ชดการเรยน เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม

ชอ-สกล........................................................ ชนมธยมศกษาปท....... เลขท.............

โรงเรยนเลยสวางวทยาคม

อ าเภอวงสะพง จงหวดเลย ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 19

ค าน า ชดการเรยนเรอง การแยกตวประกอบของพหนาม จดท าขนเพอพฒนาการเรยนการสอนคณตศาสตรส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนเลยสวางวทยาคม อ.วงสะพง จ.เลย ชดการเรยนนประกอบดวยเอกสารแนะแนวทาง บตรเนอหา บตรกจกรรม และบตรแบบฝกหด ซงผเรยนจะตองเรยนไปตามล าดบ ตามค าแนะน าในการศกษาชดการเรยนและตองปฏบตกจกรรมตามทเสนอแนะไวใหครบถวน และสามารถตรวจดเฉลยเพอประเมนผลการเรยนของตนเอง ซงชดการเรยนจะมการทดสอบกอนและหลงเรยน เพอประเมนความกาวหนาของผเรยน ผวจยหวงวา ชดการเรยนนจะมประโยชนส าหรบนกเรยนทก าลงศกษารายวชานพอสมควร

นนท ปราบงเหลอม

ค าแนะน าในการศกษาชดการเรยน

โปรดปฏบตตามค าแนะน าตอไปน 1. ท าความเขาใจจดประสงคสาระส าคญ 2. ท าแบบทดสอบกอนศกษาชดการเรยน 3. ศกษาเอกสารแนะแนวทาง บตรเนอหา และท ากจกรรมในบตรกจกรรมตามล าดบ 4. ตรวจสอบความถกตองจากเฉลยและสรปบทเรยน 5. ท าแบบทดสอบหลงศกษาชดการเรยนอกครง

การแยกตวประกอบของพหนาม จดประสงค เมอจบบทเรยนนแลวนกเรยนสามารถ

1. สามารถแยกตวประกอบของพหนามโดยการเอาตวประกอบรวมออกได 2. สามารถแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป x2+bx+c เมอ b,c เปนคาคงทและ

c0 3. สามารถแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป ax2+bx+c เมอ a,b,c เปนคาคงทและ

a,c0 สาระส าคญ การแยกตวประกอบ คอ การเขยนพหนามใหอยในรปผลคณของพหนามทมดกรต ากวา หวเรอง 1. การแยกตวประกอบของพหนามโดยการเอาตวประกอบรวมออกได

2. การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป x2+bx+c เมอ b,c เปนคาคงทและ c0 4. การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป ax2+bx+c เมอ a,b,c เปนคาคงทและ

a,c0 กจกรรมการเรยน

1. ทดสอบกอนเรยน 2. แบงนกเรยนเปนกลมๆ ละ 4 คน ประกอบดวยนกเรยนทเรยนด 1 คน ปานกลาง

2 คน ออน 1 คน เลอกประธานและเลขากลม 3. แตละกลมปฏบตกจกรรมโดยศกษาจากเอกสารแนะแนวทาง และบตรเนอหา 4. นกเรยนแตละกลมน าเสนอผลงานหลงจากจบการปฏบตกจกรรม 5. นกเรยนชวยกนสรป 6. ทดสอบหลงเรยน

สอการเรยน 1. เอกสารแนะแนวทาง 2. บตรเนอหา 3. บตรกจกรรมท1,2 4. แบบทดสอบ

การวดผลและประเมนผล 1. สงเกตจากการมสวนรวมในการท ากจกรรม 2. สงเกตจากผลการปฏบตกจกรรม 3. สงเกตผลจากการทดสอบหลงเรยน

เอกสารแนะแนวทาง เรอง การแยกตวประกอบของพหนาม

1. การแยกตวประกอบโดยการเอาตวประกอบรวมออก ก าหนดให a b a b x x x รปท 1 รปท 2 รปท 3

สรป ax+bx=………………………………..

