a – lÝ thuy - file.khodethi.com

GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số ( )y f x= xác định trong khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng)

+ Nếu có 0x K∈ sao cho ( ) ( )0 ,f x f x x K≤ ∀ ∈ thì ( )0f x được gọi là giá trị lớn hất của hàm số trên

khoảng K. Kí hiệu: ( )0maxK

y f x=

+ Nếu có 0x K∈ sao cho ( ) ( )0 ,f x f x x K≥ ∀ ∈ thì ( )0f x được gọi là giá trị nhỏ hất của hàm số trên khoảng K. Kí hiệu: ( )0min

Ky f x= .

2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K: Phương pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K, rồi nhìn trên đó để kết luận max, min.

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ]; :a b

Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên khoảng đó và kết luận. Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có các bước làm sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số ( )y f x= đã cho.

2. Tìm các điểm 1 2; ;...; nx x x trên đoạn [ ];a b , tại đó ( )' 0f x = hoặc ( )'f x không xác định.

3. Tính: ( ) 1 2; ( ); ( );...; ( ); ( )nf a f x f x f x f b .

4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên (ở mục 3)

Khi đó: [ ]

( )[ ]

( );;

max ;m mina ba b

M f x f x= =

Chú ý:

1. Hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b thì hàm số f(x) luôn tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tất cả các giá trị trung gian nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn đó.

2. Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn nào cón nghĩa là ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số đó.

3. Tính đạo hàm 'y . Nếu [ ]( ) ( )( ) ( )

min' 0, ;

max

f x f ay x a b

f x f b

=≥ ∀ ∈ ⇒ =

4. Tính đạo hàm 'y . Nếu [ ]( ) ( )( ) ( )

min' 0, ;

max

f x f by x a b

f x f a

=≤ ∀ ∈ ⇒ =

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1. GTLN, GTNN TRÊN ĐOẠN, KHOẢNG

TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số là

A. 0 B. 4 C. 8 D. 2

Câu 2: Cho hàm số 22cos cos 1

.cos 1x x

yx+ +

=+

Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm

số đã cho. Khi đó M+m bằng A. – 4. B. – 5. C. – 6. D. 3.

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( )( )37 4: 7 4 1C y x x x x= + − + −

A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.

Câu 4: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )22017 2019y x x= + −

trên tập xác định của nó. Tính M m− .

A. 2019 2019 2017 2017+ . B. 4036 .

C. 4036 2018 . D. 2019 2017+ .

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( ) ( )( )5 1 3 1 3f x x x x x= − + − + − − lần lượt

là m và M , tính 2 2S m M= + .

A. 170S = . B. 169S = . C. 172S = . D. 171S = .

Câu 6: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )22 231 3 1y x x= − + − .

Hỏi điểm ( );A M m thuộc đường tròn nào sau đây?

A. ( )22 1 1x y+ − = . B. ( ) ( )2 23 1 20x y− + + =

C. ( ) ( )2 23 1 2x y− + − = . D. ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = .

Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( )3 3 3 32 1 1 2 1 1y x x x x= + + + + + − + là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 8: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số 3 , 0y ax cx d a= + + ≠ có ( )

( ) ( );0

min 2x

f x f∈ −∞

= − . Giá trị lớn nhất

của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ]1;3 bằng

A. 11d a− . B. 16d a− . C. 2d a+ . D. 8d a+ .

Câu 9: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Cho hàm số ( )23 3y x x m= − + . Tổng tất

cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]1;1− bằng 1 là

A. 1. B. 4− . C. 0 . D. 4 .

Câu 10: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho hàm số ( )22 .y x x m= + + Tổng tất cả các giá trị thực tham số

m sao cho [ 2;2]

4min y−

= bằng

2

4 4

2sin

sin cos2 2

xf x x x

A. 314

− . B. 8− . C. 234

− . D. 94

.

Câu 11: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Hàm số 4 3 2 1y x ax bx= + + + đạt giá trị nhỏ nhất tại 0x = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b= + là

A. 2 . B. 0 . C. 2− . D. 1− .

Câu 12: Cho hàm số ( ) ( )4 2 0y f x ax bx c a= = + + ≠ có điều kiện ( )

( ) ( );0

min 1f x f−∞

= − . Giá trị nhỏ nhất

của hàm số ( )y f x= trên đoạn 1 ;22

bằng:

A. 8c a+ B. 716

ac − C. 916

ac + D. c a−

Câu 13: Cho hàm số ( ) 3 3 2f x x x m= − + + . Có bao nhiêu số nguyên dương 2018m < sao cho với mọi

bộ ba số thực [ ], , 1;3a b c∈ − thì ( ) ( ) ( ), ,f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn. A. 1989 B. 1969 C. 1997 D. 2008

Câu 14: Cho hàm số 2 2 4y x x a= + + − . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ ]2;1− đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 3a = B. 2a = C. 1a = D. 4a =

Câu 15: Với m để hàm số trên đạt giá trị nhỏ nhất là 1 thì mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. B. C. D.

Câu 16: (CỤM-CHUYÊN-MÔN-HẢI-PHÒNG) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

[ ]3 2

1;3max 3 4?x x m− + ≤

A. Vô số. B. 4. C. 6. D. 5.

Câu 17: (HSG Bắc Ninh) Xét hàm số ( ) 2f x x ax b= + + , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn

nhất của hàm số trên [ ]1;3− . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính 2a b+ .

A. 2 . B. 4 . C. 4− . D. 3 .

Câu 18: (THTT lần 5) Gọi ,A a lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3 3y x x m= − +

trên đoạn [ ]0;2 . Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để 12Aa = . Tổng các phần tử của S bằng

A. 0 . B. 2 . C. 2− . D. 1

Câu 19: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số 3 23y x x m= − + đạt giá trị lớn nhất bằng 50 trên [ 2;4]− . Tổng các phần tử thuộc S là

A. 4 . B. 36 . C. 140 . D. 0 .

Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Gọi S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3 3y x x m= − + trên đoạn [ ]0;2 bằng 3 . Số phần tử của S là:

A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.

Câu 21: Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

2 1y x mx= + + [ ]1;2−

2 4m< < 1 2m< < 0 1m< < 4m >

S m

trên đoạn không vượt quá Tổng các phần tử của

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham

số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 4 21 19 30 204 2

y x x x m= − + + − trên đoạn [ ]0; 2

không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng

A. 210. B. 195− . C. 105. D. 300.

Câu 23: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số ( ) 4 3 24 4y f x x x x a= = − + +

. Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ]0;2 . Số

giá trị nguyên a thuộc đoạn [ ]3;3− sao cho 2M m≤ là

A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .

Câu 24: (Đặng Thành Nam Đề 15) Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 238 120 4y x x x m= − + + trên đoạn [ ]0;2 đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 26 . B. 13 . C. 14 . D. 27 .

Câu 25: (Liên Trường Nghệ An) Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 4 238 120 4= − + +y x x x m trên

đoạn [ ]0;2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng

A. 12− . B. 13− . C. 14− . D. 11− .

Câu 26: Cho hàm số ( ) 4 28f x x ax b= + + , trong đó a , b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của

hàm số ( )f x trên đoạn [ ]1;1− bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng?

A. 0a > , 0b < B. 0a < , 0b < C. 0a > , 0b > D. 0a < , 0b >

Câu 27: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Gọi T là tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số 2

1mxyx m

+=

+

có giá trị lớn nhất trên đoạn [ ]2;3 bằng 56

. Tính tổng của các phần tử trong T .

A. 175

. B. 165

. C. 2 . D. 6 .

Câu 28: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số ( ) 21

+= =

−x my f xx

.

Tính tổng các giá trị của tham số m để [ ]

( )[ ]

( )2;32;3

max min 2f x f x− = .

A. 4− . B. 2− . C. 1− . D. 3− .

Câu 29: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

1x myx+

=−

trên đoạn [ ]2; 3 bằng 14.

A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 4.

4 21 19 30 204 2

y x x x m= − + + − [0;2] 20. S

210 195− 105 300

Câu 30: (Sở Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2− −

=−

x myx m

trên đoạn [ ]0;4 bằng 1− .

A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.

Câu 31: Trên đoạn [ ]2;2− , hàm số 2 1mxy

x=

+ đạt giá trị lớn nhất tại 1x = khi và chỉ khi

A. 2.m = B. 0.m ≥ C. 2.m = − D. 0.m <

Câu 32: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Giá trị lớn nhất của hàm số 3 2

1x x my

x+ −

=+

trên [ ]0; 2 bằng

5 . Tham số m nhận giá trị là

A. 5− . B. 1. C. 3− . D. 8− .

Câu 33: (Chuyên Thái Bình Lần 3) Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của

hàm số 2 2

2x mx my

x− +

=−

trên đoạn [ ]1;1− bằng 3 . Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A. 83

− . B. 5 . C. 53

. D. 1− .

Câu 34: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Có bao nhiêu số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 4 3 4y x x m x= − + + − bằng 5− .

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

Câu 35: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số ( ) ( ) ( )2 21 4 2f x x ax ax a b= − + − + − , với

a , b∈ . Biết trên khoảng 4 ;03

−

hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 1x = − . Hỏi trên đoạn

52;4

− − hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại giá trị nào của x ?

A. 54

x = − . B. 43

x = − . C. 32

x = − . D. 2x = − .

Câu 36: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên sao cho [ ]

( ) ( )0;10

max 2 4x

f x f∈

= =

. Xét hàm số ( ) ( )3 2 2g x f x x x x m= + − + + . Giá trị của tham số m để [ ]

( )0;2

max 8x

g x∈

= là

A. 5 . B. 4 . C. 1− . D. 3 .

Câu 37: (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên sao cho [ ]

( )1; 2

max 3f x−

= .

Xét

( ) ( )3 1g x f x m= − + . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để [ ]

( )0;1

max 10g x = − .

A. 13 . B. 7− . C. 13− . D. 1− .

Câu 38: (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số ( )y f x= nghịch biến trên và thỏa mãn [ ] 6 4 2( ) ( ) 3 2 ,f x x f x x x x x− = + + ∀ ∈ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ]1;2 . Giá trị của 3M m− bằng

A. 4. B. 28.− C. 3.− D. 33.

Câu 39: Cho hàm số 1 2 ... 2019y x x x= − + − + + − . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. 22020 . B. 22.1010 . C. 21010 . D. 1009.1010 .

Câu 40: Cho hàm số 1 2 3 ... 2019 2020y x x x x x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

A. 22.1011 . B. 21010 . C. 21011 . D. 1010.2021.

TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BBT, ĐỒ THỊ

Câu 41: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên 70; 2

có đồ thị hàm số ( )y f x′= như hình vẽ sau:

Hàm số ( )y f x= đạt giá trị nhỏ nhất trên 70;

2

tại điểm 0x nào dưới đây ?

A. 0 0x = . B. 072

x = . C. 0 3x = . D. 0 1x = .

Câu 42: Cho hàm số ( )y f x= xác định và liên tục trên [ ]2;2− , có đồ thị của hàm số ( )y f x′= như

hình bên. Tìm giá trị 0x để hàm số ( )y f x= đạt giá trị lớn nhất trên [ ]2;2− .

A. 0 2x = . B. 0 1x = − . C. 0 2x = − . D. 0 1x = .

Câu 43: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị như hình vẽ:

O1−2− 1 2x

y

Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 32 2

xy f =

trên đoạn [ ]0;2 . Khi đó M m+ là

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 .

Câu 44: [Chuyên Thái Bình, lần 3, năm 2017-2018-] Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên R . Đồ thị của

hàm số ( )y f x′= như hình bên. Đặt ( ) ( ) ( )22 1g x f x x= − + . Mệnh đề nào dưới đây đúng.

A.

[ ]3;3( ) (1)

−=Min g x g . B.

[ ]3;3( ) (1)

−=Max g x g . C.

[ ]3;3( ) (3).Max g x g

−= D. Không tồn tại giá trị

nhỏ nhất của ( )g x trên [ ]3;3 .−

Câu 45: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng đồ thị hàm số ( )y f x= ′ như dưới đây.

Lập hàm số ( ) ( ) 2g x f x x x= − − . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( ) ( )1 1g g− > . B. ( ) ( )1 1g g− = . C. ( ) ( )1 2g g= . D. ( ) ( )1 2g g> .

Câu 46: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )f x′ như hình vẽ

6

4

2

2

x

y

3

O 1

-1

-1

2

5

O 1 3 x

2

4

2−

3−

y

Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( ) 31 13

g x f x x x= − + − trên đoạn [ ]1;2− bằng

A. ( ) 513

f − − . B. ( ) 113

f − . C. ( ) 523

f − . D. 13

− .

Câu 47: Hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )y f x= ′ như hình vẽ.

Xét hàm số ( ) ( ) 3 21 3 3 20173 4 2

g x f x x x x= − − + +

Trong các mệnh đề dưới đây: I) ( ) ( )0 1g g< II)

[ ]( ) ( )

3;1min 1

xg x g

∈ −= −

III) Hàm số ( )g x nghịch biến trên ( )3; 1− −

IV) [ ]

( ) ( ) ( ){ }3;1

max max 3 ; 1x

g x g g∈ −

= −

Số mệnh đề đúng là A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.

Câu 48: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )y f x′= như hình vẽ. Xét hàm số

( ) ( ) 3 21 3 3 20183 4 2

g x f x x x x= − − + + . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

[ ]( ) ( )

3; 1min 1g x g−

= − . B. [ ]

( ) ( )3; 1

min 1g x g−

= .

C. [ ]

( ) ( )3; 1

min 3g x g−

= − . D. [ ]

( ) ( ) ( )3; 1

3 1min

2g g

g x−

− += .

Câu 49: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho hàm số ( )f x . Biết hàm số ( )y f x′= có

đồ thị như hình bên. Trên đoạn [ ]4;3− , hàm số ( ) ( ) ( )22 1g x f x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. 0 4= −x . B. 0 1= −x . C. 0 3=x . D. 0 3= −x .

Câu 50: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Cho hàm số ( )y f x= có bảng biến thiên như

hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( )2 3 21 14 3 83 3

g x f x x x x x= − + − + + trên đoạn

[ ]1;3 .

A. 15. B. 253

. C. 193

. D. 12.

Câu 51: Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số

. Tìm để .

( )y f x=

( ) ( )32 1y g x f x x m= = + − + m[ ]

( )0;1

max 10g x = −

O x

y

1

1

3

3−1−

2−

A. . B. . C. . D. .

Câu 52: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm ( )f x′ . Hàm số

( )y f x′= liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng ( ) 1013

f − = , ( )2 6f = . Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( )3 3g x f x f x= − trên đoạn [ ]1;2−

bằng

A. 103

. B. 82027

. C. 73027

. D. 198 .

Câu 53: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần 1) Cho hàm số ( )y f x= có bảng biến thiên như sau

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( )3 5 31 2 23 35 3 15

g x f x x x x x= − − − + − trên đoạn [ ]1;2− ?

A. 2022 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021.

Câu 54: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số ( )'y f x= như hình vẽ.

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 4f f f f− + = + , các điểm ( ) ( )1;0 , 1;0A B − thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất của hàm số ( )f x trên đoạn [ ]1;4− lần lượt là A. ( ) ( )1 ; 1f f − . B. ( ) ( )0 ; 2f f . C. ( ) ( )1 ; 4f f− . D. ( ) ( )1 ; 4f f .

Câu 55: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm số ( )f x có đạo

hàm là ( )f x′ . Đồ thị của hàm số ( )y f x′= cho như hình vẽ.

13m = − 3m = 12m = − 1m = −

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 4 3 0f f f f+ = + . Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của ( )f x trên đoạn [ ]0;4 lần lượt là

A. ( ) ( )2 , 0f f . B. ( ) ( )4 , 2f f . C. ( ) ( )0 , 2f f . D. ( ) ( )2 , 4f f .

Câu 56: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm ( ) ' y f x= như hình vẽ. Biết rằng

( ) ( ) ( ) ( )0 3 2 5 .f f f f+ = + Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn của ( )f x trên đoạn [ ]0;5 làn lượt là:

A. ( ) ( )2 ; 0f f B. ( ) ( )0 ; 5f f C. ( ) ( )2 ; 5f f D. ( ) ( )1 ; 3f f

Câu 57: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số có ( )f x có đạo hàm là hàm ( )'f x . Đồ thị hàm số ( )'f x như

hình vẽ bên. Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2 4 3f f f f f+ − = − . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn

nhất M của ( )f x trên đoạn [ ]0;4 .

A. ( ) ( )4 , 2m f M f= = . B. ( ) ( )1 , 2m f M f= =

C. ( ) ( )4 , 1m f M f= = . D. ( ) ( )0 , 2m f M f= = .

Câu 58: (HSG 12 Bắc Giang) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm là ( )f x′ . Đồ thị của hàm số ( )y f x′= được cho như hình vẽ dưới đây:

O2 4 x

y

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2f f f f− + < + . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( )y f x= trên đoạn

[ ]1;2− lần lượt là:

A. ( )1f ; ( )2f . B. ( )2f ; ( )0f . C. ( )0f ; ( )2f . D. ( )1f ; ( )1f − .

Câu 59: Cho hai hàm số ( )y f x= , ( )y g x= có đạo hàm là ( )f x′ , ( )g x′ . Đồ thị hàm số ( )y f x′= và

( )g x′ được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )0 6 0 6f f g g− < − . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( )h x f x g x= −

trên đoạn [ ]0;6 lần lượt là:

A. ( )2h , ( )0h . B. ( )2h , ( )6h . C. ( )0h , ( )2h . D. ( )6h , ( )2h .

Câu 60: đường cong nét đậm và ( )'y g x= là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm

, ,A B C của ( )'y f x= và ( )'y g x= trên hình vẽ lần lượt có hoành độ , ,a b c . Tìm giá trị nhỏ

nhất của hàm số ( ) ( ) ( )h x f x g x= − trên đoạn [ ];a c ?

A.

[ ]( ) ( )

;min

a ch x h a= . B.

[ ]( ) ( )

;min

a ch x h b= . C.

[ ]( ) ( )

;min

a ch x h c= . D.

[ ]( ) ( )

;min 0

a ch x h= .

Câu 61: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm cấp hai trên . Biết ( )0 3f ′ = ,

( )2 2018f ′ = − và bảng xét dấu của ( )f x′′ như sau:

Hàm số ( )2017 2018y f x x= + + đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 0x thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( ); 2017−∞ − . B. ( )2017;+∞ . C. ( )0;2 . D. ( )2017;0− .

Câu 62: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Đặt , . Tổng bằng

A. B. C. D. .

Câu 63: Cho hàm số thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có hai cực trị.

B. Phương trình luôn có 3 nghiệm phân biệt.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

x

y

c ba

CB

A

O

( )y f x=

( )( )4 4max 2 sin cosM f x x= +

( )( )4 4min 2 sin cosm f x x= +

M m+

6 4 5 3

( ) ( )3 2 0f x ax bx cx d a= + + + ≠ ( ) ( )(0) (2) . (3) (2) 0f f f f− − >

( )f x

( ) 0f x =

( )f x

( ) 0f x =

Câu 64: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số ( ) ( )2 3 1y g x f x m= = + − . Khi

0m m= thì giá trị lớn nhất của hàm số ( )y g x= trên đoạn [ ]1;3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 6 . B. 9 . C. 12 . D. 8 .

Câu 65: Cho hàm số ( )=y f x có đồ thị ( )′=y f x như hình vẽ:

Xét hàm số ( ) ( ) 32 2 4 3 6 5= + − − −g x f x x x m , ( )m∈ . Để ( ) 0≤g x với 5; 5 ∀ ∈ − x thì điều

kiện của m là:

A. ( )2 53

≥m f . B. ( )2 53

≤m f .

C. ( )2 0 2 53

≤ −m f . D. ( )2 5 4 53

≥ − −m f .

Câu 66: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số ( )f x liên

tục trên ( )0;+∞ thỏa mãn ( ) ( ) ( )2 23 . 2x f x x f x f x′− = , với ( ) 0f x ≠ , ( )0;x∀ ∈ +∞ và

( ) 113

f = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên

đoạn [ ]1;2 . Tính M m+ .

A. 910

. B. 2110

. C. 73

. D. 53

.

DẠNG 2. GTLN, GTNN HÀM NHIỀU BIẾN ÁP DỤNG CÁC BĐT CỔ ĐIỂN

Câu 1: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Biết hai hàm số ( ) 3 2 4 2f x x ax x= + + − và ( ) 3 2 2 3g x x bx x= − + − +

có chung ít nhất một điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b= + .

A. 3 2 . B. 6 2 . C. 6. D. 3.

Câu 2: Xét phương trình 3 2 1 0ax x bx− + − = với a , b là các số thực, 0a ≠ , a b≠ sao cho các nghiệm

đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )

2

2

5 3 2a abPa b a− +

=−

.

A. 8 2 . B. 11 6 . C. 12 3 . D. 15 3 .

Câu 3: Giả sử phương trình ( ) ( )2

3 2 11 0

2a b

x a b x x+ −

− + + + = có ba nghiệm.

Gọi M, m là GTLN và GTNN của 2 2 1

2a bP ab+ −

= + . Khi đó M m+ bằng

A. 1 . B. 12

. C. −1 . D. 2 .

