análisis matemático
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Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias ExactasANALISIS MATEMATICO II (CiBEx - Fısica Medica)
(2013 – Segundo Semestre)
GUIA Nro. 5: INTEGRACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
En esta guıa vamos a considerar la integral definida de una funcion de dos variables sobre una region en elplano y la integral definida de una funcion de tres variables sobre una region en el espacio. Estas integralesse conocen como integrales dobles y triples, respectivamente. Tambien vamos a considerar la integral de unafuncion de varias variables sobre una curva en el plano o el espacio, y sobre un superficie en el espacio.Estasintegrales se conocen como integrales de lınea e integrales de superficie, respectivamente.
La idea es similar a la de integral definida de una funcion de una variable,∫ ba F (x)dx. Cuando F (x) ≥ 0,
esta integral representa el area bajo la curva y = F (x). Pero recordemos que la integral puede definirse sinrecurrir al concepto de area, mediante sumas de Riemann. Comenzamos por dividir el intervalo [a, b] en n
subintervalos que, “por simplicidad”, los tomaremos de igual ancho ∆x = b−an . Se numeran los subintervalos
con i = 1, 2, · · · , n y elegimos un valor de x en cada subintervalo (x∗i ). Ver Figura ??.
Figura 1: Suma de Riemann para una funcion de una variable
Entonces formamos la n-esima suma de Riemann
Sn =n∑i=1
F (x∗i )∆x
y tomamos el lımite de esta suma cuando n→∞ para obtener la integral definida de F desde a hasta b:
∫ b
aF (x) dx = lım
n→∞
n∑i=1
F (x∗i )∆x
En el apendice figura un breve repaso de tecnicas de integracion en una variable y una tabla con primitivastıpicas.
5-1
1. Integrales dobles
En esta seccion vamos a trabajar con integrales DEFINIDAS, para funciones de dos variables sobre regionesplanas, llamadas integrales dobles. Realizaremos el calculo de estas integrales sobre una region dada en elplano y el resultado sera un NUMERO.
1.1. Integral doble en un rectangulo
Pensemos en una funcion de dos variables f : R ⊂ R2 → R, cuyo dominio es un rectangulo cerrado R
con lados paralelos a los ejes coordenados. El rectangulo R puede describirse en terminos de dos intervaloscerrados [a, b] y [c, d], que representan a sus lados a lo largo de los ejes x e y, respectivamente. Esto es,
R = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
o R = [a, b]× [c, d]. (Dibuje el rectangulo R en el plano xy) .
Supongamos por ahora que f(x, y) ≥ 0 en R, de manera que su grafica es una superficie en R3 que esta arribadel rectangulo R. Entonces podemos ver que se forma una region S, que supondremos solida, en R3 con: queel rectangulo R (como “piso”), los cuatro planos verticales x = a, x = b, y = c, e y = d (como “paredes”), yla superficie de la grafica de f (como “techo”). Nuestro objetivo es hallar el volumen del solido S. Ası comoen una variable, se comenzo el estudio de integrales aproximando el area bajo la curva y = F (x) de unafuncion F (x) ≥ 0, en dos variables aproximaremos el volumen bajo la superficie z = f(x, y).
¿Como encaramos la aproximacion? El primer paso es dividir el rectangulo R en subrectangulos. Para ellodividiremos primero los intervalos [a, b] y [c, d] en subintervalos. Por ejemplo, para subdividir el intervalo[a, b], consideramos una particion de [a, b] formada por n subintervalos numerados con i = 1, 2, · · · , n, delmismo ancho ∆x = b−a
n . Procedemos de manera similar para subdividir el intervalo [c, d], considerando unaparticion de [c, d] formada por m subintervalos numerados con j = 1, · · · ,m, del mismo ancho ∆y = d−c
m .Ver Figura ??. Luego R queda dividido en nm subrectangulos, que llamaremos Rij . ¿cual es el area de cadasubrectangulo?
Figura 2: Subdivision del rectangulo R en n ·m subrectangulos de area ∆A = ∆x∆y cada uno
Tomemos un punto “de muestra” cualquiera, que llamaremos (x∗ij , y∗ij), en cada subrectangulo Rij y aprox-
imemos la parte del solido S que esta arriba de Rij con un paralelepıpedo (o “columna”) de base Rij yaltura f(x∗i , y
∗j ). ¿Que volumen tiene esta “columna”? ¿Sabemos calcularlo? El volumen de cada columna
esta dado por f(x∗ij , y∗ij) ∆A.
5-2
Si realizamos este procedimiento de aproximacion para los nm subrectangulos y sumamos los volumenes detodas las “columnas”, obtendremos una aproximacion del volumen total del solido S:
Snm =n∑i=1
m∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
Esta suma se llama suma doble de Riemann (comparar con la suma de Riemann para una funcion de unavariable).
EJEMPLO 1: Estimar el volumen del solido que se encuentra arriba del rectangulo R = [0, 2]×[−1, 1]y debajo del paraboloide elıptico z = 16−x2−2y2. Dividir R en cuatro subrectangulos iguales y elegirel punto “de muestra” como la esquina superior derecha de cada subrectangulo Rij .
El primer paso para la aproximacion es subdividir el rectangulo R. Para ello dividimos primero cadauno de los intervalos [0, 2] y [−1, 1], en dos subintervalos del mismo ancho. R queda ası subdivididoen 4 subrectangulos: R11, R12, R21 y R22, con area ∆A = 1 cada uno. Elegimos como punto “demuestra” la esquina superior derecha de cada Rij, esto es: (x∗11, y
∗11) = (0, 1), (x∗12, y
∗12) = (0, 2),
(x∗21, y∗21) = (1, 1), (x∗22, y
∗22) = (1, 2). Calculamos la correspondiente suma de Riemann para la funcion
f(x, y) = 16− x2 − 2y2 (que resulta positiva sobre R):
S22 =2∑i=1
2∑j=1
f(x∗ij , y∗ij)∆A
= f(1, 0)∆A+ f(1, 1)∆A+ f(2, 0)∆A+ f(2, 1)∆A
= 15 + 13 + 12 + 8 = 48
Con 4 subrectangulos, la aproximacion al volumen del solido es V ≈ 48. Al aumentar el numerode subdivisiones considerando n y m cada vez mas grandes, la aproximacion mejorara. Pruebe conn = m = 4 ¿Que aproximacion al volumen del solido obtuvo? Si el valor exacto del volumen esV = 52,¿mejoro la aproximacion?En este ejemplo, si tenemos en cuenta la simetrıa de la funcion, f(x, y) = f(x,−y) para todo (x, y) ∈R2, observamos que el volumen del solido sobre R = [0, 2] × [−1, 1] es 2 veces el volumen del solidosobre [0, 2]× [0, 1]. Podrıamos haber trabajado entonces sobre el rectangulo mas pequeno y luego hacerV[0,2]×[−1,1] = 2V[0,2]×[0,1]. Utilice este resultado y aproxime el volumen pedido, calculando la sumade Riemann para f sobre [0, 2] × [0, 1] con 4 subrectangulos. Compare con la aproximacion obtenidapreviamente.
En general, cuando f(x, y) ≥ 0 sobre R, podemos expresar el volumen del solido que se encuentra bajo lagrafica de f y arriba del rectangulo R como:
V = lımn,m→∞
n∑i=1
m∑j=1
f(x∗ij , y∗ij) ∆A
Esta expresion induce la siguiente definicion de integral doble sobre un rectangulo:
5-3
DEFINICION:La integral doble de f sobre el rectangulo R es∫ ∫
Rf(x, y) dA = lım
n,m→∞
n∑i=1
m∑j=1
f(x∗ij , y∗ij) ∆A
si el lımite existe.
Se puede demostrar que el lımite de la definicion anterior existe si f es una funcion continua en R. Elresulatdo es un numero real. La definicion es aplicable para funciones positivas y negativas. Cuando f espositiva la podemos interpretar como un volumen: vemos que si f(x, y) ≥ 0 en R, el volumen V del solidoque se encuentra arriba del rectangulo R y debajo de la superficie z = f(x, y) podemos escribirlo como lasiguiente integral doble:
V =∫ ∫
Rf(x, y) dA
Integrales iteradas
Sabemos por lo visto en Analisis I, que evaluar integrales de una variable directamente de la definicion dadaen base a sumas de Riemann es una tarea muy difıcil, sin embargo el Teorema Fundamental del Calculo(TFC) proporciona un metodo mas simple para evaluar integrales. El calculo de integrales dobles a partirde su definicion es incluso mas difıcil, pero veremos en esta seccion una forma practica para calcularlas.
Supongamos que f(x, y) es una funcion continua de dos variables, definida en el rectangulo R = [a, b]× [c, d].Pensemos ahora en la siguiente integral
∫ dc f(x, y)dy. ¿Que significa? Esto quiere decir que la variable x queda
fija mientras f(x, y) se integra con respecto a y, desde y = c hasta y = d. Observemos que∫ dc f(x, y)dy
da una expresion que depende de x. Si ahora integramos esta con respecto a x, desde x = a hasta x = b,obtenemos ∫ b
a
[∫ d
cf(x, y) dy
]dx
que se conoce como integral iterada (iterar significa repetir, volver a hacer un proceso: en este caso laiteracion consiste en integrar una vez y luego volver a integrar otra vez mas). En general, la escribiremos:
∫ b
a
∫ d
cf(x, y) dy dx =
∫ b
a
[∫ d
cf(x, y) dy
]dx
donde queda indicado que primero integramos con respecto a y, desde c hasta d, y luego con respecto a x,desde a hasta b.
De manera similar, tenemos la integral iterada
∫ d
c
∫ b
af(x, y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
af(x, y)dx
]dy
indicando que primero integramos con respecto a x, desde a hasta b, y luego integramos la expresion resul-tante con respecto a y, desde c hasta d.
5-4
EJEMPLO 2: Evaluar las siguientes integrales iteradas: (a)∫ 20
∫ 31 x2y dy dx; (b)
∫ 31
∫ 20 x2y dx dy
(a) Primero hacemos∫ 31 x
2 y dy, o sea que la variable x queda fija mientras x2y se integra con respectoa y, desde y = 1 hasta y = 3: ∫ 3
1x2y dy =
[x2 y2
2
]y=3
y=1
= x2
(32
2
)− x2
(12
2
)= 4 x2
Ahora integramos esta expresion con respecto a x, desde x = 0 hasta x = 2:∫ 2
04 x2 dx =
[4x3
3
]x=2
x=0
= 4(
23
3
)− 4
(03
3
)= 4
83
=323
(b) En este caso, primero hacemos∫ 20 x
2ydx:∫ 3
1
∫ 2
0x2y dx dy =
∫ 3
1
[∫ 2
0x2y dx
]dy =
∫ 3
1
[x3
3y
]x=2
x=0
dy
=∫ 3
1
(83y
)dy =
[83y2
2
]3
1
=323
Podemos notar que en el ejemplo previo obtuvimos la misma respuesta al integrar primero con respecto ay o primero con respecto a x. En general, resulta que las dos integrales iteradas son iguales, es decir que elorden de integracion no altera el resultado. El siguiente teorema da un metodo para evaluar una integraldoble expresandola como integral iterada (en cualquier orden):
TEOREMA DE FUBINI:Si f : R ⊂ R2 → R es una funcion continua en el rectangulo R = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d},entonces ∫ ∫
Rf(x, y) dA =
∫ b
a
∫ d
cf(x, y) dy dx =
∫ d
c
∫ b
af(x, y) dx dy
En general el Teorema de Fubini se cumple si suponemos que f esta acotada en R, es discontinua solo enun numero finito de curvas suaves, y existen las integrales iteradas.
El Teorema de Fubini dice entonces que una integral doble sobre un rectangulo puede calcularse medianteintegrales iteradas, esto es, integrando con respecto a una variable a la vez y ademas en cualquier orden deintegracion, lo que es muy conveniente como veremos en los ejemplos.
5-5
EJEMPLO 3: Calcular la integral doble∫ ∫
R(1 + 6xy2) dA, donde R = [0, 2]× [−1, 1]
Para calcular la integral sobre el rectangulo R utilizaremos el teorema de Fubini y como podemos elegirel orden de las integrales iteradas, haremos:
∫ 2
0
[∫ 1
−1(1 + 6xy2)dy
]dx =
∫ 2
0
[y + 6x
y3
3
]1
−1
dx
=∫ 2
0[(1 + 6x)− (−1− 2x)] dx
=∫ 2
0(2 + 4x) dx =
[2x+ 4
x2
2
]2
0
= 12
Calcular la otra integral iterada, y verificar que se obtiene el mismo resultado.
EJEMPLO 4: Calcular∫ ∫
R y sen(xy)dA, donde R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π}
Si primero integramos con respecto a x, obtenemos∫ ∫Ry sen(xy) dA =
∫ π
0
∫ 2
1y sen(xy) dx dy
=∫ π
0[− cos(xy)]x=2
x=1 dy
=∫ π
0[− cos(2y) + cos y] dy
=[−1
2sen(2y) + sen y
]π0
= 0
Notar que la primera integral requiere dar una primitiva para una funcion del tipo k sen(kx). Encambio la otra integral iterada, con la integracion de y sen(xy) con respecto a y, esto es, se necesitauna primitiva para una funcion de la forma: polinomio (en y) por funcion trigonometrica, que requiereintegracion por partes. Claramente en este ejemplo conviene la primera integral iterada!
EJEMPLO 5: Calcular el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados,el plano x = 3 y el cilindro parabolico z = 4− y2. Esboce el grafico del solido.
El volumen puede obtenerse como la integral doble de la funcion f(x, y) = 4− y2, que resulta positivasobre el rectangulo [0, 3] × [0, 2]. En el primer octante z ≥ 0, luego se debe tener 4 − y2 ≥ 0, esto es
5-6
|y| ≤ 2. Si primero integramos con respecto a x, obtenemos∫ ∫R
(4− y2) dA =∫ 2
0
∫ 3
0(4− y2) dx dy
=∫ 2
0
[(4− y2)x
]x=3
x=0dy
=∫ 2
0(4− y2)3 dy = 3
∫ 2
0(4− y2) dy
= 3[4y − y3
3
]2
0
= 16
Evalue la otra integral iterada. ¿Da lo mismo? ¿Cual le parece mas facil de resolver?
1.2. Integral doble en una region plana general
En el caso de integrales definidas en una variable la region de integracion es un intervalo, pero en dosvariables la situacion es mas rica y hay mayor variedad de regiones para considerar. Hasta ahora estudiamosintegrales dobles sobre rectangulos; en esta seccion definiremos la integral doble sobre una region D masgeneral. Supongamos que D es una region acotada, es decir que existe una region rectangular R tal queD ⊂ R. Definimos entonces una nueva funcion F , con dominio R, de la siguiente forma:
F (x, y) =
{f(x, y) si (x, y) ∈ D0 si (x, y) ∈ R−D
Entonces, si la integral doble de F sobre R existe (notar que es una integral sobre un rectangulo), definimosla integral de f sobre D como: ∫ ∫
Df(x, y)dA =
∫ ∫RF (x, y)dA
donde la segunda es una integral sobre un rectangulo que ya sabemos calcular. Por otra parte, la definiciones “natural” (razonable) ya que F (x, y) = 0 cuando (x, y) se encuentra fuera de D y por lo tanto “no aportanada” a la integral. Notemos que no importa el rectangulo R que consideremos, el unico requisito es quecontenga a D.
Nos preguntamos, ¿que pasa cuando f(x, y) ≥ 0? La integral doble∫ ∫
D f(x, y) dA ¿es el volumen delsolido que se encuentra arriba de D y debajo de la grafica de f? Es facil darse cuenta que sı. Observemosque f(x, y) ≥ 0 implica que F (x, y) ≥ 0 tambien, y la
∫ ∫R F (x, y) dA (integral sobre un rectangulo) es
entonces el volumen del solido que se encuentra arriba de R y debajo de la grafica de F , pero ambos solidostienen el mismo volumen!
En general, es posible que F tenga discontinuidades en los puntos de la frontera de D (¿cuando esto noocurrirıa?, ¿como serıa f en ese caso?). Sin embargo, si f es continua en D y ademas la frontera de Des una curva “bien comportada”, se puede demostrar que la integral doble de F sobre R existe y por lotanto
∫ ∫D f(x, y) dA existe. Estudiaremos a continuacion, regiones de integracion D que tienen este “buen
comportamiento”: las clasificaremos en regiones de tipo I y regiones de tipo II. Hay regiones del plano queson de ambos tipos (“muy bien comportadas”), y otras que no son de ninguno de estos tipos...veremosque hacer en este caso.
