Fysiikka 1 (5 op)

opettajan s-posti: jouko.teeriaho@lapinamk.fi

Kurssin perustiedot

MOODLE - oppimisympäristö• R51R19S 1. lukukausi• Kurssiavain: R51R19S

VÄLINEET• Taulukkokirja ja laskin (www.wolframalpha.com

m.wolframalpha.com tai ladattu apps)

• Vihko tehtäviä varten

ARVIOINTI• Asteikko 0 - 5

Kokeiden arvostelu

Fysiikan kurssin sisältö

1. Suureet, lukujen esitysmuodot, kerrannaisyksiköt, esitystarkkuus2. Liikeoppi (kinematiikka)

- nopeus, kiihtyvyys, tasaisesti kiihtyvä ja hidastuva liike, heittoliike3. Dynamiikka (voimat)

- Newtonin lait, massa, painovoima, tukivoimat, kitkavoima,väliaineen vastus, jousivoima- ympyräliike ja keskipakovoima

4. Työ, teho ja energia, energiaperiaate- työ, teho, hyötysuhde, mekaaninen energia,- mekaanista energiaa käyttäviä voimalatyyppejä- energian säilyminen

5. Jäykän kappaleen tasapainoehdot- voiman momentti

Kansainvälinen yksikköjärjestelmä SI

Fysiikassa mitattavia ominaisuuksia kutsutaan suureiksi (”quantity”)

Suureilla on symbolit, jotka kuuluu tuntea.Jokaisella suureella on sille määritelty yksikkö (”unit”).

Suureet ja yksiköt

1960 -luvulta alkaen fysiikassa ja muissa luonnontieteissä maasta riippumatta käytetään globaalia yksikköjärjestelmää, jonka nimi on SI- yksikköjärjestelmä.(ns. "kansainväliset yksiköt")

Yhtenevyyteen ei ole vielä päästy. Mm. USA:ssa polttoainetta tankataanvielä gallonissa (3.8 litraa) ja auton moottoritehoja ilmoitetaan ainakin osittain hevosvoimissa, joissakin maissa nopeusmittari näyttää mailia tunnissa. Myös Suomessa käytetään muita kuin SI -yksiköitä: esim. Celsius – asteet, tuumat

Perussuureet ja johdetut suureetPerussuureet:

Kaikki muut suureet voidaan määritellä fysiikan kaavoilla siten, että ne palautuvat perussuureiden mittauksiin.

Esimerkkejä perusyksiköiden määrittelystä1 sekunti = 9 192 631 770 * Cs133 -isotoopin spektrin erään aallonpituuden värähdysaika1 metri = matka, jonka valo kulkee tyhjiössä 1/299 792 458 sekunnissa.1 kilogramma = Pariisissa sijaitsevan Iridiumista tehdyn kilon prototyypin massa

Johdettuja suureita ovat mm.

Kerrannaisyksiköt= etuliitteet 10:n potensseille

Suureiden arvoja ilmoitettaessa käytetään AINA kerrannaisyksiköiden lyhenteitä:Emme sano 0.15 A vaan 150 mA, emme sano 130 000 m vaan 130 km,...

Harjoitus1. Desimaaliluvun esittäminen potenssiesityksenä (ns. ”scientific”)

- Pääperiaate : kerroinosa välillä 1.0 – 9.99

Esitä potenssimuodossa 1) 0.000148 = 1.48*10-4

2) 17 400 000 = 1.74*107

3) 0.0000037 = 3.7*10-6

4) 15300 = 1.53*104

Muunna potenssimuodosta desimaaliluvuksi 1) 4.5* 10 -5 = 0.0000452) 8.5*108 = 850 000 0003) 1.25*10-2 = 0.01254) 9.5*104 = 95000

0.00062 = 6.2*10-4

150000 = 1.5*105

Harjoitus2. Ilmoita kerrannaisyksikköjä käyttäen

7.2 * 10-5 m 72 * 10-6 m 72 µm

6.7 * 107 W 67 * 106 W 67 MW

4.45 * 10-7 s 445 * 10-9 s 445 ns

Tehtävä 3: Kirjoita kerrannaisyksiköitä (ts. etuliitteitä k,M,G,T ja m,µ,n, p käyttäen) seuraavat suureiden arvot

4.3*10-10 m = 430*10-12m = 430 pm

Yleensä pyritään siihen että kerroinosa ei ole <1 , ts. esim. 0.25 cm:n sijasta olisi suotavampi kirjoittaa 2.5 mmja 0.18 ms pitäisi kirjoittaa 180 µs. Painoyksiköissä kerrannaisyksiköt menevät poikkeavasti: kg, tn (tonni), ktn, Mtn

7.3*10-5 A = 73*10-6 A = 73 µA

3.7*10-4 s = 370*10-6 s = 370µs

7 400 000 000 kg = 7 400 000 tn = 7.4 Mtn

0.57* 105 V = 57*103V = 57 kV

Huom! Suuret massat ilmoitetaan tonnien kerrannaisina

Kerto- ja jakolaskujen tulosten esitystarkkuus

Fysiikassa perusolettama on, että laskujen lähtöarvot eivät ole tarkkoja arvoja, vaan ne ovat mittaustuloksia, jotka eivät ole koskaan absoluuttisen tarkkoja.

Esim. Kun virtamittari näyttää 1.5 Ampeeria, on virta (1.5 ± 0.05) A Tai jos metrinmitalla saadaan laudan pituudeksi 145 mm, on pituus esim. (145 ± 0.5) mm

=> Kun lähtöarvoja käyttäen lasketaan jokin suure, ei siihen ole syytä ottaa kaikkia laskimen näyttämiä desimaaleja, vaan yleensä 2 – 3 merkitsevää numeroa

Kerto- , jako- ja potenssilaskujen tulos tulee esittää yhtä monella merkitsevällä numerolla, kuin niitä on epätarkimmassa lähtöarvossa.

Esim. Esitä sopivalla tarkkuudella seuraavien laskujen tulokset.

0.0012 * 523 = 0.6276 ≈0.63 (pyöristys tehty)

1.25 * 0.14*10-3/150 =1.166667*10-6 ≈ 1.2*10-6

Huom! Etunollat eivät ole merkitseviä numeroita, ne ilmaisevat vain kertalukua. Merkitsevät numerot näkyisivät parhaiten potenssiesityksen kerroinosasta. Seuraavassa on alleviivattu eräiden lukujen merkitsevät numerot: 1.15 0.037 0.150 6500

3.7.10-2 150.10-3 6.5.103

Huom! Luvuissa kuten 150 tai 500 perässä olevat nollat voivat olla mitattuja eli merkitseviä numeroita taijoissakin tapauksissa pyöristämisellä saatuja. Tällöin on kaksi tulkinnan mahdollisuutta niiden merkitsevien numeroiden määrästä

Yhteen- ja vähennyslaskun tuloksien tarkkuus

- Merkitsevien numerojen sijasta katsotaan desimaalitarkkuutta.Summan tarkkuus valitaan epätarkimman termin mukaan

Pyöristä sopivaan tarkkuuteen käyttämällä yo. sääntöä

a) 2.15 + 0.125 = 2.375 ≈ 2.38

b) 5.25 + 3.4 = 8.65 ≈ 8.7

c) 6.3 - 5.42 + 2.1 = 13.82 ≈ 13.8

sadasosan tarkkuus

kymmenesosan tarkkuus

kymmenesosan tarkkuus

Vastaus: 97 m

Epätarkin lähtöarvo on 4.7 (2 merkitsevää)

Vastaus: 3.3 m/s2

Epätarkin lähtöarvo on 3.5 (2 merkitsevää)

Kinematiikka(liikeoppi)

Kinematiikka tutkii liikettä. Sen perussuureet ovat paikka, nopeus ja kiihtyvyys.

SUORAVIIVAINEN LIIKE

Kappale liikkuu yhdessä dimensiossa. Sen paikka ilmaistaan paikkakoordinaatilla x.

NOPEUS v (velocity)

Keskinopeus vk

Määritelmä: Kappaleen keskinopeus aikavälillä (t1, t2) on sen paikkakoordinaatin muutos jaettuna aikavälin pituudella:

12

12

tt

xxvk

Hetkellinen nopeus v(t)

Kappaleen nopeus hetkellä t on vaikeammin mitattavissa. Se on kappaleen paikkakoordinaatin x(t) derivaatta hetkellä t. Kuvaajasta x(t) se voidaan määrittää tangentin kulmakertoimena hetkellä t.

(1)

(2)

=∆𝑥

∆𝑡

NOPEUDEN YKSIKÖITÄ:SI- perusyksikkö 1 m/s (käytettävä laskuissa)

1 km/h = 1000 m/ 3600 s = 1/3.6 m/s1 solmu = 1 merimaili / h = 1.852 km/h

Esim. Alla on taulukoitu erään kappaleen paikka x sekunnin välein välillä 0 – 8 s.