Câu 4: Cho các số thực ,x y thỏa mãn ( )2 3 3x y x y+ = − + + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )2 24 15P x y xy= + + là

A. min 83P = − . B. min 63P = − . C. min 80P = − . D. min 91P = − .

Câu 5: Cho x , y là hai số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 4 4 3x y xy y x+ + + = + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )3 3 2 23 20 2 5 39P x y x xy y x= − + + + + .

A. 55

. B. 5 . C. 100 . D. 53

.

ÁP DỤNG HÀM SỐ

Câu 6: Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 23 3 4 4P x a y y a x xy a ax ay x y= − − − + + − − + trong đó a là số thực dương cho trước. Biết rằng giá trị lớn nhất của P bằng 2018 . Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (500;525]a . B. (400;500]a . C. (340;400]a . D. 2018a .

Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho phương trình có nghiệm. Giá trị nhỏ nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: Với , 0>a b thỏa mãn điều kiện 1+ + =a b ab , giá trị nhỏ nhất của 4 4= +P a b bằng.

A. ( )42 1− . B. ( )4

2 1+ . C. ( )42 2 1+ . D. ( )4

2 2 1− .

Câu 9: Cho x , y , z là ba số thực dương và ( )2 2 2

3 8 12 8 2 4 3

Px y zx y yz x y z xz

= − −+ ++ + + + + +

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x y z+ + .

4 3 2 1 0x ax bx cx 2 2 2P a b c

2 43

83

4

A. 1. B. 32

. C. 3 . D. 3 3 .

Câu 10: Cho hai số thực 0, 0x y≠ ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện 2 2( )x y xy x y xy+ = + − . Giá trị lớn

nhất M của biểu thức 3 3

1 1Ax y

= + là:

A. 0.M = B. 0.M = C. 1.M = D. 16.M =

Câu 11: Cho x , y là các số thực thỏa mãn 1 2 2x y x y+ = − + + . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của ( )( )2 2 2 1 1 8 4P x y x y x y= + + + + + − − . Khi đó, giá trị của M m+ bằng.

A. 41. B. 42 . C. 43. D. 44 .

Câu 12: Cho các số thực x , y thỏa mãn 2 22 3 4x xy y+ + = . Giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2P x y= − là:

A. max 16P = . B. max 12P = . C. max 4P = . D. max 8P = .

Câu 13: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 3 0

2 3 14 0x xy

x y − + =

+ − ≤. Tính tổng giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 33 2 2P x y xy x x= − − + A. 0 . B. 12 . C. 4 . D. 8 .

Câu 14: Cho các số thực x , y thay đổi thỏa điều kiện 0y ≤ , 2 12x x y+ = + . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 17M xy x y= + + + lần lượt bằng

A. 10; 6.− B. 5; 3.− C. 20; 12.− D. 8; 5.−

Câu 15: Cho các số thực x , y thỏa mãn ( )2 3 3x y x y+ = − + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )2 24 15P x y xy= + + .


Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất minP của biểu thức 2 22 21 1 2P x y x y y .

A. min 5 2P . B. min 2 3P . C. min 2 2P . D. min19150

P .

Câu 17: Cho hai số thực x , y thỏa mãn 0x ≥ , 1y ≥ , 3x y+ = . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 22 3 4 5P x y x xy x= + + + − lần lượt bằng:

A. max 18P = và min 15P = . B. max 15P = và min 13P = .

C. max 20P = và min 18P = . D. max 20P = và min 15P = .

Câu 18: Cho hai số thực x , y thỏa mãn: ( )3 22 7 2 1 3 1 3 2 1y y x x x y+ + − = − + + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2P x y= + .

A. 8P = . B. 10P = C. 4P = . D. 6P = .

Câu 19: Cho ,x y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ( )( ) 11 1 1xy xy y xy

+ + − ≤ − − . Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 2

263

x y x yPx yx xy y

+ −= −

+− +?

A. 5 730+ . B. 5 7

3 30− . C. 7 5

30 3− . D. 5 7

3 30+ .

Câu 20: Cho ,a b∈ ; , 0a b > thỏa mãn ( ) ( )( )2 22 2a b ab a b ab+ + = + + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2

3 3 2 24 9a b a bPb a b a

= + − +

bằng

A. 234

. B. 10− . C. 214− . D. 23

4− .

Câu 21: Cho hai số thực ,x y thỏa mãn: ( )39 2 3 5 3 5 0x y xy x xy+ − − + − =

Tìm giá trị nhỏ nhất của ( )( )3 3 26 3 3 1 2xy x x yP x y + + + + −= +

A. 296 15 189

− . B. 36 296 159

+ . C. 36 4 69− . D. 4 6 18

9− + .

Câu 22: Cho ,x y là hai số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 3 0x y x+ + − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2P x y= − − (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

A. 3,70− . B. 3,73− . C. 3,72− . D. 3,71− .



A. 296 15 189

− . B. 36 296 159

+ . C. 36 296 159

+ . D. 4 6 189

− + .

Câu 24: (Hải Hậu Lần1) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 39 3 2

1x yy

x= +

++ . Giá trị lớn nhất của

biểu thức 6S x y= − là:

A. 89 .12

B. 11.3

C. 17 .12

D. 82 .3

Câu 25: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho ,x y∈ thỏa mãn 1x y+ ≠ − và 2 2 1x y xy x y+ + = + + . Gọi

M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

xyPx y

=+ +

. Tính M m+ .

A. 13

. B. 23

− . C. 12

. D. 13

− .



1 1Ax y

= + là:

A. 0.M = B.

0.M = C.

1.M = D.

16.M =

Câu 27: Cho là hai số không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

,x y 2+ =x y3 2 21 1

3= + + − +P x x y x

A. . B. . C. . D. .

Câu 28: (TTHT Lần 4) Cho ,x y là các số thực thỏa mãn 2 2 1x xy y− + = . Gọi ,M m lần lượt là giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 4 4

2 2

11

x yPx y+ +

=+ +

. Giá trị của 15A M m= + là:

A. 17 2 6− . B. 17 6+ C. 17 2 6+ D.

Câu 29: (Sở Bắc Ninh) Cho hai số thực x , y thỏa mãn 2 2 2 24 6 4 6 10 6 4+ − + + + + + = + −x y x y y y x x . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2= + −T x y a . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [ ]10;10−

của tham số a để 2≥M m ?

A. 17. B. 15. C. 18. D. 16.

Câu 30: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ( ) ( )2 23 1 5x y− + − = . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 23 4 7 4 1

2 1y xy x yP

x y+ + + −

=+ +

.

A. 3 . B. 3 . C. 11411

. D. 2 3 .

Câu 31: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Xét các số thực dương x , y , z thỏa mãn

4x y z+ + = và 5xy yz zx+ + = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )3 3 3 1 1 1x y zx y z

+ + + +

bằng

A. 20 . B. 25 . C. 15 . D. 35 .

Câu 32: (Kim Liên) Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn ( )2 22 ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + + . Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 3 3 2 2

3 3 2 24 9a b a bPb a b a

= + − +

thuộc khoảng nào?

A. (-6 ;-5) . B. (-10 ;-9) . C. (-11 ;-9) . D. (-5 ;-4) .

Câu 33: (Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho các số thực ,x y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 2 23 2 5x xy y− − =. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 22P x xy y= + + thuộc khoảng nào sau đây.

A. ( )4;7 . B. ( )2;1− . C. ( )1;4 . D. ( )7;10 .

Câu 34: (Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho ,x y thỏa mãn 3 2 2log ( 9) ( 9)2

x y x x y y xyx y xy

+= − + − +

+ + +

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2 910

x yPx y+ −

=+ +

khi ,x y thay đổi.

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Câu 35: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số thực x , y thay đổi

thỏa mãn 2 2 1x y xy+ − = và hàm số ( ) 3 22 3 1f t t t= − + .

min 5=P 7min3

=P 17min3

=P 115min3

=P

Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 5 2

4x yQ fx y

− += + +

. Tổng

M m+ bằng A. 4 3 2− − . B. 4 5 2− − . C. 4 4 2− − . D. 4 2 2− − .

Câu 36: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho 2 số ,x y thỏa mãn 2 25 1 4x y xy+ = + và hàm số bậc ba ( )y f x= có đồ thị như hình vẽ. Gọi ,M m tương ứng là

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 3 34 4

x yP fx y

− −= − + +

.

Tích .M m bằng

A. 14361331− B. 3380

1331 C. 1436

1331 D. 1944

1331

Câu 37: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số thực ,x y thay đổi thỏa mãn 2 25 2 1x y xy+ + = và hàm số

( ) 4 22 2f t t t= − + Gọi ,M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 13 2

x yQ fx y

+ −= + −

.

Tổng M m+ A. 4 3 2+ . B. 8 3 2− . C. 66 . D. 9 3 17+

Câu 38: (2D1-4) (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho x , y là các số

thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 3 0

2 3 14 0x xy

x y − + =

+ − ≤. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 2 2 33 2 2P x y xy x x= − − + .

A. 8 . B. 0 . C. 12 . D. 4 .

Câu 39: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn 8

5xy yz zxx y z+ + =

+ + = và hàm số ( ) 2 4 5f x x x= − +

Gọi ,M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( )f x . Tổng M m+

A. 3 . B. 289

C. 199

. D. 2

Câu 40: Cho [ ), 0;x y∈ +∞ , 1x y+ = . Biết [ ];m a b∈ thì phương trình ( )( )2 25 4 5 4 40x y y x xy m+ + + = có nghiệm thực. Tính 25 16T a b= + .

A. 829T = . B. 825T = . C. 816T = . D. 820T = .

GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số ( )y f x= xác định trong khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng)

+ Nếu có 0x K∈ sao cho ( ) ( )0 ,f x f x x K≤ ∀ ∈ thì ( )0f x được gọi là giá trị lớn hất của hàm số trên

khoảng K. Kí hiệu: ( )0maxK

y f x=

+ Nếu có 0x K∈ sao cho ( ) ( )0 ,f x f x x K≥ ∀ ∈ thì ( )0f x được gọi là giá trị nhỏ hất của hàm số trên khoảng K. Kí hiệu: ( )0min

Ky f x= .

2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K: Phương pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K, rồi nhìn trên đó để kết luận max, min.

Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ]; :a b

Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên khoảng đó và kết luận. Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có các bước làm sau:

1. Tính đạo hàm của hàm số ( )y f x= đã cho.

2. Tìm các điểm 1 2; ;...; nx x x trên đoạn [ ];a b , tại đó ( )' 0f x = hoặc ( )'f x không xác định.

3. Tính: ( ) 1 2; ( ); ( );...; ( ); ( )nf a f x f x f x f b .

4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên (ở mục 3)

Khi đó: [ ]

( )[ ]

( );;

max ;m mina ba b

M f x f x= =

Chú ý:

1. Hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn [ ];a b thì hàm số f(x) luôn tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tất cả các giá trị trung gian nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn đó.

2. Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn nào cón nghĩa là ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định của hàm số đó.

3. Tính đạo hàm 'y . Nếu [ ]( ) ( )( ) ( )

min' 0, ;

max

f x f ay x a b

f x f b

=≥ ∀ ∈ ⇒ =

4. Tính đạo hàm 'y . Nếu [ ]( ) ( )( ) ( )

min' 0, ;

max

f x f by x a b

f x f a

=≤ ∀ ∈ ⇒ =

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1. GTLN, GTNN TRÊN ĐOẠN, KHOẢNG

TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số là

A. 0 B. 4 C. 8 D. 2 Lời giải

TXĐ: , ta có .

Đặt , hàm số trở thành với , ta có

, suy ra hàm số đồng biến trên , vậy

, xảy ra khi

Chọn B

Câu 2: Cho hàm số 22cos cos 1

.cos 1x x

yx+ +

=+

Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm

số đã cho. Khi đó M+m bằng A. – 4. B. – 5. C. – 6. D. 3.

Lời giải Chọn D

Tập xác định: D = . Đặt cos , 0 1t x t= ≤ ≤22 1( ) , 0 1

1t ty f t t

t+ +

⇒ = = ≤ ≤+

2

2

2 4( )( 1)t tf tt+′ =+

; [ ]

0( ) 0

2 0;1t

f tt=

′ = ⇔ = − ∉(0) 1, (1) 2f f⇒ = =

Vậy min 1, max 2y y= =

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( )( )37 4: 7 4 1C y x x x x= + − + −

A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải

Tập xác định: [ )1;D = +∞

( )( )( ) ( )

37 4

36 3 7 4

0, 1

7 4 1

3 1 1' 1 7 28 7 42 1

x

y x x x x

y x x x x x xx x

≥ ∀ ≥

= + − + −

⇒ = + − + + + + − −

.

Câu 4: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )22017 2019y x x= + −

trên tập xác định của nó. Tính M m− . A. 2019 2019 2017 2017+ . B. 4036 . C. 4036 2018 . D. 2019 2017+ .

Lời giải Chọn C TXĐ: 2019; 2019D = −

2

4 4

2sin

sin cos2 2

xf x x x

D 2 2 2

24 4 2

2sin 2sin 4sin1 2 sinsin cos 1 sin

2 2 2

x x xf x x x xx

2sin 0;1x t t 42

tg tt

0;1t

28' 0 0;1

2g t t

t

0;1

0;1

max ax 1 4x t

f x m g t g

12

t x k k

Ta có 2

2

22017 2019

2019xy x

x′ = + − −

−

0y′⇒ =2 2 2

2

2 2

2017 2019 2019 22017 2019 0 02019 2019

− + −⇔ + − − = ⇔ =

− −

x x xxx x

Trên D , đặt 22019t x= − , 0t ≥ . Ta được:

21

2 2017 2019 0 20192

tt t

t

=+ − = ⇔ = −

2 20182019 1

2018

xx

x

= −⇒ − = ⇔

=

Khi đó ( )2018 2018 2018f − = − ; ( )2018 2018 2018f =

( )2019 2017 2019f − = − ; ( )2019 2017 2019f =

Suy ra min 2018 2018D

m y= = − , max 2018 2018D

M y= =

Vậy 4036 2018.M m− = Câu 5: Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( ) ( )( )5 1 3 1 3f x x x x x= − + − + − − lần lượt

là m và M , tính 2 2S m M= + . A. 170S = . B. 169S = . C. 172S = . D. 171S = .

Lời giải Chọn D Tập xác định [ ]1;3D = .

Đặt 1 3t x x= − + − ta có 2 2t≤ ≤ (dùng máy tính hoặc tìm GTLN, GTNN của t ).

( )( )2 21 32

tx x −⇒ − − = vậy ta có hàm số ( )

2

5 12tg t t= + − với 2 2t≤ ≤ .

Hàm số ( ) 5 0 5 2;2g t t t ′ = + = ⇔ = − ∉ .

( )2 5 2g = , ( )2 11g = nên 5 2, 11m M= = .

Vậy 2 2 171S m M= + = .

Câu 6: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )22 231 3 1y x x= − + − .

Hỏi điểm ( );A M m thuộc đường tròn nào sau đây?

A. ( )22 1 1x y+ − = . B. ( ) ( )2 23 1 20x y− + + =

C. ( ) ( )2 23 1 2x y− + − = . D. ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = . Lời giải

Chọn C TXĐ: [ ]1;1D = − .

Đặt 6 21t x= − . Vì [ ] [ ]1;1 0;1x t∈ − ⇒ ∈ .

Vậy ( ) [ ]3 43 , 0;1y f t t t t= = + ∈ .

2 33 12f t t′ = + , 1

0 40

tf

t

= −′ = ⇔=

.

( ) ( )1 4, 0 0f f= = .

[ ] [ ]( )

1;1 1;1max max 4y f x− −

= = ;[ ] [ ]

( )1;1 1;1

min min 0y f x− −

= = .

Vậy điểm ( )4;0A .

Ta có: ( ) ( )2 24 3 0 1 2− + − = ( ) ( ) ( )2 2: 3 1 2A C x y⇒ ∈ − + − = .

Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( )3 3 3 32 1 1 2 1 1y x x x x= + + + + + − + là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải

( ) ( )3 3 3 32 1 1 2 1 1y x x x x= + + + + + − +

( ) ( )2 23 31 1 1 1y x x⇔ = + + + + −

3 31 1 1 1y x x⇔ = + + + + −

Điều kiện để hàm số xác định 1x ≥ − Ta có 3 31 1 1 1y x x= + + + + −

- Nếu 1 0x− ≤ < thì 3 3 31 1 0 1 1 1 1 2x x x y+ − < ⇒ + − = − + ⇒ =

- Nếu 0x ≥ thì 3 21 1 0 2 1 2x y x+ − ≥ ⇒ = + ≥ Vậy: 2, 1, 2 0y x y x≥ ∀ ≥ − = ⇔ = Chọn C Câu 8: (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số 3 , 0y ax cx d a= + + ≠ có

( )( ) ( )

;0min 2

xf x f

∈ −∞= − . Giá trị lớn nhất

của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ]1;3 bằng A. 11d a− . B. 16d a− . C. 2d a+ . D. 8d a+ .

Lời giải Chọn B Vì 3 , 0y ax cx d a= + + ≠ là hàm số bậc ba và có

( )( ) ( )

;0min 2

xf x f

∈ −∞= − nên 0a < và ' 0y = có hai nghiệm

phân biệt. Ta có 2' 3 0y ax c= + = có hai nghiệm phân biệt 0ac⇔ < .

Vậy với 0, 0a c< > thì ' 0y = có hai nghiệm đối nhau 3cxa

= ± −

Từ đó suy ra( )

( );0

min3x

cf x fa∈ −∞

= − −

2 2 12

3 3c c c aa a

⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ = −

Ta có bảng biến thiên

Ta suy ra

[ ]( ) ( )

1;3max 2 8 2 16x

f x f a c d a d∈

= = + + = − + .

Câu 9: (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Cho hàm số ( )23 3y x x m= − + . Tổng tất

cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]1;1− bằng 1 là A. 1. B. 4− . C. 0 . D. 4 .

Lời giải

Chọn C Xét hàm số ( ) 3 3f x x x m= − + .

Để GTNN của hàm số ( )23 3y x x m= − + trên đoạn [ ]1;1− bằng 1 thì [ ]

( )1;1

min 1f x−

= hoặc [ ]

( )1;1

max 1f x−

= − .

Ta có ( ) 23 3f x x′ = − ; ( )1

01

xf x

x= −′ = ⇔ =

( )f x⇒ nghịch biến trên [ ]1;1− .

Suy ra [ ]

( ) ( )1;1

max 1 2f x f m−

= − = + và [ ]

( ) ( )1;1

min 1 2f x f m−

= = − + .

Trường hợp 1: [ ]

( )1;1

min 1 2 1 3f x m m−

= ⇔ − + = ⇔ = .


( )1;1

max 1 2 1 3f x m m−

= − ⇔ + = − ⇔ = − .

Vậy tổng các giá trị của tham số m là 0 . Câu 10: (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho hàm số ( )22 .y x x m= + + Tổng tất cả các giá trị thực tham số

m sao cho [ 2;2]

4min y−

= bằng

A. 314

− . B. 8− . C. 234

− . D. 94

.

Lời giải Chọn C

Xét 2u x x m= + + trên đoạn [-2;2] ta có 1' 0 2 1 0 .2

u x x= ⇔ + = ⇔ = −

Ta tính được ( )2 2;u m− = + 1 1 ;2 4

u m = −

( )2 6.u m= +

Nhận xét 1 2 6,4

m m m m− < + < + ∀ ∈ nên [ ]2;2max 6A u m−

= = + ; [ ]2;2

1min4

a u m−

= = −

Nếu 2

[ 2;2]

1 1 9 70 min 4 ( / ); ( ).4 4 4 4

a m y m m t m m l−

≥ ⇔ ≥ ⇒ = − = ↔ = = −

Nếu ( )2

[ 2;2]0 6 min 6 4 8( / ); 4( ).A m y m m t m m l

−≤ ⇔ ≤ − ⇒ = + = ↔ = − = −

Nếu [ 2;2]

1. 0 6 min 0( ).4

A a m y l−

< ⇔ − < < ⇒ =

Vậy tổng các giá trị thực của tham số là 9 238 .4 4− = −

Câu 11: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN 4 NĂM 2019) Hàm số 4 3 2 1y x ax bx= + + + đạt giá trị nhỏ nhất tại 0x = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b= + là

A. 2 . B. 0 . C. 2− . D. 1− . Lời giải

Chọn D Ta có ( ) ( )0 ,f x f x≥ ∀ ∈ 4 3 2 0,x ax bx x⇔ + + ≥ ∀ ∈ .

( )2 2 0,x x ax b x⇔ + + ≥ ∀ ∈ 2 0,x ax b x⇔ + + ≥ ∀ ∈ .

0⇔ ∆ ≤ 2 4 0a b⇔ − ≤2

4ab⇔ ≥ .

Khi đó: 22

1 1 1,4 2a aS a b a a = + ≥ + = + − ≥ − ∀

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

142

1 02

ab baa

= = ⇔ = − + =

.

