บทท 3 เรขาคณต

1. ค าจดกดความ

เรขาคณตเปนสาขาหนงของวชาคณตศาสตร ทกลาวถงคณสมบตของเสนตรง มมพนผวและปรมาตรตางๆ

จด คอ พนทไมมขนาด

เสนตรงเสนหนง คอ ระยะทางทสนทสดระหวางจด 2 จด

พนท คอ บรเวณหนงทมเสนลอมรอบ

ปรมาตร คอ ความจทมทงความกวาง ความยาว และความสง

2. เครองหมายทใชในวชาเรขาคณต

S หมายถง มม (หลายมม)

หมายถง รปสามเหลยม

หมายถง ตงฉาก

หมายถง ดงนน

หมายถง เพราะฉะนน หมายถง ขนานกนกบ

หมายถง เทากน

หมายถง ไมเทากน

หมายถง คลายกน

3. เสนตรง 2 เสนทขนานกน คอ เสนตรงทลากตอออกไปจะยาวเทาไหรกตาม เสนตรง 2 เสนนนกไมมวนพบกน และจะมระยะหาง

เทากนตลอด ตวอยางเชน รางรถไฟ รางทง 2 รางจะมระยะหางเทากนตลอดและจะไมพบกนเลย ตวอยางของเสนขนานแสดงดงรป

A B

C D

4. เสนตรง 2 เสนทไมขนานกน คอ เสนตรง 2 เสนซงเมอตอออกไปแลวจะมาตดกนทจดๆ หนง ตวอยางของเสนทไมขนานกนแสดงดงรป

12

D

AO

B

C

จากรปเราเรยกวา เสนตรง AB ตดกบเสนท CD ทจด O 5. มมทเกดจากเสนตรง 2 เสนทแยกหางออกจากกน ณ จดเดยวกนจดหนง

คอ คาของการหมนรอบจดๆ หนง จดนนเรยกวา จดยอด สวนของเสนตรงทงสองเสนเรยกวา ดาน

6. มาตราวดมม

มาตราวดมมทใชกนมากในกจการทหารปนใหญมอย 2 ชนด คอ 6.1. มาตราวดมมชนดมลเลยม

ถาหากเราแบงวงกลมออกเปน 6400 สวนเทาๆ กนแลว สวนๆ หนงเราเรยกวา 1 มลเลยม เพราะฉะนนเราจะเหนไดวาวงกลมวงหนงมทงหมด 6400 มลเลยม

1 มมฉาก = 1600 มลเลยม 2 มมฉาก = 3200 มลเลยม 3 มมฉาก = 4800 มลเลยม 4 มมฉาก = 6400 มลเลยม

6400 m

3200 m

1600 m4800 m

0 m

จากรปเราจะเหนวา วงกลมนแบงออกเปน 4 สวนเทาๆ กน สวนหนงเราเรยกวา 1 มม หากคดเปนมาตราวดมมชนดมลเลยมจะได 1600 มลเลยม ส าหรบการอานคามมทเกดจากเสนตรงสองเสนบรรจบกนหรอตดกน ณ จดใดจดหนง เชน เสนตรง BA และเสนตรง AC บรรจบกน ท ามมเทากบ 325 มลเลยม

13

A 325 m

B

C

6.2. มาตราวดมมชนดองศา, ลบดา, ฟลบดา 6.2.1. องศา

ถาหากเราแบงวงกลมออกเปน 360 สวนเทาๆ กนแลว สวนหนงๆ เราเรยกวา 1 องศา

เพราะฉะนนเราจะไดวา วงกลมหนงวงเมอใชมาตราเปนองศาแลวจะไดเทากบ 360 องศา หรอ 360 โดยท 1 มมฉาก = 90 องศา

2 มมฉาก = 180 องศา 3 มมฉาก = 270 องศา 4 มมฉาก = 360 องศา

6.2.2. ลบดา คอ การแบงมม 1 ออกเปน 60 สวนเทาๆ กน สวนๆ หนงเราเรยกวา 1 ลบดา หรอ

ฉะนนจงไดวา 1 องศา เทากบ 60 ลบดา 6.2.3. ฟลบดา

คอ การแบงมม ออกเปน 60 สวนเทาๆ กน สวนๆ หนงเราเรยกวา 1 ฟลบดา หรอ 1" ฉะนนจงไดวา 1 ลบดา เทากบ 60 ฟลบดา

6.2.4. สรป

1 มมฉาก = 90 องศา 1 องศา = 60 ลบดา 1 ลบดา = 60 ฟลบดา

14

00 360 0

900

1800

2700

จากรป วงกลมนจะถกแบงออกเปน 4 สวนเทาๆ กน สวนๆ หนงเราเรยกวา 1 มมฉาก ถาหากคดเปนมาตราวดมมเปนชนดองศาจะเทากบ 90 องศา

6.3. การเปรยบเทยบมาตราวดมมชนดมลเลยมกบองศา

1600 มลเลยม = 90 องศา

7. แบบตางๆ ของมม 7.1. มมฉาก (RIGHT ANGLE)

