –3 ---------- (8)เห็นไดชัดวา ไมมี z, t ที่ทําใหสมการ (6), (8) เปนจริงพรอมกันดังนั้น ระบบสมการที่กําหนดไมมีคําตอบ


1. (1)

2C – 3E =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

312014313

2 – ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

022111542

3

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

6423159100

(2)

AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡412021

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

231201

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡91625






พ.ศ. ๒๕๔๗



35

BA =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

231201

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡412021

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

887454021

(3)D2 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −0223

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −0223

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

4665

AB + D2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4665

91625

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −522410

(4)

2C2 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

312014313

2 ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

312014313

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

304322463236222

BA – 2C2 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

304322463236222

887454021

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

2242520112836421






พ.ศ. ๒๕๔๗



36

(5)

AtBt =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

401221

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡210321

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

840852741

2E =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

0 4 422 2

10 84

AtBt + 2E =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

840852741

+ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

0 4 422 2

10 84

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

8 8 46 7 4

17 45

(6)(AB)D = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡91625

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −0 223

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 3266

10 19

(7)

C + E =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

3 1 20 1 43 13

+ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

0 2 211 15 42

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

3 3 412 58 55






พ.ศ. ๒๕๔๗



37

BA(C + E) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

887454021

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

3 3 412 58 55

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

27 5 10739 2 61 6 115

2. (1) ABC = A(BC)

BC = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−031 231

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

23 1 0 2 1

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−5 137

A(BC) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−12

3 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−5 137

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1151

21 4

(2) AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−12

3 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−031 231

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 43 3

2122

ACt = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−12

3 1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−21 2 3 0 1

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−8 1 43 3 5






พ.ศ. ๒๕๔๗



38

AB + ACt = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 43 3

2122 + ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−8 1433 5

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−21 2 7151 7

(3) A2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−12

3 1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−12

3 1

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡7007

A2 – 2BC = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡7007 – ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−10 2

614

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−32 6 7

3. AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2321

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−4 312

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−5 0 7 4

BA = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−4 312

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2321

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−29 21

∴ AB ≠ BA






พ.ศ. ๒๕๔๗



39

4. (1) 2At = 2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 21

31

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 42

62

2At – A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 4 2

6 2 – ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 311

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2 5

7 1

∴ เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ 2At คือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2 5

7 1

(2) A2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 311

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 311

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−1 9 32

A2 – A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−1 9 32 – ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 311

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

1 6 2 3

∴ เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ A2 คือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

1 6 2 3

(3) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡tzyx – ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2311 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−2t3z1y1x เมื่อ x, y, z, t เปนจํานวนจริง

∴ เมทริกซที่บวกกับ A แลวไดเมทริกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡tzyx คือ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−2t3z1y1x






พ.ศ. ๒๕๔๗



40

5. (1) A + X = 2A – X2X = AX = A

21

∴ เมทริกซ X ที่ทําให A + X = 2A – X เปนจริงคือ X = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−23

21

21

121

21

(2) AAt = 2I2 + XX = 2I2 – AAt

2I2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2002

AAt = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31 1

211

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

3 211 11

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡11666

∴ เมทริกซ X ที่ทําให AAt = 2I2 + X เปนจริง คือ X = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

9664

(3) 2AtA = X – I3

X = 2AtA + I3

2AtA = 2⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

321111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31 1

21 1

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

26 1021040

204

I3 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

10001 0001

∴ เมทริกซ X ที่ทําให 2AtA = X – I3 เปนจริง คือ X = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

270121050

205






พ.ศ. ๒๕๔๗



41

6. (1) A + B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 011 + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2101

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 112

(A + B)2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 112

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 112

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −51 663

A2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 011

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 011

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 031

B2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2101

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2101

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4301

2AB = 2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 011

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2101

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −8 440

A2 + 2AB + B2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 031 + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −8 440 + ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4301

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −61 772

∴ (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2






พ.ศ. ๒๕๔๗



42

(2) A – B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −2 011 – ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡2101

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−0 110

(A + B)(A – B) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 112

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−0 110

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

1421

A2 – B2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −4 031 – ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡4301

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−0 330

∴ (A + B)(A – B) ≠ A2 – B2

7. A2 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000b001a0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000b001a0

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000ab00

≠ 0 เพราะ ab ≠ 0

A3 = A2⋅A =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000ab00

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000b001a0

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000000

∴ n = 3 คือ จํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุด ที่ทําให An = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



43

8. (1) ให B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

bbbb โดยที่ b11, b12, b21 และ b22 เปนจํานวนจริง

AB = 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4221

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

bbbb = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

22122111

22122111

b4b2b4b2b2bb2b = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได

b11 + 2b21 = 02b11 + 4b21 = 0b12 + 2b22 = 02b12 + 4b22 = 0

∴ b11 = –2b21

b12 = –2b22

ดังนั้น B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

2221

2221

bbb2b2

(2) ให C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

cccc โดยที่ c11, c12, c21 และ c22 เปนจํานวนจริง

CA = 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

cccc

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4221 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

22212221

12111211

c4c2c2cc4c2c2c = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000






พ.ศ. ๒๕๔๗



44

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดc11 + 2c12 = 02c11 + 4c12 = 0c21 + 2c22 = 02c21 + 4c22 = 0

∴ c11 = –2c12

c21 = –2c22

ดังนั้น C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

2222

1212

cc2cc2

9. ให A = a bd d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

มีสมบัติวา AB = BA ทุกเมทริกซ B ที่มีมิติ 2 × 2

ให B1 = 1 10 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

และ B2 = 0 01 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

เนื่องจาก AB1 = B1A จึงไดวา

a ac c⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= a c b d0 0+ +⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

ฉะนั้น a = b + d และ c = 0 ---------- (1)เนื่องจาก AB2 = B2A จึงไดวา

b bd d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= 0 0a c b d⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

