เมื่อ และ เป็นจ...

แคลคลูสัเบือ้งต้น 1

PAT 1 (มี.ค. 59)

17. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 𝑏 − 4 , 𝑥 ≤ 𝑎

𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 , 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏2𝑏𝑥 − 𝑎 , 𝑥 > 𝑏

เมือ่ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง

และ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนเซตของจ ำนวนจริง พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้ (ก) (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏

(ข) 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)

(ค) 𝑓′(𝑓(2)) = 𝑓(𝑓′(2))

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง 1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต ่ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ข้อ (ข) ผิด 3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกูทัง้สำมข้อ 5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทัง้สำมข้อ

28. ก ำหนดให้ ℝ เป็นเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : ℝ → ℝ และ 𝑔 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนัที่มีอนพุนัธ์ทกุอนัดบั และสอดคล้องกบั 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) และ 𝑔′(𝑥) = 4𝑥3 + 9𝑥2 + 2 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้ (ก) คำ่สงูสดุสมัพทัธ์ของ 𝑓 เทำ่กบั 6

(ข) คำ่ต ำ่สดุสมัพทัธ์ของ 𝑓 เทำ่กบั 2

(ค) อตัรำกำรเปลีย่นแปลงของ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) เทียบกบั 𝑥 ขณะที่ 𝑥 = 1 เทำ่กบั 12


27 Jul 2016

2 แคลคลูสัเบือ้งต้น

34. คำ่ของ 2

4

𝑥3+𝑥2+𝑥

𝑥|𝑥+2|−𝑥2−2𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด

40. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำอตัรำกำรเปลีย่นแปลงเฉลีย่ของ 𝑓(𝑥) เทียบ

กบั 𝑥 เมื่อคำ่ของ 𝑥 เปลีย่นจำก −1 เป็น 1 เทำ่กบั −2 และ 1

1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2

แล้วคำ่ของ 0

limh

𝑓(3+ℎ)−𝑓(3−ℎ)

ℎ เทำ่กบัเทำ่ใด


limx

|𝑥2−𝑥−2|

2− √𝑥2+43 เทำ่กบัเทำ่ใด


PAT 1 (ต.ค. 58)


limx

1

√1−𝑥(1 −

2𝑥3

𝑥2+1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 0 2. 0.5 3. 1

4. 2 5. 4

14. ก ำหนดให้ 𝐶 เป็นเส้นโค้ง 𝑦 = 2 + 𝑥|𝑥 − 1| เมื่อ 𝑥 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝐿 เป็นเส้นตรงที่สมัผสักบัเส้นโค้ง 𝐶 ที่จดุ (0, 2) และให้ 𝑁 เป็นเส้นตรงที่ตัง้ฉำกกบัเส้นตรง 𝐿 ณ จดุ (0, 2) แล้วเส้นตรง 𝑁 ผำ่นจดุในข้อใดตอ่ไปนี ้

1. (−1, 3) 2. (1, 5) 3. (−2, 5)

4. (3, −2) 5. (−3, 4)

15. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัหนึง่ตอ่หนึง่ ซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของจ ำนวนจริง โดยที่ 𝑓−1(𝑥) = 2𝑥

𝑥+1 ส ำหรับทกุ

สมำชิก 𝑥 ในเรนจ์ของ 𝑓 พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้ (ก) 2𝑓′(4) − 𝑓(4) = 3

(ข) 𝑓′′(𝑓(4)) = 𝑓(𝑓′′(4))

(ค) 𝑓 เป็นฟังก์ชนัเพิ่มบนชว่ง (0, 2)



33. ก ำหนดให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓: ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนัที่สำมำรถหำอนพุนัธ์ได้ และสอดคล้องกบั

2

limx

𝑥2+𝑥−6

√1+𝑓(𝑥)−3 = 6 และ 1 + 𝑓(𝑥) ≥ 0 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

ถ้ำเส้นตรง 6𝑥 − 𝑦 = 4 ตดักบักรำฟ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่ 𝑥 = 2 แล้วคำ่ของ 𝑓′(2) เทำ่กบัเทำ่ใด

34. ก ำหนดให้ฟังก์ชนั 𝑓(𝑥) = {𝑥3 , 𝑥 < −1

𝑎𝑥 + 𝑏 , −1 ≤ 𝑥 < 1

3𝑥2 + 2 , 𝑥 ≥ 1

เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง

ถ้ำฟังก์ชนั 𝑓 ตอ่เนื่อง ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 แล้วคำ่ 2

2

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (มี.ค. 58)

16. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = log (1+𝑥

1−𝑥) เมื่อ −1 < 𝑥 < 1

ถ้ำ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐴 แล้ว ∫ 𝑓 (2𝑥

1+𝑥2) 𝑑𝑥 ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 𝐴2 2. −𝐴2 3. 2𝐴 4. −2𝐴


17. ก ำหนดให้ 𝑎 เป็นจ ำนวนจริงบวก สอดคล้องกบั 0

limx

|5𝑥+1|−|5𝑥−1|

√𝑥+𝑎−√𝑎 = 80

คำ่ของ 𝑎2 + 𝑎 + 58 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 64 2. 78 3. 130 4. 330