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Regiones planas de tipo I y tipo II
Una region es de tipo I si se encuentra entre las graficas de dos funciones continuas de la variable x,esto es:
DI = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
donde g1 y g2 son funciones continuas de x en [a, b].Ver Figura ??.
Por ejemplo, la region del plano xy limitada por las curvas y = x, y = x2 y las rectas verticales x = 3y x = 4, es una region de tipo I, ¿en que intervalo de x? Un cırculo de radio 1 centrado en el origen,es una region de tipo I en el intervalo [−1, 1]. ¿Cuales son las funciones g1(x) y g2(x)? La regionencerrada entre dos cırculos concentricos centrados en el origen con radios 1 y 2, respectivamente, noes una region de tipo I; ¿por que? La region encerrada entre el eje x y la funcion g(x) = [x] (funcion“parte entera”) en el intervalo [1, 3], no es de tipo I, pero sı es union de dos regiones de tipo I, ¿cualesson? Dibujelas.
Figura 3: Algunos ejemplos de regiones de tipo I
Supongamos entonces que D es una region de tipo I, ¿como encaramos en este caso el calculo de laintegral doble sobre la region D? Siguiendo la definicion, eligiremos un rectangulo R que contenga aD (¿existira?) y luego definimos F , que coincidira con f en D y se anulara fuera de D. Aplicandofinalmente la definicion: ∫ ∫
Df(x, y) dA =
∫ ∫RF (x, y) dA
Si aplicamos el Teorema de Fubini en la ultima integral (explique porque podemos hacerlo), tenemos:∫ ∫RF (x, y) dA =
∫ b
a
∫ d
cF (x, y) dydx
Si tenemos en cuenta que F (x, y) = 0 si y < g1(x) o y > g2(x) (¿por que?), podemos escribir:∫ d
cF (x, y) dy =
∫ g2(x)
g1(x)F (x, y) dy =
∫ g2(x)
g1(x)f(x, y) dy
donde hemos tenido en cuenta que F (x, y) = f(x, y) en D, o sea cuando g1(x) ≤ y ≤ g2(x). O seaque finalmente podemos escribir una integral doble sobre una region D de tipo I, como una integraliterada:
PROPIEDAD:Sea f : DI ⊂ R2 → R una funcion continua en una region DI de tipo I,
DI = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}
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donde g1 y g2 son funciones continuas en [a, b], entonces∫ ∫DI
f(x, y) dA =∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)f(x, y) dy dx
Una region es de tipo II si se encuentra entre las graficas de dos funciones continuas de la variable y,esto es:
DII = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
donde h1 y h2 son funciones continuas en [c, d]. Ver Figura ??.
Figura 4: Algunos ejemplos de regiones de tipo II
Procediendo de manera similar a lo que hicimos con las regiones de tipo I, se puede demostrar paralas regiones de tipo II un resultado semejante:
PROPIEDAD:Sea f : DII ⊂ R2 → R una funcion continua en una region DII de tipo II,
DII = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}
donde h1 y h2 son funciones continuas en [c, d], entonces∫ ∫DII
f(x, y) dA =∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)f(x, y) dx dy
EJEMPLO 6: Hallar∫ ∫
D(x3y + cosx)dA, donde D es el triangulo en el plano xy con vertices(0, 0), (π2 , 0) y (π2 ,
π2 ).
Observemos que el triangulo D es una region de tipo I:
D = DI = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π
2, 0 ≤ y ≤ x}
y tambien es una region de tipo II:
D = DII = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ π
2, y ≤ x ≤ π
2}
5-9
Entonces, podemos calcular la integral doble integrando primero con respecto a y (D = DI como regionde tipo I) o primero con respecto a x (D = DII como region de tipo II). Para ilustrar el procedimiento,lo haremos de las dos formas:
(a) Consideremos D = DI :∫ ∫D
(x3y + cosx) dA =∫ π/2
0
∫ x
0(x3y + cosx)dy dx
=∫ π/2
0
[x3y2
2+ (cosx)y
]x0
dx =∫ π/2
0
(x5
2+ x cosx
)dx
=[x6
12
]π/20
+∫ π/2
0(x cosx) dx =
π6
(12) (64)+ [x senx+ cosx]π/20
=π6
768+π
2− 1
Notar que en el calculo anterior, necesitamos aplicar “integracion por partes” para hallar una primitivade x cosx.
(b) Consideremos ahora D = DII :∫ ∫D
(x3y + cosx) dA =∫ π/2
0
∫ π/2
y(x3y + cosx)dx dy
=∫ π/2
0
[x4 y
4+ senx
]π/2y
dy =∫ π/2
0
(π4 y
244+ 1− y5
4− sen y
)dy
=[π4y2
27+ y − y6
24+ cos y
]π/20
=π6
(8) (64)+π
2− π6
(24) (64)+ 0− 1
=π6
768+π
2− 1
Como era de esperar, considerando a D de tipo I o de tipo II, llegamos al mismo resultado. En cuantoal grado de dificultad de los calculos, si bien fue semejante en ambos casos, notemos que cuandoconsideramos D = DI fue necesario aplicar “integracion por partes”.
Este ejemplo nos muestra la conveniencia de observar un poco las integrales antes de decidir el orden de lasintegrales iteradas. Esta observacion comprende tanto la region a integrar, como el integrando. Notar, porejemplo, que la
∫ ∫x dA sobre un cırculo D centrado en el origen, da 0 por simetrıa.
Recordemos que cuando f(x, y) ≥ 0 sobre la region D, la integral doble es el volumen del solido que esta porarriba de la region D y por debajo de la grafica de f . En los dos ejemplos siguientes usaremos integral doblepara calcular el volumen de un solido.
EJEMPLO 7: Determinar el volumen del solido acotado por arriba por el cilindro parabolico z = x2
y por debajo por la region del plano xy encerrada por la parabola y = 2− x2 y la recta y = x.
Veamos primero que tipo de region es D: si observamos la Figura ?? nos damos cuenta que D esuna region de tipo I, pero no es una region de tipo II, ¿explique por que?. Necesitamos los puntosde interseccion entre la recta y = x y la parabola y = 2 − x2 para poder definir a la region D.Ası vemos que, reemplazando y = x en la ecuacion de la parabola, queda x = 2 − x2, que tiene 2
5-10
Figura 5: Region del plano encerrada por la parabola y = 2− x2 y la recta y = x
soluciones, x = 1 y x = −2. Como y = x, los puntos de interseccion son (1, 1) y (−2,−2). EntoncesD = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2− x2}, y evaluamos las siguientes integrales iteradas:
V =∫ 1
−2
[∫ 2−x2
xx2 dy
]dx
=∫ 1
−2
[x2((2− x2)− x)
]dx =
∫ 1
−2(2x2 − x4 − x3) dx
= 2x3
3− x5
5− x4
4
]1−2
=315− 17
4− 2
EJEMPLO 8: Halle el volumen del tetraedro limitado por los planosx+ 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 y z = 0. Ver Figura ??.
Figura 6: (a) Tetraedro en el primer octante (b) Region de integracion D en el plano xy
Comenzamos haciendo una representacion grafica del solido en R3. La base del tetraedro es un triangu-lo en el plano xy, ¿cuales son las rectas que lo limitan? Son las rectas del plano xy determinadas cuandolos planos de las “paredes” y el plano del “techo” cortan el plano del “piso”, esto es, i) el plano xz
corta al xy en el eje y, o sea en la recta x = 0, ii) el plano x = 2y, corta al xy en la recta x = 2y, iii)el plano x + 2y + z = 2 corta al xy en la recta x + 2y = 2. O sea que D es el triangulo limitado porlas rectas x = 2y, x+ 2y = 2 y x = 0. Vemos que el solido se encuentra por arriba del triangulo D ypor debajo del plano z = 2− x− 2y.
D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,x
2≤ y ≤ 1− x
2}
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Si ahora integramos nos queda:
V =∫ ∫
D(2− x− 2y)dA =
∫ 1
0
∫ 1−x2
x2
(2− x− 2y) dy dx
=∫ 1
0
[2y − xy − y2
]y=1−x2
y=x2
dx
=∫ 1
0
[2− x− x
(1− x
2
)−(
1− x
2
)2− x+
x2
2+x2
4
]dx
=∫ 1
0(x2 − 2x+ 1) dx =
[x3
3− x2 + x
]1
0
=13
Como ya hemos mencionado, en algunos casos puede ser conveniente invertir el orden de la integracion;por ejemplo, cuando la integral es muy difıcil e intentamos ver si en el orden inverso la dificultad esmenor. ¿Como invertir el orden de integracion? Mostraremos un ejemplo simple:
EJEMPLO 9: Graficar la region de integracion para la integral∫ 2
0
∫ 2x
x2
(4x+ 2) dy dx
Escribir una integral equivalente con el orden de integracion inverso.
La region de integracion es D = DI = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}. Al trazar el grafico de laregion D, vemos que D esta limitada por las curvas y = x2 e y = 2x entre x = 0 y x = 2.Para encontrar los lımites de integracion en el orden inverso, es decir cuando integramos primerorespecto de x y luego respecto de y (esto es, D = DII), podemos hacer lo siguiente: imaginamos unarecta horizontal que “atraviese” la region de izquierda a derecha. Notamos que la recta “entra” enx = y
2 y “sale” en x =√y. Luego hacemos que y varıe desde y = 0 hasta y = 4. La integral entonces
queda: ∫ 4
0
∫ √yy2
(4x+ 2) dx dy
El valor comun de estas dos integrales es 8. Hacer las dos integrales como ejercicio.
Propiedades de las integrales dobles
Sean f y g funciones de dos variables y supongamos que existen las integrales dobles∫ ∫
D f(x, y)dA y∫ ∫D g(x, y)dA, donde D es una region plana general. Entonces se cumple:
1.∫ ∫
D [f(x, y) + g(x, y)] dA =∫ ∫
D f(x, y)dA+∫ ∫
D g(x, y)dA
2.∫ ∫
D cf(x, y) dA = c∫ ∫
D f(x, y) dA, donde c ∈ R es una constante.
3. Si f(x, y) ≥ g(x, y) para todo (x, y) ∈ D:∫ ∫Df(x, y) dA ≥
∫ ∫Dg(x, y)dA
5-12
4. Si D = D1 ∪D2, donde D1 y D2 no se intersecan salvo quizas en sus fronteras, entonces∫ ∫Df(x, y) dA =
∫ ∫D1
f(x, y) dA+∫ ∫
D2
f(x, y) dA
5. Si integramos la funcion constante f(x, y) = 1 sobre una region D, obtenemos el area de D.∫ ∫D
1 dA = A(D)
6. Si m ≤ f(x, y) ≤M para todo (x, y) ∈ D, entonces
mA(D) ≤∫ ∫
Df(x, y) dA ≤M A(D)
1.3. Integral doble en coordenadas polares
Supongamos que se pretende calcular∫∫D xy dA, donde D es la porcion, en el primer cuadrante, de la corona
circular de radio interior 2 y radio exterior 5. Algunas regiones del plano, como esta D, son descriptas masfacilmente usando coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas (repasar lo visto en la Guıa 1 –Seccion 8.1). Por otro lado, una funcion de dos variables definida para puntos P del plano puede tambientener una expresion mas simple si se escriben x e y en terminos de r y θ. En uno u otro caso, conviene operaren coordenadas polares. Veamos entonces como se calcula una integral doble en este sistema de coordenadas.
Empezamos por recordar la nocion del denominado “rectangulo polar” o sector de corona circular, visto enel Ejercicio 10 de la Guıa 1:
R = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
cuya area esta dada por
A(R) =12
(b2 − a2)(β − α).
Como ejemplo, el sector de corona circular entre los radios 2 y 3, y entre los angulos π3 y π
6 es el conjunto{(r, θ) : 2 ≤ r ≤ 3, π
6 ≤ θ ≤ π3 }; notar que, en coordenadas cartesianas, esta misma region se escribe
{(x, y) : 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9, 1√3≤ y
x ≤√
3} (grafique e indique si se trata de una region de tipo I, o de tipo II,o de tipos I y II a la vez, o ni I ni II).Una funcion f de dos variables puede darse en terminos de las coordenadas polares, a traves de la composi-cion:
f (x(r, θ), y(r, θ)) = f(r cos θ, r sen θ).
Como ejemplo, la funcion que indica la distancia de un punto al origen, f(x, y) =√x2 + y2, resulta simple-
mente f(r cos θ, r sen θ) =√
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 = r.
Con estos ingredientes, aplicamos la idea de sumas de Riemann al calculo de una integral definida de unafuncion de dos variables, sobre una region del plano con forma de “rectangulo polar”.Para ello, dividimos la region R en nm “subrectangulos polares” dando una subdivision del radio en n
tramos iguales de largo ∆r = b−an , y una subdivision del angulo en m partes cada una de las cuales subtiende
5-13
Figura 7: Subdivision del sector de corona circular determinado por r ∈ [a, b], θ ∈ [α, β].
un arco de ∆θ = β−αm . ¿Cual es el area de cada subsector de corona circular Rij , entre ri y ri + ∆r, y entre
θj y θj + ∆θ? Ver Figura ??.
Aplicando la expresion dada mas arriba para el area de un sector de corona, tenemos∆Aij = 1
2 [(ri + ∆r)2 − r2i ] [(θj + ∆θ)− θj ] = 12 [2ri ∆r + (∆r)2] ∆θ.
Dado que ∆r es muy pequeno (tomando n suficientemente grande), se puede despreciar el termino cuadratico,y resulta
∆Aij = ri ∆r∆θ
Observar que es razonable que aparezca el factor ri, pues para ∆r y ∆θ fijos, los subsectoresRij mas alejadosdel origen tienen area mayor.Dentro de cada subsector Rij , elegimos un punto de muestra, que estara caracterizado por un radio r∗ij yun angulo θ∗ij . Luego, la suma de Riemann doble en coordenadas polares queda
Snm =n∑i=1
m∑j=1
f(r∗ij cos θ∗ij , r∗ij sen θ∗ij) r
∗ij ∆r∆θ
que, en el lımite para n y m tendiendo a +∞, da la integral buscada.
DEFINICION:La integral doble de f en coordenadas polares sobre el sector de corona circular R (denotado por Rxy cuandose expresa en coordenadas cartesianas, y por Rrθ cuando se expresa en coordenadas polares), es∫ ∫
Rxyf(x, y) dA =
∫ ∫Rrθ
f(x(r, θ), y(r, θ)) r dr dθ = lımn,m→∞
n∑i=1
m∑j=1
f(r∗ij cos θ∗ij , r∗ij sen θ∗ij) r
∗ij ∆r∆θ
si el lımite existe.
OBSERVACION: Notamos que, al integrar en coordenadas polares, aparece un factor r que multiplica alos diferenciales dr y dθ para formar el elemento de area: dA = r dr dθ. Se puede demostrar (mire en la bibli-ografıa) que ese factor esta directamente relacionado con el Jacobiano de la transformacion de coordenadas
5-14
cartesianas (x, y) a coordenadas polares (r, θ):
J(r, θ) ≡ ∂(x, y)∂(r, θ)
=
∣∣∣∣∣∣∣∂x∂r
∂x∂θ
∂y∂r
∂y∂θ
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣ cos θ −r sen θsen θ r cos θ
∣∣∣∣∣ = r
Para ser precisos, el factor que aparece al sustituir las variables es el valor absoluto del Jacobiano:|J(r, θ)| = r.(No se debe olvidar el valor absoluto, ya que eso asegura que el elemento de area sea positivo!!)
NOTA ADICIONAL: El factor |J | no resulta tan sorprendente, si recordamos que para una funcionde una variable, la tecnica de sustitucion dice que
∫ ba f(x) dx =
∫ u(b)u(a) f(x(u))x′(u) du. Esto es, cuando se
escribe x en terminos de u, aparece un factor x′(u) = dxdu , que es el analogo a J(r, θ) = ∂x
∂r∂y∂θ −
∂x∂θ
∂y∂r (en
valor absoluto). Recordar ademas que la sustitucion implica redefinir el intervalo de integracion.Se puede probar un resultado mas general, la llamada transformacion (o cambio) de coordenadas, de (x, y)a (u, v), para funciones de dos variables, que permite calcular una integral doble como∫ ∫
Rxy
f(x, y) dx dy =∫ ∫
Ruv
f(x(u, v), y(u, v))∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dvdonde se incluye el valor absoluto del Jacobiano de la transformacion: |J(u, v)| = |xuyv − xvyu|, y se tieneen cuenta la redefinicion de la region de integracion de modo que (u, v) ∈ Ruv. En ciertas ocasiones estatransformacion facilita los calculos, ya sea porque simplifica la funcion a integrar, o porque resulta massencilla la region de integracion, o por ambos motivos! Busque algun ejemplo en la bibliografıa y estudielo.
