A-NET (มี.ค. 50) 1

A-NET 50

รหสัวิชา 14 วิชา คณิตศาสตร์ วนัเสาร์ที่ 3 มีนาคม 2550 เวลา 12.00 - 14.00 น.

ข้อ 1 - 25 ข้อละ 3 คะแนน 1. ก าหนดให้ { | ( )( ) } และ { | }

เซต เป็นสบัเซตของชว่งในข้อใดตอ่ไปนี ้

1. (

) 2. (

) 3. (

) 4. (

)

2. พิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้ก. ให้เอกภพสมัพทัธ์คอืเซตของจ านวนเฉพาะบวก

ข้อความ มีคา่ความจริงเป็นจริง ข. นิเสธของข้อความ [ ( ) ( ) ( ) ]

คือ ( ) ( ) ( )

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

23 Jul 2014

2 A-NET (มี.ค. 50)

3. ก าหนดเหตใุห้ดงันี ้1. เอกภพสมัพทัธ์ไมเ่ป็นเซตวา่ง 2. ( ) ( )

3. ( ) ( )

4. ( )

ข้อความในข้อใดตอ่ไปนีเ้ป็นผลที่ท าให้การอ้างเหตผุล สมเหตสุมผล

1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( )

4. ก าหนดให้ {( ) | } {( ) | } เซตในข้อใดตอ่ไปนีเ้ป็นสบัเซตของ

1. 2. 3. 4.

5. ก าหนดให้ เป็นฟังก์ชนัซึง่ ( ) ( ) และ ( ) ,

ถ้า ( ) แล้ว อยูใ่นเซตใดตอ่ไปนี ้1. [10, 40] 2. [40, 70] 3. [70, 100] 4. [100, 130]

A-NET (มี.ค. 50) 3

6. ก าหนดให้ เป็นจ านวนจริง และ [

] [

]

ถ้า ( ) แล้ว ( ) เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้1. 0.5 2. 1.5 3. 3.5 4. 4.5

7. ถ้า และ เป็นจ านวนจริงที่ท าให้วงรี มีจดุศนูย์กลางอยูท่ี่จดุ (4, 3) และสมัผสัแกน Y แล้ว ข้อใดตอ่ไปนีผิ้ด 1. ความยาวแกนเอกเทา่กบั 12 หน่วย

2. ความยาวแกนโทเทา่กบั 8 หนว่ย

3. ระยะหา่งระหวา่งจดุโฟกสัทัง้สองเทา่กบั √ หนว่ย

4. จดุ (2, 6) อยูบ่นวงรี

8. วงกลม C มีจดุศนูย์กลางทีจ่ดุก าเนิด และผา่นจดุโฟกสัของพาราโบลาซึง่มีสมการเป็น ( ) โดยเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลาตดัวงกลม C ที่จดุ P และจดุ Q ถ้าจดุ R อยูบ่นพาราโบลาและอยูห่า่งจากจดุโฟกสัเป็นระยะทาง 4 หนว่ย แล้ว สามเหลีย่ม PQR มีพืน้ท่ีเทา่กบัข้อใด 1. 8 หนว่ย 2. 9 หนว่ย 3. 10 หนว่ย 4. 12 หนว่ย

4 A-NET (มี.ค. 50)

9. ก าหนดให้ { |

และ ( ) }

ผลบวกของสมาชิกทัง้หมดในเซต มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

10. ให้ ̅ ̅ ̅ ̅ และ ̅ ̅ ̅โดยที่ เป็นจ านวนเต็มบวก และ เป็นมมุระหวา่ง ̅ และ ̅ ถ้า | ̅| และ

แล้ว ̅ ̅ มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. ̅ ̅ ̅ 2. ̅ ̅ ̅

3. 12 ̅ ̅ ̅ 4. ̅ ̅ ̅

11. ก าหนดให้ ( ) ( ) ( ) เป็นจดุบนระนาบ ถ้า ̅ ̅ ̅ ( เป็นจ านวนจริง) เป็นเวกเตอร์ซึง่มีทิศทางขนานกบัเส้นตรงซึง่แบง่คร่ึงมมุ ̂ แล้ว

มคีา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 2 2. 3.

