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ABACOM38.pubABACOM Boletín Matemático
Existe una antigua discusión acerca del nombre de la ciencia que nos convoca: ¿Matemática o Matemáti- cas? En la vida diaria se usan ambas in- distintamente: “voy a clase de ma- temática”, “estudio en el Instituto de Matemáticas”, “reprobé matemá- tica”, “las matemáticas son difíci- les”, etc., pero ¿cuál es la correcta?
Vayamos a la fuente de nuestro idioma, el Diccionario de la Real Academia Española (RAE). Aquí sólo existe el término matemática. Sin embargo, reconocen que se usa matemáticas, con el mismo signifi- cado.
matemática. (Del latín mathematca, y este
del griego τ µαθηµατικ, deri-
vado de µθηµα, conocimiento).
Ciencia deductiva que estudia
tractos, como números, figuras
con el mismo significado que en
singular.
Es obvio que debe ser matemáti- ca por su origen latino que es tal cual, matemática. Además nunca decimos “las físicas” aunque existan: la física clásica, la física moderna, la física cuántica, por mencionar algunas. También en química tenemos: química orgáni- ca, química analítica, química teó- rica, entre otras, pero no se habla de las químicas, sólo en matemáti- ca se da esta controversia.
Si nos vamos a otros idiomas, nos encontramos que en inglés, por ejemplo, se usa mathematics con s final para la disciplina. En francés la Academia Francesa da como entrada principal mathématique, sin embargo, si se busca mathéma-
tiques lo lleva a esa misma entra- da, es decir, no la descalifica, aun- que prefiere el singular.
Así, observamos que las autorida- des lingüísticas, lejos de aclarar- nos este dilema nos confunden aún más. O sea, sin culpa ni vergüen- za, podemos seguir usando indis- tintamente ambas palabras.
Con esta edición iniciamos el año 10 de esta publicación y espera- mos seguir fomentando en los (as) estudiantes el amor por la matemá- tica...o... ¿las matemáticas?...
MAYO 2011MAYO 2011MAYO 2011MAYO 2011
AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38 Editorial
¿MATEMÁTICA O MATEMÁTICAS? En esta edición
Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: [email protected]
pág Reflexiones
Cuerpos Sólidos ............................. .4
• Pitágoras y los Pitagóricos. ..... .6
• El Teorema de Pitágoras. ........ .7
Concurso • Desafío a tu Ingenio.. .............. .8
• Sopa Matemática .................... .8
Poesía Matemática ......................... .9
• Cantor y la Controversia del Infi-
nito ........................................... .9
• El Abrigo . . . ¿Realmente Abri-
• Matemáticos Somos Todos…..12
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está muy arraigada y extendida. Se cree que los sexos
poseen dis&ntos es&los de comunicación, dis&ntas habi-
lidades emocionales, que difieren en sociabilidad, que
las mujeres son más suges&onables, que los hombres
son más agresivos, que ellas son sensibles y ellos cere-
brales, que difieren en habilidades para negociar y en
sus es&los para liderar. El mí&co libro de John Gray “Los
Hombres son de Marte y las Mujeres de Venus” se ha
transformado en un credo. En Chile, el libro “Viva la Dife-
rencia” de Pilar Sordo, elabora sobre este mismo exten-
dido estereo&po.
Pero, ¿cuál es la realidad? Janet Hyde, psicóloga, Ph. D.,
de la Universidad de Wisconsin, se ha dedicado a inves&-
gar empíricamente estas diferencias. Su conclusión es
una sola. No existen mayores diferencias entre hombres
y mujeres en ninguna de las variables relevantes inves&-
gadas: hombres y mujeres somos del mismo planeta.
El mundo de la educación, y el de las matemá&cas en
par&cular, no están ajenos a estos estereo&pos. Los pa-
dres, los educadores y los mismos alumnos, &enden a
creer que ellas no son tan buenas para las matemá&cas
como ellos.
publicados en la pres&giosa revista Science el 2006
(“Gender similari&es in mathema&cs and science”.
Science, 314, 599-600.) y el 2008 (“Gender similari&es
characterize math performance”. Science, 321, 494-495)
concluyen que no existe respaldo empírico para sostener
que hombres y mujeres difieren en habilidad matemá&-
ca. Esta creencia es sólo un mito.
Aunque falsas, las creencias estereo&padas sobre hom-
bres y mujeres nos hacen pagar enormes costos de dis-
criminación por género. En el caso de las matemá&cas,
puede hacer que padres y profesores no se fijen en niñas
altamente talentosas para los números, pensando que
entre ellas hay muy poco talento matemá&co que descu-
brir, o que padres y maestros abandonen tempranamen-
te los esfuerzos para mejorar el aprendizaje de alumnas
que, por dificultades dis&ntas a sus habilidades, estén
logrando bajo rendimiento en matemá&cas. Por otra
parte, pensar que las niñas no son buenas matemá&cas
no sólo va corroyendo la confianza de ellas para tener
éxito en este ramo, sino que, además, va deteriorando
su vocación para seguir carreras matemá&camente
orientadas.
No se debe olvidar que las expecta&vas y creencias de
padres y profesores acerca de sus hijos y alumnos im-
pactan, para bien o para mal, en el desempeño escolar
de éstos y en su futuro.
(*) Psicólogo, Director Ejecuvo del Instuto Chileno de Inteli-
gencia Emocional ( www.psicologiaposiva.cl )
Claudio Ibáñez S. parcipó en el rescate de los mineros de la
mina San José, experiencia que plasmó en su libro “LOS 33 DE
ATACAMA Y SU RESCATE Psicología Posiva en acción y algu-
nas historias no contadas”.
ABACOM Boletín Matemático
Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad
Austral de Chile.
Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Víctor Alvarado A. / Redacción Periodística: Carolina Leiva C./ Colaboradora: Andrea Cárcamo B. / Web Master: Edinson Contreras R.
Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia. E.mail: [email protected] / Fono (63)221828 / Fax (63)293730
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REFLEXIONES
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ABACOM Boletín Matemático
El Agua y su Importancia (II parte) Luz Alegría Aguirre, Patricio Ruiz-Tagle Correa (*)
El Agua en el Hombre
El 65% del peso del ser humano y el 90% de su cerebro es agua, con un contenido salino del 0,9%. Esto equivale a unos 45 litros de agua, que se encuentra en el interior de las células (agua intracelular) o fuera de ellas (agua ex- tracelular). En este caso puede formar parte del líquido intersticial que baña las células o de los líquidos circulan- tes, en especial el plasma sanguíneo. El agua intracelular representa un 50% de la masa corpo- ral magra (unos 25 litros) y el agua extracelular el 20% de la misma (unos 16 litros), porcentaje que se reparte en- tre el líquido intersticial (15%) y el líquido circulante (5%). Entre los dos compartimentos de agua en el organismo, hay un continuo intercambio en cuyo equilibrio influye, entre otros factores, las variaciones de pH y la diferencia de la presión osmótica de la membrana celular. La pérdida diaria de agua del organismo depende de facto- res fisiológicos, ambientales, etc., y su valor medio es aproximadamente de 2.600 mL, repartidos en la orina (1.200 mL), heces (200 mL), sudor (360 mL) y respiración (840 mL). La sed constituye el mecanismo fundamental mediante el cual el organismo regula el mantenimiento del nivel de agua necesario para el organismo, siendo el RIÑÓN el órgano encargado de conservar el equilibro hídrico me- diante la reducción o aumento de la cantidad de agua eli- minada por la orina. El agua en estado natural no es pura, sino que lleva en disolución elementos minerales indispen- sables para el buen funcionamiento del organismo y, en particular, de la célula (sales minerales de sodio, potasio, calcio y magnesio, como las más importantes); por ello, la alteración del equilibrio hídrico está estrechamente rela- cionado con la alteración del equilibrio salino.
Escasez de agua en el mundo
En 1990, 20 países sufrían escasez de agua. En 1996, ya eran 26 (230 millones de personas), según la Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimenta- ción (FAO) . El número de países con problemas de agua puede elevarse a 41 en el año 2020. El Programa de las Naciones Unidas para el Medio Ambiente (PNUMA) cal- cula que de aquí al año 2027, aproximadamente un tercio
de los habitantes del mundo sufrirá seria escasez de agua. Las razones para ello son evidentes: la mayor demanda sobre los recursos de agua dulce provocada por las cre- cientes poblaciones humanas; el empeoramiento de la cali- dad de los recursos acuíferos existentes debido a la conta- minación y las necesidades creadas por la dinámica expan- sión tanto industrial como agrícola.
¿Se puede convertir agua salada en agua
destilada? En estos momentos de la historia de la humanidad el hom- bre se plantea migrar de las energías derivadas de recursos fósiles hacia energías “más limpias” y energías renovables.
Watercone es un desalinizador solar que es capaz de con- vertir el agua salada en agua pura y fresca. Es fácil de usar y de llevar de un lado a otro. La tecnología es bastante simple. Las restricciones vienen dadas por el volumen que es capaz de convertir cada dispositivo, en con- creto, 1.6 litros al día pero suficiente para llevar el agua al tercer mundo. Según UNICEF, cada día mueren 5.000 niños por el consumo de agua no apta para el ser humano. Water- cone aparenta ser un cono simple que consiste en dejar agua salada que se va evaporando y por efecto de la condensa- ción se convierte en agua consumible. No es muy costoso montar este sistema, bastaría con plástico resistente a los rayos ultravioletas.
(*) Profesores del Área de Química del Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la
Ingeniería de la Universidad Austral de Chile
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Nociones previas
Un cuerpo sólido ocupa una porción cerrada del espacio y está limitado por superficies planas o curvas. Un cuerpo sólido puede ser: Poliedro: si sólo lo limitan superficies planas; Cuerpo redondo: si está limitado por superficies curvas o por superficies curvas y planas. En los poliedros distinguimos: Caras (los polígonos que lo
forman), Aristas (los lados de los polígonos), Vértices (los puntos donde concurren las aristas). Además tenemos: Ángulos planos (sus lados son dos aristas convergentes), Ángulos diedros (sus caras son dos semiplanos con una arista común), Ángulos poliedros (formados por tres o más caras convergentes en un vér- tice).