Por ultimo, en coordenadas polares es aplicable la nocion de integrales iteradas, y tambien se puede definirla integral doble para regiones polares generales en el plano. En este caso, hablamos de regiones polares detipos I o II, cuando se dan entre valores fijos del radio o del angulo, respectivamente. ¿Como definirıa estasregiones? ¿Como serıan los graficos tıpicos?
En el siguiente ejemplo resumimos los pasos a seguir para calcular una integral doble usando coordenadaspolares.
EJEMPLO 10: Calcular∫∫D xy dA donde D es la porcion, en el primer cuadrante, de la corona
circular de radio interior 2 y radio exterior 5.
1) Expresamos la region de integracion en coordenadas polares, usando que x = r cos θ, y = r sen θ:4 ≤ x2 + y2 ≤ 25 implica 4 ≤ r2 ≤ 25, luego r ∈ [2, 5]; mientras que x > 0, y > 0 implicanθ ∈ (0, π2 ). Luego Rrθ = [2, 5]× [0, π2 ] que es un rectangulo polar.
2) Expresamos la funcion a integrar, en coordenadas polares (sustituyendo x por r cos θ e y porr sen θ):f(x, y) = xy implica f(x = r cos θ, y = r sen θ) = r cos θ r sen θ = r2 sen θ cos θ.
3) Armamos la integral, agregando el Jacobiano r:∫∫D xy dA =
∫ π/20
∫ 52 r
2 sen θ cos θ (r dr dθ) =(∫ π/2
0 sen θ cos θ dθ) (∫ 5
2 r3 dr
).
Complete el calculo y compruebe que el resultado de la integral es 6098 .
5-15
En el ultimo paso resuelto en el ejemplo, observe que usamos la propiedad de factorizacion: dado que elintegrando es un producto de la forma g(r)h(θ) y los lımites de integracion son fijos, se pueden hallar las dosintegrales por separado. Esta propiedad NO se puede aplicar, por ejemplo, si el integrando es de la formaln(r3 − θ) o los lımites son variables.
EJEMPLO 11: Hallar el volumen del solido delimitado por la superficie conica z =√x2 + y2 y la
superficie esferica z =√
1− x2 − y2.
El solido S en este ejemplo tiene la forma de “un cucurucho con una bocha de helado” (grafique).Notamos que la coordenada z de los puntos del solido satisface
√x2 + y2 ≤ z ≤
√1− x2 − y2, lo
que indica que el “techo” de S es una parte de la superficie de la esfera, la cual puede verse como lagrafica de la funcion de dos variables t(x, y) =
√1− x2 − y2, mientras que el “piso” de S no es z = 0
en este ejemplo (como vimos en la mayorıa de los ejemplos anteriores de calculo de volumen), sinoque es una parte de la superficie del cono, la cual puede verse como la grafica de la funcion de dosvariables p(x, y) =
√x2 + y2. El volumen se expresa, por lo tanto, como
V (S) =∫ ∫
D[t(x, y)− p(x, y)] dA =
∫ ∫D
[√1− x2 − y2 −
√x2 + y2
]dA
Nos falta determinar la region de integracion D. Sospechamos (por el dibujo realizado) que se trata deun cırculo. La frontera de la region de integracion D es, de hecho, la proyeccion sobre el plano xy de lacurva interseccion C entre las superficies del cono y la esfera. Resolvamos esta interseccion igualando
las expresiones para z:√x2 + y2 =
√1− x2 − y2, de donde se obtiene x2 + y2 = 1
2 con z =√
12 (esto
es, la curva interseccion C tambien se puede ver como la interseccion de una superficie cilındrica conun plano horizontal). Proyectando en el plano xy, deducimos que la ecuacion x2 +y2 = 1
2 es la fronterade la region de integracion, esto es, D = {(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1
2}.
Vemos que tanto la funcion a integrar t(x, y)− p(x, y) como la region de integracion D se describenmuy facilmente si trabajamos en coordenadas polares. Efectivamente, se tiene
V (S) =∫ ∫
Drθ
[√
1− r2 − r](r dr dθ)
donde Drθ = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤√
12 , 0 ≤ θ ≤ 2π}. la solucion finalmente es V (S) = π(4
3 −√
22 ) (que
resulta una cantidad positiva).
En este ejemplo podrıamos haber utilizado una simetrıa del problema: el volumen total de S es igual a 4veces el volumen del solido contenido en el primer octante. Este calculo alternativo corresponde a la regionde integracion dada por un cuarto de cırculo, solo en el primer cuadrante, o sea el mismo intervalo para rpero con θ ∈ [0, π2 ].Es muy util analizar las simetrıas de un problema, si las tiene, dado que muchas veces nos puede facilitarla respuesta, sin hacer ningun calulo!. Por ejemplo,
∫∫D x dA sobre un cırculo D centrado en el origen da
0, por simetrıa (sin cuentas). Para convencerse, piense en las sumas de Riemann para esta integral: cadaelemento de area dA (un subrectangulo polar) se multiplica por el valor de muestra x en ese subrectangulo;pero hay tantos valores de x positivos como negativos, de modo que se cancelan.
5-16
1.4. Aplicaciones de las integrales dobles
Discutimos en esta seccion algunas aplicaciones fısicas de las integrales dobles.
Valor promedio de una funcion de dos variables
Si x1, x2, · · · , xn son n numeros, su promedio esta definido por [xi]prom = (x1 +x2 + · · ·+xn)/n = 1n
∑ni=1 xi
(por ejemplo: la altura promedio de los alumnos del curso). Este concepto nos lleva a definir el valor promediode una funcion de una variable F en el intervalo [a, b] como
Fprom =1
b− a
∫ b
aF (x)dx
donde b−a es la longitud del intervalo de integracion (como n era el numero de elementos en el caso discretodado). Ejemplo: Densidad promedio de una varilla metalica.
Asimismo para funciones de dos variables, f : D ⊂ R2 → R, decimos que el valor promedio de f sobre D es:
fprom =1
A(D)
∫ ∫Df(x, y)dA
donde A(D) es el area de D. Teniendo en cuenta que A(D) =∫ ∫
D dA, podemos escribir el valor promediocomo:
fprom =
∫ ∫D f(x, y) dA∫ ∫
D dA
Ejemplo: Temperatura promedio de una placa bidimensional.
EJEMPLO 12: Hallar el valor promedio de f(x, y) = x sen2(xy) en D = [0, π]× [0, π]
Primero calculamos∫ ∫Df(x, y)dA =
∫ π
0
∫ π
0x sen2(xy)dydx
=∫ π
0
[∫ π
0x
1− cos(2xy)2
dy
]dx =
∫ π
0
[xy
2− sen(2xy)
4
]y=πy=0
dx
=∫ π
0
[πx
2− sen(2πx)
4
]dx =
[πx2
4+
cos(2πx)8π
]x=πx=0
=π3
4+
cos(2π2)− 18π
El valor promedio es
fprom =
∫ ∫D f(x, y) dA∫ ∫
D dA=π3/4 + [cos(2π2)− 1]/8π
π2=π
4+
cos(2π2)− 18π3
' 0,7839
5-17
Calculo de la masa total y coordenadas del centro de masa de una placa
En Analisis I, aplicando integrales de una variable pudimos calcular momentos y tambien el centro de masade una placa delgada o lamina de densidad constante. Ahora, el calculo con integrales dobles, nos permiteconsiderar una lamina con densidad variable. Supongamos que la lamina ocupa una region D del plano xy ysu densidad superficial en un punto (x, y) ∈ D esta dada por ρ(x, y), donde ρ(x, y) es una funcion continua.Se demuestra que la masa total de la lamina es:
m =∫ ∫
Dρ(x, y)dA
en kg, si ρ esta dada en kg/m2.
Podemos tambien encontrar el centro de masa de una lamina con densidad ρ(x, y) en una region D. Lascoordenadas (xCM , yCM ) del centro de masa son:
xCM =1m
∫ ∫Dx ρ(x, y) dA
yCM =1m
∫ ∫Dy ρ(x, y) dA
(en m) donde m es la masa total de la lamina.
EJEMPLO 13: Hallar el centro de masa del rectangulo [0, 1] × [0, 1] si la densidad de masa esρ(x, y) = ex+y
Calculemos primero la masa total:
m =∫ ∫
Dex+y dA =
∫ 1
0
∫ 1
0ex+y dx dy =
∫ 1
0
[ex+y
]10dy
=∫ 1
0(e1+y − ey)dy =
[e1+y − ey
]10
= e2 − 2e+ 1 = (e− 1)2 w 2,9525
Ahora calcularemos la integral:
∫ ∫Dxex+ydA =
∫ 1
0
∫ 1
0xex+ydxdy =
∫ 1
0
[xex+y − ex+y
]10dy
=∫ 1
0
[e1+y − e1+y + ey
]dy
=∫ 1
0ey dy = e− 1
de modo que:
xCM =e− 1
(e− 1)2=
1e− 1
w 0,5820
Se pueden intercambiar los papeles de y y x en todos estos calculos, por lo que yCM = 1e−1 igual que
xCM .
5-18
EJERCICIOS:
1. Evalue las siguientes integrales iteradas:
a)∫ 1−1
∫ 10 (x4y + y2) dy dx
b)∫ π/20
∫ 10 (y cosx+ 2) dy dx
c)∫ 10
∫ 10 (xyex+y) dy dx
d)∫ 0−1
∫ 21 (−x ln y) dy dx
2. Evalue las integrales del ejercicio anterior integrando primero respecto de x y despues respecto de y.
3. Calcule las siguientes integrales dobles, donde R = [0, 2]× [−1, 0]:
a)∫ ∫
R(x2y2 + x) dy dx
b)∫ ∫
R(|y| cos(π4x)) dy dx
4. Halle el volumen del solido acotado por la grafica de f(x, y) = 1 + 2x+ 3y, el rectangulo [1, 2]× [0, 1]en el plano xy y los planos verticales x = 1, x = 2, y = 0, y = 1.
5. Repita el ejercicio anterior para f(x, y) = x4 + y2 y el rectangulo [−1, 1]× [−3,−2]
6. Trace el solido cuyo volumen esta dado por la integral∫ 10
∫ 10 (4− x− 2y)dxdy
7. Halle el volumen del solido limitado por el paraboloide elıptico z = 1 + (x−1)2 + 4y2, los planos x = 3e y = 2, y los planos coordenados.
8. Evalue la integral iterada:
a)∫ 10
∫ x2
0 (x+ 2y) dy dx
b)∫ 21
∫ 2y xy dx dy
c)∫ π/20
∫ cos θ0 esen θ dr dθ
9. Evalue la integral doble:
a)∫ ∫
D x3y2 dA, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x}
b)∫ ∫
D(x+ y) dA, D es la region limitada por las curvas y =√x, y = x2
c)∫ ∫
D y3 dA, D es la region triangular con vertices (0, 2), (1, 1) y (3, 2)
10. Halle el volumen del solido dado:
a) Debajo del paraboloide z = x2 + y2 y arriba de la region limitada por y = x2 , x = y2
b) Limitado por el cilindro y2 + z2 = 4 y los planos x = 2y, x = 0, z = 0, en el primer octante.
c) Limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = 1
11. En los siguientes ejercicios, trace la region de integracion y cambie el orden de la integracion:
a)∫ 10
∫ x0 f(x, y) dy dx
b)∫ 21
∫ lnx0 f(x, y) dy dx
c)∫ 10
∫ 2−yy2 f(x, y) dx dy
5-19
12. Evalue la integral∫ 10
∫ 33y e
x2dx dy invirtiendo el orden de integracion.
13. Calcule el volumen del solido encerrado entre el paraboloide z = 4− x2 − y2 y el plano z = 0.
14. Determine el area de la region encerrada por curva r2 = 4 cos(2θ)
15. Calcule el volumen del solido que esta arriba del disco x2+y2 ≤ 4 y debajo del paraboloide z = 3x2+3y2
16. Halle el volumen del solido que se encuentra debajo del paraboloide z = x2 + y2, arriba del plano xyy dentro del cilindro x2 + y2 = 2x
17. Encuentre la masa y el centro de masa de la lamina que ocupa la region D = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤y ≤ 1} y tiene funcion de densidad ρ(x, y) = x2.
18. Halle el promedio de f(x, y) = y sen(xy) sobre D = [0, π]× [0, π]
19. Halle el promedio de f(x, y) = ex+y sobre el triangulo con vertices (0, 0), (0, 1) y (1, 0)
5-20
2. Integrales triples
En esta seccion vamos a estudiar integrales DEFINIDAS para funciones de tres variables sobre regionessolidas, llamadas integrales triples. Realizaremos el calculo de estas integrales sobre una region dada en elespacio y el resultado sera un NUMERO.
2.1. Integral triple en una caja
Ası como comenzamos el estudio de integrales dobles, integrando funciones de dos variables definidas sobreun rectangulo, para estudiar integrales triples comenzaremos integrando funciones de tres variables condominio en una caja o prisma rectangular B con caras paralelas a los planos coordenados.
Una caja rectangular B puede describirse en terminos de tres intervalos cerrados [a, b], [c, d] y [s, t], querepresentan a sus aristas a lo largo de los ejes x, y, z, respectivamente. Esto es,
B = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, s ≤ z ≤ t}
o B = [a, b]× [c, d]× [s, t](Dibuje la caja B en R3).
Para definir la integral triple usamos la idea de sumas de Riemann. Para ello, el primer paso es dividir B encajas mas pequenas. De manera semejante a lo que hicimos para integrales dobles, dividimos los intervalos[a, b], [c, d] y [s, t], respectivamente, en n subintervalos de ancho ∆x, m subintervalos de ancho ∆y y l
subintervalos de ancho ∆z. Luego B queda dividido en nml cajas mas pequenas, que denominamos Bijk.¿Cual es el volumen ∆V de cada caja pequena?
Tomamos un punto “de muestra” cualquiera, que llamamos (x∗ijk, y∗ijk, z
∗ijk), en cada Bijk y formamos la
suma triple de Riemann:
Snml =n∑i=1
m∑j=1
l∑k=1
f(x∗ijk, y∗ijk, z
∗ijk) ∆V
Por analogıa con la definicion de integral doble, definimos la integral triple como el lımite de las sumas deRiemann:
DEFINICION:La integral triple de f sobre la caja B es∫ ∫ ∫
Bf(x, y, z) dV = lım
n,m,l→∞
n∑i=1
m∑j=1
l∑k=1
f(x∗ijk, y∗ijk, z
∗ijk) ∆V
si el lımite existe.
Se puede demostrar que el lımite de la definicion anterior existe si f es una funcion continua en B, y elresultado es un numero real.
Del mismo modo que para las integrales dobles, las integrales triples pueden expresarse en forma deintegrales iteradas, lo que brinda un metodo practico para calcularlas:
5-21
TEOREMA DE FUBINI:Si f : B ⊂ R3 → R es una funcion continua en la cajaB = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s},entonces: ∫ ∫ ∫
Bf(x, y, z) dV =
∫ t
s
∫ d
c
∫ b
af(x, y, z) dx dy dz
La integral iterada del teorema de Fubini indica que integramos primero con respecto a la variable x, desde ahasta b, (manteniendo fijas y y z), luego integramos la expresion que queda, con respecto a y, desde c hastad, (manteniendo z fija), y por ultimo integramos con respecto a z, desde s hasta t. Hay otros cinco posiblesordenes en los que podemos integrar, y todos dan el mismo valor. Por ejemplo, si integramos primero conrespecto a z (desde s hasta t), luego con respecto a x (desde a hasta b) y finalmente con respecto a y (desdec hasta d), tenemos:
∫ ∫ ∫Bf(x, y, z) dV =
∫ d
c
[∫ b
a
(∫ t
sf(x, y, z) dz
)dx
]dy
En general el Teorema de Fubini se cumple si suponemos que f esta acotada en B, es discontinua solo enun numero finito de superficies suaves, y existen las integrales iteradas.
