'\t~ " VARIACiÓN

~ 1.1 VARIACiÓN DE UNA FUNCiÓN EN UN INTERVALO

/ Dada la función y = f(x), se llama variacióli de la función e~ un intervalo 1, entre xl y x2' siendo xl < x2' al valor de f(x2) - f(xI)·

Sif(x2) - f(x l ) > Ocon x l < x2' entonces se dice quef(x ) es creciente.

Sif(x2) - f(x l ) < Ocon x l < x2' entonces se dice quef(x ) es decreciente. i

Ejemp(o

La siguiente gráfica muestra la variación de la temperatura en una ciudad, durante un día.

Temperatura (OC)

30 ­ -----_ ... _------_._---~ 25 T .---_.-- •• ~ 20 1

15 L____ _ •

10 -~- -------:-----!- --- --------- ------ ... - ­5 ­

------t- I I I t--t-'~i-t---I I I I I I I

o 1 2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Tiempo (horas)

a. Hallar la temperatura a las 5 de la mañana.

b. Hallar la variación de la temperatura desde las 8 de la mañana hasta las 10 de la mañana.

c. Indicar si la función es creciente o decreciente en el intervalo de las 8 de la mañana a las 10 de la mañana.

d. Encontrar una hora tal que la variación de temperatura entre las 6 de la mañana y dicha hora sea 100 e.

e. Encontrar dos horas tales que la variación de temperatura entre ellas sea - 5°e.

Solución

a. En la gráfica se observa que a las 5 de la mañana la temperatura era de 10°C. Esta temperatura se expresa escribiendo ct5) = 10.

b. La variación de temperatura desde las 8 horas hasta las 10 horas fue de 5°e. Esta variación se expresa escribiendo ctlO) - ct8) ,= 2r - 22° = 5°.

c. En el gráfico se observa que, en el intervalo considerado, la función es creciente, es decir, la variación de la temperatura es positiva.

d. En la gráfica se observa que a las 6 de la mañana la temperatura era de 15°C, y que una variación de temperatura de 10°C se obtiene a las 9 de la mañana pues a dicha hora la temperatura era de 25°C. <t <t

Z Z:3 :3e. La gráfica muestra que entre las 15 horas y las 17 horas la variación fue de - 5°C. ..J ..J¡:::

Es decir, ct17) - ct15) = 15 - 20 = -5. En este intervalo, la función es Z ~ <t <t

decreciente. \11

o @

134

VI

a

:S ta

:a

e,

<1: z :3'c. ¡::: Z <1: V>

@

flb} t--- - ...

x

b

Figura 1

<1: Z

:3 ....1 ¡::: Z <1: V>

©

___ _ _ _ ...::.D=ERIVA.::::DAc:::S:;..: UNIDAD 4

~ 1.2 VARIACiÓN MEDIA DE UNA FUNCi ÓN

/ Se llama variación media de una función y = f(x) en un inter­

valo [a, b], al cociente ~~, definido así:

6.y _ f(b) ~ fea) 6.x b - a

En la definición anterior, 6.y se llama incremento o cambio eny, mientras que ill es el incremento o cambio en x.

Ejemplo

Resolver el siguiente problema.

Un vehículo realiza un recorrido entre dos ciudades distantes entre sí 500 km. A los 100 km del punto de partida, modifica su velocidad, manteniéndola hasta los 450 km del recorrido. Los últimos 50 km, el vehículo disminuye la velocidad.

La siguiente gráfica muestra la variación de la distancia del vehículo a medida que transcurre el tiempo.

Km

500 - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ­:6g~-- '- - --------- - : 330 ______ ________ I

300 - .. , . ,, I

2001 ' ,

100 I.______ ." I ,

o 1 2 j 4 ~ 6 7 8 9 1~ Horas

a. Hallar la variación de la distancia entre las 3 y las 5 horas.

b. Hallar la variación de la distancia entre las 6 y las 10 horas.

c. ¿Varía la distancia con la misma rapidez?

d. Hallar la variación media en los intervalos [3, 5] Y[6, 10].

Solución

a. La variación de la distancia entre las 3 y las 5 horas se puede calcular así:

d(5) - d(3) = 320 - 100 = 230 km

b. Entre las 6 y las 10 horas la variación de la distancia es:

0'(10) - d(6) = 500 - 450 = 50 km

c. La gráfica muestra que la distancia no ha variado con la misma rapidez.

d. Para calcular la variación media en cada intervalo, se utiliza el concepto anotado anteriormente.

• Entre 3 y 5: 6.y = d(5) - 0'(3) = 330 - 100 = 230 = 115 km/h. 6.x 5 - 3 2 2

• Entre 6 y 10: 6.y = d(10) - 0'(6) = 500 - 450 = 2º- = 12,5 km/h . 6.x 10 - 6 4 4

Luego, la variación media depende de la distancia recorrida en un intervalo de tiempo dado.

135

....1

J

La velocidad media v también se llama razón media de cambio.

Velocidad media

Si s(t) corresp011de a la posición de un objeto en el tiempo t al mo­verse sobre una curva, entonces la velocidad media del objeto en el intervalo [t l' t2Jes

v= ~s = s(t2) -s(tl) ~t - tit2

// SU)

/,---- ¡\S~\ S(tl~S(t2)

~s corresponde al cambio de la distancia con respecto al tiempo. ~t

Ejemplos

1. Hallar la velocidad media de un objeto que cae desde una altura cuya posición está dada por la función s(t) = -4P + 20, donde s está medida en metros y t está medido en segundos, en los intervalos [1, 2J; [1, 1,5J Y [1, 1,1]. Comparar los resultados obtenidos y presentar una conclusión sobre el movimiento.

Solución

• La velocidad media del objeto en el intervalo ['1, 2J está dada por:

v= ~s = 5(2) - 5(1) = 4 - 16 = -12 mIs. ~t 2 - 1 1

• La velocidad media del objeto en el intervalo ['1, l,5J está dada por:

v= ~s = 5(1,5) - 5(1) = 11 - 16 = -10 mIs. ~t 1,5 - 1 0,5

• La velocidad media del objeto en el intervalo [1, l,lJ está dada por:

v= ~s = 5(1,1) - 5(1) = 15,16 - 16 = -8,4 mIs. ~t 1,1 - 1 0,1

Como el objeto está cayendo, las velocidades medias en cada intervalo son negativas.

2. La función de posición de una partícula es s(t) = 4 - P. Hallar la razón media de cambio de esta partícula en los intervalos a. [O,lJ b. [1,2J

Solución

a. La razón media de cambio de una partícula corresponde a la velocidad media.

Así v= ~s = 5(1) - 5(0) = 3 - 4 = -1 , ~t 1 - O 1

Luego, la razón media de cambio en el intervalo [O, lJ es v= -1 <{ z :5 ...Jb. v= ~s = 5(2) - 5(1) = O - 3 = -3 ¡::

~t 2 - 1 1 Z <{ VILuego, la razón media de cambio en el intervalo [1, 2J es v= -3 @

136

Grá'

./

~,

<{ z :5 ...J ¡:: Z <{ VI

@

x

-ión

x

Figura 2

media

' edia .

<t<t ZZ ~

-'~ ¡::¡:: ZZ <t<t \11

@ '" @

DERIVADAS

Gráficos de la variación '-! 1.3 VARIACiÓN INSTANTÁNEA DE UNA FUNCiÓN de una función

I

Si se desea conocer la variación de una función en un instante dado, se debe considerar 6x cada vez más pequeño. Por tanto, si se halla el límite de la va­riación media cuando 6t tiende a cero, se obtiene la variación instantánea de una función,

/ Entonces la variación instantánea de una función y = f(x) es:

' ~ Lím f(b) - f(a)L 1m = b~a 6x~O 6x b - a

Ejemplo

Resolver el problema. Al soltar un objeto desde una altura de 100 metros, su altura en el instante t está dada por la expresión f[ tl = -16 t2 + 100, con f( tl medido en metros y ten segundos. Determinar:

a. Cómo varía la altura .en el instante t = 2.

b. La variación instánea en t = 2.

Solución

a. Para saber cómo varia la altura, se pueden considerar distintos intervalos que incluyan a t = 2. Por ejemplo,

• El intervalo [2, 3]: La variación media en dicho intervalo es: 6y = f{bl - f{a) = f(3) - f(2) = -44 - 36 = -80 6x b - a 3 - 2 1 Luego la variación media en el intervalo [3, 2] es -80 mis,

• El intervalo [2, 2,5]: La variación media en dicho intervalo es: 6y = f{bl - f{al = f(2,5l - f(2l = O - 36 = -72 6 x b - a 2,5 - 2 0,5

Luego la variación media en el intervalo [2, 2,5] es -72 mis. En consecuencia, la altura va disminuyendo a medida que el objeto va cayendo.

b. Para conocer la variación instantánea en t = 2, se calcula el límite de la variación media en el intervalo [2, 2 + 6x]. donde 6x es un valor muy pequeño.

