1

4. Metode de restaurarea imaginilor

4.4. Tehnici restaurare în cazul modelului de degradare liniar și independent de poziție

Modelul de degradare

Modelul general de degradare este:

𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝑯(𝒇(𝒙, 𝒚)) + 𝜼(𝒙, 𝒚) (𝟒. 𝟖)

unde

f este imaginea iniţială;

H este operatorul de degradare;

η este funcţia zgomot;

g este imaginea de ieşire.

Prelucrarea semnalelor imagistice presupune, în primă fază, operaţia de digitizare a funcţiei

continue, în domeniul spaţial. În termeni matematici, procesul de digitizare este exprimat prin

intermediul unei funcţii impuls 𝜹; valoarea într-un punct (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) a funcției astfel obținute este

𝒇(𝒙𝟎, 𝒚𝟎) = ∫ ∫ 𝒇(𝒙, 𝒚)𝜹(𝒙 − 𝒙𝟎, 𝒚 − 𝒚𝟎)𝒅𝒙𝒅𝒚

∞

−∞

∞

−∞

(𝟒. 𝟗)

Dacă este exclusă componenta zgomot în relaţia (4.8), pe baza relației (4.9) rezultă următorul

model de degradare a semnalului continuu f,

𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝑯(𝒇(𝒙, 𝒚)) = 𝑯 [ ∫ ∫ 𝒇(𝜶, 𝜷)𝜹(𝒙 − 𝜶, 𝒚 − 𝜷)𝒅𝜶𝒅𝜷

∞

−∞

∞

−∞

] (𝟒. 𝟏𝟎)

În ipoteza în care H este operator linear şi proprietatea de linearitate poate fi extinsă de la

aditivitate la operatorul integrală, obținem,

𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝑯(𝒇(𝒙, 𝒚)) = 𝑯 [ ∫ ∫ 𝒇(𝜶,𝜷)𝜹(𝒙 − 𝜶,𝒚 − 𝜷)𝒅𝜶𝒅𝜷

∞

−∞

∞

−∞

]

= ∫ ∫ 𝒇(𝜶,𝜷)𝑯(𝜹(𝒙 − 𝜶, 𝒚 − 𝜷))𝒅𝜶𝒅𝜷

∞

−∞

∞

−∞

(𝟒. 𝟏𝟏)

deoarece 𝒇(𝜶,𝜷) nu depinde de x şi y. (Pratt, 2007)

Fie 𝒉(𝒙, 𝜶, 𝒚, 𝜷) = 𝑯(𝜹(𝒙 − 𝜶, 𝒚 − 𝜷)) răspunsul operatorului H la impulsul 𝜹. Modelul de

degradare este exprimat prin

𝒈(𝒙, 𝒚) = ∫ ∫ 𝒇(𝜶,𝜷)𝒉(𝒙, 𝜶, 𝒚, 𝜷)𝒅𝜶𝒅𝜷

∞

−∞

∞

−∞

(𝟒. 𝟏𝟐)

Conform celor prezentate în capitolul 2, relaţia (4.12) corespunde integralei superpoziţie. În

ipoteza în care răspunsul lui H la un anumit impuls este cunoscut, atunci răspunsul corespunzător

oricărei intrări 𝒇(𝜶,𝜷) poate fi calculat conform superpoziţiei definite de (4.12).

În continuare presupunem că operatorul H este invariant la translații (nu depinde de poziție),

adică

𝑯(𝒇(𝒙 − 𝜶, 𝒚 − 𝜷)) = 𝒈(𝒙 − 𝜶,𝒚 − 𝜷) pentru orice 𝒙, 𝜶, 𝒚, 𝜷

Rezultă că 𝒉(𝒙 − 𝜶, 𝒚 − 𝜷) = 𝑯(𝜹(𝒙 − 𝜶, 𝒚 − 𝜷)) şi modelul de degradare în caz continuu este

exprimat prin relația

2

𝒈(𝒙, 𝒚) = ∫ ∫ 𝒇(𝜶,𝜷)𝒉(𝒙 − 𝜶, 𝒚 − 𝜷)𝒅𝜶𝒅𝜷

∞

−∞

∞

−∞

(𝟒. 𝟏𝟑)

.

Relaţia (4.13) corespunde unei convoluţii în spațiul continuu între impulsul f şi operatorul h.

Dacă operatorul H este liniar şi invariant la translații, în ipoteza prezenței componentei zgomot de

asemenea independentă la translație, modelul general în caz continuu este,

𝒈(𝒙, 𝒚) = ∫ ∫ 𝒇(𝜶, 𝜷)𝒉(𝒙 − 𝜶,𝒚 − 𝜷)𝒅𝜶𝒅𝜷

∞

−∞

∞

−∞

+ 𝜼(𝒙, 𝒚) (𝟒. 𝟏𝟒)

În caz finit, în domeniul spațial, modelul de degradare este exprimat prin convoluția dintre

operatorul h și imaginea originală f, urmată de adăugarea componentei zgomot aditiv 𝜼, cu rezultat

imaginea observată g. Fie f funcție imagine de dimensiune 𝑵 × 𝑴. Pentru 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝑴,

modelul de degradare este exprimat prin relația

𝒈(𝒙, 𝒚) = (𝒉 ⊗ 𝒇)(𝒙, 𝒚) + 𝜼(𝒙, 𝒚) (𝟒. 𝟏𝟓)

Informațiile legate de componenta zgomot 𝜼 sunt strict de natură statistică.

În domeniul frecvențelor, relația (4.15) este exprimată pe baza teoremei de convoluție (vezi

§2.2) prin

�̂�(𝒏,𝒎) = �̂�(𝒏,𝒎) ⋅ �̂�(𝒏,𝒎) + �̂�(𝒏,𝒎) (𝟒. 𝟏𝟔)

unde 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝑴 și �̂�, �̂�, �̂� și respetiv �̂� desemnează reprezentările Fourier ale funcțiilor

g, h, f și 𝜼.

