Cristian GravaVasile Buzuloiu ELEMENTE DE PRELUCRAREA I ANALIZA IMAGINILOR 2007 2 EDITURA UNIVERSITII DIN ORADEA Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei GRAVA, CRISTIAN Elemente de prelucrarea i analiza imaginilor /Cristian Grava, Vasile Buzuloiu.Oradea : Editura Universitii din Oradea, 2007 ISBN 978-973-759-377-1 I. Buzuloiu, Vasile 621.397.3 (075.8) EDITURA UNIVERSITII DIN ORADEA ESTE ACREDITAT DE CNCSIS, COD 149.3 Cuprins: Prefa 7 1.Introducere .9 2.Reprezentarea imaginilor ...12 2.1. Digitizarea imaginilor .12 2.2. Eantionarea imaginilor ..15 2.3. Reprezentarea spaial a imaginilor 20 2.4. Proprieti ale imaginilor digitale ...25 2.4.1.Proprieti metrice ale imaginilor digitale .26 2.4.2.Proprieti topologice ale imaginilor digitale 27 2.4.3.Relaii de vecintate ntre pixeli 28 2.4.4.Paradoxuri de conexitate ...31 2.4.5.Alte proprieti topologice i geometrice ...33 2.5. Reprezentarea spectral a imaginilor ...34 2.5.1.Transformata Fourier (TF) bidimensional ...36 2.5.2.Proprietile transformatei Fourier bidimensionale ...36 2.5.3.Proprieti specifice TF bidimensionale 43 3.mbuntirea imaginilor 52 3.1. Calitatea unei imagini . .52 3.2. Tehnici de mbuntire a imaginilor 55 3.3. Operatori punctuali de mbuntire a imaginilor 57 3.3.1.Operatori punctuali de modificare a contrastului 58 3.3.2.Decuparea intervalelor de niveluri de gri 62 3.3.3.Modificarea histogramei .64 3.4. Operatori liniari de vecintate pentru mbuntirea imaginilor. Filtrarea liniar a imaginilor .68 3.5. Efectul n frecven al operatorilor liniari de vecintate ..73 3.6. Filtrarea neliniar a imaginilor .76 3.6.1.Filtre neliniare de ordine . 77 3.6.2.Filtre de ordine multi-etaj 79 3.6.3.Proprieti ale filtrelor de ordine . 81 43.6.4.Filtre de ordine de domeniu 83 3.6.5.L-filtre 85 4.Transformri integrale ale imaginilor .87 4.1. Transformri integrale unitare .87 4.2. Matrici unitare .93 4.3. Transformri unitare ale unor semnale unidimensionale 98 4.4. Transformri unitare ale unor semnale bidimensionale ..100 4.5. Transformata Fourier discret unidimensional (DFT-1D) .104 4.6. Proprieti ale transformatei DFT-1D ..105 4.7. Transformata Fourier discret bidimensional (DFT-2D) .... 108 4.8. Proprieti ale transformatei DFT-2D ..111 4.9. Transformata Cosinus discret unidimensional .113 4.10.Transformata Cosinus discret bidimensional 115 4.11.Transformata Sinus discret unidimensional ..120 4.12.Transformata Sinus discret bidimensional .121 5.Restaurarea imaginilor 122 5.1. Filtrarea invers 123 5.2. Filtrul invers cu constrngeri ...125 6.Morfologie matematic ... ...130 6.1. Transformarea Hit or Miss ..130 6.2. Erodarea .132 6.3. Dilatarea ..134 6.4. Proprietile operaiilor morfologice ...136 6.5. Transformri morfologice derivate .138 6.5.1.Operatori de extragere a conturului ..138 6.5.2.Deschiderea i nchiderea ..140 6.6. Trierea dimensional a obiectelor 142 6.7. Caracterizarea morfologic a formelor 143 6.7.1.Reconstrucia dup marker 144 6.7.2.Distana Haussdorf 145 6.7.3.Extragerea skeletonului morfologic ..145 6.7.4.Skeletonul generalizat 149 6.8. Extinderea morfologiei matematice la imagini cu niveluri de gri.. 151 56.8.1.Trecerea de la mulime la funcie 152 6.8.2.Trecerea de la funcie la mulime 153 6.8.3.Operaii cu funcii ..154 7.Segmentarea imaginilor ..157 7.1. Segmentarea orientat pe regiuni .. 157 7.1.1.Etichetarea componentelor .158 7.1.2.Metoda arborelui cuaternar (quad-tree) .159 7.2. Segmentarea imaginilor cu niveluri de gri 161 7.2.1.Segmentarea bazat pe histogram .161 7.2.2.Segmentarea bazat pe creterea i fuziunea regiunilor .. 165 7.3. Segmentarea orientat pe contururi .168 7.3.1.Operatori de tip gradient 169 7.3.2.Operatori de tip compas 173 8.Compresia imaginilor .176 8.1. Compresia imaginilor binare 177 8.1.1.Codarea de nivel nalt .177 8.1.1.1.Aproximri poligonale .177 8.1.1.2.Codul Freeman .178 8.1.1.3.Descriptori Fourier 181 8.1.2.Codarea la nivel de bloc .183 8.1.2.1.Metoda arborelui cuaternar (Quad-tree) 183 8.1.2.2.Metoda WBS (White Block Skipping) .184 8.1.3.Codarea la nivel de bit 185 8.1.3.1.Codarea RLE (Run Length Encoding) ..185 8.1.3.2.Codarea entropic (Huffman) 186 8.2. Compresia imaginilor cu niveluri de gri 188 8.2.1.Codarea pe plane . 188 8.2.2.Metode predictive de compresie .190 8.2.3.Compresia cu transformate .194 Bibliografie ..204 67Prefa Prelucrarea i analiza imaginilor ajunge pe zi ce trece, tot mai mult, n categoria bunurilor de larg consum ca urmare a aceleiai mutaii suferit de calculatoareleelectronicecarereprezintsuportulhardisoftalacestui domeniurelativnoudardevenitindispensabil,alexisteneisociale contemporane.Numaic,frndoial,nuserezumlasuport:analizai prelucrareaimaginiloriprinextensie,asecvenelorvideo,asemnalelor multimediai,maigeneral,asemnalelormultidimensionalenseamnn primulrndalgoritmi;algoritmideprelucrriialgoritmideanaliz.i, ajungndaici,nedmseamac,nfapt,avemde-afacecumodelare matematic.Cndva,pevremeabunicilorbunicilornotri,adicnzorii epociimodernedinistoriaomenirii,cuartaaceastaseocupaudoargeniide primrangunGalilei,Newton,Leibnitzdarnumrulcelorocupaicu modelareamatematicacrescutvertiginosnsecolulXIXiapoialXX-lea astfelnctastzi,cumnvmntuluniversitaraajunsnvmntde mas,modelareamatematicaajunsieannvmntuldemas;adic s-arvreaunbundelargconsum.Numaicnmatematicnuexistcale regaladicpecaresnaintezifrefort(astaotimncdinantichitate: i-a spus-o mentorul su mpratului Alexandru cel Mare!).Celedemaisussevorojustificareafaptuluicaceastcarte,care este i un suport de curs pentru studenii ingineri ai Universitii din Oradea darpoatefiiolecturutilpentrutoiceiinteresaidesubiect,conine paginintregidematematic,constituindsubiectealesedinnevoile disciplinei. n mod ideal, o carte de prelucrarea i analiza imaginilor de sine stttoareartrebuisaibunmaterialimagisticilustrativ,multmaibogat. Rabatulpecarelfacemdelaacestdezideratestejustificatprinfaptulc materiaunuiastfeldecursnuserezumlateorieciaredreptcomponent principaliparteadeaplicaii,nfaaecranului:nfelulacestastudentul testeaz pe viu ce influen au asupra rezultatelor modificrile n algoritmi i vede cum se modific imaginea. De asemenea, ne-am decis s folosim n titlu un partitiv Elemente de fiindcdefaptcarteaestedoarouoarintroducerentr-undomeniu astzidejavast,careconineprintremultealtele,tehnicilederestaurarea 8imaginilor (din care fac parte cele de reconstrucie a imaginilor din proiecii carestaulabazaimagisticiimedicale,adefectoscopieinedistructiveia teledetecieisatelitare),ustensilelesoftwarepentrufotografiadigital(ne mrginim la un singur exemplu: corecia n timp real a ochilor roii) i tot felul de sisteme de supraveghere a cror component principal trebuie s fie una capabil de recunoatere a formelor (maini, fee etc). npofidafaptuluicprelucrareaianalizaimaginiloreste,cumse zice azi, un domeniu de vrf, noi am fost activi n el de mai bine de 30 de anidatoritcercetrilordeteleviziunedigitaliprelucrarentimpreala semnaluluidigitalncolectivuldecercetarealCatedreideElectronic AplicatdelaPolitehnicadinBucureti;primulsistemdigitaldeanaliza imaginilorafostterminatn1981iarnurmtoriianiafostreprodusn cteva exemplare la Fabrica de Calculatoare Electronice. Perioada anilor 80 n-afost,dinpcate,propicedezvoltrilortehnologicelanoiiastfel ntietateaiavantajulpecareapucasermslavemnlagrulsocialist,n-a dat roade. Dup 1990 ne-am trezit ntr-o lume care ntre timp progresase multnacestdomeniu.Totui,experienapecareoavemne-apermiss relumideileiarastzi,LaboratoruldeAnalizaiPrelucrareaImaginilorLAPIalPolitehniciidinBucuretiestedestuldebinecunoscutipeste hotare; mai mult, transplantul cunotinelor l-am fcut i spre alte universiti Braov,Oradeaiaasefacecastzi,nCatedradeElectronica Universitii din Oradea exist un colectiv important de cadre tinere implicate nacestdomeniu,custagiinstrintateicolaborriinternaionale.Avem toate condiiile preliminare pentru un nvmnt responsabil. Carteadefa,scrisaproapentotalitatedeCristianGrava,adun elementeleesenialealeunuicursintroductivdarpresupunecstudentul cititorul a fost expus nainte unor cursuri pregtitoare printre care cel de teoria statistic a semnalelor, cel de sisteme liniare i cursurile fundamentale dematematicpentruingineri.Armaifideremarcatc,pentru compactizareamaterialuluis-apreferatoniruireneliniarasubiectelor, caredeexempluncapitolul2trimitelacapitolul4dar,fiindvorbade subiecte reluate de la cursuri anterioare, suntem convini c cititorul va putea parcurge textul fr dificulti, cel mult eventual cu reluri. Prof. Vasile Buzuloiu 9 1. Introducere Dezvoltareaspectaculoasdinultimiianiatehnologieiinformaiei iacomponentelorelectroniceaconduslaimpunereadesoluii inimaginabilepnnudemultpentrunumeroaseproblemetehnice,cade exemplunindustrielaconducereaproceselordeproduciesaula controlul de calitate. Tehnicile de exploatare a informaiei vizuale ocup o poziieimportantideextremactualitate.Domeniulprelucrriii analizeiimaginilorgrupeaztehniciledeachiziie,transformarei utilizareainformaieivizualedinimaginilereprezentate,transmisei exploatatenformdigital,nsistemedecalculdeuzgeneralsau calculatoare specializate. Printre aplicaiile importante ale prelucrrii i analizei imaginilor se potamintiaplicaiilenmedicin(investigareadeorganealecorpului uman),aplicaiinindustrieintehnic(cartografiereasolului, prospeciunigeologice,controlultehnicautomataldiverselorproduse, robotic etc.) precum i aplicaii dedicate unor domenii ca arta, aplicaiile militare etc. Principalele probleme ale prelucrrii i analizei de imagini sunt: 1.Reprezentarea i modelarea imaginilor: Eantionarea i cuantizarea imaginilor Reprezentarea spaial a imaginilor Reprezentarea spectral a imaginilor. Transformata Fourier TransformareImagine discretizat Imagine transformat Prelucrarea se face asupra acestei imagini Figura 1.1. Transformarea unei imagini. 10Modelele imaginilor pot fi: stohastice; deterministe. 2.mbuntirea imaginilor. Se face prin: prelucrri punctuale. Exemple: modificarea contrastului i luminanei; modificarea histogramei. prelucrri pe vecinti. Exemple: accentuarea contururilor; reducerea zgomotului imaginilor; pseudo-colorarea. prelucrri geometrice. prelucrri integrale. 3.Restaurareaimaginilor.Presupunemcf(x,y)esteimagineaoriginal caredatoritprocesuluidecaptareasuferitotransformare (degradare),liniarsauneliniar,obinndu-seimagineadegradat fd(x,y). f(x,y) fd(x,y)transformaretransformare-1 Figura 1.2. Transformarea invers a unei imagini. Imagineaoriginalsepoateobinedinimagineadegradatprin aplicareauneitransformriinverseceleisuferitenprocesulde captare. Apar probleme cnd n procesul de captare intervine i zgomot, caz n care se impune i o etap de restaurare a imaginii, pentru a se obine o aproximare a imaginii originale(x,y) f: 11 Transformare+Restauraref(x,y)zg=zgomotf(x,y) fd(x,y)+zg Figura 1.3. Restaurarea imaginilor. Reconstrucia imaginilor din proiecii. 4.Analiza imaginilor, care implic: msurtori automate pe imagini; segmentarea imaginilor (extragerea obiectelor). 5.Compresia imaginilor, care implic reducerea cantitii de informaie. Exemplu: Pentru o imagine de 512512 pixeli (2929), n care fiecare pixelestereprezentatpe8bii,adiccu28=256niveluridegri, cantitatea de informaie este: (2929)pixeli23bii/pixel=221 2 Mb Princompresiaimaginilorseurmretereducereaacesteicantitide informaie. Schemablocaunuilandeanalizaiprelucrareaimaginiloreste prezentat n figura 1.4. senzorCAD CompresieMemoriembuntire+ Restaurare Msurtori date Segmentare List de obiecte Msurtori pe obiecte Clasificare Descrierea scenei Scen CAD = convertor analog-digital Display Display Figura 1.4. Schema bloc a unui lan de analiza i prelucrarea imaginilor. 122. Reprezentarea imaginilor Sistemelevizualealeorganismelorviipercepmediulnconjurtor 3-dimensional,prinintermediulunorlaticidesenzoridelumin bidimensionale (de exemplu, retina din ochii mamiferelor) i refac spaiul 3D prin integrare temporal i/sau vedere binocular. n pofida faptului c senzaiaestedecmpcontinuualimaginilorpercepute,laticeasenzorilor este discret. nsistemeletehniceimaginatedeom,acesteproprietise pstreaz: informaia imagistic din mediul nconjurtor se proiecteaz pe latici bidimensionale de senzori de lumin i astfel se discretizeaz spaial, iarsemnaleledelafiecaresenzorsediscretizeazntimpinvaloare astfelnctimaginileajungnsistemeledecalculsubformdigital, pentru prelucrare i analiz. 2.1. Digitizarea imaginilor Imaginilepotfidescrisededistribuiaspaialaintensitii luminoase ntr-un plan. Din punct de vedere matematic, distribuia spaial aintensitiiluminoase(I)poatefidescrisprintr-ofunciecontinude dou variabile spaiale continue (x,y)=p: I(x,y)=I(p) Calculatoarele existente nu pot trata imaginile ca funcii definite pe undomeniucontinuucidoarcamatricidiscretedenumere.Dinacest motivestenecesartransformareaireprezentareaimaginilorcontinueca matricibi-dimensionaledepuncte,prindiscretizare.Unpunctalunei astfeldematricesenumetepixel(dinenglez=pictureelement).Un pixelreprezintintensitatealuminoassauculoareacorespunztoareunui anumitpunctdinmatrice.Prinurmare,unpixelestecaracterizatprin poziia i prin valoarea sa.13Pentrutratriteoretice,imagineabidimensionalpoatefi reprezentat ca o funcie continu (analogic) bidimensional I(x,y)=f(x,y), undexiysuntcoordonatelespaiale.Valoareafuncieintr-unpunct oarecare (x,y) va reprezenta: luminanadinpunctulrespectiv,ncazulncarefunciaf(x,y)esteo funciereal.nacestcazavemoimaginecuniveluridegri,numit impropriu i imagine alb-negru; culoarea din punctul respectiv, n cazul n care funcia f este o funcie vectorial,(f1(x,y),f2(x,y),f3(x,y))=(R,G,B).nacestcazavemo imagine color, cu componentele fundamentale (R, G, B). Trecereadelaoimaginecolorlaoimaginecuniveluridegrise faceprinadunareacomponentelorfundamentaleponderatecuanumii coeficieni, adic printr-o combinaie liniar a acestor componente. Pentruprelucrareadigitalaimaginiloranalogice(deexemplucu ajutorul unui calculator) este nevoie de discretizarea imaginilor, proces n urmacruiaimagineaestetransformatntr-omatricecareconine elementeledeimagine(pixel).npractic,cameravideodetipCCD (ChargeCoupledDevice)realizeazdiscretizareaimaginilorchiarn procesuldecaptare.Pentruafiare,imaginilesepotconvertidinnoun form analogic. Discretizarea imaginilor analogice se realizeaz n doi pai: discretizareaspaial(eantionarea),cuajutoruluneireelediscrete f(lx,ky), l,kZ. n urma acestei operaii rezult o imagine (matrice) cu L linii i K coloane: lL, kK. Prin urmare, se obine LK pixeli, iar imaginea obinut se va scrie printr-o expresie de forma: A={a(l,k), 1lL, 1kK}, l,k,L,KZ; a11a12a1,K a21a22a2,K aL,1aL,2aL,K 14discretizarea n valoare (cuantizarea): fq(lx,ky) l,kZ, lL, kK, cu: fq(lx,ky){f1,,fn}, unde n este numrul nivelurilor de cuantizare a imaginii(numrulnivelurilordegri).Deexemplu,pentrun=2avemo imagine binar. nacestcaz,fiecareeantionobinutnpasulanterior(la eantionare)estecuantizatfolosindunnumrfinitdebii.Astfel, fiecare pixel va avea un anumit nivel de gri (pentru imagini alb-negru) sauoanumitculoare(pentruimaginicolor),codificatprintr-un numr constant de bii. n reprezentare binar, un pixel oarecare al,k este codat: (al,k)binar=bn-1bn-2b1b0 cruia i corespunde o valoare zecimal: (al,k)zecimal=bn-12n-1+bn-22n-2++b121+b020=q(2.1) carereprezintnivelulqdinscarade2nniveledegriconsiderate.n moduzual,negrulesteconsideratcaavndnivelullogic0(nbinar00 00), iar albul ca avnd nivelul logic 1 (n binar 1111). Deexemplu,ncazuluneiimaginireprezentatepe8biiavemun numr de 28 =256 niveluri de gri, n care negrul este codat cu nivelul q=0, iar albul este codat cu nivelul q=255. Pixelul a34 avnd valoarea codatbinarcuoctetul00101001estepixelulal4-leadeperndul3 i are nivelul q=41 n scara de niveluri de gri amintit. n continuare, cnd se va vorbi despre imagini digitale sau simplu despre imagini, sevafacereferirelaimaginieantionateicuantizate,iarcndseva vorbidesprediscretizareaimaginilorsevafacereferirela discretizareaspaial(eantionarea)invaloare(cuantizarea) imaginilor. 152.2. Eantionarea imaginilor Seconsideromatricedeeantionare,cupasul(x,y)care transform imaginea dintr-o funcie (continu) ntr-un ir: ( ) ( )Z l,kantionare ey x,k l f f(x,y) s(2.2) xy xy Figura 2.1. Matricea de eantionare a unei imagini. Transformareainvers(dinirnimagine)esteposibiln condiiile teoremei eantionrii. Modelul matematic al semnalului eantionat este: = ==n resty k y x l x y x fy x fnote

