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ÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICE

ÍNDICE DE CUADROS 5 ÍNDICE DE FIGURAS 9

ÍNDICE DE FÓRMULAS 13

RESUMEN 15

INTRODUCCIÓN 16

CAP. I : INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA 17

1.1. INTRODUCCIÓN 17

1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA 19

1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA 20

CAP. I I : INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS 22

2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES 22

2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES 30

CAP. I I I : LEVANTAMIENTOS DE CAMPO 42


3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO 43

3.3. L IBRETAS DE CAMPO 44

3.4. CLASES DE ANOTACIONES 45

3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES 47

3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO 50

CAP. IV: CÁLCULOS DE GABINETE 52


4.2. CONSIDERACIONES BÁSICAS 52 4.3. CALCULADORAS ELECTRÓNICAS DE BOLSILLO 53

4.4. UNIDADES DE MEDIDA 54

4.5. UNIDADES EN TOPOGRAFÍA 56

4.6. S ISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S I ) 59

4.7. CIFRAS SIGNIFICATIVAS 59

4.8. PROBLEMAS RELACIONADOS CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS 60

4.9. REDONDEO DE NÚMEROS 61

4.10. COMPROBACIONES 62

4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS 63

CAP. V: ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE CAMPO 64


5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS 65

5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS 66

4.4. T IPOS DE ERRORES 67

5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES 68

5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES 70 5.7. CÁLCULO DE ERRORES 70


CAP. VI : MEDIDA DE DISTANCIAS 83


2

6.2. CINTAS 83

6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN 83

6.4. CALIBRACIÓN 84

6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA 85

6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE 85

6.7. CORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTA 87

6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS 92

6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS INCLINADAS 93


CAP. VII : NIVELACIÓN COMPUESTA 96


7.2. ALGUNAS DEFINICIONES 96

7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN 99

7.4. CLASES DE NIVELACIÓN 100

7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN 101

7.6. ORDENES DE PRECISIÓN 103

7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN 104


CAP. VII I : NIVELACIÓN DE CIRCUITO CERRADO 115


8.2. COMPROBACIÓN DE COTAS 116

8.3. CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CIERRE 116


CAP. IX: MEDIDA Y TRAZADO DE PERFILES 122

9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES. 122


CAP. X: MEDICIONES ANGULARES 128

10.1. INTRODUCCIÓN 128 10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO 128

10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES 129

10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA 131

10.5. AZIMUT 132

10.6. RUMBOS 133

10.7. COMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOS 134

10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES 135

10.9. CALCULO DE RUMBOS 136


CAP. XI : POLIGONACIÓN 142


11.2.TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO RADIACIÓN 144

11.3. COORDENADAS RECTANGULARES 146

11.4. LATITUDES Y ALEJAMIENTOS 147

11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL 149


CAP. XII : LEVANTAMIENTO DE PREDIOS IRREGULARES 175

3


12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO 175

12.3.TÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSON 176

12.4.TÉCNICA DE COORDENADAS 178


CAP. XII I : LEVANTAMIENTO DE PREDIOS LIGADOS 189


13.2.CÁLCULO TIPO DE UN PREDIO LIGADO 189

13.3.PROBLEMAS PROPUESTOS 199

CAP. XIV: FRACCIONAMIENTO POR LÍNEA 207

14.2.LOS DATOS DE PARTIDA 207

14.6.PROBLEMAS PROPUESTOS 223

CAP. XV. FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS 232


15.2. LOS DATOS DE PARTIDA 232

15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS 233

15.4. CÁLCULOS DEL FRA CCIONA MI ENTO CON DAT OS DEL SUBPREDI O 1 233


CAP. XVI: TRIANGULACIÓN 250


16.2. S ISTEMAS DE TRIANGULACIÓN 250

16.3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN 253

16.4. RECONOCIMIENTO 254

16.5. MEDICIONES Y CORRECCIONES DE LAS BASES 255

16.6. AJUSTE DE ÁNGULOS 256

16.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS 257


CAP. XVII : TRILATERACIÓN 272


17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES 272

17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN 273

17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS 274


CAP. XVII I : LEVANTAMIENTOS COMBINADOS 292


18.2. CÁLCULO DEL SISTEMA COMBINADO 292


CAP. XIX: CURVAS DE SUPERFICIE 337


19.2. TIPOS DE CURVAS HORIZONTALES 337

19.3. ELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLE 339

19.4. FORMULAS DE LA CURVA SIMPLE 341

19.5. SOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLE 343


4

CAP. XX: CURVAS DE NIVEL 347


20.2. CURVAS DE NIVEL 347

20.3. TIPOS DE CURVA DE NIVEL 348

20.4. MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL 349

20.5. DESARROLLO DE LA MARCACION DE UNA CURVA DE NIVEL 351


CAP. XXI : LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOS 356

21.1. GENERALIDADES 356

21.2. CARACTERÍSTICAS DEL LEVANTAMIENTO HIDROGRÁFICO 357

21.3. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS Y DE COSTAS 359

21.4. EQUIPO PARA HIDROGRAFÍA 360

21.5. OPERACIONES DE SONDEO 362


CAP. XXI I : CURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICAS 367


22.2. S ISTEMA A 367

22.3. S ISTEMA B 369

22.4. S ISTEMA C 370

22.5. S ISTEMA D 371

22.6. INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL 371


CAP. XXI I I : LEVANTAMIENTO PARA OBRAS Y CONSTRUCCIONES 375


23.2. ALINEAMIENTO 376

23.3. RASANTE 376

23.4. TRAZO DE EDIFICIOS 378

23.5. ALCANTARILLAS 380

23.6. LAS CALLES 381 23.7. S ISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍAS 381

FUENTES DE INFORMACIÓN 383

5

ÍÍÍÍNDICE DE CUADROSNDICE DE CUADROSNDICE DE CUADROSNDICE DE CUADROS

NÚMERO Y DENO MINA CIÓN DE CUA DRO S PÁG.

CUADR O N° 4.1. C IFRAS S IGN IF ICA TIVAS 60

CUADR O N° 5.1. EJEMPLO DE CÁ LC UL O ERRO RES 73

CUADR O N° 5.2. OTRO EJEMPL O DE CÁL CUL O ERR ORES 74

CUADR O N° 5.3. CÁLCUL O DE MEDIDAS P ONDERADAS 78

CUADR O 7.1. REG ISTR O DE CAM PO PARA LA NI VE LACIÓN DI FERE NCI AL 106

CUADR O 7.2. CÁLCUL O DE LAS E LEVACIONES 107

CUADR O 7.3. CÁLCUL O DEL DESNI VE L 108

CUADR O 7.4. CÁLCUL O DE LA COMPROB ACI ÓN DEL DESNI VEL 108

CUADR O 8.1. REG ISTR O DE UNA N IVE LACI ÓN DE C IRC UIT O C ERRA DO 115

CUADR O 8.2. CÁLCUL O DE COT AS DE UN CIR CU ITO CERRADO 115

CUADR O 8.3. CÁLCUL O DE COT AS CORRE GIDAS 116

CUADR O N° 9.1. REG ISTR O DE CAMPO DE UN PERF IL L ONGI TUDINAL 123

CUADR O N° 9.2. CÁLCUL O DE DESNIV EL DE L PERF IL L ONGI TUDINAL 124

CUADR O N° 9.3. COMPROBACI ÓN DEL DESNI VEL 124

CUADR O N° 10.1. COMP ARACI ÓN E NT RE AZ IM UTE S Y RUM BOS 135

CUADR O N° 11.1. DATOS DE CA MPO 150

CUADR O N° 11.2. CORRE CCI ÓN D E ÁNGU LOS I NTERNOS 150

CUADR O N° 11.3. RUMB OS DE L A P OLIGON AL 154

CUADR O N° 11.4. CÁLCU LO DE ALEJA MIEN TOS Y LAT IT UDES 154

CUADR O N° 11.5. CORRE CCI ÓN D E ALEJAMIENT OS Y LAT ITU DES 159

CUADR O N° 11.6. TABU LA CIÓ N CO MPLETA 160

CUADR O N° 11.7. CÁLCU LO DE COORDENA DAS 160

CUADR O N° 11.8. TABU LA CIÓ N VERTICAL 162

CUADR O N° 11.9. CÁLCU LO DE L ÁREA DEL PREDIO 163

CUADR O N° 12.1. DATOS DE LA PAR TE REGU LAR 180

CUADR O N° 12.2. DATOS DE LA PAR TE IRRE GULAR 180


CUADR O N° 12.4. COMPENSA CIÓN DE ALE JA MIE NTOS Y L AT IT UDES 181

CUADR O N° 12.5. CÁLCU LO DE LAS M EDI DAS C ORREG IDAS 182

CUADR O N° 12.6. CÁLCU LO DE ABSC ISAS Y OR DE NADAS 183

CUADR O N° 12.7. CÁLCU LO DE L ÁREA DEL PREDIO IRREGULAR 184

CUADR O N° 12.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL PR ED IO I RREGU LAR 184

CUADR O N° 13.1. DATOS DE LA P OLIGO NAL DE A POY O 190

CUADR O N° 13.2. DATOS DE LA L IG AS 191


CUADR O N° 13.4. CORRE CCI ONES DE A LEJ AM IENT OS Y LA TI TU DES 192

CUADR O N° 13.5. CÁLCU LO DE M ED IDAS C ORREG IDAS 193

CUADR O N° 13.6. CÁLCU LO DE ALEJA MIEN TOS Y LAT IT UDES DE LI GAS 194

CUADR O N° 13.7. CÁLCU LO DE LA CORRECC IÓN DE L IGAS 194

CUADR O N° 13.8. CÁLCU LO DE LAS COOR DE NAD AS DE L IGA S 194

CUADR O N° 13.9. CÁLCU LO DE LAS COOR DE NAD AS DE PREDIO 197

CUADR O N° 13.10. CÁLCUL O DE A LEJAM IENT OS Y LAT ITUDES DE L PREDI O 198

6

CUADR O N° 13.11. CÁLCUL O DE RUMBO S Y D IST ANC IAS DEL PREDIO 198

CUADR O N° 13.12. CÁLCUL O DE L A SUPERFI C IE DEL PRED IO 198

CUADR O N° 14.1. DATOS DE PART IDA D EL FRACCIO NAMIEN TO 207

CUADR O N° 14.2. CÁL CUL O DE ALE JA MIE NTOS Y LA TIT UD ES DEL

FRA CCI ONAMIEN TO 209

CUADR O N° 14.3. TABULAC IÓN DE RUM B OS Y D IST AN CIAS DEL


CUADR O N° 14.4. TAB ULACIÓN DE CO ORD ENADA S RELA TIVAS DEL


CUADR O N° 14.5. MATR IZ VERTICAL DE CO ORDENADAS RE LA TIVAS DEL


CUADR O N° 14.6. CÁLC ULO DE D OBLE S ÁREAS Y ÁRE A D EL


CUADR O N° 14.7. MEDID AS DEL S UB PREDIO 1 216

CUADR O N° 14.8. CÁLCU LO DE ALEJAM IENTO S Y LA T ITUDES D EL S UBPRE DIO

1 217

CUADR O N° 14.9. COM PR OBACI ÓN ALE JA MIE NTO S Y LAT IT UDES D EL

SUBPRE DI O 1 218

CUADR O N° 14.10. LEY DE SENOS PARA E L SUBPR ED IO 1 219

CUADR O N° 14.11. COM PR OBACI ÓN DE A LEJ AM IENT OS Y L AT IT UDES DEL

SUBPRE DI O 1 221

CUADR O N° 14.12. CÁLCUL O DE L ÁREA DE L SUBPRED IO 1 222

CUADR O N° 14.13. CÁLCUL O DE L ÁREA DE L SUBPRED IO 2 223

CUADR O N° 14.14. RESUMEN DE ÁREAS DEL PRE DIO 223

CUADR O N° 15.1. DATOS DE PART IDA D EL FRACCIO NAMIEN TO POR P UNT OS 232

CUADR O N° 15.2. CÁL CUL O DE ALE JA MIE NTOS Y LA TIT UD ES DEL

FRA CCI ONAMIEN TO POR PUNT OS 234

CUADR O N° 15.3. COMPROB ACI ÓN DE ALEJAM IENTO S Y LA TIT UD ES DEL


CUADR O N° 15.4. CÁLCULO DE L ÁRE A DEL SU BPRE DIO 1 D EL


CUADR O N° 15.5. CÁLCU LO DE LA DIST ANC IA Y RUM B O DE L A L ÍNEA DEL


CUADR O N° 15.6. COM PR OBACI ÓN DE LA L ÍNEA DE FRA CCI ONAMIEN TO POR

PUNT OS 239

CUADR O N° 15.7. CÁLCU LO DE L ÁREA DEL FRA CCI ONAM IENTO PO R PUNT OS 240

CUADR O N° 15.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL FR ACCIONAM IENT O P OR PU NT OS 240

CUADR O N° 16.1. NORM AS DE EXA CTITUD Y LA S ESP EC IF ICACIONES

GENE RA LES DE LA TR IA NGUL ACIÓN 253

CUADR O N° 16.2. DATOS DE LA F IGURA DE PUNT O CENTRAL 257

CUADR O N° 16.3. CON VERSI ÓN A DECIM ALES DE GRADO 258

CUADR O N° 16.4. ORDENACI ÓN DE L OS ÁN GUL OS PARES E IM PARES 259

CUADR O N° 16.5. CÁL CU LO DE L OS SEN OS DE L OS ÁNGUL OS PARES E

IMP ARES 259

CUADR O N° 16.6. CÁL CUL O DE LAS PA RTES PROP OR CION ALES DE L OS

SENOS DE L OS ÁN GUL OS PARES E I MPARES 260

CUADR O N° 16.7. CÁLCUL O DE LOS ÁNG UL OS PARES E IMP ARES

CORR EG IDOS 261

CUADR O N° 16.8. CÁLCU LO DE DISTANCIAS DE LA TR IANGULACIÓN 262

7

CUADR O N° 16.9. CÁL CU LO DE RUM BOS Y D ISTANCIAS DE LA

TRIANGULACIÓ N 263

CUADR O N° 16.10. CÁLCUL O DE A LEJ AM IE NT OS Y D IS TA NCIAS DE LA

TRIANGULACIÓ N 263

CUADR O N° 16.11. CÁLCUL O DE L ÁREA DE L A TR IANGU LA CI ÓN 263

CUADR O N° 17.1. MEDIDAS DEL SISTEMA T RILATE RAD O 274

CUADR O N° 17.2. COMPRO BACIÓN DE LOS Á NGU LOS I NTERN OS 276

CUADR O N° 17.3. CÁL CULO DE L OS ÁNGU LOS INTER NOS D EL SEG UND O

TRIÁNGULO 277

CUADR O N° 17.4. CÁLC ULO DE L OS ÁNG UL O S INTER NOS DEL TERCER

TRIÁNGULO 277

CUADR O N° 17.5. CÁLC UL O D E L OS ÁNGUL OS INTERN OS DEL CUAR TO

TRIÁNGULO 277

CUADR O N° 17.6. CÁLCULO DE L OS ÁNGUL OS INTER NOS DE L QUI NT O

TRIÁNGULO 278

CUADR O N° 17.7. CÁL CUL O DE L OS ÁNG UL OS I NT ERNOS DE L SEX TO

TRIÁNGULO 278

CUADR O N° 17.8. CÁL CUL O DE LOS ÁNGU LOS INTERNOS DE L SÉP TI MO

TRIÁNGULO 278

CUADR O N° 17.9. CÁL CU LO DE L OS ÁNGULO S INTER NOS DE L ÚLT IM O

TRIÁNGULO 279

CUADR O N° 17.10. ÁNGUL OS IN TERNOS DEL S IST EM A T RILA TERA DO 279

CUADR O N° 17.11. ÁNGU LOS INTER NOS C ORREG IDO S DEL S ISTEM A

TRIL ATE RA DO 280

CUADR O N° 17.12. RUMBO S Y D IST ANC IAS DE L SI STEMA TR ILATER AD O 281

CUADR O N° 17.13. ALEJAM IE NT OS Y LAT ITUDES DEL S IS TE MA T R ILA TERA DO 281

CUADR O N° 17.14. ALEJAM IE NTO S Y L AT ITUDES COMPENS AD OS DEL

S IST EM A TR ILATERA DO 282

CUADR O N° 17.15. ÁREA DEL SISTEMA TR ILATERAD O 282

CUADR O N° 18.1. MEDIDAS DEL SISTEMA CO M BIN ADO 293

CUADR O N° 18.2. MEDIDAS DEL PO LÍ GON O COM BINADO 293

CUADR O N° 18.3. MEDIDAS DEL PRIMER TRI ÁNGUL O COM BINAD O 294

CUADR O N° 18.4. MEDIDAS DEL SEGUNDO TR IÁN GUL O C OMBI NAD O 294

CUADR O N° 18.5. MEDIDAS DEL TERCER TR IÁ NGU LO COM BINA DO 294

CUADR O N° 18.6. MEDIDAS DEL CUADR IL ÁTER O CO M BINADO 296

CUADR O N° 18.7. CORRE CCIÓN DE ME DID AS DE L CUA DR ILÁTERO

CO MBIN ADO 296

CUADR O N° 18.8. CORREC CIÓN D E PARES OP UE ST OS DEL CUA DR ILÁTERO

CO MBIN ADO 298

CUADR O N° 18.9. ORDENA CIÓN EN ÁNGUL OS PARES E IMPARES DEL

CU AD RILÁTE RO C OM BI NAD O 298

CUADR O N° 18.10. CÁ LCUL O DE SENOS DE ÁNGU LOS PARES E IM PARE S DEL


CUADR O N° 18.11. CÁL CUL O DE SE NOS DE LAS PARTES PROP OR CION ALES

DE L OS ÁNGUL OS PARES E IMPARES DEL CUADRI LÁ TERO COM B INA DO 300

CUADR O N° 18.12. CORR ECC IÓN DE ÁNGUL OS PARES E I MPARES DEL


CUADR O N° 18.14. CÁL CUL O D E D ISTANCI AS DE L CUA DR I LÁ TERO

CO MBIN ADO 302

8

CUADR O N° 18.15. CÁLCULO DE DEC IM AL ES D E GRADO DE L PO LÍGONO

CO MBIN ADO 303

CUADR O N° 18.16. CORRECC IÓN GEOM ÉT RI CA DEL P OLÍGONO C OM BI NAD O 304

CUADR O N° 18.17. ORDE NA CIÓN EN ÁNGUL OS PARES E IMPARES DEL

POL ÍGON O COM BIN ADO 305

CUADR O N° 18.18. CÁ LCUL O DE SENOS DE ÁNGU LOS PARES E IM PARE S DEL


CUADR O N° 18.19. CÁL CUL O DE SE NOS DE LAS PARTES PROP OR CION ALES

DE Á NGUL OS PARES E I MPARES DEL POLÍGON O CO MBIN ADO 307

CUADR O N° 18.20. CORR EC CIÓN TR IGO NOMÉ TR ICA DE ÁNGUL OS D EL


CUADR O N° 18.21. ÁNGU LOS CENTR AL ES DE L POL ÍG ONO COM BINA DO 308

CUADR O N° 18.22. D I STANCIAS DEL PO LÍGONO CO MBINADO 310

CUADR O N° 18.23. ÁNG UL OS INTERNOS DE L PRI MER TR IÁN GUL O DEL

S IST EM A CO MBINAD O 311

CUADR O N° 18.24. ÁNGUL OS INTERNOS DEL S EGUND O TR IÁNG UL O D EL


CUADR O N° 18.24. ÁNGUL OS INT ERNOS DE L TERCER TR IÁN GUL O DEL


CUADR O N° 18.25. CORRE CCI ÓN DE ÁNGU LOS IN TERN OS Y DISTAN CIAS DEL

POL ÍGON O DE APOY O DEL SISTEMA COM BIN ADO 313

CUADR O N° 18.26. RUMBOS Y DI ST ANC IAS DE L POL ÍGON O DE APO YO D EL


CUADR O N° 18.27. ALE JAMIENT OS Y LA T ITU DES DE L P OL ÍGO NO DE AP OY O

DE L SISTEMA COM BINADO 314

CUADR O N° 18.28. COORDENA DA S Y ÁREA DEL POL ÍGON O DE APOYO DEL


CUADR O N° 18.29. ALEJAM IENTO S Y LAT ITUDES DE L AS L IGAS D EL S IST EM A

CO MBIN ADO 315

CUADR O N° 18.30. COMPENSA CIÓN DE ALEJAM IENTO S Y LA TI TU DE S D E L AS

L IGAS DEL S ISTEM A C OM BI NAD O 316

CUADR O N° 18.31. CO ORDENA DA S DE LAS L IGAS DEL S ISTE MA CO M BINAD O 316

CUADR O N° 18.32. COORDE NA DAS DE LAS L IG AS Y DE APOY O DEL S ISTEM A

CO MBIN ADO 317

CUADR O N° 18.33. CO ORDENA DA S DEL SISTEMA CO MBIN ADO 318

CUADR O N° 18.34. MATR IZ DEL S ISTEM A C OM BI NAD O 318

CUADR O N° 18.35. ÁREA DE L SI STEMA COM B INA DO 319

CUADR O N° 18.36. MED IDAS DEL S ISTEMA C OMBI NAD O 320

CUADR O N° 18.37. ALEJA M IENTOS Y LAT I TU DES DEL FRA CCI ONA MIE NTO

DE L SISTEMA COM BINADO 321


FRA CCI ONAMIEN TO DE L S ISTE MA C OMBINAD O 322


PRIM ER PREDI O DEL SI STEMA COM B INA DO 324

CUADR O N° 18.40. COOR DE NADAS Y ÁRE A DE L PR IMER PREDIO D EL


9

ÍÍÍÍNDICE DE NDICE DE NDICE DE NDICE DE FIGURASFIGURASFIGURASFIGURAS

NÚMERO Y DENO MI NACIÓN DE FIGURA S PÁG.

F I GUR A N° 2.1. CALIBRA CIÓ N DE C INTAS MÉTR ICAS 23

F I GUR A N° 2.2. PLOMA DA ME TÁ LI CA 23

F I GUR A N° 2.3. TENS IÓM ETRO 24

F I GUR A N° 2.4. JAL ÓN 24

F I GUR A N° 2.5. CORTE ESQUEM ÁT IC O DE U NA BRÚJUL A 25

F I GUR A N° 2.6. PARTES D E UNA BRÚJU LA 26

F I GUR A N° 2.7. T I POS DE M IRAS TOP OGR ÁF ICAS 28

F I GUR A N° 2.9. M IRA HOR IZ ONT AL 29

F I GUR A N° 2.10. TEODOLIT O 30

F I GUR A N° 2.11. LECTURA DE L TEO DOLIT O 31

F I GUR A N° 2.12. E SCALA DEL TEODO LITO 31

F I GUR A N° 2.13. E SCALA DE COINCI DE NCIA DE L TEODOL IT O 32

F I GUR A N° 2.14. OTRA ESCALA DE COIN CIDENC IA DEL TEOD OL IT O 32

F I GUR A N° 2.15. E JES DE UN TEODOL IT O 33

F I GUR A N° 2.16. TEODOLIT O ELE CTRÓN ICO 34

F I GUR A N° 2.17. E STACIÓN TOT AL ELECTR ÓNI CA 35

F I GUR A N° 2.18. N I VE L TUBULAR 37

F I GUR A N° 2.19. P ARTES DEL N IV EL DE INGENIERO 38

F I GUR A N° 2.20. N I VE L DE INGENIERO 38

F I GUR A N° 2.21. N I VE L DE ALT A P RECIS IÓN 39

F I GUR A N° 2.22. D I STAN CIÓMET ROS ELEC TR ÓNICOS 41

F I GUR A N° 3.1. REPRESENTACIÓ N GRÁF ICA DE L A L IBRETA DE CAMP O 44

F I GUR A N° 3.2. TABU LA CIÓ N E N LA L IBRET A DE CAMP O 45

F I GUR A N° 3.3. BOSQUEJ O EN LA L IB RETA DE CAMP O 46

F I GUR A N° 3.4. D ISTR IBUCI ÓN DE LA AN OTACI ONES EN LA L I BRETA DE

CAMP O 47

F I GUR A N° 3.5. FECHA, H ORA DE IN ICI O Y TERM I NAC IÓN DE L TRA BAJO 48

F I GUR A N° 3.6. CONDIC IONES DE L CLIMA 49

F I GUR A N° 3.7. BR IGADA DE CAMP O 49

F I GUR A N° 3.8. T I PO E IDE NT IF ICACIÓ N DE L INS TR UME NT O 50

F I GUR A N° 4.1. CALCULADORA ELECTRÓ NIC A DE BOLS IL LO 53

F I GUR A N° 4.2. UNIDADES PRIMI T I VAS DE ME DID A 55

F I GUR A N° 4.3. REDONDEO DE NÚ MER OS 62

F I GUR A N° 5.1. CLASES DE ERRO RES E N LAS ME DIDAS 10

F I GUR A N° 5.2. T I POS DE ERR ORES EN LAS M EDI DAS 68

F I GUR A N° 5.3. MAGNITUDES DE LO S ERR ORES 69

F I GUR A N° 5.4. INDIC ADORES MÁS USUALES DE ER RO RES 71

F I GUR A N° 7.1. ELEMENT OS DE UNA N IVE LACI ÓN 97

F I GUR A N° 7.2. CLASES DE N I VE LA CIÓN 101

10

F I GUR A N° 7.3. INSTRUM ENT OS Y ACCES OR I OS DE NIVELAC IÓN 102

F I GUR A N° 7.4. ORDENES DE PR EC IS IÓN DE LA N IV ELA CIÓN 103

F I GUR A N° 7.5. N IVEL AC IÓN COMP UESTA 107

F I GUR A N° 9.1. TRAZO DE U N PERF I L L ONG IT UDINAL 124

F I GUR A N° 10.1. DETERM INACIÓN DE UN ÁNGUL O 129

F I GUR A N° 10.2. ÁNGUL OS HOR IZ ONTALES I NTER IOR ES Y EXTERIO RES 130

F I GUR A N° 10.3. ÁNGUL OS HOR IZ ONTALES A LA I ZQU IERDA Y A LA DER EC HA 130

F I GUR A N° 10.4. ÁNGUL OS HOR IZ ONTALES DE DEF LEX IÓN 131

F I GUR A N° 10.5. MER ID IAN O VERDADER O Y MAGN ÉTICO 132

F I GUR A N° 10.6. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE A ZIM UTES 133

F I GUR A N° 10.7. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE R UM B OS 134

F I GUR A N° 10.8. UBICACI ÓN DE L OS ÁN GUL OS AZ IMUTA LES 136

F I GUR A N° 10.9. UBICACI ÓN DE L OS RU M BOS DE UNA P OL IGO NAL 137

F I GUR A N° 10.10. EJEMPLO DE CÁ LC UL O DE AZ IM UTE S 137

F I GUR A N° 11.1. E JEMPL O DE UNA RE D DE APO YO 142

F I GUR A N° 11.2. E JEMPL O DE UN REL LENO 143

F I GUR A N° 11.3. TÉCNIC A DE R ADIAC IÓN 144

F I GUR A N° 11.4. TÉCNIC A DE INTERSECCIÓ N 145

F I GUR A N° 11.5. REPRESENT AC IÓN GRÁF ICA DE COO RDENADAS 146

F I GUR A N° 11.6. CÁLC UL O DE A LE JAMIE NT OS Y L AT IT UDES 148

F I GUR A N° 11.7. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A POL IG ONA L 149

F I GUR A N° 11.8. CÁLC UL O DEL RUM BO DE BC 151

F I GUR A N° 11.9. CÁLC UL O DEL RUM BO DE CD 152

F I GUR A N° 11.10. CÁLCUL O DEL RUM BO DE DA 152

F I GUR A N° 11.11. CÁLCUL O DEL RUM BO DE COMPROBACIÓ N 153

F I GUR A N° 11.12. REPRESENTAC IÓN GRÁF I CA DE LOS ERR ORES DE C IERR E 156

F I GUR A N° 12.1. REPRESENTACI ÓN DE L A TÉ CNI CA DE L TRAPE CI O 176

F I GUR A N° 12.2. REPRESENTACI ÓN DE L A TÉ CNI CA DE S IMPSON 177

F I GUR A N° 12.3. REPRESENTACI ÓN DE L A TÉ CNI CA DE COO RDE NA DAS 178

F I GUR A N° 12.4. REPRESENTACI ÓN DEL PRE DIO IRREGUL AR 179

F I GUR A N° 12.5. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE A BS CISAS Y ORDEN ADAS 182

F I GUR A N° 13.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL PREDIO 191

F I GUR A N° 13.2. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE C OORDENAD AS DE AP OYO 193

11

F I GUR A N° 13.3. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA AP 195

F I GUR A N° 13.4. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA FS 195

F I GUR A N° 13.6. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA CQ 196

F I GUR A N° 13.7. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE L A LI GA DR 196

F I GUR A N° 13.8. REPRESENTACI ÓN DE L AS CO ORD ENADA S DEL PRE DIO 197

F I GUR A N° 14.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL FRACCIO NAMIEN TO 208

F I GUR A N° 14.2. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL SUBPRE DI O 1 216

F I GUR A N° 14.3. REPRESENTA CIÓ N GRÁF ICA DEL TR IÁNGUL O NMC DEL

SUBPRE DI O 1 218

F I GUR A N° 14.4. REPRESENTACIÓN GRÁF IC A DE L OS ÁNGUL OS INTER NOS

DE L TRIÁNGU LO NMC 219

F I GUR A N° 14.5. REPRESENTACIÓN GRÁF IC A DE L AS ME DID AS DEL

SUBPRE DI O 1 221

F I GUR A N° 14.6. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL SUBPRE DI O 2 222

F I GUR A N° 15.1. REPRESENTAC IÓN GR ÁF ICA DEL FRACCIONAMIENT O POR

PUNT OS 233

F I GUR A N° 15.2. REPRESENTA CIÓ N GR ÁF ICA DEL SUBPRED IO 1 DEL


F I GUR A N° 15.3. REPRESE NT ACI ÓN GRÁF ICA DEL TRI ÁNGUL O MNN’ DEL

SUBPRE DI O 1 DEL FRACCI ONAM IENTO PO R PUNT OS 237

F I GUR A N° 15.4. CÁLCUL O DE Á NGUL O INTERN O N’ DEL SUBPR EDI O 1 D EL


F I GUR A N° 16.1. CADENA DE TR IÁN GUL OS SE NCIL LOS 251

F I GUR A N° 16.2. CADENA DE CUA DR ILÁ TER OS 252

F I GUR A N° 16.3. CADENA DE FI GURAS DE PU NT O CE NTRA L 253

F I GUR A N° 16.4. REPRESENTACIÓN GRÁF ICA DE LA TR IANGULACIÓN DE

F IGURA DE PU NT O CE NTRA L 257

F I GUR A N° 16.5. REPRESENTACIÓN GRÁF ICA DE L PR IME R T RIA NGU LO DEL

POL ÍGON O 262

F I GUR A N° 17.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL S IST EM A TR ILATERA DO 274

F I GUR A N° 17.2. REPRESENT ACI ÓN GR ÁF ICA DE L PR IME R TR IÁNG UL O

TRIL ATE RA DO 275

F I GUR A N° 17.3. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL PREDIO TR ILATER ADO 280

F I GUR A N° 18.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DEL PREDIO COM B INADO 292

F I GUR A N° 18.2. REPRESENTA CIÓ N GRÁF ICA DEL CUA DR ILÁTERO

CO MBIN ADO 295

F I GUR A N° 18.3. REPRESENTACI ÓN DEL P OLÍGON O COM BINADO 302

F I GUR A N° 18.4 REPRE SENTACI ÓN DE L PR IME R TR IÁNGUL O DE L SI STEMA

CO MBIN ADO 310

12

F I GUR A N° 18.5 REPRESENT ACI ÓN DEL SEGUN DO TRIÁ NGU LO DEL S IST EM A

CO MBIN ADO 311

F I GUR A N° 18.5 REPRESENTAC IÓN DE L TER CE R TR IÁNGUL O DE L SISTEMA

CO MBIN ADO 312

F I GUR A N° 18.6 REPRESENTACI ÓN GR ÁF ICA DE L POL ÍGON O DE APOYO D EL


F I GUR A N° 18.7 REPRESENTACI ÓN GRÁF ICA DE LAS L IGAS DE L S ISTEMA

CO MBIN ADO 315

F I GUR A N° 18.8 REPRESEN TA CIÓ N GRÁF ICA DEL F RA CCIONA MIENT O DEL


F I GUR A N° 18.9 REPRESENT ACI ÓN GRÁ FI CA DE L PRE DIO 1 DE L SISTEMA

CO MBIN ADO 321

F I GUR A N° 18.10 REPRESENTACIÓN G RÁF IC A DE LA D IS TANCIA N’N DEL


F I GUR A N° 18.11 REPRESENT ACIÓN GRÁ FICA DEL Á NGU LO N’ DEL


F I GUR A N° 19.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE U NA CUR VA SIM PL E 338

F I GUR A N° 19.2. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE U NA CUR VA COMPUEST A 338

F I GUR A N° 19.3. E LEMEN TOS D E UNA CUR VA SI MPLE 340

F I GUR A N° 19.4. GRADO DE CURV AT URA DE UNA CURVA SIMP LE 341

F I GUR A N° 19.5. S OLUCIÓN DE U NA CUR VA SIMP L E 10

F I GUR A N° 20.1. REPRESENTACI ÓN GRÁFIC A DE C UR VAS DE N I VE L 348

F I GUR A N° 20.2. MARCACI ÓN DE LAS C URVAS DE NIVEL 351

F I GUR A N° 21.1. REPRESENTACI ÓN DE L A OPERA CIÓN DE S OND EO 362

F I GUR A N° 21.2. LOCA LIZA CIÓ N DE S ONDEO S POR AL INEACIÓN Y ÁNGULO

DESDE LA COSTA 363

F I GUR A N° 21.3. LO CAL IZ AC IÓN DE S ONDEOS POR D OS Á NGU LOS DES DE

UN A LAN CHA 365

F I GUR A N° 22.1. CUADR ÍC ULAS ES TA CA DAS PARA EL S IS TE MA A 368

F I GUR A N° 22.2. CURVAS BA TI MÉTR IC AS T IPO SIST EMA A 368

F I GUR A N° 22.3. CUADR ÍC ULAS ES TA CA DAS PARA EL S IS TE MA B 369

F I GUR A N° 22.4. CURVAS BA TI MÉTR IC AS T IPO SIST EMA B 370

F I GUR A N° 22.5. E SCALA PARA INTERP OLAC IÓN DE CUR VAS DE N IVE L 372

F I GUR A N° 23.1. L ÍNEAS BASE PAR A EL TRAZADO DE UN EDIF IC IO 379

F I GUR A N° 23.2. OTRO T RAZ AD O DE L ÍNE AS BASE DE UN ED IF IC I O 380

13

ÍÍÍÍNDICE DE NDICE DE NDICE DE NDICE DE FÓRMULASFÓRMULASFÓRMULASFÓRMULAS

NÚ MERO Y DENO MINA CIÓN DE FÓ RMU LA S PÁG.

FORMULA N° 5.1. CÁLC UL O DEL ER ROR ESTÁNDAR DE UN A S OLA ME DID A 71

FORMULA N° 5.2. CÁLC UL O DEL ER ROR ESTÁNDAR DE LA ME DIA 71

FORMULA N° 5.3. CÁLC UL O DEL ER ROR PROBAB LE DE UN A ME DI DA 72

FORMULA N° 5.4. CÁLC UL O DEL ER ROR PROBAB LE DE LA ME DIA 72

FORMULA N° 5.5. CÁLC UL O DEL ER ROR RELATIV O 75

FORMULA N° 5.6. CÁLC UL O DEL ER ROR T EM IBLE 76

FORMULA N° 5.7. CÁLC UL O DEL VA LO R MÁS PRO BAB LE 76

FORMULA N° 5.8. CÁLC UL O DE UNA M EDI DA PON DERADA 76

FORMULA N° 5.9. CÁLC UL O DEL VA LO R ME DIO UNA SER IE DE MED IDAS 77

FORMULA N° 6.1. CÁLC UL O DE LA PE NDIENTE 1 86

FORMULA N° 6.2. CÁLC UL O DE LA PE NDIENTE 2 86

FORMULA N° 6.3. CÁLC UL O DE C ORRECCIÓN DE L A PEN DIENTE 87

FORMULA N° 6.4. CÁLC UL O DE ME DIDAS INC LI NAD AS A H OR IZONT AL ES 87

FORMULA N° 6.5. CÁLC UL O DE LA C ORREC CIÓ N POR TEM PERA TURA 89

FORMULA N° 6.6. CÁLC UL O DE LA C ORREC CIÓ N POR CATE NAR IA 90

FORMULA N° 6.7. CÁLC UL O DE LA C ORREC CIÓ N POR TE NS IÓN 91

FORMULA N° 6.8. CÁLC UL O DE D IST AN CIAS C ON ESTA DIA 93

FORMULA N° 6.9. CÁLC UL O DE D IST AN CIAS VER TICA LES C ON ESTADIA 94

FORMULA N° 6.10. CÁLCUL O DE D IS TA NCIAS HOR IZ ONTALES CO N EST AD IA 94

FÓRMULA N° 7.1. CÁLC UL O DE LA DES VIACI ÓN VERTI CAL 99

FÓRMULA N° 7.2. CÁLC UL O DE LA REFRACCIÓN 100

FÓRMULA N° 7.3. CÁLC UL O C OM BI NAD O DE CURV AT URA Y REFR ACC IÓN 100

FÓRMULA 8.1. CÁLCUL O DE L ERROR DE UNA N IVE LACI ÓN R ÁP IDA 116

FÓRMULA 8.2. CÁLCUL O DE L ERROR DE UNA N IVE LACI ÓN ORDINAR IA 116

FÓRMULA 8.3. CÁLCUL O DE L ERROR DE UNA N IVE LACI ÓN PRECISA 117

FÓRMULA N° 11.1. CÁLCUL O DE LA COO RDENA DA X 146

FÓRMULA N° 11.2. CÁLCUL O DE LA COO RDENA DA Y 146

FÓRMULA N° 11.3. CÁLCUL O DE LAT I TU DES 147

FÓRMULA N° 11.4. CÁLCUL O DE ALEJ AM IENT OS 148

FÓRMULA N° 11.5. CÁLCUL O DEL ERR OR L INEAL D E C IE RRE 155

FÓRMULA N° 11.6. CÁLCUL O DEL ERR OR ANGU LA R DE C IERR E 155

FÓRMULA N° 11.7. CÁLCUL O DE ERROR RE LA TI VO DE C IERRE 157

FÓRMULA N° 11.8. CÁLCUL O DE LA CORRE CCI ÓN DE ALEJ AM IENT OS 157

FÓRMULA N° 11.9. CÁLCUL O DE LA CORRE CCI ÓN DE LAT ITUDES 158

FÓRMULA N° 11.10. CÁLCU LO DE L R UM B O CORREGI DO 159

FÓRMULA N° 11.11. CÁLCU LO DE LA DISTAN CIA COR REG IDA 159

FÓRMULA N° 11.12. CÁLCU LO DE L ÁREA 162

FORMULA N° 12.1. CÁLCUL O C ON LA TÉ CN ICA DE L TR APECI O 175

FORMULA N° 12.2. CÁLCUL O C ON LA RE GLA D E S IMPS ON 176

FÓRMULA N° 14.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO 209

FÓRMULA N° 14.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL

FRACCIONAMIENTO 209

14

FÓRMULA N° 14.3. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS DEL

FRACCIONAMIENTO 210

FÓRMULA N° 14.4. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LATITUDES DEL

FRACCIONAMIENTO 210

FÓRMULA N° 14.5. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDAS DEL

FRACCIONAMIENTO 211

FÓRMULA N° 14.6. CÁLCULO DE DISTANCIAS CORREGIDAS DEL FRACCIONAMIENTO 211

FÓRMULA N° 14.7. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1 217

FÓRMULA N° 14.8. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1 217

FÓRMULA N° 15.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO

POR PUNTOS 235

FÓRMULA N° 15.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL

FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS 235

FÓRMULA N° 15.3. CÁLCULO DE LA DISTANCIA NN’ DEL FRACCIONAMIENTO POR

PUNTOS 237

FÓRMULA N° 15.4. CÁLCULO DE LA DISTANCIA DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR

PUNTOS 239

FÓRMULA N° 15.5. CÁLCULO DEL RUMBO A DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR

PUNTOS 239

FÓRMULA N° 16.1. CORRECCIÓN DE LA BASE DE LA TRIANGULACIÓN 256

FÓRMULA N° 16.2. CORRECCIÓN UNITARIA DE LOS ÁNGULOS DE LA TRIANGULACIÓN 260

FÓRMULA N° 17.1. LEY DE COSENOS 272

FÓRMULA N° 17.2. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO A CON LA LEY DE COSENOS 275

FÓRMULA N° 17.3. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO B CON LA LEY DE COSENOS 275

FÓRMULA N° 17.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO C CON LA LEY DE COSENOS 276

FÓRMULA N° 18.1. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL

CUADRILÁTERO COMBINADO 300


POLÍGONO COMBINADO 307

FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE DISTANCIAS PERIMETRALES DEL POLÍGONO

COMBINADO 309

FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE COORDENADAS ESTÉS SISTEMA COMBINADO 317

FÓRMULA N° 18.4 CÁLCULO DE COORDENADAS NORTES SISTEMA COMBINADO 318

FÓRMULA N° 18.5 CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS DEL SISTEMA COMBINADO 319

FÓRMULA N° 18.6 CÁLCULO DE LATITUDES DEL SISTEMA COMBINADO 319

FÓRMULA N° 18.7 CÁLCULO DE LA DISTANCIA N’N DEL FRACCIONAMIENTO DEL

SISTEMA COMBINADO 322

FÓRMULA N° 19.1. CÁLCUL O DEL RADI O DE U NA C URVA SIMP LE 342

FÓRMULA N° 19.2. CÁLCUL O DE LA SU BT ANGENTE DE UN A C URVA 342

FÓRMULA N° 19.3. CÁLCUL O DE LA LO NG I TU D DE UN A CURVA SIMP LE 342

FÓRMULA N° 19.4. CÁLCUL O DEL PUNT O DE INIC IO DE UNA CUR VA S IM PL E 342

FÓRMULA N° 19.5. CÁLCUL O DEL PUNT O F IN AL DE UNA CURV A S IM PLE 342

FÓRMULA N° 19.6. CÁLCUL O DE LA EX TERNA D E U NA CUR VA SIM PL E 342

FÓRMULA N° 19.7. CÁLC UL O DE L A OR DENADA M EDIA DE U NA CURVA

S IMPLE 343

FÓRMULA N° 19.8. CÁLCUL O DE L ÁNGUL O DE DEFLEX IÓN DE UNA CUR VA

S IMPLE 343

15

RESUMENRESUMENRESUMENRESUMEN

El presente texto universitario de TOPOGRAFÍA APLICADA A LA

INGENIERÍA PESQUERA Y AS IST IDA POR COMPUTADORA , complementa

los libros de texto de topografía util izados en universidades y en

escuelas técnicas y es un buen complemento de cualquiera de los

textos más importantes que se util izan en cursos elementales de

ingeniería civi l .

La mejor forma de resolver problemas de topografía consiste en

resolver una gran cantidad de problemas, por el lo, presentamos la

solución detallada de una gran cantidad de ellos y muchos

problemas propuestos que no se encuentran en los textos

habituales. Los diferentes t ipos de problemas resueltos,

concentrándonos en el método de solución, hacen más senci lla la

comprensión de las diferentes técnicas topográficas contribuyen a

asegurar el éxito de los estudiantes.

En el presente texto universitario presentamos los notables

adelantos en la tecnología de fabricación del instrumental

topográfico y en la apl icación de las computadoras para procesar y

representar gráficamente los datos que han cambiado

drásticamente los procedimientos tradicionales y han reducido el

t iempo de los cálculos laboriosos, ha llevado a la precisión a

niveles no imaginados en el pasado y que nos permi ten hacer

posible su rápida representación gráfica y difusión en medios

virtuales.

El texto presenta una expl icación concisa y directa de los aspectos

esenciales de cada uno de los capítulos, los procedimientos de

cálculos estandarizados para su procesamiento y gráficación con

computadoras y la inclusión de una gran cantidad de problemas

propuestos rescatados de las prácticas de campo real izadas con

los alumnos en los últ imos semestres académicos.

16

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Hemos preparado el presente Texto Universi tario “TOPOGRAFÍA

APLICADA A LA INGENIERÍA PESQUERA Y AS IST IDA POR COMPUTADORA”,

aprobado por Resolución Rectoral : No. 1101-09-R del

22/Oct/2009, contenido en 23 capí tulos, debidamente,

estructurados y s istematizados para poner al alcance de los

estudiantes de ingeniería e investigadores, un ins trumento de

carácter práctico en forma de manual.

Los lectores encontrarán en el presente trabajo, un excelente

medio para supl i r a falta de publicaciones especial izadas sobre el

tema o que se encuentran en obras de circulación restringida o no

está alcance de todos los interesados o que se requiere revisar

una gran cantidad de fuentes. As imismo, el trabajo intenta supl ir la

debi lidad en la formación matemática y gráfica de los alumnos,

fundamentalmente, por el bajo acceso a fuentes especializadas y

que en el presente trabajo se tratan con la debida complej idad

académica sin quitarle su esencial idad.

En el texto ha sido elaborado teniendo en cuenta que cualquier

alusión seria a la Topografía pasa por tratar la toma de decisiones

para seleccionar el instrumental topográfico, el levantamiento de

las mediciones directamente en el campo, la revis ión y

procesamiento de los datos uti l izando software especializado, la

elaboración de planos originales y defini t ivos con los datos

recolectados y, f inalmente, con el señalamiento y monumentación

del predio medido.

Finalmente, el presente texto queda justi ficado, porque: es un

imperativo en las actuales condiciones económicas y nivel de

desarrollo tecnológico de nuestra Universidad, para no quedar a la

zaga en la aplicación de las computadoras para registro,

procesamiento, diseño y gráficación de datos topográficos; por

el lo, la elaboración del texto univers itario es una contribución al

mejoramiento de la transferencia de información del docente a los

alumnos que incrementarán la eficiencia del el proceso

enseñanza-aprendizaje.

17

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍAINTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍAINTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍAINTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA

1.1. INTRODUCCIÓN

Los orígenes de la Topografía se confunden con los de la

astronomía, la astrología y las matemáticas. Los registros más

antiguos que hay en existencia, y que tratan directamente de la

topografía, indican que esta ciencia tuvo su principio en Egipto.

Herodoto dice que Sesortris (alrededor de 1400 a. C.), dividió las

t ierras de Egipto en predios para f ines de impuestos. Las

inundaciones del Ni lo hicieron desaparecer porciones de estos

lotes, y se designaron topógrafos, es decir, medidores de tierras,

para reponer los l ímites.

Teniendo como base estos trabajos, los primeros f ilósofos griegos

desarrollaron la ciencia de la geometría. Herón fue el primero en

apl icar la geometría a la topografía, alrededor de 120 a.C. Fue

autor del tratado """"La DioptraLa DioptraLa DioptraLa Dioptra """" , en el cual relacionó los métodos de

medición de un terreno, el trazo de un plano y los cálculos

respectivos. También describe en esta obra uno de los primeros

instrumentos topográficos de que se t ienen noticia, el l lamado

precisamente dioptradioptradioptradioptra.

Los romanos para construir sus grandes obras, desarrollaron

signif icativamente la topografía. La topografía necesaria para estas

construcciones originó la organización de un gremio o asociación

de topógrafos y agrimensores. Usaron y desarrollaron ingenios

instrumentos. Entre estos se encuentran los llamados: gromagromagromagroma, que

se usó para visar; l ibellal ibellal ibellal ibella, que era un bastidor en forma de A con

una plomada, para la nivelación; y chorobateschorobateschorobateschorobates , que era una regla

horizontal, de unos 20 pies (6 metros) de largo, con patas de

soporte y una ranura en la parte superior para ser l lenada con

agua, y el cual servía de nivel.

En la edad media, la ciencia de los griegos y los romanos fue

mantenida viva por los árabes. En el s iglo XIII , Von Piso escribió

18

Practica Geometría, que contenía ins trucciones sobre los métodos

topográficos. También escribió la obra Liber QuadratorumLiber QuadratorumLiber QuadratorumLiber Quadratorum , que

trataba principalmente del cuadrante, que era un bastidor

cuadrado de latón con un ángulo de 90° y escalas graduadas.

Otros instrumentos de esta época fueron el astrolabio, un círculo

metál ico con un índice articulado en su centro y sostenido por un

anil lo en la parte superior, y el báculo de cruz (o jalón de

agrimensor), que era una pértiga de madera de unos 4 pies (1.20

m) de longitud, con una cruceta transversal ajustable, en ángulo

recto con la regla. Las longitudes conocidas de los brazos

permitían medir distancias por proporciones y ángulos.

Las primeras civi lizaciones suponían que la Tierra era una

superficie plana. La historia registra que un griego llamado

Eratóstenes , que vivió alrededor del año 200 a.C., midió las

dimensiones de la Tierra. Determinó el ángulo que subtendía el

arco de meridiano ubicado entre Siena y Alejandría en Egipto,

midiendo las sombras proyectadas del Sol en estas ciudades.

Luego cálculo la longitud del arco multiplicando el número de días

de caravana entre Siena y Alejandría por la distancia media

recorrida diariamente. A part ir de las medidas del ángulo y el arco,

y apl icando la geometría elemental, Eratóstenes calculó que la

circunferencia de la Tierra medía alrededor de 25,000 mil las (unos

40,000 Km.). Las medidas geodés icas subsecuentes que se han

hecho, usando mejores instrumentos y técnica geométricamente

equivalente a la de Eratóstenes , han demostrado que su valor,

aunque l igeramente mayor, es asombrosamente cercano al valor

aceptado.

En los siglos XVIII y XIX se desarrolló rápidamente la topografía. La

necesidad de mapas y la f ijación de linderos nacionales hicieron

que Inglaterra y Francia real izaran extensos levantamiento que

requerían de triangulaciones de precisión. El aumento del valor de

las t ierras y la importancia de la exacti tud de los linderos, aunados

a las mejoras públ icas en los servicios de caminos, canales y

ferrocarri les, llevaron a la topografía a una posición prominente.

19

Actualmente, el gran volumen de la construcción general, las

numerosas part iciones de t ierra, la necesidad de mejores registros

y las demandas planteadas por los programas de exploración y

estudio ecológico han implicado un desarrol lo creciente de los

trabajos de topografía. La topografía es aun el signo del progreso

en el fomento y la uti l ización de los recursos naturales de la Tierra.

1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA1.2. DEFINICIÓN DE TOPOGRAFÍA

La Topografía se define como la ciencia y el arte de efectuar

mediciones necesarias para determinar las posiciones relativas de

puntos situados arriba, sobre, o debajo de la superf icie de la

Tierra, o de situar tales puntos en una posición especificada. Las

operaciones topográficas no están l imitadas a t ierra f irme. Se

real izan sobre vastas extensiones de agua así como en el espacio

extraterrestre.

En general el trabajo del topógrafo puede dividirse en cinco

partes:1

a) Toma de decisiones. Selección del método de levantamiento,

del ins trumental, de la ubicación más probable de vért ices, etc.

b) Trabajo de campo o adquisición de datos. Realización de

mediciones y regis tro de datos de campo

c) Cálculo o procesamiento de Datos. Elaboración de cálculos con

base en los datos registrados para determinar ubicaciones,

áreas, volúmenes, etc.

d) Elaboración de planos o mapas (representación gráfica de los

datos). Dibujo o representación de las medidas para obtener un

plano, un mapa o un gráfico, o para transcribir datos de un

formato numérico o de computadora

e) Señalamiento. Colocación de señales (mojoneras y estacas)

para del inear o marcas l inderos, o bien, guiar trabajos de

1 BRINKER, R. y P. WOLF, Topografía Moderna, Ed. Harla, México,

1992; pp. 3.

20

construcción.

