8. control multivariable - ocw...

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U.P.M.-DISAM P. Campoy Control Multivariable 2007/08 1

Control de Procesos Industriales

8. Control Multivariable

porPascual Campoy

Universidad Politécnica Madrid


ejemplosistemas multivariables

Dado el mezclador de la figura, que trabaja sobre el punto dequilibrio definido por T10=20, F10=10, T20=80, F20=2 :Diseñar un control de F y T utilizando ambas variables manipuladas F1 y F2

b) ¿afecta una perturbación de T1 en elflujo F? ¿cómo?

c) ¿puede calcularse el controlador deflujo independientemente decontrolador de temperatura?

F1 T1

F T

F2 T2

FT

FC

TT

TCTref

Fref a) ¿qué variable de salida se controlacon qué variable de manipulada?

2


Control multivariable

• Sistemas multivariables y suproblemática de control

• Evaluación de las interacciones• Emparejamiento de variables

controladas y manipuladas• Sintonización de controladores• (Desacoplamiento) suprimido del temario


Sistemas multivariable: definición• Son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una

entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salidaes afectada por varias entradas

Y1(s) = G11(s) U1(s) +...+G1m(s) Um(s) ...Yp(s) = Gp1(s) U1(s) +...+Gpm(s) Um(s)

Y(s) = G(s) U(s)

Y(s) = Y1(s)... Yp(s)

U(s) =U1(s)...Um(s)

G(s) =G11(s) ... G1m(s) ...Gp1(s) ... Gpm(s)

utilizando la notación matricial:

G11(s)U1(s)

G12(s)

G1m(s)

...

+

Gp1(s)

Gp2(s)

Gpm(s)

...

U2(s)

Um(s) ...

++ Y1(s)

... +

++ Yp(s)

...

...

3


Sistemas multivariables:problemas para el control

• Interacción: efecto de un lazo de control sobre otro lazode control, rebotando el efecto sobre el lazo original

• La f.d.t. entre cada salida ycada entrada cambia en funcióndel resto de los lazos de control

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s)+

+

++

y1(s)

y2(s)

u1(s)

u2(s)

GC1(s)

GC2(s)-

-

+

+y1ref(s)

y2ref(s)

⇒ No se pueden sintonizar los controladores de cadalazo de forma independiente





controladas y manipuladas• Sintonización de controladores• Desacoplamiento

4


Evaluación iteraciones: ejemplo

GC2(s)-y2ref(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s)+

+

+

y1(s)

y2(s)

u1(s)

u2(s)


Evaluación iteraciones: ejemplo

GC2(s)-y2ref(s)

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s)+

+

+

y1(s)

y2(s)

u1(s)

u2(s)

5


Evaluación iteraciones: Matriz deganancias estáticas relativas …

uk=0, k≠j=

)()(

!!

j

i

uy

yk=0, k≠i)()(

!!

j

i

uy

Definición:

resto de los lazoscerrados

λij =todos los lazosabiertos

lims→ 0

)()(sUsY

j

i

)()(sUsY

j

i

lims→ 0

en la que:


Evaluación iteraciones: … Matrizde ganancias estáticas relativas

Cálculo

!

y1(")M

yn (")

#

$

% % %

&

'

( ( ( =

K11 L K1n

M O MKn1 L Knn

#

$

% % %

&

'

( ( (

u1(")M

un (")

#

$

% % %

&

'

( ( (

Propiedad:1

1

=!=

n

iij" 1

1

=!=

n

jij"y

donde “o” representa el producto de Hadamard o producto elemento por elemento>> K.*inv(K)’

dado:

λij =

yk=0 k≠i)()(

!!

j

i

uy

Kij

entonces:

6


Análisis de la matriz deganancias relativasλij =

lim todos los lazos abiertoss→ 0

lim resto de los lazos cerradoss→ 0

λij → 0

)()(

sUsY

j

i

)()(

sUsY

j

i

1< λ ij

λij < 0

λ ij = 1

λ ij →∞

0< λ ij<1

mayor ganancia estática en bucle abiertocontrol imposible en bucle cerradocambia de signo la ganancia estática en buclecerrado y por tanto la estabilidad del sistema

sin iteraciónmenor ganancia estática en bucle abiertosintonización en bucle cerrado


Ejercicio evaluación interacciones

F1 T1

F T

F2 T2

Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2

a) Calcular λTF1 y λTF2 (5 puntos)b) Indicar cuál de los dos posibles bucles de control de T queda menos

alterado cuando se abre/cierra el otro bucle de control de la F(5 puntos)

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Emparejamiento de variablescontroladas y manipuladas

• Criterios restrictivos:– no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima

cuando λij<0– no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima

cuando λij≈∞– no cerrar bucle de control de la salida i-ésima con la entrada j-ésima

cuando λij=0• Criterios de prioridad:

– controlar las variables de salida más importantes con aquellasvariables de entrada con las que tengan una dinámica más rápida sinrespuesta inversa

• puede implicar desintonización de los lazos poco importantes– cerrar bucles de control con λij próximas a 1

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Emparejamiento de variables:ejemplo

a) Diseñar una estructura adecuada de control multivariable para elsiguiente sistema:

u3

u2

u1

y3

y2

y1

!

"1.2e"5s

15s +12e"5s

15s+1"0.1e"5s

15s +1e"15s

60s +1e"15s

60s+10.2e"5s

15s +1"0.1e"5s

15s +10.1e"5s

15s+1e"5s

15s +1

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

+ GC2M(s)

+

-

-

y2ref

GC1M(s)

GC3M(s)

+-y1ref

y3ref






9


Sintonización de controladoresmultivariables: desintonización

• Disminuir las interacciones desintonizando loscontroladores de las salidas menos importantes(la desintonización es mayor cuanto menos importante es

el bucle de control)⇒ sólo haya iteración entre unos poco bucles, que

son los más importantes.


Sintonización de controladoresmultivariables: Reglas de McAvoy

)()(1)()()()(

)()(

222

2122111

1

1

sGsGsGsGsGsG

sUsY

MC

MC

+!=

KCM = ≥ 0,5 KCS 0,5< λ<1,5 0,5 KCS 1,5<λ

tCM = 2 tCS 0,5< λ<1 tCS 1 < λ

• ambos lazos tienen dinámicas parecidas:)()( 1111 sGsG SCMC != ⇒ la ganancia del controlador se multiplica por λ11

)()()(

111

1 sGsUsY

!• si el lazo 1 es mucho más rápido que el 2:)()( 11 sGsG SCMC = ⇒ puede sintonizarse independientemente:

11

11

1

1 )()()(

!sG

sUsY

"• si el lazo 1 es mucho más lento que el 2:

Reglas de sintonización sólo válidas para sistemas de 2x2:

10


Sintonización multivariable: ejemplo

!

KC1M =KC1S =0.92

155=1.35

!

tic1 =3.33 x 5=16.6

!

KC 2M ="21KC 2S =0.6210.91

6015

=2.23

!

tic 2 =3.33 x 15=50

!

KC 3M =KC 3S =0.91

155

=2.7

!

tic 3 =3.33 x 5=16.6

a) Calcular los controladores de la estructura de la figura:

u3

u2

u1

y3

y2

y1

!

"1.2e"5s

15s +12e"5s

15s+1"0.1e"5s

15s +1e"15s

60s +1e"15s

60s+10.2e"5s

15s +1"0.1e"5s

15s +10.1e"5s

15s+1e"5s

15s +1

#

$

% % % % % % %

&

'

( ( ( ( ( ( (

+ GC2M(s)

+

-

-

y2ref

GC1M(s)

GC3M(s)

+-y1ref

y3ref

Tipo de

regulador

Kc Ganancia

Ti Tiempo integral

Td Tiempo

derivativo

PI m

p

p tt

K9,0 3,33 tm

PID m

p

p tt

K2,1 2 tm 0,5 tm


Ejercicio control multivariable

F1 T1

F T

F2 T2

Dado el sistema de la figura linealizado para T10=20, F10=10, T20=80, F20=2

a) Diseñar y calcular un control multivariable de T y F (4 puntos)b) Dibujar la volución de las salidas ante un cambio de refrencia de F

y también ante un cambio de referencia de T (3 puntos)c) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles de

control sobre el otro bucle (3 puntos)

!