, 0, ), , () , (.(2.3) = =m np ey x y x f y n y x m x y x f y x f ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ,unde: periodicl kpy k y x l x y x = = ) , ( ) , ( (2.4) este impulsul Dirac periodic: == rest , 00 pt. , 1) (nxx (2.5) 16Transformata Fourier a semnalului eantionat este: { } { } ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x y x f y x f v u Fp e e = = (2.6) Setiecdacfunciaf(t)esteperiodic(cuperioadaT),seriasa Fourier este: =kt kTjke C t f 2) ( , unde coeficienii:(2.7) =Tt kTjkdt e t fTC 2) (1(2.8) Din acest motiv, deoarece funcia p(x,y) este periodic cu perioada x pe x, respectiv y pe y: ||.|

\|+ =k ly lyx kxjkl pe C y x 2 2) , ( , unde:(2.9)

((

||.|

\|+ =) ( ) (2 2exp ) , (1x yp kldxdy y lyx kxj y xy xC (2.10) Deoareceseintegreazpeunintervalx=((

2,2x x,respectiv y =((

2,2y y i dac se presupune c ntr-un dreptunghi cu laturile x, y cade un singur impuls p i numai unul (cel din origine): 17 lx ky y zx Figura 2.2. Eantionarea imaginilor. ((

||.|

\|+ = dxdy y lyx kxj y xy xCp kl 2 2exp ) , (1(2.11) Deoarece:) 0 ( ) ( ) ( f dt t f t = , iar n cazul de fa: f(0)=1 y xCl k = 1,(2.12) ||.|

\|+ = k ly lyx kxjpey xy x 2 21) , ( (2.13) )` = ||.|

\|+ k ly lyx kxjee y x fy xv u F 2 2) , (1) , ( (2.14) Pe baza proprietii de liniaritate a transformatei Fourier: )` = ||.|

