ABACOM Boletín Matemático

En agosto de 1900 David Hilbert planteó 23 problemas abiertos en matemáticas que marcaron la pauta del trabajo de muchos matemáticos durante el siglo XX. (Ver ABACOM N° 17). La mayoría ya ha sido resuelto, quedando sólo 3 por resolver. En mayo de 2000, el Instituto Clay de Matemáticas (Cambridge, Massachussets) eligió siete conjeturas a las que llamó “Problemas del Milenio”. Paga US$ 1 millón por la resolución de cada uno. El ruso Gregori Perelman resolvió una de las interrogantes, la conjetura de Poincaré, pero increíblemente, rechazó el millonario premio, así como recibir la medalla Fields, considerada el “Premio Nobel de Ma-temáticas”. Lo interesante de estos problemas no es la resolución de la interrogante en sí, sino que los problemas no resueltos mueven al mundo de las matemáticas a desarrollar nuevas teorías y a descubrir muchísimas otras verdades matemáticas. Así aconteció con el intento de la resolución de los pro-blemas planteados por Hilbert que permi-tieron el desarrollo de la matemática del siglo XX. Los siete problemas del milenio son: P versus NP Este es un problema central de la compu-tación teórica y pretende caracterizar la complejidad de un problema. Esta conjetura es la que tiene trastornado a Charlie Eppes, protagonista de la exitosa serie de televisión Numb3rs.

La Conjetura de Hodge Esta conjetura afirma que para ciertos espacios particulares denominados Varie-dades Proyectivas Algebráicas, las partes llamadas Ciclos de Hodge son realmente combinaciones de Ciclos Algebráicos. Ecuaciones de Navier-Stokes Existe desde el siglo XIX un conjunto de ecuaciones que permite estudiar las turbu-lencias en los líquidos y en los gases, sin que exista una teoría matemática que las fundamente. El desafío consiste en encon-trar tal fundamentación. La Hipótesis de Riemann La “función Zeta de Riemann” tiene ceros “triviales”, que son todos los números enteros pares y negativos, y los ceros “no triviales”, cuya parte real está siempre entre 0 y 1. Riemann afirma que la parte real de todo cero no trivial es ½. (Está comprobado para los primeros 1.500 mi-llones de ceros). La Conjetura de Poincaré La conjetura afirma que para n ≥ 3, la úni-ca superficie compacta, orientable y sim-plemente conexa es homeomorfa a la esfe-ra Sn. Esto es, la superficie de una esfera, en cualquier número de dimensiones ma-yor que 2, puede contraerse hasta un único punto de forma continua. La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer Según los matemáticos, es uno de los pro-blemas más complejos. Trata un tipo de ecuación que define curvas elípticas sobre los números racionales. La conjetura plan-tea que hay una forma fácil de saber si esas ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. La Teoría de Yang Mills La teoría de Yang Mills describe partícu-las con masa positiva que poseen ondas clásicas que viajan a la velocidad de la luz. Esto es el “salto de masa”. El problema es establecer la existencia de la teoría y del salto de masa. El desafío está planteado, aún quedan 6 oportunidades para ser millonario.

OCTUBRE 2008OCTUBRE 2008OCTUBRE 2008OCTUBRE 2008

AÑO 7 N°28AÑO 7 N°28AÑO 7 N°28AÑO 7 N°28 Editorial

¿QUIÉN QUIERE SER MILLONARIO?

En esta edición

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pág

Computación Gráfica…….…………....2

Como adivinar un Número ................. .2

Reflexiones ......................................... .3

Secciones Cónicas • La Elipse. ..................................... .4 • Torpedo de Elipse. ....................... .5

Teoría de Grafos • Uniendo vértices. ......................... .6

• Kazimierz Kuratowski. ................ .6

• El Teorema de los 4 colores. ........ .7

• Jugando al Dominó. ..................... .7

• Las tres Casas. ............................. .7

Progresiones Aritméticas y Geométri-cas………….. .................................. ..8

Concurso • Desafío a tu Ingenio ..................... .9

• Sopa Matemática .......................... .9

Juegos Matemáticos ………….. .......... 10

Anécdotas Matemáticas ...................... 10

Matemática Entrete • Cambio de valor de Pi .................. 11

• Gauss, el Teorema de Pitágoras y

los Extraterrestres. ....................... 11

• La Princesa y la Carrera de

Caballos. ...................................... 11

• La Matemática con Risas entra .... 11

• Humor ......................................... 11

Noticias • El Universo de la Luz ................... 12

• XX Olimpíada Nac. de Mat ......... 12

• El Mundo de los Congresos ......... 12

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Luis Véliz Matus ¿CÓMO DIBUJAMOS UNA LINEA?¿CÓMO DIBUJAMOS UNA LINEA?¿CÓMO DIBUJAMOS UNA LINEA?¿CÓMO DIBUJAMOS UNA LINEA?

Ya sabemos que una ima-gen en computación es un conjunto de pixeles (puntos) ordenados en forma matri-cial (ver Abacom N°27). ¿Cómo dibujamos una línea? Si queremos dibujar una línea recta que una dos pixeles, ¿qué pixeles debería pintarse? Para responder

esto, existen varios algoritmos. Uno de los más clásicos es el algoritmo de Bresenham, que básicamente lo que hace es ir midiendo la distancia de la línea al centro de los posibles pixeles a pintar, y pinta los más cercanos. Cuando se dibujan líne-as rectas, se producen “quiebres” de la línea lo cual se denomina Alia-sing, por ejemplo:

De este modo, la línea se ve así:

Para superar este proble-ma se utiliza una técnica denominada Antialiasing, que consiste en pintar pixeles con distintos nive-les de intensidad, por ejemplo: Al aplicar esta técnica la línea se verá así:

El dibujo de líneas es la ba-se para dibujar polígonos y figuras en tres dimensiones, las cuáles a su vez, y agre-gando colores, pueden for-mar una imagen digital.

Si una persona piensa un número entero entre 1 y N, éste se puede adivinar en K preguntas, donde K es el primer exponente de 2 para el cual N es menor o

igual a la potencia 2K, es decir, N � 2K .