Ası vemos que al igual que la integral doble, la integral triple puede calcularse integrando con respecto a unavariable a la vez en cualquier orden de integracion, lo que muchas veces es muy conveniente, como veremosen los siguientes ejemplos:
EJEMPLO 14: Evaluar∫ ∫ ∫
B(2x+ 3y + z) dV , donde B = [1, 2]× [−1, 1]× [0, 1]
Comenzamos graficando la region solida B. Notar que, en este ejemplo, cualquier orden en el querealicemos las integrales iteradas demandara, en principio, un trabajo similar. Por lo tanto eligiremosuno cualquiera de los ordenes posibles:∫ ∫ ∫
B(2x+ 3y + z) dV =
∫ 1
−1
[∫ 2
1
(∫ 1
0(2x+ 3y + z) dz
)dx
]dy
=∫ 1
−1
∫ 2
1
[(2x+ 3y) z +
z2
2
]z=1
z=0
dx dy
=∫ 1
−1
∫ 2
1
(2x+ 3y +
12
)dx dy =
∫ 1
−1
[x2 +
(3y +
12
)x
]x=2
x=1
dy
=∫ 1
−1
(3y +
72
)dy =
[3y2
2+
72y
]y=1
y=−1
= (32
+72
)− (32− 7
2) = 7
EJEMPLO 15: Calcular la integral triple∫ ∫ ∫
B f(x, y, z) dV , donde f(x, y, z) = y e−xy yB = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1].
5-22
En este ejemplo tambien elegimos uno cualquiera de los ordenes de integracion posibles:∫ ∫ ∫Bye−xy dV =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0ye−xy dx dy dz =
∫ 1
0
∫ 1
0
[y
(−e−xy
y
)]x=1
x=0
dy dz
=∫ 1
0
∫ 1
0(1− e−y) dy dz =
∫ 1
0
[y + e−y
]y=1
y=0dz
=∫ 1
0e−1 dz =
[e−1z
]z=1
z=0=
1e
Como ejercicio, calcule alguna de las otras integrales iteradas (por ejemplo:∫ 10
∫ 10
∫ 10 ye
−xy dz dy dx),verifique que se obtiene el mismo resultado y compare la dificultad de los calculos involucrados en cadaorden elegido. Observe que, dado que f no depende de z, si hacemos primero la integral con respectoa z desde 0 a 1, eso da [z]10 = 1; y luego queda por calcular la integral doble de la funcion de dosvariables, yexy sobre el rectangulo [0, 1]× [0, 1].
Teniendo en cuenta que f(x, y, z) = −f(−x,−y, z), ¿podrıa decir, sin hacer calculos, cuanto vale laintegral de la funcion dada si B = [−1, 0]× [−1, 0]× [0, 1]? ¿Y si B = [−1, 1]× [−1, 1]× [0, 1]? (Pienseen las sumas de Riemann)
EJEMPLO 16: Integrar f(x, y, z) = zex+y sobre B = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1]
∫ ∫ ∫Bzex+y dV =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0zex+y dz dy dx
=∫ 1
0
∫ 1
0
[(z2
2
)ex+y
]z=1
z=0
dy dx
=∫ 1
0
∫ 1
0
ex+y
2dy dx =
∫ 1
0
[ex+y
2
]y=1
y=0
dx
=∫ 1
0
ex+1 − ex
2dx =
[ex(e− 1)
2
]x=1
x=0
=(e− 1)2
2
Notar que como integramos sobre un rectangulo, los lımites de las integrales iteradas son numeros(constantes fijas) y ademas la funcion f se puede escribir f(x, y, z) = ex ey z. Por lo tanto, en esteejemplo, la integral triple tambien se podrıa haber calculado de la siguiente forma:∫ ∫ ∫
Bzex+y dV =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1
0zexey dx dy dz
=(∫ 1
0ex dx
)(∫ 1
0ey dy
)(∫ 1
0z dz
)= (e− 1) · (e− 1) · 1
2
Podemos aprovechar esta propiedad de factorizacion cuando el integrando es un producto de la formaf1(x) · f2(y) · f3(z) y ademas la region de integracion es una caja [a, b]× [c, d]× [s, t].CUIDADO: Notar que esta propiedad NO es aplicable en el caso general (por ejemplo, si la funciones f(x, y, z) = cos(zex+y)).
5-23
2.2. Integral triple en una region solida general
Definiremos la integral triple sobre una region solida acotada E ⊂ R3, siguiendo una idea muy similar a laque empleamos en integrales dobles. Consideramos una caja B tal que E ⊂ B. A continuacion definimosuna nueva funcion F : B ⊂ R3 → R de modo que coincida con f : E ⊂ R3 → R en E y que sea 0 en lospuntos de B que no estan en E. Definimos entonces la integral triple de f sobre E:
∫ ∫ ∫Ef(x, y, z) dV =
∫ ∫ ∫BF (x, y, z) dV
Esta integral existe si f es una funcion continua en E y la frontera de E es una superficie “suave”.
OBSERVACION: las propiedades que vimos para integrales dobles se extienden facilmente a integralestriples.
A continuacion, clasificaremos las regiones de integracion E en regiones de tipo 1, 2 y 3. Destaquemos quehabra solidos que son de los tres tipos, y otros que no son de ninguno de estos tipos. Veamos como se procedeen estos casos.
Regiones solidas de tipos 1, 2 y 3
Una region solida es de tipo 1 si se encuentra entre las graficas de dos funciones continuas de lasvariables x e y, esto es:
E1 = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Dxy, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
donde Dxy es la proyeccion de E1 sobre el plano xy, como se muestra en la Figura ??. Notar quela frontera superior del solido E es la superficie con ecuacion z = u2(x, y), mientras que la fronterainferior es la superficie z = u1(x, y).
Figura 8: Algunos ejemplos de regiones solidas de tipo 1
Por ejemplo, la region del primer octante limitada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x+y+z = 1, esuna region de tipo 1, ¿cual es su proyeccion Dxy sobre el plano xy? Un esfera solida de radio 1 centradaen el origen, es una region de tipo 1 en el cırculo del plano xy dado por, x2 + y2 ≤ 1. ¿Cuales son las
5-24
funciones u1(x, y) y u2(x, y)? La region solida encerrada entre dos esferas concentricas centradas en elorigen con radios 1 y 2, respectivamente, no es una region de tipo 1 (¿por que?).
La integral triple sobre una region de tipo 1 se escribe como una integral iterada, de la siguiente forma:∫ ∫ ∫E1
f(x, y, z) dV =∫ ∫
Dxy
[∫ u2(x,y)
u1(x,y)f(x, y, z) dz
]dA
Ahora bien, la proyeccion Dxy sobre el plano xy es una region plana que a su vez puede ser de tipoI o II. Entonces el solido E1 podra describirse como:
EI1 = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
o
EII1 = {(x, y, z) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y), u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
segun Dxy sea una region plana de tipo I o de tipo II, respectivamente; la integral triple podra entoncesescribirse como:
∫ ∫ ∫EI1
f(x, y, z) dV =∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)f(x, y, z) dz dy dx
o
∫ ∫ ∫EII1
f(x, y, z) dV =∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)f(x, y, z) dz dx dy
De manera semejante, una region solida E es de tipo 2 si se encuentra entre las graficas de dos funcionescontinuas de las variables y y z, esto es:
E2 = {(x, y, z) : (y, z) ∈ Dyz, v1(y, z) ≤ x ≤ v2(y, z)}
donde Dyz es la proyeccion de E sobre el plano yz, como se muestra en la Figura ??a.
Figura 9: Regiones solidas (a) de tipo 2 (b) de tipo 3
5-25
La integral triple sobre una region de tipo 2 se escribe como una integral iterada, de la siguiente forma:∫ ∫ ∫E2
f(x, y, z) dV =∫ ∫
Dyz
[∫ v2(y,z)
v1(y,z)f(x, y, z) dx
]dA
Notemos que E2 es un solido proyectable sobre el plano yz y analogamente a lo que pasaba con elsolido de tipo 1, su proyeccion puede ser, a su vez, I o II, lo que conducira a una descripcion EI2 o EII2 ,respectivamente.
De manera analoga, una region solida E es de tipo 3 si se encuentra entre las graficas de dos funcionescontinuas de las variables x y z, esto es:
E3 = {(x, y, z) : (x, z) ∈ Dxz, w1(x, z) ≤ y ≤ w2(x, z)}
donde Dxz es la proyeccion de E sobre el plano xz, como se muestra en la Figura ??b.
La integral triple sobre una region de tipo 3 se escribe como una integral iterada, de la siguiente forma:∫ ∫ ∫E3
f(x, y, z) dV =∫ ∫
Dxz
[∫ w2(x,z)
w1(x,z)f(x, y, z) dy
]dA
Notemos que E3 es un solido proyectable sobre el plano xz y analogamente a lo que pasaba con lossolidos de tipo 1 y 2, su proyeccion puede ser, a su vez, I o II, lo que conducira a una descripcion EI3o EII3 , respectivamente.
Veamos ahora algunos ejemplos de evaluacion de integrales triples. Cuando planteamos la integral triple, esconveniente trazar dos diagramas: i) uno de la region solida E, que es la region de integracion, y ii) otrode la proyeccion de E sobre alguno de los planos coordenados (el que sea mas conveniente). Observandolos graficos, determinamos si E es un solido de tipo 1, 2 o 3; y si su proyeccion sobre el plano coordenadoelegido es a su vez una region plana de tipo I o II. Puede ocurrir tambien, que E no sea de ninguno de lostres tipos; en ese caso sera necesario subdividir el solido en otros de un tipo dado.
EJEMPLO 17: Evaluar∫ ∫ ∫
E x2 cos z dV , donde E es la region encerrada entre los planos x = 0,
y = 0, x+ y = 1, z = 0, z = π2 , utilizando dos ordenes de integracion diferentes.
Figura 10: a) Solido E limitado por los planos: x = 0, y = 0, x+ y = 1, z = 0, z = π2
b) Proyeccion de E sobre el plano xy
5-26
Tracemos primero los dos diagramas: i) la region solida E; ii) su proyeccion sobre el plano coordenadoque sea mas conveniente para integrar.i) Los tres planos verticales (x = 0; y = 0; x+ y = 1) y los dos horizontales (z = 0; z = π
2 ), encierranal cortarse entre sı al solido E que tiene forma de prisma recto con base triangular, como se ve en laFigura ??a. Vemos que el “piso” del solido esta en el plano z = 0; y el “techo” esta en z = π
2
ii) Proyectamos sobre el plano xy: los planos verticales, al cortar al plano xy determinan una regiontriangular plana de vertices (0, 0); (1, 0); (0, 1), como se ve en la Figura ??b
El solido E es entonces una region solida de tipo 1, y su proyeccion Dxy sobre el plano xy es unaregion plana triangular (de tipos I y II a la vez).
Calculemos la integral triple de dos formas:
(a) El triangulo en el plano xy lo describimos como una region plana de tipo I:
EI1 = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ (1− x), 0 ≤ z ≤ π
2}
(b) El triangulo en el plano xy lo describimos como una region plana de tipo II:
EII1 = {(x, y, z) : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ (1− y), 0 ≤ z ≤ π
2}
(a) De esta forma, la integral triple se calcula en el siguiente orden:∫ ∫ ∫EI1
x2 cos z dV =∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ π2
0x2 cos z dz dy dx =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
[x2 sen z
]z=π2
z=0dy dx
=∫ 1
0
∫ 1−x
0x2 dy dx =
∫ 1
0
[x2 y
]y=1−xy=0
dx
=∫ 1
0x2(1− x) dx =
[x3
3− x4
4
]1
0
=112
(b) Considerando al solido como EII1 , el calculo de la integral triple se realiza en el siguiente orden:∫ ∫ ∫EII1
x2 cos z dV =∫ 1
0
∫ 1−y
0
∫ π2
0x2 cos z dz dx dy
=∫ 1
0
∫ 1−y
0x2 dx dy =
∫ 1
0
[x3
3
]x=1−y
x=0
dy
=∫ 1
0
(1− y)3
3dy = −
[(1− y)4
12
]1
0
=112
Asimismo, tambien podrıamos haber proyectado sobre el plano xz o sobre el plano yz. Calcule nueva-mente la integral triple, proyectando ahora sobre yz. ¿Encontro alguna ventaja al realizar los calculosde esta manera?
5-27
Ası como la integral simple L(I) =∫ ba 1 dx, da la longitud del intervalo I = [a, b] ⊂ R, y la integral
doble A(D) =∫ ∫
D 1 dA, proporciona el area de la region plana D ⊂ R2, notamos que la integral tripleV (E) =
∫ ∫ ∫E 1 dV brinda el volumen del solido E ⊂ R3 (Piense en las sumas triples de Riemann: en este
caso se esta asignando valor 1 a cada caja pequena de volumen ∆V ). Veamos un ejemplo:
EJEMPLO 18: Calcular el volumen del solido E encerrado por las superficies S1 : z = x2 + 3y2 yS2 : z = 8− x2 − y2.
El volumen del solido E puede calcularse mediante la integral triple:
V (E) =∫ ∫ ∫
E1 dV
Para evaluar esta integral triple, primero hacemos un esbozo de las graficas de las dos superficies quelimitan al solido E. Luego, observando el grafico, determinamos sobre que plano nos conviene proyectarE y hacemos un diagrama de la proyeccion.Notemos que ambas superficies corresponden a paraboloides elıpticos de eje z: uno de ellos (S1) seabre hacia arriba en el semiespacio z positivo, con un vertice en el origen, y el otro (S2) se abre haciaabajo desarrollandose por debajo del plano horizontal z = 8, con vertice en (0, 0, 8) (dibuje ambosparaboloides).Ambas superficies se cortan en una curva de R3 que satisface: x2 +3y2 = 8−x2−y2; o sea que la curvainterseccion esta en el cilindro de ecuacion x2 + 2y2 = 4. Vemos, ademas que (dentro del cilindro) lasuperficie S1 esta por debajo de la superficie S2; esto implica que los valores de Z de los puntos queforman el solido E van desde x2 + 3y2 hasta 8− x2 − y2 (y no al reves!)
Si proyectamos el solido E sobre el plano xy (E1: solido de tipo 1), es equivalente a proyectar elcilindro: obtenemos la elipse de ecuacion x2
4 + y2
2 = 1 en el plano xy. La elipse encierra una regionplana de tipo I y II; elegimos por ejemplo, considerarla de tipo I, entonces:
EI1 = {(x, y, z) : −2 ≤ x ≤ 2, −√
2− x2
2≤ y ≤
√2− x2
2, x2 + 3y2 ≤ z ≤ 8− x2 − y2}
Ahora ya podemos evaluar la integral triplepara obtener el volumen de E:
V (E) =∫ ∫ ∫
EI1
dV =∫ 2
−2
∫ √2−x2
2
−√
2−x22
∫ 8−x2−y2
x2+3y21. dz dy dx
=∫ 2
−2
∫ √2−x2
2
−√
2−x22
(8− 2x2 − 4y2) dy dx
=∫ 2
−2
[(8− 2x2)y − 4
y3
3
]y=√2−x22
y=−√
2−x22
dx
=∫ 2
−2
[2(8− 2x2
)√2− x2
2− 8
3
(2− x2
2
)3/2]dx
=4√
23
∫ 2
−2(4− x2)3/2 dx = 8π
√2
donde para hacer la integral de una variable del ultimo paso se utilizo la sustitucion x = 2 senu (hacerel calculo completo).
5-28
2.3. Integral triple en coordenadas cilındricas y en coordenadas esfericas
COORDENADAS CILINDRICAS:
Supongamos que se pretende calcular∫∫∫
E xyz dV , donde E es el solido formado por los puntos del primeroctante que distan entre 3 y 5 unidades del eje z, y cuya altura va de 1 a 4. Algunas regiones del espacio, comoesta E, son descriptas mas facilmente usando coordenadas cilındricas en lugar de coordenadas cartesianas(repasar lo visto en la Guıa 1 – Seccion 8.2). Por otro lado, una funcion de tres variables definida parapuntos P del espacio puede tambien tener una expresion mas simple si se escriben x, y, z en terminos der, θ, z. En uno u otro caso, conviene operar en coordenadas cilındricas. Veamos entonces como se calculauna integral triple en este sistema de coordenadas.
Empezamos por escribir en coordenadas cilındricas el volumen de un solido con forma de “caja cilındrica”(esto es, entre valores de r, θ y z constantes).Como ejemplo tenemos el solido: E = {(r, θ, z) : 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π
2 , 1 ≤ z ≤ 4}. Su volumen esta dadopor: V (E) = [12(52 − 32)π2 ](4 − 1), donde el factor entre corchetes es el area de la base, y el otro factor esla altura. Notar que, en coordenadas cartesianas, esta misma region se escribe {(x, y, z) : 9 ≤ x2 + y2 ≤25, x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ z ≤ 4} (grafique e indique si se trata de una region solida de tipo 1, 2 o 3, o de variostipos a la vez, o ninguno).Un elemento de volumen dV con esta forma tiene la base que es un “rectangulo polar” (o sector de coronacircular) de area dA = r dr dθ, y tiene altura dz; entonces
dV = r dr dθ dz
Una funcion f de tres variables puede darse en terminos de las coordenadas cilındricas, a traves de lacomposicion:
f (x(r, θ, z), y(r, θ, z), z(r, θ, z)) = f(r cos θ, r sen θ, z).