Los poliedros pueden ser cóncavos o convexos. Los polie- dros que tienen alguna cara sobre la cual no se pueden apoyar, se les llama poliedros cóncavos, y los otros, se
denominan poliedros convexos.
Entre todos los poliedros que existen hay unos especial- mente importantes por sus propiedades y presencia en nuestra vida diaria: los poliedros regulares.
POLIEDROS REGULARES Un poco de Historia
Desde la época de los griegos, un polígono regular en el plano, se ha entendido como un polígono inscrito en una circunferencia, cuyos lados tienen igual longitud: trián- gulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular y así sucesivamente, para cualquier número n de lados, con n no inferior a tres.
Así, existen infinitos polígonos regulares, los que se pue- den caracterizar por dos propiedades: Todos sus lados son congruentes y sus ángulos tiene igual medida. En el espacio tridimensional, nada nos impide preguntar- nos si existe algo equivalente, que podríamos llamar po- liedro regular. Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes entre sí y tanto sus
ángulos diedros como sus ángulos poliedros son iguales. Un poliedro regular está inscrito en una esfera, y está formado por las caras, las aristas, que corresponden a los lados de los polígonos regulares, y los vértices, a los cuales concurren las aristas del poliedro. Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro debe ser convexo, puesto que en los poliedros cóncavos, los ángulos diedros no son todos iguales.
A diferencia de los polígonos regulares, no existen infini- tos poliedros regulares. Sólo hay cinco, que se denominan Sólidos Platónicos, en honor a Platón (siglo IV a.C.), por haber sido descritos por él en uno de sus Diálogos, El Timeo (Lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el dodecaedro a Pitágoras y el octaedro con
el icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.)).
Solidos Platónicos
Usando álgebra, ahora deduciremos que sólo existen 5 poliedros regulares. Consideremos un poliedro regular y sean p el número de lados de cada cara y q el número de caras que concurren a cada vértice del sólido. Así, cada poliedro regular tiene asociado un par de núme- ros (p,q), con p, q ≥ 3.
Poliedro Convexo Poliedro Cóncavo
Ángulo Diedro Ángulo Poliedro
En la edición N°10 de ABACOM se trató el tema “CUERPOS SÓLIDOS Formas a nuestro alrededor”. En este número iniciamos el estudio de Cuerpos Sólidos, en forma más extensa.
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ABACOM Boletín Matemático
Por ejemplo, al cubo se le asocia (4,3), pues cada cara (cuadrado) tiene p = 4 lados y el número de caras (o de aristas) que concurren en un vértice es q = 3. Uniendo los p vértices de un polígono regular de p lados
con el centro de la circunferencia circunscrita se obtie- nen p triángulos de modo que el ángulo plano interior en cada vértice del polígono regular es:
(p 180º - 2x180º)/p = (p – 2) 180º/p . En un poliedro regular, en cada vértice se forma un án- gulo poliedro de medida [(p – 2)180º/p]q. Dicho ángulo es menor que el ángulo plano completo pues está inscrito en una esfera, de modo que:
[(p – 2) 180 / p] q < 2x180 ⇒
⇒(p – 2) q < 2p
⇒ (p – 2)(q – 2) < 4
• (p – 2)(q – 2) = 1 ⇒
⇒ p = q = 3
En este caso las caras son triángulos (p = 3) y concurren 3 (q = 3) en cada vértice. El poliedro así obtenido es el Tetraedro:
• (p – 2)(q – 2) = 2 ⇒
⇒( p – 2 = 1, q – 2 = 2) ó ( p – 2 = 2, q – 2 = 1)
⇒(p = 3, q = 4) ó (p = 4, q = 3)
Se obtienen dos poliedros: uno formado por triángulos (p = 3), concurriendo 4 (q = 4) en cada vértice (Octaedro) y el otro en que concurren 3 cuadrados en cada vértice (p = 4, q = 3) (Hexaedro o Cubo)
• (p – 2)(q – 2) = 3 ⇒
⇒(p – 2 = 1, q – 2 = 3) ó (p – 2 = 3, q – 2 = 1)
⇒(p = 3, q = 5) ó (p = 5, q = 3)
Se obtienen dos poliedros: uno con 5 triángulos que concu-
rren en cada vértice (p = 3, q = 5) (Icosaedro) y en el otro 3 pentágonos en cada vértice (p = 5, q = 3) (Dodecaedro).
En la tabla siguiente se resume la información anterior:
FÓRMULA DE EULER
La fórmula de Euler establece que en todo poliedro con- vexo, el número de vértices menos el número aristas más el número de caras es siempre constante igual a dos. Sean v el número de vértices, a el número de aristas y c el número de caras en cualquier poliedro convexo. Entonces la relación de Euler es:
v - a + c = 2 Este resultado fue observado por Descartes en 1640, pero el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) realizó la demostración en 1752. Entre las consecuencias más importantes de la fórmula de Euler tenemos que: • No puede existir un poliedro convexo con menos de
seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.
• La suma de los ángulos de todas las caras de un polie- dro convexo es igual a tantas veces cuatro ángulos rectos, como el número de vértices del poliedro dismi- nuido en dos.
(p,q)
Caras
Nombre del Poliedro
(3,5) Triángulo 5 Icosaedro
(5,3) Pentágono 3 Dodecaedro
Dodecaedro
Nació en Samos, Jonia, alrededor del año 580 a.C. Se destacó en matemáticas, astro- nomía, filosofía y música. Se tienen pocos detalles de su vida, tampoco ha llegado hasta nosotros ningún escrito de los aportes que hizo. Su padre fue Mnesarco, un mer- cader de vino de Tiro, Fenicia, y su madre Pythais, nativa de Samos. Pitágoras pasó
sus primeros años en Samos, pero después viajó mucho con su padre, con quien regre- só a Tiro donde recibió su primera instruc- ción. Aprendió a tocar la lira, a hacer poe- sía y a recitar a Homero. Thales de Mileto fue quien infundió en Pitágoras su interés en las matemáticas y la astronomía, aconse- jándole viajar a Egipto para aprender más sobre estas disciplinas. Pitágoras fundó una escuela semirreligiosa y semicientífica en Crotón (actual Crotona, en Italia) que tenía muchos seguidores, a quienes se les conocía como Los Pitagóri-
cos. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos lla-
maban pentalfa (cinco alfas). Pitágoras se casó con Téano, quien integra- ba la escuela pitagórica y fue una destacada matemática. Después de la muerte de Pitá- goras, ella continuó dirigiendo la escuela junto con sus dos hijas. Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, la que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produ- jo, tal vez, después del año 500 a.C. una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta po- pular en Metaponto.
Juan Leiva Vivar
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El Primer Matemático Puro Pitágoras de Samos es descrito frecuentemente como el primer ma- temático puro. Es una figura extremadamente importa nte en el desa- rrollo de las matemáticas, aunque es poco lo que se conoce de sus logros matemáticos. También destacó en Astronomía, Filosofía y Música. Fundó y dirigió una sociedad semirreligios a y semicientífi- ca, Los Pitagóricos, quienes seguían un código secr eto, que hasta hoy hace de Pitágoras una figura misteriosa.
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón, la que tenía muchos seguidores. Vivían en comunidad, no tenían propiedades personales y eran vegetarianos. Recibían enseñanzas del propio Pitágoras y obedecían reglas estrictas. Algunas de las creencias de los Pitagóricos eran: 1. En su nivel más profundo, la realidad
es de naturaleza matemática.
purificación espiritual.
con lo divino.
místico.
observar estricta lealtad y guardar ac-
titud secreta.
Tanto hombres como mujeres eran admiti- dos como miembros de la Sociedad; en efecto, varias de las mujeres pitagóricas se convirtieron después en filósofas famosas. Los Pitagóricos estudiaban matemáticas, pero no como un grupo de investigación en matemáticas en una universidad u otra ins- titución moderna. No había problemas abiertos que tuvieran que resolver, y de ninguna manera estaban interesados en tratar de formular o resolver problemas matemáticos. Más bien Pitágoras estaba interesado en los principios de las matemá- ticas, el concepto de número, el concepto
de triángulo o de otras figuras geométricas, y de la idea abstracta de demostración. En su escuela afirmaban que la estructura del universo era aritmética y geométrica e hicieron contribuciones extraordinarias a las matemáticas, aunque es difícil determi- nar cuáles fueron aportes personales de Pitágoras. Algo del legado matemático que dejaron los Pitagóricos, se menciona a continua- ción: • La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a dos ángulos rectos. También la generalización para un polí- gono con n lados: la suma de sus ángu- los interiores es (2n – 4) ángulos rectos y la suma de sus ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos.
• El Teorema de Pitágoras (ver pág. 7). • Construcción de figuras geométricas de
un área dada y construcción geométrica de expresiones algebráicas.
• El descubrimiento de los irracionales. • Los cinco sólidos regulares.
Pitágoras y los Pitagóricos
ABACOM Boletín Matemático
El Teorema de Pitágoras Quizás uno de los pocos teoremas que casi todos (as) los(as) alumnos(as) conocen, es el Teorema de Pitágoras. Su enunciado es el siguiente:
Pero si preguntamos por su demostración, son muy pocos(as) quienes conocen alguna. Existen muchas demostraciones de este teore- ma. E. Scott Loomis, un profesor de matemáticas de Cleveland, Ohio (EEUU), durante 20 años, entre 1907 y 1927, coleccionó y clasificó 230 de- mostraciones del famoso teorema, las que publi- có en su libro La Proposición de Pitágoras. En una segunda edición, publicada en 1940, el nú- mero de demostraciones aumentó a 370. En las ediciones 6 a 10 de ABACOM, se mostra- ron siete demostraciones, entre ellas la que dio Euclides en su obra Los Elementos, que es la siguiente: Sea ABC triángulo rectángulo cuyo ángu- lo recto está en el vér- tice C. Construimos tres cuadrados, uno en cada lado del trián- gulo. Por C trazamos una perpendicular al lado AB, obteniéndose los puntos J y K. Se cumplen las si- guientes relaciones: Área rectángulo AHKJ = 2 Área triángulo AHC (misma base AH y altura AJ). Área cuadrado EACD = 2 Área triángulo EAB (misma base EA y altura AC). Pero los triángulos AHC y ABE son congruentes (dos lados y ángulo comprendido iguales), así: Área rectángulo AHKJ = Área cuadrado EACD En forma análoga se prueba que: Área rectángulo KIBJ = Área cuadrado BFGC. Sumando la últimas dos igualdades se obtiene:
c2 = a2 + b2.