ฉะนั้น b = 0 และ d = a + c ---------- (2)จาก (1) และ (2) จึงสรุปไดวา a = d และ b = c = 0

ดังนั้น A = a 00 a⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= aI2 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใด ๆ

c






พ.ศ. ๒๕๔๗



45

10. จะแสดงวา ไมมีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซ่ึง AB – BA = I2

พิสูจน สมมติวา มีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซ่ึง AB – BA = I2

ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba , B = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡zyxw โดยที่ a, b, c, d, w, x, y, z

เปนจํานวนจริง

AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

dzcxdycwbzaxbyaw

BA = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++zdybzcyaxdwbxcwa

จากที่สมมุติไวAB – BA = I2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+

+−+−ybcx)zcya()dycw(

)xdwb()bzax(xcby = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

จะไดวา by – xc = 1 ---------- (1)cx - yb = 1 ---------- (2)

สมการ (1) = (2)by – xc = cx – yb2by = 2cxby = cx

แทนคา by = cx ลงในสมการ (1) จะได0 = 1 เปนไปไมได

ดังนั้น แสดงวา ไมมีเมทริกซ A, B ที่มีมิติ 2 × 2 ซ่ึง AB – BA = I2






พ.ศ. ๒๕๔๗



46


1. ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3021 และ A–1 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

เนื่องจาก A–1A = Iดังนั้น ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3021 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

433

211

x3x2xx3x2x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดx1 = 1

2x1 + 3x2 = 0x3 = 0

2x3 + 3x4 = 1∴ x1 = 1, x2 =

32− , x3 = 0 และ x4 =

31

ดังนั้น A–1 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

310

321

ตอบ

ให B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 01

21 และ B–1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

เนื่องจาก B–1B = I


⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 01

21 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

343

121

y2yyy2yy = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001






พ.ศ. ๒๕๔๗



47

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดy1 – y2 = 12y1 = 0y3 – y4 = 02y3 = 1

∴ y1 = 0, y2 = –1 y3 = 21 และ y4 =

21

ดังนั้น B–1 =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

21

21

10ตอบ

ให C = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2112 และ C–1 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

เนื่องจาก C–1C = I


⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2112 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

4343

2121

x2xxx2x2xxx2 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได2x1 + x2 = 1x1 + 2x2 = 02x3 + x4 = 0x3 + 2x4 = 1

แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซ่ึงไดx1 =

32 , x2 =

31− , x3 =

31− และ x4 =

32

ดังนั้น C–1 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

32

31

31

32

ตอบ






พ.ศ. ๒๕๔๗



48

ให D = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−2113 และ D–1 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

เนื่องจาก D–1D = I


⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−2113 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−

4343

2121

y2yyy3y2yyy3 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได3y1 – y2 = 1–y1 + 2y2 = 03y3 – y4 = 0–y3 + 2y4 = 1

แกระบบสมการเพื่อหาคา y1, y2, y3 และ y4 ซ่ึงจะไดy1 =

52 , y2 =

51 , y3 =

51 และ y4 =

53

ดังนั้น D–1 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

53

51

51

52

ตอบ

ให E = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321 และ E–1 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

เนื่องจาก E–1E = I


⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4321 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

4343

2121

x4x2x3xx4x2x3x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001






พ.ศ. ๒๕๔๗



49

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดx1 + 3x2 = 12x1 + 4x2 = 0x3 + 3x4 = 02x3 + 4x4 = 1

แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซ่ึงจะได

x1 = –2, x2 = 1, x3 = 23 และ x4 =

21−

ดังนั้น E–1 =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

21

23

12ตอบ

ให F = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−3112 และ F–1 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

เนื่องจาก F–1F = I

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−3112 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−+−+−

4343

2121

y3yyy2y3yyy2 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได–2y1 + y2 = 1–y1 + 3y2 = 0–2y3 + y4 = 0–y3 + 3y4 = 1


53− , y2 =

51− , y3 =

51 และ y4 =

52

ดังนั้น F–1 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

52

51

51

53

ตอบ






พ.ศ. ๒๕๔๗



50

2. จากโจทยตองแสดงวา AB = I

AB =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

113201112

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

21

21

21

25

21

27

101

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

∴ B เปนตัวผกผันของ A

3. ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba โดยที่ a, b, c, d เปนจํานวนจริง และ A2 = 0

A2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba =

2

2

a bc ab bd

ca dc bc d

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

เนื่องจาก A2 = 0 จะไดวาa2 + bc = 0 --------- (1)b(a + d) = 0 --------- (2)c(a + d) = 0 --------- (3)d2 + bc = 0 --------- (4)

จาก (2) จะไดวา b = 0 หรือ a + d = 0กรณี b = 0เมื่อแทน b = 0 ลงใน (1) และ (4) จะไดวา a = d = 0

∴ A = 0 0c 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

กรณี a + d = 0 จะได d = –aจาก (1) จะไดวา bc = –a2

ถา b = 0 แลวจะได A = 0 0c 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ดังในกรณีแรก






พ.ศ. ๒๕๔๗



51

ถา b ≠ 0 แลว c = ba 2− ทําให A = 2

a b

a ab

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

สรุปไดวา A = a bc d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ซ่ึง A2 = 0 ทั้งหมดคือ

0 0c 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

, 2

a b

a ab

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ a, b, c ∈ R และ b ≠ 0

4. ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba โดยที่ a, b, c, d เปนจํานวนจริง และ A2 = I2

A2 = 2

2

a bc ab bd

ca dc bc d

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

เนื่องจาก A2 = I2 จะไดวาa2 + bc = 1 ---------- (1)b(a + d) = 0 ---------- (2)c(a + d) = 0 ---------- (3)d2 + bc = 1 ---------- (4)

