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Escola Básica e Secundária de Vila Cova ANO LETIVO 2014/2015

FICHA DE REVISÔES 9º ANO DE ESCOLARIDADE abril 2015

Nome:_______________________________________________________________________________________________N.°____Turma:____

1. Numa escola, em Setembro, realizou-se um inquérito sobre o número de livros que cada um dos alunos de duas turmas (A e B) tinha lido nas férias. Os resultados do inquérito, por turma, estão representados no gráfico. a) Escolhido ao acaso um aluno de entre todos os alunos das duas

turmas, qual é a probabilidade de esse aluno ser da turma A e ter lido no máximo dois livros? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.

b) Qual foi o número médio de livros lidos, pelos alunos das duas

turmas, nas férias? Apresenta os cálculos que efetuaste.

c) Na tabela, ao lado, estão os resultados do inquérito sobre o número de livros que cada um dos 26 alunos da turma C tinha lido nas férias de Natal. Admite que a mediana do número de livros lidos pelos alunos da turma C é 2. Indica os valores de a e b. Mostra como chegaste à tua resposta.

2. A média de seis números é 5.Cinco desses números são 2, 3, 7, 8 e 6. Qual é o outro número? Mostra como chegaste à tua resposta.

3. A tabela indica alguns dos níveis obtidos pelo Carlos, estudante do 9º ano, no final do 2º período

Disciplina LP Francês Inglês História Matemática F.Q. C.N. E.V. E.F.

Nível 4 - - 3 4 3 4 5 3

Sabendo que a mediana dos níveis do Carlos é 4, quais serão os resultados obtidos às disciplinas de Francês e Inglês? (A) 3 e 3 (B) 2 e 3 (C) 3 e 4 (D) 2 e 2

4. Em conversa, 5 amigos concluíram que a média das respetivas idades é 10 anos. Ao grupo juntou-se o Mário e a média passou a ser 11 anos. Que idade tem o Mário?

5. Um saco contém 4 bolas verdes , 2 amarelas e 1 azul. Tirando sucessivamente e sem reposição, 2

bolas do saco, qual é a probabilidade de obter duas bolas da mesma cor. Apresenta o resultado sob a

forma de fração irredutível

6. Para um certo número inteiro k, a expressão 3k é igual a

2

81

1

. Qual é esse número k?

7. Seja a um número racional não nulo. A qual das seguintes opções é equivalente a expressão: 𝑎−6 × (1

𝑎)

−2

(A) 1 (B) 𝑎−12 (C) 𝑎−8 (D) 𝑎−4

8. Seja r um número real positivo. Sabe-se que as expressões 20102

1 r

e 3010r representam as medidas dos

comprimentos de dois lados consecutivos de um certo retângulo. Qual das expressões seguintes é a medida da área desse retângulo?

(A) 2 ×109 (B) 2 ×1010 (C) 5 ×109 (D) 5×1010

(A) 16 (B) 12 (C) 11 (D) 6

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9. Seja K um número inteiro relativo positivo. Qual das expressões representa sempre um número negativo?

(A) (𝑘 + 1)2 (B) (𝑘 − 1)(𝑘 + 1) (C) −𝑘3 (D) (−𝑘)2

10. O mínimo múltiplo comum entre 28 e 42 é (A) 2 × 7 (B) 23 × 3 × 72 (C) 24 × 32 × 72 (D) 22 × 3 × 7

11. Na tabela estão indicados os quatros primeiros termos de uma sequência de pares ordenados que segue a lei

de formação sugerida.

1.º termo 2.º termo 3.º termo 4.º termo …

(1, 1) (2, 4) (3, 9) (4, 16) …

11.1. Escreve o 8.o termo desta sequência.

11.2. Há um termo desta sequência que é da forma (a, 361). Determina o valor de a.

12. Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de conjuntos de bolas que segue

a lei de formação sugerida.

12.1. Quantas bolas são necessárias para construir o

7º termo da sequência?