จากขางตน นกเรยนพจารณาหาผลลพธดงน 1. x2+2x = x(x+2) 2. 2x2+4x = 2x(x+2) 3. x4-4x2 =……………………………. 4. x4-x 2 =……………………………. 5. 2x2+18x =…………………………….

รปท พนท กวาง ยาว 1 ax x a 2 bx x b 3 ax+bx x a+b

2. การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป x2+bx+c เมอ b,c เปนคาคงท และ c 0 ก าหนดให x 1 1 1 x x x 2.1

รป พนท กวาง x ยาว

x2+3x+2

(x+1)(x+2)

สงเกตคาทได x2+3x+2 = (x+1)(x+2) 1+2 = 3 เปนสมประสทธของ x 1x2 = 2 เปนพจนทาย 2.2

จะไดวา x2+5x+6 = …………………………………. ………….. = 5 เปนสมประสทธของ x ………….. = 6 เปนพจนทาย

รป พนท กวาง x ยาว

x2+5x+6

………………….

2.3 รป พนท กวาง x ยาว

x2+4x+3

…………………

จะไดวา x2+4x+3 = …………………………………. ..................................................................... ..................................................................... สรป x2+bx+c = (x+m)(x+n) ………………. = b เปนสมประสทธของ x ………………. = c เปนพจนทาย

จากขางตน นกเรยนพจารณาหาผลลพธดงน 1. x2+x-2 = (x+2)(x-1) 2. x2-x-6 = ……………………….. 3. x2-3x+2 = …………………………

3. การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป ax2+bx+c เมอ a,b,c เปนคาคงท ท a,c 0 ก าหนดให x 1 1 1 x x 3.1

รป พนท กวาง x ยาว

6x2+7x+2

(3x+2)(2x+1)

จะไดวา 6x2+7x+2 = (3x+2)(2x+1)

พจารณา (3x+2) (2x+1) = 6x2 เปนพจนแรก

3x (3x+2) ( 2x+1) = 7x เปนพจนกลาง 4x (3x+2) (2x+1) = 2 เปนพจนทาย

3.2 รป พนท กวาง x ยาว

4x2+8x+3

…………..

จะไดวา 4x2+8x+3 = ……………………………………….

จากขางตน นกเรยนพจารณาหาผลลพธดงน

1. 6x2-7x-5 = ………………………………. 2. 12x2-31x+9 = ………………………………. 3. 12x2-56x+9 = ………………………………. 4. 6x2-x-1 = ……………………………….

ออการแยกตวประกอบม 3 แบบ แตละแบบกงายนดเดยว

เฉลยเอกสารแนะแนวทาง ขอท 1

1. x(a+b) 2. x2(x-4x) 3. x2(x2-1) 4. 2x(x+9)

ขอท 2 2.2 (x+2)(x+3)

(x+2)(x+3) 2+3

2x3 2.3 (x+3)(x+1)

(x+3)(x+1) 3+1 = 4 เปนสมประสทธของ x 3x1 = 3 เปนพจนทาย สรป m+n mn

1. x2-x-6 = (x-3)(x+2) 2. x2-3x+2 = (x-2)(x-1)

ขอท 3 (2x+3)(2x+1) (2x+3)(2x+1)

1. 12x2-31x+9 = (3x-1)(4x-9) 2. 12x2-56x+9 = (6x-1)(2x-9) 3. 6x2-x-1 = (2x-1)(3x+1)

บตรเนอหา เรองการแยกตวประกอบของพหนาม

ในการเขยนสญลกษณแทนจ านวน นยมใชอกษรภาษาองกฤษตวเลก เชน x,y แทนจ านวน และเรยกอกษรเหลานนวา ตวแปร ส าหรบตวเลขทแทนจ านวน เชน 1,2,3 เรยกวา คาคงท คาคงตว เรยกขอความในรปสญลกษณ เชน 2,3x,5+x,x-8 วา นพจน เรยกนพจนทอยในรปการคณของคาคงตวกบตวแปรตงแตหนงตวขนไปทมเลขชก าลงของตวแปรทเปนจ านวนเตมบวกหรอศนย เชน -6,2x,2xy,x2 วา เอกนาม และเรยกนพจนทสามารถเขยนในรปเอกนาม หรอการบวกตงแตสองเอกนามขนไปวา พหนาม

