3 funciones 3ºeso

FUNCIONESCOLEGIO VIZCAYA 131

Una función en matemáticas, es un término quese usa para indicar la relación entre dos o másmagnitudes.

El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) fue el primero que utilizó el términofunción en 1694 para referirse a varios aspectos deuna curva e introdujo conceptos como constante,variable y parámetro.

Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue elprimero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos.

Recuerda que ya conoces varios tipos de funciones, como son las queaparecen representadas a continuación:

Leibniz.

Función lineal (recta) Función afin (recta)

Función de proporcionalidad inversa (hipérbola) Función cuadrática (parábola)

COLEGIO VIZCAYAFUNCIONES132

PPARAARA EMPEZAREMPEZAR

Representa los siguientes puntos sobre un eje de coordenadas.

(0,1), (1,0), (3,4), (-3,-4), (2,-5), (-2,5)

Representa gráficamente las siguientes relaciones:

a) y = 3x b) y = 2x - 4 c) y = 1/x d) y = 2x2 e) x = 3 f) y = 2

1.

2.

PPARAARA RECORDARRECORDAR

1. RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES. TABLAS, GRÁFICAS Y FÓRMULAS.

La relación entre dos magnitudes se puede expresar y representar de diferentes formas. Veamos un ejemplo:

El parking de unos grandes almacenes cobra 1 € por aparcar el coche y por cadamedia hora de estancia 0’5 € más. Para que el cliente pueda calcular fácilmenteel precio que debe abonar al retirar el vehículo, han recogido los precios en lasiguiente tabla:

Sin embargo para representar la relación que hay entre el tiempo que permanece un vehículo en el parkingy el precio que cuesta, también podían haber decidido expresarlo mediante una gráfica.

Recuerda que para representar gráficamente la relación que hay entre dosmagnitudes, se toman dos rectas numéricas perpendiculares (ejes de coorde-nadas) que se cortan en un punto llamado origen, y dividen al plano en cuatrocuadrantes.

El eje horizontal se llama de abscisas y le asignaremos la letra X. El eje vertical,eje de ordenadas y se designa por la letra Y.

Para situar un punto en el plano necesitamos un par ordenado denúmeros a los que llamaremos coordenadas del punto. La primeracoordenada corresponde al eje de abscisas y la llamaremos abscisadel punto. La segunda coordenada corresponde al eje de lasordenadas y la llamaremos ordenada del punto.

Muchas de las relaciones que hay entre magnitudes, en la práctica, vienen dadas por fórmulas (expresionesalgebricas):

Área de un cuadrado = l2 (el área depende de lo que mide el lado)

Espacio recorrido = v · t (el espacio que recorremos depende de la velocidad que llevamos y del tiempo que estemos desplazándonos)

Y en otras ocasiones a partir de una tabla y de una gráfica somos capaces de obtener una expresiónalgebraica que nos de la relación entre dos magnitudes.

¿Serías capaz de obtener la expresión que relaciona las dos magnitudes que hemos representado en la tablay en la gráfica del ejemplo del parking?

Tiempo (horas) 0 0’5 1 1’5 2 2’5 3

Precio (€) 1 1’5 2 2’5 3 3’5 4

X

Y

1er cuadrante2º cuadrante

4º cuadrante3er cuadrante

0’5 1 1’5 2 2’5 3

43’5

32’5

21’5

10’5

Horas

Precio (€)

COLEGIO VIZCAYA FUNCIONES 133

2. FUNCIONES.

Sabemos que el lado de un cuadrado y su área son dos magnitudes que estánrelacionadas y que el área del cuadrado depende del valor del lado, es decir, elárea está en función (depende) del valor del lado y además esta relación es lasiguiente:

A = l2

Ahora construimos una tabla de valores y representamos gráficamente los datos de esa tabla.

Generalmente, te encontrarás que las dos magnitudes que están relacionadas sellaman X e Y. X representa a la magnitud independiente (en nuestro caso, el ladodel cuadrado), e Y representa a la magnitud dependiente (en nuestro caso, elárea depende del lado).

