เอกนาม พหุนาม และการแยกตั�วประกอบของพหุนาม เอกสารเพ��มเตั�ม – 1

สาระการเร�ยนร��คณิ�ตัศาสตัร เพ��มเตั�ม ช่"วงช่�#นที่�� 4 ช่�#นม�ธยมศ&กษาป(ที่�� 4

เร)�องระบบจำ+านวนจำร�งหุน"วยการเร�ยนร��เพ��มเตั�ม ที่บที่วนความร��ที่��จำ+าเป,นส+าหุร�บระบบจำ+านวนจำร�ง

ผลการเร�ยนร��ที่��คาดหุว�งแ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ดี� ก ร� ส อ ง ไ ดี�

จำดประสงค การเร�ยนร��1 บอกความหุมายและส�วนประกอบของเลขยกก�าล�งไดี�2 หุาผลส�าเร�จของการค!ณและการหุารเลขยกก�าล�งไดี�3 บอกความหุมายของเอกนามไดี�4 บอกไดี�ว�าน#พจน$ที่�&ก�าหุนดีใหุ�เป(นเอกนามหุร)อไม�5 บอกส�วนประกอบและหุาค�าของส�วนประกอบของเอกนามไดี�6 หุาผลล�พธ์$จากการบวก การลบ การค!ณ และการหุารเอกนามไดี�7 บอกความหุมายของพหุ�นามไดี�8 บอกไดีว�าน#พจน$ที่�&ก�าหุนดีใหุ�เป(นพหุ�นามหุร)อไม� และบอกไดี�ว�าดี�กร�

ของพหุ�นามเป(นเที่�าใดี9 แยกตั�วประกอบของพหุ�นามดี�กร�สองไดี�

เลขยกก+าล�ง

บที่น�ยาม 1.1 ถ้�า a เป(นจ�านวนจร#งใดีๆ และ n เป(นจ�านวนเตั�มบวก "a

ยกก�าล�ง n" หุร)อ "a ก�าล�ง n" เข�ยนแที่นดี�วย an ซึ่/&งม�ความหุมายดี�งน�0

an =

เร�ยก an ว�าเลขยกก�าล�ง ที่�&ม� a เป(นฐาน และ n เป(นเลขชี้�0ก�าล�ง

เอกสารเพ��มเตั�ม – 2 เอกสารประกอบการบรรยายเพ��มเตั�มพ�เศษตั�วอย"างที่�� 1.1 จ ง เ ตั# ม ค�า ตั อ บ ล ง ใ น ชี้� อ ง ว� า ใ หุ� ส ม บ! ร ณ$

ข�อ เลขยกก�าล�ง

ความหุมาย ฐาน

เลขชี้�0ก�าล�ง

ค�า

1. 25

2. 44

3. (-3)4

4. (-0.7)5

5. -53

6. -63

7. (0.5)2

8. (-0.4)4

ข�อ เลขยกก�าล�ง

ความหุมาย ฐาน

เลขชี้�0ก�าล�ง

ค�า

9.10.

การค�ณิและหุารหุารเลขยกก+าล�งส�าหุร�บการหุาผลล�พธ์$หุร)อผลส�าเร�จจากการค!ณและการหุารเลขยก

ก�าล�ง สามารถ้ที่�าไดี�โดียใชี้�ส!ตัรดี�งตั�อไปน�0ที่ฤษฎี�บที่ 1.1 ก�าหุนดีใหุ� a และ b เป(นจ�านวนจร#งใดีๆ โดียที่�& b 0,

m และ n เป(นจ�านวนเตั�มบวก จะไดี�ว�า(1) aman = am+n

(2) =

(3) (am)n = amn

(4) (ab)n = anbn

(5) =

(6) = bn

ในกรณ�ที่�& n = 0 จะไดี�ว�า an = a0 = 1

ที่ฤษฎี�บที่ 1.2 ก�าหุนดีใหุ� a เป(นจ�านวนจร#งใดีๆ จะไดี�ว�า a0 = 1

ตั�วอย"างที่�� 1.2 จ ง หุ า ผ ล ล� พ ธ์$ ข อ ง

เอกนาม พหุนาม และการแยกตั�วประกอบของพหุนาม เอกสารเพ��มเตั�ม – 3

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

เอกสารเพ��มเตั�ม – 4 เอกสารประกอบการบรรยายเพ��มเตั�มพ�เศษ

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

เอกนาม

น#พจน$ที่�&สามารถ้เข�ยนใหุ�อย!�ในร!ปการค�ณิของค"าคงตั�วก�บตั�วแปรตั�#งแตั"หุน&�งตั�วข&#นไป และเลขช่�#ก+าล�งของตั�วแปรแตั"ละตั�วเป,นศ�นย หุร)อจำ+านวนเตั2มบวก เร�ยกว"าเอกนาม (Monomial)

เอกนามประกอบดี�วยสองส�วน ค)อ ส�วนที่�&เป(นค�าคงตั�ว และส�วนที่�&อย!�ในร!ปของตั�วแปรหุร)อการค!ณก�นของตั�วแปร

เอกนาม พหุนาม และการแยกตั�วประกอบของพหุนาม เอกสารเพ��มเตั�ม – 5

เร�ยกค�าคงตั�วว�า ส�มประส�ที่ธ�3ของเอกนาม และเร�ยกผลบวกของเลขชี้�0ก�าล�งของตั�วแปรแตั�ละตั�วในเอกนามว�า ด�กร�

ตั� อ ไ ป น�0 เ ป( น ตั� ว อ ย� า ง ข อ ง น# พ จ น$ ที่�& เ ป( น เ อ ก น า มน#พจน$ ส�มประส#ที่ธ์#4 ตั�วแปร ดี�กร�4x-a3

6abc-50

หุมายเหุตั� ค�าคงตั�วหุร)อจ�านวนจร#งใดีๆ ถ้)อเป(นเอกนามดี�กร� 0 เพราะสามารถ้เข�ยนในร!ปการค!ณก�นของค�าคงตั�วก�บตั�วแปร โดียที่�&เลขชี้�0ก�าล�งเ ป( น จ�า น ว น เ ตั� ม บ ว ก หุ ร) อ ศู! น ย$ เ ชี้� น เชี้�น 5 = 5x0 = 5x0y0 = 5a0b0c0

= x0 = x0y0 = a0b0c0 เ ป( น ตั� นส�วน 0 เป(นเอกนามที่�&ม�ส�มประส#ที่ธ์#4เที่�าก�บ 0 และดี�กร�เที่�าก�บเที่�าใดี

ก� ไ ดี� เ พ ร า ะ 0 ค! ณ จ�า น ว น ใ ดี ก� ไ ดี� 0

เชี้�น 0x2 = 0xy3 = 0x2y6z3 เ ป( น ตั� นตั� อ ไ ป น�0 เ ป( น ตั� ว อ ย� า ง ข อ ง น# พ จ น$ ที่�& ไ ม� เ ป( น เ อ ก น า มน#พจน$ เหุตั�ผลที่�&ไม�เป(นเอกนาม

x + y

4x-3

1 + 3x2

ตั�วอย"างที่�� 1.3 จงพ#จารณาว�าน#พจน$ที่�&ก�าหุนดีใหุ�ตั�อไปน�0เป(นเอกนามหุร)อไม� ถ้�าเป(นจงบอกส�มประส#ที่ธ์#4และดี�กร�ของเอกนามดี�งกล�าว

ข�อ

น#พจน$ ไม�เป(นเอกนาม

เป(นเอกนาม

ส�มประส#ที่ธ์#4

ดี�กร�

(1)

เอกสารเพ��มเตั�ม – 6 เอกสารประกอบการบรรยายเพ��มเตั�มพ�เศษ

(2) x2 + y2

(3) a-1bc3

(4) 5x4 – 4x4

(5) 0(6) abc(7) -4x5

(8) 2x + 2y(9) 8-6xyz2

(10)

(11) x2yz(12) -4-1ab2

(13) pq(14) + (15) -cd2

เอกนามคล�ายก�อนที่�&เข�าส!�เร)&องการบวกและการลบเอกนาม น�กเร�ยนจ�าเป(นตั�อง

ศู/กษาล�กษณะบางอย�างของเอกนามก�อน ซึ่/&งล�กษณะดี�งกล�าวจะน�ามาชี้�วยค�านวณการบวกและการลบเอกนามไดี� ล�กษณะดี�งกล�าวน�0นค)อ เอกนามคล�าย

เอกนามสองเอกนามจะคล�ายก�นก�ตั�อเม)&อ1. เอกนามที่�0งสองม�ตั�วแปรชี้�ดีเดี�ยวก�น

และ 2. เลขชี้�0ก�าล�งของตั�วแปรตั�วเดี�ยวก�นในแตั�ละเอกนามเที่�าก�นตั�วอย�างเชี้�น ax คล�ายก�บ -2ax

5x2y คล�ายก�บ -2x2y

abc2 คล�ายก�บ 4abc2

2x2y ไม�คล�ายก�บ 2xy2

3a ไม�คล�ายก�บ 4x

5 คล�ายก�บ -4 เป(นตั�น

เอกนาม พหุนาม และการแยกตั�วประกอบของพหุนาม เอกสารเพ��มเตั�ม – 7

ตั�วอย"างที่�� 1.4 จงพ#จารณาว�าเอกนามที่�&ก�าหุนดีใหุ�คล�ายก�นหุร)อไม� ถ้�าคล�ายใหุ�เข�ยนเคร)&องหุมาย หุน�าข�อ ถ้�าไม�คล�ายใหุ�เข�ยนเคร)&องหุมาย หุน�าข�อ 1)4a2 ก�บ a2

2)3x2y3 ก�บ x3y2

3)4xy2 ก�บ 4x2y 4)5 ก�บ y

5)8x ก�บ -4 6)xyz ก�บ -abc 7)3x2y ก�บ 8) -6 ก�บ 8x0

9)14x ก�บ x 10) abc ก�บ a0b0c0

การบวกและการลบเอกนามการหุาผลบวกของเอกนามสามารถ้ที่�าไดี�โดียใชี้�สมบ�ตั#การแจกแจง

หุร)อการกระจายในการหุาค�าตัอบ ซึ่/&งสามารถ้ที่�าไดี�ดี�งน�0ผลบวกของเอกนานาม = (ผลบวกของส�มประส�ที่ธ�3) (ส"วนที่��อย�"ใน

ร�ปของตั�วแปรหุร)อการค�ณิของตั�วแปร)

ส�าหุร�บเอกนามที่�&ไม�คล�ายก�น ไม�สามารถ้น�ามาบวกก�นไดี� ใหุ�เข�ยนในร!ปการบวกของเอกนาม