12.2. Há um termo da sequência que tem 289 bolas brancas. Quantas bolas pretas tem esse termo?

Mostra como chegaste à tua resposta.

13. A Ana comprou, no bar da escola, sumos e sanduíches para alguns colegas. Comprou mais três sanduíches do que sumos. No total pagou 4,60€. Cada sanduíche custa 0,80€, e cada sumo 0,30€. Quantos sumos e quantas sanduíches comprou a Ana?

14. Um grupo de amigos foi a Coimbra visitar o Portugal dos Pequenitos. O grupo era constituído por seis adultos e dez crianças. Pagaram, ao todo, 108,70 euros pelas entradas. Os preços dos bilhetes de adulto e de criança eram diferentes. O Pedro, a criança mais velha do grupo, pensou: «Se eu já pagasse bilhete de adulto, o nosso grupo iria pagar mais 3,45 euros pelas entradas». Admite que o Pedro pensou corretamente. Seja x o preço do bilhete de adulto, e seja y o preço do bilhete de criança. Escreve um sistema de equações que permita determinar o preço do bilhete de adulto (valor de x) e o preço

do bilhete de criança (valor de y)

15. Resolve o seguinte sistema de equações: {2(𝑥 − 1) + 𝑦 = 1

𝑥 −𝑦+1

3= 2

16. Qual das expressões seguintes é equivalente a axax 22 ?

(A) 𝑥2 + 𝑎2 + 2𝑎𝑥 (B) 𝑥2 − 𝑎2 (C) 𝑥2 + 𝑎2 (D) 𝑥2 − 𝑎2 +

2𝑎𝑥

17. Resolve as seguintes equações:

a) (𝑥−1)2

6−

2𝑥+1

3= 1 b) (𝑥 + 2)2 = 3𝑥2 + 2𝑥

18. Seja 𝑏 um número real. Determina os valores de para os quais a equação 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 9 = 0 tem apenas uma solução.

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19. Na figura ao lado, [ABCD] é um retângulo e o arco EC tem centro em A. 19.1. Determina o valor exato de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ .

19.2. Qual é o valor exato da abcissa do ponto E?

20. Na tabela seguinte estão representados conjuntos de números reais na forma de condição, na forma geométrica e na forma de intervalo.

Conjunto Condição Representação geométrica Intervalo

A

B IR : 0x x

C , 1

20.1. Completa-a.

20.2. Determina:

a) A B b) A C c) B C d) A B

e) A C f) B C g) A B C

21. Dado o intervalo de números reais: 𝐴 =] − 1, 5] completa cada uma das expressões seguintes com um dos símbolos ∈ ou ∉ de modo a obter afirmações verdadeiras.

a) -1……. A b) 5 …….. A c) -0,99 ……. A

d) -1,1 ……. A e) 4,9999 …….. A f) 5,000001 …….. A

22. Indica, justificando, o intervalo a que o número 𝜋 pertence:

23. Considera o intervalo [– 𝜋,

1

3[.

Escreve todos os números inteiros pertencentes a este intervalo.

24. Considera o intervalo ]−3, √11[.

a) Escreve todos os números inteiros relativos pertencentes a este intervalo.

b) Indica um número irracional que pertença a este intervalo

25. Considera os seguintes conjuntos, A e B, de números reais:

a) Determina 𝐴 ∩ 𝐵 na forma de intervalo usando uma representação gráfica.

b) Determina 𝐴 ∪ 𝐵 na forma de intervalo usando uma representação gráfica.

c) Verdadeiro ou falso?

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26. Qual dos seguintes intervalos de números reais representa o conjunto-solução da seguinte inequação:

13 2 3

3

xx

Apresenta os cálculos que efetuares.

(A) x < 1 (B) 5

4x (C) x ≤ 1 (D)

5

4x

27. Uma piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Essa piscina tem dez metros de comprimento e seis metros de largura. Num certo dia, às 9 horas da manhã, começou a encher-se a piscina, que estava vazia. A altura, h, em metros, da água na piscina, t horas depois das 9 horas desse dia, é dada por:

ℎ(𝑡) = 0,3𝑡.