Entonces, la relación anterior podemos encontrarla escrita de la siguiente forma:

y = x2 (x = lado, y = área)

A la relación que existe entre dos variables se le llama función por lo que en ocasiones te encontrarás quela expresión anterior está escrita de la siguiente forma:

y = f(x) = x2 (el área está en función del lado según la expresión x2)

Observa también, que para un único valor de x sólo hay un único valor de y, es decir, para un valor del ladosólo existe un valor posible del área.

Función: es la relación que existe entre dos magnitudes que generalmente llamare-mos x e y, de manera que a cada valor de la primera (x) le corresponde un único valorde la segunda (y). Se designa f(x).

A la magnitud que se fija previamente y puede tomar cualquier valor, se le llamavariable independiente y se le designa con la letra x.

A la magnitud cuyo valor depende de la variable independiente y se calcula a partirde ella se le llama variable dependiente y se designa con la letra y.

La representación de los pares de valores relacionados forma la gráfica de la función.

Lado (l) 0 1 2 3 4 5

Área (l2) 0 1 4 9 16 25

X

Y

PPARAARA PRACTICARPRACTICAR

De las siguientes gráficas, ¿cuáles representan una función?

Observa la gráfica y da los valores de f(3), f(-1), f(4) y f(0).

3.

4.

Si en la representación gráficade una función queremos seña-lar que las variables x e y notoman valores desde el 0 si noque toman valores desde porejemplo 10 y 15 lo indicaremosmediante ejes de coordenadasquebrados:

10 11 12 13 14 15 16 17

1516171819


PPARAARA APRENDERAPRENDER

3. DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.

Una compañía eléctrica aplica la siguiente tarifa: 3 € por el contacto de unadeterminada potencia y además por cada kilovatio/hora consumido 0’25 €.

a) ¿Quién es la variable independiente? Escribe cómo se denota.

b) ¿Y la variable dependiente?

c) Expresa mediante una ecuación la relación que existe entreambas variables.

d) Representa gráficamente la función.

e) La variable independiente, ¿puede tomar cualquier valor? Indícalos.

f) ¿Y la variable dependiente?

g) ¿Quiénes son el dominio y recorrido en el ejemplo anterior?

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variableindependiente x, para los que existe un valor de la variable dependiente y. Se denotaDom(f).

El recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar lavariable dependiente y. Se designa Im(f).


Calcula el dominio y recorrido de las siguientes funciones.5.

La forma más cómoda para indicarque puntos pertenecen al dominio oal recorrido de una función es

utilizar intervalos.

El dominio vadesde -oo hasta+oo y el recorridodesde -1 (inclui-do) hasta +oo.

Entonces utilizando intervalos:

Dom (f) = (-oo,+oo)Im (f) = [-1,+oo)

X

Y

-1

a) b) c)


¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones? En caso afirmativo señala sudominio y recorrido.

6.


4. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN.

Continuidad y discontinuidad.

En las siguientes gráficas hemos representado el número de personas que viajan en un autobús a lo largode un día y la temperatura que hay dentro del autobús en ese mismo día.

a) ¿Alguna de las gráficas anteriores tiene saltos? Indica las horas en las que son los saltos.

b) Si dibujamos las gráficas anteriores, ¿cuál se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel?

También se puede decir que una función es continua en un tramo,aunque tenga discontinuidades en otros lugares.

En ocasiones, también puede que te encuentres gráficas que sondiscontinuas como la representada al margen.

Una función es continua cuando su gráfica no presenta ‘saltos’. Por tanto su gráficase puede trazar sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario se dice que la funciónes discontinua. Los puntos en los que la gráfica de la función efectúa un salto sellaman puntos de discontinuidad.

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

252015105

ºC

hora 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

5040302010

Nº personas

hora

10987654321

Nota

1 2 3 4 5 6 Nº exámenes

a) b) c) d) e) f)



Halla el dominio y recorrido de las siguientes funciones. ¿Son continuas? En caso negativoindica los puntos de discontinuidad.

7.


Crecimiento y decrecimiento.

En la siguiente gráfica se muestra el perfil de una etapa de montaña de una competición ciclista:

a) ¿A qué altura están la salida y la meta?

b) ¿Cuánto mide la cumbre más alta que tienen que ascender?

c) ¿En qué intervalos tienen que subir los corredores?

d) ¿Y bajar?

e) ¿En que tramos los corredores se desplazan horizontalmente?