Määritä a) Kappaleen keskinopeus välillä 0 – 8 sb) Kappaleen keskinopeus välillä 3 - 7 sc) Kappaleen hetkellinen nopeus hetkellä 3.0 s

s

m

ss

mmvk 9.2

08

05.23

s

m

ss

mmvk 0.4

37

3.52.21

a)

b)

c)

Kohtaan t = 3 piirretyn tangentin kulmakerroin antaa hetkellisen nopeuden: v(3s) = 22m/4s = 5.5 m/s(toinen tapa: keskinopeus välillä 2 – 4 s )

Esim. Matti ajaa puolet työmatkastaan nopeudella 50 km/h ja toisen puolen nopeudella 90 km/h.

Mikä on Matin keskinopeus työmatkalla?

On ilmeistä , että tulos ei ole riippuvainen työmatkan pituudesta, joten matkaksi voidaan valita esim. 100 km

Tehtävän ratkaisu voi perustua vain keskinopeuden määritelmään:

vk = 𝒌𝒖𝒍𝒋𝒆𝒕𝒕𝒖𝒎𝒂𝒕𝒌𝒂

𝒂𝒊𝒌𝒂= 𝚫𝐱

𝚫𝐭

Kuljettu matka Δx = 100 km

Ajoaika Δt = 50 𝑘𝑚

50 𝑘𝑚/ℎ+

50 𝑘𝑚

90 𝑘𝑚/ℎ= 1.00 h + 0.56 h = 1.56 h

Keskinopeus on

vk = Δ𝑥

Δ𝑡= 100 𝑘𝑚

1.56 ℎ= 64 km/h

kv

xt

aika=matka/nopeus

Kiihtyvyys a (acceleration)Keskikiihtyvyys = nopeuden muutos / muutokseen kulunut aika 12

12

tt

vv

t

vak

Kiihtyvyyden yksikkö: 1 m/s2

28.110

)018(s

msm

kst

va

20.22

)612(s

msm

kst

va

a) Keskikiihtyvyys 0 – 10 s

b) Keskikiihtyvyys 2 – 4 s

c) Keskikiihtyvyys 8s kohdalla(≈ keskikiihtyvyys 7- 9 s)

20.12

)1517(s

msm

kst

va

KULJETUN MATKAN MÄÄRITTÄMINEN NOPEUSKÄYRÄSTÄ- Voidaan suorittaa pinta-alalaskulla

TAPAUS1: TASAINEN LIIKE

Tasaisessa liikkeessä ajassa t kuljettu matka saadaan kertomalla aika nopeudella

tvx

Muuttuvanopeuksinen liike

Kun nopeus vaihtelee, voidaan aika jakaa osaväleihin, joiden sisällä nopeus on likimain vakio. Ao. kuvaajassa kunkin suorakaiteen pinta-ala edustaa ko. aikavälillä kuljettua matkaa ja suorakaiteiden yhteinen pinta-ala edustaa kokonaismatkaa välillä ( 0 , t ) sitä tarkemmin, mitä tiheämpi jako on. Johtopäätöksenä voidaan todeta, että kuljettu matka on nopeuskäyrän ja aika-akselin välinen pinta-ala (t. v) koordinaatistossa.

Graafisesti matka saadaan suorakaiteen pinta-alana t,v - koordinaatistossa:

Ratkaisu: Kuljettu matka on nopeuskäyrän alle jäävä pinta-ala

mx 1322

124

2

12153152

2

155

Käytetään kaavaa

aika

nopeus

Tasaisesti kiihtyvä liike

• 1- ulotteinen tasaisesti kiihtyvä liike

• Putoaminen painovoimakentässä

• Vino heittoliike – lentoradan yhtälöty = k x + b

b

SUORAVIIVAINEN TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE =uniformly accelerated motion

Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä kiihtyvyys a on vakio, mistä seuraa, että nopeuden kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on kiihtyvyys a. Suora leikkaa nopeusakselia kohdassa v0 , ( = nopeus ajanhetkellä t = 0)

Nopeuskuvaaja on suora viiva

Nopeus ajan t kuluttua

Kuljettu matka hetkellä t

Paikkakoordinaatti x hetkellä t

Merkinnät:t = aikaa = kiihtyvyys (m/s2)v0 = alkunopeus (m/s)x0 = paikkakoordinaatti alussav = nopeus lopussa (hetkellä t)x = paikkakoordinaatti lopussa

=> Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaavat:

Δx =vkt = (v0+ ½a t) t = v0t + ½a t2

v = v0 + a t

Huom1. Usein voidaan valita lähtöpisteeksi origo : ts. x0 = 0 => yhtälöihin jää 5 parametriaHuom2. Kahdesta yhtälöstä voi ratkaista 2 tuntematonta => kun tunnetaan mitkä tahansa 3 parametria, loput 2 voi ratkaista yhtälöparista

-usein valitaan x0 = 0

Sijoitukset: v0 = 100/3.6 = 27.78 m/sa = -2.8 m/s2

t = ?v = 0 m/sx = ?

Nopeusyhtälöstä saadaan sijoitusten jälkeen0 = 27.8 - 2.8 t => jarr.aika t = 27.8/2.8 s = 9.9 s

Paikkayhtälöstä saadaan jarrutusmatkax = 27.8*9.9 - ½* 2.8*9.92 = 138 m Huom”. Välituloksia ei kannata

pyöristää, koska virhe kertautuu.

V: 140 m

a = -3.0 m/s2

v0 = 25.0 m/st =?v =?x = 35 m (60-25)”nopeusyhtälö”

v = 25 - 3.0 t”paikkayhtälö”35 = 25 t – 1/2 *3*t2

1.5 t2 - 25 t + 35 = 0

Tästä 2. asteen yhtälöstä saadaan jarrutuksen kesto t

Juuret : *) osuu poroon hetkellä 1.54 s tai (15.14 s)

5.12

355.142525

2

4 22

a

acbbt

Sijoitetaan t = 1.54 s nopeusyhtälöön => v = (25 – 3.0*1.54 )m/s = 20. 4 m/s = 74 km/h

*)TI-laskimella solve(35=25 t – ½*3t2 , t) wolframalpha: solve 35=25 t – ½*3t^2=0

*3.6

Taulukkokirjan 2. asteen yhtälön ratkaisukaava.Nykylaskimissa on jo lähes kaikissa solve, jolloin ratkaisukaavaa ei tarvitse käyttää

Tekstistä löytyvät sijoitukset:

Putoaminen painovoimakentässä

Tavallisin esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä on kappaleiden putoaminen painovoiman vaikutuksesta.

Meren pinnan tasolla putoamiskiihtyvyys g = 9.81 m/s2 = 9.8 m/s2.

xy- koordinaatistossa eteen laitetaan miinus etumerkki

Pystysuora liike painovoimakentässä* Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaavoihin kiihtyvyyden a tilalle laitetaan – g eli -9.81 m/s2

* Kappaleen paikkaa = korkeutta maan pinnalta merkitään y:llä (korkeuskoordinaatti)

Kuumailmapallo on nousemassa nopeudella 5.0 m/s suoraan ylöspäin, kun 25 m korkeudessa siitä pudotetaan hiekkasäkki. a) Minkä ajan kuluttua ja b) millä nopeudella hiekkasäkki osuu maahan?

Etumerkkisääntö:Ylös suuntautuvat nopeudet ja kiihtyvyydet: + Alaspäin: -

Sij. g = 9.81 m/s2

v0 = +5.0 m/st = ?v = ?y0 = 25 m y = 0 (maa)

v = 5 - 9.81 t0 = 25 + 5 t – ½ *9.81*t2

a) Juuret (t = -1.8 s) tai t = 2.82 s (lentoaika)b) Nopeus v = 5 m/s – 9.81m/s2*2.82s = -23 m/s

*)TI-laskimella solve(0 =25 + 5 t – ½*9.81t2=0, t) wolframalpha: solve 0 =25 +5 t – ½*9.81t2

*)

Vino heittoliikeKappaleen liike koostuu kahdesta erillisestä liikkeestä:X- suunnassa vapaasti lentävä kappale liikkuu tasaisella nopeudellaY- suunnassa kappale on putoamisliikkeessä, jossa kiihtyvyys on –g.

Vaakanopeus cos0vvx

Vaakasuora liike

ALKUNOPEUSVEKTORI ഥ𝒗0 JAETAAN KAHTEEN KOMPONENTTIIN

)sin,cos( 000 vvv

Kirjoitetaan kappaleen paikkavektorin (x,y) koordinaattien lausekkeet käyttäen tasaisen liikkeen ja tasaisesti kiihtyvän putoamisliikkeen kaavoja.