\|+ k ly lyx kxjee y x fy xv u F 2 2) , (1) , ( (2.15) 18( ) =||.|

\| = k l k lev l v u k uy xlyv kxuy xv u F ,1 2,2 1) , ( unde: xunot= 2.,yvnot= 2.(2.16) SpectrulsemnaluluieantionatF(u,v)seobineprinperiodizarea (repetarea) spectrului su Fe(u,v): vF(u,v) u v u FTJv uFigura 2.3. Spectrul semnalului eantionat. Recuperareasemnaluluioriginaldinsemnaluleantionatsepoate face cu un filtru trece-jos (FTJ) cu parametri adecvai (figura 2.4). umaxvu vmaxuv v-vmaxu-umax Figura 2.4. Parametrii FTJ. 19Parametriiumax,respectivvmaxreprezintfrecvenelespaiale maximedinspectrulfuncieif,ndireciau,respectivv(cecorespund coordonatelor spaiale x, respectiv y). Pentru ca semnalul original s fie corect recuperat cu ajutorul unui FTJ, trebuie ca parametrii acestuia s satisfac condiiile: max maxmax maxv v vu u u maxmaxv vu u22(2.17) Prinurmare,frecveneledetiere(,)aFTJderecuperarea semnaluluioriginalnceledoudirecii(u,v),trebuiesndeplineasc condiiile: max maxmax maxv v vu u u(2.18) Astfel,nacestcaz,teoremaeantionriisepoateenunaastfel: dac xu= 2, yv= 2adicfrecveneledeeantionarepex,respectiv pe y, sunt mai mari sau cel puin egale cu dublul frecvenelor maxime din spectrulluifpedireciau,respectivv,atuncirecuperareasemnalului originaldeimaginef(x,y)sepoatefaceexact,dineantioane,cuunfiltru ideal trece-jos cu funcia de transfer: H(u,v)fe(x,y)f(x,y) Figura 2.5. FTJ necesar pentru extragerea semnalului original. =rest n 0, si pentru , 1) , (v uv u H(2.19) undefrecveneledetiere(,)suntalesenmodcorespunztor, adic astfel nct: 20 max maxmax maxv v vu u u(2.20) Observaie: Condiiaderecuperareenunatdeteoremaeantionriieste suficientdarnuinecesar.Acestlucruesteilustratdeexemplul urmtor: uvuvvmaxumaxF(u,v)H(u,v)v-vmax u-umax Figura 2.6. Caz particular de extragere a semnalului original. Seobservcdeicondiiaderecuperarenuestendeplinit, recuperareasepoatefacecuunFTJidealcorespunztor,caresextrag doar zona corespunztoare spectrului funciei. 2.3. Reprezentarea spaial a imaginilor Odatdigitizate(eantionateicuantizate),imaginilepotfi prelucrateianalizatecusistemedecalculuzualesaudedicate. Reprezentareaimaginilorsepoatefacesubdiverseforme(spaial, spectral etc.), adecvate diverselor aplicaii.ncazulcelmaisimplu,pixeliisuntlocalizaipeoreea rectangular.Poziiaunuipixelestedatnmodanalognotaieiutilizate 21pentru elementele unei matrice. Primul indice (l) exprim poziia pe linie, iar cel de-al doilea indice (k) exprim poziia pe coloan (figura 2.1). Cl,k0 011 kl K-1L-1 xy coloanelinii Figura 2.7. Reprezentarea imaginilor digitale ca matrici de pixeli dispui ntr-o reea rectangular bi-dimensional. DacimagineaconineLKpixeli,aceastapoatefireprezentat printr-omatricededimensiuneLK,undeindicelel=0L-1,iark=0K-1.Lreprezintnumruldelinii,iarKnumruldecoloane.Ca i n cazul matricilor, sensul pozitiv al axei verticale (y) este de sus n jos i nudejosnsus,cumestecazulreprezentrilorgraficebidimensionale uzuale. Sensul pozitiv al axei orizontale (x) este cel uzual, de la stnga la dreapta (figura 2.1).Rezoluiaspaialdereprezentareauneiimaginipoatefidefinit careprezentndnumrultotaldepixeli(deexempluLK)saupoatefi definitcafiindegalcunumruldepixelipeunitateadesuprafa(n pixeli/cm2 sau n pixeli/inch2). Rezoluia spaial a unui sistem de achiziie de imagini se poate defini ca fiind egal cu numrul de pixeli pe unitatea delungime(pixeli/mmsaupixeli/cm).Pebazaacestornoiuni,semai poatedefiniisensibilitateaunuisistemdevederesauaunuisistemde 22achiziiedeimagini,cafiindunitateaminimdelungimecarepoatefi observat ntr-o imagine achiziionat. Fiecarepixelreprezintnunumaiunpunctaluneiimagini,cio regiunerectangularaacesteia,caredefineteocelulelementara imaginii.Valoareaasociatunuipixelreprezintnmodadecvatmedia intensitiiluminoasedincelulacorespunztoare.nfigura2.8este ilustratunaiaceeaiimagine,reprezentatprintr-unnumrdiferitde pixeli. (a)(b) (c)(d) Figura 2.8. Imagine digital cu diferite rezoluii:(a) - 1616 pixeli; (b) - 3232 pixeli; (c) - 6464 pixeli; (d) - 256256 pixeli. ncazulunorpixelidedimensiunemare(figura2.8.ai2.8.b),nu numaicrezoluiaspaialestemic,daraparniteartefacte(zgomote) 23deranjantedatoratediscontinuitilordeniveluridegridelamarginile pixelilor,caredistragateniaprivitoruluidelaconinutulpropriu-zisal imaginii. Atunci cnd dimensiunea pixelilor devine mai mic, adic atunci cndcreterezoluiaspaial(figura2.8.ci2.8.d),efecteledescrisemai susdevinmaipuinpronunate,putndu-seajungepnlaimpresiade continuitatespaialaimaginii.Acestlucrudentmplcndrezoluia spaialaimaginiidevinemaimaredectrezoluiasistemuluiumande vedere,adicatuncicnddimensiuneaunuipixelalimaginiidevinemai mic dect dimensiunea minim pe care o poate percepe ochiul uman. Nuexistunrspunsgeneralvalabillegatdenumruloptimde pixelinecesarpentruacreasenzaiadecontinuitatespaialaunei imagini. n cazul observrii vizuale a unei imagini, trebuie ca dimensiunea unuipixelsfiemaimicdectdimensiuneacorespunztoarerezoluiei spaialeasistemuluivizual,laodistannominalaobservatorului.n cazuluneiaplicaiiconcrete,dimensiuneaunuipixeltrebuiesfie obligatoriumaimicdectdimensiuneaceluimaimicobiectpecare dorim s l vizualizm. n general, ntr-o aplicaie dat, cel care impune o limitanumruluidepixeliestesistemuldeachiziieaimaginilor.De exemplu,chiardacseutilizeazsistemedeachiziiecuorezoluie ridicat,de10001000=1miliondeelemente,rezoluia spaial relativ estede10-3.Aceastapoateficonsideratorezoluieslab,deoarecen cazul msurrii unei lungimi, a unei tensiuni electrice sau a unei frecvene, orezoluiesauopreciziesatisfctoarencepedela10-6.ns,ncazul msurriiunorastfeldemrimiuni-dimensionale,seefectueaz msurtori relativ la un singur punct, n timp ce o imagine de 10001000 conine un milion de puncte. Prin urmare, o imagine poate oferi informaii referitoarelavariaiaspaialaunuisemnal.nplus,dacse achiziioneaz secvene temporale de imagini, se pot obine informaii care nusuntaccesibiledintr-oimaginestatic.Astfelsepotobineinformaii legatedevariaiiletemporalealeunuisemnaliprinurmaresepoate studia cinematica i dinamica temporal a acestuia. 24Oreearectangularreprezintceamaisimpl,dariceamai rspnditgeometrieauneiimaginidigitale.Pelngaceasta,maiexist ialtearanjamentegeometricealepixelilorsaualteformealecelulelor elementare.Acesteformeidispunerigeometricesuntsimilare configuraiilorcristalineposibilencazulcorpurilorsolide3Dnfizic, chimiesaumineralogie.Dacseiaunconsideraredoarpoligoane regulate,existdoartreiformedereeleregulateposibile:triunghiulare, ptrate sau hexagonale (figura 2.9). Figura 2.9. Forme de reele regulate posibile n 2D: (a) - reea triunghiular; (b) - reea ptrat; (c) reea hexagonal. n cazul imaginilor 3D, pixelul se transform n voxel (din englez =volumeelement).ntr-oreearectangular,fiecarepixelreprezint valoarea medie a nivelului de gri (sau de culoare) dintr-un cub elementar. Poziiaunuivoxelesteindicatprintreiindici:unindicedelinie(l),un indice de coloan (k) i un indice (m) pentru adncime (figura 2.10). 25y xzl km Figura 2.10. Reprezentarea imaginilor digitale ca matrici de voxeli dispui ntr-o reea rectangular tri-dimensional. 2.4. Proprieti ale imaginilor digitale Imaginiledigitaleauuneleproprieti,metricesautopologice, diferitedeproprietilefunciilorbidimensionalecontinue.Pebazacelor prezentate pn n acest punct, se pot trage urmtoarele concluzii: oimaginedigitalesteformatdinelementedeimagine(pixeli)de dimensiune finit; n mod uzual, pixelii sunt aranjai sub forma unei reele rectangulare; oimaginedigitalreprezintomatricebidimensionalacrui elemente sunt numere ntregi care corespund nivelurilor de cuantizare a gamei de niveluri de gri. uneleproprietialeimaginilorcontinuenuauoanalogiedirectn domeniul imaginilor digitale. 26 2.4.1. Proprieti metrice ale imaginilor digitale Distanadintredoipixelidintr-oimaginedigitalreprezinto mrimecantitativ.Distanadintrepuncteledecoordonate(i,j)i(k,l) poate fi definit n diferite moduri: distana euclidian: | | ( ) ( )2 2) , ( ), , ( l j k i l k j i dE + = (2.21) Avantajuldistaneieuclidieneestefaptulcesteintuitiv,darare dezavantajul unui cost mare de calcul datorit radicalului din formul i datorit valorii nentregi care rezult i deci a interpolrii necesare. Distanadintredoupunctepoatefiexprimatiprinnumrul minim de pai elementari de pe reeaua discret, dintre punctul de start i punctul final. Dac sunt permise doar deplasri orizontale i verticale, se poate defini distana d4 sau distana interbloc: | | l j k i l k j i d + = ) , ( ), , (4(2.22) Aceast distan este similar distanei dintre dou locaii dintr-un ora cu o reea rectangular de strzi i blocuri nchise de cldiri. Dacsuntpermiseideplasridiagonale,sepoatedefinidistanad8 sau distana de tip ah: | | { } l j k i l k j i d = , max ) , ( ), , (8 (2.23) 272.4.2. Proprieti topologice ale imaginilor digitale Adiacenapixeliloresteunconceptimportantnprelucrarea imaginilordigitale.Oricaredoipixelisuntvecininsensuldistaneid4 dacexistodistand4 =1 ntre cei doi pixeli. n mod analog, doi pixeli suntvecininsensuldistaneid8dacexistodistand8=1ntreceidoi pixeli. Cele dou tipuri de vecinti sunt ilustrate n figura de mai jos: V4V8 Figura 2.11. Vecintatea V4 i V8. Pebazaadiaceneipixelilorsepotdefiniregiunile,camulimi conexe de pixeli adiaceni. O cale dintre un pixel P i Q este o secven de puncte A1, A2, , An, unde A1=P i An=Q, iar Ai+1 este vecin cu Ai, i=1, ,n. O regiune reprezint o mulime de pixeli n care exist o cale ntre oricareperechedepixeliaisi,iarpixeliiaceleicisuntincluiiein mulimea respectiv. Dac exist o cale ntre doi pixeli ai unei imagini, aceti pixeli sunt coneci.Relaiadeconexitateestereflexiv,simetricitranzitivi defineteodescompunereamulimii(ncazuldefaimaginea)nclase echivalente (regiuni). S presupunem c Ri sunt regiuni disjuncte din imagine i c aceste regiuni nu ating marginile imaginii (pentru a evita cazurile speciale). Fie R reuniunea tuturor regiunilor Ri. Fie RC complementara mulimii R n raport cu imaginea. 