Los tramos en los que ciclista tiene que ascender, se dice que la función es creciente, en los que baja,decreciente, y en los que no sube ni baja, creciente y decreciente a la vez.

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 Distancia (km)

2000

1500

1000

500

Altura (m)

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

Máximos y mínimos.

Hemos representado sobre una gráfica las temperaturas que se han registrado en una estación climáticadurante 24 horas.

a) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?

b) ¿En qué intervalos es creciente?

c) ¿En cuáles decreciente?

d) ¿Cuál es la temperatura máxima que se registró?

e) ¿Y la mínima?

f) Hay algunos momentos del día en los que la temperatura toma valores muy altos o muy bajos. Indícalos.

Al punto B se le llama máximo absoluto de la función y al punto E mínimo absoluto ya que representan elvalor más alto y más pequeño que alcanza la temperatura.Los puntos A, C y D se llaman máximos relativos de la función, y los puntos F, G, H e I mínimos relativosde la función, porque aunque no son los valores mayores y menores de la temperatura, en ciertosmomentos del día sí lo son.


Una función f(x) es creciente, cuando al aumentar la variable independiente x,aumenta la variable dependiente y; es decreciente cuando al aumentar x, disminuyey; y es creciente y decreciente cuando al aumentar x, la y no varia.

creciente creciente y decreciente decreciente

Y Y Y

X X X

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

7654321

-1-2 E

A

B

CD

FG

H I

Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) absoluto en un punto, si las imágenes quetoma la función son todas menores (mayores) que la imagen de él.

Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto, si las imágenespróximas a la imagen de él son menores (mayores) que él.


Una función viene dada por la siguiente gráfica:

a) Indica su dominio y recorrido.

b) Estudia dónde es creciente.

c) Indica dónde es decreciente.

d) ¿Tiene algún máximo? ¿De qué tipo?

e) ¿Y algún mínimo?

8.


Dadas las siguientes funciones, estudia su dominio y recorrido, intervalos de crecimiento ydecrecimiento y sus máximos y mínimos. ¿Son continuas?

a) b) c)

9.


Simetrías.

Considera las funciones f(x) = x2 y f(x) = x3.

a) Completa las siguientes tablas de valores:

b) Dibuja las gráficas de ambas funciones en papel cuadriculado. Dobla la gráfica de f(x) = x2 por el eje OY. ¿Qué sucede?

c) ¿Y si doblas la gráfica de f(x) = x3? Prueba a doblarla a su vez por el eje OX.

d) Observa ahora las dos tablas que has completado antes. ¿Cómo son los valores de la y para los valores positivos de la x con respecto a los valores negativos?

En la primera función se cumple que los valores que toma para x positivos y x negativos son iguales(f(-x) = f(x)). En este caso se le dice que la función es simétrica respecto del eje de ordenadas OY o par.

Sin embargo, en la segunda gráfica, los valores que toma para x positivos y x negativos son opuestos(f(-x) = -f(x)). Si esto sucede se dice que la función es simétrica respecto del origen O o impar.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x3

Una función f(x) es simétrica respecto del eje de ordenadas OY (simétrica par)cuando para todo x del dominio f(-x) = f(x), y es simétrica respecto del origen O(simetría impar) si f(-x) = -f(x).

Estudia gráfica y analíticamente si las gráficas siguientes son simétricas:

a) f(x) = - 2x2 b) f(x) = x3 - x c) f(x) = x2 + x + 1

f(-x) = - 2(-x)2 f(-x) = (-x)3 - (-x) f(-x) = (-x)2 + (-x) + 1= - 2x2 = -x3 + x = x2 - x + 1

Simétrica respecto de OY Simétrica respecto de O No es simétrica

Ejemplo:Ejemplo:


Periodicidad.

Hacemos deslizar una ficha con forma circular sobre una recta y dibujamos la trayectoria que sigue el puntosuperior de la ficha. Observa la gráfica que hemos obtenido:

La gráfica se repite cada 3 cm. Las funcionesque tienen este comportamiento se llamanperiódicas y al intervalo en el que se repitenperiodo. En nuestro caso tenemos unafunción periódica de periodo 3.