แยกพิจารณาเปน 2 กรณี คือ กรณี a + d ≠ 0 และกรณี a + d = 0กรณี a + d ≠ 0จาก (2) และ (3) จะไดวา b = c = 0และจาก (1) และ (4) จะไดวา a = ±1, d = ±1ดังนั้น A = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001 , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−10

01 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1001 , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1001

กรณี a + d = 0

จาก (1) และ (4) จะไดวา a2 = d2 = 1 – bcเนื่องจาก 0 ≤ a2 ฉะนั้น bc ≤ 1 และทําใหไดวา

a = bc1−± , d = bc1−± เมื่อ bc ≤ 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



52

แต a + d = 0 หรือ a = –dฉะนั้น(a, d) = ( bc1,bc1 −−− ) , ( bc1−− , bc1− )

ดังนั้น A = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

bc1cbbc1 ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

bc1cbbc1 เมื่อ bc ≤ 1

สรุปไดวา เมทริกซ A = a bc d⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ซ่ึง A2 = I2 ทั้งหมด คือ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001 , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−10

01 , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1001 , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1001 ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

bc1cbbc1 ,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

bc1cbbc1

เมื่อ bc ≤ 1

5. จาก A + B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 21

1331

จะได 3A + 3B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 21

1331

และ 3A + 3B + (3A – 3B) = 6Aหรือ 6A = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 21

13 + ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−0111

A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 22

0261

B =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−32

31

311

– ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−31

31

031

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

310

31

32






พ.ศ. ๒๕๔๗



53

ให A–1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx และ B–1 = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

เนื่องจาก A–1A = I


⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−31

31

031

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

443

221

x31x

31x

31

x31x

31x

31

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได21 x

31x

31 − = 1

2x31 = 0

43 x31x

31 − = 0

4x31 = 1

∴ x1 = 3, x2 = 0, x3 = 3 และ x4 = 3



⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

310

31

32

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

433

211

y31y

31y

32

y31y

31y

32

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001






พ.ศ. ๒๕๔๗



54

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะได1y

32 = 1

21 y31y

31 + = 0

3y32 = 0

43 y31y

31 + = 1

∴ y1 = 23 , y2 =

23− , y3 = 0 และ y4 = 3

ดังนั้น A–1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3303 และ B–1 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

3023

23

6. เนื่องจาก A–1 + B–1 + 2A–1 – B–1 = 3A–1

จะได 3A–1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31

22 + ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3411

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡6333

A–1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2111

ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx

เนื่องจาก A–1A = I


⎤⎢⎣

⎡2111

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

xxxx = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

4231

4231

x2xx2xxxxx = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001






พ.ศ. ๒๕๔๗



55

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดx1 + x3 = 1x1 + 2x3 = 0x2 + x4 = 0x2 + 2x4 = 1

แกระบบสมการเพื่อหาคา x1, x2, x3 และ x4 ซ่ึงจะได

x1 = 2, x2 = –1, x3 = –1 และ x4 = 1

จาก A–1 + B–1= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31

22

จะได B–1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31

22 – ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2111

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 12

11

ให B = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy



⎤⎢⎣

⎡− 12

11⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

43

21

yyyy = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

หรือ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−

++

4231

4231

yy2yy2yyyy = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

จากบทนิยามของการเทากันของเมทริกซ จะไดy1 + y3 = 1–2y1 + y3 = 0y2 + y4 = 0–2y2 + y4 = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



56


31 , y2 =

31− , y3 =

32 และ y4 =

31

∴ A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1112 และ B =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

31

32

31

31


1. ให A แทนเมทริกซในแตละขอ

(1) 2 –1 0 2 –14 2 1 4 24 2 1 4 2

det (A) = (4 – 4 + 0) – (0 + 4 – 4) = 0

(2) –2 2 3 –2 2 1 –1 0 1 –1 0 1 4 0 1

det (A) = (8 + 0 + 3) – (0 + 0 + 8) = 3

(3) –2 1 4 –2 1 1 4 –2 1 4 3 6 –6 3 6

det (A) = (48 – 6 + 24) – (48 + 24 – 6) = 0

(4) 2 3 1 2 3 0 5 –2 0 5 0 0 –2 0 0

det (A) = (–20 + 0 + 0) – (0 + 0 + 0) = –20






พ.ศ. ๒๕๔๗



57

(5) ใชสมบัติของดีเทอรมิแนนต กระจายตามหลักที่ 4 จะได

det (A) = 3540323 8 3

2⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

= 2(–27 – 48 + 66) = –18

(6)

det (A) =⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

10122101321022 11

=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

10120310321022 11

=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

34300310321022 11

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

34303132 1

ใชสมบัติของดีเทอรมิแนนต กระจายตามหลักที่ 1

= –9 – 6 + 15 = 0

นําแถวที่ 1 ไปบวกกับแถวที่ 3

คูณแถวที่ 1 ดวย 2 แลวนําไปบวกกับแถวที่ 4






พ.ศ. ๒๕๔๗



58

2. (1)–

adj (A) = – –

–

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

2322755522823

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

2352222587523

(2)–

adj (A) = – –

–

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

3315251618545217

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

33554151652

21817

5 6 4 6 4 5–3 1 2 1 2 –3

2 1 –3 1 –3 2–3 1 2 1 2 –3

2 1 –3 1 –3 2 5 6 4 6 4 5

t

t

3 1 6 1 6 3–7 –8 4 –8 4 –7

4 2 –3 2 –3 4–7 –8 4 –8 4 –7

4 2 –3 2 –3 4 3 1 6 1 6 3

t

t






พ.ศ. ๒๕๔๗



59

(3)–

adj (A) = – –

–

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

5923402918216 112

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

5929623181402112

(4)–

adj (A) = – –

–

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

1505050 10010 5530030100

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

150100 3005010 30 5055 100

12 4 1 4 1 12 6 3 1 3 1 6

1 –3 5 –3 5 1 6 3 1 3 1 6

1 –3 5 –3 5 1 12 4 1 4 1 12

t

t

0 10 30 10 30 0 10 1 0 1 0 10

–5 5 10 5 10 –5 10 1 0 1 0 10

–5 5 10 5 10 –5 0 10 30 10 30 0

t

t






พ.ศ. ๒๕๔๗



60

3. (1) เนื่องจาก det (A) = (8 + 0 + 3) – (0 + 0 + 8) = 3 ≠ 0ดังนั้น A มีตัวผกผันA–1 =