Como ejemplo, la funcion que indica la distancia de un punto al origen, f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2, resulta
f(r cos θ, r sen θ, z) =√
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 + z2 =√r2 + z2.
Con estos ingredientes, aplicamos la idea de sumas de Riemann al calculo de una integral definida de unafuncion de tres variables, sobre una region del espacio con forma de “caja cilındrica”. Ver Figura ??. Podemosextender las ideas desarrolladas para integrales dobles en coordenadas polares, agregando aquı la coordenadaz apropiadamente.
DEFINICION:La integral triple de f en coordenadas cilındricas sobre el solido E (denotado por Exyz cuando se expresa encoordenadas cartesianas, y por Erθz cuando se expresa en coordenadas cilındricas), es∫ ∫ ∫
Exyzf(x, y, z) dV =
∫ ∫ ∫Erθz
f(x(r, θ, z), y(r, θ, z), z(r, θ, z)) r dr dθ dz =
= lımn,m,l→∞
n∑i=1
m∑j=1
l∑k=1
f(r∗ijk cos θ∗ijk, r∗ijk sen θ∗ijk, z
∗ijk) r
∗ijk ∆r∆θ∆z
5-29
Figura 11: “Caja cilındrica” determinada por r ∈ [a, b], θ ∈ [α, β], z ∈ [s, t].
si el lımite existe.
OBSERVACION: Notamos que, al integrar en coordenadas cilındricas, aparece un factor r que multiplicaa los diferenciales dr, dθ y dz para formar el elemento de volumen. Se puede demostrar (mire en la biblio-grafıa) que ese factor esta directamente relacionado con el Jacobiano de la transformacion de coordenadascartesianas (x, y, z) a coordenadas cilındricas (r, θ, z):
J(r, θ, z) ≡ ∂(x, y, z)∂(r, θ, z)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x∂r
∂x∂θ
∂x∂z
∂y∂r
∂y∂θ
∂y∂z
∂z∂r
∂z∂θ
∂z∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣cos θ −r sen θ 0sen θ r cos θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = r
Para ser precisos, el factor que aparece al sustituir las variables es el valor absoluto del Jacobiano:|J(r, θ, z)| = r.(No se debe olvidar el valor absoluto, ya que eso asegura que el elemento de volumen sea positivo!!)
En coordenadas cilındricas es aplicable la nocion de integrales iteradas. Tambien se puede definir la integraltriple para una region solida general en el espacio.
En el siguiente ejemplo resumimos los pasos a seguir para calcular una integral triple usando coordenadascilındricas.
EJEMPLO 19: Calcular∫∫∫
E xyz dV donde E es la region del primer octante entre las superficiescilındricas x2 + y2 = 9 y x2 + y2 = 25, con altura entre 1 y 4.
1) Expresamos la region de integracion en coordenadas cilındricas, usando que x = r cos θ, y =r sen θ, z = z:9 ≤ x2 + y2 ≤ 25 implica 9 ≤ r2 ≤ 25, luego r ∈ [3, 5]; mientras que x ≥ 0, y ≥ 0 implicanθ ∈ [0, π2 ]; por ultimo z ∈ [1, 4]. Luego Erθz = [3, 5]× [0, π2 ]× [1, 4] que es una caja cilındrica.
5-30
2) Expresamos la funcion a integrar, en coordenadas cilındricas (sustituyendo x por r cos θ e y porr sen θ, mientras que z permanece igual):f(x, y, z) = xyz implica f(x = r cos θ, y = r sen θ, z = z) = r cos θ r sen θ z = r2 sen θ cos θ z.
3) Armamos la integral, agregando el Jacobiano r (en valor absoluto):∫∫∫E xyz dV =
∫ 41
∫ π/20
∫ 53 r
2 sen θ cos θ z (r dr dθ dz) =(∫ π/2
0 sen θ cos θ dθ) (∫ 5
3 r3 dr
) (∫ 41 z dz
).
Complete el calculo.
Veamos el calculo de un volumen usando integrales triples en coordenadas cilındricas.
EJEMPLO 20: Hallar el volumen del solido E delimitado por la superficie conica S1 : z =√x2 + y2
y la superficie esferica S2 : z =√
1− x2 − y2, usando coordenadas cilındricas (ver Ejemplo 11).
Sabemos que V (E) =∫∫∫
E 1 dV , esto es, el volumen del solido E puede calcularse mediante la integraltriple de la funcion constante f(x, y, z) = 1, que en cualquier otro sistema de coordenadas que no seael cartesiano, sigue siendo la misma funcion constante de valor 1.Escribamos la region de integracion en terminos de r, θ, z. Tenemos S1 : z = r (recordemos que elcono en cilındricas tiene una expresion sencilla), y S2 : z =
√1− r2. La interseccion entre ambas
superficies se obtiene igualando los valores de z, luego r =√
1− r2, o sea la curva interseccion es lacircunferencia de radio r =
√2
2 , a la altura z =√
22 .
Luego
Erθz = {(r, θ, z) : 0 ≤ r ≤√
22, 0 ≤ θ ≤ 2π, r ≤ z ≤
√1− r2}
Realizando la primera integral iterada con respecto a z, queda aun por resolver una integral doble,que es la misma que la dada al final del Ejemplo 11. Termine el ejercicio. Compare los planteos yprocedimientos realizados en ambos ejemplos, donde se pide calcular el mismo volumen.
Observamos que el uso de las coordenadas cilındricas para resolver integrales triples, es muy convenientecuando la region de integracion es un solido del tipo 1 y su proyeccion sobre el plano xy es una region planafacilmente expresable en coordenadas polares.
COORDENADAS ESFERICAS:
En algunos problemas, sera conveniente utilizar las coordenadas esfericas: ρ (distancia de un punto al origende coordenadas), θ (el mismo angulo que en coordenadas polares o cilındricas), y φ (el angulo entre el semiejez positivo y la direccion del vector
−−→OP ).
Puede probarse que el elemento de volumen se escribe
dV = ρ2 senφ dρ dθ dφ
Calcule el Jacobiano de la transformacion entre coordenadas cartesianas y esfericas, J(ρ, θ, φ) ≡ ∂(x,y,z)∂(ρ,θ,φ) .
¿Que diferencia encuentra con la expresion anterior? (concretamente, ¿que ocurre con el signo?)
Una integral triple en coordenadas esfericas se calcula mediante la siguiente expresion:∫ ∫ ∫Exyz
f(x, y, z) dV =∫ ∫ ∫
Eρθφf(ρ senφ cos θ, ρ senφ sen θ, ρ cosφ) ρ2 senφdρ dθ dφ
5-31
EJEMPLO 21: Calcular∫∫∫E e
(x2+y2+z2)3/2 dV , donde E es la esfera unitaria de ecuacionx2 + y2 + z2 ≤ 1
Sabemos que la esfera unitaria en coordenadas esfericas se expresa:
0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ φ ≤ π
Por otro lado, como la funcion a integrar es eρ3
en coordenadas esfericas, queda:∫ ∫ ∫Exyz
e(x2+y2+z2)3/2 dV =
∫ ∫ ∫Eρθφ
eρ3
(ρ2 senφdρ dθ dφ)
Complete el calculo y compruebe que el valor de la integral es: 43π(e− 1)
Como ejercicio, compruebe que el volumen de una esfera de radio a dado, es 43πa
3.
2.4. Aplicaciones
Todas las aplicaciones que vimos para integrales dobles en la seccion anterior, se extienden a integralestriples.
Valor promedio de una funcion de tres variables
Ası como para funciones de dos variables vimos que el valor promedio de F : D ⊂ R2 → R sobre D es:Fprom = 1
A(D)
∫ ∫D F (x, y)dA donde A(D) es el area de D, para funciones de tres variables, f : E ⊂ R3 → R,
el valor promedio de f sobre E es:
fprom =1
V (E)
∫ ∫ ∫Ef(x, y, z) dV
donde V (E) es el volumen de E. Teniendo en cuenta que V (E) =∫ ∫ ∫
E dV , podemos escribir el valorpromedio de f sobre E como:
fprom =
∫ ∫ ∫E f(x, y, z) dV∫ ∫ ∫
E dV
EJEMPLO 22: La temperatura en los puntos del cubo E = [−1, 1]× [−1, 1]× [−1, 1] es proporcionalal cuadrado de su distancia al origen.
a) ¿Cual es la temperatura promedio?
b) ¿En que puntos del cubo la temperatura es igual a la temperatura promedio?
a) Llamemos k a la constante de proporcionalidad, de modo que T (x, y, z) = k (x2 + y2 + z2). ComoV (E) = 23 = 8, para calcular la temperatura promedio solo falta evaluar la integral triple:∫ ∫ ∫
Ek (x2 + y2 + z2) dV =
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1k(x2 + y2 + z2) dx dy dz =
= k
[∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1x2 dx dy dz +
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1y2 dx dy dz +
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1z2 dx dy dz
]5-32
Como x, y, z entran de manera simetrica en la descripcion del cubo, las tres ultimas integrales soniguales, de modo que:∫ ∫ ∫
Ek (x2 + y2 + z2) dV = 3k
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1z2dx dy dz
= 3k∫ 1
−1z2
(∫ 1
−1
∫ 1
−1dx dy
)dz
= 8k
donde hemos usado que∫ 1−1
∫ 1−1 dxdy = 4. Finalmente
Tprom =
∫ ∫ ∫E k (x2 + y2 + z2) dV
V (E)=
8k8
= k
b) Supongamos que en un punto (x, y, z) la temperatura es igual a la temperatura promedio, entonces:k (x2 + y2 + z2) = Tprom = k. Por lo tanto, la temperatura es igual a la temperatura promedio en lasuperficie esferica x2 + y2 + z2 = 1, que es interior al cubo E (esta inscripta en el cubo).
Calculo de la masa total y coordenadas del centro de masa de un cuerpo
Sea un cuerpo solido que ocupa la region E ⊂ R3, tal que la densidad de masa en un punto (x, y, z) ∈ E,esta dada por la funcion continua ρ(x, y, z). Se demuestra que la masa total del cuerpo es:
m =∫ ∫ ∫
Eρ(x, y, z) dV
en kg, si ρ(x, y, z) esta dada en kg/m3 y las longitudes en metros.
Podemos tambien encontrar el centro de masa de un cuerpo solido con densidad ρ(x, y, z) que ocupa unaregion E. Las coordenadas (xCM , yCM , zCM ) del centro de masa son:
xCM =1m
∫ ∫ ∫Ex ρ(x, y, z) dV
yCM =1m
∫ ∫ ∫Ey ρ(x, y.z) dV
zCM =1m
∫ ∫ ∫Ez ρ(x, y, z) dV
(en metros) donde m es la masa total del cuerpo.
EJEMPLO 23: El cubo E = [1, 2]×[1, 2]×[1, 2] tiene densidad de masa ρ(x, y, z) = (1+x)yez kg/m3.Hallar la masa total del cubo.
5-33
Tenemos que evaluar la siguiente integral triple, donde E es el cubo dado, eligiendo cualquiera de los6 ordenes de integracion posibles:
m =∫ ∫ ∫
E(1 + x)yez dV =
∫ 2
1
∫ 2
1
∫ 2
1(1 + x)yez dx dy dz
=∫ 2
1
∫ 2
1
[(x+
x2
2
)yez]x=2
x=1
dy dz
=∫ 2
1
∫ 2
1
52yezdy dz =
∫ 2
1
[54y2ez
]y=2
y=1
dz
=[
154ez]z=2
z=1
=154e(e− 1) ' 17,5 kg
(Notar que en este ejemplo, se puede aprovechar la propiedad de factorizacion: dado que los intervalosde integracion son constantes y el integrando es un producto de la forma f1(x) f2(y) f3(z), se puedenevaluar las tres integrales simples por separado y luego multiplicar dichos resultados).
Pensemos ahora en una region solida E con densidad de masa constante y que ademas es simetrica respectode algun plano. Entonces, el centro de masa esta en ese plano. Por ejemplo, supongamos que la region E essimetrica con respecto al plano yz; si la densidad es constante, el integrando para calcular xCM es impary como E es simetrica, entonces xCM = 0. Por lo tanto el centro de masa esta en el plano yz. (Lo mismoocurrira si la densidad es una funcion simetrica o par en x, como por ejemplo ρ(x, y, z) = x2g(y, z), siendosimetrica la region que ocupa el objeto.) Las simetrıas de la region y de la funcion a integrar son siempremuy utiles para simplificar los calculos y conviene aprovecharlas. Veamos un ejemplo:
EJEMPLO 24: Hallar el centro de masa de la region semiesferica E definida por la siguiente expresionx2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0, suponiendo densidad ρ(x, y, z) = 2 kg/m3.
Por las simetrıas de la semiesfera unitaria (con respecto a los planos xz e yz), y por ser la densidadde masa ρ constante, el centro de masa debe estar en el eje z. Efectivamente, xCM = yCM = 0(verifıquelo). Calculemos entonces
zCM =1m
∫ ∫ ∫Ezρ(x, y, z) dV
donde m es la masa total de la semiesfera. Calculamos la integral como una region de tipo 2, esto esproyectamos sobre el plano yz:∫ ∫ ∫
Ezρ(x, y, z) dV =
∫ 1
0
∫ √1−z2
−√
1−z2
∫ √1−y2−z2
−√
1−y2−z22 z dx dy dz
=∫ 1
02 z
(∫ √1−x2
−√
1−x2
∫ √1−y2−z2
−√
1−y2−z2dx dy
)dz
Notemos que ∫ √1−z2
−√
1−z2
∫ √1−y2−z2
−√
1−y2−z2dx dy
5-34
es una integral doble que representa el area del cırculo de radio√
1− z2. Por lo que, podemos decir(sin hacer el calculo!) que el valor de dicha integral es: π (1− z2). Usando este resultado:∫ ∫ ∫
Ezρ(x, y, z) dV = 2
∫ 1
0zπ(1− z2) dz (1)
= 2π[z2
2− z4
4
]1
0
= 2π
4=π
2
Como la densidad de masa es constante e igual a 2, la masa total es:
m =∫ ∫ ∫
E2 dV = 2V (E) = 2
[12
(43π
)]=
43π
(en kg), donde hemos usado que el volumen de la semiesfera unitaria es 12
(43π13
)Entonces
zCM =π/24π/3
=38
en metros. Luego ~rCM = (0, 0, 38).
EJERCICIOS:
1. Evalue las siguientes integrales iteradas:
a)∫ 10
∫ 10
∫ 10 (x2 + y2 + z2) dz dy dx
b)∫ e1
∫ e1
∫ e1
1xyz dx dy dz
c)∫ 10
∫ z0
∫ y0 ze−y
2dx dy dz
2. Evalue las siguientes integrales triples:
a)∫ ∫ ∫
E 2x dV , dondeE = {(x, y, z) : 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√4− y2, 0 ≤ z ≤ y}
b)∫ ∫ ∫
E z dV , donde E es la region limitada por el cilindro y2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y = 3xy z = 0 en el primer octante.
c)∫ ∫ ∫
E xz dV , donde E es el tetraedro solido con vertices, (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) y (0, 1, 1)
3. Calcule el volumen de la region solida E, en cada uno de los siguientes casos:
a) E es el tetraedro solido encerrado en el primer octante por el plano 6x+ 3y+ 2z = 6 y los planosx = 0, y = 0, z = 0.
b) E es la region encerrada por el cilindro x2 + z2 = 4, entre el plano z = 0 y el plano x+ z = 3.
c) E es la region solida que esta entre el cilindro z = y2 y el plano xy, acotada por los planos x = 0,x = 1, y = −1, y = 1
d) E es la region solida del primer octante que es comun a los interiores de los cilindros x2 + y2 = 1y x2 + z2 = 1.
4. Sea E la region acotada por el paraboloide z = x2 + y2 y el plano z = 2y. Escriba integrales iteradastriples en el orden dz dx dy y dz dy dx, que den el volumen del solido E.