Signo de una función.

El termómetro de un observatorio meteorológico ha registrado los siguientes datos:

a) ¿En qué intervalos la temperatura ha estadopor encima de los 0 ºC?

b) ¿Y por debajo?

Una función f(x) es periódica cuando los valores que toma se repiten cada ciertointervalo fijo, que se llama periodo (siempre se considera el periodo mínimo).

3 cm

Una función f(x) es positiva en un punto a si f(a) > 0 (queda por encima del eje X), yes negativa si f(a) < 0 (queda por debajo del eje X).

4 8 12 16 20 24

8

6

4

2

-2

ºC

Horas


Completa estas gráficas para que sean simétricas:

a) Respecto del eje de ordenadas. b) Respecto del origen.

1) 2) 3) 4)

Estudia la simetría de las siguientes funciones sin representarlas gráficamente.

a) y = - x + 1 b) y = 3x2 c) y = - 2x3 d) y = x2 + 1 e) y = 2x4 - x2

Estudia la siguiente gráfica.

10.

11.

12.



Puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Los puntos de corte de una función con los ejes, son puntos en los que la gráficade la función corta a los ejes de coordenadas. Y se calculan de la siguiente forma:

Para que corte al eje OY x tiene que ser 0 (x = 0)Para que corte al eje OX y tiene que ser 0 (y = 0)

Calcula los puntos de corte de la función f(x) = x2 - 1 con los ejes de coordenadas.

Corte con OY (x = 0): y = 0 - 1 = - 1 (0, - 1) es el punto de corte.

Corte con OX (y = 0): x2 - 1 = 0; x2 = 1; x = 1 (1,0) y (-1,0) son los puntos de corte.

Ejemplo:Ejemplo:

±

(-1,0) (1,0)

(0,-1)


Halla los puntos de corte de la función y = x2 - 5x + 6 con los ejes de coordenadas.

Haz un estudio completo de las siguientes funciones:

a)

b)

13.

14.


PPARAARA RECORDARRECORDAR

5. PROPIEDADES DE ALGUNAS FUNCIONES.

En el siguiente cuadro encontrarás un resumen de algunas funciones que conoces hasta ahora con lascaracterísticas más importantes de cada una de ellas.

FUNCIÓN FORMAANALÍTICA

PROPIEDADES GRÁFICA EJEMPLO

Función de proporcionalidaddirecta

(función lineal)

y = mx

· x e y son directamente proporcionales.

· m es la constante de proporcionalidad y sellama pendiente de larecta (inclinación).

· Si m>0 es creciente.· Si m<0 es decreciente.

Recta quepasa por elpunto (0,0).

y = 2x

Función afín y = mx + n

· m es la pendiente.· n es el valor de la

ordenada para x = 0.

Recta queNO pasapor el punto(0,0).

y = 2x + 3

Función de proporcionalidadinversa

· x e y son inversamente proporcionales.

Hipérbola. y = 1/x

Función cuadrática

y = ax2 + bx + c

· Si a>0 la parábola está abierta hacia arriba.

· Si a<0 está abierta hacia abajo.

· El vértice de la parábola tiene abscisa:

Parábola. y = x2 + 4x + 3

Rectas paralelas

Al eje OX

y = k

· Función creciente y decreciente.

Recta paralela a OX.

y = 3

Al eje OY

x = k

· NO es función. Recta paralela a OY.

x = - 2

( )n 0≠

ky =x

( )a 0≠

bx2a−=

3

0

-2 0

FUNCIONES COLEGIO VIZCAYA142


Comprueba que en la función y = x2 - 4x + 4 el punto de corte con el eje X es x = -b/2a.

Dada la función y = x2 - 6x + 8:

a) ¿Qué tipo de función es?b) ¿Cómo es su gráfica?c) ¿Hacía dónde está orientada?d) Calcula los puntos de corte con los ejes y el vértice de la parábola.e) Represéntala gráficamente utilizando los puntos obtenidos en el apartado anterior.f) Estudia su gráfica (dominio, recorrido, continuidad, crecimiento, máximos, mínimos...).