35. ให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนั ที่สอดคล้องกบัสมกำร

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 และ 𝑦 และ 0

limx

𝑓(𝑥)

𝑥 = 2

คำ่ของ 𝑓′(1) + 𝑓′′(5) เทำ่กบัเทำ่ใด

40. ให้ 𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของเซตของจ ำนวนจริง โดยที่ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥4−𝑥

𝑥3 เมื่อ 𝑥 ≠ 0

𝑔(𝑥) = (1 + 𝑥2)𝑓(𝑥) และ 𝑔(1) = 2 คำ่ของ 2

1

𝑥3𝑔′′(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด


41. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั นิยำมโดย 𝑓(𝑥) = {

𝑒2𝑥 + 2𝑎 , 𝑥 < 0𝑎 + 𝑏 , 𝑥 = 0

√1+𝑏𝑥+5𝑥2−1

𝑥, 𝑥 > 0

เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง

ถ้ำฟังก์ชนั 𝑓 มีควำมตอ่เนื่องที่ 𝑥 = 0 แล้วคำ่ของ 15𝑎 + 30𝑏 เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (พ.ย. 57)

7. ให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 +𝑏

𝑥 เมื่อ 𝑥 ≠ 0 โดยที่ 𝑦 = 𝑓(𝑥) เป็นเส้นโค้งที่สมัผสั

กบัเส้นตรง 𝑦 = 1 ที่จดุ (1, 1) พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้ (ก) 𝑓 มีคำ่สงูสดุสมัพทัธ์ที่ 𝑥 = −1

(ข) 1

limx

(𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(2𝑎2 + 2𝑏2)

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง 1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู 2. (ก) ถกู แต ่(ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต ่(ข) ถกู 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

16. ก ำหนดให้ 𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของจ ำนวนจริง โดยทัง้ 𝑓 และ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัท่ีสำมำรถหำอนพุนัธ์ได้ และสอดคล้องกบั (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 + 5 ส ำหรับทกุ 𝑥 ที่อยูใ่นโดเมนของ 𝑓 ∘ 𝑔

และ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 𝐶 เมื่อ 𝐶 เป็นคำ่คงตวั ถ้ำ 𝐿 เป็นเส้นตรงที่สมัผสัเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ 𝑥 = 0

แล้วเส้นตรง 𝐿 ตัง้ฉำกกบัเส้นตรงที่มีสมกำรตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2. 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0

3. 3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 4. 5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0


19. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 เมื่อ 𝑏, 𝑐 และ 𝑑 เป็นจ ำนวนจริง โดยที ่ 2

2

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −64

3

ถ้ำ 𝑔(𝑥) เป็นพหนุำมซึง่ 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥) และ 𝑔′(1) = 𝑔′(0) = 𝑔(0) = 0

แล้ว 𝑔′′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥) ตรงกบัสมกำรในข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 𝑥4 − 4𝑥3 + 12𝑥2 − 6𝑥 = 0 2. 𝑥4 − 8𝑥3 − 12𝑥2 − 6𝑥 = 0

3. 3𝑥4 − 16𝑥3 + 48𝑥2 − 24𝑥 = 0 4. 3𝑥4 + 8𝑥3 − 48𝑥2 + 24𝑥 = 0

41. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของเซตของจ ำนวนจริง โดยที่ 𝑓(2𝑥 − 1) = 4𝑥2 − 10𝑥 + 𝑎

เมื่อ 𝑎 เป็นจ ำนวนจริง และ 𝑓(0) = 12 คำ่ของ 4

1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด

44. ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : ℝ → ℝ , 𝑔 : ℝ → ℝ และ 𝑠 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั โดยที ่ 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 ส ำหรับทกุ 𝑥 ∈ ℝ 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥2 + 2𝑥 − 1 ส ำหรับทกุ 𝑥 ∈ ℝ

และ 𝑠(𝑥) = 0

limh

(𝑔(𝑥+ℎ))2

−(𝑔(𝑥))2

ℎ ส ำหรับทกุ 𝑥 ∈ ℝ คำ่ของ (𝑠𝑔)(1) เทำ่กบัเทำ่ใด


PAT 1 (เม.ย. 57)

17. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั นิยำมโดย 𝑓(𝑥) = {

−𝑥 + 𝑎 , 𝑥 ≤ −2

−2

5𝑥 + 𝑏 , −2 < 𝑥 < 3

𝑥2 − 6𝑥 + 11 , 𝑥 > 3

เมื่อ 𝑎, 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำฟังก์ชนั 𝑓 มีควำมตอ่เนื่องที ่ 𝑥 = −2 และ 3

limx

𝑓(𝑥) หำคำ่ได้

แล้วคำ่ของ |𝑎 + 5𝑏| เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 8 2. 18 3. 88

5 4. 102

5

18. ก ำหนดให้ 𝑏 > 1 และ b

1

𝑥−1

𝑥+√𝑥 𝑑𝑥 = 4 คำ่ของ 1 + 𝑏 + 𝑏2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 21 2. 31 3. 91 4. 111

19. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 เป็นพหนุำมก ำลงัสอง เมื่อ 𝑎, 𝑏, 𝑐 เป็นจ ำนวนจริง และ 𝑎 ≠ 0

โดยที่ 𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มีคำ่สงูสดุที่ 𝑥 = 1

3 ให้ 𝐹(𝛼, 𝛽) =

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 โดยที่ 𝐹(0, 𝑡) = 𝐹(1, 𝑡) + 1

ส ำหรับจ ำนวนจริง 𝑡 > 1 พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้ (ก) 𝐹(1,2) = 𝐹(2,3) + 10

(ข) อนพุนัธ์ของ 𝑓(𝑥)

𝑥2 เทำ่กบั −3𝑥2−2𝑥−2

𝑥3




41. ก ำหนดให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง และ 𝑎, 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนัท่ีนยิำมโดย

𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑥3 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 ถ้ำเส้นตรง 5𝑥 − 𝑦 + 13 = 0 สมัผสักรำฟของ 𝑓 ที่ 𝑥 = 1

แล้ว 2

0


42. ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(3) = 111 และ 3

limx

𝑥𝑓(𝑥)−333

𝑥−3 = 2013

แล้วอตัรำกำรเปลีย่นแปลงของ 𝑓(𝑥) เทียบกบั 𝑥 ขณะที่ 𝑥 = 3 เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (มี.ค. 57)

10. พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้

(ก) ให้ P(𝑥, 𝑦) เป็นจดุใดๆ ในระนำบ ถ้ำผลบวกของระยะทำงจำกจดุ P(𝑥, 𝑦) ไปยงัจดุ (0, –2)

และระยะทำงจำกจดุ P(𝑥, 𝑦) ไปยงัจดุ (2, –2) เทำ่กบั 2√5 แล้ว

เซตของจดุ P(𝑥, 𝑦) คือ { (𝑥, 𝑦) | 4𝑥2 + 5𝑦2 − 8𝑥 + 20𝑦 − 12 = 0 }

(ข) จดุ (1, 1) เป็นจดุบนพำรำโบลำ 𝑦 = 𝑥2 อยูใ่กล้กบัเส้นตรง 𝑦 = 2𝑥 – 4 มำกที่สดุ




17. ให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑥 < 2

√𝑥 − 1 , 2 ≤ 𝑥 ≤ 5𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑥 > 5

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนเซตของจ ำนวนจริง แล้ว 𝑎 − 𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 5 2. 8 3. 11 4. 12

18. ถ้ำ 2

2

|𝑥2 − 7𝑥 + 6| 𝑑𝑥 = 𝑎

𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนเต็มที่ 𝑏 ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ 𝑎 และ 𝑏 เทำ่กบั 1

แล้วคำ่ของ 𝑎 + 𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 33 2. 69 3. 102 4. 104

19. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 4𝑥3

𝑥6−3𝑥3+64 เมื่อ 𝑥 เป็นจ ำนวนจริงบวกใดๆ พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้

(ก) 𝑓 เป็นฟังก์ชนัเพิ่มบนชว่ง (0, 3)

(ข) คำ่สงูสดุสมัพทัธ์ของ 𝑓 เทำ่กบั 4

13




38. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง

ถ้ำ 𝑓(1) = 2 และ (𝑓 ∘ 𝑓)(0) = 10 แล้วคำ่ของ 2

1


42. ให้ ℝ แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็นฟังก์ชนัซึง่ 𝑓′′(𝑥) = 3 + 6𝑥 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 และควำมชนัของเส้นสมัผสัโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ จดุ (2, 22) เทำ่กบั 20 แล้วคำ่ของ

4limx

𝑓(𝑥) เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (มี.ค. 56)

20. ก ำหนดให้ C เป็นเส้นโค้ง 𝑦 = 3𝑥4−2

𝑥3 เมื่อ 𝑥 > 0 และให้ L เป็นเส้นตรงที่สมัผสักบัเส้นโค้ง C ที่จดุ (1, 1)

ถ้ำเส้นตรง L ตดักบัพำรำโบลำ 𝑥(𝑥 − 1) = 𝑦 − 1 ที่จดุ A และจดุ B

แล้วระยะหำ่งระหวำ่งจดุ A และจดุ B เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 4√82 2. 8√82 3. 4√41 4. 8√41


38. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {

2𝑥−8

2𝑥−√4𝑥2−3𝑥+12, 𝑥 < 4

𝑘𝑥

3, 𝑥 ≥ 4

โดยที่ 𝑘 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องที่จดุ 𝑥 = 4

แล้ว 𝑓(𝑘 + 1) เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของจ ำนวนจริง โดยที่อตัรำกำรเปลีย่นแปลงของ 𝑓(𝑥) เทียบกบั 𝑥 เทำ่กบั 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 2𝑥)𝑓(𝑥) ถ้ำ 𝑓′(1) = 18 ,