Tríos Pitagóricos Un trío pitagórico está formado por tres nú- meros enteros positivos (a, b, c) tales que:
c2 = a2 + b2. Por ejemplo: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) son tríos pitagóricos. Si (a, b, c) es un trío pitagórico, también lo es un múltiplo de él: (ka, kb, kc), pues: (ka)2 + (kb)2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2 . Pero, ¿cómo hallar otros tríos pitagóricos? Dados m, n dos números enteros positivos tales que m > n, con ellos se puede formar el trío pitagórico (a, b, c), donde: a = m2 - n2, b = 2mn, c = m2 + n2. En efecto: a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2
= m4 - 2m2 n2 + n4 + 2m2n2
= m4 + 2m2 n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 .
Por ejemplo, para m = 7, n = 3, se obtiene el trío: (40, 42, 58), que es pitagórico, ya que:
402 + 422 = 582. El Teorema General de Pitágoras El teorema de Pitágoras tiene una versión más general, llamada Teorema General de Pitágoras o Teorema del Coseno (ver ABACOM 32). El enunciado es:
Para el triángulo de la figura, el teorema afirma que:
c2 = a2 + b2 - 2abcosC. Observe que si el triángulo es rectángulo en C, se obtie- ne el Teorema de Pitágoras, ya que cosC = cos90° = 0, es decir:
c2 = a2 + b2
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de otros dos lados (catetos)”.
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de cualquier lado es igual a la suma de los cuadra- dos de los otros dos lados menos el doble del producto de estos lados multiplicado por el co- seno del ángulo que ellos forman”.
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soConcursoConcursoConcursoConcursoConcur-
Problema 1: ¿Cuáles son los signos?
Coloca signos matemáticos ade- cuados (+, -, x, :, , log, etc.) entre los números, para obtener los resultados indicados:
Números Resultado 0 0 0 6 1 1 1 6 2 2 2 6 3 3 3 6 4 4 4 6 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 6 8 8 8 6 9 9 9 6
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El regalo de Bodas
Tomás y Marta van a contraer matrimonio. Como regalo de bo- das 4 amigos le harán 4 transfe- rencias de fondos de 55, 89, 233 y 377 Euros.
Usando esta sucesión de núme- ros, otros dos amigos quieren hacerle dos transferencias más: una entre 89 y 233 Euros y la otra mayor que 377 , ¿de qué monto
deben ser estas transferencias
para mantener la sucesión?
PROBLEMAS EDICIÓN Nº 38
EDICIÓN Nº 38
Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Cuerpos Sóli- dos . Pueden encon- trarse en forma verti- cal, horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o vice- versa), de izquierda a derecha (o viceversa).
B O R D E A R T E T
L M I P S U J A S E
E P O I G L O S T O
O V A R E F S E R R
T E B A D U R D P E
E R O M I N E R O M
A T S I R A I Y C O
P I M D X S T L H B
O C C E M A S V I U
R E H A C I O N O C
Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C O M Boletín Matemático
Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730 email: [email protected] Recepción de soluciones hasta el 8 de Julio de 2011
El Teorema de Pitágoras en China
El Teorema de Pitágoras era conocido en China, al menos en el siglo II a.C. probable- mente con la demostración dada por Eucli- des. La obra más importante de la historia científica china es, sin duda, Chui Chang Suan Shu (La matemática en nueve capítulos), d e C h u a n Tsanom (200 a.C.). El capítulo nueve trata del Teorema de Pitá- goras. La figura muestra la misma cons- trucción que hizo Euclides en su demostración.
El Teorema de Pitágoras y los Ex- traterrestres
En el siglo XIX, Gauss, el destacadísimo ma- temático francés, propuso construir en Sibe- ria una gigantesca figura con el diagrama de la demostración euclídea del Teorema de Pi- tágoras. Así … “los alienígenas, habitantes de la Luna o Marte, podrán verla con sus te- lescopios deduciendo así que existen seres inteligentes acá en la Tierra”. Este proyecto fue citado por Julio Verne en su novela De la Tierra a la Luna.
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ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS
El famosísimo físico Al-
bert Einstein (1879-1955) era de una sencillez y lógi- ca admirables. Se cuenta que cierta vez en que se vio sorprendido por un inesperado aguacero, Eins- tein, se quitó el sombrero y lo metió debajo de su abri- go. Alguien, que lo obser-
vaba, le preguntó por qué había hecho aquello. El respondió: “la lluvia me estropeará el sombrero, pero … no el pelo”. En otra ocasión un perio- dista le preguntó: “¿me puede usted explicar la relatividad?”; a lo que Einstein respondió: “me
puede usted explicar como se fríe un huevo?”. El pe- riodista lo mira extrañado y le contesta: “pues sí, sí que puedo…”, y Einstein replicó: "bueno, pues há- galo, pero imaginando que yo no sé lo que es un hue- vo, ni un sartén, ni el acei- te, ni el fuego..."
LA LÓGICA DE EINSTEIN
´ Poesía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát ica
EL UNO Y EL DOS
Graves autores contaron que en el país de los Ceros el Uno y el Dos entraron; y, desde luego, trataron de medrar y hacer dineros.
Pronto el Uno hizo cosecha, pues a los Ceros honraba con amistad muy estrecha, y dándoles la derecha, así el valor aumentaba.
Pero el Dos tiene otra cuerda, ¡todo es orgullo maldito!
Y con táctica tan lerda, los ceros pone a la izquierda, y así no medraba un pito.
En suma, el humilde Uno llegó a hacerse millonario, mientras el Dos importuno por su orgullo cual ninguno no pasó de un perdulario.
Luego ved con maravilla en esta fábula ascética, que el que más baja más brilla, y el que se exalta se humilla hasta en la misma Aritmética.
En la edición 35 de ABACOM se hizo ver la relación existente entre la matemática y la literatura, en particular con la poe- sía. Allí también se destacó la labor literaria de Lionel Henríquez, profesor de matemática de nuestra universidad y poeta. Ahora presentamos una fábula del escritor español Cayetano Fernández (1820 - 1901) que se relaciona con la aritmética:
Georg Cantor (1845- 1918), matemático ruso, hizo notables descubrimien- tos acerca de la estructura de la recta real y del infini-
to. Su aritmética transfinita encontró mucho rechazo: Henri Poincaré, dijo que la teoría era “una enfermedad” de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse; Leopold Kronecker, uno de los maestros de Cantor, le calificó de “charlatán cien- tífico”, “renegado” y “corruptor de la juventud” y hasta Santo Tomás de Aquino, consideraba que tal noción comportaba un desa- fío directo a la naturaleza
única, infinita y absoluta de Dios. En 1877 al encontrar una biyección entre los puntos de la recta y del plano ex- clamó “¡Lo veo, pero no lo creo!”. Lo envió a una re- vista científica para su pu- blicación, pero Kronecker, editor de esa revista, blo- queó la publicación. Cantor, ofendido, nunca más envió trabajos para esa revista. Cantor comenzó a sufrir crisis maníaco-depresivas
cada vez más fuertes hasta finalmente morir, posible- mente sin saber de la im- portancia de sus descubri- mientos. David Hilbert dijo: “del Paraíso que nos ha creado Cantor nadie nos echará” y Bertrand Russell, rectificó su desaprobación inicial diciendo que el descubri- miento de Cantor es “probablemente el más im- portante que la época puede ostentar”.
CANTOR Y LA CONTROVERSIA DEL INFINITO
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EL ABRIGO . . .
¿REALMENTE ABRIGA?
¿Qué diría usted si le asegurasen que su abrigo no calien- ta? Pensaría, como es natural, que le están tomando el pe- lo. Pero, ¿y si empezaran a demostrarle esta afirmación con una serie de experimentos? Haga por ejemplo lo si- guiente: Mire cuantos grados marca un termómetro y envuélvalo en su abrigo. Al cabo de una hora, sáquelo. Se convencerá de que no se ha calentado ni en cuarto de grado: lo que antes marcaba, marca ahora. Ahí tiene una prueba de que el abrigo no calienta. Incluso se podría sospechar que el abri- go enfría. Tome dos frasquitos con hielo; envuelva uno de ellos en el abrigo y deje el otro sin tapar en la habitación. Cuando se haya derretido el hielo en este último, abra el abrigo: verá que el hielo que había en él apenas ha comen- zado a fundirse. Por lo tanto, el abrigo no sólo no ha calen- tado el hielo, sino que al parecer incluso lo ha enfriado, retardando su licuación. ¿Qué puede objetarse a esto? ¿Cómo desmentir estas conclusiones? De ningún modo. El abrigo realmente no calienta, si se entiende por “calentar” dar calor. Una lámpara calienta, una estufa calienta, el cuerpo humano calienta, porque to- dos estos cuerpos son fuentes de calor. Pero el abrigo, en este sentido de la palabra, no calienta nada. El abrigo no da calor, sino que se limita a impedir que el calor de nuestro cuerpo salga de él. He aquí por qué los animales de sangre caliente (homotermos), cuyo cuerpo es fuente de calor, se sentirán más calientes con el abrigo que sin él. Pero el ter- mómetro no genera calor propio y, por eso, su temperatura no varía aunque lo envolvamos en el abrigo. El hielo en- vuelto en el abrigo conserva más tiempo su baja tempera- tura, porque éste es muy mal conductor del calor e impide que llegue hasta el hielo el calor exterior, es decir, el ca- lor del aire que hay en la habi- tación. Así, pues, a la pregunta de que si abriga (o calienta) un abri- go, se debe responder que el abrigo sólo sirve para que nos calentemos nosotros mismos. Lo más exacto sería decir, que nosotros calentamos el abrigo, y no él a nosotros.
