Control de Procesos Multivariable

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<p>CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE</p> <p>479</p> <p>8-8. CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE Hasta este punto, en el estudio del controlZautomtico de proceso nicamente se consideraron procesos con unasola variable controlada y manipuada; dichos procesos se conocen como de entrada simple y salida simple (ESSS) (SISO por sus siglas en ingls). Sin embargo, frecuentemente se tienen procesos en los que se debe controlar ms de una variable; stos se denominan procesos multkriables o procesos de mltiples entradas y mltiples salidas (MEMS) (MIMO por sus siglas en ingls); en la figura 8-45 se muestran algunos ejemplos de tales procesos. En la figura 8-45~ se describe un-sistema de mezcla donde es necesario controlar el flujo de salida y la fracci6n de masa que sale de un componente A; para lograr tal objetivo se utilizan dos vlvulas: una para ~on&amp;-olar. la corriente A, y otra para la corriente S. En la figura 8-451&gt; se muestra un reactor qumico en el.cual se necesita controlar la temperatura de salida y la composici6n;en este proceso las variables manipuladas son el flujo de agua para enfriamiento y el flujodesalida.del proceso. En la figura 8-45~ se ilustra un evaporador en-el :que elnivel y la concentracin a la salida son las variables controladas, y el flujo de salida del proceso y el flujo de vapor, las variables manipuladas. En la figura 845d se muestra una mquina secadora de papel, las variables controladas son la humedad y el peso del pfoducto final (fibraskea), las dos variables manipuladas son el flujo del depsito a la mquina y el flujo de vapor que llega al ltimo grupo de tambores de secado. Por ltimo, en la figura 8-45e se describe una columna tpica de destilacin con las variables controladas necesarias; presin en la columna, composicin del destilado, nivel del acumulador, nivel bisico :y temperatura de la charola; para completar este control se utilizan cinco variablesnranipuladasi, flujo de agua para enfriamiento -la cual llega al condensador-, flujo del destilado, reflujo, flujo de los sedimentos y flujo de vapor que llega al rehervidor. En los ejemplos anteriores se observa qe el control de estos procesos puede ser completamente complejo y motivante para el ingeniero de proceso. Generalmente, el ingeniero se debe hacer tres preguntas cuando se enfrenta con un problema de control de este tipo: %. . 1. Cul es la mejor agrupacin por pares de variables controladas y manipuladas? 2. Cunta interaccin existe entre los diferentes circuitos de control y cmo afecta a la estabilidad de los circuitos? 3. $e puede hacer algo para reducir la interaccin entre los circuitos? En esta seccin se muestra cmo responder tales preguntas mediante tcnicas simples y probadas. Para empezar se presenta una breve explicacin sobre grficas de flujo de seal (GFS) (SFGpor sus siglas eningls); GFS es un metodo conveniente y fcil para reducir a funciones de transferencia los diagramas de bloques complicados, y ser til para contestar la pregunta 2. A continuacin se analizan las preguntas individualmente. .&amp;Bficas de flujo de seal (GFS)</p> <p>Las grcas de flujo de seal (GFS) son representaciones grficas de las funciones de transferencia con que se describre a los sistemas de control. Para sistemas complejos es</p> <p>480</p> <p>TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL</p> <p>.</p> <p>Fluyo de salida(4</p> <p>Figura 8-45. Procesos multivariable. a) Sistema de mezcla&amp;. b) Reactor qumico. c) Evaporador. ,&amp;) Mquina para papel. e) Columna de dgstilacih.