ตวอยางพหนาม x2+2x+11 5x4+15x3+10x+5 3x5

2x+2y เรยกเลขชก าลงของตวแปรในเอกนามวา ดกร

พหนามใดๆดกรของพหนามไดแก ดกรสงสดของเอกนามในพหนามนน X5

ในการเขยนพหนามใหอยในรปผลคณของพหนามทมดกรต ากวา เรยกวา “การแยกตวประกอบของพหนาม” ตวอยางการแยกตวประกอบ(โดยการดงตวรวม) 3x2+ 3x = 3x(x+1)

X5 อานวา x ยกก าลง 5 โดยท x5 เปนเอกนาม และเรยกเลขชก าลงของ

ตวแปรในเอกนามคอ 5 วาดกร

8x-4y = 4(2x-y) 5x3+15x2+10x+5 = 5(x3+3x2+2x+1) พหนามดกรสองตวแปรเดยว คอ พหนามทอยในรป ax2+bx+c เมอ a,b,c เปนคาคงท a 0

และ x เปนตวแปร การแยกตวประกอบพหนามดงกลาว สามารถท าไดโดยอาศยแนวคดดงน

พจารณาผลคณของพหนาม (x+1)(x+2) = (x+1)(x)+(x+1)(2) = x2+x+2x+2 = x2+(1+2)x+2 = x2+3x+2 จากวธการหาผลคณของ (x+1)(x+2) จะไดขนตอนของการแยกตวประกอบของ x2+3x+2 ดงน x2+3x+2 = x2+(2+1)x+2 = x2+(2x+x)+2 = (x2+2x)+(x+2) = x(x+2)+(x+2) = (x+1)(x+2) ในกรณทวไป การแยกตวประกอบของ x2+bx+c เมอ b,c เปนคาคงท และ c 0 ท าไดโดยการหาจ านวน d และ e ทคณกนเทากบ c และบวกกนเทากบ b ท าให

x2+bx+c = (x+d)(x+e) ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ x2+7x+10 วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได 10 และบวกกนได 7 จะได 5x2 = 10 และ 5+2 = 7 ดงนน x2+7x+10 = (x+5)(x+2) ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของ x2+x-6 วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได -6 และบวกกนได 1 จะได (-2)x3 = -6 และ (-2)+3 = 1 ดงนน x2+x-6 = (x+3)(x-2) ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของ x2-3x+2 วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได 2 และบวกกนได -3 จะได (-1)(-2) = 2 และ (-1)+(-2) = -3 ดงนน x2-3x+2 = (x-1)(x-2) ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของ x2-9 วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได -9 และบวกกนได 0

จะได (-3)x3 = -9 และ (-3)+3 = 0 ดงนน x2-9= (x+3)(x-3) หมายเหต ในกรณทวไป x2-a2 = (x-a)(x+a) เมอ a เปนคาคงท ทไมเทากบศนย ส าหรบการแยกตวประกอบของพหนามในรป ax2+bx+c เมอ a,b,c เปนคาคงท และ a,c 0 เชน 4x2-4x+1 ท าไดดงน

1. หาพหนามดกรหนงสองพหนามทคณกนได 4x2 เชน(2x)(2x) หรอ (4x)(x) เขยนสองพหนามทไดใหเปนพจนหนา ผลคณของพหนามใหม ดงน

