61233290 apostila de eletricidade faetec 2011

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Trabalho = força x distância

ELETRICIDADE

1 - ENERGIA E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA 1.1 - TRABALHO: Realiza-se trabalho quando algo é movido contra uma força resistiva. Por exemplo, realizamos trabalho quando um peso é levantado contra a atração da gravidade (figura 1), ou quando empurramos um engradado a uma determinada distância (figura 2).

Figura 1 - Halterofilista realiza trabalho enquanto ergue o peso.

Figura 2 - Realização de trabalho ao deslocar a caixa.

O trabalho realizado é obtido através do produto da força aplicada pela distância através da qual a força se move, isto é: A unidade de trabalho no sistema internacional de medidas (SI) é o joule usualmente abreviado por J. O joule

representa o trabalho realizado quando uma força de um newton age através de uma distância de um metro (1 J = 1 N.m). 1.2 - Energia: Energia é a capacidade de realizar trabalho; o trabalho também pode ser visto como uma transferência de energia. A energia mecânica é medida nas mesmas unidades que o trabalho. Por exemplo, quando um peso é levantado, o corpo humano ou o dispositivo de içamento que o moveu despende energia. O peso, por outro lado, adquire energia potencial, em virtude de haver sido elevado acima do chão. Essa energia potencial armazenada no peso levando pode ser utilizada, por exemplo, para levantar outro peso através de um sistema de polias ou pode ser deixado cair como em um bate-estaca transferindo a sua energia para a estaca no momento do impacto.

TÉCNICO EM ELETRÔNICA

APOSTILA DE ELETRICIDADE

Professor Mário Goretti 2

FAETEC - ETE JOÃO LUIZ DO NASCIMENTO

Figura 3 - Transferência de energia através de polias.

Figura 4 - Transferência de energia em um bate-estaca.

Um princípio geral aplicável a todos o sistemas físicos é o princípio da conservação de energia, o qual estabelece que a energia não é criada nem destruída, apenas muda de forma. A energia pode ser transformada em calor, em luz ou em som; ela pode ser energia mecânica de posição ou de movimento, pode ser armazenada numa bateria ou em uma mola; mas não pode ser criada nem destruída. 1.3 - POTÊNCIA: Para propósitos práticos, existe muito interesse na velocidade de realização de trabalho ou liberação de energia. Esta velocidade é chamada potência. No sistema internacional de medidas, a potência é medida em watts (abreviatura W), sendo um watt igual a um joule por segundo. Então, a partir da definição de potência, se W é o trabalho realizado ou a energia dissipada ou liberada no tempo t, a potência média neste período é:

t

WP

Devida à íntima relação entre potência e energia, encontramos freqüentemente a energia expressa em tais

unidades como watt-segundo (W.s) ou quilowatt-horas (kW h)(1kW h=1000 x 3600)

2 - CARGAS ELÉTRICAS

A grandeza elétrica mais elementar é a carga elétrica. Um dos primeiros fatos ao estudarmos os efeitos das cargas elétricas é que estas cargas são de dois tipos diferentes. Estes tipos são arbitrariamente chamados positivo (+) e negativo (-). O elétron, por exemplo, é uma partícula carregada negativamente. Um corpo descarregado possui o mesmo número de cargas positivas e negativas. Um corpo está carregado positivamente quando existe uma deficiência de elétrons e uma carga negativa significa um excesso de elétrons.

A carga elétrica é representada pela letra Q e medida em Coulombs (abreviado C). A carga de um elétron é –1,6 x 10-19 C, ou seja, um Coulomb equivale à carga aproximada de 6,25 x 1018

elétrons.

Um dos efeitos mais significativos de uma carga elétrica é que ela pode produzir uma força. Especificamente, uma carga repelirá outras cargas de mesmo sinal e atrairá cargas de sinal contrário como apresenta a figura 5. Deve-se notar que a força de atração ou de repulsão é sentida de modo igual pelos dois corpos ou partículas carregados.





Figura 5 - Força entre cargas.

2.1 - CAMPOS ELÉTRICOS

Existe uma região de influência em torno de uma carga elétrica tal que uma força tornar-se-á tanto menor quanto mais afastada estiver a carga. Uma região de influência como está é chamada Campo. O campo estabelecido pela

presença de cargas elétricas é chamado de Campo Elétrico E

e quando as cargas elétricas estão em repouso esse campo será chamado de Campo Eletrostático. O campo elétrico pode ser representado por linhas de campo radias orientadas e a sua unidade é o newton/coulomb [N/C]. Se a carga for positiva, o campo é divergente, isto é, as linhas de campo saem da carga e se a carga for negativa, o campo é convergente, isto é, as linhas de campo chegam à carga conforme mostra a figura 6.

Figura 6 - Linhas de campo.

Quando duas cargas de sinais contrários estão próximas, as linhas de campos convergem da carga positiva para a carga negativa conforme a figura 7. Em cargas próximas de mesmo sinal as linhas de campo se repelem, figuras 8 e 9.

Figura 7 - Linhas de campo entre cargas de sinais contrários.

Figura 8 - Linhas de campo entre cargas positivas. Figura 9 - Linhas de campo entra cargas negativas.





Quando duas placas paralelas são eletrizadas com cargas de sinais contrários, surge entre elas um campo elétrico uniforme, caracterizado por linhas de campo paralelas.

Figura 10 - Linhas de campo entre duas placas paralelas eletrizadas com cargas contrárias.

A expressão matemática do campo elétrico é dada por: 2d

QKE

onde: K = constante dielétrica = 9x109 N.m2 / C2 (no vácuo e no ar) Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C] d = distância, em metro [m] 2.1 - FORÇAS ELÉTRICAS

Um carga Q colocada em um campo elétrico uniforme, ficará sujeita a uma força F

, cuja unidade de medida é newton [N] e cujo módulo é:

F = Q E onde: Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C] E = módulo do campo elétrico, em Newton/Coulomb [N/C] A amplitude da força entre duas partículas carregadas é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. Isto é, a força F entre duas partículas carregadas com cargas Q1 e Q2 é dada por:

2

21.

d

QQkF

Onde d é a distância entre as cargas e k é uma constante que depende das unidades usadas e do meio que envolve as cargas. Esta equação é conhecida como Lei de Coulomb ou Lei do Inverso do Quadrado

Figura 11 - Força entre cargas de sinais contrários.

Figura 12 - Força entre cargas de sinais opostos.

2.3 - POTENCIAIS ELÉTRICOS

Dizer que uma carga elétrica fica sujeita a uma força quando esta numa região submetida a um campo elétrico, significa dizer que, em cada ponto dessa região existe um potencial para a realização de trabalho. O potencial elétrico (V) é expresso em volts e é dado pela expressão:

d

QKV

O potencial elétrico é uma grandeza escalar, podendo ser positivo ou negativo, dependendo do sinal da caga elétrica. Pela expressão acima, podemos verificar que o potencial em uma superfície onde todos os pontos estão





a uma mesma distância da carga geradora, possui sempre o mesmo valor. Essas superfícies são denominadas de superfícies equipotenciais.

Figura 13 - Superfícies equipotenciais.

2.4 - DIFERENÇA DE POTENCIAL - DDP

Seja uma região submetida a um campo elétrico E criado por uma carga Q positiva conforme mostra a figura 14. Colocando um elétron –q no ponto A, situado a uma distância dA da carga Q, ele se movimentará no sentido contrário do campo, devido à força F que surge no elétron, indo em direção ao ponto B, situado a uma distância dB da carga Q.

Figura 14 - Carga -q colocada no ponto A de uma região submetida a um campo E.

Como dA > dB, o potencial do ponto A é menor que o do ponto B, uma vez que o potencial é dado pela expressão

d

QKV . Assim podemos escrever que VA < VB.

Figura 15 - Potencial no ponto A é menor que no ponto B.

Conclui-se, então, que uma carga negativa move-se do potencial menor para o maior. Se uma carga positiva +q fosse colocada no ponto B, ela se movimentaria na mesma direção do campo elétrico, indo do potencial maior para o menor.

Figura 16 - Carga +q colocada no ponto B de uma região submetida a um campo E.

Assim, para que uma carga se movimente, isto é, para que haja condução de eletricidade, é necessário que ela esteja submetida a uma diferença de potencial ou ddp.





Agora já estamos em condições de relacionar trabalho e transferência de energia com forças elétricas. Suponha que movamos uma partícula carregada positivamente em sentido contrário ao de um campo elétrico no qual esteja mergulhada, isto é, contra a força exercida sobre elas por outras cargas elétricas. Se por exemplo, o campo fosse devido à presença de uma carga negativa próxima, afastaríamos a carga positiva dela. Com isto, ao mover-se a carga contra forças que atuam sobre ela, seria realizado um trabalho equivalente ao levantar-se um peso no campo gravitacional terrestre. Além disso, seria aplicável a lei da conservação da energia; isto é, a partícula estaria agora em uma posição potencial mais elevada, do mesmo modo que um peso levantado possui maior energia potencial. Já estamos familiarizados com os dispositivos para realização de trabalho útil através de pesos que passam a posições de potencial mais baixo no campo gravitacional da terra. Talvez o dispositivo que melhor exemplifique este estudo seja uma roda hidráulica obtendo trabalho a partir de uma queda d’água. De um modo mais ou menos análogo, podemos obter trabalho de um fluxo de cargas que se movam sob a influência de forças elétrica para uma posição de potencial mais baixo.

Figura 17 - Roda hidráulica.

3 - CORRENTE ELÉTRICA

Usualmente estamos mais interessados em cargas em movimento do que cargas em repouso, devido à transferência de energia que pode estar associada às cargas móveis. Estamos particularmente, interessados nos casos em que o movimento de cargas esteja confinado a um caminho definido formado de materiais como cobre, alumínio, etc, devido a serem bons condutores de eletricidade. Em contraste, podemos utilizar materiais mal condutores de eletricidade, chamados de isoladores, para confinar a eletricidade a caminhos específicos formando barreiras que evitam a fuga das cargas elétrica. Os caminhos por onde circulam as cargas elétricas são chamados de circuitos. Aplicando uma diferença de potencial num condutor metálico, os seus elétrons livres movimentam-se de forma ordenada no sentido contrário ao do campo elétrico. O movimento da carga elétrica é chamado de corrente elétrica. A intensidade I da corrente elétrica é a medida da quantidade de carga elétrica Q (em coulombs) que atravessa a seção transversal de um condutor por unidade de tempo t (em segundos). A corrente tem um valor constante dado pela expressão:

t

QI

tempo

coulombsemcarga

A unidade de corrente é o ampère (abreviado por A). Existe um ampère de corrente quando as cargas fluem na razão de um coulomb por segundo. Devemos especificar tanto a intensidade quanto o sentido da corrente.





Exemplo: Se a carga que passa pela lâmpada do circuito da figura 21 é de 14 coulombs por segundo, qual será a corrente:

Asegundo

coulonbs

t

QI 14

1

14

Em uma corrente contínua, o fluxo de cargas é unidirecional para o período de tempo em consideração. A figura 18, por exemplo, mostra o gráfico de uma corrente contínua em função do tempo; mais especificamente, mostra uma corrente contínua constante, pois sua intensidade é constante, de valor I. Em uma corrente alternada as cargas fluem ora num sentido, ora noutro, repetindo este ciclo com uma freqüência definida como mostra a figura 19.

Figura 18 - Corrente contínua.

Figura 19 - Corrente alternada.

A utilidade prática de uma corrente continua ou alternada é o resultado dos efeitos por ela causados. Os principais fenômenos que apresentam uma grande importância prática e econômica são:

1. Efeito Térmico (Joule): Quando flui corrente através de um condutor, há produção de calor. Este fenômeno será estudado na Lei de Ohm. Aplicações: chuveiro elétrico, ferro elétrico.

2. Efeito Magnético (Oersted): Nas vizinhanças de um condutor que carrega uma corrente elétrica, forma-

se um segundo tipo de campo de força, que fará as forças serem exercidas sobre outros elementos condutores de corrente ou sobre peças de ferro. Este campo, chamado de Campo Magnético coexiste com o Campo Elétrico causado pelas cargas. Este fenômeno é o mesmo que ocorre na vizinhança de um imã permanente. Aplicações: telégrafo, relé, disjuntor.

3. Efeito Químico: Quando a corrente elétrica passa por soluções eletrolíticas ela pode separar os íons.

Aplicações: Galvanoplastia (banhos metálicos). 4. Efeito Fisiológico: Efeito produzido pela corrente elétrica ao passar por organismos vivos

3.1 - CORRENTE ELÉTRICA CONVENCIONAL: nos condutores metálicos, a corrente elétrica é formada apenas por cargas negativas (elétrons) que se deslocam do potencial menor para o maior. Assim, para evitar o uso freqüente de valor negativo para corrente, utiliza-se um sentido convencional para ela, isto é, considera-se que a corrente elétrica num condutor metálico seja formada por cargas positivas, indo, porém do potencial maior para o menor. Em um circuito, indica-se a corrente convencional por uma seta, no sentido do potencial maior para o menor como mostra a figura, em que a corrente sai do pólo positivo da fonte (maior potencial) e retorna ao seu pólo negativo (menor potencial).





Figura 20 – Sentido da corrente convencional.

Exemplos: 1. Qual a intensidade da corrente elétrica que passa pela seção transversal de um fio condutor, sabendo-se que

uma carga de 3600 C leva 12 segundos para atravessá-la?

As

C

t

QI 300

12

103600 6

2. Pela seção transversal de um fio condutor passou uma corrente de 2mA durante 45 segundos. Quantos elétrons atravessaram essa seção nesse intervalo de tempo?

CmCsAtIQt

QI 33 1090904510.2

carga de 1 elétron é dada por q = -1,6 10-19C, utilizando somente o módulo de q e uma simples regra de 3, temos

1 elétron = 1,6 10-19

N elétrons = 90 10-3

Fazendo o produto cruzado, temos: 1,6 10-19 N(elétrons) = 90 10-3 1(elétron)

elétronsNN 15

19

3

105,562106,1

1090

3.2 - DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO OU TENSÃO ELÉTRICA

A figura 21 apresenta o diagrama de um circuito elétrico simples. O objetivo desse circuito é conduzir energia elétrica da bateria para uma lâmpada distante. Isto é realizado através da conexão de fios para levar e trazer a corrente I da bateria até a lâmpada, uma chave e um fusível de proteção para o circuito. Assim, quando a chave esta fechada, um caminho completo de condução é proporcionado e obtém-se um circuito completo ou circuito fechado.

Figura 21 - Diagrama descritivo.

Figura 22 - Diagrama esquemático.





Por outro lado, se um dos fios fosse desligado, ou a chave estiver aberta, teríamos um circuito aberto, sendo nula a corrente I, e, portanto, não havendo transferência de energia. Um outro caso ocorreria se ligássemos um fio entre os pontos c e d da lâmpada ou entre os pontos a e b da bateria. Neste caso, teríamos um curto-circuito. A corrente de saída da fonte seria elevada (freqüentemente destrutivamente elevada), mas somente uma porção insignificante passaria pela lâmpada e não haveria uma transferência eficiente de energia para a lâmpada. Usualmente é feita uma proteção contra esses problemas, inserindo fusíveis ou disjuntores que abrem automaticamente quando ocorrem tais falhas.

No circuito da figura utilizou-se o símbolo padrão para uma bateria, com linhas paralelas mais longas indicando o terminal positivo ou aquele pelo qual a corrente sai da bateria ao fornecer energia ao circuito. A figura 23 mostram outros tipos de simbologias padrões para representar fontes de tensão CC.

Figura 23 - Simbologias para fontes de tensão CC.

Considerando que o circuito da figura 21 não possua nenhum tipo de problema de curto-circuito ou circuito aberto. Para que se mantenha a corrente I no circuito é necessário gastar energia da mesma forma que para manter o fluxo de água através de um sistema de tubulações. Deve-se realizar trabalho para dar às cargas elétricas a energia que elas entregam ao fluir através dos fios e das lâmpadas. Este trabalho ou energia deve, é claro, ser obtido da fonte por conversão de energia química em energia elétrica na bateria da figura 21, por exemplo, ou conversão de energia mecânica em elétrica no caso de um gerador.

O trabalho realizado ao movimentar-se uma carga positiva unitária entre dois pontos de um circuito é chamado de diferença de potencial ou tensão entre dois pontos. Em outras palavras, tensão é o trabalho por unidade de carga. Deve-se especificar dois pontos no circuito, uma vez que o trabalho é realizado ao mover-se a carga de um ponto para outro. Se o trabalho realizado ao mover-se uma carga de 1 C de um ponto a outro for de 1 J, a diferença de potencial entre esses pontos será de 1 Volt (abrevia-se V). O trabalho, ou energia total W associado com o movimento de Q coulombs entre dois pontos, é;

QEW quando a diferença de potencial entre dois pontos for de E volts. Quando essa diferença de potencial é fornecida por uma fonte de energia elétrica, ela é freqüentemente chamada de força eletromotriz (abreviada FEM). Como os circuitos contêm fontes e consumidores de energia elétrica, devemos considerar cuidadosamente se o trabalho é realizado sobre a carga unitária, ou pela carga unitária ao mover-se do primeiro até o segundo ponto. No primeiro caso, a energia potencial da carga é aumentada; no outro caso, é diminuída. Se o trabalho for realizado sobre a carga positiva e sua energia potencial é aumentada ao ir do ponto a para o ponto b de um circuito, existe uma subida de tensão no sentido de a para b. Inversamente, existe uma queda de tensão no sentido de b para a, porque a carga perderia energia se fosse de b para a. Do ponto de vista de ganho ou de perda de energia, subidas de tensão são grandezas opostas a queda de tensão. O circuito da figura 22 ilustra estas declarações. Devido à bateria existe uma subida de tensão de a para b e haverá uma queda de tensão de c para d. Observação: Freqüentemente utilizamos uma nomenclatura do tipo VAB, para indicar um valor de tensão entre dois pontos, por isso, é importante saber o seu significado. Na figura 24 a tensão VA encontra-se no potencial de maior valor (+) e a tensão VB no potencial de menor valor (-).