27.1. Qual o significado, no contexto da situação apresentada, do valor 0,3?

27.2. A piscina esteve a encher ininterruptamente até às14 horas desse dia. Quantos litros de água havia na piscina às 14 horas? (A) 72 000 (B) 78 000 (C) 84 000 (D) 90 000

28. A professora de Espanhol da turma da Maria vai ter um bebé. A Maria combinou com os colegas oferecer, em conjunto, uma prenda ao bebé, dividindo igualmente o custo por todos. Depois de terem decidido qual seria a prenda, a Maria fez uma simulação do número de alunos que participariam e do valor, em euros, que cada um pagaria, tendo construído a tabela. O número de alunos ( 𝑎 ) é inversamente proporcional ao valor ( 𝑣 ), em euros, a pagar por cada aluno.

28.1. Indica a constante de proporcionalidade inversa e o que esta representa no contexto do problema.

28.2. Escreve uma expressão que relacione o n.º de alunos ( 𝑎 ) e o valor ( 𝑣 ), em euros, a pagar por cada aluno.

28.3. Quanto terá de pagar cada aluno, se participarem 15 alunos na compra da prenda?

29. Relativamente á figura sabe-se que:

F é uma função definida por: 𝑓(𝑥) =𝑥2

2.

B tem de coordenados (3, 4.5)

A área do triângulo ABC é:

30. Na Figura 3 estão representadas, num referencial cartesiano, as funções f e g . Sabe-se que:

a função f é uma função de proporcionalidade inversa; a função g é definida por g(x) = -x + 9 ; o ponto A é o ponto de interseção do gráfico da função g com o

eixo das ordenadas;

o ponto B é um ponto de interseção dos gráficos das funções f e g ;

o ponto C tem ordenada 3 o segmento de reta CB é paralelo ao eixo das abcissas.

a) Indica a ordenada do ponto A .

b) Indica a expressão analítica da função f . c) Determina o perímetro de [ABC]. Apresenta todos os cálculos que

efetuares

(A) 6,75 (B) 26 (C) 13,5 (D) 15

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31. Considera f uma função definida por f (x)= - 3x - 2 . Qual é a imagem do objeto -1 por meio da função f ?

(A) -5 (B) - 1 (C) 1 (D) 5

32. A representação gráfica de uma função afim f é uma reta à qual pertencem os pontos (2, 4) e (-1, -5).

32.1. Determina a expressão algébrica da função f na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏.

32.2. Determina as coordenadas do ponto de interseção da função afim f com os eixos coordenados.

33. O príncipe queria enviar uma mensagem de anos à sua amada que se encontra dentro de um castelo. Colocou- se em cima de uma pedra e usando uma “fisga” lançou a mensagem. O castelo tinha 25 m de altura e a pedra onde se colocou o príncipe tinha uma altura de 0,5 m, como se mostra a figura. Quando a mensagem partiu estava ao nível do cabelo do príncipe.

Admite que a trajetória da mensagem desde o lançamento até tocar no chão no cimo da torre, é dada por:

𝒉(𝒙) = −𝟎, 𝟎𝟓 𝒙𝟐 + 𝟐, 𝟐𝒙 + 𝟐, 𝟐𝟓 Onde h é a altura da mensagem relativamente ao solo quando se encontra a 𝑥 metros do príncipe medidos na horizontal.

33.1. Determina a altura do príncipe.

33.2. O príncipe conseguiu o seu objetivo. A mensagem caiu dentro do castelo no cimo da torre. A distância do príncipe ao castelo era uma das três seguintes:

(A) 16 m (B) 17m (C) 38 m

Indica, justificando, qual é o valor adequado e indica uma razão para rejeitar cada uma das outras opções.

34. No referencial da figura estão representadas as funções f e g definidas, respetivamente, por 𝑦 = −𝑥2 + 2 e 𝑦 = −𝑥 .

34.1. Justifica que a concavidade do gráfico da função f é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

34.2. Por observação do gráfico, justificando, indica quantas soluções tem a equação – 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0.