𝑓′′(0) = 6 และ 𝑓(2) = 𝑓(1) + 𝑓(0) แล้วคำ่ของ 𝑔′(−1) เทำ่กบัเทำ่ใด

40. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) เป็นพหนุำมก ำลงัสำม ซึง่มีสมัประสทิธ์ิเป็นจ ำนวนจริง โดยท่ีมี 𝑥 + 1 เป็นตวัประกอบของ 𝑓(𝑥)

5 + 2i เป็นค ำตอบชองสมกำร 𝑓(𝑥) = 0 และ 𝑓(0) = 58 คำ่ของ 2

0

[𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)]𝑑𝑥 เทำ่กบัเทำ่ใด


PAT 1 (ต.ค. 55)

19. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 26𝑥2 + 𝑏𝑥 − 216 เมื่อ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เป็นจ ำนวนจริงสำมจ ำนวนเรียงกนัแบบล ำดบัเรขำคณิต และเป็นค ำตอบของสมกำร 𝑓(𝑥) = 0

แล้ว คำ่ของ 𝑓′(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 211 2. 107 3. 101 4. 85

20. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) เป็นพหนุำมก ำลงัสอง โดยที่ 𝑓(0) = 1 และ 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥 − 1) + 𝑥 + 1 ส ำหรับ

จ ำนวนจริง 𝑥 ใดๆ คำ่ของ 1

2

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 3 2. 2 3. 2

3 4. 1

3


limx

|1+𝑥−2𝑥2|

√𝑥+3−2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −12 2. 0 3. 12 4. หำคำ่ไมไ่ด้


37. ก ำหนดให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 1. (𝑓𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 3 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

2. ฟังก์ชนั 𝑓 และ 𝑔 มีอนพุนัธ์ทกุอนัดบัส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

3. ฟังก์ชนั 𝑓 มีคำ่สงูสดุสมัพทัธ์เทำ่กบั 2 ที่ 𝑥 = 1

4. 𝑔′′(𝑥) = 2 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

ฟังก์ชนั 𝑔 มีคำ่ต ่ำสดุสมัพทัธ์เทำ่กบัเทำ่ใด

38. ก ำหนดให้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุำมที่สอดคล้องกบั 𝑃(𝑥2 + 3) = 3𝑥4 + 24𝑥2 + 40 และให้ 𝑓(𝑥) = x

0

𝑃(𝑡) 𝑑𝑡

คำ่ของ 2

limx

√𝑃(𝑥) − 𝑓(𝑥) เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ก ำหนดให้ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุำมโดยที่ 𝑃(0) = 1 และสอดคล้องกบั 0

limh

3ℎ𝑥+2ℎ

𝑃(𝑥+ℎ+2)+𝑃(ℎ+2)−𝑃(𝑥+2)−𝑃(2) = 1

คำ่ของ 𝑃(12) เทำ่กบัเทำ่ใด


PAT 1 (มี.ค. 55)

16. ให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ก ำหนดให้ 𝑓 : R → R เป็นฟังก์ชนัท่ีมีอนพุนัธ์ทกุอนัดบั โดยที่ 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥 + 1 และ 𝑓′(2) = 2

สมกำรของเส้นตรงทีต่ัง้ฉำกกบัเส้นสมัผสัเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 3) คือข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 𝑦 = −1

2𝑥 + 2 2. 𝑦 =

1

2𝑥 +

5

2

3. 𝑦 = −1

2𝑥 +

5

2 4. 𝑦 =

1

2𝑥 + 2

17. ให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : R → R , 𝑔 : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที ่

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+1

𝑥2+1 เมื่อ 𝑎 เป็นจ ำนวนจริง 𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑓′(𝑥) และ ℎ(𝑥) = {

𝑓(𝑥) เมื่อ 𝑥 ≥ 2

𝑔(𝑥) เมื่อ 𝑥 < 2

ถ้ำฟังก์ชนั ℎ ตอ่เนื่องที่ 𝑥 = 2 แล้ว คำ่ของ 2ℎ(−2) − ℎ(2) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 0.6 2. 0.8 3. 1 4. 3

18. ให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓 : R → R , 𝑔 : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังก์ชนัท่ีมีอนพุนัธ์ทกุอนัดบั

โดยที่ ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 4 , 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥) − 1) และ 𝑓′(1) = 𝑔′(1) = 1

แล้วคำ่ของ 𝑓(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 2 2. 1.5 3. 1 4. 0.5


37. ก ำหนดให้ R แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓 : R → R และ 𝑔 : R → R เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3

และ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 8𝑥3 + 44𝑥2 + 80𝑥 + 48 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

แล้วคำ่ของ ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥6

0 เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริงที่แตกตำ่งกนั และให้ L1 และ L2 เป็นเส้นสมัผสัเส้นโค้ง ท่ี 𝑥 = 𝑎 และ 𝑥 = 𝑏 ตำมล ำดบั

ถ้ำ L1 ขนำนกบั L2 และ 0

limh

9ℎ

𝑓(1+ℎ)−𝑓(1) = 1 แล้วคำ่ของ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

2

0 เทำ่กบัเทำ่ใด

40. จงหำคำ่ของ 4

lim

x

(cot3 𝑥−1) cosec2 𝑥

1+cos 2𝑥−2 sin2 𝑥


PAT 1 (ธ.ค. 54)