Vậy min 1S = − , khi 2a = − , 1b = . Câu 12: Cho hàm số ( ) ( )4 2 0y f x ax bx c a= = + + ≠ có điều kiện

( )( ) ( )

;0min 1f x f−∞

= − . Giá trị nhỏ nhất

của hàm số ( )y f x= trên đoạn 1 ;22

bằng:

A. 8c a+ B. 716

ac − C. 916

ac + D. c a−

Lời giải: Ta chú ý rằng điểm cực trị của hàm số có 0x = cho nên nếu như

( )( ) ( )

;0min 1f x f−∞

= − chứng tỏ rằng

1x = ± là các điểm cực tiểu của hàm số cho nên ( ) ( )4 22f x a x x c= − + .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên đoạn 1 ;22

bằng ( )1f c a= − .

Chọn D Câu 13: Cho hàm số ( ) 3 3 2f x x x m= − + + . Có bao nhiêu số nguyên dương 2018m < sao cho với mọi

bộ ba số thực [ ], , 1;3a b c∈ − thì ( ) ( ) ( ), ,f a f b f c là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn. A. 1989 B. 1969 C. 1997 D. 2008

Lời giải: Ta đặt ( )

[ ]( )

[ ]( )3

1;31;33 2 max 20;min 0g x x x g x g x

−−= − + ⇒ = = khi đó ( ) ( )f x m g x= + .

Ta có: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) [ ], , 1;3 , , 1;3f a f b f c a b c m g c g a g b a b c+ > ∀ ∈ − ⇒ > − + ∀ ∈ −

[ ]( )

[ ]( )

1;31;3max 2min 20m g x g x m

−−⇒ > − ⇒ > .

Và ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ]2 2 22 2 2 , , 1;3 , , 1;3f a f b f c a b c m g a m g b m g c a b c+ > ∀ ∈ − ⇒ + + + > + ∀ ∈ −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2 22 0 , , 1;3m g a g b g c m g a g b g c a b c⇒ + + − + + − > ∀ ∈ −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 22 2 2 2 0 , , 1;3m g a g b g c g a g b g a g c g b g c g c a b c⇒ + + − − + + − > ∀ ∈ −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]22 , , 1;3m g a g b g c g a g c g b g c a b c⇒ + + − > − − ∀ ∈ −

( ) ( ) ( )( )[ ]

( )[ ]

( ) [ ]2

2

1;31;32 max min , , 1;3m g a g b g c g x g x a b c

−−

⇒ + + − > − ∀ ∈ −

[ ]( )

[ ]( )

1;31;3max 20 2 2min 49m g x g x m

−−> + − ⇒ ≥ .

Chọn B Câu 14: Cho hàm số 2 2 4y x x a= + + − . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ ]2;1− đạt giá

trị nhỏ nhất. A. 3a = B. 2a = C. 1a = D. 4a =

Lời giải Ta có ( )22 2 4 1 5y x x a x a= + + − = + + − . Đặt ( )21u x= + khi đó [ ]2;1x∀ ∈ − thì [ ]0;4u∈ Ta được

hàm số ( ) 5f u u a= + − . Khi đó

[ ] [ ]( ) ( ) ( ){ } { }

2;1 0;40 , 4 5 ; 1

x uMax y Max f u Max f f Max a a∈ − ∈

= = = − −


( )0;4

5 1 3 5 2 3u

a a a Max f u a a∈

− ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = − ≥ ⇔ =


( )0;4

5 1 3 1 2 3u

a a a Max f u a a∈

− ≤ − ⇔ ≥ ⇒ = − ≥ ⇔ =

Vậy giá trị nhỏ nhất của [ ]2;1

2 3xMax y a∈ −

= ⇔ =

Chọn A Câu 15: Với m để hàm số trên đạt giá trị nhỏ nhất là 1 thì mệnh đề nào sau

đây là đúng? A. B. C. D.

Lời giải:

Ta có

Trường hợp 1: . Tuy nhiên khi thay vào kiểm tra ta thấy chỉ có thỏa mãn.

Trường hợp 2: . Khi thay vào kiểm tra ta thấy chỉ có thỏa mãn.

Trường hợp 3: . Tuy nhiên khi thay vào kiểm tra ta thấy không có giá trị nào

thỏa mãn. Chọn A Câu 16: (CỤM-CHUYÊN-MÔN-HẢI-PHÒNG) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

[ ]3 2

1;3max 3 4?x x m− + ≤

A. Vô số. B. 4. C. 6. D. 5. Lời giải

Chọn D Đặt 3 2 2( ) 3 ( ) 3 6 .f x x x m f x x x′= − + ⇒ = −

0( ) 0 .

2x

f xx=′ = ⇔ =

Bảng biến thiên

Ta thấy

[1;3]max ( ) (3)f x f m= = và

[1;3]min ( ) (2) 4.f x f m= = −

Ta có [ ]

{ }3 2

1;3max 3 max ; 4 .x x m m m− + = −

Trường hợp 1:

{ }2 24 28 16

0 2,0 84 4 4max ; 4 4 4

m m mm m mm

mmm m m

≤ − ≤ ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ ≤ ≤− ≤ − ≤− = − ≤

mà m∈ nên { }0;1;2 .m∈ Trường hợp 2:

{ }2 24 28 16

2 4,4 44 4max ; 4 4

m m mm m mm

mmm m m

> − > > − + ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ − ≤ ≤− ≤ ≤− = ≤

2 1y x mx= + + [ ]1;2−

2 4m< < 1 2m< < 0 1m< < 4m >

[ ]( ) ( )

1;2min min 1 , 2 ,

2my f f f

−

= − −

2

min 2 ; 5 2 ; 14

mm m

= − + −

12 1

3m

mm=

− = ⇔ =3m =

25 2 1

3m

mm= −

+ = ⇔ = −3m = −

2 2 21 14 0

m mm = ±

− = ⇔ =

mà m∈ nên { }3;4 .m∈ Vậy, có 5 giá trị nguyên của tham số m. Câu 17: (HSG Bắc Ninh) Xét hàm số ( ) 2f x x ax b= + + , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn

nhất của hàm số trên [ ]1;3− . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính 2a b+ . A. 2 . B. 4 . C. 4− . D. 3 .

Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) 2f x x ax b= + + . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ ]1;3− .

Suy ra ( )( )( )

131

M fM fM f

≥ − ≥ ≥

19 31

M a bM a bM a b

≥ − +⇔ ≥ + + ≥ + +

4 1 9 3 2 1M a b a b a b⇒ ≥ − + + + + + − − −

1 9 3 2( 1 )a b a b a b≥ − + + + + + − − − 4 8M⇒ ≥ 2M⇒ ≥ .

Nếu 2M = thì điều kiện cần là 1 9 3 1 2a b a b a b− + = + + = − − − = và 1 a b− + , 9 3a b+ + , 1 a b− − −

cùng dấu 1 9 3 1 2

1 9 3 1 2a b a b a b

a b a b a b− + = + + = − − − =

⇔ − + = + + = − − − = −

21

ab= −

⇔ = −.

Ngược lại, khi 21

ab= −

= − ta có, hàm số ( ) 2 2 1f x x x= − − trên [ ]1;3− .

Xét hàm số ( ) 2 2 1g x x x= − − xác định và liên tục trên [ ]1;3− .

( ) 2 2g x x′ = − ; ( ) [ ]0 1 1;3g x x′ = ⇔ = ∈ −

M là giá trị lớn nhất của hàm số ( )f x trên [ ]1;3− ( ) ( ) ( ){ }max 1 ; 3 ; 1M g g g⇒ = − =2 .

Vậy 21

ab= −

= −. Ta có: 2 4a b+ = − .

Câu 18: (THTT lần 5) Gọi ,A a lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3 3y x x m= − +

trên đoạn [ ]0;2 . Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để 12Aa = . Tổng các phần tử của S bằng

A. 0 . B. 2 . C. 2− . D. 1 Lời giải

Chọn A Kiến thức bổ sung: Dạng toán tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y u x= trên đoạn [ ];a b

Gọi ,M m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số ( )u x trên đoạn [ ];a b .

+ [ ]

{ };

;a b

Max y Max M m=

+ [ ];a b

Min y

TH1: . 0M m < ⇒[ ];

0a b

Min y = .

TH 2 : 0m ≥ ⇒[ ];a b

Min y m= .

TH3 : [ ];

0a b

M Min y M≤ ⇒ = − .

Đặt: ( ) ( )3 23 3 3u x x x m u x x′= − + ⇒ = −

( )[ ][ ]

21 0;2

0 3 3 01 0;2

xu x x

x

= ∈′ = ⇔ − = ⇔

= − ∉

Ta có: ( ) ( ) ( )0 ; 1 2; 2 2u m u m u m= = − = +

Suy ra: [ ]

( )[ ]

( )[ ]

{ }0;2 0;2 0;2

2; 2 2 ; 2Max u x m Min u x m Max y Max m m= + = − ⇒ = + − .

TH1: ( ) ( )[ ]0;2

2 . 2 0 2 2 0m m m a Min y− + < ⇒ − < < ⇒ = = (loại)

(vì ko thỏa mãn giả thiết 12Aa = ) TH 2 :

[ ] [ ]0;2 0;22 0 2 2; 2m m Min y m A Max y m− ≥ ⇔ ≥ ⇒ = − = = + .

Từ giả thiết: ( )( ) 2 4( )12 2 2 12 16

4( )m TM

Aa m m mm koTM=

= ⇒ + − = ⇔ = ⇔ = −

TH3 : [ ]

( )[ ]

( )0;2 0;2

2 0 2 2 ; 2m m Min y m Max y m+ ≤ ⇔ ≤ − ⇒ = − + = − − .

Từ giả thiết: ( )( ) 2 4( )12 2 2 12 16

4( )m koTM

Aa m m mm TM=

= ⇒ + − = ⇔ = ⇔ = −

Kết hợp các trường hợp suy ra: { }4;4S = −

Vậy tổng các phần tử của S bằng: ( )4 4 0− + = . Câu 19: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số

3 23y x x m= − + đạt giá trị lớn nhất bằng 50 trên [ 2;4]− . Tổng các phần tử thuộc S là A. 4 . B. 36 . C. 140 . D. 0 .

Lời giải Chọn A

Xét hàm số 3 2( ) 3g x x x m= − + có ( ) 23 6g x x x′ = − . Xét ( )0

02

xg x

x=′ = ⇔ =

.

Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số 3 23y x x m= − + trên [ 2;4]− là:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ){ }

2;4max max 0 ; 2 ; 2 ; 4x

y y y y y∈ −

= − { }max ; 4 ; 20 ; 16m m m m= − − + .

Trường hợp 1: Giả sử max 50y m= =50

50mm=

⇔ = −.

Với 50m = thì 16 66 50m + = > (loại).

Với 50m = − thì 20 70 50m − = > (loại).

Trường hợp 2: Giả sử max 4 50y m= − =54

46mm=

⇔ = −.

Với 54 54 50m m= ⇒ = > (loại).

Với 46m = − thì 20 66 50m − = > (loại).

Trường hợp 3: Giả sử max 20 50y m= − =70

30mm=

⇔ = −

Với 70m = thì 16 86 50m + = > (loại).

Với 30m = − thì 16 14 50m + = < , 30 50m = < ; 4 34 50m − = < (thỏa mãn).

Trường hợp 4: Giả sử max 16 50y m= + =34

66mm=

⇔ = −.

Với 34m = thì 34 50, 4 30 50, 20 14 50m m m= < − = < − = < (thỏa mãn).

Với 66m = − thì 66 50m = > (loại).

Vậy { }30;34S ∈ − . Do đó tổng các phẩn tử của S là: 30 34 4− + = . Câu 20: (Nguyễn Khuyến)Gọi S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm

số 3 3y x x m= − + trên đoạn [ ]0;2 bằng 3 . Số phần tử của S là:

A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải

Chọn B Xét hàm số ( ) 3 3g x x x m= − + trên .

23 3′ = −y x ; y' = 0 1.⇔ = ±x Bảng biến thiên của hàm số ( )g x :

Đồ thị của hàm số ( )y g x= thu được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của ( ) : ( )C y g x= , còn phần đồ thị phía dưới trục hoành của ( ) : ( )C y g x= thì lấy đối xứng qua trục hoành lên trên. Do đó, ta có biện luận sau đây: Ta xét các trường hợp sau: +) 2 0 2m m+ ≤ ⇔ ≤ − . Khi đó 2 2 0m m m− < < + ≤ , nên

[ ] [ ]0;2 0;2 { | m-2 | , | m | , | m+2 | } | 2 | 2= = − = −Max y Max m m . Như vậy

[ ]0;23 2 3 1= ⇔ − = ⇔ = −Max y m m (loại).

+) 0 2 2 0< < + ⇔ − < <m m m . Khi đó 2 0 2− < < < +m m m , nên

[ ] [ ] [ ]0;2 0;2 0;2 { | m-2 | , | m | ,m+2 } { 2-m,-m,m+2 } 2= = = −Max y Max Max m . Như vậy

[ ]0;23 2 3 1= ⇔ − = ⇔ = −Max y m m (thỏa mãn).

+) 0 :=m [ ]0;2

2 3= ≠Max y (loại).

+) 2 0 2− < < < +m m m Ta có [ ] [ ] [ ]0;2 0;2 0;2

{ | m-2 | , | m | ,m+2 } { 2-m,m,m+2 } 2= = = +Max y Max Max m , do đó

[ ]0;23 2 3 1.= ⇔ + = ⇔ =Max y m m (thỏa mãn).

+) 0 2 2≤ − < < +m m m . Ta có

[ ] [ ] [ ]0;2 0;2 0;2 { | m-2 | , | m | ,m+2 } { 2-m,m,m+2 } 2= = = +Max y Max Max m , do đó

[ ]0;23 2 3 1.= ⇔ + = ⇔ =Max y m m

(thỏa mãn). Suy ra { }1;1 .= −S Vậy chọn B. Câu 21: Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn không vượt quá Tổng các phần tử của

bằng A. . B. . C. . D. .


Đặt , ta xét hàm với .

S m4 21 19 30 20

4 2y x x x m= − + + − [0;2] 20. S

210 195− 105 300

4 21 19 304 2

t x x x= − + 4 21 19( ) 304 2

g x x x x= − + [ ]0;2x∈

Có do đó là hàm số đồng biến trên ; suy ra .

Đặt , khi thì liên tục trên nên

.

Nếu thì , do đó ta có nên

.

Nếu thì , do đó ta có nên

.

Vậy tổng các giá trị nguyên thỏa mãn là .

Tìm công thức cho bài toán tổng quát: Cho hàm số với ; hãy tìm gtln của hàm số theo . Giả sử khi thì , và liên tục trên nên ta có

. Đặt , đồ thị của hàm được mô

phỏng như hình vẽ:

Trong đó đồ thị của được mô phỏng là đường liền nét; ; ,

dễ thấy hàm số đạt gtnn bằng tại .

Cũng từ mô phỏng trên ta suy ra

Vận dụng vào bài toán trên: ta có kết quả. Câu 22: (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham

số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 4 21 19 30 204 2

y x x x m= − + + − trên đoạn [ ]0; 2

không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng A. 210. B. 195− . C. 105. D. 300.


Xét hàm số ( ) 4 21 19 30 204 2

f x x x x m= − + + − trên đoạn [ ]0; 2 .

( )[ ]

[ ][ ]

3

5 0;2

19 30 0 2 0;2

3 0;2

x

f x x x x

x

= − ∉

′ = − + = ⇔ = ∈ = ∉

Bảng biến thiên:

( ) ( ) ( ) [ ]3( ) 19 30 2 5 3 0; 0;2g x x x x x x x′ = − + = − + − ≥ ∀ ∈ ( )g x [ ]0;2

[ ]0;26t∈

( ) 20f t t m= + − [ ]0;26t∈ ( )f t ; 0 26

[ ]{ }

0;26( ) 20 ; 6

tmax f t max m m∈

= − +

7m ≥[ ]

{ }0;26

( ) 20 ; 6 6tmax f t max m m m∈

= − + = + 6 20 26 14m m+ ≤ ⇔ − ≤ ≤

{ }7;8;...;14m∈

7m <[ ]

{ }0;26

( ) 20 ; 6 20tmax f t max m m m∈

= − + = − 20 20 0 40m m− ≤ ⇔ ≤ ≤

{ }0;1;2;3;4;5;6m∈

14.151 2 14 1052

+ + + = =

( ) ( )y f x h m= + [ ];x a b∈m[ ];x a b∈ [ ]( ) ;f x α β∈ ( ) ( )y f x h m= + [ ];α β

[ ]{ }

;( ) ; ( )

x a bmax y max h m h mα β∈

= + + ( )u h m= { }( ) ;g u max u uα β= + +

( )g u ( ) ( );0 ; ;0B Cβ α− − ;2 2

A α β β α+ − −

( )g u2

β α−2

u α β+= −

;2( )

;2

u ug u

u u

α βα

α ββ

+ + ≤ −= + + ≥ −

0; 26; 20u mα β= = = −

với ( ) ( )0 20 ; 2 6.f m f m= − = +

Xét hàm số 4 21 19 30 204 2

y x x x m= − + + − trên đoạn [ ]0; 2 .

+ Trường hợp 1: 20 0 20.m m− ≥ ⇔ ≥ Ta có

[ ]0;2Max y = 6 20 14.m m+ ≤ ⇔ ≤ Kết hợp 20m ≥ suy ra không có giá trị m.

+ Trường hợp 2: 6 20 7.m m m+ ≥ − ⇔ ≥ Ta có:

[ ]0;2Max = 6 20 14.y m m+ ≤ ⇔ ≤ Kết hợp 7m ≥ suy ra 7 14m≤ ≤ .

Vì m nguyên nên { }7; 8;9;10;11;12;13;14m∈ . + Trường hợp 3: 20 6 7.m m m− ≥ + ⇔ ≤ Ta có:

[ ]0;2Max = 20 20 0.y m m− ≤ ⇔ ≥ Kết hợp 7m ≤ suy ra 0 7m≤ ≤ .

Vì m nguyên nên { }0; 1;2;3;4;5;6;7m∈ .

Vậy { }0; 1;2;...;14S = . Tổng các phần tử của S bằng ( )14 0 .15

105.2+

=

Câu 23: (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Cho hàm số ( ) 4 3 24 4y f x x x x a= = − + +

. Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ ]0;2 . Số

giá trị nguyên a thuộc đoạn [ ]3;3− sao cho 2M m≤ là A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 7 .

Lời giải Chọn B Xét ( ) 4 3 24 4g x x x x a= − + + với [ ]0;2x∈ .

( ) ( )3 2 24 12 8 4 3 2g x x x x x x x′ = − + = − + ; ( )0

0 12

xg x x

x

=′ = ⇔ = =

.

( )0g a= ; ( )1 1g a= + ; ( )2g a= .

Bảng biến thiên ( )g x

Trường hợp 1: 0a ≥ . Khi đó 1M a= + ; m a= .

Ta có 2 1 2 1M m a a a≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≥ . Với [ ] { }

3;31;2;3

aa

a ∈ − ⇒ ∈

∈

.

Trường hợp 2: 1 0 1a a+ ≤ ⇔ ≤ − . Khi đó M a= − ; ( )1m a= − + .

Ta có ( )2 2 1 2M m a a a≤ ⇔ − ≤ − + ⇔ ≤ − . Với [ ] { }

3;33; 2

aa

a ∈ − ⇒ ∈ − −

∈

.

Trường hợp 3: 1 0a− < < . Với [ ]3;3a

aa ∈ − ⇒ ∈∅

∈

.

Vậy có 5 giá trị a cần tìm. Câu 24: (Đặng Thành Nam Đề 15) Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 238 120 4y x x x m= − + + trên đoạn [ ]0;2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. 26 . B. 13 . C. 14 . D. 27 .

Lời giải Chọn D Xét ( ) 4 238 120 4u x x x x m= − + + trên đoạn [ ]0;2 ta có

[ ][ ][ ]

3

5 0;2

0 4 76 120 0 2 0;2

3 0;2

x

u x x x

x

= − ∉

′ = ⇔ − + = ⇔ = ∈ = ∉

.

Vậy ( ) { } { }

( ) { } { }[0;2]

[0;2]

max max (0) , (2) max 4 ,4 104 4 104

min min (0) , (2) min 4 ,4 104 4

= = + = +

= = + =

u x u u m m m

u x u u m m m.

Cách 1:

Nếu 4 0m > thì ( )[0;2]min 4 0f x m= >

Nếu 4 104 0 26m m+ < ⇔ < − thì ( )[0;2]min 4 104 0f x m= − − >

Nếu 4 0 4 104 26 0m m m≤ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ thì ( )[0;2]min 0f x = . Vậy có 27 số nguyên thỏa mãn.

Cách 2:

Khi đó { }[0;2]min min 0 4 (4 104) 0 26 0.= ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤y m m m Có 27 số nguyên thoả mãn.

Câu 25: (Liên Trường Nghệ An) Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 4 238 120 4= − + +y x x x m trên

đoạn [ ]0;2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của tham số m bằng A. 12− . B. 13− . C. 14− . D. 11− .

Lời giải Chọn B Xét ( ) 4 238 120 4f x x x x m= − + + trên đoạn [ ]0;2 ta có :

( ) 33

4 76 120 0 25

xf x x x x

x

=′ = − + = ⇔ = = −

.