Kappaleen ratayhtälöt : kappaleen paikkavektori (x, y) ajan funktiona

Pystysuora liike

tgvvy sin0Nopeuden y – komponentti

ca

b=c cos(α)α

a=c sin(α)

Esim.2 Rannikkotykistön ammunnoissa eräs tykinammus lähtee nopeudella 600 m/s kulmaan 25o. Laske a) ammuksen lentoaika b) kantama c) lakikorkeus(Oletetaan, että lähtöpaikka on n. meren pinnan tasolla)

Lähtönopeuden vaaka- ja pystykomponentti:Vaaka: 600*cos25o = 543.8 m/s (pysyy vakiona)Pysty: 600*sin25o = 253.6 m/s (putoaa g:n verran joka sekunti)

y0 = 0 y = 0 (osuu mereen)g=9.81v0 cosα = 543.8 v0 sinα = 253.6

x = 543.8 *t y = 253.6 t - ½*9.81*t2

Lentoaika t ja kantama x saadaan sij. y = 00 = 253.6 t - ½*9.81*t2

a) juuret (miel. koneella) t = 0 s tai 51.7 sb) kantama x = 543.8m/s*51.7s = 28114m = 28 kmc) Laki saavutetaan lennon puolivälissä t = 25.85sy = (253.6*25.85 - ½*9.81*25.852 ) = 3278m =3.3 km

Esim.3 Yleisurheilun GP – kisojen miesten kuulan voittotyönnössä kuula lähti 180 cmkorkeudelta 45o kulmassa lähtönopeudella 14.10 m/s. Kuinka pitkä oli työntö

Lähtönopeuden vaaka- ja pystykomponentti:Vaaka: 14.10*cos45o = 9.970 m/s (pysyy vakiona)Pysty: 14.10*sin45o = 9.970 m/s (putoaa g:n verran joka sekunti)

y0 = 1.8 m y = 0 m (maan pinta)

x = 9.970 *t y = 1.8 + 9.970 t - ½*9.81*t2

Lentoaika saadaan sijoituksella y = 0 (osuu maahan)0 = 1.8 + 9.970 t - ½*9.81*t2

Juuret: (t = -0.1668 s) tai t = 2.1995 sTulos: x = 9.970 *t = 9.970 *2.1995 m = 21.93 m

Esim.3 Kalevan kisojen miesten kuulan voittotyönnössä 18.85 m kuula lähti 180 cm korkeudelta 45o kulmassa. Mikä oli lähtönopeus?

y0 = 1.8 m y = 0 m (maan pinta)

18.85 = v0*0.707 *t 0 = 1.8 + v0*0.707*t - ½*9.81*t2 (maahantulo: y = 0)

0 = 1.8 + 18.85 – 4.905 t2 ( ½ g = 4.905)

-20.65 = - 4.905 t2 => t = 2.052 sSijoitetaan saatu lentoaika yhtälöön18.85 = v0*0.707 *t = v0*0.707 *2.052 v0 = 18.85/(0.707*2.052) m/s = 13.0 m/s(vrt. olympiavoittajan 14.1)

Sij. cos45o = sin45o = 0.707

Helpoimmin ratkaisu tulisi ratkaisemalla laskimella yhtälöpari

Dynamiikka

• Dynamiikan suureet: massa m, voima F

• Newtonin lait sovelluksineen

Wikipedia: ”Dynamiikka on mekaniikan osa-alue, joka tutkii

voimien ja momenttien vaikutusta kappaleen liikkeeseen.”

suom. ”Voimaoppi”

Voima F ja massa mDynamiikka käsittelee liikkeen syitä. Kiihtyvyyden aiheuttavat kappaleeseen

vaikuttavat voimat. Perussuureet ovat voima F ja massa m.

Käsiteltäviä voimia:

1. Painovoima

2. Tukivoimat

3. Jännitysvoimat (esim. vaijerissa)

4. Kitkavoima

5. Jousivoima

6. Väliaineen vastus (ilmanvastus)

7. Hitausvoimat, esim. keskipakovoima

Newtonin lait Dynamiikan perustana on Isaac Newtonin 3 lakia 1600 - luvulta

Newtonin 1. laki : ”Jatkavuuden laki”

Kappale pysyy levossa tai jatkaa suoraviivaista, tasaista liikettään,

jos kappaleeseen ei vaikuta voimia tai kappaleeseen vaikuttavien voimien summa = 0

m

Esim. pallo on levossa maan pinnalla.

Siihen vaikuttaa kuitenkin 2 voimaa :

painovoima G ja tukivoima maasta

palloon N.

Voimat ovat tasapainossa

(Niiden summa = 0)

G

N

Newtonin 2. laki : ”Dynamiikan peruslaki”

Jos voimien summa ei ole 0 vaan niiden summa on ഥ𝑭 (vektori), niin kappale joutuu

kiihtyvään liikkeeseen. Voima ja kiihtyvyys ovat verrannolliset toisiinsa:

ഥ𝑭 = m ഥ𝒂

missä m = kappaleen massa, a = kappaleen kiihtyvyys

Kaava antaa voiman yksiköksi 1kg*m/s2 = 1 Newton = 1 N

Painovoima G

= kappaleeseen vaikuttava gravitaatiovoima

Jo Galilei havaitsi 1500 luvulla , että kaikki kappaleet putoavat maan lähellä kiihtyvyydellä g = 9.81 m/s2.

mgG (2.3)Painovoima maan pinnalla:

Huom! massan ja painon ero:

Massa on kappaleen universaali ominaisuus

Paino puolestaan riippuu mittauspaikasta, se jopa vaihtelee eri maapallon alueilla

m

G = mg

Siten Newtonin II lain F = ma mukaan

Esine joka lepää pöydällä vaikuttaa pöytään yhtä

suurella voimalla (esineen paino mg) kuin pöytä

esineeseen (tukivoima N).

Jos kappale A vaikuttaa kappaleeseen B voimalla F, niin B vaikuttaa

vastaavasti A:han yhtä suurella, vastakkaisella voimalla - F

Newtonin 3. laki : ”Reaktiolaki (voiman ja vastavoiman laki)”

Esim1:

Esim2: Voima, jolla Maa vetää puoleensa Kuuta ja voima, jolla

Kuu vetää puoleensa Maata ovat yhtä suuret.

Kuun massa on vain 1/81 maan massasta, joten kuun

kiihtyvyys on 81 kertainen maan kiihtyvyyteen verrattuna.

(johtuu kaavasta a = F/m)

Tästä johtuu, että kuu kiertää maata. Maa kiertää myös

Maan ja Kuun yhteistä painopistettä, joka sijaitsee maan

kuoren sisällä n. 4700 km maan keskipisteestä.

Tasapainotehtävät

Perustuvat Newtonin I lakiin:”Kappale on levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä, jos

kappaleeseen vaikuttavien voimien vektorisumma = 0”

Jos voimat on jaettu x- ja y-komponentteihin, niin

”Kappale on levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä, jos

kappaleeseen vaikuttavien voimien x –komponenttien summa = 0 ja

samanaikaisesti y-komponenttien summa = 0”

Tasapainotehtäviä voidaan ratkaista joko kolmiogeometriaan perustuvalla

menetelmällä tai vektorilaskentaan perustuvalla menetelmällä.

Tasapainotehtävissä tarvittavaa matematiikkaa

Kolmiossa kulman sinin ja kulman vastaisen sivun suhde = vakio.

𝑎

𝑠𝑖𝑛𝛼=

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝛽=

𝑐

𝑠𝑖𝑛𝛾

Voimakolmiomenetelmässä tarvitaan SINILAUSETTA

Komponenttimenetelmässä vektorit jaetaan komponentteihin käyttäen seuraavia kaavoja.

Olkoon vektorin pituus r ja vektorin

suuntakulma positiiviseen x-

akseliin nähden φ. Tällöin vektorin

Vaakakomponentti x = r cos φ

Pystykomponentti y = r sin φ

Esimerkki sinilauseen käytöstä:

Määritä kuvan kolmion sivut a ja b

55o

30o

95o

25

Sinilause:

25

𝑠𝑖𝑛95=

𝑎

𝑠𝑖𝑛30=

𝑏

𝑠𝑖𝑛55

a=25

𝑠𝑖𝑛95sin30=12.5

b=25

𝑠𝑖𝑛95sin55=20.6

Esimerkki vektorien komponentteihin jakamisesta

a

b

c

50o44o

4o

Laske taulukkoon vektoreiden a,b ja c vaaka- ja pystykomponentit

Aloita täydentämällä suuntakulmat φ luettuna positiivisesta x-

akselista

Vek-

tori

pituu

sSuunta-

kulma φ

vaakakomp. x pystykomp. y

a 6.0 50o 6 cos50o

= 3.86

6 sin50o

= 4.60

b 3.6 180-44=

136o

3.6 cos136o

= -2.59

3.6 sin136o

= 2.50

c 4.9 270+4

=274o

4.9 cos274o

= 0.34

4.9 sin274o

= -4.89

6.0

3.6

4.9

Esim1. 10 kg massa riippuu kuvan mukaisesti katosta kahden köyden varassa. Köydet muodostavat katon

kanssa 45o ja 30o kulmat. Laske köysien jännitysvoimat (kuvassa T1 ja T2)

Tapa1: Voimakolmiomenetelmä. Kolme voimaa on

tasapainossa, jos voimavektorit muodostavat suljetun kolmion.

G=10kg*9.8m/s2=98N

G=98

T1

T2

60o

45o

180-60-45

= 75o

98

𝑠𝑖𝑛75=

𝑇1

𝑠𝑖𝑛45=

𝑇2

𝑠𝑖𝑛60Sinilause:

T1=98

𝑠𝑖𝑛75*sin45=71.7 N

T2=98

𝑠𝑖𝑛75*sin60=87.9 N

(=90-30)

(=90-45)

30

45

Esim1. 10 kg massa riippuu kuvan mukaisesti katosta kahden köyden varassa. Köydet muodostavat katon

kanssa 45o ja 30o kulmat. Laske köysien jännitysvoimat (kuvassa T1 ja T2)

Tapa2: Jaetaan kaikki voimat vaaka- ja pystykomponentteihin.