1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA1.3. IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFÍA

La topografíaLa topografíaLa topografíaLa topografía es una de las artes más antiguas e importantes de

practica el hombre, porque desde los tiempos antiguos ha sido

necesario marcar l ími tes y dividir terrenos. Actualmente la

topografía se uti l iza extensamente. Los resultados de los

levantamientos topográficos de nuestros días se emplean, por

ejemplo, para:

a) Elaborar planos de la superf ic ie terrestre, arriba y abajo del

nivel del mar;

b) Trazar cartas de navegación para uso en el ai re, en tierra y en

el mar;

c) Establecer l ímites en terrenos de propiedad privada y públ ica;

d) Construir bancos de datos con información sobre recursos

naturales y de uti l ización de la tierra, para ayudar a la mejor

adminis tración y aprovechamiento de nuestro ambiente fís ico;

e) Evaluar datos sobre tamaño, forma, gravedad y campo

magnético de la Tierra; y

f) Obtener registros astronómicos de la Luna y de los planetas.

La t ipografía t iene un papel extremadamente importante en

muchas ramas de la ingeniería, por ejemplo, se requieren

levantamientos topográficos:

a) Antes, durante y después de la construcción de carreteras, vías

férreas, sistemas viales de tránsito, edif icios, puentes, túneles ,

canales, obras de irr igación, presas, sistemas de drenaje,

fraccionamiento de terrenos urbanos, sistemas de

aprovis ionamiento de agua potable, el iminación de aguas de

negras, t i ros de Minas, gasoductos, líneas de transmisión

b) Para la instalación de l íneas de ensamble industrial y otros

disposit ivos de fabricación

21

c) Para el armado y montaje de equipo y maquinaria de gran

tamaño

d) Para establecer el Control aerofotográfico

e) En las actividades de la geología, la selvicultura, arquitectura de

paisaje y la arqueología

f) En obras de ingeniería mil i tar

g) En el alineamiento de maquinaria de mecánica y de taller.

22

CAPÍTULO II

INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOSINSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOSINSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOSINSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS

2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES2.1. INSTRUMENTOS SIMPLES

CINTAS MÉTRICAS Y ACCESORIOS

Medir una longi tud consiste en determinar, por comparación, el

número de veces que una unidad patrón es contenida en dicha

longitud.

La unidad patrón uti l izada en la mayoría de los países del mundo

es el metro, definido (después de la Conferencia Internacional de

Pesos y Medidas celebrada en París en 1889) como la longitud a

0ºC del prototipo internacional de platino e iridio que se conserva

en Sévres (Francia).

Esta definición se mantuvo hasta la Conferencia General de Pesos

y Medidas celebrada en la misma ciudad en 1960, en donde se

definió al metro como 1’650.763,73 veces la longitud de onda en el

vacío de radiación anaranjada del criptón 86.

En octubre 20 de 1983 el metro fue redefinido en función de la

velocidad de la luz (c=299'792.792 m/s) como la longitud del

trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de

t iempo de 1/299’792.458 de segundo.

Una cinta métrica Una cinta métrica Una cinta métrica Una cinta métrica es la reproducción de un número determinado

de veces (3, 5, 30, 50,100) de la unidad patrón.

En el proceso de medida, las cintas son sometidas a diferentes

tensiones y temperaturas, por lo que dependiendo del material con

el que han sido construidas, su tamaño original variará.

Por esta razón, las cintas vienen cal ibradas de fábrica para que a

una temperatura, tensión y condiciones de apoyo dadas, su

longitud sea igual a la longitud nominal.

23

F IGURA N° 2.1. CALIBRACIÓN DE C INTAS MÉTRICAS

Las cintas métricas empleadas en trabajos topográficos deben ser

de acero, res istentes a esfuerzos de tensión y a la corrosión.

Comúnmente, las cintas métricas vienen en longi tudes de 30, 50 y

100 m, con una sección transversal de 8 mm x 0,45 mm para

trabajos fuertes en condiciones severas o de 6 mm x 0,30 mm

para trabajos en condiciones normales.

PPPPLOMADA METÁL ICALOMADA METÁL ICALOMADA METÁL ICALOMADA METÁL ICA

Instrumento con forma de cono, construido generalmente en

bronce, con un peso que varía entre 225 y 500 gr, que al dejarse

colgar libremente de la cuerda sigue la dirección de la vert ical del

lugar, por lo que con su auxi lio podemos proyectar el punto de

terreno sobre la cinta métrica.

F IGURA N° 2.2. PLOMADA METÁLICA

24

TTTTENSIÓMETROENSIÓMETROENSIÓMETROENSIÓMETRO

Es un disposit ivo que se coloca en el extremo de la cinta para

asegurar que la tensión apl icada a la cinta sea igual a la tensión

de cal ibración, evi tando de esta manera la corrección por tensión y

por catenaria de la distancia medida.

F IGURA N° 2.3. TENSIÓMETRO

JJJJALONESALONESALONESALONES

Son tubos de madera o aluminio, con un diámetro de 2.5 cm y una

longitud que varía de 2 a 3 m. Los jalones vienen pintados con

franjas alternas rojas y blancas de unos 30 cm y en su parte f inal

poseen una punta de acero.

El jalón se usa como ins trumento auxi l iar en la medida de

distancias, local izando puntos y trazando alineaciones.

F IGURA N° 2.4. JALÓN

25

FFFF ICHASICHASICHASICHAS

Son vari l las de acero de 30 cm de longi tud, con un diámetro

φ=1/4”, pintados en franjas alternas rojas y blancas. Su parte

superior termina en forma de ani l lo y su parte inferior en forma de

punta.

Generalmente vienen en juegos de once fichas juntas en un anil lo

de acero.

Las f ichas se usan en la medición de dis tancias para marcar las

posiciones f inales de la cinta y l levar el conteo del número de

cintadas enteras que se han efectuado.

BRÚJULABRÚJULABRÚJULABRÚJULA

Generalmente un instrumento de mano que se util iza

fundamentalmente en la determinación del norte magnético,

direcciones y ángulos horizontales. Su apl icación es frecuente en

diversas ramas de la ingeniería. Se emplea en reconocimientos

prel iminares para el trazado de carreteras, levantamientos

topográficos, elaboración de mapas geológicos, etc.

F IGURA N° 2.5. CORTE ESQUEMÁTICO DE UNA BRÚJULA

La f igura muestra el corte esquemático de una brújula. La brújula

consiste de una aguja magnética [A] que gira sobre un pivote

agudo de acero duro [B] apoyado sobre un soporte cónico ubicado

26

en el centro de la aguja. La aguja magnética está ubicada dentro

de una caja [C], la cual, para medir el rumbo, contiene un circulo

graduado [D] generalmente dividido en cuadrantes de 0o a 90o ,

marcando los cuatro puntos cardinales; teniendo en cuenta que

debido al movimiento aparente de la aguja los puntos Este Este Este Este y Oeste Oeste Oeste Oeste

estén intercambiados.

F IGURA N° 2.6. PARTES DE UNA BRÚJULA

Algunas brújulas llamadas brújulas azimutales, tienen el círculo

horizontal dividido en 360°.

Coincidiendo con la alineación norte – sur poseen un disposit ivo de

col imación

A objeto de contrarrestar los efectos de la incl inación magnética, la

aguja posee un pequeño contrapeso de bronce [E] y su ubicación

depende de la lati tud del lugar. En zonas local izadas al norte del

ecuador, el contrapeso estará ubicado en el lado sur de la aguja, y

en zonas local izadas al sur del ecuador el contrapeso estará

ubicado en el lado norte de la aguja.

27

Para proteger el pivote sobre el cual gira la aguja, las brújulas

poseen un dispositivo elevador [F] que separa la aguja del pivote

cuando las brújulas no están s iendo util izadas. En el interior se

ubica un pequeño nivel esférico de burbuja [G]. Un vidrio ubicado

en la parte superior de la caja [H] sirve para proteger la aguja, el

círculo y el nivel esférico. Para hacer coincidir el eje de rotación de

la aguja con la vert ical del vért ice donde se está efectuando la

medida, algunas brújulas se util izan con plomada [I ] y otras se

apoyan sobre un bastón de madera.

A f in de corregir la decl inación magnética del lugar, algunas

brújulas poseen un arco de decl inación [J] graduado en grados,

cuyo cero coincide con la alineación norte, de manera que

conociendo la decl inación del lugar, mediante un disposit ivo

especial, se puede hacer girar el circulo horizontal hasta hacer

coincidir la lectura con el valor de la decl inación del lugar; de esta

manera, el rumbo medido con la brújula es el rumbo real.

Es importante mencionar, debido a su popularidad, el Teodoli to –

Brújula Wild T0 por ser un instrumento muy util izado tanto en la

determinación de acimutes magnéticos como en la medición de

ángulos en levantamientos de puntos de rel leno por taquimetría.

MIRAS VERTICALESMIRAS VERTICALESMIRAS VERTICALESMIRAS VERTICALES

Son reglas graduadas en metros y decímetros, generalmente

fabricadas de madera, metal o fibra de vidrio. Usualmente, para

trabajos normales, vienen graduadas con precisión de 1 cm y

apreciación de 1 mm. Comúnmente, se fabrican con longitud de 4

m divididas en 4 tramos plegables para faci lidad de transporte y

almacenamiento.

Existen también miras telescópicas de aluminio que facil i tan el

almacenamiento de las mismas. A f in de evitar los errores

instrumentales que se generan en los puntos de unión de las miras

plegables y los errores por di latación del material, se fabrican

miras continuas de una sola pieza, con graduaciones sobre una

cinta de material consti tuido por una aleación de acero y níquel,

28

denominado INVAR por su bajo coeficiente de variación

longitudinal, sujeta la cinta a un resorte de tensión que compensa

las deformaciones por variación de la temperatura. Estas miras

continuas se apoyan sobre un soporte metál ico para evitar el

deterioro por corrosión producido por el contacto con el terreno y

evitar, también, el asentamiento de la mira en las operaciones de

nivelación.

F IGURA N° 2.7. T IPOS DE M IRAS TOPOGRÁFICAS

Las miras vert icales se usan en el proceso de nivelación y en la

determinación indirecta de distancias. Las miras deben ser

vert ical izadas con el auxil io de un nivel esférico generalmente

sujeto en la parte posterior de la mira.

29

MMMM IRAS HORIZONTALESIRAS HORIZONTALESIRAS HORIZONTALESIRAS HORIZONTALES

La mira horizontal de INVAR es un instrumento de precisión

empleado en la medición de distancias horizontales.

La mira está construida de una aleación de acero y níquel con un

coeficiente termal de variación de longitud muy bajo,

prácticamente invariableinvariableinvariableinvariable, característ ica que da origen al nombre

de MIRAS DE INVAR.

La mira horizontal de INVAR , mostrada en la figura, posee dos

brazos con marcos o señales separados entre sí 2 m [A], una base

con 3 torni llos nivelantes [B] y un nivel esférico [C] para

horizontal izarla. Cerca del centro de la mira se ubica un col imador

[D] con una marca tr iangular [E] que sirve para centrar la mira,

asegurando que la visual del teodoli to sea perpendicular a la mira.

A un lado del colimador se puede observar el comprobador [F], el

cual, al ser visual izado desde el teodol i to, permite comprobar la

orientación de la mira. La mira debe ser centrada en el punto

sobre un trípode [G].

Para poder medir una distancia horizontal con mira de INVAR , es

necesario medir el ángulo horizontal con un teodol i to con precisión

de por lo menos de 1”.

F IGURA N° 2.9. M IRA HORIZONTAL

30

La aparición de los distanciómetros electrónicos, más rápidos y

precisos en la medición de distancias, ha ido desplazando el uso

de las miras INVAR .

2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES2.2. INSTRUMENTOS PRINCIPALES

TEODOLITOSTEODOLITOSTEODOLITOSTEODOLITOS

El teodol i to es un instrumento util izado en la mayoría de las

operaciones que se realizan en los trabajos topográficos.

Directa o indirectamente, con el teodol i to se pueden medir ángulos

horizontales, ángulos vert icales, distancias y desniveles.

F IGURA N° 2.10. TEODOLITO

Los teodol i tos dif ieren entre sí en cuanto a los sistemas y métodos

de lectura. Existen teodol itos con sistemas de lectura sobre vernier

y nonios de visual directa, microscopios lectores de escala

micrómetros ópticos, sistemas de lectura de coincidencia.

31

F IGURA N° 2.11. LECTURA DEL TEODOLITO

F IGURA N° 2.12. ESCALA DEL TEODOLITO

32

F IGURA N° 2.13. ESCALA DE COINCIDENCIA DEL TEODOLITO

F IGURA N° 2.14. OTRA ESCALA DE COINCIDENCIA DEL TEODOLITO

En cuanto a los métodos de lectura, los teodol itos se clasifican en

repetidores y reiteradores, según podamos o no prefi jar lectura

sobre el circulo horizontal en cero y sumar ángulos repetidamente

33

con el mismo aparato, o medir independientemente N veces un

ángulo sobre diferentes sectores del cí rculo, tomando como valor

f inal el promedio de las medidas.

Aunque como se ha mencionado previamente, los teodoli tos

dif ieren en forma, sistemas de lectura y precisión, básicamente sus

componentes son iguales, por lo que en el presente capítulo se

describen las partes básicas de un teodoli to.

La figura se muestra los tres ejes de un teodoli to;

• Eje vert ical “V-V” o eje de rotación de la al idada

• Eje horizontal “H-H” o eje de rotación del círculo vert ical

• Eje de col imación “C-C”

FIGURA N° 2.15. EJES DE UN TEODOLITO

34

TEODOLITOS ELECTRÓNICOSTEODOLITOS ELECTRÓNICOSTEODOLITOS ELECTRÓNICOSTEODOLITOS ELECTRÓNICOS

El desarrollo de la electrónica y la aparición de los microchips han

hecho posible la construcción de teodol i tos electrónicos con

sistemas digi tales de lectura de ángulos sobre pantal la de cristal

l íquido, faci li tando la lectura y la toma de datos mediante el uso en

l ibretas electrónicas de campo o de tarjetas magnéticas;

el iminando los errores de lectura y anotación y agi l izando el trabajo

de campo. La f igura muestra el teodoli to electrónico DT4 de

SOKKIA.

FIGURA N° 2.16. TEODOLITO ELECTRÓNICO

35

ESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICAESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICAESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICAESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICA

La incorporación de microprocesadores y distanciómetros

electrónicos en los teodol i tos electrónicos, ha dado paso a la

construcción de las Estaciones Totales.

Con una estación total electrónica se pueden medir distancias

vert icales y horizontales, ángulos vert icales y horizontales; e

internamente, con el micro procesador programado, calcular las

coordenadas topográficas (norte, este, elevación) de los puntos

visados. Estos instrumentos poseen también tarjetas magnéticas

para almacenar datos, los cuales pueden ser cargados en el

computador y util izados con el programa de aplicación

seleccionado. La f igura muestra la estación total Wild T-1000 con

pantal la de cristal l íquido, tarjeta de memoria magnética para la

toma de datos y programas de apl icación incorporados para

cálculo y replanteo.

Una de las características importantes tanto los teodol i tos

electrónicos como las estaciones totales, es que pueden medir

ángulos horizontales en ambos sentidos y ángulos vert icales con el

cero en el horizonte o en el zenit.

FIGURA N° 2.17. ESTACIÓN TOTAL ELECTRÓNICA

36

ESTACIONES ROBÓTICAS

A principios de los años noventa, Geotronics AB introdujo en el

mercado el Geodimeter System 4000, primer modelo de estación

total robótica.

El s istema consiste en una estación total con servo motor de

rastreo y una unidad de control remoto de posicionamiento que

controla la es tación total y funciona como emisor y recolector de

datos. Tanto la estación como la unidad de control remoto se

conectan por medio de ondas de radio, por lo que es posible

trabajar en la oscuridad.

Una vez puesta en estación, la estación total es orientada

col imando un punto de referencia conocido y por medio de un

botón se transfiere el control de la estación a la unidad de control

remoto de posicionamiento. A part ir de este momento, el operador

se puede desplazar dentro del área de trabajo con la unidad de

control remoto recolectando los datos. Las estaciones robóticas

vienen con programas de apl icación incorporados, que junto con

las característ icas mencionadas previamente, permi ten, tanto en

los trabajos de levantamiento como en los de replanteo, la

operación del sistema por una sola persona

NIVELES

El nivel tubular o nivel tóricoEl nivel tubular o nivel tóricoEl nivel tubular o nivel tóricoEl nivel tubular o nivel tórico , es un trozo de tubo de vidrio de

sección circular, generado al hacer rotar un cí rculo alrededor de un

centro O, tal y como se muestra en la figura. La superficie es

sel lada en sus extremos y su interior se l lena parcialmente con un

l íquido muy volátil (como éter sul fúrico, alcohol etc.) que al

mezclarse con el aire del espacio restante forma una burbuja de

vapores cuyo centro coincidirá siempre con la parte más alta del

nivel.

37

FIGURA N° 2.18. NIVEL TUBULAR

La parte superior de un nivel tórico viene dividida generalmente en

intervalos de 2 mm de ampl i tud.

La sens ibi lidad S S S S de un nivel se define como el ángulo central, en

segundos, que subtiende el arco correspondiente a una divis ión.

El nivel va protegido por una caja metál ica [A] y se fi ja a la base

del instrumento mediante una art iculación [B] y un tornil lo de

corrección [C]. El eje o tangente central del nivel se local iza en el

punto medio de tangencia, cuando la burbuja está centrada.

Generalmente, los niveles uti l izados en los ins trumentos

topográficos t ienen sensibi lidad de 10”, 20”, 30”, 40” y 75”, de

acuerdo a la precisión requerida.

NNNN IVEL DE INGENIEROIVEL DE INGENIEROIVEL DE INGENIEROIVEL DE INGENIERO

En las operaciones de nivelación, donde es necesario el cálculo de

las diferencias vert icales o desniveles entre puntos, al nivel tórico

se le anexa un telescopio, una base con tornil los nivelantes y un

trípode.

Los niveles difieren entre sí en apariencia, de acuerdo a la

precisión requerida y a los fabricantes del instrumento. En la figura

se representan los componentes básicos de un nivel.

38

FIGURA N° 2.19. PARTES DEL NIVEL DE INGENIERO

FIGURA N° 2.20. NIVEL DE INGENIERO

En la f igura se muestra el nivel Wild N2 con nivel tórico de doble

curvatura. La siguiente f igura muestra el nivel de alta precisión PL1

de Sokkia, empleado en nivelaciones de primer orden. Este t ipo de

nivel posee un prisma de placas plano paralelas y un micrómetro

óptico que permiten, con el empleo de una mira INVAR, aumentar

la precisión de las lecturas a la mira a 1/ 10 de mm. Un ejemplo de

lectura con nivel de placas plano paralelas y micrómetro óptico se

muestra en la b (a) (b)

39

FIGURA N° 2.21. NIVEL DE ALTA PRECISIÓN

En todas las operaciones de nivelación es necesario, antes de

efectuar las lecturas a la mira, chequear la horizontalidad del eje

de col imación.

En algunos niveles, este proceso se realiza ópticamente

proyectando la burbuja del nivel tórico sobre el lente de

col imación, como se muestra en la f igura 2.30, de manera de

hacer la veri ficación al momento de tomar la lectura. En caso de

que no se veri f ique la coincidencia de la burbuja, se usa un tornil lo

basculante que permite, mediante pequeños movimientos, corregir

una eventual incl inación del eje de col imación.

DISTANCIOMETROS ELECTRONICOSDISTANCIOMETROS ELECTRONICOSDISTANCIOMETROS ELECTRONICOSDISTANCIOMETROS ELECTRONICOS

Aunque parezca un proceso senci llo, la medición distancias con

cintas métricas es una operación no solo complicada sino larga,

tediosa y costosa.

Como se mencionó previamente, las cintas se fabrican con

longitudes de hasta 100 m, siendo las de 50 m las de mayor uso

en los trabajos de topografía.

40

Cuando las longitudes a medir exceden la longi tud de la cinta

métrica uti l i zada, se hace necesario dividir la longitud total en

tramos menores o iguales a la longitud de la cinta, incrementando

la probabil idad de cometer errores de procedimiento tales como

errores de al ineación, de lectura, de transcripción, etc.

Diferentes métodos y equipos se han implementado a lo largo de

los años para mediciones de distancias rápidas y precisas.

A f inales de la década del 40, se desarrol ló en Suecia el

GEODÍMETRO, primer instrumento de medición electrónico de

distancias capaz de medir distancias de hasta 40 Km mediante la

trans ición de ondas luminosas, con longi tudes de onda conocida

modulados con energía electromagnética. a. Emisor de rayos láser

b. Detector de rayos

Unos diez años más tarde, en sur África, se desarrolló el

TELURÓMETRO, capaz de medir distancias de hasta 80 Kms

mediante la emisión de micro ondas.

Recientemente, con la introducción de los microprocesadores se

han desarrol lado nuevos instrumentos, más pequeños y l ivianos,

capaces de medir rápidamente distancias de hasta 4 Km con

precisión de ± [1mm + 1 parte por mil lón (ppm)] en donde ± 1 mm

corresponde al error instrumental el cual es independiente de la

distancia media. Los distanciómetros electrónicos se pueden

clasificar en Generadores de micro ondas (ondas de radio) y

Generadores de ondas luminosas (rayos láser e infrarrojos).

Los dis tanciómetros de micro ondas requieren transmisores y

receptores de onda en ambos extremos de la distancia a medir

mientras que los instrumentos basados en la emisión de ondas

luminosas requieren un emisor en un extremo y un prisma reflector

en el extremo contrario.

41

FIGURA N° 2.22. DISTANCIÓMETROS ELECTRÓNICOS

42

CAPÍTULO II I

LEVANTAMIENTOS DE CAMPOLEVANTAMIENTOS DE CAMPOLEVANTAMIENTOS DE CAMPOLEVANTAMIENTOS DE CAMPO

3.1. INTRODUCCIÓN3.1. INTRODUCCIÓN3.1. INTRODUCCIÓN3.1. INTRODUCCIÓN

Las notas de campo son el único registro permanente del trabajo

topográfico que se real iza en un lugar. Si son incompletas o

incorrectas, o si se destruyeran, podría perderse gran parte del

t iempo invert ido en hacer las mediciones precisas, o todo él. Por

tanto, el trabajo del encargado del registro de campo es, con

frecuencia, el más importante y dif íci l en una brigada de

topografía.

Los datos de los regis tros de campo los usa normalmente el

personal de gabinete u ofic ina para hacer dibujos y cálculos. De

manera que es esencial que las notas sean inteligibles para

cualquier enterado, sin tener que mediar explicaciones verbales.

Es recomendable el empleo de letras incl inadas, tipo Reinhardt,

por su claridad y rapidez de escri tura; este t ipo de letras requiere

del mínimo número de trazos s imples para formar una letra.

Las libretas de campo son documentos legales y pueden ser

util izados en los juzgados para establecer l ímites de propiedades,

de modo que deben ser conservadas en forma adecuada, es deci r,

bajo llave y guardadas en cajas a prueba de incendios.

Las anotaciones originales son las que se toman al momento de

hacer las mediciones. Cualquier anotación hecha con

posterioridad, es una copia y deberá anotarse como tal. Las copias

de una libreta de campo carecen de val idez en un juzgado, porque

se prestan a cuestionamiento por las equivocaciones u omisiones

cometidas durante su "copia".

Los estudiantes t ienen la tendencia de anotar sus registros en

hojas sueltas para después pasarlas a la libreta en forma limpia y

nítida. Esta práctica es contraproducente y nuli f ica el trabajo de

43

campo y el instructor debe estar vigilante para que no suceda esta

mala práctica.

Las notas de campo deben escribirse con un lápiz bien afi lado y no

se permiten borraduras de los datos anotados. Si se registrara

incorrectamente un número, se cruzará luego con una pequeña

aspa y a continuación se anotará la correcta. Si se tiene que

cambiar toda una página, se trazará l íneas diagonales entre las

esquinas y se escribirá la palabra CANCELADA, expl icando las

razones.

3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO3.2. REQUISITOS DE UN BUEN REGISTRO

Los requisitos para un buen registro en las l ibretas de campo son:

a) PRECISIÓNa) PRECISIÓNa) PRECISIÓNa) PRECISIÓN

Se anotarán las mediciones hechas en el campo, con sumo

cuidado para no cometer errores ni equivocaciones. De igual

forma, se anotarán los datos completos sin redondeos ni

estimaciones.

b) b) b) b) LEGIBILIDADLEGIBILIDADLEGIBILIDADLEGIBILIDAD

Las notas o registros de campo tienen valor si son legibles. La

presentación de un regis tro legible acredita a un buen estudiante o

topógrafo.

c) c) c) c) INTEGRIDADINTEGRIDADINTEGRIDADINTEGRIDAD

La omisión de una sola medida o detal le puede nuli f icar los

regis tros de campo para el dibujo o cálculo. Debe veri f icarse

cuidadosamente las notas para no tener que regresar al campo y

repetir el levantamiento. Nunca deben ser al terados los datos para

mejorar la calidad del levantamiento.

44

d) d) d) d) ADECUACIÓNADECUACIÓNADECUACIÓNADECUACIÓN

Deben ser util izadas diferentes arreglos de la libreta que se

adecuen convenientemente para el tipo de trabajo que se ejecuta.

e)e)e)e) CLARIDADCLARIDADCLARIDADCLARIDAD

Se debe seleccionar un correcto procedimiento de campo para que

las anotaciones y croquis muestren claridad así se hará más

evidente las equivocaciones u omisiones.

3.3. LIBRETAS DE CAMPO3.3. LIBRETAS DE CAMPO3.3. LIBRETAS DE CAMPO3.3. LIBRETAS DE CAMPO

Las l ibretas de campo por contener datos val iosos, estar expuestas

uso rudo, debe ser un documento de naturaleza permanente. Por

tanto, las empastadas en forma de libro, con cuaderni llos cosidos,

de pasta dura y rígida y, las hojas intercambiables son las

adecuadas u uti l izadas.

Todas las hojas de las libretas de campo contienen rayados

especiales de columnas y f i las para satisfacer las necesidades

part iculares en nivelación, levantamientos con teodol ito,

levantamientos de configuración y determinación de secciones

transversales. Ejemplo:

FIGURA N° 3.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIBRETA DE CAMPO

45

3.4. 3.4. 3.4. 3.4. CLASES DE ANOTACIONESCLASES DE ANOTACIONESCLASES DE ANOTACIONESCLASES DE ANOTACIONES

Hay tres t ipos generales de anotaciones; en la práctica se util iza

comúnmente una combinación de estos tres tipos, que son los

siguientes:

a) a) a) a) TABULACIONESTABULACIONESTABULACIONESTABULACIONES

Las mediciones numéricas se registran en columnas de

acuerdo a un plan prescri to que depende del instrumento que

se use, del orden de precisión del levantamiento y del t ipo de

medida. Ejemplo:

FIGURA N° 3.2. TABULACIÓN EN LA LIBRETA DE CAMPO

ESTACIÓNLECTURA

ATRÁS (m)ALTURA DEL

INSTRUM ENTOLECTURA

ADELANTE (m)DISTANCIAS

(m)COTAS

(m)

A 0.954 0.000 0.000 826.420

B 1.365 3.652 132.580

C 2.654 3.124 108.450

D 3.657 2.259 75.380

E 1.654 1.654 132.520

F 1.234 1.028 109.480

G 3.124 2.145 85.620

H 3.029 0.758 63.250

I 2.954 0.956 45.950

J 2.654 0.857 65.850

K 3.265 0.856 121.650

L 0.000 1.526 75.640

46

b) b) b) b) BOSQUEJOSBOSQUEJOSBOSQUEJOSBOSQUEJOS

Los bosquejos aclaran las anotaciones de campo y deben

usarse con abundancia. Se pueden dibujar a escala real o

aproximada o exagerada para lograr mayor claridad. Las

mediciones deben escribirse directamente sobre el bosquejo, o

macarse en clave en alguna forma, para datos tabulares. La

legibi lidad es un requisito muy importante en cualquier

bosquejo.

FIGURA N° 3.3. BOSQUEJO EN LA LIBRETA DE CAMPO

c) c) c) c) DESCRIPCIONESDESCRIPCIONESDESCRIPCIONESDESCRIPCIONES

Las tabulaciones con o sin bosquejos también pueden

complementarse con descripciones. Una descripción puede

consistir en unas dos palabras para avalar las mediciones

registradas, o pueden ser exposiciones bastante amplias, si ha

de usarse en el futuro, posiblemente años después, para ubicar

un monumento. Cuando exista duda sobre la neces idad de

47

información, incluyese ésta y hágase un bosquejo. Es preferible

contar con información en exceso que tener muy poca.

FIGURA N° 3.4. DISTRIBUCIÓN DE LA ANOTACIONES EN LA LIBRETA DE CAMPO

3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES3.5. DISPOSICIÓN DE LAS ANOTACIONES

Los esti los y formatos de las anotaciones dependen de las normas

part iculares u oficiales y de la preferencia personal. Usualmente,

las páginas del lado izquierdo y las del lado derecho de una l ibreta

de campo se util izan siempre en pares y l levan el mismo número.

El tí tulo del levantamiento deberá escribirse en la parte superior de

la página del lado izquierdo y con frecuencia se extiende hasta la

página del lado derecho. Los t í tulos pueden abreviarse en las

páginas siguientes para el mismo proyecto de levantamiento. La

ubicación y t ipo de operación se anotan bajo el tí tulo.

48

En página izquierda hay por lo general un rayado de seis columnas

destinadas a tabulación solamente. La página derecha es

cuadriculada y se destina a los croquis. Los encabezados de las

columnas se colocan entre las dos primeras l íneas horizontales en

la parte superior de la página izquierda, y se escriben de izquierda

a derecha en el orden anticipado de lectura y anotación. La parte

superior de la página izquierda o de la derecha debe contener

cuatro indicaciones:

a) FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL FECHA, HORA DEL DÍA Y HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL

TRABAJO.TRABAJO.TRABAJO.TRABAJO. Estos datos son necesarios para documentar las

notas y consti tuir un i tinerario, así como para relacionar

diferentes trabajos. Las observaciones sobre precisión,

dif icultades encontradas u otros hechos pueden irse reuniendo

a medida que progresa el trabajo.

F IGURA N° 3.5. FECHA, HORA DE INICIO Y TERMINACIÓN DEL TRABAJO

b) CONDICIONES DEL CLIMA.CONDICIONES DEL CLIMA.CONDICIONES DEL CLIMA.CONDICIONES DEL CLIMA. La intensidad del viento, la

temperatura ambiente y diversos fenómenos meteóricos, como

l luvia, nieve, bril lantez solar y niebla, t ienen un efecto decisivo

en la exacti tud de los trabajos de topografía. Un medidor de

dis tancias no puede hacer bien su trabajo cuando sopla un

fuerte viento o cuando hay aguacero. Por el lo, los detalles sobre

las condiciones del tiempo atmosférico son importantes al

revisar notas de campo, así como para apl icar correcciones a

las longitudes medidas con cinta, por variación de temperatura

y por otros conceptos.

49

FIGURA N° 3.6. CONDICIONES DEL CLIMA

c)c)c)c) BRIGADA DE CAMPO.BRIGADA DE CAMPO.BRIGADA DE CAMPO.BRIGADA DE CAMPO. Conviene anotar el apel lido y las iniciales

necesarias del nombre de cada uno de los miembros de una

brigada, así como sus cargos, para documentación y referencia

futura. Las funciones de cada uno pueden indicarse con

s ímbolos o letras, como:

Para el operador del instrumento, OOOO

Para un ayudante, AyAyAyAy

Para el portador de la mira, PmPmPmPm

Para el anotador, AAAA

Para el Jefe de Brigada, JJJJ

F IGURA N° 3.7. BRIGADA DE CAMPO

c) TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO.TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO.TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO.TIPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO. El t ipo de

instrumento uti l izado y su ajuste afectan la exacti tud de un

levantamiento. La identi f icación del equipo específ icamente

util izado ayuda a local izar los errores en algunos casos.

50

F IGURA N° 3.8. T IPO E IDENTIFICACIÓN DEL INSTRUMENTO

Brújula BruntonCinta de lona

3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO3.6. SUGERENCIAS PARA EL REGISTRO DE CAMPO

Si se siguen las sugerencias que se indican podrán el iminarse

algunas deficiencias y equivocaciones frecuentes en registros de

campo:

a) El nombre y dirección del propietario debe ser escri to en la

página de la libreta y en la tapa, preferentemente con t inta

china.

b) Use un lápiz bien afi lado o use portaminas.

c) Comience el trabajo de cada día en una página nueva.

d) Inmediatamente después de hacer una medición, anótela

s iempre directamente sobre la libreta de registro, y no en una

hoja suelta de papel para copiarla más tarde.

e) No borre ningún dato registrado. Cruce con una pequeña aspa

el valor incorrecto (pero conservando su legibil idad), y anote el

valor correcto debajo de aquel. Cancele una página trazando

diagonales entre las esquinas de la página.

f) Lleve consigo una regl il la para trazar rectas y un pequeño

transportador para trazar ángulos.

g) Uti lice croquis en lugar de tabulaciones cuando haya duda.

h) Haga los dibujos según proporciones generales, en vez de

trazarlos a escala exacta o sin plan alguno.

i ) Exagere los detalles en los esquemas si se mejora con el lo la

claridad, o bien, trace diagramas por separado.

j ) Anote las descripciones y dibujos en l ínea con los datos

numéricos correspondientes.

51

k) Evite el amontonamiento de notas.

l ) Uti lice notas explicativas cuando sea pertinente, teniendo

presente siempre el objeto del trabajo de topografía y las

neces idades de personal que trabajará en la oficina.

m) Procure que el norte quede en la parte superior o al lado

izquierdo en todos los croquis. Es indispensable señalar la

dirección del meridiano.

n) Repita en voz alta los valores que le dicten para anotar. Por

ejemplo, antes de registrar una distancia de 124.24, diga en

voz alta "uno, dos, cuatro, punto, dos, cuatro" para veri f icar la

lectura con el que dio la medida.

o) Escriba siempre un cero antes del punto decimal en caso de

números menores de 1, es decir anote 0.45 en vez de .45.

p) Indique la precisión de las medidas por medio de cifras

s ignif icativas. Por ejemplo, anote 4.60 en vez de 4.6 si la

lectura se determinó realmente hasta los centésimos.

q) No sobrescriba ningún número sobre otro ni sobre las líneas de

croquis y no trate de transformar una cifra en otra, como un 3

en un 5.

r) Haga todas las comprobaciones ari tméticas posibles en las

notas, y regístrelas, antes de retirase del campo.

s) Calcule todos los cierres y relaciones mientras está en el

campo.

t) Escriba su apel lido con la inicial de su nombre en la esquina

inferior derecha de la página en todos los registros originales

52

CAPÍTULO IV

CÁLCULOS DE GABINETECÁLCULOS DE GABINETECÁLCULOS DE GABINETECÁLCULOS DE GABINETE

4.1.4.1.4.1.4.1. IIIINTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓN

La práctica de la topografía comprende trabajos de campo y de

gabinete. El trabajo de campo incluye principalmente a la

obtención de datos y el trazado de elementos de construcción. El

trabajo de gabinete se refiere a los cálculos necesarios para

transformar las mediciones de campo de modo que satisfagan el

propósito d estudio. Por ejemplo, en las mediciones de predios,

uno de los objetivos importantes es la determinación del área.

Los conceptos cómputos y cálculos se consideran sinónimos. Sin

embargo, aquí computadora signif ica un mecanismo de cómputo

digital, de alta velocidad y de gran capacidad de almacenamiento.

El termino calculadora se usará tanto para designar a la maquina

electrónica portáti l o de bolsi llo como a la de escri torio.

4.2.4.2.4.2.4.2. CCCCONSIDERACIONES ONSIDERACIONES ONSIDERACIONES ONSIDERACIONES BBBBÁSICASÁSICASÁSICASÁSICAS

La l impieza y uniformidad del método son tan esenciales en los

cálculos como en la elaboración de los registros de campo. El

arreglo de las operaciones en la secuencia lógica de la solución no

solo ayuda al calcul ista, sino que también facili ta el trabajo del

revisor.

La mayoría de los organismos de ingeniería y topografía ha

diseñado formas de cálculo para f ines generales y para problemas

específ icos.

Una característica muy conveniente del formato de cálculo,

especialmente para el trabajo de estudiantes, es la subdivis ión del

cálculo en tres partes principales, con los siguientes t ítulos:

a) DDDDATOSATOSATOSATOS . Se anotará una descripción concisa o tabla de la

información o datos disponibles.

53

b) IIIINCÓGNITASNCÓGNITASNCÓGNITASNCÓGNITAS . Se indicará lo que debe calcularse o lo que debe

obtenerse.

c) SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN. Comprenderá la descripción completa de todos los

pasos que conduzcan a los resultados deseados.

Todos los resultados de los cálculos de ingeniería se consideran

provisionales hasta que hayan sido comprobados. Más adelante,

cuando sea necesario, se adicionan diversas formas de

veri f icación.

4.3.4.3.4.3.4.3. CCCCALCULADORAS ALCULADORAS ALCULADORAS ALCULADORAS EEEELECTRÓNICAS DE LECTRÓNICAS DE LECTRÓNICAS DE LECTRÓNICAS DE BBBBOLSILLOOLSILLOOLSILLOOLSILLO

La introducción de la pequeña calculadora cientí fica de bolsil lo ha

provocado una drástica modificación de los métodos de cálculo

topográfico. La calculadora electrónica de bolsillo es rápida, fáci l

de usar, exacta y muy versáti l . Las características de operación y

las capacidades relativas de las diferentes marcas y modelos

varían mucho en un amplio rango de precios.

F IGURA N° 4.1. CALCULADORA ELECTRÓNICA DE BOLSILLO

54

La calculadora de la figura permite resolver problemas cientí f icos y

de ingeniería. Da las funciones tr igonométricas más usuales: seno,

cósenos y tangente; sus funciones inversas, tanto en grados

sexagesimales decimalizados, como en grados centesimales y

radianes; puede convert ir coordenadas rectangulares coordenadas

polares, y viceversa. Con una sola tecla calcula recíprocos,

cuadrados y raíces cuadradas, y tiene funciones estadísticas para

determinar medias y desviaciones estándares. La calculara de la

i lustración tiene múl tiples registros de memorias que permiten el

almacenamiento automático de resultados intermedios para

recuperarlos después. Se le la llama calcular programable porque

puede retener y repetir un programa de un cierto número de

pasos. Un programa es, senci llamente, una secuencia de teclazos

que recuerda la calculadora. Cuando hay que real izar un cálculo

i terativo con datos diferentes, la calculadora lo efectúa sin mayor

intervención del calcul ista.

No puede detal larse aquí la amplia gama de aplicaciones. El

manual del propietario proporcionado por el fabricante es la mejor

fuente de información respecto a los procedimientos de operación.

La calculadora electrónica, ya sea de bolsi llo o d escri torio,

representa un gran avance en cuanto a la velocidad, confiabil idad

y faci l idad de los cálculos de campo y de gabinete. Ha

incrementado la productividad del personal de oficina, ha hecho

posible efectuar cálculos preliminares de campo con el fin de

descubrir equivocaciones en las medidas y, en general, ha

reducido el costo del trabajo de gabinete en la topografía.

4.4. 4.4. 4.4. 4.4. UUUUNIDADES DE NIDADES DE NIDADES DE NIDADES DE MMMMEDIDAEDIDAEDIDAEDIDA

Para investigar el origen de las unidades hoy aceptadas de

medición l ineal, como el metro y el pie, se recurre invariablemente

al estudio de la metrología, que se define como la ciencia de las

pesas y las medidas. La investigación de la evolución de varias

unidades lineales comienza con los registros escri tos de los

55

primeros metrólogos, y con el examen y estudio de las ruinas de

varias civi lizaciones antiguas, como las pirámides de Egipto, el

Partenón de Atenas, y Stonehenge en Inglaterra. Uno de los más

notables dispositivos de medición uti l izados por las civi l izaciones

pasadas fue el Ni lómetro, que servía para determinar las alturas de

las inundaciones a lo largo del Nilo.

Las unidades l ineales más primitivas se derivaban de la longitud

de ciertas partes del cuerpo humano. El dígito era la anchura del

primer nudil lo del dedo índice; la cuarta era la longitud de la mano

extendida, desde el pulgar hasta el meñique; el pie era la longitud

del pie humano, y el codo era la distancia a lo largo del antebrazo

desde la art iculación del codo hasta la punta del dedo medio.

F IGURA N° 4.2. UNIDADES PRIMITIVAS DE MEDIDA

Las unidades lineales modernas tuvieron su origen en la yarda y

pie bri tánicos de 1855, y en la toise francesa, de 1766, que tenía

una longitud de cerca de 6.4 pies ingleses. La unidad de longitud

más importante, el metro, está asociada con el desarrol lo de un

amplio sistema métrico. El metro fue originalmente definido como

la diezmil lonésima parte de un cuadrante del meridiano terres tre.

Después de la realización de estudios de exacti tud geodésica, y de

las del iberaciones de geodestas destacados, un tratado

56

internacional determinó la creación, en 1875, de una Oficina

Internacional de Pesas y Medidas. En la primera conferencia, en

1889, se adoptaron nuevas normas para el s istema métrico. El

metro fue redefinido en términos de distancia entre dos marcas

sobre una barra de platino-ir idio, a 0° C. A ésta se le conoce como

el Metro Patrón Internacional.

En Octubre de 1960, en la Conferencia General sobre Pesas y

Medidas (CGPM), Estados Unidos y otras 35 naciones acordaron

redefinir el metro en función de la longitud de onda de una cierta

clase de luz. En la actualidad, el metro es igual a la longitud de

1'650,763.73 ondas de la luz rojo-anaranjada producida por la

combustión del elemento kriptón (Kr 86). La longitud de onda de la

luz rojo-anaranjada del kriptón es una constante real, mientras que

hay cierto riesgo de inestabilidad en la barra patrón de metal. Si la

CGMP hubiera tenido lugar un año después, el rayo láser podría

haberse util izado para fijar la norma en vez de la luz de kriptón.

El metro, el pie, la yarda y otras unidades de longitud, no cambian

ya en real idad, pues el standard de longi tudes de onda y el

standard sólido de metal están en acuerdo satis factorio, aunque

algunas medidas discrepantes están siendo veri ficadas todavía.

4.5. 4.5. 4.5. 4.5. UUUUNIDADES EN NIDADES EN NIDADES EN NIDADES EN TTTTOPOGRAFÍAOPOGRAFÍAOPOGRAFÍAOPOGRAFÍA

a) UNIDADES DE LONGITUD

Las unidades básicas de longitud más empleadas son el pie y el

metro. El pie (foot = ft) es de origen anglosajón y es

universalmente uti l i zado en los países de habla inglesa. El metro

(m) es de origen francés, y se ha convert ido en la unidad adoptada

para uso internacional y cientí f ico. Con el transcurso del t iempo, el

metro desplazará gradualmente al pie, en todos los campos de la

ingeniería.

De la mil le passum de los ejércitos romanos, se derivaron nuestros

términos "mil la" y "paso"; también la pért ica romana, que significa

57

percha o vari l la para medir. La percha se util izó ampliamente

como unidad de longitudes en la medición de predios. Sin

embargo, pronto se reconoció la necesidad de estandarizar la

longitud de la percha y, generalmente, se recomendaba el

s iguiente método:

"Una percha deberá ser determinada de manera

correcta y legal, y de acuerdo con la práctica cientí f ica,

de esta manera: dieciséis hombre, bajos y altos, uno

después de otro, como vayan sal iendo de la iglesia,

deberán colocar, cada uno, un zapato en f ila; y si se

toma una longitud será una percha verdadera"

Entre las unidades de longitud que se usaron en levantamientos

antiguos y que se emplean también en la actual idad en Estados

Unidos, se encuentran las siguientes:

1 pie ( ', f t ) = 12 pulgadas (símbolo: plg, ", in)

1 pulgada (plg) = 25,4 mm

1 yarda (yd) = 3 pies (s ímbolo: pie)

1 metro (m) = 39,37 plg = 3,2808 pie

1 pért iga = 16,5 pie ( rod, pole o perch)

1 vara = 33 plg (unidad española antigua que se uti l izó en el

sudoeste de USA)

1 cadena Gunter = 66 pies = 100 eslabones = 4 pért igas

1 mil la (terres tre) = 5280 pie = 80 cadenas Gunter

1 mil la (náutica) = 6076,10 pie

1 kilómetro (Km) = 0,62137 millas

b) UNIDADES DE SUPERFICIE

El ager, o área de terreno que podía ser arada en un día por una

yunta bueyes, derivó el acre. El acre es la unidad más común de

58

área en USA y es equivalente a 10 cadenas cuadradas Gunter. En

consecuencia, un acre contiene 43 560 pies cuadrados.

Entre las unidades de superficie que se usaron en levantamientos

antiguos y que se emplean también en la actual idad, se

encuentran las siguientes:

1 hectárea (Ha) = 10 000 metros cuadrados (m2)

1 hectárea = 2,471 acres

1 acre = 43 560 pies cuadrados (pie2)

1 acre = 4 046,856 metros cuadrados

1 metro cuadrado = 10,76 pies cuadrados

1 mm cuadrado = 0,00155 plg cuadradas (plg2)

c) UNIDADES ANGULARES

La unidad angular que más se usa en topografía es el grado

(sexagesimal), que se define como el ángulo subtendido por

1/360 avo de una circunferencia. Se han usado también otros

métodos para subdividir una circunferencia, como por ejemplo, en

400 grados centesimales (400g). El radian (rad) es el ángulo

central subtendido por un arco de circunferencia de longitud igual

al radio.

Entre las unidades angulares que se usaron en levantamientos

antiguos y que se emplean también en la actual idad, se

encuentran las siguientes:

1 grado sexagesimal (1°) = 60 minutos sexagesimal

1 minuto sexagesimal (1') = 60 segundos sexagesimal

1 grado centesimal (1g) = 100 minutos g.

1 minuto centesimal (1c) = 100 segundos cc.

1 radian (rad) = 57° 17' 44,8"

1 radian = 57,2958°

1 grado sexagesimal = 0,01745 rad

59

4.6. 4.6. 4.6. 4.6. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA IIIINTERNACIONAL DE NTERNACIONAL DE NTERNACIONAL DE NTERNACIONAL DE UUUUNIDADES NIDADES NIDADES NIDADES (SI)(SI)(SI)(SI)

Actualmente, todos los países están adoptando el Sistema

Internacional de Unidades, que se conoce generalmente como SI.

Este sistema, que no implica cambio alguno en las dimensiones ni

en los valores, será un medio para normal izar y simpli ficar las

unidades de medida en todo el mundo. Las unidades SI de mayor

importancia para los topógrafos (sus símbolos normales se indican

entre paréntesis) son:

El metro (m) para distancias

El metro cuadrado (m2) para superficies

El radián (rad) para ángulos planos y, también,

El grado sexagesimal (1°) para ángulos planos

El metro cúbico (m3) para volúmenes

El ki lómetro (Km) = 1000 m

El milímetro (mm) = 0,001 m

El centímetro (cm) = 0,01 m

El decímetro (dm) = 0,1 m

4.7. 4.7. 4.7. 4.7. CCCC IFRAS IFRAS IFRAS IFRAS SSSS IGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVAS

Cuando se registran medidas, de cualquier clase, una indicación

de la exacti tud lograda es el número de dígitos (ci fras

signif icativas) que se registran. Por definición, el número de cifras

signif icativas en cualquier valor incluye los dígitos pos itivos

(seguros) más uno (solamente uno) que es un dígito estimativo, y

por tanto, cuestionable.

Por ejemplo: una distancia regis trada como 875,52 se dice que

t iene cinco cifras signif icativas; en este caso, los cuatro primeros

dígitos son seguros y el último es cuestionable.

60

A menudo se confunde el número de cifras significativas con el

número de cifras decimales. A continuación algunos ejemplos:

CUADRO N° 4.1. C IFRAS SIGNIFICATIVAS

CIFRAS

SIGNIFICATIVAS EJEMPLOS

DOS CIFRAS 24; 2,4; 0,24; 0,0024; 0,024

TRES CIFRAS 365; 45,6; 0,0000456; 0,0560

CUATRO CIFRAS 3465; 45,67; 0,0006785; 25,00

Con el fin de aclarar el concepto de las cifras s ignificativas,

resultan úti les las siguientes reglas.

i ) Todos los dígitos diferentes de cero son signi ficativos

i i ) Los ceros al principio de un número indican solo la posición del

punto decimal. No son signif icativos.

i i i ) Los ceros entre otros dígitos si son signif icativos

iv) Los ceros al f inal de un número con decimales si son

signif icativos.

4.8.4.8.4.8.4.8. PPPPROBLEMAS ROBLEMAS ROBLEMAS ROBLEMAS RRRRELACIONADOS CON ELACIONADOS CON ELACIONADOS CON ELACIONADOS CON CCCC IFRAS IFRAS IFRAS IFRAS SSSS IGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVASIGNIFICATIVAS

a) Las medidas de campo se presentan con un número

específ ico de cifras signif icativas, con lo cual se indica el

número correspondiente que debe tener un valor calculado.

En el campo es práctica común l levar por lo menos un

dígito más de los que se requieren, y luego redondear la

respuesta al número correcto de cifras signi ficativas. Si se

usan logaritmos o funciones trigonométricas naturales,

deben tener siempre una cifra más que el número de cifras

61

s ignif icativas que se desee tener en la respuesta.

b) Puede haber un número implíci to de ci fras s ignif icativas.

Por ejemplo, la longitud de cierto campo deportivo puede

estar especificada como de 100 yardas. Pero al del imitar el

campo en el terreno, tal distancia se mediría

probablemente al centésimo de pie más próximo, y no a la

media yarda más cercana.

c) Cada factor puede ocasionar una variación igual. Por

ejemplo, si se va a corregir una cinta de acero de 30,00 m

de longitud por un cambio de temperatura de 10°C, uno d

estos números t iene cuatro cifras signif icativas mientras

que el otro sólo tiene dos. Sin embargo, una variación de

10°C en la temperatura cambia la longitud de la cinta en

0,002 m. Por tanto, para este tipo de datos s i se justi fica

una longitud ajustada de la cinta a cuatro cifras

s ignif icativas.

4.9.4.9.4.9.4.9. RRRREDONDEO DE EDONDEO DE EDONDEO DE EDONDEO DE NNNNÚMEROSÚMEROSÚMEROSÚMEROS

Redondear un número es suprimir uno o más dígitos para que la

respuesta sólo contenga aquel los que sean significativos o

necesarios en cálculos subsecuentes. Al redondear números de

cualquier grado es necesario de exacti tud, se debe seguir el

procedimiento siguiente:

a) Cuando el dígito a despreciar sea menor que 5, se escribirá sin

ese dígito. Así, 76,454 se transforma en 76,45.

b) Cuando el dígito a despreciar sea exactamente 5, se usará el

s iguiente número par para el dígito precedente. Así, 56,875 se

transforma en 56,88, y 56,885 se redondea también a 56,88.

c) Cuando el dígito a despreciar sea mayor que 5, se escribirá el

número con el dígito precedente aumentado en una unidad. Así,

32,576 se convierte en 32,58.

62

F IGURA N° 4.3. REDONDEO DE NÚMEROS

4.10.4.10.4.10.4.10. CCCCOMPROBACIONESOMPROBACIONESOMPROBACIONESOMPROBACIONES

En los cálculos de gabinete se enfatiza la gran necesidad de estar

siempre alerta para evitar la introducción de errores notables o

equivocaciones. En part icular, es importante que los datos sean

bien digitados en la calculadora y que los resultados sean

transcri tos de manera correcta a las formas de cálculo.

Por lo general, en el aula de clase o en una oficina de ingeniería,

los resul tados de los cálculos de rutina los compruebe un revisor,

que uti l iza las hojas de cálculo originales. La comprobación más

efectiva sería un cálculo independiente por parte de una segunda

persona, quien de preferencia, usará fórmulas distintas.

Cuando un cálculo de comprobación aparentemente revele errores

o equivocaciones en los cálculos originales, es necesario

asegurarse que la comprobación está correcta antes de aceptar

sus resultados.

En todo trabajo de gabinete, en especial el real izado por

aprendices, siempre es aconsejable que, al concluir el problema,

el calculista se pregunte si el resultado parece razonable.

