5 fp liikkeet -...
TRANSCRIPT
Fysiikan perusteetLiikkeet
Antti Haarto 22.05.2012
www.turkuamk.fi
Suureita
• Aika : tunnus t, yksikkö: sekunti = s
• Paikka: tunnus x, y, r, …; yksikkö: metri = m
– Paikka on vektorisuure
– Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) voidaan ilmoittaa suoralla olevan pisteen paikkakoordinaatin (esim. x) avulla.
• Siirtymä on paikan muutos. Tunnus: ∆x, ∆y, ∆r, …
www.turkuamk.fi
0xxx −=∆
• Nopeus: tunnus v, yksikkö m/s
• Vektorisuure
• Keskinopeusvk on siirtymä jaettuna siihen käytetyllä ajalla
• Keskinopeus EI kerro minkälaista liike on ollut ajan hetkien t0 ja t välillä.
• Keskinopeuden etumerkki ilmaisee keskimääräisen kulkusuunnan.� Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan� Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan
www.turkuamk.fi
0
0
tt
xx
t
xvk −
−=∆∆=
• Keskivauhti uk on rataa pitkin kuljettu kokonaismatka sjaettuna siihen käytetyllä ajalla t.
• Matkan ja siirtymän itseisarvot eivät ole yhtä suuret, jos liikkeen suunta vaihtelee!
• Kiihtyvyys a onvektorisuure.
• Suoraviivaisessa liikkeessä suunta ilmoitetaan etumerkin avulla (hidastuvuus).
• Keskikiihtyvyys ak on nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla
www.turkuamk.fi
t
suk =
0
0
tt
vv
t
vak −
−=∆∆=
Esimerkki keskivauhdista
Autolla käydään 450 km päässä. Menomatkalla keskivauhti on 75 km/h ja paluumatkalla 90 km/h. Laske edestakaisen matkan keskivauhti.
www.turkuamk.fi
t
suk = eli
aikakäytetty
matka kokoon iKeskivauht
km 900 km 4502on matka Koko =⋅
h 0,6km/h 75
km 450 :aika Menomatkan
11
11 ===⇒=
kk u
st
t
su
h 0,5km/h 90
km 450 :aikan Paluumatka
22
22 ===⇒=
kk u
st
t
su
km/h 82km/h 8,81h 5,0h 6,0
km 900 :iKeskivauht ≈≈
+==
t
suk
Tasainen liike
• Kappaleen liikkeen sanotaan olevan tasaista, kun kappaleen siirtymät yhtä pitkinä aikaväleinä ovat yhtä suuret.
• Kappaleen nopeus on vakio.
• Kuvaaja tx-koordinaatistossa suora.
www.turkuamk.fi
www.turkuamk.fi
0
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8 10 12
t /s
x/m
Muuttuva liike
• Muuttuvassa liikkeessäkappaleen siirtymä yhtä pitkinä aikaväleinä vaihtelee.
• Kuvaaja tx-koordinaatistossa käyrä, EI suora.
www.turkuamk.fi
www.turkuamk.fi
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
x/ m
t / s
Hetkellinen nopeus
• Keskinopeudestaei selviä, miten nopeus vaihtelee valittuna aikana.
• Hetkellinen nopeustai nopeusv ilmoittaa kappaleen nopeuden mielivaltaisella hetkellä.
• Nopeus saadaan, kun lasketaan keskinopeus erittäin pienellä aikavälillä.
• Nopeus on paikan x derivaatta ajan t suhteen (paikan aikaderivaatta).
www.turkuamk.fi
t
x
t
xv
t d
dlim
0
=∆∆=
→∆
Nopeuden graafinen tulkinta
• Nopeus voidaan selvittää tx-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta.
• Jos kuvaaja on suora, niin nopeus on suoran kulmakerroin.
• Jos kuvaaja on käyrä, niin nopeus on käyrää sivuavan suoran, tangentin, kulmakerroin
www.turkuamk.fi
0
0
tt
xx
t
xv
−−=
∆∆=
www.turkuamk.fi
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
x/ m
t / s
www.turkuamk.fi
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
x/ m
t / s
www.turkuamk.fi
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
x/ m
t / s
www.turkuamk.fi
m/s 0,2s 2 - s 10
m 2 - m 18 ≈=∆∆=
t
xv
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
x/ m
t / s
• Virheiden pienentämiseksi pisteet (x, t) ja (x0, t0) kannattaa valita riittävältä etäisyydeltä toisistaan.
• Nopeuden (kulmakertoimen) etumerkki kertoo nopeuden suunnan.