</p> <p>CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE</p> <p>481</p> <p>Destilado</p> <p>mucho ms fcil desarrollar la funcin de transferencia de circuito cerrado y la ecuacin caracterstica mediante la utilizacin de tcnicas GFS que mediante la utilizacin de los mtodos de diagramas de bloques que se estudiaron en el captulo 3. En esta seccin se presenta la tcnica GFS, pero para una presentacin ms detallada se remite al lector a la referencia bibliogrfica 6. En la figura 8-46~1 se muestra la representacin grfica de una funcin de transferencia en diagrama de bloques y en grfica de flujo de seal. La figura 8-46b es la representacin de un sistema de control por retroalimentacin en ambas formas. Antes de pasar a las reglas de GFS es importante definir algunos trminos.l l</p> <p>l</p> <p>l</p> <p>l</p> <p>La variable se representa mediante un nodo. La funcin de transferencia se representa ,por medio de una rama, una lnea con una flecha, la cual relaciona los nodos que une. Una truyectoriu es una sucesin unidireccional y continua de ramas, a lo largo de la cual no se pasa por ningn nodo ms de una vez. La funcin de transferencia de la trayectoria es el producto de las ramas de las funciones de transferencia que se encuentran al recorrer la trayectoria. Un circuito es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo.</p> <p>En la GFS de la figura 8-46b se en.cuentran los siguientes valores:Trayectoria:R(s) -+ E(s) -+ M(.s), -+ F(s) -j C(s) + C(s)</p> <p>Funcin de transferencia de la trayectoria = G,(.s)G,&amp;)Gp,(.s)</p> <p>482</p> <p>TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL</p> <p>X,(s) X2W=G,(s) x,oEcuacin Diagrama de bloques Cd I</p> <p>G,(s)Rama</p> <p>Grfica de flujo de seiial</p> <p>Diagrama de bloques</p> <p>M(s) G,(s) G,(s)</p> <p>F(s) G,(s)</p> <p>Grfica da flujo de serlal (b)</p> <p>Figura 8-46. Diagrama de bloques y reprsentacin Circuito:</p> <p>en grtificas</p> <p>de flujo de seal.</p> <p>E(s) -+ M(s) + F(s) -+ C(s) + E(.s)</p> <p>Funcin de transferencia del circuito = -</p> <p>Gc(.s)G~(~)Gp,(.~)H(.~)</p> <p>En la figura 8-47 se nuestran algunas de las reglas que se necesitan en el lgebra de las grficas de flujo de seal. Con dichas reglas y las definiciones anteriores se puede determinar la funcin de transferencia que se requiere, a partir de la gifica de flujo de seal. Con este propsito se utiliza la fbrmula de ganancia de Mason.</p> <p>CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE</p> <p>483</p> <p>1. Regla de adicin Y(s) = C,(s)X,(s) + GZW&amp;W - G,(.y)X,W</p> <p>2. Regla de transmisin Y,(s) = G,(s)X(s) Yz(s) = G2(s)X(s) y,W = - GJ(s)X(S)</p> <p>.,</p> <p>3. Regla de multiplicacin x,(s) = G3(s)X3(.s) = G3(s)G+)X#) = G&amp;)G(W,WXI(~)</p> <p>Figura 8-47. Reglas del lgebra de las grficas de flujo de seal.</p> <p>484</p> <p>TCNICAS</p> <p>ADICIONALES DE CONTROL</p> <p>CPA j-Za donde:T Pi</p> <p>(8-27)</p> <p>A</p> <p>= factor de transmisin (funcin de transferencia) entre el nodo de entrada y el de salida. = producto de la funcin de transferencia en la iava trayectoria hacia adelante entre el nodo de entrada y el de salida = determinante de la grfica de flujo de seal o ecuacin caracterstica = 1 - (-l)+ CC Lix = 1 - c ci, + 2 &amp;;* - 2 Lj3 -t . . .kj</p> <p>Ljr = prodicto de todas las mnciones de transferencia en el circuito individual j LP = producto de todas las funciones de transferencia en el grupo j de 2 circuitos que no se tocan Li3 = producto de todas las funciones de transferencia en el grupo j de 3 circuitos que no se tocan</p> <p>Ljk</p> <p>Ai</p> <p>= producto de todas las funciones de transferencia en el grupo j de k circuitos que no se tocan = evaluacin de A con circuitos que tocan Pi eliminados</p> <p>Los circuitos que se tocan son aquellos que al menos tienen un nodo en comn. Ahora se vern varios ejemplos acerca de la utilizacin de GFS para obtener las funciones de transferencia que se desean. Ejemplo 8-7. Se considera el diagrama de bloques que aparece en la figura 8-466 y se utiliza la grfica de flujo de seal para determinar las funciones de transferencia de circuito cerrado. C(S) R(s) C(s) L(s)</p> <p>y</p> <p>En la figura 8-466 se muestra la grfica de flujo de seal para este diagrama de bloques. Para la primera de las funciones de transferencia que se requieren ,=c(s) R(s)</p> <p>CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE</p> <p>485</p> <p>~610 