En una compañía eléctrica, la cuota de abono bimensual es de 15 euros y, además, por cadakilovatio/hora consumido hay que abonar 5 céntimos de euro más.

a) Forma la tabla de valores que relaciona la potencia consumida y el importe a abonar.b) Representa gráficamente los valores de la tabla.c) Escribe la función asociada a esta relación.d) Si una familia consumió 250 kilovatios/hora, ¿cuál será el importe de su factura?e) ¿Cuántos kilovatios/hora consumió otra familia si pagó 65’15 €?

Se sabe que la distancia, en metros recorrida por un peatón a velocidad constante es propor-cional a la duración del trayecto en segundos. Un peatón ha recorrido 12 metros en 7 segundos.

a) Escribe la función asociada a esta situación.b) Representa gráficamente dicha función.

Representa las siguientes funciones:

a) y = - x b) y = 2x c) y = x + 1 d) y = 3x - 2 e) y = 0 f) y = 4 g) x = 0 h) x = 2

Escribe la ecuación de proporcionalidad directa que:

a) Pasa por el punto (2,3).b) Tiene pendiente -2.c) Pasa por el punto (-3,4).

Halla la pendiente de cada una de las funciones siguientes:a) b)

Indica, sin representarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes:

a) y = 7x b) y = -3x c) y = 4x d) y = -6x

Indica si las rectas y = 3x + 2 e y = 6x + 4 son paralelas o secantes.

Razona cuáles de las siguientes rectas son paralelas:

a) y = 5x + 2 b) y = -5x - 3 c) y = 5x + 12 d) y = -3x - 3

¿Cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas?

a) y = 4x - 2 b) y = 4 - 2x c) y = 2 - 4x d) y = x + 2 e) y = 2x + 4 f) y = 4

Representa sobre un mismo gráfico:

a) y = x2 b) y = 2x2 c) y = x2 d) y = -x2 e) y = -2x2 f) y = - x2

15.

16.

12

12

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.



a) y = x2 b) y = x2 + 1 c) y = x2 - 2


a) y = x2 b) y = (x - 2)2 c) y = (x + 1)2


a) y = x2 b) y = (x- 2)2 + 1 c) y = (x + 1)2 - 2


a)

b)

c)

27.

28.

4 4y , yx x3 3y , y 2x x1 1 1 1y , y 1, y 1, y 4x x x x

= = −

= = +

= = + = − = −

29.

30.


CÓMO CONSTRUIR UNA PARÁBOLA

Una de las funciones que hemos estudiado en esta unidad es la función cuadrática cuya representacióngráfica es la parábola. Dibujarla y construirla no siempre es fácil, pero aquí te mostramos varios métodos enlos que únicamente se necesita regla y compás.

Uno de las formas más curiosos para dibujar una parábola es el conocido como el método del sastre, usadopor estos profesionales tradicionalmente para cortar telas en forma de curva.

Para ello se dibujan dos semirrectas que se corten en un punto y se marcan divisiones iguales en cada unade ellas. Luego se numeran las marcas empezando en ambos lados por el vértice. Por último une lospuntos cuyos valores sumen un número fijo determinado.

Otro método para construir parábolas, es utilizar una importante propiedad de las parábolas:

“Para cualquier punto de la parábola, la distancia al foco (F) es siempre igual a la distancia de larecta directriz(d)”

Si cambias el foco de sitio se obtienen parábolas distintas.

CURIOSIDADES MACURIOSIDADES MATEMÁTICASTEMÁTICAS

12

34

56

78

9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

d

F


Pero no acaban aquí las curiosidades matemáticas sobre esta gráfica. La parábola está incluida, junto a otrascurvas (elipse e hipérbola), dentro de un grupo que recive el nombre de cónicas. Este nombre es debido aque se obtienen cortando un cono, mediante planos, de una determinada forma. En concreto, la parábola seobtiene cortando un cono con un plano paralelo a una de sus generatrices.

Las parábolas en nuestro entorno.

La característica principal en la reflexión de una onda, sea de sonido o de luz en una superficie parabólica(superficie generada al girar la parábola sobre su eje de simetría), es que todos los rayos que parten del focosalen paralelos al eje de la parábola; y viceversa, los rayos que inciden paralelos al eje convergen en el foco.

