บทที่ 6 การแจกแจงของตัวสถ ิติ...316 204 สถ ต...

316 204 สถตเบองตน หนา 1 จาก 32

บทท 6 การแจกแจงของตวสถต

ประกอบดวยการแจกแจงของตวสถต ทนาสนใจและนาศกษา ดงตอไปน 6.1 ประชากร และตวอยาง 6.2 การแจกแจงของคาเฉลยของตวอยาง (Sampling Distribution of X ) - การแจกแจงแบบปกต (Normal Distribution) 6.3 การแจกแจงของผลตางของคาเฉลยของตวอยาง (Sampling Distribution of )( 21 XX − ) - การแจกแจงแบบปกต (Normal Distribution) 6.4 การแจกแจงของสดสวนของตวอยาง (Sampling Distribution of p ) - การแจกแจงแบบปกต (Normal Distribution) 6.5 การแจกแจงของผลตางของสดสวนตวอยาง (Sampling Distribution of )ˆˆ( 21 pp − ) - การแจกแจงแบบปกต (Normal Distribution) 6.6 การแจกแจงแบบท (t distribution) - การแจกแจงของคาเฉลยของตวอยาง (Sampling Distribution of X ) - การแจกแจงของผลตางของคาเฉลยของตวอยาง (Sampling Distribution of )( 21 XX − ) 6.7 การแจกแจงของความแปรปรวนของตวอยาง (Sampling Distribution of 2S ) - การแจกแจงแบบไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) 6.8 การแจกแจงของอตราสวนความแปรปรวนของตวอยาง (Sampling

Distribution of 22

21

SS )

- การแจกแจงแบบเอฟ (F distribution)


บทท 6 การแจกแจงของตวสถต

ตวสถตเปนตวแปรสม ทไดมาจาก “ตวอยางสม” ซงสามารถหาการแจกแจงของตวสถตไดเชนเดยวกนกบตวแปรสมอน ๆ มวตถประสงคเพอ ตองการอธบายลกษณะหรอคณสมบตบางอยางของประชากร หรอเรยกวา “สถตอนมาน”

6.1 ประชากร และตวอยาง ประชากร (Population) คอ เซทของหนวยตวอยาง (Sampling unit) ทงหมด พารามเตอร (Parameter) คอ คาคงททแสดงลกษณะบางประการของประชากร ไดแก ให N คอ ขนาดของประชากร หรอจานวนหนวยตวอยางทงหมด

คาเฉลยของประชากร µ= N

XN

ii∑

== 1

ความแปรปรวนของประชากร 2σ= N

XN

ii∑

=

−= 1

2)( µ

คาเบยงเบนมาตรฐานของประชากร σ= N

XN

ii∑

=

−= 1

2)( µ

วตถประสงคการวจยเพอ “ตองการทราบจานวนโทรทศนเฉลยตอครวเรอนในอาเภอหนงซงม 000,10 ครวเรอน” ประชากร คอ จานวนครวเรอน 000,10 ครวเรอน หนวยตวอยาง คอ ครวเรอน พารามเตอร คอ จานวนโทรทศนเฉลยตอครวเรอน (µ ) เนองจากประชากรมจานวนมาก จงตองเลอกเพยงบางหนวยมาเปนตวอยาง ดงนน เราตองการเลอก “ตวอยาง (Sample)” เพอใหเปนตวแทนทดของประชากร ซงมความสาคญเปนอยางยง เพราะถาเลอก “ตวอยาง” ทไมเหมาะสมแลว จะทาใหการอธบายหรอการสรปผลเกยวกบประชากรผดพลาด วธการเลอกตวอยางเพอเปนตวแทนทด คอ วธการสมตวอยาง (Random sampling) จงเรยก“ตวอยาง” ทไดวา “ตวอยางสม (Random sample)” วธการสมตวอยาง ขนอยกบลกษณะของประชากร แบงออกเปน 4 วธ ดงน

1) การสมตวอยางแบบงาย (Simple Random Sampling, SRS) เปนวธการเลอกตวอยางทใหแตละตวอยางมโอกาสทจะถกเลอกเทา ๆ กน หรอใหแตละหนวยของประชากรมโอกาสทจะถกเลอกเทา ๆ กน ซงการเลอกหนวยจากประชากร ม 2 แบบ คอ แบบไมใสคน (Sampling without Replacement) และแบบใส

316 204 สถตเบองตน หนา 3 จาก 32 คน (Sampling with replacement) ซงการสมแบบใสคนจะถอเสมอนวาประชากรอนนต แตในทางปฏบตงานจรงมกนยมใชการสมแบบไมใสคน กระทาไดดงน 1.1) การจบฉลาก โดยทาฉลาก และใหหมายเลขกบทกหนวยของประชากร นาฉลากมาใสกลองคนใหคละกน แลวหยบอยางไมเจาะจงตามจานวนทกาหนดไว เชน ตองการสมนกศกษามาเปนตวอยาง 5=n คน จากประชากร 10=N คน

รหส/ชอนกศกษา A B C D E F G H I J ใหหมายเลข 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 สมแบบไมใสคน ไดหมายเลข 3, 0, 5, 2, 9 ตวอยางทได คอ D, A, F, C, J สมแบบใสคน ไดหมายเลข 6, 8, 0, 2, 2 ตวอยางทได คอ G, I, A, C, C 1.2) ใชตารางเลขสม (ตารางท 1) ประกอบดวยตวเลข 10 ตว คอ 0 – 9 ซงตวเลขแตละตวมโอกาสเกดขนเทา ๆ กน ดงในตารางสถต ดงน ตารางท 1 Ten Thousand Random Digits (เลขสม จานวน 10,000 ตว)

00-04 05-09 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 10-44 45-4900 88758 66605 33843 43623 62774 ... .. 6075101 02 03 ... 09 21717 13141 22707 68165 58440 19187 08421 23872 03036 34208... 99

เชน ตองการสมนกศกษามาเปนตวอยาง 5=n คน จากประชากร 10=N คน

รหส/ชอนกศกษา A B C D E F G H I J ใหหมายเลข 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 สมแบบไมใสคน คดในใจวา จะเลอกเลขสมในแถว 09 คอลมน 06 คอ เลข 3 และเลอกตอจากเลข 3 ไปทางใดกได ในทนไปทางขวาตามลาดบ เลขทได คอ เลข 1, 4, 2, 7 จะไดนกศกษาทตกเปนตวอยาง คอ D, B, E, C, H สมแบบใสคน คดในใจวา จะเลอกเลขสมในแถวท 09 คอลมนท 06 คอ เลข 3 และเลอกตอจากเลข 3 ไปทางใดกได ในทนไปทางขวาตามลาดบ เลขทได คอ เลข 1, 4, 1, 2 จะไดนกศกษาทตกเปนตวอยาง คอ D, A, E, A, C

ตองการสมนกศกษามาเปนตวอยาง 5=n คน จากประชากร 100=N คน

รหส/ชอนกศกษา A B C D E F G H ... … ใหหมายเลข 1 2 3 4 5 6 7 8 … 100 สมแบบไมใสคน : คดในใจวา จะเลอกเลขสมในแถว 09 คอลมน 06 คอ


เลข 314, 830, 751, 967, 626, 177, 625, 508, 145, 790, 199, 377, 694, 774, 332, 310, 833, 018, 077, 557, 240, … จนครบตามทกาหนดไว จะไดนกศกษาทตกเปนตวอยาง คอ ชอผทตรงกบหมายเลข 018, 077, ... สมแบบใสคน : ดาเนนการเชนเดยวกนกบขางตน แตซาหมายเลขได

2) การสมตวอยางแบบมระบบ (Systematic Sampling) มลกษณะการเลอกททาใหหนวยตวอยางกระจายไปทวทงประชากร โดยหนวย

แรกใชเลขสม r )1( kr ≤≤ สวนหนวยตอไปกาหนดเปนทก ๆ nNk = ดงน

หนวยทตกเปนตวอยาง คอ ,r ,kr + ,2kr + ,3kr + ,4kr + ... ตองการสมนกศกษามาเปนตวอยาง 5=n คน จากประชากร 10=N คน

รหส/ชอนกศกษา A B C D E F G H I J ใหหมายเลข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

หาคา nNk = 2

510

==

สมหนวยแรก แทนดวย r ได เลข 2 ดงนนหนวยถดไป คอ 2 + 2 = 4, 2 + 2(2) = 6, 2+3(2) = 8, 2+4(2) = 10

จะไดนกศกษาทตกเปนตวอยาง คอ B, D, F, H, J 3) การสมตวอยางแบบแบงชนภม (Stratified Sampling) แบงประชากรออกเปนชนภม (Stratum) ทไมซาซอนกน การเลอกหนวยตวอยางจากแตละชนภมจะกระทาอยางเปนอสระกนแตใชวธการเลอกหนวยตวอยางทเหมอนกน เชน แบงนกศกษาคณะวทยาศาสตรตามชนปท 1, 2, 3, 4 เปนตน