5-35
5. Trace el solido cuyo volumen esta dado por la integral iterada que figura en cada uno de los siguientescasos:
a)∫ 10
∫ 1−x0
∫ 2−2z0 dy dz dx
b)∫ 20
∫ 2−y0
∫ 4−y20 dx dz dy
6. En cada uno de los siguientes casos, describa y grafique la region solida cuyo volumen esta dado porla integral que se menciona y luego calcule el volumen de la region:
a)∫ 2π0
∫ 20
∫ 4−r20 r dz dr dθ.
b)∫ π/20
∫ π/20
∫ 20 ρ
2 senφdρ dθ dφ
7. Utilice coordenadas cilındricas para evaluar las siguientes integrales:
a)∫ ∫ ∫
E
√x2 + y2 dV , donde E es la region que esta dentro del cilindro x2 + y2 = 16 y entre los
planos z = −5 y z = 4
b)∫ ∫ ∫
E x2 dV , donde E es el solido que esta dentro del cilindro x2 + y2 = 1, arriba del plano z = 0
y abajo del cono z2 = 4x2 + 4y2
c)∫ ∫ ∫
E(x3 + xy2) dV , donde E es el solido del primer octante que esta debajo del paraboloidez = 1− x2 − y2
8. Utilice coordenadas esfericas para evaluar las siguientes integrales:
a)∫ ∫ ∫
B(x2 + y2 + z2) dV , donde B es la esfera unitaria de ecuacion: x2 + y2 + z2 ≤ 1
b)∫ ∫ ∫
E z dV , donde E es la region que esta entre las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 4 enel primer octante.
9. Halle la masa y centro de masa del solido dado E, con funcion de densidad ρ(x, y, z) = y (en g/cm3),si E es el tetraedro limitado por los planos: x = 0, y = 0, z = 0, x+ y + z = 1.
10. Calcule la densidad de masa promedio para el solido E del ejercicio anterior en g/cm3.
11. Considere un cono circular de altura h = 0,3 m y radio de la base a = 0,1 m, hecho en madera dequebracho colorado de densidad constante ρ = 1200 kg/m3. Halle la masa del cono (en kg).
5-36
3. Integrales de lınea
En la Seccion 3 de la Guıa 2 hemos visto la manera de calcular la longitud de una curva C en el plano oel espacio. Si ~r(t), con t ∈ [a, b], es una parametrizacion de la curva, su longitud esta dada por
LC =∫ b
a|~r ′(t)| dt
Una curva arbitraria puede ser aproximada por una poligonal (ver Figura 11 de la Guıa 2), esto es unasucesion de n “pequenos segmentos” de longitud ∆s = LC
n = |~r ′(t)|∆t. Para calcular la longitud total de lacurva construimos una suma de Riemann, sumando la longitud de esos segmentos:
∑n1 ∆s; en el lımite para n
tendiendo a infinito, los segmentos son infinitesimalmente pequenos y miden ds. Escribimos simbolicamente
LC =∫Cds =
∫C
1 ds
donde, en la ultima expresion, indicamos que cada termino de la suma de Riemann tiene un valor (o peso)igual a 1 a lo largo de la curva. Podemos imaginar una funcion de dos o tres variables, que asigna el valor 1en cada punto de la curva.Ahora supongamos que la curva traza un camino en una region del plano o del espacio donde esta definidauna funcion no necesariamente igual a 1, ni siquiera constante. Podemos ir sumando el valor f de la funciona medida que se sigue una trayectoria. Serıa como en un juego de pacman, en el que se van acumulandolos puntos que se encuentran en distintas ubicaciones (x, y) de la pantalla; ¿cual es (= como se calcula) elpuntaje total acumulado en una partida?Esta discusion nos lleva a la definicion de integral de una funcion escalar de varias variables a lo largo de unatrayectoria, conocida como integral de lınea, de camino, o de curva.
La integral de una funcion f de dos o de tres variables (no necesariamente la funcion constante 1, como enla introduccion) a lo largo de una curva C del plano o del espacio, respectivamente, se denomina integral delınea o de curva o de camino, con respecto a la longitud de arco. Se denota simbolicamente como∫
Cf ds
y se define formalmente como el lımite de las sumas de Riemann de la funcion f evaluada en puntos de lacurva por la longitud del elemento de arco de la curva, ∆s, que puede expresarse como |~r ′(t)|dt siendo ~r(t)una parametrizacion de C (recordar Guıa 2).
DEFINICION:Sea f(x, y) una funcion escalar de dos variables con dominio D ⊂ R2, y sea C ⊂ D una curva en el plano.Sea ~r(t), con t ∈ [a, b], una parametrizacion de C. Entonces se define la integral de lınea de f (con respectoa la longitud de arco) a lo largo de C como∫
Cf ds =
=∫ b
af (~r(t)) |~r ′(t)| dt =
∫ b
af (x(t), y(t))
√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt
5-37
Escriba una definicion analoga para una funcion de tres variables y una curva en el espacio.
Observe que en la definicion se da una “receta” concreta para hacer la cuenta: la integral de lınea se expresay se calcula como una integral “simple” en la variable t, que es una integral definida entre t = a y t = b, ypor lo tanto da como resultado un numero.Se puede probar que si f es continua en C y si la curva C es suave (a trozos), entonces la integral de lıneaexiste.
Veamos algunos ejemplos tıpicos de integral de lınea de una funcion escalar. A partir de estos ejemplos,aprovechamos para mencionar algunas propiedades y caracterısticas de este tipo de calculo, ası como unainterpretacion geometrica. Continuaremos el estudio de integrales de lınea en la Guıa 6, pero aplicado a otrotipo de funciones (los campos vectoriales), que presentan propiedades y caracterısticas algo diferentes.
EJEMPLO 25: Determinar el valor de∫C f ds, donde f(x, y) = xy4 y C es la porcion en el semiplano
derecho de la circunferencia de radio 4 alrededor del origen.
Una parametrizacion posible para la curva es C : ~r(t) = (4 cos t, 4 sen t), t ∈ [−π2 ,
π2 ], que le asigna
sentido antihorario. Los dos ingredientes necesarios para el calculo son: i) la funcion evaluada en lospuntos de la curva, esto es, la cantidad xy4 cuando x = x(t) = 4 cos t, e y = y(t) = 4 sen t; ii) elmodulo del vector tangente a la curva, esto es, la norma de ~r ′(t) = (−4 sen t, 4 cos t). Luego∫
Cxy4 ds =
∫ π/2
−π/2[4 cos t (4 sen t)4]
√(−4 sen t)2 + (4 cos t)2 dt = 46
∫ π/2
−π/2cos t sen4 t dt
que se resuelve por el metodo de sustitucion, con u = sen t, y da∫C f ds = 46 2
5 = 1638, 4.
Como ejercicio, calcule la integral de lınea de f(x, y) = xy4:1) utilizando otra parametrizacion para la misma curva C;2) a lo largo del cuarto de circunferencia en el IV cuadrante y del cuarto de circunferencia en el Icuadrante, y luego sume ambos resultados;3) a lo largo de la curva C = −C, que corresponde a la misma semicircunferencia pero recorrida ensentido horario.Verifique que, en todos los casos, el resultado no varıa.
Se pueden demostrar las siguientes propiedades:
PROPIEDAD 1: La integral de lınea de una funcion escalar no depende de la parametrizacion utilizadapara la curva, siempre que esta sea recorrida una sola vez.
PROPIEDAD 2: La integral de lınea de una funcion escalar a lo largo de una curva formada por dos tramos,es igual a la suma de las integrales de lınea de dicha funcion a lo largo de cada tramo. Simbolicamente,∫
C1⋃C2
f ds =∫C1
f ds+∫C2
f ds
PROPIEDAD 3: La integral de lınea de una funcion escalar es independiente del sentido de recorrido de
5-38
la curva. Simbolicamente, ∫−C
f ds =∫Cf ds
EJEMPLO 26: Calcular la integral de lınea de la funcion f(x, y) = x a lo largo de la curva fronterade un cırculo D centrado en el origen.
Por ser C la frontera de una region del plano, se trata de una curva cerrada (el punto inicial y elfinal de la curva “coinciden”). Es comun usar una notacion especial en estos casos:∮
Cf ds
y se lo llama “circulacion” de f a lo largo de C, para indicar explıcitamente que C es cerrada. (Veremosmas adelante, que relacion existe entre la integral doble en una region D y la integral de lınea a lolargo de la curva frontera de D...).Suponiendo que el radio del cırculo es R (fijo), una parametrizacion de su frontera es C : ~r(t) =(R cos t, R sen t), con t ∈ [0, 2π], recorriendo el borde en sentido antihorario (y, por lo tanto, dejandoal cırculo D siempre a la izquierda de la curva; para notar esto, imaginemos que vamos caminando enel sentido de C). Luego ∮
Cx ds =
∫ 2π
0(R cos t) (Rdt) = R2
∫ 2π
0cos t dt = 0
cualquiera sea el radio.
En la Seccion 1 de esta Guıa 5, comentamos que la integral doble∫∫D x dA se anula si D es un cırculo
centrado en el origen, por simetrıa.Aquı podemos aplicar la misma propiedad de simetrıa: la integral de lınea de una funcion impar en x (eindependiente de y, en este caso) a lo largo de una curva simetrica respecto del eje y, da 0 (pensar en lassumas de Riemann: a cada elemento de arco ∆s se lo multiplica por el valor de x, y hay tantos valorespositivos como negativos que se cancelan).
EJEMPLO 27: Evaluar la integral de lınea de una funcion positiva f(x, y) a lo largo de la curva Cque es el segmento de recta sobre el eje x desde el punto A(a, 0) hasta el punto B(b, 0), con a y b fijos.Interpretar graficamente el resultado.
Una parametrizacion (trivial) para la curva dada es C : ~r(t) = t i+ 0 j, con t ∈ [a, b]. Luego ~r ′(t) = i,que tiene modulo 1. Por otro lado, debemos evaluar la funcion en puntos de la curva, que son de laforma P (t, 0); esto da f(x(t), y(t)) = f(t, 0). Luego, definiendo F (x) = f(x, 0), tenemos∫
Cf ds =
∫ b
af(t, 0) 1 dt =
∫ b
aF (x) dx
La ultima integral simple, siendo F (x) positiva, sabemos que puede interpretarse graficamente como elarea bajo la grafica de dicha funcion de una variable. Por otro lado, si lo que calculamos es la integraldoble de f(x, y) en una region D del plano, obtenemos el volumen del solido encerrado debajo de lagrafica (3D) de dicha funcion de dos variables.
5-39
Nos preguntamos: ¿que interpretacion podemos darle a∫C f(x, y) ds ? Volviendo (otra vez) a la nocion
de sumas de Riemann, esto es una suma de pequenos intervalos ∆s por el valor de la funcion en algunpunto elegido de dicho segmento. Pensando en la grafica (en el espacio) de la funcion f(x, y), observamosque estamos sumando las areas de rectangulos de base ∆s y altura f . Luego la integral de lınea de f(x, y)(positiva) a lo largo de una curva C del plano xy, da el valor del area de la “pared curva” que sigue la formade C en la base y tiene altura dada por el valor de f en los puntos de la curva. Ver Figura ??. (Al principiode esta seccion dimos otra interpretacion cuando se trata de la funcion constante 1, como la longitud de lacurva. Ambas interpretaciones son validas:
∫C 1 ds da el valor numerico LC de la longitud de la curva C,
y tambien da el valor numerico del area de la pared lateral con base C y altura 1: LC 1; solo cambian lasunidades de medida).
Figura 12: Integral de lınea de f(x,y) como area de la pared curva con base C y altura f(x, y).
Imagine un tinglado cuyo techo tiene forma de cilindro parabolico. Las paredes laterales (los lados haciadonde el techo cae) son rectangulares y su area es facil de calcular. Pero la pared del frente y del fondo noson rectangulos: realice un dibujo de la situacion, luego proponga una funcion y una curva adecuadas demodo que la integral de lınea de el area de cada una de estas paredes.
Veamos ahora un ejemplo para una curva en el espacio y una funcion de tres variables.
EJEMPLO 28: Hallar∫C xe
yz ds, donde C es el segmento de recta que une el origen con el punto(1, 2, 3).
El segmento C pertenece a la recta L que pasa por el origen y tiene vector director ~v = (1, 2, 3)−(0, 0, 0).Luego un conjunto de ecuaciones parametricas para L es
L :
x = 0 + (1− 0)ty = 0 + (2− 0)tz = 0 + (3− 0)t
, t ∈ R
Si queremos describir el segmento C, basta con restringir t al intervalo [0, 1] (revea en las Guıas 1 y 2la forma de parametrizar un segmento de recta entre dos puntos dados). El vector ~r ′(t) cuyo modulonecesitamos, no es mas que ~v, que tiene norma constante igual a
√14. Luego∫
Cxeyz ds =
∫ 1
0
(te2t 3t
)(√
14 dt)
5-40
cuyo valor es√
14 (e6 − 1)/12 (compruebelo, integrando por partes).
PARA PENSAR: Analice cuanto vale la integral de lınea de una funcion de dos variables a lo largo deuna curva de nivel de dicha funcion; aplıquelo a la funcion f(x, y) = x2 + 2y2, grafique.¿Y si se trata de una funcion de tres variables, y la curva se encuentra sobre una superficie de nivel?De ejemplos.
Completamos esta seccion definiendo otras integrales que utilizaremos mas adelante.
DEFINICION:Sea f(x, y) una funcion escalar de dos variables con dominio D ⊂ R2, y sea C ⊂ D una curva en el plano.Sea ~r(t), con t ∈ [a, b], una parametrizacion de C. Entonces se define la integral de lınea de f con respectoa la variable x a lo largo de C como∫
Cf dx =
=∫ b
af (x(t), y(t)) x′(t) dt
y la integral de lınea de f con respecto a la variable y a lo largo de C como∫Cf dy =
=∫ b
af (x(t), y(t)) y′(t) dt
Escriba una definicion analoga para una funcion de tres variables y una curva en el espacio.
EJEMPLO 29: Evaluar∫C(xy + ln y) dy, donde C es el arco de la parabola y = x2 que va desde
A(1, 1) hasta B(3, 9).
En primer lugar, notemos que la funcion a integrar, f(x, y) = xy + ln y, tiene como dominio decontinuidad todo el semiplano superior, sin el eje x; entonces f es continua a lo largo de la curva C
dada, ya que esta no contiene ningun punto P (x, y) con y ≤ 0. Luego, podemos asegurar que la integralexiste.Consideremos la parametrizacion trivial para la curva: ~r(t) = (t, t2), t ∈ [1, 3]. De esta funcion vecto-rial, necesitaremos en este caso solamente la derivada de su segunda componente, y′(t) = 2t. Luego∫
C(xy + ln y) dy =
∫ 3
1[tt2 + ln(t2)](2t dt)
Completar la cuenta.Repetir el calculo para la curva −C, o sea el arco de parabola que va desde B hasta A. ¿Que observa?
Es importante notar que en el caso de las integrales de lınea con respecto a una variable (y no con respectoa la longitud de arco), el sentido de recorrido de la curva sı afecta el resultado. Ası, por ejemplo, en lugar
5-41
de la Propiedad 3 dada antes, se tiene:La integral de lınea de una funcion escalar con respecto a una variable depende del sentido de recorrido dela curva. Simbolicamente, ∫
−Cf dx = −
∫Cf dx ,
∫−C
f dy = −∫Cf dy
Esto se ve claramente en la definicion, donde aparecen los factores x′(t) e y′(t), cuyo signo se invierte cuandocambia el sentido de recorrido de la curva.
EJEMPLO 30: Se desea calcular∮C [y dx− x dy], donde C es la curva frontera de un rectangulo en
el plano con uno de sus vertices en el origen y el vertice opuesto en (3, 5) (ver Figura ??), recorrida ensentido “antihorario”. Podemos aclarar que en el caso de curvas cerradas en el plano, si no se especificael sentido del recorrido supondremos que es “antihorario” (o sea, dejando a la region a su izquierda).
Figura 13: Curva frontera a trozos para el rectangulo
Antes de hacer ningun calculo, conviene analizar que tramos de la curva contribuyen a cada una delas integrales. Empezando por el origen, llamemos C1, C2, C3 y C4 respectivamente, a los lados delrectangulo con sentido antihorario. Ver figura. Tomemos C1 y C3 que son dos tramos horizontales: separametrizan por medio de funciones vectoriales con segunda componente constante, luego y′ = 0 enambos casos y por lo tanto la integral de lınea de la funcion −x respecto de y para los tramos C1 y C3
no contribuye.Analogamente ocurre con la integral de lınea de la funcion y respecto de x para los tramos C2 y C4.Tampoco contribuyen
∫C1y dx pues y = 0, ni
∫C4
(−x) dy pues x = 0.De las 8 integrales de lınea que se debıan resolver, solo quedan 2. Termine el ejercicio, sin hacercalculos de integrales!
3.1. Aplicaciones
Sabemos que conociendo la densidad de masa, podemos calcular la masa y el centro de masa de una laminadelgada mediante integrales dobles, o la masa y el centro de masa de un cuerpo solido usando integralestriples. Veremos a continuacion que las integrales de lınea nos permiten calcular la masa total y el centro demasa de un alambre delgado, si conocemos la densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud).