Hay aplicaciones muy importantes de esta propiedad como son las antenas receptoras de las señales deradio y televisión, procedentes de los satélites de comunicación que concentran las señales más débiles enel foco. Los telescopio reflectantes, también se construyen con espejos parabólicos. Otra consecuencia deesta propiedad es que los faros de los coches sean paraboloides.


1. La función que hace corresponder a cada radio de una circunferencia la longitud de la misma, ¿escontinua o discontinua?

2. Dibuja la gráfica de una función que tenga puntos de discontinuidad en x = -2, x = 2 y x = 5. Escribe suexpresión algebraica.

3. Haz un estudio completo de las siguientes gráficas de funciones:a) b) c) d) e) f)

4. Representa las siguientes funciones:

a) y = -1/2 x b) y = 5x c) y = 1/5 x d) y = -1/5 x e) y = -5x f) y = 1/2 x


a) y = - x + 6 b) y = - 2x + 5 c) y = 5x - 2 d) y = x - 1

6. Halla la ecuación de las siguientes rectas:

a) Tiene pendiente - 1 y ordenada en el origen 4.b) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4,-5).c) Pasa por los puntos (-4,7) y (3,9).

7. Averigua si los puntos (0,2), (1,-1) y (-1,5) están alineados.

8. En la siguiente gráfica hemos representado el movimiento de los cestos de una noria en función deltiempo que la noria gira y la distancia al suelo de uno de los cestos.

a) Realiza un estudio completo de la gráfica.b) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?c) ¿Cuál será la altura al cabo de 14 minutos?

No es necesario continuar la gráfica.

9. ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a funciones?a) b) c) d)

10. Representa las rectas:

a) 2x + 5y = 7 b) x - 2y = 4 c) 2x = 12 d) y =

11. En la función y = mx + n, ¿cómo debe ser m para que la función sea decreciente?

12. Indica, sin dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles paralelas.

a) y = 3x - 2 b) y = - 3x + 2 c) 3x - y + 5 = 0 d) 2y = 3x - 2

13. Dadas las funciones y = x2 e y = - x2, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntosdonde hay máximos y minimos.

14. Estudia la simetría de las siguientes funciones sin representarlas:

a) y = x2 + 8 b) y = x3 - 5 c) y = x4 - x2 + 1 d) y = x3 - x - 3

PPARAARA ENTRENARENTRENAR

12

13

( )34 x 75

− +

minutos

altura (m)


15. Haz un estudio completo de las gráficas siguientes:a) b) c)

d) e) f)

16. Representa las funciones siguientes calculando los puntos de corte con los ejes y el vértice.

a) y = x2 - 6x b) y = - x2 + 2x + 3 c) y = x2 + 4x + 3

17. En la gráfica aparece representada la gráfica de la función y = .

a) ¿Cómo se puede construir a partir de ella la gráfica de la función

b) ¿Y la de

18. Estudia las siguientes gráficas de funciones:a) b) c)

19. Relaciona las siguientes rectas con sus gráficas y halla su ecuación.

a) Tiene pendiente -3/4 y ordenada en el origen 0.

b) Pasa por el punto (2,1) y tiene pendiente 4/5.

c) Pasa por los puntos (-2,0) y (0,-3).

20. A partir de la gráfica, halla la ecuación. Fíjate en la pendiente y en la ordenada en el origen.a) b) c)

21. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1) y es paralela a la recta y = 6x + 9.

4x

4 2 .x

+

4 3 ?x

−

4

4


22. Dada la recta de ecuación y = 3x + 3:

a) Escribe las ecuaciones de dos rectas que sean paralelas a ella.b) Escribe las ecuaciones de dos rectas que no sean paralelas a la dada.


a) y = -3 b) y = 1/3 c) y = -12/5

24. Representa las siguientes rectas:

a) x = -6 b) x = 2/3 c) x = -11/4

25. Escribe todo lo que deduzcas de la siguiente gráfica de una función.

26. Relaciona cada gráfica con su expresión analítica:a) b) c)

1) y = x + 1 2) y = x3 3) y = x2

27. Representa gráficamente:

a) y = x e) y = 2x i) y = -x m) y = -2x

b) y = 5/2x f) y = 2/5x j) y = -5/2x n) y = -2/5x

c) y = -2x - 4 g) y = 9 - 3x k) y = 4x o) y = -2

d) y = 0 h) y = 3x - 2 l) y = 2/3x - 5 p) y = -2x - 6

28. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) La recta x = 4 es paralela al eje de abscisas.b) La recta x - 3 = 0 es paralela al eje de ordenadas.c) La recta y = -2 es paralela al eje de abscisas.d) Las rectas y = 2x - 1 e y = x - 1 son paralelas.