63

4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS

a) As ignar la cantidad de cifras signif icativas tienen los siguientes

números: 4,4; 56.4; 87,65; 0,44; 0,00000524; 0,474; 0,452;

85.624; 635.0024; 0,5324; 0,623587; 4253;001

b) Redondear a solo dos decimales: 23.365; 0,32578; 63.2584;

21,365; 5324,45287; 63.254

c) Redondear a solo tres decimales: 0,2536; 23.2554; 6332,8557;

0,535; 12,4565; 5632,8524; 0,00052

d) Redondear a solo seis decimales: 52,3265254; 0, 3254875;

6325,8525487; 52,3254588; 3.45283333

64

CAP ÍTULO V

ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE ERRORES EN LOS LEVANTAMIENTOS DE

CAMPOCAMPOCAMPOCAMPO


Toda construcción es la culminación de los procesos de diseño y

planeación; con el la se completa y termina un proyecto. Puede

tratarse de un edif icio, camino, carretera, puente, canal, presa, un

parque industrial, una subdivisión de predio. El proyecto, elaborado

con el propósito de util izarlo para determinado f in y en un lugar

part icular, debe trazarse teniendo en cuenta el lugar especif icado;

al inearse correctamente con respecto a las estructuras adyacentes

y la obra debe construirse de acuerdo a las dimens iones, formas y

características requeridas. Para ejecutar correctamente el trazo

sobre el terreno, es indispensable hacer mediciones.

En el campo, las distancias horizontales se miden con cintas,

vari l las, reglas o aun con estacas marcadas. Las diferencias de

elevación se determinan comúnmente por medio de niveles de

burbuja y una regla graduada o estadal. Casi sin excepción los

ángulos se miden con la ayuda de un teodol i to o tránsito, aunque

muchas veces pueden conseguirse resul tados satisfactorios

usando instrumentos menos precisos, como la brújula.

Las mediciones pueden hacerse directa o indirectamente. Se

efectúa una medición indi recta cuando no es posible aplicar el

instrumento de medida directamente a la distancia o ángulo que

debe medirse. Por tanto, se determina la respuesta por su relación

con algún otro valor conocido. Así, la distancia a través de un río

puede encontrarse midiendo la longitud de una línea trazada sobre

una oril la, el ángulo de cada extremo de esa hasta un punto

situado al otro lado, y calculando luego la distancia deseada por

medio de una de las formulas clásicas de trigonometría.

65

5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS5.2. ERRORES EN LAS MEDIDAS

Se denomina error a la di ferencia entre el valor observado o

calculado de una cantidad y el valor verdadero o ideal. Cuando se

mide una distancia con una cinta dividida en décimos de metro, la

distancia podrá leerse sólo hasta el centés imo de metro (por

interpolación). Si se dispone de una cinta graduada en centésimos

de metro, la misma dis tancia podría estimarse hasta el milésimo. Y

con una cinta graduada en milésimos de metro será posible

obtener una lectura hasta el milésimo metro. Es obvio que la

exacti tud de las medidas depende del tamaño de la divis ión, de la

confiabi lidad del equipo empleado y de las l imi taciones humanas

para apreciar la divis ión de la escala. Por el lo, podemos establecer

incondicionalmente que:

a) Ninguna medida es exacta

b) Toda medida contiene errores

c) Nunca se puede conocer el valor verdadero de una dimensión,

y por tanto,

d) El valor exacto que hay en cualquier medida siempre será

desconocido.

Las equivocacionesequivocacionesequivocacionesequivocaciones son fallas , pura y simplemente, y no se pueden

perdonar; ocurren por una mala comprensión del problema, por

descuido o por un cri terio deficiente. A las grandes equivocaciones

se las llama errores garrafaleserrores garrafaleserrores garrafaleserrores garrafales, y no se tratan como errores. Las

equivocaciones se detectan mediante la comprobación sistemática

de todo trabajo, y se el iminan rehaciendo parte del mismo, o bien,

todo él. Es muy dif íci l descubrir equivocaciones pequeñas porque

se asocian con errores. Cuando no son detectadas, estas

pequeñas equivocaciones pueden tratarse, por tanto, como

errores, y afectarán a los diversos tipos de estos.

En ejecución de una obra es fundamental que todas las

mediciones sean confiables y no contengan equivocaciones.

Mientras avanza la obra, la veri f icación repetida de las medidas

por medio de diversos procedimientos proporciona la confianza

66

requerida, pero se neces ita poner mucho cuidado en comprobar

constantemente los resultados y tener un alto sentido de

responsabilidad.

5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS5.3. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS

Los errores que aparecen en las medidas son de tres clases:

F IGURA N° 5.1. CLASES DE ERRORES EN LAS MEDIDAS

a) a) a) a) ERRORES NATURALESERRORES NATURALESERRORES NATURALESERRORES NATURALES

Son ocasionados por variaciones del viento, la temperatura, la

humedad, la refracción, la gravedad y la decl inación magnética.

Por ejemplo, la longitud de una cinta de acero varía al

presentarse cambios de temperatura ambiental.

b) b) b) b) ERRORES INSTRUMENTALESERRORES INSTRUMENTALESERRORES INSTRUMENTALESERRORES INSTRUMENTALES

Resultan de cualquier imperfección que haya en la construcción

o el ajuste de los instrumentos, y del movimiento de sus partes.

Por ejemplo, las graduaciones pintadas en un estadal o mira de

nivelación pueden no estar perfectamente espaciadas, o el

es tadal podría estar combado. El efecto de la mayor parte de

los errores instrumentales puede reducirse adoptando

procedimientos topográficos adecuados y aplicando

correcciones calculadas.

67

c) c) c) c) ERRORES PEERRORES PEERRORES PEERRORES PERSONALESRSONALESRSONALESRSONALES

Nacen de las l imitaciones de los sentidos humanos de la vista,

el tacto y el oído. Por ejemplo, existe un error pequeño en el

valor medido de un ángulo cuando el hi lo vert ical de la retícula

del anteojo de un teodol i to no queda perfectamente al ineado

sobre un objetivo, o cuando la parte superior de un estadal no

está vert ical al ser visada.

4.4. TIPOS DE ERRORES4.4. TIPOS DE ERRORES4.4. TIPOS DE ERRORES4.4. TIPOS DE ERRORES

Los errores que contienen las medidas son de dos tipos: errores

sistemáticos y errores accidentales.

a) a) a) a) ERRORES SISTEMÁTICOSERRORES SISTEMÁTICOSERRORES SISTEMÁTICOSERRORES SISTEMÁTICOS

Son aquellos cuyas magnitudes y signos se relacionan en forma

directa con las condiciones que rodean a las mediciones. Se

ajustan a las leyes físicas conocidas y son susceptibles de

determinarse matemáticamente. Los cambios en las

condiciones se ven acompañados por los correspondientes

cambios en la magnitud, y a veces en el s igno, del error

resultante. Los errores sistemáticos son acumulativos y

constantes, cuando la magnitud y el s igno del error son igual en

toda la serie de mediciones.

Los errores sistemáticos pueden calcularse y eliminarse sus

efectos. Por ejemplo, una cinta de 50 metros que tiene una

longi tud mayor de 0,006 m, introduci rá un error positivo de

0,006 m (o de 6 mm) cada vez que se uti l iza. El cambio de

longi tud de una cinta de acero que resulta de una diferencia de

temperatura puede calcularse por medio de una formula

s imple, y efectuarse fáci lmente la corrección.

68

b) b) b) b) ERRORES ACCIDENTALESERRORES ACCIDENTALESERRORES ACCIDENTALESERRORES ACCIDENTALES

Son los errores que quedan después de haber el iminado las

equivocaciones y los errores sistemáticos. Son ocasionados por

factores que quedan fuera del control del observador, obedecen

a leyes de la probabil idad y reciben también el nombre de

errores aleatorioserrores aleatorioserrores aleatorioserrores aleatorios. Estos errores están presentes en todas las

mediciones topográficas.

Las magnitudes y los signos de algebraicos de los errores

aleatorios son resultados del azar, y no hay manera absoluta

alguna de calcularlos ni de eliminarlos. A los errores aleatorios

se les conoce también como errores compensativoserrores compensativoserrores compensativoserrores compensativos, porque

t ienden a cancelarse parcialmente entre sí en una serie de

mediciones.

F IGURA N° 5.2. T IPOS DE ERRORES EN LAS MEDIDAS

5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES5.5 MAGNITUD DE LOS ERRORES

Los términos siguientes se encuentran asociadas a la magnitud de

los errores:

a) a) a) a) DISCREPANCIADISCREPANCIADISCREPANCIADISCREPANCIA

Es la diferencia entre dos valores medidos con la misma

cantidad. Es también la diferencia entre el valor medido y el

valor conocido de una cantidad. La discrepancia pequeña entre

dos valores indica que probablemente no hay ninguna

LAS MAGNITUDES Y SIGNOS SE RELACIONAN EN FORMA DIRECTA CON LAS CONDICIONES QUE RODEAN A LAS MEDICIONES.SON SUSCEPTIBLES DE DETERMINARSE Y ELIMINARSE MATEMÁTICAMENTE.PUEDEN SER AUTOCONPENSATORIOS

SON LOS QUE QUEDAN DESPUÉS DE HABER ELIMINADO LAS EQUIVOCACIONES Y LOS ERRORES SISTEMÁTICOS. SON OCASIONADOS POR FACTORES QUE QUEDAN FUERA DEL CONTROL DEL OBSERVADOR, OBEDECEN A LEYES DE LA PROBABILIDAD, POR TANTO, SON ALEATORIOS

69

equivocación y que los errores aleatorios son pequeños. Sin

embargo, no revela la magnitud de los errores s istemáticos. Por

ejemplo, al medir con cinta, de ida y vuelta, una l ínea base de

300 m de largo podría producirse una discrepancia de 0,012 m,

pero si no se calcularan las correcciones por pendiente y

temperatura, ambas mediciones podrían estar erróneas.

b) b) b) b) CONCORDANCIACONCORDANCIACONCORDANCIACONCORDANCIA

Es la precisión entre dos valores medidos con la misma

cantidad. Pero no asegura exacti tud. Por ejemplo, dos medidas

de una dis tancia hechas con una cinta que se supone t iene

50,000 m de longitud pero que en realidad tiene 50,007 m,

podrían resultar ser 135,980m y 135,982 m. Estos valores son

precisos pero no exactos, pues hay un error de

aproximadamente 0,021 m en cada uno.

c) c) c) c) INCERTIDUMBREINCERTIDUMBREINCERTIDUMBREINCERTIDUMBRE

Es la diferencia vaga entre el valor verdadero y la cantidad

medida. Por ejemplo, la incertidumbre de un ángulo es +-15",

es una expresión vaga y, ningún observador podrá determinar

el error en un intervalo tan grande.

F IGURA N° 5.3. MAGNITUDES DE LOS ERRORES

DISCREPANCIA

CONCORDANCIA

INCERTIDUMBRE

EXACTITUD

PRECISIÓN

70

d) d) d) d) PRECISIÓNPRECISIÓNPRECISIÓNPRECISIÓN

Es el grado de posibil idad de repetición entre varias medidas

de la misma cantidad, y se basa en el refinamiento de las

mediciones y en el tamaño de las discrepancias. El grado de

precisión alcanzable depende de la sensibi lidad del equipo y de

la destreza de observador.

e) e) e) e) EXACTITUDEXACTITUDEXACTITUDEXACTITUD

Es la absoluta cercanía al verdadero valor de una medida. Un

levantamiento puede ser preciso sin ser exacto.

5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES5.6. APARICIÓN DE LOS ERRORES

Lo que caracteriza a una medición es que, siempre, contiene error.

El tamaño del error puede reducirse por refinamiento del equipo y

apl icando un procedimiento cuidadoso. En general, se pueden

establecer los siguientes:

a) Los errores pequeños ocurren con mayor frecuencia que los

grandes, es decir, son más probables.

b) Los errores grandes ocurren con poca frecuencia y son, por

tanto, menos probables.

c) Los errores posi t ivos y negativos de la misma magnitud ocurren

con igual frecuencia; es decir, son igualmente probables.

5.7 CALCULO DE ERRORES5.7 CALCULO DE ERRORES5.7 CALCULO DE ERRORES5.7 CALCULO DE ERRORES

A f in de comparar la calidad relativa de varias series de medidas

f ís icas de la misma cantidad, conviene calcular un índice numérico

de la precisión de las observaciones. Dos indicadores muy usuales

son el error estándar y el error probable.

71

F IGURA N° 5.4. INDICADORES MÁS USUALES DE ERRORES

a)a)a)a) ERROR ESTÁNDARERROR ESTÁNDARERROR ESTÁNDARERROR ESTÁNDAR

También llamado desviación estándar o error medio cuadrático,

se uti l iza para la interpretación de datos biológicos,

sociológicos, psicológicos, así como datos relacionados, y en

grado cada vez mayor, para la valoración de observaciones

topográficas. Las ecuaciones los definen son las siguientes.

FORMULA N° 5.1. CÁLCULO DEL ERROR ESTÁNDAR DE UNA SOLA MEDIDA

( )

2

s

v

n 1σ = ±

−

∑

También:

FORMULA N° 5.2. CÁLCULO DEL ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA

( )

2

m

v

n n 1σ = ±

−

∑

72

Asimismo:

FORMULA N° 5.3. CÁLCULO DEL ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA

s sE 0.6745= ± σ

FORMULA N° 5.4. CÁLCULO DEL ERROR PROBABLE DE LA MEDIA

m mE 0.6745= ± σ

Dónde:

σs = Error estándar de una sola medida

σm = Error estándar de la media

Es = Error probable de una sola medida

Em = Error probable de la media

v = residuo

n = número de mediciones

El error probable de una medida que forma parte de una serie

es la mediana o valor central de todos los errores, o residuos,

cuando se le agrupa en orden numérico. Puesto que el número

de errores mayores que el error probable es igual al de errores

menores que éste, la probabi lidad de que un error exceda al

probable es igual a la que un error sea inferior a éste, porque la

probabil idad total es la unidad.

En consecuencia, puede definirse el error probable como la

cantidad que, sumada o restada del valor más probable, f ija

los l ímites dentro de los cuales existe la misma probabi lidad de

que se halle el valor verdadero de la cantidad medida.

73

CUADRO N° 5.1. EJEMPLO DE CÁLCULO ERRORES

No.

MEDI CIÓN Valor (m) v v2

1 2544.364 0.046 0.0021252

2 2544.252 -0.066 0.0043428

3 2544.481 0.163 0.0266016

4 2544.128 -0.190 0.0360620

5 2544.282 -0.036 0.0012888

6 2544.184 -0.134 0.0179292

7 2544.245 -0.073 0.0053144

8 2544.366 0.048 0.0023136

9 2544.425 0.107 0.0114704

10 2544.452 0.134 0.0179828

Promedio 2544.318 0.1254309

Reemplazando:

a) σ s =Error estándar de una sola medida

( ) ( )

2

s

v 0.1254300.118

n 1 10 1σ = ± = =

− −

∑

b) Es =Error probable de una sola medida

( )s sE 0.6745 0.6745 0.118 0.080= ± σ = =

c) σm =Error estándar de la media

( ) ( )

2

m

v 0.1254300.037

n n 1 10 10 1σ = ± = =

− −

∑

74

d) Em = Error probable de la media

( )m mE 0.6745 06745 0.037 0.025= ± σ = =

RESPUESTAS

VP = Valor más probable 2544.318 m

σ s = Error estándar de una sola medida ±0.118 m

Es = Error probable de una sola medida ±0.080 m

σm = Error estándar de la media ±0.037 m

Em = Error probable de la media ±0.025 m

Cuadro N° 5.2. OTRO EJEMPLO DE CÁLCULO ERRORES

No.

MEDI CIÓN

ÁNGULO MEDIDO v v2

GRAD MI N SEG DEC I MAL

1 359 59 12 359.986667 -0.005092 0.000026

2 359 59 24 359.990000 -0.001759 0.000003

3 359 59 8 359.985556 -0.006203 0.000038

4 359 59 36 359.993333 0.001574 0.000002

5 359 59 54 359.998333 0.006574 0.000043

6 359 59 45 359.995833 0.004074 0.000017

7 359 59 32 359.992222 0.000463 0.000000

8 359 59 54 359.998333 0.006574 0.000043

9 359 59 18 359.988333 -0.003426 0.000012

10 359 59 45 359.995833 0.004074 0.000017

11 359 59 24 359.990000 -0.001759 0.000003

12 359 59 12 359.986667 -0.005092 0.000026

359.991759 0.000231

75

Reemplazando:

a) σ s =Error estándar de una sola medida

( ) ( )

2

s

v 0.00023060.004579

n 1 12 1σ = ± = =

− −

∑

b) Es =Error probable de una sola medida

( )s sE 0.6745 0.6745 0.004579 0.003088= ± σ = =

c) σm =Error estándar de la media

( ) ( )

2

m

v 0.0023060.001322

n n 1 12 12 1σ = ± = =

− −

∑

d) Em = Error probable de la media

( )m mE 0.6745 06745 0.01322 0.000892= ± σ = =

RESPUESTAS

VP = Valor más probable 2544.318 m

σ s = Error estándar de una sola medida ±0.04579°

Es = Error probable de una sola medida ±0.003088°

σm = Error estándar de la media ±0.001322°

Em = Error probable de la media ±0.000892°

b)b)b)b) ERROR RELATIVOERROR RELATIVOERROR RELATIVOERROR RELATIVO

FORMULA N° 5.5. CÁLCULO DEL ERROR RELATIVO

srE

Ma

σ=

76

c)c)c)c) ERROR TEMIBLEERROR TEMIBLEERROR TEMIBLEERROR TEMIBLE

FORMULA N° 5.6. CÁLCULO DEL ERROR TEMIBLE

t rE 3E=

d)d)d)d) VALOR MAS PROBABLEVALOR MAS PROBABLEVALOR MAS PROBABLEVALOR MAS PROBABLE

FORMULA N° 5.7. CÁLCULO DEL VALOR MÁS PROBABLE

mp

serieV

n=∑

e)e)e)e) MEDICIONES PONDERADASMEDICIONES PONDERADASMEDICIONES PONDERADASMEDICIONES PONDERADAS

Hasta ahora se ha supuesto que todas las mediciones se han

hecho bajo las mismas condiciones y que son de igual

cal idad. Sin embargo, a veces una observación de una serie

puede ser más confiable que otra. Esa observación debe

ejercer mayor inf luencia sobre el cálculo de resul tados. Al

grado de confiabil idad se le denomina ponderación o pesopesopesopeso de

la medición. Es el valor relat ivo de esa observación respecto

a las demás de la serie.

Se expresa como un número y, siendo del todo relat ivo,

puede multiplicarse por cualquier factor, s iempre y cuando

todos los demás de la serie se multipliquen por la misma

cantidad.

La ecuación general para una media ponderada, es:

FORMULA N° 5.8. CÁLCULO DE UNA MEDIDA PONDERADA

1 1 2 2 3 3 n np

1 2 3 n

wM w M w M .... w MM

w w w .... w

+ + + +=

+ + + +

77

La asignación de pesos depende en gran medida del cri terio,

basado en la experiencia y en el conocimiento de las

condiciones de campo y en el momento en que se efectuaron

las lecturas y mediciones

Al Calcular el valor medio de alguna cantidad a part ir de dos

o más series de medidas, es lógico considerar la precisión

calculada de cada uno de los conjuntos o series. Se toman

los pesos inversamente proporcionales al cuadrado del error

probable (o d del error estándar), o sea:

FORMULA N° 5.9. CÁLCULO DEL VALOR MEDIO UNA SERIE DE MEDIDAS

21 2

22 1

w E

w E=

Ejemplo:

Para i lustración de un ajuste por ponderación, supóngase que

se registran cuatro medidas de una distancia: 482.16, 482.17,

482.20 y 482.18, y que se les dan pesos relativos de 1, 2, 2 y

4, respectivamente, por parte del Jefe de Grupo (o brigada)

de topografía. La medida ponderada se hal la multiplicando

cada medida por su peso, sumando los productos y

dividiendo el total entre la suma de las ponderaciones. En

este caso, la media ponderada es:

p

482.16(1) 482.17(2) 482.20(2) 482.18(4)M 482.18m

1 2 2 4+ + +

= =+ + +

Otro ejemplo:

78

Como segunda ilustración, considérese que los ángulos

medidos de un cierto triangulo son: A = 49° 51’ 15”, peso 1;

B = 60° 32’ 08”, peso 2; y C = 69° 36’ 33”, peso 3. Los

ángulos se ajustaran en proporción inversa a sus pesos

relativos, como en la tabulación que se sigue. El ángulo C

con el peso máximo de (3), t iene la corrección más pequeña,

2x; B recibe 3x; y A, 6x.

CUADRO N° 5.3. CÁLCULO DE MEDIDAS PONDERADAS

VÉRTICE ÁNGULO

MEDIDO PONDERAC IÓN CORRECCIÓN

CORRECCIÓN

CALCULADA

ANGU LO

CORREG IDO

A 49.854167 1 6 0.000606 49.854773

B 60.535556 2 3 0.000303 60.535859

C 69.609167 3 2 0.000202 69.609369

SUMA 179.998889 6 11 0.001111 180.000000

DEFECTO 0.001111 0.0001010

5.5.5.5.8888 PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

a) Con los datos que muestran, calcular el error estándar de una

sola medida, el error estándar de la media, el error probable

de una sola medida y el error probable de la media.

Núm. GRAD MIN SEG

1 125 36 12

2 125 36 24

3 125 36

33

79

4 125 36

36

5 125 36 54

6 125 36 23

7 125 36

32

8 125 36

43

9 125 36 18

10 125 36 45

b) Con los datos que muestran, calcular el error estándar de una



Núm. GRAD MIN SEG

1 539 58 12

2 539 58 45

3 539 58 33

4 539 58 54

5 539 58 54

6 539 58 23

7 539 58 12

8 539 58 43

9 539 58 18

10 539 58 23

c) Con los datos que muestran, calcular el error estándar de una



80

Núm. GRAD MIN SEG

1 1,280 15 12

2 1,280 15 35

3 1,280 15 33

4 1,280 15 54

5 1,280 15 26

6 1,280 15 23

7 1,280 15 56

8 1,280 15 43

9 1,280 15 15

10 1,280 15 23

d) Corregir las medidas del pol ígono que muestra

VÉRTICE Á NGULO MEDIDO PONDERAC IÓN

A 49.854167 1

B 60.535556 2

C 69.609167 3

D 179.998889 6

e) Corregir las medidas del pol ígono que muestra


A 71.635400 2

B 82.132400 2

C 102.240000 4

D 104.129260 1

81

f ) Corregir las medidas del pol ígono que muestra


A 85.345542 2

B 101.252069 5

C 170.136601 4

D 85.548786 1

E 95.597724 4

F 182.266917 3

g) Corregir las medidas del pol ígono que muestra


A 178.775050 2

B 89.132452 4

C 91.617760 4

D 175.104794 2

E 94.828609 4

F 90.313052 1

h) Corregir las medidas del pol ígono que muestra


A 88.518869 1

B 100.716648 5

C 167.835387 4

82

D 90.053064 2

E 93.425606 6

F 178.826897 1

i ) Corregir las medidas del pol ígono que muestra


A 176.379207 1

B 88.270384 5

C 94.869826 3

D 173.660353 2

E 93.623903 3

F 93.062863 3

83

CAPÍTULO VI

MEDIDA DE DISTANCIASMEDIDA DE DISTANCIASMEDIDA DE DISTANCIASMEDIDA DE DISTANCIAS


La medición de distancias es un elemento importante en la

mayoría de los trabajos topográficos. La distancia puede

determinarse a pasos, mediante podómetro, odómetro, estadia

vert ical y horizontal, triangulación, tr i lateración y disposit ivos

electrónicos, pero la medición con cinta es todavía el principal

método para efectuar mediciones de distancia.

6.2. CINTAS6.2. CINTAS6.2. CINTAS6.2. CINTAS

Las cintas topográficas más comunes se fabrican de f leje de acero

de sección constante, con graduaciones a intervalos regulares.

Otras se hacen de una aleación de acero o de tela metál ica o no

metál ica. Existe una gran diversidad de cintas en cuanto a

longitudes, anchos y modos de graduación.

6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN6.3. ACCESORIOS DE MEDICIÓN

Suele util izarse diverso equipo accesorio con las cintas a fin de

real izar la medición de distancias.

a) FICHAS DE CADENERO

Los alf ileres de acero con argol la en un extremo y punta en el

otro se denominan, también, FLECHAS DE CADENAMIENTO. Se

uti l izan para marcar los extremos de la cinta sobre el terreno y

84

para señalar el número de longitudes de cinta en una línea

dada.

b) DINAMÓMETRO DE RESORTE

Se uti l iza para aplicar la tensión apropiada a la cinta cuando

van a real izar mediciones muy cuidadosas.

c) MORDAZA

Se emplea para aprisionar el f leje plano de la cinta de acero sin

torcerlo, cuando se mide menos de una longitud completa de

cinta.

6.4. CALIBRACIÓN6.4. CALIBRACIÓN6.4. CALIBRACIÓN6.4. CALIBRACIÓN

La cal ibración es la comparación de un instrumento o disposit ivo

con un patrón para determinar el valor del instrumento o

disposit ivo en términos de una unidad adoptada. Se considera que

una cinta está cal ibrada cuando la distancia entre sus marcas

extremas se determinó mediante la comparación de ésta, bajo

condiciones prescri tas, con un patrón que representa a dicha

unidad.

Todas las cintas de acero para topografía están bien graduadas

por el fabricante bajo condiciones controladas de temperatura,

tensión y apoyo. Pero cuando se trabaja en el campo, las

condiciones son diferentes.

Para trabajos de baja exacti tud, podría despreciarse el monto del

error en la longitud de la cinta, en condiciones de campo

promedio, pero para mediciones de más alta calidad podría

resultar imprescindible conocer la longitud exacta de la cinta. Para

f ines de comparación, el patrón puede ser una cinta maestra que

85

no se uti l ice en el campo, a f in de protegerla contra daños, o bien,

una l ínea Base local, con la longitud de la cinta, cuyos extremos

estén sól idamente monumentados y cuya longi tud se haya

determinado hasta el diezmillonésimo de metro con una cinta

maestra.

6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA6.5. PROCEDIMIENTO DE MEDICIÓN CON CINTA

Los métodos son variables debido a diferencias en los

requerimientos del proyecto, en el terreno, en la clase de cinta y

en otros factores como las preferencias personales de los jefes de

brigada y las prácticas establecidas de las organizaciones

topográficas.

En general, existen dos métodos básicos para medir distancias con

cinta; se denominan MEDICIÓN CON CINTA HORIZONTAL y

MEDICIÓN CON CINTA INCLINADA. En el primer método, la cinta

se coloca horizontalmente y las posiciones de las marcas finales o

intermedias se transfieren al terreno. En la medición con cinta

incl inada, se determina la pendiente de la cinta, y se calcula la

distancia horizontal correspondiente.

Para la medición correcta por cualquier método se requiere la

sujeción adecuada de la cinta, su cuidadoso al ineamiento, la

apl icación de la tensión correcta, la habil idad en el uso de

plomadas y colocación de f ichas, y el conocimiento de otros

factores –como la temperatura- que afectan la cal idad de la

medición.

6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE6.6. MEDICIÓN EN PENDIENTE

Siempre que la cinta pueda ser colocada convenientemente en el

terreno –no importa que tan pronunciada sea la pendiente- deberá

preferirse así, ya que, este método es más exacto y rápido que

86

tratar de sostener horizontalmente y bajar los puntos al terreno con

plomadas. La única diferencia entre este método y el de medición

sobre terreno plano es que debe apl icarse una corrección, cuya

magni tud se cons iderará en seguida.

De la figura, resulta evidente que el valor de la corrección Cg es la

diferencia entre s y h , la hipotenusa y el cateto horizontal del

triángulo rectángulo cuyos lados son s, h y v.

La relación de los v/h se denomina PENDIENTE, y suele

expresarse en porcentaje; o sea, la elevación o caída en una

distancia de 100 metros. Así una pendiente de 1% es aquella para

la cual el desnivel v es de un metro, en una distancia horizontal de

100 metros. La pendiente se expresa en veces de grados de arco,

indicando el ángulo vert ical entre la horizontal y el terreno

incl inado, pero esta práctica no es común en las mediciones con

cinta.

Según se vio, la corrección Cg es igual a la diferencia s-h, que

puede deducirse del triángulo rectángulo como sigue: s2 = h2 + v2,

o bien, s2 - h2 = v2, de lo cual:

FORMULA N° 6.1. CÁLCULO DE LA PENDIENTE 1

( ) ( ) 2s h s h v− + =

o también:

FORMULA N° 6.2. CÁLCULO DE LA PENDIENTE 2

( )2v

s hs h

− =+

Por lo regular, se desea obtener el valor de Cg cuando se conoce

el valor de v (medido en el campo) y la distancia incl inada es de 20

m; así , h es la incógnita. En el miembro derecho de la ecuación, la

relación v2/ (s+h) es usualmente un número pequeño, y como s y h

87

casi iguales en magnitud, el error que se introduzca será también

pequeño si se supone que s y h son iguales. Con este supuesto la

ecuación queda:

FORMULA N° 6.3. CÁLCULO DE CORRECCIÓN DE LA PENDIENTE

2

g

vC

2s=

debe notarse que las mediciones incl inadas pueden convert irse a

horizontales mediante el ángulo vert ical de incl inación del terrenoα,

obtenido con un Teodoli to o clis ímetro y apl icando la expresión:

FORMULA N° 6.4. CÁLCULO DE MEDIDAS INCLINADAS A HORIZONTALES

h s(cos )= α

Este método produce resultados satisfactorios y es fáci l de aplicar

cuando el ángulo horizontal puede medirse bien.

6.7. 6.7. 6.7. 6.7. CORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTACORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTACORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTACORRECCIONES EN LAS MEDICIONES CON CINTA

La exactitud relativa prescri ta para una medición con cinta

determinará el cuidado con el que se realice el trabajo de campo,

y condicionará también el grado de refinamiento de las

correcciones que se apl iquen a los datos originales u observados.

En general, toda medición deberá corregirse a fin de obtener la

longitud verdadera o mejor, porque la cinta tiene la longitud

correcta (cal ibrada) solo bajo condiciones específicas de tensión,

temperatura y apoyo. Además, cuando los puntos de apoyo no

están en la misma elevación, será necesaria una corrección por

pendiente.

Las principales fuentes de error en el trabajo de mediciones con

cinta pueden identi ficarse en términos de las siguientes

correcciones:

88

a) CORRECCIÓN POR LONGITUD

La longitud de una cinta varía con la temperatura, tensión y

modo de apoyo. La diferencia entre la longitud nominal de una

cinta y su longitud real bajo las condiciones de calibración se

conoce como corrección por longitud, C l. Los cálculos de las

correcciones en las mediciones con cinta siempre comienzan

con la longitud nominal. Entonces, las condiciones de uso en el

campo determinan la magnitud y el signo de las demás

correcciones por apl icar a los valores observados.

Así, al comparar con un patrón se halla que la longitud real de

una cinta es de 20.005 m, el verdadero valor será de 20.005 m,

aunque la dis tancia registrada sea 20.000 m. En consecuencia,

s i la cinta es más larga, la corrección deberá sumar a la

longitud anotada.

Por ejemplo, si va a medirse una distancia con dicha cinta y se

halla que es de 200.76 m, el error resultante será 10 x 0.005 = -

0.05 m, y por tanto, la longitud corregida será 200.76 + 0.05 =

200.81 m.

b) CORRECCIÓN POR TEMPERATURA.

La longitud cal ibrada de una cinta es tal longitud a una

temperatura de 20 °C (68°F). Cuando la temperatura de una

cinta de acero sea menor de 20 °C, la longitud de la cinta será

menor que su longitud calibrada e, inversamente, cuando la

temperatura excede de 20°C, la longitud de la cinta será mayor

que la calibrada. La corrección C t que debe apl icarse a la

longitud observada de una línea debido al efecto de la

temperatura sobre la cinta de acero puede evaluarse mediante

la expresión:

89

FORMULA N° 6.5. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN POR TEMPERATURA

( )t 1 oC 0.0000116 T T L= −

Donde 0.0000116 es el coeficiente de di latación térmica

longitudinal del acero por cada 1°C, T1 es la temperatura en el

campo, To es la temperatura de calibración, y L es la longi tud de

la línea.

Por ejemplo, si To = 20°C y T1 = 28.3°C, la corrección por

temperatura para una cinta de acero de 20 m sería:

( )10.0000116t oC T T L= −

( )0.0000116 28.3 20 20 0.0019tC m= − =

c) CORRECCIÓN POR PENDIENTE

Cuando se efectúa una medición con la cinta en posición

incl inada, la distancia incl inada será siempre mayor que la

distancia horizontal proyectada. Las equivocaciones al tratar de

sujetar horizontalmente la cinta, o al determinar la pendiente,

producirán errores cuya magnitud puede calcularse como ya se

expl icó.

d) CORRECCIÓN POR ALINEAMIENTO

El efecto de la inexacti tud al colocar la cinta en línea es el

mismo en naturaleza y magnitud que el debido a la pendiente.

Sin embargo, puede controlarse con mayor faci lidad que este

último, y los errores resultantes suelen ser pequeños

90

Por ejemplo, qué error resulta si se t iene el extremo de una

cinta de 30 m, 0.80 m más abajo.

( )22 0.8v

Error 0.011m2s 2x30

= = = +

e) CORRECCIÓN POR CATENARIA

Una cinta apoyada solo en los extremos formará en el centro

una catenaria cuyo tamaño es función de su peso por unidad de

longitud y de tensión. El efecto acortador de la catenaria es,

esencialmente, la diferencia entre la longitud de la curva que

forma la cinta y la de la cuerda entre los extremos. La catenaria

hace que la distancia regis trada sea mayor que la longitud real

medida. Cuando la cinta está apoyada en su punto medio, el

efecto de la catenaria en los dos claros será mucho menor que

cuando está apoyada nada más que en los extremos

La corrección por catenaria, Cs, puede calcularse mediante la

ecuación:

FORMULA N° 6.6. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN POR CATENARIA

2

2s

W LC

24P=

Dónde: W es el peso de la cinta entre apoyos; L es el intervalo

entre apoyos; y, P es la tensión de la cinta

Ejemplo. Una cinta de acero de 20 m pesa 0.75 Kg. y está

apoyada en los extremos solamente, con una tensión de 5 kg.

Hal le la corrección por catenaria.

2 2

2 2s

W L 0.75 x20C 0.019m

24P 24x5= = = −

91

Otro. Una cinta de acero de 30 m pesa 0.336 Kg. y está

apoyada a los 0, 15 y 30 m, con una tensión de 5 kg. ¿Cuál es

la corrección por catenaria?

( )

( )

22

22s

0.168 15W LC 2 0.001m

24P 24 5

= = = −

f ) CORRECCIÓN POR TENSIÓN

Puesto que la cinta de acero es elás tica en cierto grado, su

longitud se modificará por variaciones en la tensión aplicada.

Este cambio de longitud no se refiere al efecto sobre catenaria

debido a variaciones en la tensión, sino más bien a la

deformación elástica de la cinta.

La corrección puede estimarse mediante la expres ión

FORMULA N° 6.7. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN POR TENSIÓN

( )1 op

P P LC

AE

−=

Dónde:

Cp = Alargamiento de la cinta de longitud L, en metros

P1 = Tensión aplicada, en kilogramos

Po = Tensión de cal ibración, en ki logramos

A = Área transversal de la cinta, en centímetros cuadrados

E = Modulo de elasticidad del material de la cinta (para el

acero es de 2’100000), en kilogramos por centímetro

cuadrado

92

Ejemplo. Una cinta de acero de 20 m con un área transversal de

0.030 cm2 t iene la longitud correcta bajo una tensión de 5 kg.

Calcule el alargamiento debido a una tensión de 10 kg.

( ) ( )

( )( )1 o

p

P P L 10 5 20C 0.0016m

AE 0.030 2100000

− −= = = +

6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS6.8. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS

Tradicionalmente, las distancias se han medido por comparación

directa con alguna unidad de longitud establecida, como en las

mediciones con cadena o cinta. Pero pueden emplearse otros

procedimientos que implican la medición de magnitudes de las

que se obtiene la distancia en forma indirecta, mediante cálculo.

TAQUIMETRÍA

La palabra taquimetría se deriva del griego y significa “medición

rápida”. Generalmente se aplica a la obtención de distancias

desde una posición del ins trumento –por lo regular, un teodol i to-

mediante la medición de un ángulo pequeño, opuesto a su base

conocida. Los principios matemáticos de la taquimetría fueron

establecidos en 1639 por el astrónomo inglés Will iam Gascogine.

Los instrumentos taquimétricos pueden tener base dentro de sí, o

hacer uso de una base externa.

MÉTODO DE ESTADIA

Es un método rápido de medición de distancias y sus resultados

suficientemente confiables para ciertos trabajos topográficos. Si

las condiciones son favorables, el error no excederá de 1/500. En

los levantamientos con cinta de acero, puede emplearse a f in de

93

detectar equivocaciones. En combinación con la medición de

ángulos vert icales, permite calcular desniveles.

El método de estadia se emplea en levantamientos topográficos e

hidrográficos aunque, en general, su uso ha venido reduciéndose

por los notables avances logrados en ciertos campos de la

topografía, como la cartografía aérea.

El equipo requerido para las mediciones con estadia consiste en

un estadal y un teodol i to cuyo telescopio está provisto de dos hi los

d estadia. Estos se hal lan en el anil lo de la retícula, uno arriba y

otro abajo del hi lo horizontal centrado. El es tadal está graduado en

metros, decímetros y centímetros dispuestos en varias formas.

Las lecturas se hacen fi jando el hi lo inferior sobre una marca de

metro cerrado y observando donde el hi lo superior corta al estadal.

La diferencia entre las dos lecturas se denomina INTERVALO, y

consti tuye una medida de la distancia del instrumento al estadal.

Para medir distancias indirectamente, util izando estadal y teodol i to,

se util iza la ecuación:

FORMULA N° 6.8. CÁLCULO DE DISTANCIAS CON ESTADIA

D kr=

Dónde:

D = Distancia indirecta

k = Factor por el que hay que multipl icar cada diferencia de

lectura. Se le denomina, también, coeficiente de estadia o

constante de estadia del instrumento

r = Diferencia de la lectura superior y la lectura inferior

6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS I6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS I6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS I6.9. MEDICIÓN INDIRECTA DE DISTANCIAS INCLINADASNCLINADASNCLINADASNCLINADAS

En la práctica es poco frecuente tener visuales horizontales al

medir con estadia. Por tanto, conviene extender las

consideraciones teóricas al caso de visuales incl inadas. En terreno

94

incl inado, se pueden obtener las distancias horizontales y el

desnivel entre dos puntos, por el método de estadia, si se lee,

además del intervalo en el estadal, el ángulo de incl inación de la

visual en el círculo vert ical.

En condiciones normales se obtendrán resultados suficientemente

satisfactorios, apl icando las ecuaciones:

FÓRMULA N° 6.9. CÁLCULO DE DISTANCIAS VERTICALES CON ESTADIA

. ( . )V k r sen α=

FÓRMULA N° 6.10. CÁLCULO DE DISTANCIAS HORIZONTALES CON ESTADIA

. .(cos )H k r α=

EJEMPLOS:

Dados r = 0.966, k = 100, y α = 4°20’, calcular H y V.

. (cos ) 100 0.966 0.997141 96.3239H k r x x mα= = =

. . ( ) 100 0.966 0.075559 7.2990V k r sen x x mα= = =

6.10. 6.10. 6.10. 6.10. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

a. Calcular el valor de la corrección para una cinta de acero de 50

metros, sí To = 20°C y T1 = 28.3°C.

b. Cuál es el error resulta si se t iene el extremo de una cinta de 20

m, 0.85 m más abajo.

c. Calcule el alargamiento debido a una tensión de 12 kg de una

cinta de acero de 30 m que t iene un área transversal de 0.030

cm2 s í tiene la longitud correcta bajo una tensión de 6 kg.

d. Calcular la distancia vert ical y la distancia horizontal sí, r =

0.978, k = 100, y α = 4°28’.

95

e. Calcular el valor de la corrección para una cinta de acero de

100 metros, sí To = 22°C y T1 = 25.3°C.

f. Cuál es el error resulta si se t iene el extremo de una cinta de 75

m, 0.58 m más abajo.

g. Calcule el alargamiento debido a una tensión de 15 kg de una



h. Calcular la distancia vert ical y la distancia horizontal sí, r =

0.678, k = 100, y α = 2°28’.

i . Calcular el valor de la corrección para una cinta de acero de

100 metros, sí To = 20°C y T1 = 29.5°C.

j . Cuál es el error resulta si se t iene el extremo de una cinta de

100 m, 0.78 m más abajo.

k. Calcule el alargamiento debido a una tensión de 10kg de una



l . Calcular la distancia vert ical y la distancia horizontal sí, r =

1.648, k = 100, y α = 6° 36’.

96

CAP ÍTULO VII

NIVELACIÓN COMPUESTANIVELACIÓN COMPUESTANIVELACIÓN COMPUESTANIVELACIÓN COMPUESTA


La nivelación, es un término general que aplica a cualquiera de los

diversos procedimientos altimétricos por medio de los cuales se

determinan elevaciones o niveles de puntos, o bien, di ferencias de

elevación o desniveles, es una operación vital para obtener los

datos necesarios para la elaboración de mapas o planos de

configuración y en proyectos de obras de ingeniería y de

construcción. Los resultados de la nivelación se uti l izan:

a) En los proyectos de carreteras, vías férreas y canales que han

de tener pendientes que se adapten en forma óptima a la

topografía existente;

b) Situar obras de construcción de acuerdo a elevaciones

planeadas;

c) Calcular volúmenes de terracerías;

d) Investigar las características de escurrimiento y drenaje de

regiones; y

e) Elaborar mapas y planos que muestren la configuración general

del terreno.

7.2. ALGUNAS 7.2. ALGUNAS 7.2. ALGUNAS 7.2. ALGUNAS DEFINICIONESDEFINICIONESDEFINICIONESDEFINICIONES

Se definen a continuación los conceptos básicos que se emplean

en la nivelación y se i lustran en la figura.

a) LÍNEA VERTICAL

Recta que va hasta el centro de la Tierra desde cualquier punto

dado, e indica la dirección de la gravedad. Comúnmente se

considera materializada por el hi lo de una plomada.

97

b) SUPERFICIE DE NIVEL

Superf icie curva que en cada uno de sus puntos es

perpendicular a la vert ical respectiva. Las superficies de nivel

son de forma aproximadamente esférica o esferoidal. La

superf icie libre de una masa de agua tranquila reproduce una

de tales superficies. En topografía plana se considera a una

superf icie de nivel como una superf icie plana.

F IGURA N° 7.1. ELEMENTOS DE UNA NIVELACIÓN

c) LÍNEA DE NIVEL

Línea contenida en una superficie de nivel y que es, por tanto,

curva.

d) PLANO HORIZONTAL

Plano perpendicular a la vert ical de un lugar.

98

e) LÍNEA HORIZONTAL

Recta perpendicular a la vert ical.

f ) SUPERFICIE DE REFERENCIA

Superf icie de nivel a la cual se refieren las elevaciones (por

ejemplo, el nivel medio del mar). Se le llama a veces plano datoplano datoplano datoplano dato

o plano de comparaciónplano de comparaciónplano de comparaciónplano de comparación, aunque realmente no sea un plano.

g) NIVEL MEDIO DEL MAR (NMM).

Altura media de la superficie del mar según todas las etapas de

marea en un periodo de 19 años. Se determina por lecturas

tomadas generalmente a intervalos de una hora.

h) ELEVACIÓN O COTA

Distancia vert ical medida desde un plano o nivel de referencia

hasta un punto o plano dados. Si la elevación del punto A es de

456.674 m, se dice que la cota de A es 456.674, respecto de

algún plano de referencia. La elevación de un punto sobre el

nivel medio del mar es su coordenada geográfica l lamada

al ti tud.al ti tud.al ti tud.al ti tud.

i ) BANCO DE NIVEL (BN)

Objeto natural o arti f icial relat ivamente permanente, que tiene

un punto f ijo marcado cuya elevación arriba o abajo de un plano

de referencia adoptado, se conoce o se supone. Algunos

ejemplos de bancos de nivel son discos de metal f ijados en

concreto, rocas grandes, partes no movibles de buzones de

desagüe o bordes de aceras o banquetas.

99

j ) NIVELACIÓN

Proceso altimétrico que se sigue para determinar elevaciones

de puntos, o bien, diferencias de elevación entre puntos.

k) CONTROL VERTICAL

Serie de bancos de nivel u otros puntos de cota conocida que

se establecen para un trabajo de topografía o geodesia;

también se l lama control básico de nivel.

7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN7.3. CURVATURA Y REFRACCIÓN

Por las definiciones de superf icie de nivel y de l ínea horizontal , es

evidente que esta úl tima se separa de una superficie de nivel a

causa de la curvaturacurvaturacurvaturacurvatura de la Tierra. En la f igura 7.1. la desviación

vert ical DB de una l ínea horizontal que pasa por el punto A, está

expresada aproximadamente por la fórmula:

FÓRMULA N° 7.1. CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN VERTICAL

C = 0.0785 K2

en la cual el alejamiento de una superficie de nivel respecto a una

l ínea horizontal es C en metros y K sus dis tancia en ki lómetros.

Como los puntos A y B están sobre una l ínea de nivel , tienen la

misma elevación. Si la visual fuera horizontal, la curvatura de la

Tierra ocas ionaría que la lectura en un estadal (o mira de

nivelación) puesto en B estaría aumentada en la magnitud BD.

Los rayos de luz que atraviesan la atmósfera de la Tierra son

desviados o refractados hacia la superf icie de la misma, como se

i lustra en la f igura. As í, una visual teóricamente horizontal, como

AH en la f igura, se desvía de la trayectoria curva AR. El resultado

es que un objeto situado en R parece estar en H, y la lectura que

100

se toma en un estadal emplazado en R se ve disminuida en la

distancia RH.

El efecto de la refracciónrefracciónrefracciónrefracción, que hace que los objetos parezcan más

altos de lo que en real idad están (y como consecuencia, que las

lecturas de estadal sean menores de lo que deberían ser).

El desplazamiento angular que resulta de la refracción es variable.

Depende de las condiciones atmosféricas y del ángulo de una línea

visual forme con la vertical. En el caso de una visual horizontal , la

refracción R en metros, está expresada aproximadamente por la

fórmula:

FÓRMULA N° 7.2. CÁLCULO DE LA REFRACCIÓN

R = 0.011 K2

Este valor es casi la sétima parte del efecto de la curvatura de la

Tierra, pero de sentido contrario.

El efecto combinado de la curvatura y la refracción, hhhh en metros,

es aproximadamente:

FÓRMULA N° 7.3. CÁLCULO COMBINADO DE CURVATURA Y REFRACCIÓN

h = 0.0675 K2

7.4. CLASES DE NIVELACIÓN7.4. CLASES DE NIVELACIÓN7.4. CLASES DE NIVELACIÓN7.4. CLASES DE NIVELACIÓN

Por lo general, las nivelaciones pueden ser directas e indirectas.

a) NIVELACIÓN DIRECTA

Es la operación de determinar desniveles midiendo distancias

vert icales sobre un estadal graduado, mediante un instrumento

de nivelación. En el pasado esta técnica se denominaba

nivelación de burbujanivelación de burbujanivelación de burbujanivelación de burbuja, porque un tubo de nivel lleno de éter o

101

de alcohol consti tuía el medio esencial para hacer horizontal la

visual.

b) NIVELACIÓN INDIRECTA

Que a su vez, pude ser barométrica y trigonométrica. La

nivelación barométricanivelación barométricanivelación barométricanivelación barométrica se apoya en el fenómeno de que las

diferencias de elevación son proporcionales a las diferencias en

la presión atmosférica. Conforme a el lo, las lecturas del

barómetro en varios puntos de la superf icie terrestre

proporcionan una medida de las elevaciones relativas de tales

puntos. La nivelación trigonométricanivelación trigonométricanivelación trigonométricanivelación trigonométrica se basa en la relación que

existe entre los ángulos vert icales observados y las distancias

horizontales o incl inadas medidas.

F IGURA N° 7.2. CLASES DE NIVELACIÓN

7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN7.5. INSTRUMENTO Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN

El instrumento básico usado para medir desniveles es el nivel de nivel de nivel de nivel de

ingenieroingenieroingenieroingeniero. Aunque los hay de muchos t ipos y diseños, consiste

esencialmente en un telescopio para visar y un dispositivo de

nivelación para mantener la visual en pos ición horizontal . Este

disposit ivo puede ser un tubo de alcohol, cuya burbuja debe

centrarse, o un péndulo. Cuando se nivela, cuidadosamente, el

instrumento y se hace gi rar alrededor de su eje vert ical, la visual

DIRECTA INDIRECTA

102

genera aparentemente un plano horizontal. Entonces, a part ir de la

elevación de la visual puede determinarse la elevación de

cualquier punto cercano que esté bajo esa visual hasta un desnivel

igual a la longitud del estadal.

Los trabajos de nivelación requieren del uso de diversos

accesorios. Entre los más importantes tenemos: al tr ípode,tr ípode,tr ípode,tr ípode, que

sostiene la plataforma o base del nivel de ingeniero y mantiene

estable durante la observaciones; el es tadal es tadal es tadal es tadal es, esencia, una regla

graduada que se sostiene en forma vert ical y sirve para medir una

distancia vert ical (diferencia en elevación o desnivel) entre una

visual y un punto específico que esté abajo o arriba de el la. El

punto puede ser una estación permanente como un banco de nivelbanco de nivelbanco de nivelbanco de nivel

o una superf icie natural o arti f icial; la miras de estadal,miras de estadal,miras de estadal,miras de estadal, se usan

cuando algunas condiciones naturales entorpecen las lecturas

directas y es un accesorio que se monta sobre el estadal y

contiene un vernier que facil i ta las mediciones hasta el milésimo

de metro; las niveletas,niveletas,niveletas,niveletas, se fi jan sobre el estadal y son niveles que

sirven para ayudar a mantener vert icalmente al estadal; los puntos puntos puntos puntos

de l iga,de l iga,de l iga,de l iga, son pequeños tr ípodes que se colocan a ras del suelo para

servir de apoyo estable al estadal.

F IGURA N° 7.3. INSTRUMENTOS Y ACCESORIOS DE NIVELACIÓN

103

7.6. ORDENES DE PRECISIÓN7.6. ORDENES DE PRECISIÓN7.6. ORDENES DE PRECISIÓN7.6. ORDENES DE PRECISIÓN

La nivelación se clasifica en tres órdenes de precisión. La

clasificación y las especif icaciones fueron elaboradas en USA, por

el Federal Geodetic Control Committee (FGCC) y publ icadas en

1974. La calidad de la nivelación se juzga por los errores de cierre

de l ínea o de circuito o por la diferencia máxima permisible entre

las corridas hacia adelante y hacia atrás de un tramo de una línea

nivelada.

Un error derror derror derror de cierre de l íneae cierre de l íneae cierre de l íneae cierre de l ínea es la diferencia entre el desnivel medido

entre dos puntos de elevación fi ja y el desnivel correspondiente a

las elevaciones establecidas de esos puntos. Un error de cierre de error de cierre de error de cierre de error de cierre de

circuitocircuitocircuitocircuito es la magnitud por la que no cierra un circuito de

nivelación. Puesto que en la nivelación todos los errores son

accidentales en cuanto a sus efectos, el error de cierre es

proporcional a la raíz cuadrada del número de lecturas. Por lo

tanto, suponiendo que el número de lecturas por ki lómetro será

siempre más o menos el mismo, la exacti tud o el valor del máximo

error permisible en el trabajo de nivelación se expresa como un

coeficiente mult ipl icado por la raíz cuadrada de la distancia, en

kilómetros, denotada en este trabajo por K. Como se indica en el

Cuadro, los órdenes de precisión de la cal idad del trabajo de

nivelación para circuitos o l íneas se establecen en términos de

error de cierre máximo permisible.

F IGURA N° 7.4. ORDENES DE PRECISIÓN DE LA NIVELACIÓN

FU ENTE: Fe dera l Geodet ic Contro l Com mi t te e, USA, 1974.

104

Las nivelaciones de primer y segundo ordenprimer y segundo ordenprimer y segundo ordenprimer y segundo orden son de índole

geodésica, y su estudio está fuera del alcance del presente

trabajo. En cambio la nivelación de tercer ordentercer ordentercer ordentercer orden se asocia más

comúnmente con los trabajos de ingeniería y es aquí de part icular

importancia. Algunos procedimientos de nivelación, como la

barométrica, se consideran de cuarto ordencuarto ordencuarto ordencuarto orden, o menor. No existen

normas especí ficas para este orden de precisión.