[ ]( ) ( ) ( ){ }

0;20 , 2

xMax f x Max f f∈

⇒ = { }4 104 , 4Max m m= + 4 104 4

2m m+ +

≥

4 104 42

m m+ −≥ 52= .

Dấu “= ” xảy ra khi và chỉ khi 4 104 4 52m m+ = = 13m⇔ = − .

Câu 26: Cho hàm số ( ) 4 28f x x ax b= + + , trong đó a , b là tham số thực. Biết rằng giá trị lớn nhất của

hàm số ( )f x trên đoạn [ ]1;1− bằng 1. Hãy chọn khẳng định đúng? A. 0a > , 0b < B. 0a < , 0b < C. 0a > , 0b > D. 0a < , 0b >

Lời giải Chọn D Cách 1.

Xét ( ) 4 28g x x ax b= + + , ( ) 332 2 0g x x ax′ = + = 2

0

16

xax

=⇔ = −

.

Ta có [ ]

( )1;1

max 1f x−

= ( )0g⇒ [ ]1;1b= ∈ − .

TH1. 0a > . Ta có ( )1g ( )1g= − 8 1a b= + + > . Suy ra [ ]

( )1;1

max 1f x−

> không thỏa YCBT.

TH2. 0a < .

Nếu 1 1616a a− > ⇔ < − . Ta có ( ) ( )1 1 8 1g g a b= − = + + < − . Suy ra

[ ]( )

1;1max 1f x−

> không thỏa YCBT.

Nếu 1 1616a a− < ⇔ > − .

Ta có BBT

▪ [ ]

( )1;1

max 1f x b−

= = . Khi đó YCBT

2

1 132

8 1

a

a b

− ≥ −⇔

+ + ≤

2 648

aa ≤

⇔ ≤ −

8a⇔ = − (thỏa 16a > − )

▪ [ ]

( )1;1

max 8 1f x a b−

= + + = . Khi đó, YCBT 2

1

132

bab

≤⇔

− ≥ −

2

8

6 032

aa a

≥ −⇒

+ + ≤

824 8

aa

≥ −⇔ − ≤ ≤ −

8a⇔ = − 1b⇒ = .

▪ [ ]

( )2

1;1max 1

32af x b

−= − = . Khi đó, YCBT

2

132

8 11

ab

a bb

− = −

⇔ + + ≤ ≤

2

2

132

6 032

8

ab

aa

a

= −

⇔ + + ≤

≥ −

81

ab= −

⇔ =.

Vậy 8a = − , 1b = thỏa YCBT. Cách 2. Đặt 2t x= khi đó ta có ( ) 28g t t at b= + + .

Vì [ ]1;1x∈ − nên [ ]0;1t∈ .

Theo yêu cầu bài toán thì ta có: ( )0 1g t≤ ≤ với mọi [ ]0;1t∈ và có dấu bằng xảy ra.

Đồ thị hàm số ( )g t là một parabol có bề lõm quay lên trên do đó điều kiện trên dẫn đến hệ điều kiện sau xảy ra :

( )( )

1 0 1

1 1 1

1 132

g

g

− ≤ ≤− ≤ ≤ −∆− ≤ ≤

2

1 11 8 132 32 32

ba bb a

− ≤ ≤⇔ − ≤ + + ≤− ≤ − ≤

( )( )( )2

1 1 1

1 8 1 2

32 32 32 3

b

a b

a b

− ≤ ≤

⇔ − ≤ + + ≤− ≤ − ≤

Lấy ( ) ( )1 32 3+ ta có : 264 64a− ≤ ≤ do đó 8 8a− ≤ ≤ .

Lấy ( ) ( )3 32 2+ ta có : 264 32 256 64a a− ≤ + + ≤ Suy ra : 2 32 192 0a a+ + ≤ 24 8a⇔ − ≤ ≤ − . Khi đó ta có 8a = − và 1b = . Kiểm tra : ( ) 28 8 1g t t t= − + ( )22 2 1 1t= − −

Vì 0 1t≤ ≤ nên 1 2 1 1t− ≤ − ≤ ( )20 2 1 1t⇒ ≤ − ≤ ( ) ( )21 2 2 1 1 1g t t⇒ − ≤ = − − ≤ .

Vậy ( )max 1g t = khi 1 1t x= ⇒ = ± (t/m).

Câu 27: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Gọi T là tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số 2

1mxyx m

+=

+

có giá trị lớn nhất trên đoạn [ ]2;3 bằng 56

. Tính tổng của các phần tử trong T .

A. 175

. B. 165

. C. 2 . D. 6 .


Ta có 2

1mxyx m

+=

+.

Điều kiện 2x m≠ − .

( )3

22 2

1 1mx my yx m x m

+ −′= ⇒ =+ +

.

- Nếu 1m = thì 11

xyx+

=+

. Khi đó [2;3]

max 1y = , suy ra 1m = không thỏa mãn.

- Nếu 3 1 0 1m m− > ⇔ > thì 0y′ > . Suy ra hàm số 2

1mxyx m

+=

+ đồng biến trên đoạn [2;3] .

Khi đó ( ) 22[2;3]

33 1 5max 3 5 18 9 0 33 6

5

mmy y m m

m m

=+ = = = ⇔ − + = ⇔

+ =

.

Đối chiếu với điều kiện 1m > , ta có 3m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Nếu 3 1 0 1m m− < ⇔ < thì 0y′ < . Suy ra hàm số 2

1mxyx m

+=

+ nghịch biến trên đoạn [2;3] .

Khi đó ( ) 22[2;3]

22 1 5max 2 5 12 4 0 22 6

5

mmy y m m

m m

=+ = = = ⇔ − + = ⇔

+ =

.

Đối chiếu với điều kiện 1m < , ta có 25

m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy 23;5

T =

. Do đó tổng các phần tử của T là 2 1735 5

+ = .

Câu 28: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số ( ) 21

+= =

−x my f xx

.

Tính tổng các giá trị của tham số m để [ ]

( )[ ]

( )2;32;3

max min 2f x f x− = .

A. 4− . B. 2− . C. 1− . D. 3− . Lời giải

Chọn A

Hàm số ( ) 21

+= =

−x my f xx

xác định và liên tục trên [ ]2;3 .

Với 2= −m , hàm số trở thành [ ]

( )[ ]

( )2;32;3

2 max min 2= ⇒ = =y f x f x (không thỏa).

Với 2m ≠ − , ta có ( )2

2 .1my

x− −′ =−

Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên [ ]2;3 .

Suy ra [ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

2;32;3

2;32;3

max 2 ; min 3.

max 3 ; min 2

f x f f x f

f x f f x f

= = = =

Do đó: [ ]

( )[ ]

( ) ( ) ( )2;32;3

2max min 3 22

mf x f x f f +− = − =

Theo giả thiết

[ ]( )

[ ]( )

2;32;3

22max min 2 2 .62

mmf x f xm=+

− = ⇔ = ⇔ = −

Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4− .

Câu 29: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

1x myx+

=−

trên đoạn [ ]2; 3 bằng 14. A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 4.

Lời giải Chọn B Tập xác định { }\ 1D = .

Ta có ( )

2

21 0

1my

x− −′ = <

−, x D∀ ∈ .

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [ ]2; 3 .

Suy ra [ ]

( )2;3

min 3y y=23

3 1m+

=−

14= 5m⇔ = ± . Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m .

Câu 30: (Sở Bắc Ninh) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2− −

=−

x myx m

trên đoạn [ ]0;4 bằng 1− . A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1.

Lời giải Chọn D Điều kiện: ≠x m . Hàm số đã cho xác định trên [ ]0;4 khi [ ]0;4∉m (*).

Ta có ( ) ( )

2

2

2 2

1 72 2 4 0

− + − + ′ = = >− −

mm my

x m x m với [ ]0;4∀ ∈x .

Hàm số đồng biến trên đoạn [ ]0;4 nên [ ]

( )2

0;4

2max 44−

= =−

my ym

.

[ ]0;4max 1= −y

22 14−

⇔ = −−

mm

2 6 0⇔ + − =m m2

3=

⇔ = −

mm

.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được 3= −m . Do đó có một giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 31: Trên đoạn [ ]2;2− , hàm số 2 1mxy

x=

+ đạt giá trị lớn nhất tại 1x = khi và chỉ khi

A. 2.m = B. 0.m ≥ C. 2.m = − D. 0.m < Lời giải

Chọn B Cách 1: Với 0m = thì 0y = nên

[ ]2;2max 0y−

= khi 1x = .

Với 0m ≠ .

Đặt tanx t= , ta được .sin 22my t= . Với [ ]2;2x∈ − thì [ ]arctan 2;arctan 2t∈ − .

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại 1x = tương ứng với 4

t π= .

Khi 0m > thì [ ]arctan 2;arctan 2

max2my

−= khi và chỉ khi

4t π= .

Khi 0m < thì [ ]arctan 2;arctan 2

max2my

−= khi và chỉ khi

4t π= − .

Vậy 0m ≥ thỏa mãn bài toán.

Cách 2: Ta có ( )

( )

2

22

1

1

m xy

x

−′ =

+,

TH1: 0 0m y= ⇒ = là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi 1x =

TH2: 0m ≠ . Khi đó: 1 ( )

01 ( )

x ny

x n= −′ = ⇔ =

Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại 1x = trên đoạn

[ ]2;2− khi và chỉ khi( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2

y 1 2 0 0

1 1

y y

y m m

y y

≥ −

≥ ⇔ ≥ ⇒ > ≥ −

(do 0m ≠ )

Vậy 0m ≥ Chú ý: Ngoài cách trên trong TH2 0m ≠ , ta có thể xét 0m > , 0m < rồi lập BBT cũng tìm được kết quả như trên.

Câu 32: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Giá trị lớn nhất của hàm số 3 2

1x x my

x+ −

=+

trên [ ]0; 2 bằng

5 . Tham số m nhận giá trị là A. 5− . B. 1. C. 3− . D. 8− .


Đặt ( )3 2

1x x mf x

x+ −

=+

.

Giá trị lớn nhất của ( )y f x= trên [ ]0; 2 bằng 5( ) [ ]

[ ] ( )0 0

5, 0; 2

0;2 5

f x x

x f x

≤ ∀ ∈⇔ ∃ ∈ =

.

* ( ) [ ]5, 0; 2f x x≤ ∀ ∈ ⇔ 3 2

5,1

x x mx+ −

≤+

[ ]0; 2x∀ ∈

3 2 5 5,m x x x⇔ ≥ + − − [ ]0; 2x∀ ∈

[ ]( )

0;2maxm h x⇔ ≥ , với ( ) 3 2 5 5h x x x x= + − − .

+ Ta có: ( ) 23 2 5h x x x′ = + − , ( ) 0h x′ = 23 2 5 0x x⇔ + − =( )

15 L3

x

x

=⇔ = −

.

Ta có: ( )0 5h = − , ( )2 3h = − , ( )1 8h = − . Suy ra

[ ]( )

0;2max 3h x = − ,

[ ]( )

0;2min 8h x = − .

Vậy 3m ≥ − . ( )1

* [ ] ( )0 00;2 5x f x∃ ∈ = 3 2

51

x x mx+ −

⇔ =+

có nghiệm trên [ ]0;2 .

3 2 5 5m x x x⇔ = + − − có nghiệm trên [ ]0;2 .

Theo phần trên, ta suy ra 8 3m− ≤ ≤ − . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 suy ra 3m = − .

Cách dùng casio Kiểm tra từng giá tri của m từ các đáp án A, B, C, D như sau

Trường hợp 1: 5m = − thì ( )3 2 5

1x xf x

x+ +

=+

.

Trước khi làm thì tắt hàm ( )g x bằng lệnh “ SHIFT + MODE + ↓ + 5 + 1”. Bước 1: Vào môi trường TABLE bằng lệnh “Mode + 7”.

Bước 2: Nhập hàm ( )3 2 5

1x xf x

x+ +

=+

.

Bước 3: Nhập 0Start = ; 2End = ; 2 029

Step −= .

Quan sát bên cột ( )f x có giá trị ( ) 5,67f x ≈ nên loại 5m = − .

Ba trường hợp còn lại làm tương tự như trên chỉ có 3m = − thỏa mãn giá trị lớn nhất của ( )f x là 5 . Câu 33: (Chuyên Thái Bình Lần 3) Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của

hàm số 2 2

2x mx my

x− +

=−

trên đoạn [ ]1;1− bằng 3 . Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A. 83

− . B. 5 . C. 53

. D. 1− .


Xét hàm số ( )2 2

2x mx my f x

x− +

= =−

trên [ ]1;1− có ( )( )2

412

f xx

′ = −−

;

( ) [ ]0

04 1;1

xf x

x=

′ = ⇔ = ∉ −; ( ) ( ) ( )3 1 11 ; 0 ; 1

3 1m mf f m f+ +

− = = − =− −

.


1 0 1−

( )f x′ 0+ −

( )f x ( )0f

( ) ( )1 1f f−

Trường hợp 1. ( )0 0 0f m≤ ⇔ ≥ . Khi đó

[ ]( ) ( ) ( ){ }

1;13 max max 1 ; 1f x f f

−= = − ⇔

3 13 max ; 13

m m+ = +

1 3 2m m⇔ + = ⇔ = .

Trường hợp 2. ( )0 0 0f m> ⇔ < .

Khả năng 1. ( )( )

1 01

1 0

fm

f

− ≥ ⇔ ≤ −≥

. Khi đó [ ]

( ) ( )1;1

3 max 0f x f−

= = 3m⇔ = − .

Khả năng 2. 113

m− < ≤ − . Khi đó ( )( )

1 0

1 0

f

f

− ≥

<.

[ ]( ) ( ) ( ){ }

1;13 max max 0 ; 1f x f f

−= =

{ }3 max ; 1m m⇔ = − + : Trường hợp này vô nghiệm.

Khả năng 3. 1 03

m− < < . Khi đó [ ]

( ) ( ) ( ) ( ){ }1;1

3 max max 0 ; 1 ; 1f x f f f−

= = − : Vô nghiệm.

Vậy có hai giá trị thỏa mãn là 1 23, 2m m= − = . Do đó tổng tất cả các phần tử của S là 1− . Câu 34: (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Có bao nhiêu số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 4 3 4y x x m x= − + + − bằng 5− . A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

Lời giải Chọn D Xét ( ) 2 4 3f x x x m= − + + có 1 m′∆ = − .

TH1. 1m ≥ : ( ) 20 8 3f x x y x x m≥ ∀ ⇔ = − + + .

min 5 8y m= − ⇔ = (TM). TH2. 1m < : ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2 1x m= − − ; 2 2 1x m= + − .

Nếu ( )1 2;x x x∈ : 2 3y x m= − − − .

( )1 8 4 1y x m= − + − .

( )2 8 4 1y x m= − − − .

( ) ( )1 2y x y x⇒ <

( )1 2;min 8 4 1 8

x xy m⇒ = − − − < − (Không TM).

Nếu ( )1 2;x x x∉ : 2 8 3y x x m= − + + . )+ 2 4 1 3x m< ⇔ > > − :

min 13 5 8y m m= − = − ⇔ = (Loại).

)+ 2 4 3x m≥ ⇔ ≤ − :

min 8 4 1 8y m⇒ = − − − < − (Không TM). Vậy có 1 giá trị của m .

Câu 35: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số ( ) ( ) ( )2 21 4 2f x x ax ax a b= − + − + − , với

a , b∈ . Biết trên khoảng 4 ;03

−

hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 1x = − . Hỏi trên đoạn

52;4

− − hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại giá trị nào của x ?

A. 54

x = − . B. 43

x = − . C. 32

x = − . D. 2x = − .

Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số là . Ta có: ( ) ( )( )22 1 2 5 3 2f x x ax ax a b′ = − + − + − .

Vì trên khoảng 4 ;03

−

hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 1x = − nên hàm số đạt cực trị tại 1x = − (cũng là

điểm cực đại của hàm số) và 0a > . ( )1 0f ′⇒ − = 4( 6 2) 0 6 2a b b a⇔ − − + − = ⇔ = + .

⇒ ( ) ( )( )22 1 2 5 3f x a x x x′ = − + + .

Khi đó ( )

32

0 11

x

f x xx

= −

′ = ⇔ = − =

. (đều là các nghiệm đơn)

Hàm số đạt cực đại tại 1x = − nên có bảng biến thiên:

⇒32

x = − là điểm cực tiểu duy nhất thuộc 52;4

− − .

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 32

x = − trên đoạn 52;4

− − .

Câu 36: (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên sao cho [ ]

( ) ( )0;10

max 2 4x

f x f∈

= =

. Xét hàm số ( ) ( )3 2 2g x f x x x x m= + − + + . Giá trị của tham số m để [ ]

( )0;2

max 8x

g x∈

= là

A. 5 . B. 4 . C. 1− . D. 3 . Lời giải

Chọn D Xét hàm số ( ) ( )3h x f x x= + trên [ ]0;2 . Đặt [ ]3 , 0;2t x x x= + ∈ .

Ta có 23 1 0 t x x′ = + > ∀ ∈ nên [ ]0;10t∈ .

Vì vậy [ ]

( )[ ]

( )3

0;2 0;10max max 4x t

f x x f t∈ ∈

+ = = khi 2 1t x= ⇔ = .

Mặt khác ( ) ( )22 2 1 1 1p x x x m x m m= − + + = − − + + ≤ + . Suy ra[ ]

( )0;2

max 1x

p x m∈

= + khi 1x = .

Vậy [ ]

( )0;2

max 4 1 5 8 3x

g x m m m∈

= + + = + = ⇔ = .

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Chọn hàm ( ) 4y f x= = thỏa mãn giả thiết: hàm số ( )y f x= liên tục trên có

[ ]( ) ( )

0;10max 2 4x

f x f∈

= = .

Ta có ( ) ( )3 2 22 4 2g x f x x x x m x x m= + − + + = − + + .

( ) 2 2g x x′ = − + ; ( ) 0 1g x x′ = ⇔ = .

Xét hàm số ( )g x liên tục trên đoạn [ ]0;2 , ( ) 0 1g x x′ = ⇔ = . Ta có ( )0 4g m= + , ( )1 5g m= + ,

( )2 4g m= + .

Rõ ràng ( ) ( ) ( )0 2 1g g g= < nên [ ]

( ) ( )0;2

max 1x

g x g∈

= . Vậy 5 8 3m m+ = ⇔ = .

Câu 37: (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên sao cho [ ]

( )1; 2

max 3f x−

=

. Xét ( ) ( )3 1g x f x m= − + . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

[ ]( )

0;1max 10g x = − .

A. 13 . B. 7− . C. 13− . D. 1− . Lời giải

Chọn C Ta có:

[ ]( )

[ ]( )

[ ]( )

0;1 0;1 0;1max max 3 1 max 3 1g x f x m m f x= − + = + − .

Đặt 3 1t x= − . Ta có hàm số ( )t x đồng biến trên . Mà [ ] [ ]0;1 1;2x t∈ ⇒ ∈ − . Suy ra:

[ ]( )

[ ]( )

0;1 1; 2max 3 1 max 3f x f t

−− = = . Suy ra

[ ]( )

0;1max 3g x m= + .

Do đó [ ]

( )0;1

max 10 3 10 13g x m m= − ⇔ + = − ⇔ = − .

Câu 38: (Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số ( )y f x= nghịch biến trên và thỏa mãn

[ ] 6 4 2( ) ( ) 3 2 ,f x x f x x x x x− = + + ∀ ∈ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ]1;2 . Giá trị của 3M m− bằng A. 4. B. 28.− C. 3.− D. 33.

Lời giải Chọn A Ta có: [ ] 6 4 2( ) ( ) 3 2f x x f x x x x− = + + 2 6 4 2( ) ( ) 3 2f x xf x x x x⇔ − = + +

2 6 4 24 ( ) 4 ( ) 4 12 8f x xf x x x x⇔ − = + + 2 2 6 4 24 ( ) 4 ( ) 4 12 9f x xf x x x x x⇔ − + = + +

[ ]2 3 22 ( ) (2 3 )f x x x x⇔ − = +3

3

2 ( ) 2 32 ( ) 2 3

f x x x xf x x x x

− = +⇔ − = − −

3

3

( ) 2( )

f x x xf x x x

= +⇔ = − −

Với 3 ' 2( ) 2 ( ) 3 2 0,f x x x f x x x= + ⇒ = + > ∀ ∈ nên ( )f x đồng biến trên .

Với 3 ' 2( ) ( ) 3 1 0,f x x x f x x x= − − ⇒ = − − < ∀ ∈ nên ( )f x nghịch biến trên .

Suy ra: 3( ) .f x x x= − − Vì ( )f x nghịch biến trên nên [ ]1;2

max ( ) (1) 2M f x f= = = −

và [ ]1;2min ( ) (2) 10.m f x f= = = −

Từ đây,ta suy ra: ( )3 3. 2 10 4M m− = − + = ⇒ chọn đáp án A

Câu 39: Cho hàm số 1 2 ... 2019y x x x= − + − + + − . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là

A. 22020 . B. 22.1010 . C. 21010 . D. 1009.1010 .


Ta có

( ) ( ) ( )1 2019 2 2018 ... 1009 1011 1010y x x x x x x x= − + − + − + − + + − + − + −

1 2019 2 2018 ... 1009 1011 1010y x x x x x x x≥ − + − + − + − + + − + − + −

2018 2016 .. 2 0 1009.1010= + + + + = .