การแบงประชากรออกเปน 4 ชนภม ชนภมท 1 ชนภมท 2 ชนภมท 3 ชนภมท 4 4) การสมตวอยางแบบกลม (Cluster Sampling) เปนวธทใชแกปญหาการไมมกรอบสาหรบเลอกตวอยาง หรอเพอตองการลดคาใชจายการเดนทางระหวางหนวยตวอยาง โดยใหแตละกลมยอยประกอบดวยหนวยทมลกษณะทสนใจทกลกษณะ เชน ประเทศไทยแบงออกเปน 76 จงหวด แตละจงหวดประชากรจะมลกษณะตาง ๆ คอ รายได อาชพ การศกษา จานวนบตร เปนตน ดงนน 1 จงหวด เปน 1 กลม สมบางจงหวดขนมาศกษา โดยใชตารางเลขสม เชน

การแบงประชากรออกเปน 76 กลม ใหในแตละกลมมทก ๆ ลกษณะ

◊□ O OO ◊ O O O □

OOOOOOO OOOOOOO

□□ □ □ □

◊ ◊ ◊ ◊ ◊


ขอนแกน เชยงใหม ภเกต สพรรณบร อยธยา ตวอยางสม (Random Sample) หมายถง “เซตของตวแปรสม n ตว ทเปนอสระกน แตละตวแปรสมมการแจกแจงเหมอนกนและเหมอนกบการแจกแจงของประชากร” ซง ”ไดมาจากการ เลอกตวอยางแบบสมจากประชากรอนนต (Infinite population)” หรอ “ไดมาจากการทดลองสมททาซา ๆ กน”

ตวอยาง ตองการทราบ “จานวนโทรทศนเฉลยตอครวเรอนของหมบาน A” นนคอ ตองการหาคา “ µ ” ซงหมบาน A มจานวน 100 ครวเรอน

ให X เปนตวแปรสม แทน จานวนโทรทศนในหนงครวเรอน

สมมตวา ทราบการแจกแจงความนาจะเปนของ X ดงขางลาง (ปกตจะไมทราบ ทสมมตเพอใหสะดวกในการอธบายความหมายของ “ตวอยางสม”) ดงน

X : จานวนโทรทศนตอครวเรอน (เครอง) 0 1 2 3 จานวนครวเรอน 20 40 30 10 f(x) : ฟงกชนความนาจะเปน 0.2 0.4 0.3 0.1

ประชากร 100=N ครวเรอน ตวอยางสม 30=n -แบบไมใสคนจะได = 30100C ชด

-แบบใสคนจะได = 30)100( ชด ….. สม สม สม ......

เชน - เลอกตวอยางสมไดชดท 9 มขอมลเปน ),...,,( 3021 XXX คอ )1,...,2,1,3,0,2( - เลอกตวอยางสมไดชดท 22 มขอมลเปน ),...,,( 3021 XXX คอ )3,...,2,3,0,1,1( … … …

X ∼ )(xf

ตวอยางสมชดท 22 ),...,,( 3021 XXX

ตวอยางสมชดท 100C30 ),...,,( 3021 XXX

ตวอยางสมชดท 9 ),...,,( 3021 XXX

OO O □ O ◊

OO O □◊

O O O □ ◊

O ◊O □ O ◊

◊□ O OO ◊ O O O □

O◊ O □◊O


เนองจากประชากรมขนาดใหญมากเมอเทยบกบขนาดตวอยาง การเลอกตวอยางสมแบบไมใสคน มจานวนตวอยางสม 30

100C ชด กบ สมแบบใสคน ซงมจานวนตวอยางสม 30)100( ชด จะไมแตกตางกนมากนก ดงนนในทางปฏบตจงนยมใชวธเลอกตวอยางสมแบบไมใสคน โดยตวอยาง

สมแตละชดจะมโอกาสถกเลอกมาเทา ๆ กน 30

100

1C

= ถาไมใสคน หรอ 30)100(1

=

ถาใสคน

พารามเตอร (Parameter) คอ คาคงททแสดงลกษณะบางประการของประชากรทไมทราบคาทแทจรง ไดแก คาเฉลยประชากร )(µ , ผลตางของคาเฉลยประชากร )( 21 µµ − , คาสดสวนประชากร )( p , ผลตางของคาสดสวนประชากร )( 21 pp − , ความแปรปรวน

ประชากร )( 2σ และอตราสวนของความแปรปรวนประชากร )( 22

21

σσ ซงมสตร เชน

คาเฉลยของประชากร µ= N

XN

ii∑

== 1

ความแปรปรวนของประชากร 2σ= N

XN

ii∑

=

−= 1

2)( µ

คาเบยงเบนมาตรฐานของประชากร σ= N

XN

ii∑

=

−= 1

2)( µ

…. …. …. ให N คอ จานวนหนวยตวอยางทงหมดในประชากร ตวสถต (Statistic) คอ ฟงกชนของตวอยางสม ทมคาแตกตางกนไปตามตวอยางสมทสมได ซงมมากมายหลายชด จงถอวาตวสถตเปนตวแปรสม และสามารถหาการแจกแจงความนาจะเปนของตวสถตไดเชนกน เพอนามาใชในการศกษาสถตอนมาน เชน ให n คอ ขนาดตวอยาง หรอจานวนหนวยตวอยางทสมมา

คาเฉลยของตวอยาง X= n

Xn

ii∑

== 1

ความแปรปรวนของตวอยาง 2S= 1

)(1

2

−

−=∑=

n

XXn

ii

คาเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง S=1

)(1

2

−

−=∑=

n

XXn

ii

พารามเตอร คอ คาคงททแสดงลกษณะบางประการของประชากรทไมทราบคาทแทจรง ไดแก คาเฉลยประชากร )(µ , ผลตางของคาเฉลยประชากร )( 21 µµ − , คาสดสวนประชากร )( p , ผลตางของคาสดสวน


ประชากร )( 21 pp − , ความแปรปรวนประชากร )( 2σ และอตราสวนของความ

แปรปรวนประชากร )( 22

21

σσ ซงมสตร เชน

ตวสถต ทจะเรยนและนยมใชกนอยางแพรหลาย ไดแก คาเฉลยของตวอยาง ( X ), ผลตางของคาเฉลยตวอยาง ( 21 XX − ), คาสดสวนของตวอยาง ( p ), ผลตางของคาสดสวนตวอยาง ( 21 ˆˆ pp − ), ความ

แปรปรวนตวอยาง ( 2S ) และอตราสวนของความแปรปรวนตวอยาง ( 22

21

SS )

พารามเตอร (เชนµ , 2σ , p ) สม ตวสถต (เชนX , 2S , p ) ฟงกชนของตวอยางสม

สถตอนมาน 1. การประมาณคาพารามเตอร (บทท 7) 2. การทดสอบสมมตฐาน (บทท 8, 9, 10, 11)

6.2 การแจกแจงของคาเฉลยของตวอยาง (Sampling Distribution of X )

คาเฉลยของตวอยางสมขนาด n หรอตวสถต คอ n

XX

n

ii∑

== 1

ทฤษฎ ถา X เปนคาเฉลยของตวอยางสมขนาด n ทสมจากประชากรขนาด N ทมคาเฉลย µ และความแปรปรวน 2σ แลว คาเฉลย และความแปรปรวนของตวสถต X เขยนแทนดวย Xµ และ 2

Xσ ตามลาดบ จะมคาดงน

1. เมอสมตวอยางแบบใสกลบคน Xµ µ= ; 2Xσ

n

2σ=

2. เมอสมตวอยางแบบไมใสกลบคน Xµ µ= ; 2Xσ

nNnN 2

1σ

−−

=

และเรยก Xσ 2Xσ= วา “ความคลาดเคลอนมาตรฐานของคาเฉลยตวอยาง

(Standard Error, ..ES )”

ป ร ะ ช า ก ร (N)

ตวอยางสม (n)

ตวอยางสมขนาด n

มคาเฉลย X

X เปนตวแปรสม มขนาด N มคาเฉลย µ และความแปรปรวน 2σ


ตวอยาง จากประชากรทมการแจกแจงแบบเอกรปชนดไมตอเนอง มขนาด 3=N ประกอบดวย 2, 4, 6 เลอกตวอยางสมขนาด 2=n แบบใสคน ให X เปนตวแปรสมทมคาเปน 2, 4, 6 มการแจกแจงแบบเอกรปชนดไมตอเนอง ม p.d.f ดงน

X 2 4 6 f(x) 1/3 1/3 1/3

สมตวอยางขนาด 2=n แบบใสคน จะไดจานวนตวอยางสมทงหมด = (3)(3) = 9 ชด แตละชดมความนาจะเปนทจะไดรบเลอกเปนตวอยางเทา ๆ กน ดงน

ชดท ตวอยางสม )],[( 21 XXP คาเฉลยตวอยาง ( X ) 1 (2, 2) 1/9 (2+2)/2 = 2 2 (2, 4) 1/9 3 3 (2, 6) 1/9 4 4 (4, 2) 1/9 3 5 (4, 4) 1/9 4 6 (4, 6) 1/9 5 7 (6, 2) 1/9 4 8 (6, 4) 1/9 5 9 (6, 6) 1/9 6

จากตารางขางตน สนใจศกษาคาเฉลยของตวอยาง ( X ) จะมคาทเปนไปไดทงหมด 5 คา คอ 2, 3, 4, 5, 6 แตละคาจะมโอกาสเกดขนแตกตางกน สามารถหาการแจกแจงของตวสถต X ไดดงน