În cazul modelului liniar și invariant la translații, deoarece procesul de degradare este modelat

în termenii convoluție și tehnicile de restaurare trebuie proiectate astfel încât să permită inversarea

modelului de degradare, restaurarea este numită și deconvoluție, iar filtrele utilizate pentru restaurare se

mai numesc și filtre de deconvoluție.

În continuare ne plasăm exclusiv în domeniul modelului de degradare liniar și invariant la

poziție (translații).

Exprimarea filtrării spațiale cu o mască dată prin intermediul filtrării Fourier

În cazul filtrării Fourier (vezi capitolul 3), funcția �̂� este o matrice 𝑵 × 𝑴 cu elemente numere

complexe. Funcția h din domeniul spațial poate avea o mască de filtrare cu dimensiuni 𝒏 × 𝒎, n și m

impare, 𝒏 ≪ 𝑵, 𝒎 ≪ 𝑴. Presupunem că h este simetrică și centrul de simetrie este centrul măștii.

Generarea unui corespondent al lui h in domeniul frecvențelor poate fi realizată astfel.

Pas 1. Calculează funcția 𝑓𝑝, de dimensiune 𝑃 × 𝑄 prin adăugarea de n-1 linii (câte 𝑛−1

2

deasupra și sub imaginea inițială) și m-1 coloane nule (câte 𝑚−1

2 în stânga și în dreapta imaginii inițiale),

similar filtrării în domeniul spațial, 𝑃 = 𝑁 + 𝑛 − 1, 𝑄 = 𝑀 + 𝑚 − 1.

Pas 2. Centrează 𝑓𝑝 și obține 𝑓𝑝𝑐.

Pas 3. Calculează 𝑓𝑝𝑐 = 𝑇𝐹𝐷(𝑓𝑝

𝑐).

Pas 4. Calculează matricea ℎ𝑝, de dimensiune 𝑃 × 𝑄 prin adăugarea de linii și coloane nule în

matricea h astfel încât h să se regăsească în centrul matricei ℎ𝑝.

Pas 5. Centrează ℎ𝑝 și obține ℎ𝑝𝑐 .

Pas 6. Calculează ℎ̂𝑝𝑐 = 𝑇𝐹𝐷(ℎ𝑝

𝑐); dacă h este impară, ℎ̂𝑝𝑐 este cu toate elementele pur

imaginare și setează 𝑅𝑒𝑎𝑙(ℎ̂𝑝𝑐) = 0; dacă h este simetrică pară, ℎ̂𝑝

𝑐 este cu toate elementele reale și

setează 𝐼𝑚𝑎𝑔(ℎ̂𝑝𝑐) = 0. Aplică transformarea inversă ℎ̂𝑝(𝑛,𝑚) = (−1)𝑚+𝑛 ∙ ℎ̂𝑝

𝑐(𝑛, 𝑚).

Pas7. Calculează matricea G,

0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑃 − 1 și 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑄 − 1, 𝐺(𝑛,𝑚) = ℎ̂𝑝(𝑛,𝑚) ∙ 𝑓𝑝𝑐(𝑛,𝑚).

Pas 8. Calculează 𝑔𝑝, o variantă extinsă a imaginii procesate

Pentru 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑃 − 1 și 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑄 − 1,

𝑔𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑅𝑒𝑎𝑙(𝑇𝐹𝐷𝐼[𝐺(𝑛,𝑚)]) ∙ (−1)𝑥+𝑦

3

Pas 9. Calculează imaginea rezultat g de dimensiune 𝑁 × 𝑀 prin eliminarea liniilor și

coloanelor suplimentare din 𝑔𝑝, similar filtrării spațiale.

Estimarea funcției de degradare

În ipoteza în care este disponibil un echipament similar celui care a produs degradarea, în

principiu este posibilă estimarea procesului de degradare și, implicit, forma operatorului h. Prin

utilizarea acestui echipament pot fi genearate imagini cu distorsiuni care să se apropie de cea a imaginii

analizate. În continuare este intenționată obținerea unui răspuns la impulsul care a provocat degradarea

prin generarea unei funcții impuls(puncte cu grad ridicat de luminozitate) utilizând aceleași setări ale

dispozitivului. Deoarece transformata Fourier a funcției impuls este o constantă, notată aici cu C,

rezultă,

ℎ̂ =𝑔

𝐶

Cea mai utilizată metodă de estimare a funcției de degradare este cea prin modelare.

Unul din primele modele considerate a fost cel inspirat din turbulențele atmosferice. În varianta

centrată, acesta este caracterizat de masca (Gonzales, Woods, 2008)

ℎ̂(𝑛,𝑚) = 𝑒𝑥𝑝{−𝑘 [(𝑛 −𝑁

2)2

+ (𝑚 −𝑀

2)2

]

56

} (4.17)

În continuare este prezentată o abordare a modelării procesului de degradare prin voalarea

rezultată în urma mișcării senzorului la momentul achiziției imaginilor (termen referit prin motion blur)

în caz continuu (Gonzales, Woods, 2008). Fie f o funcție imagine care este achiziționată cu un senzor

care induce une efect de voalare datorat mișcării în plan (determinat de sistemul de axe OX și OY),

𝑥0(𝑡) și 𝑦0(𝑡) componentele care definesc procesul de mișcare pe fiecare dintre cele două axe (ca

funcții de variabila timp). Expunerea totală în fiecare punct al imaginii achiziționate (privită ca

înregistrare medie) este obținută prin integrarea expunerii instantanee în intervalul de timp în care este

efectuată înregistrarea. Fie T durata totală a achiziționării imaginii f. Imaginea înregistrată, g, este

definită prin

𝑔(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑥0(𝑡), 𝑦 − 𝑦0(𝑡))𝑑𝑡

𝑇

0

(4.18)

Relația (4.18) exprimă faptul că toate punctele suficient de apropiate de (𝑥, 𝑦) sunt “mișcate”

spre punctul (𝑥, 𝑦) în intervalul de timp T, valorile de luminozitate înregistrate pentru ele fiind

acumulate de senzor în (𝑥, 𝑦).