7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN7.7. TÉCNICAS DE NIVELACIÓN

a) NIVELACIÓN DIFERENCIAL

Es la técnica más usada para determinar desniveles. Consiste,

esencialmente, en util izar un nivel de ingeniero con una burbuja

sensible, en el que establece una l ínea visual horizontal. Al

nivelarse el instrumento, la línea visual se ajusta de tal modo

que sea paralela al eje del nivel. Sí éste se nivela, la visual del

instrumento, forma un plano horizontal si el aparato se gira

al rededor de su eje vert ical.

A las técnicas de nivelación están asociados una serie de

términos comúnmente empleados, a algunos de el los, pasamos

a definir los brevemente:

Banco de NivelBanco de NivelBanco de NivelBanco de Nivel. (BN)

Es un objeto permanente de elevación conocida. Debe estar

bien definido y local izado donde tenga la menor posibi lidad de

sufrir al teraciones. Como ejemplos pueden citarse un poste de

metal o concreto fi jado en el terreno, un escalón cortado en la

raíz de un árbol , una cuña metál ica clavada en un árbol o

poste, una esquina definida de un puente o edif icio, o un buzón

de desagüe.

105

PPPPUNTO DE UNTO DE UNTO DE UNTO DE LLLL IGAIGAIGAIGA .... (PL)

Es un objeto definido, f i rme, que conserva temporalmente una

elevación durante el proceso de nivelación entre bancos. A

veces, un punto marcado con tiza sobre una banqueta servirá

como un punto de liga. Nunca debe usarse el césped y objetos

débi les o móvi les como puntos de l iga.

VVVV ISTA ISTA ISTA ISTA HHHHACIA ACIA ACIA ACIA AAAATRÁSTRÁSTRÁSTRÁS .... (+)

Es una lectura de estadal hecha sobre un banco de nivel o

punto de l iga de elevación conocida. Es, pues, la distancia

vert ical desde el banco o punto de liga hasta la visual.

AAAALTURA DEL LTURA DEL LTURA DEL LTURA DEL IIIINSTRUMENTONSTRUMENTONSTRUMENTONSTRUMENTO .... (- )

Es la elevación de la visual. Se determina sumando la lectura

hacia atrás de la elevación del punto sobre el que se toma la

lectura. Algunas veces se le llama elevación del instrumento

(EI).

VVVV ISTA ISTA ISTA ISTA HHHHACIA ACIA ACIA ACIA AAAADELANTEDELANTEDELANTEDELANTE .... (-)

Es una lectura de estadal sobre un punto de liga u otro objeto

cuya elevación se desconoce. Es, pues, la distancia vert ical de

la visual al punto observado.

EJEMPLO:

Dada la f igura, la elevación del banco de nivel 36 es de 278,349

m. La lectura hacia atrás (+) es 2,871 m. La lectura hacia

adelante (-) del punto de liga es 0,448 m. La lectura hacia atrás

(+) del punto de l iga es 0,103 m, y la lectura hacia adelante (-)

del banco de nivel 37 es 0,887 m. Calcular la cota del BN 37.

ELEVACIÓN DEL BN 36 278.349 m

LECTURA HACIA ATRÁS DEL BN 36 (+) 2.871 m

106

ALTURA DEL INSTRUMENTO 281.220 m

LECTURA HACIA ADELANTE (PL) (-) 0.448 m

COTA DEL PUNTO DE LIGA 1 280.772 m

LECTURA HACIA ATRÁS DEL PL (+) 0.103 m

ALTURA DEL INSTRUMENTO 280.875 m

LECTURA HACIA ADELANTE (PL) (-) 0.887 m

ELEVACIÓN DEL BN 37 279.988 m

El registro de campo para la nivelación del ejemplo, es el

s iguiente:

CUADRO 7.1. REGISTRO DE CAMPO PARA LA NIVELACIÓN DIFERENCIAL

ESTA CIÓN L ECTU RA

ATRÁ S

ALTU RA

I NSTRU MENTO

L ECTU RA

A DELANTE

EL EVA CIÓN

(COTA)

BN 36 2.871 278.349

PL1 0.103 0.448

BN 37 0.887

107

F IGURA N° 7.5. N IVELACIÓN COMPUESTA

Calculando en la Tabla

CUADRO 7.2. CÁLCULO DE LAS ELEVACIONES

ESTACI ÓN LECTU RA

ATRÁ S

ALTU RA

I NSTRU MENTO

L ECTU RA

ADELA NTE

ELEVACIÓN

(COTA)

BN 36 2.871 281.220 278.349

PL1 0.103 280.875 0.448 280.772

BN 37 0.887 279.988

SUMAS 2.974 1.335

108

CUADRO 7.3. CÁLCULO DEL DESNIVEL

Cota Final (BN 37) 279.988 m

Cota Inicial (BN 36) 278.349 m

Desnivel (BN 36 - BN 37) 1.639 m

CUADRO 7.4. CÁLCULO DE LA COMPROBACIÓN DEL DESNIVEL

COMPROBACIÓN:

Total de Lecturas (+) 2.974 m

Total de Lecturas (-) 1.335 m

Desnivel Comprobado 1.639 m

b) b) b) b) NIVELACIÓN RECIPROCANIVELACIÓN RECIPROCANIVELACIÓN RECIPROCANIVELACIÓN RECIPROCA

Cuando una l ínea cruza un cuerpo de agua extenso o una

hondonada es afectada por los efectos de curvatura,

refracción y desajuste del instrumento. En tal caso, es

recomendable ejecutar una nivelación recíproca. Esta técnica

se ejecuta fi jando el instrumento en medio de los puntos cuyo

desnivel se desea conocer. La media de las lecturas

reciprocas será el desnivel entre los puntos o bancos

medidos.

EJEMPLO:

En la f igura 6.5., la elevación del BN 120 es 226,427 m. Si tuado el

nivel de ingeniero en la margen izquierda, la lectura hacia atrás fue

de 1,442 m y la lectura hacia adelante de 1,911 m. En la segunda

posición (sobre la margen derecha), la lectura hacia atrás fue de

1,795 m y hacia adelante de 2,326 m. Calcular la elevación del BN

121.

109

El desnivel medido es:

( )1.442m 1.911m) (1.795m 2.326m0.500m

2

− + −= −

Por lo tanto, la elevación del BN 121 es:

226.427m 0.500m 225.927m− =


1. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular los

desniveles entre las estaciones de nivelación.

ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

CO TAS

(m)

A 2.356 0.000 0.000 524.120

B 3.254 1.025 56.320

C 1.985 0.985 62.350

D 2.654 0.759 45.210

E 1.752 1.320 35.940

F 0.000 1.024 45.620



ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

CO TAS

(m)

A 1.035 0.000 0.000 125.480

B 0.965 1.654 121.320

110

C 1.024 2.654 98.560

D 1.128 2.957 75.630

E 0.968 3.248 102.540

F 0.000 2.457 56.840





ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

CO TAS

(m)

A 3.254 0.000 0.000 234.450

B 3.027 3.654 132.540

C 2.351 3.054 128.150

D 2.035 2.654 97.520

E 1.257 2.102 132.550

ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

COTAS

(m)

A 3.254 0.000 0.000 536.280

B 2.125 2.354 56.310

C 1.058 1.254 24.870

D 2.654 3.325 45.970

E 3.365 2.654 85.640

F 0.000 3.254 106.450

111

F 0.000 1.324 121.260



ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

CO TAS

(m)

A 0.954 0.000 0.000 826.420

B 1.365 3.652 132.580

C 2.654 3.124 108.450

D 3.657 2.259 75.380

E 1.654 1.654 132.520

F 0.000 1.028 109.480

G 3.124 0.000 0.000

H 3.029 0.758 63.250

I 2.954 0.956 45.950

J 2.654 0.857 65.850

K 3.265 0.856 121.650

L 0.000 1.526 75.640



ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

CO TAS

(m)

A 1.032 0.000 0.000 542.640

B 0.856 2.635 63.520

112

C 1.024 3.024 56.650

D 1.632 3.124 66.540

E 0.965 2.965 54.850

F 0.000 2.856 62.310



ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

CO TAS

(m)

A 0.864 0.000 0.000 425.860

B 0.964 3.965 121.250

C 1.654 2.564 96.650

D 2.594 1.254 123.250

E 3.954 2.957 122.540

F 0.000 3.125 112.540



ESTACIÓN

L ECTU RA

ATRÁ S

( m)

ALTU RA DEL

INST RU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANT E

(m)

DISTANCIA S

(m)

COTAS

(m)

A 3.254 0.000 0.000 428.240

B 0.625 0.654 86.320

C 2.957 3.452 96.320

D 0.325 1.254 79.540

113



ESTACI ÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

ALTU RA DEL

INSTRU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELANTE

(m)

DISTANC IAS

(m)

CO TAS

(m)

A 1.032 0.000 0.000 542.640

B 0.856 2.635 63.520

C 1.024 3.024 56.650

D 1.632 3.124 66.540

E 0.965 2.965 54.850

F 0.000 2.856 62.310

G 0.864 0.000 0.000

H 0.964 3.965 121.250

I 1.654 2.564 96.650

J 2.594 1.254 123.250

K 3.954 2.957 122.540

L 0.000 3.125 112.540

E 1.624 3.654 84.250

F 0.000 3.965 86.360

G 3.124 0.000 0.000

H 3.029 0.758 63.250

I 2.954 0.956 45.950

J 2.654 0.857 65.850

K 3.265 0.856 121.650

L 0.000 1.526 75.640

114



ESTACIÓN

LECTU RA

ATRÁ S

(m)

A LTU RA DEL

INST RU MENTO

(m)

L ECTU RA

ADELA NTE

(m)

DISTANCI AS

(m)

COTAS

(m)

A 3.254 0.000 0.000 428.240

B 0.625 0.654 86.320

C 2.957 3.452 96.320

D 0.325 1.254 79.540

E 1.624 3.654 84.250

F 0.000 3.965 86.360

115

CAPÍTULO VII I

NIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADONIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADONIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADONIVELACIÓN DE CIRCUTO CERRADO


Es la determinación del perf i l de un ci rcui to, es decir, que la

estación de part ida, también, es la estación de llegada. Por tanto,

el error de cierre del circuito permisible debería ser cercano a

cero. Como los errores de cierre se basan en la longitud de las

l íneas o en el número de estaciones del circuito, es lógico que el

ajuste de las cotas deba basarse tanto en la longitud de las l íneas

de l iga como en el número de estaciones.

EJEMPLO:

CUADRO 8.1. REGISTRO DE UNA NIVELACIÓN DE CIRCUITO CERRADO

ESTACIÓN LECTURA ATRÁS (m)

ALTURA DEL INSTRUMENTO

(m)

LECTURA ADELANTE

(m)

DISTANCIAS (m)

COTAS (m)

A 2.325 0.000 0.000 532.240

B 1.654 2.654 86.540

C 3.257 1.957 96.540

D 2.354 2.658 75.640

E 1.654 3.254 86.540

A 0.000 0.744 68.540

CUADRO 8.2. CÁLCULO DE COTAS DE UN CIRCUITO CERRADO

ESTACIÓN LECTURA ATRÁS (m)

ALTURA DEL INSTRUMENTO

(m)

LECTURA ADELANTE

(m)

DISTANCIAS (m)

COTAS (m)

A 2.325 534.565 0.000 0.000 532.240

B 1.654 533.565 2.654 86.540 531.911

C 3.257 534.865 1.957 96.540 531.608

D 2.354 534.561 2.658 75.640 532.207

E 1.654 532.961 3.254 86.540 531.307

A 0.000 532.217 0.744 68.540 532.217

-0.023

116

8.2.8.2.8.2.8.2. COMPROBACIÓN DE COTASCOMPROBACIÓN DE COTASCOMPROBACIÓN DE COTASCOMPROBACIÓN DE COTAS

CUADRO 8.3. CÁLCULO DE COTAS CORREGIDAS

8.3.8.3.8.3.8.3. CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CLASES DE NIVELACIÓN SEGÚN EL ERROR DE CIERRECIERRECIERRECIERRE

1. NIVELACIÓN RÁPIDA. Es cuando el error de cierre máximo

obedece al error que indica la s iguiente ecuación:

FÓRMULA 8.1. CÁLCULO DEL ERROR DE UNA NIVELACIÓN RÁPIDA

Ec 0.10 K= ± K, expresado en Ki lómetros

2. NIVELACIÓN ORDINARIA. Cuando el error de cierre alcanza

como máximo el valor dado por la siguiente ecuación:

FÓRMULA 8.2. CÁLCULO DEL ERROR DE UNA NIVELACIÓN ORDINARIA


3. NIVELACIÓN PRECISA. Cuando el error de cierre máximo

está dado por la siguiente ecuación:

ESTACIÓNLECTURA

ATRÁS (m)

ALTURA DELINSTRUM ENTO

(m)

LECTURAADELANTE

(m)

DISTANCIAS(m)

COTAS(m)

DISTANCIAS ACUM ULADAS

(m)

CORRECCIÓN DE COTAS

(m)

COTAS CORREGIDAS

(m)

A 2.325 534.565 0.000 0.000 532.240 0.000 0.000 532.240

B 1.654 533.565 2.654 86.540 531.911 86.540 0.005 531.916

C 3.257 534.865 1.957 96.540 531.608 183.080 0.010 531.618

D 2.354 534.561 2.658 75.640 532.207 258.720 0.014 532.221

E 1.654 532.961 3.254 86.540 531.307 345.260 0.019 531.326

A 0.000 532.217 0.744 68.540 532.217 413.800 0.023 532.240

11.244 11.267 -0.023 0.000

-0.023

117

FÓRMULA 8.3. CÁLCULO DEL ERROR DE UNA NIVELACIÓN PRECISA



1. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las cotas

corregidas entre las estaciones de nivelación de circuito

cerrado.

ESTA CIÓN LECTURA

ATRÁS ( m)

AL TU RA DEL

INS TR UME NT O

(m)

LECTURA

ADEL AN TE

(m )

DISTAN CIAS

(m )

COTAS

(m )

A 2.325 0.000 0.000 532.240

B 1.654 2.654 86.540

C 3.257 1.957 96.540

D 2.354 2.658 75.640

E 1.654 3.254 86.540

A 0.000 0.744 68.540



cerrado.

ESTA CIÓN LE CT UR A

ATR ÁS (m )

AL TURA DEL

INSTRUMENT O

( m)

LE CT URA

ADE LANTE

(m )

D IS TA NCI AS

( m)

C OTAS

( m)

A 1.365 0.000 0.000 254.450

B 3.624 0.965 102.350

C 3.625 1.254 123.520

D 0.965 3.654 96.540

E 1.214 3.965 89.690

118

A 0.000 0.980 108.320



cerrado.

ESTACI ÓN LECTURA

ATRÁS ( m )

ALTURA D EL

INS TR UME NTO

(m)

LECTURA

ADEL ANTE

( m )

DISTANCIAS

(m )

CO TAS

(m )

A 0.966 0.000 0.000 632.540

B 1.028 3.597 84.250

C 1.654 2.245 86.250

D 2.658 1.324 79.850

E 3.564 1.063 79.280

A 0.000 1.674 88.670



cerrado.


ATRÁS (m )

ALTURA D EL

INS TR UMEN TO

(m)

LECTURA

ADEL AN TE

(m )

D IS TA NCIAS

(m )

COTAS

( m )

A 2.325 0.000 0.000 724.360

B 3.652 3.254 231.250

C 1.658 3.564 198.650

D 3.654 1.965 212.630

E 1.034 1.324 209.640

A 0.000 2.244 186.640

119



cerrado.


ATRÁS (m )

ALTURA D EL

INS TR UMEN TO

(m)

LECTURA

ADEL AN TE

(m )

D IS TA NCIAS

(m )

C OTAS

(m )

A 3.564 0.000 0.000 632.320

B 0.654 0.854 168.650

C 2.864 3.864 209.640

D 1.231 1.021 189.640

E 3.758 3.254 125.640

A 0.000 3.054 235.640



cerrado.


ATRÁS (m )

ALTURA D EL

INS TR UMEN TO

(m)

LECTURA

ADEL AN TE

(m )

D IS TA NCIAS

(m )

C OTAS

(m )

A 0.324 0.000 0.000 864.320

B 0.864 3.758 86.950

C 1.654 3.125 128.640

D 2.654 1.757 206.470

E 3.864 0.524 213.640

A 0.000 0.224 215.860

120



cerrado.


ATRÁS (m )

ALTURA D EL

INS TR UMEN TO

(m)

LECTURA

ADEL AN TE

(m )

D IS TA NCIAS

(m )

C OTAS

( m)

A 0.325 0.000 0.000 832.420

B 3.965 3.569 108.630

C 0.635 1.325 125.640

D 3.858 3.584 136.540

E 0.864 0.635 153.210

A 0.000 0.565 208.340



cerrado.

ESTAC IÓN LE CT UR A

ATRÁS (m )

AL TURA DEL

INSTRUMEN TO

(m)

LE CT URA

ADEL AN TE

(m )

DIS TANCIAS

(m )

C OTAS

( m )

A 3.864 0.000 0.000 726.360

B 3.254 3.321 206.340

C 3.023 3.657 186.640

D 2.856 1.564 214.330

E 2.542 3.858 186.640

A 0.000 3.123 147.660

121



cerrado.



cerrado.

ESTA CIÓN LECTURA

ATRÁS ( m)

ALTURA DEL

INS TR UME NT O

(m)

LE CT UR A

ADEL ANTE (m )

D ISTA NCIAS

(m )

COTAS

(m )

A 2.856 0.000 0.000 236.520

B 2.965 0.954 45.630

C 1.584 1.024 65.620

D 2.548 1.254 42.210

E 2.354 1.021 85.620

F 0.000 0.987 87.320

ESTACI ÓN LECTURA

ATR ÁS (m )

AL TURA DEL

INSTRUMEN TO

(m)

LE CT URA

ADEL ANTE

(m )

D IS TA NCI AS

(m )

COTAS

( m )

A 1.035 0.000 0.000 452.640

B 0.965 0.958 63.250

C 1.024 1.024 86.520

D 1.128 2.365 54.320

E 0.968 2.954 63.650

F 0.000 3.654 52.630

122

CAPÍTULO IX

MEDIDA Y TRAZADO DE PERFILESMEDIDA Y TRAZADO DE PERFILESMEDIDA Y TRAZADO DE PERFILESMEDIDA Y TRAZADO DE PERFILES

9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.9.1. NIVELACIÓN DE PERFILES LONGITUDINALES.

Es la determinación de elevación, de puntos del terreno a

intervalos regulares a lo largo de una l ínea dada. Antes del diseño

y la construcción de redes de drenaje, carreteras, vías férreas, y

obras semejantes, se f ijan estacas a cada 20 m a lo largo del eje.

Estos puntos a cada 20 m se denominan estacionesestacionesestacionesestaciones. Los puntos

entre estaciones completas se llaman puntos intermediospuntos intermediospuntos intermediospuntos intermedios. Una

estaca situada, por ejemplo, a 240 m del punto de inicio se

identi ficará como "2 + 40""2 + 40""2 + 40""2 + 40" . Es aconsejable asignar un número de

estación de, digamos, 2 + 00, al punto inicial de una ruta.

El perfi l longitudinal del terreno es el trazo de la intersección de un

plano vert ical imaginario con la superficie del terreno. Es usual

dibujar el perf i l en papel especial, con la escala vert ical mucho

mayor que la horizontal, y en este plano se efectúan diversos

estudios relativos a determinación de pendientes y estimación de

costos.

Suponiendo que ya se ha efectuado el trazo sobre el terreno con

estacas a cada 20 m, la brigada de nivelación determina primero,

mediante el procedimiento normal de nivelación diferencial, la

altura del instrumento, el cual deberá ins talarse convenientemente

cerca del trazo. En seguida, se hacen lecturas hacia adelante con

el es tadal sobre el terreno, en cada estaca y en los puntos

intermedios donde ocurra un cambio notable de la pendiente del

terreno.

En el cuadro 9.1., puede apreciarse que el regis tro de la nivelación

de perf i les es similar al de la nivelación diferencial , salvo que se

incluye una columna más, con el encabezado de PQ. (Puntos de (Puntos de (Puntos de (Puntos de

Quiebre)Quiebre)Quiebre)Quiebre), para las lecturas del estadal sobre el terreno, y que será

preciso registrar varias de estas lecturas entre puntos de liga,

dependiendo de las condiciones de campo.

123

EJEMPLO 1:

CUADRO N° 9.1. REGISTRO DE CAMPO DE UN PERFIL LONGITUDINAL

ESTACIÓN L ECTU RA

A TRÁ S

ALTU RA

INSTRU MENTO

L ECTU RA

ADELA NTE

PUNTO

QUI EBRE EL EVAC IÓN

BN 0.352 169.926 169.574

O+280 0.450 169.476

O+300 1.410 168.516

PL1 0.126 167.732 2.320 167.606

O+308 0.970 166.762

0+320 1.250 166.482

0+334 1.350 166.382

0+335 2.630 165.102

0+336 1.310 166.422

0+340 1.230 166.502

0+360 0.890 166.842

PL2 1.952 169.264 0.420 167.312

0+380 1.020 168.244

0+388 1.240 168.024

0+392 2.020 167.244

0+400 1.700 167.564

0+408 0.700 168.564

0+420 0.740 168.524

PL3 0.648 168.616

COMPR. 2.430 3.388 -0.958

FUENT E: FUNDAMEN TAL S O F SU RVEYI NG, de Schm idt y Ray ner , U SA, 1978.

124

CUADRO N° 9.2. CÁLCULO DE DESNIVEL DEL PERFIL LONGITUDINAL

Cota Final (0 + 4200 + 4200 + 4200 + 420) 168.616 m

Cota Inicial (0 + 2800 + 2800 + 2800 + 280) 169.574 m

Desnivel (0 + 280 0 + 280 0 + 280 0 + 280 a 0 + 4200 + 4200 + 4200 + 420) - 0.958 m

CUADRO N° 9.3. COMPROBACIÓN DEL DESNIVEL

Total de Lecturas (+) 2.430 m

Total de Lecturas (-) 3.388 m

Desnivel Comprobado -0.958 m

F IGURA N° 9.1. TRAZO DE UN PERFIL LONGITUDINAL

125


1. Con los datos que se muestra en la tabla. Calcular las

elevaciones de cada estación del perf i l longitudinal.

ESTACIÓN LECTU RA

A TRÁ S (m)

ALTU RA

INST RU MENTO

( m)

LECTU RA

ADELANT E

(m9

EL EVA CIÓN

( m)

BN1 2.178 30.476

PL1 4.162 3.689

PL2 5.458 7.169

BN19 3.721 9.215

BN20 4.633 7.345

PL3 6.523 5.207

BN21 4.528 2.151

PL4 5.812 6.178

PL5 6.218 3.724

BN20 7.083 10.448

PL6 5.578 4.171

BN19 9.511 4.856

PL7 8.235 6.321

BN1 3.139



ESTAC IÓN LECTU RA

A TRÁ S (m)

A LTU RA

INSTRU MENTO (m)

LECTU RA

ADELANT E

(m9

ELEVACIÓN

(m)

BN7 2.587 40.476

126

0+0 4.2

0+50 5.6

1+0 6.2

1+50 7.7

PL1 3.655

2+0 8.9

2+31 9.1

2+50 10.0

PL2 6.006

3+0 10.9

+050 11.2

BN19



ESTAC IÓN LECTU RA

A TRÁ S (m)

A LTU RA

INSTRU MENTO (m)

LECTU RA

ADELANT E

(m9

ELEVACIÓN

(m)

BN20 2.761 15.610

PL1 4.470 3.850

BN11 5.120 7.150

BN12 5.610 7.102

PF 3.527

127



ESTAC IÓN LECTU RA

A TRÁ S (m)

A LTU RA

INSTRU MENTO (m)

LECTU RA

ADELANT E

(m9

ELEVACIÓN

(m)

BN28 1.39 74.81

PL1 3.29 7.50

PL2 4.91 8.53

BN29 5.12



ESTAC IÓN LECTU RA

A TRÁ S (m)

A LTU RA

INSTRU MENTO (m)

LECTU RA

ADELANT E

(m9

ELEVACIÓN

(m)

BN28 1.69 457.84

PL1 3.48 6.50

PL2 3.91 1.53

BN29 4.12

128

CAP ÍTULO X

MEDICIONES ANGULARESMEDICIONES ANGULARESMEDICIONES ANGULARESMEDICIONES ANGULARES


Fundamentalmente, el objetivo de un levantamiento topográfico es

la determinación de la posición relativa de puntos sobre o cerca de

la superf icie de la tierra. Para establecer la posición de un punto,

por lo general se requieren mediciones tanto de distancias como

ángulos. Las mediciones angulares pueden ser horizontales o

vert icales, dependiendo del plano en que se miden, y comúnmente

se ejecutan con teodol i tos. Los ángulos horizontales son las

medidas básicas que se necesitan para determinar rumbos y

acimutes.

Los ángulos se miden directamente en el campo o bien pueden

trazarse directamente sobre la hoja de trabajo de una plancheta.

Sin embargo, un ángulo también puede medirse en forma indirecta

con un longímetro y calcularse su valor por la relación de

cantidades conocidas de un triángulo o de otra f igura geométrica

simple.

10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO10.2. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO

Un ángulo puede determinarse por tres conceptos básicos:

a) La línea de referencia,

b) El sentido del giro y

c) La ampli tud

129

FIGURA N° 10.1. DETERMINACIÓN DE UN ÁNGULO

10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES10.3. CLASES DE ÁNGULOS HORIZONTALES

Los ángulos horizontales, es decir, los ángulos medidos en el

plano horizontal pueden ser:

a) Ángulos interiores y exteriores;

b) Ángulos a la derecha y ángulos a la izquierda; y

c) Ángulos de deflexión.

Los ÁNGULOS INTERIORESÁNGULOS INTERIORESÁNGULOS INTERIORESÁNGULOS INTERIORES son los ángulos que quedan dentro de un

pol ígono cerrado. Se miden siguiendo el borde o l ímite de una

f igura hasta cerrar con el punto de part ida. Los ángulos interiores

pueden ser leídos como ángulos a la derecha o ángulos a la

izquierda. Los ÁNGULOS EXTERIORESÁNGULOS EXTERIORESÁNGULOS EXTERIORESÁNGULOS EXTERIORES , son los que quedan fuera del

pol ígono cerrado y son suplementos de los ángulos interiores.

Estos ángulos, habitualmente no se miden, salvo que se usen

como comprobación, ya que la suma de los ángulos interior y

exterior, en cualquier estación, deben ser igual a 360°.

LÍNEA DEREFERENCIA

AMPLITUD

SENTIDO DELGIRO +

130

FIGURA N° 10.2. ÁNGULOS HORIZONTALES INTERIORES Y EXTERIORES

Los ÁNGULOS A LA DERECHAÁNGULOS A LA DERECHAÁNGULOS A LA DERECHAÁNGULOS A LA DERECHA se miden en el sentido de las maneci llas

del reloj y de la estación de atrás a la estación de adelante. Los

ÁNGULOS HACIA LA IZQÁNGULOS HACIA LA IZQÁNGULOS HACIA LA IZQÁNGULOS HACIA LA IZQUIERDAUIERDAUIERDAUIERDA, se miden en sentido contrario a las

maneci llas del reloj y también de la estación de atrás a la estación

de adelante. En el campo es recomendable medir los ángulos

hacia la izquierda sí se dispone de un teodoli to que de lecturas

directas hacia la izquierda.

FIGURA N° 10.3. ÁNGULOS HORIZONTALES A LA IZQUIERDA Y A LA DERECHA

A

B

C

D

E

ÁNGULOA LA

IZQUIERDA ÁNGULO A LA

DERECHA

131

Los ÁNGULOS DE DEFLEXIÓNÁNGULOS DE DEFLEXIÓNÁNGULOS DE DEFLEXIÓNÁNGULOS DE DEFLEXIÓN, se miden ya sea hacia la derecha

(según las manecillas del reloj) o hacia la izquierda (contra las

maneci llas del reloj) a part ir de la prolongación de la l ínea de atrás

y hacia la estación de adelante. Los ángulos de deflexión son

siempre menores a 180°, y debe especif icarse en sentido del giro

en que se miden. Así la deflexión a la derecha es DDDD y la deflexión a

la izquierda es IIII .

FIGURA N° 10.4. ÁNGULOS HORIZONTALES DE DEFLEXIÓN

10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA10.4. DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA

La dirección de una l ínea es su ángulo horizontal medido desde

una l ínea de referencia establecida, a la que se denomina

meridiano de referenciameridiano de referenciameridiano de referenciameridiano de referencia. El meridiano magnético es el que adopta

generalmente. Si no se dispone del meridiano de referencia, puede

seleccionarse un meridiano supuestomeridiano supuestomeridiano supuestomeridiano supuesto o arbitrarioarbitrarioarbitrarioarbitrario, para establecer

posteriormente su relación con la l ínea meridiana.

132

F IGURA N° 10.5. MERIDIANO VERDADERO Y MAGNÉTICO

El meridiano verdaderoverdaderoverdaderoverdadero para cualquier punto de la superf icie de la

Tierra es el círculo máximo que pasa por los polos geográficos

norte y sur.

La dirección de un meridiano magnéticomagnéticomagnéticomagnético se define por medio de

una aguja magnética suspendida libremente, y bajo la influencia

sólo del campo magnético de la Tierra. Un polo magnético es el

centro de convergencia de los meridianos magnéticos.

Para establecer un meridiano supuesto, debe asignarse a una l ínea

recta, la condición de línea norte-sur verdadera. La dirección de

todas las demás l íneas, se determinan con relación a ésta.

10.5. AZIMUT10.5. AZIMUT10.5. AZIMUT10.5. AZIMUT

El azimut de una línea es el ángulo horizontal medido en el sentido

de las manecil las del reloj desde cualquier meridiano de

referencia, a partir de 0° hasta 360° y no requieren de letras para

identi ficar al cuadrante. Cada l ínea t iene dos azimutes,

dependiendo de la posición en que se encuentre el observador.

Por ejemplo, si se t iene una l ínea AB, el azimut será directo, sí se

133

mide de A á B y, será inverso sí se mide de B á A. Así mismo, un

azimut directo puede convert irse en inverso, y viceversa, sí se le

suma o resta 180°.

F IGURA N° 10.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE AZ IMUTES

Los acimutes pueden ser verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o verdaderos, magnéticos, de cuadrícula o

supuestossupuestossupuestossupuestos, dependiendo del meridiano de referencia que use. En

topografía plana, el azimut se mide generalmente a partir del Norte

Magnético.

10.6. RUMBOS10.6. RUMBOS10.6. RUMBOS10.6. RUMBOS

El rumbo de una l ínea es el ángulo horizontal comprendido entre

un meridiano de referencia y la l ínea. Los rumbos se miden a favor

o en contra de las maneci llas del reloj, dependiendo del cuadrante,

a part ir de la l ínea norte o sur y su valor jamás supera los 90°.

134

F IGURA N° 10.7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RUMBOS

Para identi f icar un rumbo, se nombra primero el extremo del

meridiano a partir del cual se mide (NNNNorte o SSSSur), luego, el valor

del ángulo, y f inalmente, la dirección (EEEEste ú OOOOeste) que forma a

part ir del meridiano. Por ejemplo, una l ínea que es tá en el I II

Cuadrante, formando un ángulo de 37° 40' 30" con el meridiano sur

de referencia, tiene un rumbo de S S S S 37° 40' 30" WWWW.

Los rumbos, como los acimutes, pueden ser verdaderos, verdaderos, verdaderos, verdaderos,

magnéticos, de cuadrícula o supuestosmagnéticos, de cuadrícula o supuestosmagnéticos, de cuadrícula o supuestosmagnéticos, de cuadrícula o supuestos, dependiendo del

meridiano de referencia que use. En topografía plana, el rumbo se

mide generalmente a part ir del Norte Magnético.

10.7. 10.7. 10.7. 10.7. COMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOSCOMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOSCOMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOSCOMPARACIÓN DE AZIMUTES Y RUMBOS

Como los rumbos y los acimutes se encuentran en la mayoría de

las operaciones topográficas, es necesario resumir y comparar sus

propiedades.

135

CUADRO N° 10.1. COMPARACIÓN ENTRE AZIMUTES Y RUMBOS

A Z I M U T E SA Z I M U T E SA Z I M U T E SA Z I M U T E S R U M B O SR U M B O SR U M B O SR U M B O S

Varían de 0° a 360° Varían de 0° a 90°

Requieren un sólo valor

numérico.

Requieren dos letras y un

valor numérico.

Pueden ser verdaderos,

magnéticos, supuestos,

directos o inversos

Igual que los acimutes

Sólo se miden en el sentido

de las maneci llas del reloj.

Se miden a favor o en

contra de las maneci llas del

reloj.

Sólo se miden a parti r del

norte.

Se miden a partir del norte

o sur.

10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES10.8. CÁLCULO DE AZIMUTES

Los cálculos de acimutes como de rumbos, se hacen mejor con la

ayuda de un esquema (gráfico o dibujo). En la tabla 8.2. Se

presenta los cálculos para todos los acimutes de la f igura 8.7.

Obsérvese que nuevamente se logra una veri ficación recalculando

el azimut del lado de partida uti l izando el último ángulo.

CUADRO N° 10.2. CÁLCULO DE AZIMUTES

VÉRTICE ÁNGULO

I NTERNO

LADO AZ IMUT ( ° )

A 115.166667 AB 311.500000

B 118.866667 BC 12.633333

C 135.700000 CD 56.933333

D 132.500000 DE 104.433333

136

E 88.583333 EF 195.850000

F 129.183333 FA 246.666667

TOTAL 720.000000

F IGURA N° 10.8. UBICACIÓN DE LOS ÁNGULOS AZIMUTALES

10.9. CALCULO DE RUMBOS10.9. CALCULO DE RUMBOS10.9. CALCULO DE RUMBOS10.9. CALCULO DE RUMBOS

Es en las poligonales en donde se requieren, con mayor

necesidad, de los rumbos. Estos deben calcularse cuidadosamente

para evitar pos ibles errores personales. Los ángulos de las

pol igonales tienen que ajustarse al total geométrico correcto antes

de calcular rumbos. Como los ángulos interiores de una pol igonal

cerrada deben ser iguales al valor (n-2)180°, el rumbo original y el

calculado para comprobación deben ser iguales.

137

F IGURA N° 10.9. UBICACIÓN DE LOS RUMBOS DE UNA POLIGONAL

El rumbo de cualquier l ínea de part ida debe recalcularse como

comprobación usando el último ángulo. Toda discrepancia indica

un error ari tmético, o bien, que no se ajustaron correctamente los

ángulos antes de calcular los rumbos.

F IGURA N° 10.10. EJEMPLO DE CÁLCULO DE AZIMUTES

NM

NM

NM

NM

A

B

C

D

138


a) Se t iene la l ínea BC con rumbo S 81° 36' E. Se gira un ángulo a

la izquierda (en sentido contrario al de las maneci llas del reloj)

en el punto C, con valor de 92°35'. Calcúlese el rumbo de la

l ínea CD.

b) Se t iene la l ínea CD con rumbo S 05° 49' W. y un ángulo gi rado

hacia la izquierda en D, de 134° 30'. Calcúlese el rumbo de la

l ínea DE.

c) Se t iene la l ínea DE con rumbo S 51° 19' W; ángulo DEF = 134°

42' medido hacia la izquierda en E. Calcúlese el rumbo de la

l ínea EF.

d) Una l ínea EF con rumbo N 83° 23' W y un ángulo izquierdo de

115° 51' en F. Calcúlese el rumbo de la l ínea FA.

e) Se t iene el azimut de la l ínea BC = 98° 24' el ángulo C = 92° 35'

a la izquierda. Calcular el azimut de CD.

f) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección

norte precisamente. La estación C se hal la al este de B.

calcúlese los rumbos y tabule los acimutes de cada lado para

los ángulos interiores medidos en el sentido del reloj . A = 141°

16', B = 110° 31', C = 86° 01 ', D = 51° 46' y D = 150° 26'.

g) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección




50', B = 42° 21 ', C = 97° 33 ', D = 134° 07' y D = 99° 09'.

h) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección



los ángulos interiores medidos en el sentido del reloj. A = 62°

10', B = 136° 27', C = 130° 52 ', D = 81° 35' y D = 128° 56'.

i ) El lado AB de un pol ígono de cinco lados está en la dirección



139


28', B = 82° 13', C = 106° 43 ', D = 72° 58' y D = 159° 58 '.

j ) Calcular los rumbos y tabular los acimutes de un hexágono

regular, conociendo el rumbo de part ida de AB = N 45° 45' E.

La estación C está al oeste de B.

k) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en

la tabla adjunta, si el rumbo de partida, medido en el lado AB,

es S 10.624500° E

VÉRTICE Á NGULO ( °)

A 96.123600

B 93.254500

C 103.454200

D 137.254300

E 110.224100

l ) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en


es N 72.364500° W

VÉRTICE ÁNG ULO ( ° )

A 91.245200

B 89.235400

C 90.251200

D 72.541600

E 196.312500

m) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en


es N 28.124600° E

140

VÉRTI CE Á NGULO ( °)

A 91.254300

B 195.864200

C 71.452400

D 91.245600

E 89.864500

n) Calcular los rumbos del predio cuyas medidas se muestran en


es N 5.236400° E


A 135.254600

B 102.456200

C 92.568400

D 98.425800

E 111.664500

o) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en

la tabla adjunta, si el azimut de partida, medido en el lado AB,

es 180.000000°

VÉRTI CE ÁNGULO ( °)

A 83.240000

B 92.340000

C 92.240000

D 92.840000

141

p) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en


es 53.245600°

VÉRTI CE ÁNGULO ( °)

A 98.360000

B 84.210000

C 96.240000

D 80.840000

q) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en


es 125.647500°

VÉRTICE ÁNGULO ( °)

A 91.125000

B 89.365000

C 86.245000

D 93.545000

r) Calcular los acimutes del predio cuyas medidas se muestran en

la tabla adjunta, si el azimut de partida, medido en el lado PQ,

es 325.642500°

VÉRTI CE Á NGULO ( °)

P 88.455000

Q 82.455000

R 100.845000

S 88.645000

142

CAPÍTULO XI

POLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓN


Los levantamientos con teodoli to tienen por objeto:

1. Situar determinados detalles en la configuración del terreno

2. Señalar o replantear puntos o alineaciones de longitud y

di rección dadas, que han de servir de base para el proyecto de

ciertas obras o apl icaciones

Los trabajos con teodol i to pueden dividirse, en general, en dos

grupos:

1. Establecimiento de una red de pol igonales mediante un

sistema de estaciones y al ineaciones, que se l lama red de red de red de red de

apoyo.apoyo.apoyo.apoyo.

F IGURA N° 11.1. EJEMPLO DE UNA RED DE APOYO

2. Situación, con respecto a esta red de apoyo, de todos los

detalles del terreno que consti tuyen el rel lenorel lenorel lenorel leno del

levantamiento.

143

F IGURA N° 11.2. EJEMPLO DE UN RELLENO

En algunos trabajos apenas es necesario tomar detal les, como

sucede al levantar los l inderos de una f inca, donde el teodoli to se

estaciona generalmente en las esquinas o vért ices del perímetro, y

sí las l íneas son rectas no hay que tomar detalle alguno

propiamente dicho. En cambio, hay otros trabajos en que los

detalles, tomados desde la red de apoyo, consti tuye el principal

objetivo principal del levantamiento, para poder representar la

configuración del terreno y dibujar el plano correspondiente.

En algunos levantamientos se van tomando los detal les a medida

que se establece la red de poligonales; en otros se observa

primero la red y después de comprobada se procede al rel leno de

detalles. Este último procedimiento es el que se sigue cuando se

opera sobre una extensión considerable de terreno y cuando las

técnicas y los instrumentos empleados para la poligonación no son

los mismos que para el relleno.

144

11.2.11.2.11.2.11.2. TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO TÉCNICAS DE LEVANTAMIENTO CON TEODOLITO

RADIACIÓNRADIACIÓNRADIACIÓNRADIACIÓN

Es la técnica más senci l la para operar con teodoli to y cinta.

Consiste en hacer una sola estación con aquel y tomar

desde ella los ángulos y distancias a los puntos asequibles.

Estos puntos se suelen llamar destacados o radiados.

Para hacer un levantamiento con esta técnica es preciso que

la superf icie objeto del mismo sea de poca extensión.

Generalmente, se emplea para s ituar detal les en

levantamientos más extensos.

F IGURA N° 11.3. TÉCNICA DE RADIACIÓN

INTERSECCIÓNINTERSECCIÓNINTERSECCIÓNINTERSECCIÓN

También es una técnica muy senci lla. Consiste en tomar dos

estaciones, cuya l ínea de unión se l lama base; desde cada una

de las estaciones se dirigen visuales a los puntos que se

quieren situar y se anotan los ángulos respectivos. De este

modo, un punto cualquiera queda situado por dos ángulos

leídos desde los extremos de la base y por la longitud de esta

úl tima.

Se emplea en levantamientos de pequeñas superf icie y para el

rel leno de planos levantados con teodoli to. Asimismo, no se

145

aplica en el levantamiento de linderos, no solo por los muchos

cálculos que su uso entraña, sino por la inseguridad de los

valores resultantes cuando los tr iángulos tienen ángulos muy

agudos.

F IGURA N° 11.4. TÉCNICA DE INTERSECCIÓN

POLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓNPOLIGONACIÓN

Es ta técnica se aplica para situar detal les del terreno

(part iendo de estaciones con teodol i to) o para determinar

puntos o líneas previamente medidos (replanteados). Se

clasifica, a su vez, en:

Poligonal cerrada

Poligonal abierta

Poligonal con ángulos de deflexión

Poligonal con ángulos acimutales

Poligonal con ángulos interiores

Poligonal con ángulos exteriores

146

11.3. COORDENADAS RECTANGULARES11.3. COORDENADAS RECTANGULARES11.3. COORDENADAS RECTANGULARES11.3. COORDENADAS RECTANGULARES

En la práctica de la Topografía se acostumbra defini r la posición de

un punto con referencia dos l íneas que se intersecan en ángulos

rectos en algún punto seleccionado. Las coordenadas

rectangulares planas de un punto son las dis tancias al punto desde

ese par de ejes mutuamente perpendiculares. La distancia desde

el eje X será la coordenada Y y la distancia desde el eje Y será la

coordenada X.

FÓRMULA N° 11.1. CÁLCULO DE LA COORDENADA X

XL.sen∆ = α

FÓRMULA N° 11.2. CÁLCULO DE LA COORDENADA Y

YL.cos∆ = β

F IGURA N° 11.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE COORDENADAS

ÁNGULODEL

RUMBO

LONGITUD

X∆

Y∆

147

Convencionalmente, se asigna al eje X la di rección este-oeste, y

al eje Y la dirección norte-sur. Por ello, en la práctica, las

coordenadas x crecen hacia el este y las y hacia el norte. Con

frecuencia se denomina a tales coordenadas E y N,

respectivamente. Con el fin de evitar valores negativos, el origen (x

= cero e y = cero) se ubica bastante lejos al sur y al oeste del

área por levantar.

11.4. LATITUDES Y ALEJAMIE11.4. LATITUDES Y ALEJAMIE11.4. LATITUDES Y ALEJAMIE11.4. LATITUDES Y ALEJAMIENTOS NTOS NTOS NTOS

El uso de las coordenadas rectangulares es la técnica más

conveniente para expresar las pos iciones horizontales de los

puntos de un levantamiento. Las coordenadas de un punto definen

de manera única su posición respecto a cualquier otro punto

localizado en el mismo sistema. Las coordenadas se emplean para

muchos f ines, entre ellos el dibujo topográfico y el cálculo de áreas

de predios.

Los términos lati tud y alejamiento se usan frecuentemente en los

cálculos de coordenadas rectangulares. Se definen como sigue:

La lati tud de una l ínea es su proyección sobre el meridiano de

referencia

El alejamiento se una l ínea es su proyección sobre la línea este-

oeste perpendicular al meridiano de referencia.

Es evidente que la lati tud aquí definida no es lo mismo que la

lat i tud geográfica.

Las expresiones básicas para calcular lat i tud y alejamiento son:

FÓRMULA N° 11.3. CÁLCULO DE LATITUDES

Latitud Longitud(cos )= α

148

FÓRMULA N° 11.4. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS

Alejamiento Longitud(sen )= α

α = ángulo del rumbo

F IGURA N° 11.6. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES

Las lati tudes son Norte, o posi tivas, cuando las líneas t ienen rumbo

norte; y sur, o negativas cuando las líneas t ienen rumbo sur.

Los alejamientos son este, o positivas, cuando las l íneas t ienen

rumbo este; y oeste, o negativas, cuando las l íneas tienen rumbo

oeste. A las lat i tudes también se les l laman proyecciones en Y, y a

los alejamientos, proyecciones en X.

149

11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL11.5. CÁLCULO TIPO DE UNA POLIGONAL

El cálculo típico de una pol igonal abarca conceptos fundamentales

ampliamente util i zados en varios cálculos topográficos. Además, la

secuencia progresiva de las operaciones consti tuye un excelente

ejemplo de procedimiento ordenado de cálculo, seguido con

frecuencia en la solución de un problema típico dado. El cálculo de

una pol igonal cerrada, incluyendo la determinación de su área,

comprende la ejecución de una ordenada secuencia de

operaciones, que se muestra a continuación.

1. EL GRÁFICO

F IGURA N° 11.7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA POLIGONAL

150

2.2.2.2. LOS DATOSLOS DATOSLOS DATOSLOS DATOS

CUADRO N° 11.1. DATOS DE CAMPO

VÉRTIC E ÁNGULO INTERNO DISTANCIA

A 86.632400° 1,377.680 m

B 91.014800° 808.620 m

C 94.134500° 1,371.250 m

D 88.416400° 881.140 m

3. Determinar si la poligonal medida es consistente, es decir, s i

cumple con la función ai

180 (n 2)= ° −∑ , siendo n = número de

lados. Reemplazando, ai

180 (4 2) 360= ° − = °∑ . Como la sumatoria

de los ángulos internos es 360.198100°, la pol igonal NO es

consistente.

4. Por tanto, procedemos a calcular la corrección angular con el

objetivo que la suma de los ángulos internos de la pol igonal

sea, exactamente, 900.000000°.

CUADRO N° 11.2. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS INTERNOS

VÉRTICE ÁNG ULO I NTERNO

( ° )

CORRECCI ÓN

GEOMÉT RICA ( ° )

ÁNGULO INTERNO

CORREGIDO ( ° )

A 86.632400 -0.049525 86.5828750

B 91.014800 -0.049525 90.9652750

C 94.134500 -0.049525 94.0849750

D 88.416400 -0.049525 88.3668750

SUM ATO R IA S 360.198100 360.0000000

INC O NSI ST ENC I A -0.198100

COR REC C IÓ N

UNIT AR I A -0.049525

151

5. Luego, calculamos los valores y consignamos las respectivas

orientaciones de los rumbos de cada uno de los lados,

comenzando por el rumbo de part ida medido en el lado AB = S

74.364800° W. Es necesario recalcular el rumbo de partida con

los últimos resultados del cálculo, solo as í estaremos en

condiciones de tener confianza en los rumbos calculados.

F IGURA N° 11.8. CÁLCULO DEL RUMBO DE BC

152

F IGURA N° 11.9. CÁLCULO DEL RUMBO DE CD

F IGURA N° 11.10. CÁLCULO DEL RUMBO DE DA

N 69.3

14550°

E

88.366875°

Rumbo DA

DA = 88.366875° - 69.314550° = S 19.052325° E

153

F IGURA N° 11.10. CÁLCULO DEL RUMBO DE COMPROBACIÓN

F IGURA N° 11.11. CÁLCULO DEL RUMBO DE COMPROBACIÓN

N 16.600475° W

S 19.052325° E

154

CUADRO N° 11.3. RUMBOS DE LA POLIGONAL

LA DOS R U M B O S ( ° )

A B S 74.364800 W

B C N 16.600475 W

C D N 69.314550 E

D A S 19.052325 E

RUM B O

C OM PRO B ADO 74.364800

5. Seguidamente se procede a calcular sus respectivos

alejamientos y lat i tudes de cada lado, util izando las siguientes

funciones:

Alejamiento = longitud x seno del ángulo del rumbo

Lati tud = longitud x coseno del ángulo del rumbo

CUADRO N° 11.4. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES

6. En cualquier pol igonal cerrada, las sumas algebraicas de los

alejamientos y de las lat i tudes debían ser iguales a cero

porque el levantamiento se inicia y termina en el mismo punto.

No obstante, por los inevitables errores en las medicines

l ineales y angulares, estas condiciones casi nunca se

satisfarán exactamente. Los cálculos, indican que:

ESTE OESTE NORTE SUR

A B S 74.364800 W 1,486.540 0.000 1,431.534 0.000 400.640

B C N 16.600475 W 979.360 0.000 279.800 938.540 0.000

C D N 69.314550 E 1,442.360 1,349.376 0.000 509.495 0.000

D A S 19.052325 E 1,108.240 361.764 0.000 0.000 1,047.532

86.3650003 5,016.500 1,711.141 1,711.333 1,448.036 1,448.171

LADOS RUM BOS (°)DISTANCIAS

(m) ALEJAM IENTOS (m9 LATITUDES (m)

155

a) ERROR LINEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 11.5. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE

2 2

LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑

2 2

LCE (1711.141 1711.333) (1448.036 1448.171)= − + −

2 2

LCE ( 0.192) ( 0.135) 0.235m= − + − =

b) ERROR ANGULAR DE CIERRE

FÓRMULA N° 11.6. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE

Alej.

ACAlej.

ERRORE (tg )

ERROR= α =

AC

0.192E (tg ) 1.421361

0.135−

= α = =−

ACArctg(tg ) E Arctg(1.421361)α = =

oACE Arctg(1.421361) 54.871664= =

oACE N54.871664 E=

F

156

FIGURA N° 11.12. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS ERRORES DE CIERRE

7. El cálculo del error relat ivo de cierre, da un mejor índice de la

cal idad de una pol igonal que el error l ineal de cierre. Como es

obvio, una poligonal de 4 Km de largo que tenga un error lineal

de cierre de 1.40 m será más precisa que una poligonal de

solo 2 Km de largo con el mismo error de cierre. Por tanto, es

práctica común calcular el error relat ivo de cierre, que es el

error l ineal divido entre la longitud de la poligonal.

Naturalmente ambas cantidades deberán estar en las mismas

unidades. El resultado se expresa en forma de quebrado con la

unidad como numerador.

En consecuencia, el error relat ivo de cierre (ERC ) de nuestra

pol igonal , es:

157

FÓRMULA N° 11.7. CÁLCULO DE ERROR RELATIVO DE CIERRE

LCRC

E 0.235m 1E

Perímetro 5,016.500m 21,321.801= = =

Es te resultado significa que, en promedio, se generó un error

de un metro por cada 21,231.801 m de pol igonal.

8. Después de determinar el error relativo de cierre y de confirmar

que su valor satis face las especificaciones de calidad del

levantamiento, la pol igonal debe ser compensada. La

operación de compensar se refiere a la distribución equitat iva y

lógica de las correcciones a los alejamientos y lati tudes, de

modo que sus sumas algebraicas se igualen a cero. Este

procedimiento hará que la pol igonal sea una f igura

matemáticamente cerrada.

El procedimiento más util izado es el que se conoce como la

REGLA DE LA BRÚJULA, llamada, también, la REGLA DE

BOWDITCH en honor al eminente marino norteamericano

Nathaniel Bowditch (1773-1838), a quien suele atribuírsele.

Supone que la cal idad de las mediciones l ineales y angulares

es aproximadamente la misma que las correcciones a los

alejamientos y lat i tudes varían en proporción directa a la

longitud del lado.

La Regla de la Brújula especi fica que la corrección al

alejamiento (o la lat i tud) de un lado es el error total en los

alejamientos (o las lat i tudes) como la longitud del lado es a la

longitud de la poligonal. Por tanto, con referencia al lado AB, la

corrección al alejamiento se calcula con la siguiente relación:

FÓRMULA N° 11.8. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS

Alej.(AB) AB

Alej.

C Lado

E Perímetro=

158

Alej.(AB)

C 1, 486.540m0.192m 5,016.500m

=−

Alej.(AB)C 0.057m= −

As imismo, con referencia al lado AB, la corrección a la lat i tud

se calcula con la siguiente relación:

FÓRMULA N° 11.9. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LATITUDES

Lat.(AB) AB

Lat.