X )()( xfxXP == 2 1/9 3 2/9 4 3/9 5 2/9 6 1/9

คาคาดหวง (Expected value) หรอคาเฉลยของตวสถต ให W เปนตวสถต ทมฟงกชนความนาจะเปน )(wf คาคาดหวง หรอคาเฉลยของ W , แทนดวย )(WE หรอ µ หาจาก )(WE Wµ= ∑=

wwwf )( ; เมอ W เปนตวสถตไมตอเนอง

∫=w

dwwwf )( ; เมอ W เปนตวสถตตอเนอง

ตวอยาง จากตารางขางตน จงหาคาคาดหวงของตวสถต X

Xµ )(XE= ∑=

=5

1

)(i

ii xfx


49

36)91(6)

92(5)

93(4)

92(3)

91(2 ==++++= #

นามาเปรยบเทยบกบคาคาดหวงของตวแปรสม X

Xµ )(XE= ∑=

=3

1)(

iii xfx

43

12)31(6)

31(4)

31(2 ==++= # (มคาเทากน)

ความแปรปรวน (Variance) ของตวสถต ให W เปนตวสถต ทมฟงกชนความนาจะเปน )(wf ความแปรปรวนของ W เขยนแทนดวย 2

Wσ หรอ )(WV หรอ )(WVar หาจาก 2

Wσ [ ] [ ]222 )()()( WEWEWEWE −=−= เมอ )( 2WE ∑=

wwfw )(2 ; เมอ W เปนตวสถตไมตอเนอง

∫=w

dwwfw )(2 ; เมอ W เปนตวสถตตอเนอง

ตวอยาง จากตารางขางตน จงหาความแปรปรวนของตวสถต X ; เมอ 4)( =XE

)( 2XE ∑=w

wfw )(2 ∑=

=5

1

2 )(i

ii xfX

22=91 23+

92 24+

93 25+

92 26+

91

9156

=

2Xσ )(XV= )( 2XE= 2)]([ XE−

249

156−=

912

= 34

= #

เปรยบเทยบกบความแปรปรวนของตวแปรสม X ; เมอ 4)( =XE

)( 2XE ∑=

=3

1

2 )(i

ii xfx 22=31 24+

31 26+

31

356

=

2Xσ )(XV= 22 )]([)( XEXE −= 24

356

−=38

= #

ดงนน 2Xσ

34)

21(

382

===n

Xσ

ความคลาดเคลอนมาตรฐาน (Standard Error, S.E.) ของตวสถต ..ES Wσ= )(WV= ตวอยาง จากขางตน จงหาความคลาดเคลอนมาตรฐานของตวสถต X ..ES Xσ= )(XV= 1547.13/4 == #

เปรยบเทยบกบสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวแปรสม X


..DS Xσ= )(XV= 6240.13/8 == # (มคามากกวา) การแจกแจงของคาเฉลยของตวอยาง )(X

การแจกแจงของ X จะขนอยกบการแจกแจงของประชากรวาทราบคาความแปรปรวน 2σ หรอไม ดงน

ถาทราบคาความแปรปรวนประชากร (2σ )

ทฤษฎ 1 ให ),...,,( 21 nXXX เปนตวอยางสมขนาด n จากประชากรทมการแจกแจงแบบใด ๆ มคาเฉลย µ และความแปรปรวน 2σ แลว คา X จะมคาเฉลย µ

ความแปรปรวน n

2σ และความคลาดเคลอนมาตรฐาน nσ

ถาประชากร X ∼ ),?( 2σµ การแจกแจงของตวสถต X ∼ ),?(2

nσµ

ทฤษฎ 2 ให ),...,,( 21 nXXX เปนตวอยางสมขนาด n จากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย µ และความแปรปรวน 2σ แลว คา X จะมการแจกแจง

แบบปกต มคาเฉลย µ ความแปรปรวน n

2σ และความคลาดเคลอนมาตรฐาน nσ

ถาประชากร X ∼ ),( 2σµN การแจกแจงของตวสถต X ∼ ),(2

nN σµ

ดงนน สามารถแปลงตวแปรสม X ∼ ),(2

nN σµ

ใหเปนตวแปรสม Z ดวยสตร n

XZ/σµ−

= ∼ )1,0(N

ตวอยาง คะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกศกษา มการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 500 คะแนน และคาเบยงเบนมาตรฐาน 100 คะแนน สมตวอยางคะแนนสอบของนกศกษามา 25 คน จงหาความนาจะเปนทคะแนนเฉลยตวอยางจะสงกวา 555 คะแนน วธทา ให X แทน คะแนนสอบวชาภาษาองกฤษ จากโจทย X ∼ ),( 2σµN ; โดยท 22 100,500 == σµ ให X แทน คะแนนเฉลยตวอยาง; เมอสมตวอยางขนาด 25=n คน

จาก ทบ.2 จะได X ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

N2

, σµ ; โดยท ,500=µ n

2σ 25

100 2

=

สามารถแปลงตวสถต X ใหเปนตวแปรสม Z ดวยสตร n

XZ/σµ−

=

ความนาจะเปนทคะแนนเฉลยตวอยางจะสงกวา 555 คะแนน คอ


)555( >XP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>

−=

25/100500555

/ nXPσ

µ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >=

2055ZP ( )75.2>= ZP 0 2.75 Z

003.04970.05.0)75.20(5.0 =−=<<−= ZP # ทฤษฎ 3 ทฤษฎลมตสสวนกลาง (Central Limit Theorem, CLT) เปนทฤษฎทใชในการประมาณการแจกแจงของคาเฉลยตวอยาง ดวยการแจกแจงแบบปกต โดยไมตองคานงวาประชากรทเลอกตวอยางมานนจะมการแจกแจงแบบใด เพยงแตใหตวอยางสมมขนาดใหญพอ )30( ≥n ให ),...,,( 21 nXXX เปนตวอยางสมขนาด 30≥n จากประชากรทมการแจกแจงแบบใด ๆ มคาเฉลย µ และความแปรปรวน 2σ แลว คาเฉลยของตวอยาง X

จะมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย µ ความแปรปรวน n

2σ และความคลาด

เคลอนมาตรฐาน nσ

ทฤษฎลมตสสวนกลาง (CLT) กลาววา ถาสมตวอยางขนาด 30≥n

จากประชากร X ∼ ),?( 2σµ การแจกแจงของตวสถต X ∼ ),(2

nN σµ

สามารถแปลง X ใหเปน Z ดวยสตร Zn

X/σµ−

= ∼ )1,0(N

สรปทง 3 ทฤษฎขางตน

1. ถาประชากร )(X มการแจกแจงแบบปกต และทราบคา 2σ แลว การ

แจงแจกของคาเฉลยของตวอยาง )(X จะมการแจกแจงปกต เชนเดยวกนกบประชากร ไมวาตวอยางสม )(n จะมขนาดเทาใดกตาม

2. ถาประชากร )(X ไมไดมการแจกแจงแบบปกต แตทราบคา 2σ แลว

การแจงแจกของคาเฉลยตวอยาง )(X จะเขาสการแจกแจงแบบปกตโดยประมาณ ถาตวอยางสมมขนาดใหญพอ )30( ≥n ทงนโดยอาศยทฤษฎลมตเขาสสวนกลาง

ตวอยาง รายไดตอเดอนของครวเรอนในอาเภอหนง มคาเฉลย 10,000 บาท และคาเบยงเบนมาตรฐาน 5,000 บาท และทราบวารายไดตอเดอนของครวเรอนไมไดมการแจกแจงแบบปกต ถาเลอกตวอยางสมขนาด 100 ครวเรอน จงหา ก. ( )10500<XP ข. ( )110009000 << XP วธทา ให X เปนตวแปรสม แทน รายไดตอเดอนของครวเรอน จากโจทย X ∼ ),?( 2σµ ; โดยท ,000,10=µ 22 )000,5(=σ


สมตวอยางครวเรอนขนาด 100=n ซงมขนาดใหญ โดยอาศยทฤษฎ CLT จะได

รายไดเฉลยของตวอยาง X ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

N2

, σµ ; โดยท 10000=µn

2

, σ100

)5000( 2

=

ก. ( )10500<XP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<

−=

100/50001000010500

/ nXPσ

µ

( ) )10(5.01 <<+=<= ZPZP 0 1 Z 8413.03413.05.0 =+= #

ข. ( )110009000 << XP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<

−<

−=

100/50001000011000

/100/5000100009000

nXPσ

µ

( ) )20()20(22 <<+<<=<<−= ZPZPZP 9544.04772.04772.0 =+= # -2 0 2 Z 6.3 การแจกแจงของผลตางของคาเฉลยของตวอยาง (Sampling Distribution of )( 21 XX − ) การแจกแจงของผลตางของคาเฉลยของตวอยาง )( 21 XX − จะขนอยกบการแจกแจงของประชากร 2 ประชากร วาทราบคาความแปรปรวนหรอไม ดงน 1. กรณทราบคา 2

1σ และ 22σ

1) เลอกตวอยางสมขนาด 1n และ 2n ขนาดเทาใดกได ทเปนอสระกน จากประชากรท 1 และ 2 ทมการแจกแจงแบบ ),( 2