Algoritmo (Método): Se define A1 = 1 y B1 = N , se hace: X1= [(A1 + B1)/2] (donde [ ] es la parte entera). Luego se pregunta si el número es mayor que X1. Si la respuesta es afirmativa se hace: A2 = X1 y B2 = B1, en caso contrario A2 = A1 y B2 = X1, haciendo: X2 = [( A2 + B2)/2] y se hace de nuevo la pregunta si el número es mayor que X2, y así sucesi-vamente. El número se adivina cuando sólo queda por decidir entre un número ó 2 números enteros consecutivos. Observación: Si el número está entre dos números enteros A y B (A < B) , el número K de preguntas, se calcula como el primer exponente de 2 para el cual B – A + 1 es menor o igual a la potencia 2K. Se hace A1 = A y B1 = B definiendo los Xi con i = 1, 2, 3, …,K, de la misma manera descrita anterior-mente.

Ejemplo: Si el número a elegir está entre 1 y 8, el número de preguntas será a lo más 3, pues 8 � 23. Suponiendo además que el número pen-

sado es 2, se sigue el siguiente proceso: Se define A1 = 1 y B1 = 8 y se hace: X1 = [(A1 + B1)/2] = 4 y se pregunta ¿el núme-ro es mayor que X1 = 4 ?, la respuesta es no, luego se hace: A2 = A1 = 1 y B2 = X1 = 4, de donde X2 = [(A2 + B2)/2] = 2 y se pregunta ¿el número es mayor que X2 = 2 ?, la respuesta es no. Como quedan 2 posibilidades, la de ser 1 o 2, se pregunta por uno de ellos, por ejemplo, ¿su número pensado es 2 ?, la respuesta en este caso es sí, por lo tanto se adivinó el número en 3 pregun-tas, si hubiera pregun-tado si es el 1 igual habría usado 3 pre-guntas.

COMO ADIVINAR UN NÚMEROCOMO ADIVINAR UN NÚMEROCOMO ADIVINAR UN NÚMEROCOMO ADIVINAR UN NÚMERO Ara Pinilla Palma

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de

Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

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ABACOM Boletín Matemático

REFLEXIONES

Hace algunos días recordaba un tex-to de Víctor Frankl, “ El hombre en busca de sentido”, escrito después de la Segunda Guerra Mundial. Frankl, psicólogo alemán, sobrevi-vió la experiencia de los campos de concentración. En su libro, entre otras cosas, plan-tea que el hombre necesita, para su propia salud mental y superviven-cia , encontrarle sentido a su vida. De hecho esta búsqueda interior corre a cargo, según Frankl, de la propia espiritualidad del ser huma-no, aunque dicho concepto no pa-rece aclararse suficientemente, la intencionalidad de la afirmación es muy profunda. A principios de este siglo, otro psicó-logo: Carl Rogers, por otros cami-nos, también termina por llegar a reconocer que dentro del ser huma-no “ existe una inteligencia” innata (¿espiritualidad?) que lleva al hom-bre a buscar por sí mismo sus pro-pias respuestas y soluciones. La matemática, y en general cual-quier tipo de estudio no es, enton-ces un aprendizaje aislado sino que está dentro de un contexto de sentidos. En particular la matemática, apare-ce como integrada a ese modelo o esquema en el cual el hombre en-cuentra o da sentido a su vida. No es razonable pensar en una estruc-tura mental que proporcione al ser humano una vida coherente y llena de sentido y que esté formada por conocimientos aislados. Conoci-mientos aislados, adquiridos para responder certámenes, posible-

mente memorizados sin la debida comprensión, es difícil que puedan constituirse en un todo organizado y coherente que pueda proporcionar respuestas a preguntas vitales. La pregunta obvia es ¿qué tipo de aporte puede dar la matemática, en el momento que el ser humano quiera darle a su vida un sentido, dirección u orientación? La idea es que el estudiante le en-cuentre sentido al estudio de la ma-temática, pero un sentido personal; es decir que pueda responderse la pregunta ¿que me deja a mí mismo el estudio de la matemática? La inferencia que a uno como do-cente le gustaría hacer es que si un estudiante le encuentra sentido a lo que hace, entonces estudiara con mayor interés y por lo tanto tendrá mejores rendimientos, de paso también tendrá una vida más satis-factoria y agradable en su colegio. Inferencia que tal vez también le agradaría hacer a los administrado-res de la educación. Veamos, la matemática es antes que nada una disciplina que condu-ce al pensamiento humano a una forma estructurada y racional, en la elaboración de juicios o ideas. Esto no es menor. De hecho la ma-temática nos conduce desde los pensamientos subjetivos, conocidos generalmente como “opiniones per-sonales”, a una forma de pensa-miento que tiene el poder de llevar la comunicación a un plano uni-versal. Sin embargo esta “conducción” no elimina la subjetividad ni la intuición del ser humano, elementos que son propios de nuestra mente y que de hecho no es posible eliminar. La matemática nos ayuda a “educar” nuestra mente para que elabore un tipo de ideas que tenga validez universal y no solo validez personal, y claramente esto no es un hecho menor. La ciencia es la gran estructuradora de la forma de organización cultural y social que hoy tenemos y llama-

mos “civilización occidental”. Sin embargo, si el poder objetivo del pensamiento matemático no es “transferido” a nuestros hábitos y conductas cotidianas, a nuestra manera misma de pensar, la ma-temática no ejercerá un cambio real y observable ni por nosotros mismos ni por los demás, en nues-tras estructuras mentales. Podemos, como estudiantes, adqui-rir información matemática, pero ser tan poco racionales y tan subje-tivos en nuestras acciones, como éramos antes de saber matemática. De esta manera, el poder de la ma-temática no se observará ni estará disponible para que podamos definir o buscarle un sentido a nuestra vi-da, desde un enfoque más racional y objetivo. Estos planteamientos, motivados por los autores citados, ofrecen nuevos desafíos a los procesos de enseñanza-aprendizaje, desafíos relacionados con el aprovechamien-to de los conocimientos científicos en la búsqueda de sentido a la pro-pia vida del ser humano y en parti-cular de nosotros mismos y nues-tros estudiantes.