CIENCIA ENTRETE:
La tradicional sección Matemática Entrete, a contar de esta edición, la ampliamos a Ciencia Entrete, dando así cabida a curiosidades y situaciones hu- morísticas de otras ciencias, en particular de la Física y la Química.
La Tira Rasgada
Una tira de papel de unos 20 a 30 centímetros de longitud y unos 3 a 5 centímetros de ancho puede servir de material para un problema entretenido. Corte o rasgue la tira en dos puntos, como en la foto y pregúntele a alguien qué ocurrirá con ella si se tira de sus extremos en sentidos opuestos
Se romperá en tres partes en los puntos en que está rasgada - responderán. Después de recibir esta contestación, propóngale a su camarada que haga la prueba. Se convencerá con sorpresa de su error: la tira se rompe en dos partes nada más. Este experimento puede repetirse tantas veces co- mo se quiera, tomando tiras de distintos tamaños y haciendo rasgaduras de diferente profundidad, pero nunca se conseguirá obtener más de dos trozos. La tira se rompe por donde es más débil, confirmando el refrán: “el hilo siempre se corta por lo más delga- do”. El secreto está en que en los dos cortes o ras- gaduras, por mucho que se procure hacerlos igua- les, uno será inevitablemente más profundo que el otro, aunque esto no se note a simple vista. Esta parte de la tira, como es la más débil, comenzará a romperse primero. Y una vez que empiece a rom- perse, se romperá hasta el fin, ya que cada vez se debilita más. Seguramente se sentirá usted satisfe- cho cuando sepa que al hacer este simple experi- mento ha entrado en una rama de la ciencia muy seria e importante para la técnica. Esta rama de la ciencia se llama Resistencia de Materiales.
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EL EFECTO DOPPLEREL EFECTO DOPPLER
El Efecto Doppler, es un fenómeno físico que se aprecia cuando una fuente de ondas se mueve. Para un obser- vador en reposo la fre- cuencia de las ondas es mayor cuando la fuente se acerca y menor cuando se aleja. Por ejemplo, un automóvil en movimiento emite
un sonido (ruido del motor), el que apreciamos como un sonido más agudo (de mayor frecuencia) cuando se acerca y más grave (de menor frecuencia) cuando se aleja. Esto da lugar a ese sonido tan característico de los autos de Fórmula 1 cuando pasan frente a las cámaras. El nombre de este fenómeno se debe a Christian Doppler, mate- mático austríaco quien lo descubrió en 1842. El efecto Doppler no sólo se aplica a los sonidos, funciona con todo tipo de ondas. Esto incluye la luz. Un profesor explicaba este fenómeno a sus alumnos, cuando uno de ellos, que prestaba mucha atención a la charla, levanta la mano y dice: – Profesor, es muy fácil comprobar este fenómeno para el caso de
la luz. – ¿Cómo sería? – le pregunta el profesor. – Muy fácil – responde el alumno – cuando es de noche, las luces
de los vehículos se ven blancas cuando se acercan y rojas cuan- do se alejan …
H
U
M
O
R
Evaluación
A un alumno se le pide que efectúe la suma de los nú- meros seis (6) y siete (7). Su respuesta es:
Al corregir su trabajo, el comentario que se entregó fue el siguiente:
1. La grafía del número seis es del todo correcta. 2. Se puede apreciar lo mismo con el siete. 3. El signo más nos dice que comprendió cabalmente
que se trata de una suma. 4. En cuanto al resultado vemos que el uno es correcto. 5. El segundo dígito, efectivamente, no es ocho.
Bueno, si hacemos un corte vertical, observamos que el alumno ha escrito dos números tres simétri- cos. Elegimos el bueno porque se ve que su inten- ción era buena.
El conjunto de estas observaciones evidencia que:
• La actitud del alumno es positiva (lo intentó). • Los procedimientos son correctos (los elementos
están ordenados correctamente). • En conceptos, sólo se equivocó parcialmente en
uno de los seis elementos que forman el ejercicio. Esto es casi sobresaliente.
En consecuencia podemos otorgarle un "Notable" y decir que "Progresa Adecuadamente".
No te esfuerces … Ya no hay química entre nosotros ...
… No encuentro el sentido de la vida ...
¿Buscaste en Google?
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¿En qué consiste la Psicología Posi- tiva? La psicología tradicional se enfoca principalmente en los déficits, trastor- nos y problemas de las personas. Esto queda muy bien ilustrado por lo que pasa en los colegios. Los niños son enviados al psicólogo cuando presen- tan algún tipo de problema, sea éste de aprendizaje, emocional, o de ambos tipos. Los psicólogos se han posiciona- do como profesionales expertos en problemas. El año 1998, el connotado psicólogo norteamericano Martín E.P. Seligman , al asumir como Presidente de la Asociación Norteamericana de Psicólogos, llamó la atención sobre este sesgo de la psicología hacia lo negativo. Su propuesta fue que la psi- cología, sin abandonar lo logrado acer- ca de los trastornos de las personas, debía ocuparse del estudio de las virtu- des, de las fortalezas y de las emocio- nes positivas de las personas. Así nace la Psicología Positiva , que también puede definirse como el estudio cientí- fico del bienestar y de la felicidad.
Muchos alumnos de Enseñanza Me- dia tienen prejuicios y miedos a la hora de estudiar matemáticas y ren- dir pruebas. ¿Cómo puede ayudar la Psicología Positiva a tener éxito en los estudios? El miedo es una emoción negativa que bloquea nuestra mente y nos hace retroceder frente a los desafíos. La clave está en activar emociones positi- vas como la confianza, el entusiasmo y la perseverancia. Para activar estas emociones es muy importante tener un
para qué, en especial frente a los estu- dios. Cuando un alumno no sabe para qué estudia matemática (o cualquier otro ramo, o el estudiar en general), entonces el estudio resulta absurdo, es decir, un sin sentido. En cambio, cuan- do se construye un sentido para hacer algo, entonces nuestras emociones positivas se activan. En este aspecto los profesores juegan un rol clave. Los docentes no pueden dar por sentado que los alumnos “deben” tener claro para qué estudiar. Muchas veces no es así y es rol del profesor ayudar a que el estudio ad- quiera sentido y significado para los alumnos. Si esto no se logra, es difícil que los alumnos exhiban entusiasmo para hacerlo. Esto es lo que también se llama motivación y si hay un rol cla- ve del profesor es el de ser un hábil motivador de sus alumnos.
Muchos alumnos de 4° Año Medio sueñan con la posibilidad de ingresar a la Universidad, ¿qué pueden hacer antes de ser universitarios para sen- tirse más seguros y así poder superar las nuevas exigencias? Las personas tienen mucho potencial, muchas fortalezas para enfrentar situa- ciones nuevas. Si los jóvenes literalmen- te sueñan con ingresar a la universidad, si esto es realmente un anhelo para ellos, no tendrán mayores problemas en esta nueva situación. No digo que no vayan a existir dificultades. El camino hacia los objetivos está plagado de difi- cultades. Pero este no es el tema, sino cuánto entusiasmo tenemos por lograr nuestros objetivos. Si tenemos entusias- mo estamos al otro lado, porque de aquí surge la fuerza para superar las dificul- tades que se encuentran en el camino. A quien persigue sus sueños siempre le irá bien, porque tiene lo más fundamen- tal: un por qué para luchar. Cuando las personas hacemos cosas, como estu- diar algo para satisfacer a los papás, lo más probable es que carezcamos de la energía y entusiasmo para ir con fuerza hacia adelante. Sólo nuestros sueños, nuestros propios sueños y no los sue- ños ajenos, son los que hacen vibrar a las personas y vivir para hacerlos reali- dad.
Matemáticos somos
todos
A mediados de marzo, en el diario El Mercurio, apareció el artículo titulado Matemáticos somos todos , del perio- dista Nicolás Luco Rojas. A continua- ción un extracto de este artículo:
Conozco al académico de la Universidad de Chile Dr. Roberto Araya quien, cual un mo- derno Quijote, hace años trabaja con juegos para preescolares y escolares que llegan a chupar las matemáticas como manjar blanco. Roberto se ufana de tener a niños de 8 años resolviendo ecuaciones de segundo grado. Da gusto que hoy crean en él. La semana pasada, en el Centro de Investigación Avanzada en Educación de la U. de Chile, el Dr. Araya participó en un seminario sobre estrategias creativas para que la matemática sea algo tan popular como Shakira. Yo tuve buenos profesores del ramo, como Mario Sepúlveda, liquidado después por un cáncer. Él me desafió a calcular a qué hora entre las 14 y las 15 horas el minutero alcanza el mismo punto que el horario. Tenía 16 años y lo resolví. Hasta hoy, como ven, me ufano de ello. No le tengo miedo a la matemática. Pero uno avanza por el mundo y se encuentra con quienes dicen "yo soy negado para las matemáticas". (Hay otros que dicen "yo soy negado para el deporte" o "negado para el inglés"... ¡puras amputaciones!) Nadie es negado para las matemáticas, estoy convencido. Hay algunos, tal como dice el libro The Math
Gene de Keith J. Devlin, que tienen especial aptitud. Pero todos somos matemáticos. Todos hacemos matemática. Bajar por la es- calera del metro es una operación de cálculo; hacer una maleta sin que nada se nos quede afuera, requiere pensamiento matemático; cocinar un guiso complicado, con diferentes ingredientes y tiempos de cocción, es mate- mática. Se nos pueden haber olvidado las tablas, pero el ojo humano está siempre calculando. Como cuando un lolo me hace un "finito" con su auto para asustarme, con un complejo cálculo de velocidades y distancias. Necesitamos reconciliarnos con esos cálculos numéricos; hacer sudokus, dicen, ayuda a espantar el Alzheimer.
oticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticias
Psicólogo Claudio Ibáñez:
Existe una antigua discusión acerca del nombre de la ciencia que nos convoca: ¿Matemática o Matemáti- cas? En la vida diaria se usan ambas in- distintamente: “voy a clase de ma- temática”, “estudio en el Instituto de Matemáticas”, “reprobé matemá- tica”, “las matemáticas son difíci- les”, etc., pero ¿cuál es la correcta?