ตั�วอย"างที่�� 1.5 จงที่�าใหุ�เป(นผลส�าเร�จ(1)4x2 + 2x2 = (4 + 2) x 2 = 6 x 2 (2)-5x2y2z + 4x2y2z

= (3)-4x + (-2x) = (4)3a2b + (-6a2b)

=

เอกสารเพ��มเตั�ม – 8 เอกสารประกอบการบรรยายเพ��มเตั�มพ�เศษ

(5)9xy + 4xy = (6)3x2y2 + (-2xy)

= (7)-17m2 + (-2m2)

= (8)st2 + (-5st2) = (9)x2y3 + (-4x2y3) + 5x2y3

= (10) st + 4st + (-7s)

=

ส�าหุร�บการหุาผลลบของเอกนามสามารถ้ที่�าไดี�โดียใชี้�สมบ�ตั#การแจกแจง หุร)อการกระจายในการหุาค�าตัอบ เชี้�นเดี�ยวก�บการหุาผลบวกของเอกนาม ซึ่/&งสามารถ้ที่�าไดี�ดี�งน�0ผลบวกของเอกนานาม = (ผลลบของส�มประส�ที่ธ�3) (ส"วนที่��อย�"ในร�ป

ของตั�วแปรหุร)อการค�ณิของตั�วแปร)

ส�าหุร�บเอกนามที่�&ไม�คล�ายก�น ไม�สามารถ้น�ามาบวกก�นไดี� ใหุ�เข�ยนในร!ปการบวกของเอกนาม

ตั�วอย"างที่�� 1.6 จงที่�าใหุ�เป(นผลส�าเร�จ(1)4x2 – 2x2 = (4 – 2) x 2 = 2 x 2 (2)-5x2y2z – 4x2y2z

= (3)-4x – (-2x) = (4)3a2b – (-6a2b)

= (5)9xy – 4xy = (6)3x2y2 – (-2xy)

= (7)-17m2 – (-2m2)

= (8)st2 – (-5st2) = (9)x2y3 – (-4x2y3) – 5x2y3

=

เอกนาม พหุนาม และการแยกตั�วประกอบของพหุนาม เอกสารเพ��มเตั�ม – 9

(10) st – 4st – (-7s) =

การค�ณิและการหุารเอกนามการค!ณเอกนามที่�าไดี�โดีย1. น�าส�มประส#ที่ธ์#4ของเอกนามแตั�ละพจน$ค!ณก�น2. น�าส�วนที่�&เป(นตั�วแปรค!ณก�น โดียอาศู�ยสมบ�ตั#ของเลขยกก�าล�ง

ตั�วอย"างที่�� 1.7 จงหุาผลค!ณของเอกนามตั�อไปน�0 (1)(2ab)(5a2b4) = (2 5)( ab )( a 2 b 4 ) =

10 a 1+2 b 1+4 = 10 a 3 b 5 (2)(3x)(4x) = (3)(5x)(-3x4) = (4)(-7xy)(-4x2y3)=

(5)( x2y5z)( x4y2z3)

= (6)(-8x2yz)(-2x3y2z2)(5xy2z4)=

ส�าหุร�บการหุารเอกนาม สามารถ้ที่�าไดี�ในที่�านองเดี�ยวก�บการค!ณเอกนาม กล�าวค)อ

1. หุาผลหุารของส�มประส#ที่ธ์#4ของเอกนาม2. หุาผลหุารของตั�วแปร

ตั�วอย"างที่�� 1.8 จงหุาผลหุารของเอกนามตั�อไปน�0 (1) = 2 x 7 – 5 = 2 x 2

(2) =

(3) =

(4) =

(5) =

(6) =

(7) =

(8) =

พหุนาม (Polynomial)

น#พจน$ที่�&อย!�ในร!ปเอกนาม หุร)อเข�ยนในร!ปการบวกของเอกนามตั�0งแตั�สองเอกนามข/0นไป เร�ยกว�าพหุนาม (Polynomial)

ตั�วอย�างของพหุ�นาม เชี้�น -5, 8x, 2x + 3. 4x2 + 2x + (-

6), 7xy + 2xz + (-3x) เป(นตั�นส�าหุร�บน#พจน$ เชี้�น 10x – 5, 8x2 – 3x – 2 เป(นพหุ�นามเชี้�นก�น

เน)&องจาก10x – 5 = 10x + (-5) และ 8x2 – 3x – 2 = 8x2 +

(-3x) + (-2)ส�าหุร�บพหุ�นามใดีๆ จะเร�ยกแตั�ละเอกนามที่�&อย!�ในพหุ�นามน�0นๆ ว�า

พจำน (Term) ของพหุ�นาม กรณ�ที่�&พหุ�นามน�0นม�เอกนามคล�าย จะเร�ยกเร�ยกเอกนามที่�&คล�ายก�นน�0นว�าพจำน ที่��คล�ายก�น

ในกรณ�ที่�&พหุ�นามม�พจน$ที่�&คล�ายก�น เราสามารถ้รวมพจน$ที่�&คล�ายก�นเข�าดี�วยก�นเพ)&อที่�าใหุ�เป(นพหุ�นามในร!ปที่�&ไม�ม�พจน$คล�ายก�นเลย ซึ่/&งเร�ยกพหุ�นามที่�&ไม�ม�พจน$คล�ายก�นเลยน�0ว�าพหุนามในร�ปผลส+าเร2จำ และจะเร�ยกดี�กร�ส!งส�ดีของพจน$ของพหุ�นามในร!ปผลส�าเร�จว�าเป(นด�กร�ของพหุนาม ดี�งตั�วอย�างตั�อไปน�0