)Adet(1 adj(A)

–

= 31 – –

–

= 31

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

033285144

= 31

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

021384354

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

032

31

138

34

135

34

(2) เนื่องจาก det (A) = (– 44 + 0 – 33) – (0 – 42 – 34) = –1 ≠ 0ดังนั้น A มีตัวผกผัน

–1 0 1 0 1 –1 1 4 0 4 0 1

2 3 –2 3 –2 2 1 4 0 4 0 1

2 3 –2 3 –2 2–1 0 1 0 1 –1

t

t






พ.ศ. ๒๕๔๗



61

–

A–1 = – – –

–

=t

532641321

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

563342211

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

563342211

(3) เนื่องจาก det (A) = (9 – 3 + 32) – (36 – 4 + 6) = 0ดังนั้น A ไมมีตัวผกผัน

(4) เนื่องจาก det (A) = (6 + 0 + 0) – (–4 + 0 + 0) = 10 ≠ 0ดังนั้น A มีตัวผกผัน

–

A–1 = 101 – –

11 –7 –1 –7 –1 11 3 –2 0 –2 0 3

–17 11 2 11 2 –17 3 –2 0 –2 0 3

–17 11 2 11 2 –17 11 –7 –1 –7 –1 11

t

–2 0 1 0 1 –2 0 3 1 3 1 0

0 2 –1 2 –1 0 0 3 1 3 1 0

0 2 –1 2 –1 0 –2 0 1 0 1 –2

t






พ.ศ. ๒๕๔๗



62

= t

224050236

101

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

202253406

101

(5) เนื่องจาก det (A) = 1 ≠ 0 ดังนั้น A มีตัวผกผันหา Cij(A) ทุก i, j จะไดC11(A) = 1 , C12(A) = 1 , C13(A) = 3 , C14(A) = 8C21(A) = 0 , C22(A) = 1 , C23(A) = 1 , C24(A) = 3C31(A) = 0 , C32(A) = 0 , C33(A) = 1 , C34(A) = 1C41(A) = 0 , C42(A) = 0 , C43(A) = 0 , C44(A) = 1

A–1 =

=

(6) เนื่องจาก det (A) = 1 ≠ 0 ดังนั้น A มีตัวผกผันหา Cij(A) ทุก i, j จะไดC11(A) = –1 , C12(A) = – 4 , C13(A) = 0 , C14(A) = 3C21(A) = 2 , C22(A) = 9 , C23(A) = 1 , C24(A) = –5C31(A) = –1 , C32(A) = –5 , C33(A) = –1 , C34(A) = 3C41(A) = –1 , C42(A) = – 6 , C43(A) = –1 , C44(A) = 3

1 1 3 80 1 1 30 0 1 10 0 0 1

t

1 0 0 01 1 0 03 1 1 08 3 1 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



63

A–1 =

=

4. ให A แทนเมตริกซในแตละขอ

(1) 1 2 3 1 20 5 – 4 0 52 8 x 2 8

det (A) = (5x – 16 + 0) – (30 – 32 + 0)= 5x – 14

ให det (A) = 0ดังนั้น 5x – 14 = 0

x = 5

14 ∴ x เปนจํานวนจริง โดยท่ี x ≠

514

(2) x –1 x x –1 1 x 0 1 x 0 1 –1 0 1

det (A) = (–x2 + 0 + x) – (0 + 0 + 1)= –x2 + x – 1

ให det (A) = 0ดังนั้น –x2 + x – 1 = 0

x2 – x + 1 = 0

–1 – 4 0 3 2 9 1 –5–1 – 5 –1 3–1 – 6 –1 3

t

– 1 2 –1 – 1– 4 9 –5 – 6 0 1 –1 – 1 3 – 5 3 3






พ.ศ. ๒๕๔๗



64

จากสูตร x =a2

ac4bb 2 −±−

จะได x =2

i31±

∴ x เปนจํานวนจริง

(3) x–1 x–1 x x–1 x–1 x 2 1 x 2

21 1 2

21 1

det (A) = (4x – 4 + 21x

21 − + x2) – (x + x – 1 + 2x2 – 2x)

= –x2 + x29 –

27

ให det (A) = 0ดังนั้น –x2 + x

29 –

27 = 0

2x2 – 9x + 7 = 0(2x – 7)(x – 1) = 0

x =27 , 1

∴ x เปนจํานวนจริง โดยที่ x ≠ 1 และ x ≠ 27

(4) x+2 0 x x+2 0 –2 x –1 –2 x 1 1 x 1 1

det (A) = (x3 + 2x2 + 0 – 2x) – (x2 – x – 2 + 0)= x3 + x2 – x + 2

ให det (A) = 0ดังนั้น x3 + x2 – x + 2 = 0

(x + 2)(x2 – x + 1) = 0∴ x เปนจํานวนจริง โดยที่ x ≠ –2

5. เพราะวา det (A) ≠ 0 ดังนั้น A มีตัวผกผันจาก A–1 = )A(adj

)Adet(1

จะได adj (A) = det(A) A–1






พ.ศ. ๒๕๔๗



65

ดังนั้น det (adj (A)) = det (det(A) A–1)= (det (A))n det (A–1) , n ≥ 2 และ det (A) เปนคาคงตัว= (det (A))n

