4. model matematis dan desain algoritma 4.1. model matematis · 2015. 1. 22. · model matematis...

Universitas Kristen Petra

12

4. MODEL MATEMATIS DAN DESAIN ALGORITMA

4.1. Model Matematis

Model matematis yang dibangun memiliki tiga kondisi atau kasus, dimana

pada kasus pertama jumlah pemesanan (Q) dalam siklus pemesanan (T) memiliki

waktu lebih kecil dari waktu penundaan pertama yang diperbolehkan (M1). Kasus

kedua memiliki siklus pemesanan (T) dengan waktu lebih kecil dari periode

penundaan kedua yang diperbolehkan (M2) dan lebih besar daripada waktu

penundaan pertama yang diberbolehkan (M1). Kasus ketiga memiliki siklus

pemesanan (T) dengan waktu lebih besar dari periode penundaan yang

diperbolehkan (M2). Seluruh kasus yang ada memiliki fungsi tujuan biaya total

supply chain (TSC) yang didapat dari penjumlahan biaya total persediaan pembeli

(TBUC) dan biaya total persediaan pemasok (TVUC).

4.2. Asumsi

Asumsi yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

Permintaan untuk satu jenis barang dengan jumlah konstan per periode

waktunya.

Kekurangan stok tidak diijinkan.

Pemenuhan bahan baku terjadi secara terus menerus dan instan apabila

stok persediaan pembeli habis.

Pemasok memberikan kepada pembeli perjanjian pembayaran sebagai

berikut: Apabila pembeli membayar pada saat periode penundaan (M1),

maka pemasok tidak akan memberikan bunga apapun. Pembeli akan

dikenakan bunga apabila membayar pada saat setelah periode penundaan

pertama (M1) dan sebelum periode penundaan kedua (M2) dengan besar

suku bunga (Ic1). Pembeli akan dikenakan bunga (Ic2) apabila pembeli

membayar setelah periode penundaan kedua (M2) dimana (Ic2> Ic1).

Waktu periode transaksi tidak terbatas.

Laju produksi (P) lebih besar daripada laju permintaan (D).

http://dewey.petra.ac.id/dgt_directory.php?display=classification

http://digilib.petra.ac.id/help.html

http://www.petra.ac.id


13

4.3. Kasus 1

Kasus satu merupakan kasus dimana siklus pemenuhan pemesanan (T)

berada pada periode penundaan pertama yang diperbolehkan (M1) atau sebelum

periode pembayaran pertama (M1) atau dapat dituliskan dengan (T≤M1).

Pembayaran dilakukan pembeli paling lambat pada periode penundaan pertama

(M1), sehingga timbul biaya kesempatan bagi pemasok seperti pada Gambar 4.1

berikut.

Gambar 4.1. Biaya Kesempatan yang Diterima Pemasok Pada Kasus 1

Sumber : Siek (2012, p.20)

Pembeli pada kasus ini menjual produk sejumlah (mK) selama periode (T)

sehingga total biaya pembelian dapat dibayarkan kepada pemasok secara penuh

pada periode penundaan pertama (M1). Sehingga pemasok memiliki bunga

kesempatan pada waktu nol hingga periode penundaan pertama (M1). Total bunga

kesempatan dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

(

)

(

)) (4.1)

(

) (4.2)

Pembeli akan menerima bunga keuntungan dari penundaan pembayaran

hingga periode penundaan pertama (M1), yang dapat digambarkan pada Gambar

4.2 berikut.

p

T

wT/K M1

Unit


14

Gambar 4.2. Total Bunga Keuntungan Pembeli Pada Kasus 1


Pembeli tidak menerima bunga penundaan (Ic) karena pembeli membayar

sebelum atau tepat pada periode penundaan pertama yang diperbolehkan (M1).