4.

A-NET (มี.ค. 50) 5

12. พิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้

ก.

ข. ถ้า และ ( )

แล้ว (

)

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

13. ก าหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลีย่มซึง่มีด้านตรงข้ามมมุ A, B, C ยาว ตามล าดบั ถ้า แล้ว มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1.

2.

3.

4.

14. ก าหนดฟังก์ชนัจดุประสงค์และอสมการข้อจ ากดัเป็นดงันี ้

คา่ต า่สดุของ เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ 1. 108 2. 112 3. 136 4. 152

= 40 + 32 6 + 2 12 2 + 2 ≤ 8 4 + 12 24

6 A-NET (มี.ค. 50)

15. ให้ เป็นค าตอบของสมการ (

)

แล้ว ( ) มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้1. 1 2. 3.

4.

16. ให้ เป็นจ านวนเชิงซ้อน ซึง่ และ

แล้ว |

√

|

มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้1. 4 2. 5 3. 7 4. 8

17. จดัคน 8 คน ซึง่มีสมชาย สมคิด และสมศรี รวมอยูด้่วย เข้านัง่เรียงกนัเป็นแถวตรง โดยที่สมศรีนัง่กลางตดิกบัสมชายและสมคิดเสมอ จ านวนวิธีการจดัที่นัง่ดงักลา่วมีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้1. 360 2. 720 3. 1080 4. 1440

A-NET (มี.ค. 50) 7

18. กลอ่งใบหนึง่มีบตัร 10 ใบ แตล่ะใบมีหมายเลข 0, 1, … บตัรละหนึง่หมายเลข ถ้าหยิบบตัรจากกลอ่งพร้อมกนั 3 ใบ ความนา่จะเป็นท่ีจะได้บตัรหมายเลขคูท่กุใบ และมีแต้มรวมกนัมากกวา่ 10 มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้1.

2.

3.

4.

19. ก าหนดให้

และ

ถ้า และ เป็นผลบวกของอนกุรม

1n

และ

1n

ตามล าดบั แล้ว เทา่กบัข้อใด 1. 4.5 2. 5 3. 5.5 4. 6

20. ก าหนดให้ เป็นจ านวนจริง และ เป็นฟังก์ชนัซึง่นิยามโดย

( ) {

( ) เมื่อ

เมื่อ ≤ ≤

เมื่อ

ถ้า เป็นฟังก์ชนัตอ่เนื่องบนช่วง แล้ว (

) เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้

1. 0 2. 0.25 3. 0.5 4. 0.75

8 A-NET (มี.ค. 50)

21. ก าหนดให้ ( )

และ ( ) ถ้า ( )( )

และ ( ) แล้ว (

) ( )

เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้1.

2.

3.

4.

22. พืน้ท่ีของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง และแกน X จาก ถึง เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้1. 16 ตารางหนว่ย 2. 16.25 ตารางหนว่ย

3. 16.5 ตารางหนว่ย 4. 17 ตารางหนว่ย

23. ตารางตอ่ไปนีเ้ป็นคะแนนสอบวิชาหนึง่ของนกัเรียน 40 คน คะแนน จ านวนนกัเรียน ( )

10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39

4 6 8 4 6

โดยมีคะแนนเฉลีย่ ( ) เทา่กบั 24.5 และ

3

1i

( ) ถ้าสว่นเบี่ยงเบนควอไทล์เทา่กบั และสว่น

เบี่ยงเบนเฉลีย่เทา่กบั แล้ว ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู 1. และ 2. และ

3. และ 4. และ

A-NET (มี.ค. 50) 9

24. สมศกัดิ์สอบวชิาคณิตศาสตร์สองครัง้ โดยท่ีได้คา่มาตรฐานของคะแนนสอบครัง้ท่ีหนึง่เป็น 1.96 และได้คะแนนในการสอบครัง้ที่สองคิดเป็นต าแหนง่เปอร์เซนไทล์ที่ 98.3 ในการสอบทัง้สองครัง้นี ้คะแนนสอบมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลีย่เทา่กนั และสว่นเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครัง้ที่หนึง่และครัง้ที่สองเทา่กบั 10 และ 5 ตามล าดบั พิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้