Dấu " "= xảy ra 1010x⇔ =

Câu 40: Cho hàm số 1 2 3 ... 2019 2020y x x x x x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

A. 22.1011 . B. 21010 . C. 21011 . D. 1010.2021.

Lời giải Chọn B

Ta có 1 2 3 ... 2019 2020y x x x x x

1 2020 2 2019 ... 1015 1016x x x x x x

1 2020 2 2019 ... 1015 1016x x x x x x

2019 2017 2015 ... 3 1

1 2019 10102

21010y .

TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BBT, ĐỒ THỊ Câu 41: (THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên

70; 2

có đồ thị hàm số ( )y f x′= như hình vẽ sau:

Hàm số ( )y f x= đạt giá trị nhỏ nhất trên 70;2

tại điểm 0x nào dưới đây ?

A. 0 0x = . B. 072

x = . C. 0 3x = . D. 0 1x = .


Xét hàm số ( )y f x= trên đoạn70; 2

.

Dựa vào đồ thị ta có ( )1

03

xf x

x=′ = ⇔ =


Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số ( )y f x= đạt giá trị nhỏ nhất trên 70; 2

tại điểm 0 3.x =

Câu 42: Cho hàm số ( )y f x= xác định và liên tục trên [ ]2;2− , có đồ thị của hàm số ( )y f x′= như

hình bên. Tìm giá trị 0x để hàm số ( )y f x= đạt giá trị lớn nhất trên [ ]2;2− .

A. 0 2x = . B. 0 1x = − . C. 0 2x = − . D. 0 1x = .


Từ đồ thị ta có ( )1 (nghiem kep)

01

xf x

x= −′ = ⇔ =

. Bảng biến thiên:

O1−2− 1 2x

y

Câu 6. (Gang Thép Thái Nguyên) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên và có đồ thị hàm số ( )y f x′=

như hình vẽ.

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 6f f f f− + = + . Khi đó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

trên [ ]1;6− là

A. ( )2f và ( )3f . B. ( )2f và ( )6f . C. ( )2f và ( )1f − . D. ( )1f − và ( )6f .

Lời giải

Chọn B

Quan sát bảng biến thiên ta thấy

[ ]( ) ( )

1;62Min f x f

−= .

Mặt khác vì ( ) ( )3 2f f> nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 6 2 3 0 1 6f f f f f f− − = − < ⇔ − < .

Vậy [ ]

( ) ( )1;6

max 6f x f−

= .

Câu 43: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị như hình vẽ:

Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 32 2

xy f =

trên đoạn [ ]0;2 . Khi đó M m+ là

A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Lời giải

Chọn A Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị:

Ta suy ra đồ thị hàm số 32xy f =

từ đồ thị hàm số ( )y f x= bằng cách thực hiện phép dãn theo trục

hoành với hệ số dãn 2 . Sau đó thực hiện phép dãn theo trục tung với hệ số dãn 32

Vậy 3, 0 3M m M m= = ⇒ + = .

Cách khác: Ta có ( ) 3' '4 2

xg x f =

, ( )0

' 0 ' 042

xxg x fx= = ⇔ = ⇔ =

. Từ đó lập bảng biến thiên của

hàm số ( )g x .

Câu 44: [Chuyên Thái Bình, lần 3, năm 2017-2018-] Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên R . Đồ thị

của hàm số ( )y f x′= như hình bên. Đặt ( ) ( ) ( )22 1g x f x x= − + . Mệnh đề nào dưới đây đúng.

A.

[ ]3;3( ) (1)

−=Min g x g . B.

[ ]3;3( ) (1)

−=Max g x g . C.

[ ]3;3( ) (3).Max g x g

−= D. Không tồn tại giá trị

nhỏ nhất của ( )g x trên [ ]3;3 .− Lời giải

Chọn B Ta có ( )y g x= là hàm số liên tục trên và có ( ) ( )( )( ) 2 1g x f x x′ ′= − + . Để xét dấu ( )g x′ ta xét vị trí tương đối giữa ( )y f x′= và 1y x= + . Từ đồ thị ta thấy ( )y f x′= và 1y x= + có ba điểm chung là ( ) ( ) ( )3; 2 , 1;2 , 3;4A B C− − ; đồng thời

( ) ( )( ) 0 3;1 3;g x x′ > ⇔ ∈ − ∪ +∞ và ( ) ( )( ) 0 ; 3 1;3g x x′ < ⇔ ∈ −∞ − ∪ . Trên đoạn [ ]3;3− ta có BBT:

O 1 3 x

2

4

2−

3−

y

Từ BBT suy ra B đúng. Câu 45: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm và liên tục trên . Biết rằng đồ thị hàm số ( )y f x= ′ như

dưới đây.

Lập hàm số ( ) ( ) 2g x f x x x= − − . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( ) ( )1 1g g− > . B. ( ) ( )1 1g g− = . C. ( ) ( )1 2g g= . D. ( ) ( )1 2g g> . Lời giải

Chọn D Ta có ( ) ( ) 2 1g x f x x= − −′ ′ .

Ta thấy đường thẳng 2 1y x= + là đường thẳng đi qua các điểm ( ) ( ) ( )1; 1 , 1;3 , 2;5A B C− − .

Từ đồ thị hàm số ( )y f x= ′ và đường thẳng 2 1y x= + ta có bảng biến thiên

Suy ra đáp án đúng là D Câu 46: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )f x′ như hình vẽ

6

4

2

2

x

y

3

O 1

-1

-1

2

5


g x f x x x= − + − trên đoạn [ ]1;2− bằng

A. ( ) 513

f − − . B. ( ) 113

f − . C. ( ) 523

f − . D. 13

− .

Lời giải Chọn B Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 0 1 (*)g x f x x f x x f x x′ ′ ′ ′= − + = − − = ⇔ = −

Từ đồ thị ta cáo bảng xét dấu


3g x f x x x= − + − trên đoạn [ ]1;2− bằng ( ) 11

3f −

Câu 9. ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )y f x′= như hình vẽ

Đặt ( ) ( ) 33 3h x f x x x= − + . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. ( ) ( )3; 3

max 3 1h x f −

= . B. ( ) ( )3; 3

max 3 3h x f −

= .

C. ( ) ( )3; 3

max 3 0h x f −

= . D. ( ) ( )3; 3

max 3 3h x f −

= − .

Lời giải

-

2

-11

y

xO

Chọn D

Xét ( ) ( ) 33 3h x f x x x= − + với 3 ; 3x ∈ − .

Ta có ( ) ( ) 23 3 3h x f x x′ ′= − + .

( ) 0h x′ = ⇔ ( ) 2 1f x x′ = − ⇔ 0

3

x

x

=

= ±.

Bảng biến thiên của hàm số ( )h x

Vậy ( ) ( ) ( )3 ; 3

max 3 3 3h x h f −

= − = − .

Câu 47: Hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )y f x= ′ như hình vẽ.

Xét hàm số ( ) ( ) 3 21 3 3 2017

3 4 2g x f x x x x= − − + +

Trong các mệnh đề dưới đây: I) ( ) ( )0 1g g< II)

[ ]( ) ( )

3;1min 1

xg x g

∈ −= −

III) Hàm số ( )g x nghịch biến trên ( )3; 1− −

IV) [ ]

( ) ( ) ( ){ }3;1

max max 3 ; 1x

g x g g∈ −

= −

Số mệnh đề đúng là A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.


( ) ( ) 2 3 32 2

g x f x x x′ = − + −

′

Trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị hàm số ( )f x′ ta vẽ thêm đồ thị hàm số 2 3 32 2

y x x= + − .

Dựa vào đồ thị hàm số ta có Khi ( )3; 1x∈ − − thì ( ) 2 3 3

2 2f x x x< + −′ , khi ( )1;1x∈ − thì ( ) 2 3 3

2 2f x x x> + −′ . Do đó ta có bảng biến

thiên của hàm số ( )y g x= trên đoạn [ ]3;1− như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Vì trên [ ]0;1 hàm số ( )g x đồng biến nên ( ) ( )0 1g g< , do đó (I) đúng.

Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy ( )3; 1− − hàm ( )g x nghịch biến nên[ ]

( ) ( )3; 1

min 1g x g− −

= − , do đó (II), (III)

đúng. Và dễ thấy rằng

[ ]( ) ( ) ( ){ }

3;1max max 3 ; 1g x g g−

= − .

Vậy cả bốn mệnh đề trên đều đúng. Câu 48: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị ( )y f x′= như hình vẽ. Xét hàm số

( ) ( ) 3 21 3 3 20183 4 2

g x f x x x x= − − + + . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

[ ]( ) ( )

3; 1min 1g x g−

= − . B. [ ]

( ) ( )3; 1

min 1g x g−

= .

C. [ ]

( ) ( )3; 1

min 3g x g−

= − . D. [ ]

( ) ( ) ( )3; 1

3 1min

2g g

g x−

− += .

Lời giải Chọn A Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )3 2 21 3 3 3 32018

3 4 2 2 2g x f x x x x g x f x x x′ ′= − − + + ⇒ = − − +

Căn cứ vào đồ thị ( )y f x′= , ta có:

( )( )( )

( )( )( )

1 2 1 0

1 1 1 0

3 3 3 0

f g

f g

f g

′ ′− = − − =

′ ′= ⇒ = ′ ′− = − =

O x

y

1

1

3

3−1−

2−

Ngoài ra, vẽ đồ thị ( )P của hàm số 2 3 3

2 2y x x= + − trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét

đứt), ta thấy ( )P đi qua các điểm ( )3;3− , ( )1; 2− − , ( )1;1 với đỉnh 3 33;4 16

I − −

. Rõ ràng

o Trên khoảng ( )1;1− thì ( ) 2 3 32 2

f x x x′ > + − , nên ( ) ( )0 1;1xg x ∀′ ∈ −>

o Trên khoảng ( )3; 1− − thì ( ) 2 3 32 2

f x x x′ < + − , nên ( ) ( )0 3; 1xg x ∀′ ∈ −< −

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm ( )y g x′= trên [ ]3;1− như sau:

Vậy

[ ]( ) ( )

3; 1min 1g x g−

= −

Câu 49: (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho hàm số ( )f x . Biết hàm số ( )y f x′= có

đồ thị như hình bên. Trên đoạn [ ]4;3− , hàm số ( ) ( ) ( )22 1g x f x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. 0 4= −x . B. 0 1= −x . C. 0 3=x . D. 0 3= −x .

Lời giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1′ ′ ′= − − = − − g x f x x f x x

Vẽ đường thẳng 1= −y x trên cùng hệ trục chứa đồ thị ( )′=y f x .

–

x

y

1

1

3

3−1−

2−

( )P

Dựa vào hình vẽ ta có ( ) 0′ =g x ( ) 1′⇔ = −f x x41

3

= −⇔ = − =

xxx

.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số ( ) ( ) ( )22 1g x f x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 1= −x

Câu 50: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Cho hàm số ( )y f x= có bảng biến thiên như

hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( )2 3 21 14 3 83 3

g x f x x x x x= − + − + + trên đoạn

[ ]1;3 .

A. 15. B. 25

3. C. 19

3. D. 12.


( ) ( ) ( )2 24 2 4 6 8g x x f x x x x′ ′= − − + − + ( ) ( )22 2 4 4x f x x x ′= − − + − .

Với [ ]1;3x∈ thì 4 0x− > ; 23 4 4x x≤ − ≤ nên ( )24 0f x x′ − > .

Suy ra ( )22 4 4 0f x x x′ − + − > , [ ]1;3x∀ ∈ . Bảng biến thiên

Suy ra

[ ]( ) ( )

1;3max 2g x g= ( )4 7 12f= + = .

Câu 51: Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số

. Tìm để .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A Cách 1: Hàm số có dạng: . Ta có: .

Theo đồ thị, hai điểm và là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .

Ta có hệ: .

Do đó: . Ta có: ;

Lại có:

với và thỏa .

Ta có: ; ; . Theo đề bài, ta có: . Cách 2: Đặt , hàm số t(x) đồng biến.

Dó đó . Từ đồ thị hàm số ta có

Suy ra .

Câu 52: (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm ( )f x′ . Hàm số

( )y f x′= liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

( )y f x=

( ) ( )32 1y g x f x x m= = + − + m[ ]

( )0;1

max 10g x = −

13m = − 3m = 12m = − 1m = −

( )y f x= 3 2y ax bx cx d= + + + ( ) 23 2f x ax bx c′ = + +

( )1;3A − ( )1; 1B − ( )y f x=

3 2 03 2 0

31

a b ca b ca b c d

a b c d

− + = + + =− + − + = + + + = −

10

31

abcd

= =⇔ = − =

( ) 3 3 1f x x x= − + ( ) 23 3f x x′ = − ( )1

01

xf x

x=′ = ⇔ = −

( ) ( ) ( )2 36 1 2 1g x x f x x′ ′= + + −

( ) ( )30 2 1 0g x f x x′ ′= ⇔ + − =3

30

02 1 12 1 1

xx xx xx x

=+ − = − ⇔ ⇔ =+ − =

( )0 0;1x ∈ 30 02 1 1x x+ − =

( ) ( )0 1 3g f m m= − + = + ( ) ( )1 2 3g f m m= + = + ( ) ( )0 1 1g x f m m= + = − +3 10 13m m+ = − ⇔ = −

[ ] ( ) [ ]3 22 1, 0;1 ' 6 1 0, 0;1t x x x t x x x= + − ∈ ⇒ = + > ∀ ∈

[ ] [ ]0;1 1;2x t∈ ⇔ ∈ −[ ]

( ) ( )[ ]

( )1;2 1;2

2 3 3max f t f max f t m m− −

= = ⇒ + = +

[ ]( )

[ ]( )

0;1 1;23 3 10 13max g x max f t m m m m

−= + = + ⇒ + = − ⇒ = −

Biết rằng ( ) 101

3f − = , ( )2 6f = . Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( )3 3g x f x f x= − trên đoạn [ ]1;2−

bằng

A. 103

. B. 82027

. C. 73027

. D. 198 .

Lời giải Chọn C Xét hàm số ( ) ( ) ( )3 3g x f x f x= − trên đoạn [ ]1;2−

( ) ( ) ( )23 1g x f x f x′ ′ = − ⋅ , ( ) 0g x′ =( ) ( )( ) ( )2

0 11 2

f xf x′ =

⇔ =.

Từ bảng biến thiên, ta có: ( ) [ ][ ]

1 1;21

2 1;2xx = − ∈ −

⇔ = ∈ −

Và ( ) 0f x′ ≥ , [ ]1;2x∀ ∈ − nên ( )f x đồng biến trên [ ]1;2− ( ) ( ) 1013

f x f⇒ ≥ − =

( ) 1f x⇒ > ( )2 1f x⇒ > , [ ]1;2x∀ ∈ − nên ( )2 vô nghiệm.

Do đó, ( ) 0g x′ = chỉ có 2 nghiệm là 1x = − và 2x = .

Ta có ( ) ( ) ( )31 1 3 1g f f− = − − −310 10 7303

3 3 27 = − =

.

( ) ( ) ( )32 2 3 2g f f= − ( ) ( )36 3 6 198= − = .

Vậy [ ]

( ) ( )1;2

730min 127

g x g−

= − = .

Câu 53: (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần 1) Cho hàm số ( )y f x= có bảng biến thiên như sau

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) ( )3 5 31 2 23 3

5 3 15g x f x x x x x= − − − + − trên đoạn [ ]1;2− ?

A. 2022 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2021. Lời giải

Chọn D ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 2 2 3 23 3 3 2 3 1 3 3 3g x x f x x x x x f x x x ′ ′ ′= − − − − + = − − − −

( ) ( )3 2

2

3 3 3 00

1 0

f x x xg x

x

′ − − − =′ = ⇔

− =

Mà [ ] [ ] ( ) ( )3 3 3 21;2 3 2;2 3 0 3 3 3 0x x x f x x f x x x′ ′∈ − ⇒ − ∈ − ⇒ − < ⇒ − − − < , do đó

( ) 20 1 0 1.g x x x′ = ⇔ − = ⇔ = ±

Ta có

Vậy

[ ]( ) ( )

1;2max 1 2 2 2021y g f−

= = − + = .

Câu 54: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số ( )'y f x= như hình vẽ.

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 4f f f f− + = + , các điểm ( ) ( )1;0 , 1;0A B − thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất của hàm số ( )f x trên đoạn [ ]1;4− lần lượt là A. ( ) ( )1 ; 1f f − . B. ( ) ( )0 ; 2f f . C. ( ) ( )1 ; 4f f− . D. ( ) ( )1 ; 4f f .

Lời giải Chọn D Bảng biến thiên:

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 , 1 2 , 1 4f f f f f f< − < < mà

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 4 2 1 4 1 0 4 1f f f f f f f f f f− + = + ⇒ − = − − > ⇒ > − Câu 55: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hàm số ( )f x có đạo

hàm là ( )f x′ . Đồ thị của hàm số ( )y f x′= cho như hình vẽ.

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 4 3 0f f f f+ = + . Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của ( )f x trên đoạn [ ]0;4 lần lượt là A. ( ) ( )2 , 0f f . B. ( ) ( )4 , 2f f . C. ( ) ( )0 , 2f f . D. ( ) ( )2 , 4f f .

Lời giải

Ta có: ( )0

02

xf x

x=′ = ⇔ = .

Bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên đoạn [ ]0;4 .

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy [ ]0;4

max ( ) (2).f x f=

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 4 3 0f f f f+ = + ( ) ( ) ( ) ( )0 4 2 3 0f f f f⇔ − = − > . Suy ra: ( )4 (0)f f< . Do đó

[ ]0;4min ( ) (4).f x f=

Vậy giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của ( )f x trên đoạn [ ]0;4 lần lượt là: ( ) ( )4 , 2f f .

Câu 56: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm ( ) ' y f x= như hình vẽ. Biết rằng

( ) ( ) ( ) ( )0 3 2 5 .f f f f+ = + Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn của ( )f x trên đoạn [ ]0;5 làn lượt là:

A. ( ) ( )2 ; 0f f B. ( ) ( )0 ; 5f f C. ( ) ( )2 ; 5f f D. ( ) ( )1 ; 3f f

Lời giải Chọn C Phương pháp: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số, vẽ bảng biến thiên để xác định Min, Max của hàm số ( ).f x

Cách giải: Từ đồ thị ( )'y f x= trên đoạn [ ]0;5 , ta có ( ) ( )' 0 0; ' 2 0f f= =

Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x= như hình vẽ bên:

x −∞ 0 2 5 +∞

'y + 0 - 0 + +

y

( )0f

( )5f

( )2f

Suy ra

[ ]( ) ( )

0;52 .min f x f= Từ giả thiết, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 3 2 5 5 3- 0 2f f f f f f f f+ =⇔= −+

Hàm số ( )y f x= đồng biến trên [2;5];3 [2;5] (3) (2)f f∈ ⇒ >

(5) (2) (5) (3) (0) (2) (5) 0 ( )f f f f f f f f⇒ − > − = >⇒− Suy ra

[ ]( ) ( ) ( ){ } ( )

0;5 0 , 5 5 .max f x f f f= =

Câu 57: (Lý Nhân Tông) Cho hàm số có ( )f x có đạo hàm là hàm ( )'f x . Đồ thị hàm số ( )'f x như

hình vẽ bên. Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2 4 3f f f f f+ − = − . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn

nhất M của ( )f x trên đoạn [ ]0;4 .

A. ( ) ( )4 , 2m f M f= = . B. ( ) ( )1 , 2m f M f= =

C. ( ) ( )4 , 1m f M f= = . D. ( ) ( )0 , 2m f M f= = . Lời giải

Chọn A Dựa vào đồ thị của hàm ( )'f x ta có bảng biến thiên.

Vậy giá trị lớn nhất ( )2M f= .

Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;2 nên ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 0f f f f> ⇒ − > .

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )2;4 nên ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 0f f f f> ⇒ − > .

Theo giả thuyết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2 4 3f f f f f+ − = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4 2 1 2 3 0 0 4f f f f f f f f⇔ − = − + − > ⇒ >

Vậy giá trị nhỏ nhất ( )4m f= .

Câu 58: (HSG 12 Bắc Giang) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm là ( )f x′ . Đồ thị của hàm số ( )y f x′= được cho như hình vẽ dưới đây:

O2 4 x

y

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2f f f f− + < + . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số ( )y f x= trên đoạn

[ ]1;2− lần lượt là:

A. ( )1f ; ( )2f . B. ( )2f ; ( )0f . C. ( )0f ; ( )2f . D. ( )1f ; ( )1f − . Lời giải

Chọn A Từ đồ thị của hàm số ( )y f x′= ta có bảng biến thiên của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ]1;2− như sau

Nhận thấy

[ ]( ) ( )

1;2min 1f x f−

=.

Để tìm [ ]

( )1;2

max f x−

ta so sánh ( )1f − và ( )2f .

Theo giả thiết, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 2 2 1 0 1f f f f f f f f− + < + ⇔ − − > − .