Lím 6y = Lím f(b) - f(a) = Lím 6x~O 6x b~a b - a 6x~O

' 6y L':::::::} L1m -= 1m

6x~O 6x 6x~O

' 6 y L' :::::::} L1m -= 1m

6x~O 6x 6x~O

' 6 y L' :::::::} L1m -= 1m

6x~O 6x 6x~O

:::::::} Lím 6y = Lím 6x~O 6x 6x~O

f(2 + 6 x) - f(2) 2 + 6x - 2

-16 (2 + 6x)2 + 100 - 36

6x

-16 (4 + 46x + 6x2) + 100 - 36

6x

-64 - 646x - 166x2 + 64

6x

-166x(4+ 6x) = -64 6x

Luego, la variación instantánea en el momento t = 2 es - 64 mis.

137

Rapidez La rapidez corresponde al valor absoluto de la velocidad, e indica lo rápido que se mueve un objeto, sin importar la dirección.

Velocidad instantánea

/ Si s(t) corresponde a la función de posición de un objeto en movi­miento rectilíneo, la velocidad del objeto en el instante t o veloci­dad instantánea vi' en t, viene dada por:

_ L' .6s _ L ' s(t + .6t) - s(t)v· - 1m - - 1m 1 6x~0 .6t 6x~O .6t .

Ejemplo

Resolver.

La función de posición de una partícula"que se mueve en línea recta está dada por la función s(t) = 2P + 1, s medida en metros y t medido en segundos. Hallar la velocidad instantánea de la partícula para los siguientes instantes de tiempo:

a. t = 1 c. t = 5 b. t = 3 d. t = 10

Luego, representar gráficamente la situación.

Solución

Por la definición de velocidad instantánea v. = Lím s(t + .6t) - s(t) ::::} v. = Lím 2(t + .6t)2 + 1 - (2P + 1)

I 6H0.6t I 6HO .6t

::::} v = Lím 2(P + 2t.6t + .6P) + 1 - 2P - 1 I 6 HO f"..t

= Lím 2P + 4t.6t + 2.6P + 1 - 2P - 1 6 HO .6t

= Lím 4t.6 t + 2.6P = Lím .6ct4t + 2.6 t) = Lím (4t + 2.6 t) = 4t 6H0 .6 t 6t~0.6t 6 HO

A partir del proceso anterior, se determina la función de velocidad instantánea vi'

Así, vi = 4t. Luego, a. vi para el instante t = 1 viene dada por:

vi t = 1 = 4( 1) = 4 mis b. vi para el instante t = 3 viene dada por: • y

10­vi t = 3 = 4(3) = 12 mis

c. vi t = 5 = 4(5) = 20 mis v d. vi t = 10 = 4(10) = 40 mis

La gráfica de s(t) = 2P + 1 Y la recta que representa su velocidad instantánea se muestra a la derecha.

<z S ....1 ¡::: Z

Vl< @ -138'

_______________________________________________________________________________

c. f(xl = x2 - 1; intervalo [1,2]

d. f(t) = 2t + 1; intervalo [-1, O]

e. Desempleo (Ofo )

Intervalo: [1995,1996]

1 í '- - '- -1-' - I--i->--+­

1995 1996 1997 1998 1999 2000

Tiempo

2. Un objeto es lanzado hacia arriba, y su movimiento se describe con la fórmula

s(t) = -16t2 + 100t + 6, s(t) es la posición del cuer­po (en pies), a medida que transcurre el tiempo' t (en segundos),

a. Completar la siguiente tabla.

b. Hallar la velocidad media del objeto en el interva­lo [1,3]. Interpretar este resultado,

c. Hallar la velocidad media del objeto en el interva­lo [5, 6]. Escribir una interpretación de este resul­

oC( oC( tado.z z:5 :5....1 d. Realizar una gráfica que describa el movimiento....1¡:: ¡::Z Z del objeto.oC( @

(\ Práctica 1 1. Hallar la variación media de cada función en el inter­

valo indicado.

a. Intervalo: [1, 3]

b. Intervalo: [2, 4] x

(kilos) 1 2 3 4

c{x) costo 350 700 1.050 1.400

_____--'DER.::.;. ilNmAD 4"" IV;.:::AD=AS

l!iN11R""fTATIVA • ""OI'OS';"A • ARGUMENTATIVA I

3. Calcular el límite indicado para cada función.

a. f(x) = 3x Lím f(2 + 6 x) - f(2) 6 HO 6x

' f(l + 6x) - f(1)b. f(x) = 2x2 + 1 ; L1m

6 HO 6 x

' f(2 + 6 x) - f(2)c. f(x) = (x + 1)2 ; L1m 6 HO 6 x

' f(4 + 6 x) - f(4)d. f(x) = Vx L1m

6 HO 6.x

1 ' f[2 + 6. x) - f(2)e. f(x) = - L1m x 6 HO 6.x

4. Encontrar la velocidad que lleva un objeto, en el ins­tante t dado, cuya fórmula de movimiento f[t) se in­dica en cada caso, f( t) está medida en metros.

a. fU) = 2t2 + 2; t = 1 s b. f( t) = 1 6 - t2; t = 4 s

c. f(t) = v!t+2; t = 2 s

d. fU) = ~ t = ~ s t 2

e. fU) = - 2 t + 1; t = 3 s

5. Una moneda se deja caer desde un edificio. La altura s en el instante t de esa moneda se determina median­te la función s(t) = -16t2 + 500, s se mide en me­tros y t en segundos.

Determinar si la afirmación dada con respecto a la in­formación anterior es correcta o es incorrecta. Justifi­car la respuesta. a. La velocidad media de la moneda en el intervalo

[1,2] es 48 mIs. b. La velocidad instantánea para t = 3 s es 96 mIs.

c. La función velocidad instantánea es vi = -32t.

d. La moneda tarda aproximadamente 5,59 segundos en tocar el suelo.

e. la velocidad de la moneda al tocar el suelo es de -178,88 mIs.

6. HaBar la velocidad instantánea y la d,istancia al origen en metros, de un móvil cuya posición con respecto del origen está dada por 'la func·i·ón f(t) = 3t2 - 5t + 6 en el instante t = 2 segundos. r~oC(

'" @ '" v'139

---

y 5 ­

Figura 3

\. 1.4 RECTA SECANTE

Pendiente de la recta secante

/ " Si P Y Q son dos puntos diferentes sobre la gráfica de f con coor­- denadas P(x,f(x)) y Q(x + /'::,x, f(x + /'::,x)), donde /'::,x es la diferen­

cia entre las abscisas de Q y P, como se indica en la gráfica, entonces, la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es:

f(x + /'::,x) - f(x) f(x + /'::,x) - f(x)m - -----'-----'--- --'--'­PO - x + /'::,x - x - /'::,x

y

f(x+ ili)~ - - - -- - e - - ­

rectaI P(x, f(x)) f(x) r ---- /: secante

¡ I

x

x x+Llx

Ejemplo

Hallar la pendiente de la recta secante a la función f(x) = 4 - x2 en los puntos P(-2, O) Y Q(l, 3). Trazar la gráfica.

Solución f(x + /'::,x) - f(xl 4 -(x+!'::,.x)2 - (4 - ;)

mpo = =>mpo=/'::,x fu

4 - ; - 2x/'::,x - /'::,; - 4 + ; - 2x/'::, x - /'::,x2 /'::,x ( - 2x - /'::,x)-----'------"-- = - 2x - /'::,x

/'::,x /'::,x /'::,x x Luego, mPQ = -2x - /'::,x. Así, la pendiente de la recta secante a la función f(x) en los

puntos P( -2, O) Y Q(l, 3) es mpo = -2(-2) - 3 = 4 - 3 = 1

La gráfica de la función y la recta secante se muestra en la figura 3,

~ 1.5 PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

Como la función f dada en el tema 1.4 es continua, entonces, se puede hacer que Q tienda a P, haciendo que fu tienda a cero.

De esta forma la recta secante a f se convierte en una recta tangente a f.