hay una trayectoria hacia adelante entre el nodo de entrada, R(s), y el nodo de salida, C(S). Tambin existe un solo circuito, por lo tanto Trayectoria PI = Gc(sPW)W) Circuito 4, = - GcWGv(W,(W(dA = 1 + Gc(s)Gv(s)G,(s)H(s)</p> <p>Puesto que ~610 con un circuito se toca la trayectoria hacia adelante, Ar = 1; entonces, se puede determinar que</p> <p>&amp;Ai = iFinalmente, se encuentra C(s) R(s)=</p> <p>Gc(s)GvWG,(s)</p> <p>G&amp;)&amp;(WI(~ 1 + GcWv(s)G,(s)H(s)</p> <p>el cual es el resultado que se esperaba. Para la otra funcin de transferencia que se requiere T - C(s) L(s) tambin en este caso ~610 hay una trayectoria entre el nodo de entrada, L(s), y el nodo de salida, C(s), y ~610 un laxo de este sistema toca a la trayectoria, de manera que Trayectoria PI = G(S) Circuito LI, = - GcWGvWG, (W(s)A = 1 + Gc(s)Gv(s)G,(s)H(s) A, = 1</p> <p>Entonces, se encuentra que</p> <p>C Pini = G*(S)i</p> <p>466</p> <p>TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL</p> <p>Y, finalmente, se obtiene</p> <p>C(s) CAS) -= U.7) 1 + Gc(s)G,(s)G,(s)H(s)el cual es nuevamente el resultado que se esperaba.</p> <p>Ejemplo 8-8. Ahora se considera el diagrama de bloques del sistema de control en cascada que aparece en la figura 8-48a, y se debe obtenerC,(s)</p> <p>RoPara determinarT _ C?W R(s)</p> <p>el primer paso es dibujar la grfica de flujo de seal, como se muestra en la figura 8-486. S610 existe una trayectoria entre R(s) y C,(s) con la cual se tocan los dos circuitos del sistema; adems, ambos circuitos se tocan entre si.</p> <p>R(s)</p> <p>E,(s)</p> <p>E,(s)</p> <p>M, 6)</p> <p>F(S)</p> <p>C,(s)</p> <p>C,(s)</p> <p>C:(S)</p> <p>(b)</p> <p>Figura 843. Diagrama de bloques y grfica de flujo de seal de un sistema de control en cascada.</p> <p>CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE</p> <p>487</p> <p>Trayectoria P, = G,,(s)G,,(s)G,(s)C;,(S)GZ(S) Circuitos L,, = -Gc,(s)G,(s)G,(s)H,(s) 152, = - Gcz(s)Gc,(s)G~(s)G,(.~)G(s)~,(.~) A = 1 + Gc,(s)G~(s)G,(s)H,(s) + Gcz(s)Gc,(.s)Gv(s)G,(s)Gz(s)Hz(s) Puesto que se toca la trayectoria nica con ambos circuitos, AI = 1, y se encuentra que CPiAi = Gc2(s)Gc,(s)GV(s)G,(s)G2(s) I Y, finalmente, se obtieneC,(s) Gcz(s)Gc,(s)G~(s)G,(s)Gz(s) -= R(s) 1 + Gc,(s)G,(s)G,(s)H,(s) + Gcz(s)Gc,(s)Gv(s)G,(s)GzoHz(s)</p> <p>Ejemplo 8-9. Se considcrti ei diagrama de bloques de la figura 8-49a, con el cual se describe un sistema multivariable 2 x 2. Para simplificar el diagrama de bloques se puede definir lo siguiente: GEY, = G,,W,,(W,(s) Gpds) = G,,(s)G,,(.W,(4GP,z(s) = G,d.Wdd~,(~) Gp22W = GdWnW~h)</p> <p>Por lo tanto, el diagrama de bloques es el que se muestra en la figura 8-49b. Se debe determinar C,(s) R,(s) C,Cd R,(s)</p> <p>Como se hace generalmente, primero se dibuja el diagrama de bloques en forma de grfica de flujo de seal, como se muestra en la figura 8-50. Primero se obtiene ,=c,(s) R,(s) En este sistema existen varios circuitos y trayectorias posibles.</p> <p>488</p> <p>TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL</p> <p>(6)Figura 849. Diagrama de bloques de un sistema multivariable 2X</p> <p>2.</p> <p>Trayectorias P, = Gc,WGP,,(.~Pz = - G~,(s)G~?,(s)Gc?(s)G~?I(s)</p> <p>CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE</p> <p>489</p> <p>R,(s) 1 Gc, (s)</p> <p>C(S)1</p> <p>Figura 8-50. Grfica de flujo de seal para un sistema multivariable 2</p> <p>X</p> <p>2.</p> <p>Circuitos- L,,</p> <p>-G&amp;)Gp,,(.s) L,, = - Gc2(.s)Gp,,(.s) L,, = Gc,(.s)Gpr,(~)Gc~(.