Vayamos a la fuente de nuestro idioma, el Diccionario de la Real Academia Española (RAE). Aquí sólo existe el término matemática. Sin embargo, reconocen que se usa matemáticas, con el mismo signifi- cado.
matemática. (Del latín mathematca, y este
del griego τ µαθηµατικ, deri-
vado de µθηµα, conocimiento).
Ciencia deductiva que estudia
tractos, como números, figuras
con el mismo significado que en
singular.
Es obvio que debe ser matemáti- ca por su origen latino que es tal cual, matemática. Además nunca decimos “las físicas” aunque existan: la física clásica, la física moderna, la física cuántica, por mencionar algunas. También en química tenemos: química orgáni- ca, química analítica, química teó- rica, entre otras, pero no se habla de las químicas, sólo en matemáti- ca se da esta controversia.
Si nos vamos a otros idiomas, nos encontramos que en inglés, por ejemplo, se usa mathematics con s final para la disciplina. En francés la Academia Francesa da como entrada principal mathématique, sin embargo, si se busca mathéma-
tiques lo lleva a esa misma entra- da, es decir, no la descalifica, aun- que prefiere el singular.
Así, observamos que las autorida- des lingüísticas, lejos de aclarar- nos este dilema nos confunden aún más. O sea, sin culpa ni vergüen- za, podemos seguir usando indis- tintamente ambas palabras.
Con esta edición iniciamos el año 10 de esta publicación y espera- mos seguir fomentando en los (as) estudiantes el amor por la matemá- tica...o... ¿las matemáticas?...
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AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38AÑO 10 N°38 Editorial
¿MATEMÁTICA O MATEMÁTICAS? En esta edición
Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: [email protected]
pág Reflexiones
Cuerpos Sólidos ............................. .4
• Pitágoras y los Pitagóricos. ..... .6
• El Teorema de Pitágoras. ........ .7
Concurso • Desafío a tu Ingenio.. .............. .8
• Sopa Matemática .................... .8
Poesía Matemática ......................... .9
• Cantor y la Controversia del Infi-
nito ........................................... .9
• El Abrigo . . . ¿Realmente Abri-
• Matemáticos Somos Todos…..12
2
está muy arraigada y extendida. Se cree que los sexos
poseen dis&ntos es&los de comunicación, dis&ntas habi-
lidades emocionales, que difieren en sociabilidad, que
las mujeres son más suges&onables, que los hombres
son más agresivos, que ellas son sensibles y ellos cere-
brales, que difieren en habilidades para negociar y en
sus es&los para liderar. El mí&co libro de John Gray “Los
Hombres son de Marte y las Mujeres de Venus” se ha
transformado en un credo. En Chile, el libro “Viva la Dife-
rencia” de Pilar Sordo, elabora sobre este mismo exten-
dido estereo&po.
Pero, ¿cuál es la realidad? Janet Hyde, psicóloga, Ph. D.,
de la Universidad de Wisconsin, se ha dedicado a inves&-
gar empíricamente estas diferencias. Su conclusión es
una sola. No existen mayores diferencias entre hombres
y mujeres en ninguna de las variables relevantes inves&-
gadas: hombres y mujeres somos del mismo planeta.
El mundo de la educación, y el de las matemá&cas en
par&cular, no están ajenos a estos estereo&pos. Los pa-
dres, los educadores y los mismos alumnos, &enden a
creer que ellas no son tan buenas para las matemá&cas
como ellos.
publicados en la pres&giosa revista Science el 2006
(“Gender similari&es in mathema&cs and science”.
Science, 314, 599-600.) y el 2008 (“Gender similari&es
characterize math performance”. Science, 321, 494-495)
concluyen que no existe respaldo empírico para sostener
que hombres y mujeres difieren en habilidad matemá&-
ca. Esta creencia es sólo un mito.
Aunque falsas, las creencias estereo&padas sobre hom-
bres y mujeres nos hacen pagar enormes costos de dis-
criminación por género. En el caso de las matemá&cas,
puede hacer que padres y profesores no se fijen en niñas
altamente talentosas para los números, pensando que
entre ellas hay muy poco talento matemá&co que descu-
brir, o que padres y maestros abandonen tempranamen-
te los esfuerzos para mejorar el aprendizaje de alumnas
que, por dificultades dis&ntas a sus habilidades, estén
logrando bajo rendimiento en matemá&cas. Por otra
parte, pensar que las niñas no son buenas matemá&cas
no sólo va corroyendo la confianza de ellas para tener
éxito en este ramo, sino que, además, va deteriorando
su vocación para seguir carreras matemá&camente
orientadas.
No se debe olvidar que las expecta&vas y creencias de
padres y profesores acerca de sus hijos y alumnos im-
pactan, para bien o para mal, en el desempeño escolar
de éstos y en su futuro.
(*) Psicólogo, Director Ejecuvo del Instuto Chileno de Inteli-
gencia Emocional ( www.psicologiaposiva.cl )
Claudio Ibáñez S. parcipó en el rescate de los mineros de la
mina San José, experiencia que plasmó en su libro “LOS 33 DE
ATACAMA Y SU RESCATE Psicología Posiva en acción y algu-
nas historias no contadas”.
ABACOM Boletín Matemático
Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad
Austral de Chile.
Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Víctor Alvarado A. / Redacción Periodística: Carolina Leiva C./ Colaboradora: Andrea Cárcamo B. / Web Master: Edinson Contreras R.
Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia. E.mail: [email protected] / Fono (63)221828 / Fax (63)293730
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REFLEXIONES
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ABACOM Boletín Matemático
El Agua y su Importancia (II parte) Luz Alegría Aguirre, Patricio Ruiz-Tagle Correa (*)
El Agua en el Hombre
El 65% del peso del ser humano y el 90% de su cerebro es agua, con un contenido salino del 0,9%. Esto equivale a unos 45 litros de agua, que se encuentra en el interior de las células (agua intracelular) o fuera de ellas (agua ex- tracelular). En este caso puede formar parte del líquido intersticial que baña las células o de los líquidos circulan- tes, en especial el plasma sanguíneo. El agua intracelular representa un 50% de la masa corpo- ral magra (unos 25 litros) y el agua extracelular el 20% de la misma (unos 16 litros), porcentaje que se reparte en- tre el líquido intersticial (15%) y el líquido circulante (5%). Entre los dos compartimentos de agua en el organismo, hay un continuo intercambio en cuyo equilibrio influye, entre otros factores, las variaciones de pH y la diferencia de la presión osmótica de la membrana celular. La pérdida diaria de agua del organismo depende de facto- res fisiológicos, ambientales, etc., y su valor medio es aproximadamente de 2.600 mL, repartidos en la orina (1.200 mL), heces (200 mL), sudor (360 mL) y respiración (840 mL). La sed constituye el mecanismo fundamental mediante el cual el organismo regula el mantenimiento del nivel de agua necesario para el organismo, siendo el RIÑÓN el órgano encargado de conservar el equilibro hídrico me- diante la reducción o aumento de la cantidad de agua eli- minada por la orina. El agua en estado natural no es pura, sino que lleva en disolución elementos minerales indispen- sables para el buen funcionamiento del organismo y, en particular, de la célula (sales minerales de sodio, potasio, calcio y magnesio, como las más importantes); por ello, la alteración del equilibrio hídrico está estrechamente rela- cionado con la alteración del equilibrio salino.
Escasez de agua en el mundo
En 1990, 20 países sufrían escasez de agua. En 1996, ya eran 26 (230 millones de personas), según la Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimenta- ción (FAO) . El número de países con problemas de agua puede elevarse a 41 en el año 2020. El Programa de las Naciones Unidas para el Medio Ambiente (PNUMA) cal- cula que de aquí al año 2027, aproximadamente un tercio
de los habitantes del mundo sufrirá seria escasez de agua. Las razones para ello son evidentes: la mayor demanda sobre los recursos de agua dulce provocada por las cre- cientes poblaciones humanas; el empeoramiento de la cali- dad de los recursos acuíferos existentes debido a la conta- minación y las necesidades creadas por la dinámica expan- sión tanto industrial como agrícola.
¿Se puede convertir agua salada en agua
destilada? En estos momentos de la historia de la humanidad el hom- bre se plantea migrar de las energías derivadas de recursos fósiles hacia energías “más limpias” y energías renovables.
Watercone es un desalinizador solar que es capaz de con- vertir el agua salada en agua pura y fresca. Es fácil de usar y de llevar de un lado a otro. La tecnología es bastante simple. Las restricciones vienen dadas por el volumen que es capaz de convertir cada dispositivo, en con- creto, 1.6 litros al día pero suficiente para llevar el agua al tercer mundo. Según UNICEF, cada día mueren 5.000 niños por el consumo de agua no apta para el ser humano. Water- cone aparenta ser un cono simple que consiste en dejar agua salada que se va evaporando y por efecto de la condensa- ción se convierte en agua consumible. No es muy costoso montar este sistema, bastaría con plástico resistente a los rayos ultravioletas.
(*) Profesores del Área de Química del Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la
Ingeniería de la Universidad Austral de Chile
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Nociones previas
Un cuerpo sólido ocupa una porción cerrada del espacio y está limitado por superficies planas o curvas. Un cuerpo sólido puede ser: Poliedro: si sólo lo limitan superficies planas; Cuerpo redondo: si está limitado por superficies curvas o por superficies curvas y planas. En los poliedros distinguimos: Caras (los polígonos que lo
forman), Aristas (los lados de los polígonos), Vértices (los puntos donde concurren las aristas). Además tenemos: Ángulos planos (sus lados son dos aristas convergentes), Ángulos diedros (sus caras son dos semiplanos con una arista común), Ángulos poliedros (formados por tres o más caras convergentes en un vér- tice).