� Jos +, niin positiivisen x-akselin suuntaan
� Jos –, niin negatiivisen x-akselin suuntaan
www.turkuamk.fi
Kiihtyvyyden graafinen tulkinta
• Keskikiihtyvyys ak oli nopeuden muutos jaettuna siihen käytetyllä ajalla
• Hetkellinen kiihtyvyys saadaan kuten hetkellinen nopeus
• Kiihtyvyys on nopeuden v derivaatta ajan t suhteen (nopeuden aikaderivaatta).
www.turkuamk.fi
t
v
t
va
t d
dlim
0
=∆∆=
→∆
0
0
tt
vv
t
vak −
−=∆∆=
• Kiihtyvyys voidaan selvittää tv-koordinaatistoon piirretystä kuvaajasta.
• Jos kuvaaja on suora, niin kiihtyvyys on suoran kulmakerroin.
• Jos kuvaaja on käyrä, niin kiihtyvyys on käyrää sivuavan suoran, tangentin, kulmakerroin
• Samalla tavalla saatiin nopeus tx-koordinaatistoonpiirretystä kuvaajasta
www.turkuamk.fi
0
0
tt
vv
t
va
−−=
∆∆=
Siirtymä ja nopeuden muutos fysikaalisena pinta-alana
• Siirtymä voidaan selvittää kuvaajasta, jossa on esitetty nopeus ajan funktiona.
• Kun kappaleen nopeus on vakio, niin kuvaaja on vaakasuora viiva.
www.turkuamk.fi
www.turkuamk.fi
tvxt
xv ∆=∆⇒
∆∆=
v
v
tt1 t2
x∆
12 ttt −=∆
• Siirtymä oli kuvaajan osan alle jäävän suorakulmion ”pinta-ala” (fysikaalinen pinta-ala).
• Yleisemmin: Siirtymä on nopeuskäyrän ja aika-akselin väliin jäävä ”pinta-ala”.
• Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen.
• Huomioi! Saadaan vain siirtymä, EI paikkaa.
www.turkuamk.fi
∫=∆2
1
d)(t
t
ttvx
Nopeuden muutos
• Vastaavalla tavalla kuin siirtymä saadaan nopeuden muutos∆v kiihtyvyyskäyrän ja aika-akselin väliin jäävänä ”pinta-alana”.
• Huomioi! Aika-akselin alapuolinen ”pinta-ala” on negatiivinen.
• Huomioi! Saadaan vain nopeuden muutos, EI nopeutta
www.turkuamk.fi
∫=∆2
1
d)(t
t
ttav
Esim. Laske siirtymä ajanhetkien 0 s ja 12 s välillä.
www.turkuamk.fi
m 12
s 5 m/s 42
1 - s 2 m/s 4
2
1 s 3 m/s 4 s 2
2
m/s 4 m/s 2
=
⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+=∆x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8 10 12 14
v/ m
/s
t / s
Tasaisesti muuttuva liike
• Kappale on tasaisessa muuttuvassa suoraviivaisessa liikkeessä, jos kappaleen kiihtyvyys on vakio
– Vapaa putoaminen
– Varattu hiukkanen tasaisessa sähkökentässä
– Voimassa yleensä vain lyhyen matkan!
• Keskikiihtyvyys voidaan korvata vakiolla
www.turkuamk.fi
0
0
tt
vv
t
vaa k −
−=∆∆==
• Yksinkertaistetaan yhtälöä siten, että kappaleen ohittaessa origoa:
• t0 = 0; x0 = 0;
• Silloin edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa
• Yhtälön kuvaaja tv-koordinaatistossa on suora, jonka kulmakerroin on kiihtyvyys
www.turkuamk.fi
atvvt
vva
+=⇔
−=
0
0
• Jos ja VAIN JOS kiihtyvyys on vakio, niin keskinopeus
• Silloin kappaleen paikka mielivaltaisella hetkellä
• Sijoittamalla nopeuden v lauseke edelliseen saadaan
www.turkuamk.fi
221
0 attvx +=
tvv
tvx k 20 +==
20 vv
vk
+=
atvv += 0
Edellinen yhtälö kuvaajan avulla
www.turkuamk.fi
221
0 attvx +=
00 t
v
v0
v0t
t
v0
at
v
v = v0 + at
at212_
• Usein tarvitaan yhtälöä, jossa ei ole mukana aikaa t
• Tällainen saadaan yhdistelemällä edellisiä yhtälöitä
• ja
www.turkuamk.fi
axvv 220
2 +=⇒
atvv += 02
21
0 attvx +=
Esimerkki tasaisesti muuttuvasta liikkeestä
Auto lähtee liikennevaloista vakio kiihtyvyydellä 1,50 m/s2.