คอ มมทมคาเทากบ 90° หรอ 1600 มลเลยม หรอเมอเราลากเสนตรงไปตงฉากกบอกเสนหนงแลว มมทเกดขนจะเปนมมฉาก

1 2

จากรป มม 1 และ 2 เปนมมฉากทง 2 มม

7.2. มมแหลม (ACUTE ANGLE) คอ มมทมคานอยกวา 90° หรอนอยกวา 1600 มลเลยม

N

E

B

O1

15

จากรป มม NOE มคา 90° มม NOB มคานอยกวา 90° ดงนน มม NOB เปนมมแหลม

7.3. มมปาน (OBTUZE ANGLE) คอ มมทมคามากกวา 90° หรอมากกวา 1600 มลเลยม

N

E

C

O

จากรป มม NOE มคา 90° มม NOC มคามากกวา 90° ดงนน มม NOC เปนมมปาน 7.4. มมประกอบ 1 มมฉาก (COMPLEMENTARY ANGLE)

คอ มม 2 มมทรวมกนไดเทากบ 1 มมฉาก หรอ 1600 มลเลยม

A

E

D

B2

1 จากรป มม 1 และมม 2 รวมกนเทากบ 1 มมฉาก หรอ 90° หรอ 1600 มลเลยม โดยเราจะเรยกวา มม 1 เปนมมคฉากกบมม 2

7.5. มมประกอบ 2 มมฉาก (SUPLEMENTARY ANGLES) คอ มม 2 มมทรวมกนไดเทากบ 2 มมฉาก หรอ 3200 มลเลยม

43

จากรป มม 3 และมม 4 รวมกนเทากบ 2 มมฉาก หรอ 180° หรอ 3200 มลเลยม

8. ทฤษฎบทเกยวกบมมทตองจดจ า 8.1. ผลบวกของมมหลายมม ณ จดยอดรวมกน มคาเทากบ 4 มมฉาก หรอ 360 องศา หรอ 6400

มลเลยม

16

1

23

4

5

จากรป มม 1 + มม 2 + มม 3 + มม 4 + มม 5 เทากบ 6400 มลเลยม

8.2. ถาเสนตรง 2 เสน ตดกน ณ จดใดจดหนง มมทตรงกนขามจะมคาเทากน

12

34

จากรป มม 1 เทากบ มม 3 และ มม 2 เทากบ มม 4

8.3. เสนตรง 2 เสนขนานกนและถกเสนตรงอกเสนหนงตดผาน

มมภายในทอยตรงขามกนยอมเทากน

มมภายนอกทอยตรงขามกนยอมเทากน

มมทสมสวนกนยอมเทากน

12

3 4

56

7 8

จากรป สรปไดดงน

มมภายในทอยตรงขามกน คอ มม 4 กบมม 6 มคาเทากน มม 3 กบมม 5 มคาเทากน

17

มมภายนอกทอยตรงขามกนคอ มม 2 กบมม 8 มคาเทากน มม 1 กบมม 7 มคาเทากน

มมทสมสวนกน คอ มม 1 กบมม 7 มคาเทากน มม 2 กบมม 8 มคาเทากน

8.4. เสนตรงหลายๆ เสนขนานกน และมเสนตรงตงแต 2 เสนขนไปลากมาตดเสนขนานเหลานน อตราสวนของเสนตรงทลากมาตดเสนขนานแตละเสนมคาเทากบ

a

b

cd

e

fg

h

i

จากรป สรปไดดงน

8.5. มมทอยบนอารค (ARC) ของวงกลมรวมกนยอมมคาเทากน

A

C B

D

จากรป มม C และมม D เปนมมทอยบนอารครวมกน มมทงสองนจะมคาเทากนเสมอ

9. รปสามเหลยม 9.1. รปสามเหลยม คอ รปซงประกอบดวยดาน 3 ดาน และมม 3 มม

18

A

B Ca

bc

9.2. มมของสามเหลยม เขยนดวยอกษรตวพมพใหญ 9.3. ดานของรปสามเหลยม เขยนดวยอกษรตวพมพเลก โดยดานทตรงขามมมนนจะเปนอกษรเหมอนกน

เชน ดานตรงขามมม A คอ ดาน a

10. แบบตางๆ ของรปสามเหลยม 10.1. สามเหลยมมมแหลม (ACUTE TRIANGLE)

คอ สามเหลยมทมคาของมมภายในแตละมมนอยกวา 90° หรอนอยกวา 1600 มลเลยม

A

B C

10.2. สามเหลยมมมปาน (OBTUSE TRIANGLE)

คอ สามเหลยมทมมมภายใน 1 มมมคามากกวา 90° หรอมากกวา 1600 มลเลยม

AB

C

19

10.3. สามเหลยมมมฉาก (RIGHT TRIANGLE)

คอ สามเหลยมทมคาของมมภายในมมหนงเทากบ 90° หรอเทากบ 1600 มลเลยม

A

B C

10.4. สามเหลยมดานเทา (EGUILATERAL TRIANGLE)