Por lo tanto, se puede definir la pendiente de la recta tangente a una curva de la siguiente manera:

Calcular por medios / La pendiente de la recta tangente a una curva de ecuación y = f(x) « « z zalgebraicos la pendiente de en un punto de abscisa a es: ::5 « ....la recta secante a ¡::: = z zf(xl = 4 - x2 y que pasa m = Lím ~" = Lím f(x + /'::, x) - f(x) « «

tan 6.X--70 /'::,x 6.X--70 /'::,x '" '" por los puntos P y Q. @ ~

140

x - 6x

- los

cer

ct z :5 ....1 ¡::: Z ct 111

@

Im/estit}at'J Si una recta tangente es vertical, ¿cómo es su pendiente?

ct Z

~ ¡::: z ct 111

@

___ ___ D:;:.:ER:..:.:.::::.:.:;: UNIDAD 4....::: IVADAS

La pendiente de la recta tangente a la curva también se puede encontrar usan­do las siguientes expresiones, que resultan ser equivalentes:

_ L ' f(b) - fea) _ L ' f(x + h) - f(x ) m tan - 1m b y m tan - 1m h

b~a - a h~O

Entonces, la pendiente de la recta tangente corresponde al límite de la pen­diente de la recta secante en un punto dado.

Ejemplos

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = Xl + 1 en el punto dado. Trazar la gráfica de la función y las rectas tangentes.

a. (1,2) b. (O, 1)

Solución

Se calcula la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = Xl + 1 en un punto arbitra rio.

~x + h) - ~x) _ L' (x + h)3 + 1 -(Xl + 1) mtan = Lím h ::::} mtan - 1m h

h~O h~O

_ L' Xl + 3x2h + 3xh2 + h3 + 1 - ; - 1 ::::} mtan - h~O h

_ L' 3X2h + 3xh2 + h3

::::} mtan - h~O h

_ L' h(3X2 + 3xh + h2) - 3X2

::::} mtan - h~O h ­

a. Luego, la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = Xl + 1 en el punto de abscisa x = 1, es mta n = 3(1)2 = 3, La ecuación de la recta tangente a la curva es y - Y, = m(x - x,) ::::} Y - 2 = 3(x - 1)

::::} Y - 2 = 3x - 3 ::::} Y= 3x - 1

b. La pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = Xl + len el punto de abscisa x = 3(0)2 = O.0, es mtan =

La ecuación de la recta tangente a la curva es Y - Y, = m(x - x,) ::::} Y - 1 = O(x - O)

::::}y=l

La gráfica de la función f(x) = Xl + 1 Y las rectas Y = 3x - 1 Y Y = 1 se observa a continuación,

y=3x- 1

X -I---j - ------+--------+--- r ­, I

2 3

--2

- -3

141

-3

f(xl = Xl + x

y

:1 3 -

x .,..., l I

Figura 4

(\) Práctica 2

2. Dada la función f(x) = X3 + x. a. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (x" y,).

b. Determinar la ecuación de la tangente a la curva fen el punto (x" y,).

c. Hallar la pendiente en el punto (1, 2) Y la ecuación de la recta tangente en el pu nto (1, 2).

d. Trazar la gráfica de la función f(x) = X3 + x y de la ecuación de la recta tangente a la curva f

3. " ~ Solución _ L' f(x + h) - f(x) _ L' (x + h)3 + (x + h) - [X3 + x] <l.

a. - 1m ~ - 1mmtan mtanh~O h h~O h

_ L' X3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 + x + h - X3 - x -. ~ m - 1mtan h~O h

_ L' 3x2h + 3xh2 + h3 + h _ L' h(3x2 + 3xh + h2 + 1) 'h ~ - 1m - 1m ', ! mtan ~o h ~o h

4. e, ~ m = Lím 3x2 + 3xh + h2 + 1 = 3x2 + 1 tan h~O

Luego, la pendiente de la recta tangente en el punto (x" Y,) es mtan = 3x; + 1

b. La ecuación de la tangente a la curva en el punto (x" Y,) es

y - Y, = m(x - x,) ~ y - Y, = (3x? + l)(x - x,)

~ y - Y, = (3x? + 1) x - (3x? + 1)x,

~ y = (3x? + 1) x - (3x; + 1) x, + Y,

Luego la pendiente es m = 3x? + 1 Yel intercepto es Y, - (3x? + 1)x,

c. Entonces la pendiente en el punto es:

m = 3(1)2 + 1 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4

Y la ecuación de la recta tangentes es:

Y= 4x - 2

d. La gráfica de la función f(x) = X3 + x y la recta tangente se muestran en la figura 4.

1. Hallar la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos indicados en cada curva.

a. f(x) = 2 - x2 pro, 2) , 0(3, -7)

b. f(x) = 3x2 + 1 P(1,4) 0(2, 13)

c, f(x) = 2X3 prO, O) 0(-2, - 16)

d. f(x) = x2 - 3x pro, O) 0(1, -2)

e. f(x) = X3 ~ x P(l, O) 0(2,6)

l. IIiTEJIPRETATlVA • PROPOSlTIVA • I\ROUMEIITATlVA i

2. Estimar el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x, y).

a. b. :r (x, y) 5 - 5­

4 ­

3 1 2 1 ~

~ ,_~_~l\----<"' ¡=X. ,

- 1 ­

4!; 6\ ¡ ' :¡:- 1

VI

@ -142

c. d.

tn el

x

3 . Sea f(xl = x2 + 4. a. Completar la siguiente tabla.

x 2 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001

((xl - ((11 x~l

b. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tan­gente a f(xl en el pu nto x = 1?

4. Completar el siguiente cuadro.

en la

Pendiente de la recta Función tangente en un punto

. . .' arbitrario

f(xl = 6xl - 3x

~(xl = 4xl - 2x + 3

f(xl = 3xl + 4x + 1

((xl = 20 - 1

f(xl = '\0- 2

f(xl 1

=-­x+l

f(xl 3

= -xl 5

f[xl = -4x2 ­ 5

5. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado.

:; 1gente a

a. f(xl = 2x - 0 P( _ 2, 41

b. f(xl = l P 2, +( ) ~

« ~ c. ((xl = x P(1,11z z :5 ~ d. f(xl =v2x'='1; P(l, 1).....

x ¡:: z ~ 1 « ~ e. f(xl = ¡X3 P(2, 1)'" @

______---..:;O,;;,;, IV;,,;:""" UNIDAD 4ER;;..:,ADAS

6. Hallar la ecuación de la recta tangente a cada curva y que pasa por el punto señalado en la gráfica. Luego, dibujar esa recta tangente. a. y d. y

4 - f (x) = )+4x+ l 5] 3 - 4 - ~

x-4 -3 -2 - 1 3 4 x-,-1\' 2

-2 - f (x)=2-) -3 4 ' - 2 ­

-4 j -3 ­

b. y e. y 6 - 6 ­

S f (X)= -)+4 5 ­

4 ­3 _ P( I .3) 3. P[4. 3)

2 ­ ~l~l 1 2 3 <1 x

xI -2 -, I 1 2 3 4 5 6

-1­

-2 i -2 ­

c. y f . 6 - .

5 - f[x) =~ 4 ­

~ : -----­~P[2. 2) . x , .~

-2 - ~ 1 _ 1 2 6

-2 -

4 - f [x)= (x- 1)3 2 ­

x

-4

-6

, -8

7. La curva indica las temperaturas máximas diarias de una ciudad en una semana.

rem peratura ["C) 30': ~

a. Determinar la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos que corresponden al lunes y al sábado. Luego, escribir un párrafo que describa el significado de este resultado.

b. Esti mar el valor de la pend iente de la recta ta ngen­te que pasa por el punto cuya abscisa es sábado. Luego, escribir una interpretación del resultado con respecto a la temperatura de la ciudad.

c. ¿Enquédialatemperaturaaumentóconmásrapidez?

d. ¿En qué dia la temperatura fue máxima? e. ¿En qué día la rapidez de la temperatura varió 5°

aproximadamente?

143~ --------------------------------------------------------------------------

~ 1.6 DERIVADA DE UNA FUNCiÓN

f(x)

x

a

Figura 5

si x-ta, entonces ' f(x) - f(a)

m = L1m tan x-¡a X - a

La expresión anterior se l/amo la "forma alternativa de lo derivada':

/ La derivada de una función f(x), notada como f(x) se define como:

f(x) = Lím f(x + h) - f(x) h~O h

si el límite existe, El símbolo f(x) se lee "efe prima de x",

Si en f(x), se cambia h por 6.x, se obtiene la expresión Lím f(x + fu) - f(x) , 6x~O fu

que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en un punto de abscisa a.

De la misma manera, si x = a + h, entonces h = x - a y se dice que h tiende a cero sólo si x tiende a a.

Realizando esta sustitución se tiene que la expresión

Lím f(x + h) - f(x) es equivalente a Lím f(x) - f(a) 6x~O h x~a x - a

Luego, si se cambia x por b, se obtiene la expresión Lím f(bb) - f(a) , que b~a - a

corresponde a la variación instantánea de una función y = f(x) . La equivalencia anterior se muestra en la figura 5.