C Lado

E Perímetro=

Lat.(AB)

C 1,486.540m0.135m 5,016.500m

=−

Lat.(AB)C 0.040m= −

9. Las correcciones deben apl icarse en forma apropiada. Así,

para el caso presente, la suma de los alejamientos este es

menor que los alejamientos oeste. Por tanto, las correcciones a

los alejamientos este serán posit ivas, y negativas a los

alejamientos oeste. Asimismo, la suma de las lat i tudes norte es

menor que las lat itudes sur. Por consiguiente, las correcciones

a las lat i tudes norte serán pos itivas, y negativas a las lat i tudes

sur.

El cálculo tabulado completo, se muestra en el siguiente

cuadro:

159

CUADRO N° 11.5. CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES

10. Para calcular los rumbos corregidos, es decir, uti l izando los

alejamientos y lat i tudes compensadas, se debe APLICAR la

misma ecuación usada para calcular el Error Angular de

Cierre (EAC ), así :

FÓRMULA N° 11.10. CÁLCULO DEL RUMBO CORREGIDO

ABAB AB

AB

Alej.RUMBO (tg )

Lat.= α =

AB AB

1,431.477RUMBO (tg ) 3.573336

400.599−

= α = =−

AB AB

Arctg(tg ) RUMBO Arctg(3.573336)α = =

oAB AB

RUMBO Arctg(3.573336) 74.365697= α = =

oAB

RUMBO S74.365697 W=

11. Asimismo, las distancias corregidas se calculan con la misma

ecuación que util izamos para calcular el Error Lineal de Cierre

(ELC

), así:

FÓRMULA N° 11.11. CÁLCULO DE LA DISTANCIA CORREGIDA

Distancia CorregidaAB

= DC ( A B)

= 2 2AB AB

( Alej. ) ( Lat. )+∑ ∑

VALOR ALEJAM IENT VALOR LATITUDES

A B -0.057 -1,431.477 -0.040 -400.599

B C -0.038 -279.762 0.026 938.567

C D 0.055 1,349.432 0.039 509.534

D A 0.043 361.807 -0.030 -1,047.502

0.000 0.0000

LADOSC O R R E C C I O N E S (m)

160

DC( AB) = 2 2( 1,431.477m) ( 400.599m) 1,486.474m− + − =

12. La tabulación completa es la siguiente:

CUADRO N° 11.6. TABULACIÓN COMPLETA

13. La primera coordenada de una estación de pol igonal, o de

part ida, es igual a cero. Las demás coordenadas se obtienen

mediante la suma algebraica sucesiva de las lati tudes y los

alejamientos compensados con las coordenadas del punto

anterior. Las operaciones ari tméticas quedarán comprobadas

sí las coordenadas del punto de partida, determinadas a

part ir del último punto, quedan iguales a los valores originales

dados, como se muestra en el s iguiente cuadro:

CUADRO N° 11.7. CÁLCULO DE COORDENADAS

ALEJAM IENT LA TITUDES RUM BOS (°) DISTANCIAS (m)

A B S 74.364800 W 1,486.540 -1,431.477 -400.599 74.365697 1,486.474

B C N 16.600475 W 979.360 -279.762 938.567 -16.597927 979.375

C D N 69.314550 E 1,442.360 1,349.432 509.534 69.313880 1,442.426

D A S 19.052325 E 1,108.240 361.807 -1,047.502 -19.054907 1,108.226

86.3650003 5,016.500 0.000 0.0000 5,016.5000

LA DOS RUM BOS (°)DISTA NCIAS

(m)

C O R R E C C I O N E S (m) M EDIDAS CORREGIDAS

ALEJAM IENT LATITUDES ESTES NORTES

A B -1,431.477 -400.599 0.000 0.000

B C -279.762 938.567 -1,431.477 -400.599

C D 1,349.432 509.534 -1,711.239 537.967

D A 361.807 -1,047.502 -361.807 1,047.502

0.000 0.0000

COORDENADAS (m)LADOS

CORRECCIONES (m)

161

14. Uno de los principales objetivos de los levantamientos

prediales es obtener los datos necesarios para la

determinación de áreas. El procedimiento para calcular el

área de cualquier f igura plana cerrada, l imitada por l íneas

rectas, puede expresarse como:

REGLAREGLAREGLAREGLA: El área es igual a la mitad de la suma algebraica de

los productos de cada ordenada por la diferencia entre las

dos abscisas adyacentes, restando s iempre la abscisa

anterior de la siguiente.

Esta regla puede deducirse con faci lidad sumando

algebraicamente las áreas de los trapecios formados al

proyectarlas los dos lados de la pol igonal sobre un meridiano

de referencia al oeste del terreno. Al aplicar la regla anterior

a la práctica de la topografía, se susti tuyen los términos de

ordenada y abscisa por las coordenadas correspondientes,

ESTE y NORTE.

Ya con estas susti tuciones, usando las letras E y N para

indicar las coordenadas, la regla puede aplicarse de la

siguiente manera: se escriben las coordenadas de cada

vért ice en forma de quebrado, con la abscisa E en el

numerador y la ordenada N en el denominador.

Luego, la serie de quebrados así escri tos se divide mediante

l íneas vert icales interrumpidas. Entonces, se mult ipl ica el

primer numerador, E1, por la diferencia entre los dos

denominadores adyacentes, N2 y N4, restando s iempre la

abscisa anterior, N4, de la siguiente, N2. Para indicar esta

operación, se escribe el denominador de la últ ima fracción

situada a la derecha, N4, fuera de la l ínea interrumpida, a la

izquierda del primer quebrado. Igualmente, se escribe el

denominador del primer quebrado, N1, fuera de la l ínea

interrumpida, a la derecha del últ imo quebrado. El arreglo

completo queda como sigue:

162

EEEE 1111 EEEE2222 EEEE3333 EEEE 4444

NNNN4444 NNNN1111 NNNN2222 NNNN3333 NNNN4444 NNNN1111

Entonces, el área estará dada por la ecuación:

FÓRMULA N° 11.12. CÁLCULO DEL ÁREA

Con el fin de determinar el área que encierra la pol igonal de

nuestro problema, los quebrados tabulados vert icalmente,

quedan como s igue:

CUADRO N° 11.8. TABULACIÓN VERTICAL

NNNN 4444 1,047.502

EEEE 1111 NNNN 1111 0.000 0.000

EEEE 2222 NNNN 2222 -1,431.477 -400.599

EEEE 3333 NNNN 3333 -1,711.239 537.967

EEEE 4444 NNNN 4444 -361.807 1,047.502

NNNN 1111 0.000

1 2 4 2 3 1 3 4 2 4 1 3

1A E (N N ) E (N N ) E (N N ) E (N N )

2 = − + − + − + −

163

15. El área del predio, tabulada, es:

CUADRO N° 11.9. CÁLCULO DEL ÁREA DEL PREDIO


1. Calcular el error angular de cierre y el error l ineal de cierre

del predio, sí el rumbo de part ida medido en el lado AB es N

10.12° W. Las longitudes de los lados, son:

LADOS DISTANCIA (m)

A B 671.4500

B C 1092.5600

C D 732.3200

D A 1184.3000

Calcular los rumbos y distancias corregidos del predio

Calcular las coordenadas del predio

Calcular el área del predio

2. Calcular el área del predio cuyas medidas se muestran a

continuación.

ESTES NORTES

A B 0.000 0.000 0.000

B C -1,431.477 -400.599 -770,087.860

C D -1,711.239 537.967 -2,478,046.840

D A -361.807 1,047.502 194,640.354

2A -3,053,494.347

ÁREA 1,526,747.173

COORDENADAS (m) DOBLESAREAS

LADOS

164

LA DO RU MBO S ( ° ) D ISTANCI AS

(m)

M N S 84.000000 E 366.8000

N O S 3.143515 E 377.2800

O Q S 26.208039 O 233.1800

Q R N 87.826143 O 301.3000

R P N 5.794273 O 201.7400

P M N 5.399057 E 414.7000

3. Calcular la pol igonal del predio cuyo gráfico y medidas se

muestran a continuación. El rumbo de part ida, medido en el

lado AB, es N 28.322400° E

VÉRTI CE ÁNG ULO

INTERNO ( ° )

LADO DI STA NCIA

(m)

A 70.254200 A B 871.2400

B 94.623600 B C 555.3600

C 85.224000 C D 716.7400

D 110.252400 D A 584.8800

A

B

C

D

165



lado AB, es S 76.325400° E

VÉRTI CE ÁNG ULO

INTERNO ( ° )

LADO DI STA NCIA

(m)

A 114.324500 A B 695.3200

B 80.624500 B C 702.6500

C 77.324500 C D 818.0700

D 87.217800 D A 427.0800



lado AB, es S 64.123600° W

VÉRTI CE ÁNG ULO

INTERNO ( ° ) LADO

DI STA NCIA

(m)

A 94.235800 A B 716.2500

B 101.061200 B C 794.4500

C 69.621500 C D 927.3100

D 95.326400 D A 629.2400

A

B

C

D

166



lado AB, es N 81.364500° W

VÉRTICE ÁNGULO

INTERNO ( ° )

LADO DISTANCI A

(m)

A 103.251400 A B 718.6200

B 81.653400 B C 704.1800

C 83.457800 C D 761.5800

D 91.452400 D A 515.8700

A

B

C

D

167



lado AB, es N 28.324500° E

VÉRTI CE ÁNG ULO

INTERNO ( ° )

LADO DI STA NCIA

(m)

A 71.635400 A B 801.3600

B 82.132400 B C 611.4500

C 102.240000 C D 504.1400

D 104.129260 D A 678.1400



lado AB, es S 66.424500° W

VÉRTIC E ÁNGU LO

INTERNO ( ° )

LA DO DISTANCI AS

(m)

A 90.936400 A B 743.150

B 136.842400 B C 329.240

C 127.535400 C D 632.450

D 84.428400 D E 949.630

E 100.421200 E A 668.450

A

B

C

D

168



lado AB, es S 13.524800° W

VÉRTICE Á NGULO

I NTERNO ( ° )

LADO DISTANCIA S

(m)

A 74.823400 A B 751.420

B 96.864500 B C 1007.420

C 101.124800 C D 709.670

D 77.524200 D E 769.880

E 189.628400 E A 469.650

169



lado AB, es N 22.242600° W

VÉRTICE ÁNGULO

INTERNO ( ° )

LADO DISTANCI AS

(m)

A 95.424200 A B 998.270

B 143.821400 B C 489.450

C 131.124500 C D 1079.220

D 90.214800 D E 1638.120

E 79.324200 E A 1520.240

170



lado AB, es N 10.424500° E

VÉRTICEÁNGULO

I NTERNO ( ° )

LA DO DISTANCI AS

(m)

A 85.125400 A B 653.230

B 90.568400 B C 906.450

C 75.748800 C D 241.030

D 215.459600 D E 369.450

E 73.245200 E A 989.480

171



lado AB, es N 21.424500° W

VÉRTICE ÁNG ULO

INTERNO ( ° )

LA DO DISTANCI AS

(m)

A 59.323400 A B 639.470

B 81.135600 B C 807.340

C 101.265400 C D 449.340

D 80.264800 D E 583.120

E 218.165400 E A 276.040

172



lado AB, es S 14.524800° W

VÉRTICE Á NGULO

I NTERNO ( ° )

LADO DI STA NCIAS

( m)

A 71.762500 A B 818.320

B 88.426400 B C 690.450

C 102.852400 C D 781.640

D 65.425400 D E 444.560

E 211.423600 E A 432.320

173

B

C

D

E

A

2

14. Calcular el área del predio mostrado en el gráfico, sí su

rumbo de partida, medido en el lado AB, es S 12.242500° E.

VÉRTICEÁNGULO

INTERIO R ( ° ) LADO

DISTANCIA

(m)

A 148.012400 A B 309.520

B 153.324500 B C 271.870

C 147.856200 C D 265.210

D 142.325600 D E 280.270

E 162.122400 E F 411.220

F 158.326400 F G 291.750

174

G 151.312200 G H 257.480

H 169.425400 H I 198.070

I 163.685800 I J 149.720

J 151.754200 J K 188.320

K 145.326500 K L 169.420

L 164.324500 L M 285.520

M 161.323200 M N 337.720

N 162.724500 N O 281.920

O 158.325400 O A 265.250

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

S 12.242500° E

175

CAP ÍTULO XII

LEVANTAMIENTO DE LEVANTAMIENTO DE LEVANTAMIENTO DE LEVANTAMIENTO DE PREDIOS PREDIOS PREDIOS PREDIOS

IRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARES


Las áreas de predios con l inderos, o curvos, usualmente se

determina estableciendo una líneas base cerca y midiendo las

distancias, a intervalos regulares o irregulares, de ésta al l indero.

Las técnicas más usuales son tres: la técnica del trapecio, la regla

de Simpson y la técnica de coordenadas

12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO12.2. TÉCNICA DEL TRAPECIO

Si se dispone de las extremos de las ordenadas al lindero están

unidos por l íneas rectas, se forma una serie de trapecios, cuyas

bases son las distancias y las alturas son el intervalo común, bbbb. En

consecuencia, el área del primer trapecio es ,2/)( 21 hhb + del

segundo es ,2/)( 32 hhb + etc. Sumando todas estas áreas, se obtiene

la siguiente ecuación para el área total A, en la que nnnn es igual al

número de ordenadas.

FORMULA N° 12.1. CÁLCULO CON LA TÉCNICA DEL TRAPECIO

1 n2 3 n 1

h hA b (h h ... h )

2 −

+ = + + + +

176

FIGURA N° 12.1. REPRESENTACIÓN DE LA TÉCNICA DEL TRAPECIO

EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:EJEMPLO:

Calcular el área si el intervalo común es de 5 m y las ordenadas

son 9.02, 8.60, 10.45, 12.65, 12.07, 8.29 y 5.61 m,

respectivamente.

Solución

29.02 5.61A 5 (8.60 10.45 12.65 12.07 8.29 296.87m

2

+ = + + + + + =

12.3.12.3.12.3.12.3. TÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSONTÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSONTÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSONTÉCNICA DE LA REGLA DE SIMPSON

La regla de Simpson, de un tercio, puede apl icarse a áreas como

la que se muestra en el gráfico, en donde las ordenadas tienen un

intervalo común b, b, b, b, siempre que se tome un número non de

ordenadas. La regla puede apl icarse como sigue: el área es igual

a un tercio del intervalo común entre ordenadas, multipl icando por

la suma de la primera y última ordenadas, más dos veces la suma

de las otras ordenadas nones, más cuatro veces la suma de las

ordenadas pares; o sea que, si nnnn es el número de ordenadas:

FORMULA N° 12.2. CÁLCULO CON LA REGLA DE S IMPSON

1 n 3 5 n 2 2 4 n 1

bA h h 2(h h ... h ) 4(h h ... h )

3 − − = + + + + + + + + +

177

FIGURA N° 12.2. REPRESENTACIÓN DE LA TÉCNICA DE S IMPSON

Esta regla se basa en el supuesto de que la curva que pasa por los

extremos de las primeras tres ordenadas es una parábola; lo

mismo para la curva que pasa por los extremos de las ordenadas

3, 4 y 5, y por los extremos de las ordenadas 5, 6 y 7, etc. Se

supone que esta serie de curvas paraból icas se apegará más al

l indero que las líneas rectas y que, por lo tanto, producirá un valor

más exacto para el área.


Calcular El área de la f igura si el intervalo común es de 5 m, y las

ordenadas son de 13.50, 12.80, 12.01, 10.55, 8.75, 6.80 y 4.45 m,

respectivamente.

Solución: Puesto que hay un número non de distancias, la regla

puede apl icarse a toda el área, como sigue:

h4h3h1 h2 h5 h6 h7

178

[ ] 25A 13.50 4.45 2(12.01 8.75) 4(12.80 10.55 6.80) 300.12m

3= + + + + + + =

12.4.12.4.12.4.12.4. TÉCNICA DE COORDENADASTÉCNICA DE COORDENADASTÉCNICA DE COORDENADASTÉCNICA DE COORDENADAS

Si el l indero de un área permite tomar mejor las ordenadas a

intervalos irregulares, el área puede calcularse como una serie de

trapecios separados, o por coordenadas. Esta técnica ya se

expl icó en el capítulo anterior.

FIGURA N° 12.3. REPRESENTACIÓN DE LA TÉCNICA DE COORDENADAS


Un instructor de Topografía, para calcular la superf icie de un

predio colindante con el curso irregular de un camino, decide

ejecutar el levantamiento basándose en el lado de apoyo de

b1b6b5b4b3b2b1b6

h6h5h4h3h2h1

b1b6b5b4b3b2b1b6

h6h5h4h3h2h1

179

manera que el lado BC del polígono quede cerca del curso

irregular. Tomando como base el lado BC ordena medir, a

intervalos irregulares, 18 cuerdas desde B hacia los bordes

irregulares del camino, midiendo asimismo, el ángulo de elevación

desde la al ineación BC hacia los puntos de cada cuerda. Las

mediadas, registradas en la Libreta de Campo, se indican en los

cuadros adjuntos.

FIGURA N° 12.4. REPRESENTACIÓN DEL PREDIO IRREGULAR

A

B

C

D

ÁREA REGULAR

ÁREA IRREGULAR

EL GRÁFICO

180

1. Los datos de la parte regular

CUADRO N° 12.1. DATOS DE LA PARTE REGULAR

2. Los datos de la parte irregular

CUADRO N° 12.2. DATOS DE LA PARTE IRREGULAR

A B N 22.540000 E 920.220

B C S 68.480000 E 1605.080

C D S 24.520000 O 970.120

D A N 66.680000 O 1570.850

LADOS DISTANCIASRUM BOS

ANGULO +B 1 3.540000 55.250

B 2 6.250000 112.250

B 3 8.250000 185.240

B 4 9.230000 212.240

B 5 12.420000 360.250

B 6 9.650000 420.150

B 7 7.650000 485.320

B 8 7.420000 542.840

B 9 6.250000 642.540

B 10 7.250000 745.120

B 11 10.210000 942.540

B 12 13.240000 1,012.650

B 13 16.320000 1,145.240

B 14 15.210000 1,234.560

B 15 13.850000 1,355.550

B 16 10.420000 1,462.420

B 17 6.470000 1,564.120

B 18 3.450000 1,584.410

DISTANCIA(m)CUERDA

ALINEACION

181

2. Cálculo de Alejamientos, lati tudes, error l ineal de cierre y

error angular de cierre


3. Compensación de alejamientos y latitudes

CUADRO N° 12.4. COMPENSACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES


A B N 22.540000 E 920.220 352.746 0.000 849.926 0.000

B C S 68.480000 E 1605.080 1493.189 0.000 0.000 588.785

C D S 24.520000 O 970.120 0.000 402.610 0.000 882.631

D A N 66.680000 O 1570.850 0.000 1442.525 621.846 0.000

5066.270 1845.936 1845.135 1471.773 1471.416

0.801 0.356

L A T I T U D E SLADOS DISTANCIAS

A L E J A M I E N T O SRUM BOS

CORR. ALEJ. ALEJA M IEN. CORR. LAT. LA TITUDES

A B -0.145 352.601 -0.065 849.862

B C -0.254 1492.936 0.113 -588.898

C D 0.153 -402.764 0.068 -882.699

D A 0.248 -1442.773 -0.111 621.736

0.000 0.000

C O M P E N S A C I O N E SLADOS

182

4. Cálculo de las medidas corregidas, de las coordenadas y del

área de la parte regular

CUADRO N° 12.5. CÁLCULO DE LAS MEDIDAS CORREGIDAS

6. Las componentes (ordenadas y abscisas) de la parte irregular

F IGURA N° 12.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ABSCISAS Y ORDENADAS

ANGULOS DISTANCIAS ESTE NORTE

A B 22.533181 920.104 0.000 0.000 0.000

B C -68.472928 1,604.885 352.601 849.862 92,016.041

C D 24.526565 970.246 1,845.536 260.964 -2,715,886.592

D A -66.687285 1,571.034 1,442.773 -621.736 -376,511.295

5066.270 -3,000,381.846

ÁREA 1,500,190.923

DOBLESAREAS

C O R R E C C I O N E S C O O R D E N A D A SLADOS

))(( 7B7B7 SenCuerdaCUERDAOrdenada −−=

m45717632540012Senm640826Ordenada7 .).)(.( =°=

))(( 7B7B7 CosCUERDACUERDAAbscisa −−=

m58780732540012Cosm640826Abscisa 7 .).)(.( =°=

183

CUADRO N° 12.6. CÁLCULO DE ABSCISAS Y ORDENADAS

ANGULO + ABSCISAS ORDENADAS

B O 0.000000 0.000 0.000 0.000

B 1 3.540000 55.250 55.145 3.411

B 2 6.250000 112.250 111.583 12.220

B 3 8.250000 185.240 183.323 26.581

B 4 9.230000 212.240 209.492 34.043

B 5 12.420000 360.250 351.819 77.481

B 6 9.650000 420.150 414.205 70.429

B 7 7.650000 485.320 481.001 64.606

B 8 7.420000 542.840 538.294 70.103

B 9 6.250000 642.540 638.721 69.951

B 10 7.250000 745.120 739.163 94.033

B 11 10.210000 942.540 927.615 167.071

B 12 13.240000 1,012.650 985.733 231.928

B 13 16.320000 1,145.240 1,099.095 321.814

B 14 15.210000 1,234.560 1,191.314 323.896

B 15 13.850000 1,355.550 1,316.138 324.493

B 16 10.420000 1,462.420 1,438.302 264.497

B 17 6.470000 1,564.120 1,554.158 176.250

B 18 3.450000 1,584.410 1,581.539 95.346

B C 0.000000 1,604.885 1,604.885 0.000

DISTANCIA(m)

C O M P O N E N T E S

CUERDA

ALINEACION

184

7. Cálculo de las coordenadas de la parte irregular y del área del

predio irregular

CUADRO N° 12.7. CÁLCULO DEL ÁREA DEL PREDIO IRREGULAR

8. El área total (parte regular y parte irregular), es.

CUADRO N° 12.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL PREDIO IRREGULAR

ANGULO + ABSCISAS ORDENADAS ESTE NORTE

B O 0.000000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

B 1 3.540000 55.250 55.145 3.411 55.145 3.411 673.884

B 2 6.250000 112.250 111.583 12.220 111.583 12.220 2,585.278

B 3 8.250000 185.240 183.323 26.581 183.323 26.581 4,000.580

B 4 9.230000 212.240 209.492 34.043 209.492 34.043 10,663.277

B 5 12.420000 360.250 351.819 77.481 351.819 77.481 12,801.468

B 6 9.650000 420.150 414.205 70.429 414.205 70.429 -5,332.792

B 7 7.650000 485.320 481.001 64.606 481.001 64.606 -156.841

B 8 7.420000 542.840 538.294 70.103 538.294 70.103 2,877.115

B 9 6.250000 642.540 638.721 69.951 638.721 69.951 15,284.637

B 10 7.250000 745.120 739.163 94.033 739.163 94.033 71,787.507

B 11 10.210000 942.540 927.615 167.071 927.615 167.071 127,912.820

B 12 13.240000 1,012.650 985.733 231.928 985.733 231.928 152,535.346

B 13 16.320000 1,145.240 1,099.095 321.814 1,099.095 321.814 101,082.093

B 14 15.210000 1,234.560 1,191.314 323.896 1,191.314 323.896 3,190.675

B 15 13.850000 1,355.550 1,316.138 324.493 1,316.138 324.493 -78,177.718

B 16 10.420000 1,462.420 1,438.302 264.497 1,438.302 264.497 -213,218.284

B 17 6.470000 1,564.120 1,554.158 176.250 1,554.158 176.250 -262,887.533

B 18 3.450000 1,584.410 1,581.539 95.346 1,581.539 95.346 -278,745.665

B C 0.000000 1,604.885 1,604.885 0.000 1,604.885 0.000 -153,019.087

DOBLE AREA -486,143.239

AREA m2 243,071.619

DOBLESAREAS

DISTANCIA(m)

C O M P O N E N T E S C O O R D E N A D A S

CUERDA

ALINEACION

ÁREA DE LA PARTE REGULAR 1,500,190.923 m2

ÁREA DE LA PARTE REGULAR 243,071.619 m2

ÁREA TOTAL DEL PREDIO 1,743,262.542 m2

185


1. Calcular la superf icie de la parcela irregular. La

representación gráfica y sus respectivas medidas se

muestran a continuación. El lado irregular se encuentra sobre

CD.

A B S 80.425400 W 1478.260 1 0.965400 52.630

B C N 15.416400 W 844.520 2 2.365400 132.250

C D N 76.412400 E 1489.270 3 3.355200 253.320

D A S 14.326400 E 947.463 4 6.645800 356.280

5 7.263500 456.280

6 6.548700 703.280

7 4.596700 936.280

8 2.654800 1121.240

9 1.326400 1332.580

DISTANCIAm

LADORUM BOS

(°)DISTANCIA

mCUERDA

ÁNGULO DEELEVACIÓN (°)

186

2. Calcular la superf icie de la parcela irregular. La representación

gráfica y sus respectivas medidas se muestran a continuación.

El lado irregular se encuentra bajo el lado CD.

A B S 83.623400 E 1457.250 1 1.253100 41.625

B C S 6.225800 W 963.530 2 2.865400 124.360

C D N 83.225600 W 1495.630 3 3.358700 232.250

D A N 8.554800 E 954.220 4 5.623400 362.540

5 4.362500 532.960

6 5.624000 861.360

7 3.659800 1025.640

8 2.635400 1236.540

9 1.025400 1402.380

ÁNGULO DEDEPRESIÓN (°)

DISTANCIAm

LADORUM BOS

(°)DISTANCIA

mCUERDA

187



El lado irregular se encuentra bajo el lado CD.

A B S 72.442500 W 1399.250 1 1.326500 63.240

B C N 16.624400 W 952.560 2 3.326500 156.350

C D N 76.624500 E 1492.680 3 5.265400 365.240

D A S 10.452800 E 850.240 4 6.325400 512.640

5 4.362500 723.540

6 3.632500 936.250

7 4.326400 1095.320

8 2.036400 1254.580

9 1.032400 1395.640

LADORUM BOS

(°)DISTANCIA

mCUERDA

ÁNGULO DEDEPRESIÓN (°)

DISTANCIAm

188



El lado irregular se encuentra sobre el lado CD.

A B N 88.442500 E 1453.120 1 1.232500 52.350

B C S 7.624400 E 764.280 2 2.654800 121.320

C D S 87.624500 W 1494.260 3 5.236500 235.360

D A N 4.452800 W 782.110 4 7.352400 412.250

5 4.265400 632.540

6 3.365400 845.270

7 2.525400 1005.640

8 3.654800 1265.280

9 1.584700 1395.240

LADORUM BOS

(°)DISTANCIA

mCUERDA

ÁNGULO DEELEVACIÓN (°)

DISTANCIAm

189

CAPÍTULO XI I I

LEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOSLEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOSLEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOSLEVATAMIENTO DE PREDIOS LIGADOS


Muchas veces, al efectuar el levantamiento de un predio, es muy

dif ícil medir directamente a lo largo de los linderos por la presencia

de obstrucciones (cortina de árboles, paredes, cercos vivos, etc.)

En este caso, las longitudes y rumbos de los l inderos se calculan

mediante una pol igonal auxi liar (dentro o fuera del predio) cuyas

estaciones deben ubicarse en lugares accesibles y cercanos a los

vért ices del predio.

Desde cada una de las estaciones de la poligonal auxil iar se l iga

cuidadosamente el vért ice más cercano mediante ángulo y

distancia.

El cálculo de la pol igonal dará las coordenadas de las estaciones

de la pol igonal auxi liar, y éstas permit irán determinar las

coordenadas de los vért ices del predio. Luego se resuelve el

problema inverso para obtener las longitudes y rumbos de los

l inderos del predio.

13.2. CÁLCULO TIPO DE 13.2. CÁLCULO TIPO DE 13.2. CÁLCULO TIPO DE 13.2. CÁLCULO TIPO DE UN PREDIO LIGADOUN PREDIO LIGADOUN PREDIO LIGADOUN PREDIO LIGADO

1. Los datos de la pol igonal de apoyo

190

CUADRO N° 13.1. DATOS DE LA POLIGONAL DE APOYO

2. Los datos de las l igas.

CUADRO N° 13.2. DATOS DE LA LIGAS

A B N 4.500000 E 1,830.6200

B C N 65.120000 O 348.3200

C D N 71.840000 E 1,203.4500

D E S 30.240000 O 408.5400

E F S 21.450000 E 1,957.0500

F A S 83.360000 O 1,492.0000

7,239.9800

LADOS RUMBOS DISTANCIA

A P S 31.50000 O 78.120

C Q N 63.50000 O 82.240

D R N 23.16000 E 86.520

F S S 65.20000 E 52.650

LIGAS RUMBOS DISTANCIAS

191

3. El gráfico

F IGURA N° 13.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO

A

B

C

D

E

F

P

Q

R

S

192

4. Cálculo de alejamientos y lati tudes de apoyo


5. Cálculo de las correcciones de alejamientos y de lati tudes del

pol ígono de apoyo

CUADRO N° 13.4. CORRECCIONES DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES

6. Cálculo de las medidas corregidas, las coordenadas de

apoyo y el área de apoyo.


A B N 4.500000 E 1,830.6200 143.629 0.000 1,824.977 0.000

B C N 65.120000 O 348.3200 0.000 315.993 146.545 0.000

C D N 71.840000 E 1,203.4500 1,143.506 0.000 375.081 0.000

D E S 30.240000 O 408.5400 0.000 205.750 0.000 352.947

E F S 21.450000 E 1,957.0500 715.672 0.000 0.000 1,821.499

F A S 83.360000 O 1,492.0000 0.000 1,481.992 0.000 172.521

7,239.9800 2,002.807 2,003.735 2,346.603 2,346.967

-0.928 -0.364

LADOS RUMBOS DISTANCIAALEJAMIENTOS LATITUDES

CORR. ALEJ. ALEJAMIEN. CORR. LAT. LATITUDES

A B 0.235 143.864 0.092 1,825.069

B C -0.045 -315.948 0.018 146.562

C D 0.154 1,143.660 0.061 375.142

D E -0.052 -205.698 -0.021 -352.927

E F 0.251 715.923 -0.098 -1,821.400

F A -0.191 -1,481.801 -0.075 -172.446

0.000 0.000

LADOSC O R R E C C I O N E S

193

CUADRO N° 13.5. CÁLCULO DE MEDIDAS CORREGIDAS

F IGURA N° 13.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE COORDENADAS DE APOYO

DOBLES

ANGULOS DISTANCIAS ESTE NORTE ÁREAS

A B 4.507097 1,830.730 0.000 0.000 0.000

B C -65.114294 348.287 143.864 1,825.069 283,645.801

C D 71.839551 1,203.615 -172.085 1,971.631 -89,777.244

D E 30.235104 408.496 971.576 2,346.773 21,583.602

E F -21.457892 1,957.050 765.878 1,993.846 -1,665,269.138

F A 83.362014 1,491.801 1,481.801 172.446 -2,954,483.067

7,239.980 0.000 0.000 -4,404,300.046

ÁREA 2,202,150.023

LADOSCOORDENADAS DE APOYO MEDIDAS CORREGIDAS

A

B

C

D

E

FE = 1,481.801 mN = 172.446 m

E = 0.000 mN = 0.000 m

E = 143.864 mN = 1,825.069 m

E = -172.085 mN = 1,971.631 m

E = 971.576 mN = 2,346.773 m

E = 765.878 mN = 1,993.846 m

194

7. Cálculo de los alejamientos y lat i tudes de las l igas

CUADRO N° 13.6. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LIGAS

8. Las ligas, al no estar unidas entre sí, no se corrigen

CUADRO N° 13.7. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LIGAS

9. Calculo de las coordenadas de las ligas

CUADRO N° 13.8. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE LIGAS


A P S 31.50000 O 78.120 0.000 40.818 0.000 66.608

C Q N 63.50000 O 82.240 0.000 73.599 36.695 0.000

D R N 23.16000 E 86.520 34.028 0.000 79.547 0.000

F S S 65.20000 E 52.650 47.794 0.000 0.000 22.084

LATITUDESLIGAS RUM BOS DISTANCIAS

ALEJAM IENTOS

CORR. ALEJ. ALEJAM IEN. CORR. LAT. LATITUDES

A P 0.000 -40.818 0.000 -66.608

C Q 0.000 -73.599 0.000 36.695

D R 0.000 34.028 0.000 79.547

F S 0.000 47.794 0.000 -22.084

LIGASC O R R E C C I O N E S

ALEJAM IEN. LATITUDES ESTES NORTES

A P -40.818 -66.608 -40.818 -66.608

C Q -73.599 36.695 -73.599 36.695

D R 34.028 79.547 34.028 79.547

F S 47.794 -22.084 47.794 -22.084

COORDENADAS DE LAS LIGASLIGAS

C O R R E C C I O N E S

195

F IGURA N° 13.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA AP

F IGURA N° 13.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA FS

A

E = 0.000 mN = 0.000 m

EP = -40.818 mNP = -66.608 m Alej. = -40.818 m

NM

P

S

F

E = 1,481.801 mN = 172.446 m

Alej. = 47.794 mES = 1,529.595 mNS = 150.362 m

S 65.200000° E, 52.650 m

NM

196

F IGURA N° 13.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA CQ

F IGURA N° 13.7. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA LIGA DR

N63.500000° W

, 82.240 m

Lat. = 79.547m

N23.160000° E, 86.520 m

197

10. Cálculo de las coordenadas del predio

CUADRO N° 13.9. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE PREDIO

F IGURA N° 13.8. REPRESENTACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL PREDIO

ESTES NORTES ESTES NORTES ESTES NORTES

A P -40.818 -66.608 0.000 0.000 -40.818 -66.608

C Q -73.599 36.695 -172.085 1,971.631 -245.684 2,008.327

D R 34.028 79.547 971.576 2,346.773 1,005.604 2,426.320

F S 47.794 -22.084 1,481.801 172.446 1,529.595 150.362

COORDENADAS DE LAS LIGAS COORDENADAS DEL APOYOLIGAS

COORDENADAS DEL PREDIO

A

B

C

D

E

F

Q

R

S

ED = 971.576 mND = 2,346.773 m

EC = -172.085 mNC = 1,971.631 m

E = 0.000 mN = 0.000 m

E = 1,481.801 mN = 172.446 m

EQ = -245.684 mNQ = 2,008.327 m

ER = 1,005.604 mNR = 2,426.320 m

ES = 1,529.595 mNS = 150.326 m

EP = -40.818 mNP = -66.608 m

P

198

11. Cálculo de los alejamientos y lat i tudes del predio

CUADRO N° 13.10. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL PREDIO

12. Cálculo de rumbos y distancias del predio

CUADRO N° 13.11. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS DEL PREDIO

13. Cálculo de la superf icie del predio

CUADRO N° 13.12. CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DEL PREDIO

ESTES NORTES ALEJAM IENTOS LATITUDES

P Q -40.818 -66.608 -204.866 2,074.935

Q R -245.684 2,008.327 1,251.288 417.994

R S 1,005.604 2,426.320 523.991 -2,275.959

S P 1,529.595 150.362 -1,570.413 -216.970

SUMAS 0.0000 0.0000

LIGASCOM PONENTES DEL PREDIOCOORDENADAS DEL PREDIO

ALEJAM IENTOS LATITUDES ANGULOS DISTANCIAS

P Q -204.866 2,074.935 -5.638760 2,085.0240

Q R 1,251.288 417.994 71.528060 1,319.2576

R S 523.991 -2,275.959 -12.965213 2,335.4989

S P -1,570.413 -216.970 82.133751 1,585.3304

0.0000 0.0000 7,325.1108

LADOS M EDIDAS DEL PREDIOCOM PONENTES DEL PREDIO

DOBLES

ESTES NORTES AREAS

P Q -40.818 -66.608 -75,837.646

Q R -245.684 2,008.327 -612,472.635

R S 1,005.604 2,426.320 -1,868,377.046

S P 1,529.595 150.362 -3,813,171.895

-6,369,859.222

ÁREA -3,184,929.611

LADOSCOORDENADAS DEL PREDIO

199


1. Compensar la pol igonal de apoyo, calcular las coordenadas de

apoyo, las coordenadas de l igas y las del predio; y, reportar su

respectiva superficie, las medidas y dibujar el plano del predio

l igado que se muestra.

POLIGONAL DE APOYO LÍNEAS DE LIGA

1 2 N 39.254600 E 501.420 1 A S 77.126500 W 55.320

2 3 S 58.424500 E 794.630 2 B N 2.452800 E 92.540

3 4 S 26.427500 W 530.230 3 C N 78.852400 E 112.640

4 1 N 56.451200 W 910.140 4 D S 12.568400 E 175.640

LADO RUM BOS (°)DISTANCIAS

HORIZONT (m)LIGA RUM BOS (°)

DISTANCIASHORIZONT

(m)

B

C

D

A

2

3

4

1

200






1 2 S 70.254600 E 825.640 1 A S 18.126500 E 95.230

2 3 S 31.424500 W 1120.640 2 B S 74.452800 W 162.380

3 4 N 55.427500 W 729.680 3 C N 11.852400 W 152.480

4 1 N 26.451200 E 916.450 4 D N 68.568400 E 85.640

LIGA RUM BOS (°)DISTANCIASHORIZONT

(m)LADO RUM BOS (°)

DISTANCIASHORIZONT (m)

201










1 2 N 19.254600 W 569.340 1 A N 23.126500 E 85.230

2 3 N 68.424500 E 963.450 2 B S 89.452800 E 72.280

3 4 S 22.427500 E 710.120 3 C S 12.852400 W 52.480

4 1 S 76.451200 W 1006.540 4 D N 76.568400 W 135.640

LIGA RUM BOS (°)DISTANCIASHORIZONT

(m)LADO RUM BOS (°)

DISTANCIASHORIZONT (m)

B

C

D

A

2

3

4

1

202






1 2 N 6.254600 E 677.960 1 A S 52.126500 W 165.230

2 3 S 79.424500 E 968.320 2 B N 33.452800 W 131.280

3 4 S 6.427500 W 490.120 3 C N 61.852400 E 98.480

4 1 S 89.451200 W 970.540 4 D S 38.568400 E 65.640



DISTANCIASHORIZONT

(m)

203






1 2 N 2.926400 E 871.250 1 A S 45.325800 W 162.450

2 3 S 86.863400 E 1374.420 2 B N 48.635900 W 149.340

3 4 S 9.251400 E 667.760 3 C N 52.254800 E 283.240

4 5 N 86.324500 W 796.530 4 D S 51.364800 E 155.630

5 1 S 75.632400 W 752.560



DISTANCIASHORIZONT

(m)

204






1 2 N 13.246400 E 1039.560 1 A N 54.825400 E 147.540

2 3 S 81.425800 E 1676.240 2 B S 10.754800 E 333.250

3 4 S 3.526400 W 1040.340 2 C S 68.362500 E 430.240

4 1 N 81.425500 W 1852.130 3 D S 75.725800 W 310.560

4 E N 48.362800 W 315.430



DISTANCIASHORIZONT

(m)

205






1 2 N 87.425600 W 1501.180 1 A S 45.425900 E 152.520

2 3 N 18.125800 W 317.880 2 B S 60.324800 W 278.360

3 4 N 12.362400 E 412.180 4 C N 35.421200 W 248.630

4 5 N 86.236400 E 1448.820 5 D N 44.589700 E 150.360

5 1 S 4.254800 E 869.770



DISTANCIASHORIZONT

(m)

206


1 2 S 81.932500 W 1866.810 1 A N 55.724500 W 147.360

2 3 N 4.253200 W 1033.140 2 B N 62.241500 E 242.650

3 4 N 80.126600 E 1693.080 3 C S 26.245700 E 441.370

4 1 S 13.654700 E 1089.110 3 D S 80.368400 E 329.520

4 E S 33.524800 W 155.420



DISTANCIASHORIZONT

(m)

1

4

3

2

A

E

D

C

B

207

CAPÍTULO XIV

FRACCIONAMIENTO POR LÍNEAFRACCIONAMIENTO POR LÍNEAFRACCIONAMIENTO POR LÍNEAFRACCIONAMIENTO POR LÍNEA


El cálculo tipo de una parcela para fraccionamiento en subparcelas

por una l ínea de di rección dada, incorpora conceptos

fundamentales ya uti l izados y apl icados en la solución de varios

problemas topográficos. El éxito depende, fundamentalmente, de

la adopción de las siguientes operaciones ordenadas de cálculo:

Representar gráficamente los datos de partida (aunque el

alumno puede considerar irrelevante esta recomendación, el

éxito en el fraccionamiento está determinado por la

construcción, a escala, de la respectiva representación gráfica)

Comprobar el cierre geométrico y la consis tencia de los datos

Calcular los rumbos de part ida (sí no son los de part ida) y

comprobar el últ imo rumbo por una ruta de cálculo diferente a

su establecimiento.

Compensar y calcular la superficie la parcela o predio.

Fraccionar en dos subparcelas que sumen la superficie de la

parcela o predio.

14.2. LOS DATOS DE PARTIDA14.2. LOS DATOS DE PARTIDA14.2. LOS DATOS DE PARTIDA14.2. LOS DATOS DE PARTIDA

CUADRO N° 14.1. DATOS DE PARTIDA DEL FRACCIONAMIENTO

A B S 66.6484 O 877.800

B C N 33.00256 O 386.550

C D N 4.332480 E 339.550

D E N 69.56512 E 833.020

E A S 19.08664 E 639.720


(m)

208

b)b)b)b) LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL PREDIOPREDIOPREDIOPREDIO

F IGURA N° 14.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FRACCIONAMIENTO

4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL4. COMPENSACIÓN DE LA POLIGONAL

a) Cálculo de alejamientos y lati tudes

SUBPREDIO 2: NDEM

SUBPREDIO 1: ABCNM

LÍNEA D

E DIREC

CIÓN C

ONOCID

A, MN =

S 74.12

4800° W

LÍNEA C_

M DE

SCON

OCIDA

, PERO C

OGNO

SCIBL

E

209

CUADRO N° 14.2. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL

FRACCIONAMIENTO

b) Como en cualquier poligonal cerrada, las sumas algebraicas

de los alejamientos y de las lat i tudes debían ser iguales a

cero, porque el levantamiento se inicia y termina en el

mismo punto. No obstante, por los inevitables errores en las

medicines lineales y angulares, estas condiciones casi

nunca se satisfarán exactamente. Los cálculos, indican que:

c) ERROR LINEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 14.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO

2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑

2 2LCE ( 0.008) (1.114) 1.503m= − + =

d) ERROR ANGULAR DE CIERRE

FÓRMULA N° 14.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO

Alej.

ACLat.

ERRORE (tg )

ERROR= α =

AC

0.008E (tg ) 42.152836

1.114−

= α = = °


A B S 66.6484 O 877.800 0.000 805.899 0.000 347.936

B C N 33.00256 O 386.550 0.000 210.545 324.179 0.000

C D N 4.332480 E 339.550 25.651 0.000 338.580 0.000

D E N 69.56512 E 833.020 780.598 0.000 290.843 0.000

E A S 19.08664 E 639.720 209.187 0.000 0.000 604.552

3,076.640 1,015.436 1,016.444 953.601 952.487

-1.008 1.114


(m)

LATITUDESALEJA M IENTOS

210

e) Después de determinar los errores lineal y angular de cierre,

la pol igonal debe ser compensada. La operación de

compensar se refiere a la distribución equitat iva y lógica de

las correcciones a los alejamientos y lat itudes, de modo que

sus sumas algebraicas se igualen a cero. Este

procedimiento hará que la poligonal sea una figura

matemáticamente cerrada.

f) El procedimiento que emplearemos es LA REGLA DE LA

BRÚJULA, ésta supone que la calidad de las mediciones

l ineales y angulares es aproximadamente la misma que las

correcciones a los alejamientos y lat i tudes varían en

proporción di recta a la longi tud del lado. Asimismo,

especif ica que la corrección al alejamiento (o la lat i tud) de

un lado es el error total en los alejamientos (o las lat i tudes)

como la longitud del lado es a la longitud de la poligonal.

Por tanto, con referencia al lado AB, la corrección al

alejamiento se calcula con la siguiente relación:

FÓRMULA N° 14.3. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE ALEJAMIENTOS DEL FRACCIONAMIENTO

Alej.(AB) AB

Alej.

C Lado

E Perímetro=

Alej.(AB)C 877.800m

1.008m 3,076.640m=

−

Alej.(AB)

C 0.288m= −

Asimismo, con referencia al lado AB, la corrección a la

lat i tud se calcula con la s iguiente relación:

FÓRMULA N° 14.4. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN DE LATITUDES DEL

FRACCIONAMIENTO

Lat.(AB) AB

Lat.

C Lado

E Perímetro=

211

Lat.(AB)C 877.800m1.114m 3,076.640m

=

Lat.(AB)

C 0.318m=

g) Las correcciones deben aplicarse en forma apropiada. Así,

para el caso presente, la suma de los alejamientos este es

menor que los alejamientos oeste. Por tanto, las

correcciones a los alejamientos este serán posit ivas, y

negativas a los alejamientos oeste. Asimismo, la suma de

las lati tudes norte es menor que las lati tudes sur. Por

consiguiente, las correcciones a las lati tudes norte serán

pos it ivas, y negativas a las lati tudes sur.

5. 5. 5. 5. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOSCÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOSCÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOSCÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS CORREGIDOS

a) Para calcular los rumbos corregidos, es deci r, uti l izando los

alejamientos y lat i tudes compensadas, se debe APLICAR la

misma ecuación usada para calcular el Error Angular de

Cierre (EAC), así:

FÓRMULA N° 14.5. CÁLCULO DE RUMBOS CORREGIDOS DEL FRACCIONAMIENTO

ABAB AB

AB

Alej.RUMBO (tg )

Lat.= α =

AB AB

805.612RUMBO (tg ) 66.621908

348.254−

= α = = °−

b) Asimismo, las dis tancias corregidas se calculan con la

misma ecuación que uti l izamos para calcular el Error Lineal

de Cierre (ELC

), así:

212

FÓRMULA N° 14.6. CÁLCULO DE DISTANCIAS CORREGIDAS DEL FRACCIONAMIENTO

Distancia CorregidaAB

= DC( AB )

= 2 2Alej Lat+∑ ∑

DC( AB )

= 2 2( 805.612m) ( 348.254m) 877.662m− + − =

c) La tabulación completa es la siguiente:

CUADRO N° 14.3. TABULACIÓN DE RUMBOS Y DISTANCIAS DEL

FRACCIONAMIENTO

6. CÁLCULO DE COORDENADAS6. CÁLCULO DE COORDENADAS6. CÁLCULO DE COORDENADAS6. CÁLCULO DE COORDENADAS

La primera coordenada de una estación de pol igonal, o de

part ida, es igual a cero. Las demás coordenadas se obtienen

mediante la suma algebraica sucesiva de las lati tudes y los

alejamientos compensados con las coordenadas del punto

anterior. Las operaciones ari tméticas quedarán comprobadas sí

las coordenadas del punto de partida, determinadas a part ir del

último punto, quedan iguales a los valores originales dados,

como se muestra en el s iguiente cuadro:

A B S 66.621908 O 877.662

B C N 32.998108 O 386.364

C N N 4.352779 E 69.125

N M N 74.124800 E 942.013

M A S 19.097598 E 320.004

2,595.167

RUM BOSLADO DISTANCIAS

213

CUADRO N° 14.4. TABULACIÓN DE COORDENADAS RELATIVAS DEL

FRACCIONAMIENTO

El procedimiento para calcular el área de cualquier figura

plana cerrada, l imitada por l íneas rectas, es igual a la mitad

de la suma algebraica de los productos de cada ordenada por

la diferencia entre las dos abscisas adyacentes, restando

siempre la abscisa anterior de la siguiente.

Esta regla puede deducirse con facil idad sumando

algebraicamente las áreas de los trapecios formados al

proyectarlas los dos lados de la poligonal sobre un meridiano

de referencia al oeste del terreno. Al aplicar la regla anterior a

la práctica de la topografía, se susti tuyen los términos de

ordenada y abscisa por las coordenadas correspondientes,

ESTE y NORTE.

Ya con estas susti tuciones, usando las letras E y N para

indicar las coordenadas, la regla puede apl icarse de la

siguiente manera: se escriben las coordenadas de cada

vért ice en forma de quebrado, con la abscisa E en el

numerador y la ordenada N en el denominador.

Luego, la serie de quebrados así escri tos se divide mediante

l íneas vert icales interrumpidas. Entonces, se mul tiplica el

primer numerador, E1, por la diferencia entre los dos

denominadores adyacentes, N2 y N7, restando siempre la

abscisa anterior, N7, de la siguiente, N2. Para indicar esta

operación, se escribe el denominador de la última fracción


A B -805.612 -348.254 0.000 0.000

B C -210.418 324.039 -805.612 -348.254

C D 25.762 338.457 -1016.030 -24.215

D E 780.871 290.541 -990.267 314.242

E A 209.397 -604.783 -209.397 604.783

0.000 0.000

LADOSC O R R E C C I O N E S COORDENADAS RELATIVAS

214

situada a la derecha, N7, fuera de la l ínea interrumpida, a la

izquierda del primer quebrado. Igualmente, se escribe el

denominador del primer quebrado, N1, fuera de la l ínea

interrumpida, a la derecha del último quebrado. El arreglo

completo queda como sigue:

Con el fin de determinar el área que encierra la poligonal de

nuestro problema, los quebrados tabulados vert icalmente,

quedan como sigue:

CUADRO N° 14.5. MATRIZ VERTICAL DE COORDENADAS RELATIVAS DEL

FRACCIONAMIENTO

NNNN 5555 604.783

EEEE 1111 NNNN 1111 0.000 0.000

EEEE 2222 NNNN 2222 -805.612 -348.254

EEEE 3333 NNNN 3333 -1016.030 -24.215

EEEE 4444 NNNN 4444 -990.267 314.242

EEEE 5555 NNNN 5555 -209.397 604.783

NNNN 1111 0.000

777777777777777.

7. 7. 7. 7. CÁLCULO DE CÁLCULO DE CÁLCULO DE CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DEL PREDIOLA SUPERFICIE DEL PREDIOLA SUPERFICIE DEL PREDIOLA SUPERFICIE DEL PREDIO

El área del predio, tabulada, es:

215

CUADRO N° 14.6. CÁLCULO DE DOBLES ÁREAS Y ÁREA DEL

FRACCIONAMIENTO

8.8.8.8. CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL

SUB_PREDIO 1SUB_PREDIO 1SUB_PREDIO 1SUB_PREDIO 1

a) Teniendo en cuenta que la línea de fraccionamiento

comienza en M que está a la mitad del lado AB del predio y

termina en el N que pertenece al al ineamiento CD.

b) Asimismo, teniendo en cuenta, que la dirección de la línea

de fraccionamiento MN es conocida por haber sido dada; y,

c) Como se desconoce la ubicación de N, al ineamos el punto

M con el vért ice C. Este al ineamiento es desconocido pero

es cognoscible, si lo consideramos como un error de cierre.

d) Así, la representación gráfica y los datos del pol ígono MABC,

son los siguientes:

ESTES NORTES

A B 0.000 0.000 0.000

B C -805.612 -348.254 19,507.740

C D -1016.030 -24.215 -673,115.039

D E -990.267 314.242 -622,876.086

E A -209.397 604.783 65,801.180

-1,210,682.204

ÁREA 605,341.102

LADOSCOORDENADAS RELATIVAS

DOBLES AREAS

216

F IGURA N° 14.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SUBPREDIO 1

CUADRO N° 14.7. MEDIDAS DEL SUBPREDIO 1

LÍNEA C_

M DE

SCON

OCIDA

, PERO C

OGNO

SCIBL

E

S 19.097598° E; 320.004 m

S 66.6

21908° W; 8

77.66

2 m

N 32.998108° W

; 386.364 m

A B S 66.621908 O 877.662

B C N 32.998108 O 386.364

C M

M A S 19.0975978 E 320.004

LADO RUM BOS DISTANCIA

217

CUADRO N° 14.8. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL

SUBPREDIO 1

c) Como cualquier pol igonal cerrada, las sumas algebraicas de

los alejamientos y de las lat i tudes debían ser iguales a cero

porque el levantamiento se inicia y termina en el mismo

punto. Pero en el presente caso no disponemos de las

medidas del lado MC; por lo que, el error l ineal y angular

son, precisamente, las medidas del lado faltante. Los

cálculos, indican que:

d) ERROR LINEAL DE CIERRE DE CF

FÓRMULA N° 14.7. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1

2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑

2 2LCE ( 911.331) ( 326.606) 968.089m= − + − =

e) ERROR ANGULAR DE CIERRE DE CF

FÓRMULA N° 14.8. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL SUBPREDIO 1

Alej.