11 σµN และ ),( 222 σµN ตามลาดบ

ผลตางของคาเฉลยของตวอยาง 21 XX − จะมการแจกแจงแบบ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

21

21 ,nn

N σσµµ

ประชากรท 1 X ∼ ),( 211 σµN และประชากรท 2 X ∼ ),( 2

22 σµN

สม 1n และ 2n ขนาดเทาใดกได ตวสถต 21 XX − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

21

21 ,nn

N σσµµ

สามารถแปลงตวสถต 21 XX − ใหเปนตวสถต Z ดวยสตร

Z

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXσσ

µµ

+

−−−= ∼ )1,0(N

2) เลอกตวอยางสมขนาด 301 ≥n และ 302 ≥n ทเปนอสระกน จากประชากรท 1 และ 2 ทมการแจกแจงแบบ ),?( 2

11 σµ และ ),?( 222 σµ ตามลาดบ โดยอาศย


ทฤษฎลมตเขาสสวนกลาง (CLT) ผลตางของคาเฉลยของตวอยาง 21 XX − จะม

การแจกแจงแบบ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

21

21 ,nn

N σσµµ

ประชากรท 1 X ∼ ),?( 211 σµ และประชากรท 2 X ∼ ),?( 2

22 σµ

สม 301 ≥n และ 302 ≥n ตวสถต 21 XX − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

21

21 ,nn

N σσµµ

สามารถแปลงตวสถต 21 XX − ใหเปนตวสถต Z ดวยสตร

Z

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXσσ

µµ

+

−−−= ∼ )1,0(N

ตวอยาง จากผลการทดสอบทราบวา ปรมาณนโคตนในบหรยหอ A ไมไดมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 22 mg. และความแปรปรวน 36 (mg.)2 และปรมาณนโคตนในบหรยหอ B ไมไดมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 23 mg. และความแปรปรวน 64 (mg.)2 เลอกตวอยางสมของบหรยหอ A และ B มาอยางละ 100 มวน แลวตรวจสอบปรมาณนโคตน จงหาความนาจะเปนทปรมาณนโคตนเฉลยของบหรยหอ A มคาตากวายหอ B ไมเกน 0.5 mg. วธทา ให 1X และ 2X เปนปรมาณนโคตนในบหรยหอ A และ B ตามลาดบ จากโจทย 1X ∼ ),?( 2

11 σµ ; โดยท 221 =µ , 3621 =σ

2X ∼ ),?( 222 σµ ; โดยท 232 =µ , 642

2 =σ สมตวอยางขนาด 10021 == nn ซงมขนาดใหญ โดยอาศยทฤษฎ CLT และหาคา

1X และ 2X ซงแทนปรมาณนโคตนเฉลยของบหรยหอ A และ B ตามลาดบ และการแจกแจงของผลตางของปรมาณนโคตนเฉลยของบหรยหอ A และ B คอ

21 XX − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

21

21 ,nn

N σσµµ

ความนาจะเปนทปรมาณนโคตนเฉลยของบหรยหอ A จะมคาตากวายหอ B ไมเกน 0.5 mg. คอ

( )5.021 −<− XXP

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−−<

+

−−−=

10064

10036

)2322(5.0)()(

2

22

1

21

2121

nn

XXPσσ

µµ

)15.0( <= ZP )5.0( <= ZP 0 0.5 Z

)5.00(5.0 <<+= ZP 6915.01915.05.0 =+= #


6.4 การแจกแจงของสดสวนของตวอยาง (Sampling Distribution of p ) ประชากรทประกอบดวยหนวยตวอยาง N หนวย สามารถแบงออกเปน 2 ลกษณะ คอ ลกษณะหนงเราสนใจ มจานวนหนวยตวอยาง X และอกลกษณะหนงเราไมสนใจ มจานวนหนวยตวอยาง XN − ให p = สดสวนของประชากร (Population proportion)

p NX

= = จานวนหนวยตวอยางทเราสนใจ

ขนาดของประชากร

ประชากร N ตวอยางสม n ≥ 30 สม

สดสวนของประชากร pNX

= สดสวนของตวอยาง nxp =ˆ

สมตวอยางขนาด 30≥n จากประชากรทมสดสวนของลกษณะทเราสนใจ p

ดงนน สดสวนของตวอยาง (Sample proportion) แทนดวย p คอ

nxp =ˆ ; เมอ x เปนจานวนหนวยตวอยางทเราสนใจในตวอยางสม n

ดงนน p จะมการแจกแจงแบบปกตโดยประมาณ มคาเฉลย p

และความแปรปรวน npq

สมตวอยางขนาด 30≥n จาก

ประชากร X ∼ ),?( 2σµ ตวสถต p ∼ ),(npqpN โดยอาศยทฤษฎ CLT

สามารถแปลง p ใหเปน Z ดวยสตร

npq

ppZ −=

ˆ ∼ )1,0(N

ตวอยาง ทราบวา ความนาจะเปนทนกศกษาทจะสาเรจการศกษาจะเรยนตอในระดบปรญญาโท 0.30 สมตวอยางนกศกษาทจะสาเรจการศกษามา 60 คน จงหาความนาจะเปนทสดสวนของนกศกษาจะสาเรจการศกษาจะเรยนตอในระดบปรญญาโท มคาอยระหวาง 0.25 ถง 0.35

X N - X n-x x


วธทา ให p เปนสดสวนนกศกษาทจะสาเรจการศกษาจะเรยนตอในระดบปรญญาโท ของประชากร 30.0= p เปนสดสวนของตวอยางนกศกษาทจะสาเรจการศกษาจะเรยนตอใน ระดบปรญญาโท

โดยสมตวอยางขนาด 60=n ซงมขนาดใหญ ดงนน

p ∼ ),(npqpN ; เมอ 7.03.01,3.0 =−== qp

ความนาจะเปนทสดสวนตวอยางนกศกษาทจะสาเรจการศกษาจะเรยนตอในระดบปรญญาโท มคาอยระหวาง 25.0 ถง 35.0 คอ

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

<−

<−

=<<

60)7.0)(3.0(

3.035.0ˆ

60)7.0)(3.0(

3.025.035.0ˆ25.0

npq

ppPpP

( )85.085.0 <<−= ZP ( ) ( )85.0085.00 <<+<<= ZPZP 6046.03023.03023.0 =+= # -0.85 0 0.85 Z

ตวอยาง โรงงานผลตหลอดไฟฟาแหงหนง ตองการตรวจสอบสดสวนหลอดไฟฟาชารดในกระบวนการผลต จงเลอกตวอยางหลอดไฟฟามา 500 หลอด เพอประมาณคาสดสวนหลอดไฟฟาชารด และทราบวาสดสวนหลอดไฟฟาชารดทแทจรงเปน 0.03 จงหาความนาจะเปนทสดสวนตวอยางจะมคาแตกตางจากคาทแทจรงไมเกน 0.01 วธทา ให p แทน สดสวนหลอดไฟฟาชารดทแทจรง 03.0= p แทน สดสวนตวอยางของหลอดไฟฟาชารด สมตวอยางขนาด 500=n ซงมขนาดใหญ โดยอาศยทฤษฎ CLT

สดสวนของตวอยาง p ∼ ),(npqpN ; เมอ 97.003.01,03.0 =−== qp

ความนาจะเปนทคาสดสวนตวอยางจะแตกตางจากคาทแทจรงไมเกน 01.0 คอ ( )01.0ˆ <− ppP ( )01.003.0ˆ <−= pP ( )01.003.0ˆ01.0 <−<−= pP ( )03.001.0ˆ03.001.0 +<<+−= pP )04.0ˆ02.0( <<= pP

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

<−

<−

=

500)97.0)(03.0(

03.004.0ˆ

500)97.0)(03.0(

03.002.0

npq

ppP

( )32.132.1 <<−= ZP -1.32 0 1.32 Z ( ) ( )32.1032.10 <<+<<= ZPZP

8132.04066.04066.0 =+= #


6.5 การแจกแจงของผลตางของสดสวนตวอยาง (Sampling distribution of )ˆˆ( 21 pp − ) สมตวอยางขนาด 1n และ 2n ทเปนอสระกน จากประชากรท 1 และ 2 ทม

ความนาจะเปนของลกษณะทสนใจเปน 1

1 NXp = และ

22 N

Xp = ตามลาดบ

ถา 1n และ 2n มขนาดใหญพอ คาสดสวนของตวอยางสมท 1 และ 2 คอ

11ˆ

nxp = และ

22ˆ

nxp = ตามลาดบ แลว ผลตางของสดสวนของตวอยาง )ˆˆ( 21 pp −

จะมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 21 pp − และความแปรปรวน 2

22

1

11

nqp

nqp+

สดสวนของประชากรท 1 เปน 1

1 NXp = และประชากรท 2 เปน

22 N

Xp =

สมตวอยาง 301 ≥n จากประชากรท 1 แลวหาสดสวนตวอยาง 1

1ˆnxp = และ

สมตวอยาง 302 ≥n จากประชากรท 2 แลวหาสดสวนตวอยาง 2

2ˆnxp =

ผลตางของสดสวนของตวอยาง 21 ˆˆ pp − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