34.3. Determina os zeros da função f.

34.4. Determina as coordenadas dos pontos A e B.

34.5. Seja k o ponto de coordenadas (-1, 0). Determina a área do triângulo AKB. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

35. Observa os gráficos das funções f1, f2, f3 e f4, sendo: f1 (x) = x2 + 3x -10 f2 (x) = (x+4)2 f3 (x) = 2x2 + 6x + 4 f4 (x) = -3x2 + 3x + 60

Apenas duas das funções têm aqui o gráfico representado. Quais? Justifica a tua resposta.

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36. Um terreno retangular com 147 m2 de área, foi dividido em três

quadrados congruentes. Quantos metros são necessários para vedar o

terreno.

37. De um triângulo PQR sabe-se que: 4PQ e 7RQ .

Qual dos seguintes valores pode ser o valor do comprimento do lado PR? (A) 2 (B) 3 (C) 8 (D) 12

38. Na figura, estão representados dois triângulos equiláteros. Sabe-se que o perímetro do triângulo exterior é 36 e que o perímetro do triângulo interior é 27. Qual é a razão de semelhança que transforma o triângulo exterior no triângulo interior? Transcreve a letra da opção correta.

39. Relativamente á figura. Sabe-se que:

O comprimento do lado do hexágono exterior é cinco vezes maior que o lado do hexágono interior;

A área do hexágono interior é 23 cm2. Determina a área do da parte sombreada a cinzento, mostrando como chegaste à resposta.

40. Na figura 1, está representada uma peça metálica plana na qual se marcou a tracejado um quadrado [ABCD] com 3 dm de lado. Na figura 2, está representada a peça metálica que se obteve a partir da primeira peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH]. Relativamente à figura 2, sabe-se que:

Cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD]

Os quatro triângulos retângulos [EDH], [HCG], [GBF], [FAE],são geometricamente iguais, e em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor. Mostra que a área do quadrado [EFGH] é 5 dm2.

41. Relativamente à figura, sabe-se que:

Os triângulos [ABC] e [AFC] são retângulos em A

O triângulo [AFC] é isósceles

O ponto E pertence ao segmento de reta [BC]

O ponto D pertence ao segmento de reta [AB]

Os segmentos de reta [AC] e [DE] são paralelos

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 12 𝑐𝑚 O perímetro do triângulo [ABC] é 48 cm

O perímetro do triângulo [DBE] é 16 cm

41.1. Qual dos valores seguintes é a medida, em centímetros, do comprimento do segmento de reta [DE]?

(A) 3 (B) 3,5 (C) 4 (D) 4,5

41.2. Determina o comprimento da circunferência que passa nos pontos A, F e C. Apresenta o resultado em centímetros, arredondado às unidades.

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42. Relativamente à figura, sabe-se que: • o triângulo [OCD] é retângulo em O • o ponto A pertence ao segmento [OC] • o ponto B pertence ao segmento [OD] • os segmentos [AB] e [CD] são paralelos;

• OA = 5

• OB = 12

• OD = 18 A figura não está desenhada à escala.

42.1. Determina CD . Apresenta os cálculos que efetuares.

42.2 Justifica que a seguinte afirmação é verdadeira. «O ponto B não pertence à circunferência de centro no

ponto O e que passa no ponto A»

43. A figura representa um sólido que se pode decompor num cubo e num cilindro. Sabe-se que: • a face inferior do cubo está inscrita na base superior do cilindro; • a altura do cilindro e a aresta do cubo são iguais;

• cada diagonal facial do cubo mede 4√2 (logo AC=4√2). Nota: a figura não está representada à escala.

43.1. Mostra que o cubo tem aresta igual a 4. Apresenta todos os cálculos efetuados.

43.2. Determina o valor exato do volume do sólido. Apresenta todos os cálculos efetuados.

44. Há recipientes que têm a forma de troncos de cone como o da figura. Determina a capacidade do recipiente, em litros, atendendo ao esquema indicado a seguir. Apresenta o resultado aproximado às décimas.