คอ สามเหลยมใดๆ รปหนงทมดานเทากนทงสามดาน และมมมเทากนทงสามมม คอ มมละ 60°

A

B C

10.5. สามเหลยมหนาจว คอ สามเหลยมใดๆ รปหนง มมมทฐานของรปสามเหลยมเทากน 2 มม หรอดานเทากน 2 ดาน

A

BC

11. ทฤษฎเกยวกบสามเหลยมทตองจดจ า

11.1. ผลบวกของมมภายในสามเหลยมใดๆ ยอมเทากบ 2 มมฉาก หรอ 180° หรอ 3200 มลเลยม เสมอ

1a b

54

2 3c d

จากรป สมมตใหเสนตรง ab // cd

20

พสจน มม 1 + มม 4 + มม 5 = 3200 มลเลยม มม 4 = มม 2 (เพราะมมภายในทอยตรงขามตามทกลาวมาแลว) มม 3 = มม 5 (เพราะมมภายในทอยตรงขามตามทกลาวมาแลว)

มม 1 + มม 2 + มม 3 = 3200 มลเลยม 11.2. มมภายนอกของสามเหลยมรปหนง จะเทากบผลรวมของมมภายในทอยตรงขาม

3

4 21

จากรป มมภายนอก คอ มม 2 จะมคาเทากบผลบวกของมมภายในทอยตรงขามของรปสามเหลยม คอ มม 3 รวมกบ มม 4

พสจน จาก มม 1 + มม 2 = 3200 มลเลยม ------------- 1 แต มม 1 + มม 3 + มม 4 = 3200 มลเลยม ------------- 2 สมการ 1 = 2 มม 1 + มม 2 = มม 1 + มม 3 + มม 4 ดงนน มม 2 = มม 3 + มม 4

11.3. สามเหลยม 2 รปจะเทากนกตอเมอ

a

c b

d

f e

ดาน 2 ดานเทากน และมมระหวางดานทงสองดานเทากน คอ ดาน ac = df ดาน ab = de มม cab = fde

ดาน 3 ดานของรปสามเหลยมทงสองดานเทากน คอ ดาน ac = df ดาน ab = de ดาน bc = ef

21

ดานเทากน 1 ดานและมมทงสองทอยปลายดานทเทากน มคาเทากนมมมม คอ ดาน bc = ef มม c = มม f มม b = มม e

11.4. สามเหลยม 2 รปจะคลายกนกตอเมอ

a

c b

d

f e

มม 3 มมของรปสามเหลยมทงสองเทากน คอ มม a = มม d มม a = มม e มม a = มม f

ดานทง 3 ดาน มดานตอดานทสมสวนกนเปนปฏภาคกน คอ

มมเทากน 1 มม และดานทงสองทประกอบมมทเทากนเปนปฎภาคกน คอ มม a = มม d

11.5. ทฤษฎปทากอรส เปนทฤษฎทใชหาความยาวของดานของสามเหลยมมมฉากดานหนงทไมทราบคา โดยททราบความยาวอกสอง 2 ดาน

a

bc

สมการ ac2 = bc2 + ab2 12. รปสเหลยม

22

คอ รปทลอมรอบดวยดานหลายดาน ซงจะเรยกชอตามจ านวนดานทลอมรอบ เชน

a

c

b

d

จากรป เราเรยกวารปสเหลยมขนมเปยกปน และเรยกเสน ac และเสน bd วา เสนทะแยงมม

a b

c

de

จากรป เราเรยกวารปหาเหลยม และสามารถค านวณมมภายในโดยใชกฏ ผลบวกของมมภายในของรปหลายเหลยม = (n-2) x 3200 มลเลยม ; เมอ n คอ จ านวนดาน

13. แบบตางๆ ของรปสเหลยม 13.1. รปสเหลยมดานขนาน (PARALLELOGRAM)

คอ รปสเหลยมทมดานตรงขามกนขนานกน

a

c

b

d จากรป ดาน ab // dc และ ad // bc

13.2. รปสเหลยมผนผา (RECTANGLE) คอ รปสเหลยมทมมมภายในทงสเปนมมฉาก

A

C

B

D

23

จากรป มม A , มม B , มม C และมม D มคาเทากบ 90° หรอ 1600 มลเลยม

13.3. รปสเหลยมจตรส (SQUARE) คอ รปสเหลยมทมดานทง 4 ดานยาวเทากนและมมมทง 4 มมเปนมมฉาก

A B

CD จากรป AB = BC = CD = DA มม A , มม B , มม C และมม D มคาเทากบ 90° หรอ 1600 มลเลยม

13.4. รปสเหลยมขนมเปยกปน (RHOMBUS) คอ รปสเหลยมทมดานทง 4 ดานเทากน แตมมภายในทง 4 ไมเปนมมฉาก

A

C

B

D จากรป AB = BC = CD = DA

มม A , มม B , มม C และมม D มคาไมเทากบ 90° หรอไมเทากบ 1600 มลเลยม 13.5. รปสเหลยมคางหม (TRAPEZOID)

คอ รปสเหลยมทมดานตรงขามกนคหนงขนานกน

A

C

B

D จากรป AB // CD