Từ bảng biến thiên, ta có ( ) ( )0 1 0f f− > . Do đó ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 2 1f f f f− − > ⇔ > − . Hay

[ ]( ) ( )

1;2max 2f x f−

= .

Câu 59: Cho hai hàm số ( )y f x= , ( )y g x= có đạo hàm là ( )f x′ , ( )g x′ . Đồ thị hàm số ( )y f x′= và

( )g x′ được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng ( ) ( ) ( ) ( )0 6 0 6f f g g− < − . Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( ) ( )h x f x g x= −

trên đoạn [ ]0;6 lần lượt là:

A. ( )2h , ( )0h . B. ( )2h , ( )6h . C. ( )0h , ( )2h . D. ( )6h , ( )2h . Lời giải

Chọn D Ta có ( ) ( ) ( )h x f x g x′ ′ ′= − .

( ) 0 2h x x′ = ⇔ = Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:

Và ( ) ( ) ( ) ( )0 6 0 6f f g g− < − ( ) ( ) ( ) ( )0 0 6 6f g f g⇔ − < − .

Hay ( ) ( )0 6h h< . Vậy

[ ]( ) ( )

0;6max 6h x h= ;

[ ]( ) ( )

0;6min 2h x h= .

Câu 60: đường cong nét đậm và ( )'y g x= là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm

, ,A B C của ( )'y f x= và ( )'y g x= trên hình vẽ lần lượt có hoành độ , ,a b c . Tìm giá trị nhỏ

nhất của hàm số ( ) ( ) ( )h x f x g x= − trên đoạn [ ];a c ?

A.

[ ]( ) ( )

;min

a ch x h a= . B.

[ ]( ) ( )

;min

a ch x h b= . C.

[ ]( ) ( )

;min

a ch x h c= . D.

[ ]( ) ( )

;min 0

a ch x h= .


x

y

c ba

CB

A

O

Ta có ( ) ( ) ( )' ' 'h x f x g x= − , ( )' 0x a

h x x bx c

== ⇔ = =

.

Trên miền b x c< < thì đồ thị hàm số ( )'y f x= nằm phía trên đồ thị hàm số ( )'y g x= nên

( ) ( ) ( ) ( )' ' 0 ' 0, ;f x g x h x x b c− > ⇔ > ∀ ∈ .

Trên miền a x b< < thì đồ thị hàm số ( )'y f x= nằm phía dưới đồ thị hàm số ( )'y g x= nên

( ) ( ) ( ) ( )' ' 0 ' 0, ;f x g x h x x a b− < ⇔ < ∀ ∈ . Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy

[ ]( ) ( )

;min

a ch x h b= .

Câu 61: (Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm cấp hai trên . Biết ( )0 3f ′ = ,

( )2 2018f ′ = − và bảng xét dấu của ( )f x′′ như sau:

Hàm số ( )2017 2018y f x x= + + đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 0x thuộc khoảng nào sau đây?

A. ( ); 2017−∞ − . B. ( )2017;+∞ . C. ( )0;2 . D. ( )2017;0− . Lời giải.

Chọn A Dựa vào bảng xét dấu của ( )f x′′ ta có bảng biến thiên của hàm sồ ( )f x′

Đặt 2017t x= + . Ta có ( ) ( ) ( )2017 2018 2018 2017.2018y f x x f t t g t= + + = + − = .

( ) ( ) 2018g t f t′ ′= + .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ( )f x′ suy ra phương trình ( )g t′ có một nghiệm đơn ( );0α ∈ −∞ và một nghiệm kép 2t = . Ta có bảng biến thiên ( )g t

Hàm số ( )g t đạt giá trị nhỏ nhất tại ( )0 ;0t α= ∈ −∞ .

Suy ra hàm số ( )2017 2018y f x x= + + đạt giá trị nhỏ nhất tại 0x mà

( ) ( )0 02017 ;0 ; 2017x x+ ∈ −∞ ⇔ ∈ −∞ − .

Câu 62: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Đặt , . Tổng bằng

A. B. C. D. . Lời giải

Chọn B Ta có:

Đặt , .

Khi đó: .

Xét hàm số trên đoạn . Từ đồ thị ta có: , .

Suy ra , . Vậy .

Câu 63: Cho hàm số thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có hai cực trị.

B. Phương trình luôn có 3 nghiệm phân biệt.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Lời giải

Chọn A

Từ giả thiết ta có hoặc

Xét có . Nếu thì hàm số đã cho có hai khả năng: Luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên . + Nếu hàm số đã cho đồng biến trên thì (vô lý với ).

+ Nếu hàm số đã cho nghịch biến trên thì (vô lý với ). Do đó suy ra hàm số đã cho có hai cực trị.

( )y f x=

( )( )4 4max 2 sin cosM f x x= +

( )( )4 4min 2 sin cosm f x x= +

M m+

6 4 5 3

( )4 4 22 sin cos 2 sin 2x x x+ = −22 sin 2t x= − [ ]1; 2t∈

( )( ) ( )4 42 sin cosf x x f t+ =

( )f t [ ]1; 2[ ]

( )1;2

max 3f t =[ ]

( )1;2

min 1f t =

3M = 1m = 4M m+ =

( ) ( )3 2 0f x ax bx cx d a= + + + ≠ ( ) ( )(0) (2) . (3) (2) 0f f f f− − >

( )f x

( ) 0f x =

( )f x

( ) 0f x =

( ) ( )(0) (2) . (3) (2) 0f f f f− − >( ) ( )( ) ( )0 2 0

3 2 0

f f

f f

− >⇔ − >

( ) ( )( ) ( )0 2 0

3 2 0

f f

f f

− <

− <

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

0 2

3 21

0 2

3 2

f f

f f

f f

f f

>

>⇔ <

<( ) ( )3 2 0f x ax bx cx d a= + + + ≠ 23 2y ax bx c′⇒ = + + 2 3b ac′∆ = −

0′∆ ≤

( ) ( ) ( )0 2 3f f f< < ( )1

( ) ( ) ( )0 2 3f f f> > ( )10′∆ >

Câu 64: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số ( ) ( )2 3 1y g x f x m= = + − . Khi

0m m= thì giá trị lớn nhất của hàm số ( )y g x= trên đoạn [ ]1;3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 6 . B. 9 . C. 12 . D. 8 .

Lời giải Chọn D.

Đặt ( ) ( )2 3 1h x f x m= + −

( ) ( )2h x f x′ ′= ; ( ) 0h x′ = ( ) 0f x′⇔ =[ ][ ]

1

2

1;3

1;3

x x

x x

= ∉⇔

= ∈.

Tính ( )3 3 9h m= + ; ( )2 3 7h x m= − ; ( ) ( )1 2 1 3 1h f m= + − .

Ta có ( )3 1 0f− < < ( )3 7 1 3 1m h m⇒ − < < − .

Suy ra [ ]

( )[ ]

( )1;3 1;3

max maxg x h x= { }max 3 9 ; 3 7m m= + −

3 9 3 7

2m m+ + −

≥3 9 7 3

2m m+ + −

=3 9 7 3

82

m m+ + −≥ = .

Câu 65: Cho hàm số ( )=y f x có đồ thị ( )′=y f x như hình vẽ:

Xét hàm số ( ) ( ) 32 2 4 3 6 5= + − − −g x f x x x m , ( )m∈ . Để ( ) 0≤g x với 5; 5 ∀ ∈ − x thì điều

kiện của m là:

A. ( )2 53

≥m f . B. ( )2 53

≤m f .

C. ( )2 0 2 53

≤ −m f . D. ( )2 5 4 53

≥ − −m f .

Lời giải Chọn A Ta có ( ) ( ) 22 6 4′ ′= + −g x f x x ; ( ) ( ) 20 3 2 0.g x f x x′ ′= ⇔ + − =

Để ( ) 0≤g x với 5; 5 ∀ ∈ − x thì 5; 5

( ) 0max g x −

≤ .

Dựa vào đồ thị hàm số ( )′=y f x và 23 2= −y x ta thấy ( ) 23 2 0, 5; 5f x x x ′ + − ≥ ∀ ∈ −

( ) 0, 5; 5g x x ′⇒ ≥ ∀ ∈ − nên hàm số ( )g x luôn đồng biến trên 5; 5 − .

Suy ra ( ) ( ) ( )5; 5

5 2 5 3max g x g f m −

= = − ( ) ( )22 5 3 0 53

⇒ − ≤ ⇔ ≥f m m f .

Câu 66: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số ( )f x liên

tục trên ( )0;+∞ thỏa mãn ( ) ( ) ( )2 23 . 2x f x x f x f x′− = , với ( ) 0f x ≠ , ( )0;x∀ ∈ +∞ và

( ) 113

f = . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )y f x= trên

đoạn [ ]1;2 . Tính M m+ .

A. 910

. B. 2110

. C. 73

. D. 53

.

Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) ( )2 23 . 2x f x x f x f x′− = ⇒ ( ) ( ) ( )2 3 23 2x f x x f x xf x′− =

⇒ ( ) ( )( )

2 3

2

32

x f x x f xx

f x′−

= ⇒ 3

2( )x x

f x

′ =

⇒

32

( )x x C

f x= + .

Thay 1x = vào ta được ( )1 11

Cf

= + , vì ( ) 113

f = nên suy ra 2C = .

Nên ( )3

2 2xf x

x=

+. Ta có ( )

( )4 2

22

62

x xf xx+′ =+

; ( ) 0 0f x x′ = ⇔ = .

Khi đó, ( )f x đồng biến trên [ ]1;2 .

Suy ra ( ) 113

m f= = ; ( ) 423

M f= = .

Suy ra 1 4 53 3 3

M m+ = + = .

DẠNG 2. GTLN, GTNN HÀM NHIỀU BIẾN ÁP DỤNG CÁC BĐT CỔ ĐIỂN

Câu 1: (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Biết hai hàm số ( ) 3 2 4 2f x x ax x= + + − và

( ) 3 2 2 3g x x bx x= − + − + có chung ít nhất một điểm cực trị. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P a b= + .

A. 3 2 . B. 6 2 . C. 6. D. 3. Lời giải

Chọn C Ta có ( ) 23 2 4f x x ax′ = + + và ( ) 23 2 2g x x bx′ = − + − .

Vì ( )f x và ( )g x có chung ít nhất một điểm cực trị nên ( ) 0f x′ = và ( ) 0g x′ = có chung nghiệm là t .

Suy ra

2

2

2 2

3 43 2 4 0 2

3 2 2 0 3 22

tat at tt bt tb

t

− −= + + = ⇔

− + − = + =

.

Ta có 2 2 23 4 3 2 3 3 13 62 2t t tP a b t

t t t t − − + +

= + = + = = + ≥

. (bất đẳng thức Cauchy)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 1t tt

= ⇔ = ± .

Vậy min 6P = .

Câu 2: Xét phương trình 3 2 1 0ax x bx− + − = với a , b là các số thực, 0a ≠ , a b≠ sao cho các nghiệm

đều là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )

2

2

5 3 2a abPa b a− +

=−

.

A. 8 2 . B. 11 6 . C. 12 3 . D. 15 3 . Lời giải

Chọn C

Ta có: 3 2 1 0ax x bx− + − = 3 21 1 0bx x xa a a

⇔ − + − = .

Theo định lý Vi-et cho phương trình bậc 3:

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

1

x x xa

bx x x x x xa

x x xa

+ + = + + = =

Đặt 1ca

= , ta có: 31 2 3 1 2 3 1 2 33x x x x x x x x x= + + ≥ hay ( )3

1 2 3 1 2 327x x x x x x≥ .

Suy ra 3 27 3 3c c c≥ ⇒ ≥ .

Ta lại có: ( )

2

2

5 3 2a abPa b a− +

=−

22

3

25 3

1

baa a

baa

− + =

−

225 3

1

1

ba a

baa

− + =

−

( )25 3 21

c bc cbc− +

=−

.

Mà: ( ) ( )21 2 3 1 2 2 3 3 13x x x x x x x x x+ + ≥ + + nên 2 3c bc≥ .

Vậy ( )25 3 2

1c bc c

Pbc− +

=−

( ) ( )2 2 2

2 2

5 2 3 531

3

c c c c cc c− + +

≥ =−−

.

Xét ( ) ( )2

2

3 53

c cf c

c+

=−

, 3 3c ≥ , ta có: ( )( )

4 2

22

3 42 45 0, 3 33

c cf c cc

− −′ = > ∀ ≥−

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là ( )3 3 12 3f = .

Câu 3: Giả sử phương trình ( ) ( )2

3 2 11 0

2a b

x a b x x+ −

− + + + = có ba nghiệm.

Gọi M, m là GTLN và GTNN của 2 2 1

2a bP ab+ −

= + . Khi đó M m+ bằng

A. 1 . B. 12

. C. −1 . D. 2 .

Lời giải

Chọn B

Tinh thần của bài toán là ứng dụng Định lý Viet vào bài toán Bất đẳng thức

Gọi m,n,p là ba nghiệm của phương trình

Ta có ( )2

12

1

m n p a b

a bmn np pm

mnp

+ + = +

+ −+ + =

= −

Mặt khác: ( ) ( )22 2 2 2 1m n p m n p mn np pm+ + = + + − + + =

Và ( )22 2 11

2 2a ba bP ab mn np pm+ −+ −

= + = = + +

Do ( )20m n p+ + ≥ ( )2 2 2 2 0m n p mn np pm⇔ + + + + + ≥

( ) ( )2 2 21 12 2

mn np pm m n p⇔ + + ≤ − + + = −

Vậy 1 P=-2

GTNN

Mặt khác theo BĐT Bu-nhi-a-cop-xki

( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 1mn np pm m n p m n p⇔ + + ≤ + + + + =

Vậy P=1GTLN

Câu 4: Cho các số thực ,x y thỏa mãn ( )2 3 3x y x y+ = − + + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )2 24 15P x y xy= + + là



Ta có 2 42( 3 3) ( ) 4( ) 8 3. 3 4( )

0x y

x y x y x y x y x y x yx y+ ≥

+ = − + + ⇔ + = + + − + ≥ + ⇔ + ≤

Mặt khác [ ]2( 3 3) 2 2( ) 8 4;8x y x y x y x y x y+ = − + + ≤ + ⇔ + ≤ ⇒ + ∈

Xét biểu thức 2 2 24( ) 15 4( ) 7 16( ) 7 7 ( 3) 16 5P x y xy x y xy x y xy x y y x= + + = + + ≥ + + = + + − .

Mà3 0

16(4 ) 5 64 214

yP x x x

y x+ ≥

⇒ ≥ − − = − ≥ −.

Kết hợp với [ ]4 3;7 64 21 83x y x x+ ≥ ⇒ ∈ ⇒ − ≥ −

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 83−

Câu 5: Cho x , y là hai số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 4 4 3x y xy y x+ + + = + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )3 3 2 23 20 2 5 39P x y x xy y x= − + + + + .

A. 55

. B. 5 . C. 100 . D. 53

.


2 2 4 4 3x y xy y x+ + + = + ( )2 24 3 4 0y y x x x⇔ + − + − + =

( ) ( )2 24 4 3 4x x x∆ = − − − + 23 4 0x x= − + ≥ 403

x⇔ ≤ ≤ .

2 2 4 4 3x y xy y x+ + + = + 2 2 4 3 4x y xy y x⇔ + + = + −

( )3 3 2 23 20 2 5 39P x y x xy y x= − + + + + ( )( )2 2 2 23 20 2 5 39x y x y xy x xy y x= − + + + + + +

2 229 7 5 27 12x y xy x y= − + + + 2

2 4 4 47 5. 27. 12 29.3 3 3

y y y ≤ − + + + +

247 100

3y = − − +

.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 100 khi 43

x y= = .

ÁP DỤNG HÀM SỐ

Câu 6: Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 23 3 4 4P x a y y a x xy a ax ay x y= − − − + + − − + trong đó a là số thực dương cho trước. Biết rằng giá trị lớn nhất của P bằng 2018 . Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (500;525]a . B. (400;500]a . C. (340;400]a . D. 2018a .


Ta có 2 2 2 2 2 2 23 3 4 4P x a y y a x xy a ax ay x y= − − − + + − − + .

( )( )2 2 2 23 3 4 4x a y y a x xy a x a y= − − − + + − − .

Đặt sinx a m= , ;2 2

m π π ∈ − 2 cosa x a m⇒ − = .

siny a n= , ;2 2

n π π ∈ − 2 cosa y a n⇒ − = .

Thay vào biểu thức P ta được: 3 .sin cos 3 .sin cos 4 sin sin 4 cos cosP a m n a n m a m n a m n= − + +

( ) ( )3 sin 4 cos 5a m n a m n a= − + − ≤

Vậy 2018max 5 2018

5P a a= = ⇒ = .

Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho phương trình có nghiệm. Giá trị nhỏ nhất bằng

A. . B. . C. . D. .


Gọi là một nghiệm của phương trình (*).

.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

( không là nghiệm của phương trình (*)).

Đặt ta có .

Đặt


4 3 2 1 0x ax bx cx 2 2 2P a b c

2 43

83

4

0x 4 3 2 1 0x ax bx cx

4 3 2 3 2 40 0 0 0 0 0 0 01 0 1x ax bx cx ax bx cx x

2 24 3 2 2 2 2 6 4 20 0 0 0 0 0 01x ax bx cx a b c x x x

2402 2 2

6 4 20 0 0

1xa b c

x x x

0 0x

20 (t 0)t x

222 2 2

3 2

1ta b c

t t t

22

3 2

1(t 0)

tf t

t t t

323 3 2 4 2 2 24/

2 2 23 2 3 2 3 2

4 4 2 1 3 2 1 1 1 11 ( 1)f

t t t t t t t t t t t tt tt

t t t t t t t t t

Từ bảng

biến thiên ta có khi .

Khi thì và phương trình có nghiệm .

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng .

Câu 8: Với , 0>a b thỏa mãn điều kiện 1+ + =a b ab , giá trị nhỏ nhất của 4 4= +P a b bằng.

A. ( )42 1− . B. ( )4

2 1+ . C. ( )42 2 1+ . D. ( )4

2 2 1− .


( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 24 4 2 2 2 . 2 2 = + = + − = + − − P a b a b a b a b ab ab .

( ) ( ) ( )22 2 2 21 2 2 1 4 2 ⇒ = − − − = − + − P ab ab ab x x x với 0= ⇒ >ab x x .

4 2 2 3 2 4 3 216 1 2 8 8 2 8 16 8 1⇒ = + + + − − − = − + − +P x x x x x x x x x x .

Ta có 1 2+ = − ≥a b ab ab .

2 1 0 0 2 1 0 3 2 2⇒ + − ≤ ⇔ ≤ ≤ − ⇒ ≤ ≤ −x x x x . 3 24 24 32 1′ = − + −P x x x .

Bảng biến thiên.

.

( )min 3 2 2= − =P P ( )42 2 1− .

0

4min3

f t

1t 2 2 2 43

a b c

23

a b c 2 2 2 43

a b c 4 3 2 1 0x ax bx cx 0 1x

2 2 2P a b c 43

Câu 9: Cho x , y , z là ba số thực dương và ( )2 2 2

3 8 12 8 2 4 3

Px y zx y yz x y z xz

= − −+ ++ + + + + +

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính x y z+ + .

A. 1. B. 32

. C. 3 . D. 3 3 .


2 8 2 2 .2x y yz x y y z+ + = + + 2 2x y y z≤ + + + ( )2 x y z= + +

( ) ( )22 2 2 22 4 2 2x y z xz x z y+ + + = + + ( )2 22 x z y = + + ( )2x y z≥ + +

( )3 8 1

2 3P

x y z x y z x y z⇒ ≥ − −

+ + + + + + +

( )1 8

2 3x y z x y z= −

+ + + + +

Đặt t x y z= + + 0t⇒ > .

Xét hàm số ( ) 1 82 3

f tt t

= −+

trên ( )0;+∞

Ta có ( )( )

( )( )( )2 22 2

3 3 3 51 82 3 2 3

t tf t

t t t t− +

′ = − + =+ +

; ( ) 0 1f t t′ = ⇔ =


Vậy 3min2

P = − 1x y z⇔ + + = . Khi đó, 14

x z= = và 12

y = .



1 1Ax y

= + là:

A. 0.M = B. 0.M = C. 1.M = D. 16.M =


2 23 3 2 2

3 3 3 3 3 3

1 1 ( )( ) 1 1x y x y x xy y x yAx y x y x y xy x y

+ + − + + = + = = = = +

.

Đặt x ty= . Từ giả thiết ta có: 2 2 3 2 2( ) ( 1) ( 1)x y xy x y xy t ty t t y+ = + − ⇒ + = − +

Do đó 2 2

2

1 1;1

t t t ty x tyt t t− + − +

= = =+ +

. Từ đó 22 2

2

1 1 2 11

t tAx y t t

+ += + = − +

.

Xét hàm số ( )

2 2

22 2

2 1 3 3( ) ( )1 1

t t tf t f tt t t t

+ + − +′= ⇒ =− + − +

.

Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi 12

x y= = .

Câu 11: Cho x , y là các số thực thỏa mãn 1 2 2x y x y+ = − + + . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của ( )( )2 2 2 1 1 8 4P x y x y x y= + + + + + − − . Khi đó, giá trị của M m+ bằng.