Supongamos un alambre que toma la forma de una curva C en el plano y tiene densidad lineal de masa enun punto (x, y) ∈ C dada por ρ(x, y), donde ρ(x, y) es una funcion continua. Se demuestra que la masa total
5-42
del alambre es:m =
∫Cρ(x, y) ds
Tambien puede calcularse el centro de masa de un alambre con densidad ρ(x, y) a lo largo de una curva C,estando dadas sus coordenadas (xCM , yCM ), por:
xCM =1m
∫Cx ρ(x, y) ds
yCM =1m
∫Cy ρ(x, y) ds
donde m es la masa total del alambre.
Si el alambre toma la forma de una curva C en el espacio y conocemos su densidad lineal de masa ρ(x, y, z)en cada punto de la curva, mediante integrales de lınea semejantes a las dadas, podemos calcular la masay el centro de masa del alambre tambien en este caso. Escriba las correspondientes ecuaciones, teniendo encuenta que ρ es una funcion de tres variables y C es una curva en el espacio.
EJEMPLO 31: Un arco de metal delgado (alambre), mas denso en la parte inferior que en la superior,se encuentra a lo largo de la semicircunferencia x2 +y2 = 1, y ≥ 0, en el plano xy. Determinar la masay el centro de masa del arco, si la densidad en el punto (x, y) del arco es ρ(x, y) = 2− y
Utilizamos la parametrizacion de la semicircunferencia dada por ~r(t) = cos t ı+ sen t , con t ∈ [0, π].Luego ~r ′(t) = − sen t ı+ cos t , que tiene modulo 1. La masa es:∫
Cρ(x, y) ds =
∫ π
0(2− sen t) dt = 2(π − 1)
Notamos que xCM = 0 ya que ρ no depende de x y el arco es simetrico con respecto al eje y. Paracalcular yCM , hacemos primero:∫
Cyρ(x, y) ds =
∫ π
0(sen t)(2− sen t) dt =
[−2 cos t− 1
2t+
14
sen 2t]π
0
=8− π
2
Por lo que,
yCM =8− π
4(π − 1)
El centro de masa es entonces:
CM :(
0,8− π
4(π − 1)
)
EJERCICIOS:
1. Evalue las siguientes integrales de lınea donde C es la curva dada:
a)∫C yex ds, C es el segmento de recta que une (1, 2) a (4, 7).
b)∫C senx dx, C es el arco de la curva x = y4 que va de (1,−1) a (1, 1).
5-43
c)∫C x2z ds, C es el segmento de recta que va de (0, 6,−1) a (4, 1, 5).
d)∫C xz ds, C : x = 6t, y = 3
√2t2, z = 2t3, 0 ≤ t ≤ 1.
2. Encuentre la circulacion de f(x, y) = 5x2 + 5y2 a lo largo de la circunferencia de radio 3 centrada enel origen (utilice alguna de las propiedades estudiadas).
3. Calcule las siguientes integrales de lınea:
a)∫C [x√y dx + 2y
√x dy], donde C esta formada por el arco mas corto del cırculo x2 + y2 = 1 de
(1, 0) a (0, 1) y el segmento de recta de (0, 1) a (4, 3).
b)∫C [yz dy + xy dz], donde C : x =
√t, y = t, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
4. Determine la circulacion∮C [xydx+ x2dy], siendo C el borde del triangulo con vertices en (0, 0), (1, 0)
y (1, 2).
5. Un alambre delgado se dobla en forma de semicircunferencia x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Si la densidad lineales una constante k g/cm, encuentre la masa y el centro de masa del alambre.
6. Halle la masa y centro de masa de un alambre en forma de helice ~r(t) = 2 sen t ı + 2 cos t + 3t k,0 ≤ t ≤ 2π, si la densidad lineal del alambre es una constante k.
5-44
4. Integrales de superficie
Hasta aquı hemos trabajado la integracion de funciones escalares de dos y de tres variables, cuando la regionde integracion es una region del plano [integral doble], una region solida del espacio [integral triple], y unacurva [integral de lınea]. En esta seccion introducimos la nocion de integral de superficie, que –pensado enterminos de sumas de Riemann– consiste en dividir una superficie en pequenos “parches” y acumular elvalor de una funcion (de tres variables) multiplicado por el area de cada elemento de superficie.Para integrales de lınea vimos que, a los fines practicos, se busca una parametrizacion para la curva pormedio de una funcion vectorial ~r(t), con t en cierto intervalo; esto permite evaluar la funcion en puntos de lacurva y ademas calcular la longitud del elemento de arco. Para integrales de superficie se procede de maneraanaloga. Como primer paso, entonces, buscamos una descripcion parametrica para la superficie sobre la cualque se va a integrar. Esto se logra por medio de una funcion vectorial de dos parametros ~r(u, v), con u y ven cierta region. Debemos encontrar tambien el area de un elemento de superficie.
4.1. Superficies parametricas y funciones vectoriales de 2 variables
¿Como describimos una superficie en el espacio? Podemos, por ejemplo, usar coordenadas cartesianas yexpresar z como una funcion de x e y [z = g(x, y), como z = x2 + y2], o tambien x como una funcion de yy de z, o y en terminos de x y z. Otra opcion es dar una relacion entre x, y, z que defina implıcitamente auna de las variables como una funcion de las otras dos [G(x, y, z) = 0, como x2y+ zy2− 3xz3 = 0]. Algunassuperficies se describen mejor cuando las coordenadas x, y, z estan dadas en terminos de dos parametros[x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)], de manera analoga a las curvas que se describen dando x e y en funcionde un parametro t.
En esta seccion discutimos la forma parametrica de describir una superficie en el espacio, por medio de unafuncion vectorial o de valores vectoriales, cuyo rango es un conjunto de vectores en V3 y cuyo dominio es unconjunto de pares ordenados en el plano de parametros.Veamos un ejemplo de superficie parametrica (o parametrizable):
EJEMPLO 32: Hallar una funcion vectorial apropiada que parametrice la superficie esferica S deradio 3 centrada en el origen.
Conocemos la ecuacion cartesiana de la cuadrica
S : x2 + y2 + z2 = 9
Tambien sabemos que en coordenadas esfericas se tiene
S : ρ = 3
y de la transformacion entre coordenadas esfericas y cartesianas, en este caso con ρ fijo, se tiene
x = 3 sen θ cosφ y = 3 sen θ senφ z = 3 cos θ
Vemos que las coordenadas (x, y, z) de un punto cualquiera de la superficie esferica S quedan biendeterminados dando el valor de dos cantidades: θ y φ, que toman valores en los intervalos [0, 2π] y [0, π],
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respectivamente. Entonces S puede ser descripta mediante una funcion que a cada par de valores de losparametros θ y φ le asigne el vector que va de O a P :
−−→OP = 3 sen θ cosφ ı+ 3 sen θ senφ + 3 cos θ k,
es decir, mediante una funcion con valores vectoriales. Escribimos entonces
S : ~r(u, v) = (3 senu cos v, 3 senu sen v, 3 cosu), con u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, π]
donde ~r(u, v) es una funcion vectorial de dos variables, que tiene como dominio parametrico la region
Duv = {(u, v) : 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π}
del plano de parametros. Grafique el dominio D en un plano cuyos ejes son u y v.
¿Como describirıa parametricamente la parte de S con z positivo? ¿Y la porcion en el primer octante?¿Que parte de la superficie esferica esta representada por ~r(u, v) con dominio parametrico [0, 2π] ×[π4 ,
3π4 ]? Grafique en cada caso el dominio en el plano parametrico.
Por ultimo, discutimos otra parametrizacion para S. Podrıamos elegir por ejemplo x e y como paramet-ros, y expresar z en terminos de ellos. Para la esfera completa, dado que z = ±
√x2 + y2, debemos
dar dos funciones vectoriales:
S+ : ~r(x, y) = (x, y,√
9− x2 − y2)
para la semiesfera superior, y
S− : ~r(x, y) = (x, y,−√
9− x2 − y2)
para la semiesfera inferior, en ambos casos con dominio parametrico Dxy = {(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 9}.Grafique el dominio parametrico; observe que para esta elecion de parametros (la “parametrizaciontrivial”), D es la proyeccion de la superficie en el plano xy. Finalmente, S = S+
⋃S− (¿cual es la
interseccion entre ambas superficies?).
Hagamos ahora un ejercicio inverso. Dada una funcion vectorial de dos parametros, encontrar la formacartesiana de la superficie que representa.
EJEMPLO 33: ¿Que superficie en el espacio representa la funcion vectorial ~r(u, v) = (2 senu cos v, 3 senu sen v,4 cosu), con (u, v) ∈ [0, 2π]× [0, π]?
Las componentes cartesianas de un punto P (x, y, z) de la superficie estan relacionadas entre sı atraves de los parametros u y v, de la siguiente manera
x(u, v) = 2 senu cos v y(u, v) = 3 senu sen v z(u, v) = 4 cos v
Para obtener la forma cartesiana de la superficie, que vincula solamente x, y, z, es necesario eliminarlos parametros u, v entre estas tres ecuaciones.Observamos primero que la funcion vectorial es similar a la que representa a la superficie esferica,pero con coeficientes diferentes en cada componente, por lo que podemos sospechar que se trata de lasuperficie de un elipsoide. Para confirmarlo, hacemos el siguiente calculo:(
x(u, v)2
)2
+(y(u, v)
3
)2
+(z(u, v)
4
)2
= sen2 u cos2 v + sen2 u sen2 v + cos2 v = 1
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De esta forma, hemos logrado eliminar los parametros y obtener la relacion deseada entre x, y, y z:
S :x2
4+y2
9+z2
16= 1
La funcion vectorial cubre toda la superficie de este elipsoide, una sola vez.Encuentre la parametrizacion trivial para la misma superficie (dando z en terminos de x e y); observeque, de esta manera, el dominio de parametros es una elipse en el plano xy.
Veamos que ocurre si cambiamos el dominio parametrico para u y v.¿A que superficie corresponde la misma funcion vectorial ~r(u, v), pero con dominio parametrico Duv ={0 ≤ u ≤ 4π, 0 ≤ v ≤ π
2 }? La forma de la superficie es la del elipsoide, ya que se llega a la mismaecuacion cartesiana, pero la diferencia reside en que ahora no esta cubierto todo el elipsoide, y se pasamas de una vez por cada punto. Efectivamente, por un lado, el parametro v entre 0 y π
2 correspondea puntos del semiespacio superior (pues z = 4 cos v ≥ 0 para esos valores de v); por el otro, dada laperiodicidad de las funciones seno y coseno, el parametro u entre 2π y 4π repite los mismos puntosque entre 0 y 2π.O sea, se trata en este caso de la mitad superior de la superficie del elipsoide de semiejes 2, 3, 4,cubierta dos veces.
Veamos ahora otros ejemplos de funciones vectoriales y superficies parametricas.
EJEMPLO 34: Describir el plano que contiene al punto P0(x0, y0, z0) y es paralelo a dos vectores~a = (a1, a2, a3) y ~b = (b1, b2, b3) dados (no paralelos entre sı).
En la Guıa 1–Seccion 5.2, vimos que una recta que pasa por P0 y tiene vector director ~a, se puededescribir mediante ecuaciones parametricas considerando que si P es un punto de la recta, entoncesel vector
−−→P0P es un multiplo del vector ~a. Esto es:
−−→P0P = t~a para algun t ∈ R.
Con la misma idea, para el caso del plano que pasa por P0 y contiene a los vectores ~a y ~b, si P esun punto del plano, entonces el vector
−−→P0P es una combinacion lineal de los vectores ~a y ~b. Esto es:−−→
P0P = u~a+ v~b para algun u ∈ R y algun v ∈ R.Escribiendo
−−→P0P =
−−→OP −
−−→OP0 = ~r− ~r0, obtenemos finalmente ~r(u, v) = ~r0 + u~a+ v~b, con u, v reales,
de donde el plano queda parametrizado por
S : ~r(u, v) = (x0 + ua1 + vb1, y0 + ua2 + vb2, z0 + ua3 + vb3) con (u, v) ∈ R2
Por ejemplo, si P0(1, 2,−3), ~a = (1, 1,−1) y ~b = (1,−1, 1), una funcion vectorial que parametrizaeste plano es ~r(u, v) = (1 + u+ v, 2 + u− v,−3− u+ v), con Duv = R2.Encuentre un vector normal al plano, halle la ecuacion lineal del plano y usela para proponer unaparametrizacion trivial ~r(x, y). Verifique que ambas funciones vectoriales describen la misma superficie.
PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE. SUPERFICIES SUAVES.
Dada una superficie parametrizada por medio de la funcion ~r(u, v), con (u, v) ∈ Duv, consideremos elconjunto de puntos que se obtiene fijando uno de los parametros. Al quedar una funcion vectorial en terminos
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del otro parametro (el que no se ha fijado), observamos que de esta forma queda descripta una curva en elespacio. Las curvas obtenidas se denominan curvas reticulares. Sus ecuaciones son
C1 : ~r1(u) = ~r(u, v0) C2 : ~r2(v) = ~r(u0, v)
donde se ha fijado v = v0 y u = u0, respectivamente, siendo v0 y u0 valores en el dominio parametrico (dehecho se tiene un conjunto infinito de curvas de tipo C1, y de curvas de tipo C2).Para la superficie del Ejemplo 32, las curvas reticulares son los paralelos (fijando v, o sea el angulo φ) y losmeridianos (fijando u, esto es, θ) de la superficie esferica.En el caso del plano del Ejemplo 34, son por un lado rectas paralelas entre sı con vector director ~a, y por elotro un conjunto de rectas con vector director ~b.Estudie el caso del paraboloide elıptico dado por ~r(u, v) = (u cos v, u sen v, u2), con u ∈ R+, v ∈ [0, 2π].
Claramente, las curvas C1 y C2 pasan por el punto P0 de coordenadas ~r(u0, v0) (recordemos que identificamosel punto final de este vector ubicado en posicion canonica, con el punto P0). La derivada de ~r1(u) respecto de uevaluada en u0
[o sea, ∂~r∂u(u0, v0)
]es un vector tangente a la curva C1 en P0, mientras que la derivada de ~r2(v)
respecto de v evaluada en v0[
o sea, ∂~r∂v (u0, v0)]
es un vector tangente a la curva C2 en P0. Estos dos vectorespermiten generan un par de rectas tangentes, respectivamente, a las curvas reticulares fijadas, quedando porlo general determinado un plano que contiene a ambas rectas. Por construccion, este plano resulta sertangente a la superficie S en P0. El producto vectorial ~n0 = ~r1
′(u0) × ~r2 ′(v0) = ∂~r∂u(u0, v0) × ∂~r
∂v (u0, v0) esun vector normal a dicho plano.
DEFINICION:Sea S una superficie parametrizada por la funcion vectorial ~r(u, v), y sea P0(x0, y0, z0) ∈ S un punto en lasuperficie correspondiente al vector posicion ~r(u0, v0). Entonces los vectores ~ru(u0, v0) y ~rv(u0, v0) determinanel plano tangente ΠT a la superficie S en P0, con vector normal dado por
~n0 = ~ru(u0, v0)× ~rv(u0, v0)
Luego una ecuacion para el plano tangente a S en P0 es
ΠT : (x− x0, y − y0, z − z0) · ~n0 = 0
En el Ejemplo 34, tomando (u0, v0) = (0, 0) se tiene C1 : ~r1(u) = ~r(u, 0) = (1 + u, 2 + u,−3 − u) yC2 : ~r2(v) = ~r(0, v) = (1 + v, 2 − v,−3 + v), de donde ~r1 ′(0) = (1, 1,−1) = ~a y ~r2
′(0) = (1,−1, 1) = ~b.Luego ~n0 = (0,−2,−2) es un vector normal al plano tangente a la superficie plana S en el punto P0(1, 2,−3).Se trata por supuesto del mismo plano S en este caso!¿Cual es el plano tangente a la superficie esferica del Ejemplo 32 en el punto (0, 0, 3)? Verifique su respuesta,hallando el vector ~n0 [utilice las dos representaciones vistas en el ejemplo, ~r(u, v) y ~r(x, y)].
DEFINICION:Se dice que S : ~r(u, v) es una superficie suave si ~ru × ~rv 6= ~0 para todo (u, v) ∈ Duv.Una superficie suave admite plano tangente en todos sus puntos. No posee esquinas ni saltos.
