งานนำเสนอ powerpoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4...
TRANSCRIPT
![Page 1: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/1.jpg)
รหสวชา 2204-2004
อาจารยสวทย บตรวาป
อาจารยประจาสาขาวชาพนฐานทวไป
![Page 2: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/2.jpg)
1. นยามของเมทรกซ
นยามท 1 เมทรกซคอ กลมของจานวนจรง หรอ
จานวนเชงซอน มาจดเรยงเปนรปสเหลยมผนผาเปน
แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตง (Vertical)
ซงมแถวตามแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และตาม
แนวตงเรยกวา หลก (Column)
![Page 3: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/3.jpg)
โดยทวไปนยมใชในรปตอไปนแทน
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
ใชสญลกษณ เปน หรอ ij m nA a
× = nmA ×
![Page 4: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/4.jpg)
เมทรกซทม 1 แถวและ n หลก เรยก เมทรกซ
แถว เชน
เมทรกซทม m แถวและ 1 สดมภ เรยก เมทรกซ
หลก เชน
[ ]835 −
−835
![Page 5: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/5.jpg)
เมทรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมทรกซทม
จานวนแถวเทากบจานวนหลก (m=n) หรอเรยกวา
เมทรกซอนดบ n มรปทวไปคอ
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
สมาชกทอยในตาแหนง i=j เรยก เสนเสนทแยงมมหลก
![Page 6: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/6.jpg)
เมทรกซศนย (Zero Matrix หรอ Null Matrix)
คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด เชน
O = หรอ 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
![Page 7: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/7.jpg)
เมทรกซทแยงมม(Diagonal Matrix) คอเมทรกซ
จตรสทมสมาชกทกตวทไมไดอยบนเสนทแยงมมหลก
มคาเปนศนยทงหมด เชน
2 0 0
0 3 0
0 0 4
4 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
หรอ
![Page 8: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/8.jpg)
เมทรกซเชงสเกลาร(Scalar Matrix) คอเมทรกซ
ทแยงมมทมสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากน
ทงหมด เชน
4 0 0
0 4 0
0 0 4
5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 5 0
0 0 0 5
หรอ
![Page 9: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/9.jpg)
เมทรกซเอกลกษณ (Identity Matrix หรอ
Unit Matrix) คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกทกตวบน
เสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 1 ทงหมด ใชสญลกษณ
I หรอ In แทนเอกลกษณเมทรกซอนดบ n เชน
I3 = หรอ I4 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
![Page 10: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/10.jpg)
Ex. A =
3 2 0 1
7 1 6 4
เปนเมทรกซขนาด _________ แถว
_________ หลก
เขยนดวยสญลกษณ _____________
![Page 11: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/11.jpg)
Ex. จงบอกประเภทและอนดบของเมทรกซลกษณะ
พเศษตอไปน
1. O = 0 0 0
0 0 0
2. A = 1
8
![Page 12: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/12.jpg)
2. พชคณตของเมทรกซ
2.1 การเทากนของเมทรกซ (Equal Matrix)
ถา และ
จะได A = B กตอเมอ m = p และ n = q
และ aij = bij ทกคาของ i และ j
ij m nA a
× = ij p q
B b×
=
![Page 13: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/13.jpg)
2.2 การบวกลบเมทรกซ (Matrix Addition or Subtraction)
ให และ
แลว A + B = C
โดยท
ij m nA a
× = ij p q
B b×
=
ij ij ijm n m nC c a b
× × = = ±
![Page 14: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/14.jpg)
2.3 การคณเมทรกซ
การคณเมทรกซดวยสเกลาร (Scalar Multiplication)
ให และ k เปนสเกลาร ดงนน
นนคอ เปนการนา k คณกบสมาชกทกตวในเมตรกซ
เชน a b
c d
ka kb
kc kd k =
ij m nA a
× =
ij m nkA ka
× =
![Page 15: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/15.jpg)
Ex. A = 1 -5 3
4 1 0
จงคานวณหา 4A , -3A
วธทา
−=
)0(4)1(4)4(4)3(4)5(4)1(4
4A
−=
041612204
−−−−−−−
=−)0(3)1(3)4(3)3(3)5(3)1(3
3A
−−
−−=
03129153
![Page 16: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/16.jpg)
Ex. จงหาผลคณของเมตรกซ AB เมอ
วธทา
=
−−=
371402
,325
110321
BA
−++−+++−++−+++++
=)3)(3()1)(2()0)(5()7)(3()4)(2()2)(5()3)(1()1)(1()0)(0()7)(1()4)(1()2)(0(
)3)(3()1)(2()0)(1()7)(3()4)(2()2)(1(AB
−−=
7323
1131