17. ก ำหนดให้ 𝑓 : R → R โดยที่ 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3

ถ้ำ N เป็นเส้นตรงทีต่ัง้ฉำกกบัเส้นสมัผสักรำฟของ 𝑓(𝑥) ที่จดุ (𝑎, 𝑓(𝑎)) , 𝑎 > 0

และ N มีระยะตดัแกน 𝑦 เทำ่กบั 52 หนว่ย แล้ว ข้อใดเป็นพิกดัของจดุบนเส้นตรง N

1. (−2, 7) 2. (−1, 4) 3. (2, −4) 4. (3, −5)

18. ก ำหนดให้ A(0, 0), B(1, 0) และ C( 1

2 ,

√3

2 ) เป็นจดุยอดของรูปสำมเหลีย่ม ABC

ถ้ำกรำฟของ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ผำ่นจดุ A(0, 0), B(1, 0)

โดยที่ AC และ BC เป็นเส้นสมัผสักรำฟของ 𝑓 ที่จดุ A(0, 0), B(1, 0) ตำมล ำดบั

แล้วพื่นที่ท่ีปิดล้อมด้วยกรำฟของ 𝑓 และเส้นตรง AB มีคำ่เทำ่ใด

1. √3

6 2. √3

3 3. √3

2 4. 2√3

3

28. ฟังก์ชนั 𝑓, 𝑔, ℎ มีสมบตัวิำ่ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 − 14

𝑓 (𝑥+6

3) = 𝑥 − 2 , ℎ(2𝑥 − 1) = 6𝑔(𝑥) + 12 จงหำคำ่ของ ℎ′(0)


38. ก ำหนดให้ 𝑓 : R → R 𝑓′′(𝑥) = 0 ทกุๆจ ำนวนจริง

ถ้ำ 𝑓(0) = 23 และ 𝑓(1) = 103 แล้ว จงหำคำ่ของ 1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

39. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผำ่นจดุ (0, 10) และมีควำมชนัมำกกวำ่ −1 แตน้่อยกวำ่ 0

ถ้ำพืน้ท่ีของอำณำบริเวณทีถ่กูปิดล้อมด้วยเส้นตรง L กบัแกน 𝑥 จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 6 มีคำ่เทำ่กบั 51 ตำรำงหนว่ย แล้ว จงหำพืน้ท่ีของอำณำบริเวณที่ถกูปิดล้อมด้วยเส้นตรง L กบัแกน 𝑥 จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 3

40. จงหำคำ่ของ 0

limx

𝑥

√𝑥+83

+ √𝑥−83


PAT 1 (มี.ค. 54)


limx

√𝑥3+𝑥2+𝑥

𝑥2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −1

2 2. 1

2 3. −1 4. 1

19. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัพหนุำมทีม่ี 𝑓′′(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓(0) = 2 และกรำฟของ 𝑓 มีจดุต ่ำสดุสมัพทัธ์ที่ (1, −5) แล้ว 2𝑎 + 3𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −12 2. 20 3. 42 4. 48

20. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัก ำหนดโดย 𝑔(𝑥) = 1

2𝑥+3 เมื่อ 𝑥 ≠ −

3

2

ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัท่ี (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 แล้ว 𝑓′′ (1

2) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −1

2 2. 1

2 3. −8 4. 8


42. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัท่ีหำอนพุนัธ์ได้ทกุ 𝑥 ∈ 𝑅

โดยที่ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 5 และ 𝑓(0) = 0

คำ่ของ (𝑓′ ∘ 𝑔′)(1) + (𝑔′ ∘ 𝑓′)(0) เทำ่กบัเทำ่ใด

43. ก ำหนดให้เส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) สมัผสักบัเส้นตรง 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 ที่จดุ (0, 3) และ 2

0

𝑓′′(𝑥) 𝑑𝑥 = −3

ถ้ำ 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑓(𝑥) และ 𝑔′(2) = 0 แล้ว 𝑓(2) เทำ่กบัเทำ่ใด

44. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {

𝑥−3

√2𝑥+10−√𝑥+13เมื่อ 𝑥 ≠ 3

𝑎 เมื่อ 𝑥 = 3

โดยที่ 𝑎 เป็นจ ำนวนจริง

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องทีจ่ดุ 𝑥 = 3 แล้ว 𝑎 เทำ่กบัเทำ่ใด


PAT 1 (ต.ค. 53)

18. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ให้ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่อง ท่ี 𝑥 = 1 และ ให้ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัท่ีก ำหนดโดย

𝑔(𝑥) = {

√𝑥+3−2

√𝑥−1เมื่อ 𝑥 > 1

𝑓(𝑥)

|𝑥|+7เมื่อ 𝑥 ≤ 1

ถ้ำฟังก์ชนั 𝑔 มีควำมตอ่เนื่องที่ 𝑥 = 1 แล้ว คำ่ของ (𝑔 ∘ 𝑓)(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 2 − √3 2. 2 3. 2 − √7 4. √7 − 2

19. ก ำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัพหนุำม โดยที่ 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