A. 41. B. 42 . C. 43. D. 44 .


( )( ) ( ) ( )22 2 2 1 1 8 4 2 2 8 4P x y x y x y x y x y x y= + + + + + − − = + + + + + − − .

Đặt t x y= + 2 2 2 8 4P t t t⇒ = + + + − .

Theo giả thiết 1 2 2x y x y+ = − + + .

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 3x y x y x y x y x y x y⇔ + = + + + − + ≤ + + + − + + = + .

23 3 0 0 3t t t t t⇒ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ .

Xét ( ) 2 2 2 8 4f t t t t= + + + − trên [ ]0;3 .

( ) 42 24

f t tt

′ = + −−

; ( ) ( ) ( )0 2 2 4 4 1 4 2f t t t t t′ = ⇔ + − = ⇔ + − = .

( )( ) [ ][ ]

2 3 2

0

2 1 4 4 2 7 0 1 2 2 0;3

1 2 2 0;3

t

t t t t t t t

t

=

⇔ + + − = ⇔ − + + = ⇔ = + ∉= − ∉

.

Ta có ( )0 18f = ; ( )3 25f = min 18,P⇒ = ( )ax 25m P = .

Vậy 25 18 43M m+ = + = .

Câu 12: Cho các số thực x , y thỏa mãn 2 22 3 4x xy y+ + = . Giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2P x y= − là:

A. max 16P = . B. max 12P = . C. max 4P = . D. max 8P = . Lời giải

Chọn B Xét 0y = thì 2 2 22 3 4 4 4x xy y x P+ + = ⇔ = ⇒ = .

Xét 0y ≠ thì 2 2 2

2 2 22 2 1

4 2 3 2 3P x xy y t t u

x xy y t t− + − +

= = =+ + + +

với xty

= .

Do đó ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 3 1 2 1 3 1 0t t u t t u t u t u− + = + + ⇔ − + + + − = . ( )1

Nếu 1u = thì ( ) 112

t⇒ = − .

Nếu 1u ≠ thì ( )1 có nghiệm khi ( ) ( )( )2 21 1 3 1 0 2 6 0 0 3u u u u u u+ − − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ ≤ .

Vậy 0 3 0 124P P≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ hay max 12P = .

Câu 13: Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 3 0

2 3 14 0x xy

x y − + =

+ − ≤. Tính tổng giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 33 2 2P x y xy x x= − − + A. 0 . B. 12 . C. 4 . D. 8 .


Theo giả thiết ta có 2

2 33 0 xx xy yx+

− + = ⇒ =

Từ bất phương trình 25 4 92 3 14 0 0x xx y

x− +

+ − ≤ ⇔ ≤915

x⇔ ≤ ≤ .

Mặt khác ta có 2 3 2

2 2 2

3 33 3

x xy x x y xxy x xy x y y

= − = − ⇒ = + = +

Thay vào ta được 3 8P y x= − + 2 33 8x xx

+= − +

95xx

= − .

Xét hàm số ( ) 95f x xx

= − trên đoạn 91;5

.

Ta có ( ) 2

9 95 0, 1;5

f x xx

′ = + ≥ ∀ ∈ do đó ( )

91;5

min 1 4f

= = − và 91;5

9max 45

f

= =

.

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 0 . Câu 14: Cho các số thực x , y thay đổi thỏa điều kiện 0y ≤ , 2 12x x y+ = + . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của biểu thức 2 17M xy x y= + + + lần lượt bằng

A. 10; 6.− B. 5; 3.− C. 20; 12.− D. 8; 5.− Lời giải

Chọn C

Ta có: 2 12y x x= + − . Do đó: 20 12 0 4 3y x x x≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

Mặt khác, ( ) ( )2 2 3 22 17 12 2 12 17 3 9 7M xy x y x x x x x x x x x= + + + = + − + + + − + = + − − .

Xét hàm số ( ) 3 23 9 7f x x x x= + − − với 4 3x− ≤ ≤ .

Ta có: ( ) 23 6 9f x x x′ = + − . Do đó: ( ) 0 1 3f x x x′ = ⇔ = ∨ = − .

Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )3 20, 1 12, 4 13, 3 20f f f f− = = − − = = . Vậy max 20,min 12M m= = − .

Câu 15: Cho các số thực x , y thỏa mãn ( )2 3 3x y x y+ = − + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( )2 24 15P x y xy= + + .


Lời giải

Chọn B

Điều kiện: 3

3xy≥

≥ −.

Ta có ( )2 3 3x y x y+ = − + + ( ) ( ) ( )2 4 8 3. 3 4x y x y x y x y⇔ + = + + − + ≥ + ( )4

10

x yx y+ ≥

⇔ + ≤.

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được:

( ) ( ) ( )2 3 3 2 2 8 2x y x y x y x y+ = − + + ≤ + ⇔ + ≤ .

Từ ( )1 và ( )2 ta có [ ]4;8x y+ ∈

Ta lại có ( )( ) ( )3 3 0 3 9x y xy x y+ + ≥ ⇔ ≥ − + − .

Đặt t x y= + suy ra ( ) ( )22 2 24 15 4 7 4 21 63P x y xy x y xy t t== + + = + + ≥ − − .

Xét hàm số ( ) 24 21 63f t t t= − − , với [ ]4;8t∈

Ta có ( ) [ ]218 21 0 4;88

f t t t′ = − = ⇔ = ∉ . Do đó [ ]

( ) ( )4;8

min 4 83f t f= = − .

Do đó 83P ≥ − suy ra min 83P = − khi ( )4 72 3 3 3

x y xx y x y y

+ = = ⇔ + = − + + = −.

Câu 16: Tìm giá trị nhỏ nhất minP của biểu thức 2 22 21 1 2P x y x y y .

A. min 5 2P . B. min 2 3P . C. min 2 2P . D. min19150

P .

Lời giải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức MinCopxki ta có.

2 2 21 1 2 2 2 1 2P x x y y y y .

Xét hàm số 22 1 2 .f y y y Ta có 2

2 11

yf yy

. 103

f y y .

.

Ta thấy min 2 3f y . Do đó min 2 3P .

Câu 17: Cho hai số thực x , y thỏa mãn 0x ≥ , 1y ≥ , 3x y+ = . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 22 3 4 5P x y x xy x= + + + − lần lượt bằng:

A. max 18P = và min 15P = . B. max 15P = và min 13P = .

C. max 20P = và min 18P = . D. max 20P = và min 15P = .

Lời giải Chọn D Từ 3x y+ = 3y x⇔ = − , do 1y ≥ nên 3 1x− ≥ 2x⇔ ≤ . Vậy [ ]0;2x∈ .

Ta có ( ) ( )23 22 3 3 4 3 5P x x x x x x= + − + + − − ( )3 2 5 18x x x f x= + − + = .

( ) 23 2 5f x x x′ = + − ; ( ) 0f x′ = ( )

153

x

x L

=⇔ = −

.

( )0 18f = ; ( )1 15f = ; ( )2 20f = .

Vậy max 20P = và min 15P = .

Câu 18: Cho hai số thực x , y thỏa mãn: ( )3 22 7 2 1 3 1 3 2 1y y x x x y+ + − = − + + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2P x y= + .

A. 8P = . B. 10P = C. 4P = . D. 6P = .


( )3 22 7 2 1 3 1 3 2 1y y x x x y+ + − = − + + .

( ) ( ) ( )3 22 3 3 1 1 2 1 1 3 1 2 1y y y y x x x x⇔ − + − + − = − − + − − − .

( ) ( ) ( ) ( )332 1 1 2 1 1 1y y x x⇔ − + − = − + − .

Xét hàm số ( ) 32f t t t= + trên [ )0;+∞ .

Ta có: ( ) 26 1f t t′ = + 0> với 0t∀ ≥ ( )f t⇒ luôn đồng biến trên [ )0;+∞ .

Vậy ( )1 1 1y x⇔ − = − 1 1y x⇔ = + − .

2 2 2 1P x y x x⇒ = + = + + − với ( )1x ≤ .

Xét hàm số ( ) 2 2 1g x x x= + + − trên ( ];1−∞ .

Ta có: ( ) 111

g xx

′ = −−

1 11

xx

− −=

−. ( ) 0 0g x x′ = ⇒ = .

Bảng biến thiên ( )g x :

Từ bảng biến thiên của hàm số ( )g x suy ra giá trị lớn nhất của P là:

( ]( )

;1max 4g x−∞

= .

Câu 19: Cho ,x y là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ( )( ) 11 1 1xy xy y xy

+ + − ≤ − − . Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 2

263

x y x yPx yx xy y

+ −= −

+− +?

A. 5 730+ . B. 5 7

3 30− . C. 7 5

30 3− . D. 5 7

3 30+ .


( )( ) 11 1 1xy xy y xy

+ + − ≤ − −

( )( ) ( )2 21 1 1 0y xy xy y xy y⇔ + + − + + − ≤

( ) ( ) ( )1 1 1 0xy y y xy xy y ⇔ + − + + + + ≤

1 0 1xy y xy y⇔ + − ≤ ⇔ + ≤

2

2

1 1 1 1 14 2

xy y y y

⇔ ≤ − + = − −

104

xy

⇒ < ≤ . Dấu bằng đạt được khi 2y = , 12

x = .

( )2 2

263

x y x yPx yx xy y

+ −= −

+− + ( )2

1 26 13

t ttt t

+ −= −

+− +với xt

y= và 10;

4t ∈

.

Ta có ( )2

1 5 8 7273

t tt t+

≤ +− +

với mọi 10;4

t ∈

Thật vậy ( )2

1 5 8 7273

t tt t+

≤ +− +

( ) ( )2 2

2

4 1 20 25 61 0729 3

t t tt t

− + +⇔ − ≤

− + với mọi 10;

4t ∈

.

( ) ( )5 28 727 6 6

tP t f tt−

≤ + − =+

.

Khi đó ( )( )

2

21 16 5 32 5 16 5 27. 054 1

t tf tt

+ + −′ = >+

với mọi 10;4

t ∈ .

Vậy ( ) ( )5 28 727 6 6

tP t f tt−

≤ + − =+

1 7 10 54 30

f + ≤ =

, dấu bằng đạt được khi 12

x = , 2y = .

Câu 20: Cho ,a b∈ ; , 0a b > thỏa mãn ( ) ( )( )2 22 2a b ab a b ab+ + = + + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2

3 3 2 24 9a b a bPb a b a

= + − +

bằng

A. 234

. B. 10− . C. 214− . D. 23

4− .


Đặt a btb a

= + ( )2t ≥ . Ta có:

3 3 2 2

3 3 2 24 9a b a bPb a b a

= + − +

3 2

4 3. . 9 2. .a b a b a b a b a bb a b a b a b a b a

= + − + − + −

3 24 9 12 18t t t= − − + . Ta có

( ) ( )( )2 22 2a b ab a b ab+ + = + + ( ) 22 1 1a b a bb a ab

⇔ + + = + +

( ) 1 12 1 2a b a bb a a b

⇔ + + = + + +

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có

( ) ( )1 1 1 12 2 .2 2 2 2a ba b a ba b a b b a

+ + + ≥ + + = + +

Suy ra 2 1 2 2 2a b a bb a b a

⇔ + + ≥ + +

52

a bb a

⇒ + ≥ .

Hay 52

a btb a

= + ≥

.

Xét hàm số ( ) 3 24 9 12 18f t t t t= − − + với 52

t ≥ .

Ta có ( ) 212 18 12f t t t′ = − − ; ( ) 0f t′ =

522

1 52 2

t

t

= <⇔

= − <

.

Ta có ( ) 50,2

f t t′ > ∀ ≥ , nên hàm số ( )f t đồng biến trên 5 ;2 +∞

.

Bởi vậy: )

( )4 2 1;

5 23min2 4

f t f − +∞

= = −

.

Hay 23min4

P −= khi 2; 1a b= = hoặc 1; 2a b= = .



A. 296 15 189

− . B. 36 296 159

+ . C. 36 4 69− . D. 4 6 18

9− + .


Ta có ( )39 2 3 5 3 5 0x y xy x xy+ − − + − =

( )327 6 3 5 3 5 2 3 5x x xy xy xy⇔ + = − − + − .

Xét hàm ( ) 3 2f t t t= + với ( )0;t∈ +∞

có ( ) ( )2' 3 2 0 0;f t t t= + > ∀ ∈ +∞ nên hàm số liên tục và đồng biến trên ( )0;+∞ .

Khi đó ta có 3 3 5x xy= − 0x⇒ ≥ và 29 3 5x xy= − .

Với 0x = thì ( )0 5 l= − .

với 0x > thì ( )( )3 3 26 3 3 1 2xy x x yP x y + + + + −= +

( )( )3 3 26 9 3 2xy x x yx y + + + + −= +

( )( )3 3 6 3 2 2xy xy x yx y + + − + −= +

( )3 3 2 23 3 2 4x y xy x yx y + + − + += +

( ) ( )3 2 4x y x y= + − + +

Mà 29 5 5 5 4 54 2 4 .3 3 3 3

xx y x x xx x x+

+ = + = + ≥ = . Đặt t x y= + thì 4 53

t ≥ .

Xét ( ) 3 2 4f t t t= − + với 4 53

t ≥ . Khi đó ( ) 23 2 0f t t′ = − > với 4 53

t∀ ≥ .

Do đó ( ) 4 5 36 296 1593

f t f +

≥ =

Suy ra 36 296 159

P +≥ . Vậy GTNN của P là 36 296 15

9+ .

Câu 22: Cho ,x y là hai số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 3 0x y x+ + − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2P x y= − − (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

A. 3,70− . B. 3,73− . C. 3,72− . D. 3,71− .


Theo giả thiết ta có

2 2

2

2 3 0 0 10 00 3 2

x y x xx yy y x x

+ + − = ≤ ≤ ≥ ⇔ ≥

≥ = − − .

Suy ra 22 3 2 2P x x x= − − − − .

Xét hàm số ( ) [ ]22 3 2 2, 0;1f x x x x x= − − − − ∈ .

( ) [ ]2

12 0 0;13 2

xf x xx x

− −′ = − > ∀ ∈− −

. Suy ra ( )f x đồng biến trên [ ]0;1 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là ( )0 3 2 3,73f = − − ≈ − .



A. 296 15 189

− . B. 36 296 159

+ . C. 36 296 159

+ . D. 4 6 189

− + .


( )39 2 3 5 3 5 0x y xy x xy+ − − + − = 327 6 3 3 5 3 3 5 0x x xy xy xy⇔ + − − + − =

( ) ( ) ( )333 2 3 3 5 2 3 5x x xy xy⇔ + = − + − ( )* .

Xét hàm số ( ) 3 2f t t t= + có ( ) 2' 3 2 0f t t= + > nên hàm ( )f t đồng biến. Do đó

( ) ( ) ( )* 3 3 5 3 3 5f x f xy x xy⇔ = − ⇔ = − 0x⇒ ≥ và 29 3 5x xy= − .

Với 0x = không thỏa mãn. Với 0x > thì ( )( )3 3 26 3 3 1 2P x y xy x x y= + + + + + − ( )( )3 3 26 9 3 2x y xy x x y= + + + + + −

( )( )3 3 6 3 2 2x y xy xy x y= + + + − + − ( )3 3 2 23 3 2 4x y x y xy x y= + + + − + + ( ) ( )3 2 4x y x y= + − + + .

Mà 29 5 5 4 543 3 3

xx y x xx x+

+ = + = + ≥ . Đặt t x y= + thì 4 53

t ≥ .

Xét hàm số ( ) 3 2 4g t t t= − + với 4 53

t ≥ . Khi đó ( ) 2 4 5' 3 2 0,3

g t t t= − > ∀ ≥ .

Do đó ( ) 4 5 36 296 1593

g t g +

≥ =

. Vậy 36 296 15min9

P += .

Câu 24: (Hải Hậu Lần1) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 39 3 2

1x yy

x= +

++ . Giá trị lớn nhất của

biểu thức 6S x y= − là:

A. 89 .12

B. 11.3

C. 17 .12

D. 82 .3

Lời giải

Chọn B

Theo giả thiết 0y > nên ta có:

( ) ( ) ( )333

39 3 2 9 3 2 1 3 3 3 2 3 21

x y x x y y x x y yy

x = + ⇔ + = + + ⇔ + = + + + ++

( ) ( )3 3 2f x f y⇔ = + với ( ) 3f t t t= + .

Ta có ( ) 23 1 0,f t t t′ = + > ∀ ∈ nên hàm số ( )f t đồng biến trên , suy ra 3 3 2x y= +

hay 2 233

y x= − . Do 0y > và 3 3 2x y= + nên 23

x > .

Khi đó ( )22 22 2 11 116 6 3 3 6 3 13 3 3 3

S x y x x x x x= − = − + = − + + = − − + ≤ .

Do đó 11max3

S = khi 1x = .

Câu 25: (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho ,x y∈ thỏa mãn 1x y+ ≠ − và 2 2 1x y xy x y+ + = + + . Gọi

M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

xyPx y

=+ +

. Tính M m+ .

A. 13

. B. 23

− . C. 12

. D. 13

− .

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Với điều kiện 2 21; 1x y x y xy x y+ ≠ − + + = + + ta có 2 2

xyPx y xy

=+ +

.

Nếu 0y = thì 2

1 1 521 0

xx

x x≠ − ±

⇔ =− − =

. Khi đó 0P = .

Nếu 0y ≠ thì 2

1

xyP

x xy y

=

+ +

. Đặt xty

= . Ta có 2 1tP

t t=

+ +, t∈ .

Xét ( ) 2 1tf t

t t=

+ +, t∈ . ( )

( )2

22

1

1

tf tt t

− +′ =+ +

; ( ) 0 1f t t′ = ⇔ = ±

Từ bảng biến thiên:

13

M = tại 2

2 2

11 113 2 1 0 11 3

3

x yx x yx y xy

x yx xx y xy x y x

= = == = = ⇔ ⇔ ⇔ = = −− − = + + = + + = −

.

1m = − tại 22 2

11 1

11 0 1

111

xx yx

yx yy x

x xxx y xy x y

y

== − = − = −= − ⇔ ⇔ ⇔= − = = − = − + + = + + =

Vậy 2 .3

M m+ = −

Cách 2:

Với điều kiện 2 21; 1x y x y xy x y+ ≠ − + + = + + ta có 2 2

xyPx y xy

=+ +

.

( )2 21 0 (*)Px xy P Py⇒ + − + =

+) Nếu 0P = thì 0x = hoặc 0y = .

+) Nếu 0P ≠ thì 00

xy≠

≠.

Để phương trình (*) có nghiệm x thì ( )( )2 11 3 1 0 13x y P P P∆ = − + − ≥ ⇒ − ≤ ≤ .

Ta có:

13

M = tại ( )

22 2

1 11

2 13 2 1 0 11 33

x yy P x yx yx y x

Px yx x

x y xy x y x

= − − = === = = ⇔ ⇔ ⇔ = = −− − = + + = + + = −

.

1m = − tại ( )

22 2

11 1

121 0 11 1

1

xx yy P yx yx yxP

x xx y xy x y xy

== − − − = −= −= = − ⇔ ⇔ ⇔= − = = − + + = + + = − =

Do đó 1 ;m 1.3

M = = − Vậy 2 .3

M m+ = −



1 1Ax y

= + là:

A. 0.M = B.

0.M = C.

1.M = D.

16.M =

Hướng dẫn giải: Chọn D

2 23 3 2 2

3 3 3 3 3 3

1 1 ( )( ) 1 1x y x y x xy y x yAx y x y x y xy x y

+ + − + + = + = = = = +

.

Đặt x ty= . Từ giả thiết ta có: 2 2 3 2 2( ) ( 1) ( 1)x y xy x y xy t ty t t y+ = + − ⇒ + = − +

Do đó 2 2

2

1 1;1

t t t ty x tyt t t− + − +

= = =+ +

. Từ đó 22 2

2

1 1 2 11

t tAx y t t

+ += + = − +

.

Xét hàm số ( )

2 2

22 2

2 1 3 3( ) ( )1 1

t t tf t f tt t t t

+ + − +′= ⇒ =− + − +

.

Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi 12

x y= = .

Câu 27: Cho là hai số không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

,x y 2+ =x y3 2 21 1

3= + + − +P x x y x

min 5=P 7min3

=P 17min3

=P 115min3

=P

Chọn B

Ta có

Xét hàm số trên

. Cho


Từ bảng biến thiên ta thấy .

Câu 28: (TTHT Lần 4) Cho ,x y là các số thực thỏa mãn 2 2 1x xy y− + = . Gọi ,M m lần lượt là giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 4 4

2 2

11

x yPx y+ +

=+ +

. Giá trị của 15A M m= + là:

A. 17 2 6− . B. 17 6+ C. 17 2 6+ D. Lời giải

Chọn A

Ta có ( ) ( )2 22 2 31 1 3 14

x xy y x y xy x y− + = ↔ + = + ≤ + + 2 2x y⇒ − ≤ + ≤

Mặt khác: ( ) ( )2 22 22 12 _ 2 23 3

x y x y xy x y ≤ + = + − = + ≤

Đặt 2 2 2 23

t x y t = + ≤ ≤

Vậy ( )2 4 1

1t tP g t

t− + −

= =+

Xét hàm số ( )2 4 1 2 ;2

1 3t tg t t

t − + − = ∈ +

( )2 2 5 2' ; 2

1 3t tg t t

t − − + = ∈ +

( ) 2' 0 1 6 ;23

g t t = ⇒ = − + ∈ .