În caz continuu, transformata Fourier bidimensională a funcției g este

𝑔(𝑛,𝑚) = ∫ ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥 + 𝑚 ∙ 𝑦)}𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞

= ∫ ∫ [∫𝑓(𝑥 − 𝑥0(𝑡), 𝑦 − 𝑦0(𝑡))𝑑𝑡

𝑇

0

] 𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥 + 𝑚 ∙ 𝑦)}𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞

= ∫ [ ∫ ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑥0(𝑡), 𝑦 − 𝑦0(𝑡))𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥 + 𝑚 ∙ 𝑦)}𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞

] 𝑑𝑡

𝑇

0

Pe baza proprietății de translație aplicată transformatei Fourier în caz continuu, rezultă

∫ ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑥0(𝑡), 𝑦 − 𝑦0(𝑡))𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥 + 𝑚 ∙ 𝑦)}𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞

= 𝑓(𝑛,𝑚) ∙ 𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥0(𝑡) + 𝑚 ∙ 𝑦0(𝑡))} (4.19)

Din relația (4.19), obținem

4

𝑔(𝑛,𝑚) = ∫𝑓(𝑛,𝑚)𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥0(𝑡) + 𝑚 ∙ 𝑦0(𝑡))}𝑑𝑡

𝑇

0

= 𝑓(𝑛,𝑚) ∙ ∫ 𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥0(𝑡) + 𝑚 ∙ 𝑦0(𝑡))}𝑑𝑡

𝑇

0

Fie

ℎ̂(𝑛,𝑚) = ∫ 𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖(𝑛 ∙ 𝑥0(𝑡) + 𝑚 ∙ 𝑦0(𝑡))}𝑑𝑡

𝑇

0

(4.20)

Rezultă că, în domeniul frecvențelor, are loc relația,

𝑔(𝑛,𝑚) = ℎ̂(𝑛,𝑚) ∙ 𝑓(𝑛,𝑚) (4.21)

Dacă funcțiile care exprimă mișcarea în plan, 𝑥0(𝑡) și 𝑦0(𝑡) sunt cunoscute, atunci filtrul

definit în domeniul Fourier este dat prin (4.20).

De exemplu, în ipoteza mișcării liniare uniforme, independentă de poziție și exclusiv de-a

lungul direcției x (prima componentă a funcției) cu viteză constantă 𝑎∙𝑡

𝑇, rezultă (Petrou, 2010)

𝑥0(𝑡) =𝑎 ∙ 𝑡

𝑇, 𝑦0(𝑡) = 0

ℎ̂(𝑛,𝑚) = ∫𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙𝑎 ∙ 𝑡

𝑇} 𝑑𝑡

𝑇

0

=𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙

𝑎 ∙ 𝑡𝑇 }

−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙𝑎𝑇

|

0

𝑇

=𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎} − 1

−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙𝑎𝑇

=𝑇 ∙ [1 − 𝑒𝑥𝑝{−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎}]

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎

=𝑇 ∙ 𝑒𝑥𝑝{−𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎}[𝑒𝑥𝑝{𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎} − 𝑒𝑥𝑝{−𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎}]

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎

Deoarece

𝑒𝑥𝑝{𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎} − 𝑒𝑥𝑝{−𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎} = 2 ∙ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜋 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎) obținem

ℎ̂(𝑛,𝑚) =𝑇 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜋 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎)

𝜋 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎𝑒𝑥𝑝{−𝜋 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 ∙ 𝑎} (4.22)

În ipoteza în care este prezentă și componenta mișcare de-a lungul direcției y (a doua

componentă a funcției) și aceasta este liniară, uniformă și independentă de poziție,

𝑦0(𝑡) =𝑏 ∙ 𝑡

𝑇

este obținut filtrul în frecvențe

ℎ̂(𝑛,𝑚) =𝑇 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜋 ∙ [𝑛 ∙ 𝑎 + 𝑚 ∙ 𝑏])

𝜋 ∙ [𝑛 ∙ 𝑎 + 𝑚 ∙ 𝑏]𝑒𝑥𝑝{−𝜋 ∙ 𝑖 ∙ [𝑛 ∙ 𝑎 + 𝑚 ∙ 𝑏]} (4.23)

În domeniul discret, efectul de mișcare liniară și independentă de poziție pe direcția x (în acest

caz perturbarea este la nivelul axei liniilor unei matrice, deci pe verticală) este exprimată prin (Petrou,

2010)

𝑔(𝑥, 𝑦) =1

𝑖𝑇∑ 𝑓(𝑥 − 𝑘, 𝑦)

𝑖𝑇−1

𝑘=0

𝑥 = 0,1,⋯ ,𝑁 − 1 𝑦 = 0,1,⋯ ,𝑀 − 1 (4.24)

unde 𝑖𝑇 este numărul total de pixeli ai căror luminozitate a fost înregistrată de aceeași celulă a

senzorului.

În domeniul frecvențelor, obținem

5

𝑔(𝑛,𝑚) =1

𝑖𝑇∑

1

𝑁 ∙ 𝑀∑ ∑ 𝑓(𝑙 − 𝑘, 𝑡)𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 (

𝑛 ∙ 𝑙

𝑁+

𝑚 ∙ 𝑡

𝑀)}

𝑀−1

𝑡=0

𝑁−1

𝑙=0

𝑖𝑇−1

𝑘=0

Pe baza proprietății de translație a TFD bidimensionale, rezultă

𝑔(𝑛,𝑚) = 𝑓(𝑛,𝑚) ∙1

𝑖𝑇∙ ∑ 𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛 ∙ 𝑘

𝑁}

𝑖𝑇−1

𝑘=0

deci

𝑔(𝑛,𝑚) = ℎ̂(𝑛,𝑚) ∙ 𝑓(𝑛,𝑚) unde

ℎ̂(𝑛,𝑚) =1

𝑖𝑇∙ ∑ 𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛 ∙ 𝑘

𝑁}

𝑖𝑇−1

𝑘=0

(4.25)