Luis Castro Haase

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ABACOM Boletín Matemático

LA MATEMATICA NO CONSTITUYE UN APRENDIZAJE AISLADO

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LA ELIPSE

Definición y elementos Se llama elipse al lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la suma de sus distan-cias a dos puntos fijos es constante. Los principales ele-mentos de una elip-se son: Focos (F y F ‘): los puntos fijos. Centro (C): punto medio del segmento de extremos los focos. Eje focal (E): recta que pasa por los focos. Eje normal (E ’): recta perpendicular al eje focal y que pasa por el centro. Vértices (V y V ’): puntos en que la elipse intersecta al eje fo-cal. Eje mayor (VV ’ ): segmento de extremos los vértices. Eje menor (BB ‘): segmento de extremos puntos de la elipse, perpendicular al eje focal y que pasa por el centro. Lados rectos (LR y L ’R ‘): segmentos de extremos puntos de la elipse, perpendiculares al eje focal y que pasan por los focos. Cuerda: segmento de extremos puntos de la elipse. Cuerda focal: cuerda que pasa por uno de los focos. Directrices: rectas D y D ‘ que cumplen d(P,F) = e d(P,D), d(P,F ‘ ) = e d(P,D’ ), para todo P punto de la elipse, donde e es una constante llamada excentricidad. Se cumple que e = c/a y 0 < e < 1. La excentricidad da información acerca de la “redondez” de una elipse, del modo siguiente: Si e ≈ 0 entonces la elipse es casi circular.

Si e ≈ 1 entonces la elipse es muy alargada.

Construcción Un proceso mecánico para construir una elipse consiste en colo-car dos alfileres en los focos F y F ’ y un hilo FPF ‘ de longitud 2a , atado a los alfileres. Se coloca un lápiz en el punto P y se mueve de modo que el hilo per-manezca tirante, y así el lápiz describe una elipse (observar que se cumple d(F,P) + d(F ‘,P) = 2a ). Otra forma de construir una elip-se es la siguiente: se hace un cor-te a un cono de cartulina, con un

plano no paralelo a la base; la dirección del corte debe ser de lado a lado de las paredes del cono sin llegar a la base. El perí-metro de este corte será una elipse. Mientras mas paralelo a la base sea el corte la excentricidad de la elipse será menor. Si el plano es paralelo a la base resulta una circunferencia. También se puede construir una elipse mediante pliegues de una hoja (ver ABACOM N° 20 pág. 4).

Aplicaciones de la elipse La primera aplicación que tenemos que mencionar es que las órbitas de los planetas son elípticas, con el Sol en uno de los focos. La Tierra viaja alrededor del sol en una órbita elíptica casi circular con e ≈ 0,0167 y el

cometa Halley viaja en una órbita elíptica larga con e ≈ 0,98.

La elipse tiene una propiedad muy interesante: Una recta tan-gente a una elipse hace ángulos iguales con las cuerdas focales dibujadas al punto de tangencia (ver TORPEDO Propiedad 1). (Esta propiedad de reflexión es similar a una propiedad de la parábola). Cuando colocamos un emisor de ondas en un foco, éstas se reflejarán en las paredes de la elipse y convergerán en el otro foco. Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos, de luz o sonido, pues la emi-sión (de luz o sonido) desde uno de los focos se refleja en el otro foco. En la medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desin-tegrar "cálculos" renales por medio de ondas intra-acuáticas de choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente forma: se coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente y en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas. El foco de la otra parte del elipsoi-de se debe localizar en estos "cálculos" y así al reflejarse las ondas en la superficie del elipsoide de afuera del paciente to-das convergerán en el "cálculo" y éste se desintegrará. (Si se rota una elipse en torno a su eje mayor, se genera una superfi-cie llamada elipsoide). Existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con techos elipsoidales; aquí se puede oír, desde un foco, a una per-sona que habla estando en el otro foco y las personas que están entre estas dos no escucharán.

Víctor Alvarado Alvarado

E’

B

D’

E

V

C

B’

V’

L’

R’

F’

F

L

R

D

F F’

P

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ABACOM Boletín Matemático

TORPEDO DE ELIPSETORPEDO DE ELIPSETORPEDO DE ELIPSETORPEDO DE ELIPSE

Ecuaciones de la Elipse (Sólo se consideran elipses donde sus ejes focal y normal son paralelos o coincidentes, con el ejes coordenados. Otros casos tienen que ver con una rotación de ejes). En lo que sigue: La suma de las distancias entre cualquier punto de la elipse y los dos focos es 2a, a > 0. La distancia del centro a los focos es c, c > 0 y b2 = a2 – c2, a > b Longitud Eje Mayor 2a Longitud Eje Menor 2b Longitud Lado Recto 2b2/a Excentricidad e = c/a Ecuaciones Canónicas Elipse de centro el origen Centro C(0,0), eje focal y nor-mal son los ejes coordenados. • Eje focal eje X:

Focos F(c,0), F’(– c ,0) Vértices V(a,0), V’(– a,0) Extremos Eje Menor B(0,b), B’(0,– b) Extremos Lados Rectos L(c,b2/a), R(c, –b2/a), L’(–c,b2/a), R’(–c, –b2/a) Directrices D: x = a/e ; D’: x = –a/e • Eje focal eje Y:

Focos F(0,c), F’(0,– c) Vértices V(0,a), V’(0,– a) Extremos Eje Menor B(b,0), B’(– b,0) Extremos Lados Rectos L(–b2/a,c), R(b2/a, c), L’(–b2/a , –c), R’(b2/a,–c) Directrices D: y = a/e ; D’: y = –a/e Elipse de centro diferente al origen Centro C(h,k), ejes focal y normal paralelos a los ejes coordenados. • Eje Mayor paralelo al eje X: • Eje Mayor paralelo al eje Y: Las coordenadas de vértices, focos y otros elementos se obtienen respetando los significados de a, b y c.

Ecuación general de una elipse ,

donde A ≠ C, A, C ≠ 0 y del mismo signo.