)Adet(1

Q det (A) det(A–1) = 1

= (det (A))n–1

= det (A)n–1

6. A2 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

13116774974

, B2 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

19 100411 042 1

adj (A) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

110112314

, adj (B) = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

1502303213

adj (A2) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

022821014814

, adj (B2) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

111004190

3217169

At =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

312221111

(1) det (2A–1B) = 23det(A–1)det(B)= )13)(

21(8 −

= –52

(2) det (Atadj(B)) = det(At)det(adj(B))= 2(169)= 338

(3) det (BAtadj(A)) = det(B) det(At) det(adj(A))= (–13)(2)(4)= –104

(4) det (2adj(A2)B) = 23det(adj(A2))det(B)= 8(16)(–13)= –1664






พ.ศ. ๒๕๔๗



66

(5) det(A2adj(B2)) = det(A2)det(adj(B2))= 4(28561)= 114,244

(6) det (–A–1Badj(A)) = –det(A–1)det(B)det(adj (A))= )

21(− (–13)(4)

= 26

7. วิธีท่ี 1 ให l เปนเสนตรงที่ผานจุด P(a, b) และ Q(c, d)

กรณี a = c จะไดวา l เปนเสนตรงที่ขนานแกน Y และผานจุด P(a, b)ฉะนั้นเสนตรง l มีสมการเปน x = a

พิจารณา สมการx y 1a b 1c d 1

= 0 เมื่อ a = c

จะไดx y 1a b 1a d 1

= 0 เมื่อ b ≠ d

(bx + ay + ad) – (ab + dx + ay) = 0 (b – d)x – a(b – d) = 0

(x – a)(b – d) = 0 ∴ x – a = 0 เพราะ b – d ≠ 0หรือ x = a ซ่ึงคือสมการของเสนตรง l

กรณี a ≠ cถา b = d แลว l เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X และผานจุด (a, b)ฉะนั้นเสนตรง l มีสมการเปน y = b

เมื่อ b = d สมการ x y 1a b 1c b 1

= 0

คือสมการ (bx + cy + ab) – (bc + bx + ay) = 0หรือ (c – a)y + b(a – c) = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



67

หรือ y – b = 0 เพราะ a – c ≠ 0ฉะนั้น ไดสมการ y = b ซ่ึงคือสมการของเสนตรง lพิจารณากรณี b ≠ dเราทราบมาแลววาเสนตรง l ตองมีสมบัติเปน

Ax + By = C ---------- (1)เมื่อ A, B, C เปนคาคงตัว และ A, B ไมเปน 0 พรอมกันเนื่องจากเสนตรง l ผานจุด (a, b) และ (c, d) เราจึงไดวา

Aa + Bb = C ---------- (2)Ac + Bd = C

ฉะนั้น A(a – c) + B(b – d) = 0 ---------- (3)เนื่องจาก a – c ≠ 0 และ b – d ≠ 0 ฉะนั้น A = 0 ก็ตอเมื่อ B = 0แตเนื่องจาก A, B ไมเปน 0 พรอมกัน ฉะนั้น A, B ≠ 0จาก (1) จะไดวา A x y

B+ = C

B----------(4)

จาก (3) จะไดวา AB

= d ba c−−

จาก (2) ไดวา A a bB

+ = CB

ฉะนั้น CB

= d ba c−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠ a + b = ad ab ab bc

a c− + −

− = ad bc

a c−−

แทน AB

= d ba c−−

และ CB

= ad bca c−−

ลงใน (4) จะไดสมการd ba c−−

x + y = ad bca c−−

ดังนั้น สมการของเสนตรง l คือ(d – b)x + (a – c)y = ad – bc

จากสมการx y 1a b 1c d 1

= 0

จะได (bx + cy + ad) – (bc + dx + ay) = 0(b – d)x + (c – a)y = –ad + bc

หรือ (d – b)x + (a – c)y = ad + bcซ่ึงก็คือสมการของเสนตรง l นั่นเอง






พ.ศ. ๒๕๔๗



68

วิธีท่ี 2 ความชันของเสนตรง PQ = cadb

−−

สมการเสนตรงที่ผานจุด P(a, b) และมีความชัน cadb

−−

คือ y – b = )ax)(cadb( −

−−

(y – b)(a – c) = (b – d)(x – a)ay – ab – cy + bc = bx – ab – dx + aday – cy + bc – bx + dx – ad = 0 ---------- (1)

จาก x y 1a b 1 = 0c d 1

จะได bx + cy + ad – bc – dx – ay = 0หรือ ay – cy + bc – bx + dx – ad = 0 ---------- (2)เพราะวา สมการ (1) เทากับสมการ (2)ดังนั้น สมการของเสนตรงที่ผานจุด P และ Q คือ

8.

พื้นที่ ∆ ABC = พื้นที่ APQC + พื้นที่ CQRB – พื้นที่ APRB= )ab)(ba(

21)cb)(cb(

21)ac)(ca(

21

112211221122 −+−−++−+

= 2121122121212112 cccbcbbbcaccaaca[21

−+−+−+−

Y

X

c2

b2

a2 A(a1, a2)

B(b1, b2)

C(c1, c2)

P Q Ra1 c1 b1

Y

X

Q (c, d)d

b P (a, b)

a c

•

•

x y 1a b 1 = 0

c d 1

]babbaaba 21212112 +−+−






พ.ศ. ๒๕๔๗



69

พื้นที่ ∆ ABC = [ ]211221122112 babacbcbcaca 21

+−+−−

= [ ]121221211221 cbbacacbcaba 21

−−−++ ---------- (1)