ถ้ำมีฟังก์ชนัพหนุำม 𝑄(𝑥) โดยที่ 𝑓(𝑥) = (𝑄(𝑥))2 แล้วคำ่ของ

1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 71

30 2. 31

30 3. 11

30 4. 1

30

47. ให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัซึง่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสบัเซตของเซตของจ ำนวนจริง โดยที่ 𝑓(2𝑥 + 1) = 4𝑥2 + 14𝑥

คำ่ของ 𝑓 (𝑓′(𝑓′′(2553))) เทำ่กบัเทำ่ใด


PAT 1 (ก.ค. 53)

19. ก ำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = {

|𝑥3−1|

𝑥−1, −1 < 𝑥 < 1

𝑎𝑥 + 𝑏 , 1 ≤ 𝑥 < 55 , 𝑥 ≥ 5

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนช่วง (−1, ∞) แล้วคำ่ของ 𝑎𝑏 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 5

4 2. −

7

4 3. 15 4. −10

36. โรงงำนผลติตุ๊กตำแหง่หนึง่ มต้ีนทนุในกำรผลติตุ๊กตำ 𝑥 ตวั โรงงงำนจะต้องเสยีคำ่ใช้จำ่ย 𝑥3 − 450𝑥2 + 60,200𝑥 + 10,000 บำท ถ้ำขำยตุ๊กตำรำคำตวัละ 200 บำท โรงงำนจะต้องผลติตุ๊กตำก่ีตวั จึงจะได้ก ำไรมำกที่สดุ

37. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชนัพหนุำมก ำลงัสอง ถ้ำควำมชนัของเส้นสมัผสัเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 2) มีคำ่

เทำ่กบั 4 และ 2

1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 12 แล้ว 𝑓(−1) + 𝑓′′(−1) มีคำ่เทำ่กบัเทำ่ใด


38. ก ำหนดให้ ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) โดยที่ควำมชนัของเส้นสมัผสัเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (𝑥, 𝑦) เทำ่กบั 2 − 2𝑥 และเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) มีคำ่สงูสดุสมัพทัธ์ เทำ่กบั 5 ถ้ำ 𝑔 เป็นฟังก์ชนัพหนุำม ซึง่มีสมบตัิ 𝑔(2) = 𝑔′(2) = 5 แล้ว ℎ′(2) มีคำ่เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (มี.ค. 53)

18. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = 3𝑥2

3 ,

𝑔(1) = 8 และ 𝑔′(1) =2

3 คำ่ของ (𝑓 ∘ 𝑔)′(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1

3 2. 2

3 3. 1 4. 4

3

37. ก ำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และ 𝑓 เป็นฟังก์ชนั ซึง่ก ำหนดโดย 𝑓(𝑥) = {

𝑥3−3𝑥−2

𝑥−2, 𝑥 < 2

𝑎 − 𝑏 , 𝑥 = 2

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 , 𝑥 > 2

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนเซตของจ ำนวนจริงแล้ว คำ่ของ 𝑎2 + 𝑏2 เทำ่กบัเทำ่ใด


38. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนัโดยที่ 𝑓′(𝑥) = 3√𝑥 + 5 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥

และ 𝑓(1) = 5 แล้วคำ่ของ 4

limx

𝑓(𝑥2)−2

𝑓(𝑥) เทำ่กบัเทำ่ใด

39. ก ำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็นฟังก์ชนั โดยที่ 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 + 4 ส ำหรับทกุจ ำนวนจริง 𝑥 และควำมชนัของเส้นสมัผสัโค้ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (2, 19) เทำ่กบั 19 แล้ว คำ่ของ 𝑓(1) เทำ่กบัเทำ่ใด

PAT 1 (ต.ค. 52)

ตอนที่ 2

17. ถ้ำ 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 1 และ 1

0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 แล้ว |𝑓(1)| มีคำ่เทำ่กบัเทำ่ใด


18. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏√𝑥 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริงที่ 𝑏 ≠ 0

ถ้ำ 2𝑓′(1) = 𝑓(1) แล้ว 𝑓(4)

𝑓′(9) มีคำ่เทำ่ใด

19. ก ำหนดให้ 𝑦 = 𝑓(𝑥) เป็นฟังก์ชนัซึง่มคีำ่สงูสดุที่ 𝑥 = 1 ถ้ำ 𝑓′′(𝑥) = −4 ทกุ 𝑥 และ 𝑓(−1) + 𝑓(3) = 0 แล้ว 𝑓 มีคำ่สงูสดุเทำ่ใด

PAT 1 (ก.ค. 52)

32. ถ้ำ 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 − 5 และ 𝑓(0) = 1 แล้ว 1

1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 มีคำ่เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 5

3 2. 7

3 3. 2

3 4. 1

3


33. ถ้ำ 𝑓, 𝑔 และ ℎ สอดคล้องกบั 𝑓(1) = 𝑔(1) = ℎ(1) = 1 และ 𝑓′(1) = 𝑔′(1) = ℎ′(1) = 2 แล้วคำ่ของ (𝑓𝑔 + ℎ)′(1) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1 2. 2 3. 4 4. 6