ACAlej.

ERRORE (tg )

ERROR= α =

AC

911.331mE (tg ) 70.283142

326.606m−

= α = = °−


A B S 66.621908 O 877.662 0.000 805.612 0.000 348.254

B C N 32.998108 O 386.364 0.000 210.418 324.039 0.000

C M 0.000 0.000 0.000 0.000

M A S 19.0975978 E 320.004 104.698 0.000 0.000 302.392

1,584.029 104.698 1,016.030 324.039 650.645

-911.331 -326.606

LADO RUM BOS DISTANCIA ALEJAM IENTOS LATITUDES

218

f ) El error lineal de cierre, 968.089 m es, precisamente, la

longitud de MC y el error angular de cierre, N 70.283142° E,

es su rumbo.

CUADRO N° 14.9. COMPROBACIÓN ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SUBPREDIO 1

g) Seguidamente, representamos el tr iángulo MCN y los datos

conocidos:

FIGURA N° 14.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRIÁNGULO NMC DEL SUBPREDIO 1

h) En la representación gráfica anterior, como desconocemos

los ángulos internos del tr iángulo MCN, conocemos las tres


A B S 66.621908 O 877.662 0.000 805.612 0.000 348.254

B C N 32.998108 O 386.364 0.000 210.418 324.039 0.000

C M N 70.2831419 E 968.089 911.331 0.000 326.606 0.000

M A S 19.0975978 E 320.004 104.698 0.000 0.000 302.392

2,552.118 1,016.030 1,016.030 650.645 650.645

0.000 0.000

LADO RUM BOS DISTANCIA ALEJAM IENTOS LATITUDES

RumboM

N = S 74.12

4800° W; Lon

gitud = ?

Rumb

oCM = N

70.28

3142° E; L

ongitud = 968.0

89 m

RCM= N 32.621908° W;

Longitud = ?

219

direcciones del mismo y la longitud de dos de sus lados;

estamos en condiciones de apl icar la Ley de Senos para

conocer las longi tudes que faltan, siempre que conozcamos

los valores de los ángulos internos del Triángulo MCN.

i ) La Ley de senos relaciona, siempre, las longitudes de un

tr iángulo con su respectivo ángulo interno opuesto. Para el

caso del tr iángulo CFG, estas relaciones son:

CUADRO N° 14.10. LEY DE SENOS PARA EL SUBPREDIO 1

C_N N_M M_C

Seno M Seno C Seno N

j ) Para calcular los ángulos internos del triángulo MCN, es

recomendable representarlo gráficamente a escala, así:

FIGURA N° 14.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL

TRIÁNGULO NMC

S 74.124

800° W; Lon

gitud = ?

N 70.2

83142° E; 96

8.089 m

N 4.352779° E

90.000000° - 70.283142° = 19.716858°

C = 90.000000° - (19.716858° + 4.352779°) = 65.930333°

74.124800°

N = 180.000000° - 74.124800° + 4.352779° = 110.227979°

70.283142°

90.000000° - 74.124800° = 15.875200°

M = 90.000000° - 70.283142° - 15.485200° = 3.841658°

220

k) La sumatoria de los ángulos internos del tr iángulo MCN, si

estuvieran bien calculados, deben sumar 180.000000°, como

es en el presente caso.

l ) Seguidamente, reemplazamos los valores de los ángulos

internos de MCN para apl icar la Ley de senos, as í:

m) Obteniendo los valores de los senos y reemplazando la

longitud conocida de MC = 968.089 m, tenemos:

n) Resolviendo las relaciones de la Ley de Senos, las

longitudes de CN y MN, son:

CCCCÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA LLLLONGITUD ONGITUD ONGITUD ONGITUD CNCNCNCN

( )( ) ( )( )CN

SenN MC Sen65.930333 968.089mL 69.625m

SenN Sen3.841658

°= = =

°

CCCCÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA ÁLCULO DE LA LLLLONGITUD ONGITUD ONGITUD ONGITUD CNCNCNCN

( )( ) ( )( )MN

SenC MC Sen110.227979 968.089mL 942.013m

SenN Sen3.841658

°= = =

°

CALCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE CNM

CN NM CM SUMA

4.352779 74.124800 70.2831419

65.930363 110.227979 3.841658 180.000000

C N M

C N N M M C

sen M sen C sen N

C N N M 968.089

0.066999 0.913050 0.938324

221

o) Ahora lo representamos gráficamente.

FIGURA N° 14.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS MEDIDAS DEL SUBPREDIO 1

p) Si las longitudes de CG y GA son correctas, la figura debe

cerrar perfectamente, así:

CUADRO N° 14.11. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SUBPREDIO 1

S 66.6

21908

° W; 8

77.66

2 m

N 32

.998108

° W; 3

86.364 m

N 4.352779° E;

69.125 m

S 19.097597° E; 3

20.004 m


N D N 4.352779 E 270.311 20.516 0.000 269.532 0.000

D E N 69.591110 E 833.171 780.871 0.000 290.541 0.000

E M S 19.097598 E 320.004 104.698 0.000 0.000 302.392

M N S 74.124800 O 942.0135 0.000 906.085 0.000 257.681

2,365.499 906.085 906.085 560.073 560.073

0.000 0.000

LADOS RUM BOSALEJAM IENTOS LATITUDES

DISTANCIAS

222

q) Seguidamente, calculamos las coordenadas y la superf icie

del Sub-predio 1.

CUADRO N° 14.12. CÁLCULO DEL ÁREA DEL SUBPREDIO 1

r) Luego, calculamos la superf icie del Sub-predio 2 para

comprobar que las áreas de los dos Sub-predios sumen,

exactamente, el área total del predio.

FIGURA N° 14.6. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SUBPREDIO 2

S 19.097597° E; 3

20.004 m

N 4. 352779° E;

(339.436 -69.125) = 270. 311 m

223

CUADRO N° 14.13. CÁLCULO DEL ÁREA DEL SUBPREDIO 2

s) Finalmente, presentamos el resumen de superf icies:

CUADRO N° 14.14. RESUMEN DE ÁREAS DEL PREDIO

AREA TOTAL m2 605,341.102

ÁREA SUB PREDIO 1 252,739.881

ÁREA SUB PREDIO 2 352,601.221

ÁREA (1+2) 605,341.102

DIFERENCIA m2 0.000


1. Calcular la superficie y la distancia de la línea de

fraccionamiento del predio que se muestra. La dirección de la

l ínea de fraccionamiento MN es S 76.442800° E

DOBLES AREAS

ESTES NORTES

N D N 4.352779 E 270.311 0.000 0.000 0.000

D E N 69.591110 E 833.171 20.516 269.532 11,490.383

E M S 19.097598 E 320.004 801.387 560.073 -9,496.759

M N S 74.124800 O 942.0135 906.085 257.681 -507,473.386

2,365.499 -505,479.762

ÁREA 252,739.881

LADOS RUM BOS DISTANCIASCOORDENADAS RELATIVAS

224

2. Calcular la superficie y la distancia de la l ínea de


l ínea de fraccionamiento MN es N 69.425400° E

A B S 29.232800 E 204.960

B C S 24.154200 O 850.640

C D N 70.421600 O 678.540

D E N 19.128500 E 821.320

E A S 85.457200 E 620.220

LADOS RUM BOS DISTANCIAS

A

B

C

D

E

M

N

MN = S 76.442800° E

SUBPARCELA 1

SUBPARCELA 2

225

A B S 19.254800 E 496.330

B C S 68.864700 O 1011.320

C D N 21.462800 O 679.570

D E N 62.425400 E 781.640

E F S 26.364800 E 270.140

F A N 69.362900 E 230.530


226




A B N 16.125400 E 263.440

B C N 16.327400 O 348.750

C D N 77.524800 E 1041.480

D E S 6.452400 E 770.080

E A S 87.452400 O 1080.160


A

B

D

E

M N

C

MN = N 89.451200° E

SUBPARCELA 1

SUBPARCELA 2

227



l ínea de fraccionamiento MN es S 18.222400° W

A B S 72.329700 E 996.320

B C S 9.452600 O 323.640

C D S 64.362800 E 153.950

D E S 28.426500 O 392.450

E F N 68.954200 O 1140.120

F A N 19.128400 E 660.320


MN

= S

18.8

2240

0° W

228







A B N 79.235600 W 1373.250

B C N 5.935400 E 634.250

C D S 80.357200 E 349.250

D E N 16.825400 E 217.160

E F S 77.235400 E 1079.150

F A S 12.425400 W 817.540


D

C

A

B

F

M

N

E

SUBPARCELA 1

SUBPARCELA 2

229




A B N 79.254800 E 1431.530

B C S 11.241800 E 788.630

C D S 79.124800 W 1139.120

D E N 12.825800 W 251.320

E F S 79.363200 W 340.070

F A N 5.435400 W 542.140


MN = S17.225400° E

230




A B S 85.235600 E 1734.230

B C S 8.935400 W 722.650

C D N 87.357200 W 471.270

D E S 42.825400 W 353.120

E F N 81.235400 W 1022.850

F A N 6.425400 E 945.450


MN = N

10.622400° E

231

A B N 84.365400 E 1713.350

B C S 5.625800 E 820.250

C D S 87.254700 W 1058.750

D E S 68.365200 W 414.640

E F N 49.954200 W 383.340

F A N 4.664200 W 606.940


E

D

C

A

F

M

B

SUBPARCELA 1

SUBPARCELA 2

N

232

CAPÍTULO XV

FRACCIONAMIENTO POR PUNTOSFRACCIONAMIENTO POR PUNTOSFRACCIONAMIENTO POR PUNTOSFRACCIONAMIENTO POR PUNTOS


El cálculo tipo de una parcela para fraccionamiento por puntos en

sub_parcelas de igual superficie, incorpora conceptos

fundamentales ya uti l izados y apl icados en la solución de varios

problemas topográficos. El éxito depende, fundamentalmente, de

la adopción de las siguientes operaciones ordenadas de cálculo:

Representar gráficamente los datos de partida (aunque el

alumno puede considerar irrelevante esta recomendación, el

éxito en el fraccionamiento está determinado por la realización

del respectivo gráfico)

Comprobar el cierre geométrico y la consis tencia de los datos

Calcular los rumbos de part ida (s í no son los datos de part ida) y

comprobar el úl timo rumbo por ruta de cálculo diferente a su

establecimiento.

Compensar y calcular la superficie la pol igonal

Fraccionar en dos subparcelas de igual superf icie

15.2. LOS DATOS DE PARTIDA15.2. LOS DATOS DE PARTIDA15.2. LOS DATOS DE PARTIDA15.2. LOS DATOS DE PARTIDA

CUADRO N° 15.1. DATOS DE PARTIDA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

LADOS R U M B O S ( ° ) D ISTANCI AS (m)

A B N 4.234933 W 974.412

B C N 86.467627 E 2055.647

C D S 6.036318 E 1061.057

D A S 88.815788 W 2091.811

233

15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS15.3. LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS

FIGURA N° 15.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

15.4.15.4.15.4.15.4. CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTO CON DATOS DEL

SUBPREDIO 1SUBPREDIO 1SUBPREDIO 1SUBPREDIO 1

e) Teniendo en cuenta que la l ínea de fraccionamiento

comienza en M (que se encuentra en la mitad del

al ineamiento de AB) y termina en N (en el al ineamiento

de CD).

f) Como se desconoce la ubicación de N, tomamos el

punto N’ ubicado a una distancia estimada de 500.000

m, medido desde D. Así , la figura se convierte en un

nuevo pol ígono de cuatro lados, de los cuales se

desconoce el rumbo y distancia de MN’. Las medidas

faltantes de MN’ lo calculamos como s i fueran errores

l ineal y angular de cierre. La representación gráfica es

234

la siguiente:

FIGURA N° 15.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SUBPREDIO 1 DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

CUADRO N° 15.2. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

c) Como cualquier poligonal cerrada, las sumas

algebraicas de los alejamientos y de las lati tudes debían

ser iguales a cero porque el levantamiento se inicia y

N 4.234933° W

S 6.036318° E


A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000

M N' 0.000 0.000 0.000 0.000

N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228

D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231

3079.017 52.579 2127.343 485.876 540.459

-2074.763 -54.583

TOTALES

LADO RUM BOS DISTANCIAA L E J A M I E N T O S L A T I T U D E S

235

termina en el mismo punto. Pero en el presente caso no

disponemos de las medidas del lado MN’; por lo que,

los errores lineal y angular son, precisamente, las

medidas del lado faltante. Los cálculos, indican que:

d) ERROR LINEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.1. CÁLCULO DEL ERROR LINEAL DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑

2 2LCE ( 2074.763) ( 54.583) 2,075.481m= − + − =

e) ERROR ANGULAR DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.2. CÁLCULO DEL ERROR ANGULAR DE CIERRE DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

Alej.

ACAlej.

ERRORE (tg )

ERROR= α =

AC

2,074.763E (tg )

54.583−

= α =−

AC

2.074.763Arctg(tg ) E Arctg( ) N88.492998 E

54.583−

α = = = °−

t ) El error l ineal de cierre, 2,074.481 m es, precisamente,

la longitud de MN’ y el error angular de cierre, N

88.492998° E, es su rumbo. Por lo que procedemos a

calcular el área del pol ígono ABMN’.

236

CUADRO N° 15.3. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL

FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

CUADRO N° 15.4. CÁLCULO DEL ÁREA DEL SUBPREDIO 1 DEL FRACCIONAMIENTO POR

PUNTOS

u) El área de 1,026,099.236 m2 corresponde al pol ígono

ABMN’, es menor en 27,518.989 m2 que el área media

de 1,053,618.226 m2 que le corresponde a la subpredio

1. Por tanto, la posición de N’ se encuentra un poco más

alejada hacia la C de la que habíamos considerado,

estimativamente, de 500.000 m. Esta pequeña distancia,

N’N, se calcula apl icando la misma ecuación

(l igeramente modificada) usada para calcular el área de

un triángulo, así:


A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000

M N' N 88.492998 E 2075.481 2074.763 0.000 54.583 0.000

N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228

D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231

5154.499 2127.343 2127.343 540.459 540.459

0.000 0.000

TOTALES

LADO RUM BOS DISTANCIAA L E J A M I E N T O S L A T I T U D E S

ALEJAM IEN. LATITUDES ESTE NORTE

A M -35.978 485.876 0.000 0.000 0.000

M N' 2074.763 54.583 -35.978 485.876 -19,444.812

N' D 52.579 -497.228 2038.785 540.459 -902,456.803

D A -2091.365 -43.231 2091.365 43.231 -1,130,296.858

0.000 0.000 0.000 0.000 -2,052,198.473

ÁREA 1,026,099.236

LADOCOM PENSACIONES DE ALEJ. Y LAT. COORDENADAS

DOBLES AREAS

237

FÓRMULA N° 15.3. CÁLCULO DE LA DISTANCIA NN’ DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

v) Antes de apl icar la ecuación, conocemos la superficie

del pequeño triangulo MN’N (27,518.989 m2), la

distancia de MN’ (2,075.481 m) y solo ignoramos el

valor del ángulo interno de N’ pero disponemos de datos

suficientes para conocerlo. Para faci li tar la observación

de los datos, presentamos a continuación, la figura que

la reproduce:

FIGURA N° 15.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL TRIÁNGULO MNN’ DEL SUBPREDIO 1

DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

w) De la ecuación, para calcular NN’, solo requerimos

conocer el valor del ángulo N’ que corresponde al

pequeño tr iángulo MNN’, por lo que procedemos

calcularlo, basándonos en la siguiente f igura:

AD

SUB PREDIO 1

M

N’

S 88.815788° W, 2,091.811 m

N 88.492998° E, 2,0

75.481 m

LADO DE F

RACCIONA

MIENTO

N

27,518.989 m2

1,026,099.236 m2

( )

( )

2 MN'NN 'N

MN ' senN '=

( )

( )

2 MN'NN'N

MN' senN'=

238

FIGURA N° 15.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO N’ DEL SUBPREDIO 1 DEL


x) Ahora adicionamos la distancia de NN’, de 26.601 m, a

los 500.000 m estimados (26.601 m + 500.000 m =

526.601 m) y comprobamos si efectivamente se ha

logrado fraccionar la parcela en dos subpredios de igual

superf icie, así:

CUADRO N° 15.5. CÁLCULO DE LA DISTANCIA Y RUMBO DE LA LÍNEA DEL


M

N’

N 88.492998° E, 2,07

5.481 m

LADO DE F

RACCION

AMIENTO

N

1.507002°

88.492998°

NM

' o o o oN 90 6.036318 1.507002 85.470684= − + =

( )

( )

( )( )

22 27.518.989m2 MN'NN'N 26.601m

MN' senN' 2,075.481m sen85.470684= = =

°


A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000

M N 0.000 0.000 0.000 0.000

N D S 6.036318 E 526.601 55.377 0.000 0.000 523.681

D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231

TOTALES 3105.619 55.377 2127.343 485.876 566.913

-2071.966 -81.037

L A T I T U D E SLADO RUM BOS DISTANCIA

A L E J A M I E N T O S

239

y) ERROR LINEAL DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.4. CÁLCULO DE LA DISTANCIA DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

2 2LCE ( Alejs.) ( Lats.)= +∑ ∑

2 2LCE ( 2071.966) ( 81.037) 2,073.550m′ ′= + =

l ) ERROR ANGULAR DE CIERRE

FÓRMULA N° 15.5. CÁLCULO DEL RUMBO A DE LA LÍNEA FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

Alej.

ACLat.

ERRORE (tg )

ERROR= α =

AC

2071.966mE (tg ) N87.760235 E

81.037m−

= α = = °−

CUADRO N° 15.6. COMPROBACIÓN DE LA LÍNEA DE FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS


A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000

M N N 87.760235 E 2073.550 2071.966 0.000 81.037 0.000

N D S 6.036318 E 526.601 55.377 0.000 0.000 523.681

D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231

5179.169 2127.343 2127.343 566.913 566.913

0.000 0.000

TOTALES

L A T I T U D E SLADO RUM BOS DISTANCIA

A L E J A M I E N T O S

240

CUADRO N° 15.7. CÁLCULO DEL ÁREA DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

m) Finalmente, el resumen de superf icies del subpredio 1,

se muestran a continuación.

CUADRO N° 15.8. RESUMEN DE ÁREAS DEL FRACCIONAMIENTO POR PUNTOS

ÁREA DEL PREDIO 2,107,236.451 m2

ÁREA MEDIA 1,053,618.226 m2

ÁREA DEL SUBPREDIO 1 1,053,618.226 m2

DIFERENCIA 0.000 m2


1. Doña Luisa Andrómeda Al iens propietaria del predio rural "El

Otero Grande" contrata los servicios del topógrafo Juan

Sintierra para que realice el levantamiento y el respectivo

fraccionamiento en dos subpredios de igual área para

legarlos a sus dos hijas. El topógrafo, luego de observar las


A M -35.978 485.876 0.000 0.000 0.000

M N 2071.966 81.037 -35.978 485.876 -20,396.574

N D 55.377 -523.681 2035.988 566.913 -901,218.568

D A -2091.365 -43.231 2091.365 43.231 -1,185,621.309

0.000 0.000 0.000 0.000 -2,107,236.451

ÁREA 1,053,618.226

DOBLES AREASCOM PENSACIONES DE ALEJ. Y LAT. COORDENADAS

LADOS

241

condiciones del predio y teniendo en cuenta que se encuentra

sembrado de altos naranjos, decide medirlo desde el

exterior, basándose en el pol ígono de apoyo 1234, trazado

fuera de los linderos del predio, desde los que los l iga los

vért ices del predio ABCD.

El topógrafo, asimismo, recibe instrucciones precisas de

doña Andrómeda para iniciar el fraccionamiento en M que se

encuentra, exactamente, a la mitad de B_C y termina en el

punto N que se encuentra en D_A.

Las medidas lineales y angulares del polígono de apoyo

1234 y de las l igas, reportadas por don Juan Sintierra, son:

LADO AZ IMUT ( ° ) D ISTA NCIA (m)

1 2 18.370600 699.410000

2 3 103.123300 937.430000

3 4 196.299700 719.940000

4 1 284.456000 960.850000

LIGA S AZIMUT ( ° ) D I STA NCIA (m)

1 A 34.500000 17.540

2 B 143.550000 16.650

3 C 222.540000 12.870

4 D 321.360000 16.650

CALCULAR:CALCULAR:CALCULAR:CALCULAR:

1. Los rumbos, sin corregir, del polígono de apoyo

2. Los rumbos y distancias, corregidas, del polígono de

apoyo

3. Las coordenadas de apoyo

242

4. Las coordenadas del predio

5. Las medidas (rumbos y dis tancias) del predio

6. El área del predio

7. La distancia de N_A

8. El rumbo y distancia de M_N

9. Las medidas (rumbos y dis tancia del sub_predio 1

2. Una brigada de topografía al mando de don Juan Sintierra es

contratada para fraccionar, en dos sub_parcelas de áreas

iguales, el predio PQRS de propiedad de doña Andrómeda

Al iens quien desea legar como anticipo de herencia a sus dos

hijas. Don Juan, después de observar las condiciones del

predio, que está rodeada de un cerco vivo y que los vért ices

no son intervisibles, decide realizar el levantamiento mediante

la técnica de ligas. Para el lo traza el pol ígono de apoyo

ABCDC dentro de los l inderos del predio y luego, desde cada

uno de los vértices del ABCD, liga los vért ices PQRS del

predio.

Asimismo, don Juan recibe las siguientes instrucciones de la

propietaria:

El fraccionamiento debe comenzar en el punto M que se

encuentra a la mitad de la al ineación QR (éste lado colinda

con una carretera de reciente construcción) y debe

f inal izar en el punto N y compartir un punto de la

al ineación SP y las dos sub_parcelas fraccionadas deben

tener la misma área.

Don Juan, por motivos ajenos, no logra f inal izar el encargo

y deja las siguientes medidas para que cada uno de los

integrantes de la brigada, es decir, us ted; calcule las

medidas de las dos sub_parcelas.

Las coordenadas del polígono de apoyo

243

VÉRTICE COORDENADA S DE A PO YO ( m)

ESTE NORT E

A 0.000 0.000

B -85.977 -515.959

C -1,309.230 -446.357

D -1,254.152 115.319

Las medidas de las l igas

LA DOS R U M B O S DI STANCIA

( m)

A P N 42.325000 E 65.2100

B Q S 48.545000 E 85.2300

C R S 32.545000 O 51.2800

D S N 53.245000 O 45.6400

4. Si us ted recibiera el encargo de fraccionar, en dos

sub_parcelas de áreas iguales, el predio ABCD de propiedad

de doña Luisa Andrómeda quien desea legar como anticipo

de herencia a sus dos hi jas, en trance de casamiento. Doña

Luisa desea que la l ínea de fraccionamiento debe comenzar

desde M que se encuentra, exactamente, a la mitad de la

al ineación AB y que colinda con una carretera de reciente

construcción y deben f inalizar en N que, a su vez, pertenece

a la alineación CD.

Calcular el rumbo y longitud de la línea divisoria part iendo de

las coordenadas del predio que se muestra en el gráfico.

244

LADOS COORD ENADA S

ESTE NORT E

A B 0.0000 0.0000

B C -1,631.2583 188.1121

C D -1,515.6935 896.0357

D A 113.3255 746.0271

SUMA 0.0000 0.0000

5. Doña Luisa Andrómeda Aliens propietaria del predio "Cristal

de Oro" contrata los servicios del topógrafo Juan Sintierra

para que proceda al levantamiento del predio para luego

proceder a la división. Las hijas casaderas, Euterpe y

Cal iope, recibirán los subpredios en condición de herencia.

El las planean instalar sendas Piscigranjas para cultivar

Camarón “Jumbo” y langostinos.

La propietaria conviene con sus hijas, iniciar la división a los

900.00 metros de la al ineación PQ y terminar a los 900.00

metros de la alineación RS.

El topógrafo, luego de observar las condiciones del predio,

decide medirlo basándose en el pol ígono de apoyo y con

l igas a los vért ices. Por ello traza, dentro de los linderos del

predio, el pol ígono de apoyo ABCD y mide las ligas AP, BQ,

CR y DS. El pol ígono de apoyo lo mide util izando la técnica de

tr iangulación.

El azimut de part ida, medido en el lado AB, es de 9.160000°.

Las medidas angulares del pol ígono de apoyo ABCD y de las

l igas, reportadas por Don Juan Sintierra, son:

245

NU M. ÁNGULO

1 37,640000

2 32,240000

3 58,300000

4 53,300000

5 40,120000

6 42,160000

7 43,640000

8 52,840000

LADO RU MBO RU MBO S DISTA NCIA

A P S O 18,840000 234,300

B Q N O 45,300000 201,150

C R N E 61,120000 328,400

D S S E 31,120000 152,100

La base, medida en el lado AE, es de 862.15 metros.

CALCULAR:

1 Los valores de los ángulos corregidos del

pol ígono de apoyo ABCD

2 Los rumbos del pol ígono de apoyo

3 Las distancias perimetrales del pol ígono de

apoyo

4 El error lineal de cierre del polígono de apoyo

5 Las coordenadas de las ligas

6 Los rumbos del predio

7 Las distancias del predio

246

6. Calcular la orientación y distancia de la l ínea de

fraccionamiento MN de la parcela que se muestra para que

las superficies de las subparcelas 1 y 2 sean iguales.



las superficies de las subparcelas sean iguales.

A B N 86.324200 E 1,368.250

B C S 3.813300 W 642.350

C D N 88.988100 W 304.520

D E S 15.317100 W 275.240

E F N 85.908700 W 1,049.140

F A N 7.814500 E 745.530

LADO RUM BOS DISTANCIA

LÍNEADEFRACCIONAMIENTO

247



las superficies de las subparcelas 1 y 2 sean iguales.

A B N 3.824200 W 616.350

B C S 87.307400 E 888.520

C D S 9.536600 E 231.690

D E S 89.038800 E 272.390

E F S 1.568700 W 407.870

F A N 86.612200 W 1,147.640


248



las superficies de las subparcelas sean iguales.

A B S 18.624200 W 653.280

B C N 75.216500 W 1,137.450

C D N 13.144900 E 398.950

D E S 76.121840 E 267.420

E F N 25.539000 E 227.840

F A S 76.837800 E 882.470


249

A B N 1.524200 E 632.060

B C S 87.770800 E 1,679.850

C D S 5.068700 E 930.240

D E N 88.7926000 W 1,304.060

E F N 12.446600 W 342.070

F A S 89.818800 W 400.270


250

CAPÍTULO XVI

TRITRITRITRIAAAANGULACIÓNNGULACIÓNNGULACIÓNNGULACIÓN

11116666.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN.1. INTRODUCCIÓN

Triangulación es una técnica topográfica para determinar las

posiciones horizontales de puntos sobre la superf icie terrestre. Es

un procedimiento muy eficaz para real izar levantamientos de áreas

extensas porque evita tener que medir las longitudes de todas las

al ineaciones. Un sis tema de triangulación consiste

fundamentalmente en un conjunto de tr iángulos cuyos ángulos se

han medido en forma directa. Los lados cuyas longitudes se miden

se conocen como bases o l íneas base. Los puntos de

levantamiento o estaciones de triangulación se local izan en los

vért ices de los tr iángulos. A part ir de los ángulos y bases medidos,

pueden determinarse sucesivamente, por trigonometría, las

longitudes de todos los demás lados interconectados. Además, se

conocen las coordenadas horizontales de un punto, así como el

azimut de otra estación, es posible calcular las coordenadas de

todos los demás puntos y los acimutes de las l íneas restantes.

Tri lateración es un procedimiento para extender el control

horizontal fundado en la medición directa de las longitudes de

todas las l íneas de una figura geométrica y en el subsecuente

cálculo de los ángulos.

11116666.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN.2. SISTEMAS DE TRIANGULACIÓN

La tr iangulación logró predominar porque redujo la tediosa y difícil

tarea de medir directamente las distancias con cinta para extender

el control horizontal, sobre todo realizar levantamientos en terreno

accidentado.

En general, la triangulación, suele referirse a redes amplias que

comprenden grandes áreas, l íneas largas, mediciones de precisión

251

y complejos cálculos con sus correspondientes ajustes. Las

ventajas de emplearla para trabajos catastrales y de ingeniería civi l

a nivel local , con frecuencia todavía se desprecian. Cualquier

sistema de triangulación consiste en una serie de tr iángulos

l igados que se añaden o se traslapan.

a) CADENA DE TRIÁNGULOS SENCILLOS

Es un sistema rápido y económico para cubrir una faja de

terreno estrecha como por ejemplo, la cuenca de un río. No es

tan exacta como otros sistemas, y es necesario ir intercalando

bases más cercanas si no se desea que la acumulación de

errores se vuelva excesiva. En este sistema no debe permit irse

ángulos pequeños, de menos de 20°. Los sistemas de

triangulación de alta cal idad no contienen triángulos senci llos

como unidades de una cadena de figuras.

FIGURA N° 16.1. CADENA DE TRIÁNGULOS SENCILLOS

252

b) CADENA DE CUADRILÁTEROS

Los cuadri láteros integran un gran sistema, porque las

longitudes calculadas de los lados pueden irse propagando a

través de los sistemas mediante diferentes combinaciones de

lados y ángulos; se incrementa así la exacti tud de los resultados

y se t ienen frecuentes comprobaciones de los cálculos.

FIGURA N° 16.2. CADENA DE CUADRILÁTEROS

c) CADENA DE FIGURAS DE PUNTO CENTRAL

Si se va a cubrirse una zona amplia con una distribución de

puntos relativamente densa, como en el caso de una gran

triangulación para un área metropoli tana, se util izan f iguras de

punto central

253

FIGURA N° 16.3. CADENA DE FIGURAS DE PUNTO CENTRAL

11116666.3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN .3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN .3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN .3. CALCIFICACIÓN DE LA TRIANGULACIÓN

La base fundamental para clasif icar la tr iangulación, es la exacti tud

relativa con la que puede propagarse la posición horizontal entre

dos puntos directamente conectados. La Extensión y propós ito del

levantamiento sirven también para definir los diversos rangos de

trabajo.

En el cuadro, que se muestra a continuación, se tabulan las

normas de exacti tud y las especificaciones generales, en forma

abreviada, como las publ icó el Federal Geodetic Control

Committee en 1974.

254

CUADRO N° 16.1. NORMAS DE EXACTITUD Y LAS ESPECIFICACIONES

GENERALES DE LA TRIANGULACIÓN

PRI MER

ORDEN

SEGUNDO ORDEN TERCER O RDEN

CLA SE I CLASE I I CLASE I CLASE I I

USO PRINC I PAL

RED

PRI MA RIA

NA CIONAL

REFU ERZO

DE LA RED

NACIONAL

COMPLEME

NTO DE LA

RED

NACIONAL

LEV.

LOCA LES

DE

CONT ROL

LEV.

LOCALES

DE

CONT ROL

ERRO R ESTÁ NDA R DE

LA BA SE NO MA YO R

DE

1 PA RTE EN

1 '000,000

1 PA RTE EN

900,000

1 PA RTE EN

800,000

1 PA RTE EN

500,000

1 PA RTE EN

250,000

ERRO R DE CI ERRE DE

UN TRIANGU LO

PRO MEDIO, NO MA YO R

DE

1.0" 1 .2" 2 .0" 3 .0" 5 .0"

ERRO R DE CI ERRE DE

UN TRIANGU LO

MÁXIMO, NO DEBE

EX CEDER DE

3.0" 3 .0" 5 .0" 5 .0" 10.0 "

ERRO R DE C I ERRE

LINEAL, NO MAYO R DE

1 PA RTE EN

100,000

1 PA RTE EN

50,000

1 PA RTE EN

20,000

1 PA RTE EN

10,000

1 PA RTE EN

5,000

11116666.4. RECONOCIMIENTO.4. RECONOCIMIENTO.4. RECONOCIMIENTO.4. RECONOCIMIENTO

Todo trabajo de tr iangulación, incluso de menor magnitud,

usualmente va precedido por un estudio preliminar de campo,

l lamado reconocimiento, encaminado a seleccionar los mejores

sit ios para las estaciones. Los cri terios para determinar la

localización y distribución de las estaciones son la intervis ibi lidad y

la rigidez de la f igura.

Debe comprobarse la intervisibi lidad de las estaciones antes de

iniciar el programa de observación de ángulos. En ciertos casos,

todo lo que se requiere es un aprueba visual de las líneas en la

vis i ta prel iminar al si tio de las estación

255

La rigidez de la figura es el efecto de la forma del tr iángulo sobre

la exacti tud con la que puede calcularse la longitud de un lado. En

cualquier sis tema de triangulación, las longitudes de los lados de

los triángulos se calculan por la ley de los Senos. Los datos

híncales son la longitud medida de una línea, l lamada base, y los

ángulos horizontales en los vértices de los triángulos. Puesto que,

para una incert idumbre dada en el ángulo, los senos de los

ángulos pequeños cambian más rápidamente que los de los

ángulos grandes, es evidente que el error porcentual en el lado

calculado de un tr iángulo será mayor si el lado esta opuesto a un

ángulo pequeño que si esta opuesto a un ángulo más grande. Se

supone que la exacti tud con la que se mide un ángulo es

independiente de su tamaño.

11116666.5. MEDICIONES Y CORRECCIONE.5. MEDICIONES Y CORRECCIONE.5. MEDICIONES Y CORRECCIONE.5. MEDICIONES Y CORRECCIONES DE LAS BASESS DE LAS BASESS DE LAS BASESS DE LAS BASES

En la triangulación es frecuente determinar longitudes de las bases

midiendo, varias veces, directamente con cinta y con ins trumentos

EDM para que la base medida sea lo más precisa posible.

Después de la medición, es necesario calcular y apl icar varias

correcciones a la longitud observada, con el f in de obtener el

mejor valor de la longitud de la base.

Tratándose de una base medida con cinta, es tas correcciones son,

fundamentalmente:

a) Corrección por longitud de la cinta

b) Corrección por temperatura

c) Corrección por pendiente

d) Corrección por catenaria

e) Corrección por reducción a nivel del mar.

Con respecto a la corrección por reducción a nivel del mar,

supóngase que C es la corrección que debe restarse de la longitud

medida, L, que tiene una elevación H sobre el nivel del mar.

256

Entonces, como para un ángulo dado los arcos son proporcionales

a sus respectivos radios, puede escribirse la siguiente relación:

FÓRMULA N° 16.1. CORRECCIÓN DE LA BASE DE LA TRIANGULACIÓN

LHC

R=

Como el valor promedio del radio de la Tierra puede tomarse

6’372,200 m ó 20’906,000 pies

11116666.6. AJUSTE DE.6. AJUSTE DE.6. AJUSTE DE.6. AJUSTE DE ÁNGULOSÁNGULOSÁNGULOSÁNGULOS

Cuando un arco de triangulación está formado por una cadena de

triángulos, el ajuste angular consiste en aplicar a cada ángulo una

corrección igual a un tercio del error de cierre.

En el caso de un cuadri látero, además de satisfacer la CONDICIÓN

GEOMÉTRICA, o sea, que la suma de los ángulos de cada triangulo

se iguale a 180° exactamente, deberá cumplirse también una

CONDICIÓN TRIGONOMÉTRICA. Esta implica una segunda

corrección de los ángulos,

257

11116666.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS.7. TRIANGULACIÓN DE POLÍGONOS

a) El gráfico

FIGURA N° 16.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA TRIANGULACIÓN DE FIGURA DE

PUNTO CENTRAL

b) Los datos

CUADRO N° 16.2. DATOS DE LA FIGURA DE PUNTO CENTRAL

Gr. Min

1 78 15

2 48 36

3 37 32

4 44 54

5 53 48

6 52 15

7 44 36

8 57 54

9 62 48

10 59 15

NUM. ÁNGULO

258

Rumbo de partida, AB = S 3.662400° E.

Base AF = 536.450 metros

c) Al igual que en la tr iangulación de cuadri láteros, como

en este caso, los ángulos internos de la f igura que no

deben contradecir a la ecuación ( )o

ang _ int180 n 2= −∑ , es

decir no debe exceder los 540° por tratarse de un

pol ígono de cinco lados. En el caso de que exista error

por defecto (como el presente) o por exceso, debemos

compensar el pol ígono; restándole a cada ángulo

medido, el error por exceso dividido por diez, que son el

número de ángulos internos medido en el pol ígono, es

decir, 0.116667°/10 = 0.011667°. Los cálculos tabulados

se muestran a continuación

CUADRO N° 16.3. CONVERSIÓN A DECIMALES DE GRADO

d) Para proceder a la compensación trigonométrica de los

ángulos del pol ígono, procedemos a ordenar los

ángulos; primero los pares y luego los impares. A los

Gr. Min

1 78 15 78.250000 78.261667

2 48 36 48.600000 48.611667

3 37 32 37.533333 37.545000

4 44 54 44.900000 44.911667

5 53 48 53.800000 53.811667

6 52 15 52.250000 52.261667

7 44 36 44.600000 44.611667

8 57 54 57.900000 57.911667

9 62 48 62.800000 62.811667

10 59 15 59.250000 59.261667

539.883333 540.000000

0.116667

0.011667

Sumatoria

Defecto

Defecto/10

NUM. ÁNGULO ANGULO

DECIMALCORREC. BANG. COMP.

259

pares les denominaremos ángulos α y a los impares,

ángulos β .

CUADRO N° 16.4. ORDENACIÓN DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES

d) Luego, calculamos los senos de los ángulos ordenados,

lo mult ipl icamos por 100 para evitar logari tmos

negativos, obtenemos sus respectivos logaritmos y

sumamos pares e impares; así:

CUADRO N° 16.5. CÁLCULO DE LOS SENOS DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES

NUM. VALOR

1 78.261667 2 48.611667

2 48.611667 4 44.911667

3 37.545000 6 52.261667

4 44.911667 8 57.911667

5 53.811667 10 59.261667

6 52.261667 1 78.261667

7 44.611667 3 37.545000

8 57.911667 5 53.811667

9 62.811667 7 44.611667

10 59.261667 9 62.811667

540.000000 540.000000

NUM.CORREC. BANG. COMP.

ANG. ORDENADOS

NUM. VALOR SENO ANG. x 100 LOG.x 100

2 48.611667 0.750246 75.024571 1.875204

4 44.911667 0.706016 70.601579 1.848814

6 52.261667 0.790814 79.081422 1.898074

8 57.911667 0.847230 84.723011 1.928001

10 59.261667 0.859511 85.951050 1.934251

1 78.261667 0.979087 97.908692 1.990821

3 37.545000 0.609384 60.938434 1.784891

5 53.811667 0.807081 80.708056 1.906917

7 44.611667 0.702298 70.229802 1.846521

9 62.811667 0.889509 88.950943 1.949151

540.000000 Σ pares (α) 9.484345

Σ impares(β) 9.478301

ANG. ORDENADOS SUMATORIAS DE ANGULOS α y β

260

c) Seguidamente, calculamos las parte proporcionales (pp)

de los ángulos ordenados α y β e incrementados en un

segundo, así.

CUADRO N° 16.6. CÁLCULO DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE LOS SENOS DE LOS

ÁNGULOS PARES E IMPARES

d) Para calcular la corrección unitaria a cada uno de los 10

ángulos del pol ígono uti l izamos la siguiente ecuación:

FÓRMULA N° 16.2. CORRECCIÓN UNITARIA DE LOS ÁNGULOS DE LA TRIANGULACIÓN

Σ pares (α) 9.484345 Σ Di f. Tab.(α ) 0.000008

Σ impares(β ) 9.478301 Σ Di f. Tab.(β) 0.000008

Reemplazando

NUM. VALOR INCR. 1 SEG SENO INC.. x 100 LOG.x 100 DIFERENCIA

2 48.611667 48.611944 0.750249 75.024892 1.875205 0.000002

4 44.911667 44.911944 0.706019 70.601922 1.848817 0.000002

6 52.261667 52.261944 0.790817 79.081719 1.898076 0.000002

8 57.911667 57.911944 0.847233 84.723268 1.928003 0.000001

10 59.261667 59.261944 0.859513 85.951298 1.934252 0.000001

1 78.261667 78.261944 0.979088 97.908790 1.990822 0.000000

3 37.545000 37.545278 0.609388 60.938818 1.784894 0.000003

5 53.811667 53.811944 0.807083 80.708342 1.906918 0.000002

7 44.611667 44.611944 0.702301 70.230147 1.846524 0.000002

9 62.811667 62.811944 0.889512 88.951165 1.949152 0.000001

540.000000 Σ Dif. Tab.(Q) 0.000008

Σ Dif. Tab.(β) 0.000008

ANG. ORDENADOS SUMATORIAS DE LAS PARTES PROPORCIONALES (pp) DE & y β

log.sen( ) log.sen( )C

pp( ) pp( )

α − β=

α + β

∑ ∑∑ ∑

o9.484345 9.478301 0.006044C 0.104255

0.000008 0.000008 0.000016° − °

° = = =+

261

Como la sumatoria de los ángulos pares (α) son mayores

que la sumatoria de los ángulos impares (β ); aplicamos

una corrección unitaria negativa de 0.104255° a los

pares y pos itiva a los impares. El cálculo se muestra en

la siguiente tabla:

CUADRO N° 16.7. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS PARES E IMPARES CORREGIDOS

g) Para calcular las distancias perimetrales del cuadri látero, se

apl ica la Ley de senos. Esta relaciona, básicamente, los

lados de un triángulo con su ángulo opuesto. En

consecuencia, nos permite calcular, una de las longi tudes de

un triángulo, conociendo la longi tud base y al menos 2

ángulos internos adyacentes, tal como se muestra en la

siguiente f igura.

NUM. VALOR

2 48.611667 48.507411

4 44.911667 44.807411

6 52.261667 52.157411

8 57.911667 57.807411

10 59.261667 59.157411

1 78.261667 78.365922

3 37.545000 37.649255

5 53.811667 53.915922

7 44.611667 44.715922

9 62.811667 62.915922

540.000000 540.000000

ANG. ORDENADOS ANGULOSCORREGIDOS

262

FIGURA N° 16.5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRIMER TRIANGULO DEL POLÍGONO

11sen

AF

2sen

AB=

m920.572126667.53

807411.44xsen450.536

11sen

2AFxsenAB =

°

°==

Las demás longitudes se muestran en la siguiente tabla.

CUADRO N° 16.8. CÁLCULO DE DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN

LAD_DESCON ANG. OPUEST LAD_CONOC ANG. OPUEST DISTANCIA

A BA BA BA B 11 536.450 2 572.920

B FB FB FB F 1 572.920 11 701.468

B CB CB CB C 12 701.468 4 986.763

C FC FC FC F 3 986.763 12 608.003

C DC DC DC D 13 608.003 6 739.819

D FD FD FD F 5 739.819 13 622.211

D ED ED ED E 14 622.211 8 717.753

E FE FE FE F 7 717.753 14 517.313

E AE AE AE A 15 517.313 10 510.559

A EA EA EA E 9 510.559 15 536.450

COMPROBACION

BASE en el lado AF = 536.450 metros

263

Rumbos y distancias del pol ígono

CUADRO N° 16.9. CÁLCULO DE RUMBOS Y DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN

CUADRO N° 16.10. CÁLCULO DE ALEJAMIENTOS Y DISTANCIAS DE LA TRIANGULACIÓN

CUADRO N° 16.11. CÁLCULO DEL ÁREA DE LA TRIANGULACIÓN

A B S 3.662400 E 572.920

B C N 89.819067 O 986.763

C D N 8.542400 O 739.819

D E N 74.584267 E 717.753

F A S 46.139067 E 510.559

LADO R U M B O S DISTANCIAS


A B S 3.662400 E 572.920 36.597 0.000 0.000 571.750

B C N 89.819067 O 986.763 0.000 986.758 3.116 0.000

C D N 8.542400 O 739.819 0.000 109.894 731.612 0.000

D E N 74.584267 E 717.753 691.930 0.000 190.794 0.000

F A S 46.139067 E 510.559 368.125 0.000 0.000 353.772

3527.8143 1096.652 1096.652 925.521 925.522

0.000 0.000

A L E J A M I E N T O S L A T I T U D E SLADO R U M B O S DISTANCIAS

ANGULOS DISTANCIAS ESTE NORTE

A B -3.662400 572.9198 0.000 0.000 0.000

B C -89.819067 986.7634 36.597 -571.750 -20,810.084

C D -8.542400 739.8191 -950.162 -568.634 -698,110.258

D E 74.584267 717.7529 -1060.055 162.978 -977,800.848

F A -46.139067 510.5591 -368.126 353.772 59,996.355

3527.8143 0.000 0.000 -1,636,724.835

AREA 818,362.418

COORDENADASDOBLES AREAS

MEDIDAS CORREGIDASLADO

264


1. Calcular la superf icie del predio tr iangulado que se muestra sí

su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 86.224500°

E y la base, de 682.240 metros, ha sido medida en el lado

AG.

NUM. ÁNG ULOS

NUM. ÁNG ULOS

Gr . Min Gr . Min

1 46 58 13 48 12

2 41 54 14 49 12

3 43 15 15 40 18

4 44 45 16 45 36

5 51 18 17 49 42

6 39 42 18 46 24

7 38 24 19 42 24

8 54 24 20 38 15

BASE: 682.240 m

265



W y la base, de 518.240 metros, ha s ido medida en el lado

AG.

NUM. ÁNG ULOS

NUM. ÁNG ULOS

Gr . Min Gr . Min

1 47 4 13 47 45

2 43 12 14 49 32

3 42 6 15 40 42

4 44 18 16 45 36

5 51 6 17 50 14

6 41 14 18 45 24

7 40 8 19 41 48

8 51 12 20 39 15

A

B

C

D

E

F

1

23

45

67

8

910

11

12

13

14

15

1617

18

19

20

21

22

23

24

G

H

BASE: 518.240 m

RUMBO DE PARTIDA: S 74.524500° W

266


su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es N 13.142400°


AG.

NUM. ÁNGU LOS

NUM. ÁNGU LOS

Gr . Min Gr . Min

1 40 12 13 42 45

2 46 8 14 43 18

3 53 12 15 43 42

4 41 18 16 41 24

5 44 6 17 47 24

6 49 14 18 43 24

7 43 4 19 45 48

8 43 6 20 52 36

RU

MB

OD

EP

AR

TI D

A: N

13.

142

400°

E

267




AG.

NUM. ÁNG ULOS

NUM. ÁNG ULOS

Gr . Min Gr . Min

1 40 14 13 42 36

2 46 24 14 40 42

3 52 14 15 43 12

4 40 12 16 42 42

5 45 14 17 47 12

6 49 14 18 44 38

7 42 8 19 46 15

8 44 24 20 52 36

BASE

: 695

.240

m

RU

MB

OD

EP

AR

TID

A: S 13

.842

400

° E

268


su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 1.234600° W

y la base, de 812.680 metros, ha sido medida en el lado AG.

NUM. ÁNG ULOS

NUM. ÁNG ULOS

Gr . Min Gr . Min

1 42 21 13 42 42

2 42 45 14 51 15

3 51 15 15 42 45

4 42 42 16 42 21

5 39 32 17 43 18

6 50 45 18 47 12

7 47 12 19 50 45

8 43 24 20 39 32

RU

MB

OD

EP

AR

TI D

A: N

0. 4

33

20

0°

E

269




AG.

NUM. ÁNG ULOS

NUM. ÁNG ULOS

Gr . Min Gr . Min

1 40 24 13 49 24

2 38 22 14 48 54

3 47 12 15 38 24

4 49 28 16 41 32

5 40 45 17 46 22

6 45 24 18 48 28

7 51 25 19 46 18

8 46 54 20 40 32

15

16

17

18

19

20

13

14

22

23

24

21

3

45

6

7

8

1 2

10

11

12

9

BASE: 765.090 m

RUMBO DE PARTIDA: N 89.244600° EBA

F

G

E

H

D

C

270


su rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 8.324500° W

y la base, de 794.520 metros, ha sido medida en el lado AG.

NUM. ÁNG ULOS

NUM. ÁNG ULOS

Gr . Min Gr . Min

1 45 15 13 50 14

2 49 12 14 39 24

3 47 34 15 42 36

4 41 21 16 51 28

5 48 12 17 42 48

6 47 8 18 41 24

7 39 8 19 44 16

8 42 18 20 47 52

BASE

: 803

.250

m

RU

MB

OD

EP

AR

TIDA: N

11.4

33200

° W

271




AG.

NUM. ÁNG ULOS

NUM. ÁNG ULOS

Gr . Min Gr . Min

1 48 24 13 49 52

2 46 16 14 47 45

3 41 45 15 38 14

4 38 32 16 40 26

5 48 45 17 46 32

6 49 28 18 51 18

7 40 32 19 45 24

8 46 26 20 40 28

43

2

1

8

7

6

5

10

9

12

11

14

1320

19

18

17

16

15

21

24

23

22

BASE: 7

18.630 m

A

BC

D

E

F

G H

272

CAPÍTULO XVII

TRILATERACIÓNTRILATERACIÓNTRILATERACIÓNTRILATERACIÓN


El principio de tri lateración es uti l izado para extender el control

horizontal. Consiste, básicamente, en la medición directa de las

longitudes de los lados de los triángulos y en el subsecuente

cálculo de los ángulos.

Consti tuye una alternativa a la tr iangulación y debe vérsele como

complementaria de los métodos de poligonación y tr iangulación

para proveer control.

Las mismas consideraciones que originaron la adopción de los

métodos de triangulación, o sea, la posibil idad de transferir con

exacti tud las posiciones de puntos sobre terreno accidentado, han

apoyado el empleo de la tr ilateración.

Tanto la triangulación como la tri lateración t ienen en común, la

rigidez de la f igura y la intervisibil idad entre las estaciones.

17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES17.2. CÁLCULOS Y VERIFICACIONES

Los ángulos se determinan fáci lmente con la ayuda de una

calculadora electrónica, usando la ley de los cosenos. Las

distancias deben estar reducidas a nivel de mar; donde las

distancias a, b y c son los lados de los tr iángulos opuestos a los

ángulos A, B y C, respectivamente.

FÓRMULA N° 17.1. LEY DE COSENOS

bc2

acbAcos

222 −+=

273

La suma de los ángulos calculados deben ser exactamente 180° y

deben considerarse a los ángulos como planos y no esféricos. Sin

embargo, al satisfacer la condición geométrica solo se veri f ica que

el cálculo de los ángulos es correcto. Por ello, debe efectuarse

algunas comprobaciones externas midiendo de vez en cuando

algunos ángulos, comparando acimutes calculados y observados a

lo largo de líneas seleccionadas, y con los errores de cierre de

posición, cando se hagan ligas con otro control de orden igual o

superior.

17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN17.3. COMPARACIÓN CON LA TRIANGULACIÓN

Las evaluaciones confirman la conveniencia de la ut i l ización de la

tri lateración para extender el control horizontal, s iempre y cuando

se respeten las recomendaciones de la configuración geométrica y

de las longitudes de las l íneas.

También puede considerársele como un auxi l iar para la

triangulación. Sin embargo, cuando se trata de redes de pequeñas

f iguras, la tri lateración aventaja a la tr iangulación por la notable

faci lidad y rapidez con que pueden tomarse mediciones muy

precisas de distancias con instrumentos de lectura automática, en

comparación con el trabajo que representa hacer observaciones de

ángulos.

274

17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS17.4. CÁLCULO TIPO DE UNA RED DE POLÍGONOS

a) El gráfico y las mediciones de los lados del sistema

FIGURA N° 17.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL SISTEMA TRILATERADO

CUADRO N° 17.1. MEDIDAS DEL SISTEMA TRILATERADO

LADO DI STA NCIA

(m) LADO

DI STANCIA

( m)

AB 720.82 BG 576.61

BC 759.90 CG 533.79

CD 785.85 FG 432.12

DE 819.45 CF 815.82

EF 800.30 FH 656.50

FA 718.14 CH 603.59

AG 617.77 DH 499.49

EH 533.74

275

b) Representación gráfica del triángulo ABG

F IGURA N° 17.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRIMER TRIÁNGULO

TRILATERADO

d) Las ecuaciones de la Ley de Cosenos para los tres ángulos

internos del tr iángulo ABG

FÓRMULA N° 17.2. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO A CON LA LEY DE COSENOS

bg2

agbAcos

222 −+=

FÓRMULA N° 17.3. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO B CON LA LEY DE COSENOS

ag2

bgaBcos

222 −+=

1

2

11

b = AG = 620.290 m

276

FÓRMULA N° 17.4. CÁLCULO DE ÁNGULO INTERNO C CON LA LEY DE COSENOS

ab2

gbaGcos

222 −+=

e) Reemplazando en las ecuaciones con los valores medidos en

campo y reportados en la tabla.