1cc 1bb 1aa

21

21

21

21

= [ ]122112211221 bacacbcbcaba 21

−−−++

= [ ]121221211221 cbbacacbcaba 21

−−−++ ---------- (2)

เพราะวา สมการ (1) เทากับสมการ (2)

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับ 1cc 1bb 1aa

21

21

21

21

9. วิธีท่ี 1 ให A, B, C เปนจุดในระนาบ XYถามีจุด 2 จุดใน A, B, C เปนจุดเดียวกัน แลว

a1 a2 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1

เพราะดีเทอรมิแนนตที่ปรากฏจะเปนดีเทอรมิแนนตของเมทริกซที่มี 2 แถวเหมือนกันเชน ถา A(a1, a2) = B(b1, b2) แลว a1 = b1 และ a2 = b2

a1 a2 1 a1 a2 1ดังนั้น b1 b2 1 = a1 a2 1 = 0

c1 c2 1 c1 c2 1

สมมติวา A, B, C แตกตางกันทั้งหมดจากขอ 7 จะไดวา สมการเสนตรง l ที่ผานจุด B,C คือ

x y 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



70

ถาเสนตรง l ผานจุด A(a1, a2) (นั่นคือ A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน)แลว เมื่อแทน x ดวย a1 และ y ดวย a2 ลงในสมการของเสนตรง l สมการจะยังคงเปนจริง

a1 a2 1ดังนั้น b1 b2 1 = 0

c1 c2 1

a1 a2 1ตอไปจะแสดงวา ถา b1 b2 1 = 0 แลว A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน

c1 c2 1

โดยการแสดงวา ถา A, B, C ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน แลว

a1 a2 1b1 b2 1 ≠ 0c1 c2 1

เพราะขอความทั้งสองสมมูลกันสมมติวา A, B, C ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน

ฉะนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ (มากกวา 0) เทากับ คร่ึงหนึ่งของคาสัมบูรณของ

a1 a2 1b1 b2 1 จากขอ 8c1 c2 1

a1 a2 1ดังนั้น b1 b2 1 ≠ 0

c1 c2 1

วิธีท่ี 2 ใหแสดงวา จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน ก็ตอเม่ือ

a1 a2 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



71

ถาจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันแลว

จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน นั่นคือ ความชันของเสนตรง AB เทากับความชันของเสนตรง ACความชันของเสนตรง AB =

11

22

baba

−− ---------- (1)

ความชันของเสนตรง AC = 11

22

caca

−− ---------- (2)

สมการ (1) เทากับสมการ (2) จะได (a2 – b2)(a1 – c1) = (a2 – c2)(a1 – b1)a1a2 – a2c1 – a1b2 + b2c1 = a1a2 – a2b1 – a1c2 + b1c2

a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 = 0 ---------- (3)

a1 a2 1จาก b1 b2 1 = 0

c1 c2 1

จะได a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 = 0 ---------- (4)สมการ (3) เทากับสมการ (4)

ดังนั้น ถาจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันแลว

ถา = 0 แลวจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน

a1 a2 1จาก b1 b2 1 = 0

c1 c2 1

a1 a2 1b1 b2 1c1 c2 1

a1 a2 1b1 b2 1 = 0

c1 c2 1

a1 a2 1b1 b2 1 = 0

c1 c2 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



72

จะได a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 = 0a1b2 + a2c1 + b1c2 – b2c1 – a1c2 – a2b1 + a1a2 – a1a2 = 0(a1a2 – a1b2 – a2c1 + b2c1) – (a1a2 – a1c2 – a2b1 + b1c2) = 0(a1 – c1)(a2 – b2) – (a1 – b1)(a2 – c2) = 0

11

22

baba

−− =

11

22

caca

−− ---------- (5)

แตความชันของเสนตรง AB = 11

22

baba

−− ---------- (6)

ความชันของเสนตรง AC = 11

22

caca

−− ---------- (7)

จากสมการ (5) สมการ (6) และสมการ (7)จะไดวา ความชันของเสนตรง AB = ความชันของเสนตรง ACดังนั้น จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน

นั่นคือ ถา เทากับ 0 และจุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน

จากที่แสดงมาขางตนสรุปไดวา จุด A, B, C อยูในแนวเสนตรงเดียวกันก็ตอเมื่อ

a1 a2 1b1 b2 1 = 0c1 c2 1

a1 a2 1b1 b2 1c1 c2 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



73


การแกระบบสมการในแบบฝกหัดนี้ ผูสอนอาจจะใหผูเรียนใชกฎของคราเมอร หรือวิธีการใดก็ได แตสําหรับเฉลยในคูมือครูเลมนี้จะใชการดําเนินการตามแถว

1. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้

2 4 –2 0 1 2 –1 03 5 0 1 3 5 0 1

1 2 –1 00 –1 3 1

1 2 –1 00 1 –3 –1

1 0 5 20 1 –3 –1

เราไดวา x + 5z = 2 และ y – 3z = –1ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x + 5z = 2, y – 3z = –1}

= {(2 – 5c, –1 + 3c, c) ⏐c ∈ R}

2. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้

1 2 1 8 1 2 1 83 7 6 26 0 1 3 2

1 0 –5 40 1 3 2

เราไดวา x – 5z = 4 และ y + 3z = 2ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x – 5z = 4, y + 3z = 2}