1121 ,

nqp

nqp

ppN

สามารถแปลงตวสถต 21 ˆˆ pp − ใหเปน Z ดวยสตร

2

22

1

11

2121 )()ˆˆ(

nqp

nqp

ppppZ+

−−−= ∼ )1,0(N

ตวอยาง ในกลมผทไดรบวตามนซวนละ 500 mg. เปนประจา ความนาจะเปนทจะเปนหวด 0.15 ในชวงเวลาเดยวกนกบกลมผไมไดรบวตามนซวนละ 500 mg. เปนประจา ความนาจะเปนทจะเปนหวด 0.20 ถาเลอกตวอยางสมจากแตละกลมมาอยางละ 50 คน จงหาความนาเปนของสดสวนตวอยางของผทเปนหวดของทงสองกลม จะแตกตางกน เกนกวา 0.10 วธทา ให 1p และ 2p เปนสดสวนของผทเปนหวดในกลมผทไดรบวตามนซ และ กลมผทไมไดรบวตามนซ ตามลาดบ 1p และ 2p เปนสดสวนของผทเปนหวดในตวอยางสม 1n จากกลมผทได รบวตามนซ และ 2n จากกลมผทไมไดรบวตามนซ ตามลาดบ โดยทตวอยางสม 1n 502 == n มขนาดใหญ อาศยทฤษฎ CLT จะได

21 ˆˆ pp − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

1121 ,

nqp

nqp

ppN ; เมอ 20.0,15.0 21 == pp

ความนาจะเปนทสดสวนตวอยางของผทเปนหวดทงสองกลมจะแตกตางกนเกนกวา 0.10 คอ ( )10.0ˆˆ 21 >− ppP ( ) ( )10.0ˆˆ10.0ˆˆ 2121 −<−+>−= ppPppP


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−>=

2

22

1

11

21 )(10.0

nqp

nqp

ppZP

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−−<+

2

22

1

11

21 )(10.0

nqp

nqp

ppZP

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−−<+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−>=

50)8.0)(2.0(

50)85.0)(15.0(

)2.015.0(10.0

50)8.0)(2.0(

50)85.0)(15.0(

)2.015.0(10.0 ZPZP

( ) ( )66.098.1 −<+>= ZPZP ( ) ( )66.005.098.105.0 <<−+<<−= ZPZP

)2454.05.0()4761.05.0( −+−= 2546.00239.0 += 2785.0= -0.66 0 1.98 Z

6.6 การแจกแจงแบบท ( t distribution) สมตวอยางขนาดเลก 30<n จากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต และ ไมทราบความแปรปรวน 2σ จงตองประมาณความแปรปรวนประชากร 2σ ดวย

ความแปรปรวนของตวอยาง 2S 1

)(1

2

−

−=∑=

n

XXn

ii

สนใจ คาเฉลยของตวอยาง X จงแปลง X ใหเปนตวแปรสม T ดวยสตร

nSXT

/µ−

= จะมการแจกแจงแบบ t ทมองศาความเปนอสระ 1−= nν

หรอเขยนเปน nS

XT/µ−

= ∼ )(νt ; เมอ 1−= nν

องศาความเปนอสระ (Degree of freedom ; d.f หรอ ν ) หมายถง จานวนขอมลทมคาอสระ ไมตองขนกบคาอน หรอขอบงคบใด ๆ

เชน มขอมล ดงน 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 1) ถาเราตองการเลข 3 ตว เปนเลขอะไรกได เรามสทธเตมทในการเลอกตวเลขทง 3 น ดงนน d.f. = 3 2) จากขอ 1) ถามขอบงคบวา ตองใหไดผลรวมเทากบ 10 ดงนน d.f. = 2 เพราะวา เราจะเลอกตวเลขไดตามใจชอบเพยง 2 ตว ตวสดทายเลอกไมได เพราะจะตองรวมกบ 2 ตวแรกแลวไดผลลพธเทากบ 10 เชน เลอก 5 กบ 3 มา สวนตวทสามจะตองเปน 2 เทานน เปนตวเลขอนไมได เลอก 5 กบ 5 มา สวนตวทสามจะตองเปน 0 เทานน เปนตวเลขอนไมได องศาความเปนอสระ หมายถง จากตวอยางสมขนาด n เราจะเลอกคาของตวแปรสมไดตามใจชอบเพยง 1−n คา เทานน สวนคาสดทายจะตองเปน X เทานน เพราะมขอบงคบ


วา ∑=

=−n

ii XX

10)( ดงนนองศาความเปนอสระ 1−= nν ; เมอ n คอ ขนาดตวอยาง

สม หรอกลาววา “การแจกแจงแบบ t ขนอยกบขนาดของตวอยางสม” การแจกแจงแบบ t เหมอนกบ การแจกแจงแบบปกต โดยเสนโคงความนาจะเปน เปนรประฆงควา ทมคาอยในชวง ∞<<∞− t มลกษณะสมมาตรรอบคา 0 แตมความสงของเสนโคงนอยกวา และพนทสวนปลายจะหนากวาเสนโคงปกตเลกนอย มองศาความเปนอสระ ν เปนพารามเตอร ถาองศาความเปนอสระเพมสงขน )30( >ν การแจกแจงแบบ t จะเขาใกลการแจกแจงแบบปกตมากขน และถา 120>ν จะไมมความแตกตางระหวางการแจกแจงแบบ t กบการแจกแจงแบบปกต ดงน )( )( ανα tTP −<= α )( )( αν tTP >=

∞− αt− 0 αt ∞ )(νT

การหาความนาจะเปนทตวแปรสมจะมคาอยในชวง ๆ หนง คานวณไดโดยการอนทเกรตฟงกชนความนาจะเปนแบบท หรอใชตารางสถต t ตารางท 5 อยในรปแบบ )()( )()( αναν α tTPtTP −<==> ตารางท 5 t Distribution

.. fd α )(ν 25. 10. 05. 025. 01. 005. 001.

1 000.1 078.3 314.6 706.12 821.31 2 816.0 ... ...

...... ... 8 ... 306.2 9 ...

...... 120 677.0 ... ... ...∞ ... ... ... 090.3

เชน ?)314.6()314.6( )1()1( ==−<=> αTPTP ตวอยาง จากตารางสถต t จงหาความนาจะเปนตอไปน ก. ?)306.2( )8( =>TP 025.0= 0 2.306 )8(T


ข. ?)753.1( )15( =<TP )753.1(1 )15( >−= TP 95.005.01 =−= 0 1.753 )15(T

ค. ?)753.1( )15( =−<TP )753.1( )15( >= TP 05.0= -1.753 0 )15(T

ง. )015.2476.1( )5( <<− TP )]015.2(5.0[)]476.1(5.0[ )5()5( >−+−<−= TPTP )05.05.0()1.05.0( −+−= 85.045.04.0 =+= -1.476 0 2.015 )5(T

จ. )943.1( )6( >TP )943.1()943.1( )6()6( −<+>= TPTP 10.005.005.0 =+= -1.943 0 1.943 )6(T

ตวอยาง จงหาคา ?0 =t ตอไปน ก. 025.0)( 0)8( => tTP จะได 306.20 =t 0 t0 )8(T

ข. 99.0)( 0)18(0 =<<− tTtP

99.0)( 0)18( =< tTP

99.0)(1 0)18( =>− tTP

01.099.01)( 0)18( =−=> tTP -t0 0 t0 )18(T 01.0)()( 0)18(0)18( =−<+> ttPtTP 01.0)(2 0)18( => tTP

005.0201.0)( 0)18( ==> tTP

005.0)878.2( )18( =>TP จะได 878.20 =t ค. 975.0)( 0)27( =< tTP 975.0)(1 0)27( =>− tTP 025.0975.01)( 0)27( =−=> tTP 0 t0 )27(T 025.0)052.2( )27( =>TP จะได 052.20 =t


การแจกแจงของคาเฉลยของตวอยาง )(X

กรณไมทราบคา 2σ และตวอยางสมมขนาด 30<n สมตวอยางขนาด 30<n จากประชากร X ∼ ?),( 2 =σµN

สนใจ คาเฉลยของตวอยาง X สามารถ Transform X ใหเปนตวแปรสม T

ดวยสตร nS

XT/µ−

= ∼ )(νt ; เมอ 1−= nν

ตวอยาง บรษทผลตรถยนตยหอหนง โฆษณาวา รถยนตยหอใหมทผลตเปนรนประหยดนามน โดยพจารณาจากระยะทางทวงไดเฉลยตอลตร ซงมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย µ จากการทดลองรถยนตรนนจานวน 16 คน แบบสม ไดคาเบยงเบนมาตรฐาน 1.88 ก.ม.ตอลตร จงหาความนาจะเปนทคาเฉลยตวอยางจะ แตกตางจากคาเฉลยของประชากรเกนกวา 1 ก.ม. วธทา ให X เปนระยะทางทรถยนตวงไดตอนามนหนงลตร ∼ ?),( 2 =σµN µ เปนระยะทางเฉลยทวงไดตอลตรของรถยนตรนน X เปนระยะทางเฉลยของตวอยางทวงไดตอลตร

ทดลองรถยนต 16=n คน ไดสวนเบยงเบนมาตรฐาน 88.1=S ก.ม./ลตร

เนองจากไมทราบ 2σ แตทราบสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง 88.1=S และ n มขนาดเลก ดงนนสามารถแปลง X ใหเปนตวแปรสม T ไดจากสตร

nS

XT/

µ−= ∼ )(νT 1; −= nν

ความนาจะเปนทระยะทางเฉลยตวอยางจะแตกตางจากระยะทางเฉลยประชากร เกนกวา 1 ก.ม. คอ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>

−=>−

nSnSXP

nSnSXPXP

/1

//1

/1 µµµ ? ?