29. Representa gráficamente las siguientes funciones dadas a trozos:

a) b)

30. ¿Cuál es el dominio de esta función?

x 1 si x 3y

2 si x 3− ≤⎧

= ⎨ >⎩

3 si x 1y

4 x si x 1<⎧

= ⎨ − ≥⎩

y = x


31. Estudia la gráfica de las siguientes funciones:

a) y = - x2 + 1 c) y = - 3x2 e) y = 2x2 - 2

b) y = - x2 - 1 d) y = - 3x2 + 2 f) y = x2 - 4x + 1

32. Dada la función f(x) que asocia a cada número real su doble:

a) Escribe la expresión de la función.b) Calcula f(1), f(3) y f(2’5).c) Indica cuál es su dominio y recorrido.

33. Andoni estuvo enfermo durante tres días y se tomó la temperatura cuatro veces al día como semuestra en el gráfico.

a) ¿Tiene sentido unir los puntos?b) ¿Qué día y a qué hora tuvo la temperatura máxima?c) ¿Y la mínima?d) ¿En qué intervalos la fiebre crecía?e) ¿Y en cuáles decrecía?

34. Halla la recta que tiene por pendiente 3 y pasa por el punto (3,7).

35. Halla la recta que pasa por los puntos (0,1) y (1,4). Indica su pendiente.

36. Halla la recta cuya pendiente es -3 y cuya ordenada en el origen vale 2.

37. Dibuja utilizando los puntos de corte y calculando el vértice de la función y = 2x2 - 8x + 6.

38. ¿Cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba?

a) y = 6 - 5x + x2 b) y = 7 + 3x - 4x2 c) y = x + x2 d) y = 9x - x2

39. ¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?

a) y = 3x + 2 b) y = 2x + 3 c) y = 2x - 1 d) y = 3x e) y = 3x + 9

40. Halla el valor de m y n para que las rectas de ecuaciones y = 2x + n e y = mx + 4 sean paralelas y laprimera pase por el punto (3,5).

41. Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:a) b)

42. ¿Cuál es el dominio y recorrido de estas funciones?a) b)

43. Estudia la gráfica:

6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24Lunes Martes Miércoles

40

39

38

37

36

35


44. Estudia gráfica y analíticamente la simetría de las siguientes funciones:a) b) c) d)

45. En la siguiente gráfica se ha representado el volumen que ocupa el agua cuando varia la temperatu-ra de la misma.

a) ¿En que intervalo crece el volumen? ¿Y en cuál decrece?b) ¿A qué temperatura el volumen del agua es mínimo?c) ¿Para qué temperaturas alcanza el mismo volumen?

46. De las siguientes gráficas, ¿cuáles representan una función?a) b) c) d)

47. Analiza las siguientes gráficas de funciones:a) c) e)

b) d) f)

2 4 6 8 10 12 14 ºC

Volumen

4 2y = x - 2x2x + 1y =x

3 2y = x + x

2

1y =x + 1


1. Analiza las siguientes funciones:a) b)

2. ¿Cuál es el dominio y recorrido de las siguientes funciones? ¿Son continuas?a) c) e)

b) d)

3. Representa gráficamente las siguientes funciones dadas a trozos:

a) b)

4. Analiza las siguientes funciones:a) c) e)

b) d) f)

5. Halla la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación y = - 2x + 6 en cada uno de los siguientescasos:

a) Que tenga ordenada en el origen igual a 7.b) Que pase por el origen de coordenadas.c) Que pase por el punto (-2,-5).