= {(4 + 5c, 2 – 3c, c) ⏐c ∈ R}

∼

∼ R2–3R1

∼ –R2

∼R1 – 2R2

1R21

∼

∼R1–2R2

R2–3R1






พ.ศ. ๒๕๔๗



74


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

1755240319321

∼⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

111053109321

∼⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

42005310

19901

∼⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

21005310

19901

∼⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

210010101001

คําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ x = 1, y = –1, z = 2


1 0 –3 –2 1 0 –3 –23 1 –2 5 ∼ 0 1 7 11 R2 – 3R1

2 2 1 4 0 2 7 8 R3 – 2R1

1 0 –3 –2∼ 0 1 7 11

0 0 –7 –14 R3 – 2R2

1 0 –3 –2∼ 0 1 7 11

0 0 1 2 3R71−

1 0 0 4 R1 + 3R3

∼ 0 1 0 –3 R2 – 7R3

0 0 1 2คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = 4, y = –3, z = 2

R2 + R1

R3 – 2R1

R1 + 2R2

R3 + R2

3R21

R1 – 9R3R2 – 3R3






พ.ศ. ๒๕๔๗



75

5. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติมและใชการดําเนินตามแถวไดดังนี้

1 –1 2 4 1 –1 2 41 0 1 6 0 1 –1 2 R2 – R1

2 –3 5 4 ∼ 0 –1 1 – 4 R3 – 2R1

3 2 –1 1 0 5 –7 –11 R4 – 3R1

1 0 1 6 R1 + R2

0 1 –1 2 ∼ 0 0 0 –2 R3 + R2

0 0 –2 –21 R4 – 5R2

ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติมจะพบวา0x + 0y + 0z = –2

ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z = –2 ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ


3 1 4 2 –1 2 8 4 R12

–1 2 8 4 3 1 4 2 2 5 20 10 ∼ 2 5 20 10 2 8 32 16 2 8 32 16

1 –2 –8 – 4 –R1

3 1 4 2 ∼ 2 5 20 10

2 8 32 16

1 –2 –8 – 4 0 7 28 14 R2 – 3R1

∼ 0 9 36 18 R3 – 2R1

0 12 48 24 R4 – 2R1






พ.ศ. ๒๕๔๗



76

1 –2 –8 – 4 0 1 4 2 2R

71

∼ 0 1 4 2 3R91

0 1 4 2 4R121

1 0 0 0 R1+ 2R2

0 1 4 2∼ 0 0 0 0 R3 – R2

0 0 0 0 R4 – R2

เราไดวา x = 0 , y + 4z = 2ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z)⏐x = 0, y + 4z = 2}

= {(0, c, 4

c2− )⏐c ∈ R}


1 5 2 6 1 5 2 62 10 2 6 0 0 –2 – 6 R2 – 2R1

1 5 1 3 ∼ 0 0 –1 –3 R3 – R1

4 20 5 15 0 0 –3 –9 R4 – 4R1

1 5 2 6 0 0 1 3 2R

21−

∼ 0 0 1 3 3R−

0 0 1 3 4R31−

1 5 0 0 R1 – 2R2

0 0 1 3 ∼ 0 0 1 3

0 0 1 3






พ.ศ. ๒๕๔๗



77

เราไดวา z = 3, x + 5y = 0ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ {(x, y, z)⏐z = 3, x + 5y = 0}

= {(–5c, c, 3)⏐c ∈ R}

8. จากสมการที่กําหนด เขียนเมทริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้

2 1 –1 2 –16 1 5 2 6 –3 R13

3 4 0 1 1 3 4 0 1 11 5 2 6 –3 2 1 –1 2 –165 2 –1 –1 3 5 2 –1 –1 3

1 5 2 6 –3 0 –11 –6 –17 10 R2 – 3R1

0 –9 –5 –10 –10 R3 – 2R1

0 –23 –11 –31 18 R4 – 5R1

1 5 2 6 –3 0 1 –1 –3 2 2R2 – R4

0 –9 –5 –10 –100 –23 –11 –31 18

1 0 7 21 –13 R1 – 5R2

0 1 –1 –3 20 0 –14 –37 8 R3 + 9R2

0 0 –34 –100 64 R4 + 23R2

จากเมทริกซแตงเติม จะไดวาx + 7z + 21t = –13 ---------- (1)y – z – 3t = 2 ---------- (2)–14z – 37t = 8 ---------- (3)–34z – 100t = 64 ---------- (4)

จากสมการ (3) และ (4) จะได z = 11.041, t = – 4.394แทนคา z และ t ในสมการ (1) และ (2) จะได x = 1.986, y = –0.141∴ คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = 1.986, y = – 0.141, z = 11.041 และ t = – 4.394

∼

∼

∼

∼






พ.ศ. ๒๕๔๗



78


4 12 –7 –20 22 1 3 –47 –5

211 1R

41

3 9 –5 –28 30 3 9 –5 –28 30

1 347− –5

211

0 041 –13

227 R2 – 3R1

1 347− –5

211

0 0 1 –52 54 4R2

1 3 0 –96 100 R1 + 2R47

0 0 1 –52 54

เราไดวา z – 52t = 54 และ x + 3y – 96t = 100ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x, y, z, t)⏐z – 52t = 54, x + 3y – 96t = 100}

10. จากระบบสมการที่กําหนด เขียนเมตริกซแตงเติม และใชการดําเนินการตามแถวไดดังนี้

1 2 2 4 11 1 2 2 4 113 6 5 12 30 0 0 –1 0 –3 R2 – 3R1

1 2 2 4 110 0 1 0 3 –R2

1 2 0 4 5 R1 – 2R2

0 0 1 0 3

เราไดวา z = 3 และ x + 2y + 4w = 5ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ {(x, y, z, w)⏐z = 3, x + 2y + 4w = 5}