Pembeli mendapatkan bunga keuntungan/bunga bank (Ie) karena pembeli

membayar pada periode penundaan pertama (M1). Bunga yang diterima dapat

dimodelkan sebagai berikut:

(

( ) ) (4.3)

(

) (4.4)

Produk sejumlah (m) akan dikirim langsung secara instan apabila

persediaan habis. Fungsi tujuan biaya total dari pembeli terdiri dari biaya

pengadaan atau biaya pemesanan pembeli, biaya transportasi, biaya penyimpanan

pembeli, dan biaya kesempatan pembeli yang mungkin timbul dikurangi dengan

total bunga yang diterima pembeli (TIeb). Total biaya persediaan dapat

dimodelkan sebagai berikut:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

) (4.5)

Subsitusikan jumlah pemesanan (Q) dengan jumlah produk yang dikirim

(m) dikali jumlah pengiriman yang dilakukan (K) selama periode (T) pada

persamaan 4.5 sehingga:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

) (4.6)

Total produksi yang ada sama dengan total permintaan, sehingga:

d

M1 T

Unit


15

( ) (4.7)

( ( ) )

(4.8)

Fungsi tujuan biaya total dari pemasok terdiri dari biaya persiapan

produksi pemasok, biaya penyimpanan pemasok, dan biaya kesempatan yang

dibebankan (TIev). Biaya total persediaan pemasok dapat dimodelkan sebagai

berikut:

(

)

(

) (4.9)

Subsitusikan jumlah pemesanan (Q) dengan jumlah produk yang dikirim

(m) dikali jumlah pengiriman yang dilakukan (K) selama periode (T) pada

persamaan 4.11 sehingga:

(

)

(

) (4.10)

Fungsi tujuan biaya total supply chain terdiri dari penjumlahan biaya total

persediaan pembeli dan biaya total persediaan pemasok. Biaya total supply chain

dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

)

(

)

(

) (4.11)

4.4. Kasus 2

Kasus dua merupakan kasus dimana siklus pemenuhan pemesanan T

berada pada periode penundaan kedua yang diperbolehkan (M2) atau sebelum

periode penundaan kedua (M2) dan sesudah periode penundaan pertama yang

diperbolehkan (M1) atau dapat dituliskan dengan (M1<T≤M2). Kasus dua memiliki

dua kemungkinan, yaitu:

Kasus 2.1 merupakan kasus dimana pembeli melakukan pembayaran

penuh pada periode (M1). Kasus ini memiliki dua jenis kemungkinan, yaitu

laju produksi (p) memiliki periode yang lebih kecil dari periode penundaan

pertama yang diperbolehkan (M1) dan laju produksi (p) memiliki periode

yang lebih besar atau sama dengan periode penundaan pertama yang

diperbolehkan (M1).


16


penuh pada periode penundaan kedua (M2). Kasus ini memiliki dua jenis

kemungkinan, yaitu laju produksi (p) memiliki periode yang lebih kecil

dari periode penundaan pertama yang diperbolehkan (M1) dan laju

produksi (P) memiliki periode yang lebih besar atau sama dengan periode

penundaan pertama yang diperbolehkan (M1).

Gambar 4.3. Biaya Kesempatan yang Diterima Pemasok


Gambar 4.3 mendeskripsikan kemungkinan biaya kesempatan yang akan

diterima pemasok pada kasus dua dan kasus tiga. Kemungkinan satu pada Gambar

4.3a terjadi saat laju produksi (wT/K) lebih kecil daripada waktu periode

penundaan pertama (M1). Kemungkinan dua pada Gambar 4.3b terjadi saat laju

produksi (wT/K) lebih besar atau sama dengan periode penundaan pertama (M1).

4.4.1. Kasus 2.1

Kasus ini memiliki syarat bahwa harga produk (pr) untuk setiap

permintaan (d) hingga periode penundaan pertama (M1) beserta bunga tahunan

bank (Ie) untuk setiap permintaan (d) hingga periode penundaan pertama (M1)

memiliki nilai yang lebih besar daripada atau sama dengan harga beli produk tiap

unit (c) untuk setiap permintaan (d) hingga waktu siklus pemenuhan permintaan

(T) atau dapat dituliskan dengan (prdM1+IeprdM12/2≥cdT).