Figura 24 - Diferença de potencial.

A fonte de tensão E se encontra entre os dois potenciais VA e VB, portanto, essa fonte representa a diferença entre estes dois potenciais. Matematicamente temos:

4 - FONTES DE ALIMENTAÇÃO

O dispositivo que fornece tensão para um circuito é chamado genericamente de fonte de tensão ou fonte de alimentação. Exemplos de fontes de tensão são as pilhas e as baterias. Uma pilha comum, quando nova, possui tensão de 1,5V. Estas podem ser associadas em série, para aumentar a tensão, como por exemplo, 3 pilhas de 1,5V cada fornecem 4,5V juntas. Tanto as baterias como as pilhas produzem energia elétrica a partir de energia liberada por reações químicas. Com o tempo de uso, as reações químicas dessas baterias ou pilhas liberam cada vez menos energia, fazendo com que a tensão disponível seja cada vez menor. Hoje em dia, existem muitos tipos de baterias que podem ser recarregados por aparelhos apropriados, inclusive as pilhas comuns, o que é um avanço importante, sobretudo no que se refere ao meio ambiente. Outro tipo de fonte de tensão são as fontes de alimentação eletrônicas que utilizam um circuito eletrônico para converter a tensão alternada da rede elétrica em tensão contínua. Esses dispositivos são conhecidos por eliminadores de bateria, e são amplamente utilizados em equipamentos portáteis como aparelhos de som, vídeo games, etc. Outro tipo de fonte de tensão muito utilizado em laboratórios e oficinas de eletrônicas, são as fontes de tensão variáveis (ou ajustáveis). Este tipo de fonte tem a vantagem de fornecer tensão contínua e constante, cujo valor pode ser ajustado manualmente, conforme a necessidade. Nas fontes variáveis mais simples, o único tipo de controle é o ajuste de tensão. Nas mais sofisticadas, existem ainda os controles de ajuste fino de tensão e de limite de corrente. 5 - TERRA (GND = GROUND) OU POTENCIAL DE REFERÊNCIA

Em circuitos elétricos, deve-se sempre estabelecer um ponto cujo potencial elétrico servirá de referência para medidas das tensões. Em geral, a referência é o pólo negativo da fonte de alimentação, que pode ser considerado um ponto de potencial zero, fazendo com que a tensão entre qualquer outro ponto do circuito e essa referência seja o próprio potencial elétrico do ponto considerado. Assim, se VB é a referência do circuito da figura 24, a tensão VAB entre os pontos A e B é dada por:

VAB = VA – VB = VA - 0 = VA A essa referência, damos o nome de terra, massa ou GND (ground), cujos símbolos mais utilizados são mostrado na figura 25.

Figura 25 - Simbologia do terra (GND).

E = VA - VB = VAB





Em um circuito podemos substituir a linha do potencial de referência por símbolos de terra, simplificando o seu circuito para um dos seguintes diagramas mostrados na figura 27. Em muitos equipamentos, o potencial de referência do circuito é ligado à sua carcaça (quando esta é metálica) e a um terceiro pino do plug que vai ligado à tomada da rede elétrica. Esse terceiro pino para conectar o terra do circuito à malha de aterramento da instalação elétrica, com o objetivo de proteger o equipamento e o usuário de uma sobrecarga elétrica. Exemplo: Dado o circuito da figura 26, represente seus dois diagramas elétricos equivalentes utilizando o símbolo de terra.

Figura 26 - Circuito elétrico.

ou

Figura 27 – Outras formas de representações de circuitos.

6 - FONTE DE CORRENTE

A fonte de corrente, ao contrário da fonte de tensão, não é um equipamento vastamente utilizado, mas seu estudo é importante para a compreensão futura de determinados dispositivos e circuitos eletrônicos.

O símbolo para a fonte de corrente é um círculo com uma seta dentro, que indica o sentido da corrente. Este sentido deve ser o mesmo que o da corrente produzida pela polaridade da fonte de tensão correspondente. Lembre-se de que uma fonte produz um fluxo de corrente que sai do terminal positivo. A fonte de corrente ideal é aquela que fornece uma corrente I sempre constante, independente da carga alimentada, isto é, para qualquer tensão V na saída. A figura 28 mostra a simbologia utilizada para indicar uma fonte de corrente e a sua curva característica.

Figura 28 - Fonte de corrente e sua curva característica.

7 - POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA

A expressão W = E Q exprime o trabalho realizado ou a energia transferida num circuito ou numa parte de um circuito elétrico, pelo produto da tensão pela carga. Se o trabalho é realizado a uma velocidade constante e a carga total Q sofre uma variação de potencial de E volts, em t segundos, então a potência, ou o trabalho por unidade de tempo é:





t

QE

t

WP

. watts ou joule/segundo

Do ponto de vista prático, interessa-nos mais a corrente do que a carga. Utilizando a equação I = Q/t,

obtém-se uma forma mais útil para a equação P = (E Q)/t , que é

Como t

QI , IEP . watts

Se E e I são constantes num intervalo de tempo de t segundos, a energia total eliminada ou absorvida é

tIEW .. watt-segundo ou joules Até agora já foram introduzidas as grandezas elétricas principais com as quais estaremos tratando. Um

resumo delas está apresentado na tabela 1, juntamente com suas unidades de medida e abreviaturas mais usadas. Para alguns propósitos, estas unidades são inconvenientemente pequenas ou grandes. Para expressar unidades maiores ou menores, usa-se uma série de prefixos juntamente com o nome da unidade básica, evitando-se assim uma aglomeração de zeros antes ou depois da vírgula decimal. Esses prefixos, com suas abreviaturas, são apresentados na tabela-2.

Tabela 1 - Resumo das principais grandezas elétricas

Grandeza elétrica

Símbolo Unidades

(Sistema SI) Equação de

definição Análogo mecânico

Análogo hidráulico

Carga Q Coulomb (C) . . . . . Posição Volume

Corrente I Ampère (A) t

QI Velocidade Fluxo

Tensão E ou V Volt (V) Q

WE Força Altura ou pressão

Potência P Watt (W) IEP . Potência Potência

Energia ou trabalho

W Joule (J) ou Watt-segundo (W.s)

tPW . Energia ou trabalho

Energia ou trabalho

Tabela 2 - Prefixos usados com unidades elétricas

Para grandezas maiores que a unidade

Para grandezas menores que a unidade

Quilo (K) 103 unidades Mili (m) 10-3 unidades

Mega (M) 106 unidades Micro ( ) 10-6 unidades

Giba (G) 109 unidades Nano (n) 10-9 unidades

Tera (T) 1012 unidades Pico (p) 10-12 unidades

Exemplo: A lâmpada do circuito da figura 21 está sujeita a uma tensão de 115 V. A corrente I do circuito é 2,61 A. Qual é a potência consumida pela lâmpada? Quanto se gasta ao manter acesa por 10 horas, se a energia elétrica custa 2 centavos por kWh?

P = E.I = (115).(2,61) = 300 W W = E.I.t = P.t = (300).(10) = 3000 Wh = 3,0 kWh Custo = (3,0) x (2,0) = 6 centavos





8 - INSTRUMENTOS DE MEDIDAS ELÉTRICAS

8.1 - Multímetro:

Este instrumento é muito utilizado em laboratórios e oficinas de eletrônica, e tem por finalidade medir grandezas elétricas como tensão, corrente, resistência e outras funções. O multímetro possui dois terminais nos quais são ligadas as pontas de prova ou pontas de teste. A ponta de prova vermelha deve ser ligada ao terminal positivo do multímetro (vermelho ou marcado com sinal +) e a ponta de prova preta deve ser ligada ao terminal negativo do multímetro (preto ou marcado com sinal -). Os multímetros possuem alguns controles, sendo que o principal é a chave rotativa ou conjunto de teclas para seleção da grandeza a ser medida (tensão, corrente ou resistência) com os respectivos valores de fundo de escala. Fundo de escala é o máximo valor medido, por exemplo, quando giramos a chave seletora do multímetro da figura 29 até a posição de 20 DC V, o fundo de escala é de 20 volts. Em multímetros analógicos o fundo de escala é a máxima deflexão do ponteiro.

Figura 29 - Multímetro digital.

Figura 30 - Multímetro analógico.

Generalidades:

Em qualquer valor medido está associado um erro. O valor estimado para esse erro pode ou não ser significante dependendo da aplicação;

erro depende não somente do equipamento, como também do procedimento de medida;

Qualquer aparelho de medida interfere no circuito que está sendo medido. Os termos voltímetro, amperímetro e ohmímetro correspondem ao multímetro operando,

respectivamente, nas escalas de tensão, corrente e resistência.

8.2 - Voltímetro: É o instrumento utilizado para medir a tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito elétrico. Para que o multímetro funcione basta selecionar uma das escalas para medida de tensão (CC ou CA). A simbologia utilizada para voltímetro é mostrada na figura 31.





Figura 31 - Simbologia do voltímetro.

Para medir uma tensão, as ponteiras do voltímetro devem ser ligadas aos dois pontos do circuito em que

se deseja conhecer a diferença de potencial, isto é, em paralelo, podendo envolver um ou mais dispositivos, como mostra a figura 32.

Se a tensão a ser medida for contínua (CC), o pólo positivo do voltímetro deve ser ligado no ponto de maior potencial e o pólo negativo no ponto de menor potencial. Assim, o voltímetro indicará um valor positivo de tensão.

Figura 32 - Exemplo de uso do voltímetro.

Cuidado! Estando a ligação dos terminais do voltímetro invertida, sendo digital, o display indicará valor negativo; sendo analógico, o ponteiro tentará defletir no sentido contrário, o que poderá danificá-lo.

Figura 33 - Ponteiras do voltímetro ligadas invertidas.

Se a tensão a ser medida for alternada (CA), os pólos positivo e negativo do voltímetro podem ser ligados

ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa medida sempre positiva. Observação: Um voltímetro ideal tem resistência interna infinita. Isto para que a corrente do circuito não

circule pelo voltímetro e este não interfira no comportamento do circuito. Um voltímetro real possui uma resistência interna muito alta, mas não infinita, que causa um pequeno erro. Porém, esse erro, normalmente, pode ser desprezado, pois geralmente é menor que as tolerâncias dos componentes do circuito. 8.2 - AMPERÍMETRO: Este instrumento é utilizado para medir a corrente elétrica que atravessa um condutor ou um dispositivo. Para que o multímetro funcione como um amperímetro, basta selecionar uma das escalas para medida de corrente (CC ou CA). A simbologia utilizada para amperímetro é mostrada na figura 34.





Figura 34 - Simbologia do amperímetro.

Para medir uma corrente, o circuito deve ser aberto no ponto desejado, ligando o amperímetro em série, para que a corrente elétrica passe por ele. A corrente que passa por um dispositivo pode ser medida antes ou depois dele, já que a corrente que entra num bipolo é a mesma que sai.

Se a corrente a ser medida for contínua (CC), o pólo positivo do amperímetro deve ser ligado ao ponto pelo qual a corrente convencional entra, e o pólo negativo ao ponto pelo qual ela sai.

Figura 35 - Exemplo de uso do amperímetro.

Cuidado! Se a ligação dos terminais do amperímetro for invertida, sendo digital, o display indicará valor negativo; sendo analógico, o ponteiro tentará defletir no sentido contrário, podendo danificá-lo.

Cuidado! Caso a corrente a ser medida for alternada (CA), os pólos positivo e negativo do amperímetro podem ser ligados ao circuito sem levar em conta a polaridade, resultando numa medida sempre positiva.

Observação: Um amperímetro ideal tem resistência interna zero. Isto para que o amperímetro não forneça resistência à passagem de corrente do circuito e este não interfira no comportamento do circuito. Um amperímetro real possui uma resistência interna muito baixa, mas não zero, que causa um pequeno erro. Porém, esse erro, normalmente, pode ser desprezado, pois geralmente é menor que as tolerâncias dos componentes do circuito.

ATENÇÃO! NUNCA UTILIZE A ESCALA DE CORRENTE DO MULTÍMETRO PARA MEDIDAS DE TENSÃO! ISSO DANIFICARÁ O

APARELHO.

8.3 - OHMÍMETRO: O instrumento que mede resistência elétrica é chamado de ohmímetro. Os multímetros possuem escalas apropriadas para a medida de resistência elétrica.

Para medir a resistência elétrica de uma resistência fixa ou variável, ou ainda, de um conjunto de resistores interligados, é preciso que eles não estejam submetidos a qualquer tensão, pois isso poderia acarretar em erro de medida ou até danificar o instrumento. Por isso, é necessário desconectar o dispositivo do circuito para a medida de sua resistência.

Para a medida, os terminais do ohmímetro devem ser ligados em paralelo com o dispositivo ou circuito a ser medido, sem importar-se com a polaridade dos terminais do ohmímetro. Cuidado! Nunca segure os dois terminais do dispositivo a ser medido com as mãos, pois a resistência do corpo humano pode interferir na medida, causando um erro.





O ohmímetro analógico é bem diferente do digital, tanto no procedimento quanto na leitura de uma medida. No ohmímetro digital, após a escolha do valor de fundo de escala adequado, a leitura da resistência é feita diretamente no display.

No ohmímetro analógico, a escala graduada é invertida e não linear, iniciando com resistência infinita (R = ) na extremidade esquerda (correspondendo aos terminais do ohmímetro em aberto e ponteiro na posição de repouso) e terminando com resistência nula (R = 0) na extremidade direita (correspondendo aos terminais do ohmímetro em curto e ponteiro totalmente defletido). Assim sendo, o procedimento para a realização da medida com o ohmímetro analógico deve ser:

1. Escolhe-se a escala desejada, que é um múltiplo dos valores da escala graduada: x1, x10, x100, x10k e

x 100k. 2. Curto-circuitam-se os terminais do ohmímetro, provocando a deflexão total do ponteiro. 3. Ajusta-se o potenciômetro de ajuste de zero até que o ponteiro indique R = 0. 4. Abram-se os terminais e mede-se resistência. 5. A leitura é feita multiplicando-se o valor indicado pelo ponteiro pelo múltiplo da escala selecionada.

Observações:

Por causa da não-linearidade da escala, as leituras mais precisas no ohmímetro analógico são feitas na região central da escala graduada.

No procedimento de ajuste de zero (item 3), caso o ponteiro não atinja o ponto zero, significa que a bateria do multímetro está fraca, devendo ser substituída.

O procedimento de ajuste de zero deve ser repetido a cada mudança de escala.

CUIDADOS!

1. Atenção ao medir tensões elevadas: - Maiores escalas do aparelho de medição (1000VDC 750VAC); - Não tocar na parte metálica; - Verificar AC ou DC.

2. Nunca medir circuitos com alta tensão. - Equipamentos e treinamentos especiais

3. Colocação correta dos conectores e ponteiras. 4. Não colocar os dedos (ou qualquer outra parte do corpo) nas partes metálicas. 5. JAMAIS MEDIR A RESISTÊNCIA DA REDE ELÉTRICA. 6. Na dúvida, iniciar pelas maiores escalas.

9 - RESISTORES E CÓDIGOS DE CORES

Os resistores são componentes que tem por finalidade oferecer uma oposição (resistência) à passagem de corrente elétrica, através de seu material. A essa oposição damos o nome de resistência elétrica, que possui como

unidade o ohm ( ). A resistência de um condutor qualquer depende da sua resistividade do material, do seu comprimento e

da sua área da seção transversal, de acordo com a fórmula:

A

lR (2ª Lei de Ohm)





onde, R = resistência do condutor, ohm [ ] l = comprimento do condutor, metro [m] A = área da seção transversal, m2

= resistividade, m

Outro fator que influencia na resistência de um material é a temperatura. Quanto maior a temperatura do material, maior é a sua agitação molecular. Devido a essa maior agitação molecular os elétrons terão mais dificuldade para passarem pelo condutor. Os resistores são classificamos em dois tipos: fixos e variáreis. Os resistores fixos são aqueles cujo valor da resistência não pode ser alterada, enquanto que os variáveis podem ter sua resistência modificada dentro de uma faixa de valores, através de um cursor móvel. Os resistores fixos são especificados por três parâmetros:

1. O valor nominal da resistência elétrica. 2. A tolerância, ou seja, a máxima variação em porcentagem do valor nominal. 3. A sua máxima potência elétrica dissipada.

Exemplo: Tomemos um resistor 100 5% - 0,33 W.

1. O seu valor nominal é de 100 . 2. A sua tolerância é de 5%, isso é, o seu valor pode ter uma diferença de até 5% para mais ou para

menos do seu valor nominal. Como 5% de 100 é igual a 5 , o menor valor que este resistor

pode ter é 95 , e o maior valor é 105 . 3. Esse componente pode dissipar uma potência de até 0,33 watts.

Nomenclatura usual para resistores: 2500 = 2,5k = 2k5 Dentre os tipos de resistores fixos, destacamos os de fio, de filme de carbono e o de filme metálico.

9.1 - RESISTOR DE FIO: Consiste basicamente em um tubo cerâmico, que servirá de suporte para enrolarmos um determinado comprimento de fio, de liga especial para obter-se o valor de resistência desejado. Os terminais desse fio são conectados às braçadeiras presas ao tubo. Além desse, existem outros tipos construtivos, conforme mostra a figura 36.

Figura 36 - Resistores de fio.

Os resistores de fio são encontrados com valores de resistência de alguns ohms até alguns kilo-ohms, e são aplicados onde se exige altos valores de potência, acima de 5 W, sendo suas especificações impressas no próprio corpo.





9.2 - RESISTOR DE FILME DE CARBONO (DE CARVÃO): Consiste de um cilindro de porcelana recoberto por um filme (película) de carbono. O valor da resistência é obtido mediante a formação de um sulco, transformando a película em uma fita helicoidal. Sobre esta fita é depositada uma resina protetora que funciona como revestimento externo. Geralmente esses resistores são pequenos, não havendo espaço para impressão das suas especificações, por isso são impressas faixas coloridas sobre o revestimento para a identificação do seu valor nominal e da sua tolerância. A sua dimensão física identifica a máxima potência dissipada.