45. Na figura, está representado um esquema da piscina da casa do Roberto, esquema que não está desenhado à escala. No esquema: • as medidas estão expressas em metros; • [ABCDEFGH] é um paralelepípedo retângulo; • [IJKL] é uma rampa retangular que se inicia a 0,6 m de profundidade da piscina e termina na sua zona mais funda.

45.1. Utilizando as letras da figura, indica dois planos concorrentes.

45.2. Quantos litros de água serão necessários para encher totalmente a piscina? Apresenta todos os cálculos que efetuares. Nota: 1m3=1000 litros.

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46. A Figura 3 é uma fotografia de uma choupana. A Figura 4 representa um modelo geométrico dessa choupana. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado na Figura 4 é um sólido que pode ser decomposto num cilindro e num cone. Sabe-se ainda que: • a base superior do cilindro coincide com a base do cone; • a altura do cilindro é igual à altura do cone; • a área da base do cilindro é 12m2

• o volume total do sólido é 34m3

Determina a altura do cilindro. Apresenta o resultado em metros, na forma de dízima. Apresenta os cálculos que efetuares.

47. Na fotografia (figura A), podes observar um dos vulcões de

água da Alameda dos Oceanos, no Parque das Nações,

em Lisboa. Estes vulcões expelem, periodicamente,

jatos de água.

Na figura B, está representado um cone de revolução.

A parte sombreada desta figura é um esquema do

sólido que serviu de base à construção do vulcão de

água.

As medidas de comprimento indicadas estão

expressas em metros.

1,8 m e 0,6 m são os comprimentos dos raios das duas circunferências.

A altura do cone é 6m.

Determina, em metros cúbicos, o volume do sólido representado no esquema a sombreado.

Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos

cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

48. Atendendo aos dados da figura, mostra que a esfera ocupa um sexto do volume ocupado pelo cone

49. Na caixa da figura estão guardadas duas esferas com 12 cm de raio. Qual é o volume de ar dentro da caixa?

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50. A Figura A é uma fotografia de um barco rabelo, atualmente usado para transportar turistas na travessia do rio Douro. A Figura B representa um modelo geométrico, em tamanho reduzido, da parte coberta desse barco.

O modelo representado na figura é um sólido que pode ser decomposto no cubo [BCDEKLMN] e no paralelepípedo retângulo [ABEFGHIJ]. O modelo não está desenhado à escala. Sabe-se ainda que:

O ponto I pertence ao segmento de reta [BL] e 𝐵𝐼̅̅ ̅ =1

3𝐵𝐿̅̅̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2𝐵𝐶̅̅ ̅̅ O volume total do sólido é 25 𝑐𝑚3

50.1. Seja 𝒂 a medida, em centímetros, da aresta do cubo. Determina o valor exato de 𝑎.

50.2. Indica, usando as letras da Figura B, uma reta que passe no ponto I e seja perpendicular ao plano CDM.

51. Considera o cubo [ABCDEFGH] e a pirâmide [ABCDE] representados na figura ao lado.

P é o ponto médio da aresta [CH].

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 4 𝑑𝑚 51.1. Indica, utilizando letras da figura:

a) Duas retas concorrentes perpendiculares.

b) Duas retas estritamente paralelas.

c) Duas retas não complanares.

d) Uma reta e um plano perpendiculares.

e) Dois planos cuja intersecção seja a reta EB.

51.2. Mostra que o triângulo [ABE] é retângulo em A e escaleno.

51.3. Mostra que a soma dos comprimentos de todas as arestas da pirâmide [ABCDE] é

𝑐 = 20 + 8√2 + 4√3 𝑑𝑚.

51.4. Determina a área total da pirâmide [ABCDE].

51.5. Determina a razão entre o volume da pirâmide e o volume do cubo.

51.6. Supõe que o conjunto formado pelo cubo e pela pirâmide é um modelo de um aquário que pode ser cheio exatamente até ao seu topo. Considerando o aquário assente pela base num plano horizontal e com água até ao ponto P, determina a quantidade de água que terá de acrescentar para o encher completamente (valor exato). Nota: o líquido não passa para o interior da pirâmide.