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −<+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛>=

16/88.11

16/88.11

)15()15( TPTP )15(T

( ) ( )13.213.2 )15()15( −<+>= TPTP -2.13 0 2.13

05.0025.0025.0 =+= # ตวอยาง เชาวปญญาของนกศกษามหาวทยาลยขอนแกน มการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 130 ถาสมนกศกษามา 25 คน พบวา เชาวปญญามคาเบยงเบนมาตรฐาน 6 จงหาความนาจะเปนทนกศกษาจะมเชาวปญญาเฉลยมากกวา 131.1 วธทา ให X เปนเชาวปญญาของนกศกษา ม.ขอนแกน ∼ ?),130( 2 == σµN

X เปนเชาวปญญาเฉลยของนกศกษาทสมได; เมอ 25=n และ 6=S


ความนาจะเปนทนกศกษาจะมเชาวปญญาเฉลยมากกวา 131.1 คอ

)1.131( >XP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>

−=

25/61301.131

/ nSXP µ

)917.0( )24( >= TP ซงไมมในตารางสถต แตมคาใกลเคยง คอ 25.0)685.0( )24( =>TP 25.0)685.0( )24( =>TP )917.0( )24( >TP และ 10.0)318.1( )24( =>TP 10.0)318.1( )24( =>TP )24(T

ดงนน 25.0)917.0(10.0 )24( <>< TP # 0 1.1318

0.685 0.917 หรอ 25.0)1.131(10.0 <>< XP # การแจกแจงของผลตางของคาเฉลยของตวอยาง (Sampling Distribution of )( 21 XX − ) 1. กรณไมทราบความแปรปรวนประชากรและทราบวาเทากน 2

1(σ )222 σσ ==

เมอไมทราบความแปรปรวนของประชากร สมตวอยางจากทงสองประชากรเพอประมาณความแปรปรวนประชากร 2

1σ และ 22σ ดวยความแปรปรวนตวอยาง

21S และ 2

2S และทราบวาความแปรปรวนประชากรเทากน คอ 2σ จงประมาณดวยความแปรปรวนตวอยางรวม (Pooled sample variance) นนคอ ถา ,1n 2n 30< สมตวอยาง 1n 30< จากประชากรทไมทราบคา 2

1σ จงประมาณดวย 21S

สมตวอยาง 2n 30< จากประชากรทไมทราบคา 22σ จงประมาณดวย 2

2S แตทราบวาความแปรปรวนประชากรเทากน คอ 2σ จงประมาณดวย 2

pS

โดยท 2

)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

SnSnS p

สามารถแปลงตวสถต 21 XX − ใหเปนตวสถต T ได ดวยสตร

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=

21

2

2121

11

)()(

nnS

XXT

p

µµ ∼ )(νT 2; 21 −+= nnν

ถา ,1n 2n 30≥ สมตวอยาง 1n 30≥ จากประชากรทไมทราบคา 2


สมตวอยาง 2n 30≥ จากประชากรทไมทราบคา 22σ จงประมาณดวย 2

2S แตทราบวาความแปรปรวนประชากรเทากน คอ 2σ จงประมาณดวย 2

pS

โดยท 2

)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

SnSnS p

สามารถแปลงตวสถต 21 XX − ใหเปนตวสถต Z ได ดวยสตร


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=

21

2

2121

11

)()(

nnS

XXZ

p

µµ ∼ )1,0(N

2. กรณไมทราบความแปรปรวนประชากรและไมเทากน 2

1(σ )22σ≠ และ ,1n 2n 30<

สมตวอยาง 1n 30< จากประชากรทไมทราบคา 21σ จงประมาณดวย 2

1S สมตวอยาง 2n 30< จากประชากรทไมทราบคา 2


แตทราบวาความแปรปรวนประชากรไมเทากน สนใจผลตางของคาเฉลยของตวอยาง คอ 21 XX − สามารถแปลงตวสถต 21 XX − ใหเปนตวสถต T ได ดวยสตร

2

22

1

21

2121 )()(

nS

nS

XXT

+

−−−=

µµ ∼ )(νT

โดยท

1)/(

1)/(

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nnS

nnS

nS

nS

ν (ปดจดทศนยมขนใหเปนจานวนตม)

3. กรณไมทราบความแปรปรวนประชากรและไมเทากน และ ,1n 2n 30≥ สมตวอยาง 1n 30≥ จากประชากรทไมทราบคา 2


สมตวอยาง 2n 30≥ จากประชากรทไมทราบคา 22σ จงประมาณดวย 2

2S สนใจผลตางของคาเฉลยของตวอยาง คอ 21 XX − โดยอาศย CLT สามารถแปลงตวสถต 21 XX − ใหเปนตวสถต Z ได ดวยสตร

2

22

1

21

2121 )()(

nS

nS

XXZ

+

−−−=

µµ ∼ )1,0(N

ตวอยาง บรษทแหงหนง ตองการทราบวา “การจดรายการสงเสรมการขาย มผลตอการขายแปรงสฟนรนใหมหรอไม” จากประสบการณทราบวา ถาไมมการจดรายการสงเสรมการขายจานวนแปรงโดยเฉลยทขายไดตอวน 282 อน ถามการจดรายการสงเสรมการขาย จานวนแปรงโดยเฉลยทขายไดตอวน 316 อน และบรษทไมทราบคาเบยงเบนมาตรฐานของจานวนแปรงทขายได สมตวอยางวนในชวงทไมมการจดรายการสงเสรมการขายมา 14 วน และในชวงทมการจดรายการมา 17 วน หาคาเบยงเบนมาตรฐานไดเปน 13 และ 18 อน ตามลาดบ จงหาความนาจะเปนทจานวนแปรงสฟนรนใหมโดยเฉลยทขายไดในชวงทจดรายการมากกวาในชวงทไมไดจดรายการไมเกน 50 อน ถาไมทราบความแปรปรวนของประชากรแตมคาเทากน วธทา ให 1X เปนจานวนแปรงสฟนทขายไดเฉลยในชวงทจดรายการสงเสรมการขาย


2X เปนจานวนแปรงสฟนทขายไดเฉลยในชวงทไมไดจดรายการสงเสรมการขาย เมอ 171 =n และ 142 =n จากโจทย 3161 =µ , 2822 =µ , 22

1 18=S , 222 13=S

เนองจากไมทราบคา 21σ และ 2

2σ แตทราบวามคาเทากน เทากบ 2σ ดงนน

จงประมาณดวยความแปรปรวนตวอยางรวม 2pS จากสตร

2

)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

SnSnS p

52.25421417

)13)(114()18)(117( 22

=−+

−+−=

pS 9536.1552.254 == สามารถแปลง 21 XX − ใหเปนตวแปรสม T ดวยสตร

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=

21

2

2121

11

)()(

nnS

XXT

p

µµ ∼ )(νT ; 2921417 =−+=ν

ความนาจะเปนทจานวนแปรงสฟนรนใหมขายไดเฉลยในชวงทจดรายการมากกวาในชวงทไมไดจดรายการไมเกน 50 อน คอ

( )5021 <− XXP

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−<

+

−−−=

141

171)9536.15(

)282316(5011

)()(

21

2121

nnS

XXP

p

µµ

)779.2( )29( <= TP )779.2(1 )29( >−= TP ไมมในตารางสถต หาคาใกลเคยง คอ 005.0)756.2( )29( =>TP และ 001.0)396.3( )29( =>TP ดงนน 001.01)779.2(1005.01 )29( −<>−<− TP 999.0)779.2(995.0 )29( <<< TP # 005.0)756.2( )29( =>TP

)779.2( )29( >TP

001.0)396.3( )29( =>TP

0 )29(T 2.756 2.779 3.396 ตวอยาง จากตวอยางขางตน ถาสมมตวา ไมทราบความแปรปรวนประชากรและมคาไมเทากน เนองจากไมทราบคา 2

1σ , 22σ และมคาไมเทากน และขนาดตวอยางสมเลก

171 =n และ 142 =n ดงนนจงแปลงตวสถต 21 XX − ใหเปนตวแปรสม T ดวยสตร


2

22

1

21

2121 )()(

nS

nS

XXT

+

−−−=

µµ ∼ )(νT

โดยท ν

114)14/13(

117)17/18(

1413

1718

1)/(

1)/( 2222

222

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nnS

nnS

nS

nS

2957.2892.3308.969

21.1171.22)07.1206.19( 2

≅==++

=

ความนาจะเปนทจานวนแปรงสฟนรนใหมขายไดเฉลยในชวงทจดรายการมากกวาในชวงทไมไดจดรายการไมเกน 50 อน คอ