Pemasok pada kasus ini memiliki dua jenis biaya kesempatan. Biaya

kesempatan pemasok pada kemungkinan pertama memiliki laju produksi (p)

dengan waktu produksi yang kurang dari waktu penundaan pertama (M1).

Pemasok pada kemungkinan kedua memiliki laju produksi (p) dengan waktu

Unit Unit

p p


17

produksi yang lebih dari atau sama dengan periode penundaan yang pertama (M1).

Model matematis bunga kesempatan yang diterima pemasok pada kemungkinan

satu dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

(

)

(

)) (4.12)

(

) (4.13)

Kemungkinan kedua memiliki total bunga kesempatan yang diterima oleh

pemasok dengan model matematis sebagai berikut:

( )

(4.14)

Gambar 4.4. Total Bunga Keuntungan Pembeli Kasus 2.1


Pembeli pada kasus ini melakukan pembayaran penuh pada periode

penundaan pertama (M1) sehingga, pemasok tidak mendapatkan bunga penundaan

(Ic) disebabkan pembeli membayar pada saat periode penundaan pertama (M1)

secara penuh. Total bunga keuntungan yang didapat oleh pembeli pada Gambar

4.4 dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

) (4.15)

Pembeli pada kasus ini tidak terkena bunga penundaan (Ic), karena

pembayaran yang ada dilakukan sebelum atau pada periode penundaan pertama

(M1). Kasus 2.1 mendapat dua macam kemungkinan, yaitu:

Kasus 2.1a memiliki periode penundaan pembayaran pertama (M1) yang

lebih besar daripada (wT/K). Fungsi tujuan biaya total dari pembeli terdiri dari

d

M1

T

Unit

M2


18

biaya pengadaan atau biaya pemesanan pembeli, biaya transportasi, biaya

penyimpanan pembeli, dan biaya kesempatan pembeli yang mungkin timbul

dikurangi dengan total bunga yang diterima pembeli (TIeb). Total biaya

persediaan pembeli dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

) (4.16)


produksi pemasok, biaya penyimpanan pemasok dan biaya kesempatan yang

dibebankan (TIev). Total biaya persediaan pemasok dapat dimodelkan sebagai

berikut:

(

)

(

) (4.17)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

)

(

)

(

) (4.18)

Kasus 2.1b memiliki periode penundaan pembayaran pertama (M1) yang

lebih kecil atau sama dengan (wT/K). Fungsi tujuan biaya total dari pembeli terdiri

dari biaya pengadaan atau biaya pemesanan pembeli, biaya transportasi, biaya

penyimpanan pembeli, dan biaya kesempatan pembeli yang mungkin timbul



(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

) (4.19)




berikut:

(

)

(4.20)


19




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

)

(

)

(4.21)

4.4.2. Kasus 2.2


permintaan (d) hingga waktu penundaan pertama (M1) beserta bunga tahunan

bank (Ie) untuk setiap permintaan (d) hingga (M1) memiliki nilai atau nominal

yang lebih kecil daripada harga beli tiap produk (c) untuk setiap permintaan (d)

hingga waktu siklus pemenuhan permintaan (T) atau dapat dituliskan dengan

(prdM1+IeprdM12/2<cdT).

Gambar 4.5. Bunga Penundaan yang Diterima Pemasok atau yang Dibayar

Pembeli Kasus 2.2 dan Kasus 3.2


Pemasok pada kasus ini akan mendapat keuntungan dari pembayaran

bunga penundaan pertama (Ic1) karena periode pemenuhan pemesanan (T) lebih

besar daripada periode penundaan pertama (M1). Pemasok mendapatkan total

bunga penundaan dari pembeli (TIc1) yang dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

) (

( )

) (4.22)

M1

T

Unit

M2


20

( (

))

(4.23)