28SubmulimealuiRCcareesteconexnraportcumarginile imaginii se numete fundal, iar restul mulimii RC se numesc guri. Dac nu avem guri ntr-o regiune, aceasta se numete regiune simplu conex. O regiune cu guri se numete regiune multi-conex.Trebuieobservatfaptulcnoiuneaderegiuneimplicdoar proprietateadeconexitate.Regiunilorlisepotatribuiproprieti secundarecareiauorigineaninterpretareaimaginilor.Astfel,unele regiunidinimaginesenumescobiecte.Procesulprincaresedetermin careregiunidintr-oimaginecorespundfiecruiobiectsenumete segmentareaimaginilor.Deexemplu,niveluldegrialunuipixel reprezintoproprietatesimplcarepoatefiutilizatpentruadefini obiecteledintr-oimagine.Dacunpixelareunniveldegrimaimare dectanumitepraguripredefinite,elaparineunuianumitobiect.Toate punctele care satisfac aceast proprietate i care sunt conexe, constituie un obiect.Ogaurconstdinpunctelecarenuaparinunuiobiectisunt nconjuratedeobiecte.Toatecelelalteobiecteconstituiefundalul.Un exemplulconstituieuntextnegrupeopaginalb,ncareliterele reprezintobiectele.Regiunilealbenconjuratedeliterereprezintguri (deexempluninteriorullitereiO).Toatecelelalteregiunialehrtiei reprezint fundal. 2.4.3. Relaii de vecintate ntre pixeli Unadinproprietileimportantealeimaginilordiscreteeste reprezentatderelaiiledevecintatedintrepixeli,deoarecepebaza acestorasepotdefiniregiunileconexeiobiectele.ntr-oreea rectangularbidimensionalsepotdefinidoutipuridevecintiale pixelilor (figura 2.12.a i 2.12.b ).29l-1, kl, kl, k+1l+1, kl, k-1 l-1, kl, kl, k+1l+1, kl, k-1l-1, k+1 l-1, k-1l+1, k+1 l+1, k-1 Figura 2.12. Vecinti definite pe o reea rectangular: (a) - vecintatea V4; (b) - vecintatea V8. Definireaacestorvecintisepoatefaceipebazaunorrelaii matematice, dar pentru moment vor fi definite ntr-un mod simplu, pentru omaibunnelegere.Astfel,sepoatespunedespredoipixelicsunt vecinidacaucelpuinolaturcomun.nacestcazunpixelvaavea4 vecini,obinndu-sevecintateaV4(figura2.12.a).Sepoatedefiniio alt vecintate, n cadrul creia doi pixeli sunt vecini dac au cel puin un colcomun.nacestcaz,unpixelvaavea8vecini,obinndu-se vecintatea V8 (figura 2.12.b).Ambele tipuri de vecintate sunt necesare pentru a defini obiectele iregiunileconexe.Sespunedespreoregiune(sauunobiect)ceste conexatuncicndsepoateajungedelaunpixellaoricarealtpixelal regiunii,trecnddoardelaunpixelvecinlaaltul.Deexemplu,obiectul gridinfigura2.13reprezintunobiectnsensuluneivecintiV8,dar este constituit din dou obiecte n sensul unei vecinti V4. Figura 2.13. Regiunea gri reprezint un obiect (sau regiune conex) dac se utilizeaz o vecintate V8 i dou obiecte dac se utilizeaz o vecintate V4. 30 Acelai lucru se poate afirma i despre fundalul alb din figura 2.13. Pentru a se putea face o distincie clar ntre fundal i obiectele din figur sepoatedefiniovecintateV4ncazulobiecteloriovecintateV8n cazul fundalului sau invers. Aceste complicaii nu apar numai n cazul reelelor rectangulare. n cazuluneireeletriunghiularesepoatedefiniovecintateV3pentru pixeliicareauncomuncteolaturiovecintateV12pentrupixelii care au n comun cte un col (figura 2.9). n cazul unei reele hexagonale sepoatedefininumaiovecintateV6deoarecetoipixeliicareaun comununcol,auncomuniolatur,iarpixeliicareauncomuno latur,auncomunidoucoluri.nciudaacestordezavantaje,reelele hexagonalesuntutilizatenmodcurentnprelucrareaimaginilordei sistemeledeachiziieaimaginilorgenereaz,deregul,imaginiaicror pixelisuntdispuintr-oreearectangular.Motivullreprezint dispunerea sub form hexagonal a senzorilor din retina ochiului uman. n cazul tri-dimensional, relaiile de vecintate sunt mai complexe. nacestcazexisttreimoduridedefinireavecintilor:voxelicufee comune,culaturicomunesaucucoluricomune.ncazuluneireele rectangulare,acesteenunuripermitdefinireauneivecintiV6,V18, respectiv V26 (figura 2.14). l ll k l+1 l-1 k m-1 k+1k-1 m Figura 2.14. Cele trei tipuri de vecinti posibile ntr-o reea cubic 3D: (a) - V6: voxeli cu fee comune; (b) - V18: voxeli cu laturi comune;(c) - V26: voxeli cu coluri comune. 31inacestcaztrebuiedefinitedoutipuridevecintipentru obiecteipentrufundal,pentruaputeadefininmodcorectregiunile conexe.Astfel,ncazulobiectelorsepoateutilizaovecintateV6,iarn cazul fundalului se poate utiliza o vecintate V26 sau invers. 2.4.4. Paradoxuri de conexitate Definiiavecintiiiconexitiipeoreearectangularcreeaz unele paradoxuri. Exemplul 1. n figura urmtoare sunt reprezentate trei linii digitale cu pante de 45o, respectiv -45o. Figura 2.15. Exemplu de paradox de conexitate a liniilor. DacseutilizeazvecintateaV4,liniilenusuntconexenfiecare punct al lor. Mai mult, apar i conflicte n raport cu nelegerea intuitiv a proprietilorliniilor.Astfel,douliniiperpendiculareseintersecteaz ntr-uncaz(stnga-jos),darnuseintersecteaznaltcaz(dreapta-sus), deoarece nu au un punct comun. 32Exemplul 2. n figura urmtoare este prezentat un alt paradox. A BC D Figura 2.15. Exemplu de paradox de conexitate a curbelor sau regiunilor. Acestparadoxestecunoscutngeometriaeuclidian,undefiecare curb(sauregiune)nchisdivideplanulndouregiunineconexe.Dac imagineaestedigitizatntr-oreeaptrat,utilizndvecintateaV8,se poatetrasaoliniedinparteainternauneicurbenchisepnnpartea extern,carenuintersecteazcurba.Aceastaimplicfaptulcprile interne i externe ale curbei constituie o singur regiune conex. Exemplul 3 (paradoxul conectivitii). Dacsepresupunevecintatea(conexitatea)V4,figurademaisus conine patru regiuni separate conexe A, B, C i D. A B sunt neconexe, la fel ca i C D, ceea ce reprezint o contradicie topologic deoarece, n mod intuitiv, dac A B sunt neconexe, ar trebui ca C D s fie conexe.DacsepresupunevecintateaV8,existdouregiuniABi C D. Cele dou mulimi conin n ntregime cile AB i CD, dar acestea se intersecteaz! Osoluiedeeliminareaparadoxuluiconexitiiestedeatrata obiectele utiliznd vecintatea V4 iar fundalul utiliznd vecintatea V8 sau invers. Problemeleprezentatesunttipicereelelorrectangulare.Reelele hexagonalerezolv o mareparteaacestor probleme dar au, la rndul lor, numeroasedezavantaje.Astfel,dinmotivedesimplitate,majoritatea 33dispozitivelordedigitizareutilizeazoreearectangular,nciuda dezavantajelor i paradoxurilor prezentate. Oalternativpentrueliminareaproblemelordevecintatesau conexitateestedeautilizatopologiadiscret,considerndfamiliide mulimidediferitedimensiuni.Deexemplu,punctele(0-dimensionale) potfiatribuiteunormulimicaresconinstructuridedimensiunimai mari(cadeexemplu,mulimidepixeli),carepermiteliminarea paradoxurilor expuse. Liniile (1-dimensionale) permit o definiie precis a muchiilor i contururilor etc. 2.4.5. Alte proprieti topologice i geometrice FrontierauneiregiuniResteomulimedepixelidinregiune, careauunulsaumaimulivecininexteriorulregiunii.Aceastdefiniie sereferlafrontieraintern,pentruaodistingedefrontieraextern, care reprezint frontiera fundalului (complementarei) regiunii. Muchiaesteoproprietateaunuipixeliavecintiisale imediate, caracterizat de o amplitudine i o direcie. Direcia unei muchii este perpendicular pe direcia gradientului care indic direcia de variaie a nivelului de gri din imagine. Frontieraesteunconceptglobalrelativlaoregiune,ntimpce muchia exprim o proprietate local a funciei de variaie a nivelului de gri dintr-oimagine.Cutoateacestea,ntremuchiiifrontiereexisto legtur.Astfel,oposibilitatedeadeterminafrontiereleestedea concatenamuchiilesemnificative(punctelecaracterizatedeungradient mare al funciei de variaie a nivelului de gri). Proprietatea de a aparine unei muchii este caracteristic unui pixel ivecinilorsi.Uneoriesteavantajossseutilizezeproprietialeunor perechidepixelivecini.Astfelsepoateintroducenoiuneademuchie compus,ataatfiecruipixel,careexprimrelaiasacucei4vecini. Direciamuchiilorcompuseesteceadecretereaniveluluidegriieste 34unmultiplude90o,ntimpceamplitudineasareprezintdiferena absolut dintre nivelurile de gri ale perechilor relevante de pixeli. Pentrudescriereaproprietilorgeometricealeobiectelorse utilizeaz contururi convexe. Un contur convex este cea mai mic regiune careconineunobiect,astfelnctoricaredoupunctealeregiuniipotfi unite printr-o linie dreapt, toate punctele liniei aparinnd regiunii.Unobiectpoatefireprezentatprintr-ocolecieacomponentelor saletopologice.Mulimiledepunctedininteriorulcontururilorconvexe, care nu aparin unui obiect, sunt numite deficit de convexitate. 2.5. Reprezentarea spectral a imaginilor Reprezentarea spectral a imaginilor este util n analiza spectral a acestora.Analizaspectraloferinformaiidespremoduldevariaiea unui semnal. De exemplu, un semnal unidimensional (1D) lent variabil are un spectru concentrat n jurul originii, n timp ce un semnal rapid variabil, are un spectru mai larg. tf(t) |F()| tf(t) |F()|Figura 2.16. Ilustrarea spectrului unui semnal lent i a unuia rapid variabil. 35ncazulimaginilor(2D)sepoatedeterminadacaresaunu contururi multe, prin inspecia spectrului su, pornind de la constatarea c variaiile rapide (frecvenele mari) corespund contururilor. Spectrulunuisemnal(saualuneiimagini)seobineprin transformata Fourier a acestuia. Transformata Fourier unidimensional se definete astfel: { } = = ) ( ) ( ) (.F dt e t f t ft jdef,C R : f (2.24) Transformata Fourier{ } ) ( ) (. F t fnot= se definete pentru funciile f(t)L2, unde L2 este clasa semnalelor (funciilor) de energie finit, pentru care exist transformat Fourier direct i invers, adic: )` < = = dt t f E t f L t ff22) ( | ) ( ) ( , (2.25) unde Ef este energia funciei f. Dac: fL2, 2 2: ) ( L L F este inversabil. Transformata Fourier invers se definete ca fiind: { } = = ) ( ) (21) (.1t f d e F Ft jdef (2.26) n aceste relaii: este pulsaia, iar 2 este frecvena. 36 2.5.1. Transformata Fourier bidimensional Definiie: Se consider funcia bidimensional f(x,y), f: RC, unde: )` < = = 22.22) , ( | :RC R dxdy y x f E f L fdeff(2.27) TransformataFourierbidimensionalafuncieifsedefineteca fiind: { } ( ) | | ) , ( exp ) , ( ) , (.v u F dxdy y v x u j y x f y x fdef= + = (2.28) unde: x,y sunt coordonate spaiale, iar u,v sunt frecvene spaiale. Dac: fL2, 2 2:) ( L L F este inversabil. Transformata Fourier bidimensional invers se definete ca fiind: { } ( ) | | ) , ( exp ) , (41) , (22.1y x f dudv y v x u j v u F v u Fdef= + = R (2.29) 2.5.2. Proprietile transformatei Fourier bidimensionale 1.Deplasarea semnalului: Dacfuncieiunidimensionale1Df(t)icorespundetransformata Fourier F() atunci funcieif(t-t0) i corespunde: 01 1) ( ) ( ) ( ) (0t jF Fe F t t f F t fD D (2.30) n cazul bidimensional (2D): 37) (0 00 02 2) , ( ) , ( ) , ( ) , (y v x u jF Fe v u F y y x x f v u F y x fD D + (2.31) Demonstraie: { }( ) + = 2) , ( ) , (0 0 0 0Rdxdy e y y x x f y y x x fy v x u j(2.32) Fcnd schimbrile de variabile: x-x0=x, respectiv y-y0=y, iacobianul corespunztor este: 1' '' 'det =||||.|

