不確実性の下での論理と「双条件付確率」の導入

不確実性の下での論理と「双条件付確率」の導入

高橋達二2013年6月27日(木) 3限情報デザインセミナーI

高橋の研究高橋の研究室内部観測研究室

研究内容人間と機械の違いを考え（哲学）、実験して（心理学）、明らかにし（理学）、役立てる（工学）機械学習・人工知能生物とくに人間にインスパイアされた強化学習

情報工学メタヒューリスティクス

認知心理学人間の思考と推論とくに条件文「～ならばー」にフォーカス

内部観測とは？科学は普通どこかで神様の視点を温存する（客観性、極限、…）完全な客観、極限の果てでは生命や認知は理解しづらい

∵　極限において生命は死に、認知は止まるか人間でなくなる（神になる？）

それに対して不確実な世界における人間・生物の局所的視点と行動を導入するかつ、神の似姿としての（不完全な神としての）人間でなく、等身大の人間・生物をモデリングし、理解する

人間の情報学

高橋の最近の研究思考における自己言及の矛盾と創発（自己との二人称における対話）

Takahashi & Gunji, 2008, 2012; Takahashi 2011　不確実性の下での意思決定と学習における、人間 (生物一般) の不合理性・対称性推論の「合理性」

科研費 25730150

Takahashi, 2013; Takahashi et al., 2010, 2011; Kohno & Takahashi, 2012, in prep.; Oyo & Takahashi, in prep.　

不確実性の下での論理学学振日仏CHORUSプロジェクト, 電大総研 Q13K-03

Takahashi 2013; Takahashi et al., 2011, 2012; Sawa, Yokokawa & Takahashi, submitted; Yokokawa & Takahashi 2012; Takahashi & Yokokawa, submitted; Baratgin, Over, Politzer, & Takahashi, in preparation　

形式論理と人間の論理違い：世界も認識も不確実行動・意思決定・介入が重要法則、ルール、因果関係の表現に条件文が重要条件文が形式論理と人間の論理で、とても違う　←　ここにフォーカス

条件文の重要性 (哲学)因果関係の表現などで良く使われる「原因ならば結果」 (予測) や「結果ならば原因」 (診断) など因果関係のほぼ唯一の表現形式全ての言語に備わっている形式時間の経過静的な言語に埋め込まれた運動状態（モノ）の概念に還元できない、本質的に過程的（コト）な表現能力、機能の表現は条件文的になる

不確実性の下での論理学：内容論理学と人間の直感や日常言語との関係「～でない」「かつ」「または」はOK

「ならば」は合わない「ならば」に関する心理学実験の結果欠陥条件文真と偽だけでなく、「関係ない」「どちらでも良い」「分からない」という三つ目の真理値

人間の欠陥条件文はほんとうに欠陥があるのか？推論心理学の旧パラダイム：　欠陥条件文推論心理学の新パラダイム：　条件付事象

de Finetti の条件付事象実験についてと、Cognitive Science 論文双条件付事象条件付事象も事象である：再帰的論理操作因果帰納パターンの解明；統計学における意味

まとめ

謝辞協力者横川純貴（M2）大用庫智（D2）澤宏司（日本女子大付属校）上浦基（RD）David Over (Durham University, UK)　Jean Baratgin (Université Paris 8, France)　Guy Politzer (Jean Nicod Institut, France)　Angelo Gilio (Universita de Roma, Italy)　服部雅史（立命館大学）

研究助成東京電機大学研究課題 Q13K-03　科研費若手B 25730150

Jean David

目次古典論理学問題：「ならば」がヘン

不確実性を認める三値論理「ならば」の適切な取り扱い確率論理と賭け

発展：双条件付確率の導入まとめ

古典論理学とその問題

古典論理学

論理回路など、コンピュータの基礎コンピュータの論理、0/1の論理

論理結合子T=真, F=偽

A かつ BA かつ BA かつ B

A AND B B=T B=F

A=T T F

A=F F F

A または BA または BA または BA OR B B=T B=F

A=T T TA=F T F

NOT A

A=T F

A=F T

古典論理における条件文論理学における従来の条件文の扱い「A ならば B」を「Aでない、またはBである」とする数学における条件文「A ならば B」であれば、A は B の十分条件、 B は A の必要条件実質含意 material implication (IMP) と呼ばれる

「A IMP B」 ⇔ 「(NOT A) OR B」

A IMP B B=T B=F

A=T T F

A=F T T

古典論理における条件文論理学の初学者が最初につまずき、いつまでも納得いかないところ：　直感・日常言語と合わないしかしそれをもって人間が論理的でないとか言うのはおかしい論理学の初学者は本当に非論理的なのか？

A IMP B B=T B=F

A=T T F

A=F T T

実質含意のパラドックス実質含意的に言えば、前件が偽なら無条件に条件文が正しい後件が真でも無条件に条件文が正しい

とすると、前件が偽だから「人間が存在しなければ、かえるは哺乳類である」が真になる後件が真だから「明日宝くじが当たれば、1+1=2である」も真になる

そんなバカバカしい条件文が正しくなってしまう

A IMP B B=T B=F

A=T T F

A=F T T

人間の条件文の理解と使用前件が真で後件も真ならば、条件文は正しい前件が真で後件が偽ならば、条件文は正しくない前件が偽ならば、条件文は正しくも正しくなくもない

Wason 1966, ...　

If A then B B=T B=F

A=T T F

A=F I I

I: irrevelant 無関係

「欠陥条件文 defective conditional」条件文は、正しくも正しくなくもない場合がある前提が成立しない（前件が偽である）場合

真理値表に穴、キズがある（TでもFでもない値が出てくる）

If A then B B=T B=F

A=T T F

A=F I I


不確実性を認める三値論理

欠陥条件文からの一般化：三値論理「無関係」を「分からない」「どちらでも良い」といった意味もあるとして、「不確実」という意味で一般的に考えて、真と偽につづく三つ目の真理値として認めてやる→　三値論理

If A then B B=T B=F

A=T T F

A=F I I


三値論理T, F, U (uncertain) の三つの値を認める論理学

BA AND BA AND B T U F

T T U FA U U U F

F F F F

BA OR BA OR B T U F

T T T TA U T U U

F T U F

NOT ANOT AT F

A U UF T

BIF A THEN BIF A THEN B T U F

T T U FA U U U U

F U U U

「不確実 (U)」の解釈F<U<T という順序を考えてやれば、以下の真理値表は自然AND は MIN, OR は MAX, NOT は上下逆転F=0, T=1, U=0.5 (または 0<U<1) と考えると確率論と整合的

NOT(X) は 1–X と定義できるB

A AND BA AND B T U FT T U F

A U U U FF F F F

BA OR BA OR B T U F

T T T TA U T U U

F T U F

NOT ANOT AT F

A U UF T


T T U FA U U U U

F U U U

T

U

F

柏崎先生の5/30の定義と一致

これは？

三値論理と確率論イタリアの de Finetti (1937) が主観確率の理論を構築する際に作っていた三値論理と一致主観確率と賭けの密接な関係賭けで考えると非常に直観的不確実性の下での行動は全て賭けと呼べる


T T U FA U U U U

F U U U

BB|AB|A T U F

T T U FA U U U U

F U U U

de Finetti による条件文の理解条件文を条件付賭け conditional bet で考える太郎が「もしオバマが再選されれば、アメリカの景気は良くなる」これを聞いた花子が、「そうじゃない」と反論じゃあ賭けようか、という流れは想像しやすい

ある人の主観的確率が確率論の公理を遵守しているかは賭けの勝ち負けの言葉で明確に表現できる (The Dutch book argument)

条件付賭け (de Finetti)太郎：「オバマ再選→アメリカ景気向上」に賭ける花子：「太郎は正しくない」＝に賭ける前提が成立したら、あとは結論と一致オバマが再選されて景気が向上したら、太郎の勝ちオバマが再選されたが景気向上しなければ、太郎の負け＝花子の勝ちオバマが再選されたが景気向上したかどうか分からないなら、賭けは未決着オバマが再選されたか分からなければ、賭けは未決着オバマが再選されなければ、賭けは不成立賭けの前提が成立しなければ、賭けは不成立

条件付賭けの真理値表太郎：「(O)オバマ再選→(A)アメリカ景気向上」花子：太郎は正しくない：O→Aの否定が正しい (O→¬A)

太郎側から見てO=T, A=T なら (O→A)=T

O=T, A=F なら (O→A)=F

O=T, A=U なら (O→A)=U

O=U なら (O→A)=U

O=F でも (O→A)=U


T T U FA U U U U

F U U U

de Finetti による条件文の確率論への導入「AならばB」が真か偽だけでなく、不確実 (恐らく; 多分; もしかしたら) でもありうると考える　→　確率「AならばB」の正しさ：　Aが起こったときBがどのくらい起こりやすいかの度合い「AならばB」の確率は条件付確率 P(B|A)

複文である条件文も一種の文である事象の複合体である「B|A」も一種の事象と認める条件付事象 conditional event

P (If A then B) = P (B|A) =P (A \B)

P (A)

条件文＝条件付事象の心理学的サポートP(If A then B)=P(B|A) という方程式は The Equation と呼ばれてきた (e.g., Edgington (1995))。この等式の実験的な正しさは多くの研究で示されている

e.g., Evans et al., 2007; Politzer et al., 2010, Baratgin et al., in press

このモデリングは真理値表で考えると欠陥条件文と完全に対応A=T, B=T の場合は確率の分子と分母両方に入るA=T, B=F の場合は確率の分母にのみ入るA=F の場合は確率を考えるとき無視する B|A B=T B=F

A=T T F

A=F I I

三値論理的の心理学的サポート

Jean Baratgin, Guy Politzer, David Over, 高橋らが行っている事象それ自体が不確実（まだ分からない、未知、不明）であることも考える

B|A B=T B=F

A=T T F

A=F I I

Baratgin, 日本心理学会 2012Results for the four binary connectives (first stage)

A⋁C T U F

T T T

U

F T F

disjunctiontable

A⇔C T U F

T T F

U

F F T

biconditionaltable

C|A T U F

T T F

U

F U U

conditionaltable

A⊃C T U F

T T F

U

F T T

implicationtable

A⋀C T U F

T T F

U

F F F

conjunctiontable

conditional

undetermined

biconditional

conditional

conjunction

implication

disjunction

disjunction

undetermined

disjunction

undetermined

conjunction

conjunctionundeterm

ined

biconditional

conditional

conjunctionimplication

implication

18

Baratgin, 日本心理学会 2012

発展：双条件付確率の導入

条件文も文である文(命題) A, B について

A AND B, A OR B, NOT A, NOT B　

は可能。では、条件文も文なので(A→B) AND (C→D), (A→B) OR (C→D), 　NOT (A→B), 　(A→B) → (C→D)　

といった文も文として使える？

条件文の複合の具体例「晴れたら散歩に行く」の否定「晴れたら散歩に行かない」になる後件が条件文「マッチをすったら、濡れてなければ火がつく」A→(B→C)　前件も後件も条件文「君がやればこれが出来るなら、僕もやればあれが出来る」(A→B) → (C→D)　

条件文を文として扱うNOT (A→B) = A→(NOT B)　これは OK

(A→B) AND (C→D), (A→B) OR (C→D), (A→B) → (C→D)　整合的な扱いが理論的に難しい

"triviality result" (Lewis, 1976)最近ようやく大体解決

Kauffman, 2009; Gilio & Sanfilippo 2013

最も単純な複合条件文(A→B) AND (C→D), (A→B) OR (C→D), (A→B) → (C→D)　の中で、(A→B) AND (B→A) が一番単純・基本的「AならばB」だし、「BならばA」である

AとBは同値、同じようなこと双条件文「AならばB」かつ「BならばA」数学では A if and only if B (A iff B と略記)

双条件文と双条件付事象「「AならばB」かつ「BならばA」」＝「(AまたはB)ならば(AかつB)」

AならばBを B|A と書くとき、 (B|A)かつ(A|B) を B||A と書くこれは高橋の因果帰納のモデルである pARIs と一致

pARIs: proportion of assumed-to-be rare instances　Takahashi et al., 2011, submitted　

David Over がパリのワークショップで pARIs と双条件付事象の確率の同一性を指摘　→　共同研究へ

B||A := (A ! B) ^ (B ! A) = A ^B|A _B

B||A B=T B=F

A=T T F

A=F F I

双条件文の確率＝双条件付確率条件文の確率は条件付確率双条件文の確率は双条件付確率

P (A ! B ^ C ! D)

=P (ABCD) + P (D|C)P (ABC) + P (B|A)P (CDA)

P (A _ C)

P (B||A) := P (A ! B ^B ! A)

=P (A ^B)

P (A _B)

=P (ABAB) + P (B|A)P (ABA) + P (A|B)P (BAB)

P (A _B)

McGee, 1989; Kauffman, 2009; Gilio & Sanfilippo, in press, 2013

「双条件付確率 biconditional probability」

双条件付事象の確率 P(B||A) を双条件付確率と呼ぶことを提唱Takahashi 2013; Yokokawa & Takahashi 2012; Takahashi & Yokokawa, submitted; Baratgin, Over, Politzer, & Takahashi, in preparation　

心理学的に半世紀謎であった「defective biconditional」パターンを説明統計学 (生態学, 情報工学) でよく用いられる Jaccard index と一致 (確率論理的な意味を付与)

心理学的には類似性の指標と一致 Tversky index of similarity

Tversky (1977) (See also: Gregson, 1975; Sjöberg, 1972)　

他にも別経路での妥当な導出が可能probable equivalence, or the probabilistic indentity of two sets A and B, P(A=B) by Kosko (2004)　

P (B||A) =P (A ^B)

P (A _B)

Exp. 3: 3x3 de Finetti table task w/ biconditional

de Finetti pattern is modal in the micro classification.

The same percentage of A&C and C||A for C3.1.

For C3.2., C||A was modal.

ColorColorColor

yellow U purple

Shape

rectangle

Shape UShape

arrow

conditional SsC3.1 C||A if rectangle then yellow, and if yellow then rectangle. 44C3.2 A||C if purple then arrow, and if arrow then purple. 31

Result of exp 3

C||S

S||C

0 0.25 0.50 0.75 1.00

A C A&C C|A A|CC||A A⊃C A⇔C other

other7%

A⇔C

12%

C|A5%

A|C7%

A&C35%

C||A35%

C3.1 C||A micro classification"near" means only one value is different from deFinetti pattern.

other

A⇔C near

A⇔C deFinettiC|A deFinetti

A|C other A|C near

A|C deFinetti

A&C other

A&C nearA&C PorteA&C deFinetti

C||A other

C||A near

C||A deFinetti

C||A A&CA|C C|AA⇔C other

C||A deFinettiC||A nearC||A otherA&C deFinettiA&C PorteA&C nearA&C otherA|C deFinettiA|C nearA|C other C|A deFinettiA⇔C deFinettiA⇔C nearother

C3.2 A||C micro classification"near" means only one value is different from deFinetti pattern.

A⇔C near deFinetti

A⇔C deFinetti

C|A near deFinettiC|A deFinetti

A|C other A&C otherA&C near deFinetti

A&C deFinetti

C||A other

C||A near deFinetti

C||A deFinetti

C||A A&CA|C C|AA⇔C other

C||A deFinettiC||A near deFinettiC||A otherA&C deFinettiA&C PorteA&C near deFinettiA&C otherA|C deFinettiA|C near deFinettiA|C other C|A deFinettiC|A near deFinettiA⇔C deFinettiA⇔C near deFinettiother

The pARIs rule★ C and E are both assumed to be rare (P(C) and

P(E) low)★ pARIs = proportion of assumed-to-be rare

instances (a, b, and c).

C Eb ca dU

pARIs = P(C iff E) = P(C and E | C or E)P(C and E | C or E)P(C and E | C or E)

=P(C and E)

=a

=P(C or E)

=a+b+c

Meta-analysis★ Fit with experiments (the same as Hattori & Oaksford, 2007)

★ pARIs fits the data set with the lowest correlation r < 0.89, the highest average correlation in almost all the data, and the smallest average error.

experiment \ model pARIs DFH PowerPC ∆P Phi P(E|C) P(C|E) pCIAS95 0.94 0.95 0.95 0.88 0.89 0.91 0.76 0.87

BCC03: exp1 0.98 0.97 0.89 0.92 0.91 0.82 0.51 0.92BCC03: exp3 0.99 0.99 0.98 0.93 0.93 0.95 0.88 0.93

H03 0.99 0.98 -0.09 0.01 0.70 -0.01 0.98 0.40H06 0.97 0.96 0.74 0.71 0.71 0.89 0.58 0.70

LS00 0.93 0.95 0.86 0.83 0.84 0.58 0.34 0.83W03.2 0.90 0.85 0.44 0.29 0.55 0.47 0.18 0.77W03.6 0.93 0.90 0.46 0.46 0.46 0.77 0.56 0.54

average r 0.95 0.94 0.65 0.63 0.75 0.67 0.60 0.75average error 11.97 18.48 33.39 24.30 27.18 27.78 24.75 29.93

Values other than in error row are correlation coefficient r.

best　next best　bad　otherwise

Data-fit of pARIs and PowerPC

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

AS95

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

BCC03exp1generative

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

BCC03exp3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

H03

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

H06

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

LS00exp123

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

W03JEPexp2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

20

40

60

80

100

Model prediction

Humanrating

W03JEPexp6

-1.75

0

1.75

3.50

5.25

7.00

0.94 0.95 0.95 0.88 0.89 0.91 0.76 0.870.98 0.97 0.89 0.92 0.91 0.82 0.51 0.92

0.99 0.99 0.98 0.93 0.93 0.950.88

0.93

0.99 0.98

-0.09

0.010.70

-0.01

0.98 0.40

0.97 0.96

0.74 0.710.71

0.89 0.58 0.70

0.93 0.95

0.86 0.830.84

0.58 0.340.83

0.90 0.85

0.44 0.290.55

0.47 0.18

0.77

pARIs DFH PowerPC ΔP Phi P(E|C) P(C|E) pCI

Cor

AS95 BCC03exp1 BCC03exp3 H03 H06 LS00 W03.2

0

75

150

225

300

correlation

error

まとめ

まとめ条件文のモデリングに関する論理学の直感との不一致は、不確実性の導入によって解消条件付事象と条件付確率

さらに条件文の連言として双条件文を考え双条件付事象の確率としての双条件付確率の概念を提唱

双条件付確率は演繹推論（真理値表タスク、確率的真理値表タスク）だけでなく、帰納推論（因果帰納）も含む広範な心理学的なデータを説明可能→　推論の統合的理論へ

心理学や、統計学・情報工学で頻出する指標の意味も与える

不確実性の下での論理と「双条件付確率」の導入

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