G(s) =

13s+1

13s+1

"0.8333e"3s

10s +14.166 e"3s

10s +1

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

11


Ejercicio emparejamientoincorrecto

F1 T1

F T

F2 T2

Dado el sistema del ejercicio anterior

a) Diseñar y calcular un control multivariable, de manera que elcontrol de T se efectué con F1 y el de F con F2 (5 puntos)

b) Analizar la repercusión de la apertura de cada uno de los bucles decontrol sobre el otro bucle (5 puntos)

!

G(s) =

13s+1

13s+1

"0.8333e"3s

10s +14.166 e"3s

10s +1

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (






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Desacoplamiento:Objetivo y estructura

• Objetivo: eliminar o reducir las iteraccionesde cada variable de entrada con las variables desalida distintas de la que controla.

• Estructura (caso 2x2):

SistemaDesaco-plador

m1

m2

m1

y2

y1

m´2

m´1Y2(s)M´1(s) = 0

Y1(s)M´2(s) = 0


Desacoplamiento lineal total:cálculo de la matriz del desacoplador

G12(s)G11(s)D12(s) = -

G21(s)G22(s)D21(s) = - D(s) =

1 D12(s)

D21(s) 1

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s)+

+

+

+

y1(s)

y2(s)

m1(s)

m2(s)

D12(s)

D21(s)+

+m´1(s)

m´2(s)+

+

13


Desacoplamiento lineal total:características del desacoplo (1/2)

K21(t22s+1)K22(t21s+1)D21(s) = - e-(tm21-tm22)s

G(s)D(s) = G11(s)λ11(s)

G22(s)λ22(s)

0

0

• Limitaciones en la realización de desacopladoresanálogos a los controladores anticipativos:

• Sintonización dependiente de otras f.d.t.:

• No son robustos ante errores de modeladocuando la λij es elevada


Desacoplamiento lineal total:ejemplo comparativa con y sin desacoplo

F1 T1

F T

F2 T2

!!!!

"

#

$$$$

%

&

+

'

+

''+

'

+

'

160

15252,0160

15105,0115

52,0115

575,0

s

s

s

ss

s

s

s

ee

eeF(s)

D12(s)

D21(s)

+

+

+

++ GC1D(s)

+

-

-F2(s)

+

GC2D(s)T(s)

Fref(s)

Tref(s)

F1(s)

641.0252.0105.0

22

2121

)==!=

GGD

62.075.02.0

11

1212

)!=!=!=

GGD

desacopladores:24,36,39,01111 =!== SCDC KK "

852,1228,149,02222 =!== SCDC KK "

6,16533,31 =!=ict

501533,32 =!=ict

controladores:

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Desacoplamiento lineal total:ejemplo comparativa con y sin desacoplo

F-Fr T-Tr

con desacoplo total sin desacoplo



T-Fr


F-Tr


Desacoplamiento lineal total:ejemplo con error 10% en el modelo

T-Fr

con error del 10%

F-Tr

con error del 10%

T-Tr

sin error de modelo con error del 10% en K11 y K22

F-Fr


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Desacoplamiento lineal total:ejemplo con λ elevada

!!!!