a) Mikä on auton nopeus 8,00 s lähdön jälkeen?
b) Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut 8,00 s aikana?
www.turkuamk.fi
s 00,8
m/s 00,0
m/s 50,1
0
2
==
=
t
v
a
m/s 12,0 s 8,00m/s 1,50 m/s 0,00 a) 20 =⋅+=+= atvv
m 48,0 s) 8,00(m/s 1,50 s 8,00 m/s 0,00 b) 22212
21
0 =⋅⋅+⋅=+= attvs
Vapaa putoamisliike
• Kappale on vapaassa putoamisliikkeessä, kun siihen ei vaikuta muita voimia kuin painovoima
• Putoamiskiihtyvyys
• g = 9,81 m/s2 laskutehtävissä
• mittauksissa Turussa 9,82 m/s2
• Lyhyillä matkoilla voidaan g:n arvoa pitää vakiona
www.turkuamk.fi
• Tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt ovat voimassa myös vapaassa putoamisliikkeessä
• Kiihtyvyyden suunta on alaspäin: a = -g
www.turkuamk.fi
gtvv −= 0
tvv
y2
0 +=
221
0 gttvy −=
gyvv 220
2 −=
Heittoliike
• Pystytasossa (2 akselia) tapahtuvaa liikettä
• Vain Maan vetovoima vaikuttaa kiihtyvyydellä g = ay ≈ –9,81 m/s2
• Ilmanvastusta ei siis huomioida
• Tasaisen etenemisliikkeen (vaakasuoraan) ja vapaan putoamisliikkeen (pystysuoraan) yhdistelmä
– Toisistaan riippumattomia
– Aika yhdistää
www.turkuamk.fi
mg
g
• Oletetaan, että kappale lähtee aina origosta (x0 = 0 ja y0 = 0)
• Koordinaatiston valinta tarvittaessa
• Yleensä tiedetään alkuvauhti v0 ja lähtökulma θ0
www.turkuamk.fi
• Alkunopeuden komponentit
• Nopeuden komponentit ajan t kuluttua
• Kappaleen asema ajan t kuluttua (lähtöpaikka origo)
www.turkuamk.fi
000
000
sin
cos
θθ
vv
vv
y
x
==
gtvgtvv
vvv
yy
xx
−=−===
000
000
sin
cos
θθ
221
002
21
0
000
sin
cos
gttvgttvy
tvtvx
y
x
−⋅=−=
⋅==
θθ
• Lentoaika on se aika, jonka kuluttua kappale on palannut lähtökorkeudelle
• Nousuaika lakikorkeuteen
• on puolet lentoajasta • Symmetrinen lento, koska ei ilmanvastusta
www.turkuamk.fi
g
vt 00 sin2 θ=
g
vtn
00 sinθ=
• Kantama R on matka vaakasuunnassa, jonka kappale liikkuu lentoajassa
• Maksimi saavutetaan, kun θ0 = 45º
• Vain jos kappale on palannut lähtökorkeudelle!
www.turkuamk.fi
g
v
g
v
g
vvtvR x
)2sin(sincos2
sin2cos
02000
20
00000
θθθ
θθ
==
==
www.turkuamk.fi
• Huomioi!
• Kantaman ja lentoajan kaavoja voi käyttää vain poikkeustapauksissa
• Tavallisesti lasketaan ensin aika joko tunnetun korkeuseron tai tunnetun etäisyyden avulla.
• Korkeuseroa käytettäessä aika joudutaan ratkaisemaan toisen asteen yhtälöllä
• Kun aika on ratkaistu, voidaan sen avulla ratkaista joko etäisyys tai korkeusero
www.turkuamk.fi
Esimerkki heittoliikkeestä
Samppanjapullon korkkia avatessa se osuu ikkunaan 2,5 m etäisyydelle vaakasuunnassa. Korkin lähtökulma on 55° ja lähtövauhti 6,5 m/s. Laske kuinka korkealla korkki käy ja kuinka korkealle ikkunaan korkki osuu lähtöpisteeseen verrattuna.
www.turkuamk.fi
m/s 32,5sin :(y) alkuvauhti
m/s 73,3cos :(x) alkuvauhti
000
000
≈=≈=
θθ
vv
vv
y
x
s 167,0 :aika0
0 ≈=⇒=x
x v
xttvx
m 4,1m 365,1 :ikkunassa korkeus 221
0 ≈≈−= gttvy y
s 543,00 :huipulleradan aika 00 ≈=⇒=−=
g
vtgtvv y
nnyy
m 4,1m 446,1 : slakikorkeu 221
0 ≈≈−= nny gttvy