Muodostetaan tasapainoyhtälöt erikseen vaaka- ja pysty-

komponenteille

Vek-

tori

pituu

sSuunta-

kulma φ

vaakakomp. x pystykomp. y

G 98 (270)

Ei tarvita 0 -98

T1 T1 180-30

=150

T1*cos(150) T1 *sin(150)

T2 T2 =45 T2*cos(45) T2*sin(45)

=0 =0

Voimat T1 ja T2 saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälöpari:

T1 cos(150) + T2 cos(45) = 0

T1 sin(150) + T2 sin(45) – 98 = 0

Vastaus: 72 N ja 88 N

Esim2. 2kg painoinen pallo lepää tasolla, jonka kaltevuuskulma on 45o. Palloa kannattaa naru, joka on kiinnitetty tasoon sen ylä-

puolella. Narun ja tason välinen kulma on 10o. Määritä a) narun jännitysvoima T ja b) tukivoima N , joka kohdistuu tasosta palloon.

Tapa1: Voimakolmiomenetelmä

G = 19.6 19.6

N

T

45

55

180-55-

45 =80

19.6

𝑠𝑖𝑛80=

𝑁

𝑠𝑖𝑛55=

𝑇

𝑠𝑖𝑛45Sinilause:

N=19.6

𝑠𝑖𝑛80*sin55= 16.3 N

T2=19.6

𝑠𝑖𝑛80*sin45= 14.1 N

Esim2. 2kg painoinen pallo lepää tasolla, jonka kaltevuuskulma on 45o. Palloa kannattaa naru, joka on kiinnitetty tasoon sen ylä-

puolella. Narun ja tason välinen kulma on 10o. Määritä a) narun jännitysvoima T ja b) tukivoima N , joka kohdistuu tasosta palloon.

Tapa2: Vektorien komponenttimenetelmä

G = 19.6

Vek-

tori

pituu

sSuunta-

kulma φ

vaakakomp. x pystykomp. y

G 19.6 (270)

Ei tarvita 0 -19.6

N N 135o N*cos(135) N *sin(135)

T T 35o T*cos(35) T*sin(35)

Voimat N ja T saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälöpari:

N cos(135) + T cos(35) = 0

N sin(135) + T sin(35) – 19.6 = 0

Vast: N =16 N ja T = 14N

Dynamiikan peruslaki

F = ma

+ sovelluksia

- voimia: kalteva taso, kitkavoima, ilmanvastus, jousivoima

Newtonin 2. laki F = ma

Jos kappaleeseen vaikuttavien voimien summa F on nollasta eroava,

niin kappaleen kiihtyvyys a on kokonaisvoiman suuntainen ja

F = m a F = voimien resultantti

m = kappaleen massa

a = kappaleen kiihtyvyys

Huom! Kaavan F ei ole kappaleeseen vaikuttavien voimien aritmeettinen summa,

vaan vektorisumma.

Kaavassa m = kappaleen massa, a =kappaleen kiihtyvyysvektori, F =

kappaleeseen vaikuttava nettovoima = voimien vektorisumma

a) Kiihtyvyys voidaan laske heti kiihtyvyyden

Määritelmällä (nopeuden muutos / aika)22 6.5556.5

0.5

78.27s

m

s

msm

st

va

b) Tarvittava voima on Newtonin 2. lain

mukaan massan ja kiihtyvyyden tulo kNNkgmaFs

m 8.77778556.51400 2

Esim1. 1400 kg massainen auto kiihdyttää 0 → 100 km/h 5.0 sekunnissa.

Laske a) auton kiihtyvyys b) autoa kiihdyttävän voiman suuruus

100 km/h = 100/3.6 m/s = 27.78 m/s

Hissiin vaikuttaa jokaisessa tapauksessa kaksi voimaa:

vaijerin jännitys T ylös ( + merkki) ja painovoima G alaspäin ( - 1962 N)

Newtonin 2. lain mukaan kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima (voimien summa)

F = m * a . (hissin massa*kiihtyvyys). Ts. Kaikissa kolmessa tapauksessa yhtälö on sama:

aT *2001962

a) Hissi nousee tasaisesti eli a = 0 => T – 1962 = 0 => T = 1962 N

b) Hissi kiihdyttää ja a = 1.2 => T – 1962 = 200*1.2 => T = 2202 N

c) Hissi jarruttaa ylhäällä a = -1.2 => T – 1962 = 200*(-1.2) => T = 1722 N

Esim2. Hissin massa on 200 kg. Laske sitä kannattavan vaijerin jännitysvoima T , kun

a) Hissi nousee tasaisella nopeudella

b) Hissi lähtee liikkeelle ylöspäin kiihtyvyydellä 1.2 m/s2

c) Hissi hidastaa tultuaan ylempään kerrokseen, hidastuvuuden arvo on -1.2 m/s2

Hissin paino Newtoneina

mg=200kg*9.81m/s2 = 1962N

T – m g = m a eli

Mekaniikan voimia

TUKIVOIMA (”normal force”, merk. N)

Tukivoimat esiintyvät kappaleiden välillä kappaleiden pintojen koskettaessa

toisiinsa. Tukivoimat ovat aina kosketuspinnan normaalin suuntaisia. Niitä

nimitetään myös reaktiovoimiksi ja rakennustekniikassa tukireaktioiksi.

Symboli N viittaa nimitykseen “normal reaction”. Tukivoimat ovat luonteeltaan

tasapainottavia voimia, ne eivät saa aikaan kiihtyvyyttä.

Kappale on levossa, kun siihen

vaikuttavien voimien summa on nolla.

Ts. tukivoima N on kappaleen

painon vastavoima.

N = m g

Kaltevalla tasolla tarkastellaan liikettä erikseen tason (pinnan) suunnassa ja sitä

vastaan kohtisuorassa suunnassa (ns. normaalin suunnassa)

Tasopinnan suunnassa esiintyy useita voimia: kitka, mahd. ilmanvastus, painovoiman

pinnan suuntainen komponentti.

Tukivoima N on tason normaalin suunnassa, jossa sen lisäksi on vain yksi

tukivoimalle vastakkainen voima: painovoiman komponentti mg cosα. Tässä

suunnassa kappaleella ei ole kiihtyvyyttä, joten normaalin suuntaisten voimien välillä

on tasapaino:cosmgN Tukivoima kaltevalla tasolla

”Nettovoima” , joka aiheuttaa kiihtyvyyden on painovoiman komponentti m g sinα

VOIMAT KALTEVALLA TASOLLA

Harj. Laske kappaleen kiihtyvyys kaltevalla tasolla, jonka kaltevuuskulma α = 30 o , mikäli kitkaa ei esiinny

N ja mgcosα kumoavat toisensa vastavoimina

=> painovoiman mäen suuntainen komponentti määrää kiihtyvyyden:

mg sinα = m a

a = g sin α =9.81m/s2*sin30o

= 4.9 m/s2

Huom!. Eräässä laskumonisteen tehtävässä pitää laskea kuinka suuri voima tarvitaan ajamaan

rekkaa ylös mäkeä. Vetävän voiman tulee voittaa sekä painovoiman komponentti mg sinα, että

ilmanvastus.

Kitkavoima Fµ

Ei riipu: nopeudesta, kosketuspinta-alasta.

Riippuu: Esineen painosta , tarkemmin tukivoimasta.

Riippuu myös pintojen materiaaleista

Fµ

nopeus v

α

Tukivoima on pienempi mäessä kuin tasaisella =>

kitka on pienempi mäessä

N

Fµ

Liukukitka (gliding friction)

Liukukitka noudattaa kaavaa:

NF

N on kappaleiden välinen tukivoima.

µ pintojen materiaaleista riippuva kitkakerroin

Tukivoima N ei ole aina sama kuin kappaleen paino.

Esim. F1 autoissa siivekkeet lisäävät tukivoimaa N, jota kutsutaan nimellä “down force”

=> Kitkan suuruus on siten kitkakertoimen ilmoittama prosenttiosuus tukivoimasta

Auton jarrutusmatkan laskeminen

Tasaisesti kiihtyvän liikkeen ns. nopeusyhtälöstä v = v0 + a t saadaan

sijoittamalla loppunopeudeksi v = 0 (auto pysähtynyt) jarrutusaika

Huom! Hidastuvassa liikkeessä a on

negatiivinen, kaavassa esiintyvä – a on

silloin positiivinen ja voidaan merkitä

myös itseisarvona |a|

Kaavan mukaan jarrutusmatka x on verrannollinen auton nopeuden v0 neliöön

=> kaksinkertaisella nopeudella ajettaessa jarrutusmatka nelinkertaistuu

Esim. Laske auton jarrutusmatka 80 km/h nopeudesta, kun kitkakerroin on 0.4

tien ja renkaiden välillä. a) tasaisella , b) 5.0o alamäessä ?