"

#

$$$$

%

&

+

'

+

'+

'

+

'

160

15252,0160

157875.0115

52,0115

575,0

s

s

s

ss

s

s

s

ee

eeY1(s)

D12(s)

D21(s)

+

+

+

++ GC1D(s)

+

-

-U2(s)

+

GC2D(s)Y2(s)

Y1ref(s)

Y2ref(s)

U1(s)

125.3252.07875.0

22

2121 !=!=!=

GGD

62.075.02.0

11

1212

)!=!=!=

GGD

desacopladores:6.216,361111 =!== SCDC KK "

71.8528,1462222 =!== SCDC KK "

6,16533,31 =!=ict

501533,32 =!=ict

controladores:

( ) !"

#$%

&'

'==( '

6556

* 1 TKK


Desacoplamiento lineal total:ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo

Y2-Y2ref


Y1-Y1ref


Y1-Y2ref

sin error de modelo con error del 10%

Y2-Y1ref

sin error de modelo con error del 10%

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Desacoplamiento lineal parcial:objetivo y estructura

• Objetivo: eliminar o reducir la interacción medianteel desacoplo de la salida más importante del restode las entradas

G21(s)G22(s)D21(s) = - D12(s) = 0

G12(s)

G21(s)

G22(s)

G11(s)+

+

+

+

y1(s)

y2(s)

m1(s)

m2(s)

D21(s)++

m´1(s)

m´2(s)


Desacoplamiento lineal parcial:características

La sintonización del lazo de control de la variableimportante es independiente de las otras f.d.t. del sistema,pudiéndose considerar el resto de la entradas comoperturbaciones a dicho lazo de control

La sintonización de los otros lazos de control depende deotras f.d.t. ajenas al lazo

El comportamiento del lazo de control de la variableimportante es más sensible a errores de modelo a medidaque crece su ganancia estática relativa

G(s)D(s) = G11(s)λ11(s)

G22(s)0

G12(s)

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Desacoplamiento lineal parcial: ejemplo con λ11=0,9 error 10% en el modelo

sin error de modelado

T-T r

desacoplo total ydesacoplo parcial

F-T r

desacoplo total desacoplo parcial

con error 10% en K11 y K22

T-T r

desacoplo totaldesacoplo parcial

F-T r



Desacoplamiento lineal total:ejemplo con λ11=6 error 10% en el modelo

sin error de modeladoY2-Y2r

desacoplo total ydesacoplo parcial


Y1-Y2r

con error 10% en K11 y K22

desacoplo totaldesacoplo parcial


Y2-Y2r

Y1-Y2r

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Desacoplamiento no-lineal:objetivo

• Objetivo: reducir la interacción en sistemas enlos que su comportamiento no-lineal de lugar aun mal funcionamiento de los desacopladoreslineales

SistemaDesacopladorno-lineal

m1

m2

m1

y2

y1

m´2

m´1y1≈f1(m'1)

y2≈f2(m'2)


Desacoplamiento no-lineal: estructura del desacoplador

Sistema

m=f-1(m')(inversión delmodelo estáticodel sistema)

m1

m2

m1

y2

y1

m´2

m´1

En régimen permanente y sin error de modelado: y≡m'

Desacoplamiento no-lineal por inversión delmodelo estático.

modelo estático:

y=f(m)

!

y1 = f1(m1,m 2)y2 = f2(m1,m 2)

" # $

cálculo de entradas:

m=f-1(m')

!

m1 =g1( " m 1, " m 2)m2 =g2( " m 1, " m 2)

# $ %

inversión del modelo:

m=f-1(y)

!

"m1 =g1( y1, y2)m2 =g2( y1, y2)

# $ %

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Desacoplamiento no-lineal: caracteristicas

útil en sistemas fuertemente no-linealesno tiene en cuenta la dinámica del sistema


Desacoplamiento no-lineal: ejemplo

!"#

+=+=

2211

21

FTFTTFFFF

ecuaciones estáticas:F1 T1

F T

F2 T2

!!"

!!#

$

%=%%

=

%%

=

121

12

12

21

FFTTTTFF

TTTTFF

inversión del modelo:

SistemaF2

F1

T

F

m´2

m´1

21

2112

12

2211

TTmTmF

TTmTmF

!"!"=

!"!"=

8. control multivariable - ocw...

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