让抽象变得自然 线性代数精彩案例 李尚志

北京航空航天大学

润物细无声：应用案例 子空间概念的应用

4

4 x +

同加 1

随风潜入夜 : 概念的引入

方程个数的真与假

方程组 有几个方程？

3 个 ? 2 个 ?

某个方程是其余方程的线性组合 线性相关

•方程组线性相关 •有多余的方程（是其余方程的线性组合）

•删去多余的方程 ---- 打假•将打假进行到底•极大线性无关组•剩下的方程的个数 ---- 秩 rank

极大线性无关组，秩

二元一次方程组的几何意义

行列式的定义

方程组

可写成向量形式

即

1. 有唯一解的条件不共线

即2. 消元 : 方程 (1.1) 两边与

(1.1)

作内积消去 y, 得

其中

就是

同理得

图2

因此 ,

于是

3. 二阶行列式 — 平行四边形面积

称为二阶行列式 , 记作

是平行四边形 OAPB 的有向面积 ,

是两个向量

或

的函数 ,

计算公式 :

或

图2

4. 代数算法

可写成

其中

三阶行列式与体积

1. 三元一次方程组的几何意义

两边同时与方程

作内积消去 y, z , 得到

类似地可以得到 y, z 的表达式。

当 时得

从原点 O 出发作有向线段OA ， OB ， OC 使

则 就是以 OA,OB,OC 为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作

2. 三阶行列式 — 平行六面体体积

利用基本性质计算 n 阶行列式

(3.1)

当 i1,i2,…,in 中有两个相等时，这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项 , (3.1) 中的 变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和，成为：

将排列 中任意两个数 相互交换位置 , 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换 ( 设为 s 次 ) 可以将排列 变成标准排列 (12…n), 相应地将 变成

(3.2)

以下只须对每个排列 求

可以证明 , 的值由排列 唯一决定 , 我们将 记为 sgn 。则 sgn

代入 (3.3) 得到

(3.3)

于是得

这可以作为 n 阶行列式的定义。

(3.4)

线性代数 空间为体 , 矩阵为用• 研究对象 ---- 几何：线性空间 ( 向量 ) • 研究工具 ---- 代数：矩阵运算 • 向量 ( 问题 ) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量 ( 解

答 )

• 与微积分的关系 : 非线性 -- 微积分 线性 -- 线性代数

微积分中的代数模型 • 物理 : 以匀速代变速 • 几何 : 以直代曲 • 代数 : 以线性代非线性

线性化 -- 微分与导数• y = f(x) 在 a 的微分：• y= f(x)-f(a) ≈ 线性函数 dy = kx

• 误差 y-dy 是 x = x-a 的高阶无穷小 .

• 导数 f ’(a) = 一次项系数 k . • 一次函数逼近 f(x) ≈ f(a) +f’(a)(x-a)• 误差集合 o(x) ： x 的高阶无穷小• 非零作零貌似零 : += , -= , a= .• 同余式 f(x) ≡ f(a) +f’(a)(x-a) （ mod o(x)

）

同余式 :

• 极限 : f(x) A, f(x) ≡ A （ mod O(x) ）• 微分 : f(x) ≡ f(a) +f’(a)(x-a) (mod o(x))• Taylor 逼近 : f(x) ≡

k0+k1(x-a)+…+kn(x-a)n (mod o(x)n)

多项式的导数• .

• 多项式 f(x) 的导数 : x 为常量， f(x) = f(x+ – f(x) 是

f ’(x).

和差积商的导数公式• f(x) ≡ f(a) + f’(a) x

• g(x) ≡ g(a) +g’(a) x

• 两式相加减 和差的导数• 相乘乘积的导数• f(x)g(x) ≡ f(a)g(a) +(f(a)g’(a)+g(a)f’(a)) x

• 倒数的导数 :

微积分基本定理• 数学聊斋：飞檐走壁之电影 实现• 导数： 位置 f(t) 速度 v(t) = f’(t)• 积分：速度 v(t) 路程 f(t) • “倒过来放映” : 求 f(t) 使 f’(t) = v(t)• .

• 例： .

23/4/19

• F(x,y) 在某点 P0可微• 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)?• 线性化 : ax+by ≈ 0,

•

• y=f(x) 在 x0 可微 , 导数为

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• 可微函数• n 个方程 =0 ,

• 线性化

即• 当 det B 时有唯一解

隐映射定理

23/4/19

线性变换前后的图形

23/4/19

向量方向的变化

23/4/19

选取特征向量为基

计算案例 : 若当标准形

网上资源 http://www.teach.ustc.edu.cn

精品课程国家级 数学实验 (2003), 线性代数(2004)

http://jpk.buaa.edu.cn

2006申报精品课程 国家级 联系办法 : lisz@buaa.edu.cn

已出版教材 李尚志 , 线性代数 ( 数学专业用 ), 高等教育出版社 ,2006.5

精品课程网页http://jpk.buaa.edu.cn

博 客 http://math.cncourse.com/ 随笔 : 比梦更美好 比梦更美好之二 --- 名师培养了我

数学聊斋二则 数学诗选

23/4/19

星移斗转落银河 , 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换 , 能伸能屈是几何。

矩阵与变换

我的数学聊斋

之一 • 峨嵋山的佛光

数学聊斋

之二 • 指鹿为马之幼儿版

博比 :

长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码 : 合法码两两之间差异大 ( 至少 3位 ) 原码 : 010011101011 传输 错码 : 010010101011 纠错 最接近的合法码

数学聊斋 之三 •人与照片之维数 之四•飞檐走壁之电影 实现

数学聊斋 ( 之五 ) •足球的方与圆 --- 概率•沙场百胜古来稀•九密一疏已足奇•祸福偶然存概率•风云多变泄天机

数学聊斋 之六 •没收非法所得是惩罚吗 --- 数学期望 之七•邯郸农行案

谢谢 ！

23/4/19

代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书 图形百态方程绘 变换有规矩阵筹

代数与几何

23/4/19

矩阵的相似对角化• AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3

• A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) D• D=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3)• AP=PD, P-1AP = D• A 相似于对角形 D .

参考文献• 线性代数 ( 数学专业用 ), 高教出版社 , 2006.• 让抽象变得自然 ---- 建设国家精品课程的体会 ,

中国大学教学 , 2006 年第 7 期• 线性代数精彩应用案例 ( 之一 ), 大学数学 ,

2006 年第 3 期• 线性代数精彩应用案例 ( 之二 ), 大学数学 ,

2006 年第 4 期• 若当标准形的计算 , 大学数学 , 2006 年第 5

期• 从问题出发引入线性代数概念 , 高等数学研

究 , 2006 年第 5 期 , 第 6 期