2+ =x y 2⇒ = −y x

3 2 21 13

= + + − +P x x y x ( )23 21 2 13

⇒ = + + − − +P x x x x 3 21 2 5 53

⇒ = + − +P x x x

3 21 2 5 53

= + − +y x x x [ )0;+∞

2 4 5′ = + −y x x 2 10 4 5 0

5=′ = ⇔ + − = ⇔ = −

xy x x

x

x−∞ 5− 1 +∞

′y + 0 − 0 +

y−∞

1153 7

3

+∞

7min3

=P

Vậy ( )2;23

11min15

t

g t ∈

= ; ( )2;23

max 6 2 6t

g t ∈

= −

Vậy 15 17 2 6A M m= + = −

Nhận xét: đây là bài toán thường gặp trong các đề thi TSĐH những năm trước đây. Tư tưởng của các bài toán này là sử dụng ứng dụng đạo hàm tìm GTNN, GTLN của hàm số sau khi áp dụng phương pháp dồn biến.

Câu 29: (Sở Bắc Ninh) Cho hai số thực x , y thỏa mãn 2 2 2 24 6 4 6 10 6 4+ − + + + + + = + −x y x y y y x x . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 2 2= + −T x y a . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [ ]10;10− của

tham số a để 2≥M m? A. 17. B. 15. C. 18. D. 16.

Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2 24 6 4 6 10 6 4+ − + + + + + = + −x y x y y y x x

⇔ 2 2 2 26 10 6 10 6 4 6 4+ + + + + = + − + + −y y y y x x x x . ( )*

Xét hàm ( ) 2= +f t t t , có ( ) 2 1 0′ = + >f t t , 0∀ >t .

Ta có hàm ( )=y f t đồng biến trên [ )0;+∞ , [ )2 6 10 0;+ + ∈ +∞y y , [ )26 4 0;+ − ∈ +∞x x .

Nên ( )* ⇔ ( ) ( )2 2 2 26 10 6 4 6 10 6 4+ + = + − ⇔ + + = + −f y y f x x y y x x

( ) ( )2 22 26 10 6 4 2 3 9⇔ + + = + − ⇔ − + + =y y x x x y .

Xét điểm ( );A x y thuộc đường tròn ( )C có phương trình ( ) ( )2 22 3 9− + + =x y .

Ta có 2 2= +OA x y . Đường tròn ( )C có tâm ( )2; 3−I , bán kính 3=R nên điểm ( )0;0O nằm ngoài ( )C .

Gọi 1A , 2A là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn ( )C .

( ); ( )∀ ∈A x y C : 1 2≤ ≤OA OA OA , với 1 13 3= − = −OA OI R và 2 13 3= + = +OA OI R .

Tức là ta có 2 213 3 13 3− ≤ + ≤ +x y 2 213 3 13 3⇔ − − ≤ + − ≤ + −a x y a a .

Th1 : 13 3 0 13 3− − ≥ ⇔ ≤ −a a , ( )1

Khi đó 13 3= + −M a và 13 3= − −m a .

( )2 13 3 2 13 3 13 9≥ ⇔ + − ≥ − − ⇔ ≥ −M m a a a .

Kết hợp với điều kiện ( )1 và a nguyên thuộc đoạn [ ]10;10− ta có { }5; 4; 3; 2; 1;0∈ − − − − −a .

Th2: 13 3 0 13 3+ − ≤ ⇔ ≥ +a a , ( )**

Khi đó 13 3= − +M a và 13 3= − −m a .

( )2 13 3 2 13 3 13 9≥ ⇔ − + ≥ − − ⇔ ≤ +M m a a a .

Kết hợp với điều kiện ( )** và a nguyên thuộc đoạn [ ]10;10− ta có { }7;8;9;10∈a .

Th3: 13 3 0

13 3 13 313 3 0

− − < ⇔ − < < ++ − >

aa

a, ( )***

Khi đó 0>M và 0=m nên ta luôn có 2≥M m Kết hợp điều kiện ( )*** và a nguyên thuộc đoạn [ ]10;10− ta có { }1;2;3;4;5;6∈a .

Vậy { }5; 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10∈ − − − − −a .

Câu 30: (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho ,x y là các số thực thỏa mãn ( ) ( )2 23 1 5x y− + − = . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 23 4 7 4 1

2 1y xy x yP

x y+ + + −

=+ +

.

A. 3 . B. 3 . C. 11411

. D. 2 3 .


( ) ( )2 2 2 23 1 5 6 2 5 0x y x y x y− + − = ⇒ + − − + = .

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

22 2

3 4 7 4 1 6 2 52 1

2 2 44 4 2 4 .2 1 2 1

y xy x y x y x yP

x y

y x x yy xy x x yx y x y

+ + + − + + − − +=

+ +

+ + + ++ + + + += =

+ + + +

Đặt 2t x y= + .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 21 2 3 1 3 2 2x y x y + − + − ≥ − + − ( )22 5 25 0 2 10x y x y⇒ + − ≤ ⇔ ≤ + ≤ .

2 4 4 , 0 101 1

t tP t tt t+ +

= = + ≤ ≤+ +

.

Sử dụng MTCT min 3P⇒ = khi 1t = .

Câu 31: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018) Xét các số thực dương x , y , z thỏa mãn

4x y z+ + = và 5xy yz zx+ + = . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )3 3 3 1 1 1x y zx y z

+ + + +

bằng

A. 20 . B. 25 . C. 15 . D. 35 .


Ta có: ( ) 2

445 5 5 4

x y zx y zxy yz zx xy z x y z z

+ = −+ + = ⇔ + + = = − + = − + .

Lại có: ( )2 4x y xy+ ≥ ( ) ( )2 2 24 4 5 4 23

z z z z⇒ − ≥ − + ⇒ ≤ ≤ . Dấu " "= xảy ra khi x y= .

Và ( ) ( )( ) ( )3 3 3 3 3 3x y z x y z x y z x y z xy x y+ + = + + + + + + + +

( ) ( )3 3 3 34 12 3x y z x y z xy x y⇒ + + = − + − + ( )( )264 3 4 5z z= − − + .

Ta có: ( )3 3 3 1 1 1P x y zx y z

= + + + +

( )3 2

3 2

53 12 15 44 5

z z zz z z

= − + + − + .

Đặt 3 24 5t z z z= − + , với 2 502 23 27

z t≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ .

Do đó xét hàm số ( ) 45 3f tt

= +

, với 50 227

t≤ ≤ .

Ta có ( ) 2

20 500, ;227

f t tt− ′ = < ∀ ∈

nên hàm số ( )f t liên tục và nghịch biến.

Do đó ( )min 2 25P f= = đạt tại 1x y= = , 2z = .

Câu 32: (Kim Liên) Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn ( )2 22 ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + + . Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 3 3 2 2

3 3 2 24 9a b a bPb a b a

= + − +

thuộc khoảng nào?

A. (-6 ;-5) . B. (-10 ;-9) . C. (-11 ;-9) . D. (-5 ;-4) .

Lời giải

Chọn A

Vì ,a b dương nên từ giả thiết ( )2 22 ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + + , ta chia hai vế cho ab

( )2 2 1 12 ( )( 2) 2 1 ( ) 2a ba b ab a b ab a bb a a b

+ + = + + ⇔ + + = + + +

.

Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số dương ( )a b+ và 1 12a b

+

:

1 1 1 1( ) 2 2 ( ).2 2 2 2a ba b a ba b a b b a

+ + + ≥ + + = + +

.

Dấu " "= xảy ra khi 1 1( ) 2a ba b

+ = +

.

Suy ra 2 1 2 2 2a b a bb a b a

+ + ≥ + +

. Đặt , ( 0).a bt tb a

= + >

Khi đó: 2

522 1 2 2( 2) 4 4 15 0

32

tt t t t

t

≥+ ≥ + ⇔ − − ≥ ⇔

≤ −

. Do đó, ta có điều kiện 5 .2

t ≥

Mặt khác: 3 23 3 2 2

3 3 2 24 9 4 3 9 2a b a b a b a b a bPb a b a b a b a b a

= + − + = + − + − + −

( ) ( )3 2 3 24 3 9 2 4 9 12 18.t t t t t t= − − − = − − +

Đặt ( ) 3 2 2 54 9 12 18 '(t) 12 18 12 0, .2

f t t t t f t t t= − − + ⇒ = − − > ∀ ≥


Từ bảng biến thiên ta có,5 ;2

5 23( ) .2 4

tMin f t f

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 234

− khi

2512

1 1 1( ) 22

aa bbb aaa b

a b b

=+ = =

=+ = + =

⇔

.

Câu 33: (Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho các số thực ,x y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 2 23 2 5x xy y− − =. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 22P x xy y= + + thuộc khoảng nào sau đây.

A. ( )4;7 . B. ( )2;1− . C. ( )1;4 . D. ( )7;10 .


Xét 50

3y P= ⇒ = loại phương án A và .D

Xét 2 27

0 02 4

y yy P x ≠ ⇒ = + + >

khi đó ta có biểu thức

2 2

2 2

5 3 2

2

x xy yP x xy y

− −=

+ +

Chia cả tử và mẫu của vế phải cho 2y tâ được

2

2

3 2 15

2

x xy y

P x xy y

− −

=

+ +

.

Đặt ( ) ( ) ( )2 2

2 2 2

35 3 2 1 5 14 3

( ) ' , ' 0 12 ( 2)

5

tx t t t t

t t R f t f t f ty P t t t t t

= −− − + − = ∈ ⇒ = = ⇒ = = ⇔

+ + + + =

Bảng Biến thiên hàm số ( )f t .

Từ bảng biến thiên ta có ( ) 5 54 4

4f t P

P≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ .

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5

4, dấu bằng xảy ra khi 3 3t x y= − ⇔ = − .

Câu 34: (Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho ,x y thỏa mãn 3 2 2log ( 9) ( 9)2


+= − + − +

+ + +

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2 910

x yPx y+ −

=+ +

khi ,x y thay đổi.

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.


Điều kiện xác định; 2 2 0 ( ) 02

x y x yx y xy

+> ⇔ + >

+ + +.

Vì 2 2 2 232 ( ) 2 02 4yx y xy x y+ + + = + + + > với ,x y∀ ∈ .

Ta có 3 2 2log ( 9) ( 9)2


+= − + − +

+ + +.

2 2 2 23 3log ( ) log ( 2) 9( )x y x y xy x y xy x y⇔ + − + + + = + + − + .

2 2 2 23 32 log ( ) 9( ) log ( 2) 2x y x y x y xy x y xy⇔ + + + + = + + + + + + + .

2 2 2 23 3log 9( ) 9( ) log ( 2) 2x y x y x y xy x y xy⇔ + + + = + + + + + + + (1) .

Đặt 3( ) logf t t t= + ( 0)t∀ > .

Có 1'( ) 1 0.ln 3

f tt

= + > với ( 0)t∀ > ⇒ f là hàm đồng biến với ( 0)t∀ > . Khi đó: 2 2 2 2(9( )) ( 2) 9( ) 2f x y f x y xy x y x y xy+ = + + + ⇔ + = + + + .

2 2 2 9 9 0x y xy x y⇔ + + + − − = . 2 24 4 4 8 36 36 0x y xy x y⇔ + + + − − = .

2 2(2 ) 18(2 ) 3( 3) 19 0x y x y y⇔ + − + + − − = .

Mà 2 23( 3) 0 (2 ) 18(2 ) 19 0y x y x y⇔ − ≥ ⇒ + − + − ≤ 1 2 19x y⇒ − ≤ + ≤ .

Mặt khác 2 191 0 110

x yP Px y+ −

− = ≤ ⇒ ≤+ +

Dấu bằng xảy ra khi 2 19 8

3 0 3x y x

y y+ = =

⇔ − = = .

Câu 35: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn 2 2 1x y xy+ − = và hàm số ( ) 3 22 3 1f t t t= − + .

Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 5 2

4x yQ fx y

− += + +

. Tổng

M m+ bằng A. 4 3 2− − . B. 4 5 2− − . C. 4 4 2− − . D. 4 2 2− − .


Ta có: 2 2 1x y xy+ − =2 23 1

2 4y yx ⇔ − + =

. Ta đặt: 5 2

4x ytx y− +

=+ +

( )4 5 2t x y x y⇒ + + = − + ( ) ( )5 1 4 2 0t x t y t⇔ − + + + − = .

( ) ( ) 35 3 3 2 42 2y yt x t t ⇔ − − + − = −

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 23 32 4 5 3 3 5 3 3

2 2 2 4y y y yt t x t t t x

− = − − + − ≤ − + − − +

( ) ( ) ( )22 22 4 5 3 3 .1t t t ⇒ − ≤ − + −

212 24 0t t⇔ − ≤ 2 2t⇔ − ≤ ≤ .

Xét hàm số ( ) 3 22 3 1f t t t= − + với 2 2t− ≤ ≤ .

Có: ( ) 26 6f t t′ = − nên ( ) 2 00 6 6 0

1t

f t t tt=′ = ⇔ − = ⇔ =

.

Ta có: ( )2 5 4 2f − = − − , ( )0 1f = , ( )1 0f = , ( )2 5 4 2f = − +

Do đó ( )0 1M f= = , ( )2 5 4 2m f= − = − − .

Vậy 4 4 2M m+ = − − .

Bài toán gốc: Cho 2 2ax by cxy d+ + = . Tìm MGT 1 1 1

2 2 2

a x b y cta x b y c

+ +=

+ +

Phương pháp giải: Cách 1. Lượng giác hóa

Ta có: ( ) ( )2 22 2 ' ' ' ' 1ax by cxy d a x b y c x d y+ + = ⇔ + + + =

Đặt ' ' sin sin' ' cos cos

a x b y x mc x d y y n

α αα α

+ = = ⇔ + = =

Suy ra: 1 1 1

2 2 2

sin cosa x b y ct A B Ca x b y c

α α+ += ⇔ + =

+ +

Ta có: 2 2 2A B C+ ≥ suy ra MGT của t .

Cách 2. (Một cách nhìn khác đồng nhất hệ số

( ) ( )1 1 1

2 2 2

a x b y ct A mx ny B kx qy Ca x b y c

+ += ⇔ + + + =

+ +

Chọn , , ,m n k q sao cho ( ) ( )2 2 2 2mx ny kx qy ax by cxy+ + + ≡ + + 2 2

2 2

2 2

m k an q b

mn kq c

+ =

⇔ + = + =

Áp dụng BĐT Bunhiacoxki ta có: ( )2 2 2C A B d≤ + suy ra MGT của t .

Câu 36: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho 2 số ,x y thỏa mãn 2 25 1 4x y xy+ = + và hàm số bậc ba ( )y f x= có đồ thị như hình vẽ. Gọi ,M m tương ứng là giá

trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 3 34 4

x yP fx y

− −= − + +

.

Tích .M m bằng

A. 14361331− B. 3380

1331 C. 1436

1331 D. 1944

1331


Dễ thấy ( ) 3 3f x x x= −

Từ ( )22 2 25 1 4 2 1x y xy x y y+ = + ⇔ − + =

Đặt 2 sin sin 2x y x cos

y cos y cosα α α

α α− = = +

⇔ = = . Khi đó

Xét ( )( )

2 sin 2 3 32 3 34 4 sin 2 4 4

cos cosx ytx y cos cos

α α αα α α+ − −− −

= =− + + − + + +

2sin 3sin 2 4

coscos

α αα α

+ −=− + +

Ta có: ( )sin 2 4 2sin 3t cos cosα α α α− + + = + − ( ) ( )2 sin 1 2 4 3t t cos tα α⇔ + + − = + ( )*

Phương trình ( )* có nghiệm ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 4 3t t t⇔ + + − ≥ + 2211

t −⇔ − ≤ ≤

Khi đó ( ) 3 3P f t t t= = − với 2211

t −− ≤ ≤

Dễ dàng tìm được 2M = , 7181331

m = . Vậy 1436.1331

M m =

Câu 37: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số thực ,x y thay đổi thỏa mãn 2 25 2 1x y xy+ + = và hàm số

( ) 4 22 2f t t t= − + Gọi ,M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 13 2

x yQ fx y

+ −= + −

.

Tổng M m+ A. 4 3 2+ . B. 8 3 2− . C. 66 . D. 9 3 17+


Ta có: 2 25 2 1x y xy+ + = ( )2 24 1x y y⇔ + + =

Đặt 13 2

x ytx y+ +

=+ −

( )3 2 1t x y x y⇒ + − = + + ( ) ( )( )2 1 1 2t t x y ty⇔ + = − + +

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )22 2 22 22 1 1 2 1 4t t x y ty t t x y y+ = − + + ≤ − + + + ( ) ( )2 2 22 1 1t t t⇒ + ≤ − +

22 6 0 3 0t t t⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤

Xét hàm số ( ) 4 22 2f t t t= − + với 3 0t− ≤ ≤

Có: ( ) 34 4f t t t′ = − , nên ( )0

0 11

tf t t

t

=′ = ⇔ = − =

( ) ( ) ( )0 2, 1 1, 3 65f f f= − = − =

Do đó ( ) ( )3 65; 1 1M f m f= − = = − =

Vậy: 66M m+ =

Câu 38: (2D1-4) (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần 2 năm 2017-2018) Cho x , y là các số

thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 3 0

2 3 14 0x xy

x y − + =

+ − ≤. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 2 2 33 2 2P x y xy x x= − − + .

A. 8 . B. 0 . C. 12 . D. 4 .


Cách 1: Theo giả thiết ta có 2

2 33 0 xx xy yx+

− + = ⇒ =

Từ bất phương trình 25 4 92 3 14 0 0x xx y

x− +

+ − ≤ ⇔ ≤915

x⇔ ≤ ≤ .

Mặt khác ta có 2 3 2

2 2 2

3 33 3

x xy x x y xxy x xy x y y

= − = − ⇒ = + = +

Thay vào ta được 3 8P y x= − + 2 33 8x xx

+= − +

95xx

= − .

Xét hàm số ( ) 95f x xx

= − trên đoạn 91;5

.

Ta có ( ) 2

9 95 0, 1;5

f x xx

′ = + ≥ ∀ ∈ do đó ( )

91;5

min 1 4f

= = − và ( )91;5

9max 45

f x f

= =

.

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 0 .

Cách 2: Từ giả thiết có: 3x yx

+ = và 32 3 14x xx

+ + ≤

91;5

x ⇒ ∈ .

Khi đó: 2 33 33 2 2P x x x x x xx x

= + − + − +

.

( ) 95P f x xx

= = − , 91;5

x ∈ .

Kháo sát hàm số nhận được ta có ( ) ( )91;5

min 1 4f x f

= = − và ( )91;5

9max 45

f x f

= =

.

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 0 .

Câu 39: (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn 8

5xy yz zxx y z+ + =

+ + = và hàm số ( ) 2 4 5f x x x= − +

Gọi ,M m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( )f x . Tổng M m+

A. 3 . B. 289

C. 199

. D. 2


Viết lại điều kiện: 8

5xy yz zxx y z+ + =

+ + =

( )85

zy x y zy z x= − +⇔ + = −

( )8 55

yz x xy z x= − −⇔ + = −

( )*

Vì , ,x y z thỏa mãn ( )* nên ,y z là hai nghiệm của phương trình

( )2 25 8 5 0T x T x x− − + − + = ( )**

Điều kiện có nghiệm của phương trình ( )** là: ( ) ( )2 2 25 4 8 5 0 3 10 7 0x x x x x∆ = − − − + ≥ ⇔ − + ≤ 713

x⇔ ≤ ≤

Xét hàm số ( ) 2 4 5f x x x= − + với 713

x≤ ≤

Có ( ) 2 4f x x′ = − nên ( ) 0 2f x x′ = ⇔ =

( ) ( ) 7 101 2; 2 1;3 9

f f f = = =

Do đó ( ) ( )1 2, 2 1M f m f= = = = .

Vậy 3M m+ = .

Câu 40: Cho [ ), 0;x y∈ +∞ , 1x y+ = . Biết [ ];m a b∈ thì phương trình ( )( )2 25 4 5 4 40x y y x xy m+ + + = có nghiệm thực. Tính 25 16T a b= + .

A. 829T = . B. 825T = . C. 816T = . D. 820T = . Lời giải

Chọn B

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 33 325 20 56 25 20 3 56m xy x y xy xy x y xy x y xy = + + + = + + − + +

( )2 225 4 20 25 4 20xy xy t t= − + = − + , với ( )21

4 4x y

t xy+

= ≤ = .

Xét hàm số ( ) 225 4 20f t t t= − + trên đoạn 10;4

.

Ta có: ( ) 50 4f t t′ = − . Xét ( ) 2025

f t t′ = ⇒ = .

Ta có: ( )0 20f = , 2 49625 25

f =

và 1 3294 16

f =

.

Do đó để phương trình có nghiệm thực thì 496 329;25 16

m ∈ 496 329,25 16

a b⇒ = = suy ra 825T = .

a – lÝ thuy - file.khodethi.com

Documents