Ejemplos

1. Hallar la derivada de la función f(x) = 2x2 - 5x usando la definición.

Solución f(x) = 2; - 5x:=:} ('(x) = Lím f(x + h) - f(x) = Lím 2(x + h)2 - 5(x + h) - (2x2 - :

h~O h h~O h

= Lím 2(x2 + 2xh + h2) - 5x - 5h - 2; + 5x h~O h

' 2; + 4xh + 2h2 - 5x - 5h - 2x2 + 5x L' 4xh + 2h2 - 5h= L1m = 1m ----- ­h~O h h~O h

= Lím h(4x + 2h - 5) = 4x - 5 h~O h

Luego, la derivada de la función f(x) = 2x2 - 5x es ('(x) = 4x - 5,

2. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función f(x) = ~x - l. en el1) 2 3

punto (2'"3'

Solución l(x + 6.x) - 1.. - [lx - 2) m = Lí m f(x + 6.x) - f(x) :=:} m = Lí m 2 3 2 3

tan 6x~O 6.x tan 6x~O 6.x 1 1 2 1 2 1 -x + -6.x - - - -x + - -6.x 2 2 3 2 3 2 « « z 2

= Lím 6.x = Lím 6.;< = 2' ~ S -' -'6x~O 6x~O ¡:: ~ z :z « « '" ~,Luego, la pendiente de la recta tangente a f(x) es m = l, iQ)

VI

=

144 2

tn un

lende

. que

- (2x2 - :

%1

oC( oC( z z S S-' -' ¡::~ z oC( oC(VI VI @ @

_____----=-== IVc:..::= UNIDAD 4­DE"R AOA5

~ 1.7 DERIVADA DE UNA FUNCiÓN EN UN PUNTO

/ La derivada de una función f en un punto a, denotada f(a), está dada por

' f(a + h) - f(a). l" .f()a = L, 1m h SI este Imlte eXiste. h~O

La expresión f(a) existe, significa que fes derivable en el punto a, que fes di­ferenciable en a o que f tiene una derivada en a.

Ejemplo

Hallar la derivada de cada función f(x) en el punto dado.

a. f[x) = 6; - 5 en el punto [-1, 1).

b. ([x) = ~ en el punto de abscisa a = 1.

Solución a. f[x) = 6x2 - 5 ~ ('(a) = lím f[a + h) - f[a) = lím 6(-1 + h)2 - 5 - (1)

h~O h h~O h

= lím 6(1 - 2h + h2) - 6 = lím 6 - 12h + 6h2 - 6 = lím -12h + 6h2

h~O h h~O h h~O h

= lím h(-12 + 6h) = -12 h~O h

Luego, la derivada de la función ({x) = 6; - 5 en el punto (-1, 1) es f'( -1) = -12.

b. f(x) = ~~ ('(a) = lím f(a + h) - f(a) = lím y 2(1 + h) - 1 - 1 h~O h h~O h

... / (Y1 + 2h - 1)(Y1 + 2h + 1). v 2 + 2h - 1 - 1 = ~~ h = ~~ h(Y1 + 2h + '1)

1 + 2h - 1 2h 2

= ~~ h(Y1 + 2h + 1) = ~~ h(Y1 + 2h + 1) = 2 = 1

Luego, la derivada de la función ({x) = \I2x"=1 en el punto de abscisa

a= 1 esf'(l) = 1.

Derivada de una función en un intervalo

/ Una función f es derivable en un intervalo abierto (a, b), si es derivable en todo número e de (a, b).

De manera similar se define una función derivable en intervalos de la forma (a, 00), (-00, b) 0(-00,00).

/ Una función f es derivable en un intervalo cerrado [a, b], si es de­rivable en el intervalo abierto (a, b) y si existen los siguientes límites.

Um f(a + h) - f(a) Um f(b + h) - f(b)h~O- h y h~O- h

145

y '1

, ----- :~~

a x

Figura 6

Figura 7

y

f(a)-'~'- ---;. --'2

x

Figura 8

A los límites laterales anotados anteriormente se les llama respectivamente la derivada por la derecha de f en a y la derivada por la izquierda de f en b.

La derivabilidad en un intervalo de la forma [a, b), (a, b], [a, (0) o (-00, bJ se de­fine de igual manera usando el límite lateral en el extremo correspondiente a la parte cerrada del intervalo.

Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a a, entonces, f(a) exis­te si y sólo si la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda existen en a y además son iguales.

Por ejemplo, las funciones cuyas gráficas se muestran en las figuras 6, 7 y 8, tienen derivada por la derecha y derivada por la izquierda en a. Sin embar­go, como las pendientes son distintas, f'(a) no existe.

En general, si la gráfica de f tiene una esquina en (a, f(a)), entonces, f no es derivable en a.

Regla práctica para hallar la derivada de una funció n

Para hallar la derivada de una función, es conveniente utilizar una regla prác­tica que se explica en los siguientes pasos:

Paso 1. Se halla la función f(x + h)

Paso 2. Se resta f(x): f(x + h) - f(x)

Paso 3. Se halla el cociente f(x + h) - f(x)

Paso 4. Se halla el límite del cociente cuando h-70

Um f (x + h) - f(x) = f'(x) h....:¡O h

Ejemp(o

Hallar la derivada de la función f(x) = 2Vx usando la regla práctica.

Solución

Paso 1. f(x + h) = 2~ Paso 2. f(x + h) - f(x) = 2~ - 2Vx

f(x + h) - f(x) 2~ - 2VxPaso 3.

h h 2~-2Vx

Paso 4. Lím ----- ­h....:¡O h

(2~ - 2Vx)(2~ + 2Vx)

= }¡!.!:b h(2~ + 2Vx) <1: <z z :5 <

4h 1 ...J ¡::: = z zI= }¡!.!:b h(2~ + 2Vx) = Vx <<1: \1\ ...~ @ ~

146

_____---'D~ I AD~ UNIDAD 4ER~ ASV~

[i!ITRPRETATlVA • PROPQSITIVA • "GUMEHTA~Práctica 3 V3 + h + 1 - 41. Hallar f'(x) para cada función. = Lím-----­c· h-,¡O h

a a. f[x) = 4x2 h. f[x) = x2 - x - 3 . V4+h-42 32 =Llm----­b. f(x) = -x - 1 l. f(x) = 2 h-,¡O h3 l+x

t5 - V4+h - 4 V4+h + 4 =n c. f(x) = 3x2 + 5x - 1 J. f(x) = Vx + x = }!!:b h . V4+h + 4

d. f(x) = 5x2 - 3x + 2 k. f(x) = 2x4 + x 4 + h - 41 3

e. f(x) =-- 1. f(x) =­ = ~ h(V4+h + 4)'1' - x+2 4x

. h 1f. f[x) = Vh m. f(x) = x2 + 7x + 8 = Llm -~==---es h-,¡O h(V4+h + 4) 6

g. f(x) = 3.0 + 5x + 2 n. f(x) = 9x2 - 5 Luego, f'[3) = J..­

2. Hallar la derivada de cada función en el punto indicado. 6

c. f(x) =.0 en P(l, 1)a. f(x) = 3x2 en P(l, 3) -(:-

b. f(x) = -2; + x en prO, O) f(1) = Lím f(l + h) - f(l) !7-,¡O h

c. f(x) = 5x2 + J..- en P(l, 3) = Lím (1 + h)3 - f(1)2 d. f[x) = 4x2 - 1 en P(2, 15) h-,¡O h

. 1 + h3 - 1 e. f(x) = Vx=1 en P(5, 2) = L1m

h-,¡O h f. f(x) = 5x + 3 en prO, 3) h3 ,

= Llm - = O g. f(x) = -

1 h-,¡O hen P[-3, -flx Luego, f'(1) = O 3. Indicar cuál fue el error cometido al calcular la derivada de

4. Determinar cuáles de las siguientes funciones son de­cada función en el punto indicado. Justificar la respuesta. rivables en el punto P indicado. Explicar por qué sona. f(x) = 3x2 + 2 en prO, 2) derivables o por qué no son derivables.

f'(2) = Lím f(2 + h) - f(2) h-,¡O h

= Lím 3(2 + h)2 + 2 - 14 h-,¡O h

= Lím 3[4 + 4h + h2) + 2 - 14

h-,¡O h

= Lí m 1 2 + 12 h + 3h2 - 1 2

h-,¡O h y 4 ­

2 = Lím 12h + 3h

ph-,¡O h 2-­

1 ­-2 - 1 1 2 3 x _ t -+--. _ I~= Lím h(12 + 3h) = 12 luego f'(2) = 12

< h-,¡O h '

- 1 -•

z :3 b. f(x) = Vx+1 en P(3, 2) ¡::

f(3) = Lím f(3 + h) - f(3)~ '" @ h-,¡O h

....1

DERIVABILlDAD y CONTINUIDAD

~2.1 DERIVABILlDAD IMPLICA CONTINU IDAD

/ Si una función f es derivable o diferenciable, en x = a, entonces la función f es continua en dicho punto.

