抽象代数

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抽象代数

Abstract Algebra

本部分所要探讨的数学结构是由集合上定义若干运算而组成的系统——称为代数系统 ( 代数结构 ) 。

几个问题 1.1. 项链问题：项链问题：用 n 种颜色的珠子做成有 m 颗珠子的项链，问可做成

多少种不同类型的项链 ?

2.2. 正多面体着色问题正多面体着色问题：对一个正多面体的项点或面用 n 种颜色进行着色，问有多少种不同的着色方法 ?

3.3. 图的构造与计数问题图的构造与计数问题 4.4. 开关线路的构造与计数问题开关线路的构造与计数问题：用 n 个开关可以构造出多少种不同

的开关线路 ?

5.5. 数字通信的可靠性：数字通信的可靠性：如何设计高效的检错码与纠错码？ 6.6. 代数方程根式求解问题代数方程根式求解问题：五次方程有根吗？ 7.7. 网络规划网络规划 8.8. 信息安全信息安全 9.9. 语言：语言：某语言 L 的语法语义？程序的结构（数据表示？算法构

造？），根据 L 编写的程序是正确的吗？ 10.10. 计算复杂性：计算复杂性：该问题可计算吗？计算机能 / 不能计算吗？计算复

杂性如何？

“ … 时至今日，数学家们还在忙于发展简单的计算方法，也就是在一切数学领域中的所谓算法。一旦我们有了算法，所有的其他事都留给了计算机。计算机所作的不再是数学了，但为了使用为了使用计算机，需要数学和数学家计算机，需要数学和数学家。” —— H.Freudenthal

“模型化模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有的数学应用之心脏，也处于某些最抽象的纯数学核心之中。” —— R.C.Buck

数学之所以重要，其中心原因就在于它提供的数学系统数学系统丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题、回答问题，并且也就探索了模型的行为。—— R.C.Buck &.E.F.Buck

关于抽象代数

古典代数代数系统代数系统 ( 系统化：模型及其性质 ) ；纯数学结合计算机应用。计算机科学计算机科学：计算？计算过程？——能行性计算模型计算模型：抽象与具体化。

组合学计算机科学中的代数方法计算机科学中的代数方法：形式语言与自动机理论、可计算理论、语义学（模型论）——模型模型 // 语言语言。集合代数、逻辑代数密码学、数据表示理论、数字逻辑未来的计算机其他其他：代数方程求解、物理、化学思维训练思维训练有关科学家：有关科学家： Von Neumann、 Abel、Galois

关于抽象代数

Niels Abel

A statue of Abel in Oslo

Evariste Galois

A drawing done in

1848 from memory

by Evariste's

brother.

This is taken from a French stamp

主要内容主要内容

第第 66 讲代数结构讲代数结构第第 77 讲讲群代数群代数第第 88 讲格与布尔代数讲格与布尔代数

第第 66 讲代数结构讲代数结构

6.0 6.0 研究代数结构的方法？研究代数结构的方法？ 1. 研究集合的方法？ 2. 研究数理逻辑的方法？ 3. 研究代数结构的思路？

6.1 6.1 什么是代数结构？什么是代数结构？ 1. 初等代数？ 2. 高等代数？

6.2 6.2 代数结构间的关系？代数结构间的关系？ 6.3 6.3 同余关系同余关系

重点：代数结构的判定与构造代数结构的判定与构造代数结构关系：同态、同构代数结构关系：同态、同构特殊关系：同余关系特殊关系：同余关系

难点：同余关系、同态基本定理同余关系、同态基本定理

6.1.1 集合运算代数结构

例1

〈Z;+,*,-〉 , 〈Z;-,*,_〉 ,〈N,-〉 ,

〈{T,F}; ┐,∧,∨〉 , 〈P(A); ∪,∩ 〉， ∑〈 *; *〉

需要满足的条件？

法则，运算，运算的阶？（n-ary operation ）运算的在某个集合下的封闭性？

设 o是集合 A 上的一个 n元运算，非空集合 S A ，如果对于每一个(a1， a2，…， an)∈S ，都有 o(a1， a2，…， an)∈S ，则称S 在运算 o下是封闭的，或 o在集合 S 上是封闭的。

代数结构？〈 S;O〉

集合 S ？运算 O ？

6.1 6.1 什么是代数结构？什么是代数结构？

运算封闭性：若 x ， y∈A ，有 x * y∈A ，称 *在 A 上是封闭的

例 2 ： A={x｜ x=2n ， n∈N} ，问 <A ， *>运算封闭否， <A，+>，<A， />呢？

解： 2r， 2s∈A ， 2r x 2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ）

∴<A， x> 运算封闭

2 ， 4∈A， 2+4A ，∴<A，+> 运算不封闭

2 ， 4∈A， 2/4A ， ∴<A， /> 运算不封闭


6.1.2 运算性质、特殊元素

满足封闭性结合律交换律 ( 左 /右 ) 分配律、消去律、吸收律幂等元 (Identity lement)

( 左 /右 ) 单位元 (Idempotent

element)

( 左 /右 ) 零元 (Zero element)

( 左 /右 ) 逆元 (Inverse)

请思考：请思考：如何应如何应用运算用运算表表（矩（矩阵）来阵）来判断右判断右述性质？述性质？


6.1.2 运算性质、特殊元素

满足封闭性：运算表中每一个元素 a∈S

结合律：构造表来判断交换律：关于主对角线对称 ( 左 /右 ) 分配律、消去律、吸收律等幂律 ( 幂等元 ) ：主对角线上元素与其所在表头元素同 ( 左 /右 ) 单位元 : 某元素 x 其相应行 /列与表列 / 行头元素同 ( 左 /右 ) 零元 : 某元素 x 与其所在的行 /列元素全相同 ( 左 /右 ) 逆元 : 首先 ,是否存在单位元？元素 x 所在的列 / 行的

单位元相应的行 /列头元素即其逆元


例 3

a ）〈 P （ S ）；∪ ,∩〉　　对运算∪，是单位元， S 是零元，　　对运算∩， S 是单位元，是零元。

b ）〈 N ；+〉　　有单位元 0 ，无零元。


c) 代数 A=〈 {a， b ， c} ；。〉用下表定义：

。 a b c

a a b b

b a b c

c a b a

从运算表可以看出， b 是左单位元，无右单位元；a 是右零元， b 是右零元，无左零元 ;

运算：不满足交换律？


d) 代数〈 R ， * 〉中，除零元 0 外所有元素均有逆元

e) A=〈 {a， b ， c} ， * 〉由下表定义：

* a b ca a a bb a b cc a c c

b 是单位元 ,

a 的右逆元为 c ，无左逆元， b 的逆元为 b ，c 的右逆元为空，左逆元为 a


f ）代数结构： A=<{0， 1 ， 2 ，…， k-1} ， *k>

*k称为模 k 乘法求余（ x*ky 或记为 resk(x*y)) 。

零元？单位元？关于逆元？


g) 实数集 R 上的二元运算 *： a*b=a+b-ab 是否有单位元、零元与幂等元，如果有单位元，哪些元素有逆元？

示例 4 关于逆元的性质（教材定理 7.2 ）对于可结合运算 ο ，如果元素X 有左逆元ｌ，右逆元 r，则 l=r=x-1 。

推论：逆元若存在，则唯一

分析：设 e 为单位元，

l=ｌ ο ｅ＝ｌ ο(xοr)=(ｌ οx)οｒ＝ｅο ｒ＝ｒ

∴逆元存在为 r.

若存在 X 的另一个逆元 r’; 则 :

r’＝ r’οｅ=r’ο(xοr)=(r’οx)οr=ｅ οr ＝ r


思考

是否存在零元可逆的代数结构？


6.1.3 6.1.3 子代数子代数 (Subalgebra)(Subalgebra)

同余类代数 {0,2}；+4 是 {0,1,2,3}；+4

的子代数吗 ?


6.1.4 半群 (Semigroup) 、单位半群 ( 独异点 ,Monoid)

结合性、单位元


例 5a) 代数结构〈N ； *〉 ,〈 {0， 1} ； *〉

是半群，是独异点吗？是〈R， * 〉的子半群 ,子独异点吗？代数结构〈R， - 〉是半群吗？

b) 设 s={a， b}， *定义如右表， <S ； *> 是半群吗 ?

注意到 a， b都是右零元 ∵x,y,zs

① x*ys ∴ 运算封闭 ② x*（ y*z）=x*z=z

（ x*y） *z=z

∴ 结合律成立 ∴<S ； *> 是一半群，该半群称为二元素右零半群

* a b

a a b

b a b


练习1 独异点运算表中任何两行两列均不相同 .

2 <Σ∗ ， > 是一个半群吗 ?

3 若半群〈 A ， * 〉的单位元为 e,a ， bA ，若a， b 均有逆元，则

1)（ a-1） -1=a;

2)（ a*b） -1=b-1*a-1 。

试证明之 .

4 有限半群必有幂等元 ?


有限半群必有幂等元 .证明设 <S ； *> 是有限半群，需证 aS ，有 a*a=a 。对 bS ，由运算封闭性，有 b2=b*bS, 进一步利用可结合性可得

b3， b4，… S 。又 S 有限，故存在 i， jN， j>ｉ使得 bi=bj 。从而有 bi=bj=bj-i*bi 。

现令 p=j-i ，则对任意 qN， q≥i时 , 有bq= bq-i*bi=bq-i*bj=bq- i*bj-i*bi=bq-i*bp*bi=bp*bq 。又 p≥1 ，则存在 q≥i， qN ，且有 kN ，使 q=kp ，从而有 bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=…=bkp*bkp ，令 a=bkpS 则 a*a=a ，即 a=bkp是 <S ； *> 的幂等元。


为什么需要研究代数结构之间的关系？在研究代数结构的过程中，所关心的常常是代数结过中运算所满足的

性质，不关心具体的运算，而对于遵循相同运算规律的系统只需要研究其中一个就可以了解其它的系统 .—— 抽象代数！

考察下列代数 : A1=I;; A2=Q;+; A3=R+;min;A4=(S);∩; A5=(S);∪.

此 5 个代数都有相同的构成成分 : 同样个数的运算且对应运算元数相 (1 个二元运算 ); 满足同样的公理规则 ( 交换律 ,结合律 );存在单位元

。 ——称具有上述性质的代数是同一类 ( 代数结构的类 )

例 5 教材教材 P129P129例例 22 ：逻辑代数：逻辑代数————开关电路开关电路

6.2 6.2 代数结构间的关系代数结构间的关系

6.2.16.2.1 同态关系、同构关系同态关系、同构关系

对于两代数结构设 V1=<A;O1 , O2 , … , Or> 和

V2=<B; *1 , *2 , … , *r >

1) 是同型同型的代数结构 2)存在从A 到 B 的一个映射映射 / 满射满射 / 单射单射 /双射双射 f

3) 运算性质保持（保运算性，满足同态方程）同态方程）：对于 ki元运算Oi(i=1， 2 ，…， r) ，若任意 (x1， x2…， xki)∈Aki ，都有

f(Oi(x1， x2…， xki))= *i(f(x1) ，…， f(xki)) ，

则称 f是V1到V2的一个同态 / 满同态 / 单同态 / 同构映射，并称V1与V2

同态 (Homomorphic) / 满同态 / 单同态 / 同构的 (Isomorphic) 。

例 6 ：代数结构〈 R+; *〉 ,〈 R;+ 〉同构吗？


证明：显然， <R+,*>与<R,+> 为同型代数结构，下面证明二者之间存在双射关系且满足同态方程。i)建立双射关系：令 h:R+R,h(x)=lnx

显然， h 是单射 yR,x=ey使 y=lney =lnx=h(x)

h 是满射 h 是从 R+到 R 的双射ii)h 满足同态方程： h(a*b)=ln（ a*b）=lna+lnb=h(a)+h(b)

综上，<R+,*> 同构于 <R,+>


这样，利用同态 / 同构关系，可以转移运算，复杂的代数系统可以压缩为另一简单的代数系统。

A A

B B

f f

*

+

思考：请你举例说明上述系统转换思想。


勒让德 ( 法国数学家 ) 的遗憾：勒让德晚年看到阿贝尔的工作时，曾深感遗憾地说：他在椭圆积分方面的工作几乎耗尽他后半生的精力，但与阿贝尔的工作相比，简直是微不足道的，悔恨他自己为什么始终没有从另一条思路——将反函数复化( 逆向思维、扩展思维等 ) 去考虑问题。

Adrien-Marie Legendre


例 7

a) 请判断〈 {T,F}; ∧〉 ,〈 {T,F}; ∨ 〉是否同构。b) 请判断 ∑〈 *; ·〉 ,〈N;+ 〉是否同构，运算“ ·” 表示字符串的连接，

“ +” 为一般的加法运算。

c) 代数结构〈 I;+,*〉 ,〈Nm;+m, *m 〉是否同态？其中，运算 +m, *m

分别是模 m 加、乘。d)〈 I;+〉 ,〈 2I;+ 〉同构吗？

e) 代数结构 <R+; *>,<R; +> 同构？ *、 + 为一般的乘法、加法运算。f) 设<I+; *>与<E; *> 是代数结构，其中 I+ 为正整数集， E为正偶数集， *分别为一般的乘法运算， h为 R 上的映射，对任意 x∈I+ ， h(x)=2x 。试证明： h不是 <I+; *>到<E; *> 的同构映射，并证明

<I+; *>与<E; *> 不同构。


证明显然， h 是 I+到 E的双射，对任意x ， y∈I+ ，有

h(x*y)=2xy ，但 h(x)*h(y)=4xy,

显然 h(x*y)≠h(x)*h(y) 。故， h 不是 <I+; *>到<E; *> 的同构映射。

h 不是 <I+; *>到<E; *> 的同构能说明<I+; *>与<E; *>

就一定不同构吗？


6.2.2 6.2.2 性质保持

思考设代数结构 <X； ο>与<Y ； *> 同构，若<X； ο>存在单位元 ex，

则

<Y ； *> 亦存在单位元 ey，且有 g(ex)=ey。

证明：对 yY ， x Y ，使得 y=g(x),

于是，由<X； ο>与<Y ； *> 同构，且 <X； ο> 有单位元 ex，有 g(ex)*y= g(ex)*g(x)=g(exοx)=g(x),

且 y*g(ex)= g(x)*g(ex) =g(xοex)=g(x) ，故 g(ex)*y= y*g(ex) 。所以 <Y ； *> 的存在单位元 ey且 g(ex)= ey。


6.2.2 6.2.2 性质保持1 对于同构：(1)保持结合律、交换律、分配律；单位元、逆元、零元相应存在（教材的证明请自学）

(2) 同构关系是一种等价关系？

2 对于同态单向保持性质


X Y

f

示例 8 （教材例 7.19 ）如果 f 为代数结构 <S, *>到<S′,*′> 的同态，并且 S′ 中有单位元e′ ，那么称集合 K （ f ）={x xS f（ x ）＝ e′} 为同态 f 的核（ kernel ），记为 Ker（ f ）。

2) 证明： f 是单同态充要条件是 Ker(f)={e};

3) 证明：如果 Ker（ f ）≠ ，那么 < Ker（ f） , *>为<S ,*>的子代数。


6.3 6.3 同余关系同余关系

集合上的等价关系？等价类商集

添加运算之后……？模型转换 /压缩之关键：知识（性质）的保持

1 为什么研究同余关系？

2 等价关系同余关系

同态三角形

V=<S;o> V’=<S’;*>

V/ρh=<S/ρh;>

h( 满同态 )

g ( 自然满同态 ) f ( 同构 )

集合论：函数——等价关系——划分

代数结构：同态——同余关系——可允许划分

如何寻找如何寻找一个代数一个代数结构的压结构的压缩结构？缩结构？——变换


6.3.1 同余关系

原始含义（示例）：代数结构 <Z;+>在 Z 上的关系 R 定义如下： xRy x≡y(mod 2) ，且满足如下推理： xRy 且 zRw (x+z)R(y+w) （ *）

这样，上述利用余数相等建立的满足（ *）推理式的关系 R 称为同余关系。


推广

1 <Z;*>, R: xRy x ≡ y(mod m),

m∈Z+

2 恒等关系是整环上的同余关系吗？3 <Z;+>, R={(x, y)|x/y=2m, m∈Z}


同余关系 (Congruence)

<A, * > 是一个代数系统 ,R是 A 上的等价关系 , 若 <a,b>R, <c,d>R<a * c , b * d>R ，称R 是A 上的同余关系 (R 对于运算 *满足代换性质 ).左同余、右同余

同余关系将A 划分得到的等价类称为可允许划分 ( 同余类 ) ：对于代数结构 <A;*>, ={A1,A2,…,An} 是 A 上的一个划分，若对于任意的划分块 Ai, Aj ∈ ,存在 Ak ∈,使得： Ai*AjAk,则称为可允许划分。


例 12：<I,+> ，在 I 上定义 R:<x,y>R|x|=|y|,

问 R 是<I,+> 的等价关系吗？是否是同余关系 ?

解 : 1) 自反性： xI, |x|=|x| ，从而<x,x>R

2) 对称性： x,yI，若<x,y>R 则 |x|=|y| ，从而<y,x>R

3)传递性： x,y,zI，若<x,y>R,<y,z>R

由 |x|=|y|=|z| 知<x,z>R

所以 R 是一等价关系。对 x1,y1,x2,y2I，若<x1,y1>R,<x2,y2>R ，但<x1+x2,y1+y2>R 不一定成立，例如， <1,-1>R,<2,2>R 但<1+2,-1+2>R

综上， R 是等价关系但不是同余关系


6.3.2 同余关系商代数

思考 1 设 f是代数结构 <A;*>到<B;+> 的同态映射，则

关系

ρf ={(x,y)|f(x)=f(y), x,y A}

是<A;*>上的同余关系。

2 是否可以根据 ρf定义一个 <A;*> 的满同态代数结构？


思考 1 分析：首先， ρh是否为等价关系？

其次， ρh对 ºi 都满足代换性质 (iZ+ ) ？

推广同余定理设 h 是一个代数结构，即 V=〈 S ； º1， º2，…， ºn 〉到

代数结构 V*=〈 S* ； *1,*2,... 〉的同态，其中所有 ºi 都是一元运算， (i=1， 2 ，…， n) 是经h 传递到的运算。在S 上定义一个关系 ρh，使得当且仅当 h(x)=h(y)时 xρhy ，则 ρh是 V 上的同余关系。

思考 2 分析：同余关系基集？等价关系：等价类（集合）？基集之上运算？

等价类之间的运算？

推广商集，及其上之运算商代数


同余关系商代数 (Quotient algebra)

代数结构： V=<S; o> （ o为一元运算）V 上同余关系： ρ

商代数： V/ρ=<S/ρ;o’>运算 o’ 的定义？

o’([x])=[o(x)]

代数结构： V=<S; o> （ o为二元运算）V 上同余关系： ρ

商代数： V/ρ=<S/ρ;o’>运算 *的定义？ [x] o’ [y]=[xoy]


进一步思考关于商代数的运算的一般性证明

1) 运算 o’ 是否在 V/ρ 下封闭？

2)针对定义，请问 [x] o’ [y]值是否唯一？

设 R 是代数结构 <S; *>上的等价关系，对于 [a]， [b] S/R,

定义

[a] o[b]=[a*b]

则 o 为 S/R上的二元运算当且仅当R 为<S; *>上同余关系。


证明必要性设 o为<S; *>上二元运算。对 a, b, c, d S,若 aRb， cRd ，即[a]=[b],[c]=[d], 则 [a] o[c]=[b] o[d],

又有 [a] o[c]=[a*c], [b] o[d]=[b*d] 。从而 [a*c]=[b*d] 。于是 a*cRb*d 。故R 为<S; *>上同余关系。

充分性设 R 为<S; *>上同余关系，任意 [a],[b] S/R ，显然 [a]

o[b]=[a*b] S/R ，即 o在 S/R上满足封闭性，还需证对任意 [a],[b]

S/R， [a] o[b]值惟一。注意到， [a] o[b]=[a*b]， a*b值是惟一的， [a*b] 是惟一的。因此，需要证明若 [a]， [b]取其它代表元，如 a′,b′ ，其值 [a′*b′]与 [a*b] 是否相等。对 a′[a], b′[b],有 a′Ra, b′Rb, 则 a′*b′Ra*b 且有 [a′]=[a], [b

′]=[b] 。于是 [a′] o[b′]=[a′*b′] =[a*b]=[a] o[b] 。这说明 [a] o[b] 的运算结果与等价类的代表元无关，值是惟一的。故 o是 S/R上的二元运算。综上，命题得证。


6.3.2 同态基本定理

设代数结构 V=<S; *>, V′=<S′; *′>, h 是从V 到 V′ 的满同态映射，则

1) 在 S 上定义一个关系 ρh ，使得当且仅当 h(x)=h(y)时 xρhy ，则 ρh是 V 上的同余关系（同余定理）；

2) 由 ρh可以得到V 的商代数 <S/ρh; o> ，记为 V/ρh，且存在V 到 V/ρh的满同态映射 ( 自然同态 )g ；

3) V/ρh与 V′ 同构。


同态三角形

V=<S;o> V’=<S’;*>

V/ρh=<S/ρh;>

h( 满同态 )

g ( 自然满同态 ) f ( 同构 )

集合论：函数——等价关系——划分

代数结构：同态——同余关系——可允许划分

如何寻找如何寻找一个代数一个代数结构的压结构的压缩结构？缩结构？——变换


自然同态？自然同态？

1 容易证明V 与 V/ρ同态，可以认为当同余关系 ρ确定之后，该同态 g 就自然成立； —— 自然同态！2 进一步，可以证明，该同态的“等价核”，就是同余关系 ρ

本身

g 的等价核：K={(x,y)|x,y G且 g(x)= g(y)} ={(x,y)|x,y G且 [x] ρ =[y] ρ} ={(x,y)|x,y G且 xρy} = ρ


同态三角形的同构性的证明：1 同型： Vρh 与 V’ 同型？

2 双射：定义映射 f ，并证明其为双射定义映射 f ：因为 h 是一个从S 到 S’ 的满射， S/ρh 为可允许划分，所以对于每一个 [x]ρh∈ S/ρh必存在惟一 x’∈S’ ，使得 x’=h(x) ，于是可以如下定义函数： f: S/ρh → S’ ，使得 f([x]ρh)=x’=h(x) 。 f 为满射：对于任意 x’∈S’ ，必存在 x∈S ，使得 h(x) =x’ ，从而存在 [x] ρh ∈S/ρh ，，使得 f([x]ρh)=h(x)=x’ ，所以 f 是满射。f 为单射：若 h(x)=h(y) ，则 xρhy ，于是 [x]ρh=[y]ρh ，所以 f是单射

3 满足同态方程由于 f([x]ρh

[y]ρh)=f([xoy]ρh)=h(xoy)=h(x)*h(y)=f([x]ρh)*f([y]ρh)

所以，前述运算与双射满足同态方程。综上， Vρh 与 V’ 同构。


xy

思考如果上述同构证明过程中，将映射改 f 改为从 S’

到 S/ρh ，则如何描述具体证明过程？

小结与作业小结与作业小结本章介绍了抽象代数的基本概念，是后续章节学习的基础，主要知识点有：1 ）代数运算的概念及其性质；2 ）代数结构的概念；3 ）代数结构中特殊元素；4 ）半群；5 ）同态与同构；6 ）同余、商代数，同态基本定理。其中，运算以及代数结构的概念，特殊元素的判定，同态、同构的证明是学习的重点。

作业1 反复阅读教材 ( 结合例题、练习 ) 、思考2 书面作业： p136——2 、 6 、 9 、 11、 12、 13、 15、 19、 20、21

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