Recta tangente a una elipse • Elipse de ecuación: Tangente en (x0 ,y0):

Tangentes con pendiente m:

(En una elipse, hay dos tangentes con una pendiente dada). • Elipse de ecuación:

Tangente en (x0 ,y0): Tangentes con pendiente m: (En las fórmulas de las ecuaciones de una elipse el número mayor bajo x2 o y2 es a2. Si a2 está bajo y2 (o (y – k )2) en-tonces en las ecuaciones de las rectas tangentes, a y b de-ben ser intercambiados).

Propiedades 1. Una recta tangente a una elipse hace ángulos iguales

con las cuerdas focales trazadas al punto de tangencia.

2. La recta que une un punto de una elipse con su centro y la recta que pasa por un foco perpendicular a la tangente en el punto, se cortan sobre la directriz correspondiente al foco.

3. La tangente a una elipse en uno de los extremos del lado recto corta al eje en el punto en que éste intersecta a la directriz correspondiente.

4. Si P es un punto de una elipse y Q y R son las proyec-ciones de P sobre los ejes mayor y menor respectiva-mente, entonces

5. Las rectas perpendiculares desde los focos de una elipse de centro el origen, a cualquier recta tangen-te cortan a las tangentes en puntos que están en la circunferencia de ecuación x2 + y2 = a2.

2 2

2 2 1x y

a b+ =

2 2

2 2 1y x

a b+ =

222 bmamxy +±=

B(0,b)

B'(0,-b)

V'(-a,0) V(a,0)

F(c,0)F'(-c,0)C

L' L

RR'

Y

X

V(0,a)

V'(0,-a)

F'(0,-c)

F(0,c)

B(b,0)B'(-b,0)

L'

L R

R'

Y

XC

2 2 0Ax Cy Dx Ey F+ + + + =

12

2

2

2

=+b

y

a

x

0 02 2

1x x y y

a b+ =

1)()(

2

2

2

2

=−+−b

ky

a

hxD’ D

D

D’

2 2

2 21

PR PQ

a b+ =

222)( bmahxmky +±−=−

0 02 2

( )( ) ( )( )1

x h x h y k y k

a b

− − − −+ =

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y k

a b

− −+ =

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x h

a b

− −+ =

Hoy en día podemos ver muchas cosas que nos pueden parecer de lo más coti-dianas: redes de carreteras, líneas de televisión por cable, sistema de trans-porte, circuitos eléctricos de nuestras casas, y muchas otras; lo que no pensa-mos frecuentemente es que éstos for-man parte de algo que en matemáticas se denomina grafo.

La Teoría de Grafos fue creada en 1736 por el matemático suizo Leon-hard Euler (1707 – 1783) (ver bio-grafía y obra en ABACOM N° 4 y N° 26), al resolver un problema que se le planteara. El problema es el siguiente: en el río Pregel de Königsberg había, en el siglo XVIII, dos islas comunica-das entre sí y con las riberas del río me-diante siete puentes como se muestra en la figura siguiente:

La pregunta es: ¿será posible efectuar un recorrido pasando una sola vez por cada puente y regresar al punto de par-tida? (Problema de los Puentes de Königsberg).

Pero…¿qué es un grafo? Un grafo es un conjunto de puntos (vértices) y líneas (aristas) que unen pares de puntos. El grado de cada vértice es el número de aristas que inci-den en él. Dos vértices se dicen adya-centes si están unidos por una arista. Un camino es una sucesión alternada de vértices y aristas (comienza y termi-na en vértice) y cada línea es incidente con el punto anterior y siguiente. Si un camino comienza y termina en un mis-mo punto se llama ciclo. Un ciclo que contiene a todas las aristas del grafo se llama ciclo euleriano. Un grafo es co-nexo si para cada par de puntos existe un camino que los une. La respuesta al problema la obtuvo Eu-ler demostrando el siguiente teorema: "Un grafo conexo admite un ciclo eule-riano si y sólo si todo vértice tiene gra-do par". El grafo siguiente es una re-presentación del problema, donde cada vértice corres-ponde a una porción de tierra (isla o ribera) y las aristas, a los puentes. La respuesta al problema es que no se puede efectuar el recorrido deseado pues el grado de todos los vértices es impar (observar que habría bastado que un vértice tuviese grado par).

Un grafo de p vértices se dice comple-to si todo par de vértices está unido por una arista. Se denota Kp. Un grafo se denomina bipartito si el conjunto de vértices se puede dividir en dos subcon-juntos, de modo que las aristas unen vértices de uno de los subconjuntos con vértices del otro. Si todos los vértices de ambos subconjuntos están unidos por una arista, el grafo se denomina bipartito completo, se denota por Km,n, si los dos subconjuntos tienen m y n elementos. Existen muchos conceptos asociados a grafos. Uno de ellos es la planaridad, estudiada y caracterizada por Kura-towski, y la coloración, que permitió resolver el problema de cuántos colores son suficientes para colorear cualquier mapa.

En general, un problema tiene relación con grafos si se caracteriza por conte-ner objetos y relaciones entre algunos de ellos (los objetos serán representa-dos por vértices de un grafo y las rela-ciones entre ellos por las aristas).

La Teoría de Grafos está relacionada con numerosas ramas de la Matemáti-ca tales como: Teoría de Grupos, Ma-trices, Análisis Numérico, Probabili-dad, Topología, etc. Además tiene múltiples aplicaciones a disciplinas tales como: Física, Química, Electrici-dad, Economía, Computación y otras.

Juan Leiva Vivar

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Uniendo vértices, formando caminos

Matemático y lógico polaco, nacido en Varsovia, cuando aún no existía formalmente Polonia, que había sido divi-dida, estando bajo el control austriaco y ruso. Al terminar la secundaria entró a estudiar ingeniería en la Universidad de Glasgow, en Escocia, des-tacándose en las clases de matemáticas. Sus estudios fueron interrumpidos por la Primera Guerra Mundial. En

1917 retomó los estudios en la Universidad de Varsovia, pero dedicado a estudiar matemáticas, doctorándose en 1922. En 1927 fue designado profesor de la Universidad Técnica de Lvov, lugar donde floreció la legendaria Es-cuela Polaca, una de las agrupaciones matemáticas infor-males más influyentes de este siglo. Su trabajo matemático destacó en Topología y Teoría de Grafos. Recibió grados honoríficos de varias universida-des y ofició como embajador de la matemática polaca en Estados Unidos, Europa (Londres, Roma, Berlín, etc.) y Asia (Pekín, Cantón, Shangai). Falleció el 18 de junio de 1980, en Varsovia.

Kazimierz Kuratowski (1896-1980)

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ABACOM Boletín Matemático

El teorema de los cuatro colores

Una interrogante que perduró por más de un siglo con-siste en determinar cuántos colores son suficientes para colorear bien cualquier mapa plano, sin importar la forma o número de países que éste posea. Debemos entender que un mapa estará bien coloreado si para cada país se emplea un color, de modo que cualesquiera dos países fronterizos estén pintados de colores distintos. Para plantear este problema en términos de Teoría de Grafos, definamos primero el siguiente concepto: Asignar una k – coloración de un grafo G, consiste en dividir sus vértices en k conjuntos sin adyacencias entre ellos.

Así, dado un mapa, éste define un grafo del modo siguiente: cada país (o región) se representa por un vértice y las aristas unen vértices correspon-dientes a países con frontera común. La conjetura de que cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa, en lenguaje de Teoría de Grafos, se expresa del modo siguiente: Es posible asignar una 4 – coloración al grafo asociad o a un mapa cual-quiera. Esta conjetura fue planteada por el matemático alemán August Möbius (1780 – 1868) (ABACOM N° 21) en una conferencia que dictó en 1840, sin embar-go no pudo dar una demostración válida. En 1879 el inglés Alfred Kempe (1849 – 1922), publicó una demostración, pero lamentablemente, en 1890 otro inglés Percy Heawood (1861 – 1955) le detectó una falla. Pasó cerca de un siglo (1976) para que Kenneth Appel y Wolfgang Hanken, de la Universi-dad de Illinois, lograran la demostración definitiva haciendo uso de los avan-ces de la rama de las matemáticas denominada topología y de un computa-dor que trabajó arduamente para procesar datos.

LAS TRES CASAS: UN PROBLEMA DE PLANARIDAD Un problema de ingenio antiguo y muy conocido es el siguiente: Se tienen tres casas y una fuente de agua, un depósito de gas y una central de electricidad. ¿Es posible suministrar de estos 3 ele-mentos a las 3 casas sin que se crucen las conexiones de cables o cañerías?

Este problema tiene que ver con pla-naridad en grafos. Un grafo se dice que es plano si puede representarse en el plano sin que sus aristas se intersec-ten, y se dice que es planar si es iso-morfo a un grafo plano (dos grafos son isomorfos si tienen la misma can-tidad de vértices y de aristas y se pue-de establecer una correspondencia en-tre sus vértices que preserve adyacen-cia). Kuratowski probó que los grafos K5 y K3,3 no son planares, como tampoco lo son los grafos que los contienen. El grafo que representa el problema es exactamente K3,3, por tanto es imposi-ble realizar las conexiones, sin cruces, a las tres casas.

JUGANDO AL DOMINÓ Usando teoría de grafos se puede probar que es posible colocar en hilera todas las cartas de un juego de dominó, sometidas a la regla habitual, es decir que los extremos de las piezas de contacto tengan valores iguales. Consideremos G el grafo completo K7, al que se le agrega un lazo en cada vértice, es decir una arista que une el vértice consigo mismo. Los vértices de este grafo representan los 7 números del juego

(desde el 0 al 6), y las 28 aristas que resultan representan las 28 cartas del dominó. Observar que los lazos corresponden a los “chanchos” y las demás aristas las otras cartas, así por ejemplo, el lazo que une el vértice 6 consigo mismo represen-ta el “chancho seis” y la que une los vértices 1 y 6 es la carta 1 – 6 . Colocar en hilera todas las cartas equivale a hallar un ciclo euleriano en G, esto es un ciclo que contenga todas las aristas de G, exactamente una vez. Como el grado de cada vértice es 8 – número par – de acuerdo al Teorema de Euler, existe tal ciclo, y por tanto es posible colocar todas las piezas del juego en hilera. Consideremos ahora las cartas que no contienen al 6, es decir quedan sólo 21.

¿Será posible colocarlas en hilera? El grafo a considerar ahora es G ’, consistente de K6 , al que se le agrega un lazo en cada vértice. En este grafo, el grado de cada vértice es 7 – número impar – entonces no existe un ciclo euleriano, y por tanto no es posible colocar las 21 piezas en hilera.

3,3K5K

G’

1

3

2

4 5

0

G

6 5

4

3 2

1

0

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

PROGRESIONES ARITMÉTICAS: Una sucesión de números reales es una función a : ℕ֏ℝ . Los elementos del recorrido de la sucesión son

a 1, a 2, a 3,..., a n, ... Por ejemplo:

1, 1/2, 1/3, 1/4, …,1/n, … 0, 2, 4, 6, 8, … , 2n

La sucesión a 1, a 2, a 3, a 4, a 5,..., a n,... se dice que es una Progresión Aritmética (P. A.), si y sólo si d = a i + 1 – a i ∀ i ∈ ℕ, donde d es una constante llamada diferencia de la P. A.

Por ejemplo: 0, 2, 4, 6, 8, …, 2n,…; d = 2 1, 1, 1, 1 ,1 , … ,1 , …; d = 0

De esto se observa que: a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = ( a1 + d ) + d = a 1 +2d

a 4 = a 3 + d = ( a 1 + 2d ) + d = a 1 +3d

Claramente a n = a 1 + (n – 1) d (a n término enésimo de la P. A.) Teorema: Si a 1 es el primer término de una P. A. de diferencia d, en-tonces, la suma de los n primeros términos (Sn) de la progre-sión viene dada por la expresión: Por ejemplo: para la P. A. 3, 5, 7, 9, … se tiene que a1 = 3, d = 2, por tanto la suma de los primeros 12 términos es

En una P. A. los términos que están entre dos términos dados a y b se llaman Medios Aritméticos entre a y b. Por ejemplo: si se desea hallar 5 términos entre 9 y –3, de modo que los 7 términos resultantes formen una P. A. (esto de denomina interpolar medios aritméticos) tenemos que: 9, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, –3 están en P. A. Como a n = a 1 + (n – 1) d entonces a 7 = 9 + (7 – 1)×d = – 3 ⇒ 9 + 6×d = – 3 ⇒ d = – 2

Así: a 2 = 9 – 2 = 7, a 3 = 9 – 4 = 5, a 4 = 9 – 6 = 3 a 5 = 9 – 8 = 1, a 6 = 9 – 10 = – 1

Los cinco medios entre 9 y -3 son: 7, 5, 3, 1, -1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS: La sucesión a 1, a 2, a 3,..., a n,…,con a i ≠ 0, ∀ i ∈ ℕ se dice

que es una Progresión Geométrica (P.G.), si y sólo si donde r es una constante llamada razón de la P.G. De esta definición se tiene que: a 2 = a 1×r

a 3 = a 2×r = (a 1×r)×r = a 1×r 2

a 4 = a 3×r = (a 1×r 2)×r = a 1×r 3

Claramente a n = a 1×r n-1 (a n término enésimo de la P. G.) Teorema: Si a1 es el primer término de una P. G. de razón r ≠ 1. Enton-ces, la suma de los n primeros términos de la progresión vie-ne dada por la expresión: (Si r < 1 entonces se puede sumar los infinitos términos de la

P.G., obteniéndose: ) Por ejemplo: para la P. G. 1, 2, 4, …, determinemos el séptimo término y la suma de los siete primeros términos. Se tiene que a 1 = 1, r = 2. El séptimo término es a 7 = a 1×r 7 – 1 = a 1×r 6 = 1×26 = 64

En una P. G. los términos que están entre dos términos dados a y b se llaman Medios Geométricos entre a y b Por ejemplo: Interpolar tres Medios Geométricos entre 1/27 y 3. Se tiene que: 1/27, a 2, a 3, a 4, 3 están en P.G. Como a n = a 1×r n-1 entonces

a 5 = 3 = (1/27)× r 4 ⇒ r 4 = 81 ⇒ r = ± 3

Así: a 2 = (1/27)×(± 3) = ± 1/9, a 3 = (1/27)×(± 3)2 = 1/3,

a 4 = (1/27)×(±3)3 = ± 1

Los tres medios entre 1/27 y 3 son: 1/9, 1/3 y 1 ó - 1/9, 1/3 y - 1 .

APLICACIONES Las progresiones aritméticas y geométricas tienen muchas aplicaciones en las ciencias físicas, biológicas y sociales, y también en cálculos bancarios y financieros. Muchos pro-blemas de interés compuesto (problema propuesto por los babilonios) y anualidades se resuelven utilizando estos conceptos, así como las operaciones de capitalización y amortización. Otro ejemplo de progresión geométrica es la sucesión de las frecuencias de las notas en la escala temperada. Es una progresión geométrica de razón .

( ) 12

12= 2×3+ 12-1 2 =168

2S

∀ ∈N1i +

i

ar = i

a

( )1

n

1

1

na - rS =

- r

∞a

S =- r

1

1

( ) n 1= 2 + -12

nS a n d

12 2

Danilo Díaz Levicoy

( )

-

7 77

7

1× 1-2 1-2= = =2 - 1 =127

1-2 1S

9

ABACOM Boletín Matemático

Las palabras relacionadas con Isometrías son: Ángulo, Identidad, Isometría, Medida, Plano, Reflexión, Rotación, Simetría, Trasla-ción, Vector.

ConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoCo

Problema 1: El reflejo en el espejo ¿Qué año del siglo XIX aumenta cuatro veces y media si se mira su imagen en un espejo? Problema 2: El segmento incógnito En un triángulo ABC, acutángulo, AH, AD y AM son, respectiva-mente, la altura, la bisectriz y la transversal de gravedad que parten desde A, estando H, D y M en el lado BC. Si las longitudes de AB, AC y MD son, respectivamente, 11, 8 y 1, ¿cuál es la longitud del segmento DH?

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 28

Viola García Paredes

SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 28

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Grafos . Pueden encontrarse en forma vertical, horizon-tal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquier-da a derecha (o vice-versa).

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a:

A B A C O M A B A C O M A B A C O M A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730 · email: abacom@uach.cl

Recepción de soluciones hasta el 28 de Noviembre de 2008

A fin de año se entregarán reconocimientos a los participantes.

Problema 1:

Simplemente hay que separar 10 fichas al azar y darlas vuelta. Este será uno de los grupos y las res-tantes será el otro. Supongamos que de las fichas se-paradas x son blancas y por tanto, 10 – x son azules. Al darlas vuel-ta, quedarán 10 – x fichas blancas

y x azules. Como al inicio había 10 fichas blancas y al separar hemos quitado x fichas blancas, así en cada grupo habrá 10 – x fichas blancas.

Problema 2:

El producto vale 0, pues el ante-penúltimo factor es (x – x) = 0.

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 27

SOLUCIÓN SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 27

EL DURAZNO Y LAS PROGRE-SIONES GEOMÉTRICAS

Te vas a comer un durazno, para ello haces un corte por la mitad, giras las dos partes en sentido con-trario y quedan sepa-radas. Ahora en la parte que tiene el

hueso haces otro corte por la mitad y vuelves a hacer el mismo movimiento sobre las dos partes, girándolas en sentido contrario, y las separas. Ahora haces otro corte del trozo que tiene el hueso por la mitad y las separas de nuevo. Otro corte y separas. No sigas haciendo cortes o llegarás a te-ner entres las manos puré de duraznos y separa simplemente el hueso. Como ves se queda com-pletamente limpio y separado de los trozos del durazno. Bien, si antes de separar el hueso hubieras seguido haciendo cortes por la mitad del trozo con hueso, un número infinito de veces. ¿Esa suma infinita de trozos… tendrá como resul-tado ∞ (infinito)?

(¿1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +… = ∞?) Parece que no, pues el total de esa suma será co-mo mucho todo el durazno y por lo tanto finita? Los términos de la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…están en Progresión Geométrica de razón r = 1/2, así usando la fórmula dada en página 8 se obtiene: (1/2) / (1 – 1/2) = 1. N C A M I N O T O A

I O R A Z O P C D U E C I T R E V Y A O V I S C O M A L R T E S T R A C O M G E D F A H E R J O K L A C O N E X O L A P V A C R A N A L P M B I P A R T I T O O A N D I O Q U E N C

I D E N T I D A D N A U Z B O U I D O O I S O M E T R I A I R R L A U O C D B X T E U P Q A V E C E E V G U L E T M R L M N N S C A H I J F I I A T Y E N G O E S R O T A C I O N R T R I O D M P T M A

O C T U B R E 2 0 0 8

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Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

Este es un juego geométrico que se cree fue in-ventado por Arquímedes de Siracusa (287 a.C. – 212 a.C). Su nombre significa “dolor de tripa”, puesto que se consideraba tan difícil que producía tal dolor a quien intentaba resolverlo. Consiste en 14 polígonos,

combinadas de tal modo que forman un cuadrado. El objetivo es reordenarlas de modo que formen el mismo cuadrado. El propio Arquímedes hizo algunas reflexiones matemáticas de este juego, a la manera que se utiliza el cubo de Rubik, con el fin de introducir conceptos de teoría de grupos. Existen muchas formas diferentes mediante las

que se puede armar el mismo cuadrado con las 14 piezas. La pregunta es… ¿cuántas? La respuesta a esta pregunta la encontró Bill Cutler, un in-formático de Illinois, quien mediante 536 susti-tuciones y 32 rotaciones, halló que son 17.152 el número de formas distintas en que se pueden reordenar las piezas. Te mostramos 3 soluciones y te proponemos que recortes las piezas en cartón e intentes hallar otras. ¡Suerte!

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

Sophie Germain (1776 – 1831) fue una destaca-da matemática francesa.(ver ABACOM N° 18), pero para ella fue difícil dedicarse a la matemáti-ca en el tiempo en que vivió. Primero su padre no le permitía estudiar matemáticas y a los 20 años cuando él aceptó que lo hiciese, no pudo entrar a estudiar a la Es-cuela Politécnica de París, puesto que no esta-

ba permitido el ingreso de mujeres. Así fue como se hizo pasar por un hombre, enviando sus trabajos a Joseph Louis Lagrange, profesor de

Cálculo Diferencial e Integral de la Escuela Politéc-nica, bajo el nombre masculino de Antoine–Auguste Le Blanc. Durante un tiempo mantuvo corresponden-cia con Lagrange, avanzando mucho en sus estudios, hasta que decidió conocerlo personalmente. Cuando el profesor supo que se trataba de una mujer sufrió un desmayo. A partir de allí se hicieron grandes ami-gos y Lagrange divulgó por toda Europa el nombre de Le Blanc como un futuro gran matemático. En 1816, Le Blanc ganó el Gran Premio Matemático, dado anualmente por la Academia de Ciencias de París, por sus trabajos de aplicación de la matemática a la física. Este premio tenía en esa época, una im-portancia similar al Premio Nóbel hoy en día. Al pre-sentarse a recibirlo se expuso como Sophie Germain a todo el mundo, librándose definitivamente del nombre masculino Le Blanc.

ANTOINE – AUGUSTE LE BLANC: EL MATEMÁTICO ENIGMÁTICO

EL STOMACHION: EL PUZZLE DE ARQUÍMEDES Ema Castro Haase

Una persona llega a un depósito de venta de huevos y pregunta al dependiente: - ¿Cuál es el precio de los huevos? - Según la cantidad que compre. La unidad vale $ 80,

pero si compra una bandeja de 30 huevos, le sale por $ 2.100, es decir cada huevo queda en $ 70, la caja con 50 bandejas cuesta $ 82.500, o sea a $ 55 el hue-vo; ahora si compra la camioneta llena de huevos…

- …dígame, ¿cuántos huevos debería comprar para que me salgan gratis?...

*****

En una fiesta de 0 (ceros)... - Llega el 10, y lo atajan en la puerta, y el 10 les dice:

¡Oye, que onda!, ¿acaso no puedo andar con bastón?. - Llega el 101, y cuando lo atajan dice: ¡Oye, loco, no

ves que ando con muletas!... - Llega el 7, y cuando lo atajan dice: ¡Bah, es que pensé

que era una fiesta de disfraces...! - Llega el infinito, y le dicen: ¡Ah, no, usted si que no

entra! Y el infinito reclama: Desgraciados, nos discri-minan por ser siameses...

- Llega el 1 y le dicen: ¿Y usted? Responde: Es que me puse a dieta.

- Llega el 8, y le dicen: Usted si que no entra, y no me diga que viene disfrazado. El 8 responde: No, yo soy un 0, pero vine con cinturón…

- Llega el 6 y antes que lo atajen dice: ¿Qué pasa? ¿No te gustan los "punk"?

- Llega el 90 y dice: Yo pensé que podía traer a mi no-via… con su hermoso vestido con cola...

La matemática… ... con risas entra

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ABACOM Boletín Matemático

En Abril de 1998 una edición de la revista New Mexicans for Science and Reason con-tenía un articulo afirmando que los legislado-res del estado de Alabama habrían votado el cambio del valor del número PI de 3,141592… por el valor “bíblico” de 3. Luego el artículo circuló por Internet siendo leido por miles de personas.

La repercusión de esto quedó claro cuando los legisladores de Alabama comenzaron a recibir centenas de cartas protestando contra la ley. El artículo original, escrito por el físico Mark Boslough, tenía como único objetivo parodiar las tentativas de los legislado-res de limitar la enseñanza de la teoría de la evolución. Todo no pasó de ser una broma de 1° de abril (el equivalente a nuestro día de los inocentes).

CAMBIO DE VALOR DE PI

H U M O R

GAUSS, EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LOS EXTRATERRESTRES

Gauss sugirió, en el siglo XIX, preparar en Siberia una gigantesca figura con el diagra-ma de la demostración euclídea del teore-ma de Pitágoras para que los alienígenas, habitantes de la Luna o Marte, la pudiesen ver con sus telescopios y dedujesen por ella la existencia de seres inteligentes aquí en la

Tierra. Este proyecto fue citado por Julio Verne en la no-vela De la Tierra a la Luna. Un siglo después, el escritor Pierre Boulle utilizaría esta idea de manera similar: este diagrama es el medio que elige Ulises Mérou, el protagonista humano de El planeta de los simios, para mostrar su inteligencia a la chimpancé Zira.