°=−+

=−+

= 312182.50)820.720)(770.617(2

610.576820.720770.617

bg2

agbAcos

222222

°=−+

=−+

= 534480.55)820.720)(610.576(2

770.617820.720610.576

ag2

bgaBcos

222222

°=−+

=−+

= 153338.74)770.617)(610.576(2

820.720770.617610.576

ab2

gbaGcos

222222

e) Si los cálculos son correctos la sumatoria de los tres ángulos

internos deben sumar, exactamente, 180°.

CUADRO N° 17.2. COMPROBACIÓN DE LOS ÁNGULOS INTERNOS

VÉRTICE Á NGULO

A 50.312182°

B 55.534480°

G 74.153338°

180.000000°

f) Los valores de los demás triángulos, son:

277

CUADRO N° 17.3. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SEGUNDO

TRIÁNGULO

SEGUNDO TRI ÁNGULO: BCG

LADOS DI STANCIA

( m) NÚM VÉRT ICE ÁNGULOS ( ° )

BC 759.900 3 B 44.504549

CG 533.790 4 C 49.217671

GB 576.610 12 G 86.277781

180.000000

CUADRO N° 17.4. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL TERCER

TRIÁNGULO

TERC ER T RIÁNGULO: CFG

LADOS DI STANCIA


CF 815.820 5 C 28.725585

FG 432.120 6 F 36.419668

GC 533.790 13 G 114.854747

180.000000

CUADRO N° 17.5. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL CUARTO

TRIÁNGULO

CU ARTO TRI ÁNGULO: FA G

LADOS DI STANCIA


FA 718.140 7 F 58.875309

AG 617.770 8 A 36.783219

GF 432.120 14 G 84.341473

180.000000

278

CUADRO N° 17.6. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL QUINTO

TRIÁNGULO

QUI NTO TRIÁ NGULO: FCH

LADOS DI STANCIA


FC 815.820 15 F 46.875811

CH 603.590 16 C 52.547112

HF 656.500 23 H 80.577077

180.000000

CUADRO N° 17.7. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SEXTO

TRIÁNGULO

SEXTO TRIÁNGULO: CDH

LADOS DI STANCIA


CD 785.850 17 C 39.463941

DH 499.490 18 D 50.179813

HC 603.590 24 H 90.356247

180.000000

CUADRO N° 17.8. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SÉPTIMO

TRIÁNGULO

SÉPT IMO TRIÁNGULO: DEH

LADOS DI STANCIA


DE 819.450 19 D 39.008064

EH 533.740 20 E 36.088869

HD 499.490 25 H 104.903067

180.000000

279

CUADRO N° 17.9. CÁLCULO DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL ÚLTIMO

TRIÁNGULO

ÚLTI MO TRI ÁNGULO: EFH

LADOS DI STANCIA


EF 800.300 21 E 54.642456

FH 656.500 22 F 41.533246

HE 533.740 26 H 83.824298

759.900 180.000000

g) Los ángulos internos del predio ABCDEF, son:

CUADRO N° 17.10. ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA TRILATERADO

VÉRTICE ÁNGULO ( °)

A 87.09540

B 100.03903

C 169.95431

D 89.18788

E 90.73132

F 183.70403

SUMA 720.71197

280

FIGURA N° 17.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO TRILATERADO

h) Los ángulos internos corregidos, geométricamente, del predio

ABCDEF, son:

CUADRO N° 17.11. ÁNGULOS INTERNOS CORREGIDOS DEL SISTEMA TRILATERADO


A 86.976739

B 99.920366

C 169.835647

D 89.069215

E 90.612662

F 183.585372

SU MA 720.000000

281

i ) Los rumbos y distancias, part iendo del rumbo de part ida AB

= N 5.232600° E, del predio ABCDEF, son:

CUADRO N° 17.12. RUMBOS Y DISTANCIAS DEL SISTEMA TRILATERADO

LADOS R U M B O S ( ° ) D ISTANCIAS (m)

A B N 5.232600 E 720.820

B C N 85.312234 E 759.900

C D S 84.523413 E 785.850

D E S 6.407373 O 819.450

E F N 84.205289 O 800.300

F A N 87.790662 O 718.140

TOTAL 4604.460

j ) Los alejamientos y lati tudes del predio ABCDEF, son:

CUADRO N° 17.13. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL SISTEMA TRILATERADO

LA DO R U M B O S DIS TA NCI A ALEJAMIENT OS LA TI TUDES

ESTE OESTE N ORTE SUR

A B N 5.232600 E 720.820 65.738 0.000 717.816 0.000

B C N 85.312234 E 759.900 757.358 0.000 62.103 0.000

C D S 84.523413 E 785.850 782.263 0.000 0.000 75.001

D E S 6.407373 O 819.450 0.000 91.448 0.000 814.331

E F N 84.205289 O 800.300 0.000 796.210 80.802 0.000

F A N 87.790662 O 718.140 0.000 717.606 27.685 0.000

4604.460 1605.359 1605.265 888.406 889.332

0 .094 -0.926

282

k) Los alejamientos y lat i tudes compensados del predio ABCDEF,

son:

CUADRO N° 17.14. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES COMPENSADOS DEL SISTEMA

TRILATERADO

LAD O R U M B O S D IS TA NCI A C OMPENSACIONES

ALEJA MIEN. LA TIT UD ES

A B N 5.232600 E 720.820 65.723 717.961

B C N 85.312234 E 759.900 757.342 62.256

C D S 84.523413 E 785.850 782.247 -74.843

D E S 6.407373 O 819.450 -91.465 -814.167

E F N 84.205289 O 800.300 -796.227 80.963

F A N 87.790662 O 718.140 -717.621 27.829

4604.460 0.000 0.000

l ) Las medidas corregidas, las coordenadas, las dobles áreas y

el área del predio, ABCDEF, son:

CUADRO N° 17.15. ÁREA DEL SISTEMA TRILATERADO

LADO R U M B O S ( ° ) DISTAN CIAS

(m )

CO ORDENA DAS D OBLES ÁRE AS

ESTE NOR TE

A B N 5.230380 E 720.963 0.000 0.000 0.000

B C N 85.300654 E 759.897 65.723 717.961 51,278.555

C D S 84.534771 E 785.818 823.066 780.217 -10,359.524

D E S 6.409826 O 819.288 1605.313 705.375 -1,427,137.750

E F N 84.193945 O 800.333 1513.848 -108.792 -1,067,829.717

F A N 87.779193 O 718.160 717.621 -27.829 78,071.414

TOTAL 4604.460 0.000 0.000 -2,375,977.022

Área (m2) 1,187,988.511

283


1. Calcular la superficie de la red tri laterada que se muestra sí

el rumbo de partida, medido en el lado AB, es N 22.124800°

E

LADO DI STA NCIAS

( m)

A B 586.240

B C 685.320

C D 724.080

D E 651.270

E F 710.540

F A 653.080

A G 552.390

B G 502.640

C G 448.640

F G 356.270

C F 665.980

F H 572.640

C H 512.320

D H 438.210

E H 432.150

284


el rumbo de partida, medido en el lado AB, es S 81.324500°

E

RUMBODEPARTIDA: N 22.124800° E

LADO DI STA NCIAS

( m)

A B 1247.70

B C 1156.90

C D 1228.00

D E 1122.60

E F 1074.30

F A 1132.60

A G 804.20

B G 873.10

C G 884.60

D G 840.80

D A 1175.10

285


el rumbo de partida, medido en el lado AB, es N 14.524800°

E

D H 741.90

E H 839.00

F H 885.90

A H 740.10

LADO DI STA NCIAS

( m)

A B 855.50

B C 1057.10

C D 1063.20

D E 960.70

286



W

RUMBODEPARTIDA: N14.524800° E

E F 1112.60

F A 971.90

A G 826.30

B G 754.10

C G 672.90

F G 562.20

F A 1031.60

F H 868.90

C H 791.20

D H 648.30

E H 648.20

287

E

F

A

B

C

D

1

23

45

67

8

910

1112

13

1415

1617

1819

20

21

22

23

24

G

H

RUMBO DE PARTIDA: S 82.

124800° W

LADO DI STA NCIAS

( m)

A B 1087.950

B C 858.270

C D 1069.780

D E 971.050

E F 800.570

F A 984.510

A G 663.570

B G 733.220

C G 702.690

D G 696.580

D A 915.980

D H 600.110

E H 706.140

F H 708.530

A H 605.780

288


el rumbo de part ida, medido en el lado AB, es S 1.722300° E

LADODISTANCIAS

(m)

A B 1074.040

B C 973.940

C D 1038.520

D E 1196.540

E F 1034.860

F A 943.630

A G 848.640

B G 801.750

C G 735.840

F G 627.580

C F 1195.630

F H 884.520

C H 850.640

D H 690.570

E H 761.240RUMBODEPARTIDA: S 1.722300° E

289



E

LADODISTANCIAS

(m)

A B 1256.570

B C 1129.240

C D 1220.630

D E 1132.560

E F 1055.640

F A 1126.520

A G 811.670

B G 867.540

C G 870.280

D G 835.270

D A 1171.630

D H 750.640

E H 833.510

F H 873.420

A H 736.540

290


el rumbo de part ida, medido en el lado AB, es N 9.622300° E

LADODISTANCIAS

(m)

A B 912.930

B C 827.840

C D 882.740

D E 1017.050

E F 879.630

F A 802.150

A G 721.340

B G 681.480

C G 625.460

F G 533.440

C F 1016.380

F H 751.840

C H 723.040

D H 586.980

E H 647.050

RUMBO

DEPARTIDA: N9. 622300° E

291



W

LADODISTANCIAS

(m)

A B 954.990

B C 858.220

C D 927.670

D E 860.740

E F 802.280

F A 856.550

A G 616.860

B G 659.330

C G 661.410

D G 634.860

D A 890.420

D H 570.480

E H 633.460

F H 663.790

A H 559.770

292

CAPÍTULO XVII I

LEVANTAMIENTOS COMBINADOSLEVANTAMIENTOS COMBINADOSLEVANTAMIENTOS COMBINADOSLEVANTAMIENTOS COMBINADOS


Un sistema múltiple cons iste fundamentalmente en un conjunto de

triángulos, cuadriláteros y pol ígonos triangulados o tri laterados que

deben calcularse independientemente para luego ser integrados en

el s istema; cuyos ángulos, bases o distancias se han medido en

forma directa. Es un procedimiento muy eficaz para realizar

levantamientos de áreas extensas porque evita tener que medir las

longitudes de todas las al ineaciones (tr iangulación) o los ángulos

internos (tri lateración). Los puntos de levantamiento o estaciones

de tr iangulación o de tr i lateración se localizan en los vért ices de

los tr iángulos. A part ir de los ángulos y bases medidos, se

determinan sucesivamente, por tr igonometría, las longitudes de

todos los demás lados interconectados.

11118888.2. .2. .2. .2. CÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULO DEL SISTEMADEL SISTEMADEL SISTEMADEL SISTEMA COMBINADOCOMBINADOCOMBINADOCOMBINADO

FIGURA N° 18.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO COMBINADO

293

CUADRO N° 18.1. MEDIDAS DEL SISTEMA COMBINADO

CUA DRILÁTERO PQRWCUA DRILÁTERO PQRWCUA DRILÁTERO PQRWCUA DRILÁTERO PQRW

NUM. ÁNGU LO

G rados Minu tos

1 33 24

2 36 52

3 51 35

4 58 41

5 36 28

6 31 14

7 56 36

8 54 38

Rumbo de partida: PQ = N 5.245000° W.

Base: AC = 1,038.240 metros

CUADRO N° 18.2. MEDIDAS DEL POLÍGONO COMBINADO

POLÍGONO WRSXV

NUM. Á NGULO

Grad os Minu tos

9 41 38

10 36 42

11 49 35

12 59 26

13 49 17

14 55 42

15 71 12

294

16 49 53

17 57 51

18 69 24

CUADRO N° 18.3. MEDIDAS DEL PRIMER TRIÁNGULO COMBINADO T RIÁNGU LO T RILATERA DO VXU

LADOS DI STA NCIAS (m)

VX 504.540

XU 782.230

UV 919.420

CUADRO N° 18.4. MEDIDAS DEL SEGUNDO TRIÁNGULO COMBINADO

T RIÁNGU LO T RILATERA DO U XT


UX 782.230

XT 754.680

TU 943.520

CUADRO N° 18.5. MEDIDAS DEL TERCER TRIÁNGULO COMBINADO

T RIÁNGU LO T RILATERA DO X ST


XS 572.640

ST 768.820

TX 754.680

Teniendo en cuenta la f igura debemos establecer la siguiente

estrategia para resolverlo:

a) Cálculo del cuadri látero PQRW

b) Cálculo del pol ígono WRSXV

c) Cálculo de los tres triángulos tr i laterados

295

d) Integración de las cinco figuras básicas para determinar las

medidas del polígono de apoyo, PQRSTUVW.

e) Cálculo de las ligas del pol í fono de apoyo hacia los vért ices del

predio

f) Cálculo de las medidas del predio ABCD

g) Fraccionamiento del predio en dos subpredios de igual área.

TRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRWTRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRWTRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRWTRIANGULACIÓN DEL CUADRILÁTERO PQRW

a) LA FIGURA

FIGURA N° 18.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

BASE, WQ = 1,038.240 m

296

b) LOS DATOS

CUADRO N° 18.6. MEDIDAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

NU M. ÁNGULO ÁNGULO

DECI MA L Grados Minu tos

1 33 24 33.400000

2 36 52 36.866667

3 51 35 51.583333

4 58 41 58.683333

5 36 28 36.466667

6 31 14 31.233333

7 56 36 56.600000

8 54 38 54.633333

TOTAL 359.466667

e) Compensando los ángulos internos de la f igura que no deben

contradecir a la ecuación ( )o

ang _ int180 n 2= −∑ , es decir no debe

exceder los 360° por tratarse de un cuadri látero. En error

existente por defecto, se compensa sumándole a cada ángulo

medido, el error por defecto dividido por ocho, que son el

número de ángulos internos medido en el cuadri látero, es

deci r, 0.533333°/8 = 0.0666667°. Los cálculos tabulados se

muestran a continuación

CUADRO N° 18.7. CORRECCIÓN DE MEDIDAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

NUM. Á NGULO ÁNGULO

DECI MAL

CORREC. B

ANG. CO MP. Gr . Min .

1 33 24 33.400000 33.466667

2 36 52 36.866667 36.933333

3 51 35 51.583333 51.650000

297

4 58 41 58.683333 58.750000

5 36 28 36.466667 36.533333

6 31 14 31.233333 31.300000

7 56 36 56.600000 56.666667

8 54 38 54.633333 54.700000

SU MA 359.466667 360.000000

DEFECTO 0.533333

DEFECTO/8 0.06666667

f) Por tratarse de un cuadrilátero, cuyos vért ice se han unido con

diagonales, también, debe satisfacer la condición de igualdad

de pares opuestos, es decir, 1 2 5 6+ = + y 3 4 7 8+ = + .

Reemplazando, primero en 1 2 5 6+ = + :

70.400000° = 67.833333°

Hay una diferencia de 2.566667° en la suma de los pares

opuestos. Para compensarlo, procedemos a dividir el error

entre el número de ángulos (4), así : 2.566667°/4 = 0.641667°.

Por lo tanto, como la suma de 1 + 2 es mayor; se apl ica una

corrección de -0.641667° a los ángulos 1 y 2; y, de +0.566667°

a los ángulos 5 y 6.

Asimismo, reemplazando en 3 4 7 8+ = + :

110.400000° = 111.366667°

Ahora la diferencia es de 0.966667° en la suma de los pares

opuestos. Para compensarlo, también, procedemos a dividir el

error entre el número de ángulos (4), así: 0.966667°/4 =

0.241667°. Por consiguiente, teniendo en cuenta que la suma

de 3 + 4 es menor se aplica una corrección de +0.241667° a

los ángulos 3 y 4; y, de -0.241667° a los ángulos 7 y 8.

298

La tabulación es la siguiente:

CUADRO N° 18.8. CORRECCIÓN DE PARES OPUESTOS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

g) Para proceder a la compensación trigonométrica de los

ángulos del cuadri látero, procedemos a ordenar los ángulos;

primero los pares y luego los impares. A los pares les

denominaremos ángulos α y a los impares, ángulos β .

CUADRO N° 18.9. ORDENACIÓN EN ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO

COMBINADO

NÚM. CORREC. C

ÁNG. COMP.

Á NG. ORDENADO S

NÚM. VALO RES

1 32.825000 2 36.291667

2 36.291667 4 58.991667

3 51.891667 6 31.941667

4 58.991667 8 54.458333

5 37.175000 1 32.825000

1 33.400000 33.466667 1+2 5+6 32.825000

2 36.866667 36.933333 70.400000 67.833333 36.291667

3 51.583333 51.650000 DIFERENCIA 2.566667 51.891667

4 58.683333 58.750000 DIF/4 -0.641667 58.991667

5 36.466667 36.533333 3+4 7+8 37.175000

6 31.233333 31.300000 110.400000 111.366667 31.941667

7 56.600000 56.666667 DIFERENCIA -0.966667 56.425000

8 54.633333 54.700000 DIF/4 0.241667 54.458333

359.466667 360.000000 360.000000

ÁNGULODECIM AL

NUM .CORREC. B

ÁNG. COM P.SUM A DE LOS PARES

OPUESTOS DE ÁNGULOSCORREC. C

ÁNG. COM P.

299

6 31.941667 3 51.891667

7 56.425000 5 37.175000

8 54.458333 7 56.425000

360.000000 360.000000

h) Luego, calculamos los senos de los ángulos ordenados, lo

mult ipl icamos por 100 para evitar logari tmos negativos,

obtenemos sus respectivos logaritmos y sumamos pares e

impares; así:

CUADRO N° 18.10. CÁLCULO DE SENOS DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL

CUADRILÁTERO COMBINADO

i ) Seguidamente, calculamos las parte proporcionales (pp) de

los ángulos ordenados α y β e incrementados en un

segundo, así.

NÚM . VALORES SENO ANG. x 100 LOG_1

2 36.291667 0.591896 59.189595 1.772245

4 58.991667 0.857092 85.709238 1.933028

6 31.941667 0.529056 52.905558 1.723501

8 54.458333 0.813693 81.369300 1.910461

1 32.825000 0.542075 54.207492 1.734059

3 51.891667 0.786845 78.684527 1.895889

5 37.175000 0.604252 60.425151 1.781218

7 56.425000 0.833163 83.316262 1.920730

360.000000 Σ pares α 7.339235

Σ impares β 7.331896

SUM ATOIAS DE ANGULOS α y βANG. ORDENADOS

300

CUADRO N° 18.11. CÁLCULO DE SENOS DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE LOS

ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

h) Para calcular la corrección unitaria a cada uno de los 8 ángulos

del cuadrilátero uti l izamos la siguiente ecuación:


CUADRILÁTERO COMBINADO

Σ pares (α) 7.339235 Σ Dif. Tab. (α) 0.000009

Σ impares(β ) 7.331896 Σ Dif. Tab. (β ) 0.000009

Reemplazando

Como la sumatoria de los ángulos pares (α) son mayores que

la sumatoria de los ángulos impares (β ); aplicamos una

NÚM . VALORES INCR. 1 SEG SENO INC.. x 100 LOG_2 DIFERENCIA

2 36.291667 36.291944 0.591900 59.18999 1.772248 0.000003

4 58.991667 58.991944 0.857095 85.70949 1.933029 0.000001

6 31.941667 31.941944 0.529060 52.90597 1.723505 0.000003

8 54.458333 54.458611 0.813696 81.36958 1.910462 0.000002

1 32.825000 32.825278 0.542079 54.20790 1.734063 0.000003

3 51.891667 51.891944 0.786848 78.68483 1.895891 0.000002

5 37.175000 37.175278 0.604255 60.42554 1.781221 0.000003

7 56.425000 56.425278 0.833165 83.31653 1.920731 0.000001

360.000000 Σ Dif. Tab. Α 0.000009

Σ Dif. Tab.b 0.000009

SUM ATORIAS DE LAS PARTES PROPORCIONALES (pp) DE α y βANG. ORDENADOS


pp( ) pp( )

α − β=

α + β

∑ ∑∑ ∑

oseg

7.339235 7.331896 0.007339C 0.112605

0.000009 0.000009 0.000018−

= = =+

301

corrección unitaria negativa de 0.112605° a los pares y posit iva

a los impares. El cálculo se muestra en la siguiente tabla:

CUADRO N° 18.12. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL CUADRILÁTERO

COMBINADO

i ) Para calcular las distancias perimetrales del cuadri látero, se

apl ica la Ley de senos. Esta relaciona, básicamente, los lados

de un tr iángulo con su ángulo opuesto. En consecuencia, nos

permite calcular, una de las longitudes de un triángulo,

conociendo la longitud base y al menos 2 ángulos internos

adyacentes.

NÚM . VALORES

2 36.291667 36.179062

4 58.991667 58.879062

6 31.941667 31.829062

8 54.458333 54.345729

1 32.825000 32.937605

3 51.891667 52.004271

5 37.175000 37.287605

7 56.425000 56.537605

360.000000 360.000000

ÁNGULOSCORREGIDOS

ANG. ORDENADOS

302

CUADRO N° 18.14. CÁLCULO DE DISTANCIAS DEL CUADRILÁTERO COMBINADO

TRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXVTRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXVTRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXVTRIANGULACIÓN DEL POLÍGONO WRSXV

c) El gráfico

F IGURA N° 18.3. REPRESENTACIÓN DEL POLÍGONO COMBINADO


WP sen 2 1038.24 sen 1+8 613.574

PQ sen 7 613.5738 sen 2 867.124

QR sen 1 867.1241 sen 4 550.741

RW sen 3 550.7410 sen 6 822.954

WQ sen 4+5 822.9540 sen 3 1038.240

COMPROBACIÓN

DISTANCIAS DEL CUADRILÁTERO PQRW

BASE en el lado WQ = 1,038.240 metros

R

S

VW

Y

9

10

11

1213

14

15

1617

18

19

2021

2223

X

303

d) Los datos

CUADRO N° 18.15. CÁLCULO DE DECIMALES DE GRADO DEL POLÍGONO COMBINADO

e) Al igual que en la triangulación de cuadri láteros, como en este

caso, los ángulos internos de la f igura no deben contradecir a

la ecuación ( )∑ −=int_ang

o n 2180 , es decir no debe exceder los 540°

por tratarse de un pol ígono de cinco lados. En el caso de que

exista error por exceso (como el presente) compensamos el

pol ígono; restándole a cada ángulo medido, el error por

exceso dividido por diez, que son el número de ángulos

internos medido en el pol ígono, es decir, 0.666667°/10 =

0.066667°. Los cálculos tabulados se muestran a continuación

GRADOS M INUTOS

9 41 38 41.633333

10 36 42 36.700000

11 49 35 49.583333

12 59 26 59.433333

13 49 17 49.283333

14 55 42 55.700000

15 71 12 71.200000

16 49 53 49.883333

17 57 51 57.850000

18 69 24 69.400000

ÁNGULONÚM .

ÁNGULODECIM AL

304

CUADRO N° 18.16. CORRECCIÓN GEOMÉTRICA DEL POLÍGONO COMBINADO

e) Para proceder a la compensación trigonométrica de los

ángulos del polígono, procedemos a ordenar los ángulos;

primero los pares y luego los impares. A los pares les

denominaremos ángulos α y a los impares, ángulos β.

GRADOS M INUTOS

9 41 38 41.633333 41.566667

10 36 42 36.700000 36.633333

11 49 35 49.583333 49.516667

12 59 26 59.433333 59.366667

13 49 17 49.283333 49.216667

14 55 42 55.700000 55.633333

15 71 12 71.200000 71.133333

16 49 53 49.883333 49.816667

17 57 51 57.850000 57.783333

18 69 24 69.400000 69.333333

540.666667 540.000000

-0.666667

ÁNGULONÚM .

ÁNGULODECIM AL

CORRECIÓNGEOM ÉTRICA

305

CUADRO N° 18.17. ORDENACIÓN EN ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO

COMBINADO

f ) Luego, calculamos los senos de los ángulos ordenados, lo

mult ipl icamos por 100 para evi tar logari tmos negativos,

obtenemos sus respectivos logaritmos y sumamos pares e

impares; así :

NÚM. VALOR

9 41.566667 10 36.633333

10 36.633333 12 59.366667

11 49.516667 14 55.633333

12 59.366667 16 49.816667

13 49.216667 18 69.333333

14 55.633333 9 41.566667

15 71.133333 11 49.516667

16 49.816667 13 49.216667

17 57.783333 15 71.133333

18 69.333333 17 57.783333

540.000000 540.000000

NÚM .CORRECIÓN

GEOM ÉTRICA

ÁNGULOS ORDENADOS

306

CUADRO N° 18.18. CÁLCULO DE SENOS DE ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO

COMBINADO

f ) Seguidamente, calculamos las parte proporcionales (pp) de los

ángulos ordenados α y β e incrementados en un segundo,

así.

NÚM . VALOR SENO ÁNG. x 100 LOG.x 100

10 36.633333 0.596692 59.669183 1.775750

12 59.366667 0.860446 86.044573 1.934723

14 55.633333 0.825442 82.544204 1.916687

16 49.816667 0.763984 76.398375 1.883084

18 69.333333 0.935650 93.564952 1.971113

9 41.566667 0.663491 66.349105 1.821835

11 49.516667 0.760595 76.059485 1.881153

13 49.216667 0.757185 75.718510 1.879202

15 71.133333 0.946274 94.627365 1.976017

17 57.783333 0.846038 84.603812 1.927390

540.000000 Σ pares (α) 9.481357

Σ impares(β) 9.485597

SUM ATORIAS DE ÁNGULOS α y βÁNGULOS ORDENADOS

307

CUADRO N° 18.19. CÁLCULO DE SENOS DE LAS PARTES PROPORCIONALES DE

ÁNGULOS PARES E IMPARES DEL POLÍGONO COMBINADO

j ) Para calcular la corrección unitaria a cada uno de los 8

ángulos del pol ígono uti l izamos la siguiente ecuación:

FÓRMULA N° 18.2. CÁLCULO DE LA CORRECCIÓN UNITARIA DE ÁNGULOS DEL POLÍGONO COMBINADO

Reemplazando

NÚM. VALOR INCR. 1 SEG SENO INC.. x 100 LOG.x 100 DIFERENCIA

10 36.633333 36.633611 0.596696 59.669572 1.775753 0.000003

12 59.366667 59.366944 0.860448 86.044820 1.934725 0.000001

14 55.633333 55.633611 0.825445 82.544478 1.916688 0.000001

16 49.816667 49.816944 0.763987 76.398688 1.883086 0.000002

18 69.333333 69.333611 0.935651 93.565123 1.971114 0.000001

9 41.566667 41.566944 0.663495 66.349468 1.821837 0.000002

11 49.516667 49.516944 0.760598 76.059800 1.881155 0.000002

13 49.216667 49.216944 0.757188 75.718826 1.879204 0.000002

15 71.133333 71.133611 0.946275 94.627521 1.976017 0.000001

17 57.783333 57.783611 0.846041 84.604071 1.927391 0.000001

540.000000 Σ Dif. Tab.(α) 0.000008

Σ Dif. Tab. (β) 0.000008

SUM ATORIAS DE LAS PARTES PROPORCIONALES (pp) DE α y βÁNGULOS ORDENADOS

Σ pares (α) 9.481357 Σ Dif. Tab.(α) 0.000008

Σ impares(β ) 9.485597 Σ Dif. Tab.(β ) 0.000008


pp( ) pp( )

α − β=

α + β

∑ ∑∑ ∑

o9.481357 9.485597 0.004240C 0.073035

0.000009 0.000009 0.000016−

= = =+

308

j ) Como la sumatoria de los ángulos pares (α ) son menores que

la sumatoria de los ángulos impares (β); apl icamos una

corrección unitaria posit iva de 0.073035° a los pares y

negativa a los impares. El cálculo se muestra en la siguiente

tabla:

CUADRO N° 18.20. CORRECCIÓN TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS DEL POLÍGONO

COMBINADO

CUADRO N° 18.21. ÁNGULOS CENTRALES DEL POLÍGONO COMBINADO

NUM

VA LO RES DE LO S

ÁNGULOS

CENT RAL ES

19 101.800000

20 71.116667

21 75.150000

NÚM . VALOR

10 36.633333 36.706369

12 59.366667 59.439702

14 55.633333 55.706369

16 49.816667 49.889702

18 69.333333 69.406369

9 41.566667 41.493631

11 49.516667 49.443631

13 49.216667 49.143631

15 71.133333 71.060298

17 57.783333 57.710298

540.000000 540.0000000

ANGULOSCORREGIDOS

ÁNGULOS ORDENADOS

309

22 59.050000

23 52.883333

∑ 360.000000

j ) Para calcular las distancias perimetrales del cuadri látero, se

apl ica la Ley de senos. Esta relaciona, básicamente, los lados

de un tr iángulo con su ángulo opuesto. En consecuencia, nos

permite calcular, una de las longi tudes de un tr iángulo,

conociendo la longitud base y al menos 2 ángulos internos

adyacentes, tal como se muestra en la siguiente f igura.

FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE DISTANCIAS PERIMETRALES DEL POLÍGONO

COMBINADO

RY sen9

WR sen19=

Reemplazando

( )( )

o

o

822.954m sen41.493631WRsen9RY 557.008m

sen19 sen 101.800000= = =

k) Las demás longitudes se muestran en la siguiente tabla.

310

CUADRO N° 18.22. DISTANCIAS DEL POLÍGONO COMBINADO

FIGURA N° 18.4 REPRESENTACIÓN DEL PRIMER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO


RY sen 9 822.9540 sen 19 557.008

RS sen 20 557.0083 sen 12 612.046

SY sen 11 612.0465 sen 20 491.463

SX sen 21 491.4633 sen 14 575.007

XY sen 13 575.0072 sen 21 449.936

XV sen 22 449.9355 sen 16 504.536

VY sen 15 504.5362 sen 22 556.450

VW sen 23 556.4503 sen 18 474.008

WY sen 17 474.0079 sen 23 502.511

WR sen 19 502.5108 sen 10 822.954

COMPROBACIÓN

DISTANCIAS DEL POLIGONO WRSXV

BASE en el lado WR = 822.954 metros

UV

24

25

26

X

311

CUADRO N° 18.23. ÁNGULOS INTERNOS DEL PRIMER TRIÁNGULO DEL SISTEMA

COMBINADO

FIGURA N° 18.5 REPRESENTACIÓN DEL SEGUNDO TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO

CUADRO N° 18.24. ÁNGULOS INTERNOS DEL SEGUNDO TRIÁNGULO DEL SISTEMA

COMBINADO

LADO DIST (m) CUADRADO NÚM VERT COSENO ÁNGULO

VX 504.536 254556.7618 25 V 0.526004 58.264146

XU 782.230 611883.7729 26 X 0.026741 88.467670

UV 919.420 845333.1364 27 U 0.836112 33.268184

SUMA 180.000000

TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO VXU


UX 782.230 611883.7729 28 U 0.631781 50.818337

XT 754.680 569541.9024 29 X 0.246637 75.721424

TU 943.520 890229.9904 30 T 0.595380 53.460238

SUMA 180.000000

TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO UXT

312

FIGURA N° 18.5 REPRESENTACIÓN DEL TERCER TRIÁNGULO DEL SISTEMA COMBINADO

CUADRO N° 18.24. ÁNGULOS INTERNOS DEL TERCER TRIÁNGULO DEL SISTEMA

COMBINADO

l ) El pol ígono de apoyo y los valores de los ángulos internos del

sistema, quedan, así:

F IGURA N° 18.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO

S T

X

30

31 32


XS 572.640 327916.5696 31 X 0.354469 69.239120

ST 768.820 591084.1924 32 S 0.396880 66.616695

TX 754.680 569541.9024 33 T 0.717589 44.144185

SUMA 180.000000

TRILATERACIÓN DEL TRIÁNGULO XST

313

CUADRO N° 18.25. CORRECCIÓN DE ÁNGULOS INTERNOS Y DISTANCIAS DEL POLÍGONO

DE APOYO DEL SISTEMA COMBINADO

CUADRO N° 18.26. RUMBOS Y DISTANCIAS DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA

COMBINADO

VÉRTICES ÁNGULOS ÁNG. CORREGIDOS LADOS DISTANCIAS (m)

P 87.283333 87.307693 PQ 867.124

Q 88.183333 88.207693 QR 550.741

R 182.316667 182.341027 RS 612.046

S 175.200029 175.224389 ST 768.820

T 97.604423 97.628784 TU 943.520

U 84.086521 84.110881 UV 919.420

V 165.864146 165.888506 VW 474.008

W 199.266667 199.291027 WP 613.574

TOTAL 1079.805120 1080.000000 TOTAL 5749.253252

0.194880

PQ N 5.245000 O 867.124

QR N 86.547307 E 550.741

RS N 84.206280 E 612.046

ST N 88.981891 E 768.820

TU S 8.646892 E 943.520

UV S 87.242226 O 919.420

VW N 78.646280 O 474.008

WP S 82.062693 O 613.574


314

CUADRO N° 18.27. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA

COMBINADO

CUADRO N° 18.28. COORDENADAS Y ÁREA DEL POLÍGONO DE APOYO DEL SISTEMA

COMBINADO


PQ N 5.245000 O 867.124 0.000 79.268 863.493 0.000

QR N 86.547307 E 550.741 549.741 0.000 33.168 0.000

RS N 84.206280 E 612.046 608.920 0.000 61.784 0.000

ST N 88.981891 E 768.820 768.699 0.000 13.661 0.000

TU S 8.646892 E 943.520 141.853 0.000 0.000 932.796

UV S 87.242226 O 919.420 0.000 918.355 0.000 44.237

VW N 78.646280 O 474.008 0.000 464.732 93.316 0.000

WP S 82.062693 O 613.574 0.000 607.696 0.000 84.728

5,749.2533 2,069.213 2,070.051 1,065.422 1,061.760

-0.838 3.662

ALEJAM IENTOS LATITUDESLADOS RUM BOS DISTANCIAS


PQ -79.142 862.941 0.000 0.000 0.0000

QR 549.822 32.817 -79.142 862.941 -70,891.7335

RS 609.009 61.395 470.680 895.758 44,343.6224

ST 768.811 13.171 1,079.689 957.153 80,507.6700

TU 141.991 -933.397 1,848.500 970.324 -1,701,036.7342

UV -918.221 -44.822 1,990.490 36.927 -1,947,135.0976

VW -464.663 93.014 1,072.269 -7.895 51,674.3811

WP -607.606 -85.119 607.606 85.119 4,797.0255

0.000 0.000 SUMA -3,537,740.8664

AREA m2 1,768,870.4332

C O R R E C C I O N E SLADOS

COORDENADAS RELATIVAS DOBLESÁREAS

315

CÁLCULOS CON LAS LIGASCÁLCULOS CON LAS LIGASCÁLCULOS CON LAS LIGASCÁLCULOS CON LAS LIGAS

a) El gráfico

F IGURA N° 18.7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS LIGAS DEL SISTEMA COMBINADO

g) Las medidas de las l igas no t ienen ninguna relación unas con

otras (no forman f igura alguna y de ninguna manera serán

calculadas en columnas), tal como se observa en la figura y

solo razones puramente didácticas hace que lo presentemos

en una sola tabla. Así, los alejamientos y lati tudes de las ligas,

son:

CUADRO N° 18.29. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LAS LIGAS DEL SISTEMA

COMBINADO


P A S 48.245000 O 82.3200 0.000 61.411 0.000 54.821

Q B N 45.125000 O 76.5200 0.000 54.226 53.990 0.000

T C N 43.645000 E 101.2400 69.875 0.000 73.260 0.000

U D S 39.125000 E 62.5400 39.464 0.000 0.000 48.517

LADOS R U M B O SALEJAM IENTOS LATITUDES

DISTANCIAS

316

c) Las l igas, al no estar unidas entre sí, no se corrigen. Por tanto,

los alejamientos y lati tudes se ordenan en sus respectivas

columnas respetando sus signos. Sí se obvian estos últ imos los

cálculos siguientes serán erróneos.

CUADRO N° 18.30. COMPENSACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DE LAS LIGAS DEL

SISTEMA COMBINADO

d) Los alejamientos y lat i tudes de las ligas indican la posición de los

vért ices del predio desde los vért ices de la pol igonal de apoyo,

por lo que, se convierten en coordenadas directamente siempre

que se respete sus s ignos. Así:

CUADRO N° 18.31. COORDENADAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA COMBINADO

f ) Debemos precisar que las coordenadas de las ligas solo son

de cada vért ice de apoyo hasta el vért ice del perímetro, pero

no son las coordenadas del perímetro, estas deberán

calcularse sumando algebraicamente las coordenadas de la

ALEJAM IEN. LATITUDES

P A -61.411 -54.821

Q B -54.226 53.990

T C 69.875 73.260

U D 39.464 -48.517

LADOSCOM PENSACIONES


P A -61.411 -54.821 -61.411 -54.821

Q B -54.226 53.990 -54.226 53.990

T C 69.875 73.260 69.875 73.260

U D 39.464 -48.517 39.464 -48.517

LADOSCOM PENSACIONES COORDENADAS DE LIGAS

317

poligonal de apoyo y las coordenadas de las l igas. Las sumas

algebraicas de las coordenadas de apoyo y de las ligas no

cambian así la poligonal de apoyo se encuentre dentro (como

el presente) o fuera del perímetro del predio.

Asimismo, el número de lados de la pol igonal de apoyo y del

predio pueden ser diferentes, pero la cantidad de l igas y

vértices perimetrales siempre serán iguales. En el presente

caso el número de lados de apoyo son ocho (8) y el número de

vértices perimetrales son cuatro (4); por lo que, desde dos

vértices de apoyo (R, S, V y W) no se han trazado l iga alguna.

Por tanto, las coordenadas de apoyo que pertenecen a éstos

vértices (R, S, V y W B y F) no son tomados en cuenta y sus

respectivas posiciones son ocupadas por las siguientes

coordenadas. La tabulación de lo expresado se muestra a

continuación.

CUADRO N° 18.32. COORDENADAS DE LAS LIGAS Y DE APOYO DEL SISTEMA

COMBINADO

h) Para calcular las coordenadas de los vért ices del perímetro

del predio, se suman las coordenadas de la poligonal de

apoyo con las coordenadas de las l igas que conecta con los

vért ices del predio, así:

FÓRMULA N° 18.3. CÁLCULO DE COORDENADAS ESTÉS SISTEMA COMBINADO

)ESTE(APOYO)ESTE(LIGA)ESTE(PREDIO CCC +=

ESTE NORTE ESTE NORTE

P A -61.411 -54.821 0.000 0.000

Q B -54.226 53.990 -79.142 862.941

T C 69.875 73.260 1848.500 970.324

U D 39.464 -48.517 1990.490 36.927

LADOSCOORDENADAS DE LIGAS COORDENADAS DE APOYO

318

FÓRMULA N° 18.4 CÁLCULO DE COORDENADAS NORTES SISTEMA COMBINADO

)NORTE(APOYO)NORTE(LIGA)NORTE(PREDIO CCC +=

Reemplazando

m.).().(C )ESTE(PREDIO 4107610000410761 −=+−=

m.).().(C )NORTE(PREDIO 8207540000820754 −=+−=

i ) La tabulación completa, es la siguiente

CUADRO N° 18.33. COORDENADAS DEL SISTEMA COMBINADO

k) La matriz vert ical para calcular el área del predio completo, ya

con estas susti tuciones, usando las letras E y N para indicar

las coordenadas, queda como sigue:

CUADRO N° 18.34. MATRIZ DEL SISTEMA COMBINADO

NNNN 4444 -11.5894

EEEE 1111 NNNN 1111 -61.4107 -54.8207

EEEE 2222 NNNN 2222 -133.3673 916.9307

EEEE 3333 NNNN 3333 1,918.3744 1043.5842

EEEE 4444 NNNN 4444 2,029.9539 -11.5894

NNNN 1111 -54.8207

ESTE NORTE ESTE NORTE ESTE NORTE

P A -61.411 -54.821 0.000 0.000 -61.411 -54.821

Q B -54.226 53.990 -79.142 862.941 -133.367 916.931

T C 69.875 73.260 1848.500 970.324 1918.374 1043.584

U D 39.464 -48.517 1990.490 36.927 2029.954 -11.589

LADOSCOORDENADAS DE LIGAS COORDENADAS DE A POYO COORDENADAS DEL PREDIO

319

j ) El área del predio, es:

CUADRO N° 18.35. ÁREA DEL SISTEMA COMBINADO

k) Para calcular los componentes del predio, alejamientos y

lat i tudes; se procede invi rtiendo la secuencia del cálculo

normal de alejamientos y lat itudes. Para el cálculo de

coordenadas se suman algebraicamente los alejamientos o

lat i tudes, pero para el cálculo de alejamientos y lat i tudes,

part iendo de coordenadas, se restan la coordenada de

adelante menos la coordenada de la l ínea, así:

FÓRMU LA N° 18.5 CÁLCULO DE AL EJA MIENT OS DEL SIST EMA CO MBI NADO

)A(ESTE)B(ESTEAB CC.Alej −=

FÓRMU LA N° 18.6 CÁLCULO DE LATI TUDES DEL SIST EMA CO MBI NADO

)A(NORTE)B(NORTEAB CC.Lat −=

Reemplazando:

( ) ( ) m....Alej AB 9567714107513573133 −=−−−=

( ) ( ) m....Lat AB 75149718207549307916 =−−=

ESTE NORTE

P A -61.411 -54.821 -57,021.032

Q B -133.367 916.931 -146,491.317

T C 1918.374 1043.584 -1,781,249.177

U D 2029.954 -11.589 -2,229,711.377

-4,214,472.903

Área 2,107,236.451

LADOSCOORDENADAS DEL PREDIO

DOBLES ÁREAS

320

CUADRO N° 18.36. MEDIDAS DEL SISTEMA COMBINADO

CÁLCULOS DEL CÁLCULOS DEL CÁLCULOS DEL CÁLCULOS DEL FRACCIONAMIENTOFRACCIONAMIENTOFRACCIONAMIENTOFRACCIONAMIENTO

h) Teniendo en cuenta que la línea de fraccionamiento comienza

en M (que se encuentra en la mitad del al ineamiento de AM) y

termina en N (en el al ineamiento de CD); se construye la

siguiente representación gráfica:

F IGURA N° 18.8 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO

ESTE NORTE A LEJAM IEN LATITUDES RUM BOS DISTANCIA S

P A -61.411 -54.821 -71.957 971.751 -4.234933 974.412 A B

Q B -133.367 916.931 2051.742 126.654 86.467627 2055.647 B C

T C 1918.374 1043.584 111.579 -1055.174 -6.036318 1061.057 C D

U D 2029.954 -11.589 -2091.365 -43.231 88.815788 2091.811 D A

0.000 0.000 6182.927

LADOSLADOSM EDIDAS DEL P REDIOCOORDENADAS DEL PREDIO

321

i ) Como se desconoce la ubicación de N, tomamos el punto N’

ubicado a una distancia estimada de 500.000 m, medido desde

D. As í, la f igura se convierte en un pol ígono de cuatro lados, de

los cuales se desconoce el rumbo y distancia de MN’. Las

medidas faltantes de MN’ lo calculamos como si fueran errores

l ineal y angular de cierre. La representación gráfica es la

siguiente:

F IGURA N° 18.9 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PREDIO 1 DEL

SISTEMA COMBINADO

CUADRO N° 18.37. ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA

COMBINADO

AD

SUB PREDIO 1

M

N’

S 88.815788° W, 2,091.811 m

LÍNEA DE FR

ACCIONAMIENTO

TENTATIVO

PUNTO CONOCIDO.SE ENCUENTRA A

487.206 m DE A Ó DE B LADO

DESCONOCID

O PERO CAL

CULABLE COM

O ERROR DE

CIERRE

PUNTO TENTATIVO.TOMADO A500.000 m

MEDIDO DESDE D


A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000

M N'

N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228

D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231

3079.017 52.579 2127.343 485.876 540.459

-2074.763 -54.583

TOTALES

A L E J A M I E N T O S L A T I T U D E SLADOS RUM BOS DISTANCIAS

322

j ) El error lineal de cierre, 2075.481 m es, precisamente, la

longitud de MN’ y el error angular de cierre, 88.492998° es su

rumbo. Por lo que procedemos a calcular el área del pol ígono

AMN’D.

CUADRO N° 18.38. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL

FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO

k) El área de 1026,099.236 m2 corresponde al pol ígono AMN’D,

es menor en 27,518.9892 m2 al área media de 1053,618.226

m2 que le corresponde al subpredio 1. Por tanto, la posición de

N’ se encuentra un poco más alejada de la que habíamos

considerado, estimativamente, de 500.000 m. Esta pequeña

distancia, N’N, se calcula apl icando la misma ecuación

(l igeramente modificada) usada para calcular el área de un

triángulo, así:

FÓRMULA N° 18.7. CÁLCULO DE LA DISTANCIA N’N DEL FRACCIONAMIENTO DEL

SISTEMA COMBINADO

l ) Para faci li tar la observación de los datos, presentamos a

continuación, la f igura que las reproduce:


A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000

M N' N 88.492998 E 2075.4813 2074.763 0.000 54.583 0.000

N' D S 6.036318 E 500.000 52.579 0.000 0.000 497.228

D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231

5154.499 2127.343 2127.343 540.459 540.459

0.000 0.000

TOTALES


( )

( )

2 MN'NN'N

MN' senN'=

323

F IGURA N° 18.10 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DISTANCIA N’N DEL FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO

m) De la ecuación, para calcular NN’, solo requerimos conocer el

valor del ángulo N’ que corresponde al pequeño triángulo

MNN’, por lo que procedemos calcularlo, basándonos en la

siguiente figura:

FIGURA N° 18.11 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ÁNGULO N’ DEL

FRACCIONAMIENTO DEL SISTEMA COMBINADO

( )( )'senN'MN

N'MNN'N

2=

S 6.036318° E

6.036318°

' o o o oN 90 6.036318 1.507002 85.470684= − + =

( )( )

( )( )

22 27.518.989m2 MN'NN'N 26.601m

MN' senN' 2,075.481m sen85.470684= = =

°

324

n) Ahora sumamos la distancia de NN’, de 26.6012 m, a los

o) 500.000 m estimados y comprobamos si efectivamente se ha

logrado fraccionar el predio en dos subpredios de igual área,

así:

CUADRO N° 18.39. COMPROBACIÓN DE ALEJAMIENTOS Y LATITUDES DEL PRIMER

PREDIO DEL SISTEMA COMBINADO

CUADRO N° 18.40. COORDENADAS Y ÁREA DEL PRIMER PREDIO DEL SISTEMA

COMBINADO


A M N 4.234933 O 487.206 0.000 35.978 485.876 0.000

M N N 87.760235 E 2073.550 2071.966 0.000 81.037 0.000

N D S 6.036318 E 526.601 55.377 0.000 0.000 523.681

D A S 88.815788 O 2091.811 0.000 2091.365 0.000 43.231

5179.169 2127.343 2127.343 566.913 566.913

0.000 0.000

TOTALES


ALEJAM IENTOS LATITUDES ESTE NORTE

A M -35.978 485.876 0.000 0.000 0.0000

M N 2071.966 81.037 -35.978 485.876 -20,396.5740

N D 55.377 -523.681 2035.988 566.913 -901,218.5683

D A -2091.365 -43.231 2091.365 43.231 -1,185,621.3091

0.000 0.000 0.000 0.000 -2,107,236.4514

ÁREA 1,053,618.2257

ÁREA M EDIA 1,053,618.2257

DIFERENCIA 0.0000

DOBLES ÁREASCOORDENADASCOM PENSACIONES

LADOS

325


1. Calcular: 1) Los ángulos internos y las distancias del polígono

de cada uno de las f iguras geométricas del pol ígono de apoyo;

2) Integrar el s istema; 3) Calcular las coordenadas del sistema;

4) Calcular las coordenadas de apoyo; 5) Calcular las

coordenadas del predio; 6) El área del predio; 7) Las medidas

del predio; y, 8) Representar, gráficamente, el predio

mostrado.

MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DEL SISTEMA

NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

GRAD MIN GRAD MIN GRAD MIN

1 47 28 9 44 14 21 41 14

2 48 24 10 37 16 22 36 32

3 43 10 11 43 32 23 47 24

4 41 42 12 41 36 24 57 36

5 52 12 13 42 24 25 59 24

6 41 32 14 49 14 26 62 48

7 38 24 15 48 48 27 64 32

8 47 18 16 53 8 28 53 36

29 56 28

30 60 18

MEDIDAS DE LAS LIGAS DEL SISTEMA

LADOS R U M B O S DISTANCIAS

M A N 45.523600º O 182.640 m

P B N 38.526400º E 280.160 m

R C S 74.725400º E 307.390 m

U D S 45.124500º O 187.410 m

326







mostrado.


NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO


1 46 32 9 43 42 21 45 12

2 49 14 10 37 16 22 34 15

3 43 28 11 44 42 23 46 32

4 42 12 12 41 42 24 58 12

5 51 48 13 42 36 25 55 24

6 41 12 14 50 14 26 58 8

7 38 38 15 47 48 27 61 46

327

8 47 10 16 52 8 28 64 15

29 57 12

30 59 16



M A S 20.523600º E 142.310 m

P B S 53.526400º O 206.640 m

R C N 47.725400º O 311.760 m

U D N 65.124500º E 167.670 m






LÍNEA BASE = 725.360 m

328


mostrado.


NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO


1 46 54 9 43 24 21 44 12

2 48 32 10 38 14 22 43 32

3 43 24 11 43 24 23 41 14

4 42 28 12 41 32 24 64 48

5 51 18 13 43 22 25 55 24

6 41 24 14 48 16 26 55 12

7 38 45 15 48 38 27 74 45

8 47 12 16 53 12 28 44 42

29 57 8

30 59 15



M A S 30.252400º E 120.990 m

P B S 48.526400º O 170.180 m

R C N 67.725400º O 165.190 m

U D N 22.124500º E 125.410 m

329







mostrado.


NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO


1 46 18 9 36 20 21 37 12

2 40 8 10 44 8 22 39 15

3 42 15 11 53 15 23 54 18

330

4 51 12 12 47 24 24 59 32

5 43 24 13 50 18 25 52 24

6 43 15 14 42 14 26 62 42

7 47 28 15 41 24 27 62 52

8 46 12 16 45 8 28 63 12

29 63 12

30 45 10



M A S 20.123600º O 115.890 m

N B N 52.526400º O 122.060 m

Q C N 34.725400º E 207.530 m

S D S 67.124500º E 190.170 m



A

D

C

B

18 7

6

5

4

16

15

14

13

12

11

10

9

20

19

18

17

RUMBO DE PARTIDA: MN = N 2,658500° W

32

U

O

N

M

LÍNEA BASE, MO = 722,590 m

V

W

21

22

23

2425

26

27

28

29

30

31

32 33

34

35

T

S

R

Q

P

331





mostrado.

MEDI DAS DE LO S ÁNGU LOS INT ERNO S DEL S ISTEMA

NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

GRAD MIN GRAD MIN

1 51 18 9 42 16

2 53 24 10 56 14

3 37 34 11 38 12

4 37 54 12 42 46

5 47 44 13 61 14

6 57 10 14 37 24

7 41 24 15 39 32

8 33 28 16 42 30

MEDI DAS DE LA S L IGAS DEL SI STEMA


M A S 37.252400 W 236.640

N B N 61.526400 W 229.940

P C N 53.725400 E 411.270

Q D S 52.124500 E 277.420

332







mostrado.


NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

GRAD MIN GRAD MIN

1 33 28 9 9 56

2 41 24 10 10 42

3 57 32 11 11 42

4 47 42 12 12 39

5 37 42 13 13 37

RU

MB

OD

EP

AR

TI D

A:

MN

= N

2.3

53

50

0°

E

333

6 37 16 14 14 61

7 53 24 15 15 42

8 51 28 16 16 38



M A N 41.252400 W 147.820

O B N 49.526400 E 160.740

P C S 58.725400 E 255.590

R D S 54.124500 W 206.810






A

B

C

D

81

23

45

11

12

13

15

9

10

14

67

R

M

LÍNEA BASE, MQ = 828.580 m

O

P

16

N

Q

RUMBO DE PARTIDA: MN = N 88.353500° E

334


mostrado.


NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

GRAD MIN GRAD MIN

1 42 28 9 57 28

2 39 18 10 47 42

3 37 24 11 37 54

4 61 18 12 37 34

5 42 48 13 53 24

6 38 10 14 51 16

7 56 14 15 33 28

8 42 16 16 41 24



R A N 40.252400 W 237.590

N B N 45.526400 E 272.040

O C S 56.725400 E 413.770

Q D S 58.124500 W 234.430

335







mostrado.


NUM.

ÁNGULO

NUM.

ÁNGULO

GRAD MIN GRAD MIN

1 51 28 9 42 38

2 53 14 10 56 12

3 37 24 11 38 16

4 37 44 12 42 32

5 47 36 13 61 32

6 57 32 14 37 22

7 41 22 15 39 24

8 33 28 16 42 14

336



M A S 40.252400 W 137.700

N B N 56.526400 W 135.020

P C N 58.725400 E 237.310

Q D S 40.124500 E 151.130

RU

MB

OD

EP

AR

TID

A:M

N =

N 6

. 35

3500

° E

337

CAPÍTULO XIX

CURVAS DE SUPERFICIECURVAS DE SUPERFICIECURVAS DE SUPERFICIECURVAS DE SUPERFICIE


Las curvas de superficie pueden ser horizontales y vert icales. Las

curvas horizontales pueden ser simples, compuestas, inversas o

espirales. Las curvas compuestas e inversas se e estudian como

una combinación de dos o más curvas simples, mientras que la

curva espiral resul ta de radios variables.

Las curvas que t ienen radios cortos (generalmente menores que la

longitud de una cinta), pueden trazarse en campo sosteniendo un

extremo de la cinta en el centro del circulo y describiendo un arco

con la misma, al tiempo que se marcan en el terreno tantos puntos

como se desee. A medida que la longitud de la curva se

incrementa, la cinta ya no es práctica para el trazo y el ingeniero

topógrafo debe usar otros métodos para estos trabajos, como

efectuar la medición de ángulos y distancias sobre líneas rectas

por medio de los cuales pueden ubicarse putos selectos llamados

estaciones, local izados sobre la circunferencia del arco.

11119999.2. .2. .2. .2. TIPOS DE CURVAS HORIZONTALESTIPOS DE CURVAS HORIZONTALESTIPOS DE CURVAS HORIZONTALESTIPOS DE CURVAS HORIZONTALES

A continuación se describen brevemente los cuatro tipos de curvas

horizontales:

1. CURVA SIMPLE. Es un arco de cí rculo. La radio del círculo

determina lo cerrado o abierto de la curva. A mayor radio, la

curva es más abierta. Este es el t ipo de curva más util izado.

338

FIGURA N° 19.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA CURVA SIMPLE

2. CURVA COMPUESTA. Frecuentemente se necesita adaptar al

terreno una curva compuesta. Consta generalmente de dos

curvas simples unidas, del mismo sentido.

F IGURA N° 19.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA CURVA

COMPUESTA

339

3. CURVA INVERSA. Consiste en dos curvas simples juntas, de

diferente sentido. Por razones de seguridad este tipo de

curva se usa muy poco en carreteras, ya que provoca que un

automóvi l tienda a salirse del camino.

4. CURVA ESPIRAL. Es una curva cuyo radio varía en forma

continua. Se usa en ferrocarriles y en algunas carreteas

modernas. Su propósito es proporcionar una transición de la

tangente a una curva simple o entre las curvas simples que

forman una curva compuesta.

11119999.3. .3. .3. .3. ELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLEELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLEELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLEELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLE

A continuación se mencionan los elementos principales de una

curva simple.

1. PUNTO DE INTERSECCIÓN. El punto de Intersección (PI) es el

punto donde se intersectan la tangente de atrás o de entrada y

la tangente de adelante o de sal ida. Es una de las estaciones

correspondientes a la poligonal prel iminar.

2. ANGULO DE INTERSECCIÓN. El ángulo de intersección (I ) es el

ángulo de deflexión en el PI. Su valor se calcula a partir de los

ángulos de estación de la poligonal prel iminar, o bien, se mide

en el campo.

3. RADIO. El radio (R), es el radio del círculo del cual la curva es

un arco.

4. PRINCIPIO DE CURVA. Es un punto donde comienza la curva.

La tangente de atrás es tangente a la curva en este punto (PC).

5. PRINCIO DE TANGENTE. El PT marca el f inal de la curva. La

tangente de adelante es tangente a la curva en este punto.

6. LONGITUD DE CURVA. La longitud de curva (L) es la distancia

entre el PC y el PT, medida sobre la curva.

7. SUBTANGENTE. La subtangente (ST) es la dis tancia, medida

sobre a tangente, del PI al PC o al PT. Estas distancias son

iguales en una curva simple.

340

F IGURA N° 19.3. ELEMENTOS DE UNA CURVA SIMPLE

L

G

G

d1 d2

G

Io

R

C

C

C

C 2C1

STST

PII

CUERDA

SUBCUERDA

TANGENTEDEATRÁS

ODEENTRADA T

ANGENTEDE

ADELA

NTEODESALIDA

PTPC

M

ELEMENTOS DE UNA CURVA CIRCULAR SIMPLE

8. ANGULO CENTRAL. El ángulo central (∆), es el ángulo que se

forma entre dos radios que unen el centro del círculo (O) con el

PC y el PT. El ángulo central es igual en valor al ángulo de

intersección o deflexión de las tangentes (∆ = I).

9. CUERDA LARGA. La cuerda larga (CL) es la cuerda que une el

PC con el PT.

10. EXTERNA. La externa € es la distancia que hay del PI al punto

central de la curva. La externa biseca el ángulo interior PI.

11. ORDENADA MEDIA. La ordenada media (M) es la dis tancia del

punto central de la curva al punto local izado a la mitad de la

curva larga. La prolongación de la ordenada media biseca al

ángulo central.

341

12. GRADO DE CURVATURA. El grado de curvatura (G) define si la

curva es cerrada o abierta. Hay dos definiciones comunes para

el grado de curvatura: definición de cuerda y definición de arco.

F IGURA N° 19.4. GRADO DE CURVATURA DE UNA CURVA SIMPLE

R R

13. ANGULOS DE DEFLEXIÓN. Los ángulos de deflexión son los

ángulos que se forman entre la tangente y los extremos de las

cuerdas, con el PC como vért ice. Se usan para determinar la

dirección en la que se trazan las cuerdas. La suma de los

ángulos de deflexión es igual a la mitad del ángulo de

intersección de las tangentes (��I ). esta suma sirve de

comprobación de los ángulos de deflexión calculados.

11119999.4. .4. .4. .4. FORMULAS DE LA CURVA SIMPLEFORMULAS DE LA CURVA SIMPLEFORMULAS DE LA CURVA SIMPLEFORMULAS DE LA CURVA SIMPLE

Para el cálculo de una curva simple se uti l izan las siguientes

formulas, las cuales se apl ican tanto para las definiciones de arco

como para las de cuerda, con excepción de aquellas que tengan

una nota al respecto.

342

FÓRMULA N° 19.1. CÁLCULO DEL RADIO DE UNA CURVA SIMPLE

202�� = �°

360°

� = 1145.62�

(Definición de 20 m de arco)

� = 10�� 1

2 �

(Definición de 20 m de cuerda)

FÓRMULA N° 19.2. CÁLCULO DE LA SUBTANGENTE DE UNA CURVA

SIMPLE

�� = �. �� 12 �

FÓRMULA N° 19.3. CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CURVA

SIMPLE

� = 20 ��

Donde L = longitud de arco (exacta) para la definición de arco y es

la distancia aproximada sobre la cuerda, para la definición de

cuerda.

FÓRMULA N° 19.4. CÁLCULO DEL PUNTO DE INICIO DE UNA CURVA S IMPLE

�� = �� − ��

FÓRMULA N° 19.5. CÁLCULO DEL PUNTO FINAL DE UNA CURVA SIMPLE

�� = �� − �

FÓRMULA N° 19.6. CÁLCULO DE LA EXTERNA DE UNA CURVA SIMPLE

� = �� 1

2 . �− �

343

� = �. �� 12 . �

FÓRMULA N° 19.7. CÁLCULO DE LA ORDENADA MEDIA DE UNA CURVA SIMPLE

! = �. ��"�# 12 . �

Ángulos de deflexión

FÓRMULA N° 19.8. CÁLCULO DEL ÁNGULO DE DEFLEXIÓN DE UNA CURVA SIMPLE

$ = �2 % �

20&

Dónde:

d = Angulo de deflexión en minutos

C = Longitud de la cuerda en m

G = Grado de curvatura

11119999.5. .5. .5. .5. SOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLESOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLESOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLESOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLE

Para resolver una curva s imple deben conocerse tres elementos: el

punto de intersección (PT), el ángulo de intersección o de deflexión

de las tangentes I y el grado de curvatura. Este últ imo es un dato

de las especificaciones del proyecto, o bien, se calcula a part ir de

alguno de los elementos que haya sido l imitado por el terreno. El Pi

e I se determinan generalmente a part ir de la pol igonal del trazo

prel iminar del cambio o del proyecto que se estudie, aunque

pueden determinarse por tr iangulación cuando PI es inaccesible.

344

EJEMPLO.

Supóngase que se conocen los siguientes datos de una curva: PI =

18 + 00, I = 75° y G = 15°.

F IGURA N° 19.5. SOLUCIÓN DE UNA CURVA SIMPLE

ST

345

a) resolución de la curva apl icando la definición de arco.

� = 1145.62� = 1145.62

15 = 76.37 (

�� = �. �� 12 � = 76.37)0.767327* = 58.60(

�� = �� − ��

P I= 18+00.00

-ST = -(0+58.60)

PC = 17+41.40

� = 20 �� = 20 75°

15° = 100(

�� = �� − � PC = 17+41.40

L = +(1+00.00)

PT = 18+41.40

� = �. �� 12 . � = )76.37*)0.260472* = 19.89(

! = �. ��"�# 12 . � = )76.37*)0.206647* = 15.78(

�� = 2�. ��. � = 2)76.37*)0.608761* = 92.99(

b) Resolución de la curva apl icando la definición de cuerda.

� = 10�� 1

2 �= 10

0.130526 = 76.61 (

−�� = �. �� 12 � = 76.61)0.767327* = 58.79(

�� = �� − ��

346

PI = 18+00.00

ST = -(0+58.79)

PC = 17+41.21

� = 20 �� = 20 75°

15° = 100(

�� = �� − � PC = 17+41.21

L = +(1+00.00)

PT = 18+41.21

� = �. �� 12 . � = )76.61*)0.260472* = 19.96(

! = �. ��"�# 12 . � = )76.61*)0.206647* = 15.83(

�� = 2�. ��. � = 2)76.61*)0.608761* = 93.28(


a) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los

s iguientes datos: PI = 22 + 00, I = 45° y G = 12°.

b) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los


c) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los


d) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los


e) Calcular los elementos de una curva simple, sí se conocen los


347

CAP ÍTULO XX

CURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVEL

20.1. 20.1. 20.1. 20.1. INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo trata sobre curvas de nivel, trazadas en el

terreno, util izando para ello distintos procedimientos y

herramientas respectivamente. Pudiéndose encontrar diversas

formas y maneras de realizar las mediciones ya sea por métodos

milenarios o modernos; con el objeto de real izar curvas de nivel , a

f in de mejorar las condiciones fís icas y químicas del terreno; para

obtener de esta manera un mejor aprovechamiento y rendimiento

del suelo. Así podremos apuntar a una mejor producción ya sea

piscícola, agrícola o forestal.

20.2. 20.2. 20.2. 20.2. CURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVELCURVAS DE NIVEL

Se denominan curvas de nivel a las l íneas que marcadas sobre el

terreno desarrollan una trayectoria que es horizontal. Por lo tanto

podemos definir que una l ínea de nivel representa la intersección

de una superf icie de nivel con el terreno. En un plano las curvas de

nivel se dibujan para representar intervalos de altura que son

equidistantes sobre un plano de referencia. Esta diferencia de

altura entre curvas recibe la denominación de “equidistancia”

De la definición de las curvas podemos citar las siguientes

características:

1. Las curvas de nivel no se cruzan entre sí.

2. Deben ser líneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de

las líneas del dibujo.

3. Cuando se acercan entre si indican un decl ive más pronunciado

y viceversa.

4. La dirección de máxima pendiente del terreno queda en el

ángulo recto con la curva de nivel

348

FIGURA N° 20.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS DE NIVEL

20.3. 20.3. 20.3. 20.3. TIPOS DE CURVA DE NIVELTIPOS DE CURVA DE NIVELTIPOS DE CURVA DE NIVELTIPOS DE CURVA DE NIVEL

1. CCCCURVA CLINOGRÁFICAURVA CLINOGRÁFICAURVA CLINOGRÁFICAURVA CLINOGRÁFICA: Diagrama de curvas que representa el

valor medio de las pendientes en los diferentes puntos de un

terreno en función de las alturas correspondientes.

2. CCCCURVA DE CONFIGURACIÓURVA DE CONFIGURACIÓURVA DE CONFIGURACIÓURVA DE CONFIGURACIÓNNNN : Cada una de las l íneas util izadas

para dar una idea aproximada de las formas del relieve sin

indicación numérica de alti tud ya que no tienen el soporte de

las medidas precisas.

3. CCCCURVA DE DEPRESIÓNURVA DE DEPRESIÓNURVA DE DEPRESIÓNURVA DE DEPRESIÓN : Curva de nivel que mediante líneas

discontinuas o pequeñas normales es uti l izada para señalar las

áreas de depresión topográfica.

4. CCCCURVA DE NIVELURVA DE NIVELURVA DE NIVELURVA DE NIVEL : Línea que, en un mapa o plano, une todos los

puntos de igual distancia vert ical, alti tud o cota. Sinónimo:

isohipsa.

300

310

320

330

340

349

5. CCCCURVA DE PENDIENTE GEURVA DE PENDIENTE GEURVA DE PENDIENTE GEURVA DE PENDIENTE GENERALNERALNERALNERAL : Diagrama de curvas que

representa la incl inación de un terreno a parti r de las distancias

entre las curvas de nivel.

6. CCCCURVA HIPSOMÉTRICAURVA HIPSOMÉTRICAURVA HIPSOMÉTRICAURVA HIPSOMÉTRICA : Diagrama de curvas util i zado para indicar

la proporción de superf icie con relación a la alti tud. Sinónimo

complementario: curva hipsográfica. Nota: El eje vert ical

representa las alti tudes y el eje horizontal las superf icies o sus

porcentajes de superficie.

7. CCCCURVA URVA URVA URVA INTERCALADAINTERCALADAINTERCALADAINTERCALADA : Curva de nivel que se añade entre dos

curvas de nivel normal cuando la separación entre éstas es muy

grande para una representación cartográfica clara. Nota: Se

suele representar con una línea más f ina o discontinua.

8. CCCCURVA MAESTRAURVA MAESTRAURVA MAESTRAURVA MAESTRA: Curva de nivel en la que las cotas de la misma

son múltiples de la equidistancia.

20.4. 20.4. 20.4. 20.4. MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELMARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELMARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELMARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL

El relieve de la superficie terrestre se suele representar

métricamente sobre un plano a través de las curvas de nivel, unas

isolíneas que unen puntos situados a la misma al ti tud y que se

trazan generalmente con un intervalo determinado y equidistante

para todo el terreno a cartografiar. Una de cada cuatro o cinco

curvas se dibuja con un mayor grosor y se rotula su alti tud

correspondiente; son las llamadas curvas maestras y, entre ellas,

se describen las curvas de nivel intermedias. Actualmente, las

curvas se trazan a parti r de las fotografías aéreas, consiguiendo

una precisión mucho mayor que cuando tenían que delinearse en

el campo con la ayuda de una red de cotas. A pesar de que las

curvas de nivel no proporcionan una imagen visual del rel ieve tan

clara como la técnica del sombreado, su anál is is facil i ta tal

cantidad de información que hace que sea el método más útil de

representación del rel ieve en los mapas topográficos.

Curvas de nivel, líneas que, en un mapa, unen puntos de la misma

alt i tud, por encima o por debajo de una superf icie de referencia,

350

que generalmente coincide con la línea del nivel del mar, y t iene el

f in de mostrar el rel ieve de un terreno. Las curvas de nivel son uno

de los variados métodos que se util izan para reflejar la forma

tridimensional de la superficie terrestre en un mapa bidimensional.

En los modernos mapas topográficos es muy frecuente su

util ización, ya que proporcionan información cuanti tativa sobre el

rel ieve. Sin embargo, a menudo se combinan con métodos más

cuali tativos como el colorear zonas o sombrear colinas para

faci li tar la lectura del mapa. El espaciado de las curvas de nivel

depende del intervalo de curvas de nivel seleccionado y de la

pendiente del terreno: cuanto más empinada sea la pendiente,

más próximas entre sí aparecerán las curvas de nivel en cualquier

intervalo de curvas o escala del mapa. De este modo, los mapas

con curvas de nivel proporcionan una impresión gráfica de la

forma, incl inación y alt i tud del terreno. Las curvas de nivel pueden

construirse interpolando una serie de puntos de alti tud conocida o

a parti r de la medición en el terreno, uti l izando la técnica de la

nivelación. Sin embargo, los mapas de curvas de nivel más

modernos se real izan uti l izando la fotogrametría aérea, la ciencia

con la que se pueden obtener mediciones a part ir de pares

estereoscópicos de fotografías aéreas. El término isolíneas puede

util izarse cuando el principio de las curvas de nivel se apl ica a la

real ización de mapas de otros tipos de datos cuanti tat ivos,

distribuidos de forma continua, pero, en estos casos, suele

preferirse util i zar términos más especializados con el prefi jo iso-

(que signif ica igual), como isobatas para curvas de nivel

submarinas, o isobaras para las líneas que unen puntos que tienen

la misma presión atmosférica.

El operador comienza a nivelar part iendo de una cota conocida,

efectuando una nivelación compuesta, desde la estación de

arranque debe marcar los puntos del terreno que t ienen igual

lectura de mira. Cuando cambia la estación tomara como

diferencia el últ imo punto de la estación anterior y efectuada la

lectura de mira se procede a buscar sobre el terreno puntos de

igual cota que proporcionen la misma lectura y así hasta terminar

351

con esa curva. De esta manera se marca sobre el terreno una l ínea

de nivel, es decir que no sube ni baja, para esto se van colocando

estacas de madera las que demarcan su trayectoria.

FIGURA N° 20.2. MARCACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL

20.5. 20.5. 20.5. 20.5. DESARROLLODESARROLLODESARROLLODESARROLLO DE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELDE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELDE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVELDE LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL

El trazado de una curva de nivel en el terreno, se puede real izar

con un nivel óptico, un teodoli to, con una manguera, etc. Nosotros

tomaremos el caso del nivel óptico, ya que con él, hemos realizado

las prácticas con el profesor.

Para emplear el nivel necesitamos una “mira parlante”, sobre la

cual realizaremos la lectura. El nivel se afirmará sobre el terreno,

sobre un tr ípode el cual tiene en la parte superior un t ipo de rosca

para que el nivel sea ajustado. El nivel t iene dos burbujas, una en

la parte superior y otra en el costado, las cuales sirven para que el

nivel esté nivelado con respecto al suelo.

300

310

320

330

340

352

También tiene una lente a través de la cual realizaremos la lectura

de mira. Tiene una peri l la al costado que aclara la imagen que

tendremos de la mira parlante. Una peri lla permite acercar o alejar

la imagen que tengamos. En la parte inferior del nivel, hay una

especie de rosca para girar el nivel hacia una dirección

determinada, la cual nos permite medir ángulos, para encuadrar

una plantación. El operador tendrá que tener en cuenta que los

números de la mira parlante están al revés, ya que al mirar por la

lente del nivel se invert irán los mismos. Los niveles ópticos sirven

para dist intos fines como por ejemplo: La marcación para una

plantación determinada, para encuadrarla y determinar así sus

ángulos etc.

360

350

340

330

320

310

PASOS A SEGUIR PARA LA MARCACIÓN DE UNA CURVA DE NIVEL

Para hacer la marcación de una curva de nivel, se procede:

1º Se debe determinar la zona de desagüe.

353

2º Se elige la zona de mayor pendiente, debido a que este lugar

es el de mayor deterioro, por la acción directa de las l luvias y

se saca la pendiente promedio, para el lo9 se recurre a una

tabla de intervalos vert icales y horizontales. El intervalo vert ical

es la diferencia de nivel que existe entre una curva y otra. El

intervalo horizontal es la distancia que existe entre una curva y

otra.

3º Se real iza la tabla de intervalos verticales y horizontales.

4º Se hace la marcación de arranque, que es el lugar donde nace

la curva de nivel, cuya marcación se realiza por el lado opuesto

de la zona de desagüe.

5º Se realiza la primer lectura para saber en qué lugar estamos,

operando a este valor se le suma 3cm la que comúnmente se

denomina pendiente del 3x mil y se desplaza 10m cortando la

pendiente y así sucesivamente.

6º Suavización de las curvas y se hace para que la curva sea más

o menos proporcional .

7º Es la construcción de camellones. La curva de nivel evita que

los suelos se deterioren y de esta forma se pueden aprovechar

los terrenos con mucha pendiente.


a) Representar gráficamente las curvas de nivel 200, 202, 204,

206 y 208; cuya marcación se muestra en la siguiente figura.

354

b) Representar gráficamente las curvas de nivel 200, 202, 204,


355

c) Representar gráficamente las curvas de nivel 400, 402, 404,


356

CAPÍTULO XXI

LEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOSLEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOSLEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOSLEVANTAMIENTOS HIDROGRÁFICOS

21.1.21.1.21.1.21.1. GGGGENERAL IDADESENERAL IDADESENERAL IDADESENERAL IDADES

Un levantamiento hidrográfico t iene como principal f inal idad

recabar información relativa a las característ icas fís icas de área

cubiertas por agua. La información es esencial para la elaboración

de cartas náuticas modernas, que muestran profundidades

disponibles, canales mejorados, rompeolas, muelles, ayudas a la

navegación, decl inaciones magnéticas, rutas de navegación y otros

detalles de interés para los marinos e ingenieros pesqueros.

Un levantamiento hidrográfico podría referirse a varios otros tipos

de investigaciones subacuáticas que se realizan con el fin de

obtener la información necesaria para la construcción, desarrollo y

mejoramiento de ins talaciones portuarias y pesqueras; para el

proyecto de muelles y otras estructuras subacuáticas; para

determinar la pérdida de capacidad de lagos o presas debida a la

azolvez2; y para calcular la cantidades de material dragado.

Los principios fundamentales de ejecución de los levantamientos

hidrográficos de un puerto o lago interior, son básicamente los

mismos que se emplean para ejecutar el levantamiento completo

de un gran estero o para sondear una vasta zona oceánica, pero

existen marcadas diferencias en las embarcaciones, en el equipo y

en las técnicas de medición. Esta sección del texto universitario se

refiere a los procedimientos básicos para ejecutar levantamientos

hidrográficos de alcance limitado, relativos a la práctica de la

ingeniería civi l y pesquera en aspectos tales como mejoramiento

de las vías acuáticas, construcción de diques y puertos, control de

erosión en playas y disposición de residuos de drenaje. 2 azolvar v tr 1111 Tapar u obstruir lodo o basura algún conducto o cana l, de modo que impide el paso del agua 2222 Depositar las corr ientes mar inas o f luvia les arena y otros mater ia les en el fondo, disminuyendo su profundidad.

357

21.2.21.2.21.2.21.2. CCCCARACTERÍSTICAS DEL LARACTERÍSTICAS DEL LARACTERÍSTICAS DEL LARACTERÍSTICAS DEL LEVANTAMIENTO EVANTAMIENTO EVANTAMIENTO EVANTAMIENTO HHHH IDROGRÁFICOIDROGRÁFICOIDROGRÁFICOIDROGRÁFICO

Los levantamientos hidrográficos se caracterizan por las

mediciones y observaciones que se l levan a cabo para determinar

y, posteriormente, representar la topografía submarina y

subacuática, as í como para local izar diversos rasgos marítimos de

interés para el navegante. A continuación se mencionan las

principales características de un levantamiento hidrográfico:

1. RECONOCIMIENTO. Aunque la principal f inal idad del levantamiento

hidrográfico es la obtención de la hidrografía o la real ización de

sondeos, no puede

l levarse a cabo hasta que

se hayan efectuado

ciertas actividades

prel iminares. La primera

de ellas es el cuidadoso

reconocimiento del área

con el fin de seleccionar

la forma más expedita de

real izar el levantamiento y planear todas las operaciones para

que los trabajos se ejecuten satisfactoriamente, conforme a las

ins trucciones generales y especif icaciones que los rigen. El uso

de fotografías áreas puede ser de gran uti l idad es este estudio

prel iminar.

2. CONTROL HORIZONTAL. Es la siguiente etapa y consiste en el

establecimiento del control horizontal, o sea, el marco de

referencia mediante el cual los rasgos terres tres y marinos se

representan en su verdadera posición relativa. El control

horizontal se proporciona comúnmente por tr iangulación y, en

menor grado, por pol igonación. No es posible definir, en forma

general, la precisión de dicho control.

358

En levantamientos originales de grandes cuerpos de agua,

podría requeri rse una triangulación de segundo o tercer orden.

Para levantamientos aislados de presas pequeñas o alejadas,

podría resultar satisfactorio un sis tema de control combinando

métodos de estadia y de tr iangulación gráfica con plancheta.

El control f i jado previamente es una ventaja muy importante en

cualquier levantamiento hidrográfico. Deben obtenerse y

util i zarse los datos de levantamientos anteriores del área. A

veces se podría localizar un número suficiente de estaciones

para satisfacer los requerimientos de un estudio de

actualización, y no será necesario establecer un nuevo control

horizontal.

3. CONTROL VERTICAL antes de iniciar los trabajos de sondeos, es

esencial ejecutar el control vert ical , a f in de conocer la elevación

del área cuando se hagan los sondeos. Tales datos de control

también se requieren para la poca topografía que muestran

todas las cartas náuticas. Cuando se trabaja en cuerpos de agua

sujetos a mareas, cuyo nivel de marea baja no se conoce, es

necesario establecer una estación de mareógrafo y observar las

f luctuaciones de la marea, a fin de definir un plano de referencia

359

para los sondeos. Luego se l iga este datum3 a una o más bancos

de nivel cercanos, mediante nivelación.

4. LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO . Se levanta la franja costera que

aparecerá en el plano o carta. Como el único interés del

navegante está en los rasgos prominentes del terreno que

pudieran exist ir en el área, sólo se muestra una franja de

topografía relativamente estrecha.

5. H IDROGRAFÍA. La medición de tirantes de gua es la operación

más importante en la cartografía náutica y en los estudios

hidrográficos de ingeniería.

6. ELABORACIÓN DEL PLANO HIDROGRÁFICO O CARTA NÁUTICA. Este

consti tuye usualmente el producto f inal del levantamiento

hidrográfico. En el caso de levantamientos subacuáticos para

f ines de ingeniería, el producto final podría ser el cálculo de

cantidades de sedimento dragado, o el dibujo de los perf iles

necesarios para la construcción bajo el agua.

22221111.3. .3. .3. .3. LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOSLEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOSLEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOSLEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS Y DE COSTASY DE COSTASY DE COSTASY DE COSTAS

Aunque en una carta náutica los datos más importantes son las

profundidades del agua, los rasgos topográficos de la costa marina

o de un lago son indispensables para orientar al marino y mejorar

la apariencia del plano. Los levantamientos topográficos

3 En geodesia un datum es un conjunto de puntos de referencia en la

superf ic ie terrest re en base a los cuales las medidas de la pos ición son tomadas y un modelo asociado de la forma de la t ierra (e l ipso ide de referenc ia) para def in ir el s istema de coordenadas geográfico. Datums horizontales son ut i l izados para descr ib ir un punto sobre la superf ic ie terrestre. Datums vert icales miden elevaciones o profundidades. En ingeniería y draft ing, un datum es un punto de referencia, superf ic ie o ejes sobre un objeto con los cua les las medidas son tomadas.

Un datum de referencia (modelo matemático) es una superf ic ie constante y conocida ut il izada para describ ir la local ización de puntos sobre la tierra. Dado que diferentes datums t ienen diferentes rad ios y puntos centrales, un punto medido con diferentes datums puede tener coordenadas diferentes. Existen cientos de datums de referenc ia desarro l lados para referenciar puntos en determinadas áreas convenientes para esa área. Datums contemporáneos están diseñados para cubrir áreas más grandes.

360

suministran esta información. En el pasado, la mayoría de esos

trabajos se hacía con plancheta y, a veces, con estadia. Pero en la

actualidad, tales métodos de topografía terrestre se util izan solo en

estudios hidrográficos de l imitada extensión, o para obtener la

información necesaria para actualizar periódicamente los rasgos

culturales del área costera representada en una carta o plano.

En los estudios hidrográficos recientes de cierta magnitud, el

método aerofotogramétrico ha desplazado a los procedimientos

cartográficos terrestres, por las notables economía en tiempo y en

costo que ha producido su apl icación. Asimismo, ha faci li tado la

detección de arreci fes y bancos de arena, mediante el examen de

fotografía áreas por parte de un experto en fotointerpretación.

22221111.4. .4. .4. .4. EQUIPO PARA HIDROGRAFÍAEQUIPO PARA HIDROGRAFÍAEQUIPO PARA HIDROGRAFÍAEQUIPO PARA HIDROGRAFÍA

Los modernos barcos son plantas cartográficas móvi les,

completamente autosuficientes. Llevan cons igo el equipo y

personal necesarios para efectuar la misión de cartografía

hidrográfica, incluyendo la obtención de fotografías áreas, la

ejecución de control horizontal y vert ical, el desarrol lo de la

hidrografía y la reproducción de los planos terminados. En los

siguientes párrafos nos limitaremos a describir brevemente los

t ipos de equipos que se requerirían para real izar operaciones de

sondeo en un lago, presa o puerto, con un pequeño bote o lancha,

y no los usuales en un barco d estudios hidrográficos que suelen

operar a varios kilómetros de la costa.

LANCHAS. Se util izan varios tipos de lanchas y botes pequeños. La

mayoría de las embarcaciones de peca o de trabajo resultan

satisfactorias por su buenas condiciones de flotación,

comportamiento confiable del motor a bajas velocidades, y porque

pueden adaptarse a las diversas operaciones inherentes a los

estudios hidrográficos. Para levantamientos limitados a áreas

protegidas pueden usarse botes pequeños, como los salvavidas.

361

Estos t ienen fondo redondeado y suficiente qui l la para mantener un

curso di recto. Pueden accionarse con motores fuera de borda.

BALIZA DE SONDEAR. En profundidades de agua hasta de 3,50

metros, los sondeos pueden efectuarse fáci lmente con una bal iza

de sondear. Esta puede hacerse con una vara de madera

redondeada, de 4 centímetros de diámetro y de 4,50 metros de

largo, con graduaciones pintadas a intervalos de un metro y 1º

centímetros, y con una pata de metal en cada extremo, para poder

hundirla con rapidez.

Sondaleza. Consis te en una cuerda de buena cal idad y longitud

adecuada, en cuyo extremo se coloca una pesa o plomo de

sondear. La sondaleza puede estar graduada en brazas o metros,

de varios modos, para que no se dificulte leer el nivel del agua. En

los trabajos de sondeo, se aja la pesa hasta que toca el fondo, y

una vez que la cuerda este vert ical y tensa, se determina la

profundidad mediante su graduación.

Incluso una cuerda bien templada cambiara de longitud como

resultado del uso normal . Por tanto, habrá que veri f icar su longitud

a intervalos regulares, comparándola con una cinta de acero y, si

es necesario, deberán aplicarse las correcciones apropiadas a las

profundidades observadas.

ECOSONDA. En estudios hidrográficos modernos de cierta

importancia, las mediciones de la profundidad del agua se

efectúan con un instrumento denominado ecosonda. El ecosondeo

es un método para determinar profundidades de agua midiendo el

t iempo que requieren las ondas de sonido viajar de un punto

cercano a la superf icie del agua hasta el fondo, y de regreso. La

ecosonda está diseñada para generar una señal, transmitir la hacia

abajo, recibir y amplif icar el eco, medir el intervalo de tiempo

transcurrido y convert ir automáticamente este intervalo en metros o

brazas de profundidad. La ecosonda puede indicar la profundidad

en forma digital o graficarla en un rol lo de papel especial. En él

cada l ínea de ecosondeo proporciona un perf il dl fondo del lago o

puerto bajo el curso de la lancha, aun cuando esta avance a toda

362

velocidad. Las profundidades del agua pueden medirse a escala

en la gráfica resultante.

FIGURA N° 21.1. REPRESENTACIÓN DE LA OPERACIÓN DE SONDEO

22221111.5. .5. .5. .5. OPERACIONES DE SONDEOOPERACIONES DE SONDEOOPERACIONES DE SONDEOOPERACIONES DE SONDEO

Los trabajos de sondeo consti tuyen el elemento básico del

levantamiento hidrográfico. Sin embargo, la determinación de la

profundidad resultará inúti l a menos que se obtenga

simultáneamente la posición horizontal del punto de medición.

Aunque puede recurrirse a una gran diversidad de métodos para

localizar los sondeos, solo se mencionaran aquí a tres de los

principales.

363

1. Por alineación y un ángulo desde la costa. La figura adjunta

esquematiza un método común para local izar sondeos en

lagunas. La embarcación se mantiene sobre una línea, dir igida

por señales desde la costa, y se obtienen lecturas a intervalos

regulares en los mismos instantes en que la proa del bote o

cualquier otra parte adecuada de éste sea ”cortada” por una

visual de teodoli to desde la estación costera, A.

FIGURA N° 21.2. LOCALIZACIÓN DE SONDEOS POR ALINEACIÓN Y ÁNGULO DESDE LA COSTA

Es preciso que el operador del teodol i to y la brigada de la lancha

sincronicen sus relojes antes de iniciar los trabajos, y que

observen y registren la hora de cada lectura. Solo así podrá

identi ficarse la posición de cada sondeo cuando vayan a

anotarse las profundidades en la libreta del teodoli to.

364

2. Por dos ángulos desde la costa. Donde es di fícil establecer

direcciones porque la costa presenta fuerte pendiente

transversal o es muy boscosa, o donde las corrientes del r ío

dif iculten mantener la ancha en una l ínea, la pos iciones de

los sondeos puede determinarse mediante ángulos leídos

simultáneamente desde dos estaciones de teodol i to, en la

costa. A una señal conveniente de la brigada de la lancha,

ambos operadores de teodol ito visan algún objeto definido

sobre la embarcación –al operador de la sonda por ejemplo-

y leen cada uno el ángulo horizontal.

3. Por dos ángulos desde la lancha. Un método importante y

muy usual para localizar la posición de ondeos, es el que se

conoce como intersección de los tres putos con sextante.

Este procedimiento implica la medición simultánea, a bordo

de la lancha de sondeo, de dos ángulos horizontales entre

tres señales de posiciones conocidas, ubicadas en la costa.

Los ángulos se miden con sextantes en el mismo momento

en que se mide la profundidad. En seguida se determinan la

posición de la embarcación con un transportador de tres

brazos que resuelve gráficamente el problema de los tres

puntos. La ventaja de este método radican en que todas las

operaciones dl levantamiento hidrográfico se realizan aborde

de la lancha; la frecuencia de las lecturas y su cubrimiento de

áreas son fáci lmente definibles, y la lancha puede ser dirigida

a aquel los puntos del lago, rio o puerto en que parezca

necesario un trabajo hidrográfico adicional.

365

FIGURA N° 21.3. LOCALIZACIÓN DE SONDEOS POR DOS ÁNGULOS DESDE UNA LANCHA

22221111....6666. . . . PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOS

a) Representar gráficamente las curvas batimétricas, cuyas

medidas se muestran en la figura

366

b) Representar gráficamente las curvas batimétricas, cuyas

medidas se muestran en la figura

B

R4 R6R8

R10

A

R9R7R5R3

121.25

123.36

125.63

124.35

122.34

121.15

123.02

125.43

123.35

121.84

121.56

123.12

125.96

124.12

122.25

121.85

123.85

125.98

124.63

121.25

121.25

123.36

125.63

124.35

122.34

121.15

123.02

125.43

123.35

121.84

121.56

123.12

125.96

124.12

122.25

121.85

123.85

125.98

124.63

121.25

367

CAP ÍTULO XXII

CURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICASCURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICASCURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICASCURVAS DE NIVEL HIDROGRÁFICAS

22222222.1..1..1..1. IIIINTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓNNTRODUCCIÓN

Al elaborar un plano hidrográfico, se pueden t razar las curvas de

nivel s i se conocen la pos ición horizontal y la elevación de

algunos puntos del fondo marino convenientemente escogidos. La

manera de obtener los datos necesarios es la base para definir

cuatro sistemas de puntos para el trazo de curvas. Son las

siguientes:

22222222.2..2..2..2. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA A.A.A.A.

Este sistema cons iste en una cuadricula estacada en el fondo

acuático. Se determinan las elevaciones de las esquinas para

formar un sis tema de puntos de coordenadas a part i r de los

cuales pueden dibujarse las curvas de nivel.

368

F IGURA N° 22.1. CUADRÍCULAS ESTACADAS PARA EL SISTEMA A

F IGURA N° 22.2. CURVAS BATIMÉTRICAS TIPO SISTEMA A

900

902 904

906

908

369

22222222.3..3..3..3. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA B.B.B.B.

Si se local iza en el terreno o fondo acuático una serie de puntos

con la misma elevación y se dibujan en un plano, la l ínea que los

une será una curva de nivel. Por lo tanto, s i se dibuja una serie de

puntos que tienen que t ienen la elevación, por ejemplo, 914

metros, la curva de nivel 914 se determina uniendo los puntos con

una l ínea continua.

F IGURA N° 22.3. CUADRÍCULAS ESTACADAS PARA EL SISTEMA B

910

910

910

912

912

912

912

912

912

914

914

914

914

914

914

914

370

F IGURA N° 22.4. CURVAS BATIMÉTRICAS TIPO SISTEMA B

22.4.22.4.22.4.22.4. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA C.C.C.C.

Aunque el s istema B proporciona curvas de nivel muy precisas,

requiere de la localización de muchos puntos. Si no se necesita

tanta precisión puede emplearse un método más rápido

consistente en local izar algunos puntos de control, y después

interpolar las curvas para representar la superf icie del terreno.

Tales puntos corresponden a cimas, depresiones, cambios de

pendiente, y especialmente puntos a lo largo de causes y

parteaguas.

371

22.5.22.5.22.5.22.5. SSSS ISTEMA ISTEMA ISTEMA ISTEMA D.D.D.D.

En este sistema primero se traza una pol igonal de tránsito,

clavando trompos a cada 20 metros sobre los que se efectúan

nivelaciones de perfi l . En estos puntos se levantan secciones

transversales para local izar los puntos para la configuración, los

fondos de los escurrideros, etc. A part ir de este sistema de puntos

ya es posible dibujar las curvas de nivel.

22.6.22.6.22.6.22.6. IIIINTERPOLACIÓN DE NTERPOLACIÓN DE NTERPOLACIÓN DE NTERPOLACIÓN DE CCCCURVAS URVAS URVAS URVAS DE DE DE DE NNNN IVELIVELIVELIVEL

En los sis temas A y C, es necesario interpolar entre los puntos

dibujados para local izar las posiciones de las curvas. Esta

interpolación puede hacerse por estimación, por cálculo o por

métodos gráficos.

a)a)a)a) Por Estimación. Por Estimación. Por Estimación. Por Estimación. Se uti l iza este método cuando no se requiere

exacti tud, cuando las formas del terreno son bastante

regulares, y cuando la escala del plano es intermedia o

pequeña.

b)b)b)b) Por cálculoPor cálculoPor cálculoPor cálculo. Se util iza este método cuando se requiere obtener

gran exacti tud, y cuando la escala del plano es intermedia o

grande.

c)c)c)c) Por el método gráfico. Por el método gráfico. Por el método gráfico. Por el método gráfico. Se van a hacer muchas interpolaciones y

se pretende obtener una exacti tud relativamente alta, resul tará

más rápido y conveniente usar una escala proporcional

mediante la cual pueden interpolarse los pasos de las curvas.

372

Esta escala se constituye en tela o papel transparente,

marcando en ella l íneas paralelas (a cualquier escala

adecuada) para representar el intervalo requerido entre curvas

de nivel.

F IGURA N° 22.5. ESCALA PARA INTERPOLACIÓN DE CURVAS DE NIVEL

373

22.22.22.22.7777.... PROBLEMASPROBLEMASPROBLEMASPROBLEMAS PROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOS

a) Representar gráficamente las curvas cuyas cuadriculas se

muestran en la figura.

374

b) Representar gráficamente las curvas cuyas cuadriculas se

muestran en la figura.

910

910

910

912

912

912912

912

912

914

914

914

914

914

914

914

375

Capítulo XIII

LEVANTAMIENTOLEVANTAMIENTOLEVANTAMIENTOLEVANTAMIENTO PARA OBRAS Y PARA OBRAS Y PARA OBRAS Y PARA OBRAS Y

CONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONESCONSTRUCCIONES


Los trabajos topográficos para obras y construcciones incluyen

generalmente: 1) un levantamiento topográfico del lugar, para

util izarse en la preparación de los planos de las estructuras; 2) el

establecimiento en el terreno de un sistema de estacas o de otras

marcas, tanto en planta como en elevaciones, de las cuales se

pueden tomar medidas para las terracerías y para las estructuras

por el personal encargado de la construcción; 3) dar l ínea y niveles

según sea necesario, para reponer las estacas movidas por la

construcción o para local izar puntos adicionales en la misma

estructura; y 4) hacer las medidas necesarias para comprobar la

posición de las partes de la estructura y para determinar el

volumen de trabajo ejecutado a una fecha determinada

(generalmente cada mes), como una base para el pago al

contratis ta.

En conexión con la construcción, a menudo es necesario hacer

levantamientos de los l inderos como base para la adquis ición de

terrenos o derechos de vía. Los métodos detallados que se

emplean en los levantamientos para la construcción varían mucho

con el t ipo, si tuación, y tamaño de la estructura y con la

preferencia que tengan las organizaciones de ingeniería y de

construcción. Mucho depende de la pericia del topógrafo con el

objeto de que se dé la información correcta sin confusión ni

esfuerzo innecesarios. El levantamiento topográfico del lugar de la

estructura debe incluir terrenos adyacentes que tengan la

probabil idad de uti l izarse para la planta de construcción, caminos,

o estructuras auxiliares. Las fotografías aéreas son auxi liares útiles

para la planeación de la construcción.

376

22223333....2222. ALINEAMIENTO. ALINEAMIENTO. ALINEAMIENTO. ALINEAMIENTO

Generalmente se clavan estacas y otras marcas temporales en los

vért ices de la estructura propuesta, como una guía aproximada

para empezar la excavación. Fuera de los l ímites de la misma, o

de donde se puedan mover, pero lo suficientemente cerca para

que resulten cómodas, se colocan estaciones permanentes bien

referidas. Pueden ponerse señales permanentes o marcas para

orientar cómodamente el tránsito en las l íneas principales de la

estructura y para visar a lo largo de esas líneas a ojo. Se colocan

estacas u otras señales en todas las l íneas importantes para

marcar con claridad los límites de la obra. En muchos casos, la

l ínea y la rasante se dan más cómodamente en tablas clavadas en

estacas que con estacas. Esas tablas son, generalmente, de 2.5 X

15 cm clavadas en unos postes fuertes (generalmente, con una

sección de 5 X 10 cm) con la tabla horizontal estando su canto

superior a un número entero de metros arriba o debajo de la

rasante. El alineamiento se fi ja clavando un clavo en el canto

superior de la tabla. Entre cada dos de estas tablas se estira una

cuerda fuerte o alambre para marcar la l ínea y la rasante. A

menudo, no es pos ible establecer señales permanentes en la l ínea

de la estructura. En este caso, la l ínea del levantamiento se traza

paralela a la de la es tructura, tan cerca como sea posible a una

distancia que sea un número entero de metros.

22223333.3. RASANTE.3. RASANTE.3. RASANTE.3. RASANTE

Se establece un sis tema de bancos de nivel cerca de la estructura,

en lugares favorables, que probablemente no estén sujetos a

cambiarse. Se tomaran todos los cuidados posibles para conservar

los bancos de nivel de los levantamientos estatales o federales, si

durante la construcción es necesario quitar esos bancos se deberá

notif icar a la dependencia correspondiente y los bancos se

cambiaran de acuerdo con sus instrucción. Las diferentes rasantes

377

y elevaciones se definen en el terreno por medio de trompos y de

tablas clavadas en postes, como guías para los trabajadores. Los

trompos que marcan las rasantes pueden o no ser los mismos que

sirvan para dar l ínea. Cuando se usan estacas, se pueden tomar

las medidas verticales de la cabeza de la estaca, de una marca de

crayón o de un clavo puesto de un costado de la estaca, o (para

excavación) de la superf icie del terreno donde se encuentra la

estaca; para evitar equivocaciones, solamente se empleará un

sistema de puntos de referencia para las medidas en cada clase

de trabajo. Cuando se uti l izan tablas clavadas en postes las

medidas vert icales se toman del canto superior de la tabla, cuando

es horizontal. Las estacas o las tablas se pueden colocar a la

rasante. Cuando se va a clavar una estaca de manera que su

cabeza quede a una elevación dada, el es tadalero comienza a

clavarla y luego coloca el estadal sobre la estaca. El nivelador lee

el estándar y, dice la distancia en que debe encajarse la estaca

para que l legue a la rasante. El estadalero clava la estaca la

cantidad deseada, y se toma una segunda lectura de estadal;

continuando de esta manera el proceso hasta que la lectura del

estadal sea igual a la diferencia entre la altura de instrumento y la

elevación deseada. Se puede util izar una marca o un clavo en uno

de los costados de la estaca en vez de la cabeza de la misma. En

algunos casos, se corta con un serrote a la elevación deseada. Si

la elevación de la rasante está a corta distancia de la elevación del

terreno, a menudo se hace un hoyo en el terreno para colocar la

estaca a la rasante.

378

22223333.4. TRAZO.4. TRAZO.4. TRAZO.4. TRAZO DE EDIFICIOSDE EDIFICIOSDE EDIFICIOSDE EDIFICIOS

Al empezar la excavación, se marcan las esquinas del edificio con

estacas, que por cierto se perderán al proseguir la excavación. Se

pondrán l íneas de referencia en cada uno de los lados del

perímetro de construcción y en las l íneas de las columnas, de

preferencia en la línea que pase por el centro de las paredes o

columnas.

En cada extremo de los lados del perímetro de construcción se

pondrá una tabla clavada en postes aproximadamente a un metro

de la ori lla de la excavación. Si el terreno lo permite, los cantos

superiores de todas las tablas se pondrán a la misma elevación; en

cualquier caso, las tablas que van en los extremos opuestos de

una l ínea dad (o porción de la misma) se colocan a la misma

elevación de manera que una cuerda tendida entre ellas quede a

nivel. Las elevaciones se el igen en un número entero de metros

arriba del fondo de la excavación, generalmente del piso, en vez

del desplante de los cimientos. Cuando se ha clavado la tabla a los

postes, se clava un clavo en le canto superior de la tabla siguiendo

la l ínea de construcción, que se obtiene con el tránsi to. Hi los

tendidos entre tablas opuestas definen tanto la l ínea como la

pendiente, y los trabajadores pueden tomar medidas

cómodamente para la excavación, para colocar moldes, y para

al inear la mampostería o las estructuras.

379

FIGURA N° 23.1. LÍNEAS BASE PARA EL TRAZADO DE UN EDIFICIO

Si el espacio alrededor del edi ficio está obstruido de manera que

no es posible poner tablas clavadas en postes, se recurre a otros

medios para afrontar la si tuación. Cuando se termina la

excavación, se dan los niveles para las zapatas de los muros y de

las columnas con trompos clavados a la elevación requerida ya

sea para la corona de las zapatas o para la parte superior del piso.

Las bases de las columnas y para los muros las pone a su nivel

directamente el nivelador. Las bases de las columnas y para los

muros las pone a su nivel directamente el nivelador.

BASE AUXILIAR MIRA

REFERENCIA

380

FIGURA N° 23.2. OTRO TRAZADO DE LÍNEAS BASE DE UN EDIFICIO

22223333.5. ALCANTARILLAS.5. ALCANTARILLAS.5. ALCANTARILLAS.5. ALCANTARILLAS

En la intersección del eje de la alcantaril la con la línea local izada,

se mide el ángulo de intersección, y la l ínea que define la dirección

de la alcantaril la se traza una línea que defina la boquil la y se

refiere. Si es necesario hacer canalizaciones en el cauce, se

LÍNEA BASE AUXILIAR

PERÍMETRO

DEL EDIFICIO

381

estaca de manera semejante a la de un corte de terracería. Se

ponen bancos de nivel cerca, y puntos de l iga para nivelar con

comodidad la alcantari lla. Se dan líneas y niveles según lo requiera

el t ipo de estructura de que se trate.

22223333.6. LAS.6. LAS.6. LAS.6. LAS CALLESCALLESCALLESCALLES

Para la construcción de cal les el procedimiento topográfico es

semejante que se util iza para las carreteras. Ordinariamente se

construye primero la guarnición. La l ínea y la rasante de la parte

superior de cada guarnición se indica por medio de trompos

clavados junto a la l ínea exterior de la guarnición, generalmente, a

intervalos de 10 m. luego se marca el nivel de la oril la del

pavimento en la cara de la guarnición terminada. Se clavan

trompos en el terreno en la l ínea central del pavimento, ya sea al

nivel de la subrasante terminada o con el corte o terraplén

indicados en el trompo sobre una estaca adyacente. Cuando la

cal le es ancha, se puede trazar una hi lera intermedia de trompos

entre la l ínea central y la guarnición. Generalmente, es necesario

retrazar los trompos después de que se ha hecho la terracería de

la cal le. Cuando no es posible clavar estacas por exist ir pavimento

o terreno duro, se pueden clavar clavos o pijas o se pueden labrar

o pintar marcas en su superf icie. Los levantamientos para trazar o

construir cal les deben determinar la si tuación de todas las

instalaciones superficiales y subterráneas que puedan afectar el

proyecto, y se noti f icaran los cambios necesarios con la debida

anticipación.

22223333.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍA.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍA.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍA.7. SISTEMA DE DRENAJE Y DE TUBERÍASSSS

La línea central de una alcantaril la propuesta se local iza en el

terreno con estacas u otras marcas colocadas generalmente a

intervalos de 10 m donde las pendientes son uni formes, y hasta 5

m en las curvas vert icales. A un lado de esta l ínea, a una distancia

382

suficiente para que no se mueva durante la construcción, se traza

una línea paralela de estacas. Se pone un testigo al lado de cada

trompo, con cara escrita hacia la línea; en el lado más lejano de la

l ínea se marca el número de la estación y la distancia, y en el lado

más cercano a la l ínea se marca el corte. En las calles

pavimentadas o en los caminos duros donde es imposible clavar

estacas y trompos, la l ínea y la rasante se marcan con pijas

(encajadas hasta quedar al ras), marcas con cincel , o de pintura.

Cuando se ha excavado la cepa, se colocan tablas transversales

clavadas en postes a los intervalos que se emplean en el

cadenamiento.

El canto superior de la tabla se coloca a un número completo de

metros arriba de la cubeta de la alcantaril la (la superficie interior

del fondo de la alcantaril la); y se prepara un bastón de la misma

longitud. Se clava un clavo en el canto superior de cada tabla para

definir la l ínea. Al ir construyendo la alcantaril la, se esti ra una

cuerda entre estos clavos, y el extremo libre de cada tubo se pone

a la distancia correcta determinada por la medida del bastón. Si la

cepa se va a excavar a mano, se pueden omitir los trompos

laterales, y las tablas clavadas en postes se colocan al principio de

la excavación. Para las tuberías, el procedimiento es semejante

que para las alcantari llas, pero el intervalo entre los trompos para

dar niveles puede ser mayor, y se necesita menos cuidado para

colocar el tubo exactamente a la rasante. Tanto para alcantari llas

como tuberías, el volumen de excavación en tierra y en roca se

mide en la cepa, y se calculan los volúmenes de cada clase de

excavación como base de pago para el contratista. Los registros

de los levantamientos deben incluir la ubicación de las

instalaciones subterráneas, cruzadas, o adyacentes a la cepa.

383

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