34. เส้นตรงซึง่ตดัตัง้ฉำกกบัเส้นสมัผสัของเส้นโค้ง 𝑦 = 2𝑥3 −1

√𝑥 ที่จดุ 𝑥 = 1 คือเส้นตรงในข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 13𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0 2. 13𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0

3. 2𝑥 − 13𝑦 + 11 = 0 4. 2𝑥 + 13𝑦 − 15 = 0

PAT 1 (มี.ค. 52)

31. ถ้ำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … เป็นล ำดบัเรขำคณิตซึง่

1n

𝑎𝑛 = 4 แล้วคำ่มำกที่สดุที่เป็นไปได้ของ 𝑎2 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 4

2. 2

3. 1

4. หำคำ่ไมไ่ด้เพรำะ 𝑎2 มีคำ่มำกได้อยำ่งไมม่ีขีดจ ำกดั


32. ก ำหนดให้

𝐴 แทนพืน้ท่ีของอำณำบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 𝑦 = 1 − 𝑥2 และแกน X

𝐵 แทนพืน้ท่ีของอำณำบริเวณทีใ่ต้เส้นโค้ง 𝑦 =𝑥2

4 เหนือแกน X จำก 𝑥 = −𝑐 ถึง 𝑥 = 𝑐

คำ่ของ 𝑐 ที่ท ำให้ 𝐴 = 𝐵 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. √2 2. 2 3. 2√2 4. 4

33. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥2 + 7 𝑓 เป็นฟังก์ชนัเพิ่มบนเซตในข้อใดตอ่ไปนี ้

1. (−3, −2) ∪ (2, 3) 2. (−3, −2) ∪ (1, 2)

3. (−1, 0) ∪ (2, 3) 4. (−1, 0) ∪ (1, 2)

34. ถ้ำ 𝑓′(𝑥) =1

2(

1

√𝑥+

1

√𝑥3) แล้วคำ่ของ

0limh

𝑓(1+ℎ)−𝑓(1)

𝑓(4+ℎ)−𝑓(4) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 1 2. 16

5 3. 7

5 4. 1

5


A-NET 52


19. ก ำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง ถ้ำ 𝑓(𝑥) = {(𝑥 − 1)2 , 𝑥 ≥ 1

𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑥 , 𝑥 < 1 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่อง

และหำอนพุนัธ์ได้ที่จดุ 𝑥 = 1 แล้ว 𝑓(−1) มีคำ่เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. −6 2. −4 3. 0 4. 4

20. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 6 ถ้ำ 𝑃 เป็นจดุบนกรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่ให้คำ่สงูสดุสมัพทัธ์ของ 𝑓

แล้ว เส้นตรงที่ผำ่นจดุ 𝑃 และจดุ (2, 6) มีควำมชนัเทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. −1 2. −

2

3 3. 2

3 4. 2


4. พืน้ท่ีของอำณำบริเวณที่อยูร่ะหวำ่งเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥 และแกน 𝑋 เมื่อ 𝑥 อยูใ่นชว่ง [−2, 1] มีคำ่เทำ่ใด


A-NET 51


2. ก ำหนดให้ 𝐼(𝑎) = a

a (𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 ส ำหรับ 𝑎 ∈ [0, ∞)

ประโยคในข้อใดตอ่ไปนีม้คีำ่ควำมจริงเป็นจริง เมื่อเอกภพสมัพทัธ์คือช่วง [0, ∞)

1. ∀𝑎[𝐼(𝑎) > 0] 2. ∀𝑎[(𝐼(𝑎) = 0) → (𝑎 = 0)]

3. ∃𝑎[(𝑎 > 2) ∧ (𝐼(𝑎) < 0)] 4. ∃𝑎[(𝑎 ≠ 0) ∧ (𝐼(𝑎) = 0)]

19. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัท่ีนิยำมบนช่วง (0, ∞) โดยที่ 𝑓(2) = 2𝑓(1) และ 𝑓′(𝑥) = 27𝑥 −

1

𝑥2 ถ้ำ L เป็นเส้นสมัผสักรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 𝑓(1)) แล้ว จดุในข้อใดตอ่ไปนีอ้ยูบ่น L

1. (2, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96)

20. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัพหนุำมก ำลงัสำม ซึง่นิยำมบนช่วง [−2, 2] โดยที่ 𝑓(0) = 1, 𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มีคำ่ต ่ำสดุที่ 𝑥 = 1, มีคำ่สงูสดุที่ 𝑥 = −1 พิจำรณำข้อควำมตอ่ไปนี ้

ก. 𝑓(−2) ≤ 𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ [−2, 2]

ข. 𝑓(2) ≥ 𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ [−2, 2]