Ratk: a) Vaakasuora kitkavoima = massa * kiihtyvyys

- µ m g = ma , mistä

a = - µ g => |a| = 0.4*9.81 m/s2 = 3.924 m/s2

”Autokoulukaavalla” (ed. kalvo) jarrutusmatkaksi tulee

x = v02/(2a) = 22.222/(2*3.924) m = 63 m

b) Mäessä N = mg cosα (eliminoivat toisensa vastavoimina)

Komponentti mg sinα mäkeä alas ja kitka µ N= µ mgcos α ylös lasketaan yhteen ja saadaan - µ mgcos α + mg sin α = m a , josta

a = - µ gcos α +g sin α = … = -3.05 m/s2

x= v02/(2a) = 22.222/(2*3.05) m = 81 m

Jatko m Jarrutusmatka on 81 m

Ylämäkeen jarrutettaessa hidastuvuus olisi vastaavasti a = - µ gcos α -g sin α

Tauko : jatkuu

18:40

Teht.

Kitkakertoimia eri keleillä :

Kuiva asfaltti 0.60

Märkä asfaltti 0.40

Lumi 0.20

Lepokitka (static friction)

Lepokitka esiintyy ennen kuin kappale alkaa liukua.

Se kasvaa vetävän voiman mukana maksimiarvoon saakka, jota kutsutaan lähtökitkaksi (limiting frictional force). Lähtökitka on liukukitkaa suurempi. ABS jarrut hyödyntävät lähtökitkaa.

Lähtökitkalle on oma kitkakerroin µs , joka on liukukitkakerrointa suurempi

liukukitkalepokitka

Vetävä voima F

Fµ

Lähtökitka

Fµs = µs N(2.5)limiting frictional force

F

Liikeyhtälö F = ma jarrutettaessa

tasaisella tiellä

- µ m g = m a =>

hidastuvuus a = - µ g

Liikeyhtälö F = ma jarrutettaessa

alamäessä

- µmg cosα + mg sinα = m a =>

=> a = - µ g cosα + g sinα

Huom! Ylämäkeen noustessa auton moottorin on kehitettävä vähintään painovoiman komponentin mg sinα

verran voimaa. Tähän pitää vielä lisätä ilmanvastus, jos auto ei aja aivan hitaasti.

N ja mg cosα ovat

toistensa vastavoimat

Yhteenveto voimista kaltevalla tasolla (painovoiman komponentit + kitkavoima)

Esim. Tukkikuorma painaa 1200 kg. Reen jalasten ja lumen välinen

lepokitkakerroin on 0.25. Kuinka suuri voima tarvitaan reen liikkeelle

lähtöön. Aisat ovat 30 asteen kulmassa vaakatasoon nähden.

F=?

30o

mg= 11760 N

-µNTilannen juuri liikkeellelähdön hetkellä :

Kitka on saavuttanut ylärajan - -µN

Kaikkien voimien summa on vielä nolla.

Voimien pystykomponenttien summa = 0

N – 11760 + F sin(30o) = 0

Voimien vaakakomponenttien summa = 0

- 0.25 N + F cos(30o) = 0Hevosen pitää vetää kuormaa

2970 N voimalla

(n. 300 kg)

Tukivoima on 10.3 kN (vrt .

reen paino 11.8 kN)

Esim. Kuinka suuri on oltava laskuvarjon pinta-ala, kun vaaditaan, että varusteineen 100 kg painavan

laskuvarjohyppääjän maahantulonopeus olisi 5.0 m/s. Laskuvarjon muotovakio cw = 1.5.

Hypyn loppuvaiheessa tullaan alas tasaisella nopeudella, joten ilmanvastus = hyppääjän paino

½ cw ρ A v2 = m g. Ratkaistaan pinta-ala :

A = 2𝑚𝑔

𝑐𝑤 ρ 𝑣2 = 2 100∗9.81

1.5∗1.25∗52m2 = 42 m2

Esim. Laske ilmanvastus Toyota Prius –merkkiselle autolle 100 km/h nopeudella ajettaessa.

Oletetaan, että auton ”etukuvannon pinta-ala” on 2.5 m2. Ilman tiheys on 1.25 kg/m3

F = ½ cw ρAv2 = ½ 0.24 * 1.25kg/m3 *2.5m2*(27.78m/s)2 = 289 N

JousivoimaKun jousta venytetään (tai puristetaan), niin jousta venyttävä (puristava) voima

F ja jousen venymä (tai puristuma) x ovat suoraan verrannolliset.

Kerrointa k sanotaan jousivakioksi

Jousen oma palauttava voima ja venymä (tai puristuma) x ovat vastakkaissuuntaiset

Jousivoima: F = - k x

Esim. Mopon takajousi puristuu kokoon 2.5 cm, kun tavaratelineelle asetetaan 20 kg kuorma. Mikä on jousen jousivakion k arvo?

Ratkaisu: Kuormavoima muutettuna Newtoneiksi F = m g = 20 kg*9.8 m/s2 = 196 N

Jousivakio k = F/x = 196 N/ 0.025 m = 7840 N/m ≈ 7.8 kN/m

7 ½

Päivän aiheisiin liittyviä tehtäviä

Lähijaksolla

varataan aikaa

näiden tehtävien

ohjaukseen

• Ympyräliike

• Sovelluksia tienrakennukseen

Ympyräliike

r

v

v

𝜑 s

s = matka kaarta pitkin

r = säde

𝜑 = kulma radiaaneina

v = ratanopeus

ω = kulmanopeus

T = kierrosaika

f = kierrostaajuus

Kulmanopeus: aika

kulma

t=

=

Yhteydet:

Kaarenpituus ja kulma s = r 𝜑

v = r ω

yksikkö 1/s (rad/s)

T = 1/f

ω = 2 π f(𝜑 radiaaneina)

Vauhti ja kulmanopeus

Kulmanopeus ja taajuus

Kierrosaika ja taajuus

Ratkaisu: f = 120 RPM = 120/60 RPS = 2 RPS = 2Hz

(120 kierrosta minuutissa on 2 kierrosta sekunnissa)

a) Kierrosaika on siten 0,5 s ( T = 1 / f )

b) Kulmataajuus ω = 2π f = 2π*2 rad/s = 12.6 rad/s

Esim2. Polkupyörän rengas pyörii taajuudella 3RPS ja sen säde on

0.5 m. Mikä on pyörän nopeus ( kehän nopeus keskipisteen suhteen ?

1 kierros= 360o =2* π

Esim1 Moottori pyörii 120 RPM kierrostaajuudella.

Laske a) kierrosaika ja b) kulmanopeus.

Ratkaisu: f = 3 RPS => kulman. ω = 2π*3 rad/s = 18.9 rad/s

Kehänopeus v = ω r = 18.9*0.5 m/s = 9.4 m/s = 34 km/h

T = 1/f

ω = 2 π f

ω = 2 π /T

v = r ω

Kiihtyvyys tasaisessa

ympyräliikkeessä

𝑎 =𝑣2

𝑟

Keskeisvoima Keskeiskiihtyvyys a = v2/r

Sen aiheuttaa voima F, joka on dynamiikan peruslain

mukaan = ma . Sijoittamalla a = v2/r saadaan

F = mv2/r

Voimaa, joka aiheuttaa kiihtyvyyden mv2/r kutsutaan keskeisvoimaksi.

Se voi olla gravitaatio, sähköinen voima, narun jännitys,…

Hitausvoimat: esim. keskipakovoima

Esim. Kaarreajo:

A. Tien vierestä katsottuna auto liikkuu ympyrärataa ja kiihtyvyysvektori a osoittaa ympyrän keskipisteeseen.

B. Autoon kiinnitetyssä koordinaatistossa auto on levossa ja siihen vaikuttavien voimien summa on siten nolla.

Sisäkaarteeseen päin vaikuttava voima on kitka.

Ulkokaarteeseen vaikuttaa keskipakovoima, joka on yhtä suuri kuin kitka

Kummasta pitää puhua: keskeisvoimasta vai keskipakovoimasta?

Kumpikin on oikea termi. Käyttö riippuu kenen näkökulmasta liikettä

tarkastellaan.

A:n mielestä ainoa voima: kitkavoima Fµ = ma = mv2/r

B:n mielestä voimien summa Fµ - mv2/r = 0

- Yhtälö on aivan sama

Maksiminopeus kallistamattomassa kaarteessa:

Laske maksiminopeus 100 m –säteisessä kallistamattomassa kaarteessa, kun lepokitkakerroin on 0.55 ?.

µmg

mv2/r

Auto on levossa omassa koordinaatistossaan =>

µmg = mv2/r jaetaan m pois, * r

µ g r = v2 otetaan neliöjuuri

v = √( µgr)= √(0.55*9.81*100)m/s

=23.2 m/s =84 km/h

keskipakovoima

80

Lepokitkan max

Optimikallistuskulma

Supernopea juna ajaa nopeudella 300 km/h kaarteessa, jonka kaarevuussäde on 2000 m. Sen vaunut kallistuvat kaarteessa automaattisesti s.e. matkustajat eivät huomaa keskipakovoimaa. Kuinka monta astetta vaunut kallistuvat?

α

r = 1500 m

mg

Ratkaisu: Vaunun matkustajien kokema painovoima on

normaalin painovoiman mg ja keskipakovoiman mv2/r

resultanttivektorin suuntainen.