\|=yyxyyyxxI (2.33) { } ( ) | | = + + + = 2' ' ) ' ( ) ' ( exp ) ' , ' ( ) , (0 0 0 0Rdy dx I y y v x x u j y x f y y x x f( ) | | ( ) | | = + + =2' ' ' ' exp ) ' , ' ( exp0 0Rdy dx y v x u j y x f y v x u j( ) | |0 0exp ) , ( y v x u j v u F + = q.e.d. 2.Deplasarea spectrului: Dacfuncieiunidimensionale1Df(t)icorespundespectrul (transformataFourier)F(),atuncifunciei t je t f 0) ( i corespunde spectrul deplasat: ) ( ) ( ) ( ) (0101 m F e t f F t fD DFt jF (2.34) n cazul bidimensional: ) , ( ) , ( ) , ( ) , (0 0) (20 02v v u u F e y x f v u F y x fD DFy v x u jFm m + (2.35) Demonstraiaestelsatcaexerciiu,aceastafiindsimilar demonstraiei proprietii 1, de deplasare a semnalului. 38 3.Scalarea semnalului: Dacfuncieif(x,y)icorespundetransformataFourierF(u,v),atunci funciei scalate ) , ( by ax fi corespunde transformata Fourier: |.|

\| bvauFb ay b x a f v u F y x fD DF F,1) , ( ) , ( ) , (2 2(2.36) n cazul unidimensional, acest lucru poate fi ilustrat grafic astfel: f(t) t f(at) t Pt. a20 dB pentru imagini, un RSZ bun este un RSZ >30 dB n prezena zgomotului, relaiile anterioare se scriu: 124| | ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , (1n m H n m Z n m H n m F n m F + =(5.11) 1 + = H Z F F (5.12) Dac H are zerouri, rezult c H-1 are poli. Rezult c 1 H Zare valori mari n vecintatea polilor. Exemplu: n cazul unidimensional (1D): H-1 H F 1 + = H Z F FFigura 5.2. Exemplu de filtrare invers n cazul 1D. Dac zgomotul z este zgomot alb, rezult c Z(m,n) este constant. 1 H Zare valori mari n vecintatea zerourilor lui H. F este mult diferit de Ffeste mult diferit de f. f f Figura 5.3. Semnalul original i semnalul restaurat prin filtrare invers, din semnalul original degradat cu zgomot alb. 125nfigura5.3freprezintrezultatulrestaurrii,adicaestimrii semnalului original f. 5.2. Filtrul invers cu constrngeri Lanulcompletalprocesuluidedegradareirestaurareeste reprezentat n figura 5.4. + f h f' z f" g fdegradare restaurare Figura 5.4. Lanul degradare-restaurare al unei imagini. Dacs-arfiltrafcuhs-arobinecevaapropiatdef.Dar diferena dintref filtrat cu h ( h f ) i f este zgomotul z. Energia zgomotului este presupus a fi cunoscut: = ==LmKnzn m Z E1 12) , ( = cunoscut (5.13) Prinurmare,energiadifereneidintre h f ifsedoreteafi egal cu energia zgomotului: zh f fE E = "(5.14) Dar: = = = LiKjj i h j k i l f k l h k l f1 1) , ( ) , ( ) , ( ) , ( (5.15) zLlKKE k l h k l f k l f = = = 1 12) , ( ) , () , ( " (5.16) 126Sepresupunecunoscutfiltruldedegradareh.nacestcazrezult unsistemdeecuaiicuLKnecunoscute,porninddelaf(l,k),unde L l , 1 = ,K k , 1 = . Seimpunecaenergiaderivateiluifsfieminim,pentruca abaterilefadefsfiectmaimici.Pentruaceastaseconsiderun nucleudefiltrarec=c(l,k)cares reprezinte o msur a derivatei ( de ex. unlaplaceansauungaussian).Operaiadefiltrarecunucleulceste echivalent cu o convoluie discret, proporional cu derivata: ) , ( ) , (k l c k l f , n domeniul spaial(5.17) ) , ( ) , (n m C n m F , n domeniul spectral (5.18) Se dorete ca c fE s fie minim, adic: = =LlKkk l c k l f1 12) , ( ) , ( s fie minim.(5.19) Prinurmare,trebuieminimizatrelaia(5.19)cuconstrngerea (5.16). Din teorema lui Parceval, se tie c: = ==LlKkfl k f E1 12) , (

D 1 = =LmKnn m F1 12) , ( Aplicnd teorema lui Parceval relaiei (5), dup aplicarea prealabil a transformatei Fourier, se obine: zLmKnE n m H n m F n m FK L= = = , 1 12) , ( ) , () , ( "1) 16 . 5 ((5.20) = =LmKnn m C n m FK L, 1 12) , ( ) , (1) 19 . 5 ( = minim(5.21) sau: T E K L n m H n m F n m FzLmKn= = = = , 1 12) , ( ) , () , ( "(5.22) 127 = = LmKnn m C n m F, 1 12) , ( ) , (= minim(5.23) Setiecatuncicndtrebuieminimizatofuncief(x1,,xn)cu constrngerile: ==0 ) ,..., (0 ) ,..., (11 1n mnx x gx x gM (5.24) trebuie construit funcia Lagrange: ) ,..., ( ... ) ,..., ( ) ,..., ( ) ,..., (1 1 1 1 1 1 n m m n n nx x g x x g x x f x x = dupcareseminimizeazfunciaLagrange,porninddelarelaia uzual: 0 = ix, (5.25) unden i , 1 = , iar i sunt coeficienii Lagrange. ncazuldefa,constrngereaesteconstituitderelaia(5.16)iar funciademinimizatestedatderelaia(5.19).Seconstruietefuncia Lagrange: = =)`((

= LmKnT n m H n m F n m F n m C n m F, 1 12 2) , ( ) , () , ( " ) , ( ) , ((5.26) T n m H n m F n m F n m C n m FLmKn +((

= = = , 1 12 2) , ( ) , () , ( " ) , ( ) , ( Funciile) , (n m F sunt argumentele funciei , n numr de LK. ) , ( ) , ( ) , (n m B j n m A n m F + = (5.27) Rezult c sunt 2LK necunoscute, adic argumentele funciei . 128Se obine sistemul: = = 0) , (0) , (n m Bn m A, K n L m , 1 , , 1 = = (5.28) Sistemul are 2LK ecuaii cu 2LK necunoscute. ( )( ) = = * * *2""" H F F H F F H F F22* * *2" " " H F F H F H F F F + = (5.29) = 2) , ( ) , ( 2) , (n m C n m An m A(5.30) | | 0 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( ") , ( ) , ( "2* *= n m H n m A n m H n m F n m H n m F = 2) , ( ) , ( 2) , (n m C n m Bn m B(5.31) | | 0 ) , ( ) , ( 2 ) , ( ) , ( " ) , ( ) , ( "2* *= + n m H n m B n m H n m F j n m H n m F j Rezult: { }2 2*) , ( ) , () , ( ) , ( " Re) , (n m H n m Cn m H n m Fn m A + =(5.32) { }2 2*) , ( ) , () , ( ) , ( " Im) , (n m H n m Cn m H n m Fn m B + =(5.33) = + = ) , ( ) , ( ) , (n m B j n m A n m F129) , ( " ) , () , ( ) , () , ( ) , ( "2 2*n m F n m Gn m H n m Cn m H n m F = + = (5.34) 2 2*) , ( ) , () , () , (n m H n m Cn m Hn m G += (5.35) G este funcia de transfer a filtrului de restaurare, cu necunoscuta . S-a artat c: T E K L n m H n m F n m FzLmKn= = = = , 1 12) , ( ) , () , ( " (5.36) Relaiile(5.35)i(5.36)formeazunsistemcuLK+1ecuaiicu LK+1necunoscute,constituitedeplusnecunoscutelelui) , (n m F ,n numr de LK. Sistemulformatdinrelaiile(5.35)i(5.36)esteneliniar,iar rezolvareasasepoatefaceprinmetodenumerice,acestafiind dezavantajul filtrului invers cu constrngeri. 130 6. Morfologie matematic Morfologia matematic (n limba greac morphos = form, logos = tiin,decitiinaformelor)constntr-oabordarebazatpeform,a prelucrriiimaginilor.Ideeadebazauneiprelucrrimorfologiceeste considerareaimaginiicaunansamblu(mulime,reuniunedepunctesau obiecte) asupra cruia se aplic transformri a cror esen este comparaia cu mulimi mai simple, numite elemente structurante. Prinurmare,transformrilemorfologice(caresuntneliniarei neinversabile)sebazeazpecomparareaimaginii(sauaunuiobiect coninutnimagine)cuunobiectmaimic,deformcunoscut,numit elementstructurant.nurmaacesteicomparaiisuntextrasedinimaginea iniialzonelececorespundproprietilor(deformidimensiune) specificeelementuluistructurantfolosit.Deexemplu,recunoatereaunei formeimplicidentificarealocalaprilorsalecomponente,decio simpl operaie de potrivire de mti ("pattern matching"). 6.1. Transformarea Hit or Miss TransformareamorfologicdebazestetransformareaHitor Miss, ce ar putea fi numit i Totul sau Nimic (sau Ochit sau Ratat, ntr-otraducerecuvntcucuvnt,dinlimbaenglez).Efectulaplicrii acestei transformri de identificare este extragerea din imagine a punctelor a cror vecintate este identic cu elementul structurant folosit. TransformareaHitorMissamulimiiAprinelementul structurant B se definete ca fiind:{ }cx xA B A B x B A = ) ( & ) ( |2 1(6.1) unde: cAeste complementara mulimii A; 1311B i 2B formeazopartiienetaluiB,adic: B B B = 2 1 i = 2 1B B ;(6.2) { } B b x b Bx + = =translaiamulimiiBcuvectorulx,sau translaia mulimii B cu originea, n punctul x (figura 6.1). Bx B y xx Figura 6.1. Translaia mulimii B cu vectorul x. Trebuie specificat faptul c oricrui element structurant trebuie s i se ataeze o origine. Exemplu:SseefectuezetransformareaHitorMissamulimii A prin elementul structurant B, unde: originea lui Boriginea nu aparine lui B2 =x x xx x x xx x xx x x xA , = x xxB , x xxB =1, x x xxx xB =2 Aestereprezentatdepunctelemarcatecux,iarcuaufost marcate punctele care aparin fundalului. 132Rezultatultransformriiestedatdecele2punctemarcate (ncercuite) pe mulimea A (punctele peste care se suprapun perfect 1Bi 2B , adic B). Transformarea Hit or Miss prezint un interes mai mult teoretic, dardatoritstructuriisalestlabazaconstrucieiteoreticeamorfologiei matematice.Pebazaacesteitransformrisepotdefinioperaiile morfologice fundamentale (erodarea i dilatarea). 6.2. Erodarea Erodarea mulimii A prin elementul structurant B se definete ca: ( ) { }||.|

\| = = = =B BBxB A A B x B A12(6.3) Dupcumseobservdindefiniie,erodareasepoateobinecaun cazparticularaltransformriiHitorMissianumepentru =2B i B B =1. ErodareauneimulimiAprinelementulstructurantBeste mulimeapunctelor,pentrucareelementulstructuranttranslatatcu origineanpunctulrespectivesteinclusnmulimeaceseerodeaz. Rezultatultransformriisenumeteerodata(saueroziunea)mulimiiA prin elementul structurant B. Efectulgeneralalerodriiesteaceladesubiereacorpurilor, subierecaredepindedestructuraelementuluistructurant.Mulimile considerate pot fi continue sau discrete. Exemplu: - n cazul mulimilor continue: Dac: 133 B= A= AB= A= AB= - n cazul mulimilor discrete: = x xx xx x xB Axx x xxB = = xxxxB Ax x B = Aestereprezentatdepunctelemarcatecux,iarcuaufost marcatepunctelecareaparinfundalului.Punctelencercuitesunt rezultatele erodrii AB. 134 6.3. Dilatarea DilatareauneimulimiAprinelementulstructurantBsedefinete prin relaia: { }CB BB xB A A B x B A||.|