Dacă 𝑛 > 0, termenii sumei din membrul drept al relația (4.25) sunt în progresie geometrică

având rația 𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙𝑛

𝑁}, deci

ℎ̂(𝑛,𝑚) =1

𝑖𝑇∙𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛 ∙ 𝑖𝑇𝑁 } − 1

𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙𝑛𝑁} − 1

=1

𝑖𝑇∙𝑒𝑥𝑝 {−𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛 ∙ 𝑖𝑇𝑁 } [𝑒𝑥𝑝 {−𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛 ∙ 𝑖𝑇𝑁 } − 𝑒𝑥𝑝 {𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛 ∙ 𝑖𝑇𝑁 }]

𝑒𝑥𝑝 {−𝜋 ∙ 𝑖 ∙𝑛𝑁} [𝑒𝑥𝑝 {−𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛𝑁} − 𝑒𝑥𝑝 {𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑛𝑁}]

Rezultă

ℎ̂(𝑛,𝑚) =1

𝑖𝑇∙𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙

𝑛 ∙ 𝑖𝑇𝑁 )

𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙𝑛𝑁)

∙ 𝑒𝑥𝑝 {−𝜋 ∙ 𝑖 ∙𝑛 ∙ (𝑖𝑇 − 1)

𝑁} (4.26)

Dacă 𝑛 = 0

ℎ̂(0,𝑚) = 1, 𝑚 = 0,1,⋯ ,𝑀 − 1

În mod similar, în cazul mișcării pe direcția y (pe direcția coloanelor, deci pe orizontală),

obținem

𝑔(𝑥, 𝑦) =1

𝑖𝑇∑ 𝑓(𝑥, 𝑦 − 𝑘)

𝑖𝑇−1

𝑘=0

𝑥 = 0,1,⋯ ,𝑁 − 1 𝑦 = 0,1,⋯ ,𝑀 − 1 (4.27)

și filtrul Fourier corespunzător acestei degradări este dat prin

ℎ̂(𝑛,𝑚) =1

𝑖𝑇∙𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙

𝑚 ∙ 𝑖𝑇𝑀 )

𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙𝑚𝑀)

∙ 𝑒𝑥𝑝 {−𝜋 ∙ 𝑖 ∙𝑚 ∙ (𝑖𝑇 − 1)

𝑀} (4.28)

Dacă 𝑚 = 0

ℎ̂(𝑛, 0) = 1, 𝑛 = 0,1,⋯ ,𝑁 − 1

Metode de filtrare în domeniul de frecvenţe

Tehnica de filtrare în domeniul de frecvenţe operează asupra reprezentărilor Fourier ale

imaginilor şi este bazată pe teorema de convoluţie prezentată în capitolul 2. Filtrarea în domeniul de

frecvenţe presupune următoarele etape

1. aplicarea transformatei Fourier imaginii degradate g, funcţiei de degradare h şi

componentei zgomot ;

2. obţinerea variantei 𝑔 filtrate în frecvenţă, 𝐹(𝑔);

3. aplicarera transformatei Fourier inverse funcției 𝐹(𝑔) pentru obținerea unei aproximări a

imaginii inițiale, necunoscute, f.

6

Similar filtrării spaţiale, modelul de degradare este cunoscut sau poate fi estimat. Filtrarea în

frecvenţe este o tehnică de restaurare utilizată în special în cazul imaginilor voalate. Efectul de voalare

a imaginilor este linear, simetric circular sau combinaţie între efectul linear şi efectul circular şi poate fi

determinat experimental prin observaţii asupra modificărilor spaţiale ale unui punct sau ale unei linii

din imagine cu poziţii iniţiale cunoscute (de exemplu, poziţia unei stele într-o imagine astronomică).

Imaginile voalate sunt reprezentate fie unor funcții de perturbare care corespund modelelor matematice

descrise în secțiunea dedicată estimării modelului de degradare, fie prin intermediul convoluţiei dintre

imaginile iniţiale şi diferite măşti de voalare.

Exemple de măşti cu efect de voalare: 1

𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑢𝑙𝑢𝑖×

00100

00100

00400

00100

00100

00000

00000

11111

00000

00000

Mască orizontală Mască verticală

cu voalare uniformă ponderată central

01110

12421

14841

12421

01110

10000

02000

00400

00020

00001

Mască diagonală Mască circulară

cu distribuţie normală cu distribuţie normală

Filtrul invers

Filtrul invers este utilizat pentru restaurarea imaginilor cu modelul de degradare

𝑔 = ℎ ⊗ 𝑓 (4.29)

unde ⊗ este operaţia de convoluţie.

Prin aplicarea transformatelor Fourier funcţiilor g, h şi f, pe baza relaţiei (4.29) și a teoremei de

convoluție, obținem

�̂�(𝒏,𝒎) = �̂�(𝒏,𝒎) ⋅ �̂�(𝒏,𝒎) 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝑴

pentru f şi g imagini de dimensiune 𝑁 × 𝑀.

Rezultă,

�̂�(𝒏,𝒎) = �̂�(𝒏,𝒎) ∙𝟏

�̂�(𝒏,𝒎), 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵,𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝑴 (𝟒. 𝟑𝟎)

unde (𝑛,𝑚) sunt coordonatele punctului curent, fie acesta notat cu (𝑥, 𝑦), în domeniul frecvenţelor,

1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑁, 1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑀.

Teoretic, imaginea neperturbată f este calculată prin aplicarea transformatei Fourier inverse pe

baza relației (4.19),

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐹𝐷𝐼 (𝑔(𝑛,𝑚) ∙1

ℎ̂(𝑛,𝑚)) (4.31)

unde TFDI este operatorul transformată Fourier inversă.

Observaţie Calculul fiecărui pixel al imaginii originale, 𝑓(𝑥, 𝑦) implică multiplicarea

reprezentării Fourier a pixelului din imaginea degradată, 𝑔(𝑛,𝑚), prin factorul 1

ℎ̂(𝑛,𝑚) urmată de

7

aplicarea transformatei Fourier inverse. În consecinţă filtrul de restaurare utilizat este filtrul invers 1

ℎ̂(𝑛,𝑚), unde inversarea este efectuată punct cu punct şi nu ca inversare de matrice.