ตั�วอย"างที่�� 1.9 จงที่�าใหุ�เป(นพหุ�นามในร!ปผลส�าเร�จ พร�อมที่�0งบอกดี�กร�ของพหุ�นามในร!ปผลส�าเร�จน�0น(1)4x + x – 5 =

(4 x + x ) – 5 = 5 x – 5

พจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!ง

ดี�งน�0นดี�กร�ของพหุ�นามน�0ค)อ (2)-3x + 14 + 7x

= =

พจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!ง

ดี�งน�0นดี�กร�ของพหุ�นามน�0ค)อ

(3)x2 – x + 2 + 3x – x2 + 11= = = =

พจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!ง

ดี�งน�0นดี�กร�ของพหุ�นามน�0ค)อ (4)-4x + 20 + 3x – 8 =

=

พจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!ง

ดี�งน�0นดี�กร�ของพหุ�นามน�0ค)อ (5)7x2 + 9x – 5x2 – 2x + 6

= =

พจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!ง

ดี�งน�0นดี�กร�ของพหุ�นามน�0ค)อ (6)4xy – 8xy – 10x - y

= =

พจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!ง

ดี�งน�0นดี�กร�ของพหุ�นามน�0ค)อ (7)2a + 19 – 2a – 20 =

= =

พจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!ง

ดี�งน�0นดี�กร�ของพหุ�นามน�0ค)อ

โดียที่�&วไป การเข�ยนพหุ�นาม จะเข�ยนเร�ยงจากพจน$ที่�&ม�ดี�กร�ส!งส�ดี ไปย� ง พ จ น$ ที่�& ม� ดี� ก ร� ตั�&า ส� ดี ดี�งตั�วอย�างตั�อไปน�0

ตั�วอย"างที่�� 1.10 จงที่�าใหุ�เป(นพหุ�นามในร!ปผลส�าเร�จ และเร�ยงพจน$ของพหุ�นามจากพจน$ที่�&ม�ดี�กร�มากไปพจน$ที่�&ม�ดี�กร�น�อย(1)4x + 5x – x + 3=

(4 + 5 + 1) x + 3 = 10 x + 3

(2)7y2 – 2y – 10y2 + 8y= = =

(3)z2 – z3 + 3z2 – 12z3 – 14z2

= = =

(4)-6y – 7y3 + y + 2y3 – 4y2

= = =

(5)5x3 – 9x + x2 – 5x3 + 2x – 2= = = =

การบวกและการลบพหุนามผลบวกของพหุ�นามหุาไดี�โดียการน�าพหุ�นามมาเข�ยนในร!ปการบวก

และถ้�าม�พจน$ที่�&คล�ายก�นใหุ�บวกพจน$ที่�&คล�ายก�นเข�าดี�วยก�น

ตั�วอย"างที่�� 1.11 จงหุาผลบวกของ x2 + 4x + 3 ก�บ 2x2 + 7 + 5x

ว�ธ�ที่+า (x2 + 4x + 3) + (2x2 + 7 + 5x) = (x2 + 2x2) + (4x + 5x) + (3 + 7)

=

การหุาผลบวกของพหุ�นาม โดียเข�ยนการบวกในแนวตั�0ง ใหุ�พจน$ที่�&คล�ายก�นอย!�ตัรงก�น จะที่�าใหุ�การหุาผลบวกที่�าไดี�ง�ายข/0น (คล�ายการตั�0งบวกเลขธ์รรมดีา)

ตั�วอย"างที่�� 1.12 จงหุาผลบวกของ 16x3 + 5x2 - 3x ก�บ 4x3 – 2x2 + 2x + 2

ว�ธ�ที่+า 16x3 + 5x2 – 3x + 4 x 3 – 2 x 2 + 2 x + 2

ด�งน�#น (16x3 + 5x2 - 3x) + (4x3 – 2x2 + 2x + 2) =

ตั�วอย"างที่�� 1.13 จงหุาผลบวกของ 3x5y – 3x4y5 + 2x5 – x2

ก�บ 2x5y + 4x5 + 7x2 – 3

ว�ธ�ที่+า +

ด�งน�#น (3x5y – 3x4y5 + 2x5 – x2) + (2x5y + 4x5 + 7x2 – 3) =

ส�า หุร�บการลบพหุ�นาม ใหุ�น� ก เร�ยนส�ง เกตัตั� วอย� างตั� อ ไปน�0

ตั�วอย"างที่�� 1.14 จงหุาผลลบของ 2x2 + 5x – 3 ก�บ x2 – 4x + 8

ว�ธ�ที่+า (2x2 + 5x – 3) – (x2 – 4x + 8) = (2x2 + 5x – 3) + [– (x2 – 4x + 8)]

= = =

หุร)อน�กเร�ยนสามารถ้หุาค�าตัอบในล�กษณะตั�อไปน�0ก�ไดี�(2x2 + 5x – 3) – (x2 – 4x + 8)

= = =

หุ ร) อ จ ะ ใ ชี้� ว# ธ์� ก า ร ล บ ใ น แ น ว ตั�0 ง (ก า ร ตั�0 ง ล บ ) ก� ไ ดี�

ตั�วอย"างที่�� 1.15จงหุาผลล�พธ์$ของ (4x2 – 6xy + 2y2) – (2x2 – 2xy + 9y2)

ว�ธ�ที่+า 4x2 – 6xy + 2y2 – เ ป ล�& ย นเคร)&องหุมายลบเป(นบวก

2 x 2 – 2 xy + 9 y 2 เปล�&ยนเคร)&องหุมายของตั�วลบเป(นตัรงข�าม

ด�งน�#น (4x2 – 6xy + 2y2) – (2x2 – 2xy + 9y2) =

ตั�วอย"างที่�� 1.16จงหุาผลล�พธ์$ของ (x3 – 7x2 – 5x + 2) – (3x2 + 2x – x3 – 1)

ว�ธ�ที่+า – เปล�&ยนเคร)&องหุมายลบเป(นบวก

เปล�&ยนเคร)&องหุมายของตั�วลบเป(นตัรงข�าม

ด�งน�#น (x3 – 7x2 – 5x + 2) – (3x2 + 2x – x3 – 1) =

การค�ณิพหุนามการค�ณิพหุนามด�วยเอกนามการหุาผลค!ณระหุว�างเอกนามก�บพหุ�นาม ที่�าไดี�โดียการใชี้�สมบ�ตั#การ

แจกแจงหุาผลค!ณระหุว�างเอกนามก�บที่�กๆ พจน$ของพหุ�นาม แล�วน�าผลค!ณมารวมก�น

ตั�วอย"างที่�� 1.17 จงหุาผลค!ณของเอกนามก�บพหุ�นามตั�อไปน�0

การค�ณิพหุนามด�วยพหุนามการหุาผลค!ณระหุว�างพหุ�นามก�บพหุ�นาม ที่�าไดี�โดียค!ณแตั�ละพจน$

ของพหุ�นามหุน/&งก�บที่�กๆ พจน$ของอ�กพหุ�นามหุน/&ง แล�วน�าผลค!ณเหุล�าน�0นมารวมก�น

การหุาผลค!ณอาจที่�าไดี�โดียใชี้�สมบ�ตั#การแจกแจง ส�งเกตัตั�วอย�างตั�อไปน�0

ตั�วอย"างที่�� 1.18 จงหุาผลค!ณของพหุ�นามตั�อไปน�0(1) (x – 4)(x + 5)

= = =

(2) (x + 3y)(x + y + z)=

= =

เพ)&อความสะดีวกในการหุาผลค!ณ น#ยมใชี้�การค!ณแบบการตั�0งค!ณ แล�วที่�าการค!ณแตั�ละพจน$ของพหุ�นามหุน/&งดี�วยแตั�ละพจน$ของอ�กพหุ�นามหุ น/& ง ดี� ง ตั� ว อ ย� า ง ตั� อ ไ ป น�0ตั�วอย"างที่�� 1.19 จงหุาผลค!ณของ x2 + 2xy + y2 ก�บ x – y +

2ว�ธ�ที่+า x2 + 2xy + y2

x – y + 2

ดี�งน�0น (x2 + 2xy + y2)(x – y + 2) =

ลองที่+าเองด�บ�างก2ด�นะAdd, subtract, or multiply.1)

2) 3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) 10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32)

33)

34) 35) 36) 37)

38)

39) 40) 41) 42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

49)

50)

51) 52)

53) 54)

55)

56)

57)

58)

59)

60)

61)

62)

การหุารพหุนาม

ลองที่+าเองด�บ�างก2ด�นะจงหุาผลหุารและเศูษที่�&ไดี�จากการหุารตั�อไปน�01)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

การแยกตั�วประกอบของพหุนามการแยกตั�วประกอบของพหุ�นามใดี ๆ ค)อ การเข�ยนพหุ�นามน�0นใน

ร! ป ก า ร ค! ณ ข อ ง พ หุ� น า ม ที่�& ม� ดี� ก ร� ตั�&า ก ว� าการแยกตั�วประกอบของพหุนามโดยใช่�สมบ�ตั�การแจำกแจำงส ม บ� ตั� ก า ร แ จำ ก แ จำ งใ หุ� a, b แ ล ะ c เ ป( น จ�า น ว น จ ร# ง ใ ดี ๆ

a(b + c) = ab + acหุ ร) อ ab + ac = a(b + c)

การแยกตั�วประกอบของพหุ�นามโดียใชี้�สมบ�ตั#การแจกแจงเป(นการแ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ โ ดี ย ก า ร ดี/ ง ตั� ว ร� ว ม อ อ กตั�วอย"าง 1 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ตั� อ ไ ป น�0

1)10x + 15= 2)x2 + 8x = 3)x2 – 5x = 4)4x2 – 12x= 5)2x4 + 6x3 + 10x

=6)3x4 + 6x3 – 6x2

=7)x2 + 4x = 8)2x2 + 18x= 9)-3x2 + 9x= 10)ax2 – 2ax

=พหุ�นามดี�กร�สองตั�วแปรเดี�ยว ค)อ พหุ�นามที่�&เข�ยนไดี�ในร!ป ax2 +

bx + c เม)& อ a, b, c เป(นค�าคงตั�ว ที่�& a 0 และ x เป(นตั�วแปรการแยกตั�วประกอบของพหุ�นาม ax2 + bx + c เม)& อ a, b, c