Figura 37 - Resistor de filme de carbono.

9.3 - RESISTOR DE FILME METÁLICO: Sua estrutura é idêntica ao de filme de carbono. A diferença é que este utiliza liga metálica (níquel-cromo) para formar a película, obtendo valores mais precisos de resistência, com tolerâncias de 1% a 2%. O custo dos resistores está associado a sua tolerância, sendo que resistores com menores tolerâncias têm custo mais elevado. Um bom projeto eletrônico deve considerar a tolerância dos resistores a fim de diminuir o seu custo final. O código de cores utilizado nos resistores de película, é visto na tabela 3.

Cor 1ª Faixa 2ª Faixa 3ª Faixa 4ª Faixa

1ª Algarismo 2ª Algarismo Fator Multiplicador Tolerância

preto 0 0 x 100

marrom 1 1 x 101 1%

vermelho 2 2 x 102 2%

laranja 3 3 x 103

amarelo 4 4 x 104

verde 5 5 x 105

azul 6 6 x 106

violeta 7 7

cinza 8 8

branco 9 9

ouro x 10-1 5%

prata x 10-2 10%





Tabela 3 - Código de cores

Observação:

1. A ausência da faixa de tolerância indica que esta é de 20% 2. Para os resistores de precisão encontramos cinco faixas, onde as três primeiras representam o

primeiro, segundo o terceiro algarismo significativos e as demais, respectivamente, fator multiplicativo e tolerância.

Valores padronizados para resistores de película.

1 – Série: 5%, 10% e 20% de tolerância

10 12 15 18 22 27 33 39 47 56 68 82

2 – Série: 2% e 5% de tolerância

10 11 12 13 15 16 18 20 22 24 27 30 33 36 39 43 47 51 56 62 68 75 82 91

3 – Série: 1% de tolerância

100 102 105 107 110 113 115 118 121 124 127 130 133 137 140 143 147 150 154 158 162 165 169 174 178 182 187 191 196 200 205 210 215 221 226 232 237 243 249 255 261 267 274 280 287 294 301 309 316 324 332 340 348 357 365 374 383 392 402 412 422 432 442 453 464 475 487 499 511 523 536 549 562 576 590 604 619 634 649 665 681 698 715 732 750 768 787 806 825 845 866 887 909 931 953 976

A seguir, são apresentados alguns exemplos de leitura, utilizando o código de cores: 1) 2)

3) 4)

5)

ouro vermelho violeta amarelo

47 x 100 5% = 4,7k 5% = 4k7 5%

prata preto preto marrom

10 x 1 10% = 10 10%

ouro ouro vermelho vermelho

22 x 0,1 5% = 2,2 5%

ouro verde azul verde

56 x 105 5% = 5,6M 5% = 5M6 5%

marrom preto cinza amarelo laranja

348 x 1 1% = 348 1%





Além da resistência e da tolerância, o resistor recebe uma capacidade nominal em watts. Isto irá indicar quanto calor este resistor pode suportar em uso normal sem queimar. A figura 38 mostra a capacidade em watts de resistores de carbono. Observe que a capacidade é determinada pelo tamanho físico.

Figura 38 - Tamanho físico dos resistores de carbono em relação a sua potência nominal.

9.5 - SIMBOLOGIA: Os símbolos de resistência elétrica utilizados em circuitos são mostrados na figura 39.

Figura 39 - Simbologia para resistores fixos.

9.6 - RESISTÊNCIAS VARIÁVEIS: A resistência variável é aquela que possui uma haste variável para o ajuste manual da resistência. Comercialmente, podem ser encontrados diversos tipos de resistências variáveis, tais como os potenciômetros de fio e de carbono (com controle rotativo e deslizante), trimpot, potenciômetro multivoltas (de precisão), reostado (para altas correntes) e a década resistiva (instrumento de laboratório). Os símbolos usuais para essas resistências variáveis estão mostrados na figura 40.

Figura 40 - Simbologia para resistores variáveis.

As resistências variáveis possuem três terminais. A resistência entre as duas extremidades é o seu valor nominal (RN) ou resistência máxima, sendo que a resistência ajustada é obtida entre uma das extremidades e o terminal central, que é acoplado mecanicamente à haste de ajuste, conforme mostra a figura 41.

Figura 41 - Resistência variável.





A resistência variável, embora possua três terminais, é também um bipolo, pois, após o ajuste, ele se comporta com um resistor de dois terminais como o valor desejado. Uma resistência variável pode ser linear, logarítmica, exponencial ou outra conforme a variação de seu valor em função da haste de ajuste. Os gráficos da figura 42 mostram a diferença de comportamento da resistência entre um potenciômetro rotativo linear e um potenciômetro rotativo logarítmico.

Figura 42 - Curvas de um potenciômetro linear e um logaritmo.

Exercícios: 1. Determine a seqüência de cores para os resistores abaixo:

a) 10k 5%

b) 390 10%

c) 5,6 2%

d) 715 1%

e) 0,82 2% 2. O que determina o valor ôhmico em um resistor de filme de carbono? 3. Qual é o parâmetro que é definido através das dimensões físicas de um resistor? 4. Cite um exemplo de aplicação que você conhece do resistor de fio.

10 - LEIS DE OHM

A primeira Lei de Ohm diz: “A tensão aplicada através de um bipolo ôhmico é igual ao produto da corrente pela resistência”. Esta afirmação resulta em três importantes equações que podem ser utilizadas para calcular qualquer um dos três parâmetros – tensão, corrente e resistência – a partir de dois parâmetros. Essa lei é representada pela expressão: 10.1 - 1A LEI DE OHM

IRV . (1ª Lei de Ohm) onde, V = tensão aplicada, volts [V]

R = resistência elétrica, ohm [ ] I = intensidade de corrente, ampère [A] Levantando-se, experimentalmente, a curva da tensão em função da corrente para um bipolo ôhmico, teremos uma característica linear, conforme a figura 43.





Figura 43 - Curva característica de um bipolo ôhmico.

Dessa curva, temos tg = V/ I, onde concluímos que a tangente do ângulo representa a resistência elétrica

do bipolo, portanto, podemos escrever que: tg = R. Notar que o bipolo ôhmico é aquele que segue esta característica linear, sendo que qualquer outra não linear, corresponde a um bipolo não ôhmico. Para levantar a curva característica de um bipolo, precisamos medir a intensidade de corrente que o percorre e a tensão aplicada aos seus terminais, para isso montamos o circuito da figura 44, onde utilizamos como bipolo um resistor R.

Figura 44 - Circuito para levantar a característica de um bipolo ôhmico.

O circuito consiste de uma fonte variável, alimentando o resistor R. Para cada valor de tensão ajustado, teremos um respectivo valor de corrente, que colocamos numa tabela, possibilitando o levantamento da curva conforme mostra a figura 45.

V(V) I(mA)

0 0

2 20

4 40

6 60

8 80

10 100

Figura 45 - Tabela e curva característica do bipolo ôhmico.

Da curva temos:

1001060100

6103I

VRtg





10.2 - CONDUTÂNCIA

Chama-se de condutância (G) o inverso da resistência (R): R

1G

G = condutância, siemens [S] ou mho [ -1]

R = resistência [ ] Exercícios:

1. Qual é a intensidade da corrente elétrica que passa por uma resistência de 1k submetida a uma tensão de 12 V?

2. Por uma resistência de 150 passa uma corrente elétrica de 60 mA. Qual é a queda de tensão que ela provoca no circuito?

3. Por uma resistência passa uma corrente de 150 A, provocando uma queda de tensão de 1,8 V. Qual é o valor dessa resistência?

11 - POTÊNCIA ELÉTRICA

Aplicando-se uma tensão aos terminais de um resistor, estabelecer-se-á uma corrente que é o movimento de cargas elétricas através deste. O trabalho realizado pelas cargas elétricas, em um determinado intervalo de tempo, gera uma energia que é transformada em calor por Efeito Joule e é definida como Potência Elétrica. Numericamente, a potência é igual ao produto da tensão e da corrente, resultando em uma grandeza cuja unidade é o watt (W). Assim sendo, podemos escrever:

IVPt

onde: = trabalho

t = intervalo de tempo (s) P = potência elétrica (W) Utilizando a definição da potência elétrica juntamente com a Lei de Ohm, obtemos outras relações usuais:

IVP IRV Substituindo, temos:

IIRP 2IRP Analogamente:

R

VI

R

VVP

R

VP

2

O efeito térmico, produzido pela geração de potência, é aproveitado por inúmeros dispositivos, tais como: chuveiro, secador, ferro elétrico, soldador, etc. Esses dispositivos são construídos basicamente por resistências, que alimentadas por tensões e conseqüentemente percorridas por correntes elétricas, transformam energia elétrica em térmica. Exercícios: 1. No circuito da figura abaixo, sabendo que a lâmpada está especificada para uma potência de 900 mW quando

alimentada por uma tensão de 4,5 V, determine:

a) A corrente consumida pela lâmpada.





b) A resistência da lâmpada nessa condição de operação.

2. Considere um resistor com as seguintes especificações: 1k - ½ W a) Qual é a corrente Imáx e a tensão Vmáx que ele pode suportar? b) Que potência P’ ele dissipa caso a tensão aplicada V’ fosse metade de Vmáx? c) Quanto vale a relação Pmás/P’ e qual conclusão podem ser tiradas?

12 - CIRCUITOS SÉRIE E PARALELO

12.1 - CIRCUITO SÉRIE: Neste tipo de associação os resistores estão ligados de forma que a corrente que passa por eles seja a mesma, e a tensão total aplicada aos resistores se subdivida entre eles proporcionalmente aos seus valores. Pela Lei de Kirchhoff das Tensões, a soma das tensões nos resistores é igual à tensão total aplicada E, conforme mostra a figura 54.

Figura 46 - Associação série de resistores.

E = V1 + V2 + ... + Vn Substituindo as tensões nos resistores pela Lei de Ohm (V = R.I), tem-se:

E = R1 I + R2 I + + Rn I E = I (R1 + R2 + + Rn)

Dividindo a tensão E pela corrente I, chega-se a: nRRRI

E21

O resultado E/I corresponde à resistência equivalente Req da associação série, isto é, a resistência que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga. Caso particular: Se os n resistores da associação série forem todos iguais a R, a resistência equivalente pode ser calculada por: Em um circuito série, a potência total PE fornecida pela fonte ao circuito é igual à soma das potências dissipadas

pelos resistores. Portanto, a potência total PE = E I fornecida pela fonte é igual à potência dissipada pela

resistência equivalente Peq = Req I2

Exemplo: 1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por quatro resistores ligados em série, determine:

Req = R1 + R2 + + Rn

Req = n R

PE = P1 + P2 + + Pn = E I = Req I2





a) A resistência equivalente do circuito série.

Req = R1 + R2 + R3 + R4 = 1k + 2k2 + 560 + 1k5 Req = 5260 = 5k26

b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito.

mAR

EI

eq

56,41056,400456,05260

24 3

c) A queda de tensão provocada por cada resistor.

ER1 = R1 I = 1k 4,56 10-3 ER1 4,56 V

ER2 = R2 I = 2k2 4,56 10-3 ER2 10,03 V

ER3 = R3 I = 560 4,56 10-3 ER3 2,55 V

ER4 = R4 I = 1k5 4,56 10-3 ER4 6,84 V

2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) se os resultados do item 1c estão corretos. LKT: A soma algébrica das tensões que elevam o potencial do circuito é igual à soma das tensões que

causam a queda de potencial, logo: E = ER1 + ER2 + ER3 + ER4 = 4,56 + 10 + 2,55 + 6,84 = 23,98

3) Mostre que: PE = P1+ P2 + P3 + P4 = PReq.

PE = E I = 24 4,56 10-3 = 109,44 mW

PReq = Req I2 = 5260 (4,56 10-3)2 = 109,37 mW

Pi = P1 + P2 + P3 + P4 = R1 IR12 + R2 IR2

2 + R3 IR32 + R4 IR4

2

Pi = 1k (4,56 10-3)2 + 2k2 (4,56 10-3)2 + 560 (4,56 10-3)2 + 1k5 (4,56 10-3)2=

Logo, PE PReq Pi 12.2 - CIRCUITO PARALELO: Neste tipo de associação os resistores estão ligados de forma que a tensão total E aplicada ao circuito seja a mesma em todos os resistores, e a corrente total do circuito se subdivida entre eles de forma inversamente proporcional aos seus valores. Pela Lei de Kirchhoff para Correntes, a soma das correntes nos resistores é igual à corrente total I fornecida pela fonte:





Figura 47 - Associação paralela de resistores.

I = I1 + I2 + + In Substituindo as correntes nos resistores pela Lei de Ohm (I = E/R), tem-se:

nn RRREI

R

E

R

E

R

EI

111

2121

Dividindo a corrente I pela tensão E, chega-se a: nRRRE

I 111

21

Chama-se de condutância o inverso da resistência: R

G1

O resultado I/E corresponde à condutância equivalente da associação paralela. Invertendo esse valor, obtém-se, portanto, a resistência equivalente REQ que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga.

Isso significa que, se todos os resistores dessa associação forem substituídos por uma única resistência de valor Req, a fonte de alimentação E fornecerá a mesma corrente ao circuito.

Assim, a relação entre as potências envolvidas é: PE = P1 + P2 + + Pn = PReq Casos particulares:

1 - Se os n resistores da associação paralela forem todos iguais a R, a resistência equivalente pode ser calculada por:

2 – No caso específico de dois resistores ligados em paralelo, a resistência equivalente pode ser calculada por uma equação mais simples:

21

21

1

2

111

RR

RRR

RRReq

eq

Observação: Em textos sobre circuitos elétrico, é comum representar dois resistores em paralelos por: R1//R2. Exemplo: 1) Considerando o circuito da figura abaixo, formado por três resistores ligados em paralelo, determine:

a) A resistência equivalente do circuito paralelo.

neq RRRR

1111

21

n

RReq





neq RRRR

1111

21

74

1

1

1

33

11

kkkREq

72,659eqR

b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito.

mAR

EI

eq

19,1801819,072,659

12

A corrente que passa por cada resistor:

mAkR

EI R 64,300364,0

33

12

11

mAkR

EI R 12012,0

1

12

22

mAkR

EI R 55,200255,0

74

12

33

2) Verifique pela Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) se os resultados do item 1c estão corretos. LKT: A soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem desse

nó, logo: I = I1 + I2 + I3

333 105,21012106,374

12

1

12

33

12

kkkI I = 18,1mA

3) Mostre que: PE = P1 + P2 + P3 = PReq

PE = E I = 12 18,19 10-3 = 218,28 mW

PReq = Req I2 = 659,72 (18,19 10-3)2 = 218,28 mW

74

12

1

12

33

12 222

3

2

2

2

1

2

321kkkR

V

R

V

R

VPPPPi

Logo, PE PReq Pi 12.3 - CIRCUITO MISTO: Este tipo de associação é formado por resistores ligados em série e em paralelo, não existindo uma equação geral para a resistência equivalente, pois ela depende da configuração do circuito. Assim, o cálculo deve ser feito por etapas, conforme as ligações entre os resistores. Exemplo: Considerando o circuito da figura abaixo, formado por diversos resistores ligados em série e em paralelo, resolva os itens seguintes:

1) Determine RA = R6 // R7: 2) Determine RB = R4 + R5 + RA: 3) Determine RC = R3 // RB: 4) Determine RD = R2 + RC: 5) Determine Req = R1 // RD:

12.4 - CONFIGURAÇÕES ESTRELA E TRIÂNGULO (Y- )

Existem certas configurações de circuitos que não podem ser resolvidas somente pelas combinações série-

paralela. Estas configurações podem ser freqüentemente manuseadas pelo uso de uma transformação Y- . Esta





transformação permite que três resistores que formam uma configuração Y sejam substituídos por outros três em

configuração , ou vice-versa. Os circuitos das figuras 56 e 57 são redes e Y, respectivamente.

Figura 48 - Configuração estrela.

Figura 49 - Configuração triângulo.

Se estas redes são equivalentes, a resistência entre qualquer par de terminais deve ser a mesma, tanto

em Y como em . Três equações simultâneas podem ser escritas expressando estas equivalências de resistências terminais, conforme mostra a tabela abaixo. A rede da Figura abaixo (a) é chamada de rede em T ou rede em Y em virtude de sua forma. A rede da Figura (b) é chamada de rede em p (pi) ou em D (delta) pela sua forma. Ao se analisar as redes é muito útil converter o tipo Y em D e vice-versa, para simplificar a solução.

Conversão Y- Conversão -Y

3

32312112

R

RRRRRRR

231312

13121

RRR

RRR

2

32312113

R

RRRRRRR

231312

23122

RRR

RRR

1

32312123

R

RRRRRRR

231312

23133

RRR

RRR

Exemplos: 1. Converter a configuração abaixo de estrela para triângulo:

2. Determine a resistência equivalente única que substituirá a rede da figura abaixo entre os terminais b e d.





Solução: No circuito da figura acima, nenhuma resistência está diretamente em paralelo ou diretamente em série.

Observe, todavia, que as seções bac e dac formam ambas uma rede ; qualquer uma delas pode ser convertida, numa equivalente Y, mostrada, na figura, por resistências cinzas para o caso da seção bac. Os valores equivalentes são:

2844

841R 1

844

442R 2

844

483R

A rede que resulta da substituição da rede bac por uma equivalente Y é mostrada na figura abaixo. Nesta rede, Rea e Rad estão ligadas em série, como também as resistências Rec e Rcd. Logo,

Read = 1 + 5 = 6 e Recd = 2 + 10 = 12 As resistências Read e Recd estão ligadas em paralelo, logo;

4126

126edR

A resistência de b para d é uma combinação série de Rbe e Red, portanto;

Rbd = 2 + 4 = 6 12.5 - CIRCUITO PONTE DE WHEATSTONE A ponte de Wheatstone (circuito da Figura 8) pode ser usada para se medir uma resistência desconhecida Rx. A chave S2 aplica a tensão da bateria aos quatro resistores da ponte. Para equilibrar a ponte, o valor de R3 é





variável. O equilíbrio ou balanceamento é indicado pelo valor zero lido no galvanômetro G quando a chave S1 estiver fechada. Para a ponte equilibrada, os pontos B e C têm o mesmo potencial. Logo, IxRx=I1R1 (1) e IxR3=I1R2 (2) Dividindo (1) por (2):

Figura 8 - Circuito da ponte de Wheatstone.

13 - ANÁLISES DE CIRCUITOS CC

13.1 - INTRODUÇÃO As técnicas de análise de circuitos CC são de grande valia quando se quer calcular parâmetros de circuitos que possuem mais de uma fonte de energia, como é o caso de vários sistemas eletrônicos e elétricos de potência. Um circuito genérico possui NÓS E RAMOS. Um nó é um ponto de junção de dois ou mais elementos de circuitos. O nó principal é aquele que conecta pelo menos três elementos de circuitos e possui uma equação nodal considerável (BARTKOWIAK, 1994). O nó secundário conecta apenas dois elementos e é um nó trivial. Qualquer caminho entre dois nós é chamado de ramo.

Então, baseados nas definições acima, nós podemos dizer que um circuito é complexo se há duas ou mais fontes

Figura 50 - Exemplo de nó.

13.1.3 - MALHA: Qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos formam um caminho fechado para a corrente.

Figura 51 - Exemplo de malha.





13.2 - PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF

A primeira lei é conhecida como Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) ou Lei dos Nós ou Lei das Correntes e esta diz que:

1.“A soma algébricas de todas as correntes em um nó deve ser Zero”. Quando esta lei é utilizada, adota-se, arbitrariamente, as correntes que entram no nó como positivas e as correntes que saem do nó como negativas (ou vice-versa, desde que se seja consistente). Na figura 49 a equação para o nó a é:

Figura 52 – Correntes entrando e saindo de um nó.

+ I1 + I2 - I3 - I4 = 0 I1 + I2 = I3 + I4

Exemplo: No circuito da figura 50, são conhecidos os valores de I1, I2 e I4. Determine I3, I5 e I6.

Figura 53 – Circuito exemplo para LKC.

I1 + I3 - I2 = 0 2 + I3 - 6 = 0 I3 = 4 A

I2 - I4 - I5 = 0 6 - 3 - I5 = 0 I5 = 3 A

I5 - I1 - I6 = 0 3 - 2 - I6 = 0 I6 = 1 A





13.3 - SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF

A segunda lei é conhecida como Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) ou simplesmente, Lei das Tensões, porém, antes de enunciar essa lei é necessário analisar um outro comportamento possível para as fontes de tensão num circuito elétrico. Num circuito elétrico formado por mais de uma fonte de alimentação, é possível que em alguma fonte a corrente entre pelo pólo positivo e saia pelo pólo negativo. Nesse caso, ao invés de elevar o potencial do circuito, a fonte estaria provocando a sua queda, isto é, ao invés de gerador, ela estaria funcionando como um receptor ativo.

A Lei de Kirchhoff das Tensões diz que:

"A soma algébrica de todas as tensões tomadas num sentido determinado, em torno de um caminho fechado,

deve ser nula". A segunda lei é uma conseqüência do princípio de conversação da energia e equivale igualar a energia de entrada à de saída. Ao escrever as equações LKT, podemos seguir o caminho em qualquer sentido (horário ou anti-horário) e somar as subidas ou as quedas de tensão (considerando positivas as que vão de - para + ou vice-versa desde que se seja consistente).

Figura 54 - Lei de Kirchhoff das Tensões.

+ E2 + E3 - V2 - V3 - E1 - V1 = 0 E2 + E3 = V2 + V3 + E1 + V1 Exemplo: 1- No circuito abaixo, são conhecimentos os valores de E1, E2, V3 e V4. Determine V1 e V2.

Equações: + E1 – V2 – V1= 0 (I) + E1 + V3 – E2 + V4 – V1 = 0 (II) + V3 – E2 + V4 + V2 = 0 (III)

Substituindo os valores em (II), temos: + 10 + 5 – 20 + 8 – V1 = 0 V1 = 3 V

Substituindo os valores em (I), temos: + 10 – V2 – V1 = 0 V2 = 7 V - Fazendo uma confirmação de resultados

Substituindo os valores em (III), temos: + 5 – 20 + 8 + V2 = 0 V2 = 7 V





2 – No circuito abaixo são conhecidos os valores de E1, E3, V1, V2 e V4. Determine E2 e V3 para que a Lei de Kirchhoff para Tensões seja válida.

Figura 55 - Circuito exemplo.

Obs. As polaridades de V1, V2 e V4 não são conhecidas. Equações: + E1 - V1 – V2 + E2 = 0 (I) - E3 + V3 - E2 + V2 + V4 = 0 (II) - E1 – V3 + E3 – V4 + V1 = 0 (III) Substituindo os valores em (I), temos: + 15 – 17 - 8 + E2 = 0 E2 = 10V Substituindo os valores em (II), temos: - 25 + V3 - 10 + 8 + 5 = 0 V3 = 22 V 13.4 - MÉTODO DAS MALHAS

Uma malha é qualquer percurso fechado de um circuito (GUSSOW, 1996). Ao se resolver um circuito utilizando as correntes nas malhas, é preciso escolher previamente os percursos que formarão as mesmas. Em seguida, para cada malha é designada a sua corrente, sendo utilizado, por conveniência, o sentido horário. Aplicando-se a LKT ao longo dos percursos de cada malha, encontra-se as equações que determinarão as correntes de malha desconhecidas.

Na Figura 2 tem-se um circuito com duas malhas (1 e 2). O procedimento para se determinar as correntes I1 (malha 1) e I2 (malha 2) é:

Figura 2 - Um circuito CC com duas malhas.

1º passo: escolher as malhas e mostrar as correntes respectivas no sentido horário, indicando a polaridade de tensão para cada resistor, de acordo com o sentido adotado para a corrente. O fluxo convencional de corrente num resistor produz uma polaridade positiva onde a corrente entra.





- 2o passo: aplicar a LKT ao longo de cada malha, percorrendo cada malha no sentido da corrente da malha. Pelo fato de haver duas correntes diferentes que fluem em sentidos opostos num mesmo resistor, aparecem dois conjuntos de polaridades para o mesmo (no caso da Figura 1, no resistor R2).

Percorrendo a malha 1 no sentido abcda e aplicando a

tem-se:

Equação geral

+ VA – I1R1 – I1R2 + I2R2 = 0 + VA – I1.(R1 + R2) + I2R2 = 0

I1.(R1 + R2) - I2R2 = VA (4)

Para a malha 2, percorrendo a mesma no sentido adefa:

- I2R2 + I1R2 – I2R3 – VB = 0

I1R2 – I2.(R2 + R3) = VB (5)

- 3o passo: calcular as correntes I1 e I2 através das Equações (4) e (5).

- 4o passo: com as correntes conhecidas, calcular todas as quedas de tensão através dos resistores utilizando a Lei de Ohm.

- 5o passo: verificar a solução das correntes das malhas percorrendo a malha abcdefa (malha mais externa que engloba as malhas 1 e 2):

VA – I1R1 – I2R3 – VB = 0 (6)

13.5 - CONSIDERAÇÕES PARA SISTEMAS DE MALHAS GENÉRICAS • Tenha em mente que circuitos com duas ou mais fontes de tensão isolada não podem ser resolvidos usando os métodos vistos até aqui. • Estudaremos um método para analisar circuitos como o da figura abaixo.

A abordagem sistemática descrita a seguir deve ser seguida quando se aplicar este método.





Primeiro passo:

a) Associe uma corrente no sentido horário a cada malha fechada independente do circuito. b) Não é absolutamente necessário escolher o sentido horário para todas as correntes de malha. c) De fato, podemos escolher qualquer sentido para cada uma dessas correntes sem alterar o

resultado, enquanto todos os outros passos são seguidos corretamente. d) Entretanto, escolhendo o sentido horário como um padrão podemos desenvolver um método

mais rápido para escrever as equações necessárias, o que poupará tempo e possivelmente evitará alguns dos erros mais comuns.

O primeiro passo é realizado com mais eficácia quando colocamos uma corrente de malha dentro de cada “janela” do circuito, para assegurar que todas sejam independentes. Não importa como sejam escolhidas suas correntes de malha, o número de correntes deve ser igual ao número de janelas do circuito plano (sem interseções).

• A corrente no resistor de 4 F não é I1, pois ele também é percorrido pela corrente I2. • Como elas possuem sentidos opostos, I de 4 F é a diferença entre I1 e I2. • Em outras palavras, uma corrente de malha coincide com uma corrente de ramo somente

quando ela é a única corrente que percorre este ramo. Segundo passo:

• Indique as polaridades de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o sentido da corrente postulado para esta malha.

• Observe a necessidade de que sejam assinaladas polaridades para todos os componentes de todas as malhas.

Terceiro passo: • Aplique a Lei de Kirchhoff para tensões em todas as malhas, no sentido horário. • Novamente, o sentido horário foi escolhido para manter a uniformidade e também com o intuito

de nos preparar para o método a ser introduzido na próxima seção.





a) Se um resistor é percorrido por duas ou mais correntes, a corrente total que o atravessa é dada pela corrente da malha à qual a lei de Kirchhoff está sendo aplicada mais as correntes de outras malhas que o percorrem no mesmo sentido e menos as correntes que o atravessam no sentido oposto. b) A polaridade de uma fonte de tensão não é afetada pela escolha do sentido das correntes nas malhas.

Quarto passo: • Resolva as equações lineares simultâneas resultantes para obter as correntes de malha.

O sinal negativo indica que as correntes possuem sentido oposto ao escolhido para as correntes de malha. • A corrente no resistor de 4 Ω é determinada pela seguinte equação do circuito original:

Para a primeira figura apresentada temos as equações:





13.6 - MÉTODO DOS NÓS

Um outro método para se resolver um circuito com correntes de malhas utiliza as quedas de tensão para determinar as correntes num dado nó. Escreve-se as equações dos nós para as correntes, satisfazendo a LKC (Lei de Kirchhoff das Correntes). A cada nó, num circuito, se associa uma letra ou um número.

Na Figura 3, A, B, G e N são nós, e G e N são nós principais ou junções. Uma tensão de nó é a tensão de um dado nó com relação a um determinado nó chamado de nó de referência, o qual é o nó onde está representada o terra do circuito.

Assim:

VAG é a tensão entre os nós A e G; VBG é a tensão entre os nós B e G e VNG é a tensão entre os nós N e G. Como o nó G é um nó de referência comum, pode-se identificar simplesmente estas tensões como VA, VB e VN.

Figura 3 Os nós num circuito com duas malhas.

O número de equações necessárias é igual ao número de nós principais (n) menos 1, isto é:

Equações necessárias = n – 1.

Os passos necessários para se escrever as equações tendo como base a Figura 3 são:

- 1o passo: adotar o sentido das correntes como mostrado e indicar os nós (A, B, N e G). Identificar a polaridade da tensão em cada resistor de acordo com o sentido considerado para a corrente.

- 2o passo: aplicar a LKC para o nó principal e resolver as equações para resolver VN.

(7)

Pela Lei de Ohm, as correntes I1, I2 e I3 são facilmente encontradas por:

Substituindo-se I1, I2 e I3 em (7) encontra-se:

(8)





• Outro método para resolver um circuitos com correntes de malhas utiliza as quedas de tensão para determinar as corrente em um nó. • Escreve-se, então, as equações dos nós para as correntes, de forma a satisfazer a lei de Kirchhoff para a corrente, de forma a satisfazer a lei de Kirchhoff para a corrente. • Resolvendo as equações dos nós, podemos calcular as tensões desconhecidas dos nós. • Um nó é uma conexão comum a dois ou mais componentes. • Um nó principal possui três ou mais conexões. • Num circuito, associa-se uma letra ou um número a cada nó

Uma tensão de nó é a tensão de um determinado nó com relação a um nó em particular, denominado de nó de referência.

Substituindo na primeira equação, temos:

Se VA, VB, R1, R2 e R3 forem conhecidos, V pode ser calculado a partir da equação acima. Assim, todas as quedas de tensão e as correntes do circuito podem ser determinadas. 13.7 - DIVISORES DE TENSÃO

Na associação série de resistores, vimos que a tensão da fonte de alimentação se subdivide entre os resistores, formando um divisor de tensão.





Podemos deduzir uma equação geral para calcular a tensão Vi no resistor Ri é dada por:

Vi = Ri I (I) Mas a corrente I que passa pelos resistores em série vale:

eqR

EI (II)

Substituindo a equação (II) na equação (I), obtém-se a equação geral do divisor de tensão: No caso de um divisor de tensão formado por dois resistores, conforme a figura 58, as expressões de V1 e V2 são:

Figura 56 - Circuito divisor de tensão.

ERR

RV

21

11 e E

RR

RV

21

22

13.8 - DIVISORES DE CORRENTE

Em uma associação paralela de resistores, vimos que a corrente fornecida pela fonte de alimentação se subdivide entre os resistores, formando um divisor de corrente.

Figura 57 – Circuito divisor de corrente.

Podemos deduzir uma equação geral para calcular a corrente Ii num determinado resistor Ri da associação em função da corrente total I ou da tensão E aplicada. Como os resistores estão em paralelo, a tensão E da fonte de alimentação é aplicada diretamente em cada resistor. Assim, a equação geral do divisor de corrente em função de E é:

ii

R

EI (I)

Mas a tensão E aplicada à associação paralela vale: IRE eq (II)

Substituindo a equação (II) na equação (I), obtém-se a equação geral do divisor de corrente em função de I:

IR

RI

i

eq

i .

No caso de um divisor de corrente formado por dois resistores, podem-se deduzir facilmente as equações de I1 e I2, que ficam como segue:

ER

RV

eq

ii





Figura 58 – Circuito divisor de corrente formado por 2 resistores.

IRR

RI

21

21 e I

RR

RI

21

12

14 - TÉCNICAS GERAIS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS

No presente texto serão abordados alguns teoremas de circuitos elétricos empregados freqüentemente em análises de circuitos. Esses teoremas têm como objetivo principal simplificar a análise de circuitos. Os teoremas relatados neste capítulo são: Thevenin, Norton, superposição, e máxima transferência de potência e Millman 14.1 - TEOREMA DE THÉVENIN

RTH: é a resistência vista por trás dos terminais da carga quando todas as fontes são curto-circuitadas.

VTH: é a tensão que aparece nos terminais da carga (AB) quando se desconecta o resistor RL. É chamada também de tensão de circuito aberto.

O teorema de Thevenin consiste num método usado para transformar um circuito complexo num circuito simples equivalente. Esse teorema afirma que qualquer rede linear de fontes de tensão e resistências, se considerarmos dois pontos quaisquer da rede, pode ser substituída por uma resistência equivalente RTh em série com uma fonte equivalente VTh. A figura 64a mostra a rede linear original com os terminais a e b; a figura 64b mostra o equivalente Thevenin RTh e VTh, que pode ser substituído na rede linear nos terminais a e b. A polaridade de VTh é escolhida de modo a produzir uma corrente de a para b no mesmo sentido que na rede original. RTh é a resistência Thevenin vista através dos terminais a e b da rede com cada fonte de tensão interna curto-circuitada (se existirem fontes de correntes, estas são consideradas como circuitos abertos). VTh é a tensão Thevenin que apareceria através dos terminais a e b com as fontes de tensão (e/ou corrente) no lugar e sem nenhuma carga ligada através de a e b.

Figura 59 - Equivalente Thevenin.





Exemplo: Calcule o equivalente Thevenin visto dos terminais a e b do circuito da figura 65.

Figura 60 - Circuito linear.

Solução: Para o cálculo de RTh devemos curto-circuitar a fonte de tensão e calcular o resistência equivalente vista dos terminais a e b.

Figura 61 - Cálculo de RTh.

A tensão equivalente Thevenin é a tensão vista a partir dos terminais a e b. Portanto;

Vkk

kVTh 7,8

5110

1010

Figura 62 - Circuito linear e seu equivalente Thevenin.

Exercício 1

Calcule o circuito equivalente de Thevenin responsável pela alimentação do resistor RL da Figura abaixo.

Exercício 2

Obter o equivalente de Thevenin entre os terminais ‘A’ e ‘B’ do circuito da abaixo:





Exercício 3

Determine a potência dissipada no resistor de 10 Ω do circuito da figura abaixo utilizando o equivalente de Thevenin.

14.2 - TEOREMA DE NORTON

O teorema de Norton é utilizado para simplificar uma rede em termos de correntes em vez de tensões.

A Resistência RN é obtida da mesma forma que RTH. O teorema Norton é usado para simplificar uma rede em termos de corrente em vez de tensão. Para a análise de correntes, este teorema pode ser usado para reduzir uma rede a um circuito simples em paralelo com uma fonte de corrente, que fornece uma corrente de linha total que pode ser subdividida em ramos paralelos. O teorema de Norton afirma que qualquer rede ligada aos terminais a e b da figura 68a pode ser substiuída por uma única fonte de corrente IN em paralelo com uma única resistência RN, figura 68b. IN é igual a corrente de curto-circuito através dos terminais ab (a corrente que a rede produziria através de a e b com um curto-circuito entre esses dois terminais). RN é a resistência nos terminais a e b, olhando por trás, a partir dos terminais abertos ab. O valor desse resistor único é o mesmo para os dois circuitos equivalentes: Norton e Thevenin.

Figura 63 - Equivalente Norton.

Exemplo: Calcule o equivalente Norton visto dos terminais a e b do circuito da figura 69. O primeiro passo para a solução do problema é fazer um curto-circuito entre os terminais a e b e após calcular a corrente que passa por esse curto. Observe pela figura que a resistência R2 foi curto-circuitada.





Figura 64 - Curto-circuito entre os terminais a e b.

O circuito fica reduzido a uma fonte de tensão e um resistor. Logo, a corrente IN é dada por:

mAIk

VI NN 67,6

51

10

A resistência RN é calculada da mesma forma que no teorema Thevenin, logo:

Figura 65 - Cálculo de RN.

O equivalente Norton é apresentado na figura 71.

Figura 66 - Circuito linear e seu equivalente Norton.

Exercício: Acrescente uma carga de 4k7 entre os terminas ab do circuito do equivalente Thevenin (figura 72) e calcule a corrente IL que passa pela carga. Repita o exercício para o circuito do equivalente Norton (figura 73).

Figura 73 - Equivalente Thévenin Figura 73 - Equivalente Norton

mAIkK

VI LL 45,1

6000

7,8

7431

7,8

mAI

kk

kI

RR

RI

L

NLN

NL

45,1

1067,67431

31 3





Observando os resultados do exercício acima (mesma corrente IL em ambos casos), concluímos que o circuito equivalente Thevenin (figura 72) corresponde ao circuito Norton equivalente (figura 73). Logo, uma fonte de tensão qualquer com uma resistência em série pode ser transformada em uma fonte de corrente equivalente com a mesma resistência em paralelo e vice-versa, como mostra a figura 74.

Figura 67 - Circuitos equivalentes.

Para transformar um circuito formado por uma fonte de tensão em série com uma resistência em um circuito equivalente com uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência, devemos dividir a fonte de tensão pela resistência. O inverso é conseguido multiplicando-se a fonte de corrente pela resistência, conforme mostra a figura 75.

Figura 68 - Transformação de circuitos equivalentes.

14.3 - TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA

Esse teorema trata da potência máxima que se pode obter de um circuito linear qualquer. Sabe-se que qualquer circuito pode ser representado pelo circuito equivalente de Thevenin, ou seja:





Então, pode-se determinar o valor de resistência RC que dissipará a máxima potência da seguinte maneira:

Equação 1 Equação 2 Equação 3

Considerando Vth e Rth constantes, a equação 3 resulta no gráfico da Figura abaixo.

Como se pode ver o gráfico possui um ponto de máximo e isso é coerente, pois:

Logo,

A máxima transferência de potência ocorre quando a carga tem resistência igual à resistência de Thevenin do circuito. Logo, o valor da potência máxima que pode ser dissipada pela carga será:





14.3.1 - RENDIMENTO A eficiência ou rendimento de uma máquina ou circuito é definido como:

No caso da máxima transferência de potência, tem-se o seguinte rendimento:

Portanto, o rendimento é:

Apenas 50% da potência fornecida é transferida para a carga na situação de máxima transferência de potência. Os outros 50% são dissipados na resistência de Thevenin (que pode ser a resistência interna da fonte). EXERCÍCIO PROPOSTO 1 - Reduza o circuito da Figura 6.20 a uma fonte de tensão em série com uma resistência. Qual a potência máxima que este circuito pode fornecer para uma carga R conectada entre A e B?

Solução: Os resistores de 12 Ω e 2 Ω em paralelos com a fonte de tensão são irrelevantes pois a tensão na fonte será 30V independentemente do resto do circuito. Da mesma maneira o resistor de 17Ω não faz diferença ao circuito pois a corrente que o atravessa será 4A independentemente de qualquer outro fator. Assim, o circuito acima pode ser redesenhado como mostra a Figura abaixo.





Portanto, a potência máxima que esse circuito pode fornecer é:

EXERCÍCIO PROPOSTO 2 - Calcular a carga RL que determina a máxima transferência de potência no circuito da Figura 6.22. Determine também a potência fornecida pela fonte e a dissipada na carga.

Solução: Primeiramente, obtém-se o equivalente de Thevenin entre os pontos A e B. Para o cálculo de Rth:

Para o cálculo de Vth:

O valor de resistência RL é 25 Ω e a potência fornecida e dissipada é:

EXERCÍCIO PROPOSTO 3 - A ponte de Wheastone desequilibrada tem uma resistência Rg em série com um microamperímetro. Calcule o valor da potência máxima para este circuito. Qual a leitura do microamperímetro nesse caso?





EXERCÍCIO PROPOSTO 4 - Utilize o princípio da superposição para determinar o I na rede da figura E6.1.

EXERCÍCIO PROPOSTO 5- Utilize o princípio da superposição para determinar o V na rede da figura E6.2.

EXERCÍCIO PROPOSTO 6 - Efetue uma transformação de fonte para determinar o I no circuito da figura E6.3.

14.4 - TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO

Passos (veja o circuito com duas malhas abaixo)

1) Calcule as correntes produzidas somente pela fonte de tensão V1; 2) Calcule as correntes produzidas somente pela fonte de tensão V2; 3) ) Some algebricamente as correntes individuais para determinar as correntes produzidas pelas duas

fontes V1 e V2.





Correntes:

O teorema da superposição afirma que, numa rede com duas ou mais fontes, a corrente ou a tensão para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando independentemente. A fim de se usar uma fonte de cada vez, todas as outras fontes são retiradas do circuito. Ao se retirar uma fonte de tensão, faz-se no seu lugar um curto-circuito. Quando se retira uma fonte de corrente, ela é substituída por um circuito aberto.

Figura 69 - Para eliminar o efeito causado num circuito por uma fonte de tensão, ela deve ser substituída por um curto-circuito.

Figura 70 - Para eliminar o efeito causado num circuito por uma fonte de corrente, ela deve ser substituída por um curto aberto.

Exemplo 1: No circuito da figura 78, determine a corrente e a tensão no resistor RX:

Solução: Primeiramente, eliminaremos o efeito causado pela fonte de tensão E2 por meio da sua substituição por um curto-circuito e determinaremos a tensão VX1 e a corrente IX1 em RX





4,07V 5,68100

75,6810

100220

100220100

100220

100220

10//

//1

21

211 X

X

XX V

RRR

RREV

logo:

mA IR

VI X

X

XX 70,40

100

07,41

11

Em seguida, eliminaremos o efeito causado pela fonte de tensão E1 e determinaremos a tensão VX2 e a corrente IX2 em RX, por efeito de E2.

3,70V 50220

5020

100100

100100220

100100

100100

20//

//2

12

122 X

X

XX V

RRR

RREV

mA IR

VI X

X

XX 37

100

7,32

22

Finalmente, podemos calcular a tensão VX e a corrente IX pela soma algébrica dos efeitos de E1 e E2.

VX = VX1 – VX2 = 4,07 – 3,7 VX = 0,37V

IX = IX1 – IX2 = 40,70 10-3 - 37 10-3 IX = 3,7mA

Exemplo 2: Calcule as correntes nos ramos I1, I2 e I3 do circuito da figura abaixo, através do teorema da superposição.

Solução: Primeiramente calculamos o valor da corrente I1,E1, I2,E1 e I3,E1, produzidas pela fonte somente pela fonte E1.





Para calcular as correntes, primeiramente calculamos a tensão no ponto a.

VRRR

RREVa 1

5,01

5,03

//

//

321

321

Cálculo das correntes:

AIR

VaI EE 1

1

11,3

31,3

AIR

VaI EE 1

1

11,2

21,2

Observação: O sinal negativo é usado para mostrar que I2,E1 na verdade sai do ponto a e não entra no ponto a como foi convencionado.

2A 1)1( 1,11,31,21,1 EEEE IIII

Após, eliminamos a fonte E1 e calculamos as correntes I1,E2, I2,E2 e I3,E2 produzidas somente pela fonte E2.

Figura 71 - Fonte de tensão E1 curto-circuitada.

Cálculo de Va:

VRRR

RREVa 5,1

5,01

5,05,4

//

//

312

312

Cálculo das correntes produzidas somente fonte E2:

AIR

VaI EE 5,1

1

5,12,1

12,1

AIR

VaI EE 5,1

1

5,12,3

22,3

A3 5,1)5,1( 2,22,32,12,2 EEEE IIII

Para encontrar os valores das correntes I1, I2 e I3 produzidas pelas duas fontes, devemos somar as correntes individuais.

I1 = I1,E1 + I1,E2 = 2 + (-1,5) I1 = 0,5A

I2 = I2,E1 + I2,E2 = -1 + 3 I2 = 2A

I3 = I3,E1 + I3,E2 = 1 + 1,5 I3 = 2,5A 15 - PONTE DE WHEATSTONE

15.1 – INTRODUÇÃO A Ponte de Wheatstone é um circuito muito utilizado em instrumentação eletrônica, pois por meio dela é possível medir diversas grandezas físicas como temperatura, força, pressão, etc. Para isto, basta utilizar um transdutor que converta as grandezas a serem medidas em resistência elétrica. O circuito que compõe a ponte é composto por resistores arranjados de tal forma, a obter-se em um determinado ramo uma corrente nula, ou seja, o equilíbrio da ponte. O desequilíbrio da ponte causa um fluxo de corrente e por conseqüência uma diferença de potencial que representa uma grandeza física.





O circuito básico da Ponte de Wheatstone é mostrado na figura 61. Ele é formado por dois divisores de tensão ligados em paralelo. Na ponte o interesse recai sobre a tensão VAB entre as extremidades que não estão ligadas à fonte de alimentação.

Figura 72 - Ponte de Wheatstone.

Para equacionar a Ponte, podemos dividi-la em duas partes, cada uma formando um divisor de tensão, conforme é mostrado na figura 62. As tensões VA e VB de cada ponte são dadas por:

ERR

RVA .

21

2 e ERR

RVB .

43

4

Figura 73 - Ponte de Wheaststone desmembrada.

Quando VAB = VA – VB = 0, dizemos que a ponte encontra-se em equilíbrio. Para que VAB seja nulo, é necessário que VA = VB, ou seja:

)( 21443243

4

21

2 RRRRRRERR

RE

RR

R

42414232 RRRRRRRR

Logo, a condição de equilíbrio da ponte é dada pela igualdade entre os produtos das suas resistências opostas. 15.2 - OHMÍMETRO EM PONTE

A Ponte de Wheatstone pode ser utilizada para medir, com razoável precisão, resistências elétricas desconhecidas, adotando o seguinte procedimento: 1. Liga-se um milivoltímetro de zero central entre os pontos A e B; 2. Substitui-se um dos resistores da ponte pela resistência desconhecida RX como, por exemplo, o resistor R1; 3. Substitui-se um outro resistor por uma década resistiva RD como, por exemplo, o resistor R3; 4. Ajusta-se a década resistiva até que a ponte entre em equilíbrio, isto é, até que o milivoltímetro indique

tensão zero (VAB = 0), anotando o valor de RD; 5. Calcula-se RX pela expressão de equilíbrio da ponte, ou seja:

4132. RRRR





RX R3 = R2 RD 6. Se R2 = R3, a expressão de RX se resume a: RX =RD.

Figura 74 - Medida de uma resistência desconhecida através de uma ponte.

Exercício: Na ponte de Wheatstone da figura 63, E = 10V, R2 = 10k , R4 = 20k . Qual é o valor de Rx, sabendo que

no seu equilíbrio RD = 18k ?

kRk

kk

k

RkRxRkkR X

DDX 9

20

1810

20

101020

Instrumento de Medida de uma Grandeza Qualquer Este tópico é a grande aplicação da Ponte de Wheatstone. Considere que a resistência desconhecida do exemplo anterior seja um sensor cuja resistência varie proporcionalmente a uma grandeza física qualquer, como por exemplo, um sensor de temperatura do tipo PT100 utilizado para medir a temperatura de um forno.

Por meio da ponte, podemos relacionar o desequilíbrio causado pela resistência do sensor, medir a diferença de potencial elétrico causado pelo desequilíbrio e converter este valor para uma escala de temperatura.

16 - CAPACITOR

Um dispositivo resistivo como, por exemplo, o resistor, é aquele que resiste à passagem de corrente, mantendo o seu valor ôhmico constante tanto para a corrente contínua como para a corrente alternada. Já, o dispositivo reativo, reage às variações de corrente, sendo que seu valor ôhmico muda conforme a velocidade da variação da corrente nele aplicada. Essa reação às variações de corrente é denominada reatância

capacitiva XC ( ), no caso do capacitor e reatância indutiva XL ( ), para o caso de um indutor. 16.1 - REPRESENTAÇÃO DE GRANDEZA ELÉTRICA VARIANTES NO TEMPO Uma nomenclatura geralmente utilizada em eletricidade e eletrônica, para grandezas elétricas, como por exemplo: tensão, corrente e potência, quando analisadas em corrente contínua, são representadas por letras maiúsculas, respectivamente, V, I e P. Porém, quando tais grandezas variam no tempo, suas representações são feitas com letras minúsculas, a saber: tensão = v ou v(t); corrente = i ou i(t); potência = p ou p(t). 16.2 - CAPACITOR E CONCEITO DE CAPACITÂNCIA Um dispositivo muito usado em circuitos elétricos é denominado capacitor. Este dispositivo é destinado a armazenar cargas elétricas e é constituído por dois condutores separados por um isolante: os condutores são chamados armaduras (ou placas) do capacitor e o isolante é o dielétrico do capacitor. O dielétrico pode ser um isolante qualquer como o vidro, a parafina, o papel e muitas vezes o próprio ar. O isolante dificulta a passagem das cargas de uma placa à outra, o que descarregaria o capacitor. Dessa forma, para uma mesma diferença de potencial, o capacitor pode armazenar uma quantidade maior de carga.





16.2 - CIRCUITO ELÉTRICO COM CAPACITOR Considere o circuito da figura abaixo. Quando aplicamos uma diferença de potencial entre as placas que formam um capacitor, causamos um fluxo de elétrons representado pela corrente I. A placa positiva (+) do capacitor começa a ceder elétrons para o pólo positivo da fonte, carregando-se positivamente, simultaneamente a placa negativa (-) começa a atrair elétrons do pólo negativo da fonte, carregando-se negativamente. Uma vez que existe um material isolante entre as placas, não existe fluxo de elétrons entre as placas, fazendo com que as cargas fiquem armazenadas nas placas.

A medida em que for aumentando a quantidade de cargas armazenadas nas placas, a diferença de potencial entre as placas também aumenta, fazendo com que o fluxo de elétrons diminua. Esse fluxo de elétrons diminui progressivamente até o momento em que a diferença de potencial sobre o capacitor se iguale à tensão da fonte (E = VC) fazendo com que o fluxo de elétrons cesse (I = 0).

A quantidade de cargas armazenadas entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicado nas placas. O quociente entre carga (Q) e diferença de potencial (E) é então uma constante para um determinado capacitor e recebe o nome de capacitância (C). Matematicamente a capacitância é dada por:

QC

E Q = E.C

onde, C = capacitância, Faraday [F] Q = carga elétrica, Coulumb [C] E = tensão elétrica, volt [V] 16.3 - SIMBOLOGIAS DOS CAPACITORES As simbologias mais utilizadas para representar um capacitor em circuitos elétricos são apresentadas na figura abaixo.





Na prática, encontramos diferentes tipos de capacitores, com aplicações específicas, dependendo de aspectos construtivos, tais como material utilizado como dielétrico, tipo de armadura e o tipo de encapsulamento. Dentre os vários tipos de capacitores, podemos destacar: 16.4 - TIPOS DE CAPACITORES 16.4.1 - Capacitores plásticos: (poliestireno, poliéster): são formados por um material plástico como dielétrico, recoberto por folhas de alumínio ou por uma fina camada de óxido de alumínio vaporizado sobre ambas as faces do material plástico (metalização). O conjunto é bobinado e encapsulado formando um bloco compacto.

16.4.2 - Capacitores eletrolíticos: constituem-se em uma folha de alumínio anodizada como armadura positiva, onde por um processo eletrolítico, forma-se uma camada de óxido de alumínio que serve como dielétrico, e um fluído condutor, o eletrólito que impregnado em um papel poroso, é colocado em contato com outra folha de alumínio de maneira a formar a armadura negativa. O conjunto é bobinado, sendo a folha de alumínio anodizada, ligada ao terminal positivo e a outra ligada a uma caneca tubular, encapsulamento do conjunto, e ao terminal negativo. Os capacitores eletrolíticos, por apresentarem o dielétrico como uma fina camada de óxido de alumínio e em uma das armaduras um fluido, constituem uma série de altos valores de capacitância, mas com valores limitados de tensão de isolação e terminais polarizados. De forma idêntica, encontramos os capacitores eletrolíticos de tântalo, onde o dielétrico é formado por óxido de tântalo.

16.4.3 - Capacitores cerâmicos: este tipo de capacitor apresenta como dielétrico um material cerâmico, que é revestido por uma camada de tinta, que contém elemento condutor, formando as armaduras. 16.5 - CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DE UM CAPACITOR A capacitância de um capacitor formado por placas paralelas depende da área A [m2] das placas, da distância d [m] entre as placas e do material dietétrico, que é caracterizado pela sua permissividade absoluta, representada

pela grega (epsílon), cuja unidade é o farad/metro [F/m]. Matematicamente:

d

A.c

No vácuo, o valor de é dado por o = 8,9x10-12 F/m. Para os demais materiais, essa características pode ser dada em relação à permissividade do vácuo, conforme a tabela:

Comportamento Elétrico do Capacitor

Dielétrico Permissividade - (F/m)

Ar o

Polietileno 2,3 o

Papel 3,5 o

baquelite 4,8 o mica 6 o

porcelana 6,5 o





16.6 - CARGA E DESCARGA DO CAPACITOR Considere o circuito da figura 88. Inicialmente a chave S está aberta e o capacitor descarregado. No instante t = t0 = 0, a chave S é fechada e o capacitor começa a ser carregado. A tensão sobre o capacitor cresce exponencialmente, até atingir o seu valor máximo no instante t = tc, isto é Vc = E.

O comportamento da corrente é o contrário da tensão, ou seja, inicialmente as placas estão descarregadas e o fluxo de corrente não encontra nenhuma resistência a sua passagem no instante inicial em que a chave S é fechada, i(t0) = I. A media em que o capacitor vai acumulando cargas a resistência a passagem da corrente vai aumentando e o seu valor vai decaindo exponencialmente até cessar, i(tc) = 0. O período entre o início da carga e a estabilização da tensão é chamado de transitório. O comportamento de carga de um capacitor pode ser visto na figura abaixo.

Figura 75 - Característica da tensão e corrente de carga de um capacitor.





O comportamento de um capacitor é apresentado na figura acima e pode ser resumido em:

1. No instante inicial o capacitor está totalmente descarregado e ele é visto pela fonte com um curto-circuito, ou seja, a sua reatância capacitiva é zero, XC = 0 e a corrente i(t) = I;

2. A medida em que o capacitor vai armazenando cargas, a tensão sobre ele aumenta e a sua reatância XC também cresce, fazendo com que a corrente i(t) diminua;

3. Quando o capacitor estiver totalmente carregado, a tensão sobre o capacitor se iguala a tensão da

fonte fazendo com que a reatância capacitiva seja muita alta, próxima ao infinito, XC = e a corrente i(t) = 0.

16.7 - ESPECIFICAÇÕES DOS CAPACITORES Os fabricantes de capacitores, além de seus valores nominais, fornecem várias outras especificações em seus catálogos e manuais, das quais destacamos as seguintes: 16.7.1 - TOLERÂNCIA: Dependendo da tecnologia de fabricação e do material dielétrico empregado, a tolerância dos capacitores pode

variar. Em geral, ela está entre 1% e 20%. 17.7.2 - TENSÃO DE ISOLAÇÃO: É a máxima tensão que pode ser aplicada continuamente ao capacitor. A máxima tensão de isolação está relacionada, principalmente, com o dielétrico utilizado na fabricação do capacitor. Uma tensão muito elevada pode gerar um campo elétrico entre as placas suficiente para romper o dielétrico, abrindo um caminho de baixa resistência para a corrente. Quando isso ocorre, dizemos que o capacitor possui uma resistência de fuga, podendo, inclusive, entrar em curto-circuito. 16.7.3 - VALORES COMERCIAIS DOS CAPACITORES Os valores comerciais de capacitores são diversos, porém, os mais comuns são de múltiplos e submúltiplos das décadas mostradas na tabela:

Décadas de Valores Comerciais de Capacitores

10 12 15 18 22 27 33 47 56 68 75 82 91

16.7.4 - CÓDIGOS DE ESPECIFICAÇÕES DE CAPACITORES Em geral, os capacitores não trazem as suas especificações no próprio encapsulamento. Por isso, existem três códigos para expressá-las: o código alfabético (tolerância) é usado em diversos tipos de capacitores, o código de cores (capacitância nominal, tolerância e tensão de isolação) é usado principalmente nos capacitores de poliéster





metalizado e o código numérico (capacitância nominal e tensão de isolação) é usado principalmente nos capacitores cerâmicos.

Código Alfabético para Tolerância de Capacitores

C D F G J K M

0,25pF 0,5pF 0,25%

1pF 2% 5% 10% 20%

Código de Cores Código Alfanumérico

Cores 1ª

Dígito 2ª

Dígito Múltiplo Tolerância Tensão

Nº(x)

Múltiplo

Tensão Tolerância

Preto 0 20% 0 C 0,25pF

Marrom 1 1 x 10 pF 100 a 250

V 1 x 10 pF 100 V D 0,25pF

Vermelho

2 2 x 102 pF 200 a 250

V 2 x 102 pF 25 V E 1pF

Laranja 3 3 x 103 pF 300 a 350

V 3 x 103 pF F 1%

Amarelo 4 4 x 104 pF 400 a 450

V 4 x 104 pF G 2%

Verde 5 5 x 105 pF 500 a 550

V 5 x 105 pF 50V J 5%

Azul 6 6 600 a 650

V 6 x 106 pF K 10%

Violeta 7 7 7 x 107 pF L 20%

Cinza 8 8 x 10-2 pF 8 x 10-2

pF

Branco 9 9 x 10-1 pF 10% 9 x 10-1

pF





16.7.5 - LEITURA DE CAPACITORES ELETROLÍTICOS. Este tipo é fácil de identificar o valor, pois ele já vem indicando direto no corpo em µF, assim como sua tensão de trabalho em Volts. Às vezes pode vir no corpo dele dois números separados por uma barra. O primeiro é a capacitância e o segundo é a tensão. Abaixo na figura um exemplo.

16.7.6 - LEITURA DE CAPACITORES DE POLIÉSTER. Os capacitores comuns ( poliéster, cerâmicos, styroflex, etc...) normalmente usam uma regra para indicação de seu valor, conforme o exemplo abaixo. Compares o exemplo com as figuras logo abaixo;

16.7.7 - Leitura dos capacitores de cerâmica. Alguns têm três números no corpo, sendo que o último é a quantidade de zeros a se juntar aos dois primeiros. Quando o 3º número for o “9”, ele significa vírgula.

Exercícios:

1) Vamos ler os capacitores de poliester;

2) Capacitores cerâmicos





16.8 - Como testa os capacitores com o multímetro

16.8.1 - CAPACITORES ELETROLÍTICOS Começar com a menor escala (X1) e medir nos dois sentidos. Aumente a escala até achar uma que o ponteiro deflexiona e volta. Quanto maior o capacitor, menor é a escala necessária. Este teste é apenas da carga e descarga do capacitor. Veja o procedimento abaixo.

16.8.2 - Capacitor comum

Em X10K, medir nos dois sentidos. No máximo o ponteiro dará um pequeno pulso se o capacitor tiver valor médio. Se tiver valor baixo o ponteiro não moverá. O melhor método de testar capacitor é medi-lo com o capacímetro ou trocá-lo.

16.9 - COMO TESTAR CAPACITORES COM O CAPACÍMETRO

Descarregue o capacitor, tocando um terminal no outro, escolha uma escala mais próxima acima do seu valor ( independente dele ser comum ou eletrolítico) e coloque nos terminais do capacímetro (ou nas ponteiras do mesmo se ele tiver). A leitura deverá ser próxima do valor indicado no corpo. se a leitura for menor, o capacitor deve ser colocado. Veja este teste abaixo.





No caso do capacitor eletrolítico, podemos colocá-lo no capacímetro em qualquer posição, conforme a figura acima. Exercício Indique qual a condição do capacitor na realização dos testes abaixo.

a)

b)

c)

d)

16.10 - CAPACITORES VARIÁVEIS São formados por placas metálicas móveis que se encaixam em placas ficas quando giramos um eixo. Desta forma ele muda a sua capacitância. Alguns tipos têm apenas uma fenda para ajuste com chave. São chamados de timmers. Abaixo vemos estes componentes.





Os variáveis são usados nos rádios para sintonizar as estações. Os trimmers têm como função a calibração do rádio para receber as estações na posição correta e com volume alto. A maioria dos rádios usa variável quádruplo. Dois para AM (oscilador e sintonia) e dois para FM. Cada um tem um trimmer de calibração. 16.11 - ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES

Da mesma forma que os resistores, os capacitores podem ser associados em série, em paralelo ou de modo misto para formarem valores diferentes daqueles valores encontrados comercialmente. 16.10.1 - ASSOCIAÇÃO SÉRIE: Nesta associação, figura 91, os capacitores estão ligados de forma que a tensão total E aplicada aos capacitores se subdivida entre eles de forma inversamente proporcional aos seus valores, e a carga Q armazenada em cada em deles seja a mesma.

Figura 76 - Associação série de capacitores.Podemos encontrar a expressão para o valor da capacitância equivalente em uma associação série aplicando a Lei de Kirchhoff para as Tensões. A lei diz que a soma das tensões nos capacitores é igual à tensão total E aplicada, portanto:

E = VC1 + VC2 + + VCn.

Como i

iC

QV , tem-se:

nn CCCQ

E

C

Q

C

Q

C

QE

111

2121

O termo E/Q corresponde ao inverso da capacitância equivalente vista pela fonte de alimentação. Assim:

neq CCCC

1111

21

Isso significa que, se todos os capacitores dessa associação forem substituídos por uma única capacitância de valor Ceq, a fonte de alimentação E fornecerá a mesma carga Q ao circuito.





No caso de n capacitores iguais a C ligados em série, tem-se: n

CCeq

Para dois capacitores em série, tem-se: 21

21

CC

CCCeq

16.10.2 - ASSOCIAÇÃO PARALELA: Neste tipo de associação, todos os capacitores estão submetidos à mesma tensão E, e a carga total do circuito se subdivide entre os capacitores proporcionalmente aos seus valores.

Figura 77 - Associação paralela de capacitores.

Podemos encontrar a expressão para o valor da capacitância equivalente em uma associação paralela aplicando a Lei de Kirchhoff para as Correntes. A lei diz que a soma das correntes que entram em um nó deve ser igual a soma das correntes que saem desse nó, portanto:

i = iC1 + iC2 + + iCn

Como t

Qi nn , tem-se: n

n QQQQt

Q

t

Q

t

Q

t

Q 21

21

Como ECQE

QC nn

nn , tem-se:

nnn CCCE

QCCCEQECECECQ 212121 )(

O resultado Q/E corresponde à capacitância equivalente Ceq da associação paralela, isto é, a capacitância que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga. Assim:

Ceq = C1 + C2 + + Cn Isso significa que, se todos os capacitores dessa associação forem substituídos por uma única capacitância de valor Ceq, a fonte de alimentação E fornecerá a mesma carga Q ao circuito.

No caso de n capacitores iguais a C ligados em paralelo, tem-se: Ceq = n C 17 - CIRCUITOS RC

A seguir, vamos estudar o comportamento do capacitor em regime DC, na situação de carga e descarga. Como vimos anteriormente, um capacitor ligado em paralelo com uma fonte de tensão necessita de um tempo para que seja carregado completamente. Podemos retardar esse tempo de carga inserindo um resistor em série com o capacitor. Este resistor serve para limitar a corrente que circula pelo circuito, fazendo com que a tensão no capacitor cresça mais lentamente.

Figura 78 - Comportamento de um circuito RC série.





Vamos analisar dimensionalmente o produto entre resistência e capacitância [R C], considerando as seguintes unidades de medida das grandezas envolvidas:

[R] = (ohm) = V/A (volt/ampère)

[C] = F (farad) = C/V (coulomb/volt)

[I] = A (ampère) = C/s (coulomb/segundo)

segundosCR C

sC

s

C1

C

A

C

V

C

A

VF]CR[

Portanto, o produto R C resulta na grandeza tempo [segundo]. Esse produto é denominado constante de tempo,

representado pela letra grega (tau). Matematicamente: 18 - ELETROMAGNETISMO

A denominação "eletromagnetismo" se aplica a todo o fenômeno magnético que tenha origem em uma corrente elétrica.

18.1 - CAMPO MAGNÉTICO EM UM CONDUTOR

Quando um condutor é percorrido por uma corrente elétrica ocorre uma orientação no movimento das partículas no seu interior. Esta orientação do movimento das partículas tem um efeito semelhante a orientação dos ímãs moleculares. Como conseqüência desta orientação se verifica o surgimento de um campo magnético ao redor do condutor na Fig. 17.

= R C

ELETROMAGNETISMO Fenômeno magnético provocado pela circulação de uma corrente elétrica.





As linhas de força deste campo magnético, criado pela corrente elétrica que passa por um condutor, são circunferências concêntricas num plano perpendicular ao condutor na Fig. 18. O sentido de deslocamento das linhas de força é dado pela regra da mão direita, para o sentido convencional da corrente elétrica.

18.2 - REGRA DA MÃO DIREITA

"Envolvendo o condutor com os quatro dedos da mão direita de forma que o dedo polegar indique o sentido da corrente (convencional) o sentido das linhas de força será o mesmo dos dedos que envolvem o condutor na Fig. 19". Pode-se também utilizar a "regra do saca-rolha" como forma de definir o sentido das linhas de força.

18.3 - REGRA DO SACA-ROLHA

O sentido das linhas de força é dado pelo movimento do cabo de um saca-rolha, cuja ponta avança no condutor no mesmo sentido da corrente (convencional) na Fig. 20.

A circulação de corrente elétrica em um condutor dá origem a um campo magnético ao seu redor





A intensidade do campo magnético ao redor depende da intensidade da corrente que flui no condutor na Fig. 21 e 22.

18.4 - CAMPO MAGNÉTICO EM UMA BOBINA

Para obter campos magnéticos de maior intensidade a partir da corrente elétrica, usa-se enrolar o condutor em forma de espiras, constituindo uma bobina. A Fig. 23 mostra uma bobina e a Fig. 24 mostra o eu símbolo. As bobinas permitem uma soma dos efeitos magnéticos gerados em cada uma das "espiras".

A intensidade do campo magnético ao redor de um condutor é diretamente proporcional a corrente que circula neste condutor.

Enrolando um condutor em forma de espiras constitui-se uma bobina, que permite a soma dos efeitos magnéticos no condutor





A Fig. 25 mostra uma bobina construída por varias espiras, ilustrando o efeito resultante da soma dos efeitos individuais.

Os pólos magnéticos formados pelo campo magnético tem características semelhantes aos pólos de um ímã natural. A intensidade do campo magnético em uma bobina depende diretamente da intensidade da corrente e do número de espiras mostrado na Fig. 26.

Maior corrente

Maior intensidade do campo magnético Maior número de espiras

18.5 - BOBINAS COM NÚCLEO

O núcleo é a parte central das bobinas. Quando nenhum material é colocado no interior da bobina, diz-se que o núcleo é de ar na Fig. 27.

Nas bobinas





Para obter uma maior intensidade de campo magnético a partir de uma mesma bobina pode-se utilizar o recurso de colocar um material ferroso (ferro, aço...) no interior da bobina. Neste caso o conjunto bobina-núcleo de ferro recebe a denominação de ELETROÍMÃ na Fig. 28.

A maior intensidade do campo magnético nos eletroímãs se deve ao fato de que os materiais ferrosos provocam uma concentração das linhas de força na Fig. 29.

Quando uma bobina tem um núcleo de material ferroso seu símbolo expressa esta condição na Fig. 30 e 31.

A capacidade de um material de concentrar as linhas de força é denominada de PERMEABILIDADE MAGNÉTICA. A permeabilidade magnética é representada pela letra grega µ(mi). De acordo com a permeabilidade magnética os materiais podem ser classificados como:

A colocação de um núcleo de material ferroso no interior de uma bobina provoca uma intensificação no seu campo magnético.





18.6 - TIPO DE MATERIAL VERSUS O CAMPO MAGNÉTICO 18.6.1 - DIAMAGNÉTICOS: Permeabilidade pequena (menor que 1) e negativa. Os materiais diamagnéticos promovem uma dispersão do campo magnético na Fig. 32. São exemplos de materiais diamagnéticos: cobre, ouro. 18.6.2 - PARAMAGNÉTICOS: Permeabilidade em torno da unidade. São materiais que praticamente não alteram o campo magnético (não dispersam nem concentram as linhas de força) mostrado na Fig. 33.

São exemplos de materiais paramagnéticos: o ar, o alumínio 18.6.3 - FERROMAGNÉTICOS: São materiais com alta permeabilidade. Se caracterizam por promover uma concentração das linhas magnéticas na Fig. 34.





Os materiais ferromagnéticos são atraídos pelos campos magnéticos.

18.7 - MAGNETISMO REMANESCENTE

Quando se coloca um núcleo de ferro em uma bobina, na qual circula uma corrente elétrica, o núcleo se torna imantado, porque as suas moléculas se orientam conforme as linhas de força criadas pela bobina na Fig. 35 e 36.

Cessada a passagem da corrente, alguns ímãs moleculares permanecem na posição de orientação anterior, fazendo com que o núcleo permaneça ligeiramente imantado na Fig. 37. Esta pequena imantação é denominada de MAGNETISMO REMANECENTE OU RESIDUAL. O magnetismo residual é importantíssimo, principalmente para os geradores de energia elétrica. Este tipo de ímã é denominado de ímã temporário. 19 - INDUTOR

Um fio condutor ao ser percorrido por uma corrente elétrica, cria ao redor de si um campo magnético. Para potencializar o efeito do campo, o fio condutor é enrolado, em formas de espiras, ao redor de um núcleo, constituindo o componente chamado de indutor. 19.1 - LEI DE LENZ : A corrente elétrica induzida tem um sentido tal que cria um outro campo magnético que se opõe à variação do campo magnético que a produziu. A indutância [L] é o parâmetro que relaciona esse efeito do campo magnético com a corrente que a produziu e sua unidade é o Henry [H].





Figura 79 - Indutor.

Os núcleos de um indutor são compostos, geralmente, por ar, ferro, ferrite, etc. No interior desses núcleos, as linhas de campo de somam, criando uma concentração do fluxo magnético. Os núcleos de ferro e ferrite têm como objetivo reduzir a dispersão das linhas de campo, pois esses materiais apresentam baixa resistência à passagem do fluxo magnético. Pelo sentido das linhas de campo, o indutor fica polarizado magneticamente, isto é, cria um pólo norte por onde sai o fluxo magnético e um pólo sul por onde entra o fluxo magnético, comportando-se como um imã artificial, denominado eletroimã. 19.2 - Indutor em Regime DC O comportamento do indutor em regime DC pode ser explicado utilizando-se a figura 104. Ao aplicarmos a um indutor uma tensão contínua, este armazenará energia magnética, pois a corrente criará um campo magnético no indutor.

Figura 80 - Comportamento do indutor em regime DC.

Estando o indutor inicialmente desenergizado, em t = 0 fechamos a chave S do circuito. A corrente inicial é nula, pois o indutor se opõe às variações bruscas de corrente. Essa oposição se deve porque a corrente ao passar por uma espira cria um campo magnético ao seu redor. As linhas de campo criadas por essa corrente, cortam as espiras seguintes, induzindo uma outra corrente que, segundo a Lei de Lenz, irá se opor à causa que a originou. Após essa oposição inicial, a corrente aumenta gradativamente obedecendo a uma função exponencial, até atingir o valor máximo. O tempo que a corrente leva para atingir o valor máximo é denominado transitório conforme mostra o gráfico da figura 105.

Figura 81 - Característica da corrente de energização de um indutor.





A oposição às variações de corrente no indutor é denominada reatância indutiva XL [ ], que em corrente contínua, apresenta as seguintes características:

1. Quando o indutor está totalmente desenergizado, a corrente i(t) é igual a zero, isto é, a fonte

o “enxerga” como um circuito aberto (XL = ). 2. Quando o indutor está totalmente energizado, a corrente atinge o seu valor máximo I,

estabilizando-se. Assim, não havendo mais variação nessa corrente, deixa de existir a corrente induzida, de forma que a fonte “enxerga” o indutor como uma resistência muito baixa (apenas a resistência do fio), como se fosse um curto-circuito (XL = 0).

Comercialmente existem diversos tipos de indutores fixos e variáveis. Os fabricantes fornecem, entre outros

parâmetros, valores nominais, a tolerância que pode variar ente 1% e 20% e a sua resistência ôhmica do enrolamento do indutor. Os indutores variáveis são, geralmente, formados por um núcleo móvel, cuja posição pode ser ajustada externamente através de um sistema de rosca. Quanto mais o núcleo penetra no indutor, maior é a sua indutância.

19.4 - ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES

19.4.1 - ASSOCIAÇÃO SÉRIE: Nesta associação, os indutores estão ligados de forma que a corrente seja a mesma em todos eles, sendo a indutância equivalente dada pela soma das indutâncias:

neq LLLL 21

19.4.2 - ASSOCIAÇÃO PARALELA: Nesta associação, os indutores estão ligados de forma que a tensão seja a mesma em todos eles, sendo que o inverso da indutância equivalente dada pela soma dos inversos das indutâncias:

neq LLLL

1111

21

19.5 - CIRCUITO RL

A seguir, vamos estudar o comportamento do indutor em regime DC, na situação de carga e descarga. Exatamente como vimos no caso de um capacitor, podemos retardar o tempo de carga e descarga do indutor inserindo um resistor em série com o mesmo.

Figura 82 - (a) Circuito de carga e descarga de um indutor. (b) Carga do indutor. (c) Descarga do indutor.





19.5.1 - SITUAÇÃO DE CARGA: considere o circuito RL série mostrado na figura 106a com o indutor completamente desenergizado. Nos instante t = 0s a chave S é colocada na posição 1, e a corrente começa a crescer exponencialmente até o valor máximo I, conforme mostra a figura 105. A partir da curva característica mostrada na figura 105, podemos equacionar a corrente em função do tempo e dos componentes do circuito. ATENÇÃO! Quando a chave S da figura 107 está aberta, esta chave representa uma resistência infinita para o circuito, de

forma que a sua constante de tempo deste circuito muda de L/R para L/ , isto é, é praticamente zero. Como

no exato momento da abertura da chave a corrente no indutor é máxima, e sendo a constante de tempo = 0,

pela Lei de Lenz, a tensão induzida e’ tende a ser um valor elevado para se opor à queda da corrente num

intervalo de tempo pequeno. Portanto, ao abrir a chave de um circuito indutivo, poderá surgir uma tensão

induzida e’ tão elevada (da ordem de milhares de volts) que seria suficiente para produzir um arco-voltaico entre

os terminais da chave, podendo até mesmo causar a morte do seu operador. É por isso, que os sistemas elétricos

altamente indutivos possuem circuitos de proteção que entram em ação durante o seu desligamento.

Figura 107 - Arco-voltáico.

Tabela 4 - Comparação entre o comportamento do capacitor e o indutor.

Comportamento Capacitor Indutor

Energia Armazena energia eletrostática (campo elétrico)

Armazena energia magnética (campo magnético)

Atraso Provoca atraso na tensão Provoca atraso na corrente

Reatância Baixa reatância para variações bruscas de tensão ou de corrente

Alta reatância para variações bruscas de tensão ou de corrente

Constante de tempo Ampla faixa de valores Baixos valores

Associação série n21eq C

1

C

1

C

1

C

1

N21eq LLLL

Associação paralela N21eq CCCC n21eq L

1

L

1

L

1

L

1





20 - TRANSFORMADORES

20.1 – INTRODUÇÃO O transformador é constituído basicamente por duas bobinas isoladas eletricamente e enroladas em torno de um núcleo comum. Para se transferir a energia elétrica de uma bobina para a outra usa-se o acoplamento magnético que converte a energia elétrica da primeira bobina e magnéticas e a seguir converte essa energia magnética em energia elétrica na segunda bobina. A figura 168 mostra o esquema básico de um transformador.

Figura 83 - Transformador.

O enrolamento onde é aplicada a tensão a ser convertida (Vp) é chamado de enrolamento primário e o enrolamento onde é retirada a tensão (Vs) é chamado de enrolamento secundário. A tensão nas bobinas de um transformador é diretamente proporcional ao número de espiras das bobinas, matemática:

S

P

S

P

N

N

V

V

onde, VP = tensão na bobina do primária, [V] VS = tensão na bobina do secundário, [V] NP = número de espiras da bobina do primário NS = número de espiras da bobina do secundário Quando a tensão do secundário é maior do que a tensão do primário, o transformador é chamado de transformador elevador e quando a tensão no secundário for menor do que a tensão no primário, o transformador é chamado de transformador abaixador. Exemplo: Um transformador com núcleo de ferro funcionando numa linha de 120V possui 500 espiras no primário e 100 espiras no secundário. Calcule a tensão no secundário.

V24V 500

100120V

N

NVV

N

N

V

VSS

P

SPS

S

P

S

P





Em um transformador ideal a potência obtida no secundário é igual à potência aplicada ao primário, não existindo perdas. Efetuando-se essa igualdade, temos:

PP = PS ou VP IP = VS IS P

S

S

P

I

I

V

V

onde, PP = potência do primário PS = potência do secundário IP = corrente do primário IS = corrente que circula no secundário quando for ligada uma carga Igualando-se as equações da relação de corrente com a do número de espiras, podemos escrever:

P

S

S

P

S

P

I

I

N

N

V

V

Em um transformador real a potência obtida no secundário é menor que a potência aplicada ao primário, existindo perdas, logo: PP = PS + Pd onde: Pd = potência perdida As principais perdas num transformador ocorrem nos enrolamentos e no núcleo. Nos enrolamentos, devido à resistência ôhmica do fio, parte da energia é convertida em calor por Efeito Joule, causando perdas denominadas perdas no cobre. 20.1 - AS PERDAS NO NÚCLEO TÊM ORIGEM EM DOIS FATORES: perdas por histerese e perdas por corrente parasitas. A perda por histerese se refere à energia perdida pela inversão do campo magnético no núcleo à medida que a corrente alternada de magnetização aumenta e diminui mudando de sentido.

Figura 84 - Curva de histerese.





A figura 169 mostra como o magnetismo no núcleo muda quando a corrente alternada flui no enrolamento primário. Esta figura mostra que, quando o primeiro meio ciclo de corrente atingir seu valor máximo, o magnetismo atingirá também seu valor máximo. Quando o primeiro ciclo é completado o valor da corrente cai novamente a zero, porém o valor do magnetismo não cai a zero. A quantidade de magnetismo que permanece no ferro é marcada na curva da figura 169, com a letra a. O magnetismo remanescente é chamado remanência. A figura mostra que a corrente na bobina primária deve fluir na direção inversa para reduzir o fluxo magnético à zero. Isso significa que parte da onda é utilizada para desmagnetizar o ferro. Esta corrente provoca uma força magnetizante marcada com a letra b na figura. A força magnetizante necessária para remover o magnetismo é chamada força coersiva. A figura mostra que o fluxo atinge o valor máximo quando a corrente está no máximo e a figura mostra a curva característica para vários ciclos de uma entrada com corrente alternada. Quanto maior os valores de a e b, maiores serão as perdas por histerese. A curva da figura é chamada curva de histerese. Essa curva é característica para cada tipo de material. O ideal em núcleos de transformadores é o uso de materiais que apresentem baixas perdas por histerese. A perda por correntes parasitas ou correntes de Foucault resulta das correntes induzidas que circulam no material do núcleo. Para minimizar as perdas pelas correntes parasitas, o núcleo é constituído por chapas laminadas de aço-silício, isoladas por um verniz e solidamente agrupadas. Também podem ocorrer pela dispersão de fluxo magnético. Para reduzir este tipo de perdas, todo o conjunto tem um formato apropriado, onde os enrolamentos primário e secundário são, através de um carretel, colocados na parte central, concentrando dessa maneira as linhas de campo magnético. A figura 170 mostra um transformador com as suas características construtivas.

Figura 85 - (a) Aspectos construtivos de um transformador. (b) Transformador.

O rendimento do transformador pode ser calculado através da expressão matemática:

núcleo no perda cobre no perda saída de potência

saída de potência

entrada de potência

saída de potência

P

S

P

P

ou, em porcentagem:





100PP

%SP

Encontramos diversos tipos de transformadores, que de acordo com a aplicação a qual se destinam, possuem aspectos construtivos apropriados. Como, por exemplo, temos o transformador de alta tensão muito utilizado em televisores conhecido como Fly-back, cujo núcleo, de ferrite, e os enrolamentos, possuem características apropriadas para trabalhar como elevador de tensão em freqüências altas. Uma outra característica importante é a do tipo de enrolamento, que pode ser: simples, múltiplo ou com derivação. A figura 171 ilustra alguns tipos de enrolamentos.

Figura 86 - Tipos de enrolamentos.

20.2 - O AUTOTRANSFORMADOR Constitui um tipo especial de transformador de potência. Ele é formado por um único enrolamento, como mostra a figura 172. Ao longo do comprimento deste enrolamento é colocada uma terminação de onde sai um fio que forma um outro terminal. A simplicidade do autotransformador o torna mais econômico e de dimensões mais compactas. Entretanto, ele não fornece isolação elétrica entre os circuitos do primário e do secundário.

Figura 87 - Autotransformador.

O símbolo utilizado para transformador não dá indicação sobre a fase da tensão através do secundário, uma vez que a fase dessa tensão na verdade depende do sentido dos enrolamentos em volta do núcleo. Para resolver este





problema são usados pontos de polaridade para indicar a fase dos sinais do primário e do secundário. As tensões estão ou em fase (figura 173a) ou 180º fora de fase com relação à tensão do primário (figura 173b).

Figura 88 - Notação da polaridade das bobinas dos transformadores.

21 - PRINCÍPIOS DA CORRENTE ALTERNADA

21.1 – INTRODUÇÃO Vimos que a tensão (VDC) é aquela que não muda sua polaridade com o tempo. Essa tensão pode ser contínua constante ou contínua variável. Uma tensão continua constante é aquela que mantém o seu valor em função do tempo, enquanto a tensão contínua variável varia seu valor, mas sem mudar a sua polaridade. Nas figuras abaixo são mostradas, como exemplos, as características de uma tensão contínua constante e tensões contínuas variáveis.

Figura 89 - Tensão contínua constante.

Figura 90 - Tensão contínua variável.



A tensão contínua variável pode ser repetitiva ou periódica, ou seja, repetir um ciclo com as mesmas características em cada intervalo de tempo. Para toda função periódica em um intervalo de tempo, é definido





período (T) como sendo o tempo de duração de um ciclo completo, e freqüência (f) como sendo o número de ciclos em um intervalo de tempo igual a 1 segundo. A unidade do período é dada em segundos [s] e a de freqüência em Hertz [Hz]. Como temos 1 ciclo completo da função em um tempo igual a 1 período e f ciclos em 1 segundo, podemos estabelecer uma regra de três e obter a relação:

1 T

f 1

f

1 Tou

T

1f

21.2 - Freqüência

A freqüência é o numero de ciclos de uma corrente alternada que ocorrem em 1 segundo. É indicada pela letra f e sua unidade é o Hertz (Hz).

São muito utilizados os múltiplos da unidade de freqüência:

Quilohertz KHz 100Hz ou 103 Hz

Megahertz MHz 1000000 ou 106

Nas figuras abaixo mostram gráficos de correntes alternadas com as respectivas freqüências.

Para uma tensão com características periódicas existe a necessidade de estabelecer um valor que indique a componente DC da forma da onda. Esse valor é denominado valor DC ou valor médio e representa a relação entre a área resultante da figura, em um intervalo de tempo igual a um período e o próprio período. O valor DC é medido por um voltímetro nas escalas VDC.

Freqüência Número de ciclos completos realizados em 1 segundo





21.3 - GERAÇÃO DA CORRENTE ALTERNADA

A tensão alternada (VCA) é aquela que muda de polaridade periodicamente com o tempo. Uma tensão VCA pode ser produzida por um gerador, chamado de alternador. No gerador, simplificado, que aparece na figura 118, a espira condutora gira através do campo magnético e intercepta linhas de força para gerar uma tensão VCA induzida através dos seus terminais. Uma rotação completa da espira é chamada de ciclo.

Figura 93 - Uma espira girando num campo magnético produz uma tensão CA.

Analise a posição da espira em cada quarto de volta durante um ciclo completo, figura 119. Na posição A, a espira gira paralelamente ao fluxo magnético e conseqüentemente não intercepta nenhuma linha de força. A tensão induzida é igual a zero. Na posição B, a espira intercepta o campo num ângulo de 90º, produzindo uma tensão máxima. Quando ela atinge C, o condutor está se deslocando novamente paralelamente ao campo e novamente não intercepta o fluxo. Em D, a espira intercepta o fluxo novamente gerando uma tensão máxima, mas aqui o fluxo é interceptado no sentido oposto (da esquerda para direita) ao de B (da direita para a esquerda). Assim, a polaridade em D é negativa. A espira gira mais um quarto de volta e retornando à posição A, ponto de partida do ciclo. O ciclo de valores de tensão se repete nas posições A’B’C’D’A’’ à medida que a espira continua a girar. Um ciclo inclui as variações entre dois pontos sucessivos que apresentam o mesmo valor e variam no mesmo sentido. Por exemplo, 1 ciclo pode ser evidenciado também entre os pontos B e B’ da figura 119.

Figura 94 - Dois ciclos de tensão alternada gerados pela rotação de um espira.





21.4 - MEDIÇÃO ANGULAR Pelo fato de os ciclos de tensão corresponderem à rotação da espira em torno de um circulo, os trechos desse

círculo são expressos em ângulos. Um círculo completo tem 360º ou o equivalente em radianos a 2 rad. Matematicamente:

π

180º1rad

2π

360º1rad rad 2π360º

21.4.1 - ONDA CO-SENOIDAL A tensão alternada que nos é fornecida, através da rede elétrica, é por questões de geração e distribuição senoidal (co-senoidal), ou seja, obedece a uma função do tipo:

v(t) = vp cos( t + ) onde: v(t) é o valor instantâneo da tensão. vp é o máximo valor que a tensão pode atingir, também denominada de amplitude ou tensão de pico.

é a velocidade angular (T

2πω ou f2 ).

t é um instante qualquer.

é o ângulo de defasagem inicial.

A unidade de tensão é expressa em volts [V], a da velocidade angular em radianos por segundo [rad/s], a de tempo em segundos [s] e a de ângulo de defasagem em radianos [rad]. Para exemplificar, a figura 120 mostra uma tensão; alternada co-senoidal cuja função é:

v(t) = 20 cos(500 t - 3 /4)

Nota-se, através da função, que a tensão de pico (vp) é igual a 20V, a velocidade angular ( ) é 500 rad/s e o

ângulo de defasagem inicial é -3 /4 rad ou 135º. O período dessa função é igual a 4ms e a freqüência igual a 250Hz. Além do valor de pico (vp), temos o valor pico-a-pico (vpp) que é igual à variação máxima entre o ciclo positivo e o ciclo negativo, e o valor eficaz (vef) ou RMS (vRMS), que corresponde ao valor de uma tensão alternada que, se fosse aplicada a uma resistência, dissiparia uma potência média, em watts, de mesmo valor numérico de uma tensão contínua aplicada à mesma resistência. Para a tensão alternada co-senoidal, o valor eficaz é calculado através da expressão matemática:

2

vv

p

ef

No gráfico da figura 120, temos que:

14,14V2

20v e 40V v 20V,v efppp

O valor eficaz de um sinal alternado é, em termos de amplitude, o mais importante do ponto de vista prático, pois a tensão e a corrente eficazes podem ser medidas diretamente, respectivamente, pelos voltímetros e amperímetros CA.





Figura 95 - Tensão alternada co-senoidal.

21.5 – FASORES Na comparação de ângulos de fase ou simplesmente fases de correntes e tensões alternadas, é conveniente a

utilização de diagrama de fasores correspondentes às formas de onda da tensão e da corrente. Um fasor é um

segmento linear orientado que gira no sentido anti-horário com velocidade angular constante (rad/s) e que

produz uma projeção horizontal que é uma função co-seno, como mostra a figura 121. Os termos fasor e vetor

são utilizados para representar quantidades que possuem um sentido. Entretanto, o fasor varia com o tempo,

enquanto o vetor tem um sentido no espaço. O comprimento da seta que representa o fasor num diagrama indica

o módulo da tensão alternada (amplitude da curva co-seno), e o ângulo entre as duas posições do fasor é a

diferença de fase entre as duas curvas co-seno. Os fasores são definidos a partir da função co-seno.





Figura 96 - Representação por fasor.

Quando se deseja representar sinais por meio de fasores, primeiramente escolhe-se uma forma de onda como referência e então comparasse as demais ondas através do ângulo entre as setas que representam os fasores. No exemplo da figura 122 o fasor VA representa a onda de tensão A com um ângulo de fase de 0º, figura 122a. O fasor VB é vertical para mostrar o ângulo de fase de 90º com relação ao fasor VA, que serve como referência. Como os ângulos de avanço de fase então representados no sentido anti-horário a partir do fasor de referência, VB está adiantado de VA de 90º conforme mostra a figura 122a . Geralmente, o fasor de referência é horizontal, correspondendo a 0º. Porém, nada impede que possamos utilizar outra referência. Se VB fosse representado como a referência, conforme mostra a figura 122b, VA teria que estar a 90º horários, a fim de ter o mesmo ângulo de fase. Neste caso, VA está atrasada com relação à VB de 90º. Não há nenhuma diferença fundamental no fato de VB estar adiantada de VA de 90º ou de VA estar atrás de VB de 90º.

Figura 97 - (a) VB está adiante de VA de 90º (b) VA está atrasado com relação a VB de 90º.





Quando duas ondas então em fase, o ângulo de fase é zero. As amplitudes se somam. Quando as duas ondas estão exatamente fora de fase (ou oposição de fase) o ângulo de fase é de 180º. Suas amplitudes são opostas e a resultante é a diferença entre os seus módulos. Para valores iguais as fases se cancelam. Quando o eixo horizontal é identificado como o eixo real do plano complexo os fasores tornam-se números complexos.

21.5.1 - RELAÇÕES DE FASE Um sinal senoidal (tensão ou corrente) não precisa ter, necessariamente, amplitude máxima no instante t = 0s.

Isso significa que ele pode iniciar o seu ciclo adiantado ou atrasado de um intervalo de tempo t ou de uma fase

inicial .

Se o sinal está adiantado, a fase inicial é positiva na expressão do valor instantâneo e no respectivo diagrama fasorial, conforme mostra a figura 123.

Figura 98 - Sinal co-senoidal adiantado e sua representação fasorial.

Se o sinal está atrasado, a fase inicial é negativa na expressão do valor instantâneo e no respectivo diagrama fasorial, conforme mostra a figura 124.

Figura 99 - Sinal co-senoidal atrasado e sua representação fasorial.

O ângulo de fase entre duas formas de onda de mesma freqüência é a diferença angular num dado instante. Por exemplo, o ângulo de fase entre as ondas B e A da figura 125 é de 90º. O eixo horizontal da figura 125 que mostra as formas de onda, representa as unidades de tempo em ângulos. A onda B começa com seu valor máximo e cai para zero em 90º, enquanto a onda A começa em zero e cresce até o seu valor máximo em 90º. A onda B atinge o seu valor máximo 90º na frente da onda A; logo, a onda B está adiantada relativamente à onda A de 90º. Este ângulo de fase de 90º entre as ondas B e A é mantido durante o ciclo completo e todos os ciclos sucessivos. Em qualquer instante, a onda B passa pelo valor que a onda A terá 90º mais tarde. As duas formas de onda são chamadas de senóides.





Figura 100 - A onda B está adiantada da onda A de um ângulo de fase de 90 .

21.5.2 - REPRESENTAÇÃO TEMPORAL, FASORIAL E COMPLEXA DO SINAL CA. Um sinal alternado co-senoidal pode ser convertido diretamente nas representações fasorial e complexa equivalentes. Mas, se a sua expressão for um seno, ela deve ser modificada para co-seno por meio da identidade

trigonométrica sen = cos ( - 90º) antes de efetivar as conversões.

Figura 101 - Representação temporal.

Figura 102 - Representação fasorial.

Figura 103 - Representação complexa.

Observe que nos modos de representação instantânea e fasorial, tanto analítica quanto gráfica, aparecem pelo menos três parâmetros básicos: uma amplitude, uma freqüência e a fase, com os quais podem ser determinados todos os demais parâmetros. Já, na representação complexa, a freqüência deve ser fornecida à parte para completar esse conjunto de parâmetros básicos. 21.5.3 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE SINAIS CA Considere os sinais de mesma freqüência:

[V]45º100V 45ºθ 100V;V π/4)[V]cos(377t141(t)v 1111

[V]º6070V º60θ 0V;7V π/3)[V]cos(377t99(t)v 2122





21.5.4 - RESOLUÇÃO TEMPORAL: Para realizar graficamente as operações adição e subtração, é necessário que os gráficos estejam em escala para que as formas de onda resultantes possam ser obtidas pela adição e pela subtração de diversas amplitudes instantâneas, conforme mostram as figuras 129 e 130:

Adição gráfica: vA(t) = v1(t) + v2(t) Subtração gráfica: vB(t) = v1(t) - v2(t)

Figura 104 - Adição temporal de duas co-senóides.

Figura 105 - Subtração temporal de duas co-senóides.

Para realizar essas mesmas operações analiticamente, é necessário utilizar algumas identidades trigonométricas, tornando os cálculos muito trabalhosos.

Adição analítica: vA(t) = v1(t) + v2(t)

vA(t) = v1(t) + v2(t)

vA(t) = 141 cos(377t - /4) + 99 cos(377t - /3)

vA(t) = 150,2 cos(377t – 0,1) [V]

Adição analítica: vB(t) = v1(t) - v2(t)

vB(t) = v1(t) - v2(t)

vA(t) = 141 cos(377t - /4) - 99 cos(377t - /3)

vA(t) = 192,5 cos(377t – 1,3) [V] 21.5.5 - Resolução Fasorial: Para realizar graficamente as operações adição e subtração, é necessário que os diagramas estejam em escalas lineares e angulares. A adição é feita diretamente pela regra do paralelogramo. Na subtração, o fasor negativo deve ser defasado em 180º e somado ao fasor positivo pela regra do paralelogramo. As figuras abaixo ilustram essas operações graficamente.

Adição gráfica: 21A VVV Subtração gráfica: 21B VVV





Figura 106 -Adição gráfica de fasores.

Figura 107 - Subtração gráfica de fasores.

Para realizar essas mesmas operações analiticamente, é necessário utilizar as relações trigonométricas do triângulo retângulo para decompor os fasores nos eixos x (referência) e y (perpendicular) e o Teorema de Pitágoras (este teorema diz que a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos) para calcular o módulo do fasor resultante. Porém, tais operações devem ser, pelo menos, acompanhadas de um esboço do diagrama fasorial, sem o qual pode-se incorrer facilmente em erros.

ADIÇÃO ANALÍTICA:

21A VVV

VAx = V1x + V2x = 100 cos(-45 ) + 70 cos(60 )

VAx = 70,7 + 35 VAx = 105,7V

VAy = V1y + V2y = 100 sen(-45 ) + 70 sen(60 )

VAy = -70,7 + 60,6 VAx = -10,1V

106,2VV

10,1105,7VVVV

A

22A

2

Ay

2

AxA

Fasor VA 4 quadrante, A é dado por:

5,5θ105,7

10,1arctg

V

Varctgθ A

Ax

Ay

A

Convertendo a tensão VA em vA(t):

VAP = 106,2 2 = 150,2V

0,1rad180

π5,5-[rad]θA

SUBTRAÇÃO ANALÍTICA:

21B VVV

VBx = V1x - V2x = 100 cos(-45 ) - 70 cos(60 )

VBx = 70,7 - 35 VBx = 35,7V

VBy = V1y - V2y = 100 sen(-45 ) - 70 sen(60 )

VBy = -70,7 - 60,6 VBx = -131,3V

136,1VV

131,335,7VVVV

B

22B

2

By

2

BxB

Fasor VB 4 quadrante, B é dado por:

8,74θ35,7

131,3arctg

V

Varctgθ A

Bx

By

A

Convertendo a tensão VB em vB(t):

VBP = 136,1 2 = 192,5V

1,3rad180

π74,8-[rad]θB





Portanto:

VA(t) = 150,2 cos(377t – 0,1)[V]

Portanto:

VB(t) = 192,5 cos(377t – 1,3)[V]

22 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS LEI DE KIRCHHOFF

1) No circuito abaixo, são conhecidos os valores de I1, I2 e I4. Determine I3, I5 e I6 por meio da KCL (Lei das Correntes de Kirchhoff).

2) No circuito abaixo, são conhecidos os valores de E1, E2, V3 e V4. Determine V1 e V2 por meio da KVL (Lei

de Kirchhoff das Tensões).

3) Um estudante calculou a corrente e as tensões nos resistores de um circuito, conforme mostrado abaixo. Porém, ao analisar os resultados, você, obviamente, observou dois erros gritantes. Identifique esses erros.





4) Considere o circuito abaixo, formado por quatro resistores ligados em série, determine: a) A resistência equivalente do circuito em série; b) A corrente I fornecida pela fonte E ao circuito; c) A queda de tensão provocada por cada resistor.

5) Aplica-se uma ddp de 240 Volts a este conjunto de resistores conforme a figura abaixo. Calcule a corrente

que atravessa os resistores. Calcule a corrente que atravessa os resistores e a ddp em cada um.

6) Dois resistores de 5 Ohms e 30 Ohms de resistências, foram associados em série. O conjunto foi

submetido à ddp de 140 Volts. Determine a corrente que atravessa os resistores e a ddp em cada um deles.

7) Sabe-se que a ddp no resistor R1 é igual a 5 V. C alcule a ddp entre os pontos A e B.

8) Três resistores de 2 Ω, 3 Ω e 5 Ω, foram associados em série. O conjunto foi submetido a uma ddp de 40

Volts. Calcule a ddp em cada um dos resistores. 9) Um cortador de isopor constituindo por um fio que se aquece por efeito Joule, tem seus valores nominais

de 3 Volts e 0,5 Watts. Deseja-se alimentar o cortador por meio de uma bateria de automóvel de 12 Volts. Descreva o resistor que deve ser associados em série ao cortador para que este funcione com as características indicadas. Qual a potência a ser dissipada por esse resistor?

10) As 10 lâmpadas de uma árvore de Natal são ligadas em série. Numerando essas lâmpadas de 1 a 10 e supondo que a nona lâmpada queime: a) Todas apagam b) Ficam acessas apenas as lâmpadas de 1 a 9 c) Fica acesa somente a décima lâmpada d) Todas queimam

11) Para controlar a luminosidade de uma pequena lâmpada, foi-lhe associado em série um reostato cuja

resistência varia entre zero e 20Ω. A resistência da lâmpada é de 10 Ω. Aplica-se ao conjunto uma ddp de 3 Volts. Calcule a máxima e a mínima potência que a lâmpada pode dissipar quando se varia a resistência do reostato.

12) Um resistor de 10 Ω de resistência aplica-se ao resistor uma diferença de potencial constante igual a 42 Volts.





a) Calcule a potência dissipada por este resistor

13) Consultando as especificações do fabricante, verifica-se que um determinado resistor pode dissipar, no máximo 1 Watts. Sendo de 100 Ω sua resistência, calcule a máxima corrente que ele suporta.

14) Calcule a resistência de uma lâmpada que tem os seguintes dados nominais: 110 V / 60 W 15) A resistência de um chuveiro quebrou próximo a um extremidade e foi emendada. Seu novo

comprimento ficou um pouco menor. O chuveiro vai esquentar mais ou menos que antes? Porque? 16) No caso de um chuveiro ligado à rede elétrica:

a) Diminuindo a resistência, a temperatura da água aumenta ( conservando-se constante a vazão de água)

b) Diminuindo a resistência, a temperatura da água diminui ( conservando-se constante a vazão de água)

c) A potência dissipada é independente da resistência elétrica do chuveiro. 17) Uma lâmpada tem a indicação 60 W / 120 V. Sendo percorrida por uma corrente de 500mA de

intensidade, pode-se afirmar que: a) Seu brilho será menor que o normal; b) Seu brilho será maior que o normal; c) Seu brilho será normal; d) Não suportará o excesso de corrente; e) Não há dados suficientes para fazer qualquer afirmação

18) A figura esquematiza o circuito elétrico de um ferro de engomar em funcionamento. A potência por ele dissipada é de, aproximadamente:

a) 120 W b) 1920 W c) 750 W d) 1440 W

19) A figura mostra uma associação de resistores em que R1 = 6Ω, R2 = 1,5 Ω, R3 = R4 = 3 Ω e I3 = 2 Amperes.

A intensidade de corrente elétrica que atravessa R2 vale: a) 2 Amperes b) 3 Amperes c) 4 Amperes d) 5 Amperes e) 6 Amperes

20) Neste circuito, todos os resistores são iguais e, com a chave CH aberta, flui uma corrente I no ponto P.

Com a chave CH fechada, a corrente elétrica no ponto P é igual a:





a) I b) I/2 c) I/3 d) 3I/4 e) 4I/3

21) Nesta associação de resistores, os valores de (i) e de ( R ) são, respectivamente:

a) 8 A 5 Ω b) 5 A 8 Ω c) 1,6 A 5 Ω d) 2,5A 2 Ω e) 80 A 160 Ω

22) Considere uma lâmpada de 2,0 Ω de resistência ligada aos terminais de uma pilha ideal de 6,0 Volts. A intensidade de corrente da lâmpada e sua potência elétrica são respectivamente iguais a:

a) 3,0 A e 6,0 W b) 3,0 A e 18 W c) 12 A e 12 W d) 3,0 A e 18 W e) 0,33 A e 20 W

23) As lâmpadas 1, 2 e 3 são idênticas e o gerador tem resistência desprezível. O que aconteceu com o brilho das lâmpadas 1 e 2 ao se fechar o interruptor da lâmpada 3?

Lâmpada 1 Lâmpada 2

a) Aumenta Diminui

b) Aumenta Aumenta

c) Diminui Não varia

d) Não varia Diminui

e) Não varia Aumenta

24) Numa resistência estão ligados: 2 lâmpadas de 100 Watts, 1 ferro elétrico de 500 Watts e uma Geladeira que consome 300 Watts. A diferença de potência na rede elétrica é de 110 Volts. Calcule a corrente total que está sendo fornecida a essa casa.

25) Um chuveiro opera com 2500 Watts de potência e 220 Volts. Qual a corrente que o atravessa?





26) Um motor opera com 220 Volts, 10 A, fator de potência 0,80. Supondo que o preço do kWh de energia elétrica seja de R$ 0,15. Determine o custo de funcionamento desse motor por hora.

27) Uma lâmpada de lanterna opera com 5 Volts e 2 A. Qual sua potência? Qual a energia consumida em 30 segundos?

28) Suponha esta lâmpada tenha sido ligada com 120 Volts. a) Qual é a intensidade de corrente que a percorre? b) Qual é o gasto mensal de energia em kWh, supondo que

ela fique ligada 4 horas por dia? ( considere um mês de 30 dias)

c) Supondo que o kWh residencial custe R$0,15, qual será o gasto mensal com essa lâmpada?

29) Calcule a resistência equivalente a este conjunto de resistores. Sabendo que o conjunto é atravessado pela corrente i = 10 A. Calcule a corrente em cada resistor.

30) Dois resistores de resistência R foram associados em paralelo. Qual é a resistência equivalente ao

conjunto? 31) Determine a resistência equivalente quando associam 10 resistores de 50 Ω

a) Em série b) Em paralelo

32) Associam-se em paralelo (n) resistores, cada um com resistência R. Qual é a resistÊncia equivalente a associação?

33) A tensão existente entre os pontos A e B do circuito vale:

a) 1 Volts b) 2 Volts c) 3 Volts d) 4 Volts e) 5 Volts

34) Uma bateria de automóvel de 12 Volts, com resistência interna de 0,60 Ohms, tem seus terminais

acidetalmente ligados em curto-circuito. A corrente de curto-circuito tem intensidade: a) zero b) 6 A c) 24 A d) infitita e) n.d.a

35) Determine a capacitância equivalente dos associações abaixo.





36) Calcular a corrente, indicando o seu sentido, e a ddp aos terminais de cada uma das resistências,

e respectiva polaridade, da rede da figura R1.

37) Calcular a corrente, indicando o sentido, em cada uma das malhas do circuito da figura R2.

38) Calcular o equivalente de Thévenin da rede entre os pontos a e b e a corrente na resistência Rx.

39) Calcular a corrente em R4, indicando o seu sentido, no circuito da figura R4, utilizando os

seguintes métodos:





40) Calcular a ddp entre os pontos a e b do circuito da figura. Substituir os três geradores de tensão

por geradores de corrente e calcular a corrente que circula por cada um deles.

41) Calcule a corrente, indicando o seu sentido, em cada uma das resistências do circuito da figura

R6. [R1=2kΩ, R2=6 kΩ, R3=R4=4 kΩ, E1=10V e E2=15V].

42) Calcule as correntes, indicando o seu sentido, em cada uma das resistências do circuito da figura

R7. a. Pelo método das malhas; b. Pela lei dos nós.

43) Analise o circuito e calcule Vx.





44) Analise o circuito da figura R9 e calcule as correntes em cada uma das resistências.

45) Determine os equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito da figura R11. Calcule VAB com Rc=3Ω ligada ao circuito.

46) Calcule os equivalentes do circuito da figura R11:

a. Thévenin; b. Norton. c. Calcule VBA com RL ligada ao circuito

47) Determine o equivalente de Norton do circuito da figura R12.





48) Analise o circuito da figura R13 usando o teorema da sobreposição. Calcule a ddp aos terminais

de cada uma das resistências, indicando a sua polaridade.

49) Analise o circuito da figura R14. Calcule VR1, VR2, VR3, VR4 e VR5.

50) Recorrendo ao método do divisor de tensão, e a possíveis simplificações, calcule para o circuito da figura R15: a. A tensão, e polaridade, aos terminais das resistências R1, R2, R3 e R4. b. Valor da tensão nos nós A, B, C, D e E.





51) Considere o circuito da figura R16. a. Calcule a tensão no ponto A, usando o teorema da sobreposição. b. Calcule a tensão no ponto B usando o método das malhas. c. Calcule a tensão no ponto C usando um método à sua escolha.

52) Recorrendo aos métodos e simplificações que entender por conveniente, calcule:

[R1=1kΩ; R2=10kΩ; R3=30kΩ; R4=50kΩ; R5=20kΩ; R6=2,5kΩ; R7=6kΩ; R8=1,5kΩ; R9=5kΩ; R10=5kΩ; R11=47kΩ; I1=10mA; V1=30V; V2=-30V]

a. As correntes IR2, IR5, IR7, IR9 e IR11 e indique o seu sentido. b. As tensões, e polaridade, VR1, VR4, VR6 e VR10.

61233290 apostila de eletricidade faetec 2011

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