În practică, intervin probleme în cazul în care există puncte (𝑛,𝑚) în domeniul de frecvenţe

pentru care ℎ̂(𝑛,𝑚) = 0. Dacă ℎ̂(𝑛, 𝑚) = 0 şi g nu este perturbată cu zgomot, atunci transformata

𝑔(𝑛,𝑚) = 0 şi, în plus, (4.31) nu poate fi aplicată. În plus, utilizarea unor filtre cu valori foarte mici în

modul (|ℎ̂(𝑛,𝑚)| < 𝜀) conduc la erori de calcul mari și sunt, de asemenea, inutilizabile

Există mai multe variante de tratare a situație în care ℎ̂(𝑛,𝑚) = 0 (respectiv |ℎ̂(𝑛,𝑚)| < 𝜀).

1. Dacă există (𝑛,𝑚) cu ℎ̂(𝑛,𝑚) = 0 (|ℎ̂(𝑛,𝑚)| < 𝜀), atunci setează 𝑓(𝑛,𝑚) = 𝑔(𝑛,𝑚).

2. O altă modalitate de prevenire a acestei situaţii este limitarea procesului de restaurare la o

filtrare trece jos; dacă 𝑔(𝑛,𝑚) are spectrul în afara unui interval dat, atunci 𝑓(𝑛,𝑚) este

setat pe 0. Frecvenţa de “tăiere” este stabilită experimental şi este dependentă de imaginea

particulară considerată pentru restaurare.

O altă problemă care poate interveni foarte des în aplicarea acestei metode, chiar și atunci când

este cunoscută cu exactitate funcția de degradare, rezidă în faptul că obținerea imaginii g la momentul

achiziției este cu pierdere de informație (datorată, în primul rând, restricționării la un număr dat de

niveluri de gri), deci relația (4.30) nu reflectă exact forma transformatei Fourier a imaginii captate și, de

asemenea, relația (4.31) este inefectivă (vezi exemplul prezentat în figura 4.16).

Din aceste motive filtrarea inversă este foarte puțin utilizată, variante îmbunătățite fiind

prezentate în continuare.

Exemple

1. În figura 4.11.a este prezentată o imagine voalată cu masca verticală ponderată central, iar in

figura 4.11.b. varianta restaurată aplicând procedeul de filtrare inversă, cu precizarea că operatorul de

filtrare în frecvențe este obținut prin transformarea filtrului spațial pe baza algoritmului prezentat în

secțiunea corespunzătoare (prin extinderea imaginilor cu câte 4 linii și 4 coloane cu elemente nule). În

acest caz, tratarea situațiilor pentru care filtrul în domeniul frecvențelor este nul (sau foarte mic în

modul) este realizată conform primei variante: dacă |ℎ̂(𝑛,𝑚)| ≤ 𝜀 = 10−4 setează 𝑓(𝑛,𝑚) = 𝑔(𝑛,𝑚).

a. SNR=20.4914

b. SNR= 23.8893

Figura 4.11

8

Observație. Dacă SNR este calculat astfel încât primele și ultimele ls linii respctiv cs coloane

sunt ignorate (ele sunt modificate datorită extinderii imaginii cu linii și coloane cu elemente nule),

atunci, pentru 𝑙𝑠 = 𝑐𝑠 = 3, SNR calculat pentru imaginea perturbată (figura 11.a) versus imaginea

originală este 21.7176, în timp ce SNR corespunzător imaginii restaurate (figura 11.b) este 27.6963.

Observație. În cazul măștilor de voalare diagonală și respectiv circulară (definite în domeniul

spațial) poate fi aplicat filtrul invers, cu diverse valori ale lui 𝜀 (10−4 și respectiv 10−1)

2. Aplicarea același procedeu în cazul măștii de voalare orizontală nu furnizează un rezultat

corect. Masca de tip voalare orizontală are efect similar celui de tip motion blur în caz discret pe

direcția y (în această situație, mișcarea modifică punct de pe coloana centrală; spre deosebire de aceasta,

mișcarea standard pe y în caz discret cumulează rezultatul în pixelul cel mai din dreapta, deci al

coloanei cu indice maxim). Într-adevăr, pentru 𝑖𝑇 = 5,

𝑔(𝑥, 𝑦) =1

𝑖𝑇∑ 𝑓(𝑥, 𝑦 − 𝑘)

𝑖𝑇−12

𝑘=−𝑖𝑇−1

2

și, similar, relației (4.25),

ℎ̂(𝑛,𝑚) =1

𝑖𝑇∙ ∑ 𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑚 ∙ 𝑘

𝑀}

𝑖𝑇−12

𝑘=−𝑖𝑇−1

2

Similar relației (4.28), pentru 𝑚 > 0, cu schimbarea de variabilă 𝑘0 = 𝑘 +𝑖𝑇−1

2, rezultă

𝑘 = 𝑘0 −𝑖𝑇−1

2 și

ℎ̂(𝑛,𝑚) =1

𝑖𝑇∙ 𝑒𝑥𝑝 {𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑚 ∙ (𝑖𝑇 − 1)

𝑀} ∙ ∑ 𝑒𝑥𝑝 {−2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑚 ∙ 𝑘0

𝑀}

𝑖𝑇−1

𝑘0=0

=1

𝑖𝑇∙ 𝑒𝑥𝑝 {𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑚 ∙ (𝑖𝑇 − 1)

𝑀} ∙

𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙𝑚 ∙ 𝑖𝑇

𝑀)

𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙𝑚𝑀

)∙ 𝑒𝑥𝑝 {−𝜋 ∙ 𝑖 ∙

𝑚 ∙ (𝑖𝑇 − 1)

𝑀}

=1

𝑖𝑇∙𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙

𝑚 ∙ 𝑖𝑇𝑀 )

𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ∙𝑚𝑀)

Și în acest caz implementarea filtrului invers este de tipul: dacă |ℎ̂(𝑛,𝑚)| ≤ 𝜀 setează

𝑓(𝑛,𝑚) = 𝑔(𝑛,𝑚). În acest exemplu 𝜀 = 10−2.