La propiedad anterior se puede justificar de la siguiente manera:

Para que una función f(x) sea continua en x = a, se tiene que cumplir:

Um f(x) = f(a) o bien Um [f(x) - f(a)] = O x~a x~a

Entonces,

Um [f(x) - f(a)] = Um f(x) - f(a) . (x - a) Multiplicando por x - a, x "* a x~a x~a X - a x-a

Um [f(x) - f(a)] = Um f(x) - f(a) . Um (x - a) Propiedades de los límites x~a x~a X - a x~a

Um[f(x) - f(a)] = f'(x) . Um (x - a) Definición de derivada x~a x~a

Um[f(x) -f(a)] = f'(x)' O = O Calculando el límite x~a

Luego, si una función es derivable, entonces, es continua.

Por ejemplo, a partir de la gráfica de la función y = f(x), mostrada a continua" ción, se puede concluir lo siguiente: .

v

J'~fI" ,, ---- ..x

m n p

• En el punto x = m, la función es continua y derivable, pues se puede cal­cular la pendiente de la tangente en dicho punto.

• En el punto x = n, la función presenta un salto, es decir, no es continua, y por consiguiente, no existe la tangente en dicho punto. Luego, no se puede calcular la pendiente de la tangente. Por consiguiente la función no es derivable.

• En el punto x = p, la función es continua, pero no es derivable, pues no existe una única tangente en dicho punto, luego, no se puede calcular la pendiente de la tangente.

<C < zEn conclusión, si una función es derivable, entonces, es continua; de lo cual ~ < :::j

se puede concluir que si una función no es continua, entonces, no es deriva- ~ }:: Zz <Cble. Sin embargo, no se puede afirmar que si una función es continua, enton- :;!i ..,

ces, es derivable. @ ;,

150

.,

_____----'O:..;:;-'... AOAS ERIV.;...;:"-" UNIDAD 4

x *a

inua­

e cal­

nua,y Duede no es

es no . ar la

« o cual z

:5 eriva- ¡:: -'

z «::nton­ \11

@

Eiemp(o

Probar que cada función es continua en el punto dado V' luego, trazar su gráfica. Marcar el punto donde la función es continua.

a. f(x) = 2x - 9 en el punto [~, -8]

b. g(x) = 3x2 - 5x + 2 en el punto (1, O)

c. k(x) = X3 + x en el punto de abscisa x = O.

Solución

a. Se halla la derivada de la función f(x) = 2x - 9 en el punto x = l.¡ y 23 ­

2 ­ f(+ + h) - f(+)r(a) = Lím f(a + h) - f(a) =? r(l) = LímX

-t-t---+~--t-+ I ... h~O h 2 h~O h - , -, , 2 3 4 5

-2

-3 2C + h) - 9 - [2(+) -9] -4

=? r(l) = Lím h -5 2 h~O

-6

-7 =? r(l) = Lím 1 + 2h - 9 - 1 + 9

2 h~O h

-10 f ,( 1) - L 2h=? - - 1m-' 2 h~O h

Figura 1 =? r(l) = Lím. 2 = 22 h~O

Luego, f(x) = 2x - 9 es derivable en x = l, entonces es continua en x = l. 2 2

La figura 1 representa gráficamente la función f(x) = 2x - 9,

b, g'(a) = Lím g(a + h) - g(a) h~O h

'(1) L' g(l + h) - g(l)=?g =h~ h

'(1) L' 3(1 + h)2 - 5(1 + h) + 2 - [3(1)2 - 5(1) + 2]

[.g(x)= 3,(2 - 5x+ 2 =? 9 = h~ h

'(1) L' 3(1+2h + h2)-5-5h+2 - 3+5-2 =? 9 = h~ h

'(1) L' 3 + 6h + 3h2 - 5 - 5h + 2 - 3 + 5 - 2

=? 9 = 1m h~O h(1, O) x- ,

-2 -, , 2 3 4 '(1) L' 6h + 3h2

- 5h-, ­ =? 9 = 1m h h~O

-2« ­z :5 -3 ­ '() L' h(3h+1) L' h=? 9 1 = 1m = 1m 3 + 1 = 1-' ¡:: h~O h h~O z «

Figura 2\11 Luego, g(x) = 3x2 - 5x + 2 es derivable en x = 1, entonces, es continua en x = 1 @

(figura 2). 151

y

4 -1 k(x)=XJ+x 3 ­

2 ­

1 ­~(O,O) X

I j I - t-i­

_2 ¡ _1 ( -2 ­

-3 ­

-4 ­

Figura 3

y

: 1 3 - ./2- // 1- /

X, ~I 1- ,-2 -1 -1 --2 ­-3 ­

Figura 4

c. k'(a) = Lím k(a + h) - k(a) ~ k'(O) = Lím k(O + h) - k(O) h-tO h h-tO h

~ k'(O) = Lím (O + h)3 + (O + h) - [03 + O] h-tO h

3 ~ k'(O) = Lím h + h - O h-tO h

2 ~ k'(O) = Lím h(h + 1) = Lím h2 + 1 = 1 h-tO h h-tO

Luego, k(x) = ~ + x es derivable en x = O, entonces, es continua en x = O(figura 3).

~2.2 CONTINUIDAD NO IMPLICA DERIVABILlDAD

/ Si una función f es continua en x = a, entonces la función no siem­pre es derivable o diferenciable en dicho punto.

Para justificar la afirmación anterior, basta con mostrar que existen funcio­nes continuas que no son derivables.

Ejemplo

Mostrar que las siguientes funciones continuas no son derivables. Luego, trazar la gráfica.

a. f(x) = Ix - 11 en el punto x = 1 b. g(x) = Vx en el punto x = O

Solución

a. Se calculan los limites laterales.

Lím f(x) - f(l) = Lím Ix - 11-11 - 11 = Lím k=.J = Lím (x - 1) (x -1) = -1x-tl - X - 1 x-tl - X - 1 x-tl- X - 1 x-tl ­

' f(x) - f( 1) L' Ix - 1i - 11 - 11 L' Ix - 11 L' (x - 1) 1Y L1m = 1m = 1m ~ = 1m =

X-tj+ X - 1 X-tj+ x - 1 x-tl + X - 1 X-tj+ (x - 1)

Como los límites laterales no son iguales, entonces, la función fno es derivable en x = 1.

En la gráfica de la figura 4 se muestra que la función es continua. Luego, aunque f(x) es continua en x = 1, no es derivable en x = 1.

l · f(x) - ~O) _ L' x3 - O _ L' 1 _

b, L1m - 1m x - 1m - - 00

X-tO X - O X-tO X-tO 1­x3

yLuego la función 9 no es derivable en x = O. 4 ­

3 ­La gráfica de la función g[xl = Vx muestra que la 2­función en el punto [O, ol tiene una recta tangente

Xvertical, o una recta tangente horizontal, lo que I t ; /;1 «-2 -1significa que la pendiente no está definida. -3 -1 - Z <

:5 Z -2 - <...J

¡:: = -3 - z « Z

'" <:!-4 ­@ .r

:::.­

152

x

_ _____...: ERIVc..:;::..::: UNIDAD 4O:..=:c:.: AOfú

Funciones no con t inuas y no der ivables

\y

Hasta el momento se han estudiado funciones derivables o diferenciales que :~ son continuas y funciones continuas que no siempre son derivables.

3 ­ En las funciones no continuas o discontinuas, se debe tener en cuenta el inter­2 valo en el cual se desea comprobar su derivabílidad, para afirmar si son o no 1 derivables. x

• Funciones discontinuas en un intervalo cerrado. - 1 ­

-2 - Por ejemplo, la función f definida mediante la expresión: -:; 3).

2Figura 5 f(x) = {x + 1 s~ x < O -x2 +4slx ;:, 0

y es discontinua en el punto x = O. Luego, esta función es n o derivable en 5 ­ cualquier intervalo que contenga a x = O, por ejemplo, en el intervalo [ - 2, 2]. 4 ­ La gráfica de la función f(x) se muestra aliado izquierdo en la figura 5_

io-3 -

• Funciones discontinuas en un intervalo abierto .