Kasus 2.2 memiliki dua jenis kemungkinan yang terjadi, yaitu:


lebih besar daripada (wT/K). Fungsi tujuan biaya total dari pembeli pada kasus ini

terdiri dari biaya pengadaan atau biaya pemesanan pembeli, biaya transportasi,

biaya penyimpanan pembeli, bunga biaya penundaan (TIc1), dan biaya kesempatan

pembeli yang mungkin timbul dikurangi dengan total bunga yang diterima

pembeli (TIeb). Total biaya persediaan pembeli dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

(

(

))

(

) (4.24)



dibebankan (TIev) dikurangi dengan bunga yang diterima (TIc1). Total biaya

persediaan pemasok dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

)

(

)

( (

))

(4.25)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

( (

))

(

)

(

)

(

)

( (

))

(4.26)


lebih kecil atau sama dengan (wT/K). Fungsi tujuan biaya total dari pembeli pada


21

kasus ini terdiri dari biaya pengadaan atau biaya pemesanan pembeli, biaya

transportasi, biaya penyimpanan pembeli, bunga biaya penundaan (TIc1), dan

biaya kesempatan pembeli yang mungkin timbul dikurangi dengan total bunga

yang diterima pembeli (TIeb). Total biaya persediaan pembeli dapat dimodelkan

sebagai berikut:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

(

(

))

(

) (4.27)





(

)

( (

))

(4.28)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

( (

))

(

)

(

)

(

(

))

(4.29)

4.5. Kasus 3

Kasus tiga merupakan kasus dimana siklus pemenuhan pemesanan (T)

berada pada periode lebih besar dari waktu penundaan kedua yang diperbolehkan

(M2) atau sama dengan waktu penundaan kedua (M2) yang diperbolehkan atau

dapat dituliskan dengan (T≥M2). Kasus tiga memiliki tiga kemungkinan, yaitu:


22



laju produksi (p) memiliki periode yang lebih kecil dari penundaan


yang lebih besar atau sama dengan penundaan pertama yang

diperbolehkan (M1).



laju produksi (p) memiliki periode yang lebih kecil dari penundaan


yang lebih besar atau sama dengan penundaan pertama yang

diperbolehkan (M1).


penuh pada periode setelah (M2). Kasus ini memiliki dua jenis

kemungkinan, yaitu laju produksi (p) memiliki periode yang lebih kecil

dari penundaan pertama yang diperbolehkan (M1) dan laju produksi (p)

memiliki periode yang lebih besar atau sama dengan penundaan pertama

yang diperbolehkan (M1).

4.5.1. Kasus 3.1


permintaan (d) hingga periode penundaan pertama (M1) beserta bunga tahunan


yang lebih besar daripada atau sama dengan harga beli tiap produk (c) untuk

setiap permintaan (d) hingga waktu siklus pemenuhan permintaan (T) atau dapat

dituliskan dengan (prdM1+IeprdM12/2≥cdT).

Biaya kesempatan (TIev) daripada pemasok pada kasus ini digambarkan

pada Gambar 4.4, dan sama dengan biaya kesempatan pada kasus dua. Dua

kemungkinan terdapat pada kasus ini, pada saat waktu periode produksi lebih

kecil daripada periode penundaan pertama (M1) atau pada saat waktu periode

produksi lebih besar daripada periode penundaan pertama (M1). Pemasok tidak

mendapatkan bunga penundaan (TIc1) karena pembeli telah menyelesaikan semua


23

pembayaran pada periode penundaan pertama (M1). Bunga keuntungan yang

didapat pembeli (TIeb) pada kasus ini memiliki model yang sama dengan yang

didapat pada kasus 2.1.


lebih besar daripada (wT/K). Fungsi tujuan biaya total dari pembeli pada kasus ini


biaya penyimpanan pembeli, dan biaya kesempatan pembeli yang mungkin timbul



(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

) (4.30)

Fungsi tujuan biaya total dari terdiri dari biaya persiapan produksi

pemasok, biaya penyimpanan pemasok, dan biaya kesempatan yang dibebankan

(TIev). Total biaya persediaan pemasok dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