ก. คะแนนสอบท่ีได้ในครัง้ที่หนึง่ น้อยกวา่ ครัง้ที่สอง ข. คา่มาตรฐานของคะแนนสอบครัง้ที่หนึง่ น้อยกวา่ ครัง้ที่สอง

ตารางแสดงพืน้ท่ีใต้เส้นโค้งปกตมิาตรฐานระหวา่ง 0 ถึง เป็นดงันี ้

1.53 1.96 2.12 2.35

พืน้ที่ใต้เส้นโค้ง 0.4370 0.4750 0.4830 0.4906

ข้อใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ก. ถกู และ ข. ถกู 2. ก. ถกู และ ข. ผิด

3. ก. ผิด และ ข. ถกู 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

25. ถ้าน า้หนกัของนกัเรียนชัน้ประถมปีที่ 1 ของโรงเรียนแหง่หนึง่มีการแจกแจงปกติ โดยมมีธัยฐานเทา่กบั 10 กิโลกรัม และสมัประสทิธ์ิของการแปรผนัเทา่กบั 0.2 นกัเรียนที่หนกัมากกวา่ 13 กิโลกรัม และหนกัน้อยกวา่ 8 กิโลกรัม คิดเป็นเปอร์เซ็นต์เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ตารางแสดงพืน้ท่ีใต้เส้นโค้งปกตมิาตรฐานระหวา่ง 0 ถึง เป็นดงันี ้

.75 1 1.25 1.5

พืน้ที่ใต้เส้นโค้ง 0.2734 0.3413 0.3944 0.4332

1. 9.19 % 2. 22.55 % 3. 40.81 % 4. 69.19 %

10 A-NET (มี.ค. 50)

ข้อ 1 - 5 ข้อละ 2 คะแนน

1. ก าหนดให้ เป็นจ านวนเต็มบวกที่มีคา่น้อยที่สดุ ซึง่หารด้วย 7 แล้วมีเศษเหลอืเทา่กบั 4 ถ้า 9 และ 11 ตา่งก็หาร ลงตวัแล้ว คือจ านวนใด

2. ถ้าเส้นก ากบัของไฮเพอร์โบลา ตดัแกน X ที่จดุ แล้ว ระยะระหวา่ง ยาวก่ีหนว่ย

3. ถ้า แล้ว คา่ของ ซึง่สอดคล้องสมการ เทา่กบัเทา่ใด

A-NET (มี.ค. 50) 11

4. ก าหนดให้ [

] ถ้า ( ) แล้ว ( ) มีคา่เทา่ใด

5. 1

limx

(

) มีคา่เทา่ใด

ข้อ 6 - 10 ข้อละ 3 คะแนน

6. ถ้าเซตค าตอบของอสมการ | | ( ) คือช่วง ( ) แล้ว มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

12 A-NET (มี.ค. 50)

7. ก าหนดให้ ( ) และ ( ) ถ้า เป็นฟังก์ชนั ซึง่ท าให้ แล้ว ( ) มีคา่เทา่ใด

8. ให้ ( ) และ ( ) เป็นตวัประกอบของฟังก์ชนั ( ) แล้ว ( ) หาร ( ) เหลอืเศษเทา่ไร

A-NET (มี.ค. 50) 13

9. ในการทดสอบวิชาคณิตศาสตร์พบวา่ คะแนนสอบของนกัเรียนมีการแจกแจงปกติ สว่นเบีย่งเบนควอไทล์เทา่กบั 6 สมัประสทิธ์ิควอไทล์เทา่กบั 0.6 คะแนนเฉลีย่ของการสอบครัง้นีม้คีา่เทา่กบัเทา่ใด

10. ถ้าความสมัพนัธ์เชิงฟังก์ชนัของข้อมลูชดุหนึง่ระหวา่งตวัแปร และ มีกราฟเป็นเส้นตรง โดยที ่

8

1i

,

8

1i

,

8

1i

8

1i

,

8

1i

ถ้า แล้ว จะประมาณคา่ ได้เทา่ใด (ตอบเป็นทศนิยมสองต ำแหน่ง)