(2x………)(2x………..) หรอ (4x……….)(x…………) 2. หาจ านวนสองจ านวนทมผลคณเทากบ 1 ซงเทากบ (1)(1) หรอ (-1)(-1) เขยนจ านวนทงสอง

เปนพจนหลงของพหนามในขอ 1 ดงน (2x+1)(2x+1) หรอ (4x+1)( x+1)

(2x-1)(2x-1) หรอ (4x-1)(x-1) 3. หาพจนกลางของพหนามจากผลคณของพหนามแตละคในขอ 2 ทมผลบวกเทากบ

-4x จะได จากผลคณ -2x (2x-1) (2x-1) -2x

ไดพจนกลางเทากบ -4x ดงนน 4x2-4x+1 = (2x-1)(2x-1) หรอ (2x-1)2

ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบของพหนาม 1. 6x2-10x-4 2. 2x2+9x-81 3. 4x2-4x+1 วธท า 1. 6x2-10x-4 = (2x-4)(3x+1) หรอ (6x+2)(x-2) 2. 2x2+9x-81 = (2x-9)(x+9) 3. 4x2-4x+1 = (4x-2)(5x-5) หรอ (10x-5)(2x+2) การแยกตวประกอบของพหนามทเปนก าลงสองสมบรณ ในกรณทพหนามดกรสองแยกตวประกอบแลวไดตวประกอบเปนพหนามดกรหนงซ ากน เชน x2+4x+4 = (x+2)(x+2) = (x+2)2

x2-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)2

เรยกพหนามดกรสองทมลกษณะเชนนวา ก าลงสองสมบรณ ในกรณทวไปพหนามดกรสองทเปนก าลงสองสมบรณ แยกตวประกอบไดดงน x2+2ax+a2 = (x+a)2

x2+4x+4 = (x+2)2

x2+6x+9 = (x+3)2

x2-2ax+a2 = (x-a)2

x2-2x+1 = (x-1)2

x2-8x+16 = (x-4)2 ตวอยางท 6 จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1. x2+6x+9 2. x2-12x+36 วธท า 1. x2+6x+9 = x2+2(3)x+32

= (x+3)2

2. x2-12x+36 = x2-2(6)x+62

= (x-6)2

การแยกตวประกอบโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ การแยกตวประกอบโดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ สามารถท าไดโดยใชแนวคดตอไปน (x+1)2 =(x+1)(x+1) =x2+2(1)x+1 (1)2

(x+2)2 =(x+2)(x+2) =x2+2(2)x+4 (2)2 (x+3)2 =(x+3)(x+3) =x2+2(3)x+9 (3)2

จากแนวคดขางตน ในการแยกตวประกอบของพหนาม x2+bx+c เชน x2+2x-5 โดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ ดงน x2+2x-5 = (x2+2x)-5 = (x2+2x+1)-5-1 = (x+1)2-6

ดงนน x2+2x-5 = (x+1)2-6 จาก x2-a2 = (x-a)(x+a)

จะได (x+1)2-6 = [(x+1)- 6 ][(x+1)+ 6 ]

= [x+(1- 6 )][x+(1+ 6 )] ตวอยางท 7 จงแยกตวประกอบ x2-6x-2 โดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ วธท า x2-6x-2 = (x2-6x)-2 = (x2-2(3)+32)-2-32 = (x2-6x+9)-2-9 = (x-3)2-11

= [(x+3)- 11 ][(x-3)+ 11 ]

= [x-(3- 11 )][x-(3+ 11 )]

บตรกจกรรมท 1 1. สตรในการหาพนทสเหลยมจตรส คอ ...........................................................

สตรในการหาพนทรปสเหลยมผนผา คอ ....................................................... 2. กระดาษตดเปนรปดงน

a b x 1 x x x x

รปท 1 รปท 2 รปท 3 รปท 4 จากขางตน

พนทรปท 1 = ………………………………… พนทรปท 2 = ………………………………… พนทรปท 3 = ………………………………… พนทรปท 4 = …………………………………

3. ถาเอาพนทของรปท 1 บวกกบพนทรปท 2 จะเปนเทาไร a b

x

พนททงหมดเทากบ...................................................