)

(

) (4.31)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

)

(

)

(

) (4.32)




transportasi, biaya penyimpanan pembeli, dan biaya kesempatan pembeli yang

mungkin timbul dikurangi dengan total bunga yang diterima pembeli (TIeb). Total

biaya persediaan pembeli dapat dimodelkan sebagai berikut:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

) (4.33)




24


berikut:

(

)

(4.34)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) (

)

(

)

(4.35)

4.5.2. Kasus 3.2


permintaan (d) hingga waktu penundaan pertama (M1) beserta bunga tahunan


yang lebih kecil daripada harga beli produk tiap produk (c) untuk setiap

permintaan (D) hingga waktu siklus pemenuhan permintaan (T) atau dapat

dituliskan dengan (prdM1+IeprdM12/2<cdT). Syarat kedua dalam kasus ini bahwa

harga produk (pr) untuk setiap permintaan (d) pada rentang waktu antara waktu

penundaan pertama (M1) dan waktu penundaan kedua (M2) beserta bunga

penundaan tahunan bank (Ie) untuk setiap waktu penundaan pertama (M1) dan

waktu penundaan kedua (M2) lebih besar atau sama dengan harga beli produk (c)

untuk setiap permintaan (d) pada periode siklus pemenuhan (T) beserta harga

produk (pr) untuk setiap permintaan (d) pada siklus periode hingga penundaan

pertama M1 dan bunga tahunan bank (Ie) untuk setiap permintaan (d) pada siklus

periode hingga penundaan pertama (M1) atau dapat dituliskan dengan

(prd(M2-M1)+prIed(M2-M1)2/2)≥(cdTprdM1+prIedM1

2/2).

Biaya kesempatan (TIev) daripada pemasok pada kasus ini dapat dilihat

pada Gambar 4.3 atau sama dengan biaya kesempatan pada kasus dua. Dua

kemungkinan terdapat pada kasus ini, pada saat waktu periode produksi lebih

kecil daripada periode penundaan pertama (M1) atau pada saat waktu periode

produksi lebih besar atau sama dengan periode penundaan pertama (M1).


25

Pemasok pada kasus ini akan mendapat keuntungan dari bunga penundaan

(Ic1) dari pembeli. Total bunga penundaan (TIc1) yang diterima pemasok atau

dibayar pembeli dapat dilihat pada Gambar 4.5 serta pada kasus ini sama dengan

model matematis kasus 2.2. Bunga keuntungan pembeli (TIeb) pada kasus ini

memiliki model matematis yang sama dengan kasus 2.2.

Kasus 3.2a memiliki periode penundaan pembayaran pertama (M1) yang lebih

besar daripada (wT/K). Fungsi tujuan biaya total dari pembeli pada kasus ini





(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

(

(

))

(

) (4.36)





(

)

(

)

( (

))

(4.37)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

( (

))

(

)

(

)

(

)

( (

))

(4.38)


26






yang diterima pembeli (TIeb).

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

(

(

))

(

)

(4.39)





(

)

( (

))

(4.40)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

)

( (

))

(

)

(

)

(

(

))

(4.41)

4.5.3. Kasus 3.3


permintaan (d) hingga waktu penundaan pertama (M1) beserta bunga penundaan

pemasok (Ic1) untuk setiap permintaan (d) hingga (M1) memiliki nilai atau


27

nominal yang lebih kecil daripada harga beli produk tiap produk (c) untuk setiap

permintaan (d) hingga waktu siklus pemenuhan permintaan (T) atau dapat

dituliskan dengan (prdM1+Ic1prdM12/2<cdT). Syarat kedua dalam kasus ini bahwa

harga produk (pr) untuk setiap permintaan (d) pada periode jedah penundaan

antara (M1) dan (M2) ditambah dengan bunga penundaan (Ic2) untuk setiap

permintaan (d) pada periode penundaan antara (M1) dan (M2) lebih kecil daripada

biaya produk (pr) untuk setiap permintaan (d) dalam waktu siklus pemenuhan

permintaan (T) dikurangi dengan biaya produk (pr) untuk setiap permintaan (d)

hingga periode penundaan (M1) dikurangi biaya produk (pr) untuk setiap

permintaan (D) dengan suku bunga penundaan pertama (Ic1) atau dapat ditulis

dengan (prd(M2-M1)+prIc2(M2-M1)2/2)<(cdT-prdM1-prIc1dM1

2/2).

