4.4 相似三角形的性质及其应用( 1 )
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4.4 相似三角形的性质及其应用( 1 ). A. 思考. D. E. 18m. C. B. 问题情境. 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁边原有一个面积为 100 平方米,周长为 80 米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边 AB 的长由原来的 30 米缩短成 18 米 . 现在的问题是 : 被削去的部分面积有多大?它的周长是多少?. 你能够将上面生活中的问题 转化为数学问题吗?. 30m. 你能吗. A. 2. B. √2. C. √2. 想一想:. 你发现上面两个相似三角形的周长比与 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题,马路旁边原有一个面积为 100 平方米,周长为 80米的三角形绿化地,由于马路拓宽绿地被削去了一个角,变成了一个梯形,原绿化地一边 AB的长由原来的 30米缩短成 18 米 .现在的问题是 :被削去的部分面积有多大?它的周长是多少?
你能够将上面生活中的问题
转化为数学问题吗?D E
30m
18m
BC
A
算一算:
ΔABC 与 ΔA’B’C’的相似比是多少?
ΔABC 与 ΔA’B’C’的周长比是多少 ? 面积比是多少?
4×4 正方形网格
看一看:
ΔABC 与 ΔA’B’C’有什么关系?为什么?
验一验: 是不是任何相似三角形都有此关系呢? 你能加以验证吗?
想一想:
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系?面积比与相似比又有什么关系?
(相似)
√22
周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
√2√10
2
√2
1
√5√2
A B
C
A’
C’B’
A
B C
A’
B’ C’D D’
证明(略)
相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方
已知 Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ 相似比为 k, 求证 :
sABC sA’B’C’
=k2
Δ ABC 的周长Δ A’B’C’ 的周长
= k
已知:如图,△ ABC∽ △A’B’C’, △ABC 与 △ A’B’C’的相似比是 k,AD 、 A’D’是对应高。
求证:k
DA
AD
''
A
B C
B’
A’
C’
D
D’
证明:
kBA
AB
DA
AD''''
∵△ABC A’B’C’∽△∴∠B= B’∠∴∠ABD= A‘B’D‘=90∠ O
∴ △ABD A’B’D’∽△
已知两个三角形相似,请完成下列表格
相似比
周长比
面积比
注:周长比等于相似比,已知相似比或周长比,
求面积比要平方,而已知面积比,求相似比或
周长比则要开方。
2
4
100
100
1000019
13
13
2 ...
...
...
A
D E
1. 过 E 作 EF//AB 交 BC 于 F, 其他条件不变,则 ΔEFC 的面积等于多少? BDEF 面积为多少?
2. 若设 sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2. 请猜想: S 与 S1 、 S2
之间存在怎样的关系?你能加以验证吗? √ S = √S1+ √S2
B CF
48m2
36m2
证明: DE//BC >ΔADE∽ ΔABC > S1S =( A C
A E )2
EF//AB >ΔEFC∽ ΔABC > S2
S = A CC E( )2
√S> √S1
= A CA E
√S> √S2
A CC E=}
>√S√S√S2
√S1+ =1 √S1> √S2+ √S=
16
36
30m
18m
A
CB
P
FM
NG
ED
S3
S1S2
: 如图, DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且 DE 、 FG 、 MN 交于点 P 。若记 SΔDPM= S1, SΔPEF= S2,
SΔGNP= S3,SΔABC= S 、
S 与 S1 、 S2 、 S3 之间是否也有类似结论?猜想并加以验证。
探究
练习1. 若两个相似三角形的相似比是 2 : 3 ,则它们的对应高线的比是 ,对应中线的比是 ,对应角平分线的比是 ,周长比是 ,面积比是 。2. 两个等边三角形的面积比是 3 : 4 ,则它们的边长比是 ,周长比是 。 3. 某城市规划图的比例尺为 1 : 4000 ,图中一个氯化区的周长为 15cm ,面积为 12cm2 ,则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少?
4 、在△ ABC 中, DE⁄⁄BC , E 、 D 分别在 AC 、 AB 上, EC=2AE ,则 S △ A
DE : S 四边形 DBCE 的比为 ______
练习
5 、如图, △ABC中,DE⁄⁄FG⁄⁄BC,AD=DF=FB,则S△ADE : S四边形DFGE : S四边形FBCG
=_________
6. 已知 :梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AD=36,BC=60cm, 延长两腰BD,CD 交于点 O,OF⊥BC, 交 AD 于 E,EF=32cm, 则 OF=_______.
A
B C
DE
F
O
练习
7、 ΔABC 中, AE 是角平分线, D是 AB 上的一点, CD 交 AE 于 G ,∠ACD=∠B ,且 AC=2AD.则 ΔACD ∽Δ______. 它们的相似比 K =_______,______
AG
AE
A
B CE
D
10 .阅读下面的短文,并解答下列问题: 我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体. 如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比 (a∶b) .
设 S 甲、S 乙分别表示这两个正方体的表面积,
则2
2
2
)(6
6
b
a
b
a
S
S
乙
甲
又设 V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积,
则3
3
3
)(b
a
b
a
V
V
乙
甲
(1) 下列几何体中,一定属于相似体的是 ( ) A .两个球体 B .两个锥体 C .两个圆柱体 D .两个长方体(2) 请归纳出相似体的三条主要性质:①相似体的一切对应线段 ( 或弧 ) 长的比等于 ______ ;②相似体表面积的比等于 __ ____ ;③相似体体积比等于 ___ __ _ .(3) 假定在完全正常发育的条件下,不同时期的同一人的人体是相似体,一个小朋友上幼儿园时身高为 1.1 米,体重为 18 千克,到了初三时,身高为 1.65 米,问他的体重是多少? ( 不考虑不同时期人体平均密度的变化 )
A
相似比相似比的平方
相似比的立方
设他的体重为 x千克,根据题意得3)
1.1
65.1(
18
x
解得 x=60.75(千克)