Los poliedros pueden ser cóncavos o convexos. Los polie- dros que tienen alguna cara sobre la cual no se pueden apoyar, se les llama poliedros cóncavos, y los otros, se
denominan poliedros convexos.
Entre todos los poliedros que existen hay unos especial- mente importantes por sus propiedades y presencia en nuestra vida diaria: los poliedros regulares.
POLIEDROS REGULARES Un poco de Historia
Desde la época de los griegos, un polígono regular en el plano, se ha entendido como un polígono inscrito en una circunferencia, cuyos lados tienen igual longitud: trián- gulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular y así sucesivamente, para cualquier número n de lados, con n no inferior a tres.
Así, existen infinitos polígonos regulares, los que se pue- den caracterizar por dos propiedades: Todos sus lados son congruentes y sus ángulos tiene igual medida. En el espacio tridimensional, nada nos impide preguntar- nos si existe algo equivalente, que podríamos llamar po- liedro regular. Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes entre sí y tanto sus
ángulos diedros como sus ángulos poliedros son iguales. Un poliedro regular está inscrito en una esfera, y está formado por las caras, las aristas, que corresponden a los lados de los polígonos regulares, y los vértices, a los cuales concurren las aristas del poliedro. Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro debe ser convexo, puesto que en los poliedros cóncavos, los ángulos diedros no son todos iguales.
A diferencia de los polígonos regulares, no existen infini- tos poliedros regulares. Sólo hay cinco, que se denominan Sólidos Platónicos, en honor a Platón (siglo IV a.C.), por haber sido descritos por él en uno de sus Diálogos, El Timeo (Lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el dodecaedro a Pitágoras y el octaedro con
el icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.)).
Solidos Platónicos
Usando álgebra, ahora deduciremos que sólo existen 5 poliedros regulares. Consideremos un poliedro regular y sean p el número de lados de cada cara y q el número de caras que concurren a cada vértice del sólido. Así, cada poliedro regular tiene asociado un par de núme- ros (p,q), con p, q ≥ 3.
Poliedro Convexo Poliedro Cóncavo
Ángulo Diedro Ángulo Poliedro
En la edición N°10 de ABACOM se trató el tema “CUERPOS SÓLIDOS Formas a nuestro alrededor”. En este número iniciamos el estudio de Cuerpos Sólidos, en forma más extensa.
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ABACOM Boletín Matemático
Por ejemplo, al cubo se le asocia (4,3), pues cada cara (cuadrado) tiene p = 4 lados y el número de caras (o de aristas) que concurren en un vértice es q = 3. Uniendo los p vértices de un polígono regular de p lados
con el centro de la circunferencia circunscrita se obtie- nen p triángulos de modo que el ángulo plano interior en cada vértice del polígono regular es:
(p 180º - 2x180º)/p = (p – 2) 180º/p . En un poliedro regular, en cada vértice se forma un án- gulo poliedro de medida [(p – 2)180º/p]q. Dicho ángulo es menor que el ángulo plano completo pues está inscrito en una esfera, de modo que:
[(p – 2) 180 / p] q < 2x180 ⇒
⇒(p – 2) q < 2p
⇒ (p – 2)(q – 2) < 4
• (p – 2)(q – 2) = 1 ⇒
⇒ p = q = 3
En este caso las caras son triángulos (p = 3) y concurren 3 (q = 3) en cada vértice. El poliedro así obtenido es el Tetraedro:
• (p – 2)(q – 2) = 2 ⇒
⇒( p – 2 = 1, q – 2 = 2) ó ( p – 2 = 2, q – 2 = 1)
⇒(p = 3, q = 4) ó (p = 4, q = 3)
Se obtienen dos poliedros: uno formado por triángulos (p = 3), concurriendo 4 (q = 4) en cada vértice (Octaedro) y el otro en que concurren 3 cuadrados en cada vértice (p = 4, q = 3) (Hexaedro o Cubo)
• (p – 2)(q – 2) = 3 ⇒
⇒(p – 2 = 1, q – 2 = 3) ó (p – 2 = 3, q – 2 = 1)
⇒(p = 3, q = 5) ó (p = 5, q = 3)
Se obtienen dos poliedros: uno con 5 triángulos que concu-
rren en cada vértice (p = 3, q = 5) (Icosaedro) y en el otro 3 pentágonos en cada vértice (p = 5, q = 3) (Dodecaedro).
En la tabla siguiente se resume la información anterior:
FÓRMULA DE EULER
La fórmula de Euler establece que en todo poliedro con- vexo, el número de vértices menos el número aristas más el número de caras es siempre constante igual a dos. Sean v el número de vértices, a el número de aristas y c el número de caras en cualquier poliedro convexo. Entonces la relación de Euler es:
v - a + c = 2 Este resultado fue observado por Descartes en 1640, pero el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) realizó la demostración en 1752. Entre las consecuencias más importantes de la fórmula de Euler tenemos que: • No puede existir un poliedro convexo con menos de
seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.
• La suma de los ángulos de todas las caras de un polie- dro convexo es igual a tantas veces cuatro ángulos rectos, como el número de vértices del poliedro dismi- nuido en dos.
(p,q)
Caras
Nombre del Poliedro
(3,5) Triángulo 5 Icosaedro
(5,3) Pentágono 3 Dodecaedro
Dodecaedro
Nació en Samos, Jonia, alrededor del año 580 a.C. Se destacó en matemáticas, astro- nomía, filosofía y música. Se tienen pocos detalles de su vida, tampoco ha llegado hasta nosotros ningún escrito de los aportes que hizo. Su padre fue Mnesarco, un mer- cader de vino de Tiro, Fenicia, y su madre Pythais, nativa de Samos. Pitágoras pasó
sus primeros años en Samos, pero después viajó mucho con su padre, con quien regre- só a Tiro donde recibió su primera instruc- ción. Aprendió a tocar la lira, a hacer poe- sía y a recitar a Homero. Thales de Mileto fue quien infundió en Pitágoras su interés en las matemáticas y la astronomía, aconse- jándole viajar a Egipto para aprender más sobre estas disciplinas. Pitágoras fundó una escuela semirreligiosa y semicientífica en Crotón (actual Crotona, en Italia) que tenía muchos seguidores, a quienes se les conocía como Los Pitagóri-
cos. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos lla-
maban pentalfa (cinco alfas). Pitágoras se casó con Téano, quien integra- ba la escuela pitagórica y fue una destacada matemática. Después de la muerte de Pitá- goras, ella continuó dirigiendo la escuela junto con sus dos hijas. Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, la que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produ- jo, tal vez, después del año 500 a.C. una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta po- pular en Metaponto.
Juan Leiva Vivar
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El Primer Matemático Puro Pitágoras de Samos es descrito frecuentemente como el primer ma- temático puro. Es una figura extremadamente importa nte en el desa- rrollo de las matemáticas, aunque es poco lo que se conoce de sus logros matemáticos. También destacó en Astronomía, Filosofía y Música. Fundó y dirigió una sociedad semirreligios a y semicientífi- ca, Los Pitagóricos, quienes seguían un código secr eto, que hasta hoy hace de Pitágoras una figura misteriosa.
Pitágoras fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotón, la que tenía muchos seguidores. Vivían en comunidad, no tenían propiedades personales y eran vegetarianos. Recibían enseñanzas del propio Pitágoras y obedecían reglas estrictas. Algunas de las creencias de los Pitagóricos eran: 1. En su nivel más profundo, la realidad
es de naturaleza matemática.
purificación espiritual.
con lo divino.
místico.
observar estricta lealtad y guardar ac-
titud secreta.
Tanto hombres como mujeres eran admiti- dos como miembros de la Sociedad; en efecto, varias de las mujeres pitagóricas se convirtieron después en filósofas famosas. Los Pitagóricos estudiaban matemáticas, pero no como un grupo de investigación en matemáticas en una universidad u otra ins- titución moderna. No había problemas abiertos que tuvieran que resolver, y de ninguna manera estaban interesados en tratar de formular o resolver problemas matemáticos. Más bien Pitágoras estaba interesado en los principios de las matemá- ticas, el concepto de número, el concepto
de triángulo o de otras figuras geométricas, y de la idea abstracta de demostración. En su escuela afirmaban que la estructura del universo era aritmética y geométrica e hicieron contribuciones extraordinarias a las matemáticas, aunque es difícil determi- nar cuáles fueron aportes personales de Pitágoras. Algo del legado matemático que dejaron los Pitagóricos, se menciona a continua- ción: • La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a dos ángulos rectos. También la generalización para un polí- gono con n lados: la suma de sus ángu- los interiores es (2n – 4) ángulos rectos y la suma de sus ángulos exteriores es igual a cuatro ángulos rectos.
• El Teorema de Pitágoras (ver pág. 7). • Construcción de figuras geométricas de
un área dada y construcción geométrica de expresiones algebráicas.
• El descubrimiento de los irracionales. • Los cinco sólidos regulares.
Pitágoras y los Pitagóricos
ABACOM Boletín Matemático
El Teorema de Pitágoras Quizás uno de los pocos teoremas que casi todos (as) los(as) alumnos(as) conocen, es el Teorema de Pitágoras. Su enunciado es el siguiente:
Pero si preguntamos por su demostración, son muy pocos(as) quienes conocen alguna. Existen muchas demostraciones de este teore- ma. E. Scott Loomis, un profesor de matemáticas de Cleveland, Ohio (EEUU), durante 20 años, entre 1907 y 1927, coleccionó y clasificó 230 de- mostraciones del famoso teorema, las que publi- có en su libro La Proposición de Pitágoras. En una segunda edición, publicada en 1940, el nú- mero de demostraciones aumentó a 370. En las ediciones 6 a 10 de ABACOM, se mostra- ron siete demostraciones, entre ellas la que dio Euclides en su obra Los Elementos, que es la siguiente: Sea ABC triángulo rectángulo cuyo ángu- lo recto está en el vér- tice C. Construimos tres cuadrados, uno en cada lado del trián- gulo. Por C trazamos una perpendicular al lado AB, obteniéndose los puntos J y K. Se cumplen las si- guientes relaciones: Área rectángulo AHKJ = 2 Área triángulo AHC (misma base AH y altura AJ). Área cuadrado EACD = 2 Área triángulo EAB (misma base EA y altura AC). Pero los triángulos AHC y ABE son congruentes (dos lados y ángulo comprendido iguales), así: Área rectángulo AHKJ = Área cuadrado EACD En forma análoga se prueba que: Área rectángulo KIBJ = Área cuadrado BFGC. Sumando la últimas dos igualdades se obtiene:
c2 = a2 + b2.