ORIENTACION DE UNA SUPERFICIE ORIENTABLE
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No hemos discutido aun acerca del “sentido” de una superficie, como hemos definido en el caso de curvas.¿Tiene “sentido” esta idea? Veremos que en este caso se habla de orientacion, pero que no todas las superficiesdel espacio son orientables.En los Ejemplos 32 y 33, las funciones vectoriales dadas ~r(u, v), con dominio parametrico (u, v) ∈ [0, 2π]×[0, π], corresponden a sendas superficies que encierran regiones solidas del espacio. Son por lo tanto superficiescerradas y claramente tienen dos caras o lados, una orientada hacia afuera del solido y otra que mira haciaadentro. Por convencion, la cara de una superficie cerrada cuyos vectores normales apuntan hacia afuerase dice que tiene orientacion positiva. Podrıamos pintar una cara de un color y la otra cara de un colordiferente, y los colores no se mezclan ni juntan. O podrıamos pensar en un objeto moviendose sobre lasuperficie: si empieza de un lado, no pasara nunca del otro lado.Si consideramos la mitad superior de una superficie esferica, por ejemplo z = +
√9− x2 − y2, tambien
podemos distinguir dos orientaciones o caras, la que mira hacia arriba y la que mira hacia abajo; la superficiees entonces orientable; ademas, es abierta y tiene una curva frontera (la circunferencia en el plano xy dadapor x2 +y2 = 9, z = 0). En el caso del plano del Ejemplo 34, tambien es orientable (una cara da para arribay la otra para abajo, o para la derecha y para la izquierda –depende desde donde se mire–); es una superficieabierta, pero si pensamos en todo el plano, no tiene borde o frontera.
DEFINICION:Sea S una superficie con plano tangente en todo punto. Para cada (x, y, z) ∈ S, existen dos vectores normalesunitarios nI y nII = −nI . Si es posible elegir un vector normal unitario de mod uqe varıe continuamentesobre S, se dice que la superficie es orientable (o esta orientada).Se dice que una orientacion esta determinada por ~nI y la otra por ~nII .
Sea S : ~r(u, v) una superficie suave y orientable. Entonces la orientacion inducida por la parametrizacionesta determinada por el vector normal unitario
n =~ru × ~rv|~ru × ~rv|
En particular, para una superficie que es grafica de una funcion de dos variables es natural usar la parametrizaciontrivial. Esto es, si S : z = g(x, y) entonces ~r(x, y) = (x, y, g(x, y)) con (x, y) en el dominio de la funcion g,parametriza la superficie. Dado que ~rx×~ry = (−gx,−gy,+1) (notar que la tercera componente es positiva),la parametrizacion trivial induce la orientacion hacia arriba.
EJERCICIOS:
1. Considerar los ejercicios al final de la Guıa 1–Seccion 6. Dar funciones vectoriales para los planos delos Ejercicios 1, 5 y 6.
2. Considerar las superficies cuadricas vistas en la Guıa 1–Seccion 7.1. Discutir para cuales se puedeutilizar la parametrizacion trivial. En esos casos, tomar un ejemplo concreto y escribir la funcionvectorial correspondiente, indicando el dominio parametrico.
3. Parametrizar las superficies cilındricas dadas en la Guıa 1–Seccion 7.2.
4. Construir una cinta de Moebius con una tira de papel. ¿Es orientable esta superficie? ¿Por que? (AdrianPaenza dedico una seccion de su programa a este tema, disponible en YouTube).
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5. Sea S1 la parte de la superficie del cono circular z = r (en coordenadas cilındricas) para z entre 0 y√12 , S2 una porcion de la superficie esferica ρ = 1 (en coordenadas esfericas) para z ≥
√12 , y S3 el
disco (plano) 0 ≤ x2 + y2 ≤ 12 a la altura z =
√12 (ver Ejemplo 11 de esta Guıa 5).
a) Verificar que las 3 superficies tienen como curva frontera a la misma circunferencia, de ecuacion
x2 + y2 = 12 , z =
√12 .
b) Hallar funciones vectoriales que parametricen cada una de las superficies.
c) Para cada superficie, si es orientable senalar sus dos caras; y dar las coordenadas de dos puntosproximos a la superficie pero uno de cada lado de la misma.
6. Hallar un vector normal unitario para el paraboloide elıptico ~r(u, v) = (u cos v, u sen v, u2) en el pun-to (1, 0, 1). ¿Es orientable la superficie? En caso afirmativo, ¿cual es la orientacion inducida por laparametrizacion?
4.2. Integral de superficie
El objetivo aquı es definir y dar un metodo practico para calcular la integral de una funcion escalar detres variables sobre una superficie parametrica, conocida como integral de superficie o de flujo. Se denotasimobolicamente ∫∫
Sf dS
(donde dS indica un elemento de superficie) y se define formalmente como el lımite de las sumas dobles deRiemann de la funcion f evaluada en puntos de la superficie por el area del elemento de superficie, ∆S.
Sea ~r(u, v) con (u, v) ∈ Duv, una parametrizacion para la curva S. Imaginemos que el dominio parametrico enel plano de parametros uv, se subdivide en rectangulos de ancho ∆u y altura ∆v, cuya area es ∆A = ∆u∆v.Barriendo todos los valores de los parametros dentro de un rectangulo dado, se genera un “parche” o elemento∆S de la superficie S en el espacio cartesiano xyz. Se puede mostrar que el area de este parche de la superficieesta vinculada con el area del rectangulo de parametros a traves de la siguiente relacion:
∆S = |~ru(u, v)× ~rv(u, v)|∆u∆v
esto es, a traves del modulo del vector normal a la superficie. Estudie la justificacion en la bibliografıa.Observar la analogıa con la relacion hallada en el caso de una curva parametrica C : ~r(t), donde la longitud∆s 1 de un elemento de arco de la curva y la longitud del intervalo parametrico ∆t estan relacionados por∆s = |~r ′(t)|∆t, esto es, a traves del modulo del vector velocidad (que es tangente a la curva).
En particular, para una superficie que es grafica de una funcion de dos variables es natural usar la parametrizaciontrivial. Esto es, si S : z = g(x, y) entonces ~r(x, y) = (x, y, g(x, y)) con (x, y) en el dominio de la funcion g,parametriza la superficie. En este caso, el modulo del vector normal es |~rx× ~ry| =
√(−gx)2 + (−gy)2 + 12).
DEFINICION:Sea f(x, y, z) una funcion escalar de tres variables con dominio E ⊂ R3, y sea S ⊂ E una superficie en el
1Notar que usamos ds para un elemento de curva, y dS para un elemento de superficie.
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espacio. Sea ~r(u, v), con (u, v) ∈ Duv, una parametrizacion de S. Entonces se define la integral de superficiede f sobre S, o a traves de S, como∫∫
Sf dS =
=∫∫
Duv
f (~r(u, v)) |~ru(u, v)× ~rv(u, v)| du dv
Observe que en la definicion se da una “receta” concreta para hacer la cuenta: la integral de superficiese expresa y se calcula como una integral “doble” en las variables u, v, que es una integral definida en eldominio parametrico Duv, y por lo tanto da como resultado un numero.Se puede probar que si f es continua en S y si la superficie S es suave (a trozos), entonces la integral desuperficie existe.
Se pueden demostrar las siguientes propiedades:
PROPIEDAD 1: La integral de superficie de una funcion escalar no depende de la parametrizacion uti-lizada para la superficie, siempre que esta sea cubierta una sola vez.
PROPIEDAD 2: La integral de superficie de una funcion escalar a traves de una superficie formadapor dos trozos, es igual a la suma de las integrales de superficie de dicha funcion a traves de cada trozo.Simbolicamente, ∫∫
S1⋃S2
f dS =∫∫
S1
f dS +∫∫
S2
f dS
PROPIEDAD 3: La integral de superficie de una funcion escalar es independiente de la orientacion de lasuperficie. Simbolicamente, ∫∫
−Sf dS =
∫∫Sf dS
donde −S indica la misma superficie que S pero con orientacion opuesta.
EJEMPLO 35: Calcular∫∫S(x+z) dS, siendo S la superficie cilındrica de eje z y radio 3, entre z = 0
y z = 5.
La funcion a integrar es f(x, y, z) = x+ z, que es continua en todo R3.La superficie puede parametrizarse mediante la funcion vectorial ~r(α, z) = (3 cosα, 3 senα, z) con α ∈[0, 2π], z ∈ [0, 5]; la superficie es suave, orientable y queda cubierta una sola vez por la parametrizaciondada.Luego la funcion evaluada en puntos de la superficie da: f(x(α, z), y(α, z), z(α, z)) = x(α, z)+z(α, z) =3 cosα+ z.El vector normal a la superficie parametrica resulta
~n = ~rα × ~rz =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
−3 senα 3 cosα 00 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (3 cosα, 3 senα, 0)
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cuyo modulo es |~rα × ~rz| = 3. Luego la integral de superficie resulta en la siguiente integral doble:∫∫S
(x+ z) dS =∫ 5
0
∫ 2π
0(3 cosα+ z) (3 dα dz) = 0 + 3 [α]2π0
[z2
2
]5
0
= 75π
EJEMPLO 36: Determine el flujo neto de la funcion x + z a traves de la superficie frontera delcilindro de radio 3, eje z y altura 5 apoyado en el plano xy.
En este caso, se pide la integral de superficie a traves de una superficie S cerrada, o flujo neto, quedenotamos por medio del siguiente sımbolo ∫∫
©Sf dS
Esta integral puede calcularse por tramos: en el ejemplo anterior obtuvimos el flujo a traves de lasuperficie cilındrica lateral, resta evaluar el flujo a traves de las tapas superior e inferior. Observamosque para la base, solo contribuye la integral del primer termino de la funcion, x, ya que en esa tapa setiene z = 0. Por otro lado para la tapa superior contribuyen ambos terminos de la funcion, siendo elsegundo constante e igual a 5.Las parametrizaciones triviales para las tapas son: ~r(x, y) = (x, y, 0) y ~r(x, y) = (x, y, 5), con 0 ≤x2 + y2 ≤ 9, luego el dominio parametrico es el cırculo de radio 3 centrado en el origen. Sabemosque los vectores normales deben tener la direccion del eje z positivo (¿por que?), debemos averiguarel modulo. Dado que en ambos casos ~rx × ~ry = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = i × j = k, su modulo es 1 (esrazonable que con esta parametrizacion, la relacion entre el elemento de superficie ∆S y el elementode area parametrica ∆A sea un factor constante e igual a 1).Entonces para la base se tiene la integral doble∫∫
Dxy
(x+ 0)(1 dx dy) =∫ 2π
0
∫ 3
0(r cos θ)(r dr dθ)
donde hemos usado, para resolver la integral doble, coordenadas polares (en el plano parametrico, queen este caso se llama xy). Completar este calculo; repetir para la tapa superior (aprovechar el hecho deque contribuye el termino z dS, pero dado que z = 5 y el modulo del vector normal es 1, esta parte da 5veces el area del cırculo de radio 3; ademas el termino x dS da lo mismo que para la base). Finalmente,sumar las 3 contribuciones para obtener el flujo neto.
4.3. Aplicaciones
AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA
Es facil deducir que la integral de superficie de la funcion constante f(x, y, z) = 1 a traves de una superficieS, da como resultado el valor numerico del area de dicha superficie:
A(S) =∫∫
S1 dS =
∫∫Duv
1 |~ru × ~rv|du dv
Observar que si la superficie es plana y se encuentra apoyada en el plano xy (o en otro plano horizontal),este calculo se reduce al area de una region plana, A(D), siendo D el dominio parametrico.
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En particular, para una superficie que es grafica de una funcion de dos variables, Sg : z = g(x, y), usando laparametrizacion trivial se tiene ~r(x, y) = (x, y, g(x, y)), con (x, y) en el dominio de la funcion g. El modulodel vector normal es |~rx × ~ry| =
√1 + (gx)2 + (gy)2, luego
A(Sg) =∫∫
Sg
1 dS =∫∫
Dxy
1√
1 + (gx)2 + (gy)2 dx dy
esto es, se convierte en una integral doble en la regionDxy para la funcionm(x, y) =√
1 + [gx(x, y)]2 + [gy(x, y)]2.
EJERCICIOS:
1. Calcule∫∫S y dS, donde S es la superficie z = x+ y2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
2. Determine el flujo neto de la funcion x2 a traves de la superficie frontera de la esfera unitaria x2 +y2 + z2 = 1
3. Evalue: ∫∫©Sz dS
donde S es la superficie cuyos lados S1 estan sobre el cilindro x2 + y2 = 1, el fondo S2 es el discox2 + y2 ≤ 1 del plano z = 0, y su tapa S3 es la parte del plano z = x+ 1 que esta arriba de S2.
4. Halle el area de la parte de la superficie z = x2 + 2y que se encuentra arriba de la region triangular Tdel plano xy con vertices (0, 0), (1, 0) y (1, 1).
ACTIVIDADES INTEGRADORAS:
1. Trace el solido, cuyo volumen esta representado por la integral∫ ∫
R
√9− y2 dA, dondeR = [0, 4]×[0, 2]
en el plano xy.
2. Demuestre que∫ ∫
R k dA = k(b− a)(d− c), donde R = [a, b]× [c, d].
3. Halle el volumen del solido limitado por el paraboloide elıptico z = 1 + (x− 1)2 + y2, los planos x = 3y y = 2, y los planos coordenados.
4. Evalue las siguientes integrales dobles:
a)∫ ∫
D2yx2+1
dA, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤√x}
b)∫ ∫
D 2x− y dA, donde D es el cırculo de radio 2 centrado en el origen.
c)∫ ∫
D y3 dA, donde D es la region triangular de vertices (0, 2), (1, 1) y (3, 2).
5. Halle el volumen de los siguientes regiones solidas:
a) La region se encuentra debajo de la superficie z = xy y arriba del triangulo cuyos vertices son(1, 1), (4, 1) y (1, 2).
b) El solido esta limitado por los cilindros x2 + y2 = r2 y y2 + z2 = r2.
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6. Esboce la region de integracion y evalue las siguientes integrales iteradas:
a)∫ π0
∫ 3 senxsenx x(1 + y) dydx
b)∫ 42
∫ y3y2−1 3 dxdy
7. Trace la region de integracion y cambie el orden de integracion:
a)∫ 10
∫ π/4arctanx f(x, y) dydx
b)∫ π/20
∫ senx0 f(x, y) dydx
8. Evalue la integral∫ 10
∫ π/2arc sen y x
√1 + cos2 x dxdy invirtiendo el orden de la integracion.
9. Utilice integrales dobles para hallar el area de las regiones planas siguientes:
a) La region es interior al cırculo r = 4 sen θ y exterior al cırculo r = 2.
b) La region es la que esta arriba del cono z =√x2 + y2 y dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 1.
10. Una lamina ocupa parte del cırculo x2 + y2 ≤ 1 en el primer cuadrante. Halle el centro de masa, si ladensidad de masa en cualquier punto es proporcional a su distancia al eje x.
11. Una ciudad esta construida a la orilla del mar en forma de region semicircular plana de 3 km de radio.Haga un bosquejo de la situacion en un sistema de coordenadas, y encuentre la distancia promediodesde cualquier punto de la ciudad al oceano.
12. Calcule, mediante integrales triples en el sistema de coordenadas conveniente en cada caso, el volumende los siguientes solidos E:
a) E = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1; z ≥ 12}
b) E es el solido determinado por z ≥√x2 + y2 y z ≤ 6− x2 − y2.
c) E es el solido comprendido entre dos superficies esfericas concentricas de radios y b (con a < b).
13. Un tanque de agua tiene forma de semiesfera de radio R, la base es la cara plana y el agua llega hastauna altura H. Calcular el volumen de agua.
14. Calcular la masa del solido ubicado arriba del plano xy, limitado por el plano y = 9 y por el conoy =√
9x2 + z2, si la densidad en cualquier punto (x, y, z) del solido es proporcional a la medida de ladistancia de dicho punto al plano xy.
15. Halle el area de la superficie construida del siguiente modo: sobre cada punto de la curva x2 + y2 = 4,x ≥ 0, z = 0, se coloca un segmento vertical de longitud x (es decir el segmento nace en (x, y, z) y seeleva verticalmente)
16. Evalue la integral de lınea∫C 36x3 ds, donde C es el arco de cubica y = x3 que une los puntos A(0, 0)
y B(1, 1). ¿Depende el resultado del sentido de la curva? Justificar.
17. Evalue la integral de superficie∫ ∫
S yz dS, donde S es la parte del plano x+y+z = 1 que se encuentraen el primer octante.
18. Evalue∫ ∫
S (x2z + y2z) dS, donde S es la superficie semiesferica x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0.
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