Vaunu kallistuu siten, että tämä koettu painovoima on

kohtisuorassa vaunun lattiaan nähden, jolloin esim. pöydillä

olevat esineet eivät lähde vierimään kaarteessa.

mv2/r

α

koettu pai-

novoima

Karusellissä narut

painon ja keskip.voiman

resultantin suuntaan

rg

v

mg

rmv 22 /tan ==

354.081.92000

)33.83(tan

2

22

=

==

s

m

sm

mrg

v == − 19)354.0(tan 1

Maksiminopeus kallistetussa kaarteessa:

Laske auton maksiminopeus 100 m –säteisessä kaarteessa, jossa kallistus on 5.0 astetta, jos lepokitkakerroin renkaiden ja tien välillä on 0.55.

α =5o

r = 100 m

mv2/r

mgN

µN

Voimien summa=0 voidaan kirjoittaa yhtälöparina

mv2/100+ N*cos95o + 0.55N cos185o = 0

-m*9.81 + N*sin95o+ 0.55N sin185o = 0

* Ratkaistaan W.A:n solvella

Vast: maksiminopeus

25.6m/s = 92 km/h

x = r cosφ

y = r sinφ

Mikä olisi ratkaisu, jos kysyttäisiin seuraavasti: Kuinka paljon em. kaarre pitäisi kallistaa, jotta siitä voisi ajaa 100 km/h nopeudella ilman sivuttaispitoa?

Ratkaisu: Tässä palataan takaisin optimikallistuskaavaan. Painovoiman ja

keskipakovoiman resultantin on oltava kohtisuorassa tien pintaa vastaan.

Tällöin kitkaa ei tarvita

rg

v

mg

rmv 22 /tan ==

tanα= 27.78

𝑚

𝑠2

100𝑚∗9.81𝑚

𝑠2= 0.787

α = tan-1(0.787)= 38o

C. Työ, teho, energiaenergiaperiaate

Work, Power, Energy, Energy principle

Työn (symboli W) määritelmä ja yksikötOletetaan, että voima F siirtää kappaletta matkan s voiman suuntaan

Tällöin määritellään, että voima F tekee työn

W = F s ts. työ = voima . matka

Työn yksikkö on siten 1N . 1m = 1 J ( 1 Joule)

Tarkennuksia työn määritelmäänKun voima ei ole samansuuntainen kuin kuljettu matka, työ lasketaan vain käyttäen voiman matkan suuntaista komponenttia

W = F s cosα

Kun voima muuttuu liikkeen aikanatyö lasketaan pinta-alana (s, F) - koordinaatistossa

α = kappaleen siirtymän s ja voimavektorin F välinen kulma

Nostotyö = Painovoimaa vastaan tehty työ

Esim. Kuinka suuri työ tehdään kuna) 100g painoinen kirja nostetaan pöydältä hyllylle. joka on 100 cm ylempänäb) 5000 kg painoinen kontti nostetaan laiturilta laivan kannelle 8 m korkeuteenc) 80 kg painoinen henkilö kiipeää Saanatunturille (korkeusero Kilpisjärveltä n. 500 m)

Kun massa m nostetaan pystysuunnassa matkan h, nostamiseen tarvittava voima = kappaleen paino, ja tehty työ

W = m g h nostotyön kaava

m = kappaleen massag = 9.81 m/s2

h = korkeusero

Energia on varastoitunutta työtä. Energian yksikkö on sama kuin työn yksikkö 1 J

a) W = m g h = 0.1kg*9.8 m/s2*1.0 m = 0.98 J = 1.0 Jb) W = m g h = 5000 kg*9.8 m/s2*8.0 m = n . 400 000 J = 400 kJc) W = m g h = 80 kg*9.8 m/s2*500 m = n . 400 000 J = 400 kJ

Teho P (power)

Teho = työ / käytetty aikat

WP =

Tehon yksikkö on 1 J / s = 1 Watti = 1 W

Vanha yksikkö hevosvoima 1 hv = n.750 W

Työn määritelmästä seuraa, että energia = teho*aika

W = P t

Tästä kaavasta voidaan johtaa työn ja energian yksikkö, joka on energian tariffiyksikkö: ”kilowattitunti”

1 kWh = 1000 W* 3600 s = 3 600 000 J = 3.6 MJ1 MWh = 1000 kWh

Esimerkkejä voimaloiden antotehoista:vrt. yksi tuulivoimala tuottaa 3 MW

vesivoimala tuottaa esim. 60 MW - 150 MWydinvoimalayksikkö tuottaa 1600 MW - 2000 MW

Esimerkkejä energioista:vrt. Auton akku sisältää energiaa 600 - 700 Wh

AA- paristo sisältää energiaa 2 - 3 Wh

Esim . Painonnostaja nostaa 130 kg rautaa 1.5 m korkeuteen 1.2 s:ssa. Laske teho noston aikana.

Hetkellinen teho voidaan kirjoittaa myös P = W/t = F.s/t = F v

P = F v teho = voima * nopeus

Esim. Audi ajaa nopeudella 100 km/h , jolloin ilmanvastus on 280 N. Kuinka suuri on auton antoteho (teho ilmanvastusta vastaan).

Esim. Laske ruotsinlaivan tehonkulutus kun veden vastus on 2.0 MN ja ajonopeus 40 km/h

P = W / t = mgh / t = 130kg*9.8 m/s2*1.5m / 1.2 s = 1593 W = 1.6 kW

Audin teho P = F v = 280N* 27.8 m/s = n. 7800 W = 7.8 kW

Laivan teho P = F v = 2 000 000N* 11.1 m/s = 22.2 MW

Koneen hyötysuhde η (η luetaan "eetta")Koneen sähköverkosta tai polttoaineesta ottamasta ns. ottotehosta vain osa siirtyy itse suoritukseen. Kaikki koneet tuottavat hukkalämpöä ( jos eivät, kyseessä on 2. lajin ikiliikkuja)

Koneen hyötysuhteella tarkoitetaan antotehon ja ottotehon suhdetta (desimaaliluku tai prosenttiluku)

o

a

P

P= tai energioita käyttäen

o

a

W

W=

Bensiinikäyttöisen auton moottorin hyötysuhde on tavallisessa ajossa n. 20%. (80 % bensiinin palamisenergiasta menee hukkalämmöksi).

Satamanosturin hyötysuhde voi olla esim. 70 %. Sähkömoottoreissa hyötysuhde on jopa 97%.

Nostolaitteen hyötysuhde η

Nostolaite ottaa esim. sähköverkosta ottotehon Po. Antoteho Pa= nostotyö/siihen käytetty aika = mgh/t.Nostolaitteita ovat satamanosturit, hissit, liukuportaat, kuljetinhihnat, ….

Nostolaitteen kuluttama teho: (ottoteho)

t

mghPP a

o

1==

Esim Liukuportaat nostavat matkustajia metroasemalta 30 m ylöspäin olevalle katutasolle. Ruuhka-aikana määrä voi olla 100 henkeä minuutissa. a) Laske portaiden kuluttama sähköteho, jos matkustajan keskipaino on 70 kg. Portaiden hyötysuhde on 60%.

b) Kuinka paljon sähkö edellisessä maksaa 1 kk:ssa hinnalla 10 cnt/kWh jos keskim. kulutus on 12 kW.

b) Lasketaan kk:ssa kulutettu energia yksikössä kWhW = P *t = 12kW*30*24h = 8640 kWh

Rahallinen arvo = 8640 kWh* 0.10 Eur/kWh = 864 Eur = n. 900 Eur kk:ssa

t

mghPP a

o

1==

a)Ottoteho P0=1

𝜂

𝑚𝑔ℎ

𝑡=

1

0.6

7000𝑘𝑔∙9.8𝑚

𝑠2∙30𝑚

60𝑠= 57167W = 57kW

Esim. Auton ilmanvastus, huippunopeus ja kulutusEsim. VW Polon rekisteriotteessa mainittu moottoriteho (antoehto) on 55 kW. Auton aerodynaaminen muotovakio Cw = 0.33, auton etukuvannon pinta-ala on 2.4 m2 . Ilman tiheys on 1.25 kg/m3

. Laskea) auton ilmanvastus 100 km/ h nopeudessab) auton huippunopeusc) auton polttoaineen kulutus 100 km/h nopeudella ajettaessa, kun tässä nopeudessa hyötysuhde on 24%ja bensiinin lämpöarvo on 32 MJ/litra.

2

21 vAcF w =

cw = muotovakio, ρ = ilman tiheys = 1.25 kg/m3

A = pinta-ala edestä katsoen v = auton nopeus

a) NNF 38278.274.225.133.0 2

21 ==

b) P = F v = ½ cw*ρ*A*v3 sijoitetaan maksimiteho P ja ratkaistaan huippunopeus v

hkmAc

Pv

sm

sm

w

/173484.225.133.0

550003

21

3

21

==

==

c) Työ ilmanvastusta vastaan 100 km:n matkalla W = F*s = 382N*100 000m = 38 200 000 JOttotyö ( polttoaineesta otettu energia) = 38200 000 J/ 0.24 = 159 MJ

Ilmanvastus:

Bensan kulutus = 159 MJ / 32 MJ/ltr = 5.0 ltr

Mekaanisen energian lajit: potentiaali- ja liike-energia

Kun kappale, jonka massa on m, nostetaan korkeudelle h, tehdään nostotyö W = mgh. Nostotyö varastoituu kappaleen potentiaalienergiaksi.Mm. vesivoimala hyödyntää potentiaalienergiaa.