∼

∼

∼

∼

∼

∼

∼






พ.ศ. ๒๕๔๗



79


2 1 –3 4 1 1 1 6 R14

1 2 2 10 1 2 2 101 0 –2 12 ∼ 1 0 –2 121 1 1 6 2 1 –3 4

1 1 1 6 0 1 1 4 R2 – R1

∼ 0 –1 –3 6 R3 – R1

0 –1 –5 –8 R4 – 2R1

1 0 0 2 R1 – R2

0 1 1 4 ∼ 0 0 –2 10 R3 + R2

0 0 – 4 – 4 R4 + R2

1 0 0 2 0 1 1 4

∼ 0 0 1 –5 3R21−

0 0 1 1 4R41−

1 0 0 2 0 1 0 3 R2 – R4

∼ 0 0 0 – 6 R3 – R4

0 0 1 1

ในแถวที่ 3 ของเมตริกซแตงเติม จะพบวา0x + 0y + 0z = – 6

ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z = – 6 ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ






พ.ศ. ๒๕๔๗



80


2 4 2 10 1 2 1 5 1R21

1 0 3 9 1 0 3 93 –2 0 4 ∼ 3 –2 0 41 1 1 8 1 1 1 8

1 2 1 5 0 –2 2 4 R2 – R1

∼ 0 –8 –3 –11 R3 – 3R1

0 –1 0 3 R4 – R1

1 2 1 5 0 –2 2 4

∼ 0 –8 –3 –110 1 0 –3 –R4

1 0 1 11 R1 – 2R4

0 0 2 –2 R2 + 2R4

∼ 0 0 –3 –35 R3 + 8R4

0 1 0 –3

1 0 1 11 0 0 1 –1 2R

21

∼ 0 0 –3 –350 1 0 –3

1 0 0 12 R1 – R2

0 0 1 –1∼ 0 0 0 –38 R3 + 3R2

0 1 0 –3






พ.ศ. ๒๕๔๗



81

ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติม จะพบวา0x + 0y + 0z = –38

ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z = –38

ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ


0 1 1 –2 –3 1 2 –1 0 2 R12

1 2 –1 0 2 0 1 1 –2 –32 4 1 –3 –2 2 4 1 –3 –21 – 4 –7 –1 –19 1 – 4 –7 –1 –19

1 2 –1 0 2 0 1 1 –2 –30 0 3 –3 – 6 R3 – 2R1

0 – 6 – 6 –1 –21 R4 – R1

1 0 –3 4 8 R1 – 2R2

0 1 1 –2 –30 0 3 –3 – 60 0 0 –13 –39 R4 + 6R2

1 0 –3 4 8 0 1 1 –2 –30 0 1 –1 –2 3R

31

0 0 0 1 3 4R131−

∼

∼

∼

∼






พ.ศ. ๒๕๔๗



82

1 0 0 1 2 R1 + 3R3

0 1 0 –1 –1 R2 – R3

0 0 1 –1 –2 0 0 0 1 3

1 0 0 0 –1 R1 – R4

0 1 0 0 2 R2 + R4

0 0 1 0 1 R3 + R4

0 0 0 1 3

คําตอบของระบบสมการที่กําหนดคือ x = –1, y = 2, z = 1, w = 3


4 4 2 1 4 1 2 3 4 2 R12

1 2 3 4 2 ∼ 4 4 2 1 42 0 – 4 –7 –1 2 0 – 4 –7 –1

1 2 3 4 2 0 – 4 –10 –15 – 4 R2 – 4R1

0 – 4 –10 –15 –5 R3 – 2R1

1 2 3 4 2 0 – 4 –10 –15 – 40 0 0 0 –1 R3 – R2

ในแถวที่ 3 ของเมทริกซแตงเติมจะพบวา0x + 0y + 0z + 0t = –1

ซ่ึงไมมีทางเปนไปได เพราะวาไมมีจํานวนจริง x, y, z, t ที่สอดคลองกับสมการ0x + 0y + 0z + 0t = –1

ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ

∼

∼

∼

∼






พ.ศ. ๒๕๔๗



83


1 6 0 0 4 –2 1 0 – 6 0 –14 –8 R1 – 6R2

0 1 1 0 3 1 0 1 1 0 3 10 1 –1 1 –1 1 ∼ 0 0 –2 1 – 4 0 R3 – R2

0 0 0 1 5 2 0 0 0 1 5 2

1 0 –6 0 –14 –8 0 1 1 0 3 1 ∼ 0 0 1

21− 2 0

21− R3

0 0 0 1 5 2

1 0 0 –3 –2 –8 R1 + 6R3

0 1 0 21 1 1 R2 – R3

∼ 0 0 1 21− 2 0

0 0 0 1 5 2

1 0 0 0 13 –2 R1 + 3R4

0 1 0 0 23− 0 R2 – 2

1 R4

∼ 0 0 1 0 29 1 R3 + 2

1 R4

0 0 0 1 5 2

จากเมทริกซแตงเติม จะไดวาx1 + 13x5 = –2x2 – 5x

23 = 0

x3 + 5x29 = 1

x4 + 5x5 = 2ดังนั้น เซตคําตอบของสมการที่กําหนด คือ {(x1, x2, x3, x4, x5)⏐x1 + 13x5 = –2, x2 – 5x

23 = 0,

x3 + 5x29 = 1, x4 + 5x5 = 2} = {(–2 – c, c

23 , 1 – c

29 , 2 – 5c, c)⏐c ∈ R}






พ.ศ. ๒๕๔๗



84


1 3 –2 0 2 0 1 3 –2 0 2 02 6 –5 –2 4 0 0 0 –1 –2 0 0 R2 – 2R1

0 0 5 10 0 0 ∼ 0 0 1 2 0 0 51 R3

1 3 0 4 2 0 0 0 2 4 0 0 R4 – R1

1 3 0 4 2 0 R1 + 2R3

0 0 0 0 0 0 R2 + R3

∼ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 R4 – 2R3

จากเมทริกซแตงเติมจะไดวา x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0, x3 + 2x4 = 0ดังนั้น เซตคําตอบของระบบสมการที่กําหนด คือ {(x1, x2, x3, x4, x5)⏐x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0,

x3 + 2x4 = 0}

add m4-2-chapter1

Education