PPARAARA APRENDER MÁSAPRENDER MÁS

x 3 si x 0y

x 1 si x 0+ <⎧

= ⎨ − ≥⎩

x 3 si x 1y

x 2 si x 1− + <⎧

= ⎨ + ≥⎩


6. Analiza las siguientes funciones:a) b) c)

7. Representa utilizando los puntos de corte con los ejes:

a) y = x2 - 2x - 8 b) y = - x2 - 2x + 3 c) y = 2x2 - 8x + 6 d) y = - x2 + 4x + 4

8. ¿Cuál es el periodo de esta función?

9. Halla las ecuaciones de las rectas que, pasando por el punto (2,3) son paralelas a los ejes de coorde-nadas.

10. Escribe la ecuación de la recta en cada uno de los siguientes casos:

a) Pasa por (5,-2) y tiene pendiente 4.b) Pasa por (3,0) y tiene pendiente -1/3.c) Pasa por (-2,1) y tiene pendiente 3/4.d) Pasa por (0,0) y tiene pendiente 1.

11. Escribe la ecuación de esta recta:

12. Sandra ha dibujado un gráfico en el que representa la distancia de su casa al colegio.

Explica lo que deduces de la gráfica.

13. Dibuja la parábola cuya función es f(x) = 1/6 x2 e indica sus características.

14. Representa utilizando los puntos de corte:

a) y = x2 - 6x + 5 c) y = x2 - 8x + 16 e) y = x2 + 4x + 3 g) y = x2 - 2x - 3b) y = x2 - 9x d) y = x2 + 6x + 9 f) y = 3 - 4x - 4x2 h) y = 21 - 10x + x2

Minutos

Km


15. Escribe las ecuaciones de las rectas cuyas gráficas son:a) b)

16. Estudia la gráfica siguiente:

17. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) b) c)

18. Escribe la ecuación de las otras dos rectas a partir de la dada.

19. Representa y estudia las siguientes funciones:

a) y = - 3x2 + 5 d) y = x2 - 2x - 8 g) y = x2 - 3

b) y + x2 = - 4x - 2 e) y = (x + 3)2 h) y = (x - 5)2

c) y = (x - 4)2 + 16 f) y = -(x - 3)2 + 2 i) y = 2(x + 4)2

20. Asocia cada una de estas gráficas con la función correspondiente:a) b) c) d)

1) y = 2x2 2) y = - 2x2 + 3 3) y = 3(x - 1)2 4) y = x2 + 2x + 4

21. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) y = 2x b) y = x3 c) d)

x 3 si x 3y

2x 1 si x 4− >⎧

= ⎨ + ≤⎩

x 3 si x 0y

2x 1 si x 0+ >⎧

= ⎨ − ≤⎩

2x 1 si x -1y

3x 1 si x -1− >⎧

= ⎨− + ≤⎩

y = - x - 1

2

1yx

= 2

1yx 16

=−


22. Representa gráficamente:

a) b)

23. Representa las siguientes funciones indicando si son funciones afines o lineales:

a) y = x d) y = x + 2 g) y = - 3x j) y = 2x - 1

b) y = - 3x + 3 e) y = 6x - 1 h) y = - 5x k) y = 3x - 3

c) y = - 4x + 1 f) y = - 5x + 2 i) y = - 4x l) y = 3x + 5

24. Representa las siguientes funciones cuadráticas representando los puntos de corte con los ejes decoordenadas y el vértice de cada parábola:

a) y = 3x2 - x - 2 c) y = x2 - 6x + 5 e) y = x2 - 5x + 6

b) y = 2x2 - 32 d) y = x2 + 4x + 3 f) y = - x2 - 2x - 1

25. Dada la siguiente función indica todo lo que puedas decir de ella:

26. La función de la parábola superior es x2. ¿Cuál es la función determinada por la parábola inferior?

27. Escribe la ecuación de las siguientes rectas:a) b) c)

28. Dibuja una función que cumpla:

a) Es creciente en (oo,2).b) Es discontinua en x = 2.c) Pasa por (3,0).d) Tiene un máximo absoluto en x = 5.

2x 3 si x 1y

3x 1 si x 1− >⎧

= ⎨ + ≤⎩

x 2 si x 1y

2x 4 si x 1+ <⎧

= ⎨− + ≥⎩

12

3 funciones 3ºeso

Documents