Ep = m g h

F

Kun levossa olevaa kappaletta m työnnetään vakiovoimalla F aika t, on voiman F tekemä työ

W = F s = ma* ½ at2 = ½ m (at)2 = ½ m v2

Tämä "kiihdytystyö" varastoituu kappaleeseen liike-energiaksi.Tuulivoimala käyttää liike-energiaa.

Ek = ½ m v2Liike-energia

Potentiaalienergia m = kappaleen massah = kappaleen korkeuskoordinaatti

m = kappaleen massav = kappaleen nopeus

Auto (m = 1500 kg) kiihdyttää levosta nopeuteen 90 km/h. Paljonko auto saa liike-energiaa kiihdytyksessä?

Vastaus: Ek = ½ mv2 = ½ *1500 kg*(25m/s)2 = 469 000 J ≈ 0.47 MJ

Määritelmä: Kappaleen mekaanisella energialla tarkoitetaan sen liike- ja potentiaalienergian summaa:

Emek = ½ m v2 + m g h

Suomen sähköntuotannosta osa tuotetaan käyttämällä mekaanista energiaa:

Vesivoimalat käyttävät potentiaalienergiaaTuulivoimalat käyttävät tuulen liike-energiaa

Kumpikaan voimalatyyppi ei tuota päästöjä ilmakehään.

Mekaanista energiaa käyttävät voimalat

Vesivoimala: Tyypillinen turbiinin hyötysuhde on 92%

t

mghPanto =Tuotetun sähkötehon (antoteho) kaava:

Petäjäskosken voimalan vesipintojen korkeusero on 20 m. a) Laske sen tuottama sähköteho, kun juoksutus turbiinien läpi on 700 m3/s. Turbiinien hyötysuhde on 0.92. b) Laske voimalaitoksen kuukaudessa tuottama energia ja energian myyntiarvo, jos sen keskiteho on 50 MW. (oletetaan, että sähkön tukkuhinta on 4.0 cnt /kWh)

MWs

mkg

t

mghP s

m

anto 1261

208.970000092.0

2

=

==

b) Kuukaudessa tuotettu energia W = P*t = 50 000 kW*30*24h = 36 000 000 kWh Rahallinen tuotto kk:ssa = 36 000 000 kWh*0.04 Eur/kWh = 1 440 000 Euroa

a)

Tuulivoimala:

Tuulivoimalassa hyötysuhde on tavallisesti n. 40%, koska tuulta ei voi pysäyttää niin täydellisesti kuin vettä vesivoimalassa. Lisäksi turbiinien hyötysuhde on muutoinkin heikompi.

Tuulivoimalan sähköteho lasketaan sijoittamalla antotehon kaavaan Pa = η (½ mv2)/t ilmasylinterin massa m = ρ V = ρ π r2 v t

Sievennyksen jälkeen tehoksi tulee

32

21 vrPa =

η = voimalan hyötysuhdeρ = 1.25 kg/m3 (ilman tiheys)r = siivekkeen pituusv = tuulen nopeus

Teho verrannollinen siivekkeen pituuden neliöön ja tuulen nopeuden kuutioon. (Myrskyllä ei tosin voi käyttää, yläraja lienee n. 15 m/s)

Esim 13 . Erään tuulivoimalan siiven pituus on 45 m. Laske sen tuottama sähköteho tuulen voimakkuudella 12 m/s. Voimalan hyötysuhde on 40%. Ilman tiheys on 1.25 kg/m3.

32

21 vrPa =

MWWWPa 8.22750000124525.14.0 32

21 ===

Työ, teho energia: esimerkkejä

2. Tuulivoimala tuottaa 2.5 MW sähkötehon, kun tulen voimakkuus on 8.0 m/s.Voimalan hyötysuhde on 40%. Mikä on siivekkeen pituus?

3. Kemijoen virtaama on tammikuussa 700 m3/s. Vesivoimala, jonka putouskorkeuson 14 m muuttaa potentiaalienergia 93% hyötysuhteella sähköksi.a) Mikä on voimalan tuottama sähköteho?b) Kuinka suuren energian voima tuottaa vuodessa ?

1. Mummo vetää kelkkaa nopeudella 1.0 m/s narusta 25 N voimalla. Narunkulma vaakatasoon on 30 astetta. Kuinka suuri on tehon kulutus suorituksessa.

32

21 vrPa =

t

mghPanto =

P = W/t = F∙ v = Fv cosα

Vain voiman F nopeuden suuntainen (tässä vaaka-) komponetti tekee työtä, joten teho P = F cosα v = (25N*cos30o*1.0m/s) = 21 W

mW

v

Prr

v

P

sm

m

kg

aa 78)8(25.1

25000003

3213

21

2

3

21

=

=

===

Tanskassa tehty näin suuria

MWWs

mkg

t

mghP

sm

anto 89109.81

1481.970000093.0 72 ==

==

TWhMWhhMWtPEnergia 78.07800002436589 ====

Mekaanisen energian säilymislakiKappaleen liikkuessa painovoimakentässä niin, että siihen ei vaikuta painovoiman lisäksi muita voimia jotka tekisivät työtä (esim. kitkaa, ilmanvastusta), sen mekaaninen energia on vakio. Ts. kappaleen potentiaalienergian ja kineettisen energian summa on vakio.

½ m v2 + m g h = vakio jos kitkaa tai ilmanvastusta ei ole

Korkeammalla kappaleen liike-energia ja samalla nopeus pienenee, alempana se kasvaa. Lakia voidaan soveltaa esim. heittoliikkeessä.

Esim. Kivi heitetään 5 m/s alkunopeudella 30 m korkean kerrostalon katolta. Millä nopeudella se osuu maahan? (heittosuuntaa ei tarvitse tietää, tulos on riippumaton siitä)

Merkitään lähtötilannetta 1 ja maahantuloa 2Mekaaninen energia säilyy =>

½ m v12 + m g h1= ½ m v2

2 + m g h2

½ 52 + 9.8*30= ½ v22 + 0 kerrotaan 2:lla

v22=52 +2*9.8*30 = 613 => v2 =√613 = 24.8 m/s

h1 = 30 v1 = 5h2 = 0 (maahantulo)massa supistuu

Esim. energiaperiaatteesta 4. Kivi singotaan maan pinnalta alkunopeudella 17 m/s suoraan ylöspäin. a) Mikä on kiven nopeus 11 mkorkeudella? b) mikä on kiven lakikorkeus ? c) Mikä on korkeus, kun kiven nopeus on 12 m/s

½ m v2 + m g h = vakio

½ m va2 + m g ha = ½ m vb

2 + m g hb

= > v = 8.6 m/s

a) Nopeus 11 m korkeudessa ?

b) Lakikorkeus ?

c) Korkeus , kun nopeus on 12 m/s

=> h = 7.4 m

=> h = 14.7 m

a

b

ch=11

v=0

v=12

Massan voi supistaa

Yleinen energiaperiaate (kitka mukana)Kun kappale liikkuu painovoimakentässä ja siihen vaikuttavien ulkoisten voimien tekemä työ on W, kappaleen mekaaninen energia muuttuu tehdyn työn määrällä W

Huom! Kaavassa työ W > 0 esim. kun kyse on voimasta, jolla kiihdytetään auton nopeutta. Useimmiten esimerkeissä W on kitkavoiman tekemä työ, joka on negatiivinen ja pienentää energiaa.

kitkavoiman tekemä työ W = - µ N s

µ = kitkakerroin, s = matka, N = tukivoima, joka vaakasuoralla alustalla = mg, kaltevalla tasolla mg cosα

Esim. Laske auton jarrutusmatka tasaisella tiellä 90 km/h ( = 25 m/s) nopeudesta, kun kitkakerroin on 0.50.

½ m va2 + m g ha + W = ½ m vb

2 + m g hb

½ m va2 + m g ha + W = ½ m vb

2 + m g hbSij.: ha=hb=0 , va=25m/s , vb=0, Kitkatyö W = - µ m g s

½ m*va2 - µ m g s = 0

½ *252 - 0.5*9.81*s = 0

massa supistuu pois , µ = 0.5 , g=9.81

solvella jarrutusmatkaksi saadaan s = 63 m

Esim 17. Puupalikka liukuu 5 m korkean talon katolta ensin räystäälle ja putoaa sieltä alas. Räystään korkeus maasta on 2.5 m, katon kaltevuus on 30°. Laske nopeus, jolla palikka osuu maahan seuraavissa tapauksissa.a) Kitkaa ei ole ( katto ja puupalikka ovat jäisiä)b) Kitkakerroin katon ja puun välillä on 0.3.

a) Kun kitkaa ei ole, mekaaninen energia harjalla ja lopussa samat:

½ m va2 + m g ha = ½ m vb

2 + m g hb

=> 0 + 9.8*5 = ½ vb2 + 0 => loppunopeus solvella vb = 9.9 m/s

: m supistuu

b) Kitkan tekemä (negatiivinen) työ matkalla harjalta räystäälle = kitkavoima*lappeen pituus W = - µ mg cosα sYleisen energiaperiaatteen kaava saa seuraavan muodon:

Lappeen pituus s = 2.5/sin30 = 5.0 m

½ m va2 + m g ha + W = ½ m vb

2 + m g hb

0 + m g ha - µ mg cosα s = ½ m vb2 + 0

9.8*5.0 – 0.3*9.8*cos(30)*5.0 = ½ vb2

Wolfram Alphan solvella saadaan maahantulonopeudeksi vb = 8.5 m/s

m supistuu =>

Jäykän kappaleen tasapainoehdot

Voiman momentti M

Mutteria aukaistaessa yhtä tärkeitä ovat käytettävä voima ja vääntövarren pituus

Momentin määritelmä

A

Voima FMomenttiakseli

r”voiman varsi”

Voiman vääntövaikutusta kuvaa voiman momentti M

Voiman momentti lasketaan aina jonkin pisteen suhteen. Tätä pistettä kutsutaan momenttiakseliksi (kuvan A)

Voiman MOMENTTI = VOIMA * VOIMAN VAIKUTUSSUORAN ETÄISYYS AKSELIPISTEESTÄ ( ”voiman varsi”)

Voiman vaikutussuora

M = F r

Momentin yksikkö on 1 Nm ( Newtonmetri)

Momentin etumerkkisääntö

A

15 N

0.5 m

10 N

0.8 m

VOIMAN MOMENTTI ON POSITIIVINEN, JOS VOIMA PYRKII KÄÄNTÄMÄÄN KAPPALETTA AKSELIPISTEEN YMPÄRI VASTAPÄIVÄÄN

VOIMAN MOMENTTI ON NEGATIIVINEN, JOS VÄÄNTÖSUUNTA ON MYÖTÄPÄIVÄÄN

Kuvan voimien momentit etumerkkeineen ovat:

10N*0.8 m = 8 Nm

ja

-15N*0.5 m = -7.5 Nm

+

_

Auton renkaan pulttien momentti

Suosituksen mukaan auton renkaan pultit on kiristettävä momenttiin, joka on n. 120 Nm

Kuinka pitkä on rengasraudan varren vähintään oltava pultin aukaisemiseksi, jos maksimivoima, jolla henkilö vääntää rengasrautaa on 300 N (30 kg)?

Kaava: M = F r

=> r = M/F = 120 Nm/300 N = 0.4 m = 40 cm

Vastaus: Henkilö tarvitsee vähintään 40 senttisen rengasraudan

Autoissa lähes kaikille pulteille on määrätty tietty momentti, johon ne pitää kiristää. Kuvassa on digitaalinen momenttiavain, jossa LED näyttö kertoo vääntömomentin arvon.

Tyypillinen tasapainotehtävä, jossa tarvitaan voimien momentteja: Määritä tukivoimat, jotka vaikuttavat kuvan palkkiin

20 kg

G=196

N1 N2

Newtonin 1. lain mukaan kappale on tasapainossa, kun siihen vaikuttavien voimien summa = 0. Ts.

N1 + N2 - 196 = 0

N1 ja N2 ratkaisu tarvitsee toisen yhtälön (momenttiyhtälö)

4.0 m

0.5m 0.2m3.3m

Palkki on tasapainossa, jos kaksi ehtoa täyttyy:1. Siihen vaikuttavien voimien summa = 0 ΣF = 02. Siihen vaikuttavien voimien momenttien summa = 0 ΣM = 0

Momentteihin perustuvat yksinkertaiset koneet

YKSIVARSINEN VIPU

GKuorman paino

F = tarvittava voima vivun päässä

a

b

A

Kun kuorma on paikallaan, ovat kuorman momentti ja voiman F momentti yhtä suuret

F*b = G*a

Esim. Jos kuorma on 50 kg eli G = m g = 496 N, ja kuorman varsi a = 0.5 m ja voiman varsi 3.0 m,niin kuorman kannatteluun tarvittava voima F = G*a/b = 496N* 0.5m/3.0 m = 83 N

Momentteihin perustuvat yksinkertaiset koneet

VINSSI

GKuorman paino

F = tarvittava voima vivun päässä

Ämpäri on paikallaan tai nousee tasaisella nopeudella, kun vinssiin vaikuttavien voimien momentit ovat tasapainossa:

F*r2 = G*r1

Esim. Jos ämpärissä on 10 litraa vettä (jolloin se painaa 10 kg eli 98 N), ja kuvassa vinssin telan säde on 15 cm ja kammen pituus 40 cm, niin ämpärin nostamiseen tarvittava voima F = G r1/r2 = 98 N* 15cm/40cm = 37 N (n. 3.7 kg)

Ar2

r1

Momentteihin perustuvat yksinkertaiset koneetTALJA

Esim. Jos veneen vetäminen peräkärryyn vaatii 1000 N voimaa ( n. 100 kg), ja taljan varren pituus on 40 cm ja taljan hammasrattaan säde on 5 cm, niin

vetämiseen tarvittava voima taljaa käyttäen on

F = Q*r1/r2 = 1000 N *5 cm/40 cm = 125 N ( n. 12.5 kg)

Akselipiste A

Voima F

r2

Q = kuorma

Voiman varsi

Kuorman varsi r1

TYYPILLISEN TASAPAINOTEHTÄVÄN MALLIRATKAISU

0.5m 1.5m 0.8mPalkki jonka pituus on 2.80 m ja paino 40 kg lepää kahden tuen varassa kuvan mukaisesti. Määritä palkkiin vaikuttavat tukivoimat.

1. Merkitse voimat kuvaan, palkin paino mg palkin painopisteeseen. Merkitse tukivoimia N1 ja N2

N1 N2392

2. Valitse momenttiakselipiste A, jonka suhteen määrität kunkin voiman momenttivarret. Akselin A voi periaatteessa valita vapaasti, mutta helpoimmat yhtälöt tulee, kun A on jommankumman tuen kohdalla.

A

3. Laadi taulukko, jossa on sarake voimille, voimien varsille ja kolmas sarake, johon lasket voimien momentit. Kirjoita momenttisarakkeen momenteille oikea etumerkki merkkisäännön perusteella.

Voima F Etäisyys akselista r (m) Momentti akselin suhteen M=F r (Nm)

N1 0 N1*0 = 0

N2 1.5 m N2*1.5 =1.5 N2

-392 1.4 -0.5 = 0.9 m -392*0.9 = -352.8

4. Palkki on tasapainossa, kun siihen vaikuttavien momenttien summa = 0 ja voimien summa = 0Näistä saadaan kaksi yhtälöä (momenttiyhtälö ja voimayhtälö), joista ratkaistaan tuntemattomat

Momenttiyhtälö: 1.5 N2 - 352.8 = 0 => 1.5 N2 = 352.8 => N2 = 352.8 / 1.5 = 235.2 ≈ 235

Voimayhtälö: N1 + N2 – 392 = 0 => N1 = 392 – N2 = 392 – 235.2 = 156.8 ≈ 157

Vastaus: Tukivoimat ovat (vasemmalta lukien) 157 N ja 235 N

Esim. Momenttivarsien laskemisesta

0.5m

A

0.5m

T1= 10 N

45o

T2 = ?

60o

Painoton 1m pituinen tanko on nivelellä kiinni keskellä olevassa tuessa. Palin päihin on kiinnitetty köydet kuvan mukaisesti. Palkki on tasapainossa. Kuinka suuri on jännitysvoima T2 oikean puoleisessa köydessä, kun vasemmassa köydessä on 10 Newtonin voima?

r1 r2

Määritelmä: Momenttivarsi = akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta. (kuvan r1 ja r2)

r1 = 0.5 m *sin45o = 0.354 m ja r2 = 0.5 m *sin60o = 0.433 m

Tasapainoyhtälö ( momenttien summa = 0) on seuraava:

- 10N*0.354 m + T2*0.433 m = 0 => T2 = 10*0.354/0.433 = 8.2 N

Momenttivarsi = akselin kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta.

Mikä on painovoimavektorin vaikutuspiste?

Kappaleen painopiste

Kolmion painopiste on sen keskijanojen leikkauspiste. Kun tunnetaan kolmion kärkipisteet, painopiste saadaan koordinaattikeskiarvona

Kun kappaleessa on useita symmetrisiä osia, jokaiselle kannattaa merkitä oma painovoimavektori ja lasketaan niille omat momentit akselin suhteen (painopistettä ei kannata laskea)

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

xp=𝑥1+𝑥2+𝑥3

3

yp=𝑦1+𝑦2+𝑦3

3

N2N1

A

200*9.8= 1960

Kolmion painopisteen x- koordinaatti:

Xp= (0+2.8+3.5)/3 = 2.1 m

0 2.8 3.5

Kolmion kärjet

Taulukko voimista ja momenteista:F r M1960 2.1 - 4116 N1 0 0N2 3.5 +3.5*N2

Momenttitasapainoyhtälö: ΣM=03.5*N2- 4116 = 0 N2 = 4116/3.5 = 1176 N

Newtonin 1. laista ratkaistaan N1

N1 = 1960 – 1176 = 784 N

ΣM=0

ΣF=0

KOLMION MUOTOISESSA KATTORAKENTEESSA PAINOPISTE SAADAAN KOLMION KÄRKIPISTEIDEN KOORDINAATTIKESKIARVONA

𝑥𝑝 =𝑥1 + 𝑥2+ 𝑥3

3