\|= = = =21| * ) ( | (6.4) DilatareauneimulimiAprinelementulstructurantBeste mulimea punctelor pentru care elementul structurant deplasat cu originea n punctul respectiv are puncte comune (cel puin unul) cu mulimea A ce sedilat.Rezultatultransformriisenumetedilatat(saudilatarea) mulimii A prin elementul structurant B. Efectulgeneralaloperaieidedilatareesteaceladengroarea obiectelor. Transformarea poate fi aplicat att pe mulimi continue, ct i pe mulimi discrete. Exemplu: - n cazul mulimilor continue: B = A =B A = A =B A = 135 - n cazul mulimilor discrete: xx x xxB = = B A x x B = = B AAestereprezentatdepunctelemarcatecux,iarcuaufost marcatepunctelecareaparinfundalului.Punctelencercuitereprezint rezultatele dilatriiB A . Dilatarea i erodarea nu sunt transformri inverse una alteia (i nici nu admit invers):A B B A ) ( (6.5) A B B A ) ( Dilatareaesteooperaieextensiv( ) B A A ,ntimpce eroziunea este o operaie antiextensiv (AAB) numai n cazul folosirii elementelorstructuranteceiconinoriginea.Elementelestructurante clasicesuntvariantelediscretizatealedisculuiunitar,vecintatea 4V i vecintatea 8V : xx x xxV =4 x x xx x xx x xV =8 136 Dilatareaierodareasuntoperaiiintensivedinpunctdevedere matematic, deoarece este evident c aplicarea transformrilor morfologice implic verificarea condiiilor de definiie pentru fiecare punct al imaginii (evitndevidenteleefectedemargine),decicomplexitateaalgoritmic este comparabil cu a unei operaii de filtrare n domeniul spaial. Pentruevitareasaumicorareacomplexitiicalculelorartrebui gsit o metod care s nu implice verificarea fiecrui punct al imaginii, ci eventualfiecarepunctalstructurantului.Aceastasepoateobineprin rescrierea operaiei de erodare:{ } a x b a A a B b x B A = + = . . , , = { }bB bbB bA A b a x a A a B b xS= = = I I . . , , (6.6) undeB-S=-BestesimetricamulimiiBfadeorigine,iarAbeste translaia mulimii A n punctul b.Astfel,sefacoperaiimultmaipuineinplussepermite implementarea paralel deoarece fiecare translaie se poate face pe uniti diferite, iar la sfrit se face intersecia rezultatelor acestora. n mod similar, pentru dilatare se obine: { }bB bxA A B x B AS= = U I | (6.7) 6.4. Proprietile operaiilor morfologice 1.Invariana la translaie: ( )t tB A B A = (6.8) ( )t tB A B A = 137( )t tB A B A = nacestcazintervinesemnul-deoarecendefiniia erodrii i dilatrii intervine mulimea simetric ( )t tB A B A =

2.Invariana la scalare: ( ) B A B A = 1(6.9) ( ) B A B A = 1,| | 1 , 0 3.Erodarea i dilatarea sunt transformri duale una alteia: ( )CCB A B A = (6.10) ( )CCB A B A = Aceastdualitatesemanifestfadeoperaiadecomplementarea mulimilor. 4.Dilatarea i erodarea nu sunt inverse una alteia i nici nu admit invers: ( ) A B B A (6.11) ( ) A B B A 5.Descompunerea elementului structurant: ( ) ( ) ( ) C B A C A B A U U = (6.12) ( ) ( ) ( ) C B A C A B A U I = 6.Proprietatea de iterare: ( ) ( ) C B A C B AS = (6.13) ( ) ( ) C B A C B AS = Caz particular: B=C ; B=BS ( ) B A B B A 2 = , ( ) B A B B A 2 = 138 6.5. Transformri morfologice derivate Priniterareaunoroperaiimorfologicedebazseobin transformrimorfologicemaicomplexe,numiteitransformri morfologice derivate sau filtre morfologice. 6.5.1. Operatori de extragere a conturului Dintre extractoarele morfologice de contur, cele mai utilizate sunt: conturul exterior: ( ) A B A A = , (6.14) unde - reprezint diferena ntre mulimi. conturul interior: ( ) B A A A = (6.15) gradientul morfologic: ( ) ( ) B A B A gradA = (6.16) Exemplul 1: =x xx xx xxAxx x xxB =B AA = conturul interior A = conturul exterior 139nacestcaz(structurantsimetric),gradientulmorfologicvafi reuniunea celor dou contururi. Cu ct structurantul este mai mic, conturul va fi mai subire. Exemplul 2: =x xx x x xx x xxA x x x B =A = conturul interiorA = conturul exterior n acest caz, structurantul este simetric dup o singur direcie. Exemplul 3: =x xx x x xx x xxA x x B=A = conturul interiorA = conturul exterior nacestcaz,structurantulesteasimetricisepierdeconturul exterior,corespunztordirecieidesimetrie,dincazulanterior.Prin urmare,pentruobinereadecontururidirecionale,trebuieutilizate elemente structurante direcionale. 140 6.5.2. Deschiderea i nchiderea DeschidereamulimiiAprinelementulstructurantBsedefinete ca fiind: ( )SB B A B A = o(6.17) unde{ } B x x B BS = = ,reprezintmulimeasimetrica mulimiiBfadeorigine(semainumeteitranspusamulimiiB). Mulimea rezultat dup o deschidere este diferit de mulimea original.Dinpunctdevederealaciuniiasupraobiectelor(figura6.2),n urmauneideschiderirezult(efectuldeschideriiestereprezentatculinie punctat)olrgireagolurilornglobatenobiect,eliminareaobiectelor mici(maimicidectelementulstructurantfolosit),netezireacontururilor printeireaconvexitiloriseparareaobiecteloruniteprinistmuri (zone) mai mici dect dimensiunea elementului structurant. deschiderenchidere Figura 6.2. Ilustrarea efectului deschiderii i nchiderii morfologice. nchiderea mulimii A prin elementul structurant B este: ( )SB B A B A = (6.18) nchidereaesteoperaiadualdeschideriifadecomplementarea mulimilor: 141( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) B A B B A B B A B B A B AS S CCS CCCo = = = = (6.19) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) B A B B A B B A B B A B AS S CCS CCC = = = = o Datoritacesteiproprietidedualitate,nchidereavaaveaasupra fundaluluiaceleaiefectepecarelearedeschidereaasupraobiectelor. Prinurmare,efectulnchideriiasupraobiectelor(reprezentatculinie ngroat n figura 6.2) poate fi gsit prin complementare, adic nchiderea va umple golurile nglobate n obiecte, va netezi contururile prin umplerea concavitilorivafuzionaobiectelefoarteapropiate(umplerea strmtorilor de dimensiuni mai mici dect a elementului structurant).Deschidereaesteooperaieantiextensiv( ) A B A o ,ntimpce nchidereaesteotransformareextensiv( ) A B A .nacelaitimp, deschidereainchidereasunttransformriidempotente,adiciterarea deschiderilor sau nchiderilor succesive, cu acelai element structurant, nu mai produc modificri: ( ) B A B B A o o o =( ) B A B B A = (6.20) Dupcums-aartat,nchidereaideschidereasuntdefaptnite filtredeoareceauunefectdenetezireaformelor.Pentruoneteziremai puternicsefoloseteunstructurantmaimare.Mrireagradata elementuluistructurantfolositiaplicareaalternativadeschideriii nchiderii(pentruabeneficiadeefectelelorcomplementare)adusla definirea filtrelor alternate secvenial (FAS): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 3 3 2 2 ) ( B B B B B B A A FAS = o o o(6.21) unde: B B B B B k = ...(de k ori). Filtrelealternatesecvenialconstaundeschideriinchideri alternatesuccesiv,cuelementestructurantededimensiunecresctoare. 142AplicareaFASpoatefiopritnoricemoment,obinndu-seastfelo netezire gradat, interactiv a imaginii. 6.6. Trierea dimensional a obiectelor Cuajutorultransformrilormorfologicesepoaterealizaitrierea dimensionalaobiectelor.Aceastaseobineprinutilizareatransformrii TopHat.TransformareadetipTopHat(TH)amulimiiAprin elementul structurant B se definete ca: ( ) ( ) B A A A TH o = (6.22) Rezultatulaplicriiacesteitransformriesteoimaginececonine toate punctele eliminate de deschiderea imaginii prin elementul structurant folosit.Dupcumsepoateobserva,transformareaTopHatareefect inversceluialuneisite:pstreazobiectelemaimici.Dar,prin deschidere,obiectelenuimaipstreazformainiial,deci,pentru extragereaformeiexacteaobiectuluitrebuierealizatooperaiede reconstrucie.Exist i varianta transformrii de tip Top Hat generalizat: ( ) ( ) ( ) B n A B n A A THg 2 1o o =, 1 2n n > (6.23) Transformarea Top Hat simpl se obine ca un caz particular: 1021) ( ) (== =nn A THg A TH (6.24) 143Exemplu: ~B (obiecte cu dimensiuni maimici dect B) A= ~2B ~4B TH(A)= ) ( B A A o = B Ao TH(A)= ) 2 ( B A A o = B A 2 o SeobservctransformareaTopHatsimplsecomportcaun filtrudetiptrece-sus,iarTopHatgeneralizatsecomportcaunfiltru de tip trece-band (ne permite s obinem obiecte cu dimensiune cuprins ntreB n1 iB n2). 6.7. Caracterizarea morfologic a formelor Cuajutorultransformrilormorfologicesepoaterealizai caracterizareamorfologicaformelor,carepoateimplicadouaspecte: extragereadeinformaiiasupraformeidatesaucomparareaformei respective cu o alt form (etalon). 144 6.7.1. Reconstrucia dup marker Reconstrucia () unei imagini (I) pe baza unor markeri (M), poate fi descris prin urmtoarea relaie: UI =M Ij MjI I ) ( (6.25) Reconstruciaimaginii IdupmarkerulM este egal cu intersecia elementelorIjaleelementelorconexealeimaginiiIcuproprietateac intersecia lor cu markerul este nevid. I1 Ik IN I1INImaginea IMarkerii M Figura 6.3. Reconstrucia dup markeri. Omodalitatededeterminareaunormarkeriestedeautiliza transformareaTopHat.Oproblemcaresepunencazulreconstruciei dupmarkeriesteetichetareaimaginii,pentruaputeaficomparatcu markerii. Metoda de etichetare trebuie s fie ct mai rapid. 145 6.7.2. Distana Haussdorf Pentru a se compara sau calcula asemnarea dintre dou obiecte, se comparobiectuldatcuunobiectmartor,sedefineteodistanntre obiecte i se impune ca distana s fie ct mai mic.Distana Hausdorff dintre mulimile K1 i K2, n domeniul continuu se definete ca fiind: { } B K K & B K K K K d = 1 2 2 1 2 1inf ) , ((6.26) ndomeniuldiscret,distanaHausdorffdintremulimileK1iK2 este: { } B n K K & B n K K n K K d =1 2 2 1 2 1inf ) , ((6.27) Distana Hausdorff este o msur bun a asemnrii obiectelor doar dacacesteasuntcentrate.nplus,esteigreudecalculatidinacest motiv se folosete mai rar n practic. 6.7.3. Extragerea skeletonului morfologic Unconceptimportantnprelucrareaianalizaimaginilor, ndeosebilarecunoatereaformelor,lconstituieskeletonulmorfologic, cuaplicaiilacompresiaimaginilorbinare,recunoaterea,aproximareai reconstrucia formelor. Extragerea skeletonului morfologic se bazeaz pe conceptul de disc maximalinclusntr-omulime(A).Astfel,pentruomulimebinarplan nchisA,sedefinetedisculmaximalBr(x)decentruxirazr,prin relaia: == '') ' ( ) ('r rx xA x B x Br r(6.28) 146Aceasta nsemn c discul maximal este inclus n mulimea A i nu exist nici un alt disc inclus n A care s-l conin Skeletonulmorfologicaluneiformeesteegalcureuniunea centrelordiscurilormaximaleinclusenformarespectiv.npracticse folosete formularea echivalent: Umax) ( ) (NnnA S A SK == , (6.29) undeSK(A)esteskeletonulmulimiiA,iarSn(A)senumescseturi skeleton de ordinul n: ( ) ( ) ( | ( ) ) | ( ) ( | ) | B nB A nB A B B n A nB A A Sno = + = 1(6.30) Discul unitate, B, poate fi V4 sau V8, n funcie de metrica utilizat n spaiul discret, astfel:dac se utilizeaz distana euclidian, discul unitar este V4; dacseutilizeazdistanainter-bloc,disculunitaresteV8.Distana inter-bloc, pentru punctul de coordonate (i, j) este: ( )y x y x ij j i i y x d = , max ) , ( (6.31) Exemplu: Se d mulimea A i elementul structurant B: x x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xA=, xx x xxB =Figura 6.4. Exemplul unei mulimi A i a uni element structurant B. 147Setul skeleton de ordinul 0 este: ( ) ( | ) | B B A A A S =0:(6.32) x xx xx x