Tríos Pitagóricos Un trío pitagórico está formado por tres nú- meros enteros positivos (a, b, c) tales que:
c2 = a2 + b2. Por ejemplo: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) son tríos pitagóricos. Si (a, b, c) es un trío pitagórico, también lo es un múltiplo de él: (ka, kb, kc), pues: (ka)2 + (kb)2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2 . Pero, ¿cómo hallar otros tríos pitagóricos? Dados m, n dos números enteros positivos tales que m > n, con ellos se puede formar el trío pitagórico (a, b, c), donde: a = m2 - n2, b = 2mn, c = m2 + n2. En efecto: a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2
= m4 - 2m2 n2 + n4 + 2m2n2
= m4 + 2m2 n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2 .
Por ejemplo, para m = 7, n = 3, se obtiene el trío: (40, 42, 58), que es pitagórico, ya que:
402 + 422 = 582. El Teorema General de Pitágoras El teorema de Pitágoras tiene una versión más general, llamada Teorema General de Pitágoras o Teorema del Coseno (ver ABACOM 32). El enunciado es:
Para el triángulo de la figura, el teorema afirma que:
c2 = a2 + b2 - 2abcosC. Observe que si el triángulo es rectángulo en C, se obtie- ne el Teorema de Pitágoras, ya que cosC = cos90° = 0, es decir:
c2 = a2 + b2
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de otros dos lados (catetos)”.
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de cualquier lado es igual a la suma de los cuadra- dos de los otros dos lados menos el doble del producto de estos lados multiplicado por el co- seno del ángulo que ellos forman”.
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soConcursoConcursoConcursoConcursoConcur-
Problema 1: ¿Cuáles son los signos?
Coloca signos matemáticos ade- cuados (+, -, x, :, , log, etc.) entre los números, para obtener los resultados indicados:
Números Resultado 0 0 0 6 1 1 1 6 2 2 2 6 3 3 3 6 4 4 4 6 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 6 8 8 8 6 9 9 9 6
10 10 10 6
El regalo de Bodas
Tomás y Marta van a contraer matrimonio. Como regalo de bo- das 4 amigos le harán 4 transfe- rencias de fondos de 55, 89, 233 y 377 Euros.
Usando esta sucesión de núme- ros, otros dos amigos quieren hacerle dos transferencias más: una entre 89 y 233 Euros y la otra mayor que 377 , ¿de qué monto
deben ser estas transferencias
para mantener la sucesión?
PROBLEMAS EDICIÓN Nº 38
EDICIÓN Nº 38
Te proponemos que descubras diez (10) palabras relacionadas con Cuerpos Sóli- dos . Pueden encon- trarse en forma verti- cal, horizontal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o vice- versa), de izquierda a derecha (o viceversa).
B O R D E A R T E T
L M I P S U J A S E
E P O I G L O S T O
O V A R E F S E R R
T E B A D U R D P E
E R O M I N E R O M
A T S I R A I Y C O
P I M D X S T L H B
O C C E M A S V I U
R E H A C I O N O C
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El Teorema de Pitágoras en China
El Teorema de Pitágoras era conocido en China, al menos en el siglo II a.C. probable- mente con la demostración dada por Eucli- des. La obra más importante de la historia científica china es, sin duda, Chui Chang Suan Shu (La matemática en nueve capítulos), d e C h u a n Tsanom (200 a.C.). El capítulo nueve trata del Teorema de Pitá- goras. La figura muestra la misma cons- trucción que hizo Euclides en su demostración.
El Teorema de Pitágoras y los Ex- traterrestres
En el siglo XIX, Gauss, el destacadísimo ma- temático francés, propuso construir en Sibe- ria una gigantesca figura con el diagrama de la demostración euclídea del Teorema de Pi- tágoras. Así … “los alienígenas, habitantes de la Luna o Marte, podrán verla con sus te- lescopios deduciendo así que existen seres inteligentes acá en la Tierra”. Este proyecto fue citado por Julio Verne en su novela De la Tierra a la Luna.
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ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS
El famosísimo físico Al-
bert Einstein (1879-1955) era de una sencillez y lógi- ca admirables. Se cuenta que cierta vez en que se vio sorprendido por un inesperado aguacero, Eins- tein, se quitó el sombrero y lo metió debajo de su abri- go. Alguien, que lo obser-
vaba, le preguntó por qué había hecho aquello. El respondió: “la lluvia me estropeará el sombrero, pero … no el pelo”. En otra ocasión un perio- dista le preguntó: “¿me puede usted explicar la relatividad?”; a lo que Einstein respondió: “me
puede usted explicar como se fríe un huevo?”. El pe- riodista lo mira extrañado y le contesta: “pues sí, sí que puedo…”, y Einstein replicó: "bueno, pues há- galo, pero imaginando que yo no sé lo que es un hue- vo, ni un sartén, ni el acei- te, ni el fuego..."
LA LÓGICA DE EINSTEIN
´ Poesía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát ica
EL UNO Y EL DOS
Graves autores contaron que en el país de los Ceros el Uno y el Dos entraron; y, desde luego, trataron de medrar y hacer dineros.
Pronto el Uno hizo cosecha, pues a los Ceros honraba con amistad muy estrecha, y dándoles la derecha, así el valor aumentaba.
Pero el Dos tiene otra cuerda, ¡todo es orgullo maldito!
Y con táctica tan lerda, los ceros pone a la izquierda, y así no medraba un pito.
En suma, el humilde Uno llegó a hacerse millonario, mientras el Dos importuno por su orgullo cual ninguno no pasó de un perdulario.
Luego ved con maravilla en esta fábula ascética, que el que más baja más brilla, y el que se exalta se humilla hasta en la misma Aritmética.
En la edición 35 de ABACOM se hizo ver la relación existente entre la matemática y la literatura, en particular con la poe- sía. Allí también se destacó la labor literaria de Lionel Henríquez, profesor de matemática de nuestra universidad y poeta. Ahora presentamos una fábula del escritor español Cayetano Fernández (1820 - 1901) que se relaciona con la aritmética:
Georg Cantor (1845- 1918), matemático ruso, hizo notables descubrimien- tos acerca de la estructura de la recta real y del infini-
to. Su aritmética transfinita encontró mucho rechazo: Henri Poincaré, dijo que la teoría era “una enfermedad” de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse; Leopold Kronecker, uno de los maestros de Cantor, le calificó de “charlatán cien- tífico”, “renegado” y “corruptor de la juventud” y hasta Santo Tomás de Aquino, consideraba que tal noción comportaba un desa- fío directo a la naturaleza
única, infinita y absoluta de Dios. En 1877 al encontrar una biyección entre los puntos de la recta y del plano ex- clamó “¡Lo veo, pero no lo creo!”. Lo envió a una re- vista científica para su pu- blicación, pero Kronecker, editor de esa revista, blo- queó la publicación. Cantor, ofendido, nunca más envió trabajos para esa revista. Cantor comenzó a sufrir crisis maníaco-depresivas
cada vez más fuertes hasta finalmente morir, posible- mente sin saber de la im- portancia de sus descubri- mientos. David Hilbert dijo: “del Paraíso que nos ha creado Cantor nadie nos echará” y Bertrand Russell, rectificó su desaprobación inicial diciendo que el descubri- miento de Cantor es “probablemente el más im- portante que la época puede ostentar”.
CANTOR Y LA CONTROVERSIA DEL INFINITO
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EL ABRIGO . . .
¿REALMENTE ABRIGA?
¿Qué diría usted si le asegurasen que su abrigo no calien- ta? Pensaría, como es natural, que le están tomando el pe- lo. Pero, ¿y si empezaran a demostrarle esta afirmación con una serie de experimentos? Haga por ejemplo lo si- guiente: Mire cuantos grados marca un termómetro y envuélvalo en su abrigo. Al cabo de una hora, sáquelo. Se convencerá de que no se ha calentado ni en cuarto de grado: lo que antes marcaba, marca ahora. Ahí tiene una prueba de que el abrigo no calienta. Incluso se podría sospechar que el abri- go enfría. Tome dos frasquitos con hielo; envuelva uno de ellos en el abrigo y deje el otro sin tapar en la habitación. Cuando se haya derretido el hielo en este último, abra el abrigo: verá que el hielo que había en él apenas ha comen- zado a fundirse. Por lo tanto, el abrigo no sólo no ha calen- tado el hielo, sino que al parecer incluso lo ha enfriado, retardando su licuación. ¿Qué puede objetarse a esto? ¿Cómo desmentir estas conclusiones? De ningún modo. El abrigo realmente no calienta, si se entiende por “calentar” dar calor. Una lámpara calienta, una estufa calienta, el cuerpo humano calienta, porque to- dos estos cuerpos son fuentes de calor. Pero el abrigo, en este sentido de la palabra, no calienta nada. El abrigo no da calor, sino que se limita a impedir que el calor de nuestro cuerpo salga de él. He aquí por qué los animales de sangre caliente (homotermos), cuyo cuerpo es fuente de calor, se sentirán más calientes con el abrigo que sin él. Pero el ter- mómetro no genera calor propio y, por eso, su temperatura no varía aunque lo envolvamos en el abrigo. El hielo en- vuelto en el abrigo conserva más tiempo su baja tempera- tura, porque éste es muy mal conductor del calor e impide que llegue hasta el hielo el calor exterior, es decir, el ca- lor del aire que hay en la habi- tación. Así, pues, a la pregunta de que si abriga (o calienta) un abri- go, se debe responder que el abrigo sólo sirve para que nos calentemos nosotros mismos. Lo más exacto sería decir, que nosotros calentamos el abrigo, y no él a nosotros.