.................................................... 4. จงหาพนทของรปจากพหนามตอไปน โดยอาศยรปท 3 และรปท 4 x 1 1 x พนทของรป เทากบ .................................................. ดงนน x2+2x = ………………………………………. 5. จากขอ 3-4 สรปไดวา เปนการแยกตวประกอบของพหนามโดยการเอา..........................ออก 6. กระดาษตดเปนรปดงน x 1 1

1

x x รป A รป B รป C พนทของรป A = ………………………………………… พนทของรป B = ………………………………………… พนทของรป C = …………………………………………

7. จากพหนาม x2+4x+3 สามารถสรางรปโดยอาศยรป A,B,C ไดดงน x 1 1 1

พนทของรป เทากบ ………………………

ดงนน x2+4x+3 =…………………………………………. 8. จากพหนาม x2+3x+2 สามารถสรางรปโดยอาศยรป A,B,C ไดดงน x 1 1 1 x พนทของรป เทากบ …………………………… ดงนน x2+3x+2 =………………………………………….. 9. จากขอ 7 x2+4x+3 = (x+3)(x+1) 3+1 = 4 เปนสมประสทธของ x

1

x

3x1 = 3 เปนพจนทาย จากขอ 8 x2+3x+2 = (..............)(.............) ……… … = 3 เปนสมประสทธของ x

………... = 2 เปนพจนทาย การแยกตวประกอบของพหนามในรป x2+bx+c เมอ b,c เปนจ านวนเตมท าไดโดย หาจ านวนเตมทบวกกนได = ...................... และคณกนได = ……………… 10. สมมตให (x+m)(x+n) เปนตวประกอบของพหนาม x2+bx+c จะไดวา b = …………………… c = …………………… 11. จากรปในขอท 6 พหนาม 6x2+7x+2 สามารถสรางรป โดยอาศยรป A,B,C ไดดงน x x x 1 1 1 x x

พนทของรปน เทากบ ……………………………. ดงนน 6x2+7x+2 = …………………………………... 12. จากรปในขอท 6 พหนาม 4x2+6x+2 สามารถสรางรป โดยอาศยรป A,B,C ไดดงน

x x 1 1 1 x x

พนทของรป เทากบ .................................................................. ดงนน 4x2+6x+2 = ……………………………………… ….…. 13. การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรป ax2+bx+c เมอ a,b,c เปนจ านวนเตม ท าไดโดย หาพหนามสองพหนามทคณกนได พจนหนา ของพหนามทเปนผลลพธ หาพหนามสองพหนามทคณกนได ............... ของพหนามทเปนผลลพธ ผลบวกของผลคณระหวางพจนหนาของพหนามในวงเลบแรกกบพจนหลงของพหนามในวงเลบหลง และพจนหลงของพหนามในวงเลบแรกกบพจนแรกของพหนามในวงเลบหลงได .......................ของพหนามทเปนผลลพธ

บตรกจกรรมท 2

1. สตรในการหาพนทสเหลยมจตรส คอ ................................................ สตรในการหาพนทสเหลยมผนผา คอ .............................................. 2. จากรป 3 5

5 3

พนทสเหลยม I = ………………………………………. พนทสเหลยม II = ………………………………………. พนทสเหลยม III = ………………………………………. พนทสเหลยม IV = ………………………………………. พนทสเหลยม ABCD = ……………………………………

พนทสเหลยมABCD = พท. + พท. + พท. + พท. ท าการแทนคา (5+3)2 = 52+(3x5)+32+(3x5) = 52+(3x5)+(3x5)+32

= 52+2(3x5)+32

ถาให a แทน 5 และ b แทน 3 จะไดวา (a+b)2 = ……………… …….ซงเรยกวา ผลบวกก าลงสองสมบรณ 3. จากรป

II III

I

IV

I IV III II

3 6 3 6

พนทสเหลยม I = 3(6-3) = 9 พนทสเหลยม II = …………………. =……………………………. พนทสเหลยม III = …………………. =……………………………. พนทสเหลยม IV = …………………. =……………………………. พนทสเหลยมABCD = ……………………………………….