x x x x x xx xx xx xx xx xx xA S = ) (0 - punctele ncercuite =B A- punctele ncadrate =B B A ) (- punctele ngroate: B B A A A S = ) ( ) (0 Figura 6.5. Setul skeleton de ordinul 0 al mulimii A din figura 6.4. n mod similar: ( ) ( ) ( | ) | B B A B A A S = 21, unde B B A B A = ) ( 2(6.33) ( ) ( ) ( | ) | B B A B A A S = 3 22(6.34) ( ) ( ) ( | ) | = = B B A B A A S 4 33,(6.35) 2max= N , pentru exemplul prezentat. Umax) ( ) (NnnA S A SK == (6.36) ( )x xx x x xx x x xx xx xx xA SK =Figura 6.6. Setul skeleton de ordinul 3 al mulimii A din figura 6.4. 148Seobservcskeletonulunuiobiectaremaipuinepunctedect obiectul. Skeletonulmorfologicesteotransformarereversibil,adicse poate obine forma iniial A, cunoscnd skeletonul acesteia: ( ) ( )Umax0NnnnB A S A= = (6.37) Seobservcpentruaputeareconstituiformainiial,pentru fiecarepunctalskeletonului,trebuiemenionatsetulskeletoncruiai aparine: ( )0 01 1 1 10 2 2 01 11 10 0= A SKFigura 6.7. Seturile skeleton al mulimii A din figura 6.4. Dac 2 obiecte au skeletoanele identice, atunci au aceeai form. Detaliilefinesuntconinutenseturileskeletondeordinmic,iar celegrosierenseturiskeletondeordinmare.Deci,oreconstituire aproximativaformeiAsepoatefaceeliminnddetaliilefine,adic seturile skeleton de ordin mic: = ( ) ( )Umax Nk nnnB A S=(6.38) ncazulcontinuu,skeletonulunuidiscestecentrulsu,iar skeletonul unui ptrat este format din diagonalele sale (figura 6.8). 149x Figura 6.8. Skeletoanele unor forme continue cunoscute. Utilizareaskeletonuluimorfologicpentrurecunoatereaformelor esterestricionatdeputernicasasensibilitatelazgomote,deoareceo micschimbareaformeiducelaomodificareputernicaskeletonului su. De exemplu, skeletonul unui disc lipsit de centru se transform dintr-un punct ntr-un cerc (figura 6.9). Figura 6.9. Skeletonul unui disc lipsit de centru su. 6.7.4. Skeletonul generalizat Skeletonulgeneralizat(GSK)estedefinitprinelemente structurantegeneralizate.Fie{ }nE unsetdemulimiavndperioadaT, adic: n kT nE E =+, k n, . Pe baza acestui set generator (constructor) sepoateconstruiunsetdeelementestructurantegeneralizate,pebaza relaiilor:

{ }= == = n t de ordin structuran elementulE B B) (originea t de ordin structuran elementulBn n nn

100 0 (6.39) 150Exemplu: Pentru:T=1ix xx xE =1 ... x x x xx x x xx x x xx x x xBx x xx x xx x xBx xx x B x B = = = = 3 2 1 0 (6.40) Pentruextragereaskeletonuluimorfologictrebuieconstruito hart de distane a obiectului, adic fiecrui punct al obiectului (mulimii) iseataeazordinulelementuluistructurantgeneralizatmaximalcentrat n punctul respectiv: ( )( ) ( ) =A B A siB n , dac A , dac xx Dnxn-10(6.41) Exemplu: x x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x xx x x xx x x xx x x xx x x xA =1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 21 2 3 3 3 3 3 31 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4= D(6.42) Skeletonulgeneralizataluneiformeestemulimeacentrelor elementelor structurante maximale incluse n form, adic: ( ) ( ) ( ) { } y x B B x A GSKyy Dxx D = , |1 ) ( 1 ) ((6.43) 151( )1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 21 2 3 3 3 3 3 31 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4= A GSK=1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 21 2 3 3 3 3 3 31 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4(6.44) Dupcumseobserv,skeletonulgeneralizatconducelaobinerea uneiratedecompresiemaibunedectncazulskeletonuluimorfologic (exempleleprezentatepunnevidenacestfapt:skeletonulmorfologice alctuitdin16punctentimpceskeletonulgeneralizatconinedoar7 puncte). nultimafigurpunctelencercuitereprezintpunctelesuficiente pe baza crora se poate reconstitui forma iniial, exemplificndu-se astfel cskeletonulgeneralizatnuesteminimaldinpunctdevederealrateide compresie. 6.8. Extinderea morfologiei matematice la imagini cu niveluri de gri Prinextindereamorfologieimatematicelaimaginicuniveluride griserealizeaztrecereadelamulimilafunciii invers. Pentru aceasta seconsideromulimeAinclusnmulimeaprilorluiZn.Unelement al acesteia este de forma: = x{) , () , (sup1 11 2 1n n Arafatan) ,nA(patial domeniusnx ,...,x ,x x4 43 4 42 1(6.45) 152 6.7.1. Trecerea de la mulime la funcie Transformarea prin care se realizeaz trecerea de la o mulime A la o funcie f se numete vrf (n englez Top): f A T = ] [ , unde) , ( ) 1 , 1 ( : n n A n A f (6.46) { } A y z y z f = ) , ( max ) ( , unde) 1 , 1 ( n A z (6.47) Pentru n=2 avem o mulime planar: ) , ( ) , (2 1j i x x = (6.48) Dacalegemi=domeniulspaial,iarj=suprafaa,topuls-ar obine prin fixarea) 1 , 1 ( n A zi ar arta ca n figura: x xx x x x x x x x x x xj i Se fixeaz zA(1,n-1) Figura 6.10. Topul unei mulimi. 1536.8.2. Trecerea de la funcie la mulime Transformarea prin care se realizeaz trecerea de la o funcie f la o mulime A se numete umbr: A f U = ] [ , undeZ Z ) , ( ) 1 , 1 ( :1n n A n A fn (6.49) )` = y z fn n A yn A zy z f U ) ( ,) , ( ,) 1 , 1 () , ( ] [ (6.50) Exemplu: x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x xx x x x x xj i umbra unei funcii estesemiinfinit Figura 6.11. Umbra unei funcii. Deoareceumbrauneifunciiesteomulimesemiinfinit,sepoate introduce o limitare, la un nivel : )` = y z fn n A yn A zy z f U ) ( ,) , ( ,) 1 , 1 () , ( ] [ (6.51) ] [ lim ] [ f U f U = (6.52) 154Proprieti: 1.| | | | f f U T = (6.53) 2.| | | | A A T U , (6.54) deoarece umbra unei funcii este o mulime semiinfinit 6.8.3. Lucrul cu funcii Dilatarea unei funcii f cu un structurant (sau funcie structurant) g: | | ] [ ] [ g U f U T g f = (6.55) nmodsimilar,sepoatedefinierodareauneifunciifcuun structurant (sau funcie structurant) g: | | ] [ ] [ g U f U T g f = (6.56) Acestea sunt: ) ()) ( ) ( sup(g supp yy g y x f g f+ = , (6.57) ) ()) ( ) ( inf(g supp yy g y x f g f = (6.58) unde{ } > = ) ( ) ( y g y g supp , reprezint suportul lui g. Exemplu: suppV4:toatepuncteleluiV4dariceledesubV4(pnla-) aparin suportului. 155 x x x x x Figura 6.12. Suportul lui V4. Suportul plat (engl. flat) a funciei g se definete astfel: ) ( , 0 ) ( g supp y y g = ,(6.59) adic nu mai avem punctele de sub V4, n cazul exemplului de mai sus. n acest caz: )) ( ( max) (y x f g fg supp y = (6.60) )) ( ( min) (y x f g fg supp y = (6.61) ncazulncareseutilizeazunstructurantnon-flat,potsapar situaiicndvaloareaminim(min)imaxim(max)nusuntcuprinsen gamadeniveluridegri,adicsuntmaimicidect0saumaimaridectN-1.nacestcaz,pentruniveluridegricuprinsenintervalul[0,N-1], exist dou alternative: 1.se rescaleaz domeniul, pstrndu-se nivelul relativ de gri: 156N-1N-1+k2N-1+k1 0 Figura 6.13. Rescalarea domeniului. 2.se limiteaz valorile negative la 0 i cele mai mari ca N-1 la N-1, n acest fel pierzndu-se informaie. Astfeldeelementestructurantepotfiutilizatelambuntirea contrastului imaginilor. Pentru 2 1f f f : + > + =2 1 22 1 1) 1 ( ) , ( ), , () 1 ( ) , ( ), , () , ( 'f k kf n m f n m ff k kf n m f n m fn m f

, k[0,1] (6.62) tf(t) f1 f2 f pentru 21= kpentru k=0 sau 1 Figura 6.14. mbuntirea contrastului imaginilor. O mbuntire a performanelor se obine lund: g f f o =1 ig f f =2 sau(6.63) g f f =1 ig f f =2(6.64) 157 7. Segmentarea imaginilor Segmentareareprezintocategoriedetehnicideprelucrarecare permitedescompunereauneiscenencomponentelesalesauextragerea din imagini a unor elemente constituente de interes (obiecte, fundal etc) n scopulanalizeilorulterioareieventualalclasificriilor.nurma procesuluidesegmentare,dinimagineseextragregiuniomogenenchise de puncte de frontier (contur), obiecte distincte sau regiuni omogene care satisfac anumite criterii de uniformitate. Metodeledesegmentareaimaginilorsepotclasificandoumari clase: segmentare orientat pe regiuni segmentare orientat pe contururi 7.1. Segmentarea orientat pe regiuni Prindeteciaregiuniloromogenesenelegegrupareapixelilordin imaginencategoriidistinctenfunciedeproprietilelor(deexemplu nivelul de gri), astfel nct s se pun n eviden regiuni caracterizate de o relativ uniformitate. Zonele astfel determinate permit n ultim instan o separareaobiectuluicetrebuieanalizatdefundalulimaginiiide eventuale alte obiecte aflate n scen. Tehniciledesegmentareorientatepedeteciaregiuniloromogene se pot clasifica n: metodebazatepeetichetareagrupurilorconexedepixelicu caracteristici similare; metode de segmentare bazate pe histograma imaginii; tehnici de cretere i fuziune a regiunilor. 158 7.1.1. Etichetarea componentelor Aceastmetoddesegmentareaimaginilorbinareconstn asociereaunuiacelainumr(numitetichet),tuturorpunctelorunui obiect conex. Metodabazatpeetichetareacomponentelorseimplementeaz prinsuccesiunidebaleierinormale(sus-jos,stnga-dreapta)iinversea imaginii de segmentat.1 11 1 12 22 2 2 2 111112 222 2 3 Figura 7.1. Etichetarea componentelor. Lantlnireaunuipunctalunuiobiectcarenuareniciunpunct vecindejaetichetat,iseatribuieonouetichet.Secontinubaleierea pn la ntlnirea unui alt punct, cruia i se atribuie eticheta vecinului (sus, jos,stnga,dreapta,diagonal),dacare.Dacaredoi(saumaimuli) vecinicuetichetediferiteiseatribuieetichetacuvaloareaceamaimic. Deciziacruiobiectiaparinesefacelabaleiereainvers,respectnd algoritmul de mai sus. Baleierea se repet pn nu se mai schimb nimic. Dezavantajul acestei tehnici este c nu asigur obinerea etichetelor nordine(figura7.2),iarnumruldebaleieridepindedeconinutul imaginii. 159 111122222224444 Figura 7.2. Exemplu de rezultat al segmentrii prin etichetarea componentelor. Oalttehnicdeaimplementametodadeetichetarea componentelor se bazeaz pe analiza conexitii pe secvene. Pentruaimplementaaceastmetod,seanalizeazimaginea,linie cu linie i se eticheteaz punctele obiectelor, pe linii. n etapa urmtoare se analizeaz adiacena secvenelor pentru a defini obictele. XX XXX X XX X X X X X XI(2,3), (6,2) pe linia I exist un obiect pe poziia 2, de lungime 3 X II (1,3), (7,2) pe linia II exist un obiect pe poziia 1, de lungime 3III (5,3) pe linia III exist un obiect pe poziia 5, de lungime 3 IV (5,2) pe linia IV exist un obiect pe poziia 5, de lungime 2 Figura 7.3. Exemplu de segmentare prin analiza conexitii pe secvene. 7.1.2. Metoda aborelui cuaternar (quad-tree) Aceastmetod,caresemainumetei"Divideicontopete",se bazeaz pe mprirea recursiv a imaginii n cte 4 regiuni sau sferturi de imaginepnlaobinereaderegiuniuniformesauregiuniformate dintr-unsingurpixel.Acesteimpririisepoateasociaunarbore cuaternar, n care fiecare nod terminal are patru descendeni. 160 Figura 7.4. Principiul segmentrii prin metoda arborelui cuaternar. Nodulprincipalesteconstituitdentreagaimagine,iarnodurile secundarereprezintcteunsfertdeimagine.mprireaimaginiise repetpncndseobinnumaicareuriuniforme(careconinaceeai valoare). Figura 7.5. mprirea imaginii la segmentarea prin metoda arborelui cuaternar. Pentruaimplementasegmentareaprinmetodaarboreluicuaternar, imaginea trebuie s fie ptrat i de dimensiune putere a lui 2. Segmentarea se face prin mprirea succesiv pn se obine zone uniformesaus-aajunslaniveldepixel.ncontinuareseconcateneaz zonele ce conin 1 logic, rezultnd obiectele. 161 XXXXXXX XXXXXXXXXXXX Figura 7.6. mprirea imaginii la segmentarea prin metoda arborelui cuaternar i concatenarea zonelor cu aceeai valoare. 7.2. Segmentarea imaginilor cu niveluri de gri 7.2.1. Segmentarea bazat pe histogram Acestemetodesebazeazpehistogramaimaginilor,adicpe numrul de apariii a nivelurilor de gri. Tehnicile de segmentare bazate pe prguirea (tresholding) histogramelor sunt utile i eficiente atunci cnd exist o separare relativ clar a nivelurilor de gri ntre obiectele analizate. Valorilecaracteristicedeamplitudinecorespunztoareobiectelorsunt aleseastfelnctunintervaldatdeniveluridegrisreprezinteoclas unic de obiecte. Ceamaigeneralmetoddetresholding(multi-nivel)constn alegereaunuinumrNdepraguriT1,T2, TNicreareauneiimaginide etichete v, pe baza imaginii iniiale u, astfel: =N N-T u(i,j) T N,T u(i,j) T ,T u(i,j) T ,j i v13 22 1daca...daca 2 eticheta1 eticheta) , (