Prin aplicarea filtrului invers pentru 𝑖𝑇 = 5, sunt obținte “fâșii” restaurate din imagine, care se

repetă din 5 în 5 pixeli. Explicația este legată de efectul de frontieră indus de transformata Fourier

discretă, care presupune că imaginea se repetă la infinit în toate direcțiile: pixelii din stânga imaginii

perturbate poartă valori ale pixelilor din dreapta imaginii, ceea ce, evident, nu este cazul. În realitate,

pixelii situați în stânga imaginii poartă valori ale pixelilor situați în stânga lor și care nu apar în imagine

(Petrou, 2010) și, în cazul extinderii cu linii și coloane nule, (Gonzales, Woods, 2008), au valoarea 0.

Situația este prezentată în figura 4.12: 4.12.a-imaginea originală și 4.12.b imaginea perturbată și 4.12.c

imaginea rezultată prin aplicarea filtrului invers. Din punctul de vedere al implementării, construcția

imaginii perturbate și a filtrului care coresponde în domeniul de frecvențe măștii de filtrare de tip

voalare orizontală sunt realizate prin extinderea prealabilă cu câte 4 linii și colane ce elemente nule.

După încheierea calculului și obținerea variantei filtrate cu filtrul invers pentru obținerea unei

aproximări a imaginii originale, neperturbate, liniile și coloanele adăugate în etapa de preprocesare sunt

eliminate.

Rezultate mai bune sunt obținute dacă pragul care restricționează aplicarea filtrului invers este

mai mare. Efectul de împărțire a imaginii în fâșii este mai puțin pronunțat, dar efectul de îndepărtare a

voalării este mai mic. În figura 4.12.d sunt ilustrate aceste observații (rezultatul aplicării filtrului invers

cu pragul 0.3 figurii 4.12.b).

9

a.

b. SNR= 21.1928

c. SNR=7.3195

d. SNR= 21.1928

Figura 4.12

În continuare vom considera filtrul standard motion blur în caz discret pe direcția y pentru

𝑖𝑇 = 9 și aceeași modalitate de construcție a filtrului invers. Rezultatele (imaginea originală, imaginea

perturbată și cea refăcută pe baza filtrului invers) sunt prezentate în figura 4.13.

Imaginea perturbată (figura 4.13.b) este obținută prin filtrarea imaginii din figura 4.13.a în

domeniul frecvențelor conform filtrului Fourier definit de (4.28), prin aplicarea următoarei relații în

domeniul Fourier

�̂�(𝒏,𝒎) = �̂�(𝒏,𝒎) ⋅ �̂�(𝒏,𝒎) 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒎 ≤ 𝑴 (𝟒. 𝟑𝟐)

Ca variantă alternativă poate fi utilizată relația din domeniul spațial (4.27), caz în care este

necesară extinderea imaginii pentru aplicarea unui filtru în domeniul spațial (extinderea trebuie

realizată cu câte 2 ∙ (𝑖𝑇 − 1) linii și coloane nule).

10

În acest exemplu 𝜀 = 10−2. Evident, efectul dat prin compunerea imaginii rezultate din fâșii

este prezent și aici. Similar restaurării corespunzătoare măștii cu efect de voalare orizontală, rezultate

mai bune sunt obținute dacă pragul care restricționează aplicarea filtrului invers este mai mare. Efectul

de împărțire a imaginii în fâșii este mai puțin pronunțat, dar efectul de îndepărtare a voalării este mai

mic. În figura 4.13.d sunt ilustrate aceste observații (figura 4.13.d este rezultatul aplicării filtrului invers

cu pragul 0.1 figurii 4.13.b).

a.

b. SNR=18.6333

c. SNR=26.3950

d. SNR=29.0891

Figura 4.13

3. În cazul modelului de perturbare motion blur în domeniul continuu, cu deplasare pe direcția x

(la nivel de linie, deci pe verticală, conform relației (4.22)), aplicarea filtrului invers pentru 𝑎 = 0.001

(pentru imaginea de intrare dată, cu dimensiuni 301 × 283 este o perturbare medie, așa cum rezultă și

din măsura SNR) determină, pentru imaginea perturbată din figura 4.14.a, obținerea imaginii din figura

4.14.b. Evident, pe măsură ce parametru 𝑎 crește, imaginea refăcută este din ce în ce mai slabă din

punct de vedere calitativ. Pentru 𝑎 = 0.0015 rezultatele sunt prezentate în figurile 4.14.c, 4.14.d. În

cazul perturbării pe direcția y, rezultatele corespunzătoare pentru 𝑏 = 0.001 și 𝑏 = 0.0015 sunt

prezentate în figura 4.15.

11

Imaginile perturbate din figurile 4.14.a și 4.14.c au fost obținute prin aplicarea filtrului definit

în (4.22) imaginii originale, unde 𝒂 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 și respectiv 𝒂 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟓 și conform relației (4.32).

Imaginile perturbate din figurile 4.15.a și 4.15.c au fost obținute prin aplicarea filtrului definit

de

�̂�(𝒏,𝒎) =𝑻 ∙ 𝒔𝒊𝒏(𝝅 ∙ 𝒎 ∙ 𝒃)

𝝅 ∙ 𝒎 ∙ 𝒃𝒆𝒙𝒑{−𝝅 ∙ 𝒊 ∙ 𝒎 ∙ 𝒃}

imaginii originale, unde 𝒃 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 și respectiv 𝒃 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟓, conform relației (4.32).

a. SNR= 16.3455

b. SNR= 22.0338

c. SNR= 13.7584

d. SNR= 15.9002

Figura 4.14

12

a. SNR= 14.8672

b. SNR= 20.168

c. SNR= 12.3810

d. SNR= 13.8469

Figura 4.15

4. În continuare este tratat cazul perturbării de tip atmospheric blur. Deși filtrul în domeniul de

frecvențe nu arevalori nule, și în acest caz trebuie verificată împărțirea la un număr cu modulul foarte

mic.