Por ejemplo, la función g definida mediante la expresión: x,(J,

3 -3 -2

- - 1 g(x) = {X2 - 2x si x > 1

x - 3x2 + 3x si x ~ 1la - -2

no es continua ni derivable en el intervalo (O, 2), pues es discontinua en el Figura 6 punto x = 1.

La gráfica de la función g(x) se muestra aliado izquierdo en la figura 6. y

• Funciones discontinuas en algún punto de la recta real. 2

) 5 ­

4 ­ Por ejemplo, la función h(x ) definida h(x) =--t:-- es discontinua en x = - 2 x - 4

Yx = 2. Luego, no es derivable en los intervalos que contienen a x = - 2 o a 3 ­

2 ­

x = 2 o a ambos; aSÍ, se puede decir que h no es continua en los interva­x los (-3, O); (1, 3) o (-3, 3), entre otros.

-3 -~r?\-'. ~ ,1= 1. - -1 La gráfica de la función h(x) se muestra aliado izquierdo en la figura 7. _. - 2

Ejemplo Figura 7

Indicar si las siguientes funciones son derivables en el intervalo dado. Trazar las gráficas de cada función.

si x;:, 2 en [1, colI a. f(x) = _1_ en [-2, O] c. h(x) = 1¡[x ­x+l si x < 2

2x X2 + xb. g(x) = -- en (O, 2) d. j(x) = -- en [-1,1]

x-l x el: Solución Z el: S Z

-' el: • a. f(x) = _1_ es discontinua en el punto x = -1, que pertenece al intervalo ~

-' -' x + l

Z ~ el: Z

@ el: [-2, O]. Luego, no es derivable en dicho intervalo. '" Vl

~

153

b. g(x) = ~ es discontinua en el punto x = 1, que pertenece al intervalo (O, 2).x-l

Luego, no es derivable en dicho intervalo.

c. La función h(x) presenta una discontinuidad en el punto x = 2, luego, en dicho intervalo no es derivable.

d. La función j(x) presenta una discontinuidad en el punto x = O, luego, en dicho intervalo no es derivable.

Las gráficas de las funciones anteriores se presentan a continuación.

a. c. H, y 3 ­

((x) h(x):\-3: - 2 ~ I ,,

1 ~ .. I 1--, X

' .x

-3 - 2 -3 -2~¡- 1- -" '1

: -2 ­, ; -3 ­, :1 ,

b. y , ~ d. 4 y - 4 : "-.... 31 - 3 ~( j{X)

"'1--'---------- ­xI- /í I¡

x -3 -2 -1

-1

-2

~ -1­

-3 - 2

-2 í -3 t

g(x) f

le ¡>¡fERPRElATIVA e PRüPOsrrlVA • AAGUMEtlTATlVA I(O Práctica 4 1. Analizar la continuidad y la derivabilidad de cada función en los puntos P, q Y r. Escribir un párrafo que describa el

comportamiento de la función.

a. c. ¡Y y

, _ IP ~ ,~ q~; x ~~ I q ~ \

b. d. y I Y

:I ~ el: Z

I X - 1­ j :5 q p----~q x

....1 ¡:: z

I el: 1.1\

< z <­= Z

f''5­1 ­@ ~

154

@--------------------------------------------------------------------­

•

2. Demostra r que cad a función es cont inua en el punto 21. indicado.

a. f(xl = 2x2 + 1, en el punto (1,31 o b. f(xl = 5x + 4, en el punto (O, 41

2c. f(xl = Xl + x , en el punto (1, 21 o 2d. f(xl = 8x + x , en el punto (O, ol

3. Para cada una de las funciones trazar su gráfica y, lue­go, determinar si es conti nua y derivable en el punto indicado.

si x > O x=Oa. f(xl = {~x2 si x :-::; O;

si x < 1b. x=lf(xl = Ux - 1 si x ;:: 1;

si x < 2 c. f(xl = { - 2x + 3 x=2

3x - 7 si x ;:: 2;

si x < O d. f(x) = { -xi x=o

W si x ;:: O;

si x > O ¡~- si x = x=o si x < O;

si x > 1

e. f(x) = 1 O

f. f(xl = {~ x=lsi x:-::; 1;

¡: si x > O x=lg. f(x) =

si x :-::; O;

& riba el x+ - si x =1= O¡ 1 h. f(xl = 5 x x=O

si x = O;

4 Ha llar dos valores a y b tales que la función sea deri­vable en x = 1.

si x < 1 f(xl = {t+ bx si x ;:: 1

5. Demostrar que las siguientes funciones continuas no son derivables en el pu nto dado.

a. f(xl = Ix + 41; en x = -4

X si x > 1 ct b. f(xl =? . 1 1{z x- SI x :-::; ; en x = :3 ~ f(xl = { - x + 8 si x < 3 ;:!i c. 2x - l six ;:: 3;enx=3

_______DERIV.:..::= UNIDAD 4:.::c:..; ADAS

si x > 2d. f (x) = {~x_-15

si x:-::; 2: en x = 2

5 - x2 si x < 1 e. f(xl = { 3x + 1 si x ;:: 1; en x = 1

6. Deterrn inar el valor de verdad de cada afirmación.

a. La función f(xl = 1 no es derivable en el intervalo x

[-1,1].

X si x ;:: 3 b. La función f(xl = { 2x - 3 si x < 3

es derivable en el intervalo [1, 4].

c. La función f(xl = _x_ no es derivable en el in­x-3

tervalo [2, 4] ni en el intervalo [4, 5].

.. {6 si x> 2d. La funclon f(xl = 5 4' ~ 2 x - SI x """

es derivable en el intervalo [O, 3].

3X si x < 1 e. La f unción f(xl = { 2x si x;:: 1

no es continua ni derivable en el intervalo (O, 2l.

Xl + 1f. La función f(xl = no es derivable en el in-

x+l tervalo [5,6].

7. Dado si x ;:: 2f(xl = {(2 - xJ2

~ si x < 2

a. Trazar la gráfica de esta función .

b. Determinar si f(xl es continua en el punto x = 1.

· f(2 + L':,xl - f(21. . c. HaII ar eI va Ior de L1m SI eXiste.

6x~O- L':,x

· f(2 + L':,xl - f(2l . .d. HaII ar eI va Ior de L1m A SI eXiste.

6X~O+ u X

e. Determinar si f(xl es derivable en el punto x = 2.

f. Determinar si f(xl es derivable en el intervalo [O, 3].

8. Sea f(xl = 1x2 - 91 a. Determinar si f(xl es una función continua.

b. Encontrar los puntos donde f(xl no es derivable.

c. Indicar un intervalo en el cua l f (xl sea derivable.

La función derivada ele una función se flama simplemente la derivada de una función,

La notación de deriflada

La notación

~ [f(xl]dx

es llamada notación de Leibniz,

~2.3 FUNCiÓN DERIVADA

La función derivada de una función y = ((x) es una nueva función, que aso­cia a cada punto a del dominio de (su derivada ('(a), siempre y cuando esta exista. Así,

V La (u11ción derivada de la (unción y = f(x) es

v' = f(x) = Lím f(x + h) - f(x) J h-10 h

Se usan diversos símbolos para las derivadas, siendo el más común ('(x).

El símbolo y' se usa debido a que y = ((x).

El símbolo Dx [[(x)] indica la derivada de ((x) con respecto a x.

El símbolo CZ y el símbolo ! [[(x)] son usados indistintamente para indicar

la derivada de y con respecto a x, y la derivada de ((x) con respecto a x.