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด



9. ก ำหนดให้ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่อง ที่นิยำมโดย

𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥2 + 𝑏 เมื่อ 𝑥 ≥ 0

𝑥3 + 1 เมื่อ 𝑥 < 0

ถ้ำ 𝑓′(1) = 4 แล้ว (𝑓 ∘ 𝑓) (−1

√23 ) มีคำ่เทำ่ใด

10. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 3 เมื่อ 𝑥 < −1

−2𝑥3 เมื่อ 𝑥 ≥ −1

พืน้ท่ีที่ปิดล้อมด้วยกรำฟของ 𝑓 บนช่วง [−4, 0] มีคำ่เทำ่ใด

A-NET 50

ตอนที่ 1 20. ก ำหนดให้ 𝑎, 𝑏 เป็นจ ำนวนจริง และ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัซึง่นิยำมโดย

𝑓(𝑥) = {

(𝑥 − 1)2 + 1 เมื่อ 𝑥 < 0

𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥 − 𝑏 เมื่อ 𝑥 > 1

ถ้ำ 𝑓 เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนช่วง [−2, 2] แล้ว 𝑓 (1

2) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 0 2. 0.25 3. 0.5 4. 0.75


21. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 1 +𝑎

𝑥 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏 ถ้ำ (𝑓 ∘ 𝑔)(0) =

1

2 และ 𝑓′′(−1) = 2 แล้ว (𝑓

𝑔)

′(𝑎 + 𝑏)

เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. −

1

3 2. −

1

4 3. 1

4 4. 1

3

22. พืน้ท่ีของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 และแกน X จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 4 เทำ่กบัข้อใด

ตอ่ไปนี ้ 1. 16 ตำรำงหนว่ย 2. 16.25 ตำรำงหนว่ย

3. 16.5 ตำรำงหนว่ย 4. 17 ตำรำงหนว่ย


5. 1

limx

(1

1−𝑥−

1

2−3𝑥+𝑥2) มีคำ่เทำ่ใด


A-NET 49


17. ก ำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {𝑥2 เมื่อ 𝑥 < 0

2𝑥 − 1 เมื่อ 0 ≤ 𝑥 < 1

3𝑥 เมื่อ 𝑥 > 1

คำ่ของ 0

limx

𝑓(𝑥2) +0

limx

𝑓(1 − 𝑥) เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

18. ถ้ำ 𝑃(𝑥) เป็นพหนุำมดีกรีสำม ซึง่มี 1, 2, 3 เป็นค ำตอบของสมกำร 𝑃(𝑥) = 0 และ 𝑃(4) = 5 แล้ว 𝑃′(1) มีคำ่

เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. −6

7 2. −

5

6 3. 4

5 4. 5

3

19. ก ำหนดให้ กรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) มีควำมชนัที่จดุ (𝑥, 𝑦) ใดๆ เป็น 2𝑥 + 2 และ 𝑓 มีคำ่ต ำ่สดุสมัพทัธ์เทำ่กบั −3

พืน้ท่ีของอำณำบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) แกน X เส้นตรง 𝑥 = −1 และเส้นตรง 𝑥 = 0 เทำ่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 7

3 ตำรำงหนว่ย 2. 8

3 ตำรำงหนว่ย

3. 9 ตำรำงหนว่ย 4. 12 ตำรำงหนว่ย


เฉลย

PAT 1 (มี.ค. 59) 17. 1 28. 1 34. 3 40. 48 42. 9 PAT 1 (ต.ค. 58) 13. 1 14. 1 15. 2 33. 5 34. 9.25 PAT 1 (มี.ค. 58) 16. 3 17. 4 35. 35 40. 132 41. 15 PAT 1 (พ.ย. 57) 7. 1 16. 3 19. 4 41. 34.5 44. 4 PAT 1 (เม.ย. 57) 17. 2 18. 3 19. 2 41. 38 42. 634 PAT 1 (มี.ค. 57) 10. 3 17. 2 18. 4 19. 3 38. 12 42. 100 PAT 1 (มี.ค. 56) 20. 2 38. 24 39. 354 40. 168 PAT 1 (ต.ค. 55) 19. 2 20. 1 21. 3 37. 2.25 38. 3 39. 157 PAT 1 (มี.ค. 55) 16. 2 17. 4 18. 2 37. 990 39. 4 40. 3 PAT 1 (ธ.ค. 54) 17. 2 18. 1 28. 3 38. 63 39. 27.75 40. 6 PAT 1 (มี.ค. 54) 18. 1 19. 3 20. 4 42. 1 43. 8 44. 8 PAT 1 (ต.ค. 53) 18. 4 19. 3 47. 120 PAT 1 (ก.ค. 53) 19. 4 36. 0 37. 18 38. 10 PAT 1 (มี.ค. 53) 18. 2 37. 53 38. 6 39. 7 PAT 1 (ต.ค. 52) 2/17. 0.25 2/18. 12 2/19. 8 PAT 1 (ก.ค. 52) 32. 2 33. 4 34. 4 PAT 1 (มี.ค. 52) 31. 3 32. 2 33. 3 34. 2 A-NET 52 1/19. 2 1/20. 2 2/4. 5.75 A-NET 51 1/2. 4 1/19. 2 1/20. 1 2/9. 1.5 2/10. 3 A-NET 50 1/20. (0.125) 1/21. 4 1/22. (37.33) 2/5. 1 A-NET 49 1/17. 3 1/18. 4 1/19. 2

เมื่อ และ เป็นจ...

Documents