( )5021 <− XXP

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−−<

+

−−−=

1718

1413

)282316(50)()(22

2

22

1

21

2121

nS

nS

XXP µµ

( )867.2)29( <= TP ( ) 995.0005.01867.21 )29( ≅−≅>−= TP # 005.0)756.2( )29( =>TP

)867.2( )29( >TP

001.0)396.3( )29( =>TP

)29(T

0 2.756 2.867 3.396 ดงนน 001.01)867.2(1005.01 )29( −<>−<− TP 999.0)867.2(995.0 )29( <<< TP # 6.7 การแจกแจงของความแปรปรวนของตวอยาง (Sampling Distribution of 2S ) ทฤษฎ ให ),...,,( 21 nXXX เปนตวอยางสมขนาด n จากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต มความแปรปรวน 2σ แลว ความแปรปรวนของตวอยาง คอ

∑= −

−=

n

i

i

nXXS

1

22

1)( สามารถแปลงใหเปนตวแปรสม 2χ

ดวยสตร

2

22 )1(

σχ Sn −

= จะมการแจกแจงแบบไคกาลงสอง(Chi-square Distribution)

ดวยองศาความเปนอสระ 1−= nν หรอเขยนสน ๆ วา 2χ ∼ 2

)(νχ ; เมอ 1−= nν


ตวสถต 2χ เปนตวแปรสมแบบตอเนอง ทมคาทเปนไปไดมากกวาหรอเทากบ 0 และมรปแบบการแจกแจงเปลยนแปลงไปตามคาองศาความเปนอสระ ดงรป α−1 α >= 2

)(( νχP )2αχ

2)(νχ

0 2αχ

การหาความนาจะเปนของตวสถต 2χ ตองอาศยตารางสถต ตารางท 6 ซงใหคาไคสแควส ทองศาความเปนอสระทกาหนด และระดบความนาจะเปน α ทตองการ โดย >2

)(( νχP )2αχ α=

ตารางท 6 Chi-square Distribution

.. fd α )(ν 995.0 990.0 975.0 … 30.0 … 001.0

1 … … … 2 0.100 0.0201 13.8 3 0.0717 0.115 4 0.207 0.297 5 0.412 0.554 … 6.06 … … …

100 149.4 ตวอยาง จงหา ?)06.6( 2

)5( =>χP ? 0.30 α−1 2

)5(χ 0 06.62 =αχ )06.6( 2

)5( >χP 30.0== α

? 0.94 ตวอยาง จงหา ?)0.438.13( 2

)24( =<< χP )0.438.13( 2

)24( << χP )0.43()8.13( 2)24(

2)24( >−>= χχ PP

94.001.095.0 =−= 0 13.8 43 2)24(χ

? 0.025 ตวอยาง จงหา ?)01.5( 2

)13( =<χP )01.5( 2

)13( <χP )01.5(1 2)13( >−= χP 0.975

025.0975.01 =−= 0 5.01 2)13(χ


ตวอยาง จงหาคา 2

0χ เมอกาหนดให 10.0)( 20

2)7( => χχP

10.0)02.12( 2)7( =>χP จะได 02.122

)7,(01.020 == χχ 0.10

0 ?2

0 =χ 2)7(χ

ตวอยาง จงหาคา 2

0χ เมอกาหนดให 05.0)( 20

2)12( =< χχP

05.0)( 20

2)12( =< χχP 0.95

05.0)(1 20

2)12( =>− χχP

95.005.01)( 20

2)12( =−=> χχP 0 ?2

0 =χ 2)12(χ

95.0)23.5( 2)12( =>χP

จะได 23.52)12,(95.0

20 == χχ

ตวอยาง บรษทผลตอาหารกระปองแหงหนง ทราบวา นาหนกบรรจสทธของอาหาร มการแจกแจงแบบปกต มความแปรปรวน 5 (กรม)2 ถาสมอาหารกระปองมา 20 กระปอง จงหาความนาจะเปนทความแปรปรวนของนาหนกบรรจสทธของอาหาร 20 กระปองน มคามากกวา 7 (กรม)2 วธทา ให X เปนนาหนกบรรจสทธของอาหาร ∼ ),( 2σµN 5?,; 2 == σµ 2S เปนความแปรปรวนของนาหนกบรรจสทธของอาหารกระปอง ทสมมา n กระปอง n เปนขนาดตวอยาง 20= กระปอง ความนาจะเปนทความแปรปรวนของนาหนกบรรจสทธของอาหาร มคามากกวา 7 (กรม)2 คอ

)7( 2 >SP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −>

−=

5)7)(120()1(

2

2

σSnP

( )6.262)19( >= χP ไมมในตารางสถต

แตมคาทใกลเคยงคามากและคานอย คอ ( ) 2.09.232

)19( =>χP ( )6.262

)19( >χP ( ) 1.02.272

)19( =>χP 0 23.9 27.2 2

)19(χ

26.6 นนคอ ( ) 2.06.261.0 2

)19( <>< χP


จะได 2.0)7(1.0 2 <>< SP # 6.8 การแจกแจงของอตราสวนความแปรปรวนของตวอยาง

(Sampling Distribution of 22

21

SS )

ทฤษฎ ถา 21S และ 2

2S เปนความแปรปรวนของตวอยางขนาด 1n และ 2n ซงสมมาโดยอสระกนจาก 2 ประชากรทมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 1µ และ 2µและมความแปรปรวน 2

1σ และ 22σ ตามลาดบแลว จะได

2

22 )1(

σχ Sn −

= จะมการ

F )1/()1/(

222

121

−−

=nn

χχ 2

11

211

)1()1(σ−

−=

nSn

222

222

)1()1(σ−

−n

Sn

F 22

22

21

21

//σσ

SS

= จะมการแจกแจงแบบเอฟ (F distribution)

ดวยองศาความเปนอสระ 111 −= nν และ 122 −= nν นนคอ

จากประชากรท 1 X ∼ ),( 211 σµN สมตวอยางมา 1n หาคา

1

)(

1

1

2

21

1

−

−=∑=

n

XXS

n

ii

จากประชากรท 2 X ∼ ),( 222 σµN สมตวอยางมา 2n หาคา

1

)(

2

1

2

22

2

−

−=∑=

n

XXS

n

ii

เพอตองการเปรยบเทยบความแปรปรวนระหวางประชากร 2 ประชากร จงสนใจหา

อตราสวนความแปรปรวนของตวอยาง 22

21

SS สามารถแปลงใหเปน F จากสตร

F 22

22

21

21

//σσ

SS

= ∼ ),( 21 ννF 1; 11 −= nν และ 122 −= nν

การหาความนาจะเปนของตวสถต F ตองอาศยตารางสถต ตารางท 7 ทมทงหมด 6 ตาราง ซงใหคาทองศาความเปนอสระทกาหนด และระดบความนาจะเปน α ทตองการ โดยคาทไดจากตาราง คอ αανν => )( ),( 21

fFP ; เมอ 001.0,005.0,01.0,025.0,05.0,1.0=α )( ),( 21 αννα fFP >= α−1 0 αf ),( 21 ννF


ตารางท 7 F Distribution (ซงม 6 ตาราง เมอ 001.0,005.0,01.0,025.0,05.0,1.0=α ) 05.0=α 2ν 1ν 1 2 3 4 5 … 120 1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 … 253.32 3 4 7.71 … 6.26 …

120 3.92 3.07 … … 1.35 ตวอยาง จงหาคา ?)26.6( )4,5( =>FP ?)26.6( )4,5( ==> αFP 0.05 α−1 0 26.6=αf )4,5(F 05.0)05.4( )4,5( ==> αFP # เนองจากบางครงเราตองการหาคา F อน ๆ เชน ,...99.0,95.0,90.0=α ทาไดดงน αανν −=> − 1)( 1),( 21

fFP

)1,1;1( 21 −−− nnF α )1,1;( 12

1

−−

=nnF α

α )(1 1),( 21 αννα −>=− fFP α−1 ),( 21 ννF 0 α−1f ตวอยาง จงหาคา 0f เมอกาหนด 95.0)( 0)20,10( => fFP 0.95

จาก )1,1;1( 21 −−− nnF α )1,1;( 12

1

−−

=nnF α

)20,10;95.0(F 36.077.211

)10,20;05.0(

===F

0 ?0 =f 0.36 )20,10(F

ดงนน 95.0)36.0( 0)20,10( ==> fFP จะได 36.0)20,10;95.0(0 == Ff #


?0.025 ตวอยาง จงหา ?)06.3( )15,10( =>FP 025.0)06.3( )15,10( =>FP # 0 3.06 )15,10(F

ตวอยาง จงหาคา 0f เมอกาหนด 05.0)( 0)15,8( =< fFP 05.0)( 0)15,8( =< fFP 0.05 05.0)(1 0)15,8( =>− fFP 0.95 95.005.01)( 0)15,8( =−=> fFP

คา )15,8;95.0(F 31.022.311

)8,15;05.0(

===F

0 0f =0.31 )15,8(F

นนคอ 05.0)31.0( 0)15,8( ==< fFP จะได 31.0)15,8,(05.00 == Ff # ตวอยาง จากประชากร 1 และ 2 มการแจกแจงแบบปกต มแปรปรวน 3002