În figura 4.16.a este prezentată o imagine voalată utilizând filtrul din domeniul frecvențelor dat

de relația (4.17) cu 𝑘 = 0.001 și prin aplicarea (4.32) , iar in figura 4.16.b. varianta restaurată aplicând

procedeul de filtrare inversă și aplicării unui filtru de tip BLP cu 𝐷0 = 150 și de ordin 12. Din punctul

de vedere al implementării operatorilor de filtrare în frecvențe – pentru voalare și respectiv aplicarea

filtrului invers- imaginile inițiale și respectiv cele rezultate sunt centrate, respectiv li se aplică procedura

inversă centrării, conform algoritmului prezentat în capitolul 3; funcția dată de relația (4.17) este

centrată.

Și în acest caz, tratarea situațiilor pentru care filtrul în domeniul frecvențelor este nul (sau

foarte mic în modul) este realizată conform primei variante. Pentru exemplul considerat, sunt obținute

rezultate bune dacă filtrul invers nu este aplicat pentru |ℎ̂(𝑛,𝑚)| ≤ 𝜀 = 10−2 (setează 𝑓(𝑛,𝑚) =𝑔(𝑛,𝑚)).

13

a. SNR= 24.3891

b. SNR= 26.718

Figura 4.16

Tratarea aceleiași probleme când perturbarea este foarte puternică este imposibilă dacă este

folosit filtrul invers (este o mare diferență între valorile rezultate prin filtrarea dată prin relația (4.17) și

variantele lor restricționate la {0,1,⋯ ,255}). În figura 4.17 este prezentată situația perturbării unei

imagini inițiale (4.17.a), memorarea rezultatului aceste perturbări ca matrice cu elemente numere

complexe și aplicarea procesului de restaurare acestui rezultat (4.17.c). Evident, cele două figuri sunt

identice. Dacă este disponibilă doar varianta perturbată în reprezentarea ca imagine monocromă

(4.17.b), aceasta nu poate fi restaurată prin aplicarea filtrului invers, cu toate că parametrii transformatei

care a degradat imaginea sunt cunoscuți, rezultatul fiind prezentat în figura 4.19.d. Pentru obținerea

unui rezultat mai bun a fost folosit 𝜀 = 10−1 Modelul de degradare este dat de relația (4.17) cu

𝑘 = 0.01.

a. Imaginea neperturbată

b. Imaginea degradată

c. Imaginea restaurată pe baza aplicării filtrului

invers când este utilizată matricea cu elemente

complexe rezultate din degradare

d. Imaginea rezultată prin aplicarea fltrului invers

când este utilizată imaginea degradată

Figura 4.17

14

Observații

În modelul general de degradare

𝑔(𝑛,𝑚) = ℎ̂(𝑛,𝑚) ⋅ 𝑓(𝑛,𝑚) + �̂�(𝑛,𝑚)

aplicarea filtrului invers trebuie realizată teoretic prin

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐹𝐷𝐼 (𝑔(𝑛,𝑚)

ℎ̂(𝑛,𝑚)−

�̂�(𝑛,𝑚)

ℎ̂(𝑛,𝑚))

Chiar dacă funcția de degradare este cunoscută, imaginea perturbată nu poate fi restaurată (nu

poate fi calculată reprezentarea Fourier a acesteia), deoarece reprezentarea în frecvențe a zgomotului nu

este cunoscută. Mai mult, dacă funcția de degradare ℎ̂ are valori nule sau foarte mici, raportul �̂�(𝑛,𝑚)

ℎ̂(𝑛,𝑚)

poate domina aproximarea 𝑓 a imaginii originale – situație extrem de des întâlnită în practică. În

concluzie poate fi aplicată doar varianta

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐹𝐷𝐼 (𝑔(𝑛,𝑚)

ℎ̂(𝑛,𝑚))

În figura 4.18.a este prezentată o imagine degradată motion blur în caz continuu cu 𝑎 = 0, 𝑏 =0.001 și aditiv cu zgomot distribuit 𝑁(0, 𝜎2), 𝜎 = 15. În figura 4.18.b este prezentată imaginea

restaurată prin aplicarea filtrului invers. Evident, componenta zgomot nu poate fi îndepărtată, deoarece

termenul �̂�(𝑛,𝑚)

ℎ̂(𝑛,𝑚) nu poate fi luat în calcul (este necunosut), restaurarea fiind bazată exclusiv pe realația

(4.31).

a. SNR= 13.1701

a. SNR= 13.5025

Figura 4.18

În continuare sunt prezentate două variante de a trata situația modelului general de degradare

(dar în condițiile de liniaritate și invarianță la poziție), și anume filtrele Wiener și geometric.

Filtrul Wiener

Filtrul Wiener este construit pe baza modelului statistic de minimizare a erorii medii pătratice a

imaginii restaurate faţă de imaginea originală. Fie f funcție imagine de dimensiune 𝑵 × 𝑴. Pentru

𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝑴, modelul de degradare este exprimat prin relația

𝒈(𝒙, 𝒚) = (𝒉 ⊗ 𝒇)(𝒙, 𝒚) + 𝜼(𝒙, 𝒚)

Fie 𝑅𝑊 operatorul definit prin,

15

pentru 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝑴 v,u corespondentul punctului (𝑥, 𝑦) în domeniul de frecvenţe

(Petrou, 2010)

𝑅𝑊(𝑢, 𝑣) =ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

|ℎ̂(𝑢, 𝑣)|2+ [

𝑆𝜂(𝑢, 𝑣)

𝑆𝑓(𝑢, 𝑣)]

(4.32)

unde

ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ este conjugata transformatei ℎ̂(𝑢, 𝑣);

𝑆𝜂(𝑢, 𝑣) este puterea spectrală a componentei zgomot, calculată în (𝑢, 𝑣);

𝑆𝑓(𝑢, 𝑣) este puterea spectrală a imaginii originale, calculată în (𝑢, 𝑣).