เป(นค�าคงตั�วและ a 0 เป(นการแยกตั�วประกอบของพหุ�นามดี�กร�สองในร! ป ก า ร ค! ณ ข อ ง พ หุ� น า ม ดี� ก ร� หุ น/& งตั�วอย"าง 2 ใหุ�น�กเร�ยนบอกค�าของ a, b และ c ของพหุ�นามดี�กร�สองตั�อไป

น�0

1)2x2 + 3x + 6 (a = , b = , c = )2)5x2 + 4x – 8 (a = , b = , c = )3)3x2 + 1 (a = , b = , c = )4)7x – 2x2 (a = , b = , c = )

ตั�วอย"าง 3 จ ง หุ า จ�า น ว น ที่�& ค! ณ ก� น ไ ดี� c แ ล ะ บ ว ก ก� น ไ ดี� bc b จ�านวนที่�0งสอง

1) 1 22) -1 03) 4 44) -3 25) -3 -26) 12 -17) -48 28) -48 -2

ตั�วอย"าง 4 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง x2 + 8x + 12

ว�ธ�ที่+า เพราะว�า และ

ดี�งน�0นx2 + 8x + 12 =

ตั อ บตั�วอย"าง 5 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง x2 - 5x + 6

ว�ธ�ที่+า เพราะว�า และ

ดี�งน�0น x2 - 5x + 6 = ตัอบตั�วอย"าง 6 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง x2 + 11x + 30

ว�ธ�ที่+า เพราะว�า และ

ดี�งน�0นx2 +11x + 30 =

ตั อ บตั�วอย"าง 7 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง x2 – 4x - 12

ว�ธ�ที่+า เพราะว�า และ

ดี�งน�0นx2 – 4x – 12 = ตัอบสรปข�#นตัอนการแยกตั�วประกอบของพหุนามด�กร�สองที่��อย�"ในร�ป

ax2 + bx + c เม)� อ a, b, c เป,นค"าคงตั�ว และ a = 1 ได�ด�งน�#

ข�#นที่�� 1 :เข�ยน x2 + bx + c ในร!ปการค!ณก�นของสองวงเล�บx2 + bx + c =( )( )

ข�#นที่�� 2 :เตั#ม x วงเล�บละ 1 ตั�วเป(นพจน$หุน�าของแตั�ละวงเล�บx2 + bx + c =(x )(x )

ข�#นที่�� 3 :หุาจ�านวนที่�&ค!ณก�นไดี� c และบวกก�นไดี� b มาใส�วงเล�บละตั� ว เ ป( น พ จ น$ หุ ล� ง (ใ น ที่�& น�0 mn = c แ ล ะ m + n = b)

x2 + bx + c =(x + m)(x + n)จำงแยกตั�วประกอบของพหุนามตั"อไปน�#1) = 2) = 3) = 4) = 5) = 6) = 7) = 8) = 9) = 10) = 11) = 12) =

ตั�วอย"าง 8 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง 6x2 + x - 15

ว�ธ�ที่+า ข�#นที่�� 1 เข�ยน 6x2 + x – 15 ในร!ปการค!ณก�บของสองวงเล�บ6x2 + x – 15 = ( )( )

ข�#นที่�� 2 แยกตั�วประกอบของ 6x2 ไดี� 2x และ 3x ใส�เป(นพจน$หุ น� า ข อ ง แ ตั� ล ะ ว ง เ ล� บ6x2 + x – 15 = (2x )(3x )

ข�#นที่�� 3 แยกตั�วประกอบของ 15 ไดี� 5 และ 3 ใส�เป(นพจน$หุล�งข อ ง ที่�0 ง ส อ ง ว ง เ ล� บ6x2 + x – 15 = (2x 3)(3x 5)

ข�#นที่�� 4 หุาผลค!ณเพ)&อหุาพจน$กลางของ 6x2 + x – 15 และเ พ)& อ ก�า หุ น ดี เ ค ร)& อ ง หุ ม า ย

+10x

6x2 + x – 15 = (2x 3)(3x 5) -9x

ข�# น ที่�� 5 ส ร� ป ค�า ตั อ บ6x2 + x – 15 = (2x - 3)(3x + 2)

ตั�วอย"าง 9 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ตั� อ ไ ป น�01)15y2 – 2y – 8= 2)-5x2 + 13x – 6 = 3)-8x2 + 10x + 3 = 4) = 5) = 6) = 7) = 8) = 9) =

การแยกตั�วประกอบของพหุนามที่��อย�"ในร�ปก+าล�งสองสมบ�รณิ พหุ�นามดี�กร�สองที่�&แยกตั�วประกอบไดี�เป(นพหุ�นามดี�กร�หุน/&งซึ่/&งซึ่�0าก�น

เ ร� ย ก พ หุ น� า ม ดี� ก ร� ส อ ง ชี้ น# ดี ว� า ก+า ล� ง ส อ ง ส ม บ� ร ณิ ร!ปที่�&วไปของพหุ�นามดี�กร�สองที่�&เป(นก�าล�งสองมบ!รณ$ค)อ A2 + 2AB

+ B2 และ A2 - 2AB + B2 เม)& อ A และ B เป(นพหุ�นาม แยกตั� ว ป ร ะ ก อ บ ไ ดี� ดี� ง ส! ตั ร ตั� อ ไ ป น�0

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A – B)2

ตั�วอย"าง 10 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ตั� อ ไ ป น�01)x2 + 4x + 4