Ejempfo

Calcular la derivada de cada función en los puntos dados.

a, f(x) = -5x2 + 2 en los puntos (-2, -18) Y e, !). b, Y = _1 en los puntos de abscisas xl = -1 Y x = .l2h 3

Solución 2

a. f(x) = -5x2 + 2 ~ ('[x) = Lím -5(x + h)2 + 2 -(-5x + 2) h-10 h

P() L' - 5(x2 + 2xh + h2) + 2 + 5x2 - 2)~ l' X = 1m --'---------"----------"­

h-10 h

'() L' -5x2 - 10xh - 5h2 + 2 + 5x2 - 2) L' -10xh - 5h2 ~ f X = 1m = 1m ---- ­

h-10 h h-10 h

h(-lOx - 5h) ~ fíx) = Lím = Lím (-lOx - 5h) = -lOx

h-10 h h-10

Luego f1-2) = -10(-2) = -10(+) = -5= 20 Y r(+) x - x - h -h

1 2(x + h) 2x 2x(x + h) 2x(x + h) b. y = - ~ y' = Lím = Lím = Lím h2x h-10 h h-10 h h-10

'L' -h L' -1 ~ Y = 1m = 1m ­

h-10 2xh(x + h) h-10 2x(x + h) 2x2

z ~ ~ ...J <9 ...J ­Luego, y'( -1) = ¡::1 - ~ - ; y y.( ~ ) ~ - 2 (l ), z

~

2 5~ VI

©

156

_ ___ _ ---' IV:.:::AO::..=A.SO:.:::ER.::..: UNIDAD 4

~ 2.4 DERIVADAS SUCESIVAS_________ _

La función der ivada y = f'(x) puede a su vez tener derivada (f')'(x), notada f'(x) , que se lee f segunda de x o derivada segunda de f(x),

la Derivando la derivada segunda se obtiene la derivada tercera o f tercera de x, notada f"(x), y así sucesivamente hasta la derivada enésima de x, notada f (n) (x),

Por ejemplo, las derivadas sucesivas de la función f(x) = x2 + 4x - 5, son f{x} =J+ 4x- 5

2 ­ f'(x) = 2x + 4

x f'(x) = Lím [2(x + h ) + 4] - (2x + 4) h~O h

f'(x) = Lím 2x + 2h + 4 - 2x - 4 h~O h

icar f'(x) = Lím 2,h = Lím 2 = 2 h~O 1. h~O

f "() L~ 2 - 2x = lm-­h~O h-8 -.

-9 - f"(x) = Lím 10 = Lím O = O h~O 1. h~O

y y así sucesivamente, hasta f(n)(x) = O\;/11. ~ 3

r{x}=2x+4 : ~/ Las gráficas de la función y sus derivadas sucesivas se muestran en la figura 8 alIado izquierdo,

4 ~ En este caso, las derivadas sucesivas llegan a cero, pero no siempre las deri­vadas sucesivas de una función llegan a cero, como se muestra en el siguien­, ­ te ejemplo.

x. , 1, / -" -5 -4 -;3 ,-2 _,_ Ejemplo -2 ­

Hallar las derivadas sucesivas de la función f(xl = Vx. Solución

y 4 - ~ r f1) L' f(x + h) - f(xl L' Vx+h - Vxr'{x}=2

If()x = V x =} \x = 1m = 1m

3 - h~O h h~O h

I (Vx+h - Vx](Vx+h + Vx) x + h - x, ­ = Lím ~ ¡---:- ~ r - Lím ~ ¡---:- ~ r x h~O h( V x + h + V xl h~O h( V x + h + V xl - 5 -4 -3 -2 -, -, ­ h 1 1

-2 -= k~o h(Vx+h + Vx) = E~o (Vx+h + Vx) = 2 Vx

Figura 8 1 1

-2Vx+h-----,=x=+=h - Nx 2Vx - 2 x - h I f"() L' f'(x + h) - f'(x) L' = = - ~

« «z z:5 ....1 ~ ~ ~ Z z« «Vl Vl

© ©

x 1m 1m Lím r r- ­h~O h h~O h h~O h(2 V x)(2V x + h)

(Vx - Vx+h)(Vx + Vx+h) x - (x + h) - Lím ~ r ~ ¡---:- ~ r ~ ¡---:- - Lím ~ r ~ ¡---:- ~ r ~ ¡---: ­- h~O h V x(2 V x + h)( V x + V x + h) - h~O h V x (2 V x + h)( V x + V x + h)

157

, -h , -1 = Llm = Llm - ­h~O h~2'V:;-¡¡;)(Vx + v:;-¡¡;) h~O (2VxV:;-¡¡;)(Vx + v:;-¡¡;)

-1

= 4xVx

Al observar la segunda derivada, se concluye que las demás derivadas nunca se anularán, luego, las derivadas sucesivas nunca llegan a cero.

Las gráficas de las funciones f(xl = Vx, f(x) = ." 1r y flxl = ~ 1r se observan a continuación.

y 4 ­

3 ­

2 ­

,- -­x

-I-t-t-----I

-4 -3 -2 -,-, ­

-2 ­

-3 ­

-4 ­

<t.J Práctica 5

1. Encontrar dy en cada función. dx

a. f(x) = 2;(- + 3 h. f(xl = 2.0

b. f(x) = 4x + 1 i. f (xl = - 3x2 + 6

c. f(xl = 20 + 4;(- J. f(xl = 4x - 1

d. f(xl = 7;(- - x k. f(xl = 2 + 6x

e. f(xl = - 4;(- + 1 1. f(xl = Vx+3 f. f(xl =-

5 m. f(xl = 2 + x 3x 3

g. f(xl = -Vx

n. f(xl = 6 + 3x 2 4

2. Hallar..!!...- [f(xl]. Luego, calcular esta derivada en el pun­dx

to indicado.

a. f(xl = Vx en x = 2

b. f(xl = x + 6 en x = 1 1

c. f(xl = 2x2 + 2' en x = -1

d. f(xl = 60 en x = 1 3

e. f(xl = --x + 4 en x = -2 5

f. f(xl = - 0 en x = 1

g. f(xl = 10 - x2 en x = 2

h. f(x) = 40 - 2x en x = 1 158

2 v x 4x V x

y y 5 - 3 ­

. 2 ­4 ­

, ­2 - ___________+__ . --= t=

x I -3 -2 -, / ,

1 - -, ­I~I___ X

-2 ­-3 -2 - 1

-1 - -3

-2 ­ -4 1 -3 - -5

[i!~;;;;;~;~VA C' PROPO~nvA • ARGU~~MVAJ ­7;(- + 5

1. f(xl = en x = -3 2

1 J. f(x) =- en x = 1

x 1

k. f(xl = - 2 en x = 1 x

3. Determinar si la derivada f1x} de cada función es la correcta o no. Justifi car la respuesta.

a. f(xl = 2x f(xl = 2

b. f(xl = - 3x2 + 1 f(xl = -6x

c. f(xl = 5.x3 + 2x f(x) = 15x2 + 2x

d. f(x) = 4;(- + 3 f'(x) = 4x + 1 ." ¡----: X + 2 e. f(x) = V x + 2 f(x) = - ­

2

f. f(x) = 20 f '(x) = a.x3 1

g. f(xl = 3;(- - - f(xl = 6x 5

1 1h. f(x) = - + x f1xl =­

5 5

4. Hallar flx) en cada función.

a. f(xl = 2x + 3 e. f(xl = -15x + 4 1 3 « z

<: zb. f(xl = -2x2 + - f. f(xl = -3x2 + - :5 <: 2 5 2 -' ­

~ zc. f (xl = x + 1 g. f(xl = -1 + 3x « z

Vl3 2 @

5 ~.

d. f(xl = Vx + 1 h. f(xl = lOx - 9

j

_____---'D=E.R=IV=AO=AS UNIDAD 4

l. f (xl = 3X3 - 1 m. f(xl = x4 m. f(xl = \,Irl p. f( xl = Vx + 3

hl J. f(xl =

5x2 + 6x 2

n. f(xl 2 = --x2 + 1 3

n. f(xl = x2 + 3 2

q. f(xl = 1+ 2

- 1

k. f(xl

1. f(xl

= -X3 + 4x2

= 2(x + 2]2

o. f(xl

p. f(xl

= 13x2 + 3

= 16x - 1 o. f(xl = ,0 - l

4 r. f( xl = 6x2 + 4

3

5. Indicar en cuá les de las sigu ientes funciones las deri­va das sucesivas llega n a cero.

6. Determ inar el valor de verd ad de cada afirmación. Jus­tificar la respu esta .

a. f(xl = 4x + 3 g. f(xl = -8x + 6 a. Para la función f(xl = 4x2

da calculada en 1 es 8. - 1 la segunda deriva ­

b. f(xl = lx2 2

h. f(xl = 4 + x 3 b. Los derivad os de f(xl = 3,0 + 3 son f,(xl = 9x2 ;

x c.

d.

{(xl

f(xl

=

=

3x2 + 6

5,0 - x

i. f(xl

J. f(xl

=

=

- 2x2 + 3

-4X3 - 1 c.

f"(xl = 18x; f"'(x) = 18; f4(x) = O.

Las derivadas sucesi vas de la función f(xl =

ca llegan a cero. 4

J.- nu n-x

e.

f.

f(xl

f(xl

= -2x2 + 4

7 =­

x

k.

l.

f (xl

f (xl

=

=

7x + 3 3

x2

d.

e.

En la func ión ({x) = ~, la tercera derivada es ~. 3 3

A la función f(x) = 4x + 1 sola mente se le pued e calcular la primera derivada.