CIENCIA ENTRETE:
La tradicional sección Matemática Entrete, a contar de esta edición, la ampliamos a Ciencia Entrete, dando así cabida a curiosidades y situaciones hu- morísticas de otras ciencias, en particular de la Física y la Química.
La Tira Rasgada
Una tira de papel de unos 20 a 30 centímetros de longitud y unos 3 a 5 centímetros de ancho puede servir de material para un problema entretenido. Corte o rasgue la tira en dos puntos, como en la foto y pregúntele a alguien qué ocurrirá con ella si se tira de sus extremos en sentidos opuestos
Se romperá en tres partes en los puntos en que está rasgada - responderán. Después de recibir esta contestación, propóngale a su camarada que haga la prueba. Se convencerá con sorpresa de su error: la tira se rompe en dos partes nada más. Este experimento puede repetirse tantas veces co- mo se quiera, tomando tiras de distintos tamaños y haciendo rasgaduras de diferente profundidad, pero nunca se conseguirá obtener más de dos trozos. La tira se rompe por donde es más débil, confirmando el refrán: “el hilo siempre se corta por lo más delga- do”. El secreto está en que en los dos cortes o ras- gaduras, por mucho que se procure hacerlos igua- les, uno será inevitablemente más profundo que el otro, aunque esto no se note a simple vista. Esta parte de la tira, como es la más débil, comenzará a romperse primero. Y una vez que empiece a rom- perse, se romperá hasta el fin, ya que cada vez se debilita más. Seguramente se sentirá usted satisfe- cho cuando sepa que al hacer este simple experi- mento ha entrado en una rama de la ciencia muy seria e importante para la técnica. Esta rama de la ciencia se llama Resistencia de Materiales.
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EL EFECTO DOPPLEREL EFECTO DOPPLER
El Efecto Doppler, es un fenómeno físico que se aprecia cuando una fuente de ondas se mueve. Para un obser- vador en reposo la fre- cuencia de las ondas es mayor cuando la fuente se acerca y menor cuando se aleja. Por ejemplo, un automóvil en movimiento emite
un sonido (ruido del motor), el que apreciamos como un sonido más agudo (de mayor frecuencia) cuando se acerca y más grave (de menor frecuencia) cuando se aleja. Esto da lugar a ese sonido tan característico de los autos de Fórmula 1 cuando pasan frente a las cámaras. El nombre de este fenómeno se debe a Christian Doppler, mate- mático austríaco quien lo descubrió en 1842. El efecto Doppler no sólo se aplica a los sonidos, funciona con todo tipo de ondas. Esto incluye la luz. Un profesor explicaba este fenómeno a sus alumnos, cuando uno de ellos, que prestaba mucha atención a la charla, levanta la mano y dice: – Profesor, es muy fácil comprobar este fenómeno para el caso de
la luz. – ¿Cómo sería? – le pregunta el profesor. – Muy fácil – responde el alumno – cuando es de noche, las luces
de los vehículos se ven blancas cuando se acercan y rojas cuan- do se alejan …
H
U
M
O
R
Evaluación
A un alumno se le pide que efectúe la suma de los nú- meros seis (6) y siete (7). Su respuesta es:
Al corregir su trabajo, el comentario que se entregó fue el siguiente:
1. La grafía del número seis es del todo correcta. 2. Se puede apreciar lo mismo con el siete. 3. El signo más nos dice que comprendió cabalmente
que se trata de una suma. 4. En cuanto al resultado vemos que el uno es correcto. 5. El segundo dígito, efectivamente, no es ocho.
Bueno, si hacemos un corte vertical, observamos que el alumno ha escrito dos números tres simétri- cos. Elegimos el bueno porque se ve que su inten- ción era buena.
El conjunto de estas observaciones evidencia que:
• La actitud del alumno es positiva (lo intentó). • Los procedimientos son correctos (los elementos
están ordenados correctamente). • En conceptos, sólo se equivocó parcialmente en
uno de los seis elementos que forman el ejercicio. Esto es casi sobresaliente.
En consecuencia podemos otorgarle un "Notable" y decir que "Progresa Adecuadamente".
No te esfuerces … Ya no hay química entre nosotros ...
… No encuentro el sentido de la vida ...
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¿En qué consiste la Psicología Posi- tiva? La psicología tradicional se enfoca principalmente en los déficits, trastor- nos y problemas de las personas. Esto queda muy bien ilustrado por lo que pasa en los colegios. Los niños son enviados al psicólogo cuando presen- tan algún tipo de problema, sea éste de aprendizaje, emocional, o de ambos tipos. Los psicólogos se han posiciona- do como profesionales expertos en problemas. El año 1998, el connotado psicólogo norteamericano Martín E.P. Seligman , al asumir como Presidente de la Asociación Norteamericana de Psicólogos, llamó la atención sobre este sesgo de la psicología hacia lo negativo. Su propuesta fue que la psi- cología, sin abandonar lo logrado acer- ca de los trastornos de las personas, debía ocuparse del estudio de las virtu- des, de las fortalezas y de las emocio- nes positivas de las personas. Así nace la Psicología Positiva , que también puede definirse como el estudio cientí- fico del bienestar y de la felicidad.
Muchos alumnos de Enseñanza Me- dia tienen prejuicios y miedos a la hora de estudiar matemáticas y ren- dir pruebas. ¿Cómo puede ayudar la Psicología Positiva a tener éxito en los estudios? El miedo es una emoción negativa que bloquea nuestra mente y nos hace retroceder frente a los desafíos. La clave está en activar emociones positi- vas como la confianza, el entusiasmo y la perseverancia. Para activar estas emociones es muy importante tener un
para qué, en especial frente a los estu- dios. Cuando un alumno no sabe para qué estudia matemática (o cualquier otro ramo, o el estudiar en general), entonces el estudio resulta absurdo, es decir, un sin sentido. En cambio, cuan- do se construye un sentido para hacer algo, entonces nuestras emociones positivas se activan. En este aspecto los profesores juegan un rol clave. Los docentes no pueden dar por sentado que los alumnos “deben” tener claro para qué estudiar. Muchas veces no es así y es rol del profesor ayudar a que el estudio ad- quiera sentido y significado para los alumnos. Si esto no se logra, es difícil que los alumnos exhiban entusiasmo para hacerlo. Esto es lo que también se llama motivación y si hay un rol cla- ve del profesor es el de ser un hábil motivador de sus alumnos.
Muchos alumnos de 4° Año Medio sueñan con la posibilidad de ingresar a la Universidad, ¿qué pueden hacer antes de ser universitarios para sen- tirse más seguros y así poder superar las nuevas exigencias? Las personas tienen mucho potencial, muchas fortalezas para enfrentar situa- ciones nuevas. Si los jóvenes literalmen- te sueñan con ingresar a la universidad, si esto es realmente un anhelo para ellos, no tendrán mayores problemas en esta nueva situación. No digo que no vayan a existir dificultades. El camino hacia los objetivos está plagado de difi- cultades. Pero este no es el tema, sino cuánto entusiasmo tenemos por lograr nuestros objetivos. Si tenemos entusias- mo estamos al otro lado, porque de aquí surge la fuerza para superar las dificul- tades que se encuentran en el camino. A quien persigue sus sueños siempre le irá bien, porque tiene lo más fundamen- tal: un por qué para luchar. Cuando las personas hacemos cosas, como estu- diar algo para satisfacer a los papás, lo más probable es que carezcamos de la energía y entusiasmo para ir con fuerza hacia adelante. Sólo nuestros sueños, nuestros propios sueños y no los sue- ños ajenos, son los que hacen vibrar a las personas y vivir para hacerlos reali- dad.
Matemáticos somos
todos
A mediados de marzo, en el diario El Mercurio, apareció el artículo titulado Matemáticos somos todos , del perio- dista Nicolás Luco Rojas. A continua- ción un extracto de este artículo:
Conozco al académico de la Universidad de Chile Dr. Roberto Araya quien, cual un mo- derno Quijote, hace años trabaja con juegos para preescolares y escolares que llegan a chupar las matemáticas como manjar blanco. Roberto se ufana de tener a niños de 8 años resolviendo ecuaciones de segundo grado. Da gusto que hoy crean en él. La semana pasada, en el Centro de Investigación Avanzada en Educación de la U. de Chile, el Dr. Araya participó en un seminario sobre estrategias creativas para que la matemática sea algo tan popular como Shakira. Yo tuve buenos profesores del ramo, como Mario Sepúlveda, liquidado después por un cáncer. Él me desafió a calcular a qué hora entre las 14 y las 15 horas el minutero alcanza el mismo punto que el horario. Tenía 16 años y lo resolví. Hasta hoy, como ven, me ufano de ello. No le tengo miedo a la matemática. Pero uno avanza por el mundo y se encuentra con quienes dicen "yo soy negado para las matemáticas". (Hay otros que dicen "yo soy negado para el deporte" o "negado para el inglés"... ¡puras amputaciones!) Nadie es negado para las matemáticas, estoy convencido. Hay algunos, tal como dice el libro The Math
Gene de Keith J. Devlin, que tienen especial aptitud. Pero todos somos matemáticos. Todos hacemos matemática. Bajar por la es- calera del metro es una operación de cálculo; hacer una maleta sin que nada se nos quede afuera, requiere pensamiento matemático; cocinar un guiso complicado, con diferentes ingredientes y tiempos de cocción, es mate- mática. Se nos pueden haber olvidado las tablas, pero el ojo humano está siempre calculando. Como cuando un lolo me hace un "finito" con su auto para asustarme, con un complejo cálculo de velocidades y distancias. Necesitamos reconciliarnos con esos cálculos numéricos; hacer sudokus, dicen, ayuda a espantar el Alzheimer.
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Psicólogo Claudio Ibáñez: