1

Statika apsolutno krutog tijela

1. Rezultanta silab) Analiti�ki

(Varignonov teorem)

5. dio

2

Uvodimo pojam:

Stati�ki moment sile

3

STATI�KI MOMENT SILE

Arhimed: Zakon poluge (3. st. prije Krista)

4

ba

ba

FF

ba

bFaF

<<

>>

⋅=⋅

Mala sila na velikom krakuuravnotežuje veliku silu na malom kraku !!

5

Kliješta – sklop dviju poluga

6

Stati�ki moment sile obzirom na to�ku (pol)

FrM O ×=

7

1. Hvatište: To�ka O

2. Pravac (smjer) djelovanja:Pravilo desne ruke: Iz pola O prstima desne ruke idemo u smjeru radijus vektora, a zatimu smjeru sile i palac desne ruke nam pokazuje smjer vektora momenta

Pravac momenta okomit je na ravninu i

FrM O ×=

r F

Vektor:

8

3. Iznos stati�kog momenta sile:

( )

α=α−Π

α⋅=�α−π⋅=

=α−Π

sin)sin(

sinrdsinrd

rd

)sin(

FdM

sinFrM

O

O

⋅=⋅⋅= α

FrM O ×=

Iznos stati�kog momenta sile jednak je umnošku intenziteta sile i udaljenosti sile od pola.

9

Stati�ki moment sile prostorne sile:

zyx

zyxO

FFF

rrr

kji

Fr)F(M =×=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzyO

xyyxxzzxyzzyO

FrFrkFrFrjFrFri)F(M

FrFrkFrFrjFrFri)F(M

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅=

10

Komplanarna sila F (Oxy)

Sila F i njezine projekcije Fx i Fy (komponente)

(m) jrirr

(kN) jFiFF

yx

yx

⋅+⋅=

⋅+⋅=

ry

rx

11

( )xyyx

yx

yxO FrFrk

FF

rr

kji

Fr)F(M ⋅−⋅⋅==×=00

ry

rx

12

FrFM O ×=)(

)()()( xOyOO FMFMFM +=

ry

rx

13

FeM O ⋅=

FM

e O=ry

rx

14

Odsje�ci na koordinatnim osima

15

xyxO FFeM ⋅−⋅= 0

y

ox F

Me =

xyyO FeFM ⋅−⋅= 0

x

Oy F

M e −=

16

xyyxO

xOyOO

FrFr)F(M

)F(M)F(MFr)F(M

⋅−⋅=

+=×=

ry

rx

17

Varignon-ov teorem

Stati�ki moment rezultante obzirom na neki pol jednak je sumi stati�kih momenata komponenata obzirom na taj isti pol.

�=

×=×=n

iiiRRRO FrFrFM

1

)(

)F(M)F(M)F(M

)FrFr(k)F(M

xOyOO

xyyxO

+=

⋅−⋅=

18

Primjer: Rezultanta sila FR = R

19

Varignon-ov teorem

( ) ( )332211R

iORO

hFhFhFhRhF

FM FM

⋅+⋅+⋅=⋅=⋅= Σ

321R FFFRF ++==

sila Rezultanta

20

Rezultanta komplanarnih sila

- analiti�ko rješenje

• Paralelne sile• Antiparalelne sile• Par ili spreg sila

21

Rezultanta paralelnih sila

BbAaRR FxFxFx ⋅+⋅=⋅

BA

BbAaR FF

FxFxx

+⋅+⋅= ⋅

BAR FFF +=

Pol to�ka O

22

Rezultanta antiparalelnih sila

BbRR FxFx ⋅=⋅

BAR FFF −=

BA

BbR FF

Fxx

−⋅=

Pol to�ka O

23

Da li se rezultanta antiparalelnih�������������izmeu sila FA i FB ?

BA

BbR FF

Fxx

−⋅−=

BbRR FxFx ⋅=⋅−

BAR FFF −=

Predznak – zna�i da se rezultanta FR nalazi s druge, lijeve strane sile FA

24

Rezultanta paralelnih i antiparalelnih sila - vježbe

25

Rezultanta sprega sila

−∞=−=⋅−=00kFd

xR

0=RxF

0=−= FFFRy

0=RF

FdFx RR ⋅=⋅

Rezultanta FR je jednaka nuli.

Kod grafi�kog rješenja smo isto dobili sjecište prve i zadnje zrake verižnog poligona u beskona�nosti.

26

Spreg sila karakterizira

FhM ⋅=FdM ⋅=

moment sprega sila M (slobodan vektor)

27

28

Varignon-ov teorem

Koristimo osim za odreivanje rezultantekomplanarnog������������� ��������������odreivanje:

• Koordinata težišta likova i tijela

29

Težište – paralelne sile

30

Težište – lik s otvorom antiparalelne sile

A = Aa - Ab

cm2

cm2

31

32

33

Vježbe

34

Doma�a zada�a

35

Težišta ravnih likova

Na osi simetrije uvijek se nalazi težište!

36

Varignonov����������������ivanje koodinata težišta

�

� ⋅=

i

TiT A

yAy i

�

� ⋅=

i

TiT A

zAz i