= 2)x2 + 12x + 36

= 3)x2 + 24x + 144

= 4)x2 - 60x + 900

= 5)x2 - 10x + 25

= 6)x2 - 6x + 9=

ตั�วอย"าง 11 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ตั� อ ไ ป น�01)25x2 + 20x + 4

= 2)9x2 + 42x + 49

= 3)36x2 - 60x + 25

= 4)4x2 - 36x + 81= 5)100x2 + 220xy + 121y2

=

การแยกตั�วประกอบของพหุนามที่��อย�"ในร�ปผลตั"างของก+าล�งส อ ง

ร!ปที่�&วไปของพหุ�นามที่�&อย!�ในร!ปของผลตั�างของก�าล�งสอง ค)อ A2 –

B2 เม)& อ A และ B เป(นพหุ�นามแยกตั�วประกอบไดี�ดี�งส!ตัรตั�อไปน�0A2 – B2 = (A – B)(A + B)

ตั�วอย"าง 12 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง1)x2 – 1 = = 2)x2 - 4 = = 3)x2 - 9 = = 4)x2 - 25 = = 5)x2 - 49 = = 6)x2 - 81 = = 7)25x2 - 16 = = 8)9x2 - 25 = = 9)16x2 - 81 = = 10) 25m2 - 64n2 =

= 11) (x - 5) 2 + 9 =

= =

12) 9x2 - (2x + 4)2 = =

=

13) (x + 3)2 – (2x – 5)2 = =

= 14) 4(x + 4)2 – (x – 7)2 =

= =

การแยกตั�วประกอบของพหุนามด�กร�สองโดยว�ธ�การที่+าเป,นก+า ล� ง ส อ ง ส ม บ� ร ณิ

ตั�วอย"าง 13 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ�น า ม x2 + 4x + 1

ว�ธ�ที่+า

ตั�วอย"าง 14 จงแยกตั�วประกอบของพหุ�นาม x2 – 7x + 8

ว�ธ�ที่+า

ตั�วอย"าง 15จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง x2 + 3x - 238

ว�ธ�ที่+า

ตั�วอย"าง 16 จงแยกตั�วประกอบของพหุ�นาม x2 + 9x + 11

ว�ธ�ที่+า

ตั�วอย"าง 17 จงแยกตั�วประกอบของพหุ�นาม 2x2 + 12x – 4

ว�ธ�ที่+า

การแยกตั�วประกอบของพหุนามที่��ม�ด�กร�ส�งกว"าสองด�วยว�ธ�การอ ย" า ง ง" า ย

ผลตั�างของก�าล�งสาม A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

ผลบวกของก�าล�งสาม A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

ตั�วอย"าง 18 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม x3 + 8

ว�ธ�ที่+า x3 + 8 = = =

ดี�งน�0น x3 + 8 = ตั อ บ

ตั�วอย"าง 19 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม x3 – 27

ว�ธ�ที่+า x3 – 27 = = =

ดี�งน�0น x3 – 27 = ตั อ บตั�วอย"าง 20 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม 27x3 – 64

ว�ธ�ที่+า 27x3 – 64 = = =

ดี�งน�0น27x3 – 64 = ตั อ บ

ตั�วอย"าง 21 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม 16x4 - 81

ว�ธ�ที่+า 16x4 - 81 = = = =

ดี�งน�0น 16x4 - 81 = ตัอบตั�วอย"าง 22 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ตั� อ ไ ป น�0

1)x4 – 625 = 2)81x4 – 256y4

= 3)y6 – 64 =

ตั�วอย"าง 23 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ�น า ม x4 + 3x + 4

ว�ธ�ที่+า x4 + 3x2 + 4 == = = =

ดี�งน�0นx4 + 3x2 + 4 =

ตั อ บตั�วอย"าง 24 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ตั� อ ไ ป น�0

1)x4 + x2 + 1= 2)x4 + 4 =

ตั�วอย"าง 25 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม y6 - 64

ว�ธ�ที่+า y6 - 64 = = = = = = =

ดี�งน�0น y6 - 64 = ตัอบตั�วอย"าง 26 จ ง แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ� น า ม ตั� อ ไ ป น�0

1)x6 – a6 =

2)x6 – y6 = 3)64x6 – 729 =

ตั� ว อ ย" า ง แ บ บ ที่ ด ส อ บตัอนที่�� 1 จงเล)อกค�าตัอบที่�&ถ้!กตั�องที่�&ส�ดีโดียกาเคร)&องหุมาย x ที่�บตั�วอ� ก ษ ร หุ น� า ค�า ตั อ บ ข� อ น�0 น

1. แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง 14x2 + 11x – 15 ไ ดี� เ ที่� า ก� บ ข� อ ใ ดีก. (7x – 3)(2x + 5) ข. (7x – 5)(2x + 3)

ค. (7x + 3)(2x – 5) ง. (7x + 5)(2x - 3)

2. ถ้�าแยกตั�วประกอบของ 36x2 + 2x – 10 ไดี�เป(น (ax + 5)(bx –

2) เ ม)& อ a แ ล ะ b เ ป( น ค� า ค ง ตั� ว แ ล� ว a แ ล ะ b ม� ค� า เ ที่� า ใ ดีก. a = 4, b = 9 ข. a = 6, b = 9

ค. a = 9, b = 4 ง. a = 18, b = 2

3. แ ย ก ตั� ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง 8 – 14y – 15y2 ไ ดี� เ ที่� า ก� บ ข� อ ใ ดีก. (5y + 2)(3y + 4) ข. (4 + 3y)(2 – 5y)