LA PRINCESA Y LA CARRERA DE CABALLOS En un reino muy lejano vivía una hermosa princesa. Hasta este lugar llegaron dos apuestos y poderosos príncipes a pedir su mano. El rey no sabía a cuál de ellos concedería la mano de su hija y les propuso una prueba. Una carrera de caballos entre ambos, pero… con una peculiaridad: la mano de la princesa sería para aquél cuyo caballo llegara el último. Los príncipes, muy confundidos, discutieron acerca de las condiciones de la carrera, pues nin-guno quería ganar, pero tampoco podían quedar-se ambos eternamente parados antes de la meta. Tras deliberar largamente dieron con la solución. La carrera se celebró y durante muchos años se siguió hablando de la velocidad y la rapidez con la que habían corrido los corceles. ¿De qué forma ingeniosa resolvieron el enig-ma?

Respuesta: intercambiaron sus caballos.

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

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Carolina Leiva Cádiz

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Del programa EXPLORA CONICYT:

MUESTRA CIENTÍFICA: EL UNIVERSO DE LA LUZ En el Campus Miraflores de la Universidad Austral de Chile se realizó la muestra científica que tuvo como objetivo cau-tivar en especial a esco-lares de Quinto Básico, profesores y apoderados a través de entretenidas exposiciones sobre la luz. Desde el 27 de septiembre

al 14 de Octubre se expusieron diversas actividades de divul-gación científica a través de experimentos. “La idea de esta muestra es acercar la ciencia a los niños; que se den cuenta que la tecnología es un aporte de la humanidad para hacer de lo complicado, simple y cotidiano”. Señala Juan Leiva, docen-te del Instituto de Matemática de la UACh. “El universo de la Luz, hace un llamado no sólo a quienes estén interesados en ciencia, sino también, a todos los que les guste la exploración de su entorno, o que tengan intereses por la tecnología”, declara la organización Explora. Para lograr esto, la muestra hace un recorrido por la óptica (rama de la física encargada del estudio de la luz), la que está compuesta de 18 módulos, los que comprenden: los primeros estudios de los griegos, grandes descubrimientos del Renacimiento, inves-tigaciones del siglo XX y la aparición de las nuevas tecnolog-ías de uso cotidiano, basadas en las propiedades de la luz. Esta actividad fue considerada un éxito, por el nivel de las exposiciones y la gran cantidad de visitantes al Domo instala-do en la Facultad de las Ciencias de la Ingeniería de la UACh. Los estudiantes de los distintos establecimientos educaciona-les pudieron asistir, ya que la entrada era liberada y se podía visitar en distintos horarios, de lunes a viernes. Para los uni-versitarios, se destinó la última jornada, de 17:30 a 18:30 horas, y las familias pudieron asistir los fines de semana.

XX Olimpiada Nacional de Matemática:

Resultados Prueba Nacional

En Santiago se realizará la Final de la Olimpíada Nacional de Matemática del 23 al 25 de Octubre. Para esta instancia fue-ron seleccionados 123 estudiantes de todo el país. Entre éstos se encuentran 11 de las regiones X, XI y XIV, ellos son:

Javier Garcés (Colegio Alemán de Pto. Varas), Carlos Alva-rado y Rodrigo Galilea (Liceo San Felipe Benicio de Coyhai-que), Bárbara Figueroa (Liceo Austral Lord Cochrane de Cochrane), Waleng Ñancupil (Colegio Domus Mater de Val-divia), Ricardo Vargas (Colegio Alemán de La Unión), Javie-ra Contreras (Liceo Rector Abdón Andrade Coloma de La Unión), María Paz Cociña (Osorno College de Osorno), Mi-chel Lemarie (Saint Thomas College de Osorno), Pablo Po-lanco (Liceo Alianza Francesa de Osorno) y Felipe Vera (Colegio San Mateo de Osorno).

El Mundo de los Congresos:

Tres días llenos de ciencia

El pasado 2 de octubre se le dio fin a la Gran Fiesta Regional de la Ciencia. En Valdivia, se movilizaron di-versos colegios de la Región de los Ríos, para congre-garse e intercambiar conocimientos y proyectos dentro del Parque Saval de Valdivia, lugar que los acogió du-rante tres días (30 de septiembre y el 1 y 2 de octubre). Durante estos días, la ciudad se dio festín con el 5º Congreso Escolar de la Ciencia y la Tecnología EX-PLORA CONICYT.

Los grandes vencedores de esta jornada, en las dife-rentes categorías fueron: Sala Cuna: Pequeño Mundo, con “¿Qué comen los caracoles?”; Pre-escolar, Jardín Infantil Capullito, con “Las plantas también se alimen-tan”; Enseñanza Básica: León Álvarez y José Fierro (Escuela España), con su proyecto, “Efecto de la Tem-peratura sobre atributos de la vida de los áfidos”; Ense-ñanza Media: Sebastián Araneda y Nathia Niklihs-chek (Colegio San Luis de Alba), con “Actividad anti-fúngica de extractos alimenticios en cultivos Candida Krusei y Candida Parapsilosis”. Los ganadores de es-tas últimas dos categorías (uno enseñanza básica y uno enseñanza media), serán los representantes de la Región en el IX Congreso Nacional Escolar, que se realizará en Iquique.

También fueron premiados los estudiantes Marina Gaínza y Theolphil Kluge (4° Medio, Instituto Alemán de Valdivia) y los preescolares del Centro de Estimula-ción del Lenguaje Infantil Quelluén.

La Gran Fiesta de la Ciencia se caracterizó por incenti-var y motivar a los distintos estudiantes de la Región a vincularse con la Ciencia, además de incorporar al público en general con las distintas actividades que se realizaron, por lo que el Programa EXPLORA CONI-CYT, les invita a seguir participando en las diversas actividades que se desarrollarán para lo que queda del año.

Carolina Bartheld Álvarez, Periodista Coordinación Programa EXPLORA CONICYT

Región de Los Ríos www.explora.cl/rios