Filtrul Wiener este definit prin multiplicarea reprezentării în frecvenţe a imaginii perturbate g

cu 𝑅𝑊. Imaginea restaurată este o estimare de eroare medie pătratică minimă a imaginii originale f,

calculată prin,

pentru 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝑴, (𝑢, 𝑣) corespondentul punctului (𝑥, 𝑦) în domeniul de

frecvenţe,

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐹𝐷𝐼(𝑅𝑊(𝑢, 𝑣) ∙ 𝑔(𝑢, 𝑣))

Observaţii

1. Dacă 𝑆𝜂(𝑢, 𝑣) = 0, relaţia (4.32) defineşte filtrul invers,

𝑅𝑊(𝑢, 𝑣) =ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

|ℎ̂(𝑢, 𝑣)|2 =

ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ∙ ℎ̂(𝑢, 𝑣)=

1

ℎ̂(𝑢, 𝑣)

pentru orice (𝑢, 𝑣) din domeniul Fourier.

2. În practică, deoarece imaginea iniţială nu este cunoscută, 𝑆𝑓(𝑢, 𝑣) nu poate fi calculată.

Filtrul Wiener 𝑅𝑊 este definit prin (Petrou, 2010),

𝑅𝑊(𝑢, 𝑣) =ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

|ℎ̂(𝑢, 𝑣)|2+ 𝐾

(4.33)

unde K este parametru determinat experimental, calculat în funcţie de imaginea perturbată g. Deoarece

în componentele cu frecvenţe ridicate zgomotul are valori mari, parametrul K este ales astfel încât să

depindă direct proporţional de parametrul frecvenţă.

O modalitate de selectare a parametrului K direct proporţional cu frecvenţa defineşte filtrul

(Gonzales, Woods, 2008),

𝑅𝑊(𝑢, 𝑣) =ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

|ℎ̂(𝑢, 𝑣)|2+ 𝛾 ∙ |�̂�(𝑢, 𝑣)|2

(4.34)

unde 𝛾 este factor de ajustare şi p este un criteriu dat. Alegerea cea mai des utilizată a criteriului p este

filtrul Laplace cu masca 33 -dimensională,

𝑝 = [0 −1 0

−1 4 −10 −1 0

]

.

Parametrul 𝛾 este setat în funcție de zgomotul prezent în imagine. Dacă 𝛾 = 0 este obținut

filtrul invers. În acest caz componenta zgomot rămâne dominantă (vezi figura 4.18)

Exemple

1.În figura 4.19.a este prezentată o imagine degradată motion blur în caz continuu cu 𝑎 =0, 𝑏 = 0.0015 și aditiv cu zgomot distribuit 𝑁(0, 𝜎2), 𝜎 = 15 (componenta de degradare zgomot este

dominantă). În figura 4.19.b este prezentată imaginea restaurată prin aplicarea filtrului Wiener cu

𝛾 = 0.5.

16

2. În figura 4.20.a este prezentată o imagine degradată motion blur în caz continuu cu 𝑎 =0, 𝑏 = 0.0015 și aditiv cu zgomot distribuit 𝑁(0, 𝜎2), 𝜎 = 5 (componenta de degradare de tip motion

blur este dominantă). În figura 4.20.b este prezentată imaginea restaurată prin aplicarea filtrului Wiener

cu 𝛾 = 0.03.

b. SNR= 15.0220

b. SNR= 19.8029

Figura 4.19

c. SNR= 11.6163

c. SNR= 15.4030

Figura 4.20

3.În figura 4.21.a este prezentată o imagine degradată motion blur în caz discret cu 𝑖𝑇 = 9 și

aditiv cu zgomot distribuit 𝑁(0, 𝜎2), 𝜎 = 10 (ambele componente de degradare induc o perturbație

severă). În figura 4.21.b este prezentată imaginea restaurată prin aplicarea filtrului Wiener cu 𝛾 = 0.1.

4. În figura 4.22.a este prezentată o imagine degradată motion blur în caz discret cu 𝑖𝑇 = 11 și

aditiv cu zgomot distribuit 𝑁(0, 𝜎2), 𝜎 = 5 (componenta de degradare de tip motion blur este

17

dominantă). În figura 4.22.b este prezentată imaginea restaurată prin aplicarea filtrului Wiener cu

𝛾 = 0.05.

a. SNR= 15.7440

b. SNR= 19.0365

Figura 4.22

a. SNR= 10. 81

b. SNR= 19.85

Figura 4.22

Din punctul de vedere a implementării, în toate cele patru exemple, după aplicarea relației

(4.34), rezultatele au fost aduse (în valori absolute) pe intervalul [0,255] și apoi a fost considerată partea

reală a valorii obținute.

18

Filtrele de tip medie geometrică

Fie f funcție imagine de dimensiune 𝑵 × 𝑴. Pentru 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝑵,𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝑴, modelul de

degradare este exprimat prin relația

𝑔(𝑥, 𝑦) = (ℎ ⊗ 𝑓)(𝑥, 𝑦) + 𝜂(𝑥, 𝑦) Filtrul generic medie geometrică este definit prin,

𝑅𝐺𝑀(𝑢, 𝑣) = [ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

|ℎ̂(𝑢, 𝑣)|2]

𝛼

[

ℎ̂(𝑢, 𝑣)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

|ℎ̂(𝑢, 𝑣)|2+ 𝛾 ∙ [

𝑆𝜂(𝑢, 𝑣)

𝑆𝑓(𝑢, 𝑣)]] 1−𝛼

(4.35)

unde 𝛼 şi 𝛾 sunt constante reale pozitive.

Similar filtrului Wiener, poate fi utilizată |�̂�(𝑢, 𝑣)|2 în locul [𝑆𝜂(𝑢,𝑣)

𝑆𝑓(𝑢,𝑣)]

Procesul de restaurare este definit prin,

pentru 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝑵, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝑴, (𝑢, 𝑣) corespondentul punctului (𝑥, 𝑦) în domeniul de

frecvenţe,

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑇𝐹𝐷𝐼(𝑅𝐺𝑀(𝑢, 𝑣) ∙ 𝑔(𝑢, 𝑣))

Observaţie Dacă 𝛼 =1

2, atunci filtrul obţinut este media geometrică dintre filtrul invers şi

filtrul Wiener.

Cele mai frecvent utilizate alegeri ale parametrilor 𝛼 şi 𝛾 sunt,

1. 𝛼 =1

2 şi 𝛾 = 1 - filtrul egalizare a puterii spectrale;

2. 𝛼 = 0- filtrul parametric Wiener