~)Gp120= L,&gt; = Gc,(.s)Gp,,(.s)Gc~(.s)G~~~(.s)</p> <p>Los circuitos LI1 y Ll* son los de retroalimentacin que ya se conocen. El circuito b1 es ms complicado y pasa a travs de ambos circuitos de retroalimentacin. El circuito Ll2 es el producto de multiplicar los circuitos LlI y I&amp;, ya que son circuitos que no se tocan. Entonces, se obtiene A A 1 + Gc,(.s)Gp,,(.s)+ GdsGp,</p> <p>4 Gc2(s)Gp2v(.s) - G~,(s)G~~,(s)G~~(s)G~,~(.s),i</p> <p>,b)Gc~(.s)Gp~~b)</p> <p>Si se utiliza lgebra, la A se puede escribir como sigue: LI = Il + G(dG,,,(s)l Il + G&amp;GmC~)1 - Gc,(s)G,,,(.s)G,z(s)Gp,~(~)</p> <p>Este ltimo paso no es necesario, sin embargo, se ver que es til en el estudio de la estabilidad del control multivariable que se har posteriormente en este capitulo. Se contina para encontrarn, = n2 = 1 1 + GczWG~zz(4</p> <p>490</p> <p>TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL</p> <p>De lo anterior, se ve queCpA = GCIWpllW 11 + GC2WGp22WI - Gcl(~)Gp21(~)GC2(~)Gp12(~)</p> <p>Y, finalmente, se obtiene-= R,(s)</p> <p>C,(s)</p> <p>Gc, WP, I(S) Il + Gc2(4G~22Wl</p> <p>-</p> <p>CC,(~)GP~I(~)GCZ(~)GPI~(~)</p> <p>I 1 + Gc,CW,,,Wl Ii + Gc2WG,,,C~)l</p> <p>-</p> <p>Gc,(s)GP,zI(s)Gcz(s)GPIz(s)</p> <p>Para la otra funcin de transferencia que se buscaT - Cl(S)</p> <p>R2W</p> <p>10s circuitos son 10s mismos, pero las trayectorias cambian I TrayectoriaP, = GczWG~,z(d -,</p> <p>Por lo tanto, Ar = 1 y&amp;4 I = Gc~WGP,Z(.~</p> <p>Finalmente, se ve que Ch) - ZrR,(s) 11 + Gc,(s)GP,,~.~)IGczWG~d4</p> <p>Il + GczGmzWl</p> <p>-</p> <p>Gc,(~)GP~,(~)G,~(~)GP,~(s)</p> <p>Como se vio en estos ejemplos, la tcnica de grfica de flujo de seal es una herramienta simple y poderosa, la cual representa una manera de obtener las funciones de transferencia de circuito cerrado que sern difciles de obtener mediante el lgebra de diagramas de bloques. Seleccin de pares de variables controladas y manipuladas La primera pregunta que se hizo al principio de esta seccin se relaciona con la forma de agrupar por pares (parear) las variables controladas y las manipuladas. La mayora de las veces, la decisin sobre la agrupacin por pares es simple, pero algunas veces es ms difcil. Ejemplos de casos difciles son el sistema de mezcla que aparece en la figura 8-452 y el reactor qumico que se muestra en la figura 8-456. Para estos ejemplos existe una tcnica con la que se tiene xito en numerosos procesos industriales; se utiliza un procedimiento 2 x 2 para presentar los fundamentos de la tcnica (ver figura 8-51); despus de hacer esto, se extiende el mtodo a procesos n X n. En esta notacin la primera n es la cantidad de variables controladas, y la segunda n es la cantidad de variables manipuladas.</p> <p>CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE</p> <p>491</p> <p>Figura 8-51. Diagrama de bloques parcial de un proceso multivariable 2</p> <p>x</p> <p>2.</p> <p>Para empezar, tiene sentido que cada variable controlada se controle mediante la variable manipulada que ejerce mayor influencia sobre aqulla. En este contexto, la influencia y la ganancia tienen el mismo significado y, en consecuencia, para tomar una decisin se deben encontrar todas las ganancias del proceso (4 ganancias para un sistema 2 X 2). Especficamente, las ganancias de estado estacionario de circuito abierto de interCs son las siguientes:K,, = AmAc K2, = AmI I ,?</p> <p>Ac,</p> <p>K</p> <p>=nc,</p> <p>, ,?</p> <p>K22</p> <p>Am2= nmAc</p> <p>,n,</p> <p>=</p> <p>m,</p> <p>donde KV es la ganancia que relacha la variable controlada i con la variable manipuladaj. Las cuatro ganancias se pueden ordenar en forma de matriz, a fin de tener una descripcin grfica de su relacin con las variables controlada y wnipulada. La matriz se conoce como matriz de ganancia de estado estacionario (MGEE) (SSGM por sus siglas en ingls), y se muestra en la figura 8-52. Con base en esta MGEE, parecerfa que debiera elegirse la combinacin de variable controlada y manipulada con que se obtiene el valor absoluto ms grande en cada lnea; es decir, si 1Klz ) es mayor que 1K1, 1, entonces se debe elegir m2 para controlar a cl; sin</p> <p>Figura 8-52.</p> <p>Matriz de ganancia de estado estacionario (MGEE).</p> <p>492</p> <p>TCNICAS ADICIONALES DE CONTROL</p> <p>embargo, esta manera de elegir el par de variable controlada y manipulada no es completamente correcta, ya que las ganancias Ku pueden tener diferentes unidades y, consecuentemente, no es posible hacer la comparacin. Como se ve, la matriz depende de las unidades y, por lo tanto, no es til para este propsito. Para normal...</p>