ค. (5y - 2)(3y - 4) ง. (4 – 3y)(2 – 5y)

4. ถ้�าตั�วประกอบของ ax2 + bx + c เม)&อ a, b และ c เป(นค�าคงตั�ว ไดี�เป(น (4x + 7)(4x + 7) แล� วค� าของ a, b และ c เป(น เที่� า ใดีก. a = 16, b = 0, c = 49 ข. a = 16, b = -56, c = 49

ค. a = 16, b = 0, c = -49 ง. a = 16, b = 59, c = -49

5. ถ้�า 4x2 – 12x + n2 เป(นก�า ล�งสองสมบ!รณ$แล�ว n ม�ค�าเที่� า ใดีก. 3 ข. 3 หุ ร) อ -3

ค. 9 ง. 9 หุ ร) อ -9

6. ถ้� า x2 + mx + 9 เป(นก�า ล� งสองสมบ! รณ$แล� ว m ม�ค� า เที่� า ใดีก. 3 ข. 6

ค. -6ง. 6 หุ ร) อ -6

7. ถ้�าจ�ดี x2 + 8x + 21 ใหุ�อย!�ในร!ป (x + 4 )2 + b2 เม)&อ b เป(นค�าค ง ตั� ว แ ล� ว b ม� ค� า เ ที่� า ใ ดีก. ข. 5

ค. ง. 17

8. ถ้�าแยกตั�วประกอบของ 2x3 – 3x2 + 4x –6 ไดี�เป(น (2x – 3)(A)

เ ม)& อ A แ ที่ น พ หุ� น า ม แ ล� ว A ค) อ พ หุ� น า ม ใ ดีก. x2 - 6 ข. X2 - 2

ค. x2 + 6 ง. X2 + 2

9. 16a4 – 2ab3 เ ที่� า ก� บ ข� อ ใ ดีก. 2(4a2 + b)(2a2 – b2) ข. 2a(2a - b)(4a2 + 2ab + b2)

ค. 4a(4a + b)(a – b)(a + b) ง. (4a2 – 2ab)(4a2 +2ab + b2)

10. 9x4 – 10x2 + 1 เ ที่� า ก� บ ข� อ ใ ดีก. (3x + 1)(3x – 1)(x2 – 1) ข. (3x – 1)2(x – 1)(x + 1)

ค. (3x + 1)(3x – 1)(x – 1)2 ง. (3x + 1)2(x – 1)(x + 1)

ตัอนที่�& 2จ ง เ ข� ย น เ ฉ พ า ะ ค�า ตั อ บ1. -6x2 + 25x –25 2. 3a2 – 48 3. x2 – 2x – 2 4. 4x2 – 4x – 17 5. 4x2 – 4xy + y2 + z2

6. (x – 1)3 – 8 7. 6a2b – 9a2 + 4b – 6 8. (a4 + 8a2 + 16) – 3(a2 + 4) + 2 9. x4 + 64 10. y3 + 3y2 + 3y + 1 + z3

เอกสารอ�างอ�ง

กมล เอกไที่ยเจร#ญ. (ม.ป.ป.). ค!�ม)อเตัร�ยมสอบคณ#ตัศูาสตัร$ ม.3 เล�มรวม ค 011 – ค 012. กร�งเที่พฯ: ไฮเอ�ดีพ�บล#ชี้ชี้#&ง.

นวลน�อย เจร#ญผล และคณะ. (ม.ป.ป.). แบบฝึ<กเพ)&อพ�ฒนากระบวนการเร�ยนร! � คณ#ตัศูาสตัร$ ม.3

ค 011 เที่อมตั�น. กร�งเที่พฯ: เดีอะบ�คส$.

----------. (ม.ป.ป.). แบบฝึ<กเพ)&อพ�ฒนากระบวนการเร�ยนร! � คณ#ตัศูาสตัร$ ม.3 ค 012 เที่อมปลาย. กร�งเที่พฯ: เดีอะบ�คส$.

สถ้าบ�นส�งเสร#มการสอนว#ที่ยาศูาสตัร$และเที่คโนโลย�. (2547). หุน�งส)อเร�ยนสาระการเร�ยนร! �เพ#&มเตั#ม คณ#ตัศูาสตัร$ เล�ม 2 กล��มสาระการเร�ยนร! �คณ#ตัศูาสตัร$ ชี้�0นม�ธ์ยมศู/กษาป>ที่�& 2. กร�งเที่พฯ: องค$การค�าของค�ร�สภา.

สถ้าบ�นส�งเสร#มการสอนว#ที่ยาศูาสตัร$และเที่คโนโลย�. (2548). หุน�งส)อเร�ยนสาระการเร�ยนร! �เพ#&มเตั#ม คณ#ตัศูาสตัร$ เล�ม 2 กล��มสาระการเร�ยนร! �คณ#ตัศูาสตัร$ ชี้�0นม�ธ์ยมศู/กษาป>ที่�& 1. พ#มพ$คร�0งที่�& 6.

กร�งเที่พฯ: องค$การค�าของค�ร�สภา.ส�เที่พ จ�นที่ร$สมบ!รณ$ก�ล, ชี้ลธ์#ศู พ#ที่ย�งก!ร และอภ#ชี้ญา ชี้นะ.

(ม.ป.ป.). คณ#ตัศูาสตัร$ ม.. ค 011 ค 021. กร�งเที่พฯ: เดีอะบ�คส$.