1 =σ และ 1002

2 =σ สมตวอยางขนาด 111 =n และ 162 =n โดยอสระกน มความแปรปรวน 2

1S และ 22S จงหาความนาจะเปนทอตราสวนของความแปรปรวน

ของตวอยางจะมคามากกวา 10 วธทา 3002

1 =σ และ 10022 =σ เปนความแปรปรวนของประชากรท 1 และ 2

21S และ 2

2S เปนความแปรปรวนของตวอยางขนาด 111 =n และ 162 =n ความนาจะเปนทอตราสวนของความแปรปรวนของตวอยางจะมคามากกวา 10 คอ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛> 102

2

21

SS

P ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>= )(10

//

21

22

22

22

21

21

σσ

σσ

SS

P

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >= )

300100(10)15,10(FP

)33.3( )15,10( >= FP 025.0)06.3( )15,10( =>FP

)33.3( )15,10( >FP

01.0)80.3( )15,10( =>FP

0 3.06 3.80 )15,10(F

3.33 แต 025.0)06.3( )15,10( =>FP และ 01.0)80.3( )15,10( =>FP นนคอ 025.0)33.3(01.0 )15,10( <>< FP

หรอ 025.0)10(01.0 22

21 <><

SSP #


ตวอยาง สมตวอยางขนาด 131 =n และ 102 =n โดยอสระกน จากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต มแปรปรวน 82

1 =σ และ 1522 =σ จงหาความนาจะเปนท

คาอตราสวนความแปรปรวนของตวอยางจะมคามากกวา 0.155 วธทา 82

1 =σ และ 1522 =σ เปนความแปรปรวนของประชากรท 1 และ 2

21S และ 2

2S เปนความแปรปรวนของตวอยางขนาด 131 =n และ 102 =n ความนาจะเปนทคาอตราสวนความแปรปรวนของตวอยางจะมคามากกวา 0.155 คอ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛> 155.02

2

21

SS

P ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>= )(155.0

//

21

22

22

22

21

21

σσ

σσ

SS

P

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >= )

815(155.0)9,12(FP

)291.0( )9,12( >= FP จากรป คา 291.0)9,12;1( =−αF α−1 =0.975

)9,12;1( α−F 291.01

)12,9;(

==αF

0 0.291 )9,12(F

)12,9;(αF 44.3291.01

== 025.0? ==α

เปดตารางจะได )12,9;025.0(44.3 == αF 0 3.44 )12,9(F ดงนน 291.0)9,12;975.0()9,12;025.01( ==− FF

นนคอ ( ) 975.0291.0)9,12( =>FP หรอ 975.0155.022

21 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>

SS

P #

*******************************


แบบฝกหดบทท 6 การแจกแจงของตวสถต

1. จงหาความนาจะเปนตอไปน ก. P(T(15) < 1.753) ข. P(-1.476 < T(5) < 2.015) ค. P(⏐T(6)⏐ > 1.943) ง. P(-2.120 < T(16) < 2.120) 2. จงหาคาของ t0 ตอไปน ก. P(⏐T(12)⏐ > t0) = 0.10 ข. P(-2.064 < T(24) < t0) = 0.965 ค. P(-1.356 < T(12) < t0) = 0.875 ง. P( t0< T(24) < 2.797) = 0.095 3. จงหาคาของ χ2

0 ตอไปน ก. P(χ2

(18) < χ20 ) = 0.025 ข. P(37.7 < χ2

(25) < χ20 ) = 0.045

ค. P(χ20 < χ2

(10) < 23.2 ) = 0.015

4. จงหาคาของ f0 ตอไปน ก. P(F(7, 15) > f0) = 0.05 ข. P(F(24, 19) > f0) = 0.01 ค. P(F(19, 24) > f0) = 0.95 ง. P(F(28, 12) > f0) = 0.99 5. สถานทดทองสตวชนดหนง 4 แหง มจานวนชนดของสตวสาหรบใชในการวจย ดงน สถานทดลอง 1 2 3 4 จานวนชนดของสตว 2 3 4 1 ถาใหสถานทดลองทง 4 แหง เปนประชากรหนง ทาการสมตวอยางสตวมา 2 สถาน ทงแบบใสกลบคน และแบบไมใสกลบคน จากประชากรชนดของสตวดงกลาวน ก. จงหาจานวนชนดของสตวโดยเฉลยของประชากร ( Xµ ) และความแปรปรวนของจานวนชนดของสตวของประชากร ( 2

Xσ ) ข. จงหาจานวนชนดของสตวโดยเฉลยของตวอยางทเปนไปไดทงหมด ค. จงหาคาเฉลยของจานวนชนดของสตวโดยเฉลยของตวอยาง พรอมทงใหแสดงวา XX µµ = ง. จงหาความแปรปรวนของจานวนชนดของสตวโดยเฉลยของตวอยาง ( 2

Xσ )

พรอมทงใหแสดงวา nX

22 σσ = กรณทสมตวอยางแบบใสกลบคน

และ )1

(2

2

−−

=N

nNnX

σσ กรณทสมตวอยางแบบไมใสกลบคน

6. ถาคาจางแรงงานตอวนของพนกงานในนคมอตสาหกรรมแหงหนง มการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 190 บาท และความแปรปรวน 64 บาท2 จงหาความนาจะเปนทพนกงานจะไดรบคาจางแรงงานตอวน ก. นอยกวา 205 บาท ข. ตงแต 180 ถง 220 บาท


7. หางสรรพสนคาแหงหนง พบวา เวลาทลกคาแตละคนใชในการเดนซอสนคาในหางสรรพสนคา มการแจกแจงความนาจะเปนแบบปกต มคาเฉลย 11 นาท และคาเบยงเบนมาตรฐาน 3 นาท ถาเลอกลกคาโดยสมมา 16 คน จงหาความนาจะเปนทลกคาใชเวลาในการเดนซอสนคาเฉลยนอยกวา 10 นาท 8. คลนกลดนาหนกแหงหนง ไดลงโฆษณาวา สามารถลดนาหนกไดภายใน 1 เดอน และลดนาหนกไดมากกวาคาเฉลยโดยทวไป 1 กโลกรม นกสถตคนหนงตองการตรวจสอบโฆษณาดงกลาว จงสมตวอยางลกคาของคลนกมา 10 คน แลวจดบนทกนาหนกทลดไดเมอเวลาผานไป 1 เดอน ไดคาเบยงเบนมาตรฐาน 1.4 กโลกรม จงหาความนาจะเปนทนาหนกเฉลยจากตวอยางจะมากกวาคาเฉลยของการลดนาหนกโดยทวไป 9. การแจกแจงอายของพนกงานในบรษทแหงหนง มคาเฉลย 36 ป และคาเบยงเบนมาตรฐาน 6 ป แตการแจกแจงไมใชการแจกแจงแบบปกต ถาสมพนกงานมา 64 คน จงหาความนาจะเปนทอายเฉลยของพนกงานอยระหวาง 34 ถง 37 ป 10. จงหาความนาจะเปนในการโยนเหรยญทเทยงตรง 120 ครง แลวไดหว ก. ตงแต 40% ถง 60% ข. มากกวาหรอเทากบ 5 ใน 8 ของจานวนครงทโยน 11. ทนตแพทยคนหนง เชอวา 90% ของเดกทมอายระหวาง 3 - 4 ขวบ จะไมเปนโรคฟนผ เพอทดสอบความเชอดงกลาวน เขาไดสมตวอยางเดกทมอายระหวาง 3 - 4 ขวบ มาตรวจสอบจานวน 100 คน อยากทราบวาความนาจะเปนทคาสดสวนตวอยางจะมคาแตกตางจากความเชอของทนตแพทยคนนไมเกน 0.05 12. ความนาจะเปนทลกคาทเขาไปในหางสรรพสนคาแหงหนงแลวซอสนคาเทากบ 0.4 สมตวอยางลกคามา 36 คน จงหาความนาจะเปนทสดสวนตวอยางจะมคาอยระหวาง 0.3 ถง 0.5 13. ในกลมของวยรนจะชอบเครองดมชนดหนง โดยสดสวนของวยรนชายทชอบเครองดมชนดน เทากบ 0.72 และสดสวนของวยรนหญงทชอบเครองดมชนดน เทากบ 0.62 สมตวอยางวยรนชายและวยรนหญงมา 50 คน เทา ๆ กน จงหาความนาจะเปนทสดสวนตวอยางของวยรนชายจะชอบเครองดมชนดนสงกวาสดสวนวยรนหญงมากกวา 0.15 14. จากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต ม 62 =σ สมตวอยางมาขนาด 25 มความแปรปรวน 2S ถา 05.0)( 2 => aSP จงหาคา a 15. จากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต มคาเฉลย 14 และไมทราบความแปรปรวน สมตวอยางมาขนาด 16 พบวา มความแปรปรวนของตวอยาง เทากบ 4 จงหา )341.15( >XP 16. ให 2

1S และ 22S เปนความแปรปรวนของตวอยาง 2 ชด ทเปนอสระตอกน โดยม 81 =n และ 122 =n

สมตวอยางจากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต ทมความแปรปรวนเทากน จงหา )89.4( 22

21 <

SSP

****************************

บทที่ 6 การแจกแจงของตัวสถ ิติ...316 204 สถ ต...

Documents