Gambar 4.6. Bunga Penundaan yang Didapatkan Pemasok atau yang Dibayar

Pembeli


Pembeli memiliki bunga keuntungan (TIeb) yang sama dengan yang ada

pada kasus 2.2a. Pemasok memiliki biaya kesempatan (TIev) yang sama dengan

yang ada pada kasus 2, dimana terdapat dua kemungkinan antara laju produksi

(wT/K) lebih kecil dari periode penundaan pertama (M1) atau laju produksi (wT/K)

lebih besar atau sama dengan periode penundaan pertama (M1). Pemasok

mendapatkan bunga penundaan sebesar (TIc2) karena siklus pemenuhan

permintaan (T) lebih besar daripada periode penundaan yang kedua (M2).Bunga

M1

T

Unit

M2


28

yang didapatkan oleh pemasok atau yang harus dibayar pembeli dapat

digambarkan pada Gambar 4.6, serta dimodelkan sebagai berikut:

(

) ( ) (

) (4.42)

( (

)) (4.43)

( (

)) ( ( )

( )

) (4.44)

Kasus 3.3a memiliki periode penundaan pembayaran pertama (M1) yang lebih

besar daripada (wT/K). Fungsi tujuan biaya total dari pembeli pada kasus ini





(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) ( (

) ( )

(

)) (

) (4.45)





(

)

(

) ( (

) ( )

(

)) (4.46)





29

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) ( (

) ( )

(

)) (

)

(

)

(

)

( (

) ( ) (

)) (4.47)






yang diterima pembeli (TIeb). Total biaya persediaan pembeli dapat dimodelkan

sebagai berikut:

(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) ( (

) ( )

(

)) (

) (4.48)





(

)

( (

) ( ) (

))

(4.49)




(

( ⁄ )

(

⁄ )

⁄

) (

) ( (

) ( )

(

)) (

)

(

)

( (

) (

) (

)) (4.50)


30

4.6. Algoritma Perhitungan

Gambar 4.7. Algoritma GA Untuk Optimasi Variabel Keputusan

START

Hitung fitness tiap kromosom

dalam populasi

Ya Kondisi

berhenti? End

Ambil dua pasang kromosom untuk

reproduksi

Ubah kromosom dengan

populasi kromosom baru Ya

Jumlah populasi

baru sama

dengan populasi

lama?

Mutasi kromosom yang terpilih akan

menghasilkan populasi baru

Crossover dua kromosom yang terpilih

akan menghasilkan dua offspring

Tidak

Tidak


31

Pada algoritma GA seperti Gambar 4.7, GA dimulai dengan menghitung

kecocokkan masing – masing kromosom pada populasi, kemudian dilakukan

pemeriksaan apakah sudah dapat berhenti atau belum. Apabila belum dapat

berhenti maka dengan crossover dan mutasi akan dilakukan produksi. Apabila

jumlah populasi baru telah sama dengan populasi yang lama kromosom baru akan

menggantikan kromosom yang lama dan jika populasi baru belum sama dengan

populasi lama maka akan dilakukan reproduksi ulang. Semua variabel yang

didapat dari metode GA akan dimasukkan pada fungsi tujuan menurut algoritma

Gambar 4.8.


32

Gambar 4.8. Algoritma Perhitungan Fungsi Tujuan

4. model matematis dan desain algoritma 4.1. model matematis · 2015. 1. 22. · model matematis...

Documents