51.7. Considerando novamente a figura inicial, suponha agora que se retira a pirâmide do cubo e se introduz uma esfera. Qual deve ser o raio da esfera para que ocupe 50% do volume do cubo? Apresenta o resultado em dm, com aproximação às décimas.

Figura A Figura B

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52. Na figura, a reta VA é tangente à circunferência de centro O. [BC] é um lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência. Calcula a amplitude do ângulo AVB, explicando todos os passos.

53. Na figura ao lado, está representada uma circunferência. Sabe-se que:

o ponto O é o centro da circunferência;

B, C e D são pontos da circunferência;

AB é tangente à circunferência no ponto B;

𝐵𝐶�̂� = 260º 53.1. Indica a amplitude de uma rotação de centro no ponto O e que

transforma o ponto D no ponto B, rodando no sentido contrário ao movimento dos ponteiros do relógio.

53.2. Determina, justificando, a amplitude do angulo DBO.

54. Na figura está representada uma circunferência de centro em O e o hexágono regular [ABCDEF]. Sabendo que o perímetro do circulo é 20 π, determina a área da região a sombreado. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

55. Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O. Sabe-se que:

• os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência; • [AB] é um diâmetro da circunferência; • o ponto F é o ponto de interseção dos segmentos de reta [AE] e [BD] ; • [ACO] é um triângulo equilátero; • a amplitude do arco menor AD é 50 º ; • [DE] é um lado de um pentágono regular que se pode inscrever na

circunferência.

55.1. Qual das afirmações seguintes não é verdadeira? Assinala a letra da opção correta. (A) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [AF]

(B) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [AC]

(C) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [BD]

(D) O ponto O pertence à mediatriz do segmento [AE]

55.2. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo AFB ? Mostra como chegaste à tua resposta

55.3. Admite que o perímetro do triângulo [ ACO ] é igual a 15 cm. Determina o perímetro da região a

sombreado. Mostra como chegaste à tua resposta.

55.4. Determina a amplitude de uma rotação de centro em O que transforme o ponto B no ponto D.

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56. Observa a figura onde está representada uma circunferência de raio 4.

56.1. Escreve as coordenadas dos pontos A e B da circunferência.

56.2. Desenha os pontos simétricos (A’ e B´) de A e de B, em relação à reta s.

56.3. Define por uma expressão algébrica, a função representada graficamente pela reta s.

56.4. Que tipo de proporcionalidade traduz a função referida na alínea anterior. Justifica a tua resposta.

57. Recorde que a soma dos ângulos internos de um polígono com 𝑛 lados é dada por (𝑛 − 2) × 180°.

57.1. Calcule a soma dos ângulos internos de um polígono com 12 lados.

57.2. Calcule a amplitude de um ângulo interno de um polígono regular com 12 lados.

57.3. Determine o número de lados de um polígono regular sabendo que a soma dos seus ângulos internos é 1440°.

57.4. Determine o número de lados de um polígono regular sabendo que cada ângulo mede 171°.

58. Na figura está representada uma circunferência de centro em O. Sabe-se que: o ponto O é o centro da circunferência; A , B , C , D , E e F são pontos da circunferência; [ABCDE] é arte de um octógono regular inscrito na circunferência; o segmento de reta [AE] é um diâmetro da circunferência;

a amplitude do ângulo EAF é 60°;

a medida da área do setor circular ABO é 2𝜋.

58.1. Determina a amplitude, em graus, do ângulo BCD. Mostra como

chegaste à tua resposta.

58.2. Admite que D é a imagem do ponto F por meio de uma rotação de

centro em O. Indica a amplitude dessa rotação.

58.3. Determina o comprimento do lado do quadrado cuja medida da área é igual à medida da área do círculo de centro em O e de raio [OD]. Apresenta o resultado arredondado às décimas.

Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

59. Na figura está representado um sólido constituído por um prisma triangular reto [BFJCGI ] e um prisma retangular [ ABCDEFGH ] . Sabe-se que:

• o triângulo [BFJ ] é retângulo em B ;

• [BCIJ ] é um quadrado;

• 𝐵𝐹̅̅ ̅̅ =2

3𝐵𝐽̅̅ ̅ e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2𝐵𝐽̅̅ ̅

• o volume do sólido é 360 𝑐𝑚3 . 59.1. Determina 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Apresenta o resultado em cm. Apresenta todos os cálculos que efetuares. 59.2. Identifica, usando as letras da figura, um plano que seja concorrente com a reta FJ e que não contenha

nenhuma face do sólido.

59.3. Escolhe-se, ao acaso, um vértice do prisma triangular reto [BFJCGI]. Qual é a probabilidade do vértice escolhido pertencer ao plano ACD? Transcreve a letra da opção correta.

(A) 1

6 (B)

1

2 (C)

1

3 (D)

2

3

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60. Na figura está representada uma circunferência de centro em O.

Sabe-se que: • A , B , C , D e E são pontos da circunferência; • o segmento de reta [ AD] é um diâmetro da circunferência; • F é o ponto de interseção do segmento de reta [ AD] com a reta r ; • G é o ponto de interseção do segmento de reta [ AC ] com a reta r ;

• 𝑟//s; 𝐷Â𝐶 = 37°; 𝐸�̂� = 38°;

• 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 15 𝑐𝑚, 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 9 𝑐𝑚, 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚.

60.1. Determina a amplitude, em graus, do ângulo AFE. Mostra como

chegaste à tua resposta.

60.2. Determina 𝑂𝐹̅̅ ̅̅ . Apresenta todos os cálculos que efetuares

60.3. Calcula o valor exato da área sombreada. Mostra como chegaste à tua

resposta.

61. Na figura, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de conjuntos de quadrados que segue a lei de formação sugerida. O primeiro termo é formado só por quadrados cinzentos e os restantes são formados por quadrados cinzentos e quadrados brancos.

61.1. Existe um termo desta sequência que tem 299 quadrados cinzentos. Quantos quadrados brancos tem esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.

61.2. Na figura ao lado, está representado num referencial cartesiano o segundo termo da sequência apresentada na figura anterior. Sabe-se que:

𝑓 é uma função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2;

𝐴 é um ponto do gráfico de 𝑓;

𝐴 e 𝐵 são vértices de quadrados.

61.2.1. O segundo termo desta sequência é a planificação de um cubo. Admite que

𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = √245 . Determina a medida do volume desse cubo. Mostra como chegaste à tua resposta.

61.2.2. Supõe agora que a medida da área de cada quadrado é 36. Determina a expressão algébrica da função 𝑓. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Bom trabalho!

Os professores do 9º ano, Carlos Silva e Laurinda Barros

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Soluções

1. a) 5

12 b) 1,65 c) 𝑎 = 2 e 𝑏 = 8 ou 𝑎 = 3 e 𝑏 = 7 ou 𝑎 = 4 e 𝑏 = 6 ou 𝑎 = 5 e 𝑏 = 5 ou 𝑎 = 6 e 𝑏 = 4 ou 𝑎 =

7 e 𝑏 = 3 ou 𝑎 = 8 e 𝑏 = 2 ou 𝑎 = 9 e 𝑏 = 1

2. o número 4

3. (C)

4. (A)

5. 13

6. 𝑘 = 8

7. (D)

8. (C)

9. (C)

10. (D)

11. 11.1. oitavo termo é (8, 64) 11.2. 19

12. 12.1. o sétimo termo tem 121 bolas 12.2. é o termo 17 e tem 342 bolas pretas

13. Se 𝑥 =sumos e 𝑦 = sanduiches, vem {𝑦 = 𝑥 + 3

0,8𝑦 + 0,3𝑥 = 4,6. R: 2 sumos e 5 sanduiches.

14. {6𝑥 + 10𝑦 = 108,77𝑥 + 9𝑦 = 112,15

.