4. จากขอ 3 พนทสเหลยมABCD = พท. + พท. + พท. + พท. แทนคา 62 = 3(6-3)+(6-3)2+3(6-3)+32 ………………...(1) ดงนน (6-3)2 = 62-3(6-3)-3(6-3)-32

= 62-(3x6)+32-(3x6)+32-32 = 62-2(3x6)+32 …………………….(2) จาก (2)

(6-3)2 = 62-2(3x6)+32

ถาให a แทน 6 และ b แทน 3

จะไดวา (a-b)2 = ……………………………เรยกวา ผลตางก าลงสองสมบรณ และจาก (1) จะไดวา 62-32 = 3(6x3)+(6-3)2+3(6-3) = (6-3)[3+(6-3)+3] = (6-3)(3+6-3+3) = (6-3)(6+3)…………………..(3)

I IV

II

III

I IV III II

จาก (3)

62-32 = (6-3)(6+3) ถาให a แทน 6 และ b แทน 3 จะไดวา (a2-b2) = ……………………………เรยกวา ผลตางก าลงสอง

แบบฝกหด

งายจงเลยเนอ!

กกลมพวกเราชวยกนไง

1. 3x3 เปนตวประกอบของ 6x9+3x6 หรอไม 2. (x+1) เปนตวประกอบของ 2x2+3x+2 หรอไม 3. 3x2 เปนตวประกอบรวมของ 3x4 และ 6x2 หรอไม 4. 2x2 เปนตวประกอบรวมของ 4x4 และ 8x2 หรอไม 5. จงแยกตวประกอบของพหนาม 4b6-8b 6. จงแยกตวประกอบของพหนาม 25y-15y2+75y3 7. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2+9x+18 8. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2-x-10 9. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2-2 10. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2-625 11. จงแยกตวประกอบของพหนาม 6x2+19x+10 12. จงแยกตวประกอบของพหนาม 6x2-7x-5 13. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2+6x+4 โดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ 14. จงแยกตวประกอบของพหนาม x2-12x-7 โดยการท าใหเปนก าลงสองสมบรณ

เฉลยบตรกจกรรมท 1 1. ดานxดาน

กวางxยาว 2. ax bx x2

x 3. ax+bx x(a+b) 4. x(x+2) 5. ตวประกอบรวม 6. x2 x 1 7. (x+3)(x+1) (x+3)(x+1) 8. (x+2)(x+1) (x+2)(x+1) 9. (x+2)(x+1) 2+1 2x1 b c 10. m+n mn 11. (3x+2)(2x+1) (3x+2)(2x+1) 12. (2x+1)(2x+2) (2x+1)(2x+2) 13. พจนหลง, พจนกลาง

เฉลยบตรกจกรรมท 2 1. ดานxดาน

กวางxยาว 2. 3x5 = 15 3x3 = 9 3x5 = 15 a2+2ab+b2

3. (6-3)(6-3) = (6-3)2 3(6-3) = 9 3x3 = 32 = 9 6x6 = 62 36 4. a2-2ab+b2

(a-b)(a+b)

เฉลยแบบฝกหด

1. เปน 2. ไมเปน 3. เปน 4. เปน 5. 4b3(b3-2) 6. 5y(5-3y+15y2) 7. (x+6)(x+3) 8. (x+10)(x-11)

9. (x+ 2 )(x- 2 ) 10. (x-25)(x+25) 11. (3x+2)(2x+5) 12. (2x+1)(3x-5)

13. [x+(3+ 5 )][x+(3- 5 )]

14. [x-(6+ 43 )][x-(6- 43 )]