14 A-NET (มี.ค. 50)

เฉลย

1. 2 8. 1 15. 4 22. (37.33) 4. 16 2. 3 9. 2 16. 3 23. 1 5. 1 3. 2 10. 1 17. 4 24. 3 6. 2 4. 4 11. 4 18. 3 25. 2 7. 28 5. 1 12. 1 19. 2 1. 200 8. 25 6. 3 13. 3 20. (0.125) 2. 3 9. 10 7. 4 14. 1 21. 4 3 2.09 10. 2.33

แนวคิด ตอนที่ 1

3. 2

สมมติให้เหตทุัง้ 4 ข้อเป็นจริง เราจะตรวจสอบวา่ผลในข้อใดที่ถ้าเป็นเท็จแล้วจะท าให้เกิดการขดัแย้ง จาก ( ) เป็นจริง แสดงวา่ต้องมี ในเอกภพสมัพทธ์ ท่ีท าให้ ( ) เป็นจริง จะได้ ( ) ต้องเป็นเทจ็

จาก ( ) ( ) เป็นจริง แสดงวา่ทกุตวัในเอกภาพสมัพทัธ์ (รวมทัง้ ด้วย) ต้องท าให้ ( ) ( ) เป็นจริง นัน่คือ จะได้วา่ ( ) ( ) ต้องเป็นจริง แตจ่าก ( ) เป็นเท็จ จะต้องได้ ( ) เป็นจริง ถึงจะท าให้ ( ) ( ) เป็นจริงได้

เนื่องจาก ( ) เป็นจริง จึงสามารถสรุปได้วา่ มี ในเอกภพสมัพทธ์ ท่ีท าให้ ( ) เป็นจริง ดงันัน้ ประโยค ( ) จึงเป็นจริง ไมส่ามารถเป็นเท็จได้ ดงันัน้ ผลสรุปในข้อ 2 จึงสมเหตสุมผล หมายเหต ุ: หนงัสอืบางเลม่ เฉลยข้อ 4 ซึง่จะมีตวัอยา่งค้านได้

เช่น ถ้า = { } , ( ) แทนประโยค = 0 , ( ) แทนประโยค < 0 , ( ) แทนประโยค > 0

จะท าให้ ( ) ( ) จริง เพราะ ( ) และ ( ) เป็นเท็จ ได้ประโยคในรูป F ? ซึง่เป็นจริงเสมอ

และ ( ) ( ) เป็นจริง เพราะ ( ) เป็นจริง กบั ( ) เป็นจริง และ ( ) เป็นจริง เพราะมี ( ) เป็นเท็จ

แตจ่ะเห็นวา่ตวัเลอืก ( ) เป็นเท็จ เพราะมี ( ) เป็นเท็จ จงึไมส่มเหตสุมผล

6. 3

เนื่องจาก เมทริกซ์สลบัท่ีการคณูไมไ่ด้

จึงต้องคอ่ยๆกระจาย ( )

และระวงัต าแหนง่ซ้ายขวา

แก้สมการ จะได้ =

, = 2

ดงันัน้ det = (1)(2) – (1)(

) = 3.5

9. 2

( ) = ( ) = ( ) =

( ) = ( )( ) = = =

[

] [

] = [

] [

]

[

] = [

]

A-NET (มี.ค. 50) 15

( ) = (ถอดรูท 3 ทัง้สองข้าง) = = 0 ( )( ) = 0 จะได้ = หรือ = แตจ่ะเหน็วา่ ถ้า = จะท าให้หลงั log บางตวัเป็นลบ ดงันัน้ เหลอื = เทา่นัน้ ซึง่จะได้

= 4

ตอนที่ 2

3. 2.09

= +

= ( ) = (

) ( ) = ( + ) ( ) = ( ) = + 2(1.59) = 4.18 = 2.09 =

4. 16

( ) = ( ) |

| = ( ) =

แตโ่จทย์ให้ ( ) ดงันัน้ 3 + = 4 จะได้ = 1

จะได้ ( ) = = |

| = ( ) = 16