15. {(2, −1)}

16. (C)

17. a) {−1, 7} b) {−1, 2}

18. −6 e 6

19. 19.1. √29 19.2. 1 + √29

20. 20.1. A: {𝑥 ∈ 𝐼𝑅: −√2 < 𝑥 ≤ 1} ;]−√2, 1] B: [0, +∞[ C: {𝑥 ∈ 𝐼𝑅: 𝑥 < −1}

20.2. a) [0,1] b) ]−1, 1[ c) { } d) ]−√2, +∞[ e) ]−∞, 1] f) ]−∞, −1[ ∪ [0, +∞[ g)]−∞, +∞[

21. a) ∉ b) ∈ c) ∈ d) ∉ e) ∈ f) ∉

22. C

23. {-3, -2, -1, 0}

24. a) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} b) por exemplo √2

25. a) ]−1, 2] b) ]−∞, 4] c) A. Falso, B. Verdadeiro, C. Verdadeiro

26. (C)

27. 27.1 a altura de água na piscina por hora 27.2 A

28. 28.1 𝑘 = 24, representa o custo da prenda. 28.2 𝑎 × 𝑣 = 24. 28.3 1,6€

29. (C)

30. a) (0, 9) b) B(6,3), 𝑘 = 18 e 𝑓(𝑥) =18

𝑥 c) 𝑃[𝐶𝐵𝐷] = 12 + 6√2

31. ( C)

32. 32.1 𝑦 = 3𝑥 − 2 33.2 (2

3, 0) e (0, −2)

33. 33.1 ℎ(0) = 2,25, 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟í𝑛𝑐𝑖𝑝𝑒 = 2,25 − 0,5 = 1,75 𝑚 33.2 B

34. 34.1. Como 𝑎 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo 34.2. 2 soluções 34.3. {−√2, √2} 34.4.

𝐴(−1,1) 𝑒 𝐵(2, −2) 34.5. 3

2

35. 𝑓1 → 𝐼 e 𝑓4 → 𝐼𝐼𝐼

36. 56 𝑚

37. (C )

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38. (C)

39. 552 𝑐𝑚2

40. 2𝑥 + 𝑥 = 3 ⟺ 𝑥 = 1; o triângulo tem de catetos 1 e 2, logo pelo Teorema de Pitágoras ℎ2 = 12 + 22 ⟺ ℎ =

√5. Logo a área é 5 𝑑𝑚2.

41. 41.1 (C ) 41.2 53 cm

42. 42.1 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 19,5 42.2 A afirmação é falsa porque 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ ≠ 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ .

43. 43. 2. (64 + 32𝜋) 𝑢. 𝑣.

44. 36,7 litros

45. 45.1. Por exemplo ILK e EHG 45.2. 330 litros

46. 2,25 metros

47. 20 𝑚3

48. 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 = 1000𝜋 e 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =500𝜋

3, 𝑟 =

500𝜋

3

100𝜋=

500

3000=

1

6

49. 𝑉𝑎𝑟 = 𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 − 2 × 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 48 × 24 × 24 − 2 ×4

3× 𝜋 × 123 = 13 172 𝑐𝑚3

50. 50.1. 𝑎 = √153

50.2. 𝐼𝐻

51. 51.1. Por exemplo: a) AB e BC b) AB e CD c) AF e BC d) FA e ABC e) AEB e BEC

51.4. 𝑨 = 32 + 16√2 51.5. 𝒓 =1

3 51.6. 𝑽á𝒈𝒖𝒂 =

88

3 51.7. 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 1,97(2 𝑐. 𝑑) 𝑜𝑢 𝑟𝑎𝑖𝑜 = 2,0 (1 𝑐. 𝑑)

52. 60º

53. 53.1. 260º 53.2. 40º

54. 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 =𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜−𝐴ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜

2=

100𝜋−150√3

2= (50𝜋 − 75√3) 𝑢. 𝑎.

55. 55.1. (A) 55.2. 126º 55.2. 126º