![Page 17: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/17.jpg)
3. ชนดของเมทรกซ
3.1 เมทรกซสลบเปลยน (Transposed Matrix)
ถา แลว เมทรกซสลบเปลยนของ A
คอ และใชสญลกษณ AT หรอ A'
แทนเมทรกซสลบเปลยนของ A
ij m nA a
× =
ij n mA a
× =
![Page 18: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/18.jpg)
A = เชน a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a41 a42 a43 4x3
A T =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 3x4
![Page 19: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/19.jpg)
Ex. จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน
A =
B =
C =
4 4 -1
2 3 -4
-7 2 3
1 2
3 0
-4 7
2
8
2
AT = 1 3 42 0 7
−
BT = 4 2 74 3 21 4 3
− − −
CT = [ ]2 8 2
![Page 20: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/20.jpg)
3.4 เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix)
เมทรกซสามเหลยมบน (Lower Triangular Matrix) คอ
เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยเหนอเสนทแยงมมหลก
เปนศนยหมด
เมทรกซสามเหลยมลาง (Upper Triangular Matrix) คอ
เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยใตเสนทแยงมมหลก
เปนศนยหมด
![Page 21: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/21.jpg)
ดเทอรมแนนตของเมทรกซ
ดเทอรมแนนตของเมทรกซ det(A) หรอ มความสาคญในการ
คานวณทางคณตศาสตร วธคานวณหาดเทอรมแนนตมหลายวธดงน
1. การหาโดยตรง (ในกรณของเมทรกซขนาดเลก) เชน
cbadAdcba
A −=
= )det(,
เมทรกซขนาด 2x2 (หาดเทอรมแนนตไดในกรณของเมทรกซจตรสเทานน)
![Page 22: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/22.jpg)
เมทรกซขนาด 3x3
33
22
11
333
222
111
bababa
cbacbacba
A
=
123123123
321321321)det(bacacbcba
bacacbcbaA−−−
++=
เมทรกซทมขนาดมากกวานจะทาแบบนไมได ตองใชวธกระจาย cofactor เทานน
![Page 23: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/23.jpg)
การหา Determinant โดยใชวธการกระจาย Cofactor
Cofactor (Cij ) หาไดจาก Matrix A ถกตดแถวท i และ หลก ท j
ออกไปแลวหาดเทอรมแนนตของเมทรกซทเหลอ (จะมขนาดเลกลง
เสมอ) แลวนา cofactor มาหาคาดเทอรมแนนท
ตวอยางท 1. จงหาคาของ C12 และ C23
2 1 09 4 65 3 8
A =
![Page 24: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/24.jpg)
หาคา C12 ตองตดแถวท 1 และ Column ท 2 ออก จะได
2 1 09 4 65 3 8
9 65 8
คณขางหนาดวย (-1)(1+2) จะได
( )(1 2)12
9 61 42
5 8A += − = −
![Page 25: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/25.jpg)
ตวอยางท 1. (ตอ)
หาคา C23 ตองตดแถวท 2 และ หลก ท 3 ออก จะได
2 1 09 4 65 3 8
2 15 3
คณขางหนาดวย (-1)(2+3) จะได
( )(2 3)23
2 11 1
5 3A += − = −
การกระจาย Cofactor เราสามารถเลอกวาจะใชแถวหรอ หลก ใดกได
แตการคานวณจะงายขนถาเราเลอกแถวหรอ หลก ทมสมาชกเปน 0 อย
มาก
![Page 26: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/26.jpg)
การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซ
วธการหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนม 3 วธคอ
1 ใช Inverse matrix เหมาะกบระบบทมสมการจานวนไมมาก (2-3 สมการ)
2 ใช Cramer’s rule เหมาะกบระบบทมสมการจานวนไมมาก
3 ใชวธการของ Gauss-Elimination ซงเหมาะกบระบบทมสมการจานวนมาก
ตวอยางท 5. จงหาคาตอบของระบบสมการโดยใช Cramer’s rule
3 04 0
5
x y zy zx y z
+ − =− =− − =
![Page 27: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/27.jpg)
วธทา 1. เขยนโจทยใหอยในรป Matrix
1 1 3 00 1 4 01 1 1 5
xyz
− − = − −
เมทรกซของ
สมประสทธ
เวคเตอรทราบ
คา
เวคเตอรไม
ทราบคา
![Page 28: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/28.jpg)
2. หา Determinant ของ A
1 1 3det( ) 0 1 4 6
1 1 1A
−= − = −
− −
3. หาคา x โดย
0 1 30 1 45 1 1 5
det( ) 6x
A
−−
− −= =
เวคเตอรทราบคา
แทน สปส ของ x
![Page 29: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/29.jpg)
4. หาคา y โดย เวคเตอรทราบคา
แทน สปส ของ y 1 0 30 0 41 5 1 10
det( ) 3y
A
−−−
= = −
5. หาคา z โดย เวคเตอรทราบคา
แทน สปส ของ z 1 1 00 1 01 1 5 5
det( ) 6z
A−
= = −
จะเหนวธของ Crammer rule ตองหาดเทอรมแนนทหลายครง จงไมเหมาะกบ
ระบบสมการเชงเสนทมหลายตวแปร (มากกวา 3)
![Page 30: งานนำเสนอ PowerPoint¸žื้นฐาน... · 2019-01-31 · 3. 4 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022041711/5e484790cb06a33bfc6bd963/html5/thumbnails/30.jpg)