9.5 单项式乘多项式法则的再认识

--- 因式分解（一）

常州同济中学 于娟

计算： a(b ＋ c ＋ d)= ；

ab(a+b) = ；

3x2(1-2x) = ； 3ab(3c-2ab+4c2)

= ；

ab+ac+ad

a2b+ab2

3x2-6x3

9abc-6a2b2+12abc2

计算： 375×2.8+375×4.9+375×2.3如何计算上面的算式？

小明很快就能报出答案，你知道他是怎么想的吗？

小明的方法： 375×2.8+375×4.9+375×2.3=375× （ 2.8+4.9+2.3 ）=375×10=3750

为什么 375×2.8+375×4.9+375×2.3可以写成 375× （ 2.8+4.9+2.3 ）？依据是什么？ 乘法分配率

你能把多项式 ab+ac+ad 写成积的形式吗？请说明你的理由

根据乘法分配律： ?ab+ac+ad=a(b+c+d)

单项式乘多项式的法则 a(b+c+d)=ab+ac+ad

反过来，得到ab+ac+ad=a(b+c+d)

观察多项式 ab+ac+ad 的每一项，你有什么发现吗？

a 是多项式 ab+ac+ad 各项都含有的因式。

一个多项式各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式。

例如 a 就是多项式 ab+ac+ad 各项的公因式

下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试找出公因式。

(1)a2b+ab2 (2)3x2-6x3

(3)9abc-6a2b2+12abc2

ab

3x2

3ab

一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 .

如何找一个多项式的公因式？最大公约数 相同字母最低次幂

一看系数　 二看字母及其指数

系数：当多项式的各项系数都是整数 时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；

字母：应取各项相同的字母，且各字母的指数取次数最低的。

找出下列多项式各项的公因式

（ 1 ） 4x2 － 2x

（ 2 ） a2x2y － axy2

（ 3 ） 6a2b － 4a3b3 － 2a2b

（ 4 ） 3an+1-6an+9an-1

2x

axy

2a2b

3an-1

（ 1 ） a2b+ab2=ab （ ）（ 2 ） 3x2-6x3=3x2 （ ）（ 3 ） 9abc-6a2b2+12abc2=3ab( ）

像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做把这个多项式的因式分解。

a+b1-2x

3c-2ab+4c2

a(b ＋ c ＋ d)= ab+ac+ad ab(a+b)=a2b+ab2

3 x2(1-2x)= 3x2-6x3 3ab(3c-2ab+4c2)=9abc-6a2b2+12abc2

因式分解因式分解是把一个多项式写成几个整式积的形式是把一个多项式写成几个整式积的形式

想一想 : 分解因式与整式乘法有何关系 ? 整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式

因式分解与整式乘法是互逆 互逆 过程

你能利用“因式分解与整式乘法过程正好相反”的关系，举一个因式分解的例子吗？

下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？

(1) ab+ac+d=a(b+c)+d

(2) a2-1=(a+1)(a-1 ）

(3) (a+1)(a-1) = a2-1

(4) x2+3xy+x=x(x+3y)

不是是

不是

不是

【例【例 11 】把下列各式分解因式】把下列各式分解因式 (1)6a3b － 9a2b2c (2) － 2m3 ＋ 8m2 － 12m

解解 :: （（ 11 ） ） 6a3b － 9a2b2c 找公因式

==3a3a2bb ··2a － 3a3a2bb ·3bc ·3bc 各项分成公因式与另一个因式的乘积的形式

= 3a3a2bb (2a(2a － 3bc3bc ) 提公因提公因

例题选解

(2) － 2m3 ＋ 8m2 － 12m解 : － 2m3 ＋ 8m2 － 12m

= － (2m·m2 － 2m·4m ＋ 2m·6)

= － 2m （ m2 － 4m ＋ 6 ）通常当多项式第一项系数为负时，把“ -” 作为公因式的符号写在括号外，使括号内第一项系数变为正。

多项式的公因式可以是单项式，也可以是多项式

议一议：如何把多项式 3a （ x ＋ y ）－ 2b （ x＋ y ）分解因式？

解： 3a （ x ＋ y ）－ 2b （ x ＋ y ）=(x ＋ y) (3a-2b)

如果多项式的各项含有公因式，那么可以如果多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提取出来。把多项式化成公把这个公因式提取出来。把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式因式与另一个多项式的积的形式 , , 这种分这种分解因式的方法叫做解因式的方法叫做提取公因式法提取公因式法。。

【思维拓展】把下列各式因式分解：

(1)9x3y-36xy2+3xy

(2)2x(m-n)+4y(n-m)

(3)x(x-1)-x+1

(4)(3x － y)(3x ＋ y) － (x ＋ 5y)(y

－ 3x)

同学们，今天这节课你学会了什么？ 在学习过程中你有哪些收获？

1 、 (1) 一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多 项式各项的公因式 .

(2) 多项式的因式分解 : 把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式的分解因式特点： 整式的乘法的运算过程与因式分解的运算过程互逆 。

(3)(3) 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式取出来作为多项式的一个因式 ,, 提出公因式后的式子放在括号提出公因式后的式子放在括号里作为另一个因式里作为另一个因式 , , 这种分解因式的方法叫做提取公因式法。这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

33 、方法技巧、方法技巧：： (1)(1) 、用提公因式法分解因式的一 般步骤：、用提公因式法分解因式的一 般步骤： aa 、确定公因式、确定公因式 bb 、把该公因式提取出来作为多项式的一个因式、把该公因式提取出来作为多项式的一个因式 ,, 提出公因式后的式子放在括号里作为另一个因式提出公因式后的式子放在括号里作为另一个因式 (2)(2) 、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法 、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法 运算来检验。 运算来检验。

22 、方法规律、方法规律：： 一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：一个多项式各项的公因式必须由三部分组成： (1)(1) 、各项整数系数的最大公约数；、各项整数系数的最大公约数； (2)(2) 、各项相同的字母且相同因式的指数取最低。、各项相同的字母且相同因式的指数取最低。

作业1 、请写出一个二项式，使它能用提公因式法来分解因式，分解的结果是什么？

2 、补充练习册 :P

解： 2 （ a-b ） 2-a+b =2 （ a-b ） 2- （ a-b ） = （ a-b ） [2(a-b)-1] = （ a-b ） ( 2a-2b -1)

【解】原式＝ (3x－ y)(3x＋ y) ＋ (x＋ 5y)(3x－ y) ＝ (3x－ y)(3x＋ y＋ x＋ 5y) ＝ (3x－ y)(4x＋ 6y) ＝ 2(3x－ y)(2x＋ 3y)

例 1 ：把 6a3b-9a2b2c 分解因式想一想：

1 、多项式 6a3b-9a2b2c 各项的公因式是什么？

2 、你能把多项式 6a3b-9a2b2c 各项写成公因式与另一个因式的积吗？向你的同伴说说你是如何得到另一个因式的？总结：多项式的各项分别除以公因式

就能得到各项的另一个因式

解原式＝－４ x(x-2a-1)

练一练“理解概念”判断下列各等式哪些是因式分解 ? 为什么？ (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y)

(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy

(3) x2+4x+4=(x+2)2

(4) (a-3)(a+3)=a2-9

(5) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)

因式分解整式乘法因式分解整式乘法因式分解

(6)(5a-1)2 =25a2-10a+1 整式乘法

因式分解：ma mb mc

把公因式提出来，多项式 ma+mb+mc 就可以分解成两个因式 m 和 (a+b+c) 的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。

( )ma mb mc m a b c

探索发现

解 :

公因式多项式中各项都含有的相同因式 , 称之为公因

式

提公因式法