etichetadaca(7.1) 162 T1T2T3Numrul de apariii Nivelul de gri Figura 7.7. Segmentarea bazat pe prguirea histogramei. n exemplul prezentat, punctelor cu valori cuprinse ntre [0,T1] li se vaatribuieticheta,punctelorcuvaloricuprinsentre[T1,T2]liseva atribui eticheta etc. Etichetelealocatesunt,deregul,numerentregi.Pragurilede segmentaresealeg,ngeneralcafiindminimelehistogramei,deci niveluriledegricelemaislabreprezentatenimagine.Sepornetedela ideeacobiecteleidenticecuacelainiveldegri,dacsuntbine reprezentate,aucamaceleaivalorimaximenhistogram.Prinurmare, pragurilefiltrrii(Ti,undeireprezintnumrulpragurilorluaten considerare) vor corespunde minimelor histogramei (unde avem un numr mic de pixeli cu valoarea respectiv), care trebuie detectate. Dacacesteminimenusuntbinereliefate,sepoateaplicafieo filtrareaimaginii(nlturareazgomotului,mrireacontrastului),fiese poateconstruiohistogramponderat,caresianconsideraredoar pixelii care se afl pe platouri de intensitate (i nu n regiuni de tranziie). Aceastdistinciepoatefifcutpebazalaplacianului,iarhistograma ponderat sumeaz pentru fiecare pixel cu nivelul de gri, nu L, ci valoarea 1/(1+|L|),undeLestevaloarealaplacianuluicalculatpeovecintatea punctuluirespectiv.Pehistogramaponderatminimeleaparmaibine reliefate, deci pragurile de segmentare se pot alege mai uor. 163Dacpentruimagine(iobiecteleconinutenaceasta)sedispune deinformaiesuplimentar(detipuluneicaracterizristatisticea coninutului imaginii i a modului de degradare a acesteia) este posibil o abordare derivat din teoria deciziilor optimale. n acest caz, pragul optim desegmentarepentruoimaginecudoutipurideobiecte(corpurii fundal)depindedecaracteristicilestatisticealezgomotuluiiale obiectelor, dup formula: f obobobf obn nPPdn nT +=1ln22 (7.2) undenobestenivelulmediudegriaobiectelor,nfestenivelul mediu de gri al fundalului, Pob este suprafaa relativ din imagine ocupat depixeliobiect,iar d2 este variana zgomotului aditiv Gaussian de medie nul, aplicat imaginii. Cadomeniudeaplicaiis-arputeaamintimedicina,deexemplu pentrunumrareanucleelordeunanumittipdintr-oimagine,prin numrarea etichetelor care ne intereseaz. Figura 7.8. Exemplu din medicin, la numrarea nucleelor. Dezavantajulmetodeiestecvorfiluatenconsiderarei zgomotele care au acelai nivel de gri. 164Pentru segmentarea imaginilor binare se poate utiliza i histograma cumulativ, ==K Lii ih H1 sau cu varianta sa normat==10 ii ih H . (7.3) 1 P T N-1Nivel de griNumr de apariii Figura 7.9. Histograma cumulativ. nacestcaz,sestabileteunprocentdepixeli(p)sauunpragde niveldegri(T)croraliseatribuieoanumit etichet (), iar la restul li seatribuieoaltetichet().Metodaseapliccusucceslaimaginicu histograme bimodale. Pentruacestemetodeexistivariantadeprguireadaptiv,adic de a mpri imaginea n zone n care se calculeaz histograma local i se aplicunadinmetodeleanterioare,obinndu-seunrezultatcu caracteristici locale. Exist i metode de segmentare bazate pe potrivirea sau cutarea de mti. Acestea se pot implementa de exemplu utiliznd transformarea Hit or Miss din morfologia matematic sau cu filtre adaptive la care funcia de transfer(funciadeintercorelaiedintreintrareiieire)sepoate transforma n funcie de autocorelaie. Deexemplu,ncazulunuitimbrucutampilapoteisepoate identifica numai tampila i caracteristicile ei: 165timbru cu tampila poteimasca Figura 7.10. Exemplu n cazul cutrii timbrului potal. 7.2.2. Segmentarea bazat pe creterea i fuziunea regiunilor Aplicarea tehnicilor de segmentare pe histogram este condiionat deposibilitateareprezentriidiferitelorclasedeobiectedinimaginepe intervaledeniveluridegridiferitecarenusesuprapun(sausesuprapun parialpeporiunifoartemici).nplusestenecesarcunoaterea numruluidetipurideobiectediferite.nfine,sepresupunecvalorile pragcorespunztoaresepotdeterminacuopreciziecorespunztoare. Chiar n cazurile n care toate aceste condiii enunate sunt ndeplinite, nu sepoategarantacondiiadeconexitatearegiunilorobinutenurma segmentrii.Acestlucruesteevident,atttimpctladouobiectede acelaitip,neconexe,liseatribuieprinsegmentareapehistogramo aceeaietichet,iformeaznimagineadeeticheteoregiuneneconex. O metod care respect toate condiiile impuse prin definiia matematic a segmentrii, este creterea regiunilor. Principiulpecaresebazeazcreterearegiunilorestesimplu:se alegnimaginepunctereprezentativepentrufiecareobiectindividuali categoriedeobiecte,pebazacroraarelocunprocesdeaglomerarea pixelilorveciniacestora,careauaceleaiproprieti(nparticularacelai niveldegri).nurmaacestuiprocesdeaglomeraresauadugarede puncte, se obin zone (sau regiuni) de pixeli cu aceleai caracteristici, deci obiecte individuale. Procesul se oprete n momentul n care fiecare punct 166alimaginiiafostalocatuneiregiuni.Evident,metodaastfeldescrispe scurt, are dou etape eseniale:iniializareasaualegereapunctelordestart(puncteiniiale),numite germeni sau semine (engl. seed); creterea propriu-zis a regiunilor. Numrul final de regiuni rezultate este egal cu numrul de germeni alei iniial pentru cretere, deci alegerea, respectiv granulaia (densitatea) acestor puncte este foarte important. n principiu, este de dorit ca fiecare obiect individual aflat n imagine s fie marcat cu cte un germene. Dac ninteriorulunuiaceluiaiobiectsegsescmaimuligermeni,pentru fiecare dintre ei va fi crescut o regiune. Aceasta face ca obiectul iniial s fiempritartificialprinsegmentarenmaimulteregiuni.Parial,acest neajunssepoatecorectaprintr-oetapceurmeazcreteriiregiunilor,i anume fuziunea regiunilor adiacente ce au proprieti asemntoare. Dac n interiorul unui obiect nu este ales nici un germene, obiectul respectiv va finglobatderegiunilececrescporninddelagermenidinvecintatea spaial.Astfel,respectivulobiectnuaparecaoregiunedistinctieste pierdut, rezultnd o eroare grav de segmentare. Porninddelagermeniialei,regiunilesuntobinuteprintr-un proces de cretere aproape simultan, nceput de la acetia, pn cnd toi pixelii imaginii sunt repartizai unei regiuni (figura 7.11). Figura 7.11. Principiul creterii regiunilor. 167Cvasi-simultaneitateacreteriipoatefirealizatcuunalgoritm serial,prinalocareapixelilorcesuntadiaceni(vecini)zonelordeja segmentate. Aceast alocare trebuie s in seama de criteriul ca regiunile crescute s fie uniforme, adic nivelul de gri al pixelului ce se adaug nu trebuie s difere cu mai mult de un prag prestabilit fa de nivelul de gri al germenuluiregiuniilacaresealoc.nacelaitimp,laosingurtrecere, numruldepuncteceseadauguneiregiuninupoatedepiunnumr prestabilit(condiiancearcsasigurecreterearelativuniformi izotropatuturorregiunilor).Dacadugareadenoipixeliseblocheaz (criteriul de uniformitate nu mai este respectat), diferena maxim admis pentru nivelul de gri poate fi crescut n etape, pn la epuizarea pixelilor imaginii. Avantajelepecareleareoasemeneatehnicdecreterea regiunilorsuntaceleacnumaiestenecesarnicioinformaieprivind coninutulimaginii,regiunilecrescutesuntconexeinuexistpuncte neetichetate(nealocatevreuneiregiuni),iarpoziiafrontierelorpercepute subiectiv n imagine se conserv. Fuziunea regiunilor deja determinate n etapa de cretere, are drept scopreducereanumruluideregiunincareafostmpritiniial imaginea,pentruaevitafenomenuldesupra-segmentare.Regiunile candidate la fuzionare trebuie s fie nvecinate, iar decizia de fuzionare se ia n funcie de pixelii aflai pe frontiera comun. Astfel, punctele slabe (n numrdens)suntpunctelepentrucarediferenanivelurilordegrintre vecinii din regiunile adiacente este foarte mic (mai mic dect un anumit pragfixat).Puncteletari(nnumrdent)suntacelepunctepentrucare diferena nivelurilor de gri ntre vecinii din regiunile adiacente este foarte mare(maimarecaunanumitpragfixat).Cuacestedefiniii,sepoate afirma c regiunile Ri i Rj vor fuziona dac: numruldepuncteslabe(ns)raportatlaperimetrulminim(Pm)este mare:1 >msPn,(7.4) unde Pm=min(Perimetrul(Ri), Perimetrul(Rj)); 168numrul de puncte slabe de pe frontiera comun e mare:2 >Pns, (7.5) unde P este numrul de puncte aflate pe frontiera comun a regiunilor Ri i Rj; numrul de puncte tari de pe frontiera comun este mic: 3