. es la

f(xl = Xl + x y = 4x + 2

oc{ oc{3 z z

S :32 .... -' ¡:: ¡:: z z oc{ oc{ \/\ \/\

Figura 9@ @

~2 . 5 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL

Recta tangente a una curva

/ Dada la (unción y = f(x), la ecuación de la recta tangente en un punto x = a es:

y - fea) = f(a)(x - a)

donde fea) corresponde a la (unción calculada en el punto x = a, . y, f'(a) es la derivada de la (unción en el punto x = a.

Eiemp(o

Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(xl = ,0 + x en el punto P( -1, - 2).

Solución

Se halla la pendiente de la recta tangente, que corresponde a la derivada de la función calculada en x = -1.

_ L' {{x + hl - f(xl _ L' [(x + h)3 + (x + hl - ,0 - x] mtan - h~O h ~ mtan - h~O h

m = Lím ,0 + 3x2h + 3xh2 + h3 + x + h - ,0 - x = Lím 3x2h + 3xh2 + h3 + h x ta n h-')O h h-')O h

m = Lím 3x2 + 3xh + h2 + 1 = 3x2 + 1. Luego m (-1, -2) = 3(_1)2 + 1 = 4tan tanh-')O

Entonces, la ecuación de la recta tangente es, y + 2 = 4(x + 1) o y = 4x + 2.

Las gráficas de la función f(xl = ,0 + x y la recta tangente y = 4x + 2 en el punto (-1, -21 se muestran en la figura 9.

159

Recta normal a una curva

Una recta normal a una curva en un punto dado es una recta perpendicular a esa curva en dicho punto. La pendiente de la recta tangente a una curva y la recta normal a dicha curva en un punto dado son entre sí opuestas a inversas .

./ Dada la fún ción y = f(x) , la ecuación de la recta normal a f en un punto x = a es:

1Y - f(a) = -- (x - a) . f(a)

dOl1de f(a) corresponde a la pendiente de la recta tangente a la cur­va en el punto x = a.

E¡emplos

Hallar la ecuación de la recta normal a la función f(xl = x2 - 2x - 1 en el punto (2, -1).

Solución

La ecuación de la recta tangente de la función f(xl = x2 - 2x - 1 es y = 2x - 5. Luego la pendiente de la tangente es mtan = 2. Por consiguiente, la ecuación de la recta normal es

1 ( 1 . 1Y + 1 = -- x - 2, es deCIr, y = --x, o x + 2y = O. 2 2

La gráfica de la función f(xl = x2 - 2x - 1 Yde la recta y = _lx se muestran en la figura 10. 2

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función f(xl = .il + 4x en el punto (O, O).

Solución

Se calcula mtan , es decir, la derivada de f(xl en x = O.

m = f(ol = Lím f(xl - f(ol tan X--70 X - O

f(ol = Lím .il + 4x - O = Lím x2 + 4 = 4 X--70 X X--70

Luego, mtan = 4; por consiguiente, la ecuación de la recta tangente es y = 4x y la

ecuación de la recta normal es y = _lx. 4

4 ­La gráfica de la función f(xl = .il + 4x, y= 4x

de la recta tangente y = 4x, y la recta

normal y = _lx se muestran en la gráfica.4 'L.

x

1 y=--x <l:4 Z

~ ...J ¡:: Z

- -4 <l: V'

(l}

160

ra \ la

el

, - 5.

::ran en

.L 4x

~ = 4

: 4x y la

x

J 4

1 =- - x 4

______--=-=RIV = -"' UNIDAD 4OE :..:.:.ADAS

3. ¿En qué puntos la tangente a la función f(x) = 10 - 1.xl - 2x es paralela al eje x? 3 2

Solución

La pendiente de cualquier recta paralela al eje x es cero. Por lo tanto, se tienen que encontrar los puntos que satisfacen f1xl = O. La derivada de f(xl es f'(xl = .xl - x - 2. Resolviendo la ecuación;' - x - 2 = O, se obtienen los valores

xl = 2 Y x2 = -1 que determinan los puntos.

p(2, - ~o) yo( -1, ~). donde las rectas tangentes a f(xl son paralelas al eje x.

La gráfica de la función f(xl y las rectas paralelas se muestran a continuación .

f(x)=Vx+3

x

! • INT!RPRflA1IVA • PROPO\IlIVA • ARGUMEHWlVA ~ Práctica 6 1. Trazar la recta normal a cada curva en el punto (x, yl. 2. Hallar la ecuación de la recta tangente a cada fu nción,

a. d. en el punto indicado.

a. f(xl = 3x2 + 2 en P( -1 , 5)r 'Y)Ix, y) b. f(x) = 20 + 4 en P( l , 6)

c. f(xl = Vx + 3 en P(l , 4)

2d. f(xl = x2 + - en p( O, ~ )

5

b. e. 1 e. f(x) = x2 - - en p(+ O)

4' /- ­f. f(x) = 10 + 2 en p( -1, ~)\/) { "j 3

3. Determinar si la ecuación de la recta tan gente a cad a(x, y)

curva en el punto indicado es co rrecta . Justificar la respuesta.

a. b. y. y c. f s ·

; 4 ·'~ F"-'

<l (x, y) 1 • fl'1.1) x , - j~ 1

<l 2 3 ,¡ -4 ·3 2 - ] ,- I 2 3 4...J -Z

...J ,/

¡:: ,íÍZ - 1 'f1X) = \'~ <l -3 ­

'" @

161

'

c. V e.,- f(>:)= 2>:3 5 -" v· 6x-4ffx)=XS 4 ­

) ­

it 3 ­'- ' ~ : f!P(1 ' 2)

-4 -) -2 -, ;- .), 2 3 4 >: -4 -3 ·2 - 1 / 1 2 3 4 x c, , , ' ;r- ' ,,- ~

1'(- 1. - 1) 1 - /¡ ­2V= 3x + 2 -2 - I¿ _j

-3 - J.3­

d. r{x)=~lX+ 1J 2 s- Y {V=-l+4, f.

4S_I_ I' V=.4X- l 'I, y:: r l'(l, 4)

3 - ­\ 2 ­ 2- / \

\ 1

, , ~ .. , ~ , . X ' _ '_ ' _ 0 - " , , \ ,X

-4 - J - 2 - 1 I 1 ¡ 3 4 -4 -3 -2 -1 \ 2 J 1

-1, - 1 ' 1'(0, -1) -21­-1­ :j: Ib:J=-h4:-1

4. Completar el siguiente cuadro.

Función Punto Ecuación de- la recta normal en P

f(x) = 4x2 + 6 (1, 10)

f(x) = - 3l + 2x+ 1 (O, 1)

f(xl = aXl - 10 (1, -2)

f (xl = Y x + 2 (7 , 3)

If(xl = Y x + x (1, 11

f(xl = 4,il + 3x - 1 (O, - 1)

I 1 -If (xl = Sx2 + V X (1 , ~ ) Determinar el valor de los coefici en tes a, b y e en la fun ción

((xl = al + bx + c

teniendo en cuenta que la gráfica de ((xl pasa por los puntos M(3 , 21 Y N(l , 01 y que la recta tangente él la curva y = f(xl en el punto de absc isa x = 1 tiene pen ­diente m= - l.

Si f(xl = kX3 + 6l - kx - 1 8

a. Encontrar el valor de ksabiendo que las reCtas tan ­gentes a la cu rva en los puntos P[ 1, f ( 1)) Y Q( - 2, f( - 2)) son paralelas.

b. Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes a ((xl que pasan por el pun to Py por el pu nto Q

Encontrar la ecuación de las rectas tangentes a la cur ­va determ inada por la función f(xl = Xl - 2x y que son paralelas a la recta y = x.

Determinar la ecuación de una recta norma l a la cur­va dada por f(xl = 2x2 Yque es para lela a la recta y = x.

Para f(xl = x ~ determinar. 1 +

a. Las coordenadas de los puntos en las que la recta tangen te forma un ángu lo de 45° con la pa rte po­sitiva del eje x.

b. La ecuación de la recta tangente en el pu nto en

que x = \13. c. La ecuación de la recta normal a f(xl en x = \13.

10. Dada f(xl = x2 - 2x + 5 Y una recta secante a esta función que pasa por los puntos cuyas abscisas son Xl = 3 Y x2 = 1. ¿Es posible que la ecuación de la rec­ta tangente a f(xl, para lela a esa recta secante, tenga como ecuaci ón y = - 2x + 1? ¿Por qué?

Si f(xl = ax2 + bx + c, determinar a, by c si:

• f[xl pasa por 105 pun tos (- 5, O) Y (6, 1 J. • En el punto (- 4, 1) la recta tangente a la curva •

tiene como ecuación y - 2x - 9 = O.

¡: ~ 'L I"

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z ~«

« ..J ¡::: Z ,« Ir.

©

162

L